En étudiant les propriétés des figures géométriques, nous avons prouvé un certain nombre de théorèmes. Ce faisant, nous nous sommes généralement appuyés sur des théorèmes précédemment prouvés. Sur quoi reposent les preuves des tout premiers théorèmes de géométrie ? La réponse à cette question est la suivante : certaines affirmations sur les propriétés des figures géométriques sont acceptées comme points de départ, sur la base desquels d'autres théorèmes sont prouvés et, en général, toute géométrie est construite. De telles positions initiales sont appelées axiomes.
Certains axiomes ont été formulés dès le premier chapitre (bien qu'ils n'y soient pas appelés axiomes). Par exemple, c'est un axiome selon lequel
De nombreux autres axiomes, bien que peu soulignés, ont en réalité été utilisés dans notre raisonnement. Ainsi, nous avons comparé deux segments en superposant un segment sur un autre. La possibilité d’un tel chevauchement découle de l’axiome suivant :
La comparaison de deux angles repose sur un axiome similaire :
Tous ces axiomes sont évidents et ne font aucun doute. Le mot « axiome » lui-même vient du grec « axios », qui signifie « précieux, digne ». Nous fournissons une liste complète des axiomes de planimétrie adoptés dans notre cours de géométrie à la fin du manuel.
Cette approche de la construction de la géométrie, lorsque les positions initiales - les axiomes - sont d'abord formulées, puis d'autres affirmations sont prouvées sur leur base par un raisonnement logique, trouve son origine dans l'Antiquité et a été décrite dans le célèbre ouvrage « Principes » du Grec ancien. le scientifique Euclide. Certains des axiomes d'Euclide (il en appelait certains postulats) et sont désormais utilisés dans les cours de géométrie, et la géométrie elle-même, présentée dans les « Éléments », est appelée Géométrie euclidienne. Dans le paragraphe suivant, nous ferons connaissance avec l’un des axiomes les plus célèbres de la géométrie.
Axiome des droites parallèles
Considérons une ligne droite arbitraire a et un point M qui ne s'y trouve pas (Fig. 110, a). Montrons que passant par le point M il est possible de tracer une droite parallèle à la droite a. Pour ce faire, tracez deux droites passant par le point M : d'abord la droite c perpendiculaire à la droite a, puis la droite b perpendiculaire à la droite c (Fig. 110, (b). Puisque les droites a et b sont perpendiculaires à droite c, elles sont parallèles.
Riz. 110
Ainsi, par le point M passe une droite b parallèle à la droite a. La question suivante se pose : est-il possible de tracer une autre droite passant par le point M, parallèle à la droite a ?
Il nous semble que si la droite b est « tournée » même d'un très petit angle autour du point M, alors elle coupera la droite a (ligne b" sur la figure 110.6). En d'autres termes, il nous semble que c'est impossible de tracer une autre droite passant par le point M (différente de b), parallèle à la droite a. Est-il possible de prouver cette affirmation ?
Cette question a une longue histoire. Les « Éléments » d’Euclide contiennent un postulat (le cinquième postulat d’Euclide), d’où il résulte que, passant par un point ne se trouvant pas sur une ligne donnée, une seule ligne droite peut être tracée parallèlement à celle donnée. De nombreux mathématiciens, dès l'Antiquité, ont tenté de prouver le cinquième postulat d'Euclide, c'est-à-dire de le dériver d'autres axiomes. Cependant, ces tentatives échouèrent à chaque fois. Et ce n'est qu'au siècle dernier qu'il a finalement été clarifié que l'affirmation sur l'unicité d'une ligne passant par un point donné parallèle à une ligne donnée ne peut pas être prouvée sur la base des axiomes restants d'Euclide, mais est elle-même un axiome.
Le grand mathématicien russe Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski (1792-1856) a joué un rôle majeur dans la résolution de cette question difficile.
Donc, comme autre point de départ, nous acceptons axiome des droites parallèles.
Les énoncés dérivés directement d'axiomes ou de théorèmes sont appelés conséquences. Par exemple, les énoncés 1 et 2 (voir p. 35) sont des conséquences du théorème sur la bissectrice d'un triangle isocèle.
