Renforcer la capacité de multiplier des nombres naturels, des fractions ordinaires et décimales ;
Apprenez à multiplier les nombres positifs et négatifs ;
Développer la capacité à travailler en groupe,
Développer la curiosité et l'intérêt pour les mathématiques; la capacité de réfléchir et de s’exprimer sur un sujet.
Équipement: des modèles de thermomètres et de maisons, des fiches de calcul mental et de travaux de tests, une affiche avec les règles des signes de multiplication.
Progression de la leçon
Motivation
Professeur . Aujourd'hui, nous commençons à étudier un nouveau sujet. C'est comme si nous allions construire une nouvelle maison. Dites-moi, de quoi dépend la solidité d'une maison ?
[De la fondation.]
Vérifions maintenant quel est notre fondement, c’est-à-dire la force de nos connaissances. Je ne vous ai pas dit le sujet de la leçon. Il est codé, c'est-à-dire caché dans la tâche de calcul mental. Soyez prudent et observateur. Voici des cartes avec des exemples. En les résolvant et en faisant correspondre la réponse avec une lettre, vous découvrirez le nom du sujet de la leçon.
[MULTIPLICATION]
Professeur. Ce mot est donc « multiplier ». Mais nous connaissons déjà la multiplication. Sinon, pourquoi devrions-nous l’étudier ? Quels chiffres avez-vous récemment découvert ?
[Avec positif et négatif.]
Savons-nous comment les multiplier ? Par conséquent, le sujet de la leçon sera « Multiplier des nombres positifs et négatifs ».
Vous avez résolu les exemples rapidement et correctement. Une bonne base a été posée. ( Enseignant sur une maison modèle« pose» fondation.) Je pense que la maison sera durable.
Apprendre un nouveau sujet
Professeur . Maintenant, nous allons construire des murs. Ils relient le sol et le toit, c'est-à-dire l'ancien thème avec le nouveau. Vous allez maintenant travailler en groupe. Chaque groupe se verra confier un problème à résoudre ensemble et expliquera ensuite la solution à la classe.
1er groupe
La température de l'air baisse de 2° toutes les heures. Le thermomètre indique désormais zéro degré. Quelle température affichera-t-il après 3 heures ?
Décision de groupe. Puisque maintenant la température est de 0 et que toutes les heures la température baisse de 2°, il est évident qu'au bout de 3 heures la température sera de –6°. Notons la baisse de température de -2°, et le temps +3 heures. On peut alors supposer que (–2)·3 = –6.
Professeur . Que se passe-t-il si je réorganise les facteurs, c'est-à-dire 3·(–2) ?
Étudiants. La réponse est la même : –6, puisque la propriété commutative de multiplication est utilisée.
2ème groupe
La température de l'air baisse de 2° toutes les heures. Le thermomètre indique désormais zéro degré. Quelle température de l'air le thermomètre affichait-il il y a 3 heures ?
Décision de groupe. Comme la température baissait de 2° toutes les heures, et maintenant elle est de 0, il est évident qu'il y a 3 heures il faisait +6°. Notons la baisse de température par –2° et le temps écoulé par –3 heures. On peut alors supposer que (–2)·(–3) = 6.
Professeur . Vous ne savez pas encore comment multiplier des nombres positifs et négatifs. Mais ils ont résolu des problèmes où il était nécessaire de multiplier ces chiffres. Essayez de dériver vous-même les règles pour multiplier un nombre positif et un nombre négatif ou deux nombres négatifs. ( Les élèves essaient d’en déduire une règle.) Bien. Ouvrons maintenant nos manuels et lisons les règles de multiplication des nombres positifs et négatifs. Comparez votre règle avec ce qui est écrit dans le manuel.
Professeur. Comme vous l'avez vu lors de la construction des fondations, vous n'avez aucun problème à multiplier des nombres naturels et fractionnaires. Des problèmes peuvent survenir lors de la multiplication de nombres positifs et négatifs. Pourquoi?
Souviens-toi! Lors de la multiplication de nombres positifs et négatifs :
1) déterminer le signe ;
2) trouver le produit des modules.
Professeur . Les signes de multiplication ont leurs propres règles mnémotechniques très faciles à retenir. Ils sont brièvement formulés comme suit :
(Dans leurs cahiers, les élèves notent la règle des signes.)
Professeur . Si nous nous considérons, ainsi que nos amis, comme positifs, et nos ennemis comme négatifs, alors nous pouvons dire ceci :
L'ami de mon ami est mon ami.
