Que sont les expressions identiques ? Transformations identitaires

§ 2. Expressions identiques, identité. Transformation identique d'une expression. Preuves d'identité

Trouvons les valeurs des expressions 2(x - 1) 2x - 2 pour les valeurs données de la variable x. Écrivons les résultats dans le tableau :

On peut conclure que les valeurs des expressions 2(x - 1) 2x - 2 pour chaque valeur donnée de la variable x sont égales entre elles. D'après la propriété distributive de multiplication par rapport à la soustraction, 2(x - 1) = 2x - 2. Par conséquent, pour toute autre valeur de la variable x, la valeur de l'expression 2(x - 1) 2x - 2 sera également égaux les uns aux autres. De telles expressions sont appelées identiquement égales.

Par exemple, les expressions 2x + 3x et 5x sont des synonymes, puisque pour chaque valeur de la variable x ces expressions acquièrent les mêmes valeurs (cela découle de la propriété distributive de multiplication par rapport à l'addition, puisque 2x + 3x = 5x).

Considérons maintenant les expressions 3x + 2y et 5xy. Si x = 1 et b = 1, alors les valeurs correspondantes de ces expressions sont égales entre elles :

3x + 2y =3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 =5 ; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Cependant, vous pouvez spécifier des valeurs de x et y pour lesquelles les valeurs de ces expressions ne seront pas égales entre elles. Par exemple, si x = 2 ; y = 0, alors

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

Par conséquent, il existe des valeurs des variables pour lesquelles les valeurs correspondantes des expressions 3x + 2y et 5xy ne sont pas égales entre elles. Par conséquent, les expressions 3x + 2y et 5xy ne sont pas identiques.

Sur la base de ce qui précède, les identités, en particulier, sont les égalités : 2(x - 1) = 2x - 2 et 2x + 3x = 5x.

Une identité est toute égalité qui décrit les propriétés connues des opérations sur les nombres. Par exemple,

une + b = b + une ; (une + b) + c = une + (b + c) ; une(b + c) = un + un ac;

ab = ba; (ab)c = a(bc); une(b - c) = ab - ac.

Les identités incluent les égalités suivantes :

une + 0 = une ; une ∙ 0 = 0 ; une ∙ (-b) = -ab;

une + (-une) = 0 ; une ∙ 1 = une ; une ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Si l'on combine des termes similaires dans l'expression -5x + 2x - 9, on obtient que 5x + 2x - 9 = 7x - 9. Dans ce cas, on dit que l'expression 5x + 2x - 9 a été remplacée par l'expression identique 7x - 9.

Des transformations identiques d'expressions avec des variables sont effectuées en utilisant les propriétés des opérations sur les nombres. En particulier, des transformations identiques avec des parenthèses ouvrantes, la construction de termes similaires, etc.

Des transformations identiques doivent être effectuées lors de la simplification d'une expression, c'est-à-dire en remplaçant une certaine expression par une expression identiquement égale, ce qui devrait raccourcir la notation.

Exemple 1. Simplifiez l'expression :

1) -0,3m ∙ 5n ;

2) 2(3x - 4) + 3(-4x + 7) ;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 mn ;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13 ;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - UN + 2 b + 3 b - UN= 3a + 5b + 2.

Pour prouver que l'égalité est une identité (en d'autres termes, pour prouver l'identité, des transformations identiques d'expressions sont utilisées.

Vous pouvez prouver votre identité de l'une des manières suivantes :

• effectuer des transformations identiques sur son côté gauche, le réduisant ainsi à la forme du côté droit ;
• effectuer des transformations identiques sur son côté droit, le réduisant ainsi à la forme du côté gauche ;
• effectuer des transformations identiques sur ses deux parties, élevant ainsi les deux parties aux mêmes expressions.

Exemple 2. Prouver l'identité :

1) 2x - (x + 5) - 11 = x - 16 ;

2) 206 - 4a = 5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) ;

3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.

R a s i z a n i .

1) Transformez le côté gauche de cette égalité :

2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.

Grâce à des transformations identitaires, l'expression du côté gauche de l'égalité a été réduite à la forme du côté droit et a ainsi prouvé que cette égalité est une identité.

2) Transformez le côté droit de cette égalité :

5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10a - 15 b - 14a + 35 b= 20b - 4a.

