Dès la 5e année, les élèves commencent à se familiariser avec le concept d’aires de formes différentes. Un rôle particulier est accordé à l'aire du rectangle, puisque cette figure est l'une des plus faciles à étudier.
Concepts de zone
Toute figure a sa propre aire et le calcul de l'aire est basé sur un carré unité, c'est-à-dire sur un carré avec un côté long de 1 mm, ou 1 cm, 1 dm, et ainsi de suite. L'aire d'une telle figure est égale à $1*1 = 1mm^2$, ou $1cm^2$, etc. L'aire, en règle générale, est désignée par la lettre – S.
La zone montre la taille de la partie du plan occupée par la figure délimitée par les segments.
Un rectangle est un quadrilatère dans lequel tous les angles ont la même mesure en degrés et sont égaux à 90 degrés, et les côtés opposés sont parallèles et égaux deux à deux.
Une attention particulière doit être portée aux unités de mesure de longueur et de largeur. Ils doivent correspondre. Si les unités ne correspondent pas, elles sont converties. En règle générale, ils convertissent une unité plus grande en une unité plus petite, par exemple, si la longueur est donnée en dm et la largeur en cm, alors dm est converti en cm et le résultat sera $cm^2$.
Formule de zone rectangulaire
Afin de trouver l'aire d'un rectangle sans formule, vous devez compter le nombre de carrés unitaires dans lesquels la figure est divisée.
Riz. 1. Rectangle divisé en carrés unitaires
Le rectangle est divisé en 15 carrés, soit sa superficie est de 15 cm2. Il est à noter que la figure occupe 3 carrés en largeur et 5 en longueur, donc pour calculer le nombre de carrés unitaires, vous devez multiplier la longueur par la largeur. Plus le côté du quadrilatère est petit, plus sa largeur est grande, plus sa longueur est grande. Ainsi, nous pouvons déduire la formule de l'aire d'un rectangle :
S = a · b, où a,b sont la largeur et la longueur de la figure.
Par exemple, si la longueur du rectangle est de 5 cm et la largeur de 4 cm, alors l'aire sera égale à 4 * 5 = 20 cm 2.
Calculer l'aire d'un rectangle à l'aide de sa diagonale
Afin de calculer l'aire d'un rectangle passant par la diagonale, vous devez appliquer la formule :
$$S = (1\over(2)) ⋅ d^2 ⋅ sin(α)$$
Si la tâche donne les valeurs de l'angle entre les diagonales, ainsi que la valeur de la diagonale elle-même, vous pouvez alors calculer l'aire du rectangle en utilisant la formule générale des quadrilatères convexes arbitraires.
Une diagonale est un segment de droite qui relie les points opposés d'une figure. Les diagonales du rectangle sont égales et le point d'intersection est divisé en deux.
Riz. 2. Rectangle avec diagonales dessinées
Exemples
Pour renforcer le sujet, considérez des exemples de tâches :
N°1. Trouvez l'aire d'une parcelle de jardin de même forme que sur la figure.
Riz. 3. Dessiner pour le problème
Solution:
Afin de soustraire l'aire, vous devez diviser la figure en deux rectangles. L'un d'eux aura des dimensions de 10 m et 3 m, l'autre 5 m et 7 m Séparément, on retrouve leurs superficies :
$S_1 =3*10=30 m^2$ ;
Ce sera la superficie de la parcelle de jardin $S = 65 m^2$.
N°2. Soustrayez l'aire du rectangle si on lui donne sa diagonale d = 6 cm et l'angle entre les diagonales α = 30 0.
Solution:
Valeur $sin 30 =(1\over(2)) $,
$ S =(1\over(2))⋅ d^2 ⋅ sinα$
$S =(1\over(2)) * 6^2 * (1\over(2)) =9 cm^2$
Ainsi, $S=9 cm^2$.
Les diagonales divisent le rectangle en 4 formes – 4 triangles. Dans ce cas, les triangles sont égaux deux à deux. Si vous dessinez une diagonale dans un rectangle, cela divise la figure en deux triangles rectangles égaux. Note moyenne : 4.4. Notes totales reçues : 214.
Instructions
Par exemple, vous savez que la longueur d'un des côtés (a) est de 7 cm, et périmètre rectangle(P) est égal à 20 cm. périmètre de toute figure est égale à la somme des longueurs de ses côtés, et rectangle les côtés opposés sont égaux, alors son périmètre a ressemblera à ceci : P = 2 x (a + b), ou P = 2a + 2b. De cette formule il résulte que vous pouvez trouver la longueur du deuxième côté (b) en utilisant une opération simple : b = (P – 2a) : 2. Donc, dans notre cas, le côté b sera égal à (20 – 2 x 7) : 2 = 3 cm .