L'ennemi de mon ami est mon ennemi.
L'ami de mon ennemi est mon ennemi.
L'ennemi de mon ennemi est mon ami.
Compréhension primaire et application de ce qui a été appris
Au tableau se trouvent des exemples de solutions orales. Les élèves récitent la règle :
–5,6 ;
–8·(–7);
9·(–3);
–45,0 ;
6·8.
Professeur . Est-ce que tout est clair ? Des questions ? Ainsi les murs sont construits. ( Le professeur érige des murs.) Maintenant, que construisons-nous ?
Consolidation.
(Quatre élèves sont convoqués au conseil d'administration.)
Professeur. Le toit est-il prêt ?
(L'enseignant installe un toit sur une maison modèle.)
Travail d'essai
Les étudiants terminent le travail en une seule version.
Après avoir terminé le travail, ils échangent des cahiers avec leur voisin. L'enseignant rapporte les bonnes réponses et les élèves se notent.
Résumé de la leçon. Réflexion
Professeur. Quel objectif avons-nous fixé au début de la leçon ? Avez-vous appris à multiplier des nombres positifs et négatifs ? ( Répétez les règles.) Comme vous l'avez vu dans cette leçon, chaque nouveau sujet est une maison qui doit être construite en profondeur, pendant des années. Sinon, tous vos bâtiments s’effondreront en peu de temps. Tout dépend donc de vous. Je vous souhaite bonne chance et succès dans l'acquisition de connaissances.
Précédent Suivant
Attention! Les aperçus des diapositives sont fournis à titre informatif uniquement et peuvent ne pas représenter toutes les fonctionnalités de la présentation. Si ce travail vous intéresse, veuillez télécharger la version complète.
Objectifs de la leçon.
Sujet:
- formuler une règle pour multiplier les nombres négatifs et les nombres de signes différents,
- apprendre aux élèves à appliquer cette règle.
Métasujet :
- développer la capacité de travailler selon l'algorithme proposé, élaborer un plan de vos actions,
- développer des compétences de maîtrise de soi.
Personnel:
- développer des compétences en communication,
- pour former l'intérêt cognitif des étudiants.
Équipement: ordinateur, écran, projecteur multimédia, présentation PowerPoint, polycopiés : tableau de consigne des règles, tests.
(Manuel de N.Ya. Vilenkin « Mathématiques. 6e année », M : « Mnemosyne », 2013.)
Progression de la leçon
I. Moment organisationnel.
Communiquer le sujet de la leçon et enregistrer le sujet dans des cahiers par les élèves.
II. Motivation.
Diapositive numéro 2. (Objectif de la leçon. Plan de la leçon).
Aujourd'hui, nous allons continuer à étudier une propriété arithmétique importante : la multiplication.
Vous savez déjà comment multiplier les nombres naturels - verbalement et en colonnes,
J'ai appris à multiplier des décimales et des fractions ordinaires. Aujourd'hui, vous devrez formuler la règle de multiplication des nombres négatifs et des nombres de signes différents. Et non seulement le formuler, mais aussi apprendre à l’appliquer.
III. Actualisation des connaissances.
1) Diapositive numéro 3.
Résolvez les équations : a) x : 1,8 = 0,15 ; b) y : = . (Étudiant au tableau)
Conclusion : pour résoudre de telles équations, vous devez être capable de multiplier différents nombres.
2) Vérifier les devoirs de manière indépendante. Révisez les règles de multiplication des nombres décimaux, des fractions et des nombres fractionnaires. (Diapositives n°4 et n°5).
IV. Formulation de la règle.
Considérez la tâche 1 (diapositive numéro 6).
Considérez la tâche 2 (diapositive numéro 7).
Dans le processus de résolution de problèmes, nous avons dû multiplier des nombres avec des signes différents et des nombres négatifs. Regardons de plus près cette multiplication et ses résultats.
En multipliant des nombres de signes différents, on obtient un nombre négatif.
Regardons un autre exemple. Trouvez le produit (–2) * 3, en remplaçant la multiplication par la somme de termes identiques. De même, trouvez le produit 3 * (–2). (Vérifiez - diapositive n°8).
Questions :
1) Quel est le signe du résultat en multipliant des nombres avec des signes différents ?
2) Comment obtient-on le module résultat ? Nous formulons une règle pour multiplier les nombres avec des signes différents et écrivons la règle dans la colonne de gauche du tableau. (Diapositive n°9 et annexe 1).
