Au départ, je voulais inclure des techniques de dénominateur commun dans la section Ajout et soustraction de fractions. Mais il s'est avéré qu'il y avait tellement d'informations et leur importance est si grande (après tout, les fractions numériques ne sont pas les seules à avoir des dénominateurs communs) qu'il est préférable d'étudier cette question séparément.
Supposons donc que nous ayons deux fractions avec des dénominateurs différents. Et nous voulons nous assurer que les dénominateurs deviennent les mêmes. La propriété fondamentale d'une fraction vient à la rescousse, qui, je vous le rappelle, ressemble à ceci :
Une fraction ne changera pas si son numérateur et son dénominateur sont multipliés par le même nombre autre que zéro.
Ainsi, si vous choisissez correctement les facteurs, les dénominateurs des fractions deviendront égaux - ce processus est appelé réduction à un dénominateur commun. Et les nombres requis, « égalisant » les dénominateurs, sont appelés facteurs supplémentaires.
Pourquoi devons-nous réduire les fractions à un dénominateur commun ? Voici quelques raisons :
- Additionner et soustraire des fractions avec différents dénominateurs. Il n'existe pas d'autre moyen d'effectuer cette opération ;
- Comparer des fractions. Parfois, la réduction à un dénominateur commun simplifie grandement cette tâche ;
- Résoudre des problèmes impliquant des fractions et des pourcentages. Les pourcentages sont essentiellement des expressions ordinaires contenant des fractions.
Il existe de nombreuses façons de trouver des nombres qui, une fois multipliés par eux, rendront les dénominateurs des fractions égaux. Nous n'en considérerons que trois - par ordre croissant de complexité et, en un sens, d'efficacité.
Multiplication entrecroisée
La méthode la plus simple et la plus fiable, qui garantit l'égalisation des dénominateurs. Nous agirons « à la hâte » : nous multiplions la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction, et la seconde par le dénominateur de la première. En conséquence, les dénominateurs des deux fractions deviendront égaux au produit des dénominateurs d’origine. Jetez un oeil :
Comme facteurs supplémentaires, considérons les dénominateurs des fractions voisines. On obtient :
Oui, c'est aussi simple que cela. Si vous commencez tout juste à étudier les fractions, il est préférable de travailler en utilisant cette méthode - de cette façon, vous vous assurerez contre de nombreuses erreurs et serez assuré d'obtenir le résultat.
Le seul inconvénient de cette méthode est qu'il faut compter beaucoup, car les dénominateurs sont multipliés « jusqu'au bout », et le résultat peut être de très grands nombres. C'est le prix à payer pour la fiabilité.
Méthode du diviseur commun
Cette technique permet de réduire considérablement les calculs, mais, malheureusement, elle est assez rarement utilisée. La méthode est la suivante :
- Avant d’aller tout droit (c’est-à-dire en utilisant la méthode entrecroisée), jetez un œil aux dénominateurs. Peut-être que l'un d'eux (celui qui est le plus grand) est divisé en un autre.
- Le nombre résultant de cette division sera un facteur supplémentaire pour la fraction ayant un plus petit dénominateur.
- Dans ce cas, une fraction avec un grand dénominateur n'a pas besoin d'être multipliée par quoi que ce soit - c'est là que résident les économies. Dans le même temps, la probabilité d’erreur est considérablement réduite.
Tâche. Trouvez le sens des expressions :
Notez que 84 : 21 = 4 ; 72 : 12 = 6. Puisque dans les deux cas un dénominateur est divisé sans reste par l'autre, nous utilisons la méthode des facteurs communs. Nous avons:
Notez que la deuxième fraction n’a été multipliée par rien du tout. En fait, nous avons réduit de moitié la quantité de calcul !
D’ailleurs, je n’ai pas pris les fractions de cet exemple par hasard. Si cela vous intéresse, essayez de les compter en utilisant la méthode entrecroisée. Après réduction, les réponses seront les mêmes, mais il y aura beaucoup plus de travail.
C'est là toute la puissance de la méthode des diviseurs communs, mais, encore une fois, elle ne peut être utilisée que lorsque l'un des dénominateurs est divisible par l'autre sans reste. Ce qui arrive assez rarement.
Méthode multiple la moins courante
Lorsque nous réduisons des fractions à un dénominateur commun, nous essayons essentiellement de trouver un nombre divisible par chaque dénominateur. Ensuite, nous ramenons les dénominateurs des deux fractions à ce nombre.
