L'ensemble des nombres réels. Leçon "ensemble de nombres réels"

13.3 Intervalles numériques. Quartier d'un point

Soit a et b des nombres réels, et a

Intervalles numériques(intervalles) sont des sous-ensembles de tous les nombres réels ayant la forme suivante :

= (x : α ≤ x ≤ b) - segment (segment, intervalle fermé) ;
(une;) = (x : une< х < b} - интервал (открытый промежуток);
= (x:une< х ≤ b} - полуоткрытые интервалы (или полуоткрытые отрезки);
(-∞; b] = (x : x ≤ b) ; [α, +∞) = (x : x ≥ α) ;
(-∞; b) = (x : x UN);
(-∞, ∞) = (x : -∞<х<+∞} = R - бесконечные интервалы (промежутки).

Les nombres a et b sont appelés respectivement les extrémités gauche et droite de ces intervalles. Les symboles -∞ et +∞ ne sont pas des nombres, ils sont une désignation symbolique du processus de suppression illimitée de points sur l'axe des nombres depuis le début 0 vers la gauche et la droite.

Soit x o n'importe quel nombre réel (un point sur la droite numérique). Un voisinage du point xo est tout intervalle (a; b) contenant le point x0. En particulier, l'intervalle (x o -ε, x o + ε), où ε >0, est appelé le ε-voisinage du point x o. Le nombre xo est appelé le centre.

Si x Î (x 0 -ε ; x 0 +ε), alors l'inégalité x 0 -ε<х<х 0 +ε, или, что то же, |х-х о |<ε. Выполнение последнего неравенства означает попадание точки х в ε -окрестность точки х о (см. рис. 97).

Sur la troisième ligne, il y a respectivement trois nombres pour chaque équation cubique. commandé quatre, etc.

Que. nous obtenons une matrice qui peut être parcourue en utilisant le processus diagonal de Cantor. Si certaines racines d’une équation algébrique sont complexes, nous les ignorons simplement lors de la numérotation. Que. chaque nombre algébrique recevra le numéro correspondant, et cela confirme le fait que l'ensemble des nombres réels algébriques dénombrable .

Fait énumération efficace l'ensemble A découle directement de la méthode donnée de numérotation des éléments avec des nombres naturels, puisqu'en même temps une procédure efficace pour numéroter des ensembles de nombres rationnels qui définissent de manière unique des équations algébriques du degré correspondant est indiquée. Il est important que l'équation algébrique du nième degré ait un algorithme de solution efficace, c'est-à-dire la procédure est totalement efficace. Ainsi, l’ensemble des nombres réels algébriques est dénombrable et effectivement énumérable, Q.E.D.

Les ensembles constitués de toutes les paires, triplets, etc. de nombres algébriques seront également dénombrables.

2.3.7. Ensembles de nombres dénombrables : généralisation

Théorème T.2 (sans preuve)

L'ensemble des éléments pouvant être représentés à l'aide d'un nombre fini de symboles dénombrables est dénombrable.

Dans la vraie vie, nous utilisons divers systèmes de signes finis, par exemple des chiffres, des lettres, des notes.

Considérons un système de signes, par exemple des nombres dans n'importe quel système de nombres finis, par exemple décimal. Disposant de 10 caractères : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, nous pouvons créer deux types d'ensembles : de longueur fixe et de longueur arbitraire.

Dans le premier cas, nous parlons d'un problème purement combinatoire, par exemple, vous pouvez créer 105 séquences différentes de cinq caractères. C'est un nombre assez grand, mais c'est un nombre naturel et la cardinalité de l'ensemble considéré de toutes les séquences possibles de ce type est exprimée par un nombre naturel. Dans le second cas, l'ensemble de telles séquences sera dénombrablement infini, par analogie avec les ensembles de complexes de nombres naturels, et sa cardinalité est le nombre aleph-zéro.

On peut généraliser que l'ensemble obtenu en appliquant le théorème 2.3.(7) sera dénombrablement infini si, dans le cas d'un système fini de signes, des complexes de signes arbitrairement longs sont autorisés (aussi longtemps que souhaité, mais toujours fini!).

Les dénombrables infinis sont, par exemple :

· un ensemble de « mots » pouvant être composés à l'aide d'un alphabet fini (« un mot » est ici un complexe de lettres, qu'elles aient ou non un sens),

· l'ensemble de tous les livres écrits dans une ou même toutes les langues,

· ensemble de toutes les symphonies, etc.

2.4.1. Indénombrabilité de l'ensemble des nombres réels (continuum)

On note l’ensemble des nombres réels par la lettre latine R.

Théorème T.2

L’ensemble des nombres réels est indénombrable.

Preuve

Supposons le contraire, que l'ensemble des nombres réels soit dénombrable. Alors tout sous-ensemble d’un ensemble dénombrable est également dénombrable. Sur l'ensemble des nombres réels, prenons un sous-ensemble R1 - l'intervalle (0,1) et supprimons de ce segment les nombres qui contiennent des zéros ou des neuf dans au moins un de leurs chiffres (exemples de tels nombres : 0,9, 0,0001, etc. ). L'ensemble R2, constitué des nombres restants, est un sous-ensemble de l'ensemble R1. Cela signifie que R2 est dénombrable.

Du fait que R2 est dénombrable, il s'ensuit directement qu'il est possible d'énumérer ses éléments d'une manière ou d'une autre pour établir une correspondance biunivoque entre les éléments de R2 et les éléments de l'ensemble des nombres naturels. Cela découle de la définition même de la cardinalité d'un ensemble, selon laquelle on suppose que dans des ensembles de cardinalité égale, chaque élément d'un ensemble a un élément apparié d'un autre ensemble et vice versa. Notez que la différence fondamentale entre cette définition et la définition de l'énumération effective est que dans dans ce cas nous ne parlons même pas de la présence d'un quelconque algorithme d'énumération, nous affirmons simplement qu'il est possible de donner une liste de nombres réels de l'ensemble R2 et une liste d'entiers naturels correspondants de l'ensemble N. L'algorithme de construction de la connexion N ↔ R2 ne nous intéresse pas dans ce cas, il suffit qu'une telle correspondance soit possible.