Règle pour multiplier les nombres négatifs et les nombres de signes différents.
Revenons au deuxième problème, dans lequel nous avons multiplié deux nombres négatifs. Il est assez difficile d’expliquer une telle multiplication autrement.
Utilisons l'explication donnée au XVIIIe siècle par le grand scientifique russe (né en Suisse), mathématicien et mécanicien Leonhard Euler. (Leonard Euler a laissé derrière lui non seulement des ouvrages scientifiques, mais a également écrit un certain nombre de manuels de mathématiques destinés aux étudiants du gymnase universitaire).
Euler a donc expliqué le résultat grossièrement comme suit. (Diapositive numéro 10).
Il est clair que –2 · 3 = – 6. Par conséquent, le produit (–2) · (–3) ne peut pas être égal à –6. Cependant, il doit être lié d'une manière ou d'une autre au nombre 6. Il reste une possibilité : (–2) · (–3) = 6. .
Questions :
1) Quel est le signe du produit ?
2) Comment le module du produit a-t-il été obtenu ?
Nous formulons la règle de multiplication des nombres négatifs et remplissons la colonne de droite du tableau. (Diapositive n°11).
Pour faciliter la mémorisation de la règle des signes lors de la multiplication, vous pouvez utiliser sa formulation en vers. (Diapositive n°12).
Plus par moins, en multipliant,
On met un moins sans bâiller.
Multiplier moins par moins
Nous vous donnerons un plus en réponse !
V. Formation de compétences.
Apprenons comment appliquer cette règle pour les calculs. Aujourd'hui, dans la leçon, nous effectuerons des calculs uniquement avec des nombres entiers et des fractions décimales.
1) Elaboration d'un plan d'action.
Un schéma d'application de la règle est élaboré. Des notes sont prises au tableau. Schéma approximatif sur la diapositive n°13.
2) Réaliser les actions selon le schéma.
Nous résolvons à partir du manuel n° 1121 (b, c, i, j, p, p). Nous réalisons la solution conformément au schéma établi. Chaque exemple est expliqué par un des élèves. Parallèlement, la solution est présentée sur la diapositive n°14.
3) Travaillez en binôme.
Tâche sur la diapositive numéro 15.
Les élèves travaillent sur les options. Tout d'abord, l'élève de l'option 1 résout et explique la solution de l'option 2, l'élève de l'option 2 écoute attentivement, aide et corrige si nécessaire, puis les élèves changent de rôle.
Tâche supplémentaire pour les binômes qui terminent leur travail plus tôt : n° 1125.
A la fin des travaux, une vérification est effectuée à l'aide d'une solution toute faite située sur la diapositive n°15 (une animation est utilisée).
Si de nombreuses personnes ont réussi à résoudre le n° 1125, alors on conclut que le signe du nombre change lorsqu'il est multiplié par (?1).
4) Soulagement psychologique.
5) Travail indépendant.
Travail indépendant - texte sur la diapositive n°17. Après avoir terminé le travail - autotest à l'aide d'une solution toute faite (diapositive n°17 - animation, lien hypertexte vers la diapositive n°18).
VI. Vérification du niveau d'assimilation de la matière étudiée. Réflexion.
Les étudiants passent le test. Sur la même feuille de papier, évaluez votre travail en classe en remplissant le tableau.
Testez la « règle de multiplication ». Option 1.
1) –13 * 5
R. –75. B. – 65. V. 65. D. 650.
2) –5 * (–33)
A. 165. B. –165. V. 350 G. –265.
3) –18 * (–9)
R. –162. B. 180. C. 162. D. 172.
4) –7 * (–11) * (–1)
A. 77. B. 0. C.–77. G. 72.
Testez la « règle de multiplication ». Option 2.
A. 84. B. 74. C. –84. G. 90.
2) –15 * (–6)
A. 80. B. –90. V. 60. D. 90.
A. 115. B. –165. V. 165. G. 0.
4) –6 * (–12) * (–1)
A. 60. B. –72. V. 72. G. 54.
VII. Devoirs.
Article 35, règles, n° 1143 (a – h), n° 1145 (c).
Littérature.
1) Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. « Mathématiques 6. Manuel pour les établissements d'enseignement général », - M : « Mnemosyne », 2013.
2) Chesnokov A.S., Neshkov K.I. « Matériel didactique en mathématiques pour la 6e année », M : « Prosveshchenie », 2013.