Considérons quelques corollaires de l'axiome des droites parallèles.
En effet, que les droites a et b soient parallèles et que la droite c coupe la droite a au point M (Fig. 111, a). Montrons que la droite c coupe également la droite b. Si la droite c ne coupait pas la ligne b, alors deux droites (droites a et c) parallèles à la droite b passeraient par le point M (Fig. 111, b). Mais cela contredit l’axiome des lignes parallèles et, par conséquent, la ligne c coupe la ligne b.
Riz. 111
En effet, que les droites a et b soient parallèles à la droite c (Fig. 112, a). Montrons qu'un || b. Supposons que les droites a et b ne soient pas parallèles, c'est-à-dire qu'elles se coupent en un point M (Fig. 112.6). Puis deux droites passent par le point M (lignes a et b), parallèles à la droite c.
Riz. 112
Mais cela contredit l’axiome des droites parallèles. Par conséquent, notre hypothèse est incorrecte, ce qui signifie que les droites a et b sont parallèles.
Théorèmes sur les angles formés par deux droites parallèles et une transversale
Chaque théorème comporte deux parties : condition Et conclusion. La condition du théorème est ce qui est donné et la conclusion est ce qui doit être prouvé.
Considérons par exemple un théorème exprimant le critère de parallélisme de deux droites : si, lorsque deux droites se coupent avec une transversale, les angles couchés sont égaux, alors les droites sont parallèles.
Dans ce théorème, la condition est la première partie de l'énoncé : « lorsque deux droites se coupent transversalement, les angles couchés sont égaux » (cela est donné), et la conclusion est la deuxième partie : « les droites sont parallèles » (cela nécessite à prouver).
L'inverse de ce théorème, est un théorème dans lequel la condition est la conclusion du théorème, et la conclusion est la condition du théorème. Démontrons les théorèmes inverses aux trois théorèmes du paragraphe 25.
Théorème
Preuve
Supposons que les lignes parallèles a et b soient coupées par la sécante MN. Montrons que les angles transversaux, par exemple 1 et 2, sont égaux (Fig. 113).
Riz. 113
Supposons que les angles 1 et 2 ne soient pas égaux. Soustrayons au rayon MN un angle PMN égal à l'angle 2, de sorte que ∠PMN et ∠2 soient des angles transversaux à l'intersection des droites MR et b par la sécante MN. Par construction, ces angles croisés sont égaux, donc MR || b. Nous avons constaté que deux droites passent par le point M (droites a et MR) parallèles à la droite b. Mais cela contredit l’axiome des droites parallèles. Cela signifie que notre hypothèse est incorrecte et ∠1 = ∠2. Le théorème est prouvé.
Commentaire
Pour prouver ce théorème, nous avons utilisé une méthode de raisonnement appelée par preuve par contradiction.
Nous avons supposé que lorsque les droites parallèles a et b coupent transversalement la sécante MN, les angles couchés 1 et 2 ne sont pas égaux, c'est-à-dire que nous avons supposé le contraire de ce qui doit être prouvé. Partant de cette hypothèse, le raisonnement nous a amenés à une contradiction avec l'axiome des droites parallèles. Cela signifie que notre hypothèse est incorrecte et donc ∠1 = ∠2.
Cette façon de raisonner est souvent utilisée en mathématiques. Nous l'avons utilisé plus tôt, par exemple au paragraphe 12 pour prouver que deux droites perpendiculaires à une troisième ne se coupent pas. Nous avons utilisé la même méthode au paragraphe 28 pour prouver les corollaires 1 0 et 2 0 à partir de l'axiome des droites parallèles.
Conséquence
En effet, soit un || b, c ⊥ a, soit ∠1 = 90° (Fig. 114). La ligne c coupe la ligne a, elle coupe donc également la ligne b. Lorsque les lignes parallèles a et b coupent une transversale c, des angles transversaux égaux se forment : ∠1=∠2. Puisque ∠1 = 90°, alors ∠2 = 90°, c'est-à-dire c ⊥ b, ce qui devait être prouvé.