Grâce à des transformations identitaires, le côté droit de l'égalité a été réduit à la forme du côté gauche et a ainsi prouvé que cette égalité est une identité.

3) Dans ce cas, il convient de simplifier à la fois les côtés gauche et droit de l'égalité et de comparer les résultats :

2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 = 26x - 44 ;

13(2x - 5) + 21 = 26x - 65 + 21 = 26x - 44.

Par des transformations identiques, les côtés gauche et droit de l'égalité ont été réduits à la même forme : 26x - 44. Cette égalité est donc une identité.

Quelles expressions sont dites identiques ? Donnez un exemple d’expressions identiques. Quel genre d’égalité s’appelle identité ? Donnez un exemple d’identité. Qu’appelle-t-on une transformation identitaire d’une expression ? Comment prouver son identité ?

1. (Verbalement) Ou il y a des expressions qui sont identiquement égales :

1) 2a + a et 3a ;

2) 7x + 6 et 6 + 7x ;

3) x + x + x et x 3 ;

4) 2(x - 2) et 2x - 4 ;

5) m - n et n - m ;

6) 2a ∙ p et 2p ∙ a ?

1. Les expressions sont-elles identiques :

1) 7x - 2x et 5x ;

2) 5a - 4 et 4 - 5a ;

3) 4m + n et n + 4m ;

4) a + a et a 2 ;

5) 3(a - 4) et 3a - 12 ;

6) 5m ∙ n et 5m + n ?

1. (Verbalement) est l'égalité identitaire de Lee :

1) 2a + 106 = 12ab ;

2) 7р - 1 = -1 + 7р ;

3) 3(x - y) = 3x - 5 ans ?

1. Développez les parenthèses :

1. Développez les parenthèses :

1. Combinez des termes similaires :

1. Nommez plusieurs expressions identiques à l’expression 2a + 3a.
2. Simplifiez l'expression en utilisant les propriétés de permutation et de connexion de la multiplication :

1) -2,5 x ∙ 4 ;

2) 4р ∙ (-1,5);

3) 0,2 x ∙ (0,3 g) ;

4)-x ∙<-7у).

1. Simplifiez l'expression :

1) -2р ∙ 3,5 ;

2) 7a ∙ (-1,2) ;

3) 0,2 x ∙ (-3 ans) ;

4) - 1 m ∙ (-3n).

1. (Oral) Simplifiez l’expression :

1) 2x - 9 + 5x ;

2) 7a - 3b + 2a + 3b ;

4) 4a ∙ (-2b).

1. Combinez des termes similaires :

1) 56 - 8a + 4b - a ;

2) 17 - 2p + 3p + 19 ;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b ;

4) 5 - 7 s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.

1) 4(5x - 7) + 3x + 13 ;

2) 2(7-9a) - (4-18a) ;

3) 3(2р - 7) - 2(r - 3);

4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).

1. Ouvrez les parenthèses et combinez des termes similaires :

1) 3(8a - 4) + 6a ;

2) 7p - 2(3p - 1);

3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7) ;

4) 3(5m-7) - (15m-2).

1) 0,6 x + 0,4(x - 20), si x = 2,4 ;

2) 1,3(2a - 1) - 16,4, si a = 10 ;

3) 1,2(m - 5) - 1,8(10 - m), si m = -3,7 ;

4) 2x - 3(x + y) + 4y, si x = -1, y = 1.

1. Simplifiez l’expression et trouvez son sens :

1) 0,7 x + 0,3(x - 4), si x = -0,7 ;

2) 1,7(y - 11) - 16,3, si b = 20 ;

3) 0,6(2a - 14) - 0,4(5a - 1), si a = -1 ;

4) 5(m - n) - 4m + 7n, si m = 1,8 ; n = -0,9.

1. Prouvez l’identité :

1) -(2x - y)=y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2 ;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x ;

4) c - 2 = 5(c + 2) - 4(c + 3).

1. Prouvez l’identité :

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14 ;

3) 5a = 3(une - 4) + 2(une + 6) ;

4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.