3) Nikolski S.M. et autres. « Arithmétique 6 » : un manuel pour les établissements d'enseignement, M : « Prosveshchenie », 2010.
4) Ershova A.P., Goloborodko V.V. "Travail indépendant et test en mathématiques pour la 6e année." M : « Ilexa », 2010.
5) « 365 tâches pour l'ingéniosité », compilé par G. Golubkova, M : « AST-PRESS », 2006.
6) « Grande Encyclopédie de Cyrille et Méthode 2010 », 3 CD.
Dans cet article, nous traiterons multiplier des nombres avec des signes différents. Ici, nous formulerons d'abord la règle de multiplication des nombres positifs et négatifs, la justifierons, puis envisagerons l'application de cette règle lors de la résolution d'exemples.
Navigation dans les pages.
Règle pour multiplier des nombres avec des signes différents
La multiplication d'un nombre positif par un nombre négatif, ainsi que d'un nombre négatif par un nombre positif, s'effectue comme suit : la règle pour multiplier les nombres avec des signes différents: pour multiplier des nombres avec des signes différents, vous devez multiplier et mettre un signe moins devant le produit obtenu.
Écrivons cette règle sous forme de lettre. Pour tout nombre réel positif a et tout nombre réel négatif −b, l'égalité suivante est vraie : une·(−b)=−(|une|·|b|) , et aussi pour un nombre négatif −a et un nombre positif b l'égalité (−une)·b=−(|une|·|b|) .
La règle de multiplication des nombres avec des signes différents est tout à fait cohérente avec propriétés des opérations avec des nombres réels. En effet, sur cette base, il est facile de montrer que pour les nombres réels et positifs a et b une chaîne d'égalités de la forme une·(−b)+une·b=une·((−b)+b)=une·0=0, ce qui prouve que a·(−b) et a·b sont des nombres opposés, ce qui implique l'égalité a·(−b)=−(a·b) . Et de là découle la validité de la règle de multiplication en question.
Il convient de noter que la règle énoncée pour multiplier les nombres avec des signes différents est valable aussi bien pour les nombres réels que pour les nombres rationnels et pour les nombres entiers. Cela découle du fait que les opérations avec des nombres rationnels et entiers ont les mêmes propriétés que celles utilisées dans la preuve ci-dessus.
Il est clair que multiplier des nombres de signes différents selon la règle résultante revient à multiplier des nombres positifs.
Il ne reste plus qu'à considérer des exemples d'application de la règle de multiplication démontée lors de la multiplication de nombres avec des signes différents.
Exemples de multiplication de nombres avec différents signes
Examinons plusieurs solutions exemples de multiplication de nombres avec différents signes. Commençons par un cas simple pour nous concentrer sur les étapes de la règle plutôt que sur la complexité informatique.
Multipliez le nombre négatif −4 par le nombre positif 5.
Selon la règle de multiplication des nombres avec des signes différents, nous devons d'abord multiplier les modules des facteurs d'origine. Le module de −4 est 4 et le module de 5 est 5, et multiplier les nombres naturels 4 et 5 donne 20. Enfin, il reste à mettre un signe moins devant le nombre obtenu, nous avons −20. Ceci termine la multiplication.
Brièvement, la solution peut s'écrire comme suit : (−4)·5=−(4·5)=−20.
(−4)·5=−20.
Lorsque vous multipliez des fractions avec des signes différents, vous devez être capable de multiplier des fractions ordinaires, de multiplier des décimales et leurs combinaisons avec des nombres naturels et fractionnaires.
Multipliez les nombres avec des signes différents 0, (2) et.
Après avoir effectué la conversion d'une fraction décimale périodique en une fraction ordinaire, et après avoir également effectué le passage d'un nombre fractionnaire à une fraction impropre, du produit original nous arriverons au produit de fractions ordinaires avec différents signes de la forme . Ce produit est égal à la règle de multiplication des nombres de signes différents. Il ne reste plus qu'à multiplier les fractions ordinaires entre parenthèses, on a 
.
.
Séparément, il convient de mentionner la multiplication de nombres avec des signes différents, lorsqu'un ou les deux facteurs sont
Maintenant, parlons de multiplication et division.
Disons que nous devons multiplier +3 par -4. Comment faire cela ?
