Les écoliers qui se préparent à passer l'examen d'État unifié de mathématiques doivent absolument apprendre à résoudre les problèmes de recherche de l'aire d'un prisme droit et régulier. De nombreuses années de pratique confirment le fait que de nombreux étudiants considèrent ces tâches de géométrie comme assez difficiles.
Dans le même temps, les élèves du secondaire, quel que soit leur niveau de formation, devraient être capables de trouver l'aire et le volume d'un prisme régulier et droit. Ce n'est que dans ce cas qu'ils pourront compter sur des notes compétitives basées sur les résultats de la réussite de l'examen d'État unifié.
Points clés à retenir
- Si les bords latéraux d’un prisme sont perpendiculaires à la base, on parle de ligne droite. Toutes les faces latérales de cette figure sont des rectangles. La hauteur d'un prisme droit coïncide avec son bord.
- Un prisme régulier est un prisme dont les bords latéraux sont perpendiculaires à la base dans laquelle se trouve le polygone régulier. Les faces latérales de cette figure sont des rectangles égaux. Un prisme correct est toujours droit.
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Les informations de base sont systématisées et clairement présentées dans la section « Informations théoriques ». Si vous avez déjà réussi à répéter le matériel nécessaire, nous vous recommandons de vous entraîner à résoudre des problèmes pour trouver l'aire et le volume d'un prisme droit. La rubrique « Catalogue » présente une large sélection d'exercices de différents degrés de difficulté.
Essayez de calculer l'aire d'un prisme droit et régulier ou tout de suite. Analysez n’importe quelle tâche. Si cela ne pose aucune difficulté, vous pouvez passer en toute sécurité à des exercices de niveau expert. Et si certaines difficultés surviennent, nous vous recommandons de vous préparer régulièrement à l'examen d'État unifié en ligne avec le portail mathématique de Shkolkovo, et les tâches sur le thème « Prisme droit et régulier » vous seront faciles.
Quel est le volume d'un prisme et comment le trouver
Le volume d'un prisme est le produit de l'aire de sa base et de sa hauteur.
Cependant, nous savons qu’à la base du prisme il peut y avoir un triangle, un carré ou un autre polyèdre.
Par conséquent, pour trouver le volume d'un prisme, il suffit de calculer l'aire de la base du prisme, puis de multiplier cette aire par sa hauteur.
Autrement dit, s'il y a un triangle à la base du prisme, vous devez d'abord trouver l'aire du triangle. Si la base du prisme est un carré ou un autre polygone, vous devez d'abord rechercher l'aire du carré ou d'un autre polygone.
Il faut rappeler que la hauteur du prisme est la perpendiculaire tracée aux bases du prisme.
Qu'est-ce qu'un prisme
Rappelons maintenant la définition d'un prisme.
Un prisme est un polygone dont deux faces (bases) sont dans des plans parallèles, et toutes les arêtes situées à l'extérieur de ces faces sont parallèles.
Pour faire simple :
Un prisme est une figure géométrique possédant deux bases égales et des faces planes.
Le nom d'un prisme dépend de la forme de sa base. Lorsque la base d’un prisme est un triangle, alors un tel prisme est dit triangulaire. Un prisme polyédrique est une figure géométrique dont la base est un polyèdre. De plus, un prisme est un type de cylindre.
Quels types de prismes existe-t-il ?
Si l’on regarde la photo ci-dessus, on verra que les prismes sont droits, réguliers et obliques.
Exercice
1. Quel prisme est dit correct ?
2. Pourquoi s’appelle-t-on ainsi ?
3. Quel est le nom d'un prisme dont les bases sont des polygones réguliers ?
4. Quelle est la hauteur de cette figurine ?
5. Comment s’appelle un prisme dont les bords ne sont pas perpendiculaires ?
6. Définissez un prisme triangulaire.
7. Un prisme peut-il être un parallélépipède ?
8. Quelle figure géométrique est appelée un polygone semi-régulier ?
De quels éléments est constitué un prisme ?
