Les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction. La plus grande et la plus petite valeur d'une fonction. Étude de la fonction pour la convexité et le point d'inflexion.

Le concept des valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction.

La notion de valeurs les plus grandes et les plus petites est étroitement liée à la notion de point critique d'une fonction.

Définition 1

$x_0$ est appelé point critique de la fonction $f(x)$ si :

1) $x_0$ - point interne du domaine de définition ;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ ou n'existe pas.

Introduisons maintenant les définitions des valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction.

Définition 2

Une fonction $y=f(x)$ définie sur l'intervalle $X$ atteint sa valeur maximale s'il existe un point $x_0\in X$ tel que pour tout $x\in X$ l'inégalité

Définition 3

Une fonction $y=f(x)$ définie sur l'intervalle $X$ atteint sa valeur minimale s'il existe un point $x_0\in X$ tel que l'inégalité est vraie pour tout $x\in X$

Théorème de Weierstrass sur une fonction continue sur un intervalle

Introduisons d'abord la notion de fonction continue sur un intervalle :

Définition 4

Une fonction $f\left(x\right)$ est dite continue sur l'intervalle $$ si elle est continue en tout point de l'intervalle $(a,b)$, et est également continue à droite au point $x=a$ et à gauche au point $x =b$.

Formulons un théorème sur une fonction continue sur un intervalle.

Théorème 1

Théorème de Weierstrass

Une fonction $f\left(x\right)$ continue sur un intervalle $$ atteint ses valeurs maximale et minimale sur cet intervalle, c'est-à-dire qu'il y a des points $\alpha ,\beta \in $ tels que pour tout $x\in $ inégalité $f(\alpha)\le f(x)\le f(\beta)$.

L'interprétation géométrique du théorème est présentée à la figure 1.

Ici, la fonction $f(x)$ atteint sa valeur minimale au point $x=\alpha $ atteint sa valeur maximale au point $x=\beta $.

Schéma pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction $f(x)$ sur le segment $$

1) Trouvez la dérivée $f"(x)$ ;

2) Trouvez les points auxquels la dérivée $f"\left(x\right)=0$ ;

3) Trouver les points auxquels la dérivée $f"(x)$ n'existe pas ;

4) Sélectionner parmi les points obtenus aux étapes 2 et 3 ceux qui appartiennent au segment $$ ;

5) Calculer la valeur de la fonction aux points obtenus à l'étape 4, ainsi qu'aux extrémités du segment $$ ;

6) Sélectionnez la valeur la plus grande et la plus petite parmi les valeurs obtenues.

Problèmes de recherche des valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction sur un segment

Exemple 1

Trouvez la plus grande et la plus petite valeur de la fonction sur le segment : $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Solution.

1) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$ ;

2) $f"\gauche(x\droite)=0$ ;

\ \ \

4) $2\in \gauche,\ 3\in $;

5) Valeurs :

\ \ \ \

6) La plus grande valeur trouvée est de 33$, la plus petite valeur trouvée est de 1$. Ainsi, nous obtenons :

Répondre:$max=33,\ min=1$.

Exemple 2

Trouvez la plus grande et la plus petite valeur de la fonction sur le segment : $f\left(x\right)=x^3-3x^2-45x+225$

Solution.

Nous réaliserons la solution selon le schéma ci-dessus.

1) $f"\left(x\right)=3x^2-6x-45$ ;

2) $f"\gauche(x\droite)=0$ ;

\ \ \

3) $f"(x)$ existe en tous points du domaine de définition ;

4) $-3\notin \left,\ 5\in $;

5) Valeurs :

\ \ \

6) La plus grande valeur trouvée est de 225$, la plus petite valeur trouvée est de 50$. Ainsi, nous obtenons :

Répondre:$max=225,\min=50$.

Exemple 3

Trouver la plus grande et la plus petite valeur de la fonction sur l'intervalle [-2,2] : $f\left(x\right)=\frac(x^2-6x+9)(x-1)$

Solution.

Nous réaliserons la solution selon le schéma ci-dessus.

1) $f"\left(x\right)=\frac(\left(2x-6\right)\left(x-1\right)-(x^2-6x+9))(((x- 1))^2)=\frac(x^2-2x-3)(((x-1))^2)$;

2) $f"\gauche(x\droite)=0$ ;

\[\frac(x^2-2x-3)(((x-1))^2)=0\] \ \

3) $f"(x)$ n'existe pas au point $x=1$

4) $3\notin \left[-2,2\right],\ -1\in \left[-2,2\right],\ 1\in \left[-2,2\right]$, cependant 1 n'appartient pas au domaine de la définition ;

5) Valeurs :

\ \ \

6) La plus grande valeur trouvée est $1$, la plus petite valeur trouvée est $-8\frac(1)(3)$. Ainsi, nous obtenons : \end(enumerate)

Répondre:$max=1,\min==-8\frac(1)(3)$.