Construisons la liste de nombres suivante à partir de l'ensemble R2 et numérotons les nombres en chiffres :

Construisons maintenant le nombre b=0.b1b2…, et

bi=aii+1, où + désigne l'opération d'addition dont le résultat ne peut pas être les nombres 0 et 9, c'est-à-dire si aii=1, alors bi=2 ; si aii=2, alors bi=3, ...., si aii=8, alors bi=1).

Ainsi, le nombre construit b différera de chacun des nombres de l'ensemble R2 par au moins un chiffre et, par conséquent, ne sera pas inclus dans la liste compilée. Or, de par sa structure, le nombre b doit être contenu dans l'ensemble R2. Nous obtenons une contradiction, ce qui signifie que l’hypothèse initiale est incorrecte et que l’ensemble R2 est indénombrable.

Puisque l'ensemble R2 est par condition un sous-ensemble de l'ensemble R1, alors R1 est indénombrable, et puisque R1 est indénombrable, alors l'ensemble R est indénombrable, Q.E.D.

Note: Vous n’êtes pas obligé de jeter les nombres contenant 0 et 9. Ainsi, certains nombres apparaîtront deux fois dans notre série. En effet, des fractions finies peuvent être transformées en fractions infinies. Par exemple ½=0,5=0,5(0)=0,4(9).

En général, cela pourrait être la raison pour laquelle il n’a pas été possible de compter l’ensemble des nombres réels. Mais l’ensemble des nombres qui peuvent être représentés de deux manières (fractions finies) est l’ensemble des nombres rationnels. Comme nous l’avons prouvé précédemment, il en existe un nombre incalculable. On peut même montrer que cet ensemble est effectivement énumérable. Que. même une double représentation de l'ensemble de ces nombres forme un ensemble dénombrable, donc la preuve est correcte même sans une telle simplification.

Un résultat fondamentalement nouveau a été obtenu : un ensemble indénombrable de nombres a été trouvé. Sa puissance, selon le théorème prouvé, n'est pas égale à aleph-zéro (À0), ce qui signifie qu'un nouveau nombre est nécessaire dans l'échelle transfinie.

Aleph ( À) – le deuxième nombre transfini. Par définition, c'est la puissance du continu (de tous les nombres réels). C'est la deuxième puissance infinie la plus élevée. Le théorème 2.4.(1) qui vient d'être prouvé sur l'indénombrabilité de l'ensemble des nombres réels est une preuve convaincante que la cardinalité de cet ensemble est supérieure à aleph-zéro (supérieure à l'ensemble des nombres naturels). Et c’est un résultat très important après une série de preuves de la dénombrabilité de divers ensembles de nombres.

Si l'on opère avec la notion de nombre cardinal (puissance), on obtient que, puisque chaque nombre du segment (0,1) peut être représenté par une fraction décimale de la forme 0.a1a2a3... au moins une fois et à presque deux fois, alors :

À≤10 À0≤ 2À ,

et puisque 2À=À, on obtient que 10 À0= À. Le même raisonnement est valable si l'on décompose les nombres non pas en décimales, mais, par exemple, en fractions binaires, fractions de base 3, 15, 10005 ou même À0 (si vous pouvez l'imaginer).

Que. À =2À0=3À0=…=10À0=…nÀ0=…À0À0

Si vous y réfléchissez, vous pouvez découvrir un autre fait pas tout à fait évident issu de la théorie des ensembles. À2=À À est la puissance de l'ensemble des paires de nombres réels. Une paire de nombres réels correspond généralement à un point du plan. À son tour, À3=À À À est la puissance de l’ensemble des triplets de nombres réels, et ce sont des points dans l’espace. Le raisonnement peut être poursuivi jusqu'à À0 - un espace dimensionnel ou l'ensemble de toutes les séquences de nombres réels de longueur dénombrable. Que. tous les espaces de dimension finie ou de dimension dénombrable ont la même cardinalité À (ici À est le nombre de points dans l'espace).

Pour un espace réel de dimension À0 ou l'ensemble de toutes les séquences de nombres réels de longueur dénombrable, du point de vue des opérations sur les nombres cardinaux, on obtient ÀÀ0=(2À0)À0=2À0∙À0=2À0=À.

À ce stade, il sera intéressant de se tourner vers les événements historiques associés à une série de preuves dans ce domaine. Les mathématiciens, même si cela n’a pas été immédiat, ont finalement compris qu’il y avait autant de points sur une droite infinie que sur un segment. Mais le résultat suivant de Cantor était encore plus inattendu. À la recherche d'un ensemble comportant plus d'éléments qu'un segment sur l'axe réel, il s'est tourné vers l'ensemble des points d'un carré. Au départ, il n'y avait aucun doute sur le résultat : après tout, le segment entier est situé d'un côté du carré, et l'ensemble de tous les segments en lesquels le carré peut lui-même être décomposé a la même cardinalité que l'ensemble des points du carré. segment. Pendant près de trois ans (de 1871 à 1874), Cantor chercha la preuve qu'une correspondance biunivoque entre les points d'un segment et les points d'un carré est impossible. Et à un moment donné, de manière tout à fait inattendue, le résultat exactement inverse s'est produit : il a réussi à construire une correspondance qu'il considérait sincèrement comme impossible. Cantor n’y croyait pas et écrivit même au mathématicien allemand Richard Dedekind : « Je le vois, mais je n’y crois pas. » Une fois le choc de ce fait passé, il est devenu intuitivement clair et rapidement prouvé qu'un cube a le même nombre de points qu'un segment. D'une manière générale, toute figure géométrique sur un plan (un corps géométrique dans l'espace) contenant au moins une ligne possède le même nombre de points qu'un segment. De tels ensembles étaient appelés ensembles de puissance continue (du latin continuum - continu). La prochaine étape est presque évidente : la dimension de l’espace dans certaines limites n’a pas d’importance. Par exemple, un plan à 2 dimensions, un espace familier à 3 dimensions, des espaces à 4, 5 et autres espaces à n dimensions sont de puissance égale en termes de nombre de points contenus dans le corps à n dimensions correspondant. Cette situation s'observera même dans le cas d'un espace avec un nombre infini de dimensions, il est seulement important que ce nombre soit dénombrable.

