Faits intéressants sur le nombre d'or. De l'histoire ancienne du nombre d'or

On dit souvent que les mathématiques ont leur propre beauté, mais au milieu du Ve siècle avant JC. e. ou même bien plus tôt, on a appris qu'il y avait une grande quantité de mathématiques dans la beauté.

Numéro Phi

Calcul du nombre d'or

Il existe un grand nombre de façons d’exprimer mathématiquement le nombre d’or, et toutes ces méthodes ont leur propre simplicité, précision et charme. Euclide l’a décrit comme « une section en rapport extrême et moyen ». Une expression plus « mathématique » ressemble à ceci : si le nombre d’or est égal à x, alors . Ou comme ceci : x/1 = 1/x -1. En d’autres termes, le nombre d’or est défini comme la proportion dans laquelle « la longueur de la ligne entière se rapporte à sa partie la plus grande de la même manière que celle à sa partie la plus petite ».

Fait intéressant sur le nombre d'or n°3. Les rectangles dorés peuvent être divisés en un nombre infini de rectangles dorés de taille décroissante, en « coupant » des parties le long de la ligne la plus courte. Dans la terminologie de l'école grecque des mathématiciens, cette propriété fait du rectangle d'or un gnomon - un objet capable de conserver sa forme à mesure qu'il grandit (ou rétrécit).

Un bon exemple du nombre d’or est une carte de crédit, qui a des tailles standard uniformes partout dans le monde. Selon les règles du nombre d'or, le rapport de son côté court sur son côté long est le même que le rapport de son côté long sur la somme des longueurs des côtés court et long. Cela fait de la carte de crédit un rectangle doré. Cette forme a été choisie pour son aspect équilibré : elle ne paraît ni trop longue ni trop large. Une façon de vérifier si un rectangle est doré est de placer deux rectangles côte à côte, l’un « debout » verticalement sur un petit bord, l’autre « debout » touchant le premier sur un bord long. Si la diagonale passant par les coins d'un rectangle horizontal continue d'atteindre le coin supérieur d'un rectangle vertical, les rectangles sont dorés. Ce principe se retrouve beaucoup plus souvent en architecture. Ainsi, le rectangle d'or est la façade du bâtiment de l'ONU à New York.

Mathématiques dans l'art et la nature

Il y a quelque chose de prosaïque dans le nombre d’or – du moins pour ceux qui ne sont pas enclins aux mathématiques. Nous parlons de son expression numérique. La valeur de x dans l'expression algébrique x 2 – x – 1 = 0 est 1,6180339887... et ainsi de suite à l'infini. Cependant, le nombre d’or est celui qui a le lien le plus direct avec l’art occidental. Ce lien est apparu dans une large mesure grâce aux œuvres de Luca Pacioli au tournant du XVIe siècle. Pacioli était un contemporain, et certains des dessins du maestro - y compris l'image la plus célèbre de l'Homme de Vitruve - apparaissent dans le livre de Pacioli De Divina Proportione ("La Divine Proportion"), publié en 1509. Ce livre énonce les règles géométriques de base de beauté, et a inspiré le numéro créateur phi. Ainsi, dans les proportions parfaites du corps humain, le rapport hauteur/nombril et pleine hauteur est en or. Malheureusement, les mesures réelles indiquent qu’en réalité il n’existe pas de corps « parfaits ». Au 20ème siècle le nombre d'or était recherché dans les formes naturelles. Ceux qui ont fait cela de manière assez persistante l'ont trouvé dans les proportions des feuilles, la répartition des bourgeons sur la tige (les motifs naturels obéissent assez grossièrement au principe de la séquence de Fibonacci), ainsi que dans la trajectoire de plongée d'un faucon en chasse. Pour certains, c'était une preuve en faveur de l'existence d'un certain plan selon lequel la nature elle-même est organisée. Pour d’autres, cela signifiait que notre perception de la beauté (ou du moins de la proportionnalité agréable à l’œil) était dictée par les mathématiques de la croissance, qui représentent des structures augmentant en taille sans perdre leur forme générale.

Fait intéressant n°5. Les mesures réelles indiquent qu’en réalité, il n’existe pas de corps « parfaits » qui satisfassent à la règle du nombre d’or.

Spirale dorée

Une spirale se déroulant selon le principe du nombre d'or peut être construite à l'aide d'une série de rectangles d'or. Il s'agit d'un cas particulier d'une spirale logarithmique divergeant d'un point de l'axe selon un angle constant (Mathématiquement, il est plus correct de formuler ainsi : une courbe dont la tangente forme le même angle avec le rayon vecteur en chaque point). Cette spirale est associée au nom de Jacob Bernoulli (bien qu'il ait été le premier à la décrire), le principal chercheur de ses propriétés. Bernoulli souhaitait également qu'une telle spirale soit gravée sur sa pierre tombale, mais le maçon, peu versé en géométrie, y reproduisit la spirale d'Archimède avec une trajectoire de divergence plus plate.

Une personne distingue les objets qui l'entourent par leur forme. L’intérêt pour la forme d’un objet peut être dicté par une nécessité vitale, ou bien il peut être provoqué par la beauté de la forme. La forme, basée sur une combinaison de symétrie et de nombre d'or, favorise la meilleure perception visuelle et l'apparition d'un sentiment de beauté et d'harmonie. Le tout est toujours constitué de parties, des parties de tailles différentes sont dans une certaine relation les unes avec les autres et avec le tout. Le principe du nombre d’or est la plus haute manifestation de la perfection structurelle et fonctionnelle de l’ensemble et de ses parties dans l’art, la science, la technologie et la nature.

Nombre d'or - proportion harmonique

Segment droit AB peut être divisé en deux parties de la manière suivante :

en deux parties égales - AB : CA = AB : Soleil;





en deux parties inégales à tous égards (ces parties ne forment pas de proportions) ;





ainsi, quand AB : CA = CA : Soleil.

Le nombre d'or est une telle division proportionnelle d'un segment en parties inégales, dans laquelle le segment entier est lié à la plus grande partie comme la plus grande partie elle-même est liée à la plus petite ; ou en d’autres termes, le plus petit segment est au plus grand ce que le plus grand est au tout.

un : b = b : c ou Avec : b = b : UN.

Riz. 1. Image géométrique du nombre d'or

La connaissance pratique du nombre d'or commence par la division d'un segment de ligne droite dans la proportion d'or à l'aide d'un compas et d'une règle.

Riz. 2. Diviser un segment de ligne droite à l'aide du nombre d'or. Colombie-Britannique = 1/2 AB; CD = Colombie-Britannique

Du point de vue DANS une perpendiculaire égale à la moitié est restituée AB. Point reçu AVEC relié par une ligne à un point UN. Un segment est tracé sur la ligne résultante Soleil se terminant par un point D. Segment ANNONCE transféré à diriger AB. Le point résultant E divise un segment AB dans le nombre d’or.

