3. C'est ainsi que les blondes résolvent les équations !

Cette inscription, que j'ai faite il y a quelques années, est probablement la preuve la plus courte que... 2 = 3. Placez un miroir dessus (ou regardez-le à travers la lumière), et vous verrez comment « deux » tours en "trois" "

Autre formule insolite :

onze + deux = douze + un.

Il s'avère qu'en anglais l'égalité 11 + 2 = 12 + 1 est vraie, même si elle est écrite en mots - la « somme » des lettres à gauche et à droite est la même ! Cela signifie que le côté droit de cette égalité est une anagramme du côté gauche, c'est-à-dire qu'il en est obtenu en réarrangeant les lettres.

Des égalités littérales similaires, bien que moins intéressantes, peuvent être obtenues en russe :

quinze + six = seize + cinq.

De 1960 à 1970, la principale boisson nationale, appelée « Vodka spéciale de Moscou », coûtait : un demi-litre 2,87 et un quart de litre 1,49. Ces chiffres étaient probablement connus de la quasi-totalité de la population adulte de l’URSS. Les mathématiciens soviétiques ont remarqué que si le prix d'un demi-litre est élevé à une puissance égale au prix d'un quart, on obtient le nombre « Pi » :

1,49 2,87 ??

(Rapporté par B. S. Gorobets).

Après la publication de la première édition du livre, le professeur agrégé de la Faculté de chimie de l'Université d'État de Moscou Leenzon I. A. m'a envoyé le commentaire intéressant suivant sur cette formule : « ... il y a de nombreuses années, quand il n'y avait pas de calculatrices, et à au département de physique, nous avons passé un test difficile sur une règle à calcul (!) (combien de fois faut-il déplacer la règle mobile à gauche et à droite ?), moi, avec l'aide des tables les plus précises de mon père (il était géomètre, il a rêvé toute sa vie d'un examen de géodésie supérieure), a découvert que quarante-neuf roupies puissance deux quatre-vingt-sept équivaut à 3 1408. Cela ne m'a pas satisfait. Notre Comité du Plan d'État soviétique n'aurait pas pu agir avec autant de brutalité. Les consultations avec le ministère du Commerce à Kirovskaya ont montré que tous les calculs de prix à l'échelle nationale étaient effectués avec une précision au centième de centime. Mais ils ont refusé de me donner les chiffres exacts, invoquant le secret (cela m'a alors surpris - quel genre de secret peut-il y avoir en dixièmes et centièmes de centime). Au début des années 1990, j'ai réussi à obtenir des archives des chiffres exacts sur le prix de la vodka, qui avait alors été déclassifié par un décret spécial. Et voici ce que cela s'est avéré être : quart : 1 rouble 49,09 kopecks. En vente - 1,49 roubles. Demi-litre : 2 roubles 86,63 kopecks. En vente - 2,87 roubles. A l'aide d'une calculatrice, j'ai facilement découvert que dans ce cas, un quart à la puissance un demi-litre donne (après arrondi à 5 chiffres significatifs) exactement 3,1416 ! On ne peut qu’être étonné par les capacités mathématiques des travailleurs du Comité de planification de l’État soviétique, qui (je n’en doute pas une seule seconde) ont précisément ajusté le coût estimé de la boisson la plus populaire à un résultat connu auparavant.

Quel mathématicien, célèbre de l'école, est crypté dans ce rébus ?

Un mathématicien, un physicien et un ingénieur ont été confrontés au problème suivant : « Un garçon et une fille se tiennent debout sur les murs opposés de la salle. À un moment donné, ils commencent à marcher l’un vers l’autre et parcourent la moitié de la distance qui les sépare toutes les dix secondes. La question est : combien de temps leur faudra-t-il pour se rejoindre ?

Le mathématicien répondit sans hésiter :

Jamais.

Le physicien, après avoir réfléchi un peu, dit :

À travers un temps infini.

L'ingénieur, après de longs calculs, publia :

Après environ deux minutes, ils seront suffisamment proches pour toutes fins pratiques.

La formule piquante suivante, attribuée à Landau, grand amateur de la gent féminine, a été portée à ma connaissance par le célèbre professeur Landauved Gorobets.

Comme nous l'a dit le professeur agrégé du MSUIE A.I. Zyulkov, il a entendu dire que Landau avait dérivé la formule suivante pour un indicateur de l'attractivité féminine :

Où K- tour de poitrine ; M.- sur les hanches ; N- autour de la taille, T- la hauteur, le tout en cm ; P.- poids en kg.

Donc, si nous prenons les paramètres du modèle (années 1960) approximativement : 80-80-60-170-60 (dans la séquence de valeurs ci-dessus), alors selon la formule, nous obtenons 5. Si nous prenons les paramètres du " anti-modèle », par exemple : 120 -120-120-170-60, on obtient alors 2. C'est dans cette gamme de niveaux scolaires que, grosso modo, la « formule Landau » fonctionne.

(Cité du livre : Gorobets B. Cercle de Landau. La vie d'un génie. M. : Maison d'édition LKI/URSS, 2008.)

Un autre argument scientifique sur l'attractivité féminine attribué à Dau.

Déterminons l'attractivité d'une femme en fonction de la distance qui la sépare. Lorsque l'argument est infini, cette fonction devient nulle. En revanche, au point zéro, il est également nul (on parle d'attractivité externe, pas d'attractivité tactile). Selon le théorème de Lagrange, une fonction continue non négative qui prend des valeurs nulles aux extrémités d'un segment a un maximum sur ce segment. Ainsi:

1. Il existe une distance à laquelle une femme est la plus attirante.

2. Cette distance est différente pour chaque femme.

3. Vous devez garder vos distances avec les femmes.

Théorème: Tous les chevaux sont de la même couleur.

Preuve. Prouvons l'énoncé du théorème par induction.

À n= 1, c'est-à-dire que pour un ensemble composé d'un cheval, l'affirmation est évidemment vraie.

Que le théorème soit vrai pour n = k. Montrons que c'est également vrai pour n = k+ 1. Pour ce faire, considérons un ensemble arbitraire de k+ 1 chevaux. Si vous en retirez un cheval, il n'y aura alors que k. Par l’hypothèse d’induction, ils sont tous de la même couleur. Maintenant, remettons le cheval retiré à sa place et prenons-en un autre. Encore une fois, par l'hypothèse inductive, ces k les chevaux restants sont de la même couleur. Mais alors c'est tout k+ 1 chevaux seront de la même couleur.

Ainsi, selon le principe d’induction mathématique, tous les chevaux sont de la même couleur. Le théorème est prouvé.

Encore une merveilleuse illustration de l’application des méthodes mathématiques à la zoologie.

Théorème: Le crocodile est plus long que large.

Preuve. Prenons un crocodile arbitraire et démontrons deux lemmes auxiliaires.

Lemme 1 : Le crocodile est plus long que le vert.

Preuve. Regardons le crocodile d'en haut : il est long et vert. Regardons le crocodile d'en bas : il est long, mais pas si vert (il est en fait gris foncé).

Le lemme 1 est donc prouvé.

Lemme 2 : Le crocodile est plus vert que le large.

Preuve. Regardons à nouveau le crocodile d'en haut. C'est vert et large. Regardons le crocodile de côté : il est vert, mais pas large. Cela prouve le lemme 2.

L’énoncé du théorème découle évidemment des lemmes prouvés.

Le théorème inverse (« Un crocodile est plus large que long ») peut être prouvé de la même manière.

À première vue, il résulte des deux théorèmes que le crocodile est carré. Cependant, comme les inégalités dans leurs formulations sont strictes, un vrai mathématicien tirera la seule conclusion correcte : LES CROCODILES N'EXISTENT PAS !

Théorème: Tous les nombres naturels sont égaux les uns aux autres.

Preuve. Il faut prouver que pour deux nombres naturels quelconques UN Et B l'égalité est satisfaite UN = B. Reformulons-le ainsi : pour tout N> 0 et n'importe lequel UN Et B, satisfaisant l'égalité max( UN, B) = N, l'égalité doit également être satisfaite UN = B.

Prouvons cela par induction. Si N= 1, alors UN Et B, étant naturel, les deux sont égaux à 1. Par conséquent UN = B.

Supposons maintenant que la déclaration ait été prouvée pour une certaine valeur k. Prenons UN Et B tel que max( UN, B) = k+ 1. Alors max( UN–1, B–1) = k. Par l'hypothèse d'induction, il s'ensuit que ( UN–1) = (B–1). Moyens, UN = B.

Les amateurs d'énigmes linguistiques et mathématiques connaissent probablement les mots, expressions et chiffres réflexifs ou auto-descriptifs (ne pensez rien de mal), autoréférentiels. Ce dernier comprend par exemple le nombre 2100010006, dans lequel le premier chiffre est égal au nombre de un dans l'enregistrement de ce nombre, le deuxième - le nombre de deux, le troisième - le nombre de trois, ..., le dixième - le nombre de zéros.

Les mots auto-descriptifs incluent, disons, le mot vingt et une lettres, inventé par moi il y a plusieurs années. Il contient en fait 21 lettres !

Il existe un grand nombre d’expressions auto-descriptives connues. L'un des premiers exemples en russe a été inventé il y a de nombreuses années par le célèbre caricaturiste et esprit verbal Vagrich Bakhchanyan : Il y a trente-deux lettres dans cette phrase. En voici quelques autres, inventés bien plus tard : 1. Dix-sept lettres. 2. Cette phrase a une erreur à la fin. 3. Cette phrase ferait sept mots si elle était plus courte de sept mots.. 4. Vous êtes sous mon contrôle car vous me lirez jusqu'à ce que vous ayez fini de lire. 5. ...Cette phrase commence et se termine par trois points..

Il existe également des conceptions plus complexes. Admirez par exemple ce monstre (voir la note de S. Tabachnikov « Le prêtre avait un chien » dans la revue « Kvant », n°6, 1989) : Dans cette phrase, le mot « dans » apparaît deux fois, le mot « ceci » apparaît deux fois, le mot « phrase » apparaît deux fois, le mot « se produit » apparaît quatorze fois, le mot « mot » apparaît quatorze fois et le mot « raz » apparaît six fois, le mot « raza » apparaît neuf fois, le mot « deux » apparaît sept fois, le mot « quatorze » apparaît trois fois, le mot « trois » apparaît trois fois, le mot « neuf » apparaît deux fois. , le mot « sept » apparaît deux fois, deux Le mot « six » apparaît plusieurs fois.

