Tipos de círculos. ¿Qué es un círculo como figura geométrica: propiedades y características básicas?

Círculo es una figura que consta de todos los puntos del plano que equidistan de un punto dado. Este punto se llama centro del círculo.

Un círculo de radio cero (círculo degenerado) es un punto; a veces este caso se excluye de la definición.

YouTube enciclopédico

1 / 5

Círculo y sus propiedades (bezbotvy)

Círculo inscrito y circunscrito - de bezbotvy

Matemáticas: preparación para la OGE y el Examen Estatal Unificado. Planimetría. Círculos y sus propiedades.

Matemáticas 26. Brújulas. Círculo y círculo - escuela Shishkina

ECUACIÓN DEL CÍRCULO. TAREA 18 (C5). ARTURO SHARIFOV

Subtítulos

Designación

Si un círculo pasa, por ejemplo, por los puntos A, B, C, entonces se denota indicando estos puntos entre paréntesis: (A, B, C). Entonces, el arco de un círculo que pasa por los puntos A, B, C se denota como arco ABC (o arco AC), así como υ ABC (o υ AC).

Otras definiciones

• Círculo de diámetro AB A, B AB visible en ángulo recto (Definición a través del ángulo basada en el diámetro del círculo).

• Círculo con cuerda AB es una figura formada por puntos A, B y todos los puntos del plano desde el cual el segmento AB visible en un ángulo constante en un lado, igual a ángulo inscrito del arco AB, y en otro ángulo constante en el otro lado, igual a 180 grados menos ángulo inscrito del arco AB, indicado arriba (Definición mediante un ángulo inscrito).
• Una figura que consta de tales puntos. X , (\displaystyle X,) que la relación de las longitudes de los segmentos HACHA Y BX constantemente: A X B X = c ≠ 1 , (\displaystyle (\frac (AX)(BX))=c\neq 1,) es un círculo (Definición a través del círculo de Apolonio).
• Una figura que consta de todos esos puntos, para cada uno de los cuales la suma de los cuadrados de las distancias a dos puntos dados es igual a un valor dado mayor que la mitad del cuadrado de la distancia entre los puntos dados, también es un círculo (Definición mediante el teorema de Pitágoras para un triángulo rectángulo arbitrario inscrito en un círculo con una hipotenusa, que es el diámetro del círculo).
• METRO dibuja cualquier acorde dentro de él AB, CD, E.F. etc., entonces las igualdades son válidas: A M ⋅ M B = C M ⋅ M D = E M ⋅ M F = … (\displaystyle AM\cdot (MB)=CM\cdot (MD)=EM\cdot (MF)=\dots ). Las igualdades siempre se cumplirán independientemente de la elección del punto METRO y las direcciones de las cuerdas trazadas a través de él (Definición mediante cuerdas que se cruzan).
• Un círculo es una figura cerrada que no se corta a sí misma y tiene la siguiente propiedad. Si por un punto arbitrario METRO fuera de él, dibuja dos tangentes a los puntos de su contacto con el círculo, por ejemplo, A Y B, entonces sus longitudes siempre serán iguales: M A = M B (\displaystyle MA=MB). La igualdad siempre se mantendrá independientemente de la elección del punto. METRO(Definición mediante tangentes iguales).
• Un círculo es una figura cerrada que no se corta a sí misma y tiene la siguiente propiedad. La relación entre la longitud de cualquiera de sus cuerdas y el seno de cualquiera de sus ángulo inscrito, en base a esta cuerda, es un valor constante igual al diámetro de este círculo (Definición mediante el teorema de los senos).
• Un círculo es un caso especial de elipse, en el que la distancia entre focos es cero (Definición en términos de elipse degenerada).

