Des moyens non standard de résoudre les inégalités. Cours : Méthodes non standard pour résoudre des équations et des inégalités

Mikhailov Alexander, Petukhova Anastasia, Zhagurina Ksenia, Kotov Alexander

Ce travail est un résumé de recherche que les étudiants ont présenté lors d'une conférence scientifique pratique, ainsi que les matériaux de ce travail ont été présentés lors d'un cours-séminaire en 11e année sur le thème «Résoudre des équations logarithmiques et exponentielles à l'aide de méthodes non standard». Cet ouvrage peut être utilisé par les enseignants comme guide méthodologique dans les classes au choix, dans la préparation aux tâches de l'Examen d'État unifié C1, C3 et pour le travail dans les classes spécialisées. L'avantage de ce travail est que des algorithmes de résolution d'équations et d'inéquations sont dérivés et décrits ici en détail, ce qui n'est pas observé dans les sources conventionnelles.

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Aperçu :

Plan.

Introduction.

1. Méthode de limitation des fonctions :

1.1. Résoudre des équations

1.2.Résoudre les inégalités

2. Méthode de non-négativité des fonctions :

2.1.Résolution d'équations

2.2. Résoudre les inégalités

3. Méthode d'utilisation de la plage de valeurs acceptables :

3.1.Résolution d'équations

3.2. Résoudre les inégalités

4. Méthode d'utilisation des propriétés du sinus et du cosinus :

4.1.Résolution d'équations

4.2. Résoudre les inégalités

5. Méthode d'utilisation des inégalités numériques :

5.1.Résolution d'équations

5.2. résoudre les inégalités

6. Méthode d'utilisation du dérivé :

6.1.Résolution d'équations

6.2. résoudre les inégalités

7. Résoudre les inégalités en remplaçant les fonctions.

8. Conclusion.

9. Littérature.

Introduction.

"Il vaut mieux ne pas penser du tout à trouver des vérités plutôt que de le faire sans aucune méthode..."

René Descartes.

En mathématiques, comme nous le savons, ce qui est le plus valorisé n'est pas seulement la solution correcte, mais aussi la solution la plus courte possible, comme le disent les mathématiciens eux-mêmes, la plus rationnelle.

Comment trouver une telle solution ? Que devez-vous savoir pour cela ? Que posséder ? Qu’est-ce que cela apporte à l’étudiant ? Ou est-ce seulement le lot des étudiants doués ? Nous allons essayer de trouver des réponses à ces questions. Nous étudions dans un cours de physique et de mathématiques et sommes passionnés par les mathématiques.

Nous voulons avoir des connaissances solides et élevées dans ce domaine, dont nous aurons besoin dans nos études ultérieures dans les universités. Pourquoi avons-nous choisi ce sujet en particulier ?

Ce sujet est pertinent, il correspond à notre profil, car son étude permet d'élargir et d'approfondir les connaissances sur le thème : « Méthodes de résolution d'équations et d'inégalités ». Ce travail nous aidera à réussir l'examen d'État unifié et à acquérir de l'expérience dans l'exécution de travaux scientifiques.

1. Méthode de fonctions limitées.

1.1. Résoudre des équations.

Cette méthode est basée sur l'application du théorème suivant :

Théorème: Si sur l'intervalle X la plus grande valeur d'une des fonctions y=f(x), y=g(x) est égal à A et la plus petite valeur de l’autre fonction est également égale à A, alors l’équation f(x)=g(x) est équivalent au système d'équations :

Représentation graphique.

E(f(x))E(g(x))= UNE

Exemple 1. Résolvez l'équation : .

Solution:

1. Regardons les fonctions g() = et f()=
2. E(g()) =, parce que
3. E(f()) =, parce que, alors.
4. g()=1 pour la fonction g() = et f()=1 pour la fonction f()= , ce qui signifie que nous pouvons utiliser le théorème sur la limitation d'une fonction.

5. Nous composons un système d'équations et le résolvons :

Il suffit de résoudre une équation plus simple et de vérifier les racines d’une autre équation.

Lg(-2)=0,

Vérifiez : si, alors, -1 = -1, vrai, alors c'est une solution à l'équation d'origine.

Réponse : 3.

Exemple 2 . Résolvez l'équation :

Solution:

Transformons cette équation :

Regardons les fonctions et

1. E, parce que,
2. E, parce que
3. Nous composons un système d'équations et le résolvons :

Répondre: .

1.2. Résoudre les inégalités.

Soit l'ensemble la partie commune (intersection) des domaines d'existence des fonctions et soit les inégalités et où être un certain nombre. Alors l'inégalité

est équivalent au système d'équations

Exemple 1.

Les deux côtés de l’inégalité sont définis pour tous les nombres réels. Pour tout donc, l'inégalité est équivalente au système

ce qui, à son tour, est équivalent au système

La seule solution à la deuxième équation du système est Ce nombre satisfait la première équation du système. Par conséquent, le système et les inégalités ont une solution

Réponse : -1.

Exemple 2.

Les deux côtés de l’inégalité sont définis sur l’ensemble Pour tout ce que nous avons

L’inégalité est donc équivalente au système d’équations

La première équation du système a une solution unique qui satisfait la deuxième équation du système. Le système et les inégalités ont donc une solution.

Réponse : 3.

1. Méthode de non-négativité des fonctions.

2.1. Résoudre des équations.

Cette méthode est basée sur le théorème suivant :

Théorème:

Soit le côté gauche de l'équation F(x)=0 (1) la somme de plusieurs fonctions F(x)=f(x)+f(x)+…+f(x) dont chacune est non négative pour tout x de son domaine d'existence.

Alors l’équation (1) est équivalente au système d’équations :

Exemple 1.

Résolvez l'équation :

Puisque et 0, cette équation est équivalente à un système de deux équations :

Examen:
si x=3, alors 0 = 0, vrai. Parce que X = 3 est une solution d'un système équivalent à l'équation d'origine, alors c'est la racine de l'équation d'origine.

Réponse : 3.

Exemple 2.

Résolvez l'équation :

Transformons cette équation en sélectionnant les carrés parfaits de deux expressions

(x+22)+(2-1)=0.

Puisque ces fonctions f(x)=(x+22) et g(x)=(2-1) sont non négatives, cette équation est équivalente à un système de deux équations :

Vérifier : si x = 0, alors 2 = 0, incorrect.

Puisque l'équation a une solution unique

x = 0, ce qui n'est pas une solution de la deuxième équation, alors le système n'a pas de solutions, donc l'équation d'origine n'a pas de solutions.

Réponse : aucune solution.

2.2. Résoudre les inégalités.

Cette méthode de résolution des inégalités est basée sur le théorème suivant :

Soit le côté gauche de l'inégalité la somme de plusieurs fonctions non négatives, dont chacune est non négative pour l'un des domaines de définition de son existence, alors cette inégalité équivaut à un système d'équations

Exemple 1.

Puisque les inégalités sont valables pour tout le monde

Et puis

cette inégalité est équivalente au système d'équations

La deuxième équation du système a deux solutions : et. Parmi ces nombres, seul satisfait la première équation du système. Par conséquent, le système et les inégalités ont une solution unique

Réponse : 2.

Exemple 2.

Chaque fonction et non négatif pour aucune des régions de son existence. L’inégalité est donc équivalente au système d’équations

La première équation du système a deux solutions : et. Parmi ces nombres, seuls 4 satisfont à la deuxième équation du système. Par conséquent, le système et les inégalités ont une seule solution.