Les segments du nombre d'or sont exprimés comme une fraction irrationnelle infinie A.E.= 0,618..., si AB prendre pour un ÊTRE= 0,382... À des fins pratiques, des valeurs approximatives de 0,62 et 0,38 sont souvent utilisées. Si le segment AB pris comme 100 parties, alors la plus grande partie du segment est égale à 62 et la plus petite partie est à 38 parties.

Les propriétés du nombre d'or sont décrites par l'équation :

x 2 - x - 1 = 0.

Solution à cette équation :

Les propriétés du nombre d’or ont créé une aura romantique de mystère et de culte presque mystique autour de ce nombre.

Deuxième nombre d'or

Cette proportion se retrouve en architecture et se produit également lors de la construction de compositions d'images de format horizontal allongé.

Riz. 3. Construction du deuxième nombre d'or

La division s'effectue comme suit (voir Fig. 3). Segment AB divisé selon le nombre d’or. Du point de vue AVEC la perpendiculaire est restaurée CD. Rayon AB il y a un point D, qui est relié par une ligne à un point UN. Angle droit ACD est divisé en deux. Du point de vue AVEC une ligne est tracée jusqu'à ce qu'elle croise la ligne ANNONCE. Point E divise un segment ANNONCE par rapport à 56:44.

Riz. 4. Diviser un rectangle avec la ligne du deuxième nombre d'or

Sur la fig. La figure 4 montre la position de la ligne du deuxième nombre d'or. Il est situé à mi-chemin entre la ligne du nombre d’or et la ligne médiane du rectangle.

Triangle d'Or

Riz. 5. Construction d'un pentagone régulier et d'un pentagramme

Pour construire un pentagramme, vous devez construire un pentagone régulier. La méthode de construction a été développée par le peintre et graphiste allemand Albrecht Dürer (1471...1528). Laisser Ô- centre du cercle, UN- un point sur un cercle et E- le milieu du segment OA. Perpendiculaire au rayon OA, restauré au point À PROPOS, coupe le cercle au point D. A l'aide d'un compas, tracez un segment sur le diamètre C.E. = ED. La longueur du côté d’un pentagone régulier inscrit dans un cercle est CC. Disposez les segments sur le cercle CC et nous obtenons cinq points pour dessiner un pentagone régulier. Nous connectons les coins du pentagone les uns aux autres avec des diagonales et obtenons un pentagramme. Toutes les diagonales du pentagone se divisent en segments reliés par le nombre d'or.

Chaque extrémité de l'étoile pentagonale représente un triangle d'or. Ses côtés forment un angle de 36° au sommet, et la base, posée sur le côté, le divise dans la proportion du nombre d'or.

Riz. 6. Construction du triangle d'or

Nous effectuons une directe AB. Du point UN posez un segment dessus trois fois À PROPOS valeur arbitraire, passant par le point résultant R. tracer une perpendiculaire à la ligne AB, sur la perpendiculaire à droite et à gauche du point R. mettre de côté les segments À PROPOS. Points reçus d Et d 1 relier par des lignes droites à un point UN. Segment jj mets 1 en jeu Annonce 1, obtenir un point AVEC. Elle a divisé la ligne Annonce 1 proportionnellement au nombre d’or. Lignes Annonce 1 et jj 1 est utilisé pour construire un rectangle « doré ».

Histoire du nombre d'or

Les Grecs étaient de talentueux géomètres. Ils enseignaient même l’arithmétique à leurs enfants en utilisant des figures géométriques. Le carré de Pythagore et la diagonale de ce carré ont servi de base à la construction de rectangles dynamiques.

Riz. 7. Rectangles dynamiques

Platon (427...347 avant JC) connaissait également la division en or. Son dialogue « Timée » est consacré aux vues mathématiques et esthétiques de l'école pythagoricienne et, en particulier, aux questions de la division d'or.

La façade de l'ancien temple grec du Parthénon présente des proportions dorées. Lors de ses fouilles, on a découvert des boussoles utilisées par les architectes et les sculpteurs du monde antique. La boussole pompéienne (musée de Naples) contient également les proportions de la division dorée.

Riz. 8. Boussole antique de nombre d'or

Dans la littérature ancienne qui nous est parvenue, la division dorée a été mentionnée pour la première fois dans les Éléments d’Euclide. Dans le 2ème livre des «Principes», la construction géométrique de la division d'or est donnée. Après Euclide, l'étude de la division d'or a été réalisée par Hypsiclès (IIe siècle avant JC), Pappus (IIIe siècle après JC) et d'autres. L’Europe médiévale, avec la division d’or Nous nous sommes rencontrés à travers les traductions arabes des Éléments d’Euclide. Le traducteur J. Campano de Navarre (IIIe siècle) a fait des commentaires sur la traduction. Les secrets de la division dorée étaient jalousement gardés et gardés dans le plus strict secret. Ils n'étaient connus que des initiés.

À la Renaissance, l'intérêt pour la division dorée s'est accru parmi les scientifiques et les artistes en raison de son utilisation à la fois en géométrie et en art, en particulier en architecture. Léonard de Vinci, artiste et scientifique, a constaté que les artistes italiens avaient beaucoup d'expérience empirique, mais peu. connaissance . Il conçut et commença à écrire un livre sur la géométrie, mais à cette époque parut un livre du moine Luca Pacioli et Léonard abandonna son idée. Selon les contemporains et les historiens des sciences, Luca Pacioli était une véritable sommité, le plus grand mathématicien d'Italie entre Fibonacci et Galilée. Luca Pacioli était l'élève de l'artiste Piero della Franceschi, qui a écrit deux livres, dont l'un s'intitulait « De la perspective dans la peinture ». Il est considéré comme le créateur de la géométrie descriptive.

Luca Pacioli a parfaitement compris l'importance de la science pour l'art. En 1496, à l'invitation du duc de Moreau, il vient à Milan, où il donne des cours de mathématiques. Léonard de Vinci travaillait également à Milan à la cour de Moro à cette époque. En 1509, le livre de Luca Pacioli « La Divine Proportion » fut publié à Venise avec des illustrations brillamment exécutées, c'est pourquoi on pense qu'elles ont été réalisées par Léonard de Vinci. Le livre était un hymne enthousiaste au nombre d’or. Parmi les nombreux avantages de la proportion dorée, le moine Luca Pacioli n'a pas manqué de nommer son « essence divine » comme expression de la trinité divine - Dieu le fils, Dieu le père et Dieu le Saint-Esprit (il était sous-entendu que le petit le segment est la personnification de Dieu le fils, le segment plus grand est Dieu le père et le segment entier est le Dieu du Saint-Esprit).

Léonard de Vinci a également accordé beaucoup d'attention à l'étude de la division d'or. Il réalisa des sections d'un corps stéréométrique formé de pentagones réguliers, et à chaque fois il obtint des rectangles avec des proportions dans la division d'or. C'est pourquoi il a donné le nom à cette division nombre d'or. Il reste donc le plus populaire.