Il existe de nombreux nombres de ce type, et le plus petit d'entre eux ne sera pas nécessairement égal au produit direct des dénominateurs des fractions originales, comme le suppose la méthode « entrecroisée ».
Par exemple, pour les dénominateurs 8 et 12, le nombre 24 convient tout à fait, puisque 24 : 8 = 3 ; 24 : 12 = 2. Ce nombre est bien inférieur au produit 8 · 12 = 96.
Le plus petit nombre divisible par chacun des dénominateurs est appelé leur plus petit commun multiple (LCM).
Notation : Le plus petit commun multiple de a et b est noté LCM(a ; b) . Par exemple, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8 ; 12) = 24 .
Si vous parvenez à trouver un tel nombre, le nombre total de calculs sera minime. Regardez les exemples :
Tâche. Trouvez le sens des expressions :
Notez que 234 = 117 2 ; 351 = 117 3. Les facteurs 2 et 3 sont premiers entre eux (n'ont pas de facteur commun autre que 1) et le facteur 117 est commun. Donc LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.
De même, 15 = 5 3 ; 20 = 5 · 4. Les facteurs 3 et 4 sont premiers entre eux et le facteur 5 est commun. Donc LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.
Réduisons maintenant les fractions aux dénominateurs communs :
Remarquez à quel point il était utile de factoriser les dénominateurs d'origine :
- Ayant découvert des facteurs identiques, nous sommes immédiatement arrivés au plus petit commun multiple, ce qui, d'une manière générale, est un problème non trivial ;
- À partir du développement obtenu, vous pouvez découvrir quels facteurs sont « manquants » dans chaque fraction. Par exemple, 234 · 3 = 702, donc pour la première fraction le facteur supplémentaire est 3.
Pour apprécier la différence que fait la méthode multiple la moins courante, essayez de calculer ces mêmes exemples en utilisant la méthode croisée. Bien sûr, sans calculatrice. Je pense qu'après cela, les commentaires seront inutiles.
Ne pensez pas qu'il n'y aura pas de fractions aussi complexes dans les exemples réels. Ils se rencontrent tout le temps, et les tâches ci-dessus ne sont pas la limite !
Le seul problème est de savoir comment trouver ce même NOC. Parfois, tout peut être trouvé en quelques secondes, littéralement « à l'œil nu », mais en général, il s'agit d'une tâche informatique complexe qui nécessite une considération distincte. Nous n’en parlerons pas ici.
Cette méthode a du sens si le degré du polynôme n'est pas inférieur à deux. Dans ce cas, le facteur commun peut être non seulement un binôme du premier degré, mais également des degrés supérieurs.
Pour trouver un point commun facteur En termes de polynôme, il est nécessaire d'effectuer un certain nombre de transformations. Le binôme ou monôme le plus simple pouvant être retiré des parenthèses sera l'une des racines du polynôme. Évidemment, dans le cas où le polynôme n'a pas de terme libre, il y aura une inconnue au premier degré - le polynôme, égal à 0.
Il est plus difficile de trouver un facteur commun lorsque le terme libre n'est pas égal à zéro. Des méthodes de sélection ou de regroupement simple sont alors applicables. Par exemple, supposons que toutes les racines du polynôme soient rationnelles et que tous les coefficients du polynôme soient des entiers : y^4 + 3 y³ – y² – 9 y – 18.
Notez tous les diviseurs entiers du terme libre. Si un polynôme a des racines rationnelles, alors elles en font partie. À la suite de la sélection, les racines 2 et -3 sont obtenues. Cela signifie que les facteurs communs de ce polynôme seront les binômes (y - 2) et (y + 3).
La méthode de factorisation courante est l'une des composantes de la factorisation. La méthode décrite ci-dessus est applicable si le coefficient du degré le plus élevé est 1. Si ce n'est pas le cas, il faut d'abord effectuer une série de transformations. Par exemple : 2 ans³ + 19 ans² + 41 ans + 15.
Faites une substitution de la forme t = 2³·y³. Pour cela, multipliez tous les coefficients du polynôme par 4 : 2³·y³ + 19·2²·y² + 82·2·y + 60. Après remplacement : t³ + 19·t² + 82·t + 60. Maintenant, à trouver le facteur commun, nous appliquons la méthode ci-dessus.
