Est-il possible de soustraire des racines égales ? Règle pour ajouter des racines carrées

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En mathématiques, les racines peuvent être carrées, cubiques ou avoir tout autre exposant (puissance), écrit à gauche au-dessus du signe racine. Une expression sous le signe racine est appelée expression radicale. L’ajout de racines est similaire à l’ajout de termes d’une expression algébrique, c’est-à-dire qu’il faut déterminer des racines similaires.

Mesures

Désignation des racines. Une expression sous le signe racine () signifie qu'il faut extraire la racine d'un certain degré de cette expression.

• La racine est indiquée par un signe.
• L'exposant (degré) de la racine est écrit à gauche au-dessus du signe de la racine. Par exemple, la racine cubique de 27 s’écrit : (27)
• S'il manque l'exposant (degré) de la racine, alors l'exposant est considéré comme égal à 2, c'est-à-dire qu'il s'agit d'une racine carrée (ou racine du deuxième degré).
• Le nombre écrit avant le signe racine est appelé multiplicateur (c'est-à-dire que ce nombre est multiplié par la racine), par exemple 5 (2)
• S'il n'y a pas de facteur devant la racine, alors il est égal à 1 (rappelons que tout nombre multiplié par 1 est égal à lui-même).
• Si c'est la première fois que vous travaillez avec des racines, prenez les notes appropriées sur le multiplicateur et l'exposant racine pour éviter toute confusion et mieux comprendre leur objectif.

Rappelez-vous quelles racines peuvent être pliées et lesquelles ne le peuvent pas. Tout comme vous ne pouvez pas ajouter différents termes d'une expression, par exemple 2a + 2b 4ab, vous ne pouvez pas ajouter différentes racines.

Identifiez et regroupez les racines similaires. Les racines similaires sont des racines qui ont les mêmes indicateurs et les mêmes expressions radicales. Par exemple, considérons l'expression :
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• Tout d’abord, réécrivez l’expression de manière à ce que les racines ayant le même index soient localisées séquentiellement.
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• Réécrivez ensuite l'expression de manière à ce que les racines avec le même exposant et avec la même expression radicale soient localisées séquentiellement.
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Simplifiez les racines. Pour ce faire, décomposez (si possible) les expressions radicales en deux facteurs, dont l'un est retiré sous la racine. Dans ce cas, le nombre supprimé et le facteur racine sont multipliés.

Ajoutez les facteurs de racines similaires. Dans notre exemple, il existe des racines carrées similaires de 2 (elles peuvent être ajoutées) et des racines carrées similaires de 3 (elles peuvent également être ajoutées). La racine cubique de 3 n’a pas de telles racines.

• Il n’existe pas de règles généralement acceptées concernant l’ordre dans lequel les racines sont écrites dans une expression. Par conséquent, vous pouvez écrire les racines par ordre croissant de leurs indicateurs et par ordre croissant d'expressions radicales.

Tout est intéressant

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Salutations, chats ! La dernière fois, nous avons discuté en détail de ce que sont les racines (si vous ne vous en souvenez pas, je vous recommande de le lire). Le principal point à retenir de cette leçon : il n’existe qu’une seule définition universelle des racines, et c’est ce que vous devez savoir. Le reste n’a aucun sens et c’est une perte de temps.

Aujourd'hui, nous allons plus loin. Nous apprendrons à multiplier les racines, nous étudierons certains problèmes associés à la multiplication (si ces problèmes ne sont pas résolus, ils peuvent devenir fatals à l'examen) et nous pratiquerons correctement. Alors faites le plein de pop-corn, installez-vous confortablement et commençons :)

Vous ne l’avez pas encore fumé non plus, n’est-ce pas ?

La leçon s'est avérée assez longue, je l'ai donc divisée en deux parties :

1. Nous examinerons d’abord les règles de multiplication. Cap semble faire allusion : c'est lorsqu'il y a deux racines, entre elles il y a un signe « multiplier » - et nous voulons en faire quelque chose.
2. Regardons ensuite la situation inverse : il existe une grande racine, mais nous avions hâte de la représenter comme le produit de deux racines plus simples. Pourquoi est-ce nécessaire, c'est une question distincte. Nous analyserons uniquement l'algorithme.

Pour ceux qui ont hâte de passer immédiatement à la deuxième partie, vous êtes les bienvenus. Commençons par le reste dans l'ordre.

Règle de base de multiplication

Commençons par la chose la plus simple : les racines carrées classiques. Les mêmes qui sont notés $\sqrt(a)$ et $\sqrt(b)$. Tout est évident pour eux :

Règle de multiplication. Pour multiplier une racine carrée par une autre, il suffit de multiplier leurs expressions radicales et d'écrire le résultat sous le radical commun :

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Aucune restriction supplémentaire n'est imposée sur les nombres à droite ou à gauche : si les facteurs racines existent, alors le produit existe également.

Exemples. Regardons quatre exemples avec des chiffres à la fois :

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \fin(aligner)\]

Comme vous pouvez le constater, le sens principal de cette règle est de simplifier les expressions irrationnelles. Et si dans le premier exemple nous avions nous-mêmes extrait les racines de 25 et 4 sans nouvelles règles, alors les choses se compliquent : $\sqrt(32)$ et $\sqrt(2)$ ne sont pas considérés seuls, mais leur produit s'avère être un carré parfait, donc sa racine est égale à un nombre rationnel.