Dans la tâche B14 de l'examen d'État unifié en mathématiques, vous devez trouver la valeur la plus petite ou la plus grande d'une fonction d'une variable. Il s'agit d'un problème assez trivial en analyse mathématique, et c'est pour cette raison que tout diplômé du secondaire peut et doit apprendre à le résoudre normalement. Examinons quelques exemples résolus par des écoliers lors d'un travail de diagnostic en mathématiques, organisé à Moscou le 7 décembre 2011.

En fonction de l'intervalle sur lequel vous souhaitez trouver la valeur maximale ou minimale d'une fonction, l'un des algorithmes standards suivants est utilisé pour résoudre ce problème.

I. Algorithme pour trouver la plus grande ou la plus petite valeur d'une fonction sur un segment :

• Trouvez la dérivée de la fonction.
• Sélectionner parmi les points suspectés d'être un extremum ceux qui appartiennent au segment et au domaine de définition de la fonction donnés.
• Calculer les valeurs les fonctions(pas dérivé !) à ces points.
• Parmi les valeurs obtenues, sélectionnez la plus grande ou la plus petite, ce sera celle souhaitée.

Exemple 1. Trouver la plus petite valeur de la fonction
oui = X 3 – 18X 2 + 81X+ 23 sur le segment.

Solution: Nous suivons l'algorithme pour trouver la plus petite valeur d'une fonction sur un segment :

• La portée d'une fonction n'est pas limitée : D(o) = R.
• La dérivée de la fonction est égale à : vous = 3X 2 – 36X+ 81. Le domaine de définition de la dérivée d'une fonction n'est pas non plus limité : D(y') = R.
• Zéros de la dérivée : vous = 3X 2 – 36X+ 81 = 0, ce qui signifie X 2 – 12X+ 27 = 0, d'où X= 3 et X= 9, notre intervalle comprend uniquement X= 9 (un point suspect pour un extremum).
• On retrouve la valeur de la fonction en un point suspect d'un extremum et aux bords de l'écart. Pour faciliter le calcul, nous présentons la fonction sous la forme : oui = X 3 – 18X 2 + 81X + 23 = X(X-9) 2 +23:
  • oui(8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31 ;
  • oui(9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23 ;
  • oui(13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.

Ainsi, parmi les valeurs obtenues, la plus petite est 23. Réponse : 23.

II. Algorithme pour trouver la plus grande ou la plus petite valeur d'une fonction :

• Trouvez le domaine de définition de la fonction.
• Trouvez la dérivée de la fonction.
• Identifiez les points suspects d'extremum (les points auxquels la dérivée de la fonction disparaît et les points auxquels il n'y a pas de dérivée finie bilatérale).
• Marquez ces points et le domaine de définition de la fonction sur la droite numérique et déterminez les signes dérivé(pas de fonctions !) sur les intervalles résultants.
• Définir des valeurs les fonctions(pas la dérivée !) aux points minimaux (ces points auxquels le signe de la dérivée passe de moins à plus), la plus petite de ces valeurs sera la plus petite valeur de la fonction. S'il n'y a pas de points minimum, alors la fonction n'a pas de valeur minimale.
• Définir des valeurs les fonctions(pas la dérivée !) aux points maximum (ces points auxquels le signe de la dérivée passe du plus au moins), la plus grande de ces valeurs sera la plus grande valeur de la fonction. S’il n’y a pas de maximum de points, alors la fonction n’a pas la plus grande valeur.

Exemple 2. Trouvez la plus grande valeur de la fonction.

D'un point de vue pratique, le plus grand intérêt est d'utiliser la dérivée pour trouver les plus grandes et les plus petites valeurs d'une fonction. A quoi est-ce lié ? Maximiser les profits, minimiser les coûts, déterminer la charge optimale des équipements... En d'autres termes, dans de nombreux domaines de la vie, nous devons résoudre des problèmes d'optimisation de certains paramètres. Et ce sont les tâches consistant à trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction.

Il convient de noter que les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction sont généralement recherchées sur un certain intervalle X, qui est soit le domaine entier de la fonction, soit une partie du domaine de définition. L'intervalle X lui-même peut être un segment, un intervalle ouvert , un intervalle infini.

Dans cet article, nous parlerons de la recherche des valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction explicitement définie d'une variable y=f(x) .

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La plus grande et la plus petite valeur d'une fonction - définitions, illustrations.

Examinons brièvement les principales définitions.

La plus grande valeur de la fonction ça pour n'importe qui l’inégalité est vraie.

La plus petite valeur de la fonction y=f(x) sur l'intervalle X est appelé une telle valeur ça pour n'importe qui l’inégalité est vraie.

Ces définitions sont intuitives : la plus grande (la plus petite) valeur d'une fonction est la plus grande (la plus petite) valeur acceptée sur l'intervalle considéré en abscisse.

Points fixes– ce sont les valeurs de l'argument pour lesquelles la dérivée de la fonction devient nulle.