A ce stade, deux types d'infinis ont été découverts et, par conséquent, deux nombres transfinis désignant leurs puissances. Les ensembles du premier type ont une puissance équivalente à la puissance des nombres naturels (aleph-zéro). Les ensembles du deuxième type ont une cardinalité équivalente au nombre de points sur l'axe réel (cardinalité du continu, aleph). On montre que les ensembles du deuxième type contiennent plus d’éléments que les ensembles du premier type. Naturellement, la question se pose : existe-t-il dans la nature un ensemble « intermédiaire » qui aurait une cardinalité supérieure au nombre d'entiers naturels, mais en même temps inférieure à l'ensemble des points d'une droite ? Cette question difficile s'appelle "problème de continuum" . Elle est également connue sous le nom "hypothèse du continuum" ou " Le premier problème de Hilbert". La formulation exacte est la suivante :

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Ainsi, après de nombreuses recherches sur l’hypothèse du continu, le mathématicien allemand Kurt Gödel démontra en 1938 que l’existence d’une puissance intermédiaire ne contredit pas les autres axiomes de la théorie des ensembles. Et plus tard, dans Presque simultanément, mais indépendamment l'un de l'autre, le mathématicien américain Cohen et le mathématicien tchèque Vopenka ont montré que la présence d'une telle puissance intermédiaire ne peut être déduite des autres axiomes de la théorie des ensembles. À propos, il est intéressant de noter que ce résultat est très similaire à l’histoire du postulat des droites parallèles. Comme on le sait, pendant deux mille ans, ils ont essayé de le déduire des autres axiomes de la géométrie, mais ce n'est qu'après les travaux de Lobatchevski, Hilbert et d'autres qu'ils ont réussi à obtenir le même résultat : ce postulat ne contredit pas les autres axiomes, mais ne peut pas en être déduits.

2.4.2. Ensembles de nombres complexes, transcendantaux et irrationnels

En plus de l’ensemble des nombres réels, nous présentons plusieurs autres ensembles indénombrables.

https://pandia.ru/text/78/390/images/image010_26.gif" width="81" height="76"> T.2.4.(2) Théorème

L’ensemble des nombres complexes est indénombrable.

Preuve

Puisque l'ensemble des nombres réels R, indénombrable par le théorème 2.4.(1) précédemment prouvé, est un sous-ensemble de l'ensemble des nombres complexes C, alors l'ensemble des nombres complexes est également indénombrable, Q.E.D.

Numéro transcendantal - un nombre réel qui n'est pas algébrique.

Nous désignons l’ensemble des nombres transcendantaux par la lettre latine T. Tout nombre réel transcendantal est irrationnel, mais l’inverse n’est pas vrai. Par exemple, un nombre est irrationnel, mais pas transcendantal : c'est la racine de l'équation X 2 − 2=0.

Théorème T.2

L’ensemble des nombres transcendantaux est indénombrable.

Preuve

Puisque les nombres réels sont un ensemble indénombrable, que les nombres algébriques sont dénombrables et que l'ensemble A est un sous-ensemble de R, alors R\A (l'ensemble des nombres transcendantaux) est un ensemble indénombrable, Q.E.D.

Cette simple preuve de l'existence de nombres transcendantaux a été publiée par Cantor en 1873 et a fait une grande impression sur la communauté scientifique, car elle prouvait l'existence de nombreux nombres sans construire un seul exemple spécifique, mais uniquement sur la base de considérations générales. Aucun exemple spécifique de nombre transcendantal ne peut être extrait de cette preuve ; non constructif .

Il est important de noter que pendant longtemps les mathématiciens se sont occupés uniquement des nombres algébriques. Il a fallu des efforts considérables pour trouver ne serait-ce que quelques nombres transcendantaux. Ceci a été réalisé pour la première fois par le mathématicien français Liouville en 1844, qui a prouvé un ensemble de théorèmes permettant de construire des exemples spécifiques de tels nombres. Par exemple, un nombre transcendantal est le nombre 0,..., dans lequel après la première unité il y a un zéro, après la seconde - deux, après la troisième - 6, après le nième, respectivement, n ! des zéros.

Il a été prouvé que le logarithme décimal de tout nombre entier sauf 10 est transcendantal. n. L'ensemble des nombres transcendantaux inclut également le péché α, parce que α et tg α pour tout nombre algébrique non nul α . Les représentants les plus frappants des nombres transcendantaux sont généralement considérés comme les nombres. π Et e. D'ailleurs, la preuve de la transcendance du nombre π , réalisée par le mathématicien allemand Karl Linderman en 1882, fut un grand événement scientifique, car elle impliquait l'impossibilité de la quadrature du cercle. L’histoire de la quadrature du cercle a duré quatre millénaires, et le terme lui-même est devenu synonyme de problèmes insolubles.