Riz. 114
Théorème
Preuve
Supposons que les droites parallèles a et b soient coupées par une sécante c. Montrons que les angles correspondants, par exemple 1 et 2, sont égaux (voir Fig. 102). Depuis un || b, alors les angles transversaux 1 et 3 sont égaux.
Les angles 2 et 3 sont égaux à la verticale. Des égalités ∠1 = ∠3 et ∠2 = ∠3 il s'ensuit que ∠1 = ∠2. Le théorème est prouvé.
Théorème
Preuve
Supposons que les droites parallèles a et b soient coupées par une sécante c (voir Fig. 102). Montrons par exemple que ∠1 + ∠4 = 180°. Depuis un || b, alors les angles correspondants 1 et 2 sont égaux. Les angles 2 et 4 sont adjacents, donc ∠2 + ∠4 = 180°. Des égalités ∠1 = ∠2 et ∠2 + ∠4 = 180° il s'ensuit que ∠1 + ∠4 = 180°. Le théorème est prouvé.
Commentaire
Si un certain théorème est prouvé, alors l’affirmation inverse ne suit pas. De plus, l’inverse n’est pas toujours vrai. Donnons un exemple simple. Nous savons que si les angles sont verticaux, alors ils sont égaux. L’affirmation inverse : « si les angles sont égaux, alors ils sont verticaux » est bien entendu fausse.
Angles à côtés respectivement parallèles ou perpendiculaires
Démontrons le théorème sur les angles ayant des côtés parallèles correspondants.
Théorème
Preuve
Soient ∠AOB et ∠A 1 O 1 B 1 les angles donnés et OA || O 1 UNE 1 , OB || Environ 1 sur 1. Si l'angle AOB est développé, alors l'angle A 1 O 1 B 1 est également développé (expliquez pourquoi), donc ces angles sont égaux. Soit ∠AOB un angle non développé. Des cas possibles de localisation des angles AOB et A 1 O 1 B 1 sont représentés sur la figure 115, a et b. La droite O 1 B 1 coupe la droite O 1 A 1 et, par conséquent, coupe la droite OA qui lui est parallèle en un point M. Les droites parallèles OB et O 1 B 1 sont coupées par la sécante OM, donc l'une des Les angles formés à l'intersection des droites O 1 B 1 et OA (angle 1 sur la figure 115), sont égaux à l'angle AOB (comme les angles transversaux). Les droites parallèles OA et O 1 A 1 sont coupées par la sécante O 1 M, donc soit ∠1 = ∠A 1 O 1 B 1 (Fig. 115, a), soit ∠1 + ∠A 1 O 1 B 1 = 180 ° (Fig. . 115, b). De l'égalité ∠1 = ∠AOB et des deux dernières égalités, il résulte que soit ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 (voir Fig. 115, a), soit ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180° ( voir Fig. 115, b). Le théorème est prouvé.
Riz. 115
Démontrons maintenant le théorème sur les angles dont les côtés sont perpendiculaires en conséquence.
Théorème
Preuve
Soit ∠AOB et ∠A 1 O 1 B 1 des angles donnés, OA ⊥ O 1 A 1 , OB ⊥ O 1 B 1 . Si l'angle AOB est inversé ou droit, alors l'angle A 1 O 1 B 1 est inversé ou droit (expliquez pourquoi), donc ces angles sont égaux. Soit ∠AOB< 180°, О ∉ О 1 А 1 , О ∉ О 1 В 1 (случаи О ∈ O 1 А 1 , О ∈ О 1 В 1 рассмотрите самостоятельно).
Deux cas sont possibles (Fig. 116).
1 0 . ∠AOB< 90° (см. рис. 116, а). Проведём луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными, а точки В и С лежали по разные стороны от прямой О А. Далее, проведём луч OD так, чтобы прямые ОВ и OD были взаимно перпендикулярными, а точки С и D лежали по одну сторону от прямой О А. Поскольку ∠AOB = 90° - ∠AOD и ∠COD = 90° - ∠AOD, то ∠AOB = ∠COD. Стороны угла COD соответственно параллельны сторонам угла А 1 О 1 В 1 (объясните почему), поэтому либо ∠COD = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠COD + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Следовательно, либо ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°.