Un an après la publication dans Kvant, I. Akulich a proposé une phrase auto-descriptive qui décrit non seulement les mots qu'elle contient, mais également les signes de ponctuation : La phrase que vous lisez contient : deux mots « Phrase », deux mots « qui », deux mots « Vous », deux mots « lire », deux mots « contient », vingt-cinq mots « mots », deux mots « mots » , deux mots « deux-points », deux mots « virgules », deux mots « par », deux mots « gauche », deux mots « et », deux mots « droite », deux mots « guillemets », deux mots « a », deux les mots « également », deux mots « point », deux mots « un », deux mots « un », vingt-deux mots « deux », trois mots « trois », deux mots « quatre », trois mots « cinq », quatre mots « vingt », deux mots « trente », un deux-points, trente virgules, vingt-cinq guillemets gauche et droit et un point.

Enfin, quelques années plus tard, dans le même « Kvant », parut une note de A. Khanyan, dans laquelle était donnée une phrase qui décrivait scrupuleusement toutes ses lettres : Dans cette phrase, il y a douze V, deux E, dix-sept T, trois O, deux Y, deux F, sept R, quatorze A, deux 3, douze E, seize D, sept H, sept C, treize B, huit C, six M, cinq I, deux H, deux S, trois I, trois Sh, deux P.

"On sent clairement qu'il manque encore une phrase - une qui parlerait de toutes ses lettres et signes de ponctuation", a écrit I. Akulich, qui a donné naissance à l'un des monstres précédemment cités, dans une lettre privée qui m'a été adressée. Peut-être qu'un de nos lecteurs résoudra ce problème très difficile.

Dans la continuité du sujet précédent, il convient de mentionner les paradoxes réflexifs.

Dans le livre mentionné précédemment de J. Littlewood, « A Mathematical Mixture », il est dit à juste titre que « tous les paradoxes réflexifs sont, bien sûr, d'excellentes plaisanteries ». Il y en a également deux, que je me permettrai de citer :

1. Il doit y avoir des nombres entiers (positifs) qui ne peuvent pas être exprimés en phrases de moins de seize mots. Tout ensemble d'entiers positifs contient le plus petit nombre, et il existe donc un nombre N, "le plus petit nombre entier qui ne peut être exprimé dans une phrase de moins de seize mots". Mais cette phrase contient 15 mots et définit N.

2. Dans un magazine Spectateur un concours a été annoncé sur le thème « Qu'est-ce que vous aimeriez le plus lire lorsque vous ouvrirez votre journal du matin ? » Le premier prix a reçu la réponse :

Le premier prix du deuxième concours de cette année a été décerné à M. Arthur Robinson, dont la réponse pleine d'esprit doit facilement être considérée comme la meilleure. Sa réponse à la question : « Qu’aimeriez-vous le plus lire lorsque vous ouvrez votre journal du matin ? » s'intitulait "Notre deuxième concours", mais en raison des contraintes de papier, nous ne pouvons pas l'imprimer dans son intégralité.

Il y a des phrases tellement étonnantes qui se lisent de la même manière de gauche à droite et de droite à gauche. Tout le monde sait une chose avec certitude : Et la rose tomba sur la patte d'Azor. C'est à elle que la capricieuse Malvina a demandé d'écrire sous la dictée de l'ignorant Pinocchio. De telles expressions réciproques sont appelées palindromes, qui, traduit du grec, signifie « reculer, revenir ». Voici quelques exemples supplémentaires : 1. Sciage de poisson-chat lilliputien sur le pont. 2. Je monte dans la salle de bain. 3. Il s'est couché sur le temple et l'archange est merveilleux et invisible. 4. Sanglier pressé sur aubergine. 5. Muse, blessée par le poinçon de l'expérience, tu prieras pour la raison. (D. Avaliani). 6. Je tiens rarement un mégot de cigarette avec ma main... (B. Goldstein) 7. Quand je sens le lait, je miaule. (G. Loukomnikov). 8. C'est un saule, mais elle est une bûche. (S.F.)

Je me demande s'il existe des palindromes en mathématiques ? Pour répondre à cette question, essayons de transférer l'idée de lecture réciproque et symétrique aux nombres et aux formules. Il s'avère que ce n'est pas si difficile. Regardons quelques exemples typiques de ces mathématiques palindromiques : palindromatique. Laissant de côté les nombres palindromiques - par exemple, 1991 , 666 etc. - passons immédiatement aux formules symétriques.

Essayons d'abord de résoudre le problème suivant : trouver toutes les paires de ces nombres à deux chiffres

(x 1 - premier chiffre, oui 1 - deuxième chiffre) et

afin que le résultat de leur addition ne change pas suite à la lecture de la somme de droite à gauche, c'est-à-dire

Par exemple, 42 + 35 = 53 + 24.

Le problème peut être résolu de manière triviale : la somme des premiers chiffres de toutes ces paires de nombres est égale à la somme de leurs deuxièmes chiffres. Vous pouvez désormais facilement créer des exemples similaires : 76 + 34 = 43 + 67, 25 + 63 = 36 + 52 et ainsi de suite.

En raisonnant de la même manière, on peut facilement résoudre le même problème pour d’autres opérations arithmétiques.

En cas de différence, c'est à dire

les exemples suivants sont obtenus : 41 – 32 = 23 –14, 46 – 28 = 82 – 64, ... - les sommes des chiffres de ces nombres sont égales ( x 1 + oui 1 =x 2 + oui 2 ).

Dans le cas de la multiplication on a : 63 48 = 84 36, 82 14 = 41 28, ... - dans ce cas le produit des premiers chiffres des nombres N 1 Et N 2 égal au produit de leurs deuxièmes chiffres ( x 1 x 2 = oui 1 oui 2 ).

Enfin, pour la division, nous obtenons les exemples suivants :

Dans ce cas, le produit du premier chiffre du nombre N 1 au deuxième chiffre du numéro N 2 égal au produit de leurs deux autres chiffres, c'est-à-dire x 1 oui 2 =x 2 oui 1 .

La preuve du « théorème » suivant, apparu à l'époque du « socialisme sous-développé », est basée sur les thèses populaires de ces années-là concernant le rôle du Parti communiste.

Théorème. Le rôle du parti est négatif.

Preuve. Il est bien connu que :

1. Le rôle du parti ne cesse de croître.

2. Sous le communisme, dans une société sans classes, le rôle du parti sera nul.

Ainsi, nous avons une fonction continuellement croissante tendant vers 0. Elle est donc négative. Le théorème est prouvé.

Malgré l’apparente absurdité du problème suivant, il existe néanmoins une solution tout à fait rigoureuse.

Tâche. Maman a 21 ans de plus que son fils. Dans six ans, elle aura cinq fois son âge. La question est : OÙ EST PAPA ?!

Solution. Laisser X- l'âge du fils, et Oui- l'âge de la mère. Ensuite, la condition du problème s’écrit sous la forme d’un système de deux équations simples :

Remplacement Oui = X+ 21 dans la deuxième équation, on obtient 5 X + 30 = X+ 21 + 6, d'où X= –3/4. Ainsi, maintenant le fils a moins 3/4 ans, c'est-à-dire moins 9 mois. Cela signifie que papa est actuellement au dessus de maman !

L’expression ironique « Si vous êtes si intelligent, alors pourquoi êtes-vous si pauvre ? » est bien connue et, hélas, s’applique à beaucoup de gens. Il s’avère que ce triste phénomène a une justification mathématique stricte, fondée sur des vérités tout aussi incontestables.

A savoir, commençons par deux postulats bien connus :

Postulat 1 : Connaissance = Pouvoir.

Postulat 2 : Temps = Argent.

De plus, tout écolier sait que

Chemin s = Vitesse x Temps = Travail : Force,

Travail : Temps = Force x Vitesse (*)

En substituant les valeurs de « temps » et de « force » des deux postulats dans (*), nous obtenons :

Travail : (Connaissance x Vitesse) = Argent (**)

De l'égalité résultante (**), il est clair qu'en dirigeant la « connaissance » ou la « vitesse » vers zéro, nous pouvons obtenir autant d'argent que nous le souhaitons pour n'importe quel « travail ».

D'où la conclusion : plus une personne est stupide et paresseuse, plus elle peut gagner d'argent.

Il y a quelques années, le magazine « Science et Vie » (n° 1, 2000) a publié une note du professeur B. Gorobets, qui a suscité un grand intérêt parmi les lecteurs, consacrée au merveilleux jeu de réflexion inventé par l'académicien Landau pour éviter l'ennui en voyage. dans la voiture. Il invitait souvent ses compagnons à jouer à ce jeu, dans lequel les plaques d'immatriculation des voitures qui passaient servaient de capteur de nombres aléatoires (à cette époque ces chiffres étaient constitués de deux lettres et de deux paires de chiffres). L'essence du jeu était d'utiliser des signes d'opérations arithmétiques et des symboles de fonctions élémentaires (c'est-à-dire +, –, x, :, v, sin, cos, arcsin, arctg, lg, etc.) avec une seule et même signification que celles-ci. deux numéros à deux chiffres du numéro de la voiture qui passe. Dans ce cas, il est permis d'utiliser factorielle ( n! = 1 x 2 x ... x n), mais l'utilisation de sécante, cosécante et différenciation n'est pas autorisée.

Par exemple, pour le couple 75-33, l'égalité souhaitée est obtenue comme suit :

et pour la paire 00-38 - comme ceci :

Cependant, tous les problèmes ne sont pas résolus aussi simplement. Certains d’entre eux (par exemple 75 à 65) dépassaient les capacités de l’auteur du jeu, Landau. Par conséquent, la question se pose d'une approche universelle, d'une formule unique qui vous permet de « résoudre » n'importe quelle paire de nombres. La même question a été posée par Landau et son étudiant Prof. Kaganov. C’est notamment ce qu’il écrit : « Est-il toujours possible de faire l’égalité à partir d’une plaque d’immatriculation ? - J'ai demandé à Landau. «Non», répondit-il de manière très catégorique. - "Avez-vous prouvé le théorème de la non-existence d'une solution ?" - J'ai été surpris. "Non", a déclaré Lev Davidovitch avec conviction, "mais je n'ai pas réussi dans tous les chiffres."

Cependant, de telles solutions ont été trouvées, notamment du vivant de Landau lui-même.