Considérons un tel cas. Trois personnes sont endettées et chacune a une dette de 4 $. Quelle est la dette totale ? Pour le trouver, vous devez additionner les trois dettes : 4 dollars + 4 dollars + 4 dollars = 12 dollars. Nous avons décidé que l'addition de trois nombres 4 est notée 3x4. Puisque dans ce cas nous parlons de dette, il y a un signe « - » avant le 4. Nous savons que la dette totale est de 12 $, donc notre problème devient maintenant 3x(-4)=-12.
Nous obtiendrons le même résultat si, selon le problème, chacune des quatre personnes a une dette de 3 $. En d'autres termes, (+4)x(-3)=-12. Et comme l’ordre des facteurs n’a pas d’importance, on obtient (-4)x(+3)=-12 et (+4)x(-3)=-12.
Résumons les résultats. Lorsque vous multipliez un nombre positif et un nombre négatif, le résultat sera toujours un nombre négatif. La valeur numérique de la réponse sera la même que dans le cas de nombres positifs. Produit (+4)x(+3)=+12. La présence du signe « - » n'affecte que le signe, mais n'affecte pas la valeur numérique.
Comment multiplier deux nombres négatifs ?
Malheureusement, il est très difficile de trouver un exemple concret et approprié sur ce sujet. Il est facile d’imaginer une dette de 3 ou 4 dollars, mais il est absolument impossible d’imaginer -4 ou -3 personnes s’endetter.
Peut-être que nous emprunterons une voie différente. En multiplication, lorsque le signe d'un des facteurs change, le signe du produit change. Si nous changeons les signes des deux facteurs, nous devons changer deux fois marque de travail, d'abord du positif au négatif, puis vice versa, du négatif au positif, c'est-à-dire que le produit aura un signe initial.
Il est donc assez logique, quoique un peu étrange, que (-3) x (-4) = +12.
Position du signe une fois multiplié, cela change comme ceci :
- nombre positif x nombre positif = nombre positif ;
- nombre négatif x nombre positif = nombre négatif ;
- nombre positif x nombre négatif = nombre négatif ;
- nombre négatif x nombre négatif = nombre positif.
Autrement dit, en multipliant deux nombres de mêmes signes, on obtient un nombre positif. En multipliant deux nombres de signes différents, on obtient un nombre négatif.
La même règle est vraie pour l'action opposée à la multiplication - pour.
Vous pouvez facilement le vérifier en exécutant opérations de multiplication inverse. Dans chacun des exemples ci-dessus, si vous multipliez le quotient par le diviseur, vous obtiendrez le dividende et vous assurerez qu'il a le même signe, par exemple (-3)x(-4)=(+12).
Puisque l’hiver approche, il est temps de réfléchir à quoi changer les fers de votre cheval de fer pour ne pas glisser sur la glace et se sentir en confiance sur les routes hivernales. Vous pouvez par exemple acheter des pneus Yokohama sur le site : mvo.ru ou quelques autres, l'essentiel est qu'ils soient de haute qualité, vous pouvez trouver plus d'informations et de prix sur le site Mvo.ru.
Cet article fournit un aperçu détaillé diviser des nombres avec des signes différents. Tout d'abord, la règle pour diviser les nombres avec des signes différents est donnée. Vous trouverez ci-dessous des exemples de division de nombres positifs par des nombres négatifs et négatifs par des nombres positifs.
Navigation dans les pages.
Règle pour diviser les nombres avec des signes différents
Dans la division d'articles d'entiers, une règle pour diviser des entiers de signes différents a été obtenue. Il peut être étendu à la fois aux nombres rationnels et aux nombres réels en répétant tout le raisonnement de l’article ci-dessus.
Donc, règle pour diviser les nombres avec des signes différents a la formulation suivante : pour diviser un nombre positif par un nombre négatif ou un nombre négatif par un positif, il faut diviser le dividende par le module du diviseur, et mettre un signe moins devant le nombre obtenu.
Écrivons cette règle de division en utilisant des lettres. Si les nombres a et b ont des signes différents, alors la formule est valable une:b=−|une|:|b| .
D'après la règle énoncée, il ressort clairement que le résultat de la division de nombres avec des signes différents est un nombre négatif. En effet, puisque le module du dividende et le module du diviseur sont des nombres positifs, leur quotient est un nombre positif, et le signe moins rend ce nombre négatif.
A noter que la règle considérée réduit la division des nombres de signes différents à la division des nombres positifs.
Vous pouvez donner une autre formulation de la règle de division des nombres de signes différents : pour diviser le nombre a par le nombre b, il faut multiplier le nombre a par le nombre b −1, l'inverse du nombre b. C'est, une:b=une b −1 .