De plus, les éléments d'un polynôme constituent une méthode efficace pour trouver un facteur commun. C'est particulièrement utile lorsque la première méthode ne fonctionne pas, c'est-à-dire Le polynôme n'a pas de racines rationnelles. Toutefois, les regroupements ne sont pas toujours évidents. Par exemple : Le polynôme y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 n'a pas de racines entières.
Utiliser le regroupement : y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 = y^4 + 4 y³ – 2 y² + y² – 8 y – 2 = (y^4 – 2 y²) + ( 4 y³ – 8 y) + y² – 2 = (y² - 2)*(y² + 4 y + 1). Le facteur commun des éléments de ce polynôme est (y² - 2).
La multiplication et la division, tout comme l’addition et la soustraction, sont des opérations arithmétiques de base. Sans apprendre à résoudre des exemples de multiplication et de division, une personne rencontrera de nombreuses difficultés non seulement lors de l'étude de branches plus complexes des mathématiques, mais même dans les affaires quotidiennes les plus ordinaires. La multiplication et la division sont étroitement liées, et les composantes inconnues des exemples et des problèmes impliquant l'une de ces opérations sont calculées à l'aide de l'autre opération. Dans le même temps, il est nécessaire de comprendre clairement que lors de la résolution d'exemples, les objets que vous divisez ou multipliez ne font absolument aucune différence.
Vous aurez besoin
- - table de multiplication ;
- - une calculatrice ou une feuille de papier et un crayon.
Instructions
Notez l'exemple dont vous avez besoin. Étiquetez l’inconnu facteur comme x. Un exemple pourrait ressembler à ceci : a*x=b. Au lieu du facteur a et du produit b dans l'exemple, il peut y avoir n'importe quel nombre ou. Rappelez-vous le principe de base de la multiplication : changer la place des facteurs ne change pas le produit. Tellement inconnu facteur x peut être placé absolument n’importe où.
Pour trouver l'inconnu facteur dans un exemple où il n'y a que deux facteurs, il suffit de diviser le produit par le connu facteur. Autrement dit, cela se fait comme suit : x=b/a. Si vous avez du mal à opérer avec des quantités abstraites, essayez d’imaginer ce problème sous forme d’objets concrets. Vous, vous n’avez que des pommes et combien vous en mangerez, mais vous ne savez pas combien de pommes tout le monde aura. Par exemple, vous avez 5 membres de la famille et il y a 15 pommes. Désignez x le nombre de pommes destinées à chacun. L’équation ressemblera alors à ceci : 5(pommes)*x=15(pommes). Inconnu facteur se trouve de la même manière que dans l'équation avec des lettres, c'est-à-dire diviser 15 pommes entre cinq membres de la famille, au final il s'avère que chacun d'eux a mangé 3 pommes.
De la même manière l'inconnu est trouvé facteur avec le nombre de facteurs. Par exemple, l'exemple ressemble à a*b*c*x*=d. En théorie, trouvez avec facteur c'est possible de la même manière que dans l'exemple suivant : x=d/a*b*c. Mais vous pouvez simplifier l'équation en désignant le produit de facteurs connus par une autre lettre - par exemple, m. Trouvez à quoi m est égal en multipliant les nombres a,b et c : m=a*b*c. Ensuite, l'exemple entier peut être représenté par m*x=d, et la quantité inconnue sera égale à x=d/m.
Si connu facteur et le produit sont des fractions, l'exemple est résolu exactement de la même manière qu'avec . Mais dans ce cas, vous devez vous souvenir des actions. Lors de la multiplication de fractions, leurs numérateurs et dénominateurs sont multipliés. Lors de la division de fractions, le numérateur du dividende est multiplié par le dénominateur du diviseur et le dénominateur du dividende est multiplié par le numérateur du diviseur. Autrement dit, dans ce cas, l'exemple ressemblera à ceci : a/b*x=c/d. Afin de trouver une quantité inconnue, vous devez diviser le produit par le connu facteur. Autrement dit, x=a/b:c/d =a*d/b*c.
Vidéo sur le sujet
Veuillez noter
Lors de la résolution d'exemples avec des fractions, la fraction d'un facteur connu peut simplement être inversée et l'action effectuée sous la forme d'une multiplication de fractions.