Je voudrais particulièrement souligner la dernière ligne. Ici, les deux expressions radicales sont des fractions. Grâce au produit, de nombreux facteurs sont annulés et l'expression entière se transforme en un nombre adéquat.

Bien sûr, les choses ne seront pas toujours aussi belles. Parfois, il y aura un désordre complet sous les racines - on ne sait pas quoi en faire et comment le transformer après la multiplication. Un peu plus tard, lorsque vous commencerez à étudier les équations et les inégalités irrationnelles, vous verrez apparaître toutes sortes de variables et de fonctions. Et très souvent, les rédacteurs de problèmes comptent sur le fait que vous découvrirez des termes ou des facteurs d'annulation, après quoi le problème sera plusieurs fois simplifié.

De plus, il n’est pas du tout nécessaire de multiplier exactement deux racines. Vous pouvez multiplier trois, quatre ou même dix à la fois ! Cela ne changera pas la règle. Jetez un oeil :

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \fin(aligner)\]

Et encore une petite note sur le deuxième exemple. Comme vous pouvez le voir, dans le troisième facteur sous la racine, il y a une fraction décimale - dans le processus de calcul, nous la remplaçons par une fraction régulière, après quoi tout est facilement réduit. Donc : je recommande fortement de se débarrasser des fractions décimales dans toute expression irrationnelle (c'est-à-dire contenant au moins un symbole radical). Cela vous fera gagner beaucoup de temps et de nerfs à l'avenir.

Mais c'était une digression lyrique. Considérons maintenant un cas plus général - lorsque l'exposant racine contient un nombre arbitraire $n$, et pas seulement les deux « classiques ».

Le cas d’un indicateur arbitraire

Nous avons donc trié les racines carrées. Que faire des cubiques ? Ou même avec des racines de degré arbitraire $n$ ? Oui, tout est pareil. La règle reste la même :

Pour multiplier deux racines de degré $n$, il suffit de multiplier leurs expressions radicales, puis d'écrire le résultat sous un radical.

En général, rien de compliqué. Sauf que la quantité de calculs peut être plus importante. Regardons quelques exemples :

Exemples. Calculer les produits :

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5 ; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \fin(aligner)\]

Et encore une fois, attention à la deuxième expression. Nous multiplions les racines cubiques, éliminons la fraction décimale et obtenons que le dénominateur soit le produit des nombres 625 et 25. C'est un nombre assez grand - personnellement, je n'arrive pas à comprendre à quoi cela correspond dès le départ. batte.

Par conséquent, nous avons simplement isolé le cube exact dans le numérateur et le dénominateur, puis avons utilisé l'une des propriétés clés (ou, si vous préférez, la définition) de la $n$ième racine :

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\gauche| a\droit|. \\ \fin(aligner)\]

De telles « machinations » peuvent vous faire gagner beaucoup de temps lors d’un examen ou d’un test, alors rappelez-vous :

Ne vous précipitez pas pour multiplier les nombres en utilisant des expressions radicales. Tout d’abord, vérifiez : et si le degré exact d’une expression y était « crypté » ?

Malgré l'évidence de cette remarque, je dois admettre que la plupart des étudiants non préparés ne voient pas les diplômes exacts à bout portant. Au lieu de cela, ils multiplient tout, puis se demandent : pourquoi ont-ils obtenu des chiffres aussi brutaux :)

Cependant, tout cela n’est qu’un langage de bébé par rapport à ce que nous allons étudier maintenant.

Multiplier des racines avec différents exposants

Bon, maintenant nous pouvons multiplier les racines avec les mêmes indicateurs. Et si les indicateurs sont différents ? Disons, comment multiplier un $\sqrt(2)$ ordinaire par des conneries comme $\sqrt(23)$ ? Est-il même possible de faire cela ?

Oui, bien sûr, vous pouvez. Tout se fait selon cette formule :

Règle pour multiplier les racines. Pour multiplier $\sqrt[n](a)$ par $\sqrt[p](b)$, il suffit d'effectuer la transformation suivante :

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Cependant, cette formule ne fonctionne que si les expressions radicales ne sont pas négatives. C’est une note très importante sur laquelle nous reviendrons un peu plus tard.

Pour l'instant, regardons quelques exemples :

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \fin(aligner)\]

Comme vous pouvez le constater, rien de compliqué. Voyons maintenant d'où vient l'exigence de non-négativité et que se passera-t-il si nous la violons :)

Pourquoi les expressions radicales doivent-elles être non négatives ?

Bien sûr, vous pouvez être comme des professeurs d’école et citer le manuel avec un look malin :

L'exigence de non-négativité est associée à différentes définitions des racines de degrés pairs et impairs (en conséquence, leurs domaines de définition sont également différents).

Eh bien, est-ce devenu plus clair ? Personnellement, quand j'ai lu cette absurdité en 8e, j'ai compris quelque chose comme ceci : « L'exigence de non-négativité est associée à *#&^@(*#@^#)~% » - bref, je l'ai fait je ne comprends rien à ce moment-là :)

Alors maintenant, je vais tout expliquer de manière normale.

