Il existe de nombreuses expressions mathématiques différentes en mathématiques, et certaines d’entre elles ont leur propre nom. Nous sommes sur le point de nous familiariser avec l'un de ces concepts: c'est un monôme.
Un monôme est une expression mathématique qui consiste en un produit de nombres, de variables, dont chacune peut apparaître dans une certaine mesure dans le produit. Afin de mieux comprendre le nouveau concept, vous devez vous familiariser avec plusieurs exemples.
Exemples de monômes
Expressions 4, x^2 , -3*a^4, 0,7*c, ¾*y^2 sont des monômes. Comme vous pouvez le voir, un seul nombre ou variable (avec ou sans puissance) est également un monôme. Mais, par exemple, les expressions 2+с, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 sont déjà ne sont pas des monômes, car ils ne correspondent pas aux définitions. La première expression utilise « somme », ce qui est inacceptable, la seconde utilise « division » et la troisième utilise la différence.
Considérons quelques exemples supplémentaires.
Par exemple, l'expression 2*a^3*b/3 est également un monôme, bien qu'il y ait une division. Mais dans ce cas, la division se fait par un nombre, et donc l'expression correspondante peut être réécrite comme suit : 2/3*a^3*b. Autre exemple : Laquelle des expressions 2/x et x/2 est un monôme et laquelle ne l'est pas ? La bonne réponse est que la première expression n'est pas un monôme, mais la seconde est un monôme.
Forme standard du monôme
Regardez les deux expressions monômes suivantes : ¾*a^2*b^3 et 3*a*1/4*b^3*a. En fait, ce sont deux monômes identiques. N'est-il pas vrai que la première expression semble plus commode que la seconde ?
La raison en est que la première expression est écrite sous forme standard. La forme standard d'un polynôme est un produit composé d'un facteur numérique et de puissances de diverses variables. Le facteur numérique est appelé coefficient du monôme.
Afin d'amener un monôme à sa forme standard, il suffit de multiplier tous les facteurs numériques présents dans le monôme et de mettre le nombre obtenu en premier. Multipliez ensuite toutes les puissances qui ont la même base de lettres.
Réduire un monôme à sa forme standard
Si dans notre exemple dans la deuxième expression nous multiplions tous les facteurs numériques 3*1/4 puis multiplions a*a, nous obtenons le premier monôme. Cette action s'appelle réduire un monôme à sa forme standard.
Si deux monômes ne diffèrent que par un coefficient numérique ou sont égaux, alors ces monômes sont appelés similaires en mathématiques.
Dans cette leçon, nous donnerons une définition stricte d'un monôme et examinerons divers exemples tirés du manuel. Rappelons les règles de multiplication des puissances avec les mêmes bases. Définissons la forme standard d'un monôme, le coefficient du monôme et sa partie lettre. Considérons deux principales opérations typiques sur les monômes, à savoir la réduction à une forme standard et le calcul d'une valeur numérique spécifique d'un monôme pour des valeurs données des variables littérales qui y sont incluses. Formulons une règle pour réduire un monôme à une forme standard. Apprenons à résoudre des problèmes standard avec n'importe quel monôme.
Sujet:Monômes. Opérations arithmétiques sur les monômes
Leçon:Le concept de monôme. Forme standard du monôme
Prenons quelques exemples :
3. 
;
Trouvons des caractéristiques communes aux expressions données. Dans les trois cas, l’expression est le produit de nombres et de variables élevés à une puissance. Sur cette base, nous donnons définition du monôme : Un monôme est une expression algébrique qui consiste en le produit de puissances et de nombres.
Donnons maintenant des exemples d'expressions qui ne sont pas des monômes :
Trouvons la différence entre ces expressions et les précédentes. Cela consiste dans le fait que dans les exemples 4 à 7, il y a des opérations d'addition, de soustraction ou de division, tandis que dans les exemples 1 à 3, qui sont des monômes, il n'y a pas ces opérations.
Voici quelques exemples supplémentaires :
L'expression numéro 8 est un monôme car elle est le produit d'une puissance et d'un nombre, alors que l'exemple 9 n'est pas un monôme.
Maintenant, découvrons actions sur les monômes .
1. Simplification. Regardons l'exemple n°3 ;et exemple n°2 /
Dans le deuxième exemple, nous ne voyons qu'un seul coefficient - , chaque variable n'apparaît qu'une seule fois, c'est-à-dire la variable " UN" est représenté en un seul exemplaire par "", de même, les variables "" et "" n'apparaissent qu'une seule fois.
Dans l'exemple n°3, au contraire, il y a deux coefficients différents - et , on voit la variable "" deux fois - comme "" et comme "", de même, la variable "" apparaît deux fois. Autrement dit, cette expression devrait être simplifiée, nous arrivons donc à la première action effectuée sur les monômes est de réduire le monôme à la forme standard . Pour ce faire, nous allons réduire l'expression de l'exemple 3 à la forme standard, puis nous définirons cette opération et apprendrons comment réduire n'importe quel monôme à la forme standard.