Réponse : 4.

1. Méthode d'utilisation de la plage de valeurs acceptables.

3.1. Résoudre des équations.

Parfois, la connaissance de l'ODZ vous permet de prouver que l'équation n'a pas de solutions, et parfois elle vous permet de trouver des solutions à l'équation en substituant les nombres de l'ODZ.

Exemple 1 . Résolvez l'équation :

Solution:

L'ODZ de cette équation est constitué de tous ceux qui satisfont simultanément aux conditions et, c'est-à-dire que l'ODZ est un ensemble vide, ce qui signifie qu'aucun des nombres ne peut être une solution, c'est-à-dire que l'équation n'a pas de racines.

Réponse : pas de racines.

Regardons un autre exemple.

Exemple2. Résolvez l'équation :

Solution:

L'ODZ de cette équation est constituée de nombres qui satisfont aux conditions, c'est-à-dire ODZ est Vérifions en substituant ces valeurs dans l'équation, nous obtiendrons l'égalité correcte.

Répondre:

3.2. Résoudre les inégalités.

L'essence de cette méthode est la suivante : si, lorsqu'on considère une inégalité, il s'avère que ses deux parties sont définies sur l'ensemble M. constitué d'un ou plusieurs nombres, alors il n'est pas nécessaire d'effectuer de transformations de l'inégalité ; il suffit de vérifier si chacun de ces nombres est une solution à cette inégalité ;

Considérons cette méthode en utilisant les inégalités suivantes X :

Exemple 1.

1. Trouvons la plage de valeurs acceptables de l'inégalité et combinons-les dans un système :

2. Résolvons ce système :

3. La solution à ce système est deux nombres : et.

4. Après avoir vérifié l’inégalité initiale, x = 1 ne la satisfait pas. La solution de l’inégalité est donc x = 5.

Réponse : 5.

Exemple 2.

1. Trouvons la plage de valeurs acceptables de l'inégalité et combinons-les dans un système :

2. Ce système n’a pas de solutions, ce qui signifie que cette inégalité n’a pas de solutions.

Réponse : aucune solution.

1. Une méthode pour utiliser les propriétés du sinus et du cosinus.

4.1. Résoudre des équations.

La résolution de certaines équations trigonométriques peut se réduire à la résolution de systèmes d'équations. Des exemples de telles équations pourraient être les suivants :

où A et B reçoivent des nombres non nuls, m et n reçoivent des nombres naturels.Dans ce cas, les propriétés suivantes sont utilisées : si pour un certain nombre l'inégalité stricte ou est vraie, alors un tel nombre ne peut être la racine d'aucune des équations de ce type.

Exemple 1. Résoudre l'équation: (1)

Solution:

1. Si le nombre est une solution de l’équation (1), alors sin=1 ou sin=-1.
2. Si, alors de l'équation (1), il s'ensuit cela, mais c'est impossible.
3. Si sin=1, alors cos4=1.
4. Si sin=-1, alors cos4= - 1.
5. Par conséquent, toute solution à l’équation (1) est une solution à un ensemble de deux systèmes d’équations

(2)

(3)

1. La première équation du système (2) a des solutions.

Tous satisfont à la deuxième équation du système (2), c'est-à-dire sont sa solution.

1. La première équation du système (3) a des solutions. Aucun de ces nombres ne satisfait à la deuxième équation du système (3). Par conséquent, le système (3) n’a pas de solutions.
2. Cela signifie que toutes les solutions de l'équation (1) coïncident avec toutes les solutions du système (2).

Répondre:

4.2. Résoudre les inégalités.

Un raisonnement similaire peut être appliqué pour résoudre les inégalités.

Prenons l'exemple suivant :

Exemple 1.

Solution.

1. Supposons une solution à cette inégalité, car sinon l'inégalité serait vraie, ce qui est impossible. La solution de l’inégalité est donc la solution du système :

2. En résolvant la première équation, nous obtenons Cette solution satisfait la deuxième équation. Cela signifie que cette solution est une solution à l’inégalité.

Répondre:

1. Méthode d'utilisation des inégalités numériques.

5.1. Résoudre des équations.

En appliquant l'une ou l'autre inégalité numérique à l'une de ses parties de l'équation, elle peut être remplacée par un système d'équations équivalent. Un exemple d'une telle inégalité est l'inégalité entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique, où a et b sont des nombres non négatifs, et l'égalité ici n'est possible que si a=b.

Vous pouvez utiliser une conséquence de ces inégalités, par exemple, quand, et si et seulement si, ou quand, et

Alors et seulement quand

Exemple 1. Résolvez l'équation :

Solution.

1. ODZ = R.
2. Transformons le côté gauche :

et il est égal à quatre si x=0.

3. Le côté droit en x=0 est également égal à quatre, et pour tout inférieur à quatre

4. Donc x=0, la seule solution

Réponse : x = 0.

Exemple 2. Résolvez l'équation :

Solution.

1. Introduisons de nouvelles variables : , où a>0 et b>0.
2. Réécrivons le côté gauche de l'équation et prouvons que
3. Appliquons l'inégalité entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique :

Et d'où

Ceux.

4. ODZ :

5. Depuis, un

alors cette équation est équivalente à un système de deux équations

6. A partir de la deuxième équation du système, nous trouvons ses solutions et. Remplaçons ces valeurs dans la première équation du système, nous obtenons les égalités correctes, elles sont donc sa solution. Cela signifie qu’ils sont une solution à l’équation originale.

Réponse : je.

5.2. Résoudre les inégalités.

Exemple.

1. Transformez le côté gauche de l’inégalité, on obtient :

En appliquant la formule de cette méthode, nous constatons que pour tout x l'inégalité suivante est vraie :

De plus, pour tout x, l'inégalité suivante est vraie :

L'égalité ici est vraie lorsque x=0.

2. Par conséquent, l’inégalité a une solution x=0.

3. Des deux dernières inégalités, il résulte que l'inégalité originale n'est valable que lorsque les deux côtés de l'inégalité originale sont égaux à 4, et cela n'est possible que si x = 0.

Réponse : 0.

1. Méthode d'utilisation des dérivés.

6.1. Résoudre des équations.

Utiliser la monotonie de la fonction.

Exemple 1. Résolvez l'équation :

Solution:

1. Considérez la fonction
2. Cette dérivée ne prend que des valeurs positives dans tout le domaine de définition, c'est-à-dire la fonctionaugmente. Par conséquent, il ne prend chacune de ses valeurs qu’en un seul point. Cela signifie que cette équation a au plus une racine.
3. Par sélection, nous trouvons cela.

Répondre:

Utiliser les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction

Exemple 2. Résolvez l'équation : .

Solution:

1. L'équation ODZ est un intervalle.
2. Considérez la fonction sur le segment

1. Puisque la fonction est continue dans son domaine de définition, ses valeurs les plus grandes et les plus petites sont parmi les nombres
2. La plus grande valeur est donc l'équation a une seule racine.

Réponse : 3.

Application du théorème de Langrange.

Théorème: Si une fonction est continue sur un intervalle et a une dérivée sur l'intervalle, alors il existe un point sur l'intervalle tel que.

Exemple 3. Résolvez l'équation :

Solution.

