La plus petite valeur de la fonction y x 2 est. La plus grande et la plus petite valeur d'une fonction sur un intervalle ouvert

Leçon sur le thème : "Trouver les plus grandes et les plus petites valeurs d'une fonction continue sur un segment"

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Ce que nous étudierons :

Trouver la plus grande et la plus petite valeur du graphique d'une fonction

Les gars, nous avons déjà trouvé les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction. Nous avons examiné le graphique d’une fonction et en avons déduit où la fonction atteint sa plus grande valeur et où elle atteint sa plus faible valeur.
Répétons :

Du graphique de notre fonction, on peut voir que valeur la plus élevée est atteinte au point x= 1, elle est égale à 2. La plus petite valeur est atteinte au point x= -1, et elle est égale à -2. Cette méthode est assez simple pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites, mais il n'est pas toujours possible de tracer un graphique de fonction.

Trouver la plus grande et la plus petite valeur à l'aide de la dérivée

Les gars, qu'en pensez-vous, comment pouvez-vous trouver la valeur la plus grande et la plus petite en utilisant la dérivée ?

La réponse se trouve dans la rubrique extrema d’une fonction. Là, vous et moi avons trouvé les points maximum et minimum, les termes ne sont-ils pas similaires ? Cependant, les valeurs les plus grandes et les plus petites ne doivent pas être confondues avec le maximum et le minimum d'une fonction, ce sont des concepts différents ;

Alors introduisons les règles :
a) Si une fonction est continue sur un intervalle, alors elle atteint ses valeurs maximale et minimale sur cet intervalle.
b) La fonction peut atteindre ses valeurs maximales et minimales aussi bien aux extrémités des segments qu'à l'intérieur de ceux-ci. Regardons ce point plus en détail.

Sur la figure a, la fonction atteint ses valeurs maximale et minimale aux extrémités des segments.
Sur la figure b, la fonction atteint ses valeurs maximale et minimale à l'intérieur du segment. Sur la figure c, le point minimum est situé à l’intérieur du segment, et le point maximum est à l’extrémité du segment, au point b.
c) Si les valeurs maximales et minimales sont atteintes à l'intérieur du segment, alors uniquement aux points fixes ou critiques.

Algorithme pour trouver la plus grande et la plus petite valeur d'une fonction continue y= f(x) sur un segment

• Trouvez la dérivée f"(x).
• Trouver des lignes fixes et points critiquesà l'intérieur du segment.
• Calculez la valeur de la fonction aux points stationnaires et critiques, ainsi qu'à f(a) et f(b). Sélectionnez les valeurs les plus petites et les plus grandes ; ce seront les points des valeurs les plus petites et les plus grandes de la fonction.

La plus grande et la plus petite valeur d'une fonction sur un intervalle ouvert

Les gars, comment trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction sur un intervalle ouvert ? Pour ce faire, nous utiliserons un théorème important, prouvé au cours des mathématiques supérieures.

Théorème. Soit la fonction y= f(x) être continue sur l'intervalle x, et avoir un unique point stationnaire ou critique x= x0 à l'intérieur de cet intervalle, alors :
a) si x= x0 est le point maximum, alors y est le maximum. = f(x0).
b) si x= x0 est le point minimum, alors y est le nom. = f(x0).

Exemple

Trouver la plus grande et la plus petite valeur de la fonction y= $\frac(x^3)(3)$ + 2x 2 + 4x - 5 sur le segment
une) [-9;-1], b) [-3;3], c) .
Solution : Trouvez la dérivée : y"= x 2 + 4x + 4.
La dérivée existe dans tout le domaine de définition, il faut alors trouver des points stationnaires.
y"= 0, à x= -2.
Nous effectuerons d'autres calculs pour les segments requis.
a) Trouver les valeurs de la fonction aux extrémités du segment et au point stationnaire.
Alors ton nom. = -122, à x= -9 ; y max. = y = -7$\frac(1)(3)$, avec x= -1.
b) Trouver les valeurs de la fonction aux extrémités du segment et à point fixe. Les valeurs les plus élevées et les plus basses sont atteintes aux extrémités du segment.
Alors ton nom. = -8, à x= -3, y max. = 34, à x= 3.
c) Le point stationnaire ne tombe pas sur notre segment ; trouvons les valeurs aux extrémités du segment.
Alors ton nom. = 34, avec x= 3, y max. = 436, à x= 9.