Definiciones relacionadas para un círculo

• El lugar geométrico de los puntos en el plano, cuya distancia a un punto dado no es mayor que una distancia dada distinta de cero, se llama por todas partes .
• Radio- no sólo la distancia, sino también el segmento que conecta el centro del círculo con uno de sus puntos. El radio siempre es la mitad. diámetro círculos.
• El radio siempre es perpendicular a la tangente trazada al círculo en su punto común con el círculo. Es decir, el radio también es normal al círculo.
• El circulo se llama soltero , si su radio es igual a uno. Círculo unitario es uno de los principales objetos de la trigonometría.
• Un segmento que une dos puntos de una circunferencia se llama segmento acorde. Una cuerda que pasa por el centro de una circunferencia se llama diámetro.
• Dos puntos cualesquiera que no coincidan en un círculo lo dividen en dos partes. Cada una de estas partes se llama arco de círculo. El arco se llama semicírculo, si el segmento que conecta sus extremos es un diámetro.
• La longitud de un semicírculo unitario se denota por .

• Una recta que tiene exactamente un punto común con una circunferencia se llama tangente a un círculo, y su punto común se llama punto de tangencia de la recta y el círculo.
• Tangente a un círculo es siempre perpendicular a su radio (y diámetro) dibujado en el punto de contacto, que es normal, realizado en este punto.
• Una recta que pasa por dos puntos diferentes de una circunferencia se llama secante.

Definir triángulos para un círculo

• El triángulo ABC se llama inscrito en un círculo(A,B,C) si sus tres vértices A, B y C se encuentran en este círculo. En este caso el círculo se llama círculo circunscrito triángulo ABC (ver círculo circunstante).
• Tangente a un círculo dibujado a través de cualquier vértice de un triángulo inscrito en él es antiparalelo al lado del triángulo opuesto al vértice dado.
• El triángulo ABC se llama circunscrito alrededor de un círculo(A",B",C") si sus tres lados AB, BC y CA tocan este círculo en algunos puntos C", A" y B", respectivamente. En este caso el círculo se llama circulo inscrito triángulo ABC (Ver círculo inscrito).

Definiciones de ángulos para un círculo.

• El ángulo formado por un arco de círculo igual de largo al radio se toma como 1 radián.

• Centralángulo: un ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo. El ángulo central es igual a la medida en radianes/grado del arco sobre el que descansa (ver figura).
• Inscrito  ángulo: un ángulo cuyo vértice se encuentra en un círculo y cuyos lados cortan este círculo. ángulo inscrito igual a la mitad de la medida en grados del arco sobre el que descansa (ver figura).
• Esquina exterior Para Inscrito  ángulo: el ángulo formado por un lado y la continuación del otro lado inscritoángulo (ver fig. ángulo θ marrón). Esquina exterior porque un ángulo inscrito en el otro lado de un círculo tiene el mismo valor θ .
• Ángulo entre un círculo y una línea recta.- el ángulo entre una recta y una tangente a una circunferencia en el punto de intersección de la recta y la circunferencia. Ambos ángulos entre un círculo que se cruza y una línea recta son iguales.
• Ángulo subtendido por el diámetro de un círculo.- un ángulo inscrito en este círculo, cuyos lados contienen los extremos del diámetro. Él siempre es directo.

Definiciones relacionadas para dos círculos

• Dos circunferencias que tienen un centro común se llaman concéntrico.
• Dos circunferencias que tienen un solo punto en común se llaman sobre externamente si sus círculos no tienen otros puntos comunes, e internamente si sus círculos están uno dentro del otro.
• Dos circunferencias que tienen dos puntos comunes se llaman intersectando. Sus círculos (delimitados por ellos) se cruzan en un área llamada segmento de círculo doble.
• Ángulo entre dos círculos que se cruzan (o tangentes) es el ángulo entre sus tangentes dibujado en el punto común de intersección (o tangencia).
• También ángulo entre dos círculos que se cruzan (o tangentes), podemos considerar el ángulo entre sus radios (diámetros) dibujado en el punto común de intersección (o tangencia).
• Dado que para cualquier círculo su radio (o diámetro) y su tangente trazada a través de cualquier punto del círculo son mutuamente perpendiculares, el radio (o diámetro) puede considerarse normal a un círculo construido en un punto dado. En consecuencia, los dos tipos de ángulos definidos en los dos párrafos anteriores siempre serán iguales entre sí, como ángulos de lados mutuamente perpendiculares.
• Los ángulos rectos se llaman ortogonal. Los círculos se pueden contar. ortogonal, si forman un ángulo recto entre sí.
• Eje radical de dos círculos.- lugar geométrico de puntos cuyos grados con respecto a dos círculos dados son iguales. En otras palabras, las longitudes de cuatro tangentes trazadas a dos círculos dados desde cualquier punto son iguales METRO dada la ubicación geométrica de los puntos.