Alors, prenons un exemple :
La première action dans l’opération de réduction à la forme standard est toujours de multiplier tous les facteurs numériques :
;
Le résultat de cette action sera appelé coefficient du monôme .
Ensuite, vous devez multiplier les pouvoirs. Multiplions les puissances de la variable " X"selon la règle de multiplication des puissances avec les mêmes bases, qui stipule que lors de la multiplication, les exposants s'ajoutent :
Maintenant multiplions les pouvoirs" à»:
;
Voici donc une expression simplifiée :
;
Tout monôme peut être réduit à une forme standard. Formulons règle de normalisation :
Multipliez tous les facteurs numériques ;
Placez le coefficient résultant en premier lieu ;
Multipliez tous les degrés, c'est-à-dire obtenez la partie lettre ;
C'est-à-dire que tout monôme est caractérisé par un coefficient et une partie lettre. Pour l’avenir, nous notons que les monômes qui ont la même partie de lettre sont appelés similaires.
Maintenant, nous devons travailler technique pour réduire les monômes à la forme standard . Considérez des exemples tirés du manuel :
Devoir : mettre le monôme sous forme standard, nommer le coefficient et la partie lettre.
Pour mener à bien cette tâche, nous utiliserons la règle de réduction d'un monôme à une forme standard et les propriétés des puissances.
1. 
;
3. 
;
Commentaires sur le premier exemple: Déterminons d'abord si cette expression est bien un monôme ; pour ce faire, vérifions si elle contient des opérations de multiplication de nombres et de puissances et si elle contient des opérations d'addition, de soustraction ou de division. On peut dire que cette expression est un monôme puisque la condition ci-dessus est satisfaite. Ensuite, selon la règle de réduction d'un monôme à une forme standard, on multiplie les facteurs numériques :
- nous avons trouvé le coefficient d'un monôme donné ;
; ; ; c'est-à-dire que la partie littérale de l'expression est obtenue :;
Écrivons la réponse : ;
Commentaires sur le deuxième exemple: En suivant la règle que nous effectuons :
1) multiplier les facteurs numériques :
2) multiplier les puissances :
Les variables sont présentées en un seul exemplaire, c'est-à-dire qu'elles ne peuvent être multipliées par rien, elles sont réécrites sans modifications, le degré est multiplié :
Écrivons la réponse :
;
Dans cet exemple, le coefficient du monôme est égal à un et la partie lettre est .
Commentaires sur le troisième exemple : a Semblable aux exemples précédents, nous effectuons les actions suivantes :
1) multiplier les facteurs numériques :
;
2) multiplier les puissances :
;
Écrivons la réponse : ;
Dans ce cas, le coefficient du monôme est "", et la partie lettre 
.
Considérons maintenant deuxième opération standard sur les monômes . Puisqu'un monôme est une expression algébrique composée de variables littérales pouvant prendre des valeurs numériques spécifiques, nous disposons d'une expression numérique arithmétique qui doit être évaluée. Autrement dit, la prochaine opération sur les polynômes est calculer leur valeur numérique spécifique .
Regardons un exemple. Monôme donné :
ce monôme a déjà été réduit à la forme standard, son coefficient est égal à un, et la partie lettre
Nous avons dit plus tôt qu'une expression algébrique ne peut pas toujours être calculée, c'est-à-dire que les variables qui y sont incluses ne peuvent prendre aucune valeur. Dans le cas d'un monôme, les variables qui y sont incluses peuvent être quelconques ; c'est une caractéristique du monôme.
Ainsi, dans l'exemple donné, vous devez calculer la valeur du monôme en , , , .
Pouvoir d'un monôme
Pour un monôme, il y a la notion de son degré. Voyons ce que c'est.
Définition.
Pouvoir d'un monôme la forme standard est la somme des exposants de toutes les variables incluses dans son enregistrement ; s'il n'y a pas de variables dans la notation d'un monôme et qu'il est différent de zéro, alors son degré est considéré comme égal à zéro ; le nombre zéro est considéré comme un monôme dont le degré est indéfini.
Déterminer le degré d'un monôme permet de donner des exemples. Le degré du monôme a est égal à un, puisque a est un 1. La puissance du monôme 5 est nulle, puisqu'elle est non nulle et que sa notation ne contient pas de variables. Et le produit 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 est un monôme du huitième degré, puisque la somme des exposants de toutes les variables a, x et y est égale à 2+1+3+2=8.