Au même moment, dans le nord de l’Europe, en Allemagne, Albrecht Dürer travaillait sur les mêmes problématiques. Il esquisse l'introduction de la première version du traité sur les proportions. Dürer écrit. « Il est nécessaire que quelqu’un qui sait faire quelque chose l’enseigne à ceux qui en ont besoin. C’est ce que j’ai décidé de faire.

À en juger par l'une des lettres de Dürer, il a rencontré Luca Pacioli alors qu'il était en Italie. Albrecht Dürer développe en détail la théorie des proportions du corps humain. Dürer accordait une place importante dans son système de relations au nombre d'or. La taille d'une personne est divisée en proportions dorées par la ligne de la ceinture, ainsi que par une ligne tracée à travers le bout du majeur des mains baissées, la partie inférieure du visage par la bouche, etc. Le compas proportionnel de Dürer est bien connu.

Grand astronome du XVIe siècle. Johannes Kepler a qualifié le nombre d'or de l'un des trésors de la géométrie. Il fut le premier à attirer l'attention sur l'importance de la proportion d'or pour la botanique (la croissance des plantes et leur structure).

Kepler a qualifié la proportion d'or d'auto-continue. « Elle est structurée de telle manière, écrit-il, que les deux termes les plus bas de cette proportion sans fin s'additionnent pour former le troisième terme et les deux derniers termes éventuels, s'ils sont additionnés. , donnez le terme suivant, et la même proportion demeure jusqu'à l'infini.

La construction d'une série de segments de la proportion d'or peut se faire aussi bien dans le sens croissant (série croissante) que dans le sens décroissant (série décroissante).

Si vous êtes sur une ligne droite de longueur arbitraire, mettez de côté le segment m, placez le segment à côté M. A partir de ces deux segments, nous construisons une échelle de segments de la proportion d'or des séries ascendantes et descendantes

Riz. 9. Construction d'une échelle de segments de proportion d'or

Au cours des siècles suivants, la règle de la proportion d’or est devenue un canon académique et, au fil du temps, la lutte contre la routine académique a commencé dans l’art, dans le feu de la lutte « ils ont jeté le bébé avec l’eau du bain ». Le nombre d’or a été à nouveau « découvert » au milieu du XIXe siècle. En 1855, le chercheur allemand sur le nombre d'or, le professeur Zeising, publie son ouvrage « Aesthetic Studies ». Ce qui est arrivé à Zeising est exactement ce qui devrait inévitablement arriver à un chercheur qui considère un phénomène comme tel, sans lien avec d’autres phénomènes. Il a absolutisé la proportion du nombre d'or, la déclarant universelle pour tous les phénomènes de la nature et de l'art. Zeising avait de nombreux adeptes, mais il y avait aussi des opposants qui qualifiaient sa doctrine des proportions d’« esthétique mathématique ».

Riz. 10. Proportions dorées dans certaines parties du corps humain

Zeising a fait un travail formidable. Il mesura environ deux mille corps humains et arriva à la conclusion que le nombre d'or exprime la loi statistique moyenne. La division du corps par la pointe du nombril est l'indicateur le plus important du nombre d'or. Les proportions du corps masculin fluctuent dans le rapport moyen de 13 : 8 = 1,625 et sont un peu plus proches du nombre d'or que les proportions du corps féminin, par rapport auxquelles la valeur moyenne de la proportion est exprimée dans le rapport 8 : 5 = 1,6. Chez un nouveau-né, la proportion est de 1:1, à 13 ans elle est de 1,6 et à 21 ans elle est égale à celle d'un homme. Les proportions du nombre d'or apparaissent également par rapport à d'autres parties du corps - la longueur de l'épaule, de l'avant-bras et de la main, de la main et des doigts, etc.

Riz. 11. Des proportions dorées dans la figure humaine

Zeising testa la validité de sa théorie sur les statues grecques. Il a développé les proportions d'Apollo Belvedere de manière très détaillée. Des vases grecs, des structures architecturales de différentes époques, des plantes, des animaux, des œufs d'oiseaux, des sons musicaux et des mètres poétiques ont été étudiés. Zeising a donné une définition du nombre d'or et a montré comment il s'exprime en segments de droite et en nombres. Lorsque les nombres exprimant les longueurs des segments furent obtenus, Zeising vit qu'ils constituaient une série de Fibonacci, qui pouvait se poursuivre indéfiniment dans un sens ou dans l'autre. Son livre suivant s'intitulait « La division d'or comme loi morphologique fondamentale dans la nature et l'art ». En 1876, un petit livre, presque une brochure, fut publié en Russie, décrivant l'œuvre de Zeising. L'auteur s'est réfugié sous les initiales Yu.F.V. Cette édition ne mentionne aucune œuvre de peinture.

Fin XIXème – début XXème siècles. De nombreuses théories purement formalistes sont apparues sur l’utilisation du nombre d’or dans les œuvres d’art et d’architecture. Avec le développement du design et de l’esthétique technique, la loi du nombre d’or s’est étendue au design des voitures, des meubles, etc.

Série de Fibonacci

Une série de nombres 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. connue sous le nom de série de Fibonacci. La particularité de la séquence de nombres est que chacun de ses membres, à partir du troisième, est égal à la somme des deux précédents 2 + 3 = 5 ; 3 + 5 = 8 ; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21 ; 13 + 21 = 34, etc., et le rapport des nombres adjacents dans la série se rapproche du rapport de la division d'or. Donc, 21 : 34 = 0,617 et 34 : 55 = 0,618. Cette relation est désignée par le symbole F. Seul ce rapport - 0,618 : 0,382 - donne une division continue d'un segment de droite dans la proportion d'or, l'augmentant ou le diminuant à l'infini, lorsque le plus petit segment est lié au plus grand comme le plus grand l'est au tout.

Fibonacci a également abordé les besoins pratiques du commerce : quel est le plus petit nombre de poids pouvant être utilisé pour peser un produit ? Fibonacci prouve que le système de poids optimal est : 1, 2, 4, 8, 16...

Nombre d'or généralisé

Les scientifiques ont continué à développer activement la théorie des nombres de Fibonacci et du nombre d'or. Yu. Matiyasevich résout le 10ème problème de Hilbert en utilisant les nombres de Fibonacci. Des méthodes élégantes émergent pour résoudre un certain nombre de problèmes cybernétiques (théorie de la recherche, jeux, programmation) en utilisant les nombres de Fibonacci et le nombre d'or. Aux États-Unis, même la Mathematical Fibonacci Association est en cours de création, qui publie une revue spéciale depuis 1963.

L'une des réalisations dans ce domaine est la découverte des nombres de Fibonacci généralisés et des nombres d'or généralisés.