Definiciones de ángulos para dos círculos

• Ángulo entre dos círculos que se cruzan- el ángulo entre las tangentes a los círculos en el punto de intersección de estos círculos. Ambos ángulos entre dos círculos que se cruzan son iguales.
• Ángulo entre dos círculos separados- el ángulo entre dos tangentes comunes a dos circunferencias, formado en el punto de intersección de estas dos tangentes. El punto de intersección de estas dos tangentes debe estar entre dos circunferencias y no en el lado de una de ellas (este ángulo no se considera). Ambos ángulos verticales entre dos círculos separados son iguales.

Ortogonalidad

• Dos círculos que se cortan formando ángulos rectos se llaman ortogonal. Los círculos se pueden contar. ortogonal, si forman un ángulo recto entre sí.
• Dos circunferencias que se cortan en los puntos A y B con centros O y O" se llaman ortogonal, si los ángulos OAO" y OBO" son ángulos rectos. Es esta condición la que garantiza ángulo recto entre círculos. En este caso, los radios (normales) de los dos círculos son perpendiculares al punto de intersección. En consecuencia, las tangentes de dos círculos trazados al punto de su intersección también son perpendiculares. La tangente de un círculo es perpendicular al radio (normal) trazado al punto de tangencia. Normalmente, el ángulo entre curvas es el ángulo entre sus tangentes dibujadas en el punto de su intersección.
• Es posible otra condición adicional. Supongamos que dos círculos que se cruzan en los puntos A y B tienen los puntos medios de los arcos que se cruzan en los puntos C y D, es decir, el arco AC es igual al arco CB, el arco AD es igual al arco DB. Entonces estos círculos se llaman ortogonal, si los ángulos CAD y CBD son rectos.

Definiciones relacionadas para tres círculos

• Tres círculos se llaman mutuamente tangentes (que se cruzan) si dos de ellos se tocan (se cruzan) entre sí.
• En geometría centro radical tres círculos es el punto de intersección de los tres ejes radicales de pares de círculos. Si el centro radical se encuentra fuera de los tres círculos, entonces es el centro de un solo círculo ( círculo radical), que interseca tres círculos dados ortogonal.

Lema de Arquímedes

Prueba

Dejar GRAMO (\displaystyle GRAMO)- una homotecia que transforma un círculo pequeño en uno grande. Entonces está claro que Un 1 (\displaystyle A_(1)) es el centro de esta homotecia. Entonces recto B C (\ Displaystyle antes de Cristo) entrará en una especie de línea recta un (displaystyle a) tangente al gran círculo, y Un 2 (\displaystyle A_(2)) irá a un punto de esta recta y perteneciente a un gran círculo. Recordando que la homotecia convierte rectas en rectas paralelas a ellas, entendemos que a ∥ B C (\displaystyle a\parallel BC). Dejar GRAMO (A 2) = A 3 (\displaystyle G(A_(2))=A_(3)) Y D (\displaystyle D)-punto en una recta un (displaystyle a), de modo que sea nítido, y mi (\ Displaystyle E)- tal punto en una línea un (displaystyle a), Qué ∠ B A 3 E (\displaystyle \angle BA_(3)E)- picante. Entonces, desde un (displaystyle a)- tangente al gran círculo ∠ C A 3 D (\displaystyle \angle CA_(3)D)= (\displaystyle =)∠ C B A 3 (\displaystyle \angle CBA_(3))= ∠ B A 3 E = ∠ B C A 3 (\displaystyle =\angle BA_(3)E=\angle BCA_(3)). Por eso △ B C A 3 (\displaystyle \bigtriangleup BCA_(3))- isósceles, que significa ∠ B A 1 A 3 = ∠ C A 1 A 3 (\displaystyle \angle BA_(1)A_(3)=\angle CA_(1)A_(3)), eso es Un 1 Un 2 (\displaystyle A_(1)A_(2))- bisectriz del ángulo ∠ B A 1 C (\displaystyle \angle BA_(1)C).