Un polynôme est la somme de monômes. Un monôme est le produit de plusieurs facteurs, qui sont un chiffre ou une lettre. Degré inconnu est le nombre de fois où il est multiplié par lui-même.
Instructions
Merci de le fournir si ce n'est pas déjà fait. Les monômes similaires sont des monômes du même type, c'est-à-dire des monômes avec les mêmes inconnues du même degré.
Prenons, par exemple, le polynôme 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y². Il y a deux inconnues dans ce polynôme : x et y.
Connectez des monômes similaires. Les monômes avec la deuxième puissance de y et la troisième puissance de x prendront la forme y²*x³, et les monômes avec la quatrième puissance de y s'annuleront. Il s'avère que y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³.
Prenez y comme principale lettre inconnue. Trouvez le degré maximum pour y inconnu. Il s'agit d'un monôme y²*x³ et, par conséquent, du degré 2.
Tirez une conclusion. Degré polynôme 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y² dans x est égal à trois, et dans y est égal à deux.
Trouver le diplôme polynôme√x+5*y par y. Il est égal au degré maximum de y, c'est-à-dire un.
Trouver le diplôme polynôme√x+5*y dans x. L'inconnu x est localisé, ce qui signifie que son degré sera une fraction. Puisque la racine est une racine carrée, la puissance de x est 1/2.
Tirez une conclusion. Pour polynôme√x+5*y la puissance x est 1/2 et la puissance y est 1.
Vidéo sur le sujet
La simplification des expressions algébriques est nécessaire dans de nombreux domaines des mathématiques, notamment la résolution d'équations d'ordre supérieur, la différenciation et l'intégration. Plusieurs méthodes sont utilisées, dont la factorisation. Pour appliquer cette méthode, vous devez trouver et faire un général facteur pour parenthèses.
La plupart des opérations avec des fractions algébriques, telles que l'addition et la soustraction, nécessitent d'abord de réduire ces fractions aux mêmes dénominateurs. Ces dénominateurs sont aussi souvent appelés « dénominateur commun ». Dans ce sujet, nous examinerons la définition des concepts « dénominateur commun des fractions algébriques » et « plus petit dénominateur commun des fractions algébriques (LCD) », considérerons l'algorithme pour trouver le dénominateur commun point par point et résoudrons plusieurs problèmes sur le sujet.
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Dénominateur commun des fractions algébriques
Si nous parlons de fractions ordinaires, alors le dénominateur commun est un nombre divisible par l'un des dénominateurs des fractions originales. Pour les fractions ordinaires 1 2 Et 5 9 le nombre 36 peut être un dénominateur commun, puisqu'il est divisible par 2 et 9 sans reste.
Le dénominateur commun des fractions algébriques est déterminé de la même manière, seuls les polynômes sont utilisés à la place des nombres, puisqu'ils sont les numérateurs et dénominateurs de la fraction algébrique.
Définition 1
Dénominateur commun d'une fraction algébrique est un polynôme divisible par le dénominateur de n'importe quelle fraction.
En raison des particularités des fractions algébriques, qui seront discutées ci-dessous, nous traiterons souvent de dénominateurs communs représentés comme un produit plutôt que comme un polynôme standard.
Exemple 1
Polynôme écrit sous forme de produit 3x2 (x + 1), correspond à un polynôme de la forme standard 3x3 + 3x2. Ce polynôme peut être le dénominateur commun des fractions algébriques 2 x, - 3 x y x 2 et y + 3 x + 1, du fait qu'il est divisible par x, sur x2 et sur x+1. Des informations sur la divisibilité des polynômes sont disponibles dans la rubrique correspondante de notre ressource.
Plus petit dénominateur commun (LCD)
Pour des fractions algébriques données, le nombre de dénominateurs communs peut être infini.
Exemple 2
Prenons comme exemple les fractions 1 2 x et x + 1 x 2 + 3. Leur dénominateur commun est 2x (x2 + 3), ainsi que − 2x (x2 + 3), ainsi que x (x2 + 3), ainsi que 6, 4 x (x 2 + 3) (y + y 4), ainsi que − 31 x 5 (x 2 + 3) 3, etc.
Lorsque vous résolvez des problèmes, vous pouvez faciliter votre travail en utilisant un dénominateur commun, qui a la forme la plus simple parmi l'ensemble des dénominateurs. Ce dénominateur est souvent appelé le plus petit dénominateur commun.