1. La longueur de l'un des côtés du triangle est de 1 cm et la longueur de chacun des deux autres côtés est supérieure de 2 cm. Notez le périmètre du triangle sous forme d'expression et simplifiez l'expression.
2. La largeur du rectangle est de x cm et la longueur est supérieure de 3 cm à la largeur. Notez le périmètre du rectangle sous forme d'expression et simplifiez l'expression.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4р - (3р - (2р - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6a - b) - (4a – 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

1. Ouvrez les parenthèses et simplifiez l'expression :

1) une - (une - (3a - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5 ans - (6 ans - (7 ans - (8 ans - 1)));

6) (2,1 a - 2,8 b) - (1a – 1b).

1. Prouvez l’identité :

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) -(- 3p) - (-(8 - 5p)) = 2(4 - r);

3) 3(une - b - c) + 5(une - b) + 3c = 8(une - b).

1. Prouvez l’identité :

1) 12a - ((8a - 16)) = -4(4 - 5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

1. Prouver que le sens de l'expression

1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) ne dépend pas de la valeur de la variable.

1. Montrer que pour toute valeur de la variable la valeur de l'expression

une - (une - (5a + 2)) - 5(une - 8)

est le même numéro.

1. Montrer que la somme de trois nombres pairs consécutifs est divisible par 6.
2. Montrer que si n est un nombre naturel, alors la valeur de l'expression -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) est un nombre pair.

Exercices à répéter

1. Un alliage pesant 1,6 kg contient 15 % de cuivre. Combien de kg de cuivre contient cet alliage ?
2. Quel pourcentage est le nombre 20 de son :

1) carré ;

1. Le touriste a marché pendant 2 heures et fait du vélo pendant 3 heures. Au total, le touriste a parcouru 56 km. Trouvez la vitesse à laquelle le touriste roulait à vélo, si elle est supérieure de 12 km/h à la vitesse à laquelle il marchait.

Tâches intéressantes pour les étudiants paresseux

1. 11 équipes participent au championnat de football de la ville. Chaque équipe joue un match contre l'autre. Prouver qu'à tout moment de la compétition il existe une équipe qui aura joué un nombre pair de matchs à ce moment-là ou qui n'en a pas encore joué.

Après avoir traité du concept d’identités, nous pouvons passer à l’étude d’expressions identiquement égales. Le but de cet article est d'expliquer de quoi il s'agit et de montrer avec des exemples quelles expressions seront identiquement égales aux autres.

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Expressions identiquement égales : définition

Le concept d'expressions identiquement égales est généralement étudié avec le concept d'identité lui-même dans le cadre d'un cours d'algèbre scolaire. Voici la définition de base tirée d’un manuel :

Définition 1

Identiquement égal les unes aux autres, il y aura de telles expressions dont les valeurs seront les mêmes pour toutes les valeurs possibles des variables incluses dans leur composition.

De plus, les expressions numériques qui correspondront aux mêmes valeurs sont considérées comme identiques.

Il s'agit d'une définition assez large qui sera vraie pour toutes les expressions entières dont le sens ne change pas lorsque les valeurs des variables changent. Cependant, plus tard, il devient nécessaire de clarifier cette définition, car en plus des nombres entiers, il existe d'autres types d'expressions qui n'auront aucun sens avec certaines variables. Cela donne naissance à la notion d'admissibilité et d'inadmissibilité de certaines valeurs variables, ainsi qu'à la nécessité de déterminer la plage de valeurs admissibles. Formulons une définition affinée.

Définition 2

Expressions identiquement égales– ce sont les expressions dont les valeurs sont égales les unes aux autres pour toutes les valeurs admissibles des variables incluses dans leur composition. Les expressions numériques seront identiques les unes aux autres à condition qu’elles aient les mêmes valeurs.

L'expression « pour toutes les valeurs valides des variables » indique toutes les valeurs des variables pour lesquelles les deux expressions auront un sens. Nous expliquerons ce point plus tard lorsque nous donnerons des exemples d’expressions identiquement égales.

Vous pouvez également fournir la définition suivante :

Définition 3

Les expressions identiquement égales sont des expressions situées dans la même identité à gauche et à droite.

Exemples d'expressions identiques les unes aux autres

En utilisant les définitions données ci-dessus, examinons quelques exemples de telles expressions.

Commençons par les expressions numériques.

