x llamado

1.2.3. Usar identidades de multiplicación abreviadas

Ejemplo. Factoriza x 4 16.

x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .

1.2.4. Factorizar un polinomio usando sus raíces

Teorema. Sea el polinomio P x tener raíz x 1 . Entonces este polinomio se puede factorizar de la siguiente manera: P x x x 1 S x , donde S x es algún polinomio cuyo grado es uno menos

valores alternativamente en la expresión para P x Obtenemos que cuando x 2 usted-.

la expresión cambiará a 0, es decir, P 2 0, lo que significa que x 2 es la raíz de un multi-

miembro. Divide el polinomio P x por x 2 .

X 3 3x 2 10x 24
x 32 x 2	24 10x	x2 x12
	24 10x

12x 2412x 24

P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3

x2 x3 x4

1.3. Seleccionar un cuadrado completo

El método para seleccionar un cuadrado completo se basa en el uso de las fórmulas: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .

Aislar un cuadrado completo es una transformación de identidad en la que un trinomio dado se representa como a b 2 la suma o diferencia del cuadrado del binomio y alguna expresión numérica o alfabética.

Un trinomio cuadrado con respecto a una variable da una expresión de la forma

ax 2 bx c , donde a , b y c son números dados, y a 0 .

Transformemos el trinomio cuadrático ax 2 bx c de la siguiente manera.

x2:

coeficiente

Luego representamos la expresión b x como 2b x (el doble del producto

x ):a x

A la expresión entre paréntesis le sumamos y le restamos el número

cual es el cuadrado de un numero

Como resultado obtenemos:

Notando ahora que

obtenemos

4a 2

Ejemplo. Selecciona un cuadrado completo.

2x12

2x 2 4x 5 2x 2 2x 5

2x2 2x1 15

2 x 12 7.

4 un 2,

1.4. Polinomios en varias variables.

Los polinomios de varias variables, al igual que los polinomios de una variable, se pueden sumar, multiplicar y elevar a una potencia natural.

Una transformación de identidad importante de un polinomio en varias variables es la factorización. Aquí, se utilizan métodos de factorización como colocar el factor común entre paréntesis, agrupar, usar identidades de multiplicación abreviadas, aislar un cuadrado completo e introducir variables auxiliares.

1. Factoriza el polinomio P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 .

2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y 32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.

2. Factoriza P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Apliquemos el método de agrupación.

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y

4x3 y5xz.

3. Factoriza P x ,y x 4 4y 4 . Seleccionemos un cuadrado completo:

x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.

1.5. Propiedades de un grado con cualquier exponente racional

Un grado con cualquier exponente racional tiene las siguientes propiedades:

1. ar 1a r 2a r 1r 2,

	a r 1 a r 2 a r 1 r 2,
3. ar 1r 2 ar 1r 2,
4. abr 1 ar 1 br 1,
	a r 1	ar 1


		hermano 1

donde a 0;b 0;r 1;r 2 son números racionales arbitrarios.

1. Multiplica 8

x3 12x7.

24 x 23.

8 x 3 12 x 7 x 8 x 12 x 8 12 x 24

2. Factorizar

un 2x3

1.6. Ejercicios para hacer por tu cuenta

1. Realizar acciones utilizando fórmulas de multiplicación abreviadas. 1) un 52 ;

2) 3 un 72 ;

3) una nota n2 .

4) 1×3;

	3 y 3 ;

7) 8a 2 8a 2 ;

8) a nb ka kb na nb ka kb n.

9) a 2 b a2 2 ab4 b2 ;

10) a 3a 2 3a 9 ;

11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3

2. Calcule usando identidades de multiplicación abreviadas:

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. Probar las identidades:

1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;

2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2 ;

3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .

4. Factoriza los siguientes polinomios:

1) 3 x a2 a2;

2) ca 7 bc3 a21 b;

3) 63 m 4 n 327 m 3 n 445 m 5 n 7;

4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;

5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;

6) 24 ax38 ax12 a19 b;

7) 25 a 21 b 2q 2;

8) 9 5 a 4b 2 64a 2 ;

9) 121 norte 2 3 norte 2t 2 ;

10) 4 t 2 20 tn 25 n 2 36;

11) p 4 6 p2 k9 k2 ;

12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6 ;

13) 6 x 3 36 x 2 72 x 48;

14) 15 hacha 3 45 hacha 2 45 hacha 15 a ;

15) 9 a 3 norte 1 4.5a 2 norte 1 ;

16) 5 p 2 n q n 15p 5 n q 2 n ;

17) 4 a 7b 232 a 4b 5;

18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2 ;

19) 1000t3 27t6 .