1. Par sélection, nous trouvons cela et. Montrons que l'équation n'a pas d'autres racines.
2. Supposons que l'équation ait trois racines
3. Considérons la fonction. Il est continu sur toute la droite numérique.
4. Trouvons sa dérivée : . Cette fonction est également continue sur toute la droite numérique.
5. Par le théorème de Lagrange on a

1. Cela signifie qu'il y a au moins deux points auxquels la dérivée de la fonction f(x) est égal à zéro.
2. Équation n'a qu'une seule racine.
3. Cela signifie que l’équation donnée a deux racines : -2 et 1.

Réponse : -2, 1.

1. 6.2. Résoudre les inégalités.

Exemple 1. Résoudre les inégalités

Solution.

1. Considérez la fonction

ré(f) = ().

2. D() = (). sur le domaine de définition, alors la fonction f(x) augmente dans son domaine de définition et prend chacune de ses valeurs en exactement un point.

3. Alors l'équation f(x) = 0 peut avoir au plus une racine et une telle racine est x = 0.

4. Définir les signes de la fonction : puisque la fonction f(x) défini et continu sur toute la droite numérique, puis pour x f(x) et pour x >0 nous avons f(x)>0.

5. Cela signifie que les solutions à l’inégalité originelle sont toutes X de l'intervalle (0;).

Réponse : (0 ;).

1. Résoudre les inégalités en remplaçant les fonctions.

Cette méthode est basée sur l'énoncé suivant :

Si le domaine de définition, les zéros et les intervalles de signe constant d'une fonction coïncident respectivement avec le domaine de définition, les zéros et les intervalles de signe constant de la fonction, alors les inégalités

sont équivalents.

Cette affirmation signifie que si l'une des fonctions a une forme plus simple, alors lors de la résolution de ces inégalités, elle peut être remplacée par une autre. Regardons les principaux exemples de telles paires de fonctions.

Fonctions

Exemple 1. Résoudre l'inégalité

Prenons le numérateur de la fraction en base 2 et le dénominateur en base 5.

La dernière inégalité est résolue par la méthode des intervalles ; sa solution est de combiner les intervalles ;

Répondre:

Fonctions

ET .

Les domaines de définition des fonctions et coïncident. En plus,

Par conséquent, les fonctions et les conditions de l’énoncé sont remplies.

Exemple 1.

Nous résolvons la dernière inéquation en utilisant la méthode des intervalles.

Répondre:

Exemple 2.

Cette inégalité est équivalente à l'inégalité

L'ensemble est la solution de la dernière inégalité.

Répondre: .

Fonctions

Où quand même.

Si la déclaration est étrangeéquitable. De plus, si les domaines sont pairs, les définitions des fonctions coïncident, et

Par conséquent, lorsque pair, les conditions de l’énoncé sont également satisfaites pour les fonctions et.

Exemple 1.

Depuis et puis

Répondre:

Exemple 2.

Depuis et puis

En résolvant le dernier système par la méthode des intervalles, on obtient

Répondre:

Fonctions

Quand et

Les domaines de définition des fonctions et coïncident. De plus, lorsque :

Par conséquent, les conditions de l’instruction originale sont satisfaites pour les fonctions et.

Exemple 1.

Répondre:

Exemple 2.

Cette inégalité équivaut à ce qui suit :

Répondre:

Les méthodes de résolution présentées sont efficaces pour résoudre des inégalités dont le côté gauche est le produit ou le quotient de deux fonctions des types ci-dessus et le côté droit est égal à zéro.

Afin de résoudre avec succès de telles équations et inégalités, nous suggérons de suivre l'algorithme général :

1. Analyser visuellementéquation (inégalité)

(définir le type, ne vous précipitez pas pour développer le signe du module, les parenthèses, élever à une puissance)

1. Convertir si nécessaire
2. Déterminer la méthode de solution et prendre en compte ses caractéristiques lors de l'exécution
3. Pendant le processus de transformation, il est nécessaire de surveiller en permanence la plage de valeurs acceptables et l'équivalence des transformations.
4. Équation – vérifiez !

Conclusion.

Travailler sur ce sujet était intéressant et pédagogique. Après avoir étudié de nouvelles méthodes de résolution d'équations et d'inégalités, nous avons enrichi notre expérience :

1. Nouveaux concepts scientifiques
2. J'ai appris à travailler avec des ouvrages de référence
3. Des méthodes apprises qui dépassent le cursus scolaire
4. Approfondi et élargi vos connaissances

Les méthodes les plus difficiles se sont avérées être : l'utilisation de dérivées : l'utilisation du théorème de Lagrange (nécessite encore des études complémentaires), l'utilisation des propriétés du sinus et du cosinus, l'utilisation des inégalités numériques.

Nous avons également acquis des compétences d'utilisateur informatique :

1. Formatage et édition de texte
2. Travailler avec l'éditeur de formules dans Microsoft Word
3. Utilisation de l'Assistant Fonction dans Microsoft Excel

Ces méthodes vous permettent de résoudre rationnellement des équations et des inégalités complexes, et ce sont parfois les seuls moyens. Afin de maîtriser ces méthodes, vous devez avoir de solides compétences en méthodes standard, en transformations, connaître beaucoup de matériel théorique et en plus résoudre.

Littérature.

1. Nikolski S.M. « L'algèbre et les débuts de l'analyse. 11e année", Moscou, "Lumières" - 2004.
2. S.N. Olehnik, M.K. Potapov, P.I. Pasichenko « Équations et inégalités », Moscou, « Examen » - 1998.
3. Revue « Mathématiques pour les écoliers », n° 4 – 2005.
4. S.N. Olehnik, M.K. Potapov, P.I. Pasichenko « Équations et inégalités. Méthodes non standard", Moscou, "Drofa" - 2002.
5. Encyclopédie scolaire "Mathématiques", Moscou, "Drofa" - 1997.
6. Mordkovitch A.G. « J'ai commencé à analyser l'algèbre en 10e et 11e années. Manuel et cahier de problèmes", Moscou, "Mnemosyne" - 2002.
7. Ressources média : « Toutes les mathématiques », « Réviser l'ensemble du cours scolaire », « Algèbre 7 - 11 ».

La théorie des équations occupe une place prépondérante dans le cours d'algèbre scolaire. Plus de temps est consacré à leur étude qu'à tout autre sujet du cours de mathématiques à l'école. Cela est dû au fait que la plupart des problèmes de la vie se résument à la résolution de divers types d’équations.

Dans le manuel d'algèbre de 8e année, nous découvrons plusieurs types d'équations quadratiques et nous entraînons à les résoudre à l'aide de formules. Existe-t-il d'autres méthodes pour résoudre des équations quadratiques ? Quelle est la complexité de ces méthodes et peuvent-elles être utilisées dans la pratique ?

Le travail de recherche « Méthodes non standard de résolution d'équations quadratiques » est consacré à ces questions.

Pertinence de ce sujet est que dans les cours d'algèbre, de géométrie et de physique, nous rencontrons très souvent la résolution d'équations quadratiques. Par conséquent, chaque élève devrait être capable de résoudre correctement et rationnellement des équations quadratiques ; cela peut également m'être utile lors de la résolution de problèmes plus complexes, y compris en 9e année lors de la réussite des examens.

Objectif du travail de recherche : identifier les méthodes de résolution d'équations quadratiques, découvrir si une équation quadratique peut être résolue à l'aide de ces méthodes et mettre en évidence les caractéristiques et les inconvénients de ces méthodes.