Définition 2
Plus petit dénominateur commun des fractions algébriques est le dénominateur commun des fractions algébriques, qui a la forme la plus simple.
Soit dit en passant, le terme « plus petit dénominateur commun » n'est généralement pas accepté, il est donc préférable de se limiter au terme « dénominateur commun ». Et voici pourquoi.
Plus tôt, nous avons attiré votre attention sur l’expression « dénominateur du type le plus simple ». Le sens principal de cette phrase est le suivant : le dénominateur de la forme la plus simple doit être divisé sans reste par tout autre dénominateur commun des données dans la condition du problème des fractions algébriques. Dans ce cas, dans le produit, qui est le dénominateur commun des fractions, divers coefficients numériques peuvent être utilisés.
Exemple 3
Prenons les fractions 1 2 · x et x + 1 x 2 + 3 . Nous avons déjà découvert qu'il sera plus simple pour nous de travailler avec un dénominateur commun de la forme 2 x x (x 2 + 3). De plus, le dénominateur commun de ces deux fractions peut être x (x2 + 3), qui ne contient pas de coefficient numérique. La question est de savoir lequel de ces deux dénominateurs communs est considéré comme le plus petit dénominateur commun des fractions. Il n'y a pas de réponse définitive, il est donc plus correct de simplement parler du dénominateur commun et de travailler avec l'option avec laquelle il sera le plus pratique de travailler. Nous pouvons donc utiliser des dénominateurs communs tels que x 2 (x 2 + 3) (y + y 4) ou − 15 x 5 (x 2 + 3) 3, qui ont une apparence plus complexe, mais il peut être plus difficile d'effectuer des actions avec eux.
Trouver le dénominateur commun des fractions algébriques : algorithme d'actions
Supposons que nous ayons plusieurs fractions algébriques pour lesquelles nous devons trouver un dénominateur commun. Pour résoudre ce problème, nous pouvons utiliser l’algorithme d’actions suivant. Nous devons d’abord factoriser les dénominateurs des fractions originales. Ensuite, nous composons une œuvre dans laquelle nous incluons séquentiellement :
- tous les facteurs du dénominateur de la première fraction ainsi que les puissances ;
- tous les facteurs présents au dénominateur de la deuxième fraction, mais qui ne sont pas dans le produit écrit ou dont le degré est insuffisant ;
- tous les facteurs manquants du dénominateur de la troisième fraction, et ainsi de suite.
Le produit résultant sera le dénominateur commun des fractions algébriques.
Comme facteurs du produit, nous pouvons prendre tous les dénominateurs des fractions données dans l'énoncé du problème. Cependant, le multiplicateur que nous obtiendrons au final sera loin d’avoir un sens comparable à celui des MNT et son utilisation sera irrationnelle.
Exemple 4
Déterminez le dénominateur commun des fractions 1 x 2 y, 5 x + 1 et y - 3 x 5 y.
Solution
Dans ce cas, nous n’avons pas besoin de factoriser les dénominateurs des fractions originales. Par conséquent, nous commencerons à appliquer l’algorithme en composant l’œuvre.
Du dénominateur de la première fraction on prend le multiplicateur x 2 ans, du dénominateur de la deuxième fraction le multiplicateur x+1. Nous obtenons le produit x 2 oui (x + 1).
Le dénominateur de la troisième fraction peut nous donner un multiplicateur x 5 ans, cependant, le produit que nous avons compilé plus tôt comporte déjà des facteurs x2 Et oui. On ajoute donc plus x 5 − 2 = x 3. Nous obtenons le produit x 2 oui (x + 1) x 3, que l'on peut réduire à la forme x 5 ans (x + 1). Ce sera notre NOZ de fractions algébriques.
Répondre: x 5 · y · (x + 1) .
Examinons maintenant des exemples de problèmes dans lesquels les dénominateurs de fractions algébriques contiennent des facteurs numériques entiers. Dans de tels cas, nous suivons également l’algorithme, après avoir décomposé les facteurs numériques entiers en facteurs simples.
Exemple 5
Trouvez le dénominateur commun des fractions 1 12 x et 1 90 x 2.