2 0 . ∠AOB > 90° (voir Fig. 116, b). Traçons le rayon OS de telle sorte que l'angle AOS soit adjacent à l'angle AOB. L'angle AOC est aigu et ses côtés sont respectivement perpendiculaires aux côtés de l'angle A 1 O 1 B 1 . Par conséquent, soit ∠AOC + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°, soit ∠AOC = ∠A 1 O 1 B 1 . Dans le premier cas, ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1, dans le second cas, ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Le théorème est prouvé.
Tâches
196. Étant donné un triangle ABC. Combien de droites parallèles au côté AB peuvent être tracées passant par le sommet C ?
197. Quatre lignes droites sont tracées passant par un point ne se trouvant pas sur la ligne p. Combien de ces droites coupent la droite p ? Considérez tous les cas possibles.
198. Les lignes a et b sont perpendiculaires à la ligne p, la ligne c coupe la ligne a. La ligne c coupe-t-elle la ligne b ?
199. La droite p est parallèle au côté AB du triangle ABC. Montrer que les droites BC et AC coupent la droite p.
200. Dans la figure 117 AD || p et PQ || Soleil. Montrer que la droite p coupe les droites AB, AE, AC, BC et PQ.
Riz. 117
201. La somme des angles transversaux lorsque deux droites parallèles se coupent avec une transversale est égale à 210°. Trouvez ces angles.
202. Dans la figure 118, les lignes a, b et c sont coupées par la ligne d, ∠1 = 42°, ∠2 = 140°, ∠3 = 138°. Lesquelles des droites a, b et c sont parallèles ?
Riz. 118
203. Trouver tous les angles formés lorsque deux droites parallèles a et b se coupent avec une transversale c, si :
a) l'un des angles est de 150° ;
b) l'un des angles est 70° plus grand que l'autre.
204. Les extrémités du segment AB se trouvent sur des lignes parallèles a et b. La droite passant par le milieu O de ce segment coupe les droites a et b aux points C et D. Montrer que CO = OD.
205. En utilisant les données de la figure 119, trouvez ∠1.
Riz. 119
206. ∠ABC = 70° et ABCD = 110°. Les directs AB et CD peuvent-ils être :
a) parallèle ;
b) se croisant ?
207. Répondez aux questions du problème 206 si ∠ABC = 65° et ∠BCD = 105°.
208. La différence entre deux angles unilatéraux lorsque deux droites parallèles se coupent avec une transversale est de 50°. Trouvez ces angles.
209. Dans la figure 120 a || b, c || d, ∠4 = 45°. Trouvez les angles 1, 2 et 3.
Riz. 120
210. Deux corps P 1 et P 2 sont suspendus aux extrémités d'un fil jeté sur les blocs A et B (Fig. 121). Le troisième corps P 3 est suspendu au même fil au point C et équilibre les corps P 1 et P 2. (Dans ce cas, AP 1 || BP 2 || CP 3 .) Montrer que ∠ACB = ∠CAP 1 + ∠CBP 2 .
Riz. 121
211. Deux lignes parallèles sont coupées par une transversale. Montrer que : a) les bissectrices d'angles opposés sont parallèles ; b) les bissectrices des angles unilatéraux sont perpendiculaires.
212. Les droites contenant les altitudes AA 1 et BB 1 du triangle ABC se coupent au point H, l'angle B est obtus, ∠C = 20°. Trouvez l'angle ABB.
Réponses aux problèmes
196. Une ligne droite.
197. Trois ou quatre.
201. 105°, 105°.
203. b) Quatre angles font 55°, quatre autres angles font 125°.
206. a) Oui; b) oui.
207. a) Non; b) oui.
208. 115° et 65°.
209. ∠1 = 135°, ∠2 = 45°, ∠3=135°.