Le mathématicien de Kharkov Yu. Palant a proposé une formule pour égaliser des paires de nombres.

permettant, suite à une utilisation répétée, d'exprimer n'importe quel nombre par un nombre plus petit. "J'ai apporté la preuve de Landau", écrit Kaganov à propos de cette décision. - "Il l'a vraiment aimé... et nous avons discuté, mi-plaisantant, mi-sérieux, de l'opportunité de le publier dans une revue scientifique."

Cependant, la formule de Palant utilise la sécante désormais « interdite » (elle n’est plus inscrite dans les programmes scolaires depuis plus de 20 ans), et ne peut donc pas être considérée comme satisfaisante. Cependant, j'ai pu facilement résoudre ce problème en utilisant une formule modifiée

La formule résultante (encore une fois, si nécessaire, elle doit être appliquée plusieurs fois) permet d'exprimer n'importe quel nombre en termes de n'importe quel grand nombre sans utiliser d'autres nombres, ce qui épuise évidemment le problème de Landau.

1. Qu'il n'y ait pas de zéros parmi les nombres. Faisons-en deux nombres ab Et CD, (ce ne sont bien sûr pas des œuvres). Montrons que lorsque n ? 6:

péché[( ab)!]° = péché[( CD)!]° = 0.

En effet, le péché( n!)° = 0 si n? 6, puisque sin(6!)° = sin720° = sin(2 x 360°) = 0. Alors toute factorielle s'obtient en multipliant 6 ! aux entiers suivants : 7 ! = 6 ! x7,8 ! = 6 ! x 7 x 8, etc., donnant un multiple de 360° dans l'argument du sinus, le rendant (ainsi que la tangente) égal à zéro.

2. Supposons qu'il y ait un zéro dans une paire de nombres. Nous le multiplions par le chiffre adjacent et l'assimilons au sinus de la factorielle en degrés tirés du nombre dans une autre partie du nombre.

3. Qu'il y ait des zéros des deux côtés du nombre. Lorsqu'ils sont multipliés par des chiffres adjacents, ils donnent l'égalité triviale 0 = 0.

La division de la solution générale en trois points avec multiplication par zéro aux points 2 et 3 est due au fait que sin( n!)° ? 0 si n < 6».

Bien entendu, de telles solutions générales privent la pièce de Landau de son charme originel, qui ne représente qu'un intérêt abstrait. Essayez donc de jouer avec des nombres individuels difficiles sans utiliser de formules universelles. En voici quelques-uns : 59-58 ; 47-73 ; 47-97 ; 27-37 ; 00-26.

En savoir plus sur les déterminants.

On m'a dit qu'à une certaine époque, le jeu du « déterminant » pour l'argent était populaire parmi les étudiants de première année de la Faculté de mécanique et de mathématiques. Deux joueurs dessinent un identifiant 3 x 3 sur du papier avec des cellules vides. Ensuite, un par un, les nombres de 1 à 9 sont insérés dans les cellules vides. Lorsque toutes les cellules sont remplies, le déterminant est calculé - la réponse, en tenant compte du signe, est la victoire (ou la perte) du premier joueur. , exprimé en roubles. Autrement dit, si, par exemple, le nombre s'avère être -23, alors le premier joueur paie le deuxième 23 roubles, et si, disons, 34, alors, au contraire, le deuxième joueur paie les 34 premiers roubles.

Bien que les règles du jeu soient aussi simples qu’un navet, il est très difficile de trouver la bonne stratégie gagnante.

Cette note m'a été envoyée par le mathématicien et écrivain A. Zhukov, auteur du merveilleux livre « Le nombre omniprésent Pi ».

Le professeur Boris Solomonovitch Gorobets, qui enseigne les mathématiques dans deux universités de Moscou, a écrit un livre sur le grand physicien Lev Davidovitch Landau (1908-1968) – « Le cercle de Landau ». Voici une histoire intéressante qu'il nous a racontée sur l'un des problèmes d'introduction à la physique et à la technologie.

Il se trouve que le collègue de Landau et co-auteur du cours en dix volumes sur la physique théorique, l'académicien Evgeniy Mikhailovich Lifshitz (1915-1985), a aidé en 1959 Bora Gorobets, diplômé de l'école, à se préparer à son admission dans l'une des principales universités de physique de Moscou.

Lors de l'examen écrit de mathématiques à l'Institut de physique et de mathématiques de Moscou, le problème suivant a été proposé : « À la base de la pyramide SABC se trouve un triangle rectangle isocèle ABC, d'angle C = 90° et de côté AB = l. Les faces latérales forment des angles dièdres ?, ?, ? avec le plan de la base. Trouvez le rayon de la balle inscrit dans la pyramide.

Le futur professeur n'a pas fait face à la tâche à ce moment-là, mais s'est souvenu de son état et en a informé plus tard Evgeniy Mikhailovich. Lui, ayant bricolé le problème en présence d'un étudiant, n'a pas pu le résoudre tout de suite et l'a emporté chez lui, et le soir il a appelé et a dit que, ne l'ayant pas résolu dans l'heure, il avait proposé ce problème à Lev Davidovitch.

Landau aimait résoudre des problèmes qui causaient des difficultés aux autres. Bientôt, il rappela Lifshits et, satisfait, dit : « J'ai résolu le problème. Il a fallu exactement une heure pour se décider. J'ai appelé Zeldovich, maintenant c'est lui qui décide. Expliquons-nous : Yakov Borisovich Zeldovich (1914-1987), un scientifique célèbre qui se considérait comme un étudiant de Landau, était à l'époque le physicien théoricien en chef du projet atomique soviétique top-secret (dont, bien sûr, peu de gens connaissaient l'existence). alors). Environ une heure plus tard, E.M. Lifshits a rappelé et a dit : Zeldovich venait de l'appeler et, non sans fierté, lui a dit : « J'ai résolu votre problème. J’ai décidé en quarante minutes !

Combien de temps vous faudra-t-il pour accomplir cette tâche ?

Il y a pas mal de blagues mathématiques dans le recueil plein d'esprit d'humour physique et technologique « Zany Scientific Humour » (Moscou, 2000). En voici juste un.

Une défaillance s'est produite lors du test d'un produit. Quelle est la probabilité de fonctionnement sans panne du produit ?

Théorème. Tous les nombres naturels sont intéressants.

Preuve. Supposons le contraire. Alors il doit y avoir un plus petit nombre naturel sans intérêt. Ha, c'est sacrément intéressant !

1 + 1 = 3 lorsque la valeur de 1 est suffisamment grande.

E = m c 2 = m(une 2 + b 2).

Cette histoire amusante de ma vie d'étudiant pourrait bien être proposée comme problème lors de séminaires de théorie des probabilités.

L'été, mes amis et moi partions en randonnée en montagne. Nous étions quatre : Volodia, deux Oleg et moi. Nous avions une tente et trois sacs de couchage, dont un double pour Volodia et moi. Il y avait un problème avec ces mêmes sacs de couchage, ou plus précisément avec leur emplacement dans la tente. Le fait est qu'il pleuvait, la tente était exiguë, elle fuyait sur les côtés et ce n'était pas très confortable pour ceux qui étaient allongés sur le bord. J'ai donc proposé de résoudre ce problème « honnêtement », en utilisant beaucoup.

Écoute, j'ai dit à Olegs, Volodia et moi pouvons avoir un lit double soit sur le bord, soit au centre. Par conséquent, nous lancerons une pièce de monnaie : si elle tombe « face », notre lit double sera sur le bord, si « face » - au centre.

Les Olegs ont accepté, mais après plusieurs nuits au bord de la tente (il est facile de calculer à l'aide de la formule de probabilité totale que pour Volodia et moi, la probabilité de ne pas dormir au bord de la tente est de 0,75), les Olegs ont soupçonné que quelque chose n'allait pas et proposé de reconsidérer l’accord.

En effet, dis-je, les chances étaient inégales. En effet, pour notre lit double, il y a trois possibilités : sur le bord gauche, à droite et au centre. Par conséquent, chaque soir, nous tirerons l'un des trois bâtons - si nous tirons le plus court, notre double sera au centre.

Les Olegs ont de nouveau accepté, même si cette fois nos chances de passer la nuit loin du bord (maintenant la probabilité est de 0,66, plus précisément des deux tiers) étaient préférables à celles de chacun d'eux. Après deux nuits à la limite (nous avions les meilleures chances et la chance de notre côté), les Oleg se sont à nouveau rendu compte qu'ils avaient été trompés. Mais heureusement, les pluies se sont arrêtées et le problème a disparu de lui-même.

Mais en fait, notre lit double devait toujours être sur le bord, et Volodia et moi utilisions une pièce de monnaie pour déterminer à chaque fois qui avait de la chance. Les Oleg auraient fait de même. Dans ce cas, les chances de dormir au bord du lit seraient les mêmes pour tout le monde et égales à 0,5.

Remarques :

Parfois, une histoire similaire est racontée à propos de Jean Charles François Sturm.

Grand événement

Une fois dans le bulletin du Nouvel An sur la façon de porter des toasts, j'ai mentionné avec désinvolture qu'à la fin du XXe siècle, un grand événement s'est produit, que beaucoup n'ont pas remarqué - le soi-disant Le dernier théorème de Fermat. À ce sujet, parmi les lettres que j'ai reçues, j'ai trouvé deux réponses de filles (l'une d'elles, autant que je me souvienne, était Vika, élève de neuvième année de Zelenograd), qui ont été surprises par ce fait.

Et j'ai été surpris de voir à quel point les filles s'intéressaient aux problèmes des mathématiques modernes. Par conséquent, je pense que non seulement les filles, mais aussi les garçons de tous âges - des lycéens aux retraités, seront également intéressés à apprendre l'histoire du Grand Théorème.

La preuve du théorème de Fermat est un grand événement. Et parce que Il n'est pas habituel de plaisanter avec le mot « grand », mais il me semble que tout locuteur qui se respecte (et nous sommes tous locuteurs lorsque nous parlons) est simplement obligé de connaître l'histoire du théorème.

S’il s’avère que vous n’aimez pas les mathématiques autant que moi, parcourez certains détails. Conscient que tous les lecteurs de notre newsletter ne sont pas intéressés à se promener dans la jungle mathématique, j'ai essayé de ne donner aucune formule (à l'exception de l'équation du théorème de Fermat lui-même) et de simplifier autant que possible la couverture de certaines questions spécifiques.