Objectifs de recherche : analyser les sources de la littérature pour identifier les moyens de résoudre des équations quadratiques, montrer diverses façons de résoudre des équations quadratiques ; identifier les moyens les plus pratiques pour résoudre des équations quadratiques ; apprendre à résoudre des équations quadratiques de différentes manières.

Méthodes de recherche : analyse de la littérature, enquête sociologique, observation, comparaison et synthèse des résultats .

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« Manières non standard de résoudre des équations quadratiques »

Établissement d'enseignement municipal d'État

"École secondaire Bogucharskaya n°1"

Travaux de recherche sur le sujet : "Non standard façons de résoudre des équations quadratiques"

Pryadkova Ekaterina Sergueïevna

Responsable : Alabina Galina Yurievna

Identifier les moyens de résoudre des équations quadratiques

Découvrez s'il est possible de résoudre n'importe quelle équation quadratique à l'aide de ces méthodes et mettez en évidence les caractéristiques et les inconvénients de ces méthodes.

• Analyser les sources de la littérature pour identifier les moyens de résoudre des équations quadratiques
• Montrer différentes façons de résoudre des équations quadratiques
• Identifiez les moyens les plus pratiques pour résoudre des équations quadratiques
• Apprenez à résoudre des équations quadratiques de différentes manières

Méthodes de résolution d'équations quadratiques

Factoriser le côté gauche

D'après la formule

Basique

Utilisation du théorème de Vieta (direct et inverse)

Méthode graphique

Selon les propriétés des coefficients

Par méthode "transfert"

Supplémentaire

Utiliser un compas et une règle

Utiliser un nomogramme

Méthode géométrique

Propriétés des coefficients

Propriétés:

Méthode de transfert

En multipliant les deux côtés de l'équation par a, on obtient

Laisser

, où

On obtient alors une équation avec une nouvelle variable

Ses racines sont 1 et à 2 . Enfin

Utiliser un compas et une règle

Le rayon du cercle est supérieur à l'ordonnée du centre

, le cercle coupe l'axe Ox en deux points où se trouvent les racines de l'équation d'origine.

Le rayon du cercle est égal à l'ordonnée du centre

, le cercle coupe l'axe Ox en un point où se trouve la racine de l'équation d'origine.

Le rayon du cercle est inférieur à l'ordonnée du centre

, le cercle n'a pas de points communs avec l'axe Ox. Dans ce cas, l’équation originale n’a pas de racines.

Utiliser un nomogramme

X 2 -9x+8=0

X 1 =8; X 2 =1

Méthode géométrique

Voyons comment les anciens Grecs ont résolu l'équation

La solution est présentée dans la figure, où

ou

Expressions

et 16 + 9

géométriquement, ils représentent le même carré de côté 5.

C'est pourquoi

Informatique

Méthode de sélection

carré complet

Décomposition du côté gauche

Factorisation d'équations

Répondre: -4,5; 1.

Informatique

En utilisant

Formules Vieta

D'après la formule

a deux différents

par signe de la racine

plus grand en module

racine négative

Répondre: -4,5; 1.

Informatique

Par la propriété des coefficients

Par méthode "transfert"

Jetons le coefficient a = 2 au terme libre et obtenons l'équation :

Parce que

d'où, selon les formules de Vieta

Les racines de l'équation originale seront

Répondre: -4,5; 1.

Informatique

Méthode graphique

Utiliser un compas et une règle

Écrivons l'équation sous la forme

Déterminons les coordonnées du centre du cercle à l'aide des formules :

Construisons des graphiques de fonctions dans un système de coordonnées

Traçons un cercle de rayon S.A. Où UN (0;1).

Répondre: -4,5; 1.

Informatique

Méthode géométrique

Utiliser un nomogramme

Présentons l'équation sous la forme :

Présentons l'équation sous la forme :

Aire du carré résultant :

Parce que

Le nomogramme donne une racine positive

Ainsi, nous obtenons l'équation :

racine négative

Répondre: -4,5; 1.

Avantages et inconvénients

Aspects positifs

Factoriser le côté gauche de l'équation

Défauts

Permet de voir immédiatement les racines de l'équation.

Méthode de sélection par carré complet

Il est nécessaire de séparer correctement les termes pour

groupes.

D'après la formule

En un minimum d'étapes, vous pouvez trouver les racines des équations

Vous devez trouver correctement tous les termes pour isoler un carré complet.

Peut être appliqué à toutes les équations quadratiques.

Utiliser les formules de Vieta

Vous devez apprendre les formules.

Moyen assez simple, il permet de voir immédiatement les racines de l'équation.

Seules les racines entières sont faciles à trouver.

Nom de la méthode de résolution d'équations quadratiques

Aspects positifs

Défauts

Par méthode "transfert"

En un minimum d'étapes, vous pouvez trouver les racines de l'équation, utilisées en conjonction avec la méthode du théorème de Vieta.

Selon les propriétés des coefficients

Méthode graphique

Il est facile de trouver uniquement des racines entières.

Ne demande pas beaucoup d'effort

Manière visuelle

Convient uniquement à certaines équations

Utiliser un compas et une règle

Il peut y avoir des inexactitudes dans la planification

Manière visuelle

Utiliser un nomogramme

Méthode visuelle, facile à utiliser.

Il peut y avoir des inexactitudes

Méthode géométrique

Manière visuelle.

Un nomogramme n'est pas toujours disponible.

Semblable à la méthode de sélection d'un carré complet

Pour bien résoudre n’importe quelle équation quadratique, vous devez

savoir:

 formule pour trouver le discriminant ;

 formule pour trouver les racines d'une équation quadratique ;

 algorithmes pour résoudre des équations de ce type.

être capable de :

 résoudre des équations quadratiques incomplètes ;

 résoudre des équations quadratiques complètes ;

 résoudre les équations quadratiques données ;

 trouver des erreurs dans les équations résolues et les corriger ;

 faire une vérification.

Sujet: "Méthodes non standard de résolution d'équations"

Cible: passer en revue quelques techniques de résolution d’équations pour aider les étudiants à se préparer à résoudre les problèmes de l’examen final.

Déroulement de la leçon.

1. Étude du matériel théorique.

MÉTHODE DE SÉLECTION DES RACINES .

Équations de la forme https://pandia.ru/text/78/386/images/image002_13.png" width="47" height="29 src=">.png" width="143" height="29 src =" >équation rationnelle du nième degré.

1) Si l'entier N est la racine.png" width="22" height="29 src=">.png" width="22" height="29 src=">.png" width="10" height = "40 src=">.png" width="52" height="29 src=">.png" width="23" height="29 src=">.png" width="260" height=" 30 src="> .

Solution. Dans ce cas https://pandia.ru/text/78/386/images/image015_5.png" width="252" height="29 src=">

Ainsi, la fraction irréductible https://pandia.ru/text/78/386/images/image017_5.png" width="69" height="40 src="> ; https://pandia.ru/text/78/386/images/image019_4.png" height="40 src="> est une solution rationnelle à l’équation originale.

Exemple 2. Trouver les racines entières d'un polynômef(x)= https://pandia.ru/text/78/386/images/image021_1.png" width="143" height="29 src="> En remplaçant les nombres résultants dans le polynôme d'origine, vous pouvez vérifier que les nombres 1, 2, -2 sont les racines du polynôme.