Un prisme est constitué d'éléments tels qu'une base inférieure et supérieure, des faces latérales, des arêtes et des sommets.
Les deux bases du prisme se trouvent dans des plans et sont parallèles entre elles.
Les faces latérales de la pyramide sont des parallélogrammes.
La surface latérale d'une pyramide est la somme de ses faces latérales.
Les côtés communs des faces latérales ne sont rien de plus que les bords latéraux d'une figure donnée.
La hauteur de la pyramide est le segment reliant les plans des bases et perpendiculaire à celles-ci.
Propriétés du prisme
Une figure géométrique, comme un prisme, possède un certain nombre de propriétés. Examinons de plus près ces propriétés :
Premièrement, les bases d'un prisme sont des polygones égaux ;
Deuxièmement, les faces latérales d'un prisme se présentent sous la forme d'un parallélogramme ;
Troisièmement, cette figure géométrique a des bords parallèles et égaux ;
Quatrièmement, la surface totale du prisme est :
Examinons maintenant le théorème, qui fournit la formule utilisée pour calculer la surface latérale et la preuve.
Avez-vous déjà pensé à un fait aussi intéressant que non seulement un corps géométrique, mais aussi d'autres objets qui nous entourent peuvent être un prisme ? Même un flocon de neige ordinaire, selon la température, peut se transformer en prisme de glace, prenant la forme d'une figure hexagonale.
Mais les cristaux de calcite ont un phénomène si unique qu’ils se brisent en fragments et prennent la forme d’un parallélépipède. Et ce qui est le plus étonnant, c’est que peu importe la taille des cristaux de calcite broyés, le résultat est toujours le même : ils se transforment en minuscules parallélépipèdes.
Il s'avère que le prisme a gagné en popularité non seulement en mathématiques, démontrant son corps géométrique, mais aussi dans le domaine de l'art, puisqu'il constitue la base de peintures créées par de grands artistes tels que P. Picasso, Braque, Griss et d'autres.
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Différents prismes sont différents les uns des autres. En même temps, ils ont beaucoup de points communs. Pour trouver l'aire de la base du prisme, vous devrez comprendre de quel type il est.
Théorie générale
Un prisme est tout polyèdre dont les côtés ont la forme d'un parallélogramme. De plus, sa base peut être n'importe quel polyèdre - d'un triangle à un n-gon. De plus, les bases du prisme sont toujours égales entre elles. Ce qui ne s'applique pas aux faces latérales, c'est que leur taille peut varier considérablement.
Lors de la résolution de problèmes, on ne rencontre pas seulement la zone de la base du prisme. Cela peut nécessiter la connaissance de la surface latérale, c'est-à-dire de toutes les faces qui ne sont pas des bases. La surface complète sera l'union de toutes les faces qui composent le prisme.
Parfois, les problèmes concernent la hauteur. Elle est perpendiculaire aux bases. La diagonale d'un polyèdre est un segment qui relie deux à deux deux sommets quelconques n'appartenant pas à la même face.
Il est à noter que la surface de base d'un prisme droit ou incliné ne dépend pas de l'angle entre eux et les faces latérales. S'ils ont les mêmes figures sur les faces supérieure et inférieure, alors leurs aires seront égales.
Prisme triangulaire
Il a à sa base une figure à trois sommets, c'est-à-dire un triangle. Comme vous le savez, cela peut être différent. Si tel est le cas, il suffit de rappeler que sa superficie est déterminée par la moitié du produit des jambes.
La notation mathématique ressemble à ceci : S = ½ moy.
Pour connaître l'aire de la base en général, les formules sont utiles : Héron et celle dans laquelle la moitié du côté est prise par la hauteur qui y est dessinée.
La première formule doit s'écrire comme suit : S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Cette notation contient un demi-périmètre (p), c'est-à-dire la somme de trois côtés divisée par deux.