Maintenant, connaissant les longueurs des deux côtés adjacents (a et b), vous pouvez les substituer dans la formule d'aire S = ab. Dans ce cas rectangle sera égal à 7x3 = 21. Attention, les unités de mesure ne seront plus des , mais des centimètres carrés, puisque vous avez également multiplié les longueurs des deux côtés de leurs unités de mesure (centimètres) l'une par l'autre.
Sources :
- Quel est le périmètre d'un rectangle ?
Une figure plate composée de quatre côtés et de quatre angles droits. De tous les chiffres carré rectangle doivent être calculés plus souvent que d’autres. Ceci et carré des appartements, et carré terrain de jardin, et carré surfaces de table ou d'étagère. Par exemple, pour simplement tapisser une pièce, ils calculent carré ses murs rectangulaires.
Instructions
D'ailleurs, de rectangle peut être facilement calculé carré. Il suffit de compléter le rectangle pour rectangle pour que l'hypoténuse devienne une diagonale rectangle. Il sera alors évident que carré tel rectangle est égal au produit des jambes du triangle, et carré du triangle lui-même est donc égal à la moitié du produit des jambes.
Vidéo sur le sujet
Un cas particulier de parallélogramme - un rectangle - n'est connu qu'en géométrie euclidienne. U rectangle Tous les angles sont égaux et chacun d'eux fait séparément 90 degrés. Basé sur des propriétés privées rectangle, et aussi à partir des propriétés d'un parallélogramme sur le parallélisme des côtés opposés peuvent être trouvés côtés figures le long de diagonales données et l’angle à partir de leur intersection. Calculer les côtés rectangle est basé sur des constructions supplémentaires et l’application des propriétés des figures résultantes.
Instructions
Utilisez la lettre A pour marquer le point d'intersection des diagonales. Considérons l’AGE formé par les constructions. Selon la propriété rectangle ses diagonales sont égales et divisées en deux par le point d'intersection A. Calculez les valeurs de FA et EA. Puisque le triangle EFA est isocèle et que son côtés EA et FA sont égaux entre eux et respectivement égaux à la moitié de la diagonale EG.
Ensuite, calculez le premier EF rectangle. Ce côté est le troisième côté inconnu du triangle EFA considéré. D'après le théorème du cosinus, utilisez la formule appropriée pour trouver le côté EF. Pour ce faire, remplacez les valeurs obtenues précédemment des côtés FA EA et le cosinus de l'angle connu entre eux α dans la formule du cosinus. Calculez et enregistrez la valeur EF résultante.
Trouver l'autre côté rectangle F.G. Pour ce faire, considérons un autre triangle EFG. Il est rectangulaire, où l'hypoténuse EG et la jambe EF sont connues. D'après le théorème de Pythagore, trouvez la deuxième partie de FG en utilisant la formule appropriée.
Fait référence aux figures géométriques plates les plus simples et constitue l'un des cas particuliers d'un parallélogramme. Une caractéristique distinctive d'un tel parallélogramme réside dans les angles droits aux quatre sommets. Limité par les partis rectangle carré peut être calculé de plusieurs manières, en utilisant les dimensions de ses côtés, les diagonales et les angles entre eux, le rayon du cercle inscrit, etc.
Instructions
Si la grandeur de l'angle (α) qui constitue la diagonale est connue rectangle sur l'un de ses côtés, ainsi que la longueur (C) de cette diagonale, puis pour calculer l'aire vous pouvez utiliser les définitions trigonométriques dans un rectangle. Le triangle rectangle est ici formé par les deux côtés du quadrilatère et sa diagonale. De la définition du cosinus, il s'ensuit que la longueur d'un des côtés sera égale au produit de la longueur de la diagonale et de l'angle, la valeur est connue. De la définition du sinus, nous pouvons déduire la formule de la longueur de l'autre côté - elle est égale au produit de la longueur de la diagonale et du sinus du même angle. Remplacez ces identités dans la formule de l'étape précédente, et il s'avère que pour trouver l'aire, vous devez multiplier le sinus et le cosinus d'un angle connu, ainsi que la longueur de la diagonale. rectangle: S=sin(α)*cos(α)*С².