La série de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8) et la série « binaire » de poids découverte par lui 1, 2, 4, 8, 16... à première vue sont complètement différentes. Mais les algorithmes pour leur construction sont très similaires les uns aux autres : dans le premier cas, chaque nombre est la somme du nombre précédent avec lui-même 2 = 1 + 1 ; 4 = 2 + 2..., dans le second c'est la somme des deux nombres précédents 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Est-il possible de trouver une formule mathématique générale formule à partir de laquelle on obtient et « séries binaires et séries de Fibonacci ? Ou peut-être que cette formule nous donnera de nouveaux ensembles numériques dotés de nouvelles propriétés uniques ?

En effet, fixons le paramètre numérique S, qui peut prendre n'importe quelle valeur : 0, 1, 2, 3, 4, 5... Considérons une série de nombres, S+ 1 dont les premiers termes sont des unités, et chacun des suivants est égal à la somme de deux termes du précédent et séparé du précédent par S mesures. Si n On note le ième terme de cette série par φ S ( n), alors on obtient la formule générale φ S ( n) = φ S ( n- 1) + φ S ( n - S - 1).

Il est évident que lorsque S= 0 de cette formule on obtient une série « binaire », avec S= 1 - Série de Fibonacci, avec S= 2, 3, 4. nouvelle série de nombres, appelés S-Nombres de Fibonacci.

Globalement doré S-la proportion est la racine positive de l'équation d'or S-sections x S+1 - x S - 1 = 0.

Il est facile de montrer que lorsque S= 0, le segment est divisé en deux, et lorsque S= 1 - le nombre d'or classique familier.

Relations entre voisins S- Les nombres de Fibonacci coïncident avec une précision mathématique absolue dans la limite de l'or S-les proportions ! Les mathématiciens disent dans de tels cas que l'or S-les sections sont des invariants numériques S-Nombres de Fibonacci.

Faits confirmant l'existence de l'or S-sections dans la nature, cite le scientifique biélorusse E.M. Soroko dans le livre « Structurel Harmony of Systems » (Minsk, « Science and Technology », 1984). Il s'avère, par exemple, que les alliages binaires bien étudiés n'ont des propriétés fonctionnelles particulières et prononcées (thermiquement stables, durs, résistants à l'usure, résistants à l'oxydation, etc.) que si les densités des composants d'origine sont liées les unes aux autres. par un d'or S-les proportions. Cela a permis à l'auteur d'émettre l'hypothèse que l'or S-les sections sont des invariants numériques de systèmes auto-organisés. Une fois confirmée expérimentalement, cette hypothèse pourrait revêtir une importance fondamentale pour le développement de la synergie, un nouveau domaine scientifique qui étudie les processus dans les systèmes auto-organisés.

Utiliser des codes d'or S-les proportions peuvent être exprimées par n'importe quel nombre réel comme une somme de puissances d'or S-proportions à coefficients entiers.

La différence fondamentale entre cette méthode de codage des nombres est que les bases des nouveaux codes, qui sont en or S-les proportions, avec S> 0 s'avèrent être des nombres irrationnels. Ainsi, les nouveaux systèmes numériques dotés de bases irrationnelles semblent placer la hiérarchie historiquement établie des relations entre nombres rationnels et irrationnels « de la tête aux pieds ». Le fait est que les nombres naturels ont été les premiers à être « découverts » ; alors leurs rapports sont des nombres rationnels. Et ce n'est que plus tard - après la découverte des segments incommensurables par les Pythagoriciens - que les nombres irrationnels sont nés. Par exemple, dans les systèmes de nombres décimaux, quinaires, binaires et autres systèmes de nombres positionnels classiques, les nombres naturels ont été choisis comme une sorte de principe fondamental - 10, 5, 2 - à partir duquel, selon certaines règles, tous les autres nombres naturels, ainsi que les nombres rationnels et des nombres irrationnels, ont été construits.

Une sorte d'alternative aux méthodes de notation existantes est un nouveau système irrationnel, comme principe fondamental, dont le début est un nombre irrationnel (qui, rappelons-le, est la racine de l'équation du nombre d'or) ; d'autres nombres réels s'expriment déjà à travers lui.

Dans un tel système numérique, tout nombre naturel peut toujours être représenté comme fini – et non comme infini, comme on le pensait auparavant ! - la somme des degrés de l'un des or S-les proportions. C’est l’une des raisons pour lesquelles l’arithmétique « irrationnelle », d’une simplicité et d’une élégance mathématiques étonnantes, semble avoir absorbé les meilleures qualités de l’arithmétique binaire classique et de « Fibonacci ».

Principes de formation dans la nature

La coquille est tordue en spirale. Si vous le dépliez, vous obtenez une longueur légèrement plus courte que la longueur du serpent. Une petite coquille de dix centimètres possède une spirale de 35 cm de long. Les spirales sont très courantes dans la nature. L’idée du nombre d’or sera incomplète sans parler de la spirale.

Riz. 12. Spirale d'Archimède

La forme de la coquille enroulée en spirale a attiré l'attention d'Archimède. Il l'a étudié et a trouvé une équation pour la spirale. La spirale dessinée selon cette équation porte son nom. L'augmentation de son pas est toujours uniforme. Actuellement, la spirale d'Archimède est largement utilisée en technologie.

Goethe a également souligné la tendance de la nature à la spirale. La disposition hélicoïdale et spirale des feuilles sur les branches des arbres a été remarquée il y a longtemps. La spirale a été vue dans la disposition des graines de tournesol, des pommes de pin, des ananas, des cactus, etc. Les travaux conjoints de botanistes et de mathématiciens ont mis en lumière ces phénomènes naturels étonnants. Il s'est avéré que la série de Fibonacci se manifeste dans la disposition des feuilles sur une branche (phylotaxie), des graines de tournesol et des pommes de pin, et par conséquent, la loi du nombre d'or se manifeste. L'araignée tisse sa toile en forme de spirale. Un ouragan tourne comme une spirale. Un troupeau de rennes effrayé se disperse en spirale. La molécule d'ADN est tordue en double hélice. Goethe appelait la spirale la « courbe de la vie ».

Parmi les herbes en bordure de route pousse une plante banale : la chicorée. Regardons-le de plus près. Une pousse s'est formée à partir de la tige principale. La première feuille se trouvait juste là.

Riz. 13. Chicorée

La pousse fait une forte éjection dans l'espace, s'arrête, libère une feuille, mais cette fois plus courte que la première, fait à nouveau une éjection dans l'espace, mais avec moins de force, libère une feuille encore plus petite et est à nouveau éjectée. . Si la première émission est considérée comme égale à 100 unités, alors la seconde est égale à 62 unités, la troisième à 38, la quatrième à 24, etc. La longueur des pétales dépend également de la proportion d’or. En grandissant et en conquérant l’espace, la plante a conservé certaines proportions. Les impulsions de sa croissance ont progressivement diminué proportionnellement au nombre d'or.