5) Le polynôme est une fonction continue, donc si aux extrémités https://pandia.ru/text/78/386/images/image023_1.png" width="51" height="29 src="> il y a à au moins une racine de ce polynôme.

Exemple 3. Trouver au moins une racine entière d'un polynômef(x)= https://pandia.ru/text/78/386/images/image025_2.png" width="336" height="29 src="> Il y a donc au moins une racine dans l’intervalle https://pandia.ru/text/78/386/images/image027_0.png" width="358" height="241 src=">

Ainsi, le polynôme original peut s'écrire sous la forme : 2https://pandia.ru/text/78/386/images/image029_1.png" width="214" height="29 src=">

Solution. Le coefficient dominant est 1, et le terme libre a des diviseurs 1,2,8,16, donc cette équation a une racine rationnelle, alors cette racine est certainement un nombre entier et se trouve parmi les nombres si https://pandia.ru /text/78/386/ images/image031_0.png" width="16" height="29 src=">16..png" width="324" height="243 src=">

Par conséquent, https://pandia.ru/text/78/386/images/image035_1.png" width="569" height="64 src=">

Problèmes pour une solution indépendante.

1..png" width="265" height="29 src=">

3..png" width="89" height="29 src=">+10x+24=0;

5..png" width="109" height="29 src=">.png" width="83" height="29 src=">.png" width="72" height="29 src="> .png" width="22" height="29 src=">.png" width="212" height="29 src=">.png" width="154" height="29 src=">.png "width="288" height="29 src=">+-https://pandia.ru/text/78/386/images/image055_1.png" width="624" height="58">

Ce polynôme doit être identiquement égal au polynôme d'origine, ce qui est possible si les coefficients aux puissances correspondantes sont égaux.

2https://pandia.ru/text/78/386/images/image057_1.png" width="302" height="29 src=">.png" width="570" height="130 src="> =1.

Ainsi, le polynôme original peut s’écrire :

2https://pandia.ru/text/78/386/images/image061_1.png" width="159" height="29 src=">

Exemple1..png" width="286" height="25 src=">.png" width="146" height="25 src=">.png" width="149" height="103 src="> .png" width="82" height="29 src=">.png" width="165" height="50 src=">.png" width="61" height="29 src=">.

Méthodes non standard pour résoudre des équations quadratiques

élève de 9ème année

Chef de chantier :

Firsova Daria Evguenievna

professeur de mathématiques

Il est souvent plus utile pour une personne qui étudie l’algèbre de résoudre le même problème de trois manières différentes que de résoudre trois ou quatre problèmes. En résolvant un problème de différentes manières, vous pouvez découvrir par comparaison lequel est le plus court et le plus efficace. C’est ainsi que se développe l’expérience.

U.U. Sawyer (mathématicien anglais du XXe siècle)

But du travail

Étudiez toutes les façons existantes de résoudre une équation quadratique. Apprenez à utiliser ces méthodes.

Tâches

• Comprenez ce qu'on appelle une équation quadratique.
• Découvrez quels types d’équations quadratiques existent.
• Trouvez des informations sur les façons de résoudre une équation quadratique et étudiez-la.

Pertinence du sujet : Les gens étudient les équations quadratiques depuis l’Antiquité. Je voulais connaître l'histoire du développement des équations quadratiques.

Les manuels scolaires ne fournissent pas d'informations complètes sur les équations quadratiques et les méthodes pour les résoudre.

Objet: Équations quadratiques.

Article: Méthodes pour résoudre ces équations.

Méthodes de recherche : analytique.

Hypothèse – si, au cours de mes recherches sur ce sujet, je parviens à réaliser les buts et objectifs que je me suis fixés, je mettrai alors en œuvre une formation préalable dans le domaine de l'enseignement des mathématiques.

Méthodes de recherche :

• Travailler avec de la littérature pédagogique et scientifique populaire.
• Observation, comparaison, analyse.
• Résolution de problèmes.

Résultats attendus : Au cours de l'étude de ce travail, je pourrai réellement évaluer mon potentiel intellectuel et, en conséquence, à l'avenir, décider d'un profil de formation, créer un produit de projet sur le sujet étudié sous la forme d'une présentation informatique étudiant ; cette problématique me permettra de compenser le manque de connaissances sur le sujet désigné.

Je considère mon travail prometteur, car à l'avenir, ce matériel pourra être utilisé à la fois par les étudiants pour améliorer leurs connaissances en mathématiques et par les enseignants des classes extrascolaires.

Équations quadratiques dans l'ancienne Babylone

La nécessité de résoudre des équations non seulement du premier, mais aussi du deuxième degré, même dans les temps anciens, était due à la nécessité de résoudre les problèmes liés à la localisation des superficies des terrains et aux travaux d'excavation à caractère militaire., ainsi qu'avec le développement de l'astronomie et des mathématiques elles-mêmes. Les Babyloniens étaient capables de résoudre des équations quadratiques vers 2000 avant JC. En utilisant la notation algébrique moderne, on peut dire que dans leurs textes cunéiformes il y a, en plus des textes incomplets, comme par exemple des équations quadratiques complètes :

La règle pour résoudre ces équations, exposée dans les textes babyloniens, coïncide avec la règle moderne, mais on ne sait pas comment les Babyloniens sont arrivés à cette règle. Presque tous les textes cunéiformes trouvés jusqu'à présent ne présentent que des problèmes avec des solutions présentées sous forme de recettes, sans aucune indication sur la manière dont elles ont été trouvées. Malgré le haut niveau de développement de l'algèbre en Babylonie, les textes cunéiformes manquent du concept de nombre négatif et des méthodes générales de résolution des équations quadratiques.

Comment Diophante a composé et résolu

équations quadratiques

ÉQUATION:

"Trouvez deux nombres en sachant que leur somme est 20 et leur produit est 96."

Diophante raisonne comme suit : des conditions du problème, il s'ensuit que les nombres requis Pas sont égaux, parce que s'ils étaient égaux, alors leur produit ne serait pas 96, mais 100. Ainsi, l'un d'eux représenterait plus de la moitié de leur somme, c'est-à-dire 10+X , l'autre est moins, c'est-à-dire 10-X .

La différence entre eux est de 2 X

D'ici X=2 . L'un des nombres requis est 12, l'autre est 8. Solution X = -2 car Diophante n'existe pas, puisque les mathématiques grecques ne connaissaient que des nombres positifs.

Équations quadratiques en Inde

Des problèmes sur les équations quadratiques se retrouvent également dans le traité d'astronomie « Aryabhattiam », compilé en 499 par le mathématicien et astronome indien Aryabhatta. Un autre scientifique indien, Brahmagupta, a établi une règle générale pour résoudre des équations quadratiques réduites à une seule forme canonique : hache ² +bx=c, a0

Un des problèmes du célèbre mathématicien indien du XIIe siècle Bhaskara

Un troupeau de singes fringants

Après avoir mangé à ma guise, je me suis bien amusé.

La huitième partie d'entre eux au carré

Je m'amusais dans la clairière.

Et douze le long des vignes...

Ils ont commencé à sauter en étant suspendus...

Combien y avait-il de singes ?

Dis-moi, dans ce pack ?