Exemple

Trouvez la plus grande et la plus petite valeur de la fonction y= x 2 - 3x + 5 + |1-x| sur le segment.
Solution : Développons le module et transformons notre fonction :
oui= x 2 - 3x + 5 + 1 - x, pour x ≤ 1.
oui= x 2 - 3x + 5 - 1 + x, pour x ≥ 1.

Notre fonction prendra alors la forme :
\begin(equation*)f(x)= \begin(cases) x^2 - 4x + 6,\quad pour\quad x ≤ 1 \\ x^2 - 2x + 4,\quad pour\quad x ≥ 1 \end(cases) \end(equation*) Trouvons les points critiques : \begin(equation*)f"(x)= \begin(cases) 2x - 4,\quad for\quad x ≤ 1 \\ 2x - 2, \quad pour\quad x ≥ 1 \end(cases) \end(equation*) \begin(equation*)f"(x)=0,\quad pour\quad x= \begin(cases) 2,\ quad pour \quad x ≤ 1 \\ 1,\quad pour\quad x ≥ 1 \end(cases) \end(equation*) Nous avons donc deux points stationnaires et n'oublions pas que notre fonction est constituée de deux fonctions pour différents X.
Trouvons les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction ; pour ce faire, on calcule les valeurs de la fonction aux points fixes et aux extrémités du segment :
Réponse : La fonction atteint sa valeur minimale au point stationnaire x= 1, y est le plus petit. = 3. La fonction atteint sa plus grande valeur à la fin du segment au point x = 4, y max. = 12.

Exemple

Trouvez la plus grande valeur de la fonction y= $\frac(3x)(x^2 + 3)$ sur le rayon : , b) , c) [-4;7].
b) Trouvez la plus grande et la plus petite valeur de la fonction y= x 2 - 6x + 8 + |x - 2| sur le segment [-1;5].
c) Trouvez la plus grande et la plus petite valeur de la fonction y= $-2x-\frac(1)(2x)$ sur le rayon (0;+∞).

D'un point de vue pratique, le plus grand intérêt est d'utiliser la dérivée pour trouver les plus grandes et les plus petites valeurs d'une fonction. A quoi est-ce lié ? Maximiser les profits, minimiser les coûts, déterminer la charge optimale des équipements... En d'autres termes, dans de nombreux domaines de la vie, nous devons résoudre des problèmes d'optimisation de certains paramètres. Et ce sont les tâches consistant à trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction.

Il convient de noter que les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction sont généralement recherchées sur un certain intervalle X, qui est soit le domaine entier de la fonction, soit une partie du domaine de définition. L'intervalle X lui-même peut être un segment, un intervalle ouvert , un intervalle infini.

Dans cet article, nous parlerons de la recherche explicite des valeurs les plus grandes et les plus petites. fonction donnée une variable y=f(x) .

Navigation dans les pages.

La plus grande et la plus petite valeur d'une fonction - définitions, illustrations.

Examinons brièvement les principales définitions.

La plus grande valeur de la fonction ça pour n'importe qui l’inégalité est vraie.

La plus petite valeur de la fonction y=f(x) sur l'intervalle X est appelé une telle valeur ça pour n'importe qui l’inégalité est vraie.

Ces définitions sont intuitives : la plus grande (la plus petite) valeur d'une fonction est la plus grande (la plus petite) valeur acceptée sur l'intervalle considéré en abscisse.

Points fixes– ce sont les valeurs de l'argument pour lesquelles la dérivée de la fonction devient nulle.

Pourquoi avons-nous besoin de points stationnaires pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites ? La réponse à cette question est donnée par le théorème de Fermat. De ce théorème il résulte que si une fonction différentiable a un extremum ( minimum local ou maximum local) en un certain point, alors ce point est stationnaire. Ainsi, la fonction prend souvent sa plus grande (plus petite) valeur sur l'intervalle X en un des points stationnaires de cet intervalle.

De plus, une fonction peut souvent prendre ses valeurs les plus grandes et les plus petites aux points où la dérivée première de cette fonction n'existe pas et la fonction elle-même est définie.

Répondons immédiatement à l’une des questions les plus courantes sur ce sujet : « Est-il toujours possible de déterminer la plus grande (la plus petite) valeur d’une fonction » ? Non, pas toujours. Parfois les limites de l'intervalle X coïncident avec les limites du domaine de définition de la fonction, ou l'intervalle X est infini. Et certaines fonctions à l'infini et aux limites du domaine de définition peuvent prendre à la fois des valeurs infiniment grandes et des valeurs infiniment petites. Dans ces cas, on ne peut rien dire sur la valeur la plus grande et la plus petite de la fonction.