Teorema de Descartes para los radios de cuatro círculos tangentes por pares

Teorema de Descartes" establece que los radios de cuatro círculos mutuamente tangentes satisfacen una determinada ecuación cuadrática. A veces se les llama círculos de Soddy.

Propiedades

(\displaystyle x^(2)+y^(2)=R^(2).) Ecuación de un círculo que pasa por puntos.(x 1, y 1), (x 2, y 2), (x 3, y 3), (\displaystyle \left(x_(1),y_(1)\right),\left(x_(2) ,y_(2)\derecha),\izquierda(x_(3),y_(3)\derecha),)

x 2 + y 2 x y 1 x 1 2 + y 1 2 x 1 y 1 1 x 2 2 + y 2 2 x 2 y 2 1 x 3 2 + y 3 2 x 3 y 3 1 |

(\displaystyle y=y_(0)\pm (\sqrt (R^(2)-(x-x_(0))^(2))).)

y = ± R 2 - x 2 .

(\displaystyle y=\pm (\sqrt (R^(2)-x^(2))).) Coordenadas polares Radio del círculo R (\displaystyle R).

centrado en un punto(ρ 0 , ϕ 0) (\displaystyle \left(\rho _(0),\phi _(0)\right))

Círculo

es una figura que consta de todos los puntos del plano que equidistan de un punto dado. Conceptos básicos:

Radio Centro del círculo

es un punto equidistante de los puntos de la circunferencia.– esta es la distancia desde los puntos del círculo hasta su centro (igual a la mitad del diámetro, Fig. 1).

Diámetro es una cuerda que pasa por el centro del círculo (Fig. 1).

Tangente Acorde

es un segmento que conecta dos puntos en un círculo (Fig. 1). es una recta que tiene un solo punto común con una circunferencia. Pasa por un punto del círculo perpendicular al diámetro dibujado hasta este punto (Fig. 1).

Secante es una línea recta que pasa por dos puntos diferentes del círculo (Fig. 1).

Círculo unitario es un círculo cuyo radio es igual a uno.

Arco de círculo es parte de un círculo dividido por dos puntos divergentes en el círculo.
1 radian

es el ángulo formado por un arco de círculo igual a la longitud del radio (Fig. 4). 1 radian = 180˚ : π ≈ 57,3˚

ángulo inscritoángulo central

Dos circunferencias que tienen un centro común se llaman concéntrico.

es un ángulo con su vértice en el centro del círculo. Igual a la medida en grados del arco sobre el que descansa (Fig. 2). ortogonal.

es un ángulo cuyo vértice se encuentra en un círculo y cuyos lados cortan este círculo. Igual a la mitad de la medida en grados del arco sobre el que descansa (Fig. 3).

Dos círculos que se cortan formando ángulos rectos se llaman
Circunferencia y área de un círculo:
Designaciones:
Circunferencia – C

Longitud del diámetro – dπ :
Longitud del radio – r

22
π = -
7

Significado

La relación entre la circunferencia de un círculo y la longitud de su diámetro se denota con la letra griega π (pi).

Fórmula de circunferencia:

C = πd, o C = 2πr
Fórmulas para el área de un círculo:
2

cr
S = --
4

πD2

Ecuación de una circunferencia en coordenadas cartesianasincógnita, y con centro en el punto (a; b):

(x –a) 2 + (y-b) 2 = Dónde 2

Un círculo circunscrito a un triángulo (Fig. 4).