Unité de mesure" href="/text/category/edinitca_izmereniya/" rel="bookmark">unité de mesure du rayon d'un cercle et désigner X la longueur du côté du carré recherché, alors le problème se réduit à résoudre l'équation : X 2 = π, d'où : . Comme vous le savez, à l'aide d'un compas et d'une règle, vous pouvez faire les 4 opérations arithmétiques et extraction racine carrée. Cela signifie que la quadrature du cercle est possible si et seulement si, en utilisant un nombre fini de telles actions, il est possible de construire un segment de longueur π. Ainsi, l’insolvabilité de ce problème découle de la nature non algébrique (transcendance) du nombre π. En fait, le problème de la quadrature du cercle se réduit au problème de la construction d’un triangle de base πr et de hauteur r. Un carré égal peut alors être facilement construit pour cela.

Dans la liste mentionnée précédemment de 23 problèmes cardinaux Mathématiques numéro 7 était le problème concernant la transcendance des nombres formés d'une certaine manière.

Le septième problème de Hilbert. Laissez un --- positif nombre algébrique différent de 1, b --- irrationnel nombre algébrique. Montrer que ab est un nombre transcendantal.

En 1934 mathématicien soviétique Gelfond et un peu plus tard le mathématicien allemand Schneider ont prouvé la validité de cette affirmation et ce problème a ainsi été résolu.

Deux autres sont associés au principe de division des nombres en rationnels et irrationnels faits intéressants, pas immédiatement perçu comme vrai.

T.2.4.(5) Théorème

Entre deux nombres rationnels différents, il existe toujours un ensemble de nombres irrationnels de puissance continue.

Preuve

Soit deux nombres rationnels, un Et b. Construisons une fonction linéaire, et donc biunivoque F(X) = (X - un) / (b - un). Parce que F(un) = 0 et F(b) = 1, alors F(X) mappe le segment [ un; b] dans le segment , tout en conservant la rationalité des chiffres. Par conséquent, les puissances des ensembles [ un; b] et les nombres réels sont égaux et, comme cela a été prouvé, la puissance du segment est égale à la puissance du continu. En sélectionnant uniquement les nombres irrationnels dans l’ensemble résultant, nous obtenons qu’entre deux nombres rationnels quelconques, il existe toujours un continuum de nombres irrationnels, Q.E.D.

En général ce théorème cela semble intuitivement assez logique. Ce qui suit, à première vue, est perçu avec scepticisme.

T. 2.4.(6) Théorème

Entre deux nombres irrationnels différents, il existe toujours un ensemble dénombrable de nombres rationnels.

Preuve

Qu'il y ait deux nombres irrationnels un Et b, nous écrivons leurs chiffres correspondants comme un 1un 2un 3... et b 1b 2b 2..., où ai, bi- Nombres décimaux. Laisser un < b, alors il existe un N tel que un N< b N. Construisons un nouveau nombre c, pourquoi mettons ci = ai = bi Pour je= 1, …, N-1. Laisser CN = BN-1. Il est évident que c < b. Puisque tous les chiffres du numéro un après le Nième ne peut pas être neuf (alors ce sera une fraction périodique, c'est-à-dire un nombre rationnel), alors on note M >= N un tel chiffre du nombre un, Quoi un M< 9. Положим cj = un J, en N< j < M, и c M = 9. Dans ce cas c > un. Nous avons donc un nombre rationnel c, tel que un < c < b. Ajout à notation décimale Nombres c n'importe lequel numéro final nombres derrière nous pouvons obtenir autant de nombres rationnels que nous le souhaitons entre un Et b. En attribuant chacun de ces numéros à son numéro de série, on obtient une correspondance bijective entre l'ensemble de ces nombres et l'ensemble des nombres naturels, donc l'ensemble résultant sera dénombrable, Q.E.D.

A ce stade, devient intéressante et importante la preuve du théorème suivant, dont la signification avant l'introduction de l'échelle des nombres transfinis était généralement évidente, et avec l'apparition d'une arithmétique aussi spécifique nécessite une preuve rigoureuse.

T.2 Théorème de Cantor

Pour tout nombre cardinal α, α<2α.

Preuve

1. Prouvons qu'au moins α≤2α

Comme on le sait, la cardinalité de l'ensemble booléen M est égale à 2|M|. Soit l'ensemble M = (m1, m2, m3, ...). L'ensemble booléen M (l'ensemble de tous ses sous-ensembles) comprend également des ensembles constitués chacun d'un seul élément, par exemple (m1), (m2), (m3), .... Seul ce type de sous-ensemble sera |M|, et en plus d'eux, le booléen inclut également d'autres sous-ensembles, ce qui signifie que dans tous les cas |M| ≤ 2|M|

2. Prouvons la rigueur de l'inégalité α<2α

Compte tenu de ce qui a été prouvé au paragraphe 1. il suffit de montrer qu'une situation dans laquelle α=2α. Supposons le contraire, soit α=2α, soit |M| = 2|M|. Cela signifie que M est équivalent à P(M), ce qui signifie qu'il existe une application de l'ensemble M sur son booléen P(M). Que. Chaque élément m de l'ensemble M a une correspondance bijective avec un sous-ensemble Mm appartenant à P(M). Cela signifie que tout élément m appartient au sous-ensemble correspondant Mm ou n'y appartient pas. Construisons un ensemble M* formé de tous les éléments de la seconde espèce (c'est-à-dire ceux m qui n'appartiennent pas à leurs sous-ensembles correspondants Mm)

Par construction, il est clair que si un élément m appartient à M*, alors il n’appartient pas automatiquement à Mm. Ceci, à son tour, signifie que pour tout m, la situation M*=Мm est impossible. Cela signifie que l'ensemble M* est différent de tous les ensembles Mm et pour lui, il n'y a pas d'élément biunivoque m de l'ensemble M. Cela signifie à son tour que l'égalité |M|= 2|M| faux. Que. il a été prouvé que |M| < 2|M| ou α<2α , Q.E.D.