Pour plus de clarté, nous donnerons une illustration graphique. Regardez les images et beaucoup de choses deviendront plus claires.

Sur le segment

Dans la première figure, la fonction prend les valeurs les plus grandes (max y) et les plus petites (min y) aux points stationnaires situés à l'intérieur du segment [-6;6].

Prenons le cas représenté dans la deuxième figure. Changeons le segment en . Dans cet exemple, la plus petite valeur de la fonction est obtenue en un point stationnaire, et la plus grande au point dont l'abscisse correspond à la limite droite de l'intervalle.

Sur la figure 3, les points limites du segment [-3;2] sont les abscisses des points correspondant à la plus grande et à la plus petite valeur de la fonction.

Sur un intervalle ouvert

Dans la quatrième figure, la fonction prend les valeurs les plus grandes (max y) et les plus petites (min y) aux points stationnaires situés à l'intérieur de l'intervalle ouvert (-6;6).

Sur l'intervalle, aucune conclusion ne peut être tirée sur la plus grande valeur.

À l'infini

Dans l'exemple présenté sur la septième figure, la fonction prend la plus grande valeur (max y) en un point stationnaire d'abscisse x=1, et la plus petite valeur (min y) est obtenue sur la limite droite de l'intervalle. À moins l'infini, les valeurs de la fonction se rapprochent asymptotiquement de y=3.

Sur l'intervalle, la fonction n'atteint ni la plus petite ni la plus grande valeur. À mesure que x=2 s'approche de la droite, les valeurs de la fonction tendent vers moins l'infini (la droite x=2 est asymptote verticale), et comme l'abscisse tend vers plus l'infini, les valeurs de la fonction se rapprochent asymptotiquement de y=3. Une illustration graphique de cet exemple est présentée à la figure 8.

Algorithme pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction continue sur un segment.

Écrivons un algorithme qui nous permet de trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction sur un segment.

1. On retrouve le domaine de définition de la fonction et on vérifie si elle contient tout le segment.
2. On retrouve tous les points auxquels la dérivée première n'existe pas et qui sont contenus dans le segment (généralement ces points se trouvent dans les fonctions avec un argument sous le signe du module et dans fonctions de puissance avec un exposant fractionnaire-rationnel). S'il n'y a pas de tels points, passez au point suivant.
3. Nous déterminons tous les points stationnaires tombant dans le segment. Pour ce faire, nous l'assimilons à zéro, résolvons l'équation résultante et sélectionnons les racines appropriées. S'il n'y a pas de points fixes ou si aucun d'entre eux ne tombe dans le segment, passez au point suivant.
4. Nous calculons les valeurs de la fonction en des points stationnaires sélectionnés (le cas échéant), en des points où la dérivée première n'existe pas (le cas échéant), ainsi qu'en x=a et x=b.
5. À partir des valeurs obtenues de la fonction, nous sélectionnons la plus grande et la plus petite - ce seront respectivement les valeurs les plus grandes et les plus petites requises de la fonction.

Analysons l'algorithme de résolution d'un exemple pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction sur un segment.

Exemple.

Trouver la plus grande et la plus petite valeur d'une fonction

• sur le segment ;
• sur le segment [-4;-1] .

Solution.

Le domaine d'une fonction est l'ensemble nombres réels, sauf zéro, c'est-à-dire . Les deux segments relèvent du domaine de définition.

Trouver la dérivée de la fonction par rapport à :

Évidemment, la dérivée de la fonction existe en tout point des segments et [-4;-1].

Nous déterminons les points stationnaires à partir de l'équation. La seule vraie racine est x=2. Ce point stationnaire appartient au premier segment.

Pour le premier cas, on calcule les valeurs de la fonction aux extrémités du segment et au point stationnaire, c'est-à-dire pour x=1, x=2 et x=4 :

Donc la plus grande valeur de la fonction est atteint à x=1, et la plus petite valeur – à x=2.

Pour le deuxième cas, on calcule les valeurs de la fonction uniquement aux extrémités du segment [-4;-1] (puisqu'il ne contient pas un seul point stationnaire) :

Laissez la fonction y =f(X) est continue sur l'intervalle [ une, b]. Comme on le sait, une telle fonction atteint ses valeurs maximales et minimales sur ce segment. La fonction peut prendre ces valeurs soit point interne segment [ une, b], ou sur la limite du segment.