Cette règle peut être utilisée lorsqu'il est possible d'aller au-delà de l'ensemble des entiers (puisque tous les entiers n'ont pas d'inverse). En d’autres termes, cela s’applique aussi bien à l’ensemble des nombres rationnels qu’à l’ensemble des nombres réels.
Force est de constater que cette règle de division des nombres de signes différents permet de passer de la division à la multiplication.
La même règle est utilisée pour diviser des nombres négatifs.
Il reste à considérer comment cette règle de division des nombres avec des signes différents est appliquée lors de la résolution d'exemples.
Exemples de division de nombres avec des signes différents
Considérons des solutions à plusieurs caractéristiques exemples de division de nombres avec des signes différents comprendre le principe d’application des règles du paragraphe précédent.
Divisez le nombre négatif −35 par le nombre positif 7.
La règle de division des nombres avec des signes différents prescrit de trouver d'abord les modules du dividende et du diviseur. Le module de −35 est 35 et le module de 7 est 7. Nous devons maintenant diviser le module du dividende par le module du diviseur, c'est-à-dire que nous devons diviser 35 par 7. En nous rappelant comment s'effectue la division des nombres naturels, nous obtenons 35:7=5. La dernière étape restante dans la règle de division des nombres avec des signes différents est de mettre un moins devant le nombre obtenu, nous avons −5.
Voici la solution complète : .
Il était possible de partir d'une formulation différente de la règle de division des nombres par des signes différents. Dans ce cas, on trouve d'abord l'inverse du diviseur 7. Ce nombre est la fraction commune 1/7. Ainsi, . Il reste à multiplier des nombres de signes différents : . Évidemment, nous sommes arrivés au même résultat.
(−35):7=−5 .
Calculez le quotient 8:(−60) .
D'après la règle de division des nombres de signes différents, on a 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60)
. L'expression résultante correspond à une fraction ordinaire négative (voir le signe de division sous forme de barre de fraction), vous pouvez réduire la fraction par 4, on obtient 
.
Écrivons brièvement toute la solution : .
.
Lors de la division de nombres rationnels fractionnaires avec des signes différents, leur dividende et leur diviseur sont généralement représentés sous forme de fractions ordinaires. Cela est dû au fait qu'il n'est pas toujours pratique d'effectuer une division avec des nombres dans une autre notation (par exemple en décimal).
Le module du dividende est égal et le module du diviseur est 0,(23) . Pour diviser le module du dividende par le module du diviseur, passons aux fractions ordinaires.
Tâche 1. Un point se déplace en ligne droite de gauche à droite à une vitesse de 4 dm. par seconde et passe actuellement par le point A. Où sera le point en mouvement après 5 secondes ?
Il n'est pas difficile de comprendre que le point sera à 20 dm. à droite de A. Écrivons la solution à ce problème en utilisant des nombres relatifs. Pour ce faire, nous nous accordons sur les symboles suivants :
1) la vitesse à droite sera désignée par le signe +, et à gauche par le signe –, 2) la distance du point mobile de A vers la droite sera désignée par le signe + et à gauche par le signe –, 3) la période de temps après l'instant présent par le signe + et avant l'instant présent par le signe –. Dans notre problème, les nombres suivants sont donnés : vitesse = + 4 dm. par seconde, temps = + 5 secondes et il s'est avéré, comme nous l'avons compris arithmétiquement, le nombre + 20 dm., exprimant la distance du point en mouvement de A après 5 secondes. D’après la signification du problème, nous voyons qu’il concerne la multiplication. Par conséquent, il est pratique d’écrire la solution au problème :
(+ 4) ∙ (+ 5) = + 20.
Tâche 2. Un point se déplace en ligne droite de gauche à droite à une vitesse de 4 dm. par seconde et passe actuellement par le point A. Où était ce point il y a 5 secondes ?
La réponse est claire : le point était à gauche de A à une distance de 20 dm.
La solution est pratique, selon les conditions concernant les signes, et, en gardant à l'esprit que le sens du problème n'a pas changé, écrivez-la ainsi :
(+ 4) ∙ (– 5) = – 20.
Tâche 3. Un point se déplace en ligne droite de droite à gauche à une vitesse de 4 dm. par seconde et passe actuellement par le point A. Où sera le point en mouvement après 5 secondes ?