Voyons d’abord d’où vient la formule de multiplication ci-dessus. Pour ce faire, permettez-moi de vous rappeler une propriété importante de la racine :

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

En d'autres termes, on peut facilement élever l'expression radicale à n'importe quelle puissance naturelle $k$ - dans ce cas, l'exposant de la racine devra être multiplié par la même puissance. Par conséquent, nous pouvons facilement réduire n’importe quelle racine à un exposant commun, puis les multiplier. C'est de là que vient la formule de multiplication :

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Mais il existe un problème qui limite fortement l’utilisation de toutes ces formules. Considérez ce numéro :

D’après la formule qui vient d’être donnée, on peut ajouter n’importe quel degré. Essayons d'ajouter $k=2$ :

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Nous avons supprimé le moins précisément parce que le carré brûle le moins (comme tout autre degré pair). Effectuons maintenant la transformation inverse : « réduisons » les deux dans l’exposant et la puissance. Après tout, toute égalité peut être lue aussi bien de gauche à droite que de droite à gauche :

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](un); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \fin(aligner)\]

Mais ensuite, il s'avère que c'est une sorte de connerie :

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Cela ne peut pas arriver, car $\sqrt(-5) \lt 0$ et $\sqrt(5) \gt 0$. Cela signifie que pour les puissances paires et les nombres négatifs, notre formule ne fonctionne plus. Après quoi nous avons deux options :

1. Frapper le mur et affirmer que les mathématiques sont une science stupide, où « il y a des règles, mais elles sont imprécises » ;
2. Introduire des restrictions supplémentaires sous lesquelles la formule fonctionnera à 100 %.

Dans la première option, nous devrons constamment détecter les cas « non fonctionnels » - c'est difficile, prend du temps et généralement horrible. Par conséquent, les mathématiciens ont préféré la deuxième option :)

Mais ne vous inquiétez pas ! En pratique, cette limitation n'affecte en rien les calculs, car tous les problèmes décrits ne concernent que des racines de degré impair, et des inconvénients peuvent en être tirés.

Par conséquent, formulons une règle supplémentaire, qui s'applique généralement à toutes les actions avec des racines :

Avant de multiplier des racines, assurez-vous que les expressions radicales ne sont pas négatives.

Exemple. Dans le nombre $\sqrt(-5)$, vous pouvez supprimer le moins sous le signe racine - alors tout sera normal :

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Sentez-vous la différence ? Si vous laissez un moins sous la racine, alors lorsque l'expression radicale sera au carré, elle disparaîtra et la merde commencera. Et si vous supprimez d'abord le moins, vous pouvez alors construire/supprimer le carré jusqu'à ce que votre visage soit bleu - le nombre restera négatif :)

Ainsi, la manière la plus correcte et la plus fiable de multiplier les racines est la suivante :

1. Supprimez tous les négatifs des radicaux. Les inconvénients n'existent que dans les racines de multiplicité impaire - ils peuvent être placés devant la racine et, si nécessaire, réduits (par exemple, s'il y a deux de ces inconvénients).
2. Effectuez la multiplication selon les règles discutées ci-dessus dans la leçon d'aujourd'hui. Si les indicateurs des racines sont les mêmes, on multiplie simplement les expressions radicales. Et s'ils sont différents, on utilise la formule maléfique \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3.Profitez du résultat et des bonnes notes. :)

Bien? Devons-nous pratiquer ?

Exemple 1 : Simplifiez l'expression :

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \fin(aligner)\]

C'est l'option la plus simple : les racines sont les mêmes et impaires, le seul problème est que le deuxième facteur est négatif. Nous retirons ce moins du tableau, après quoi tout est facilement calculé.

Exemple 2 : Simplifiez l'expression :

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( aligner)\]

Ici, beaucoup seraient confus par le fait que le résultat s’est avéré être un nombre irrationnel. Oui, cela arrive : nous n’avons pas pu nous débarrasser complètement de la racine, mais au moins nous avons considérablement simplifié l’expression.

Exemple 3 : Simplifiez l'expression :

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Je voudrais attirer votre attention sur cette tâche. Il y a deux points ici :

1. La racine n'est pas un nombre ou une puissance spécifique, mais la variable $a$. À première vue, c'est un peu inhabituel, mais en réalité, lors de la résolution de problèmes mathématiques, il faut le plus souvent faire face à des variables.
2. Au final, nous avons réussi à « réduire » l’indicateur de radicalité et le degré d’expression radicale. Cela arrive assez souvent. Et cela signifie qu'il était possible de simplifier considérablement les calculs si vous n'utilisiez pas la formule de base.

Par exemple, vous pourriez faire ceci :

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\fin (aligner)\]

En fait, toutes les transformations ont été effectuées uniquement avec le deuxième radical. Et si vous ne décrivez pas en détail toutes les étapes intermédiaires, le nombre de calculs sera finalement considérablement réduit.

En fait, nous avons déjà rencontré une tâche similaire ci-dessus lorsque nous avons résolu l'exemple $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Maintenant, cela peut être écrit beaucoup plus simplement :

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \fin(aligner)\]

Eh bien, nous avons réglé la multiplication des racines. Considérons maintenant l'opération inverse : que faire lorsqu'il y a un produit sous la racine ?