Comment Fermat a fait des dégâts

L'avocat français et grand mathématicien à temps partiel du XVIIe siècle Pierre Fermat (1601-1665) a avancé une déclaration intéressante dans le domaine de la théorie des nombres, qui est devenue plus tard connue sous le nom de Grand (ou Grand) Théorème de Fermat. C’est l’un des théorèmes mathématiques les plus célèbres et les plus phénoménaux. L'enthousiasme qui l'entoure n'aurait probablement pas été aussi fort si, dans le livre de Diophante d'Alexandrie (IIIe siècle) « L'Arithmétique », que Fermat étudiait souvent en prenant des notes dans ses larges marges, et que son fils Samuel avait aimablement conservé pour la postérité, On n'avait pas découvert approximativement la note suivante du grand mathématicien :

"J'ai des preuves très surprenantes, mais elles sont trop volumineuses pour tenir dans les marges."

C'est cet enregistrement qui a été à l'origine de l'énorme tapage qui a suivi autour du théorème.

Ainsi, le célèbre scientifique a déclaré avoir prouvé son théorème. Demandons-nous : l'a-t-il vraiment prouvé ou a-t-il simplement menti ? Ou existe-t-il d’autres versions qui expliquent l’apparition de cette note en marge, qui n’a pas permis à de nombreux mathématiciens des générations suivantes de dormir paisiblement ?

L’histoire du Grand Théorème est aussi fascinante qu’une aventure à travers le temps. En 1636, Fermat affirmait qu'une équation de la forme Xn+Yn=Zn n'a pas de solutions en nombres entiers d'exposant n>2. Il s'agit en fait du dernier théorème de Fermat. Dans cette formule mathématique apparemment simple, l’Univers dissimulait une incroyable complexité.

Il est quelque peu étrange que, pour une raison quelconque, le théorème soit apparu tardivement, car la situation se préparait depuis longtemps, car son cas particulier avec n = 2 - une autre formule mathématique célèbre - le théorème de Pythagore, est apparu il y a vingt-deux siècles. plus tôt. Contrairement au théorème de Fermat, le théorème de Pythagore a un nombre infini de solutions entières, par exemple les triangles de Pythagore suivants : (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15 ,17 ) … (27,36,45) … (112 384 400) … (4232, 7935, 8993) …

Syndrome du Grand Théorème

Qui n’a pas essayé de prouver le théorème de Fermat ? Tout étudiant nouvellement diplômé considérait qu'il était de son devoir de s'appliquer au Grand Théorème, mais personne n'était en mesure de le prouver. Au début, cela n’a pas fonctionné pendant cent ans. Puis une autre centaine. Un syndrome de masse commença à se développer parmi les mathématiciens : « Comment est-ce possible ? Fermat l’a prouvé, mais quoi, je n’y arrive pas ? et certains d'entre eux sont devenus fous sur cette base au sens plein du terme.

Peu importe le nombre de fois où le théorème a été testé, il s’est toujours avéré vrai. J'ai connu un programmeur passionné qui était obsédé par l'idée de réfuter le Grand Théorème en essayant de trouver au moins une solution en recherchant des nombres entiers à l'aide d'un ordinateur à grande vitesse (plus communément appelé ordinateur central à l'époque). Il croyait au succès de son entreprise et aimait dire : « Encore un peu, et une sensation éclatera ! Je pense qu'à différents endroits de notre planète, il y avait un nombre considérable de ce type de chercheurs courageux. Bien entendu, il n’a pas trouvé de solution unique. Et aucun ordinateur, même avec une vitesse fabuleuse, ne pourra jamais vérifier le théorème, car toutes les variables de cette équation (y compris les exposants) peuvent augmenter jusqu'à l'infini.

Le mathématicien le plus virtuose et le plus prolifique du XVIIIe siècle, Leonard Euler, dont l'humanité parcourt les archives depuis près d'un siècle, a prouvé le théorème de Fermat pour les puissances 3 et 4 (ou plutôt, il a répété les preuves perdues de Pierre Fermat lui-même) ; son disciple en théorie des nombres, Legendre - pour les puissances 5 ; Dirichlet - pour le degré 7. Mais en général, le théorème n'est pas prouvé.

Au début du XXe siècle (1907), un riche allemand amateur de mathématiques, nommé Wolfskehl, légua cent mille marks à celui qui présenterait une preuve complète du théorème de Fermat. L'excitation a commencé. Les départements de mathématiques étaient remplis de milliers de preuves, mais toutes, comme vous pouvez le deviner, contenaient des erreurs. Ils disent que dans certaines universités allemandes, qui ont reçu de grandes quantités de « preuves » du théorème de Fermat, des formulaires ont été préparés avec approximativement le contenu suivant :

Cher __________________________!

Dans votre preuve du théorème de Fermat sur ____ page en ____ ligne en haut
l'erreur suivante a été détectée dans la formule :____________________ :,

Qui ont été envoyés à des candidats malchanceux.

A cette époque, un surnom semi-méprisant est apparu parmi les mathématiciens : le fermier. C'était le nom donné à tout débutant sûr de lui qui manquait de connaissances, mais qui avait plus qu'assez d'ambition pour faire de son mieux pour prouver à la hâte le Grand Théorème, puis, sans remarquer ses propres erreurs, se frappant fièrement sur la poitrine en déclarant haut et fort : : "J'ai été le premier à prouver le théorème de Fermat !" Chaque agriculteur, même s'il était le dix millième, se considérait comme le premier, c'était drôle. La simple apparence du Grand Théorème rappelait tellement aux agriculteurs une cible facile qu'ils n'étaient pas du tout gênés que même Euler et Gauss ne puissent y faire face.

(Les fermatistes, curieusement, existent encore aujourd'hui. Bien que l'un d'eux ne pensait pas avoir prouvé le théorème, comme un fermatiste classique, il a fait des tentatives jusqu'à récemment - il a refusé de me croire quand je lui ai dit que le théorème de Fermat avait déjà été éprouvé).

Les mathématiciens les plus puissants, peut-être, dans le calme de leurs bureaux, ont également essayé d'approcher avec précaution cette barre impossible, mais n'en ont pas parlé à haute voix, afin de ne pas être qualifiés d'agriculteurs et, ainsi, de ne pas nuire à leur haute autorité. .

À cette époque, une preuve du théorème pour l'exposant n était apparue

THÉORÈME FONDAMENTAL DE L'ALGÈBRE Le théorème selon lequel tout polynôme de degré n (n>0) : f(z) = a0zn + a1zn-1 + … + an, où a0 / 0, sur le corps des nombres complexes a au moins une racine z1 , donc f(z1)=0. De l'O.T.A. et du théorème de Bezout il résulte que le polynôme f(z) a exactement n racines dans le domaine des nombres complexes (en tenant compte de leurs multiplicités). En effet, d’après le théorème de Bezout, f(z) est divisible par z – z1 (sans reste), c’est-à-dire f(z) = f1(z)(z – z1), et donc le polynôme f1(z) de (n – 1) degré selon O.T.A. a également une racine z2, etc. En fin de compte, nous arriverons à la conclusion que f(z) a exactement n racines : f(z) = a0(z – z1)(z – z2) (z – zn). O.T.A. ainsi appelé parce que le contenu principal de l'algèbre aux XVIIe et XVIIIe siècles. revenait à résoudre des équations.

O.T.A. a été prouvé pour la première fois au XVIIe siècle. par le mathématicien français Girard, et une preuve rigoureuse fut donnée en 1799 par le mathématicien allemand Gauss. THÉORÈME DE BEZOUT Théorème sur le reste de la division d'un polynôme arbitraire par un binôme linéaire Il est formulé ainsi : le reste de la division d'un polynôme arbitraire f(x) par le binôme x – a est égal à f(a). ). T.B. du nom du mathématicien français du XVIIIe siècle qui l'a formulé et prouvé le premier. Bézu. De T.B. les conséquences suivantes s'ensuivent : 1) si le polynôme f(x) est divisible (sans reste) par x – a, alors le nombre a est la racine de f(x) ; 2) si le nombre a est la racine du polynôme f(x), alors f(x) est divisible (sans reste) par le binôme x – a ; 3) si un polynôme f(x) a au moins une racine, alors ce polynôme a exactement autant de racines que le degré de ce polynôme (la multiplicité des racines est prise en compte). THÉORÈME DE CHEVA Si les droites reliant les sommets du triangle ABC avec le point O situé dans le plan du triangle coupent les côtés opposés (ou leurs extensions), respectivement, aux points A' B' C', alors l'égalité est vraie : (* ) Dans ce cas, le rapport des segments est considéré comme positif si ces segments ont la même direction, et négatif dans le cas contraire.

T.Ch. peut aussi s’écrire sous cette forme : (ABC’)*(BCA’)*(CAB’) = 1, où (ABC’) est un simple rapport de trois points A, B et C’. Le théorème inverse est également vrai : si les points C', A', B' sont situés respectivement sur les côtés AB, BC et CA du triangle ou leurs extensions de telle sorte que l'égalité (*) est vérifiée, alors les droites AA', BB' et CC' se coupent au même point ou sont parallèles (se coupent à un point inapproprié). Les lignes AA', BB' et CC', se coupant en un point et passant par les sommets du triangle, sont appelées lignes Chevy ou Chevyans.

T.Ch. est de nature projective. T.Ch. est métriquement dual au théorème de Ménélas.

T.Ch. du nom du géomètre italien Giovanni Ceva, qui l'a prouvé (1678). THÉORÈME DU COSINUS 1. T.K. trigonométrie plane - l'affirmation selon laquelle dans tout triangle le carré de l'un de ses côtés est égal à la somme des carrés de ses deux autres côtés sans doubler le produit de ces côtés par le cosinus de l'angle qui les sépare : c2 = a2 + b2 – 2abcosC, où a, b, c sont les longueurs des côtés du triangle et C est l'angle entre les côtés a et b. T.K. souvent utilisé pour résoudre des problèmes de géométrie élémentaire et de trigonométrie 2. T.K. pour le côté d'un triangle sphérique : le cosinus d'un côté d'un triangle sphérique est égal au produit des cosinus de ses deux autres côtés plus le produit des sinus des mêmes côtés par le cosinus de l'angle qui les sépare : cosa = cosb*cosc + sinb*sinc*cosA 3. T.K. pour l'angle d'un triangle sphérique : le cosinus de l'angle d'un triangle sphérique est égal au produit des cosinus des deux autres angles, pris de signe opposé, plus le produit des sinus des deux autres angles par le cosinus du côté opposé au premier angle : cosA = -cosBcosC + sinBsinCcosa. THÉORÈME D'EULER 1. T.E. dans la théorie des comparaisons, il est dit que si (a, m)=1, alors où f(m) est la fonction d'Euler (le nombre d'entiers positifs premiers entre eux à m, n'excédant pas m). 2. T.E. à propos des polyèdres indique que pour tout polyèdre de genre zéro, la formule est valable : B + G – P = 2, où B est le nombre de sommets, G est le nombre de faces, P est le nombre d'arêtes du polyèdre.