Pourquoi avons-nous besoin de points stationnaires pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites ? La réponse à cette question est donnée par le théorème de Fermat. De ce théorème, il s'ensuit que si une fonction différentiable a un extremum (minimum local ou maximum local) en un certain point, alors ce point est stationnaire. Ainsi, la fonction prend souvent sa plus grande (plus petite) valeur sur l'intervalle X en l'un des points stationnaires de cet intervalle.

De plus, une fonction peut souvent prendre ses valeurs les plus grandes et les plus petites aux points où la dérivée première de cette fonction n'existe pas et la fonction elle-même est définie.

Répondons immédiatement à l’une des questions les plus courantes sur ce sujet : « Est-il toujours possible de déterminer la plus grande (la plus petite) valeur d’une fonction » ? Non, pas toujours. Parfois les limites de l'intervalle X coïncident avec les limites du domaine de définition de la fonction, ou l'intervalle X est infini. Et certaines fonctions à l'infini et aux limites du domaine de définition peuvent prendre à la fois des valeurs infiniment grandes et des valeurs infiniment petites. Dans ces cas, on ne peut rien dire sur la valeur la plus grande et la plus petite de la fonction.

Pour plus de clarté, nous donnerons une illustration graphique. Regardez les images et beaucoup de choses deviendront plus claires.

Sur le segment

Dans la première figure, la fonction prend les valeurs les plus grandes (max y) et les plus petites (min y) aux points stationnaires situés à l'intérieur du segment [-6;6].

Prenons le cas représenté dans la deuxième figure. Changeons le segment en . Dans cet exemple, la plus petite valeur de la fonction est obtenue en un point stationnaire, et la plus grande au point dont l'abscisse correspond à la limite droite de l'intervalle.

Sur la figure 3, les points limites du segment [-3;2] sont les abscisses des points correspondant à la plus grande et à la plus petite valeur de la fonction.

Sur un intervalle ouvert

Dans la quatrième figure, la fonction prend les valeurs les plus grandes (max y) et les plus petites (min y) aux points stationnaires situés à l'intérieur de l'intervalle ouvert (-6;6).

Sur l'intervalle, aucune conclusion ne peut être tirée sur la plus grande valeur.

À l'infini

Dans l'exemple présenté sur la septième figure, la fonction prend la plus grande valeur (max y) en un point stationnaire d'abscisse x=1, et la plus petite valeur (min y) est obtenue sur la limite droite de l'intervalle. À moins l'infini, les valeurs de la fonction se rapprochent asymptotiquement de y=3.

Sur l'intervalle, la fonction n'atteint ni la plus petite ni la plus grande valeur. À mesure que x=2 s'approche de la droite, les valeurs de la fonction tendent vers moins l'infini (la droite x=2 est une asymptote verticale), et lorsque l'abscisse tend vers plus l'infini, les valeurs de la fonction se rapprochent asymptotiquement de y=3. Une illustration graphique de cet exemple est présentée à la figure 8.

Algorithme pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction continue sur un segment.

Écrivons un algorithme qui nous permet de trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction sur un segment.

1. On retrouve le domaine de définition de la fonction et on vérifie si elle contient tout le segment.
2. Nous trouvons tous les points auxquels la dérivée première n'existe pas et qui sont contenus dans le segment (généralement, ces points se trouvent dans les fonctions avec un argument sous le signe du module et dans les fonctions puissance avec un exposant fractionnaire-rationnel). S'il n'y a pas de tels points, passez au point suivant.
3. Nous déterminons tous les points stationnaires tombant dans le segment. Pour ce faire, nous l'assimilons à zéro, résolvons l'équation résultante et sélectionnons les racines appropriées. S'il n'y a pas de points fixes ou si aucun d'entre eux ne tombe dans le segment, passez au point suivant.
4. Nous calculons les valeurs de la fonction en des points stationnaires sélectionnés (le cas échéant), en des points où la dérivée première n'existe pas (le cas échéant), ainsi qu'en x=a et x=b.
5. À partir des valeurs obtenues de la fonction, nous sélectionnons la plus grande et la plus petite - ce seront respectivement les valeurs les plus grandes et les plus petites requises de la fonction.

Analysons l'algorithme de résolution d'un exemple pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction sur un segment.

Exemple.

Trouver la plus grande et la plus petite valeur d'une fonction

• sur le segment ;
• sur le segment [-4;-1] .

Solution.

Le domaine de définition d’une fonction est l’ensemble des nombres réels, à l’exception de zéro. Les deux segments relèvent du domaine de définition.

Trouver la dérivée de la fonction par rapport à :

Évidemment, la dérivée de la fonction existe en tout point des segments et [-4;-1].

Nous déterminons les points stationnaires à partir de l'équation. La seule vraie racine est x=2. Ce point stationnaire appartient au premier segment.