Riz. 14. Lézard vivipare

À première vue, le lézard a des proportions agréables à nos yeux - la longueur de sa queue est liée à la longueur du reste du corps comme 62 à 38.

Dans le monde végétal comme dans le monde animal, la tendance formatrice de la nature se manifeste de manière persistante : la symétrie dans la direction de la croissance et du mouvement. Ici, le nombre d'or apparaît dans les proportions des parties perpendiculaires à la direction de croissance.

La nature a procédé à une division en parties symétriques et en proportions dorées. Les parties révèlent une répétition de la structure de l’ensemble.

Riz. 15. oeuf d'oiseau

Le grand Goethe, poète, naturaliste et artiste (il dessinait et peignait à l'aquarelle), rêvait de créer une doctrine unifiée sur la forme, la formation et la transformation des corps organiques. C'est lui qui a introduit le terme morphologie dans l'usage scientifique.

Pierre Curie a formulé au début de ce siècle un certain nombre d'idées profondes sur la symétrie. Il a soutenu qu’on ne peut considérer la symétrie d’un corps sans prendre en compte la symétrie de l’environnement.

Les lois de la symétrie « d'or » se manifestent dans les transitions énergétiques des particules élémentaires, dans la structure de certains composés chimiques, dans les systèmes planétaires et cosmiques, dans les structures génétiques des organismes vivants. Ces modèles, comme indiqué ci-dessus, existent dans la structure des organes humains individuels et du corps dans son ensemble, et se manifestent également dans les biorythmes et le fonctionnement du cerveau et dans la perception visuelle.

Nombre d'or et symétrie

La division dorée n'est pas une manifestation d'asymétrie, quelque chose d'opposé à la symétrie. Selon les idées modernes, la division dorée est une symétrie asymétrique. La science de la symétrie comprend des concepts tels que statique Et symétrie dynamique. La symétrie statique caractérise la paix et l'équilibre, tandis que la symétrie dynamique caractérise le mouvement et la croissance. Ainsi, dans la nature, la symétrie statique est représentée par la structure des cristaux, et dans l'art, elle caractérise la paix, l'équilibre et l'immobilité. La symétrie dynamique exprime l'activité, caractérise le mouvement, le développement, le rythme, elle est témoignage de la vie. La symétrie statique est caractérisée par des segments égaux et des valeurs égales. La symétrie dynamique se caractérise par une augmentation des segments ou leur diminution, et elle s'exprime dans les valeurs du nombre d'or d'une série croissante ou décroissante.

Les anciens considéraient le nombre d’or comme le reflet de l’ordre cosmique, et Johannes Kepler l’appelait l’un des trésors de la géométrie. La science moderne considère le nombre d’or comme une « symétrie asymétrique », le qualifiant au sens large de règle universelle reflétant la structure et l’ordre de notre ordre mondial.

Définition

La définition la plus complète du nombre d’or stipule que la plus petite partie est à la plus grande comme la plus grande est au tout. Sa valeur approximative est de 1,6180339887. En pourcentage arrondi, les proportions des parties du tout correspondront entre 62% et 38%. Cette relation opère sous les formes de l’espace et du temps.

Les anciens Égyptiens avaient une idée des proportions d'or, ils les connaissaient en Russie, mais pour la première fois le nombre d'or a été expliqué scientifiquement par le moine Luca Pacioli dans le livre « Divine Proportion » (1509), dont les illustrations étaient soi-disant réalisé par Léonard de Vinci. Pacioli voyait dans le nombre d'or la trinité divine : le petit segment personnifiait le Fils, le grand segment le Père et le tout le Saint-Esprit. Le nom du mathématicien italien Leonardo Fibonacci est directement associé à la règle du nombre d'or. Après avoir résolu l'un des problèmes, le scientifique a trouvé une séquence de nombres maintenant connue sous le nom de série de Fibonacci : 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. Kepler a attiré l'attention sur la relation entre cette séquence et la proportion d'or : « Elle est arrangée de telle manière que les deux termes inférieurs de cette proportion sans fin s'additionnent pour former le troisième terme, et que deux derniers termes quelconques, s'ils sont ajoutés, donnent le terme suivant, et la même proportion est maintenue à l'infini" Désormais, la série de Fibonacci constitue la base arithmétique pour calculer les proportions du nombre d'or dans toutes ses manifestations. Léonard de Vinci a également consacré beaucoup de temps à l'étude des caractéristiques du nombre d'or ; le terme lui-même lui appartient très probablement. Ses dessins d'un corps stéréométrique formé de pentagones réguliers prouvent que chacun des rectangles obtenus par section donne le rapport d'aspect dans la division d'or. Au fil du temps, la règle du nombre d’or est devenue une routine académique, et seul le philosophe Adolf Zeising lui a donné une seconde vie en 1855. Il a porté les proportions du nombre d'or à l'absolu, les rendant universelles pour tous les phénomènes du monde environnant. Cependant, son « esthétique mathématique » a suscité de nombreuses critiques.

Même sans entrer dans les calculs, le nombre d'or peut être facilement trouvé dans la nature. Ainsi, le rapport entre la queue et le corps d'un lézard, les distances entre les feuilles d'une branche tombent en dessous, il existe un nombre d'or en forme d'œuf, si une ligne conditionnelle est tracée à travers sa partie la plus large. Le scientifique biélorusse Eduard Soroko, qui a étudié les formes des divisions dorées dans la nature, a noté que tout ce qui pousse et s'efforce de prendre sa place dans l'espace est doté des proportions du nombre d'or. Selon lui, l’une des formes les plus intéressantes est la torsion en spirale. Archimède, attentif à la spirale, a dérivé une équation basée sur sa forme, qui est encore utilisée en technologie. Goethe a noté plus tard l'attirance de la nature pour les formes en spirale, appelant la spirale la « courbe de la vie ». Les scientifiques modernes ont découvert que des manifestations de formes spirales dans la nature telles qu'une coquille d'escargot, la disposition des graines de tournesol, les motifs de toiles d'araignées, le mouvement d'un ouragan, la structure de l'ADN et même la structure des galaxies contiennent la série de Fibonacci.

Les créateurs de mode et les créateurs de vêtements effectuent tous les calculs sur la base des proportions du nombre d'or. L'homme est une forme universelle pour tester les lois du nombre d'or. Bien sûr, par nature, tout le monde n'a pas des proportions idéales, ce qui crée certaines difficultés lors du choix des vêtements. Dans le journal de Léonard de Vinci figure le dessin d'un homme nu inscrit dans un cercle, dans deux positions superposées. S'appuyant sur les recherches de l'architecte romain Vitruve, Léonard a également tenté d'établir les proportions du corps humain. Plus tard, l’architecte français Le Corbusier, en utilisant « l’Homme de Vitruve » de Léonard, a créé sa propre échelle de « proportions harmonieuses », qui a influencé l’esthétique de l’architecture du XXe siècle. Adolf Zeising, étudiant la proportionnalité d'une personne, a accompli un travail colossal. Il mesura environ deux mille corps humains, ainsi que de nombreuses statues anciennes, et conclut que le nombre d'or exprime la loi statistique moyenne. Chez une personne, presque toutes les parties du corps lui sont subordonnées, mais le principal indicateur du nombre d'or est la division du corps par le nombril. À la suite de mesures, le chercheur a découvert que les proportions du corps masculin 13:8 sont plus proches du nombre d'or que les proportions du corps féminin - 8:5.