Cependant, c’est Descartes qui a été le premier à remarquer une telle dépendance.

C’est pourquoi T.E. sur les polyèdres, il est historiquement plus correct d'appeler le théorème de Descartes-Euler.

Le nombre B + G – P est appelé la caractéristique d’Euler du polyèdre.

T.E. s'applique également aux graphiques fermés. Théorème de Thalès L'un des théorèmes de géométrie élémentaire sur les segments proportionnels. déclare que si sur l'un des côtés de l'angle à partir de son sommet des segments égaux sont disposés successivement et que des lignes parallèles sont tracées à travers les extrémités de ces segments coupant le deuxième côté de l'angle, alors des segments égaux seront également posés sur le deuxième côté de l’angle.

Un cas particulier de T.F. exprime certaines propriétés de la ligne médiane d’un triangle. Dernier théorème de Fermat Énoncé de P. Fermat selon lequel l'équation xn + yn = zn (où n est un nombre entier supérieur à deux) n'a pas de solutions en nombres entiers positifs malgré la déclaration de P. Fermat selon laquelle il a réussi à trouver une preuve étonnante B .F.T. il ne cite pas faute de place (cette remarque a été écrite par P. Fermat en marge du livre de Diophante), jusqu'à récemment (milieu des années 90) W.T.F. en termes généraux, cela n'a pas été prouvé. LE PETIT THÉORÈME DE FERMA Un cas particulier du théorème d'Euler lorsque le module m=p est un nombre premier.

M.T.F. formulé comme suit : si p est un nombre premier, alors ap=a(mod p). Dans le cas où a n'est pas divisible par p, de M.T.F. suit : ap-1=1(mod p). M.T.F. a été découverte par le scientifique français Pierre Fermat. INÉGALITÉ DE HÖLDER Pour les sommes finies elle a la forme : , ou sous forme intégrale : , où p > 1 et. N.G. souvent utilisé en analyse mathématique.

N.G. est une généralisation de l’inégalité de Cauchy sous forme algébrique et de l’inégalité de Bunyakovsky sous forme intégrale, dans laquelle N.G. s'inverse à p = 2. FORMULE DE CARDANO Une formule exprimant les racines de l'équation cubique : x3+px+q=0 (*) à travers ses coefficients. Toute équation cubique se réduit à la forme (*). s'écrit ainsi : . En choisissant arbitrairement la valeur du premier radical cubique, vous devez choisir la valeur du deuxième radical (parmi trois possibles) qui, dans le produit avec la valeur choisie du premier radical, donne (-p/3). De cette façon, nous obtenons les trois racines de l'équation (*). On ne sait toujours pas à qui appartient le F.C. : G. Cardano, N. Tartaglie ou S. Ferro. F.K. remonte au 16ème siècle. INÉGALITÉ DE CAUCHY Une inégalité qui vaut pour des sommes finies ; une inégalité très importante et la plus couramment utilisée dans divers domaines des mathématiques et de la physique mathématique.

Il a été créé pour la première fois par Cauchy en 1821. L'analogue intégral de N.K. : a été établi par le mathématicien russe V.Ya. Bouniakovski. THÉORÈME DE MÉNELUS Si une droite coupe les côtés du triangle ABC ou leurs extensions aux points C', A' et B', alors la relation suivante est valide : (*) Le rapport des segments est pris positif si la droite coupe le côté du triangle, et négatif si la ligne coupe le prolongement du côté.

L’expression inverse est également vraie : si l’égalité (*) est satisfaite, où A, B, C sont les sommets du triangle, et A’, B’, C’ se ​​trouvent sur la même droite.

T.M. peut être formulé sous la forme d'un critère de localisation de trois points A', B' et C' sur une même droite : pour que 3 points A', B' et C' se trouvent sur la même droite, il est nécessaire et suffisant que la relation soit satisfaite (*), où A, B, C sont les sommets du triangle, et A', B', C' appartiennent respectivement aux droites BC, AC et AB. T.M. a été prouvé par l'ancien scientifique grec Ménélas (1er siècle) pour un triangle sphérique et, apparemment, était connu d'Euclide (3e siècle avant JC). T.M. est un cas particulier du théorème de Carnot plus général. INÉGALITÉ DE MINKOWSKI Une inégalité pour les p-èmes puissances de nombres, ayant la forme : , où l'entier p>1, et ak et bk sont des nombres non négatifs.

N. M. est une généralisation de la célèbre « inégalité triangulaire », selon laquelle la longueur d’un côté d’un triangle n’est pas supérieure à la somme des longueurs de ses deux autres côtés ; pour un espace à n dimensions, la distance entre les points x=(x1, x2, …, xn) et y=(y1, y2, …, yn) est déterminée par le nombre N.M. a été établie par le mathématicien allemand G. Minkowski en 1896. FORMULES DE MOHLWEIDE Formules de trigonométrie plane exprimant la relation suivante entre les côtés (leurs longueurs) et les angles d'un triangle : ; , où a, b, c sont les côtés et A, B, C sont les angles du triangle.

F.M. nommé d'après le mathématicien allemand K. Molweide, qui les a utilisés, bien que ces formules soient également connues d'autres mathématiciens. BINOMIAL DE NEWTON Nom d'une formule exprimant une puissance entière non négative d'un binôme a + b comme la somme des puissances de. ses termes.

B.N. a la forme : , où Cnk sont des coefficients binomiaux égaux au nombre de combinaisons de n éléments par k, c'est-à-dire ou. Si les coefficients binomiaux pour différents n=0, 1, 2, ... sont écrits en lignes successives, alors on arrive au triangle de Pascal. Dans le cas d'un nombre réel arbitraire (et pas seulement d'un entier non négatif) B.N. est généralisé en une série binomiale, et dans le cas d'une augmentation du nombre de termes de deux à un nombre plus grand - en un théorème polynomial Généralisation de la formule binomiale de Newton pour le cas d'augmentation de la somme de k termes (k>. 2) à une puissance entière non négative n : , où la sommation du côté droit s'étend à toutes les collections possibles d'entiers non négatifs a1, a2, …, ak, totalisant n. Les coefficients A(n)a1, a2, … ,ak sont appelés polynômes et s'expriment comme suit : Lorsque k=2, les coefficients polynomiaux deviennent des coefficients binomiaux.

THÉORÈME DE POLKE Il est formulé comme suit : trois segments de longueur arbitraire, situés dans le même plan et émanant d'un point commun à des angles arbitraires les uns par rapport aux autres, peuvent être considérés comme une projection parallèle du cadre orthogonal spatial i, j, k ( |je| = |j| =| Le théorème a été formulé sans preuve par le géomètre allemand K. Polke (1860), puis généralisé par le mathématicien allemand G. Schwarz, qui a donné sa preuve élémentaire.

Le théorème de Polke-Schwartz peut être formulé ainsi : tout quadrilatère non dégénéré avec ses diagonales peut être considéré comme une projection parallèle d'un tétraèdre similaire à n'importe lequel d'entre eux.

T.P. a une grande importance pratique (n'importe quel quadrilatère avec ses diagonales peut être pris, par exemple, comme l'image d'un tétraèdre régulier) et est l'un des principaux théorèmes de l'axonométrie. THÉORÈME DE PTOLÉMÉE Un théorème de géométrie élémentaire qui établit la relation entre les côtés et. diagonales d'un quadrilatère inscrit dans un cercle : dans tout quadrilatère convexe, inscrit dans un cercle, le produit des diagonales est égal à la somme des produits de ses côtés opposés, soit l'égalité est vraie : AC*BD = AB*CD + BC*AD Etc. nommé d'après l'ancien scientifique grec Claudius Ptolémée, qui a prouvé ce théorème.

T.P. utilisé lors de la résolution de problèmes de géométrie élémentaire, lors de la preuve d'un cas particulier du théorème d'addition des sinus. FORMULE SIMPSON Formule de calcul des volumes de corps à deux bases parallèles : , où Qн est l'aire de la base inférieure, Qв est. l'aire de la base supérieure, Qс est l'aire de la partie médiane du corps. Par section moyenne d'un corps, on entend ici une figure obtenue à partir de l'intersection du corps avec un plan parallèle aux plans des bases et situé à égale distance de ces plans.

h désigne la hauteur du corps. De F.S., comme cas particulier, sont obtenues de nombreuses formules bien connues pour les volumes des corps étudiés à l'école (pyramide tronquée, cylindre, sphère, etc.). THÉORÈME DES SINES Théorème de trigonométrie plane qui établit la relation entre les côtés a, b, c d'un triangle arbitraire et les sinus des angles opposés à ces côtés : , où R est le rayon du cercle circonscrit au triangle.

Pour la trigonométrie sphérique T.S. exprimé analytiquement comme suit : . LE THÉORÈME DE STEWART est le suivant : si A, B, C sont trois sommets d'un triangle et que D est n'importe quel point du côté BC, alors la relation suivante est vraie : AD2*BC = AB2*CD + AC2*BD – BC*BD* CD, T .AVEC. du nom du mathématicien anglais M. Stewart qui l'a prouvé et l'a publié dans l'ouvrage « Some General Theorems » (1746, Édimbourg). Le théorème a été expliqué à Stewart par son professeur R. Simson, qui n'a publié ce théorème qu'en 1749. T.S. utilisé pour trouver les médianes et les bissectrices des triangles.