Racine carrée d'un nombre X numéro appelé UN, qui en train de se multiplier par lui-même ( UNE*UNE) peut donner un numéro X.
Ceux. A * A = A 2 = X, Et √X = UNE.

Au-dessus des racines carrées ( √x), comme les autres nombres, vous pouvez effectuer des opérations arithmétiques telles que la soustraction et l’addition. Pour soustraire et ajouter des racines, il faut les relier à l'aide de signes correspondant à ces actions (par exemple √x — √oui ).
Et puis ramenez les racines à leur forme la plus simple - s'il y en a des similaires entre elles, il est nécessaire de faire une réduction. Elle consiste à prendre les coefficients de termes similaires avec les signes des termes correspondants, puis à les mettre entre parenthèses et à en déduire la racine commune en dehors des parenthèses du facteur. Le coefficient que nous avons obtenu est simplifié selon les règles habituelles.

Étape 1 : Extraire les racines carrées

Premièrement, pour ajouter des racines carrées, vous devez d’abord extraire ces racines. Cela peut être fait si les nombres sous le signe racine sont des carrés parfaits. Par exemple, prenons l'expression donnée √4 + √9 . Premier numéro 4 est le carré du nombre 2 . Deuxième numéro 9 est le carré du nombre 3 . Ainsi, on peut obtenir l'égalité suivante : √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Voilà, l'exemple est résolu. Mais cela n’arrive pas toujours aussi facilement.

Étape 2. Retirer le multiplicateur du nombre sous la racine

S'il n'y a pas de carrés parfaits sous le signe racine, vous pouvez essayer de supprimer le multiplicateur du nombre sous le signe racine. Par exemple, prenons l'expression √24 + √54 .

Factorisez les nombres :
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Parmi 24 nous avons un multiplicateur 4 , il peut être retiré sous le signe de la racine carrée. Parmi 54 nous avons un multiplicateur 9 .

On obtient l'égalité :
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

En considérant cet exemple, nous obtenons la suppression du multiplicateur sous le signe racine, simplifiant ainsi l'expression donnée.

Étape 3 : réduire le dénominateur

Considérons la situation suivante : la somme de deux racines carrées est le dénominateur de la fraction, par exemple : UNE/(√a + √b).
Nous sommes désormais confrontés à la tâche de « nous débarrasser de l’irrationalité du dénominateur ».
Utilisons la méthode suivante : multiplions le numérateur et le dénominateur de la fraction par l'expression √a - √b.

Nous obtenons maintenant la formule de multiplication abrégée au dénominateur :
(√a + √b) * (√a – √b) = a – b.

De même, si le dénominateur a une différence fondamentale : √a - √b, le numérateur et le dénominateur de la fraction sont multipliés par l'expression √a + √b.

Prenons la fraction comme exemple :
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Exemple de réduction complexe du dénominateur

Nous allons maintenant considérer un exemple assez complexe de suppression de l'irrationalité au dénominateur.

Par exemple, prenons une fraction : 12 / (√2 + √3 + √5) .
Vous devez prendre son numérateur et son dénominateur et multiplier par l'expression √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Étape 4. Calculez la valeur approximative sur la calculatrice

Si vous n’avez besoin que d’une valeur approximative, vous pouvez le faire sur une calculatrice en calculant la valeur des racines carrées. La valeur est calculée séparément pour chaque nombre et écrite avec la précision requise, qui est déterminée par le nombre de décimales. Ensuite, toutes les opérations requises sont effectuées, comme pour les nombres ordinaires.

Exemple de calcul d'une valeur approximative

Il faut calculer la valeur approximative de cette expression √7 + √5 .

En conséquence nous obtenons :

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Attention : vous ne devez en aucun cas ajouter des racines carrées comme nombres premiers ; c'est totalement inacceptable. Autrement dit, si nous additionnons la racine carrée de cinq et la racine carrée de trois, nous ne pouvons pas obtenir la racine carrée de huit.

Conseil utile : si vous décidez de factoriser un nombre, afin de dériver le carré sous le signe racine, vous devez effectuer une vérification inverse, c'est-à-dire multiplier tous les facteurs résultant des calculs, et le résultat final de celui-ci le calcul mathématique devrait être le nombre qui nous a été initialement donné.

Règles pour soustraire des racines

1. La racine d'un degré à partir d'un produit de nombres non négatifs est égale au produit de racines du même degré à partir de facteurs : où (la règle pour extraire une racine d'un produit).

2. Si , alors y (la règle pour extraire la racine d'une fraction).

3. Si alors (la règle pour extraire une racine d'une racine).

4. Si alors la règle pour élever la racine à une puissance).

5. Si alors où, c'est-à-dire que l'exposant de la racine et l'exposant de l'expression radicale peuvent être multipliés par le même nombre.

6. Si alors 0, c'est-à-dire qu'une expression radicale positive plus grande correspond à une valeur plus grande de la racine.

7. Toutes les formules ci-dessus sont souvent appliquées dans l’ordre inverse (c’est-à-dire de droite à gauche). Par exemple,

(règle de multiplication des racines) ;

(règle de division des racines) ;

8. La règle pour supprimer le multiplicateur sous le signe racine. À

9. Le problème inverse consiste à introduire un multiplicateur sous le signe de la racine. Par exemple,

10. Élimination de l'irrationalité dans le dénominateur d'une fraction.