À propos, le degré d'un monôme non écrit sous forme standard est égal au degré du monôme correspondant de forme standard. Pour illustrer cela, calculons le degré du monôme 3 x 2 oui 3 x (−2) x 5 oui. Ce monôme sous forme standard a la forme −6·x 8 ·y 4, son degré est 8+4=12. Ainsi, le degré du monôme original est 12.
Coefficient monomial
Un monôme sous forme standard, qui a au moins une variable dans sa notation, est un produit avec un seul facteur numérique - un coefficient numérique. Ce coefficient est appelé coefficient monôme. Formulons les arguments ci-dessus sous la forme d'une définition.
Définition.
Coefficient monomial est le facteur numérique d'un monôme écrit sous forme standard.
Nous pouvons maintenant donner des exemples de coefficients de divers monômes. Le nombre 5 est le coefficient du monôme 5·a 3 par définition, de même le monôme (−2,3)·x·y·z a un coefficient de −2,3.
Les coefficients des monômes, égaux à 1 et −1, méritent une attention particulière. Le fait est qu’ils ne sont généralement pas explicitement présents dans l’enregistrement. On pense que le coefficient des monômes de forme standard qui n'ont pas de facteur numérique dans leur notation est égal à un. Par exemple, les monômes a, x·z 3, a·t·x, etc. avoir un coefficient de 1, puisque a peut être considéré comme 1·a, x·z 3 - comme 1·x·z 3, etc.
De même, le coefficient des monômes, dont les entrées sous forme standard n'ont pas de facteur numérique et commencent par un signe moins, est considéré comme moins un. Par exemple, les monômes −x, −x 3 y z 3, etc. avoir un coefficient −1, puisque −x=(−1) x, −x 3 oui z 3 =(−1) x 3 oui z 3 etc.
À propos, le concept de coefficient d'un monôme est souvent appelé monômes de la forme standard, qui sont des nombres sans facteurs alphabétiques. Les coefficients de ces monômes-nombres sont considérés comme ces nombres. Ainsi, par exemple, le coefficient du monôme 7 est considéré comme égal à 7.
Références.
- Algèbre: manuel pour la 7ème année. enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 17e éd. - M. : Éducation, 2008. - 240 p. : je vais. - ISBN978-5-09-019315-3.
- Mordkovitch A.G. Algèbre. 7e année. En 2 heures Partie 1. Manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général / A. G. Mordkovich. - 17e éd., ajouter. - M. : Mnémosyne, 2013. - 175 p. : ill. ISBN978-5-346-02432-3.
- Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques) : Proc. allocation.- M.; Plus haut école, 1984.-351 p., ill.
Les monômes sont des produits de nombres, de variables et de leurs puissances. Les nombres, les variables et leurs puissances sont également considérés comme des monômes. Par exemple : 12ac, -33, a^2b, a, c^9. Le monôme 5aa2b2b peut être réduit à la forme 20a^2b^2. Cette forme est appelée la forme standard du monôme, c'est-à-dire que la forme standard du monôme est le produit du coefficient (qui vient en premier) et des puissances de. les variables. Les coefficients 1 et -1 ne sont pas écrits, mais un moins est conservé à partir de -1. Monôme et sa forme standard
Les expressions 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x sont des produits de nombres, de variables et de leurs puissances. De telles expressions sont appelées monômes. Les nombres, les variables et leurs puissances sont également considérés comme des monômes.
Par exemple, les expressions 8, 35,y et y2 sont des monômes.
La forme standard d'un monôme est un monôme sous la forme d'un produit d'un facteur numérique en premier lieu et des puissances de diverses variables. Tout monôme peut être réduit à une forme standard en multipliant toutes les variables et nombres qu'il contient. Voici un exemple de réduction d’un monôme à la forme standard :
4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5
Le facteur numérique d'un monôme écrit sous forme standard est appelé coefficient du monôme. Par exemple, le coefficient du monôme -7x2y2 est égal à -7. Les coefficients des monômes x3 et -xy sont considérés comme égaux à 1 et -1, puisque x3 = 1x3 et -xy = -1xy
Le degré d'un monôme est la somme des exposants de toutes les variables qu'il contient. Si un monôme ne contient pas de variables, c'est-à-dire s'il s'agit d'un nombre, alors son degré est considéré comme égal à zéro.
Par exemple, le degré du monôme 8x3yz2 est 6, le monôme 6x est 1 et le degré -10 est 0.
Multiplication de monômes. Élever les monômes aux pouvoirs
Lors de la multiplication de monômes et de l'élévation de monômes à une puissance, la règle de multiplication de puissances avec la même base et la règle d'élévation d'une puissance à une puissance sont utilisées. Cela produit un monôme, qui est généralement représenté sous forme standard.
Par exemple
4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3
((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6
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Type de cours : intégré (avec les TIC), leçon d'introduction de nouvelles connaissances.