Exemple 1

Ainsi, 2 + 4 et 4 + 2 seront identiques entre eux, puisque leurs résultats seront égaux (6 et 6).

Exemple 2

De la même manière, les expressions 3 et 30 sont identiques : 10, (2 2) 3 et 2 6 (pour calculer la valeur de la dernière expression il faut connaître les propriétés du degré).

Exemple 3

Mais les expressions 4 - 2 et 9 - 1 ne seront pas égales, puisque leurs valeurs sont différentes.

Passons aux exemples d'expressions littérales. a + b et b + a seront identiquement égaux, et cela ne dépend pas des valeurs des variables (l'égalité des expressions dans ce cas est déterminée par la propriété commutative d'addition).

Exemple 4

Par exemple, si a est égal à 4 et b est égal à 5, alors les résultats seront toujours les mêmes.

Un autre exemple d'expressions identiques avec des lettres est 0 · x · y · z et 0 . Quelles que soient les valeurs des variables dans ce cas, multipliées par 0, elles donneront 0. Les expressions inégales sont 6 · x et 8 · x, puisqu'elles ne seront égales pour aucun x.

Dans le cas où les zones de valeurs admissibles des variables coïncident, par exemple, dans les expressions a + 6 et 6 + a ou a · b · 0 et 0, ou x 4 et x, et les valeurs de les expressions elles-mêmes sont égales pour toutes les variables, alors ces expressions sont considérées comme identiques. Ainsi, a + 8 = 8 + a pour toute valeur de a, et a · b · 0 = 0 également, puisque multiplier n'importe quel nombre par 0 donne 0. Les expressions x 4 et x seront identiquement égales pour tout x de l'intervalle [ 0 , + ∞) .

Mais la plage de valeurs valides dans une expression peut être différente de la plage d'une autre.

Exemple 5

Par exemple, prenons deux expressions : x − 1 et x - 1 · x x. Pour le premier d'entre eux, la plage des valeurs admissibles de x sera l'ensemble complet des nombres réels, et pour le second - l'ensemble de tous les nombres réels, à l'exception de zéro, car alors nous obtiendrons 0 dans le dénominateur, et une telle division n’est pas définie. Ces deux expressions ont une plage de valeurs commune formée par l'intersection de deux plages distinctes. Nous pouvons conclure que les deux expressions x - 1 · x x et x − 1 auront un sens pour toutes les valeurs réelles des variables, à l'exception de 0.

La propriété fondamentale de la fraction nous permet également de conclure que x - 1 · x x et x − 1 seront égaux pour tout x différent de 0. Cela signifie que sur la plage générale de valeurs admissibles, ces expressions seront identiques les unes aux autres, mais pour tout x réel, nous ne pouvons pas parler d'égalité identique.

Si nous remplaçons une expression par une autre qui lui est identiquement égale, alors ce processus est appelé une transformation d'identité. Ce concept est très important et nous en parlerons en détail dans un document séparé.

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Ayant acquis une idée des identités, il est logique de passer à la connaissance. Dans cet article, nous répondrons à la question de savoir ce que sont les expressions identiquement égales et utiliserons également des exemples pour comprendre quelles expressions sont identiquement égales et lesquelles ne le sont pas.

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Quelles sont les expressions identiquement égales ?

La définition des expressions identiquement égales est donnée parallèlement à la définition de l'identité. Cela se produit dans le cours d’algèbre de 7e année. Dans le manuel d'algèbre pour la 7e année de l'auteur Yu. N. Makarychev, la formulation suivante est donnée :

Définition.

– ce sont des expressions dont les valeurs sont égales pour toutes les valeurs des variables qui y sont incluses. Les expressions numériques qui ont des valeurs identiques sont également appelées identiquement égales.

Cette définition est utilisée jusqu'en 8e année ; elle est valable pour les expressions entières, car elles ont un sens pour toutes les valeurs des variables qu'elles contiennent. Et en 8e année, la définition des expressions identiquement égales est clarifiée. Expliquons à quoi cela est lié.

En 8e année, commence l'étude d'autres types d'expressions qui, contrairement aux expressions entières, peuvent ne pas avoir de sens pour certaines valeurs des variables. Cela nous oblige à introduire des définitions des valeurs admissibles et inacceptables des variables, ainsi que la plage de valeurs admissibles de la valeur de la variable et, par conséquent, à clarifier la définition des expressions identiques.