Regardons quelques cas typiques.

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Par exemple,

11. Application des identités de multiplication abrégées aux opérations avec racines arithmétiques :

12. Le facteur devant la racine est appelé son coefficient. Par exemple, Ici 3 est le coefficient.

13. Les racines (radicaux) sont dites similaires si elles ont les mêmes indices de racine et les mêmes expressions radicales, et ne diffèrent que par le coefficient. Pour juger si ces racines (radicaux) sont similaires ou non, il faut les réduire à leur forme la plus simple.

Par exemple, et sont similaires, puisque

EXERCICES AVEC SOLUTIONS

1. Simplifiez les expressions :

Solution. 1) Cela ne sert à rien de multiplier l’expression radicale, puisque chacun des facteurs représente le carré d’un entier. Utilisons la règle pour extraire la racine d'un produit :

À l’avenir, nous effectuerons de telles actions oralement.

2) Essayons, si possible, de représenter l'expression radicale comme un produit de facteurs dont chacun est le cube d'un entier, et appliquons la règle sur la racine du produit :

2. Trouvez la valeur de l'expression :

Solution. 1) D'après la règle d'extraction de la racine d'une fraction, on a :

3) Transformez les expressions radicales et extrayez la racine :

3. Simplifiez quand

Solution. Lors de l'extraction d'une racine d'une racine, les indicateurs des racines sont multipliés, mais l'expression radicale reste inchangée

S'il existe un coefficient devant la racine situé sous la racine, alors avant d'effectuer l'opération d'extraction de la racine, saisissez ce coefficient sous le signe du radical devant lequel il apparaît.

Sur la base des règles ci-dessus, extrayons les deux dernières racines :

4. Élever à une puissance :

Solution. Lors de l'élévation d'une racine à une puissance, l'exposant de la racine reste inchangé et les exposants de l'expression radicale sont multipliés par l'exposant.

(puisqu'il est défini, alors );

Si une racine donnée a un coefficient, alors ce coefficient est élevé séparément à une puissance et le résultat est écrit sous la forme du coefficient de la racine.

Ici, nous avons utilisé la règle selon laquelle l'indicateur de la racine et l'indicateur de l'expression radicale peuvent être multipliés par le même nombre (nous avons multiplié par, c'est-à-dire divisé par 2).

Par exemple, ou

4) L'expression entre parenthèses, représentant la somme de deux radicaux différents, est cubique et simplifiée :

Puisque nous avons :

5. Éliminez l'irrationalité du dénominateur :

Solution. Pour éliminer (détruire) l'irrationalité dans le dénominateur d'une fraction, vous devez trouver l'expression la plus simple qui, dans un produit avec un dénominateur, donne une expression rationnelle, et multiplier le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le facteur trouvé.

Par exemple, si le dénominateur d'une fraction contient un binôme, alors le numérateur et le dénominateur de la fraction doivent être multipliés par l'expression conjuguée au dénominateur, c'est-à-dire que la somme doit être multipliée par la différence correspondante et vice versa.

Dans les cas plus complexes, l’irrationalité n’est pas détruite immédiatement, mais en plusieurs étapes.

1) L'expression doit contenir

En multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par on obtient :

2) En multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par le carré partiel de la somme, on obtient :

3) Ramenons les fractions à un dénominateur commun :

En résolvant cet exemple, nous devons garder à l’esprit que chaque fraction a une signification, c’est-à-dire que le dénominateur de chaque fraction est non nul. En plus,

Lors de la conversion d'expressions contenant des radicaux, des erreurs sont souvent commises. Ils sont causés par l'incapacité d'appliquer correctement le concept (définition) de racine arithmétique et de valeur absolue.

Règles pour soustraire des racines

Calculer la valeur d'une expression

Solution.

Explication.
Pour réduire l'expression radicale, imaginez le nombre 31 dans le deuxième facteur de son expression radicale comme la somme de 15+16. (ligne 2)

Après la transformation, il est clair que la somme dans la deuxième expression radicale peut être représentée comme le carré de la somme en utilisant les formules de multiplication abrégées. (ligne 3)

Imaginons maintenant chaque racine de ce produit comme un degré. (ligne 4)

Simplifions l'expression (ligne 5)

Puisque le degré du produit est égal au produit des degrés de chacun des facteurs, nous le représentons en conséquence (ligne 6)

Comme vous pouvez le voir, en utilisant les formules de multiplication abrégées, nous obtenons la différence entre les carrés de deux nombres. A partir de là on calcule la valeur de l'expression (ligne 7)

Calculez la valeur de l'expression.

Solution.

Explication.

Nous utilisons les propriétés de la racine selon lesquelles la racine d'une puissance arbitraire d'un quotient de nombres est égale au quotient des racines de ces nombres (ligne 2)

La racine d'une puissance arbitraire d'un nombre de même puissance est égale à ce nombre (ligne 3)

Retirons le moins des parenthèses du premier facteur. Dans ce cas, tous les signes à l'intérieur des parenthèses changeront à l'opposé (ligne 4)

Effectuons une réduction de fraction (ligne 5)

Imaginons le nombre 729 comme le carré du nombre 27 et le nombre 27 comme le cube du nombre 3. De là, nous obtenons la valeur de l'expression radicale.