L'équation correspondant au problème est :

Baskara écrit sous couvert :

Complété le côté gauche en carré,

Équations quadratiques en Asie ancienne

X 2 +10 x = 39

Voici comment le scientifique d’Asie centrale al-Khwarizmi a résolu cette équation :

Il écrit : « La règle est la suivante :

doubler le nombre de racines, x=2x ·5

obtenez-en cinq dans ce problème, 5

multipliez par ce qui lui est égal, cela devient vingt-cinq, 5·5=25

ajoutez cela à trente-neuf, 25+39

il sera soixante-quatre heures, 64

prenez-en la racine, elle devient huit, 8

et soustrayez de cette moitié le nombre de racines, soit cinq, 8-5

restera 3

ce sera la racine carrée que vous recherchiez."

Et la deuxième racine ? La deuxième racine n’a pas été trouvée puisque les nombres négatifs n’étaient pas connus.

Les équations quadratiques en Europe XIII-XVII siècles.

La règle générale de résolution des équations quadratiques réduites à une seule forme canonique x2+inx+c=0 n'a été formulée en Europe qu'en 1544. M. Stiefel.

Les formules permettant de résoudre des équations quadratiques en Europe ont été présentées pour la première fois en 1202 par un mathématicien italien.

Léonard Fibonacci.

La dérivation de la formule pour résoudre une équation quadratique sous forme générale est disponible auprès de Vieth, mais Vieth n'a reconnu que les racines positives. Seulement au 17ème siècle. grâce aux efforts Descartes, Newton et d'autres scientifiques la méthode de résolution des équations quadratiques prend une forme moderne

À propos du théorème de Vieta

Le théorème exprimant la relation entre les coefficients d'une équation quadratique et ses racines, appelé Vieta, a été formulé pour la première fois par lui en 1591 comme suit : « Si B + D fois A-A est égal à BD, alors A est égal à B et est égal à D. »

Pour comprendre Vieta, il faut se rappeler que A, comme toute voyelle, signifiait l'inconnu (notre x), tandis que les voyelles B, D sont des coefficients pour l'inconnu.

Dans le langage de l'algèbre moderne, la formulation Vieta ci-dessus signifie :

Si l'équation quadratique réduite x 2 +px+q=0 a de vraies racines, alors leur somme est égale à -p, et le produit est égal q, c'est x 1 +x 2 = -p, x 1 x 2 =q

(la somme des racines de l'équation quadratique ci-dessus est égale au deuxième coefficient pris de signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre).

• Factorisation du côté gauche de l'équation
• Théorème de Vieta
• Application des propriétés des coefficients d'équation quadratique
• Résoudre des équations quadratiques en utilisant la méthode de « lancer » le coefficient dominant
• Méthode de sélection par carré complet
• Méthode graphique pour résoudre des équations quadratiques
• Résoudre des équations quadratiques à l'aide d'un compas et d'une règle
• Résoudre des équations quadratiques à l'aide d'un nomogramme
• Méthode géométrique pour résoudre des équations quadratiques

Méthode de factorisation

amener une équation quadratique générale sous la forme :

A(x)·B(x)=0,

où A(x) et B(x) sont des polynômes par rapport à x.

Cible:

Méthodes :

• Retirer le facteur commun des parenthèses ;
• Utiliser des formules de multiplication abrégées ;
• Méthode de regroupement.

Exemple:

: X 2 + 10x – 24 = 0

Factorisons le côté gauche de l'équation :

X 2 + 10x – 24 = x 2 + 12x – 2x – 24 = x(x + 12) – 2(x + 12) = = (x + 12)(x – 2);

(x + 12)(x – 2) = 0;

x + 12 = 0 ou x – 2 = 0 ;

X 1 = -12x 2 = 2 ;

Les nombres – 12 et 2 sont les racines de cette équation.

Réponse : x 1 = -12 ; X 2 = 2.

Résoudre des équations à l'aide du théorème de Vieta

x 1 Et X 2 – racines de l'équation

Par exemple :

X 2 +3X – 10 = 0

X 1 · X 2 = – 10, ce qui signifie que les racines ont des valeurs différentes

signes

X 1 +X 2 = – 3, signifie un module plus grand

racine - négative

Par sélection on retrouve les racines : X 1 = – 5,X 2 = 2

Propriétés des coefficients d'une équation quadratique

Soit l'équation quadratique hache 2 + bx + c = 0

Si a + b + c = 0 (c'est-à-dire la somme des coefficients

l'équation est nulle), alors X 1 = 1 , X 2 = c/a

Si une - b + c = 0 , ou b = une + c , Que X 1 = – 1 , X 2 = – s/a .

Exemple :

137x 2 +20x – 157 = 0.

une = 137, b = 20, c = -157.

une + b+ c = 137 + 20 – 157 =0.

x 1 = 1,

Répondre: 1;

Résoudre des équations à l'aide de la méthode du « lancer »

Racines des équations quadratiques hache 2 + bx + c = 0 Et oui 2 + par + ac = 0 lié par la relation : x = oui/a .

Considérons l'équation quadratique hache ² + bx + c = 0 , où une ≠ 0. En multipliant les deux côtés par UN , on obtient l'équation а²х² + abх + ac = 0. Laisser ah = oui , où X = oui/a; alors nous arrivons à l'équation y² + bу + ac = 0 , équivalent à celui-ci. Ses racines à 1 Et à 2 nous trouvons en utilisant le théorème de Vieta. Finalement on obtient X 1 = oui 1 /un Et X 2 = oui 2 /un .

Résolvez l'équation : 2x 2 - 11x +15 = 0.

Jetons le coefficient 2 au terme libre

à 2 - 11у +30= 0. D0, d'après le théorème inverse du théorème de Vieta, on obtient les racines : 5;6, puis on revient aux racines de l'équation originale : 2,5 ; 3.

Méthode de sélection par carré complet

X 2 + 6x – 7 = 0

Sélectionnez un carré complet sur le côté gauche. Pour ce faire, on écrit l'expression X 2 +6x sous la forme suivante :

X 2 + 6x = x 2 + 2x3

Dans l'expression résultante, le premier terme est le carré du nombre X, et le second est le double du produit X sur 3 , donc pour obtenir un carré complet, vous devez ajouter 3 2 , parce que

X 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2

Transformons maintenant le côté gauche de l'équation X 2 + 6x – 7 = 0, y ajouter et soustraire 3 2 , nous avons:

X 2 + 6x – 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 – 3 2 – 7 =

= (x + 3) 2 – 9 – 7 = (x + 3) 2 – 16

Ainsi, cette équation peut s’écrire comme suit :

(x + 3) 2 –16 = 0 , c'est-à-dire (x + 3) 2 = 16 .

Ainsi, x + 3 - 4 = 0 ou x + 3 + 4 = 0

X 1 = 1 X 2 = -7

Réponse : -7 ; 1.

Méthode graphique pour résoudre une équation quadratique

Sans utiliser de formules, une équation quadratique peut être résolue graphiquement

chemin. Résolvons l'équation

Pour ce faire, nous allons construire deux graphiques :

Les abscisses des points d'intersection des graphiques seront les racines de l'équation.

Si les graphiques se coupent en deux points, alors l’équation a deux racines.

Si les graphiques se croisent en un point, alors l’équation a une racine.

Si les graphiques ne se croisent pas, alors l’équation n’a pas de racine.