Pour le premier cas, on calcule les valeurs de la fonction aux extrémités du segment et au point stationnaire, c'est-à-dire pour x=1, x=2 et x=4 :

Donc la plus grande valeur de la fonction est atteint à x=1, et la plus petite valeur – à x=2.

Pour le deuxième cas, on calcule les valeurs de la fonction uniquement aux extrémités du segment [-4;-1] (puisqu'il ne contient pas un seul point stationnaire) :

Solution.

Commençons par le domaine de la fonction. Le trinôme carré au dénominateur de la fraction ne doit pas disparaître :

Il est facile de vérifier que tous les intervalles de l’énoncé du problème appartiennent au domaine de définition de la fonction.

Différencions la fonction :

Évidemment, la dérivée existe dans tout le domaine de définition de la fonction.

Trouvons des points stationnaires. La dérivée tend vers zéro en . Ce point stationnaire se situe dans les intervalles (-3;1] et (-3;2).

Vous pouvez maintenant comparer les résultats obtenus en chaque point avec le graphique de la fonction. Les lignes pointillées bleues indiquent les asymptotes.

À ce stade, nous pouvons terminer par trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction. Les algorithmes abordés dans cet article permettent d'obtenir des résultats avec un minimum d'actions. Cependant, il peut être utile de déterminer d'abord les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction et seulement ensuite de tirer des conclusions sur les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction sur n'importe quel intervalle. Cela donne une image plus claire et une justification rigoureuse des résultats.

Parfois, dans les problèmes B15, il y a des « mauvaises » fonctions pour lesquelles il est difficile de trouver une dérivée. Auparavant, cela ne se produisait que lors de tests par échantillons, mais ces tâches sont désormais si courantes qu'elles ne peuvent plus être ignorées lors de la préparation du véritable examen d'État unifié.

Dans ce cas, d'autres techniques fonctionnent, dont l'une est monotone.

Une fonction f (x) est dite croissante de manière monotone sur le segment si pour l'un quelconque des points x 1 et x 2 de ce segment, ce qui suit est vrai :

x1< x 2 ⇒ f (x1) < f (x2).

Une fonction f (x) est dite décroissante de façon monotone sur le segment si pour l'un quelconque des points x 1 et x 2 de ce segment, ce qui suit est vrai :

x1< x 2 ⇒ f (x1) > f ( x2).

En d’autres termes, pour une fonction croissante, plus x est grand, plus f(x) est grand. Pour une fonction décroissante, l’inverse est vrai : plus x est grand, plus moins f(x).

Par exemple, le logarithme augmente de façon monotone si la base a > 1, et diminue de façon monotone si 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0 ; a ≠ 1 ; x > 0)

La racine carrée arithmétique (et pas seulement carrée) augmente de façon monotone sur tout le domaine de définition :

La fonction exponentielle se comporte de manière similaire au logarithme : elle augmente pour a > 1 et décroît pour 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = une x (une > 0)

Enfin, les degrés avec un exposant négatif. Vous pouvez les écrire sous forme de fraction. Ils ont un point de rupture où la monotonie est rompue.

Toutes ces fonctions ne se retrouvent jamais sous leur forme pure. Ils ajoutent des polynômes, des fractions et d'autres absurdités, ce qui rend difficile le calcul de la dérivée. Regardons ce qui se passe dans ce cas.

Coordonnées du sommet de la parabole

Le plus souvent, l'argument de la fonction est remplacé par trinôme quadratique de la forme y = ax 2 + bx + c. Son graphique est une parabole étalon à laquelle on s'intéresse :

1. Les branches d'une parabole peuvent monter (pour a > 0) ou descendre (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Le sommet d'une parabole est le point extremum d'une fonction quadratique auquel cette fonction prend son minimum (pour a > 0) ou son maximum (a< 0) значение.

Le plus grand intérêt est sommet de la parabole, dont l'abscisse est calculée par la formule :

Nous avons donc trouvé le point extrême de la fonction quadratique. Mais si la fonction originale est monotone, pour elle le point x 0 sera aussi un point extremum. Formulons donc la règle clé :

Les points extrêmes d'un trinôme quadratique et la fonction complexe dans laquelle il est inclus coïncident. Par conséquent, vous pouvez rechercher x 0 pour un trinôme quadratique et oublier la fonction.

D’après le raisonnement ci-dessus, il reste difficile de savoir quel point nous obtenons : maximum ou minimum. Cependant, les tâches sont spécifiquement conçues pour que cela n'ait pas d'importance. Jugez par vous-même :

1. Il n'y a aucun segment dans l'énoncé du problème. Il n’est donc pas nécessaire de calculer f(a) et f(b). Il ne reste plus qu'à considérer les points extrêmes ;
2. Mais il n'y a qu'un seul point de ce type - c'est le sommet de la parabole x 0, dont les coordonnées sont calculées littéralement oralement et sans aucune dérivée.