Racine carrée. Niveau d'entrée.

Voulez-vous tester votre force et connaître le résultat de votre préparation à l'examen d'État unifié ou à l'examen d'État unifié ?

1. Introduction au concept de racine carrée arithmétique

La racine carrée (racine carrée arithmétique) d'un nombre non négatif est un nombre non négatif dont le carré est égal à.
.

Le nombre ou l'expression sous le signe racine doit être non négatif

2. Tableau des carrés

3. Propriétés de la racine carrée arithmétique

Introduction au concept de racine carrée arithmétique

Essayons de comprendre ce qu'est ce concept de « racine » et « avec quoi on la mange ». Pour ce faire, regardons des exemples que vous avez déjà rencontrés en classe (enfin, ou que vous êtes sur le point de rencontrer).

Par exemple, nous avons une équation. Quelle est la solution de cette équation ? Quels nombres peuvent être mis au carré et obtenus ? En vous souvenant de la table de multiplication, vous pouvez facilement donner la réponse : et (après tout, lorsque deux nombres négatifs sont multipliés, on obtient un nombre positif) ! Pour simplifier, les mathématiciens ont introduit un concept spécial de racine carrée et lui ont attribué un symbole spécial.

Définissons la racine carrée arithmétique.

Pourquoi le nombre doit-il être non négatif ? Par exemple, à quoi est-ce égal ? Eh bien, essayons d'en choisir un. Peut-être trois ? Vérifions : , non. Peut être, ? Encore une fois, on vérifie : . Eh bien, ça ne va pas ? C'est normal, car il n'existe pas de nombres qui, une fois mis au carré, donnent un nombre négatif !

Cependant, vous avez probablement déjà remarqué que la définition dit que la solution de la racine carrée de « un nombre est un nombre non négatif dont le carré est égal à ». Et au tout début, nous avons analysé l'exemple, sélectionné des nombres qui peuvent être mis au carré et obtenus, la réponse était et, mais ici nous parlons d'une sorte de « nombre non négatif » ! Cette remarque est tout à fait appropriée. Ici, il vous suffit de faire la distinction entre les concepts d'équations quadratiques et de racine carrée arithmétique d'un nombre. Par exemple, n'est pas équivalent à l'expression.

Et cela s’ensuit.

Bien sûr, cela est très déroutant, mais il faut se rappeler que les signes sont le résultat de la résolution de l'équation, car lors de la résolution de l'équation, nous devons écrire tous les X qui, une fois substitués dans l'équation originale, donneront le résultat correct. Les deux correspondent à notre équation quadratique.

Cependant, si vous prenez simplement la racine carrée de quelque chose, vous obtenez toujours un résultat non négatif.

Essayez maintenant de résoudre cette équation. Tout n’est plus si simple et fluide, n’est-ce pas ? Essayez de parcourir les chiffres, peut-être que quelque chose s'arrangera ?

Commençons par le tout début - à partir de zéro : - cela ne convient pas, passez à autre chose ; – moins de trois, on l’écarte aussi, mais et si ? Vérifions : – ne convient pas non plus, car ça fait plus de trois. C'est la même histoire avec les nombres négatifs. Alors que devons-nous faire maintenant ? La recherche ne nous a-t-elle vraiment rien donné ? Pas du tout, maintenant nous savons avec certitude que la réponse sera un nombre entre et, ainsi qu'entre et. De plus, les solutions ne seront évidemment pas des nombres entiers. De plus, ils ne sont pas rationnels. Et alors ? Traçons graphiquement la fonction et marquons les solutions dessus.

Essayons de tromper le système et obtenons la réponse à l'aide d'une calculatrice ! Extractons-en la racine ! Oh-oh-oh, il s'avère que ce numéro ne finit jamais. Comment pouvez-vous vous en souvenir, puisqu'il n'y aura pas de calculatrice à l'examen !? Tout est très simple, vous n'avez pas besoin de vous en souvenir, il vous suffit de vous souvenir (ou de pouvoir estimer rapidement) la valeur approximative. et les réponses elles-mêmes. De tels nombres sont appelés irrationnels ; c'est pour simplifier l'écriture de tels nombres que le concept de racine carrée a été introduit.
Regardons un autre exemple pour renforcer cela. Regardons le problème suivant : vous devez traverser un champ carré d'un côté de km en diagonale, combien de km devez-vous parcourir ?

Le plus évident ici est de considérer le triangle séparément et d'utiliser le théorème de Pythagore : . Ainsi, . Alors, quelle est la distance requise ici ? Évidemment, la distance ne peut pas être négative, on le comprend. La racine de deux est approximativement égale, mais, comme nous l'avons noté plus tôt, - est déjà une réponse complète.

Extraction de racines

Pour résoudre des exemples avec des racines sans causer de problèmes, vous devez les voir et les reconnaître. Pour ce faire, vous devez connaître au moins les carrés des nombres de à, et également être capable de les reconnaître.