Répondre:

Résoudre des équations quadratiques en utilisant

boussole et règle

1. Sélectionnez un système de coordonnées.

2. Traçons les points S(-b/ 2 UN; a+c/ 2 UN) – le centre du cercle et UN( 0; 1 ) .

3. Traçons un cercle de rayon S.A. .

Abscisses les points d'intersection du cercle avec l'axe Ox sont racines de cette équation quadratique.

x 1

x 2

Résoudre des équations quadratiques à l'aide d'un nomogramme

Il s'agit d'une méthode ancienne et injustement oubliée de résolution d'équations quadratiques, placée à la p. 83 « Tableaux mathématiques à quatre chiffres » par V.M. Bradis.

Pour l'équation

le nomogramme donne des racines

Tableau XXII. Nomogramme pour résoudre l'équation

Ce nomogramme permet, sans résoudre une équation quadratique, de déterminer les racines de l'équation à partir de ses coefficients.

Méthode géométrique pour résoudre des équations quadratiques

Un exemple devenu célèbre est tiré de « l’Algèbre » d’al-Khorezmi : X 2 + 10x = 39. Dans l’original, ce problème est formulé comme suit : « Le carré et dix racines sont égaux à 39. »

S = x 2 + 10 x+ 25 (X 2 + 10 X = 39 )

S= 39 + 25 = 64 , d'où il s'ensuit,

quel est le côté de la place ABCD ,

ceux. segment AB = 8 .

x = 8 - 2,5 - 2,5 = 3

Sur la base de l'enquête, il a été constaté que :

• Les méthodes suivantes se sont avérées les plus difficiles :

En factorisant le côté gauche de l'équation,

Méthode de sélection d'un carré complet.

• Méthodes rationnelles de solution :

Résoudre des équations quadratiques à l'aide d'une formule ;

Résoudre des équations à l'aide du théorème de Vieta

• N'a aucune application pratique

Méthode géométrique pour résoudre des équations quadratiques.

• Je n'ai jamais entendu parler de ces méthodes auparavant :

Application des propriétés des coefficients d'une équation quadratique ;

Utiliser un nomogramme ;

Résoudre des équations quadratiques à l'aide d'un compas et d'une règle ;

La méthode « transfert » (cette méthode a suscité l’intérêt des étudiants).

Conclusion

• ces méthodes de résolution méritent attention, car elles ne sont pas toutes reflétées dans les manuels scolaires de mathématiques ;

• la maîtrise de ces techniques aidera les élèves à gagner du temps et à résoudre efficacement les équations ;

• la nécessité d'une solution rapide est due à l'utilisation d'un système de tests pour les examens d'entrée ;

MERCI POUR ATTENTION!

Le texte de l'ouvrage est affiché sans images ni formules.
La version complète de l'ouvrage est disponible dans l'onglet "Fichiers de travail" au format PDF

Introduction

L'enseignement mathématique reçu à l'école est une composante essentielle de l'enseignement général et de la culture générale de l'homme moderne. Presque tout ce qui entoure l’homme moderne est lié d’une manière ou d’une autre aux mathématiques. Et les progrès récents dans les domaines de la physique, de l’ingénierie et des technologies de l’information ne laissent aucun doute sur le fait qu’à l’avenir, la situation restera la même. Par conséquent, résoudre de nombreux problèmes pratiques revient à résoudre différents types d’équations.

Les équations occupent une place prépondérante dans le cours d'algèbre scolaire. Plus de temps est consacré à leur étude qu'à tout autre sujet du cours de mathématiques à l'école. La force de la théorie des équations réside dans le fait qu’elle a non seulement une signification théorique pour la connaissance des lois naturelles, mais qu’elle répond également à des objectifs pratiques spécifiques.

Pertinence du sujet est que dans les cours d'algèbre, de géométrie et de physique, nous rencontrons très souvent la résolution d'équations quadratiques. La plupart des problèmes concernant les formes spatiales et les relations quantitatives dans le monde réel se résument à la résolution de divers types d'équations. En maîtrisant les moyens de les résoudre, l'homme trouve des réponses à diverses questions issues de la science et de la technologie (transports, agriculture, industrie, communications, etc.). Par conséquent, chaque élève devrait être capable de résoudre correctement et rationnellement des équations quadratiques ; cela peut également m'être utile lors de la résolution de problèmes plus complexes, y compris en 9e année, ainsi qu'en 10e et 11e années, et lors de la réussite des examens.

Cible: Explorez les méthodes standard et non standard de résolution d'équations quadratiques

Tâches

1. Expliquer les méthodes les plus connues pour résoudre des équations
2. Expliquer les méthodes non standard de résolution d'équations
3. Tirer une conclusion

Objet d'étude :équations quadratiques

Sujet de recherche : façons de résoudre des équations quadratiques

Méthodes de recherche :

• Théorique : étude de la littérature sur le sujet de recherche ;
• Analyse : informations obtenues à partir de l'étude de la littérature ; résultats obtenus en résolvant des équations quadratiques de diverses manières.
• Comparaison des méthodes pour la rationalité de leur utilisation lors de la résolution d'équations quadratiques.

Chapitre 1. Équations quadratiques et solutions standard

1.1.Définition d'une équation quadratique

Équation quadratique appelé une équation de la forme hache 2 + bx + c= 0, où X- variable , une, b Et Avec- quelques chiffres, et UN≠ 0.

Nombres une, b Et Avec - coefficients d'une équation quadratique. Nombre UN appelé le premier coefficient, le nombre b- deuxième coefficient et nombre c- un membre gratuit.

Équation quadratique complète est une équation quadratique dans laquelle les trois termes sont présents, c'est-à-dire les coefficients dans et с sont différents de zéro.

Équation quadratique incomplète est une équation dans laquelle au moins un des coefficients de ou, c est égal à zéro.

Définition 3. Racine d'une équation quadratique Oh 2 + bX + Avec= 0 est toute valeur de la variable x pour laquelle le trinôme quadratique Oh 2 + bX+ Avec va à zéro.

Définition 4. Résoudre une équation quadratique signifie la trouver en entier

racines ou établir qu’il n’y a pas de racines.

Exemple : - 7 x+ 3 =0

Dans chacune des équations de la forme un + bx + c= 0, où UN≠ 0, degré le plus élevé de variable x- carré. D'où le nom : équation quadratique.

Une équation quadratique dans laquelle le coefficient à X 2 est égal à 1, appelé équation quadratique donnée.

Exemple

X 2 - 11x+ 30=0, X 2 -8x= 0.

1.2.Méthodes standard de résolution d'équations quadratiques

Résoudre des équations quadratiques en mettant au carré le binôme

Résoudre une équation quadratique dans laquelle les coefficients des inconnues et le terme libre sont non nuls. Cette méthode de résolution d’une équation quadratique s’appelle la mise au carré du binôme.

Factoriser le côté gauche de l'équation.

Résolvons l'équation x2 + 10x - 24 = 0. Factorisons le membre de gauche :

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

L’équation peut donc être réécrite comme suit : (x + 12)(x - 2) = 0

Un produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul.

Réponse : -12 ; 2.

Résoudre une équation quadratique à l'aide de la formule.

Discriminant d'une équation quadratiquehache 2 + bx + c= 0 expression b 2 - 4ac = D - par le signe dont on juge si cette équation a des racines réelles.

Cas possibles selon la valeur de D :

1. Si D>0, alors l’équation a deux racines.
2. Si D= 0, alors l'équation a une racine : x =
3. Si D< 0, alors l’équation n’a pas de racines.

Résoudre des équations à l'aide du théorème de Vieta.

Théorème: La somme des racines de l'équation quadratique ci-dessus est égale au deuxième coefficient pris de signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre.

L'équation quadratique donnée est :

x 2 + bx + c= 0.

Notons le deuxième coefficient par la lettre p, et le terme libre par la lettre q :

x 2 + px + q= 0, alors

x 1 + x 2 = - p ; x 1 x 2 = q

Chapitre 2. Méthodes non standard de résolution d'équations quadratiques

2.1. Résolution à l'aide des propriétés des coefficients d'une équation quadratique

Les propriétés des coefficients d'une équation quadratique sont un moyen de résoudre des équations quadratiques qui vous aideront à trouver rapidement et verbalement les racines de l'équation :

hache 2 + bx + c= 0

1. Siune+ b+c= 0, alorsx 1 = 1, x 2 =

Exemple. Considérons l'équation x 2 + 3x - 4 = 0.

un+ b + c = 0, alors x 1 = 1, x 2 =

1+3+(-4) = 0, alors x 1 = 1, x 2 = = - 4

Vérifions les racines obtenues en trouvant le discriminant :

ré = b 2- 4ac= 3 2 - 4·1·(-4) = 9+16= 25

x 1 = = = = = - 4

Par conséquent, si +b +c= 0, alors x 1 = 1, x 2 =

1. Sib = un + c , Quex 1 = -1, x 2 =

x2 + 4X+1 = 0, a=3, b=4, c=1

Si b=un + c, alors x 1 = -1, x 2 = , alors 4 = 3 + 1

Racines de l'équation : x 1 = -1, x 2 =

Les racines de cette équation sont donc -1 et. Vérifions cela en trouvant le discriminant :

ré = b 2- 4ac= 4 2 - 4 3 1 = 16 - 12 = 4

x 1 = = = = = - 1

Ainsi, b=un + c, alors x 1 = -1, x 2 =

2.2.Mode de « transfert »

Avec cette méthode le coefficient UN multiplié par le terme libre, comme si on lui « jetait », c'est pourquoi on l'appelle méthode de transfert. Cette méthode est utilisée lorsque l'on peut facilement trouver les racines de l'équation à l'aide du théorème de Vieta et, surtout, lorsque le discriminant est un carré exact.

Si UN± b+c≠0, alors la technique de transfert est utilisée :

3x 2 +4x+ 1=0; 3+4+1 ≠ 0

En utilisant la méthode « transfert » nous obtenons :

X 2 + 4x+3= 0

Ainsi, en utilisant le théorème de Vieta, on obtient les racines de l’équation :

x1 = - 3, x2 = -1.

Cependant, les racines de l’équation doivent être divisées par 3 (le nombre qui a été « renversé ») :

Cela signifie que nous obtenons les racines : x 1 = -1, x 2 = .

Répondre: ; - 1

2.3. Solution utilisant la régularité des coefficients

1. Si l'équationhache 2 + bx + c= 0, coefficientb= (un 2 +1), et coefficientc = un, alors ses racines sont x 1 = - un, x2 =

hache 2 +(un 2 + 1)∙ x + une = 0

Exemple. Considérez l'équation 3 x2 +10x+3 = 0.

Ainsi, les racines de l'équation sont : x 1 = -3 , x2 =

ré = b 2- 4ac= 10 2 - 4 3 3 = 100 - 36 = 64

x 1 = = = = = - 3

x 2 = = = = = ; Donc x 1 = - un, x2 =

1. Si l'équationhache 2 - bx + c= 0, coefficientb= (un 2 +1), et coefficientc = un, alors ses racines sont x 1 = un, x2 =

Ainsi, l’équation à résoudre devrait avoir la forme

hache 2 -(un 2 + 1)∙ x+ a= 0

Exemple. Considérez l'équation 3 x2 - 10x+3 = 0.

, x2 =

Vérifions cette solution en utilisant le discriminant :

ré = b 2- 4ac= 10 2 - 4 3 3 = 100 - 36 = 64

un, x2 =

1. Si l'équationhache 2 + bx - c= 0, coefficientb= (un 2 -1), et coefficientc = un, alors ses racines sont x 1 = - un, x2 =

Ainsi, l’équation à résoudre devrait avoir la forme

hache 2 +(et 2 - 1)∙ x-a= 0

Exemple. Considérez l'équation 3 x2 + 8x - 3 = 0..

Ainsi, les racines de l’équation sont : x 1 = - 3, x 2 =

Vérifions cette solution en utilisant le discriminant :

ré = b 2- 4ac= 8 2 + 4 3 3 = 64 + 36 = 100

x 1 = = = = = - 3

x 2 = = = = = ;Par conséquent, x 1 = - un, x2 =

1. Si l'équationhache 2 - bx - c= 0, coefficientb= (un 2 -1), et coefficientc = un, alors ses racines sont x 1 = un, x2 =

Ainsi, l’équation à résoudre devrait avoir la forme

hache 2 -(et 2 - 1)∙ x-a= 0

Exemple. Considérez l'équation 3 x2 - 8x - 3 = 0..

Ainsi, les racines de l'équation sont : x 1 = 3 , x2 = -

Vérifions cette solution en utilisant le discriminant :

ré = b 2- 4ac= 8 2 + 4 3 3 = 64 + 36 = 100

x2 = = = = = 3 ; Donc x 1 = un, x2 = -

2.4. Solution à l'aide d'un compas et d'une règle

Je propose la méthode suivante pour trouver les racines d'une équation quadratique ah 2 +bx + c = 0à l'aide d'un compas et d'une règle (Fig. 6).

Supposons que le cercle souhaité coupe l'axe

abscisse en points B(x1;0) Et D(x 2 ; 0), Où x1 Et x2- racines de l'équation ah 2 +bx + c = 0, et passe par les points

UNE(0 ; 1) Et C(0;c/ un) sur l'axe des ordonnées. Alors, d'après le théorème sécant, on a O.B. . O.D. = O.A. . O.C., où O.C. = = =

Le centre du cercle est au point d'intersection des perpendiculaires SF Et S.K., restitué au milieu des accords A.C. Et BD, c'est pourquoi

1) construire les points S (centre du cercle) et UN(0; 1) ;

2) tracez un cercle de rayon S.A.;

3) abscisse des points d'intersection de ce cercle avec l'axe Oh sont les racines de l’équation quadratique originale.

Dans ce cas, trois cas sont possibles.

1) Le rayon du cercle est supérieur à l'ordonnée du centre (COMME > S.K., ouR. > un + c/2 un) , le cercle coupe l'axe Ox en deux points (Fig. 7a) B(x1;0) Et D(x 2 ; 0), Où x1 Et x2- racines de l'équation quadratique ah 2 +bx + c = 0.

2) Le rayon du cercle est égal à l'ordonnée du centre (COMME = S.B., ouR. = un + c/2 un) , le cercle touche l'axe Ox (Fig. 8b) au point B(x 1 ; 0), où x 1 est la racine de l'équation quadratique.

3) Le rayon du cercle est inférieur à l'ordonnée du centre COMME< S, R.<

le cercle n'a pas de points communs avec l'axe des abscisses (Fig. 7c), dans ce cas l'équation n'a pas de solution.

UN)AS>SB, R> b) AS=SB, R= V) COMME