Ainsi, la résolution du problème est grandement simplifiée et se résume à seulement deux étapes :

1. Écrivez l'équation de la parabole y = ax 2 + bx + c et trouvez son sommet en utilisant la formule : x 0 = −b /2a ;
2. Trouvez la valeur de la fonction d'origine à ce stade : f (x 0). S'il n'y a pas de conditions supplémentaires, ce sera la réponse.

À première vue, cet algorithme et sa logique peuvent paraître complexes. Je ne publie délibérément pas de diagramme de solution « simple », car l'application irréfléchie de telles règles est semée d'erreurs.

Examinons les problèmes réels du test Examen d'État unifié en mathématiques - c'est là que cette technique se retrouve le plus souvent. En même temps, nous veillerons à ce que de cette manière de nombreux problèmes liés au B15 deviennent presque oraux.

Sous la racine se trouve une fonction quadratique y = x 2 + 6x + 13. Le graphique de cette fonction est une parabole avec des branches vers le haut, puisque le coefficient a = 1 > 0.

Sommet de la parabole :

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

Puisque les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, au point x 0 = −3 la fonction y = x 2 + 6x + 13 prend sa valeur minimale.

La racine augmente de manière monotone, ce qui signifie que x 0 est le point minimum de toute la fonction. Nous avons:

Tâche. Trouvez la plus petite valeur de la fonction :

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Sous le logarithme il y a encore une fonction quadratique : y = x 2 + 2x + 9. Le graphique est une parabole avec des branches vers le haut, car une = 1 > 0.

Sommet de la parabole :

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

Ainsi, au point x 0 = −1 la fonction quadratique prend sa valeur minimale. Mais la fonction y = log 2 x est monotone, donc :

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

L'exposant contient la fonction quadratique y = 1 − 4x − x 2 . Réécrivons-le sous forme normale : y = −x 2 − 4x + 1.

Évidemment, le graphique de cette fonction est une parabole, avec des branches descendantes (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

La fonction d'origine est exponentielle, elle est monotone, donc la plus grande valeur sera au point trouvé x 0 = −2 :

Un lecteur attentif remarquera probablement que nous n'avons pas écrit la plage de valeurs admissibles de la racine et du logarithme. Mais ce n'était pas obligatoire : à l'intérieur se trouvent des fonctions dont les valeurs sont toujours positives.

Corollaires du domaine d'une fonction

Parfois, trouver simplement le sommet de la parabole ne suffit pas à résoudre le problème B15. La valeur que vous recherchez peut mentir à la fin du segment, et pas du tout à l'extrême. Si le problème ne spécifie aucun segment, regardez plage de valeurs acceptables fonction originale. À savoir:

Attention encore : zéro peut très bien être sous la racine, mais jamais dans le logarithme ou le dénominateur d'une fraction. Voyons comment cela fonctionne avec des exemples spécifiques :

Tâche. Trouvez la plus grande valeur de la fonction :

Sous la racine se trouve à nouveau une fonction quadratique : y = 3 − 2x − x 2 . Son graphique est une parabole, mais ses branches descendent car a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Nous écrivons la plage de valeurs admissibles (APV) :

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Trouvons maintenant le sommet de la parabole :

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Le point x 0 = −1 appartient au segment ODZ - et c'est bien. Calculons maintenant la valeur de la fonction au point x 0, ainsi qu'aux extrémités de l'ODZ :

y(−3) = y(1) = 0

Nous avons donc obtenu les nombres 2 et 0. On nous demande de trouver le plus grand - c'est le nombre 2.

Tâche. Trouvez la plus petite valeur de la fonction :

y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)

À l'intérieur du logarithme, il y a une fonction quadratique y = 6x − x 2 − 5. Il s'agit d'une parabole avec des branches vers le bas, mais il ne peut pas y avoir de nombres négatifs dans le logarithme, nous écrivons donc l'ODZ :

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Attention : l'inégalité est stricte, les extrémités n'appartiennent donc pas à l'ODZ. Cela diffère du logarithme de la racine, où les extrémités du segment nous conviennent assez bien.

On cherche le sommet de la parabole :

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Le sommet de la parabole s'ajuste selon l'ODZ : x 0 = 3 ∈ (1 ; 5). Mais comme on ne s'intéresse pas aux extrémités du segment, on calcule la valeur de la fonction uniquement au point x 0 :

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

En pratique, il est assez courant d’utiliser la dérivée pour calculer la plus grande et la plus petite valeur d’une fonction. Nous effectuons cette action lorsque nous cherchons comment minimiser les coûts, augmenter les profits, calculer la charge optimale de production, etc., c'est-à-dire dans les cas où nous devons déterminer la valeur optimale d'un paramètre. Pour résoudre correctement de tels problèmes, vous devez bien comprendre quelles sont les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction.