Autrement dit, vous devez savoir ce qui est égal à un carré et, inversement, ce qui est égal à un carré. Dans un premier temps, ce tableau vous aidera à extraire la racine.

Dès que vous résolvez un nombre suffisant d'exemples, le besoin disparaîtra automatiquement.
Essayez de trouver vous-même la racine carrée des expressions suivantes :

Eh bien, comment ça s'est passé ? Regardons maintenant ces exemples :

Propriétés de la racine carrée arithmétique

Maintenant que vous savez comment extraire des racines, il est temps de découvrir les propriétés de la racine carrée arithmétique. Il n'y en a que 3 :

• multiplication;
• division;
• exponentiation.

Ils sont juste très faciles à mémoriser à l'aide de ce tableau et, bien sûr, de la formation :

Comment décider
équations quadratiques

Dans les leçons précédentes, nous avons examiné « Comment résoudre des équations linéaires », c'est-à-dire des équations du premier degré. Dans cette leçon, nous examinerons ce qu'on appelle une équation quadratique et comment le résoudre.

Qu'est-ce qu'une équation quadratique ?

Le degré d’une équation est déterminé par le degré le plus élevé auquel se situe l’inconnue.

Si la puissance maximale dans laquelle l’inconnue est « 2 », alors vous avez une équation quadratique.

Exemples d'équations quadratiques

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

Pour trouver « a », « b » et « c », vous devez comparer votre équation avec la forme générale de l'équation quadratique « ax 2 + bx + c = 0 ».

Entraînons-nous à identifier les coefficients « a », « b » et « c » dans les équations quadratiques.

• une = 5
• b = −14
• c = 17

• une = −7
• b = −13
• c = 8

• une = −1
• b = 1

• une = 1
• b = 0,25
• c = 0

• une = 1
• b = 0
• c = −8

Comment résoudre des équations quadratiques

Contrairement aux équations linéaires, une méthode spéciale est utilisée pour résoudre les équations quadratiques. formule pour trouver des racines.

Pour résoudre une équation quadratique, vous avez besoin de :

• réduire l'équation quadratique à la forme générale « ax 2 + bx + c = 0 ». Autrement dit, seul « 0 » doit rester sur le côté droit ;
• utiliser la formule pour les racines :

Regardons un exemple d'utilisation de la formule pour trouver les racines d'une équation quadratique. Résolvons une équation quadratique.

L'équation « x 2 − 3x − 4 = 0 » a déjà été réduite à la forme générale « ax 2 + bx + c = 0 » et ne nécessite pas de simplifications supplémentaires. Pour le résoudre, il suffit d'appliquer formule pour trouver les racines d'une équation quadratique.

Déterminons les coefficients "a", "b" et "c" pour cette équation.

• une = 1
• b = −3
• c = −4

Remplaçons-les dans la formule et trouvons les racines.

Assurez-vous de mémoriser la formule pour trouver des racines.

Il peut être utilisé pour résoudre n’importe quelle équation quadratique.

Regardons un autre exemple d'équation quadratique.

Sous cette forme, il est assez difficile de déterminer les coefficients « a », « b » et « c ». Réduisons d'abord l'équation à la forme générale « ax 2 + bx + c = 0 ».

Vous pouvez maintenant utiliser la formule pour les racines.

Il arrive parfois que les équations quadratiques n’aient pas de racines. Cette situation se produit lorsque la formule contient un nombre négatif sous la racine.

On retient de la définition d'une racine carrée qu'il est impossible de prendre la racine carrée d'un nombre négatif.

Prenons un exemple d'équation quadratique qui n'a pas de racines.

Nous avons donc une situation où la racine a un nombre négatif. Cela signifie que l’équation n’a pas de racines. Par conséquent, en réponse, nous avons écrit : « Il n’y a pas de véritables racines ».

Que signifient les mots « pas de vraies racines » ? Pourquoi ne peux-tu pas simplement écrire « pas de racines » ?

En fait, il y a des racines dans de tels cas, mais ils ne sont pas enseignés dans le programme scolaire, c'est pourquoi nous écrivons en réponse qu'il n'y a pas de racines parmi les nombres réels. En d’autres termes, « il n’y a pas de véritables racines ».

Équations quadratiques incomplètes

Il existe parfois des équations quadratiques dans lesquelles les coefficients « b » et/ou « c » sont explicitement absents. Par exemple, dans cette équation :

De telles équations sont appelées équations quadratiques incomplètes. La manière de les résoudre est expliquée dans la leçon « Équations quadratiques incomplètes ».

Contenu:

Vous pouvez ajouter et soustraire des racines carrées uniquement si elles ont la même expression radicale, c'est-à-dire que vous pouvez ajouter ou soustraire 2√3 et 4√3, mais pas 2√3 et 2√5. Vous pouvez simplifier les expressions radicales pour les réduire à des racines avec les mêmes expressions radicales (puis les ajouter ou les soustraire).

