Dans cet article, nous examinerons le sujet " comparer des décimales" Tout d’abord, discutons du principe général de la comparaison de fractions décimales. Après cela, nous déterminerons quelles fractions décimales sont égales et lesquelles sont inégales. Ensuite, nous apprendrons à déterminer quelle fraction décimale est la plus grande et laquelle est la plus petite. Pour ce faire, nous étudierons les règles de comparaison des fractions finies, périodiques infinies et non périodiques infinies. Nous fournirons l'intégralité de la théorie avec des exemples avec des solutions détaillées. En conclusion, regardons la comparaison des fractions décimales avec les nombres naturels, les fractions ordinaires et les nombres fractionnaires.
Disons tout de suite qu'ici nous ne parlerons que de comparer des fractions décimales positives (voir nombres positifs et négatifs). Les cas restants sont discutés dans les articles comparaison des nombres rationnels et comparaison de nombres réels.
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Principe général de comparaison de fractions décimales
Sur la base de ce principe de comparaison, sont dérivées des règles de comparaison de fractions décimales qui permettent de se passer de convertir les fractions décimales comparées en fractions ordinaires. Nous discuterons de ces règles, ainsi que des exemples de leur application, dans les paragraphes suivants.
Un principe similaire est utilisé pour comparer des fractions décimales finies ou des fractions décimales périodiques infinies avec des nombres naturels, des fractions ordinaires et des nombres fractionnaires : les nombres comparés sont remplacés par leurs fractions ordinaires correspondantes, après quoi les fractions ordinaires sont comparées.
Concernant comparaisons de décimales non périodiques infinies, alors cela revient généralement à comparer des fractions décimales finies. Pour ce faire, considérons le nombre de signes des fractions décimales infinies non périodiques comparées qui permettent d'obtenir le résultat de la comparaison.
Décimales égales et inégales
Nous introduisons d'abord définitions des fractions décimales égales et inégales.
Définition.
Les deux fractions décimales finales sont appelées égal, si leurs fractions ordinaires correspondantes sont égales, sinon ces fractions décimales sont appelées inégal.
Sur la base de cette définition, il est facile de justifier l'affirmation suivante : si vous ajoutez ou supprimez plusieurs chiffres 0 à la fin d'une fraction décimale donnée, vous obtiendrez une fraction décimale égale à celle-ci. Par exemple, 0,3=0,30=0,300=… et 140,000=140,00=140,0=140.
En effet, ajouter ou supprimer un zéro à la fin d'une fraction décimale à droite correspond à multiplier ou diviser par 10 le numérateur et le dénominateur de la fraction ordinaire correspondante. Et nous connaissons la propriété fondamentale d’une fraction, selon laquelle multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur d’une fraction par le même nombre naturel donne une fraction égale à celle d’origine. Cela prouve que l'ajout ou la suppression de zéros à droite dans la partie fractionnaire d'une fraction décimale donne une fraction égale à celle d'origine.
Par exemple, la fraction décimale 0,5 correspond à la fraction commune 5/10, après avoir ajouté un zéro à droite, correspond la fraction décimale 0,50, qui correspond à la fraction commune 50/100, et. Ainsi, 0,5=0,50. A l'inverse, si dans la fraction décimale 0,50 on écarte 0 à droite, alors on obtient la fraction 0,5, donc de la fraction ordinaire 50/100 on arrive à la fraction 5/10, mais 
. Donc 0,50=0,5.
Passons à détermination de fractions décimales périodiques infinies égales et inégales.
Définition.
Deux fractions périodiques infinies égal, si les fractions ordinaires correspondantes sont égales ; si les fractions ordinaires qui leur correspondent ne sont pas égales, alors les fractions périodiques comparées le sont également pas égal.
Trois conclusions découlent de cette définition :
- Si les notations des fractions décimales périodiques coïncident complètement, alors ces fractions décimales périodiques infinies sont égales. Par exemple, les décimales périodiques 0,34(2987) et 0,34(2987) sont égales.
- Si les périodes des fractions périodiques décimales comparées commencent à partir de la même position, la première fraction a une période de 0, la seconde a une période de 9 et la valeur du chiffre précédant la période 0 est supérieure de un à la valeur du chiffre période précédente 9, alors ces fractions décimales périodiques infinies sont égales. Par exemple, les fractions périodiques 8,3(0) et 8,2(9) sont égales, et les fractions 141,(0) et 140,(9) sont également égales.