L'art des formes spatiales

L'artiste Vasily Surikov a déclaré "que dans la composition, il y a une loi immuable, quand dans une image on ne peut ni supprimer ni ajouter quoi que ce soit, on ne peut même pas ajouter un point supplémentaire, ce sont de vraies mathématiques". Pendant longtemps, les artistes ont suivi intuitivement cette loi, mais après Léonard de Vinci, le processus de création d'un tableau ne peut plus se faire sans résoudre des problèmes géométriques. Par exemple, Albrecht Dürer a utilisé le compas proportionnel qu'il a inventé pour déterminer les points du nombre d'or. Le critique d'art F.V. Kovalev, après avoir examiné en détail le tableau de Nikolaï Ge « Alexandre Sergueïevitch Pouchkine dans le village de Mikhaïlovovskoïe », note que chaque détail de la toile, qu'il s'agisse d'une cheminée, d'une bibliothèque, d'un fauteuil ou du poète lui-même, est strictement inscrit. dans des proportions dorées. Les chercheurs du nombre d'or étudient et mesurent sans relâche les chefs-d'œuvre architecturaux, affirmant qu'ils le sont devenus parce qu'ils ont été créés selon les canons d'or : leur liste comprend les grandes pyramides de Gizeh, la cathédrale Notre-Dame, la cathédrale Saint-Basile et le Parthénon. Et aujourd'hui, dans tout art des formes spatiales, ils essaient de suivre les proportions du nombre d'or, car, selon les critiques d'art, ils facilitent la perception de l'œuvre et forment un sentiment esthétique chez le spectateur. Parole, son et film Les formes d'art temporaire nous démontrent à leur manière le principe de la division en or. Les spécialistes de la littérature, par exemple, ont remarqué que le nombre de vers le plus populaire dans les poèmes de la dernière période de l'œuvre de Pouchkine correspond à la série de Fibonacci - 5, 8, 13, 21, 34. La règle du nombre d'or s'applique également dans œuvres individuelles du classique russe. Ainsi, le point culminant de « La Dame de Pique » est la scène dramatique d'Herman et de la Comtesse, se terminant par la mort de cette dernière. L'histoire compte 853 lignes et le point culminant se produit à la ligne 535 (853 : 535 = 1,6) - c'est le point du nombre d'or. Le musicologue soviétique E.K. Rosenov note l'étonnante précision du nombre d'or dans les formes strictes et libres des œuvres de Johann Sebastian Bach, qui correspond au style réfléchi, concentré et techniquement vérifié du maître. Cela est également vrai pour les œuvres exceptionnelles d'autres compositeurs, où la solution musicale la plus frappante ou la plus inattendue se produit généralement au point du nombre d'or. Le réalisateur Sergueï Eisenstein a délibérément coordonné le scénario de son film « Le cuirassé Potemkine » avec la règle du nombre d'or, divisant le film en cinq parties. Dans les trois premières sections, l'action se déroule sur le navire et dans les deux dernières, à Odessa. La transition vers des scènes de ville est le juste milieu du film.

Le nombre d’or est une manifestation universelle de l’harmonie structurelle. On le trouve dans la nature, la science, l'art - dans tout ce avec quoi une personne peut entrer en contact. Une fois connue la règle d’or, l’humanité ne la trahit plus.

Définition.

Les anciens considéraient le nombre d’or comme le reflet de l’ordre cosmique, et Johannes Kepler l’appelait l’un des trésors de la géométrie. La science moderne considère le nombre d’or comme une « symétrie asymétrique », le qualifiant au sens large de règle universelle qui reflète la structure et l’ordre de notre ordre mondial.

Histoire.
Les anciens Égyptiens avaient une idée des proportions d'or, ils les connaissaient en Russie, mais pour la première fois le nombre d'or a été expliqué scientifiquement par le moine Luca Pacioli dans le livre « Divine Proportion » (1509), dont les illustrations auraient été réalisées par Léonard de Vinci. Pacioli voyait la trinité divine dans le nombre d'or : le petit segment personnifiait le fils, le grand segment le père et le tout l'Esprit Saint.

Le nom du mathématicien italien Leonardo Fibonacci est directement associé à la règle du nombre d'or. Après avoir résolu l'un des problèmes, le scientifique est arrivé à une séquence de nombres maintenant connue sous le nom de série de Fibonacci : 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. Kepler a attiré l'attention sur le relation de cette séquence avec le nombre d'or : « Il est disposé de telle manière que les deux membres les plus jeunes de cette proportion infinie dans la somme donnent le troisième membre, et que deux derniers membres quelconques, s'ils sont ajoutés, donnent le membre suivant, de plus, la même proportion est conservée à l’infini. Désormais, la série de Fibonacci constitue la base arithmétique pour calculer les proportions du nombre d'or dans toutes ses manifestations.

Les nombres de Fibonacci sont une division harmonique, une mesure de beauté. Le nombre d'or dans la nature, l'homme, l'art, l'architecture, la sculpture, le design, les mathématiques, la musique https://psihologiyaotnoshenij.com/stati/zolotoe-sechenie-kak-eto-rabotaet

Léonard de Vinci a également consacré beaucoup de temps à l'étude des caractéristiques du nombre d'or ; le terme lui-même lui appartient très probablement. Ses dessins d'un corps stéréométrique formé de pentagones réguliers prouvent que chacun des rectangles obtenus par section donne le rapport d'aspect dans la division d'or.

Au fil du temps, la règle du nombre d’or est devenue une routine académique, et seul le philosophe Adolf Zeising lui a donné une seconde vie en 1855. Il a porté les proportions du nombre d'or à l'absolu, les rendant universelles pour tous les phénomènes du monde environnant. Cependant, son « Esthétique mathématique » a suscité de nombreuses critiques.

Nature.
Même sans entrer dans les calculs, le nombre d'or peut être facilement trouvé dans la nature. Ainsi, le rapport entre la queue et le corps d'un lézard, les distances entre les feuilles d'une branche tombent en dessous, il existe un nombre d'or en forme d'œuf, si une ligne conditionnelle est tracée à travers sa partie la plus large.