Pour trouver les plus grandes et les plus petites valeurs d'une fonction sur le segment [ une, b] nécessaire:

1) trouver les points critiques de la fonction dans l'intervalle ( une, b);

2) calculer les valeurs de la fonction aux points critiques trouvés ;

3) calculer les valeurs de la fonction aux extrémités du segment, c'est-à-dire lorsque x=UN et x = b;

4) parmi toutes les valeurs calculées de la fonction, sélectionnez la plus grande et la plus petite.

Exemple. Trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction

sur le segment.

Trouver les points critiques :

Ces points se situent à l'intérieur du segment ; oui(1) = ‒ 3; oui(2) = ‒ 4; oui(0) = ‒ 8; oui(3) = 1;

au point x= 3 et au point x= 0.

Etude d'une fonction de convexité et de point d'inflexion.

Fonction oui = f (x) appelé convexe entre (un, b) , si son graphique se situe sous la tangente tracée en tout point de cet intervalle, et s'appelle convexe vers le bas (concave), si son graphique se situe au-dessus de la tangente.

Le point par lequel la convexité est remplacée par la concavité ou vice versa est appelé point d'inflexion.

Algorithme d'examen de la convexité et du point d'inflexion :

1. Trouvez les points critiques du deuxième type, c'est-à-dire les points auxquels la dérivée seconde est égale à zéro ou n'existe pas.

2. Tracez les points critiques sur la droite numérique, en la divisant en intervalles. Trouvez le signe de la dérivée seconde sur chaque intervalle ; si , alors la fonction est convexe vers le haut, si, alors la fonction est convexe vers le bas.

3. Si, en passant par un point critique de seconde espèce, le signe change et qu'à ce point la dérivée seconde est égale à zéro, alors ce point est l'abscisse du point d'inflexion. Trouvez son ordonnée.

Asymptotes du graphique d'une fonction. Etude d'une fonction pour les asymptotes.

Définition. L'asymptote du graphe d'une fonction s'appelle droit, qui a la propriété que la distance entre n'importe quel point du graphique et cette ligne tend vers zéro lorsque le point du graphique s'éloigne indéfiniment de l'origine.

Il existe trois types d'asymptotes : vertical, horizontal et incliné.

Définition. La ligne droite s'appelle asymptote verticale graphiques de fonctions y = f(x), si au moins une des limites unilatérales de la fonction en ce point est égale à l'infini, c'est-à-dire

où est le point de discontinuité de la fonction, c'est-à-dire qu'elle n'appartient pas au domaine de définition.

Exemple.

D ( oui) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – point de rupture.

Définition. Droit y =UN appelé asymptote horizontale graphiques de fonctions y = f(x)à , si

Exemple.

Définition. Droit y =kx +b (k≠ 0) est appelé asymptote oblique graphiques de fonctions y = f(x)à , où

Schéma général d'étude des fonctions et de construction de graphiques.

Algorithme de recherche fonctionnelley = f(x) :

1. Trouvez le domaine de la fonction D (oui).

2. Trouver (si possible) les points d'intersection du graphique avec les axes de coordonnées (si x= 0 et à oui = 0).

3. Examinez la régularité et l'impair de la fonction ( oui (‒ x) = oui (x) ‒ parité; oui(‒ x) = ‒ oui (x) ‒ impair).

4. Trouvez les asymptotes du graphique de la fonction.

5. Trouvez les intervalles de monotonie de la fonction.

6. Trouvez les extrema de la fonction.

7. Trouvez les intervalles de convexité (concavité) et les points d'inflexion du graphique de fonctions.

8. Sur la base des recherches effectuées, construisez un graphique de la fonction.

Exemple. Explorez la fonction et construisez son graphique.

1) D (oui) =

x= 4 – point de rupture.

2) Quand x = 0,

(0 ; ‒ 5) – point d'intersection avec Oh.

À oui = 0,

3) oui(‒ x)= fonction vue générale(ni pair, ni impair).

4) Nous recherchons les asymptotes.

a) verticale

b) horizontale

c) trouver les asymptotes obliques où

‒équation asymptote oblique

5)B équation donnée il n'est pas nécessaire de trouver des intervalles de monotonie de la fonction.

6)

Ces points critiques divisent tout le domaine de définition de la fonction en l'intervalle (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) et (10; +∞). Il convient de présenter les résultats obtenus sous la forme du tableau suivant.