- Deux autres fractions périodiques ne sont pas égales. Voici des exemples de fractions décimales périodiques infinies inégales : 9,0(4) et 7,(21), 0,(12) et 0,(121), 10,(0) et 9,8(9).
Il reste à traiter fractions décimales infinies non périodiques égales et inégales. Comme on le sait, de telles fractions décimales ne peuvent pas être converties en fractions ordinaires (ces fractions décimales représentent des nombres irrationnels), donc la comparaison de fractions décimales non périodiques infinies ne peut pas être réduite à la comparaison de fractions ordinaires.
Définition.
Deux décimales infinies non périodiques égal, si leurs enregistrements correspondent complètement.
Mais il y a une mise en garde : il est impossible de voir l'enregistrement « fini » de fractions décimales non périodiques sans fin, il est donc impossible d'être sûr de la coïncidence complète de leurs enregistrements. Comment est-ce possible ?
Lors de la comparaison de fractions décimales non périodiques infinies, seul un nombre fini de signes des fractions comparées est pris en compte, ce qui permet de tirer les conclusions nécessaires. Ainsi, la comparaison de fractions décimales non périodiques infinies se réduit à la comparaison de fractions décimales finies.
Avec cette approche, on ne peut parler de l'égalité de fractions décimales infinies non périodiques que jusqu'au chiffre en question. Donnons des exemples. Les décimales infinies non périodiques 5,45839... et 5,45839... sont égales aux cent millièmes les plus proches, puisque les décimales finies 5,45839 et 5,45839 sont égales ; les fractions décimales non périodiques 19,54... et 19,54810375... sont égales au centième le plus proche, puisqu'elles sont égales aux fractions 19,54 et 19,54.
Avec cette approche, l'inégalité des fractions décimales infinies non périodiques est établie de manière assez définitive. Par exemple, les décimales infinies non périodiques 5,6789... et 5,67732... ne sont pas égales, car les différences dans leurs notations sont évidentes (les décimales finies 5,6789 et 5,6773 ne sont pas égales). Les décimales infinies 6,49354... et 7,53789... ne sont pas non plus égales.
Règles de comparaison de fractions décimales, exemples, solutions
Après avoir établi que deux fractions décimales sont inégales, il faut souvent savoir laquelle de ces fractions est la plus grande et laquelle est inférieure à l'autre. Voyons maintenant les règles de comparaison des fractions décimales, nous permettant de répondre à la question posée.
Dans de nombreux cas, il suffit de comparer des parties entières des fractions décimales comparées. Ce qui suit est vrai règle pour comparer les décimales: plus grande est la fraction décimale dont la partie entière est plus grande, et moins est la fraction décimale dont la partie entière est inférieure.
Cette règle s'applique aux fractions décimales finies et infinies. Regardons les solutions aux exemples.
Exemple.
Comparez les décimales 9,43 et 7,983023….
Solution.
Évidemment, ces décimales ne sont pas égales. La partie entière de la fraction décimale finie 9,43 est égale à 9, et la partie entière de la fraction infinie non périodique 7,983023... est égale à 7. Depuis 9>7 (voir comparaison des nombres naturels), alors 9,43>7,983023.
Répondre:
9,43>7,983023 .
Exemple.
Quelle fraction décimale 49,43(14) et 1045,45029... est la plus petite ?
Solution.
La partie entière de la fraction périodique 49,43(14) est inférieure à la partie entière de la fraction décimale non périodique infinie 1045,45029..., donc 49,43(14)<1 045,45029… .
Répondre:
49,43(14) .
Si les parties entières des fractions décimales comparées sont égales, alors pour savoir laquelle d'entre elles est la plus grande et laquelle est la plus petite, vous devez comparer les parties fractionnaires. La comparaison des parties fractionnaires des fractions décimales s'effectue petit à petit- du rang des dixièmes aux inférieurs.
Tout d’abord, regardons un exemple de comparaison de deux fractions décimales.
Exemple.
Comparez les décimales finales 0,87 et 0,8521.
Solution.