La réponse est claire : 20 dm. à gauche de A. Ainsi, selon les mêmes conditions concernant les signes, on peut écrire la solution de ce problème comme suit :
(– 4) ∙ (+ 5) = – 20.
Tâche 4. Le point se déplace en ligne droite de droite à gauche à une vitesse de 4 dm. par seconde et passe actuellement par le point A. Où se trouvait le point en mouvement il y a 5 secondes ?
La réponse est claire : à une distance de 20 dm. à droite de A. Par conséquent, la solution à ce problème doit s’écrire comme suit :
(– 4) ∙ (– 5) = + 20.
Les problèmes considérés indiquent comment l'action de multiplication doit être étendue aux nombres relatifs. Dans les problèmes nous avons 4 cas de multiplication de nombres avec toutes les combinaisons possibles de signes :
1) (+ 4) ∙ (+ 5) = + 20;
2) (+ 4) ∙ (– 5) = – 20;
3) (– 4) ∙ (+ 5) = – 20;
4) (– 4) ∙ (– 5) = + 20.
Dans les quatre cas, les valeurs absolues de ces nombres doivent être multipliées ; le produit doit avoir un signe + lorsque les facteurs ont les mêmes signes (1er et 4ème cas) et signe –, lorsque les facteurs ont des signes différents(cas 2 et 3).
De là, nous voyons que le produit ne change pas en réorganisant le multiplicande et le multiplicateur.
Exercices.
Faisons un exemple de calcul impliquant une addition, une soustraction et une multiplication.
Afin de ne pas confondre l'ordre des actions, faisons attention à la formule
Ici est écrite la somme des produits de deux paires de nombres : il faut donc d'abord multiplier le nombre a par le nombre b, puis multiplier le nombre c par le nombre d et enfin additionner les produits obtenus. Également dans l'équation.
Vous devez d’abord multiplier le nombre b par c, puis soustraire le produit obtenu de a.
S'il fallait additionner le produit des nombres a et b par c et multiplier la somme résultante par d, alors il faudrait écrire : (ab + c)d (à comparer avec la formule ab + cd).
Si nous devions multiplier la différence entre les nombres a et b par c, nous écririons (a – b)c (à comparer avec la formule a – bc).
Par conséquent, établissons en général que si l'ordre des actions n'est pas indiqué par des parenthèses, nous devons alors d'abord effectuer une multiplication, puis ajouter ou soustraire.
Commençons par calculer notre expression : effectuons d'abord les additions écrites entre toutes les petites parenthèses, nous obtenons :
Nous devons maintenant effectuer la multiplication entre crochets, puis soustraire le produit résultant de :
Effectuons maintenant les actions à l'intérieur des parenthèses torsadées : d'abord la multiplication puis la soustraction :
Il ne reste plus qu'à effectuer la multiplication et la soustraction :
16. Produit de plusieurs facteurs. Qu'il soit nécessaire de trouver
(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5).
Ici, vous devez multiplier le premier nombre par le second, le produit obtenu par le 3ème, etc. Il n'est pas difficile d'établir sur la base du précédent que les valeurs absolues de tous les nombres doivent être multipliées entre elles.
Si tous les facteurs étaient positifs, alors sur la base du précédent, nous constaterons que le produit doit également avoir un signe +. Si un facteur était négatif
par exemple, (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) ∙ (–1) ∙ (+5) ∙ (+6),
alors le produit de tous les facteurs qui le précèdent donnerait un signe + (dans notre exemple (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) = +24, en multipliant le produit résultant par un nombre négatif (dans notre exemple + 24 multiplié par –1) le nouveau produit aurait un signe – ; en le multipliant par le prochain facteur positif (dans notre exemple –24 par +5), nous obtenons à nouveau un nombre négatif puisque tous les autres facteurs sont supposés positifs, le signe du produit ne peut plus changer.
S'il y avait deux facteurs négatifs, alors, en raisonnant comme ci-dessus, nous constaterions qu'au début, jusqu'à ce que nous atteignions le premier facteur négatif, le produit serait positif ; en le multipliant par le premier facteur négatif, le nouveau produit se révélerait positif ; être négatif, et il le resterait jusqu'à ce que nous atteignions le deuxième facteur négatif ; Ensuite, en multipliant un nombre négatif par un nombre négatif, le nouveau produit serait positif, ce qui le restera dans le futur si les facteurs restants sont positifs.