Deuxièmement : S = ½ n a * a.
Si vous voulez connaître l'aire de la base d'un prisme triangulaire, qui est régulière, alors le triangle s'avère équilatéral. Il existe une formule pour cela : S = ¼ a 2 * √3.
Prisme quadrangulaire
Sa base est l'un des quadrangles connus. Il peut s'agir d'un rectangle ou d'un carré, d'un parallélépipède ou d'un losange. Dans chaque cas, afin de calculer l'aire de la base du prisme, vous aurez besoin de votre propre formule.
Si la base est un rectangle, alors son aire est déterminée comme suit : S = ab, où a, b sont les côtés du rectangle.
Lorsqu'il s'agit d'un prisme quadrangulaire, l'aire de la base d'un prisme régulier est calculée à l'aide de la formule d'un carré. Parce que c'est lui qui est à la base. S = un 2.
Dans le cas où la base est un parallélépipède, il faudra l'égalité suivante : S = a * n a. Il arrive que le côté d'un parallélépipède et l'un des angles soient donnés. Ensuite, pour calculer la hauteur, vous devrez utiliser une formule supplémentaire : n a = b * sin A. De plus, l'angle A est adjacent au côté « b », et la hauteur n est opposée à cet angle.
S'il y a un losange à la base du prisme, alors pour déterminer son aire, vous aurez besoin de la même formule que pour un parallélogramme (puisqu'il s'agit d'un cas particulier). Mais vous pouvez aussi utiliser ceci : S = ½ d 1 d 2. Ici d 1 et d 2 sont deux diagonales du losange.
Prisme pentagonal régulier
Ce cas consiste à diviser le polygone en triangles dont les aires sont plus faciles à connaître. Bien qu'il arrive que les figures puissent avoir un nombre de sommets différent.
Puisque la base du prisme est un pentagone régulier, il peut être divisé en cinq triangles équilatéraux. Ensuite, l'aire de la base du prisme est égale à l'aire d'un de ces triangles (la formule est visible ci-dessus), multipliée par cinq.
Prisme hexagonal régulier
Selon le principe décrit pour un prisme pentagonal, il est possible de diviser l'hexagone de base en 6 triangles équilatéraux. La formule pour l'aire de base d'un tel prisme est similaire à la précédente. Seulement, il faut le multiplier par six.
La formule ressemblera à ceci : S = 3/2 a 2 * √3.
Tâches
N° 1. Étant donné une ligne droite régulière, sa diagonale est de 22 cm, la hauteur du polyèdre est de 14 cm. Calculez l'aire de la base du prisme et de toute la surface.
Solution. La base du prisme est un carré, mais son côté est inconnu. Vous pouvez trouver sa valeur à partir de la diagonale du carré (x), qui est liée à la diagonale du prisme (d) et à sa hauteur (h). x 2 = d 2 - n 2. Par contre, ce segment « x » est l'hypoténuse d'un triangle dont les jambes sont égales au côté du carré. Autrement dit, x 2 = a 2 + a 2. Il s'avère donc que a 2 = (d 2 - n 2)/2.
Remplacez le nombre 22 au lieu de d et remplacez « n » par sa valeur - 14, il s'avère que le côté du carré est de 12 cm. Découvrez maintenant l'aire de la base : 12 * 12 = 144 cm. 2.
Pour connaître l'aire de toute la surface, vous devez ajouter deux fois la surface de base et quadrupler la surface latérale. Ce dernier peut être facilement trouvé grâce à la formule d'un rectangle : multipliez la hauteur du polyèdre et le côté de la base. C'est-à-dire 14 et 12, ce nombre sera égal à 168 cm 2. La surface totale du prisme s'avère être de 960 cm 2.
Répondre. L'aire de la base du prisme est de 144 cm 2. La surface totale est de 960 cm 2.
N° 2. Étant donné À la base il y a un triangle de 6 cm de côté. Dans ce cas, la diagonale de la face latérale est de 10 cm. Calculez les aires : la base et la surface latérale.