Si, en plus de la longueur diagonale (C) rectangle Si la grandeur de l'angle (β) que forment les diagonales est connue, alors pour calculer l'aire de la figure, vous pouvez également utiliser l'une des fonctions trigonométriques - le sinus. Mettez au carré la longueur de la diagonale et multipliez le résultat par la moitié du sinus de l'angle connu : S=С²*sin(β)/2.
Si le (r) du cercle inscrit dans le rectangle est connu, alors pour calculer l'aire, augmentez cette valeur à la puissance seconde et quadruplez le résultat : S=4*r². Un quadrilatère dans lequel il est possible sera un carré et la longueur de son côté est égale au diamètre du cercle inscrit, c'est-à-dire au double du rayon. La formule est obtenue en substituant les longueurs des côtés, exprimées en termes de rayon, dans l'identité de la première étape.
Si les longueurs (P) et un des côtés (A) sont connus rectangle, puis pour trouver l'aire à l'intérieur de ce périmètre, calculez la moitié du produit de la longueur du côté et la différence entre la longueur du périmètre et les deux longueurs de ce côté : S=A*(P-2*A)/2.
Vidéo sur le sujet
Les étudiants en cours de géométrie ne sont pas les seuls à être confrontés à la tâche de trouver le périmètre ou l'aire d'un polygone. Parfois, le problème est résolu par un adulte. Avez-vous déjà eu à calculer la quantité de papier peint nécessaire pour une pièce ? Ou peut-être avez-vous mesuré la longueur de votre chalet d'été afin de le clôturer par une clôture ? Ainsi, la connaissance des bases de la géométrie est parfois indispensable à la mise en œuvre de projets importants.
Nous connaissons déjà le concept zone de la figure, a appris l'une des unités de mesure de surface - centimètre carré. Dans cette leçon, nous dériverons une règle sur la façon de calculer l'aire d'un rectangle.
Nous savons déjà comment trouver l'aire des chiffres divisés en centimètres carrés.
Par exemple:
On peut déterminer que l'aire du premier chiffre est de 8 cm 2, l'aire du deuxième chiffre est de 7 cm 2.
Comment trouver l'aire d'un rectangle dont les côtés mesurent 3 cm et 4 cm de long ?
Pour résoudre le problème, on divise le rectangle en 4 bandes de 3 cm 2 chacune.
Alors l'aire du rectangle sera égale à 3 * 4 = 12 cm 2.
Le même rectangle peut être divisé en 3 bandes de 4 cm 2 chacune.
Alors l'aire du rectangle sera égale à 4 * 3 = 12 cm 2.
Dans les deux cas Pour trouver l'aire d'un rectangle, on multiplie les nombres exprimant les longueurs des côtés du rectangle.
Trouvez l'aire de chaque rectangle.
Considérons le rectangle AKMO.
Il y a 6 cm 2 dans une bande, et il y a 2 de ces bandes dans ce rectangle. Cela signifie que nous pouvons effectuer l'action suivante :
Le chiffre 6 représente la longueur du rectangle et 2 représente la largeur du rectangle. Nous avons donc multiplié les côtés du rectangle pour trouver l'aire du rectangle.
Considérons le rectangle KDCO.
Dans le rectangle KDCO, il y a 2 cm 2 dans une bande, et il y a 3 de ces bandes. Nous pouvons donc effectuer l'action.
Le chiffre 3 désigne la longueur du rectangle et 2 la largeur du rectangle. Nous les avons multipliés et avons découvert l'aire du rectangle.
Nous pouvons conclure : Pour trouver l'aire d'un rectangle, vous n'avez pas besoin de diviser à chaque fois la figure en centimètres carrés.
Pour calculer l'aire d'un rectangle, vous devez trouver sa longueur et sa largeur (les longueurs des côtés du rectangle doivent être exprimées dans les mêmes unités de mesure), puis calculer le produit des nombres résultants (l'aire sera exprimé dans les unités de surface correspondantes)
Résumons : L'aire d'un rectangle est égale au produit de sa longueur et de sa largeur.
Résolvez le problème.
Calculez l'aire d'un rectangle si la longueur du rectangle est de 9 cm et la largeur est de 2 cm.
Pensons ainsi. Dans ce problème, la longueur et la largeur du rectangle sont connues. Par conséquent, nous suivons la règle : l'aire d'un rectangle est égale au produit de sa longueur et de sa largeur.
Écrivons la solution.
Répondre: zone rectangulaire 18 cm 2
Selon vous, quelles autres longueurs des côtés d'un rectangle avec une telle aire ?