Appliqué à la considération d’ensembles infinis, cela prouve de manière convaincante que l’ensemble de tous les sous-ensembles de nombres naturels (et il s’agit en fait de l’ensemble des complexes de longueur infinie) n’est PAS équivalent à l’ensemble des nombres naturels eux-mêmes. Autrement dit, À0 ≠ 2À0. Et cela signifie que, par analogie, il est possible de construire un ensemble encore plus étendu, par exemple basé sur des nombres réels. En d’autres termes, la question concernant les autres types d’ensembles infinis est la suivante : existe-t-il un ensemble de cardinalité supérieure à la cardinalité de l’ensemble des nombres réels ? Si l’on répond positivement à une telle question, la suivante se pose immédiatement : existe-t-il un ensemble de puissance encore plus grande ? Et puis encore plus. Et enfin, une question globale logique : existe-t-il un ensemble de plus grande cardinalité ?

Théorème T.2

Pour tout ensemble A, il existe un ensemble B dont la cardinalité est supérieure à A.

Preuve

Considérez l'ensemble DANS toutes les fonctions définies sur le plateau UN et en prenant les valeurs 0 et 1. Chaque point UN ensembles UN Associons la fonction fa(x), qui prend la valeur 1 en ce point et la valeur 0 en d'autres points. Il est clair que des fonctions différentes correspondent à des points différents. Il s’ensuit que la cardinalité de l’ensemble DANS pas moins que la puissance de l'ensemble UN (|B|≥|UN|).

Supposons qu'il existe de nombreux pouvoirs UN Et DANSégaux les uns aux autres. Dans ce cas, il existe une correspondance biunivoque entre les éléments des ensembles UN Et DANS. Notons la fonction correspondant à l'élément UN de beaucoup UN, via fa(x). Toutes les fonctions de la famille fa(x) prennent la valeur 0 ou 1. Construisons une nouvelle fonction φ(x)=1- fх(x). Ainsi, pour trouver la valeur de la fonction φ(x) à un moment donné UN appartenant à l'ensemble UN, il faut d'abord trouver la fonction correspondante fa( UN) puis soustrayez de l'unité la valeur de cette fonction au point UN. De la construction, il ressort clairement que la fonction φ(x) est également définie sur l'ensemble UN et prend les valeurs 0 et 1. Par conséquent, φ(x) est un élément de l'ensemble DANS. Alors il existe un nombre b dans l’ensemble A tel que φ(x) = fb(x). Compte tenu de la définition introduite précédemment de la fonction φ(x)=1- fх(x), on obtient que pour tout x appartenant à l'ensemble UN, vrai 1 - fх(x)= fb(x). Soit x = b. Alors 1 - fb(b) = fb(b) et cela signifie fb(b)=1/2. Ce résultat contredit clairement le fait que les valeurs de la fonction fb(x) sont égales à zéro ou un. Par conséquent, l’hypothèse acceptée est incorrecte, ce qui signifie qu’il n’y a pas de correspondance biunivoque entre les éléments des ensembles. UN Et DANS (| UN| ≠| B| ). Parce que le | UN| ≠|B| et en même temps | B| ≥| UN| , Moyens | B| >|UN| . Cela signifie que pour tout ensemble UN vous pouvez construire un ensemble DANS plus de pouvoir. De là, nous pouvons conclure qu'il n'existe pas d'ensemble de plus grande cardinalité, Q.E.D.

Il existe un lien assez étroit entre l'ensemble de fonctions construit et l'ensemble booléen UN(l'ensemble de tous les sous-ensembles UN). Considérez l'ensemble DANS tous les sous-ensembles de l'ensemble UN. Laisser AVEC– un sous-ensemble dans UN. Prenons la fonction F(X) , qui prend la valeur 1 si X fait parti AVEC, et la valeur est 0 sinon. Ainsi, différents sous-ensembles AVEC correspondent à diverses fonctions. Au contraire, chaque fonction F(X) , prenant deux valeurs 0 et 1, correspond à un sous-ensemble dans UN, composé de ces éléments X, dans lequel la fonction prend la valeur 1. Ainsi, une correspondance bijective a été établie entre l'ensemble des fonctions définies sur l'ensemble UN et en prenant les valeurs 0 et 1, et l'ensemble de tous les sous-ensembles dans UN.

§2.5. Ensembles de cardinalité supérieure à la cardinalité du continuum

Il n’existe donc pas d’ensemble de plus grande cardinalité. Les deux premiers nombres transfinis avaient dans la nature des ensembles qui les formaient (l'ensemble des nombres naturels et l'ensemble des nombres réels). Si on part de l’ensemble du continu, alors on peut construire l’ensemble de tous les sous-ensembles du continu, on obtiendra son booléen, appelons cet ensemble BR. Par définition, la puissance de l'ensemble BR est égale à 2А. D'après le théorème de Cantor 2À≠À. Il est évident que l'ensemble BR est infini, donc son nombre cardinal est un nombre transfini et il ne peut coïncider avec aucun des deux nombres transfinis considérés précédemment. Cela signifie qu’il est temps d’introduire le troisième nombre transfini dans notre échelle.

Aleph Un ( À 1 ) – troisième nombre transfini. Par définition, c'est la cardinalité de l'ensemble de tous les sous-ensembles du continuum. Le même nombre correspond à la cardinalité de nombreux autres ensembles, par exemple :

· Ensembles de toutes les fonctions linéaires qui prennent des valeurs réelles (une fonction linéaire est une fonction réelle d'une ou plusieurs variables). Il s’agit essentiellement d’ensembles de toutes les courbes possibles dans un espace à dimensions dénombrables, où le nombre de dimensions n est n’importe quel nombre fini ou même À0.

· Ensembles de figures sur le plan, c'est-à-dire des ensembles de tous les sous-ensembles de points sur le plan ou des ensembles de tous les sous-ensembles de paires de nombres réels.