5. Calcula de la forma más sencilla:

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. Encuentra el cociente y el resto de un polinomio. P x por polinomioQ x: 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;

2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Q x x4 4 x2 .

7. Demuestre que el polinomio x 2 2x 2 no tiene raíces reales.

8. Encuentra las raíces del polinomio:

1) x 3 4 x;

2) x 3 3x 2 5x 15.

9. Factores:

1) 6 un 2 un 5 5 un 3 ;

2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2 ;

3) x 3 6x 2 11x 6.

10. Resuelve ecuaciones aislando un cuadrado completo:

1) x 2 2x 3 0;

2) x 2 13x 30 0 .

11. Encuentra el significado de las expresiones:

		4 3 85

		16 6
		2 520 9 519

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. Calcular:

16 0,25

Definición

Las expresiones de la forma 2 x 2 + 3 x + 5 se llaman trinomios cuadráticos. En general, un trinomio cuadrado es una expresión de la forma a x 2 + b x + c, donde a, b, c a, b, c son números arbitrarios y a ≠ 0.

Considere el trinomio cuadrático x 2 - 4 x + 5. Escribámoslo de esta forma: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Sumemos 2 2 a esta expresión y restemos 2 2, obtenemos: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. Tenga en cuenta que x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, entonces x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . La transformación que hicimos se llama “aislar un cuadrado perfecto de un trinomio cuadrático”.

Determina el cuadrado perfecto a partir del trinomio cuadrático 9 x 2 + 3 x + 1.

Tenga en cuenta que 9 x 2 = (3 x) 2, `3x=2*1/2*3x`. Entonces `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Suma y resta `(1/2)^2` a la expresión resultante, obtenemos

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Mostraremos cómo se utiliza el método de aislar un cuadrado perfecto de un trinomio cuadrático para factorizar un trinomio cuadrado.

Factoriza el trinomio cuadrático 4 x 2 - 12 x + 5.

Seleccionamos el cuadrado perfecto del trinomio cuadrático: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Ahora aplicamos la fórmula a 2 - b 2 = (a - b) (a + b), obtenemos: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x-1).

Factoriza el trinomio cuadrático - 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Ahora notamos que 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2.

Sumamos el término 2 2 a la expresión 9 x 2 - 12 x, obtenemos:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3x-2 2 .

Aplicamos la fórmula de la diferencia de cuadrados, tenemos:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

Factoriza el trinomio cuadrático 3 x 2 - 14 x - 5 .

No podemos representar la expresión 3 x 2 como el cuadrado de alguna expresión porque aún no lo hemos estudiado en la escuela. Verás esto más adelante y en la Tarea No. 4 estudiaremos las raíces cuadradas. Vamos a mostrar cómo se puede factorizar un trinomio cuadrático dado:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

Te mostraremos cómo usar el método del cuadrado perfecto para encontrar el valor más grande o más pequeño de un trinomio cuadrático.
Considere el trinomio cuadrático x 2 - x + 3. Seleccione un cuadrado completo:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Tenga en cuenta que cuando `x=1/2` el valor del trinomio cuadrático es `11/4`, y cuando `x!=1/2` se suma un número positivo al valor de `11/4`, por lo que obtenga un número mayor que `11/ 4`. Así, el valor más pequeño del trinomio cuadrático es `11/4` y se obtiene cuando `x=1/2`.

Encuentra el mayor valor del trinomio cuadrático - 16 2 + 8 x + 6.

Seleccionamos un cuadrado perfecto de un trinomio cuadrático: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

Cuando `x=1/4` el valor del trinomio cuadrático es 7, y cuando `x!=1/4` se resta un número positivo al número 7, es decir, obtenemos un número menor que 7. Así, el número 7 es el valor más grande del trinomio cuadrático y se obtiene con `x=1/4`.

Factoriza el numerador y el denominador de la fracción `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` y reduce la fracción.

Tenga en cuenta que el denominador de la fracción x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2. Factoricemos el numerador de la fracción usando el método de aislar un cuadrado completo de un trinomio cuadrado. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .

Esta fracción se redujo a la forma `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` después de la reducción por (x - 3) obtenemos `(x+5)/(x-3 )`.

Factoriza el polinomio x 4 - 13 x 2 + 36.

Apliquemos el método de aislar un cuadrado completo a este polinomio. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`

Calculadora en línea.
Aislar el cuadrado de un binomio y factorizar un trinomio cuadrado.