Buts et objectifs (algèbre): introduire le concept de monôme ; degré de monôme; forme standard de monôme. Apprenez aux élèves à réduire les monômes à leur forme standard. Continuez à développer des compétences dans l’exécution d’actions avec des diplômes. Améliorer les compétences informatiques des élèves. Développer l’attention et la précision.
Buts et objectifs (TIC) : apprendre à utiliser l'éditeur de formule intégré dans MS Office Word dans le cadre d'activités pratiques ; développer la compétence du travail indépendant.
Matériel utilisé dans la leçon : présentation, cours d'informatique avec MS Office (Word) installé, notes de base pour les travaux pratiques, fiches de tâches pour le travail indépendant, installation multimédia.
Progression de la leçon
I. Moment organisationnel.
Saluer les étudiants.
II. Exercices oraux.
(faire glisser sur l'écran2).
- Présent sous forme de puissance : y 3 *y 2 ; (oui 3) 5 ; oui 7 *oui 3 ; (oui 7) 4 ; une 10 /une 8 .
- Quel nombre (positif ou négatif) est la valeur de l'expression : (-8) 10 ; (-5)27 ; 7 5 ; -2 8 ; -(-1)7 .
- Calculer : (3*2) 2 -3*2 2 ; (-3) 8 /3 7 .
III. Apprendre du nouveau matériel.
Rapporter le sujet de la leçon et les buts et objectifs de la leçon (diapositive 3, 4).
6*x 2 *y; 2*x3 ; minute 7 ; un b; -8 (diapositive 5)
- Lisez les expressions écrites au tableau.
- Que représentent ces expressions ?
Les expressions de ce type sont appelées monômes.
DÉFINITION : Un monôme est le produit de nombres et de variables, puissances de variables, ou d'un nombre, variable, puissance d'une variable.
Regardez attentivement l'écran (diapositive 7). Parmi les expressions suivantes, lesquelles sont des monômes ? Pourquoi?
IV. Consolidation du nouveau matériel.
N° 463 – indépendamment. Contrôle frontal. (Diapositive 8).
V. Apprendre du nouveau matériel.
Laisse-moi des monômes
2x 2 y*9y 2 et 8x*9xy (diapositive 9)
Utilisons les lois commutatives et associatives de la multiplication. On obtient :
2*9*x 2 *y*y 2 =18x 2 y 3 et 8*9*x*x*y=72x 2 ans.
- Qu'avons-nous obtenu ?
- Que représente-t-il ?
Nous avons représenté le monôme comme le produit du facteur numérique en premier lieu et des puissances de diverses variables. Ce type de monôme est appelé forme standard.
- Quel monôme est appelé monôme de forme standard ?
DÉFINITION : un monôme est appelé monôme de forme standard s'il a en premier lieu 1 facteur numérique (coefficient), le produit de variables identiques qu'il contient s'écrit sous forme de puissance.
Lisez ces monômes qui sont écrits sous forme standard. Nommez leurs coefficients.
VI. Consolidation du nouveau matériel.
N° 464 - oralement, n° 465 - sous la direction d'un enseignant.
VII. Une tâche réalisée sur un ordinateur (travaux pratiques).
Programme MS Word. Éditeur de formule intégré. Utilisation de l'éditeur de formule intégré pour écrire des monômes. Fichier "Vue standard d'un monôme" sur le bureau. Remplissez le tableau préparé à l'aide de l'éditeur de formule intégré.
Remplissez le tableau. (Diapositive 15)
Vérifiez - sur l'écran (diapositive 16) et les dossiers étudiants enregistrés.
VIII. Apprendre du nouveau matériel.
- Qu'est-ce qui est écrit au tableau ?
- Quel est l'exposant de la variable X ?
- Quel est l'exposant de la variable Y ?
- Trouvez la somme des exposants. Ce numéro s'appelle degré monôme.
À la page 84 du manuel, retrouvez la définition du degré d'un monôme. Lisez-le.
IX. Consolidation du nouveau matériel.
N° 473 – oralement ;
N° 467 (a; d) - commenté au tableau.
X. Travail indépendant.
À l'écran selon les options (diapositive 19). (Chaque élève a une feuille de papier sur son bureau avec une tâche pour terminer le travail - Annexe 2)
Contrôle – autotest avec enregistrement (diapositive 20 sur l'écran).
XI. En résumé.
- Qu'est-ce qu'un monôme ?
- Quel type de monôme est appelé monôme standard ?
- Quel est le degré d'un monôme ?
XII. Devoirs.
P.19, n° 466, 468, 476, 470.
Merci pour la leçon! (diapositive 23)
Liste de la littérature utilisée :
- Algèbre. 7e année : manuel pour les établissements d'enseignement / [Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Souvorov]; édité par S.A. Téliakovsky. - M. : Éducation, 2007.