Un círculo inscrito en un triángulo (Fig. 5).

Ángulos inscritos en un círculo (Fig. 3).

Un ángulo cuyo vértice se encuentra en un círculo y cuyos lados cortan a este círculo se llama inscrito en un círculo.

Círculo

Un ángulo divide un plano en dos partes. Cada una de estas partes se llama ángulo plano.

Los ángulos planos con lados comunes se llaman adicional.

Un ángulo plano cuyo vértice está en el centro de la circunferencia se llama ángulo central(Figura 2)

Proporcionalidad de segmentos de cuerdas y secantes de circunferencia.

Casos especiales y fórmulas:

1) Desde el punto C, ubicado fuera del círculo, traza una tangente al círculo y denota el punto de su contacto con la letra D.

Luego dibujamos una secante desde el mismo punto C y denotamos los puntos de intersección de la secante y el círculo con las letras A y B (Fig. 8).

En este caso:

CD 2 =aire acondicionado ·antes de Cristo

2) Dibuja el diámetro AB en un círculo. Luego, desde el punto C ubicado en el círculo, dibuje una perpendicular a este diámetro y denote el segmento CD resultante (Fig. 9).

En este caso:

CD 2 =ANUNCIO ·B.D.

Para tener una idea general de lo que es un círculo, observe un anillo o un aro. También puedes tomar un vaso y una taza redondos, colocarlos boca abajo sobre una hoja de papel y calcarlos con un lápiz. Con aumentos repetidos, la línea resultante se volverá gruesa y no del todo suave, y sus bordes se verán borrosos. Un círculo como figura geométrica no tiene una característica como el grosor.

Círculo: definición y medios básicos de descripción.

Un círculo es una curva cerrada que consta de muchos puntos ubicados en el mismo plano y equidistantes del centro del círculo. En este caso, el centro está en el mismo plano. Como regla general, se indica con la letra O.

La distancia desde cualquier punto del círculo hasta el centro se llama radio y se denota con la letra R.

Si conectas dos puntos cualesquiera en un círculo, el segmento resultante se llamará cuerda. La cuerda que pasa por el centro del círculo es el diámetro, denotado por la letra D. El diámetro divide el círculo en dos arcos iguales y mide el doble de la longitud del radio. Por tanto, D = 2R, o R = D/2.

Propiedades de los acordes

1. Si se traza una cuerda a través de dos puntos cualesquiera del círculo, y luego se traza un radio o diámetro perpendicular a este último, entonces este segmento dividirá tanto la cuerda como el arco cortado por ella en dos partes iguales. La afirmación inversa también es cierta: si el radio (diámetro) divide la cuerda por la mitad, entonces es perpendicular a ella.
2. Si se trazan dos cuerdas paralelas dentro de un mismo círculo, entonces los arcos cortados por ellas, así como los encerrados entre ellas, serán iguales.
3. Dibujemos dos cuerdas PR y QS intersectándose dentro del círculo en el punto T. El producto de segmentos de una cuerda siempre será igual al producto de segmentos de otra cuerda, es decir, PT x TR = QT x TS.

Circunferencia: concepto general y fórmulas básicas.

Una de las características básicas de esta figura geométrica es la circunferencia. La fórmula se deriva utilizando cantidades como el radio, el diámetro y la constante "π", que refleja la constancia de la relación entre la circunferencia y su diámetro.

Por tanto, L = πD, o L = 2πR, donde L es la circunferencia, D es el diámetro y R es el radio.

La fórmula de la circunferencia se puede considerar como la inicial a la hora de encontrar el radio o diámetro de una circunferencia determinada: D = L/π, R = L/2π.

Qué es un círculo: postulados básicos

• no tener puntos en común;
• tienen un punto común, y la línea recta se llama tangente: si pasas un radio por el centro y el punto de tangencia, entonces será perpendicular a la tangente;
• tienen dos puntos comunes y la recta se llama secante.