Les parties entières de ces fractions décimales sont égales (0=0), passons donc à la comparaison des parties fractionnaires. Les valeurs des dixièmes sont égales (8=8), et la valeur des centièmes de la fraction est supérieure de 0,87 à la valeur des centièmes de la fraction 0,8521 (7>5). Donc 0,87>0,8521.
Répondre:
0,87>0,8521 .
Parfois, afin de comparer des fractions décimales finales avec différents nombres de décimales, les fractions avec moins de décimales doivent être ajoutées à un certain nombre de zéros à droite. Il est assez pratique d'égaliser le nombre de décimales avant de commencer à comparer les fractions décimales finales en ajoutant un certain nombre de zéros à droite de l'une d'entre elles.
Exemple.
Comparez les décimales finales 18.00405 et 18.0040532.
Solution.
Évidemment, ces fractions sont inégales, puisque leurs notations sont différentes, mais en même temps elles ont des parties entières égales (18 = 18).
Avant la comparaison bit à bit des parties fractionnaires de ces fractions, nous égalisons le nombre de décimales. Pour ce faire, on ajoute deux chiffres 0 à la fin de la fraction 18,00405, et on obtient une fraction décimale égale 18,0040500.
Les valeurs des décimales des fractions 18.0040500 et 18.0040532 sont égales jusqu'au cent millième, et la valeur de la millionième place de la fraction 18.0040500 est inférieure à la valeur de la place correspondante de la fraction 18.0040532 (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .
Répondre:
18,00405<18,0040532 .
Lors de la comparaison d'une fraction décimale finie avec une fraction infinie, la fraction finie est remplacée par une fraction périodique infinie égale avec une période de 0, après quoi une comparaison est effectuée par chiffre.
Exemple.
Comparez le nombre décimal fini 5,27 avec le nombre décimal infini non périodique 5,270013... .
Solution.
Les parties entières de ces fractions décimales sont égales. Les valeurs des dixièmes et centièmes de ces fractions sont égales, et afin d'effectuer une comparaison plus approfondie, nous remplaçons la fraction décimale finie par une fraction périodique infinie égale de période 0 de la forme 5,270000.... Jusqu'à la cinquième décimale, les valeurs des décimales 5,270000... et 5,270013... sont égales, et à la cinquième décimale nous avons 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .
Répondre:
5,27<5,270013… .
La comparaison de fractions décimales infinies est également effectuée par endroits, et se termine dès que les valeurs de certains chiffres s'avèrent différentes.
Exemple.
Comparez les décimales infinies 6,23(18) et 6,25181815….
Solution.
Les parties entières de ces fractions sont égales et les dixièmes de position sont également égales. Et la valeur des centièmes d'une fraction périodique 6,23(18) est inférieure aux centièmes d'une fraction décimale non périodique infinie 6,25181815..., donc, 6,23(18)<6,25181815… .
Répondre:
6,23(18)<6,25181815… .
Exemple.
Laquelle des décimales périodiques infinies 3,(73) et 3,(737) est la plus grande ?
Solution.
Il est clair que 3,(73)=3.73737373... et 3,(737)=3.737737737... . À la quatrième décimale, la comparaison au niveau du bit se termine, puisque nous avons là 3<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .
Répondre:
3,(737) .
Comparez les nombres décimaux avec les nombres naturels, les fractions et les nombres fractionnaires.
Le résultat de la comparaison d'une fraction décimale avec un nombre naturel peut être obtenu en comparant la partie entière d'une fraction donnée avec un nombre naturel donné. Dans ce cas, les fractions périodiques avec des périodes de 0 ou 9 doivent d'abord être remplacées par des fractions décimales finies qui leur sont égales.
Ce qui suit est vrai règle pour comparer les fractions décimales et les nombres naturels: si la partie entière d'une fraction décimale est inférieure à un nombre naturel donné, alors la fraction entière est inférieure à cet nombre naturel ; si la partie entière d'une fraction est supérieure ou égale à un nombre naturel donné, alors la fraction est supérieure à l'entier naturel donné.
Regardons des exemples d'application de cette règle de comparaison.
Exemple.
Comparez l'entier naturel 7 avec la fraction décimale 8,8329….
Solution.
Puisqu’un nombre naturel donné est inférieur à la partie entière d’une fraction décimale donnée, alors ce nombre est inférieur à une fraction décimale donnée.
Répondre:
7<8,8329… .
Exemple.
Comparez l'entier naturel 7 et la fraction décimale 7.1.