Solution. Le prisme étant régulier, sa base est un triangle équilatéral. Son aire s'avère donc égale à 6 au carré, multiplié par ¼ et par la racine carrée de 3. Un calcul simple conduit au résultat : 9√3 cm 2. C'est l'aire d'une base du prisme.
Toutes les faces latérales sont identiques et sont des rectangles de 6 et 10 cm de côté. Pour calculer leurs aires, multipliez simplement ces nombres. Multipliez-les ensuite par trois, car le prisme a exactement autant de faces latérales. Ensuite, la surface de la surface latérale de la plaie s'avère être de 180 cm 2.
Répondre. Superficies : base - 9√3 cm 2, surface latérale du prisme - 180 cm 2.
En physique, un prisme triangulaire en verre est souvent utilisé pour étudier le spectre de la lumière blanche, car il peut le décomposer en ses composants individuels. Dans cet article, nous considérerons la formule de volume
Qu'est-ce qu'un prisme triangulaire ?
Avant de donner la formule du volume, considérons les propriétés de cette figure.
Pour l'obtenir, vous devez prendre un triangle de n'importe quelle forme et le déplacer parallèlement à lui-même sur une certaine distance. Les sommets du triangle en position initiale et finale doivent être reliés par des segments droits. La figure volumétrique résultante est appelée prisme triangulaire. Il se compose de cinq côtés. Deux d’entre elles sont appelées bases : elles sont parallèles et égales entre elles. Les bases du prisme en question sont des triangles. Les trois côtés restants sont des parallélogrammes.
En plus des côtés, le prisme en question est caractérisé par six sommets (trois pour chaque base) et neuf arêtes (6 arêtes se trouvent dans les plans des bases et 3 arêtes sont formées par l'intersection des côtés). Si les bords latéraux sont perpendiculaires aux bases, alors un tel prisme est dit rectangulaire.
La différence entre un prisme triangulaire et toutes les autres figures de cette classe est qu'il est toujours convexe (les prismes à quatre, cinq, ..., n-gonaux peuvent également être concaves).
C'est une figure rectangulaire avec à sa base un triangle équilatéral.
Volume d'un prisme triangulaire général
Comment trouver le volume d'un prisme triangulaire ? La formule en général est similaire à celle d’un prisme de tout type. Il a la notation mathématique suivante :
Ici h est la hauteur de la figure, c'est-à-dire la distance entre ses bases, S o est l'aire du triangle.
La valeur de S o peut être trouvée si certains paramètres du triangle sont connus, par exemple un côté et deux angles ou deux côtés et un angle. L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de sa hauteur et de la longueur du côté par lequel cette hauteur est abaissée.
Quant à la hauteur h de la figure, il est plus simple de la trouver pour un prisme rectangulaire. Dans ce dernier cas, h coïncide avec la longueur du bord latéral.
Volume d'un prisme triangulaire régulier
La formule générale du volume d'un prisme triangulaire, donnée dans la section précédente de l'article, peut être utilisée pour calculer la valeur correspondante pour un prisme triangulaire régulier. Puisque sa base est un triangle équilatéral, son aire est égale à :
N’importe qui peut comprendre cette formule s’il se souvient que dans un triangle équilatéral, tous les angles sont égaux les uns aux autres et valent 60°. Ici, le symbole a est la longueur du côté du triangle.
La hauteur h est la longueur du bord. Il n'est en aucun cas lié à la base d'un prisme régulier et peut prendre des valeurs arbitraires. En conséquence, la formule du volume d'un prisme triangulaire du type correct ressemble à ceci :
Après avoir calculé la racine, vous pouvez réécrire cette formule comme suit :
Ainsi, pour trouver le volume d'un prisme régulier à base triangulaire, il faut mettre au carré le côté de la base, multiplier cette valeur par la hauteur et multiplier la valeur obtenue par 0,433.