Mesures

Partie 1 Comprendre les bases

1. 1 (expression sous le signe racine). Pour ce faire, divisez le nombre radical en deux facteurs, dont l'un est un nombre carré (un nombre à partir duquel vous pouvez prendre une racine entière, par exemple 25 ou 9). Après cela, extrayez la racine du nombre carré et écrivez la valeur trouvée devant le signe racine (le deuxième facteur restera sous le signe racine). Par exemple, 6√50 - 2√8 + 5√12. Les nombres devant le signe racine sont les facteurs des racines correspondantes, et les nombres sous le signe racine sont des nombres radicaux (expressions). Voici comment résoudre ce problème :
   • 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Ici, vous divisez 50 en facteurs de 25 et 2 ; puis de 25 vous extrayez la racine égale à 5, et vous enlevez 5 sous la racine. Multipliez ensuite 5 par 6 (le multiplicateur à la racine) et obtenez 30√2.
   • 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. Ici, vous divisez 8 en facteurs de 4 et 2 ; puis de 4 vous prenez la racine égale à 2, et vous en retirez 2 sous la racine. Multipliez ensuite 2 par 2 (le multiplicateur à la racine) et obtenez 4√2.
   • 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Ici, vous divisez 12 en facteurs de 4 et 3 ; puis de 4 vous prenez la racine égale à 2, et vous en retirez 2 sous la racine. Ensuite vous multipliez 2 par 5 (le multiplicateur à la racine) et vous obtenez 10√3.
2. 2 Soulignez les racines dont les expressions radicales sont les mêmes. Dans notre exemple, l'expression simplifiée ressemble à : 30√2 - 4√2 + 10√3. Dans celui-ci, vous devez souligner les premier et deuxième termes ( 30√2 Et 4√2 ), puisqu’elles ont le même nombre radical 2. Seules ces racines peuvent être additionnées et soustraites.
3. 3 Si l'on vous donne une expression comportant un grand nombre de termes, dont beaucoup ont les mêmes expressions radicales, utilisez des traits de soulignement simples, doubles ou triples pour désigner ces termes afin de faciliter la résolution de l'expression.
4. 4 Pour les racines dont les expressions radicales sont les mêmes, ajoutez ou soustrayez les facteurs devant le signe de la racine et laissez l'expression radicale la même (n'ajoutez ni ne soustrayez de nombres radicaux !). L’idée est de montrer combien de racines avec une certaine expression radicale sont contenues dans une expression donnée.
   • 30√2 - 4√2 + 10√3 =
   • (30 - 4)√2 + 10√3 =
   • 26√2 + 10√3

Partie 2 Pratiquons avec des exemples

1. 1 Exemple 1 : √(45) + 4√5.
   • Simplifiez √(45). Facteur 45 : √(45) = √(9 x 5).
   • Retirez-en 3 sous la racine (√9 = 3) : √(45) = 3√5.
   • Ajoutez maintenant les facteurs aux racines : 3√5 + 4√5 = 7√5
2. 2 Exemple 2 : 6√(40) - 3√(10) + √5.
   • Simplifiez 6√(40). Facteur 40 : 6√(40) = 6√(4 x 10).
   • Retirez-en 2 sous la racine (√4 = 2) : 6√(40) = 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
   • Multipliez les facteurs avant la racine et obtenez 12√10.
   • Maintenant, l’expression peut s’écrire 12√10 - 3√(10) + √5. Puisque les deux premiers termes ont les mêmes radicaux, vous pouvez soustraire le deuxième terme du premier et laisser le premier inchangé.
   • Vous obtiendrez : (12-3)√10 + √5 = 9√10 + √5.
3. 3 Exemple 3. 9√5 -2√3 - 4√5. Ici, aucune des expressions radicales ne peut être factorisée, cette expression ne peut donc pas être simplifiée. Vous pouvez soustraire le troisième terme du premier (puisqu’ils ont les mêmes radicaux) et laisser le deuxième terme inchangé. Vous obtiendrez : (9-4)√5 -2√3 = 5√5 - 2√3.
4. 4 Exemple 4. √9 + √4 - 3√2.
   • √9 = √(3 x 3) = 3.
   • √4 = √(2 x 2) = 2.
   • Maintenant, vous pouvez simplement ajouter 3 + 2 pour obtenir 5.
   • Réponse finale : 5 - 3√2.
5. 5 Exemple 5. Résolvez une expression contenant des racines et des fractions. Vous ne pouvez additionner et calculer que des fractions qui ont un (même) dénominateur commun. L’expression (√2)/4 + (√2)/2 est donnée.
   • Trouvez le plus petit dénominateur commun de ces fractions. Il s'agit d'un nombre divisible également par chaque dénominateur. Dans notre exemple, le chiffre 4 est divisible par 4 et 2.
   • Multipliez maintenant la deuxième fraction par 2/2 (pour la ramener à un dénominateur commun ; la première fraction y a déjà été réduite) : (√2)/2 x 2/2 = (2√2)/4.
   • Additionnez les numérateurs des fractions et laissez le dénominateur identique : (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4 .

• Avant d'additionner ou de soustraire des racines, veillez à simplifier (si possible) les expressions radicales.

Avertissements

• N’ajoutez ou ne soustrayez jamais de racines avec des expressions radicales différentes.
• Ne faites jamais la somme ou la soustraction d'un nombre entier et d'une racine, par ex. 3 + (2x)1/2 .
  • Remarque : "x" à la puissance deux et la racine carrée de "x" sont la même chose (c'est-à-dire x 1/2 = √x).