2. A través de tres puntos arbitrarios que se encuentran en el mismo plano, no se puede trazar más de un círculo.

3. Dos círculos sólo pueden tocarse en un punto, que se encuentra en el segmento que conecta los centros de estos círculos.

4. Para cualquier rotación con respecto al centro, el círculo se convierte en sí mismo.

5. ¿Qué es un círculo en términos de simetría?

• la misma curvatura de la línea en cualquier punto;
• relativo al punto O;
• simetría especular con respecto al diámetro.

6. Si construyes dos ángulos inscritos arbitrarios basados ​​en el mismo arco de círculo, serán iguales. Un ángulo basado en un arco igual a la mitad, es decir, cortado por una cuerda-diámetro, siempre es igual a 90°.

7. Si comparas líneas curvas cerradas de la misma longitud, resulta que el círculo delimita la sección del plano con mayor área.

Círculo inscrito y circunscrito por un triángulo.

La idea de qué es un círculo estará incompleta sin una descripción de las características de su relación con los triángulos.

1. Al construir un círculo inscrito en un triángulo, su centro siempre coincidirá con el punto de intersección del triángulo.
2. El centro de un círculo circunscrito a un triángulo se encuentra en la intersección de las medianas perpendiculares a cada uno de los lados del triángulo.
3. Si describimos un círculo, entonces su centro estará en el medio de la hipotenusa, es decir, esta última será el diámetro.
4. Los centros de los círculos inscritos y circunscritos estarán en el mismo punto si la base para la construcción es

Declaraciones básicas sobre círculos y cuadriláteros.

1. Un círculo puede describirse alrededor de un cuadrilátero convexo sólo cuando la suma de sus ángulos internos opuestos es igual a 180°.
2. Es posible construir un círculo inscrito en un cuadrilátero convexo si la suma de las longitudes de sus lados opuestos es la misma.
3. Puedes describir un círculo alrededor de un paralelogramo si sus ángulos son rectos.
4. Un círculo puede estar inscrito en un paralelogramo si todos sus lados son iguales, es decir, es un rombo.
5. Puedes construir un círculo a través de las esquinas de un trapecio solo si es isósceles. En este caso, el centro del círculo circunscrito se ubicará en la intersección del cuadrilátero y la mediana perpendicular trazada al lado.

Y círculo- formas geométricas interconectadas. hay una línea discontinua límite (curva) círculo,

Definición. Un círculo es una curva cerrada, cada punto de la cual equidista de un punto llamado centro del círculo.

Para construir un círculo, se selecciona un punto arbitrario O, se toma como centro del círculo y se traza una línea cerrada con una brújula.

Si el punto O del centro del círculo está conectado a puntos arbitrarios del círculo, entonces todos los segmentos resultantes serán iguales entre sí, y dichos segmentos se llaman radios, abreviados con la letra latina minúscula o mayúscula "er" ( r o Dónde). Puedes dibujar tantos radios en un círculo como puntos en la circunferencia.

Un segmento que une dos puntos de una circunferencia y pasa por su centro se llama diámetro. es un punto equidistante de los puntos de la circunferencia. consta de dos radios, situada en la misma línea recta. El diámetro se indica con la letra latina minúscula o mayúscula “de” ( d o D).

Regla. es un punto equidistante de los puntos de la circunferencia. un circulo es igual a dos sus radios.

re = 2r
D=2R

La circunferencia de un círculo se calcula mediante la fórmula y depende del radio (diámetro) del círculo. La fórmula contiene el número ¶, que muestra cuántas veces la circunferencia es mayor que su diámetro. El número ¶ tiene un número infinito de decimales. Para los cálculos se tomó ¶ = 3,14.

La circunferencia de un círculo se indica con la letra mayúscula latina "tse" ( do). La circunferencia de un círculo es proporcional a su diámetro. Fórmulas para calcular la circunferencia de un círculo en función de su radio y diámetro:

C = ¶d
C = 2¶r

• Ejemplos
• Dado: d = 100 cm.
• Circunferencia: C = 3,14*100 cm = 314 cm
• Dado: d = 25 mm.
• Circunferencia: C = 2*3,14*25 = 157mm

Secante circular y arco circular.