3.4 Ordre correct
Dans la section précédente, nous avons comparé les nombres selon leur position sur la droite numérique. C'est un bon moyen de comparer les grandeurs des nombres en notation décimale. Cette méthode fonctionne toujours, mais elle prend du temps et n’est pas pratique à appliquer chaque fois que vous devez comparer deux nombres. Il existe un autre bon moyen de savoir lequel des deux nombres est le plus grand.
Exemple A.
Regardons les chiffres de la section précédente et comparons 0,05 et 0,2.
Pour savoir quel nombre est le plus grand, comparez d’abord leurs parties entières. Les deux nombres de notre exemple ont un nombre égal d’entiers – 0. Comparons ensuite leurs dixièmes. Le nombre 0,05 a 0 dixième et le nombre 0,2 a 2 dixièmes. Le fait que le nombre 0,05 ait 5 centièmes n'a pas d'importance, puisque les dixièmes déterminent que le nombre 0,2 est plus grand. On peut ainsi écrire :
Les deux nombres ont 0 nombre entier et 6 dixièmes, et nous ne pouvons pas encore déterminer lequel est le plus grand. Cependant, le nombre 0,612 n'a qu'un centième et le nombre 0,62 en a deux. On peut alors déterminer que
0,62 > 0,612
Le fait que le nombre 0,612 ait 2 millièmes n'a pas d'importance, il est toujours inférieur à 0,62.
Nous pouvons illustrer cela par l’image :
|
0,612 | |||
 |
0,62 | |||
Afin de déterminer lequel des deux nombres en notation décimale est le plus grand, vous devez procéder comme suit :
1. Comparez des pièces entières. Le nombre dont la partie entière est plus grande sera plus grand.
2 . Si les parties entières sont égales, comparez les dixièmes parties. Le nombre avec plus de dixièmes sera plus grand.
3 . Si les dixièmes sont égaux, comparez les centièmes. Le nombre qui contient plus de centièmes sera plus grand.
4 . Si les centièmes sont égaux, comparez les millièmes. Le nombre qui contient plus de parties pour mille sera plus grand.
Une fraction décimale doit contenir une virgule. La partie numérique de la fraction située à gauche de la virgule décimale est appelée partie entière ; à droite - fractionnaire :
5.28 5 - partie entière 28 - partie fractionnaire
La partie fractionnaire d'un nombre décimal est constituée de décimales(places décimales) :
- dixièmes - 0,1 (un dixième);
- centièmes - 0,01 (un centième);
- millièmes - 0,001 (un millième) ;
- dix millièmes - 0,0001 (un dix millième) ;
- cent millièmes - 0,00001 (cent millièmes) ;
- millionièmes - 0,000001 (un millionième) ;
- dix millionièmes - 0,0000001 (un dix millionième) ;
- cent millionièmes - 0,00000001 (cent millionièmes) ;
- milliardièmes - 0,000000001 (un milliardième), etc.
- lisez le nombre qui compose toute la partie de la fraction et ajoutez le mot " entier";
- lisez le nombre qui constitue la partie fractionnaire de la fraction et ajoutez le nom du chiffre le moins significatif.
Par exemple:
- 0,25 - zéro virgule vingt-cinq centièmes ;
- 9.1 - neuf virgule un dixième ;
- 18.013 - dix-huit virgule treize millièmes ;
- 100.2834 - cent virgule deux mille huit cent trente-quatre dix millièmes.
Écrire des décimales
Pour écrire une fraction décimale :
- notez toute la partie de la fraction et mettez une virgule (le nombre signifiant toute la partie de la fraction se termine toujours par le mot " entier");
- écrivez la partie fractionnaire de la fraction de manière à ce que le dernier chiffre tombe dans le chiffre souhaité (s'il n'y a pas de chiffres significatifs à certaines décimales, ils sont remplacés par des zéros).
Par exemple:
- vingt virgule neuf - 20,9 - dans cet exemple tout est simple ;
- cinq virgule un centième - 5,01 - le mot « centième » signifie qu'il doit y avoir deux chiffres après la virgule décimale, mais comme le chiffre 1 n'a pas de dixième place, il est remplacé par zéro ;
- zéro virgule huit cent huit millièmes - 0,808 ;
- trois virgule quinze dixièmes - une telle fraction décimale ne peut pas être écrite, car il y a eu une erreur dans la prononciation de la partie fractionnaire - le nombre 15 contient deux chiffres et le mot « dixièmes » n'en implique qu'un. Correct serait trois virgule quinze centièmes (ou millièmes, dix millièmes, etc.).