Généralement, nous définissons ces valeurs dans un certain intervalle x, qui à son tour peut correspondre à l'ensemble du domaine de la fonction ou à une partie de celui-ci. Cela peut être comme un segment [a; b ] , et intervalle ouvert (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), intervalle infini (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) ou intervalle infini - ∞ ; une , (- ∞ ; une ] , [ une ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Dans ce document, nous vous expliquerons comment calculer les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction explicitement définie avec une variable y=f(x) y = f (x) .

Définitions basiques

Commençons, comme toujours, par la formulation des définitions de base.

Définition 1

La plus grande valeur de la fonction y = f (x) sur un certain intervalle x est la valeur m a x y = f (x 0) x ∈ X, qui pour toute valeur x x ∈ X, x ≠ x 0 fait l'inégalité f (x) ≤ f (x) valide 0) .

Définition 2

La plus petite valeur de la fonction y = f (x) sur un certain intervalle x est la valeur m i n x ∈ X y = f (x 0) , ce qui pour toute valeur x ∈ X, x ≠ x 0 fait l'inégalité f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Ces définitions sont assez évidentes. Encore plus simple, on peut dire ceci : la plus grande valeur d'une fonction est sa plus grande valeur sur un intervalle connu en abscisse x 0, et la plus petite est la plus petite valeur acceptée sur le même intervalle en x 0.

Définition 3

Les points stationnaires sont les valeurs de l'argument d'une fonction auxquelles sa dérivée devient 0.

Pourquoi avons-nous besoin de savoir ce que sont les points stationnaires ? Pour répondre à cette question, il faut rappeler le théorème de Fermat. Il en résulte qu'un point stationnaire est le point où se situe l'extremum de la fonction différentiable (c'est-à-dire son minimum ou son maximum local). Par conséquent, la fonction prendra la valeur la plus petite ou la plus grande sur un certain intervalle précisément en l'un des points stationnaires.

Une fonction peut également prendre la valeur la plus grande ou la plus petite aux points où la fonction elle-même est définie et où sa dérivée première n'existe pas.

Première question qui se pose lorsqu'on étudie ce sujet : dans tous les cas peut-on déterminer la plus grande ou la plus petite valeur d'une fonction sur un intervalle donné ? Non, nous ne pouvons pas faire cela lorsque les limites d'un intervalle donné coïncident avec les limites de la zone de définition, ou si nous avons affaire à un intervalle infini. Il arrive aussi qu'une fonction dans un segment donné ou à l'infini prenne des valeurs infiniment petites ou infiniment grandes. Dans ces cas, il n’est pas possible de déterminer la valeur la plus grande et/ou la plus petite.

Ces points deviendront plus clairs après avoir été représentés sur les graphiques :

La première figure nous montre une fonction qui prend les valeurs les plus grandes et les plus petites (m a x y et m i n y) en des points stationnaires situés sur le segment [ - 6 ; 6].

Examinons en détail le cas indiqué dans le deuxième graphique. Changeons la valeur du segment en [ 1 ; 6 ] et nous constatons que la valeur maximale de la fonction sera atteinte au point dont l'abscisse est à la limite droite de l'intervalle, et la valeur minimale - au point stationnaire.

Dans la troisième figure, les abscisses des points représentent les points limites du segment [ - 3 ; 2]. Elles correspondent à la plus grande et à la plus petite valeur d'une fonction donnée.

Regardons maintenant la quatrième image. Dans celui-ci, la fonction prend m a x y (la plus grande valeur) et m i n y (la plus petite valeur) à des points stationnaires sur l'intervalle ouvert (- 6 ; 6).

Si l'on prend l'intervalle [ 1 ; 6), alors on peut dire que la plus petite valeur de la fonction sur celui-ci sera atteinte en un point stationnaire. La plus grande valeur nous sera inconnue. La fonction pourrait prendre sa valeur maximale à x égal à 6 si x = 6 appartenait à l'intervalle. C’est exactement le cas montré dans le graphique 5.

Dans le graphique 6, cette fonction acquiert sa plus petite valeur à la limite droite de l'intervalle (- 3 ; 2 ], et nous ne pouvons pas tirer de conclusions définitives sur la plus grande valeur.

Sur la figure 7, nous voyons que la fonction aura m a x y en un point stationnaire ayant une abscisse égale à 1. La fonction atteindra sa valeur minimale à la limite de l'intervalle du côté droit. À moins l'infini, les valeurs de la fonction se rapprocheront asymptotiquement de y = 3.

Si l'on prend l'intervalle x ∈ 2 ; + ∞ , alors nous verrons que la fonction donnée ne prendra ni la plus petite ni la plus grande valeur. Si x tend vers 2, alors les valeurs de la fonction tendront vers moins l'infini, puisque la droite x = 2 est une asymptote verticale. Si l'abscisse tend vers plus l'infini, alors les valeurs de la fonction se rapprocheront asymptotiquement de y = 3. C’est exactement le cas illustré à la figure 8.