· Ensembles de corps dans l'espace tridimensionnel ordinaire, ainsi que, d'une manière générale, dans tout espace de dimension dénombrable, où le nombre de dimensions n est n'importe quel nombre fini ou même À0.

Puisque le nombre À1 est introduit comme la cardinalité de l’ensemble booléen de cardinalité À, nous obtenons l’énoncé que À1 =2À.

§2.6. Paradoxes de la théorie des ensembles

Une question raisonnable se pose : et ensuite ? Que se passe-t-il si nous construisons l’ensemble de tous les sous-ensembles de l’ensemble BR. A quoi sera égal son nombre cardinal (bien sûr, par analogie on peut supposer qu'il est 2À1) et, surtout, à quel ensemble réel cela correspondra-t-il ? Existe-t-il des ensembles infinis plus grands que BR et combien y en a-t-il ?

Bien que nous ayons montré que le plus grand nombre transfini n'existe pas, comme le montrent les recherches, il est dangereux de monter de plus en plus loin vers de nouveaux grands nombres cardinaux - cela conduit à l'antinomie (paradoxes). En effet, quel que soit l'ensemble des nombres cardinaux, il est toujours possible de trouver un nombre cardinal supérieur à tous les nombres d'un ensemble donné et, donc, non inclus dans celui-ci. Que. aucun ensemble de ce type ne contient tous les nombres cardinaux, et l’ensemble de tous les nombres cardinaux est impensable.

Il est tout à fait naturel que tout mathématicien veuille traiter d’une théorie cohérente, c’est-à-dire dans laquelle il est impossible de prouver simultanément deux théorèmes qui se nient clairement. La théorie de Cantor est-elle cohérente ? Dans quelle mesure peut-on élargir la gamme des ensembles considérés ? Malheureusement, tout n’est pas si rose. Si nous introduisons un concept aussi inoffensif que « l’ensemble de tous les ensembles U », un certain nombre de points intéressants se posent.

https://pandia.ru/text/78/390/images/image009_32.gif" width="81" height="75 src="> T.2.6.(2) Le paradoxe de Russell

Soit B l'ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes comme leurs propres éléments. Deux théorèmes peuvent alors être démontrés.

Théorème 2.6.(2).1.

B appartient à V.

Preuve

Supposons le contraire, c'est-à-dire DANS n'appartient pas DANS. Par définition, cela signifie que DANS fait parti DANS. Nous avons une contradiction - par conséquent, l'hypothèse initiale est incorrecte et DANS fait parti DANS, Q.E.D.

Théorème 2.6.(2).2.

B n'appartient pas à V.

Preuve

Supposons le contraire, c'est-à-dire DANS fait parti DANS. Par définition d'un ensemble DANS aucun de ses éléments ne peut avoir lui-même comme élément propre, par conséquent, DANS n'appartient pas DANS. Une contradiction - par conséquent, l'hypothèse initiale est incorrecte et DANS n'appartient pas DANS, Q.E.D.

Il est facile de voir que les théorèmes 2.6.(2).1. et 2.6.(2).2. s'exclure les uns les autres.

Malheureusement, même l'exclusion de tous les ensembles superextensifs ne sauve pas la théorie de Cantor. Essentiellement, le paradoxe de Russell affecte la logique, c'est-à-dire les méthodes de raisonnement par lesquelles de nouveaux concepts sont formés lors du passage d'un énoncé vrai à un autre.

Déjà lors de la dérivation d'un paradoxe, la loi logique du tiers exclu est utilisée, qui est l'une des méthodes intégrales de raisonnement en mathématiques classiques (c'est-à-dire que si l'énoncé non-A est vrai, alors A est faux). Si vous réfléchissez à l'essence des choses, vous pouvez généralement vous éloigner de la théorie des ensembles et des mathématiques en général.

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L'ensemble des nombres réels est la collection du complément des nombres rationnels par des nombres irrationnels. Cet ensemble est désigné par la lettre R, et il est d'usage d'utiliser la notation (-∞, +∞) ou (-∞,∞) comme symbole.

L'ensemble des nombres réels peut être décrit comme suit : il s'agit d'un ensemble de fractions décimales finies et infinies, finies décimales et des décimales sans fin fractions périodiques sont des nombres rationnels et des décimales infinies et fractions non périodiques- nombres irrationnels.
N'importe quel nombre réel peut être indiqué sur une ligne de coordonnées. L'énoncé inverse est également approprié : tout point sur la ligne de coordonnées a une coordonnée réelle. Sur langage mathématique cela ressemble à ceci : une relation biunivoque peut être établie entre l'ensemble des points sur la ligne de coordonnées et l'ensemble R des nombres réels. Pour la ligne de coordonnées elle-même, le terme « droite numérique » est souvent utilisé, car la ligne de coordonnées est un modèle géométrique de l’ensemble des nombres réels.
Il s'avère que vous connaissez la ligne de coordonnées il y a longtemps, mais vous ne commencerez à l'utiliser que maintenant. Pourquoi? Vous pouvez trouver la réponse dans l’exemple du didacticiel vidéo.

On sait que pour les nombres réels a et b les lois d'addition et de multiplication que vous connaissez déjà bien sont satisfaites : la loi d'addition communicative, la loi commutative de multiplication, la loi d'addition associative, la loi distributive de multiplication relative à l'addition, et d'autres. Illustrons-en quelques-uns :
une + b = b + une ;
ab = ba;
une + (b + c) = (une + b) + c ;
une(bc) = (ab)c;
(a + b)c = ac + avant JC
Également réalisé suivre les règles:
1. Le produit (quotient) de deux nombres négatifs donne un nombre positif.
2. À la suite du produit d'un (quotient) nombre négatif et positif, un nombre négatif est obtenu.
Vous pouvez comparer des nombres réels entre eux en fonction de la définition :
Un nombre réel a est supérieur ou inférieur à un nombre réel b, dans le cas où la différence a - b est un nombre positif ou négatif.
Cela s'écrit ainsi : a > b, a< b.
Cela signifie que a est nombre positif, et b est négatif.
C'est-à-dire dans le cas où a > 0 => a est positif ;
un< 0 =>Un négatif;
a > b, alors a - b est positif => a - b > 0 ;
un< b, то a - b отрицательное =>un B< 0.
En plus des signes (<; >) inégalités strictes, des signes de faibles inégalités sont également utilisés - (≤;≥).
Par exemple, pour tout nombre b, l’inégalité b2 ≥ 0 est vraie.
Vous pouvez voir des exemples de comparaison de nombres et de classement par ordre croissant dans le didacticiel vidéo.
Grâce à modèle géométrique ensemble de nombres réels - la droite numérique, l'opération de comparaison semble particulièrement claire.