Définition.

Deux expressions dont les valeurs sont égales pour toutes les valeurs admissibles des variables qu'elles contiennent sont appelées expressions identiquement égales. Deux expressions numériques ayant les mêmes valeurs sont également appelées identiquement égales.

Dans cette définition d'expressions identiquement égales, il convient de clarifier le sens de l'expression « pour toutes les valeurs admissibles des variables qui y sont incluses ». Cela implique toutes ces valeurs de variables pour lesquelles les deux expressions identiquement égales ont un sens en même temps. Nous expliquerons cette idée dans le paragraphe suivant en regardant des exemples.

La définition des expressions identiquement égales dans le manuel d’A. G. Mordkovich est donnée un peu différemment :

Définition.

Expressions identiquement égales– ce sont des expressions à gauche et à droite de l’identité.

Le sens de cette définition et des définitions précédentes coïncide.

Exemples d'expressions identiques

Les définitions introduites dans le paragraphe précédent permettent de donner exemples d'expressions identiques.

Commençons par des expressions numériques identiques. Les expressions numériques 1+2 et 2+1 sont identiquement égales, puisqu'elles correspondent à des valeurs égales 3 et 3. Les expressions 5 et 30:6 sont également identiques à l'identique, tout comme les expressions (2 2) 3 et 2 6 (les valeurs de ces dernières expressions sont égales en vertu de ). Mais les expressions numériques 3+2 et 3−2 ne sont pas identiquement égales, puisqu'elles correspondent respectivement aux valeurs 5 et 1, et elles ne sont pas égales.

Donnons maintenant des exemples d'expressions identiquement égales avec des variables. Ce sont les expressions a+b et b+a. En effet, pour toutes valeurs des variables a et b, les expressions écrites prennent les mêmes valeurs (comme il ressort des nombres). Par exemple, avec a=1 et b=2 nous avons a+b=1+2=3 et b+a=2+1=3 . Pour toute autre valeur des variables a et b, nous obtiendrons également des valeurs égales de ces expressions. Les expressions 0·x·y·z et 0 sont également identiques pour toutes les valeurs des variables x, y et z. Mais les expressions 2 x et 3 x ne sont pas identiquement égales, puisque, par exemple, lorsque x=1 leurs valeurs ne sont pas égales. En effet, pour x=1 l'expression 2.x est égale à 2.1=2, et l'expression 3.x est égale à 3.1=3.

Lorsque les plages de valeurs admissibles des variables dans les expressions coïncident, comme par exemple dans les expressions a+1 et 1+a, ou a·b·0 et 0, ou et, et les valeurs de ces expressions sont égaux pour toutes les valeurs des variables de ces zones, alors ici tout est clair - ces expressions sont identiquement égales pour toutes les valeurs admissibles des variables qui y sont incluses. Donc a+1≡1+a pour tout a, les expressions a·b·0 et 0 sont identiquement égales pour toutes les valeurs des variables a et b, et les expressions et sont identiquement égales pour tous x de ; édité par S.A. Telyakovsky. - 17e éd. - M. : Éducation, 2008. - 240 p. : je vais. - ISBN978-5-09-019315-3.

En étudiant l'algèbre, nous sommes tombés sur les notions de polynôme (par exemple ($y-x$,$\ 2x^2-2x$, etc.) et de fraction algébrique (par exemple $\frac(x+5)(x)$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$, etc.) La similitude de ces concepts est que les polynômes et les fractions algébriques contiennent des variables et des valeurs numériques , et l'arithmétique est effectuée. actions : addition, soustraction, multiplication, exponentiation. La différence entre ces concepts est que dans les polynômes, la division par une variable n'est pas effectuée, mais dans les fractions algébriques, la division par une variable peut être effectuée.

Les polynômes et les fractions algébriques sont appelés expressions algébriques rationnelles en mathématiques. Mais les polynômes sont des expressions rationnelles entières, et les fractions algébriques sont des expressions rationnelles fractionnaires.