Le scientifique biélorusse Eduard Soroko, qui a étudié les formes des divisions dorées dans la nature, a noté que tout ce qui pousse et s'efforce de prendre sa place dans l'espace est doté des proportions du nombre d'or. Selon lui, l’une des formes les plus intéressantes est la torsion en spirale.
Archimède, attentif à la spirale, a dérivé une équation basée sur sa forme, qui est encore utilisée en technologie. Goethe a noté plus tard l'attirance de la nature pour les formes en spirale, appelant la spirale la « Courbe de la Vie ». Les scientifiques modernes ont découvert que des manifestations de formes spirales dans la nature telles qu'une coquille d'escargot, la disposition des graines de tournesol, les motifs de toiles d'araignées, le mouvement d'un ouragan, la structure de l'ADN et même la structure des galaxies contiennent la série de Fibonacci.

Humain.
Les créateurs de mode et les créateurs de vêtements effectuent tous les calculs sur la base des proportions du nombre d'or. L'homme est une forme universelle pour tester les lois du nombre d'or. Bien sûr, par nature, tout le monde n'a pas des proportions idéales, ce qui crée certaines difficultés lors du choix des vêtements.

Dans le journal de Léonard de Vinci figure le dessin d'un homme nu inscrit dans un cercle, dans deux positions superposées. S'appuyant sur les recherches de l'architecte romain Vitruve, Léonard a également tenté d'établir les proportions du corps humain. Plus tard, l'architecte français Le Corbusier, utilisant « l'Homme de Vitruve » de Léonard, a créé sa propre échelle de « proportions harmonieuses », qui a influencé l'esthétique de l'architecture du XXe siècle.

Adolf Zeising, explorant la proportionnalité d'une personne, a accompli un travail colossal. Il mesura environ deux mille corps humains, ainsi que de nombreuses statues anciennes, et conclut que le nombre d'or exprime la loi statistique moyenne. Chez une personne, presque toutes les parties du corps lui sont subordonnées, mais le principal indicateur du nombre d'or est la division du corps par le nombril.
À la suite de mesures, le chercheur a découvert que les proportions du corps masculin 13:8 sont plus proches du nombre d'or que les proportions du corps féminin - 8:5.

L'art des formes spatiales.
L'artiste Vassili Sourikov a déclaré : « Dans une composition, il y a une loi immuable, quand dans une image on ne peut rien supprimer ou ajouter, on ne peut même pas mettre un point supplémentaire, ce sont de vraies mathématiques. » Pendant longtemps, les artistes ont suivi intuitivement cette loi, mais après Léonard de Vinci, le processus de création d'un tableau n'est plus complet sans résoudre des problèmes géométriques. Par exemple, Albrecht Dürer a utilisé le compas proportionnel qu'il a inventé pour déterminer les points du nombre d'or.

Le critique d'art F. v. Kovalev, après avoir examiné en détail le tableau de Nikolaï Ge "Alexandre Sergueïevitch Pouchkine dans le village de Mikhaïlovovskoïe", note que chaque détail de la toile, qu'il s'agisse d'une cheminée, d'une bibliothèque, d'un fauteuil ou du poète lui-même, est strictement inscrit dans des proportions dorées. .

Les chercheurs du nombre d'or étudient et mesurent sans relâche les chefs-d'œuvre architecturaux, affirmant qu'ils sont devenus tels parce qu'ils ont été créés selon les canons d'or : leur liste comprend les grandes pyramides de Gizeh, la cathédrale Notre-Dame, la cathédrale Saint-Basile et le Parthénon.
Et aujourd'hui, dans tout art des formes spatiales, ils essaient de suivre les proportions du nombre d'or, car, selon les critiques d'art, ils facilitent la perception de l'œuvre et forment un sentiment esthétique chez le spectateur.

Parole, son et film.
Les formulaires sont temporaires ? Les arts Go, à leur manière, nous démontrent le principe de la division dorée. Les spécialistes de la littérature, par exemple, ont remarqué que le nombre de vers le plus populaire dans les poèmes de la dernière période de l'œuvre de Pouchkine correspond à la série de Fibonacci - 5, 8, 13, 21, 34.

La règle du nombre d’or s’applique également aux œuvres individuelles du classique russe. Ainsi, le point culminant de « La Dame de Pique » est la scène dramatique d'Herman et de la Comtesse, se terminant par la mort de cette dernière. L'histoire compte 853 lignes et le point culminant se produit à la ligne 535 (853 : 535 = 1, 6) - c'est le point du nombre d'or.

Le musicologue soviétique E. K. Rosenov note l'étonnante précision des relations du nombre d'or dans les formes strictes et libres des œuvres de Johann Sebastian Bach, qui correspond au style réfléchi, concentré et techniquement vérifié du maître. Cela est également vrai pour les œuvres exceptionnelles d'autres compositeurs, où la solution musicale la plus frappante ou la plus inattendue se produit généralement au point du nombre d'or.
Le réalisateur Sergueï Eisenstein a délibérément coordonné le scénario de son film « Le cuirassé Potemkine » avec la règle du nombre d'or, divisant le film en cinq parties. Dans les trois premières sections, l'action se déroule sur le navire et dans les deux dernières, à Odessa. La transition vers des scènes de ville est le juste milieu du film.

Le nombre d’or est une manifestation universelle de l’harmonie structurelle. On le trouve dans la nature, la science, l'art - dans tout ce avec quoi une personne peut entrer en contact. Une fois connue la règle d’or, l’humanité ne la trahit plus.

Le nombre d’or est une manifestation universelle de l’harmonie structurelle. On le trouve dans la nature, la science, l'art - dans tout ce avec quoi une personne peut entrer en contact. Une fois connue la règle d’or, l’humanité ne la trahit plus.

Définition
La définition la plus complète du nombre d’or stipule que la plus petite partie est à la plus grande comme la plus grande est au tout. Sa valeur approximative est de 1,6180339887. En pourcentage arrondi, les proportions des parties du tout correspondront entre 62% et 38%. Cette relation opère sous les formes de l’espace et du temps.

Les anciens considéraient le nombre d’or comme le reflet de l’ordre cosmique, et Johannes Kepler l’appelait l’un des trésors de la géométrie. La science moderne considère le nombre d’or comme une « symétrie asymétrique », le qualifiant au sens large de règle universelle reflétant la structure et l’ordre de notre ordre mondial.

Histoire
Les anciens Égyptiens avaient une idée des proportions d'or, ils les connaissaient en Russie, mais pour la première fois le nombre d'or a été expliqué scientifiquement par le moine Luca Pacioli dans le livre « Divine Proportion » (1509), dont les illustrations étaient soi-disant réalisé par Léonard de Vinci. Pacioli voyait dans le nombre d'or la trinité divine : le petit segment personnifiait le Fils, le grand segment le Père et le tout le Saint-Esprit.