Cada secante (recta) corta a una circunferencia en dos puntos y la divide en dos arcos. El tamaño del arco de un círculo depende de la distancia entre el centro y la secante y se mide a lo largo de una curva cerrada desde el primer punto de intersección de la secante con el círculo hasta el segundo.

Arcos los círculos están divididos secante en mayor y menor si la secante no coincide con el diámetro, y en dos arcos iguales si la secante pasa por el diámetro del círculo.

Si una secante pasa por el centro de un círculo, entonces su segmento ubicado entre los puntos de intersección con el círculo es el diámetro del círculo, o la cuerda más grande del círculo.

Cuanto más lejos esté la secante del centro del círculo, menor será la medida en grados del arco menor del círculo y mayor será el arco mayor del círculo, y el segmento de la secante, llamado acorde, disminuye a medida que la secante se aleja del centro del círculo.

Definición. Un círculo es una parte de un plano que se encuentra dentro de un círculo.

El centro, radio y diámetro de un círculo son simultáneamente el centro, radio y diámetro del círculo correspondiente.

Como un círculo es parte de un plano, uno de sus parámetros es el área.

Regla. Área de un círculo ( – esta es la parte común de un círculo y un semiplano.) es igual al producto del cuadrado del radio ( r 2) al número ¶.

• Ejemplos
• Dado: r = 100 cm
• Área del círculo:
• S = 3,14 * 100 cm * 100 cm = 31.400 cm 2 ≈ 3 m 2
• Dado: d = 50 mm
• Área del círculo:
• S = ¼ * 3,14 * 50 mm * 50 mm = 1.963 mm 2 ≈ 20 cm 2

Si dibujas dos radios en un círculo hacia diferentes puntos del círculo, entonces se forman dos partes del círculo, que se llaman sectores. Si dibujas una cuerda en un círculo, entonces la parte del plano entre el arco y la cuerda se llama segmento circular.

Primero, comprendamos la diferencia entre un círculo y un círculo. Para ver esta diferencia basta considerar cuáles son ambas cifras. Se trata de un número infinito de puntos del plano, situados a igual distancia de un único punto central. Pero si el círculo también consta de espacio interior, entonces no pertenece al círculo. Resulta que un círculo es a la vez un círculo que lo limita (círculo(r)) y un número innumerable de puntos que se encuentran dentro del círculo.

Para cualquier punto L que se encuentre en el círculo, se aplica la igualdad OL=R. (La longitud del segmento OL es igual al radio del círculo).

Un segmento que une dos puntos de una circunferencia es su acorde.

Una cuerda que pasa directamente por el centro de una circunferencia es diámetro este círculo (D). El diámetro se puede calcular mediante la fórmula: D=2R

Circunferencia calculado por la fórmula: C=2\pi R

Área de un círculo: S=\piR^(2)

Arco de círculo Se llama aquella parte de ella que se sitúa entre sus dos puntos. Estos dos puntos definen dos arcos de círculo. El acorde CD subtiende dos arcos: CMD y CLD. Cuerdas idénticas subtienden arcos iguales.

ángulo central Se llama al ángulo que se encuentra entre dos radios.

Longitud del arco se puede encontrar usando la fórmula:

1. Usando medida en grados: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Usando medida en radianes: CD = \alpha R

El diámetro, que es perpendicular a la cuerda, divide por la mitad la cuerda y los arcos que ésta contrae.

Si las cuerdas AB y CD de un círculo se cortan en el punto N, entonces los productos de los segmentos de cuerdas separados por el punto N son iguales entre sí.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Tangente a una circunferencia

Tangente a una circunferencia Se acostumbra llamar círculo a una línea recta que tiene un punto común.

Si una recta tiene dos puntos comunes se llama secante.

Si dibujas el radio al punto tangente, será perpendicular a la tangente al círculo.