Vous pouvez penser comme ça. Puisque l’aire est le produit des longueurs des côtés d’un rectangle, vous devez vous rappeler de la table de multiplication. Quels nombres sont multipliés pour donner la réponse 18 ?
C'est vrai, lorsque vous multipliez 6 et 3, vous obtenez également 18. Cela signifie qu'un rectangle peut avoir des côtés de 6 cm et 3 cm et que son aire sera également égale à 18 cm 2.
Résolvez le problème.
La longueur du rectangle est de 8 cm et la largeur est de 2 cm. Trouvez son aire et son périmètre.
Nous connaissons la longueur et la largeur du rectangle. Il ne faut pas oublier que pour trouver l'aire, vous devez trouver le produit de sa longueur et de sa largeur, et pour trouver le périmètre, vous devez multiplier la somme de la longueur et de la largeur par deux.
Écrivons la solution.
Répondre: L'aire du rectangle est de 16 cm2 et le périmètre du rectangle est de 20 cm.
Résolvez le problème.
La longueur du rectangle est de 4 cm et la largeur est de 3 cm. Quelle est l'aire du triangle ? (voir photo)
Pour répondre à la question du problème, vous devez d'abord trouver l'aire du rectangle. Nous savons que pour cela, nous devons multiplier la longueur par la largeur.
Regardez le dessin. Avez-vous remarqué comment la diagonale divise le rectangle en deux triangles égaux ? Par conséquent, l'aire d'un triangle est 2 fois inférieure à l'aire d'un rectangle. Cela signifie que 12 doit être réduit de moitié.
Répondre: L'aire du triangle est de 6 cm 2.
Aujourd'hui, en classe, nous avons appris la règle de calcul de l'aire d'un rectangle et avons appris à appliquer cette règle lors de la résolution de problèmes pour trouver l'aire d'un rectangle.
1. M.I. Moro, M.A.Bantova et autres : Manuel de mathématiques. 3e année : en 2 parties, partie 1. M., « Lumières », 2012.
2. M.I. Moro, M.A.Bantova et autres : Manuel de mathématiques. 3e année : en 2 parties, partie 2. M., « Lumières », 2012.
3. M. I. Moro. Cours de mathématiques : Recommandations méthodologiques pour les enseignants. 3ème année. - M. : Éducation, 2012.
4. Document réglementaire. Suivi et évaluation des acquis d’apprentissage. M., « Lumières », 2011.
5. « École de Russie » : programmes pour l'école primaire. - M. : « Lumières », 2011.
6. S.I.Volkova. Mathématiques : Travaux de test. 3ème année. - M. : Éducation, 2012.
7. V.N.Rudnitskaya. Essais. M., « Examen », 2012 (127 p.)
2. Maison d'édition "Prosveshcheniye" ()
1. La longueur du rectangle est de 7 cm, la largeur est de 4 cm. Trouvez l'aire du rectangle.
2. Le côté du carré mesure 5 cm. Trouvez l'aire du carré.
3. Dessinez les options possibles pour les rectangles d'une superficie de 18 cm 2.
4. Créez un devoir sur le sujet de la leçon pour vos amis.
L * H = S pour trouver l'aire d'un rectangle, il faut multiplier la largeur par la longueur. En d’autres termes, cela peut s’exprimer ainsi : L'aire d'un rectangle est égale au produit des côtés.
1. Donnons un exemple de calcul comment trouver l'aire d'un rectangle, les côtés sont égaux à des grandeurs connues, par exemple largeur 4 cm, longueur 8 cm.
Comment trouver l'aire d'un rectangle avec des côtés 4 et 8 cm : La solution est simple ! 4 x 8 = 32 cm2. Pour résoudre un problème aussi simple, il faut calculer le produit des côtés du rectangle ou simplement multiplier la largeur par la longueur, ce sera l'aire !
2. Un cas particulier d'un rectangle est un carré, c'est le cas lorsque les côtés du rectangle sont égaux, dans ce cas vous pouvez trouver l'aire du carré en utilisant la formule ci-dessus.
Quelle est l'aire du rectangle ?
La capacité de calculer l'aire d'un rectangle est une compétence de base pour résoudre un grand nombre de problèmes quotidiens ou techniques. Ces connaissances sont appliquées dans presque tous les domaines de la vie ! Par exemple, dans les cas où des superficies de n'importe quelle surface sont nécessaires dans la construction ou l'immobilier. Lors du calcul des superficies de terrains, de parcelles, de murs de maisons, de pièces d'habitation... il est impossible de nommer un seul domaine de l'activité humaine où ces connaissances ne pourraient pas être utiles !