210. Instruction. Considérons le prolongement du faisceau CP 3.
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Complété par un élève de 7e année "G" MBOU "OK "Lycée n°3" Gavrilov Dmitry
Axiome
Vient du grec « axios », qui signifie « précieux, digne ». Une position acceptée sans preuve logique en raison d'un pouvoir de persuasion immédiat est la véritable position de départ de la théorie. (Dictionnaire encyclopédique soviétique)
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Axiome des lignes parallèles Complété par un élève de 7e année "G" MBOU "OK "Lycée n°3" Gavrilov Dmitry Année académique 2015-2016 (professeur Konareva T.N.)
Définitions et faits connus. Terminez la phrase. 1. La ligne x est appelée transversale par rapport aux lignes a et b si... 2. Lorsque deux lignes droites se coupent, une transversale forme... des angles non développés. 3. Si les lignes AB et C D sont coupées par la ligne B D, alors la ligne B D est appelée... 4. Si les points B et D se trouvent dans des demi-plans différents par rapport à la sécante AC, alors les angles BAC et DCA sont appelés... 5. Si les points B et D se trouvent dans un demi-plan par rapport à la sécante AC, alors les angles BAC et DCA sont appelés... 6. Si les angles intérieurs d'une paire sont égaux, alors les angles intérieurs de l'autre paire sont égaux... D C A C B D A B
Vérification de la tâche. 1. ... s'il les coupe en deux points 2. 8 3. ... sécant 4. ... couché en travers 5. ... unilatéral 6. ... égal
Correspondance a) a b m 1) a | | b, puisque les angles transversaux internes sont égaux b) 2) a | | b, puisque les angles correspondants sont égaux c) a b 3) a | | b, puisque la somme des angles internes unilatéraux est égale à 180° 50 º 130 º 45 º 45 º m a b m a 150 º 150º
À propos des axiomes de la géométrie
Axiome Vient du grec « axios », qui signifie « précieux, digne ». Une position acceptée sans preuve logique en raison d'un pouvoir de persuasion immédiat est la véritable position initiale de la théorie. Dictionnaire encyclopédique soviétique
Une ligne droite passe par deux points quelconques, et un seul. Combien de lignes droites peuvent être tracées passant par deux points quelconques situés sur un plan ?
Sur n'importe quel rayon, dès son début, on peut déposer un segment égal à celui donné, et, de plus, combien de segments d'une longueur donnée peut-on déposer depuis le début du rayon ?
À partir de n'importe quel rayon dans une direction donnée, il est possible de tracer un angle égal à un angle non développé donné, et un seul. Combien d'angles égaux à un angle donné peuvent être tracés d'un rayon donné à un demi-plan donné ?
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Axiome des droites parallèles
M a Montrons que passant par le point M il est possible de tracer une droite parallèle à la droite a c b a ┴ c b ┴ c a II c
Est-il possible de tracer une autre ligne passant par le point M parallèle à la ligne a ? a M en 1 Est-il possible de le prouver ?
De nombreux mathématiciens, depuis l’Antiquité, ont tenté de prouver cette affirmation, et dans les Éléments d’Euclide, cette affirmation est appelée le cinquième postulat. Les tentatives pour prouver le cinquième postulat d'Euclide ont échoué et ce n'est qu'au XIXe siècle qu'il a finalement été clarifié que l'affirmation sur l'unicité d'une ligne passant par un point donné parallèle à une ligne donnée ne peut pas être prouvée sur la base du reste des axiomes d'Euclide. , mais est en soi un axiome. Le mathématicien russe Nikolai Ivanovich Lobachevsky a joué un rôle important dans la résolution de ce problème.
Cinquième postulat d'Euclide 1792-1856 Nikolaï Ivanovitch
« Par un point ne se trouvant pas sur une droite donnée, passe une seule droite parallèle à la droite donnée. » « Par un point ne se trouvant pas sur une droite donnée, on peut tracer une droite parallèle à celle donnée. » Lequel de ces énoncés est un axiome ? En quoi les déclarations ci-dessus sont-elles différentes ?