Comparaison des décimales
La comparaison des fractions décimales s'effectue de la même manière que la comparaison des nombres naturels.
- d'abord, les parties entières des fractions sont comparées - la fraction décimale dont la partie entière est la plus grande sera la plus grande ;
- si les parties entières des fractions sont égales, comparez les parties fractionnaires petit à petit, de gauche à droite, en commençant par la virgule décimale : dixièmes, centièmes, millièmes, etc. La comparaison est effectuée jusqu'au premier écart - plus grande sera la fraction décimale qui a un chiffre inégal plus grand dans le chiffre correspondant de la partie fractionnaire. Par exemple : 1,2 8 3 > 1,27 9, car à la place des centièmes, la première fraction en a 8 et la seconde en a 7.
Une fraction décimale diffère d'une fraction ordinaire en ce que son dénominateur est une valeur de position.
Par exemple:
Les fractions décimales sont séparées des fractions ordinaires sous une forme distincte, ce qui a conduit à leurs propres règles pour comparer, additionner, soustraire, multiplier et diviser ces fractions. En principe, vous pouvez travailler avec des fractions décimales en utilisant les règles des fractions ordinaires. Les propres règles de conversion de fractions décimales simplifient les calculs, et les règles de conversion de fractions ordinaires en décimales, et vice versa, servent de lien entre ces types de fractions.
Écrire et lire des fractions décimales permet de les écrire, de les comparer et d'effectuer des opérations sur elles selon des règles très similaires aux règles des opérations sur les nombres naturels.
Le système des fractions décimales et de leurs opérations a été décrit pour la première fois au XVe siècle. Le mathématicien et astronome de Samarkand Dzhemshid ibn-Masudal-Kashi dans le livre « La clé de l'art de compter ».
La partie entière de la fraction décimale est séparée de la partie fractionnaire par une virgule ; dans certains pays (les USA), ils mettent un point. Si une fraction décimale n'a pas de partie entière, alors le nombre 0 est placé avant la virgule décimale.
Vous pouvez ajouter n'importe quel nombre de zéros à la partie fractionnaire de la décimale de droite ; cela ne change pas la valeur de la fraction. La partie fractionnaire d'une décimale est lue au dernier chiffre significatif.
Par exemple:
0,3 - trois dixièmes
0,75 - soixante-quinze centièmes
0,000005 - cinq millionièmes.
Lire la partie entière d’un nombre décimal revient à lire des nombres naturels.
Par exemple:
27,5 - vingt-sept... ;
1,57 - un...
Après la partie entière de la fraction décimale, le mot « entier » est prononcé.
Par exemple:
10,7 - dix virgule sept
0,67 - zéro virgule soixante-sept centièmes.
Les décimales sont les chiffres de la partie fractionnaire. La partie fractionnaire n'est pas lue par des chiffres (contrairement aux nombres naturels), mais dans son ensemble, donc la partie fractionnaire d'une fraction décimale est déterminée par le dernier chiffre significatif à droite. Le système de valeur de position de la partie fractionnaire de la décimale est quelque peu différent de celui des nombres naturels.
- 1er chiffre après occupé - chiffre des dixièmes
- 2ème décimale - centième
- 3ème décimale - millième
- 4ème décimale - dix millième
- 5ème décimale - cent millième
- 6ème décimale - millionième place
- La 7ème décimale est la dix millionième position
- La 8ème décimale est la cent millionième position
Les trois premiers chiffres sont le plus souvent utilisés dans les calculs. La grande capacité numérique de la partie fractionnaire des décimales n'est utilisée que dans des branches spécifiques de la connaissance où des quantités infinitésimales sont calculées.
Conversion d'un nombre décimal en fraction mixte se compose de ce qui suit : le nombre avant la virgule décimale s'écrit comme une partie entière de la fraction mixte ; le nombre après la virgule décimale est le numérateur de sa partie fractionnaire, et au dénominateur de la partie fractionnaire, écrivez une unité avec autant de zéros qu'il y a de chiffres après la virgule décimale.