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Nous devons faire face à un concept tel que celui de zone dans notre vie quotidienne. Ainsi, par exemple, lors de la construction d’une maison, vous devez la connaître afin de calculer la quantité de matériaux nécessaire. La taille de la parcelle de jardin sera également caractérisée par sa superficie. Même les rénovations dans un appartement ne peuvent se faire sans cette définition. Par conséquent, la question de savoir comment trouver l'aire d'un rectangle revient très souvent et n'est pas seulement importante pour les écoliers.
Pour ceux qui ne le savent pas, un rectangle est une figure plate dont les côtés opposés sont égaux et les angles font 90 degrés. Pour désigner l'aire en mathématiques, la lettre anglaise S est utilisée. Elle est mesurée en unités carrées : mètres, centimètres, etc.
Nous allons maintenant essayer de donner une réponse détaillée à la question de savoir comment trouver l'aire d'un rectangle. Il existe plusieurs façons de déterminer cette valeur. Le plus souvent, nous rencontrons une méthode de détermination de la superficie utilisant la largeur et la longueur.
Prenons un rectangle de largeur b et de longueur k. Pour calculer l'aire d'un rectangle donné, vous devez multiplier la largeur par la longueur. Tout cela peut être représenté sous la forme d'une formule qui ressemblera à ceci : S = b * k.
Examinons maintenant cette méthode à l'aide d'un exemple spécifique. Il est nécessaire de déterminer la superficie d'une parcelle de jardin d'une largeur de 2 mètres et d'une longueur de 7 mètres.
S = 2 * 7 = 14 m2
En mathématiques, en particulier en mathématiques, nous devons déterminer l'aire par d'autres moyens, car dans de nombreux cas, nous ne connaissons ni la longueur ni la largeur du rectangle. Parallèlement, d’autres quantités connues existent. Comment trouver l'aire d'un rectangle dans ce cas ?
- Si nous connaissons la longueur de la diagonale et l'un des angles qui composent la diagonale avec n'importe quel côté du rectangle, alors dans ce cas, nous devrons nous souvenir de l'aire. Après tout, si vous le regardez, le rectangle est constitué. deux triangles rectangles égaux. Revenons donc à la valeur déterminée. Vous devez d’abord déterminer le cosinus de l’angle. Multipliez la valeur obtenue par la longueur de la diagonale. En conséquence, nous obtenons la longueur d'un des côtés du rectangle. De même, mais en utilisant la définition du sinus, vous pouvez déterminer la longueur du deuxième côté. Comment trouver l’aire d’un rectangle maintenant ? Oui, c'est très simple, multipliez les valeurs obtenues.
Sous forme de formule, cela ressemblera à ceci :
S = cos(a) * sin(a) * d2, où d est la longueur de la diagonale
- Une autre façon de déterminer l'aire d'un rectangle consiste à utiliser le cercle qui y est inscrit. Il est utilisé si le rectangle est un carré. Pour utiliser cette méthode, il faut savoir Comment calculer l'aire d'un rectangle de cette manière ? Bien sûr, selon la formule. Nous ne le prouverons pas. Et cela ressemble à ceci : S = 4 * r2, où r est le rayon.
Il arrive qu'au lieu du rayon, on connaisse le diamètre du cercle inscrit. La formule ressemblera alors à ceci :
S=d2, où d est le diamètre.
- Si l'un des côtés et le périmètre sont connus, alors comment connaître l'aire du rectangle dans ce cas ? Pour ce faire, vous devez effectuer une série de calculs simples. Comme nous le savons, les côtés opposés d’un rectangle sont égaux, donc la longueur connue multipliée par deux doit être soustraite de la valeur du périmètre. Divisez le résultat par deux et obtenez la longueur du deuxième côté. Eh bien, la technique standard consiste à multiplier les deux côtés et à obtenir l'aire du rectangle. Sous forme de formule, cela ressemblera à ceci :
S=b* (P - 2*b), où b est la longueur du côté, P est le périmètre.
Comme vous pouvez le constater, l'aire d'un rectangle peut être déterminée de différentes manières. Tout dépend des quantités que nous connaissons avant d'aborder cette question. Bien sûr, les dernières méthodes de calcul ne sont pratiquement jamais rencontrées dans la vie, mais elles peuvent être utiles pour résoudre de nombreux problèmes à l'école. Peut-être que cet article sera utile pour résoudre vos problèmes.