Este programa de matemáticas distingue un binomio cuadrado de un trinomio cuadrado, es decir. hace una transformación como:
$ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $ y factoriza un trinomio cuadrático: $ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $

Aquellos. los problemas se reducen a encontrar los números $p, q$ y $n, m$

El programa no sólo da la respuesta al problema, sino que también muestra el proceso de solución.

Este programa puede ser útil para estudiantes de secundaria en escuelas de educación general cuando se preparan para pruebas y exámenes, cuando prueban conocimientos antes del Examen Estatal Unificado y para que los padres controlen la solución de muchos problemas en matemáticas y álgebra.

De esta forma, podrás realizar tu propia formación y/o la formación de tus hermanos o hermanas menores, mientras aumenta el nivel de formación en el campo de la resolución de problemas.

Si no está familiarizado con las reglas para ingresar un trinomio cuadrático, le recomendamos que se familiarice con ellas.

Reglas para ingresar un polinomio cuadrático

Cualquier letra latina puede actuar como variable.
Por ejemplo: $x, y, z, a, b, c, o, p, q$, etc.

Los números se pueden ingresar como números enteros o fraccionarios.
Además, los números fraccionarios se pueden ingresar no solo como decimal, sino también como fracción ordinaria.

Reglas para ingresar fracciones decimales.
En fracciones decimales, la parte fraccionaria se puede separar de la parte entera mediante un punto o una coma.
Por ejemplo, puedes ingresar fracciones decimales como esta: 2,5x - 3,5x^2

Reglas para ingresar fracciones ordinarias.
Sólo un número entero puede actuar como numerador, denominador y parte entera de una fracción.

El denominador no puede ser negativo.

Al ingresar una fracción numérica, el numerador se separa del denominador mediante un signo de división: /
La parte entera está separada de la fracción por el signo comercial: &
Entrada: 3 y 1/3 - 5 y 6/5x +1/7x^2
Resultado: $3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2$

Al ingresar una expresión puedes usar paréntesis. En este caso, al resolver, primero se simplifica la expresión introducida.
Por ejemplo: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Ejemplo de una solución detallada

Aislando el cuadrado de un binomio.$$ hacha^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Respuesta:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Factorización.$$ hacha^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\izquierda(x^2+x-2 \derecha) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right ) \derecha) = $$ $$ 2 \izquierda(x -1 \derecha) \izquierda(x +2 \derecha) $$ Respuesta:$$2x^2+2x-4 = 2 \izquierda(x -1 \derecha) \izquierda(x +2 \derecha) $$

Decidir

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Un poco de teoría.

Aislar el cuadrado de un binomio de un trinomio cuadrado

Si el trinomio cuadrado ax 2 +bx+c se representa como a(x+p) 2 +q, donde p y q son números reales, entonces decimos que de trinomio cuadrado, se resalta el cuadrado del binomio.

Del trinomio 2x 2 +12x+14 extraemos el cuadrado del binomio.

$2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) $

Para hacer esto, imagina 6x como producto de 2*3*x, y luego suma y resta 3 2. Obtenemos:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Eso. Nosotros extraer el binomio cuadrado del trinomio cuadrado, y demostró que:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Factorizar un trinomio cuadrático

Si el trinomio cuadrado ax 2 +bx+c se representa en la forma a(x+n)(x+m), donde n y m son números reales, entonces se dice que la operación se ha realizado factorización de un trinomio cuadrático.

Demostremos con un ejemplo cómo se realiza esta transformación.

Factoricemos el trinomio cuadrático 2x 2 +4x-6.

Saquemos el coeficiente a de paréntesis, es decir 2:
$2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) $

Transformemos la expresión entre paréntesis.
Para hacer esto, imagine 2x como la diferencia 3x-1x y -3 como -1*3. Obtenemos:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Eso. Nosotros factorizó el trinomio cuadrático, y demostró que:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Tenga en cuenta que factorizar un trinomio cuadrático solo es posible si la ecuación cuadrática correspondiente a este trinomio tiene raíces.
Aquellos. en nuestro caso, es posible factorizar el trinomio 2x 2 +4x-6 si la ecuación cuadrática 2x 2 +4x-6 =0 tiene raíces. En el proceso de factorización establecimos que la ecuación 2x 2 + 4x-6 = 0 tiene dos raíces 1 y -3, porque con estos valores, la ecuación 2(x-1)(x+3)=0 se convierte en una verdadera igualdad.