Dibujemos dos tangentes desde este punto a nuestro círculo. Resulta que los segmentos tangentes serán iguales entre sí y el centro del círculo estará ubicado en la bisectriz del ángulo con el vértice en este punto.

CA = CB

Ahora dibujemos una tangente y una secante a la circunferencia desde nuestro punto. Obtenemos que el cuadrado de la longitud del segmento tangente será igual al producto de todo el segmento secante por su parte exterior.

AC^(2) = CD \cdot BC

Podemos concluir: el producto de un segmento entero de la primera secante y su parte externa es igual al producto de un segmento entero de la segunda secante y su parte externa.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Ángulos en un círculo

Las medidas en grados del ángulo central y del arco sobre el que descansa son iguales.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

ángulo inscrito es un ángulo cuyo vértice está en una circunferencia y cuyos lados contienen cuerdas.

Puedes calcularlo conociendo el tamaño del arco, ya que es igual a la mitad de este arco.

\ángulo AOB = 2 \ángulo ADB

Basado en un diámetro, ángulo inscrito, ángulo recto.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son idénticos.

Los ángulos inscritos que descansan sobre una cuerda son idénticos o su suma es igual a 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\ángulo ADB = \ángulo AEB = \ángulo AFB

En una misma circunferencia están los vértices de triángulos con ángulos idénticos y una base determinada.

Un ángulo con vértice dentro del círculo y ubicado entre dos cuerdas es idéntico a la mitad de la suma de los valores angulares de los arcos del círculo que están contenidos dentro de los ángulos dados y verticales.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Un ángulo con vértice fuera del círculo y situado entre dos secantes es idéntico a la mitad de la diferencia de los valores angulares de los arcos del círculo que están contenidos dentro del ángulo.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

círculo inscrito

círculo inscrito es un círculo tangente a los lados de un polígono.

En el punto donde se cruzan las bisectrices de las esquinas de un polígono, se ubica su centro.

No se puede inscribir un círculo en cada polígono.

El área de un polígono con un círculo inscrito se encuentra mediante la fórmula:

S = pr,

p es el semiperímetro del polígono,

r es el radio del círculo inscrito.

Se deduce que el radio del círculo inscrito es igual a:

r = \frac(S)(p)

Las sumas de las longitudes de los lados opuestos serán idénticas si el círculo está inscrito en un cuadrilátero convexo. Y viceversa: un círculo cabe en un cuadrilátero convexo si las sumas de las longitudes de los lados opuestos son idénticas.

AB + DC = ANUNCIO + BC

Es posible inscribir un círculo en cualquiera de los triángulos. Sólo uno. En el punto donde se cruzan las bisectrices de los ángulos internos de la figura, estará el centro de este círculo inscrito.

El radio del círculo inscrito se calcula mediante la fórmula:

r = \frac(S)(p) ,

donde p = \frac(a + b + c)(2)

círculo circunstante

Si un círculo pasa por cada vértice de un polígono, dicho círculo generalmente se llama descrito sobre un polígono.

En el punto de intersección de las mediatrices de los lados de esta figura estará el centro del círculo circunstante.

El radio se puede encontrar calculándolo como el radio del círculo que está circunscrito al triángulo definido por 3 vértices cualesquiera del polígono.

Existe la siguiente condición: un círculo puede describirse alrededor de un cuadrilátero sólo si la suma de sus ángulos opuestos es igual a 180^( \circ) .

\ángulo A + \ángulo C = \ángulo B + \ángulo D = 180^ (\circ)

Alrededor de cualquier triángulo se puede describir un círculo, y sólo uno. El centro de dicho círculo estará ubicado en el punto donde se cruzan las bisectrices perpendiculares de los lados del triángulo.

El radio del círculo circunscrito se puede calcular mediante las fórmulas:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4S)

a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo,

S es el área del triángulo.

teorema de ptolomeo

Finalmente, considere el teorema de Ptolomeo.

El teorema de Ptolomeo establece que el producto de las diagonales es idéntico a la suma de los productos de los lados opuestos de un cuadrilátero cíclico.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD