Parabole couchée sur le côté. Signification géométrique du paramètre dans l'équation de la parabole

Une parabole est le lieu des points pour chacun desquels la distance à un point fixe du plan, appelé foyer, est égale à la distance à une ligne fixe, appelée directrice (on suppose que cette ligne ne passe pas par le se concentrer).

Le foyer d'une parabole est généralement désigné par la lettre F, distance du foyer à la lettre directrice r. Taille p appelé paramètre paraboles. L'image de la parabole est présentée sur la Fig. 61 (le lecteur recevra une explication complète de ce dessin après avoir lu les prochains paragraphes).

Commentaire. Conformément à la n° 100 dit que la parabole a une excentricité =1.

Soit une parabole (en même temps, on suppose que le paramètre p). Introduisons sur le plan un repère cartésien rectangulaire dont les axes seront positionnés de manière particulière par rapport à cette parabole. À savoir, nous traçons l'axe des abscisses passant par le foyer perpendiculaire à la directrice et le considérons dirigé de la directrice vers le foyer ; Plaçons l'origine des coordonnées au milieu entre se concentrer et directrice (Fig. 61). Dérivons l'équation de cette parabole dans ce système de coordonnées.

Prenons un point arbitraire sur l'avion M et désignent ses coordonnées par X Et toi. Notons en outre par r distance du point M se concentrer (r=FM),à travers r- distance du point Mà la directrice. Point M sera sur une parabole (donnée) si et seulement si

Pour obtenir l'équation recherchée, vous devez remplacer les variables par égalité (1) r Et UN leurs expressions à travers les coordonnées actuelles x, y. Notez que l'accent F a des coordonnées ; en tenant compte et en appliquant la formule (2) n° 18. on trouve :

(2)

Notons par Q base d'une perpendiculaire tombant d'un point Mà la directrice. Évidemment, point final Q a des coordonnées ; d'ici et de la formule (2) n°18 on obtient :

(3),

(lors de l'extraction de la racine, on a pris avec son signe, puisque - le nombre est positif ; cela découle du fait que le point M(x;y) devrait être du côté du réalisateur là où se trouve l'accent, c'est-à-dire qu'il devrait y avoir x > , d'où Remplacement dans l'égalité (1) g et d leurs expressions (2) et (3), on trouve :

(4)

Il s'agit de l'équation de la parabole en question dans le système de coordonnées désigné, puisqu'elle est satisfaite par les coordonnées du point M(x;y) si et seulement si le point M repose sur cette parabole.

Voulant obtenir l'équation de la parabole sous une forme plus simple, mettons au carré les deux côtés de l'égalité (4) ; on obtient :

(5),

Nous avons dérivé l'équation (6) en conséquence de l'équation (4). Il est facile de montrer que l’équation (4) peut à son tour être dérivée de l’équation (6). En fait, l’équation (5) est dérivée de l’équation (6) de manière évidente (« à l’envers ») ; de plus, à partir de l’équation (5), nous avons.

Définition: Une parabole est le lieu géométrique des points d'un plan pour lesquels la distance à un point fixe F de ce plan est égale à la distance à une droite fixe. Le point F est appelé foyer de la parabole et la ligne fixe est appelée directrice de la parabole.

Pour dériver l'équation, construisons :

AVEC selon la définition :

Puisque 2 >=0, la parabole se situe dans le demi-plan droit. Lorsque x augmente de 0 à l'infini
. La parabole est symétrique par rapport à Ox. Le point d'intersection d'une parabole avec son axe de symétrie est appelé sommet de la parabole.

45. Courbes du second ordre et leur classification. Le théorème principal sur le kvp.

Il existe 8 types de KVP :

1.ellipses

2.hyperboles

3.paraboles

Les courbes 1,2,3 sont des sections canoniques. Si on coupe le cône avec un plan parallèle à l'axe du cône, on obtient une hyperbole. Si le plan est parallèle à la génératrice, alors c'est une parabole. Tous les plans ne passent pas par le sommet du cône. S’il s’agit d’un autre plan, alors c’est une ellipse.

4. paire de droites parallèles y 2 +a 2 =0, a0

5. paire de droites sécantes y 2 -k 2 x 2 =0

6.une droite y 2 =0

7.un point x 2 + y 2 =0

8. ensemble vide - courbe vide (courbe sans points) x 2 + y 2 +1=0 ou x 2 + 1=0

Théorème (théorème principal sur KVP) :Équation de la forme

un 11 x 2 + 2 un 12 x y + une 22 oui 2 + 2 un 1 x + 2a 2 oui + un 0 = 0

ne peut représenter qu’une courbe d’un de ces huit types.

Idée de preuve est de passer à un système de coordonnées dans lequel l'équation KVP prendra la forme la plus simple, lorsque le type de courbe qu'elle représente deviendra évident. Le théorème est prouvé en faisant tourner le système de coordonnées d'un angle auquel le terme avec le produit des coordonnées disparaît. Et avec l'aide du transfert parallèle du système de coordonnées dans lequel disparaît soit le terme avec la variable x, soit le terme avec la variable y.

Transition vers un nouveau système de coordonnées : 1. Transfert parallèle

2. Rotation

45. Surfaces du second ordre et leur classification. Le théorème principal du PvP. Surfaces de rotation.

P. VP - un ensemble de points dont les coordonnées rectangulaires satisfont à l'équation du 2ème degré : (1)

On suppose qu'au moins un des coefficients des carrés ou des produits est différent de 0. L'équation est invariante quant au choix du système de coordonnées.

Théorème Tout plan coupe le PVP le long du CVP, à l'exception d'un cas particulier où tout le plan est dans la section (le PVP peut être un plan ou une paire de plans).

Il existe 15 types de PvP. Listons-les, en indiquant les équations par lesquelles ils sont spécifiés dans des systèmes de coordonnées appropriés. Ces équations sont dites canoniques (les plus simples). Construire des images géométriques correspondant à des équations canoniques en utilisant la méthode des sections parallèles : Intersecter la surface avec des plans de coordonnées et des plans parallèles à celles-ci. Le résultat est des sections et des courbes qui donnent une idée de la forme de la surface.

1. Ellipsoïde.

Si a=b=c alors nous obtenons une sphère.

2. Hyperboloïdes.

1). Hyperboloïde à feuille unique :

Coupe d'un hyperboloïde monofeuillet par plans de coordonnées : XOZ :
- hyperbole.

YOZ :
- hyperbole.

Avion XOY :
- une ellipse.

2). Hyperboloïde à deux feuilles.

L'origine est un point de symétrie.

Les plans de coordonnées sont des plans de symétrie.

Avion z = h coupe un hyperboloïde le long d'une ellipse
, c'est-à-dire avion z = h commence à couper l'hyperboloïde à | h |  c. Coupe d'un hyperboloïde par plans x = 0 Et oui = 0 - ce sont des hyperboles.

Les nombres a, b, c dans les équations (2), (3), (4) sont appelés les demi-axes des ellipsoïdes et des hyperboloïdes.

3. Paraboloïdes.

1). Paraboloïde elliptique :

Coupe du plan z = h Il y a
, Où
. D’après l’équation, il ressort clairement que z  0 est un bol infini.

Intersection d'avions oui = h Et x= h
- c'est une parabole et en général

2). Paraboloïde hyperbolique :

Evidemment, les plans XOZ et YOZ sont des plans de symétrie, l'axe z est l'axe du paraboloïde. Intersection d'un paraboloïde avec un plan z = h– hyperboles :
,
. Avion z=0 coupe un paraboloïde hyperbolique selon deux axes
qui sont des asymptotes.

4. Cône et cylindres du second ordre.

1). Un cône est une surface
. Le cône est formé de droites passant par l’origine 0 (0, 0, 0). La section transversale d'un cône est une ellipse à demi-axes
.

2). Cylindres de deuxième ordre.

C'est un cylindre elliptique
.

Quelle que soit la ligne que nous prenons qui coupe les ellipses et est parallèle à l’axe Oz, elle satisfait à cette équation. En déplaçant cette droite autour de l’ellipse on obtient une surface.

G cylindre hyperbolique :

Sur le plan XOU, c'est une hyperbole. Nous déplaçons la ligne droite coupant l'hyperbole parallèlement à Oz le long de l'hyperbole.

Cylindre parabolique :

N et le plan XOU est une parabole.

Les surfaces cylindriques sont formées par une ligne droite (générative) se déplaçant parallèlement à elle-même le long d'une certaine ligne droite (guide).

10. Paire de plans sécants

11.Paire de plans parallèles

12.
- droit

13. Ligne droite - un « cylindre » construit sur un seul point

14.Un point

15.Ensemble vide

Le théorème principal du PVP : Chaque PVP appartient à l'un des 15 types évoqués ci-dessus. Il n'y a pas d'autre PVP.

Surfaces de rotation. Soit le PDSC Oxyz et dans le plan Oyz la droite e définie par l'équation F(y,z)=0 (1). Créons une équation pour la surface obtenue en faisant tourner cette ligne autour de l'axe Oz. Prenons un point M(y,z) sur la droite e. Lorsque le plan Oyz tourne autour de Oz, le point M décrira un cercle. Soit N(X,Y,Z) un point arbitraire de ce cercle. Il est clair que z=Z.

.

En substituant les valeurs trouvées de z et y dans l'équation (1), nous obtenons l'égalité correcte :
ceux. les coordonnées du point N satisfont à l'équation
. Ainsi, tout point sur la surface de révolution satisfait à l’équation (2). Il n'est pas difficile de prouver que si un point N(x 1 ,y 1 ,z 1) satisfait à l'équation (2) alors il appartient à la surface considérée. Nous pouvons maintenant dire que l’équation (2) est l’équation souhaitée pour la surface de révolution.

Définition 1

Une parabole est une courbe formée par un ensemble géométrique de points situés à la même distance d'un certain point $F$, appelé foyer et ne se trouvant ni sur cette courbe ni sur la droite $d$.

C'est-à-dire que le rapport des distances d'un point arbitraire sur une parabole au foyer et du même point à la directrice est toujours égal à un, ce rapport est appelé excentricité.

Le terme « excentricité » est également utilisé pour les hyperboles et les ellipses.

Termes de base de l'équation canonique de la parabole

Le point $F$ est appelé le foyer de la parabole et la ligne $d$ est sa directrice.

L'axe de symétrie d'une parabole est une droite passant par le sommet de la parabole $O$ et son foyer $F$, de sorte qu'elle forme un angle droit avec la directrice $d$.

Le sommet d'une parabole est le point à partir duquel la distance à la directrice est minimale. Ce point divise en deux la distance entre le foyer et la directrice.

Quelle est l’équation canonique d’une parabole ?

Définition 2

L'équation canonique d'une parabole est assez simple, facile à retenir et a la forme suivante :

$y^2 = 2px$, où le nombre $p$ doit être supérieur à zéro.

Le nombre $p$ de l'équation est appelé le « paramètre focal ».

Cette équation d'une parabole, ou plutôt cette formule la plus souvent utilisée en mathématiques supérieures, est applicable dans le cas où l'axe de la parabole coïncide avec l'axe $OX$, c'est-à-dire que la parabole est située comme si elle était sur le côté.

Une parabole décrite par l'équation $x^2 = 2py$ est une parabole dont l'axe coïncide avec l'axe $OY$ ; nous sommes habitués à de telles paraboles à l'école.

Et la parabole, qui a un moins devant la deuxième partie de l'équation ($y^2 = - 2px$), pivote de 180° par rapport à la parabole canonique.

Une parabole est un cas particulier de courbe du 2ème ordre ; par conséquent, en général, l'équation d'une parabole est exactement la même que pour toutes ces courbes et convient à tous les cas, et pas seulement lorsque la parabole est parallèle à $OX$. .

Dans ce cas, le discriminant calculé par la formule $B^2 – 4AC$ est égal à zéro, et l'équation elle-même ressemble à ceci : $Ax^2 + B \cdot x \cdot y + C\cdot y^2 + D\cdot x + E\ cdot y + F = 0$

Dérivation en traçant graphiquement l'équation canonique d'une parabole

Figure 1. Graphique et dérivation de l'équation canonique de la parabole

A partir de la définition donnée ci-dessus dans cet article, nous composerons une équation pour une parabole dont le sommet est situé à l'intersection des axes de coordonnées.

A l'aide du graphe existant, on en détermine les points $x$ et $y$ $F$ à partir de la définition d'une courbe parabolique donnée ci-dessus, $x = \frac(p)(2)$ et $y = 0$.

Tout d'abord, créons une équation pour la droite $d$ et notons-la : $x = - \frac(p)(2)$.

Pour un point arbitraire M situé sur notre courbe, selon la définition, la relation suivante est valable :

$FM$ = $MM_d$ (1), où $M_d$ est le point d'intersection de la perpendiculaire tirée du point $M$ avec la directrice $d$.

X et Y pour ce point sont égaux respectivement à $\frac(p)(2)$ $y$.

Écrivons l'équation (1) sous forme de coordonnées :

$\sqrt((x - \frac(p)(2))^2 + y^2 )= x + \frac(p)(2)$

Maintenant, pour vous débarrasser de la racine, vous devez mettre au carré les deux côtés de l’équation :

$(x - \frac(p)(2))^2 + y^2 = x^2 +px^2 + \frac(p^2)(4)$

Après simplification, on obtient l'équation canonique de la parabole : $y^2 = px$.

Parabole décrite par une fonction quadratique

L'équation qui décrit une parabole dont le sommet est situé n'importe où sur le graphique et ne coïncide pas nécessairement avec l'intersection des axes de coordonnées ressemble à ceci :

$y = hache^2 + bx + c$.

Pour calculer $x$ et $y$ pour le sommet d'une telle parabole, vous devez utiliser les formules suivantes :

$x_A = - \frac(b)(2a)$

$y_A = - \frac(D)(4a)$, où $D = b^2 – 4ac$.

Exemple 1

Un exemple de composition d'une équation de parabole classique

Tâche. Connaissant l'emplacement du point focal, créez l'équation canonique de la parabole. Les coordonnées du point focal $F$ sont $(4; 0)$.

Puisque l'on considère une parabole dont le graphique est donné par l'équation canonique, son sommet $O$ est situé à l'intersection des axes x et y, donc la distance du foyer au sommet est égale à $\frac (1)(2)$ du paramètre focal $\frac(p )(2) = $4. Par des calculs simples, nous constatons que le paramètre focal lui-même est $p = 8$.

Après avoir remplacé la valeur de $p$ dans la forme canonique de l'équation, notre équation devient $y^2 = 16x$.

Comment écrire une équation de parabole en utilisant un graphique existant

Exemple 2

Figure 2. Équation canonique pour une parabole, graphique et exemple de solution

Tout d'abord, nous devons sélectionner le point $M$, qui appartient au graphique de notre fonction, et, en omettant les perpendiculaires sur les axes $OX$ et $OY$, noter ses x et y, dans notre cas, le point $M$ vaut $(2;2) $.

Il faut maintenant substituer les $x$ et $y$ obtenus pour ce point dans l'équation canonique de la parabole $y^2 = px$, nous obtenons :

$2^2 = 2 \cdot 2p$

En réduisant, nous obtenons l'équation parabolique suivante $y^2 = 2 \cdot x$.

Introduisons un système de coordonnées rectangulaires, où . Laissez l'axe passer par le foyer F parabole et perpendiculaire à la directrice, et l'axe passe à mi-chemin entre le foyer et la directrice. Désignons par la distance entre le foyer et la directrice. Puis l’équation directrice.

Ce nombre est appelé paramètre focal de la parabole. Soit le point actuel de la parabole. Soit le rayon focal du point de l'hyperbole. Soit la distance du point à la directrice. Alors( dessin 27.)

Dessin 27.

Par définition d'une parabole. Ainsi,

Mettons l'équation au carré et obtenons :

(15)

où (15) est l’équation canonique d’une parabole symétrique par rapport à l’axe et passant par l’origine.

Enquête sur les propriétés d'une parabole

1) Sommet de la parabole :

L'équation (15) est satisfaite par des nombres et, par conséquent, la parabole passe par l'origine.

2) Symétrie parabolique :

Appartenons à la parabole, c'est-à-dire à la vraie égalité. Le point est symétrique au point par rapport à l'axe, donc la parabole est symétrique par rapport à l'axe des abscisses.

Excentricité de la parabole :

Définition 4.2. L'excentricité d'une parabole est un nombre égal à un.

Puisque par définition d'une parabole.

4) Tangente de la parabole :

La tangente à une parabole au point de tangence est donnée par l'équation

Où ( dessin 28.)

Dessin 28.

Image de parabole

Dessin 29.

Utilisation d'ESO-Mathcad :

dessin 30.)

Dessin 30.

a) Construction sans utilisation des TIC : Pour construire une parabole, nous définissons un système de coordonnées rectangulaires avec un centre au point O et un segment unitaire. On marque le focus sur l'axe OX, puisque l'on dessine tel que, et la directrice de la parabole. Nous construisons un cercle en un point de rayon égal à la distance de la droite à la directrice de la parabole. Le cercle coupe la ligne aux points . On construit une parabole pour qu'elle passe par l'origine et par les points.( dessin 31.)

Dessin 31.

b) Utilisation d'ESO-Mathcad :

L'équation résultante ressemble à : . Pour construire une droite du second ordre dans le programme Mathcad, on réduit l'équation à la forme : .( dessin 32.)

Dessin 32.

Afin de résumer les travaux sur la théorie des droites du second ordre en mathématiques élémentaires et pour faciliter l'utilisation des informations sur les droites lors de la résolution de problèmes, nous inclurons toutes les données sur les droites du second ordre dans le tableau n° 1.

Tableau n°1.

Lignes du second ordre en mathématiques élémentaires

Possibilités d'utilisation des TIC dans l'étude des lignes de second ordre

Le processus d'informatisation, qui couvre aujourd'hui tous les aspects de la vie de la société moderne, comporte plusieurs domaines prioritaires, qui devraient bien entendu inclure l'informatisation de l'éducation. C'est la base fondamentale de la rationalisation globale de l'activité intellectuelle humaine grâce à l'utilisation des technologies de l'information et de la communication (TIC).

Le milieu des années 90 du siècle dernier jusqu'à aujourd'hui est caractérisé par l'utilisation généralisée et la disponibilité des ordinateurs personnels en Russie, l'utilisation généralisée des télécommunications, qui permet l'introduction de technologies de l'information éducatives développées dans le processus éducatif, l'améliorant et le modernisant, améliorant la qualité des connaissances, en augmentant la motivation à apprendre, en utilisant au maximum le principe d'individualisation de l'apprentissage. Les technologies de l'information pour l'éducation sont un outil nécessaire à ce stade de l'informatisation de l'éducation.

Les technologies de l'information facilitent non seulement l'accès à l'information et ouvrent des possibilités de variabilité des activités éducatives, de leur individualisation et de leur différenciation, mais permettent également de réorganiser d'une manière nouvelle l'interaction de toutes les matières d'apprentissage, de construire un système éducatif dans lequel les l’étudiant participerait activement et sur un pied d’égalité aux activités éducatives.

La formation de nouvelles technologies de l'information dans le cadre des cours disciplinaires stimule la nécessité de créer de nouveaux complexes logiciels et méthodologiques visant à augmenter qualitativement l'efficacité de la leçon. Par conséquent, pour une utilisation réussie et ciblée des outils informatiques dans le processus éducatif, les enseignants doivent connaître la description générale des principes de fonctionnement et des capacités didactiques des applications logicielles, puis, sur la base de leur expérience et de leurs recommandations, les « construire » dans le processus éducatif.

L'étude des mathématiques est actuellement associée à un certain nombre de caractéristiques et de difficultés dans le développement de l'enseignement scolaire dans notre pays.

Une soi-disant crise de l’enseignement des mathématiques est apparue. Les raisons en sont les suivantes :

Dans l'évolution des priorités dans la société et dans la science, c'est-à-dire que la priorité des sciences humaines augmente actuellement ;

En réduisant le nombre de cours de mathématiques à l'école ;

L'isolement du contenu de l'enseignement mathématique de la vie ;

A peu d’impact sur les sentiments et les émotions des élèves.

Aujourd'hui, la question reste ouverte : « Comment utiliser le plus efficacement possible les capacités potentielles des technologies modernes de l'information et de la communication dans l'enseignement aux écoliers, y compris dans l'enseignement des mathématiques ?

Un ordinateur est un excellent assistant pour étudier un sujet tel que la « fonction quadratique », car à l'aide de programmes spéciaux, vous pouvez créer des graphiques de diverses fonctions, explorer la fonction, déterminer facilement les coordonnées des points d'intersection, calculer les aires de figures fermées, etc. Par exemple, dans une leçon d'algèbre de 9e consacrée à la transformation de graphes (étirement, compression, déplacement des axes de coordonnées), on ne peut voir que le résultat figé de la construction, tandis que toute la dynamique des actions séquentielles de l'enseignant et de l'élève est visible. sur l’écran du moniteur.

L'ordinateur, comme aucun autre outil technique, révèle à l'étudiant avec précision, visuellement et de manière passionnante des modèles mathématiques idéaux, c'est-à-dire ce à quoi un enfant devrait s'efforcer dans ses actions pratiques.

Combien de difficultés un professeur de mathématiques doit-il traverser pour convaincre les élèves que la tangente au graphique d'une fonction quadratique au point de tangence se confond pratiquement avec le graphique de la fonction. Il est très facile de démontrer ce fait sur un ordinateur : il suffit de rétrécir l’intervalle le long de l’axe Ox et de découvrir que dans un très petit voisinage du point de tangence, le graphique de la fonction et la tangente coïncident. Toutes ces actions se déroulent devant les étudiants. Cet exemple donne une impulsion à une réflexion active dans la leçon. L'utilisation d'un ordinateur est possible aussi bien lors de l'explication de nouveau matériel en classe qu'au stade du contrôle. A l'aide de ces programmes, par exemple « Mon Test », l'étudiant peut tester en toute autonomie son niveau de connaissances théoriques et réaliser des tâches théoriques et pratiques. Les programmes sont pratiques en raison de leur polyvalence. Ils peuvent être utilisés à la fois pour la maîtrise de soi et pour le contrôle de l’enseignant.

Une intégration raisonnable des mathématiques et de la technologie informatique nous permettra d’examiner plus richement et plus profondément le processus de résolution d’un problème et le processus de compréhension des lois mathématiques. De plus, l'ordinateur contribuera à former une culture graphique, mathématique et mentale des élèves, et à l'aide d'un ordinateur vous pourrez préparer du matériel didactique : fiches, fiches d'enquête, tests, etc. possibilité de développer de manière indépendante des tests sur le sujet, au cours desquels intérêt et approche créative.

Il est donc nécessaire d’utiliser le plus largement possible les ordinateurs dans les cours de mathématiques. L'utilisation des technologies de l'information contribuera à améliorer la qualité des connaissances, à élargir les horizons d'étude de la fonction quadratique, et donc à trouver de nouvelles perspectives pour maintenir l'intérêt des étudiants pour le sujet et le sujet, et donc pour une attitude meilleure et plus attentive envers il. Aujourd'hui, les technologies de l'information modernes deviennent l'outil le plus important pour moderniser l'école dans son ensemble - de la gestion à l'éducation et garantir l'accessibilité de l'éducation.

Une parabole est un ensemble de points dans un plan équidistants d'un point donné(se concentrer)et à partir d'une ligne donnée ne passant pas par un point donné (directrices), situé dans le même plan(Fig.5).

Dans ce cas, le système de coordonnées est choisi pour que l'axe
passe perpendiculairement à la directrice par le foyer, sa direction positive est choisie de la directrice vers le foyer. L'axe des ordonnées est parallèle à la directrice, au milieu entre la directrice et le foyer, d'où l'équation de la directrice
, coordonnées de mise au point
. L'origine est le sommet de la parabole et l'axe des x est son axe de symétrie. Excentricité de la parabole
.

Dans un certain nombre de cas, les paraboles définies par les équations sont considérées

UN)

b)
(dans tous les cas
)

V)
.

Dans le cas a) la parabole est symétrique par rapport à l'axe
et est dirigé dans sa direction négative (Fig. 6).

Dans les cas b) et c) l'axe de symétrie est l'axe
(Fig.6). Coordonnées de mise au point pour ces cas :

UN)
b)
V)
.

Équation directrice :

UN)
b)
V)
.

Exemple 4. Une parabole ayant un sommet à l'origine passe par un point
et symétrique par rapport à l'axe
. Écrivez son équation.

Solution:

Puisque la parabole est symétrique par rapport à l'axe
et passe par le point avec une abscisse positive, alors il a la forme représentée sur la Fig. 5.

Remplacement des coordonnées de points dans l'équation d'une telle parabole
, nous obtenons
, c'est-à-dire
.

Par conséquent, l’équation requise

,

le foyer de cette parabole
, équation directrice
.

4. Transformation de l'équation de droite du second ordre en forme canonique.

L'équation générale du deuxième degré a la forme

où sont les coefficients
n'allez pas à zéro en même temps.

Toute droite définie par l’équation (6) est appelée droite du second ordre. En utilisant une transformation du système de coordonnées, l'équation d'une droite du second ordre peut être réduite à sa forme la plus simple (canonique).

1. Dans l'équation (6)
. Dans ce cas, l'équation (6) a la forme

Il est converti dans sa forme la plus simple en utilisant une translation parallèle des axes de coordonnées selon les formules

(8)

Où
– coordonnées du nouveau départ
(dans l'ancien système de coordonnées). Nouveaux essieux
Et
parallèle aux anciens. Point
est le centre d'une ellipse ou d'une hyperbole et le sommet dans le cas d'une parabole.

Il est pratique de réduire l’équation (7) à sa forme la plus simple en utilisant la méthode d’isolement de carrés complets, similaire à celle utilisée pour un cercle.

Exemple 5. Réduisez l’équation de la droite du second ordre à sa forme la plus simple. Déterminez le type et l’emplacement de cette ligne. Trouvez les coordonnées des foyers. Faites un dessin.

Solution:

Nous regroupons les membres contenant uniquement et seulement , en retirant les coefficients pour Et derrière le support :

On complète les expressions entre parenthèses pour compléter les carrés :

Ainsi, cette équation se transforme sous la forme

Nous désignons

ou

En comparant avec les équations (8), nous voyons que ces formules déterminent le transfert parallèle des axes de coordonnées jusqu'au point
. Dans le nouveau système de coordonnées, l'équation s'écrira comme suit :

En déplaçant le terme libre vers la droite et en divisant par celui-ci, on obtient :

.

Donc, cette droite du second ordre est une ellipse à demi-axes
,
. Le centre de l'ellipse est à la nouvelle origine
, et son axe focal est l'axe
. Distance de mise au point par rapport au centre, donc nouvelles coordonnées de mise au point à droite
. Les anciennes coordonnées d'un même foyer sont trouvées à partir des formules de translation parallèle :

De même, les nouvelles coordonnées de mise au point gauche
,
. Ses anciennes coordonnées :
,
.

Ayant ainsi obtenu les sommets de l'ellipse, nous dessinons l'ellipse elle-même (Fig. 7). Commentaire
. Pour clarifier le dessin, il est utile de retrouver les points d'intersection de cette ligne (7) avec les anciens axes de coordonnées. Pour ce faire, il faut d'abord mettre dans la formule (7)
et puis

et résolvez les équations résultantes.

L'apparition de racines complexes signifiera que la ligne (7) ne coupe pas l'axe de coordonnées correspondant.

Par exemple, pour l’ellipse du problème qui vient d’être discuté, les équations suivantes sont obtenues :
La seconde de ces équations a des racines complexes, donc l'axe de l'ellipse

ne traverse pas. Racines de la première équation :
Et
Aux points
l'ellipse coupe l'axe

(Fig.7). Exemple 6.

Solution:

Réduisez l’équation d’une droite du second ordre à sa forme la plus simple. Déterminez le type et l'emplacement de la ligne, trouvez les coordonnées focales. Puisque le membre avec :

manquant, alors vous devez sélectionner un carré complet uniquement en

.

Nous désignons

ou

On retire également le coefficient pour
Il en résulte un transfert parallèle du système de coordonnées vers le point

.

Ampleur

.

égal pour elle.

Le focus a donc de nouvelles coordonnées
Ses anciennes coordonnées
Si on met dans cette équation
ou
, alors on constate que la parabole coupe l'axe
au point

2. , et l'axe
elle ne traverse pas.
Dans l'équation (1)

(9)

Où
. L'équation générale (1) du deuxième degré est transformée en (2), c'est-à-dire à celui évoqué au paragraphe 1. cas, en faisant pivoter les axes de coordonnées d'un angle
selon des formules

– de nouvelles coordonnées. Coin
Et
se trouve à partir de l’équation

Les axes de coordonnées pivotent de sorte que les nouveaux axes
étaient parallèles aux axes de symétrie de la ligne du second ordre.
Et
Connaissance

,
.

, peut être trouvé
utiliser des formules trigonométriques
Si l'angle de rotation

accepter d'être considéré comme aigu, alors dans ces formules il faut prendre le signe plus, et pour
nous devons également prendre une solution positive à l'équation (5).
En particulier, lorsque

(11)

le système de coordonnées doit être pivoté d'un angle. Les formules de rotation pour les charbons ressemblent à :

Solution:

Exemple 7.
, 1
,
Réduisez l’équation de la droite du second ordre à sa forme la plus simple. Définissez le type et l'emplacement de cette ligne.
selon des formules

.

Dans ce cas
Et
, donc l'angle de rotation
, nous prenons le premier d'entre eux. Alors

,

,
.

Remplacer ces valeurs Et dans cette équation

En ouvrant les parenthèses et en apportant des parenthèses similaires, on obtient

.

Enfin, en divisant par le terme muet, on arrive à l'équation de l'ellipse

.

Il s'ensuit que
,
, et le grand axe de l'ellipse est dirigé le long de l'axe
, et le petit – le long de l’axe
.

Vous marquez un point
, dont le rayon
incliné par rapport à l'axe
sous un angle
, pour lequel
. Ainsi, à travers ce point
et un nouvel axe x passera. Ensuite on marque sur les axes
Et
les sommets de l'ellipse et dessinez une ellipse (Fig. 9).

Notez que cette ellipse coupe les anciens axes de coordonnées en des points trouvés à partir des équations quadratiques (si nous mettons dans cette équation
Ses anciennes coordonnées
):

Et
.