Dans ce paragraphe, nous présenterons la séquence d'actions à effectuer pour trouver la plus grande ou la plus petite valeur d'une fonction sur un certain segment.

1. Tout d'abord, trouvons le domaine de définition de la fonction. Vérifions si le segment spécifié dans la condition y est inclus.
2. Calculons maintenant les points contenus dans ce segment pour lesquels la dérivée première n'existe pas. Le plus souvent, on les retrouve dans des fonctions dont l'argument est écrit sous le signe du module, ou dans des fonctions puissance dont l'exposant est un nombre fractionnaire rationnel.
3. Ensuite, nous découvrirons quels points stationnaires tomberont dans le segment donné. Pour ce faire, vous devez calculer la dérivée de la fonction, puis l'assimiler à 0 et résoudre l'équation résultante, puis sélectionner les racines appropriées. Si nous n’obtenons pas un seul point stationnaire ou s’il n’appartient pas au segment donné, nous passons à l’étape suivante.
4. Nous déterminons quelles valeurs la fonction prendra à des points stationnaires donnés (le cas échéant), ou à ces points où la dérivée première n'existe pas (s'il y en a), ou nous calculons les valeurs pour x = a et x = b.
5. 5. Nous disposons d’un certain nombre de valeurs de fonction parmi lesquelles nous devons maintenant sélectionner la plus grande et la plus petite. Ce seront les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction que nous devons trouver.

Voyons comment appliquer correctement cet algorithme lors de la résolution de problèmes.

Exemple 1

Condition: la fonction y = x 3 + 4 x 2 est donnée. Déterminez ses valeurs les plus grandes et les plus petites sur les segments [ 1 ; 4 ] et [ - 4 ; - 1 ] .

Solution:

Commençons par trouver le domaine de définition d'une fonction donnée. Dans ce cas, ce sera l’ensemble de tous les nombres réels sauf 0. En d'autres termes, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Les deux segments spécifiés dans la condition se trouveront à l'intérieur de la zone de définition.

Calculons maintenant la dérivée de la fonction selon la règle de différenciation des fractions :

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x3

Nous avons appris que la dérivée d'une fonction existera en tout point des segments [ 1 ; 4 ] et [ - 4 ; - 1 ] .

Nous devons maintenant déterminer les points stationnaires de la fonction. Faisons cela en utilisant l'équation x 3 - 8 x 3 = 0. Il n’a qu’une seule vraie racine, qui est 2. Ce sera un point stationnaire de la fonction et tombera dans le premier segment [1; 4 ] .

Calculons les valeurs de la fonction aux extrémités du premier segment et à ce stade, c'est-à-dire pour x = 1, x = 2 et x = 4 :

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Nous avons constaté que la plus grande valeur de la fonction m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 sera atteint à x = 1, et le plus petit m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – à x = 2.

Le deuxième segment ne comprend pas un seul point stationnaire, nous devons donc calculer les valeurs de fonction uniquement aux extrémités du segment donné :

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Cela signifie m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m je n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Répondre: Pour le segment [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m je n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , pour le segment [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m je n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Voir l'image:

Avant d'étudier cette méthode, nous vous conseillons de revoir comment calculer correctement la limite unilatérale et la limite à l'infini, ainsi que d'apprendre les méthodes de base pour les trouver. Pour trouver la plus grande et/ou la plus petite valeur d’une fonction sur un intervalle ouvert ou infini, effectuez les étapes suivantes de manière séquentielle.

1. Vous devez d’abord vérifier si l’intervalle donné est un sous-ensemble du domaine de définition de cette fonction.
2. Déterminons tous les points contenus dans l'intervalle requis et auxquels la dérivée première n'existe pas. Ils apparaissent généralement dans les fonctions où l'argument est entouré du signe du module et dans les fonctions puissance avec un exposant fractionnairement rationnel. Si ces points manquent, vous pouvez alors passer à l'étape suivante.
3. Déterminons maintenant quels points stationnaires se situeront dans l’intervalle donné. Tout d’abord, nous assimilons la dérivée à 0, résolvons l’équation et sélectionnons les racines appropriées. Si nous n'avons pas un seul point stationnaire ou s'ils ne se situent pas dans l'intervalle spécifié, nous procédons immédiatement à d'autres actions. Ils sont déterminés par le type d'intervalle.