Propriété principale fraction algébrique

Nous poursuivons notre connaissance des fractions algébriques. Si la leçon précédente parlait de concepts de base, alors dans cette leçon, vous découvrirez la propriété principale d'une fraction algébrique. La définition de la propriété fondamentale d'une fraction est connue grâce au cours de mathématiques de 6e (fractions réductrices). En quoi cela consiste? Souvent, lors de la résolution de problèmes ou d'équations, il devient nécessaire de transformer une fraction « inconfortable » pour les calculs en une autre fraction « pratique ». C'est pour effectuer de telles transformations qu'il faut connaître sa propriété principale et les règles de changement de signes, avec lesquelles vous vous familiariserez en regardant le didacticiel vidéo.

La valeur d'une fraction commune restera la même lorsque le numérateur et le dénominateur sont multipliés ou divisés par le même nombre (sauf zéro). C'est la propriété principale d'une fraction.
Regardons un exemple :
7/9 = 14/18
Nous avons deux fractions identiques l’une à l’autre. Le numérateur et le dénominateur dans ce cas ont été multipliés par 2, mais la valeur de la fraction n'a pas changé.
Vous apprendrez grâce à la leçon vidéo ce qui arrive à une fraction lorsque le numérateur et le dénominateur sont divisés par le même nombre.
Une fraction algébrique est, en principe, la même fraction commune, vous pouvez y effectuer les mêmes actions que sur un appareil ordinaire.
Une expression au numérateur et une expression au dénominateur d'une fraction peuvent être multipliées ou divisées par la même expression alphanumérique (polynôme ou monôme), le même nombre (sauf zéro : si l'expression ou le nombre au dénominateur fractions, multiplié par zéro , cela prendra une valeur nulle et, comme vous le savez, vous ne pouvez pas diviser par zéro). Cette transformation d'une fraction algébrique s'appelle sa réduction. C'est la propriété principale d'une fraction algébrique. Vous pouvez apprendre comment cela est mis en pratique à partir du didacticiel vidéo.
Conversion de fractions en fractions avec mêmes dénominateurs s'appelle réduire des fractions à un dénominateur commun. Pour l'exécution de cette action il est nécessaire d'effectuer une certaine séquence d'actions, composée des éléments suivants :

Après avoir factorisé tous les dénominateurs, nous déterminons le LCM pour coefficients numériques.
. Nous notons le produit en tenant compte du LCM des coefficients et de tous les facteurs alphabétiques. Si les multiplicateurs sont les mêmes, prenez le multiplicateur une fois. De tous les diplômes que motifs identiques, prenons le multiplicateur avec indicateur maximum degrés.
. On retrouve les valeurs qui sont des facteurs supplémentaires pour le numérateur de chaque fraction.
. Pour chaque fraction, nous définissons un nouveau numérateur comme le produit de l'ancien numérateur et d'un facteur supplémentaire.
. Nous notons les fractions avec un nouveau numérateur que nous avons déterminé et un dénominateur commun.

Exemple 1 : Réduisez les fractions suivantes a/4b2 b a2/6b3 à un dénominateur commun.
Solution:
Pour commencer, définissons dénominateur commun. (C'est égal à 12b2).
Ensuite, en suivant l'algorithme, nous déterminons un facteur supplémentaire pour chacune des fractions. (Pour le premier - 3b, pour le second - 2).
Après avoir effectué la multiplication, nous obtenons le résultat.
(a*3b)/(4b2*3b) = 3ab/12b3 et (a2*2)/(6b2*2) = 2a2/12b2.
Exemple 2 : Réduire les fractions c/(c - d) et c/(c + d) à un dénominateur commun.
Solution:
(c+d)(c-d)=c2-d2
c*(c + d)/(c - d)(c + d) = (c2 + cd)/(c2 - d2)
c*(c - d)/(c + d)(c - d) = (c2 - cd)/(c2 - d2)

Plus solution détaillée exemples similaires vous trouverez dans le tutoriel vidéo.
La propriété principale d'une fraction algébrique a une conséquence sous la forme d'une règle de changement de signe :
a - b/c - d = b - a/d - c
Dans ce cas, le numérateur et le dénominateur de la fraction ont été multipliés par -1. Des actions similaires peuvent être effectuées non pas avec la fraction entière, mais uniquement avec le numérateur ou uniquement avec le dénominateur. Comment le résultat changera si, par exemple, seul le numérateur ou uniquement le dénominateur est multiplié par -1, vous le découvrirez en regardant la leçon vidéo.
Maintenant, après avoir étudié la propriété principale d'une fraction algébrique et la règle qui en découle, nous sommes en mesure de résoudre plus tâches complexes, à savoir : soustraction et addition de fractions. Mais c'est le sujet de la prochaine leçon.