Par un point ne se trouvant pas sur une droite donnée passe une seule droite parallèle à celle donnée. Les énoncés dérivés d'axiomes ou de théorèmes sont appelés corollaires 1. Si une droite coupe l'une des deux droites parallèles, alors elle coupe également l'autre. a II b , c b ⇒ c a Axiome du parallélisme et conséquences qui en découlent. a A Corollaire 2. Si deux droites sont parallèles à une troisième droite, alors elles sont parallèles. a II c, b II c a II b a b c c b
Consolidation des connaissances. Testez Marquez les déclarations correctes avec un signe «+» et les déclarations erronées avec un signe «-». Option 1 1. Un axiome est un énoncé mathématique sur les propriétés des figures géométriques qui nécessite une preuve. 2. Une ligne droite passe par deux points quelconques. 3. Sur n'importe quel rayon, depuis le début, vous pouvez tracer des segments égaux à celui donné, et autant que vous le souhaitez. 4. Par un point ne se trouvant pas sur une ligne donnée, une seule ligne parallèle à la ligne donnée passe. 5. Si deux droites sont parallèles à une troisième, alors elles sont parallèles entre elles. Option 2 1. Un axiome est un énoncé mathématique sur les propriétés des figures géométriques, accepté sans preuve. 2. Une ligne droite passe par deux points quelconques et un seul. 3. Par un point qui ne se trouve pas sur une droite donnée, ne passent que deux droites parallèles à la droite donnée. 4. Si une ligne coupe l’une des deux lignes parallèles, alors elle est perpendiculaire à l’autre ligne. 5. Si une ligne coupe l’une des deux lignes parallèles, elle coupe également l’autre.
Réponses au test Option 1 1. « - » 2. « - » 3. « - » 4. « + » 5. « + » Option 2 « + » « + » « - » « - » « + »
« La géométrie est pleine d’aventures car derrière chaque problème se cache une aventure de la pensée. Résoudre un problème, c’est vivre une aventure. (V. Proizvolov)
1. Si deux droites sont parallèles à une troisième droite, alors elles sont parallèles :
Si un||c Et b||c, Que un||b.
2. Si deux droites sont perpendiculaires à la troisième droite, alors elles sont parallèles :
Si un⊥c Et b⊥c, Que un||b.
Les autres signes de parallélisme des lignes sont basés sur les angles formés lorsque deux lignes droites coupent une troisième.
3. Si la somme des angles internes unilatéraux est de 180°, alors les droites sont parallèles :
Si ∠1 + ∠2 = 180°, alors un||b.
4. Si les angles correspondants sont égaux, alors les droites sont parallèles :
Si ∠2 = ∠4, alors un||b.
5. Si les angles transversaux internes sont égaux, alors les droites sont parallèles :
Si ∠1 = ∠3, alors un||b.
Propriétés des lignes parallèles
Les instructions inverses aux propriétés des lignes parallèles sont leurs propriétés. Ils sont basés sur les propriétés des angles formés par l’intersection de deux droites parallèles avec une troisième droite.
1. Lorsque deux droites parallèles coupent une troisième droite, la somme des angles internes unilatéraux formés par elles est égale à 180° :
Si un||b, alors ∠1 + ∠2 = 180°.
2. Lorsque deux droites parallèles coupent une troisième droite, les angles correspondants formés par elles sont égaux :
Si un||b, alors ∠2 = ∠4.
3. Lorsque deux droites parallèles coupent une troisième droite, les angles transversaux qu'elles forment sont égaux :
Si un||b, alors ∠1 = ∠3.
La propriété suivante est un cas particulier pour chacune des précédentes :
4. Si une ligne sur un plan est perpendiculaire à l'une des deux lignes parallèles, alors elle est également perpendiculaire à l'autre :
Si un||b Et c⊥un, Que c⊥b.
La cinquième propriété est l'axiome des droites parallèles :
5. Par un point ne se trouvant pas sur une ligne donnée, une seule ligne peut être tracée parallèlement à la ligne donnée.