THÉORÈME DE LA TANGENTE (FORMULE RÉGIOMONTANE) Formule de trigonométrie plane qui établit la relation entre les longueurs de deux côtés d'un triangle et les tangentes de la demi-somme et de la demi-différence des angles T.T. a la forme : , où a, b sont les côtés du triangle, A, B sont respectivement les angles opposés à ces côtés. T.T. également appelée formule Regiomontanus d'après l'astronome et mathématicien allemand Johannes Muller (en latin Regiomontanus), qui a établi cette formule. J. Müller s'appelait « Königsberger » : en allemand König est roi, Berg est montagne, et en latin « roi » et « montagne » au génitif sont regis et montis.

« Regiomontan » est donc le nom latinisé de I. Muller. « Dictionnaire explicatif des termes mathématiques », O.V. FORMULES ET THÉORÈMES DE Manturov SUR VADIMSOFT-BEST. NAROD.RU.

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Le lendemain soir, le réceptionniste Gilbert fut confronté à un problème bien plus difficile. Comme la veille, l'hôtel était bondé lorsqu'une limousine interminable est arrivée, débarquant un nombre infini de nouveaux clients. Mais Gilbert n'en était pas du tout gêné, et il se frottait seulement joyeusement les mains en pensant au nombre infini de factures que les nouveaux arrivants paieraient. Gilbert a demandé à tous ceux qui s'étaient déjà installés dans l'hôtel de déménager en respectant la règle suivante : l'occupant de la première chambre - vers la deuxième chambre, l'occupant de la deuxième chambre - vers la quatrième chambre, etc., c'est-à-dire que Gilbert a demandé chaque invité doit déménager dans une nouvelle chambre avec une double grande "adresse". Tous ceux qui vivaient dans l'hôtel avant l'arrivée des nouveaux clients sont restés dans l'hôtel, mais en même temps un nombre infini de chambres ont été libérées (toutes celles dont les « adresses » étaient impaires), dans lesquelles la réceptionniste ingénieux a hébergé les nouveaux invités. Cet exemple montre que deux fois l'infini est également égal à l'infini.

Peut-être que l'hôtel de Hilbert donnera à quelqu'un l'idée que tous les infinis sont également grands, égaux les uns aux autres, et que n'importe quel infini différent peut être enfermé dans les chambres du même hôtel infini, comme l'a fait le porteur ingénieux. Mais en réalité, certains infinis sont plus grands que d’autres. Par exemple, toute tentative visant à trouver une paire pour chaque nombre rationnel avec un nombre irrationnel afin qu'il ne reste plus aucun nombre irrationnel sans sa paire rationnelle se termine certainement par un échec. En effet, on peut prouver que l’ensemble infini des nombres irrationnels est plus grand que l’ensemble infini des nombres rationnels. Les mathématiciens ont dû créer tout un système de notations et de noms avec une échelle infinie d'infinis, et la manipulation de ces concepts est l'un des problèmes les plus urgents de notre époque.

Bien que l'infinité des nombres premiers ait anéanti à jamais les espoirs d'une preuve rapide du dernier théorème de Fermat, une telle quantité de nombres premiers était utile, par exemple, dans des domaines tels que l'espionnage et la recherche sur les insectes. Avant de revenir à l'histoire de la recherche d'une preuve du dernier théorème de Fermat, il convient de faire une petite parenthèse et de se familiariser avec les utilisations correctes et incorrectes des nombres premiers.

La théorie des nombres premiers est l’un des rares domaines des mathématiques pures qui a une application directe dans le monde réel, à savoir la cryptographie. La cryptographie consiste à coder les messages secrets de telle manière que seul le destinataire peut les décoder, mais qu'une personne indiscrète ne peut pas les déchiffrer. Le processus de codage nécessite l’utilisation d’une clé de chiffrement et, traditionnellement, le décryptage nécessite de fournir cette clé au destinataire. Dans cette procédure, la clé est le maillon le plus faible de la chaîne de sécurité. Premièrement, le destinataire et l'expéditeur doivent se mettre d'accord sur les détails de la clé, et l'échange d'informations à ce stade comporte certains risques. Si l'ennemi parvient à intercepter la clé lors de l'échange d'informations, il pourra décrypter tous les messages ultérieurs. Deuxièmement, pour maintenir la sécurité, les clés doivent être changées régulièrement, et chaque fois qu'une clé est changée, il existe un risque qu'un adversaire intercepte la nouvelle clé.

Le problème de la clé tourne autour du fait que l’application d’une clé dans un sens crypte le message, mais que l’application de la même clé dans la direction opposée déchiffre le message – le décryptage est aussi simple que le cryptage. Mais nous savons par expérience qu'il existe désormais de nombreuses situations où le décodage est bien plus difficile que le cryptage : préparer des œufs brouillés est incomparablement plus simple que remettre des œufs brouillés dans leur état d'origine en séparant les blancs et les jaunes.

Dans les années 70 du XXe siècle, Whitfield Diffie et Martin Hellman ont commencé à rechercher un processus mathématique qui serait facile à réaliser dans un sens, mais incroyablement difficile dans le sens opposé. Un tel processus fournirait la clé parfaite. Par exemple, je pourrais avoir ma propre clé en deux parties et en publier publiquement la partie cryptée. Après cela, n’importe qui pourrait m’envoyer des messages cryptés, mais la partie décryptage de la clé ne serait connue que de moi. Et même si la partie chiffrement de la clé serait accessible à tous, elle n’aurait rien à voir avec la partie décryptage.

En 1977, Ronald Rivest, Adi Shamir et Leonard Adleman, une équipe de mathématiciens et d'informaticiens du MIT, ont découvert que les nombres premiers constituaient la base idéale pour le processus de cryptage facile et de déchiffrement difficile. Pour créer ma propre clé personnelle, je pourrais prendre deux énormes nombres premiers, chacun contenant jusqu'à 80 chiffres, et multiplier un nombre par l'autre pour obtenir un nombre composé encore plus grand. Pour coder des messages, il suffit de connaître un grand nombre composé, tandis que pour déchiffrer un message, il faut connaître les deux nombres premiers originaux que nous avons multipliés, c'est-à-dire les facteurs premiers du nombre composé. Je peux me permettre de publier un grand nombre composite - la moitié de chiffrement de la clé, et de garder secrets deux facteurs premiers - la moitié de déchiffrement de la clé. Il est très important que même si tout le monde connaît un grand nombre composé, il est extrêmement difficile de le diviser en deux facteurs premiers.

Regardons un exemple plus simple. Supposons que j'aie choisi et communiqué à tout le monde le numéro composite 589, qui permet à chacun de m'envoyer des messages cryptés. Je garderais secrets les deux facteurs premiers du nombre 589, afin que personne d’autre que moi ne puisse déchiffrer les messages. Si quelqu’un pouvait trouver deux facteurs premiers du nombre 589, alors une telle personne serait également capable de déchiffrer les messages qui m’ont été adressés. Mais aussi petit que soit le nombre 589, trouver ses facteurs premiers n’est pas si simple. Dans ce cas, sur un ordinateur de bureau, il serait possible de découvrir en quelques minutes que les facteurs premiers du nombre 589 sont 31 et 19 (31 19 = 589), ma clé ne pourrait donc pas garantir la sécurité de la correspondance pendant une période particulièrement longue. .

Mais si le nombre composé que j’ai publié comportait plus d’une centaine de chiffres, la recherche de facteurs premiers serait une tâche presque impossible. Même si les ordinateurs les plus puissants du monde étaient utilisés pour décomposer un énorme nombre composé (la clé de chiffrement) en deux facteurs premiers (la clé de déchiffrement), il faudrait encore plusieurs années pour trouver ces facteurs. Par conséquent, afin de contrecarrer les plans insidieux des espions étrangers, il me suffit de changer la clé chaque année. Une fois par an, je rends public mon nouveau numéro composite gigantesque, et alors quiconque voudra tenter sa chance et déchiffrer mes messages sera obligé de recommencer en décomposant le numéro publié en deux facteurs premiers.

Les nombres premiers se trouvent également dans le monde naturel. Les cigales périodiques, connues sous le nom de Magicicada septendecim, ont le cycle de vie le plus long de tous les insectes. Leur vie commence sous terre, où les larves sucent patiemment la sève des racines des arbres. Et seulement après 17 ans d'attente, des cigales adultes sortent du sol, se rassemblent en énormes essaims et remplissent tout autour pendant un certain temps. Au bout de quelques semaines, ils s'accouplent, pondent des œufs, puis meurent.

La question qui hante les biologistes est de savoir pourquoi le cycle de vie des cigales est si long ? Cela fait-il une différence pour le cycle de vie que sa durée soit exprimée en un simple nombre d'années ? Une autre espèce, Magicicada tredecim, essaime tous les 13 ans. Cela suggère que la durée du cycle de vie, exprimée en simple nombre d’années, confère à l’espèce certains avantages évolutifs.

Au début du XIXe siècle, le dernier théorème de Fermat s'était forgé une solide réputation comme étant le problème le plus difficile de la théorie des nombres. Après la percée d'Euler, il n'y a pas eu le moindre progrès jusqu'à ce que la déclaration sensationnelle d'une jeune Française suscite de nouveaux espoirs. La recherche d'une preuve du dernier théorème de Fermat reprit avec une vigueur renouvelée. Sophie Germain a vécu à une époque de chauvinisme et de préjugés, et pour pouvoir pratiquer les mathématiques, elle a dû prendre un pseudonyme, travailler dans des conditions terribles et créer dans l'isolement intellectuel.

Pendant des siècles, les mathématiques ont été considérées comme une activité non féminine, mais malgré la discrimination, plusieurs femmes mathématiciennes se sont opposées aux coutumes et pratiques établies et ont gravé leur nom dans les annales des mathématiques. La première femme à laisser sa marque dans l'histoire des mathématiques fut Théano (VIe siècle avant JC), qui étudia avec Pythagore, devint l'un de ses plus proches disciples et l'épousa. Pythagore est parfois qualifié de « philosophe féministe » parce qu’il encourageait les femmes scientifiques. Théano n'était que l'une des vingt-huit sœurs de la confrérie pythagoricienne.