Solution
En divisant les nombres aux dénominateurs des fractions en facteurs premiers, nous obtenons 1 2 2 3 x et 1 2 3 2 5 x 2. Nous pouvons maintenant passer à l’élaboration d’un dénominateur commun. Pour ce faire, du dénominateur de la première fraction on prend le produit 2 2 3x et ajoutez-y les facteurs 3, 5 et x du dénominateur de la deuxième fraction. Nous obtenons 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2. C'est notre dénominateur commun.
Répondre: 180x2.
Si vous regardez attentivement les résultats des deux exemples analysés, vous remarquerez que les dénominateurs communs des fractions contiennent tous les facteurs présents dans les développements des dénominateurs, et si un certain facteur est présent dans plusieurs dénominateurs, alors il est pris avec le plus grand exposant disponible. Et si les dénominateurs ont des coefficients entiers, alors le dénominateur commun contient un facteur numérique égal au plus petit commun multiple de ces coefficients numériques.
Exemple 6
Les dénominateurs des deux fractions algébriques 1 12 x et 1 90 x 2 ont un facteur x. Dans le deuxième cas, le facteur x est au carré. Pour créer un dénominateur commun, nous devons prendre ce facteur au maximum, c'est-à-dire x2. Il n'y a pas d'autres multiplicateurs avec des variables. Coefficients numériques entiers des fractions originales 12 Et 90 , et leur plus petit commun multiple est 180 . Il s'avère que le dénominateur commun souhaité a la forme 180x2.
Nous pouvons maintenant écrire un autre algorithme pour trouver le facteur commun des fractions algébriques. Pour cela nous :
- factoriser les dénominateurs de toutes les fractions ;
- on compose le produit de tous les facteurs de lettre (s'il y a un facteur dans plusieurs développements, on prend l'option avec le plus grand exposant) ;
- on ajoute le LCM des coefficients numériques des développements au produit résultant.
Les algorithmes donnés sont équivalents, donc n’importe lequel d’entre eux peut être utilisé pour résoudre des problèmes. Il est important de prêter attention aux détails.
Il existe des cas où les facteurs communs aux dénominateurs des fractions peuvent être invisibles derrière les coefficients numériques. Ici, il convient de mettre d'abord entre parenthèses les coefficients numériques aux puissances supérieures des variables dans chacun des facteurs présents dans le dénominateur.
Exemple 7
Quel dénominateur commun ont les fractions 3 5 - x et 5 - x · y 2 2 · x - 10 ?
Solution
Dans le premier cas, le moins un doit être retiré des parenthèses. Nous obtenons 3-x-5. On multiplie le numérateur et le dénominateur par - 1 afin de supprimer le moins au dénominateur : - 3 x - 5.
Dans le deuxième cas, nous mettons les deux entre parenthèses. Cela nous permet d'obtenir la fraction 5 - x · y 2 2 · x - 5.
Il est évident que le dénominateur commun de ces fractions algébriques - 3 x - 5 et 5 - x · y 2 2 · x - 5 est 2 (x-5).
Répondre:2 (x-5).
Les données dans la condition problématique de fraction peuvent avoir des coefficients fractionnaires. Dans ces cas, vous devez d'abord vous débarrasser des coefficients fractionnaires en multipliant le numérateur et le dénominateur par un certain nombre.
Exemple 8
Simplifiez les fractions algébriques 1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 et - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 puis déterminez leur dénominateur commun.
Solution
Débarrassons-nous des coefficients fractionnaires en multipliant le numérateur et le dénominateur dans le premier cas par 14, dans le second cas par 3. On obtient :
1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 et - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .
Après les transformations effectuées, il apparaît clairement que le dénominateur commun est 2 (x2 + 2).
Répondre: 2 (x2 + 2).
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Pour résoudre des exemples avec des fractions, vous devez être capable de trouver le plus petit dénominateur commun. Vous trouverez ci-dessous des instructions détaillées.
Comment trouver le plus petit dénominateur commun - concept
Le plus petit dénominateur commun (LCD), en termes simples, est le nombre minimum divisible par les dénominateurs de toutes les fractions dans un exemple donné. En d’autres termes, on l’appelle le plus petit commun multiple (LCM). NOS n'est utilisé que si les dénominateurs des fractions sont différents.
Comment trouver le plus petit dénominateur commun – exemples
Examinons des exemples de recherche de CNO.
Calculez : 3/5 + 2/15.
Solution (séquence d'actions) :
- Nous regardons les dénominateurs des fractions, veillons à ce qu'ils soient différents et que les expressions soient les plus abrégées possible.