Vous pouvez obtenir une expression algébrique entière à partir d'une expression fractionnaire-rationnelle en utilisant une transformation d'identité, qui dans ce cas sera la propriété principale d'une fraction - réduction de fractions. Vérifions cela en pratique :

Exemple 1

Convertir :$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Solution: Cette équation fractionnaire-rationnelle peut être transformée en utilisant la propriété fondamentale de la réduction fractionnaire, c'est-à-dire diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre ou expression autre que $0$.

Cette fraction ne peut pas être réduite immédiatement ; le numérateur doit être converti.

Transformons l'expression au numérateur de la fraction, pour cela nous utilisons la formule du carré de la différence : $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

La fraction ressemble à

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)\]

Nous voyons maintenant que le numérateur et le dénominateur ont un facteur commun - c'est l'expression $x-2$, par laquelle nous réduirons la fraction

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)=x-2\]

Après réduction, nous avons constaté que l'expression rationnelle fractionnaire originale $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ est devenue un polynôme $x-2$, c'est-à-dire tout à fait rationnel.

Faisons maintenant attention au fait que les expressions $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ et $x-2\ $ peuvent être considérées comme identiques non pas pour toutes les valeurs de la variable, parce que pour qu'une expression rationnelle fractionnaire existe et puisse se réduire par le polynôme $x-2$, le dénominateur de la fraction ne doit pas être égal à $0$ (ainsi que le facteur par lequel on réduit. Dans ce cas exemple, le dénominateur et le facteur sont les mêmes, mais cela n'arrive pas toujours).

Les valeurs de la variable auxquelles la fraction algébrique existera sont appelées valeurs admissibles de la variable.

Posons une condition au dénominateur de la fraction : $x-2≠0$, alors $x≠2$.

Cela signifie que les expressions $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ et $x-2$ sont identiques pour toutes les valeurs de la variable sauf $2$.

Définition 1

Identiquement égal les expressions sont celles qui sont égales pour toutes les valeurs valides de la variable.

Une transformation identique est tout remplacement de l'expression originale par une expression identiquement égale. De telles transformations incluent l'exécution d'actions : addition, soustraction, multiplication, mise entre parenthèses d'un facteur commun, rapprochement de fractions algébriques, réduction de fractions algébriques, rapprochement de fractions algébriques similaires. termes, etc Il est nécessaire de prendre en compte qu'un certain nombre de transformations, telles que la réduction, la réduction de termes similaires, peuvent modifier les valeurs admissibles de la variable.

Techniques utilisées pour prouver les identités

Amener le côté gauche de l'identité vers la droite ou vice versa en utilisant les transformations d'identité

Réduire les deux côtés à la même expression en utilisant des transformations identiques

Transférez les expressions d'une partie de l'expression à une autre et prouvez que la différence résultante est égale à $0$

Laquelle des méthodes ci-dessus utiliser pour prouver une identité donnée dépend de l’identité d’origine.

Exemple 2

Prouver l'identité $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

Solution: Pour prouver cette identité, nous utilisons la première des méthodes ci-dessus, à savoir, nous transformerons le côté gauche de l'identité jusqu'à ce qu'il soit égal au côté droit.

Considérons le côté gauche de l'identité : $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$ - il représente la différence de deux polynômes. Dans ce cas, le premier polynôme est le carré de la somme de trois termes. Pour mettre au carré la somme de plusieurs termes, on utilise la formule :

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Pour ce faire, nous devons multiplier un nombre par un polynôme. N'oubliez pas que pour cela, nous devons multiplier le facteur commun derrière les parenthèses par chaque terme du polynôme entre parenthèses.

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Revenons maintenant au polynôme d'origine, il prendra la forme :

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Veuillez noter qu'il y a un signe « - » devant le support, ce qui signifie que lorsque les crochets sont ouverts, tous les signes qui étaient entre parenthèses changent à l'opposé.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Présentons des termes similaires, on obtient alors que les monômes $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ et $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ s'annulent, c'est-à-dire leur somme est de 0$.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Cela signifie qu'au moyen de transformations identiques nous avons obtenu une expression identique sur le côté gauche de l'identité originale

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Notez que l'expression résultante montre que l'identité originale est vraie.

Veuillez noter que dans l'identité d'origine, toutes les valeurs de la variable sont autorisées, ce qui signifie que nous avons prouvé l'identité à l'aide de transformations d'identité, et cela est vrai pour toutes les valeurs possibles de la variable.