Plus tard, les partisans et adeptes de Socrate et de Platon ont continué à inviter des femmes dans leurs écoles, mais seulement au 4ème siècle après JC. e. une mathématicienne a fondé sa propre école influente. Hypatie, fille d'un professeur de mathématiques à l'Académie d'Alexandrie, est devenue célèbre dans le monde alors connu pour ses débats et sa capacité à résoudre divers problèmes. Les mathématiciens, qui se demandaient depuis plusieurs mois la solution d'un problème, se sont tournés vers Hypatie pour lui demander de l'aide, et elle a rarement déçu ses fans. Les mathématiques et le processus de preuve logique l'ont complètement captivée, et lorsqu'on lui a demandé pourquoi elle ne s'était pas mariée, Hypatie a répondu qu'elle était fiancée à la Vérité. C'est la foi illimitée d'Hypatie dans la raison humaine qui a causé sa mort lorsque Cyrille, patriarche d'Alexandrie, a commencé à persécuter les philosophes, les naturalistes et les mathématiciens, qu'il traitait d'hérétiques. L'historien Edward Gibbon a laissé un récit saisissant des événements qui ont eu lieu après que Cyrille ait comploté contre Hypatie et attiré une foule contre elle.

« En ce jour fatidique, pendant la saison sacrée du Carême, Hypatie fut tirée du char dans lequel elle montait, déshabillée, traînée jusqu'à l'église et inhumainement coupée en morceaux par les mains de Pierre le Lecteur et d'une foule d'hommes sauvages et impitoyables. fanatiques; sa chair a été arrachée de ses os avec des coquilles d'huîtres acérées, et ses membres tremblants ont été brûlés sur le bûcher.

Après la mort d'Hypatie, une période de stagnation commence en mathématiques. La deuxième femme qui a fait parler d’elle comme mathématicienne n’est apparue qu’après la Renaissance. Maria Agnesi est née à Milan en 1718. Comme Hypatie, elle était la fille d'un mathématicien. Agnesi était reconnu comme l'un des meilleurs mathématiciens d'Europe. Elle était particulièrement célèbre pour ses travaux sur les tangentes aux courbes. En Italie, les courbes étaient appelées « versiera » (du latin « tourner »), mais le même mot était considéré comme une contraction du mot « avversiera » - « épouse du diable ». Les courbes explorées par Agnesi (versiera Agnesi) ont été incorrectement traduites en anglais par « la sorcière d'Agnesi », et au fil du temps, Maria Agnesi a fini par être appelée ainsi.

Bien que les mathématiciens de toute l'Europe reconnaissent le talent mathématique d'Agnesi, de nombreuses institutions académiques, notamment l'Académie française, refusent de lui accorder un poste de recherche. La politique d’exclusion des femmes des postes universitaires s’est poursuivie jusqu’au XXe siècle, lorsqu’Emmy Noether, qu’Einstein a décrite comme « le génie mathématique créatif le plus important à émerger depuis le début de l’enseignement supérieur pour les femmes », s’est vu refuser le droit de donner des conférences à l’Université de Göttingen. La plupart des professeurs raisonnaient ainsi : « Comment peut-on permettre à une femme de devenir professeur assistante privée ? Après tout, si elle devient privatdozent, elle deviendra peut-être avec le temps professeur et membre du sénat de l'université... Que penseront nos soldats lorsqu'ils retourneront à l'université et découvriront qu'ils devront étudier aux pieds d'une femme ? David Gilbert, ami et mentor d'Emmy Noether, a répondu à ceci : « Messieurs ! Je ne comprends pas pourquoi le sexe de la candidate l'empêche d'être acceptée comme privatdozent. Après tout, le Sénat universitaire n’est pas un établissement de bains pour hommes.

Plus tard, on a demandé à Edmund Landau, collègue de Noether, si Noether était vraiment une grande mathématicienne, ce à quoi il a répondu : « Je peux jurer qu'elle est une grande mathématicienne, mais je ne peux pas jurer qu'elle est une femme. »

Outre le fait qu'Emmy Noether, comme les mathématiciennes des siècles passés, souffrait de discrimination, elle avait bien plus de points communs avec elles : par exemple, elle était la fille d'un mathématicien. En général, de nombreux mathématiciens venaient de familles mathématiques, ce qui a donné lieu à des rumeurs infondées sur un gène mathématique spécial, mais parmi les mathématiciennes, le pourcentage de personnes issues de familles mathématiques est particulièrement élevé. L’explication semble être que même les femmes les plus douées ne décideraient pas d’étudier les mathématiques ou ne recevraient pas de soutien dans leurs projets si leur famille n’était pas impliquée dans les sciences. Comme Hypatie, Agnesi et la plupart des autres femmes mathématiciennes, Noether n’était pas mariée. Le célibat si répandu parmi les femmes mathématiciennes s’explique par le fait que le choix d’une femme d’une profession mathématique se heurtait à la désapprobation de la société et que seuls quelques hommes osaient proposer le mariage à des femmes à la réputation aussi « douteuse ». La grande mathématicienne russe Sofya Vasilievna Kovalevskaya constitue une exception à la règle générale. Elle a contracté un mariage fictif avec le paléontologue Vladimir Onufrievich Kovalevsky. Pour tous deux, le mariage a été un salut, leur permettant d’échapper aux soins de leur famille et de se concentrer sur la recherche scientifique. Quant à Kovalevskaya, il était beaucoup plus pratique pour elle de voyager seule sous l'apparence d'une respectable dame mariée.

De tous les pays européens, la France a adopté la position la plus intransigeante envers les femmes instruites, déclarant que les mathématiques étaient une profession inadaptée aux femmes et dépassant leurs capacités mentales ! Et bien que les salons parisiens dominent le monde mathématique des XVIIIe et XIXe siècles, une seule femme parvient à s'affranchir du carcan de l'opinion publique française et à asseoir sa réputation de grande spécialiste de la théorie des nombres. Sophie Germain a révolutionné la quête visant à prouver le dernier théorème de Fermat et a apporté des contributions bien au-delà de tout ce que ses prédécesseurs masculins avaient fait.

Sophie Germain est née le 1er avril 1776 dans la famille du marchand Ambroise François Germain. Outre sa passion pour les mathématiques, sa vie a été profondément influencée par les tempêtes et les adversités de la Révolution française. L'année même où elle découvre son amour des chiffres, le peuple prend d'assaut la Bastille, et tandis qu'elle étudie le calcul, l'ombre du règne de la terreur tombe. Même si le père de Sophie était un homme assez riche, les Germain n'appartenaient pas à l'aristocratie.

Les filles situées au même échelon de l'échelle sociale que Sophie n'étaient pas particulièrement encouragées à étudier les mathématiques, mais elles étaient censées avoir des connaissances suffisantes en la matière pour pouvoir bavarder si elles touchaient à une question mathématique. À cette fin, une série de manuels ont été rédigés pour les familiariser avec les dernières avancées en mathématiques et en sciences naturelles. Ainsi, Francesco Algarotti a écrit le manuel « La philosophie de Sir Isaac Newton, expliquée au profit des dames ». Algarotti étant convaincu que les dames ne peuvent s’intéresser qu’aux romans, il tente de présenter les découvertes de Newton sous la forme d’un dialogue entre une marquise flirtant avec son interlocuteur. Par exemple, l'interlocuteur expose à la marquise la loi de la gravitation universelle, en réponse à quoi la marquise exprime sa propre interprétation de cette loi fondamentale de la physique : « Je ne peux m'empêcher de penser que... le même rapport, proportionnalité inverse au carré de la distance... s'observe en amour. Par exemple, si les amoureux ne se voient pas pendant huit jours, alors l’amour devient soixante-quatre fois plus faible qu’au jour de la séparation.

Il n'est pas surprenant que l'intérêt de Sophie Germain pour la science ne soit pas né sous l'influence de livres d'un genre aussi galant. L’événement qui a changé toute sa vie s’est produit le jour où, en parcourant les livres de la bibliothèque de son père, elle est tombée par hasard sur « L’Histoire des Mathématiques » de Jean Etienne Montucla. Son attention fut attirée sur le chapitre dans lequel Montucla parle de la vie d'Archimède. La liste des découvertes d'Archimède présentée par Montucla a sans aucun doute suscité l'intérêt, mais l'imagination de Sophie a été surtout captivée par l'épisode dans lequel il est question de la mort d'Archimède.

Selon la légende, Archimède a passé toute sa vie à Syracuse, où il a étudié les mathématiques dans un environnement relativement calme. Mais alors qu’il avait largement dépassé soixante-dix ans, la paix fut troublée par l’invasion de l’armée romaine. Selon la légende, c'est lors de cette invasion qu'Archimède, profondément plongé dans la contemplation d'une figure géométrique dessinée dans le sable, n'entendit pas la question d'un soldat romain qui lui était adressée, et, transpercé par une lance, mourut.

Germaine pensait que si un problème de géométrie pouvait captiver quelqu'un au point d'entraîner sa mort, alors les mathématiques devaient être la matière la plus étonnante au monde. Sophie a immédiatement commencé à étudier seule les bases de la théorie des nombres et du calcul, et s'est rapidement couchée tard pour lire les travaux d'Euler et de Newton. L’intérêt soudain pour une matière aussi « non féminine » que les mathématiques alarme les parents de Sophie. L'ami de la famille, le comte Guglielmo Libri-Carucci dalla Sommaya, a déclaré que le père de Sophie avait emporté les bougies et les vêtements de sa fille, ainsi que le brasero qui chauffait sa chambre, afin de l'empêcher d'étudier les mathématiques. Quelques années plus tard, en Grande-Bretagne, le père d’une jeune mathématicienne, Mary Somerville, a également retiré les bougies de sa fille en déclarant : « Cela doit cesser si nous ne voulons pas voir Mary dans une camisole de force ».

Mais en réponse, Sophie Germaine a ouvert un stockage secret pour les bougies et s'est protégée du froid en s'enveloppant dans des draps. Selon Libri-Carucci, les nuits d'hiver étaient si froides que l'encre gelait dans l'encrier, mais Sophie continuait malgré tout à étudier les mathématiques. Certains qui l'ont connue dans sa jeunesse ont affirmé qu'elle était timide et maladroite, mais elle était déterminée, et finalement ses parents ont cédé et ont donné à Sophie leur bénédiction pour étudier les mathématiques. Germaine ne s'est jamais mariée et les recherches de Sophie ont été financées par son père tout au long de sa carrière. Pendant de nombreuses années, Germaine a mené ses recherches en toute seule, car il n'y avait aucun mathématicien dans la famille qui pouvait lui faire découvrir les dernières idées, et les professeurs de Sophie refusaient de la prendre au sérieux.