- On trouve le plus petit nombre divisible à la fois par 5 et par 15. Ce nombre sera 15. Ainsi, 3/5 + 2/15 = ?/15.
- Nous avons trouvé le dénominateur. Que contiendra le numérateur ? Un multiplicateur supplémentaire nous aidera à comprendre cela. Un facteur supplémentaire est le nombre obtenu en divisant le NZ par le dénominateur d'une fraction particulière. Pour 3/5, le facteur supplémentaire est 3, puisque 15/5 = 3. Pour la deuxième fraction, le facteur supplémentaire est 1, puisque 15/15 = 1.
- Après avoir découvert le facteur supplémentaire, nous le multiplions par les numérateurs des fractions et ajoutons les valeurs résultantes. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.
Réponse : 3/5 + 2/15 = 11/15.
Si dans l'exemple, non pas 2, mais 3 fractions ou plus sont ajoutées ou soustraites, alors le NCD doit être recherché pour autant de fractions qu'indiqué.
Calculer : 1/2 – 5/12 + 3/6
Solution (séquence d'actions) :
- Trouver le plus petit dénominateur commun. Le nombre minimum divisible par 2, 12 et 6 est 12.
- On obtient : 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
- Nous recherchons des multiplicateurs supplémentaires. Pour 1/2 – 6 ; pour 5/12 – 1 ; pour 3/6 – 2.
- Nous multiplions par les numérateurs et attribuons les signes correspondants : 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.
Réponse : 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.
Pour réduire des fractions au plus petit dénominateur commun, vous devez : 1) trouver le plus petit commun multiple des dénominateurs des fractions données, ce sera le plus petit dénominateur commun. 2) trouver un facteur supplémentaire pour chaque fraction en divisant le nouveau dénominateur par le dénominateur de chaque fraction. 3) multiplier le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par son facteur supplémentaire.
Exemples. Réduisez les fractions suivantes à leur plus petit dénominateur commun.
On trouve le plus petit commun multiple des dénominateurs : LCM(5; 4) = 20, puisque 20 est le plus petit nombre divisible par 5 et 4. Trouvez pour la 1ère fraction un facteur supplémentaire 4 (20 : 5=4). Pour la 2ème fraction le facteur supplémentaire est 5 (20 : 4=5). On multiplie le numérateur et le dénominateur de la 1ère fraction par 4, et le numérateur et le dénominateur de la 2ème fraction par 5. Nous avons réduit ces fractions au plus petit dénominateur commun ( 20 ).
Le plus petit dénominateur commun de ces fractions est le nombre 8, puisque 8 est divisible par 4 et par lui-même. Il n'y aura pas de facteur supplémentaire pour la 1ère fraction (ou on peut dire qu'il est égal à un), pour la 2ème fraction le facteur supplémentaire est de 2 (8 : 4=2). On multiplie le numérateur et le dénominateur de la 2ème fraction par 2. On a réduit ces fractions au plus petit dénominateur commun ( 8 ).
Ces fractions ne sont pas irréductibles.
Réduisons la 1ère fraction de 4, et réduisons la 2ème fraction de 2. ( voir des exemples de réduction de fractions ordinaires : Plan du site → 5.4.2. Exemples de réduction de fractions communes). Trouver le LOC(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Le multiplicateur supplémentaire pour la 1ère fraction est de 5 (80 : 16=5). Le facteur supplémentaire pour la 2ème fraction est 4 (80 : 20=4). On multiplie le numérateur et le dénominateur de la 1ère fraction par 5, et le numérateur et le dénominateur de la 2ème fraction par 4. Nous avons réduit ces fractions au plus petit dénominateur commun ( 80 ).
Nous trouvons le plus petit dénominateur commun NCD(5 ; 6 et 15)=NOK(5 ; 6 et 15)=30. Le facteur supplémentaire à la 1ère fraction est 6 (30 : 5=6), le facteur supplémentaire à la 2ème fraction est 5 (30 : 6=5), le facteur supplémentaire à la 3ème fraction est 2 (30 : 15=2). On multiplie le numérateur et le dénominateur de la 1ère fraction par 6, le numérateur et le dénominateur de la 2ème fraction par 5, le numérateur et le dénominateur de la 3ème fraction par 2. Nous avons réduit ces fractions au plus petit commun dénominateur ( 30 ).
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