Historiquement, le premier à apparaître entiers$N$, suite au recalcul de l'article. L'ensemble de ces nombres est infini et forme la série naturelle $N=\(1, 2, 3, ..., n, ...\)$. Les opérations d'addition et de multiplication sont réalisables dans cet ensemble. De nouveaux nombres étaient nécessaires pour effectuer l'opération de soustraction, ce qui aboutissait à un ensemble d'entiers : $Z$. $Z=N_+\cup N_- \cup \(0\)$. Ainsi, dans l’ensemble des nombres entiers, les opérations d’addition, de multiplication et de soustraction sont toujours effectuées.

Nombres rationnels

La nécessité d'effectuer une division a conduit à l'ensemble des nombres rationnels $Q$. $Q=\(\frac(m)(n), m\in Z, n\in N\)$.

Définition. Deux nombres rationnels sont égaux : $\frac(m_1)(n_1)=\frac(m_2)(n_2)$ - si $m_1\cdot n_2=n_1\cdot m_2$. Cela signifie que chaque nombre rationnel peut être représenté de manière unique sous la forme d'une fraction irréductible $\frac(m)(n)$. $PGCD(m, n)=1$.

Propriétés de l'ensemble des nombres rationnels

1. Grâce à des opérations arithmétiques sur des nombres rationnels (addition, multiplication, soustraction, division, sauf division par zéro), un nombre rationnel est obtenu.

2. L'ensemble des nombres rationnels est ordonné, c'est-à-dire pour toute paire de nombres rationnels $a$ et $b$ ou $a b$.

3. L'ensemble des nombres rationnels est dense, c'est-à-dire que pour toute paire de nombres rationnels $a$ et $b$ il existe un nombre rationnel $c$ tel que $a

Tout nombre rationnel positif peut toujours être représenté comme une fraction décimale : soit finie, soit infiniment périodique. Par exemple : $\frac(3)(5)=0,6$, $\frac(1)(3)=0,333...=0,(3)$.

$\frac(m)(n)=a_0,a_1a_1...a_kb_1b_2b_3...b_nb_1b_2b_3...b_n...$.

$b_1b_2b_3...b_n...$ - appelée la période de la fraction décimale, où tous les $b_i=0$.

Notez qu’une fraction finie peut s’écrire comme une fraction périodique infinie avec zéro dans la période. $\frac(m)(n)=a_0,a_1a_1...a_k000000...$, $a_k\ne0$.

Cependant, une autre représentation des nombres rationnels sous la forme d'une fraction décimale est plus courante : $\frac(m)(n)=a_0,a_1a_1...(a_k-1)999...$.

Les nombres rationnels négatifs $-\frac(m)(n)$ s'écrivent comme le développement décimal d'un nombre rationnel de la forme $\frac(m)(n)$, pris avec le signe opposé.

Le nombre $0$ est représenté par $0,000...$.

Ainsi, tout nombre rationnel est toujours représentable comme une fraction périodique décimale infinie qui ne contient pas $0$ dans la période, à l'exception du nombre $0$ lui-même. C'est la seule représentation.

Nombres irrationnels

L’ensemble des nombres rationnels est clos sous quatre opérations arithmétiques. Cependant, dans l'ensemble des nombres rationnels, il n'y a pas toujours de solution à l'équation la plus simple de la forme $x^2-n=0$. Il est donc nécessaire d’introduire de nouveaux chiffres.

Montrons que parmi les nombres rationnels il n’existe aucun nombre dont le carré soit égal à trois. Nous effectuerons la preuve par contradiction.

Supposons qu'il existe un nombre rationnel $\frac(m)(n)$ tel que son carré est égal à trois : $\left(\frac(m)(n)\right)^2=3\;\;\ ;( 1)$.

$\frac(m^2)(n^2)=3$,

$m^2=3n^2.\;\;\;(2)$

Le côté droit de l'égalité (2) est divisible par 3. Cela signifie que $m^2$ est également divisible par 3, donc $m$ est divisible par 3, ce qui signifie que $m=3k$. En remplaçant dans l'égalité (2), on obtient :

$3k^2=n^2.\;\;\;(3)$

Le côté gauche de l'égalité $(3)$ est divisible par 3$, ce qui signifie que le côté droit est également divisible par 3$. Par conséquent $n^2$ est divisible par $3$, ce qui signifie que $n$ est divisible par $3$, donc $n=3p$. En conséquence, on obtient : $\frac(m)(n)=\frac(3k)(3p)$, c'est-à-dire que la fraction $\frac(m)(n)$ s'est avérée réductible, ce qui contredit l'hypothèse. Cela signifie que parmi les nombres rationnels, il n’existe aucun nombre dont le carré soit égal à trois.

Mais il existe un nombre dont le carré vaut trois. Elle peut être représentée comme une fraction infinie non périodique. Et nous avons obtenu un nouveau type de chiffres. Appelons-les irrationnels.

Définition. Un nombre irrationnel est toute fraction infinie non périodique.

L'ensemble de toutes les fractions infinies non périodiques est appelé l'ensemble des nombres irrationnels et est noté $I$.

Nombres réels

L'union de l'ensemble des nombres rationnels $Q$ et des nombres irrationnels $I$ donne l'ensemble des nombres réels $R$ : $Q\cup I=R$.

Ainsi, tout nombre réel peut être représenté comme une fraction décimale infinie : périodique dans le cas d'un nombre rationnel et non périodique dans le cas d'un nombre irrationnel.

Comparaison de nombres réels

Pour les nombres réels $a=a_0,a_1a_2a_3\ldots a_n\ldots$, $b=b_0,b_1b_2b_3\ldots b_n\ldots$ la comparaison s'effectue comme suit :

1) Soit $a$ et $b$ tous deux positifs : $a>0$, $b>0$, alors :

$a=b$, le cas échéant $k$ $a_k=b_k$ ;

$a>b$ si $\existe s$ $\forall k b_s$.

2) Soit $a>0$, $b<0$, или иначе: $b<0

3) Soit $a$ et $b$ tous deux négatifs : $a<0$, $b<0$, тогда:

$a=b$, si pour $-a=-b$ ;