S'il y avait un troisième facteur négatif, alors le produit positif résultant de sa multiplication par ce troisième facteur négatif deviendrait négatif ; elle le resterait si les autres facteurs étaient tous positifs. Mais s’il existe un quatrième facteur négatif, alors multiplier par celui-ci rendra le produit positif. En raisonnant de la même manière, on constate qu’en général :
Pour connaître le signe du produit de plusieurs facteurs, il faut regarder combien de ces facteurs sont négatifs : s'il n'y en a pas du tout, ou s'il y en a un nombre pair, alors le produit est positif s'il y en a un ; nombre impair de facteurs négatifs, alors le produit est négatif.
Alors maintenant, nous pouvons facilement découvrir que
(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5) = +4200.
(+3) ∙ (–2) ∙ (+7) ∙ (+3) ∙ (–5) ∙ (–1) = –630.
Or, il est facile de voir que le signe du produit, ainsi que sa valeur absolue, ne dépendent pas de l'ordre des facteurs.
Il est pratique, lorsqu’il s’agit de nombres fractionnaires, de trouver immédiatement le produit :
C’est pratique car vous n’avez pas à faire de multiplications inutiles, puisque l’expression fractionnaire obtenue précédemment est réduite autant que possible.
Dans cet article, nous formulerons la règle de multiplication des nombres négatifs et en donnerons une explication. Le processus de multiplication de nombres négatifs sera discuté en détail. Les exemples montrent tous les cas possibles.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Multiplier des nombres négatifs
Définition 1Règle pour multiplier les nombres négatifs est que pour multiplier deux nombres négatifs, il faut multiplier leurs modules. Cette règle s'écrit comme suit : pour tout nombre négatif – a, - b, cette égalité est considérée comme vraie.
(- une) · (- b) = une · b.
Ci-dessus se trouve la règle pour multiplier deux nombres négatifs. Sur cette base, nous prouvons l'expression : (- a) · (- b) = a · b. L'article multipliant les nombres par des signes différents dit que les égalités a · (- b) = - a · b sont valides, tout comme (- a) · b = - a · b. Cela découle de la propriété des nombres opposés, grâce à laquelle les égalités s'écriront comme suit :
(- une) · (- b) = (- une · (- b)) = - (- (une · b)) = une · b.
Ici, vous pouvez clairement voir la preuve de la règle de multiplication des nombres négatifs. D’après les exemples, il est clair que le produit de deux nombres négatifs est un nombre positif. En multipliant des modules de nombres, le résultat est toujours un nombre positif.
Cette règle s'applique à la multiplication de nombres réels, de nombres rationnels et d'entiers.
Examinons maintenant en détail des exemples de multiplication de deux nombres négatifs. Lors du calcul, vous devez utiliser la règle écrite ci-dessus.
Exemple 1
Multipliez les nombres - 3 et - 5.
Solution.
La valeur absolue des deux nombres multipliés est égale aux nombres positifs 3 et 5. Leur produit donne 15. Il s’ensuit que le produit des nombres donnés est 15
Écrivons brièvement la multiplication des nombres négatifs elle-même :
(- 3) · (- 5) = 3 · 5 = 15
Réponse : (- 3) · (- 5) = 15.
Lors de la multiplication de nombres rationnels négatifs, en utilisant la règle discutée, vous pouvez vous mobiliser pour multiplier des fractions, multiplier des nombres fractionnaires, multiplier des décimales.
Exemple 2
Calculez le produit (- 0 , 125) · (- 6) .
Solution.
En utilisant la règle de multiplication des nombres négatifs, on obtient que (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6. Pour obtenir le résultat, vous devez multiplier la fraction décimale par le nombre naturel de colonnes. Cela ressemble à ceci :
Nous avons constaté que l'expression prendra la forme (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6 = 0, 75.
Réponse : (− 0, 125) · (− 6) = 0, 75.
Dans le cas où les facteurs sont des nombres irrationnels, alors leur produit peut être écrit sous forme d'expression numérique. La valeur est calculée uniquement lorsque cela est nécessaire.
Exemple 3
Il faut multiplier le négatif - 2 par le log non négatif 5 1 3.
Solution
Trouver les modules des nombres donnés :
2 = 2 et log 5 1 3 = - log 5 3 = log 5 3 .
En suivant les règles de multiplication des nombres négatifs, nous obtenons le résultat - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 . Cette expression est la réponse.
Répondre: - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 .
Pour continuer à étudier le sujet, vous devez répéter la section sur la multiplication des nombres réels.
Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez la surligner et appuyer sur Ctrl+Entrée