Le nom du mathématicien italien Leonardo Fibonacci est directement associé à la règle du nombre d'or. Après avoir résolu l'un des problèmes, le scientifique a trouvé une séquence de nombres maintenant connue sous le nom de série de Fibonacci : 0, 1, 1, 2, 3... etc. Kepler a attiré l'attention sur la relation entre cette séquence et la proportion d'or : « Elle est arrangée de telle manière que les deux termes inférieurs de cette proportion sans fin s'additionnent pour former le troisième terme, et que deux derniers termes quelconques, s'ils sont ajoutés, donnent le terme suivant, et la même proportion est maintenue à l'infini" Désormais, la série de Fibonacci constitue la base arithmétique pour calculer les proportions du nombre d'or dans toutes ses manifestations.

Léonard de Vinci a également consacré beaucoup de temps à l'étude des caractéristiques du nombre d'or ; le terme lui-même lui appartient très probablement. Ses dessins d'un corps stéréométrique formé de pentagones réguliers prouvent que chacun des rectangles obtenus par section donne le rapport d'aspect dans la division d'or.

Au fil du temps, la règle du nombre d’or est devenue une routine académique, et seul le philosophe Adolf Zeising lui a donné une seconde vie en 1855. Il a porté les proportions du nombre d'or à l'absolu, les rendant universelles pour tous les phénomènes du monde environnant. Cependant, son « esthétique mathématique » a suscité de nombreuses critiques.

Nature
Même sans faire de calculs, le nombre d'or peut être facilement trouvé dans la nature. Ainsi, le rapport entre la queue et le corps d'un lézard, les distances entre les feuilles d'une branche tombent en dessous, il existe un nombre d'or en forme d'œuf, si une ligne conditionnelle est tracée à travers sa partie la plus large.

Le scientifique biélorusse Eduard Soroko, qui a étudié les formes des divisions dorées dans la nature, a noté que tout ce qui pousse et s'efforce de prendre sa place dans l'espace est doté des proportions du nombre d'or. Selon lui, l’une des formes les plus intéressantes est la torsion en spirale.
Archimède, attentif à la spirale, a dérivé une équation basée sur sa forme, qui est encore utilisée en technologie. Goethe a noté plus tard l'attirance de la nature pour les formes en spirale, appelant la spirale la « courbe de la vie ». Les scientifiques modernes ont découvert que des manifestations de formes spirales dans la nature telles qu'une coquille d'escargot, la disposition des graines de tournesol, les motifs de toiles d'araignées, le mouvement d'un ouragan, la structure de l'ADN et même la structure des galaxies contiennent la série de Fibonacci.

Humain
Les créateurs de mode et les créateurs de vêtements effectuent tous les calculs sur la base des proportions du nombre d'or. L'homme est une forme universelle pour tester les lois du nombre d'or. Bien sûr, par nature, tout le monde n'a pas des proportions idéales, ce qui crée certaines difficultés lors du choix des vêtements.

Dans le journal de Léonard de Vinci figure le dessin d'un homme nu inscrit dans un cercle, dans deux positions superposées. S'appuyant sur les recherches de l'architecte romain Vitruve, Léonard a également tenté d'établir les proportions du corps humain. Plus tard, l’architecte français Le Corbusier, en utilisant « l’Homme de Vitruve » de Léonard, a créé sa propre échelle de « proportions harmonieuses », qui a influencé l’esthétique de l’architecture du XXe siècle.

Adolf Zeising, étudiant la proportionnalité d'une personne, a accompli un travail colossal. Il mesura environ deux mille corps humains, ainsi que de nombreuses statues anciennes, et conclut que le nombre d'or exprime la loi statistique moyenne. Chez une personne, presque toutes les parties du corps lui sont subordonnées, mais le principal indicateur du nombre d'or est la division du corps par le nombril.
À la suite de mesures, le chercheur a découvert que les proportions du corps masculin 13:8 sont plus proches du nombre d'or que les proportions du corps féminin - 8:5.

L'art des formes spatiales
L'artiste Vasily Surikov a déclaré "que dans la composition, il y a une loi immuable, quand dans une image on ne peut ni supprimer ni ajouter quoi que ce soit, on ne peut même pas ajouter un point supplémentaire, ce sont de vraies mathématiques". Pendant longtemps, les artistes ont suivi intuitivement cette loi, mais après Léonard de Vinci, le processus de création d'un tableau ne peut plus se faire sans résoudre des problèmes géométriques. Par exemple, Albrecht Dürer a utilisé le compas proportionnel qu'il a inventé pour déterminer les points du nombre d'or.

Le critique d'art F.V. Kovalev, après avoir examiné en détail le tableau de Nikolaï Ge « Alexandre Sergueïevitch Pouchkine dans le village de Mikhaïlovovskoïe », note que chaque détail de la toile, qu'il s'agisse d'une cheminée, d'une bibliothèque, d'un fauteuil ou du poète lui-même, est strictement inscrit. dans des proportions dorées.

Les chercheurs du nombre d'or étudient et mesurent sans relâche les chefs-d'œuvre architecturaux, affirmant qu'ils le sont devenus parce qu'ils ont été créés selon les canons d'or : leur liste comprend les grandes pyramides de Gizeh, la cathédrale Notre-Dame, la cathédrale Saint-Basile et le Parthénon.
Et aujourd'hui, dans tout art des formes spatiales, ils essaient de suivre les proportions du nombre d'or, car, selon les critiques d'art, ils facilitent la perception de l'œuvre et forment un sentiment esthétique chez le spectateur.

Parole, son et film
Les formes d’art temporaire nous démontrent à leur manière le principe de la division dorée. Les spécialistes de la littérature, par exemple, ont remarqué que le nombre de vers le plus populaire dans les poèmes de la dernière période de l'œuvre de Pouchkine correspond à la série de Fibonacci - 5, 8, 13, 21, 34.

La règle du nombre d’or s’applique également aux œuvres individuelles du classique russe. Ainsi, le point culminant de « La Dame de Pique » est la scène dramatique d'Herman et de la Comtesse, se terminant par la mort de cette dernière. L'histoire compte 853 lignes et le point culminant se produit à la ligne 535 (853 : 535 = 1,6) - c'est le point du nombre d'or.

Le musicologue soviétique E.K. Rosenov note l'étonnante précision du nombre d'or dans les formes strictes et libres des œuvres de Johann Sebastian Bach, qui correspond au style réfléchi, concentré et techniquement vérifié du maître. Cela est également vrai pour les œuvres exceptionnelles d'autres compositeurs, où la solution musicale la plus frappante ou la plus inattendue se produit généralement au point du nombre d'or.
Le réalisateur Sergueï Eisenstein a délibérément coordonné le scénario de son film « Le cuirassé Potemkine » avec la règle du nombre d'or, divisant le film en cinq parties. Dans les trois premières sections, l'action se déroule sur le navire et dans les deux dernières, à Odessa. La transition vers des scènes de ville est le juste milieu du film.