• Si l'intervalle est de la forme [ a ; b) , alors nous devons calculer la valeur de la fonction au point x = a et la limite unilatérale lim x → b - 0 f (x) .
• Si l'intervalle a la forme (a; b ], alors nous devons calculer la valeur de la fonction au point x = b et la limite unilatérale lim x → a + 0 f (x).
• Si l'intervalle a la forme (a; b), alors nous devons calculer les limites unilatérales lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Si l'intervalle est de la forme [ a ; + ∞), alors nous devons calculer la valeur au point x = a et la limite à plus l'infini lim x → + ∞ f (x) .
• Si l'intervalle ressemble à (- ∞ ; b ] , on calcule la valeur au point x = b et la limite à moins l'infini lim x → - ∞ f (x) .
• Si - ∞ ; b , alors nous considérons la limite unilatérale lim x → b - 0 f (x) et la limite à moins l'infini lim x → - ∞ f (x)
• Si - ∞ ; + ∞ , alors on considère les limites sur moins et plus l'infini lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. À la fin, vous devez tirer une conclusion basée sur les valeurs et limites de la fonction obtenues. De nombreuses options sont disponibles ici. Ainsi, si la limite unilatérale est égale à moins l'infini ou à plus l'infini, alors il est immédiatement clair que rien ne peut être dit sur les valeurs les plus petites et les plus grandes de la fonction. Ci-dessous, nous examinerons un exemple typique. Des descriptions détaillées vous aideront à comprendre de quoi il s'agit. Si nécessaire, vous pouvez revenir aux figures 4 à 8 dans la première partie du matériel.

Condition : fonction donnée y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Calculez sa plus grande et sa plus petite valeur dans les intervalles - ∞ ; - 4, - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞) .

Solution

Tout d’abord, on retrouve le domaine de définition de la fonction. Le dénominateur de la fraction contient un trinôme quadratique, qui ne doit pas devenir 0 :

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Nous avons obtenu le domaine de définition de la fonction auquel appartiennent tous les intervalles spécifiés dans la condition.

Maintenant, différencions la fonction et obtenons :

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1" · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Par conséquent, les dérivées d’une fonction existent dans tout son domaine de définition.

Passons à la recherche de points stationnaires. La dérivée de la fonction devient 0 à x = - 1 2 . Il s'agit d'un point stationnaire qui se situe dans les intervalles (- 3 ; 1 ] et (- 3 ; 2) .

Calculons la valeur de la fonction à x = - 4 pour l'intervalle (- ∞ ; - 4 ], ainsi que la limite à moins l'infini :

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Puisque 3 e 1 6 - 4 > - 1, cela signifie que m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Cela ne nous permet pas de déterminer de manière unique la plus petite valeur de fonction. On ne peut que conclure qu'il existe une contrainte en dessous de - 1, puisque c'est de cette valeur que la fonction se rapproche asymptotiquement à moins l'infini.

La particularité du deuxième intervalle est qu'il n'y a pas un seul point stationnaire ni une seule limite stricte. Par conséquent, nous ne pourrons calculer ni la plus grande ni la plus petite valeur de la fonction. Après avoir défini la limite à moins l'infini et comme l'argument tend vers - 3 du côté gauche, on obtient seulement un intervalle de valeurs :

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 et 0 - 4 = - 1

Cela signifie que les valeurs de la fonction seront situées dans l'intervalle - 1 ; +∞

Pour trouver la plus grande valeur de la fonction dans le troisième intervalle, on détermine sa valeur au point stationnaire x = - 1 2 si x = 1. Nous aurons également besoin de connaître la limite unilatérale pour le cas où l'argument tend vers - 3 du côté droit :

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 oui (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Il s'est avéré que la fonction prendra la plus grande valeur en un point stationnaire m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Quant à la plus petite valeur, nous ne pouvons pas la déterminer. Tout ce que nous savons , est la présence d'une limite inférieure à - 4 .

Pour l'intervalle (- 3 ; 2), prenez les résultats du calcul précédent et calculez à nouveau à quoi est égale la limite unilatérale lorsqu'on tend vers 2 sur le côté gauche :

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Cela signifie que m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, et la plus petite valeur ne peut pas être déterminée, et les valeurs de la fonction sont limitées d'en bas par le nombre - 4 .

D'après ce que nous avons obtenu dans les deux calculs précédents, nous pouvons dire que sur l'intervalle [ 1 ; 2) la fonction prendra la plus grande valeur à x = 1, mais il est impossible de trouver la plus petite.

Sur l'intervalle (2 ; + ∞) la fonction n'atteindra ni la plus grande ni la plus petite valeur, c'est-à-dire il prendra les valeurs de l'intervalle - 1 ; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Après avoir calculé à quoi sera égale la valeur de la fonction à x = 4, nous découvrons que m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , et la fonction donnée à plus l'infini s'approchera asymptotiquement de la droite y = - 1 .

Comparons ce que nous avons obtenu dans chaque calcul avec le graphique de la fonction donnée. Sur la figure, les asymptotes sont représentées par des lignes pointillées.

C'est tout ce que nous voulions vous dire sur la recherche des valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction. Les séquences d'actions que nous vous avons données vous aideront à effectuer les calculs nécessaires le plus rapidement et le plus simplement possible. Mais rappelez-vous qu'il est souvent utile de déterminer d'abord à quels intervalles la fonction diminuera et à quels intervalles elle augmentera, après quoi vous pourrez tirer d'autres conclusions. De cette façon, vous pouvez déterminer plus précisément les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction et justifier les résultats obtenus.

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