Germaine est devenue de plus en plus confiante en ses capacités et est passée de la résolution de problèmes dans les devoirs en classe à l'exploration de domaines mathématiques jusqu'alors inexplorés. Mais le plus important dans notre histoire est que Sophie s’est intéressée à la théorie des nombres et, bien sûr, n’a pas pu s’empêcher d’entendre parler du dernier théorème de Fermat. Germaine a travaillé plusieurs années sur sa preuve et a finalement atteint un stade où il lui a semblé qu'elle était capable d'avancer vers le but souhaité. Il y avait un besoin urgent de discuter des résultats obtenus avec un collègue spécialiste de la théorie des nombres, et Germaine décida de se tourner vers le plus grand spécialiste de la théorie des nombres, le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss.

Gauss est universellement reconnu comme le mathématicien le plus brillant de tous les temps. CE. Bell appelait Fermat « le prince des amateurs » et Gauss le « prince des mathématiciens ». Pour la première fois, Germaine a véritablement apprécié le talent de Gauss lorsqu’elle a découvert son chef-d’œuvre « Enquêtes arithmétiques » – le traité le plus important et d’une portée inhabituellement vaste écrit depuis les Éléments d’Euclide. Les travaux de Gauss ont influencé tous les domaines des mathématiques, mais, curieusement, il n'a jamais rien publié sur le dernier théorème de Fermat. Dans une lettre, Gauss exprima même son mépris pour le problème de Fermat. L'ami de Gauss, l'astronome allemand Heinrich Olbers, lui écrivit une lettre lui conseillant vivement de participer au concours pour le Prix de l'Académie de Paris pour résoudre le problème de Fermat : « Il me semble, cher Gauss, que vous devriez vous en inquiéter. » Deux semaines plus tard, Gauss répondit : « Je suis très obligé d'apprendre la nouvelle concernant le Prix de Paris. Mais j’avoue que le dernier théorème de Fermat en tant que proposition distincte m’intéresse très peu, puisque je pourrais donner de nombreuses propositions de ce type qui ne peuvent être ni prouvées ni réfutées. Gauss avait droit à son opinion, mais Fermat a clairement déclaré qu'une preuve existait, et même les tentatives ultérieures infructueuses pour trouver une preuve ont donné naissance à des méthodes nouvelles et originales, telles que la preuve par descendance infinie et l'utilisation de nombres imaginaires. Peut-être que Gauss a également essayé de trouver une preuve et a échoué, et sa réponse à Olbers n'est qu'une variante de l'affirmation « les raisins sont verts ». Néanmoins, le succès obtenu par Germaine, dont Gauss a eu connaissance grâce à ses lettres, l'a si fortement impressionné que Gauss a oublié pendant un moment son dédain pour le dernier théorème de Fermat.

Soixante-quinze ans plus tôt, Euler publiait sa preuve pour n=3, et depuis lors tous les mathématiciens ont tenté en vain de prouver le dernier théorème de Fermat dans d'autres cas particuliers. Mais Germaine choisit une nouvelle stratégie et, dans des lettres à Gauss, expose ce qu’on appelle l’approche générale du problème de Fermat. En d’autres termes, son objectif immédiat n’était pas de prouver un seul cas : Germaine entreprenait de dire quelque chose sur plusieurs cas particuliers à la fois. Dans des lettres à Gauss, elle expose le déroulement général des calculs centrés sur les nombres premiers. p type privé : tel que les nombres soient 2 p+1 - aussi simple. La liste de ces nombres premiers dressée par Germaine comprend le nombre 5, puisque 11 = 2,5 + 1 est également premier, mais le nombre 13 n'y est pas inclus, puisque 27 = 2,13 + 1 n'est pas premier.

En particulier, Germaine, par un raisonnement élégant, a prouvé que si l'équation xn + o n = z n a des solutions pour un problème aussi simple n que 2 n+1 est aussi un nombre premier, alors soit x, y, ou z actions n.

En 1825, la méthode de Sophie Germain est appliquée avec succès par Gustav Lejeune Dirichlet et Adrien Marie Legendre. Ces scientifiques ont été séparés par une génération entière. Legendre était un homme de soixante-dix ans qui a survécu aux tempêtes politiques de la Grande Révolution française. Pour avoir refusé de soutenir un candidat du gouvernement à l'Institut national, il fut privé de sa pension, et au moment où il contribua à la démonstration du dernier théorème de Fermat, Legendre se trouvait dans un besoin urgent. Dirichlet était un jeune théoricien des nombres ambitieux, âgé d’à peine vingt ans. Legendre et Dirichlet ont réussi indépendamment à prouver le dernier théorème de Fermat pour n=5, et tous deux basèrent leur témoignage sur le raisonnement de Sophie Germain et c'est à elle qu'ils durent leur succès.

Une autre percée est réalisée quatorze ans plus tard par le Français Gabriel Lamé. Il apporta d'ingénieuses améliorations à la méthode de Germain et démontra le dernier théorème de Fermat avec une valeur primordiale. n=7. Germaine a montré aux théoriciens des nombres comment éliminer un groupe entier de cas de valeurs premières. n, et maintenant, grâce aux efforts combinés de ses collègues, ils ont continué à prouver le théorème pour une valeur simple n après l'autre. Le travail de Germaine sur le dernier théorème de Fermat a été sa plus grande réussite en mathématiques, même s'il n'a pas été immédiatement apprécié. Lorsque Germaine écrivit pour la première fois à Gauss, elle n'avait pas encore trente ans et, bien que son nom soit devenu célèbre à Paris, elle craignait que le grand mathématicien ne prenne pas au sérieux une lettre d'une femme. Pour se protéger, Germaine se réfugie à nouveau derrière un pseudonyme, signant la lettre du nom de Monsieur Leblanc.

Sophie ne cachait pas sa révérence pour Gauss. Voici une phrase de sa lettre : « Malheureusement, la profondeur de mon intellect est inférieure à l'insatiabilité de mon appétit, et je me rends compte de la folie de mon action lorsque je prends sur moi le courage de déranger un homme de génie, sans ayant le moindre droit à son attention, hormis l'admiration qui embrasse inévitablement tous ses lecteurs. Gauss, ignorant qui était réellement son correspondant, tenta de calmer « Monsieur Leblanc ». La lettre de réponse de Gauss disait : « Je suis ravi que l’arithmétique ait trouvé en vous un ami aussi compétent. »

Les résultats obtenus par Germaine auraient pu rester à jamais attribués à tort à M. Leblanc, sans l'empereur Napoléon. En 1806, Napoléon s'empare de la Prusse et l'armée française prend d'assaut les capitales allemandes les unes après les autres. Germaine commença à craindre que son deuxième grand héros, Gauss, ne partage le sort d'Archimède. Sophie écrit à son ami, le général Joseph Marie Pernety, qui commande les troupes qui avancent. Dans la lettre, elle demandait au général d'assurer la sécurité de Gauss. Le général prit les mesures appropriées, s'occupa du mathématicien allemand et lui expliqua qu'il devait la vie à Mademoiselle Germaine. Gauss exprime sa gratitude, mais s'étonne car il n'a jamais entendu parler de Sophie Germaine.

La partie était perdue. Dans sa lettre suivante à Gauss, Germaine révéla à contrecœur son vrai nom. Pas du tout en colère contre la tromperie, Gauss lui répondit avec ravissement : « Comment puis-je vous décrire la joie et l'étonnement qui m'ont saisi à la vue de la façon dont mon très estimé correspondant Monsieur Leblanc s'est métamorphosé, devenant une personne merveilleuse, mettant en scène un exemple si brillant que j'ai du mal à y croire. Le goût pour les sciences abstraites en général, et surtout pour tous les mystères des nombres, est extrêmement rare, et cela n'a rien d'étonnant : les charmes séduisants de cette science subtile ne se révèlent qu'à ceux qui ont le courage d'y pénétrer profondément. Mais quand un représentant de ce sexe, qui, selon nos coutumes et nos préjugés, doit rencontrer des difficultés infiniment plus grandes que les hommes pour se familiariser avec des enquêtes épineuses, parvient avec succès à surmonter tous ces obstacles et à pénétrer dans leurs parties les plus sombres, alors, sans doute, elle possède un courage noble, des talents absolument extraordinaires et un talent suprême. Rien ne pourrait me convaincre d’une manière plus flatteuse et plus incontestable que les aspects attrayants de cette science, qui a enrichi ma vie de tant de joies, ne sont pas le fruit de la fantaisie, que le dévouement avec lequel vous l’avez honorée.

La correspondance avec Carl Gauss, qui deviendra une source d'inspiration pour l'œuvre de Sophie Germaine, prend fin brutalement en 1808. Gauss a été nommé professeur d'astronomie à l'Université de Göttingen, ses intérêts se sont déplacés de la théorie des nombres vers des mathématiques plus appliquées et il a cessé de répondre aux lettres de Germaine. Privée du soutien d'un tel mentor, Germaine perd confiance en ses capacités et abandonne au bout d'un an ses études de mathématiques pures. Même si elle n'a pas pu progresser davantage dans la preuve du dernier théorème de Fermat, elle est devenue très fructueuse dans le domaine de la physique, une discipline scientifique dans laquelle elle aurait pu à nouveau atteindre une position de premier plan sans les préjugés de l'establishment. La plus grande réalisation de Sophie Germain en physique fut « Mémoires sur les vibrations des plaques élastiques » - un ouvrage brillant plein d'idées nouvelles qui posa les bases de la théorie moderne de l'élasticité. Pour ces travaux et ses travaux sur le dernier théorème de Fermat, elle reçoit la médaille de l'Institut de France et devient la première femme à suivre des cours à l'Académie des sciences sans être l'épouse d'un membre de l'Académie. Vers la fin de sa vie, Sophie Germain rétablit ses relations avec Carl Gauss, qui convainquit l'Université de Göttingen de lui décerner un diplôme honorifique. Malheureusement, Sophie Germaine est décédée d'un cancer du sein avant que l'université puisse lui rendre hommage comme elle le méritait.

« En tenant compte de tout cela, on peut dire que Sophie Germain semble avoir eu l’intelligence la plus profonde parmi toutes les femmes que la France ait jamais produites. Cela peut paraître étrange, mais lorsque le fonctionnaire est venu délivrer l'acte de décès de cette célèbre collègue et employée des membres les plus célèbres de l'Académie française des sciences, dans la colonne « profession », il l'a désignée comme « une femme célibataire sans profession ». », et non « mathématicien ». Mais ce n'est pas tout. Lors de la construction de la Tour Eiffel, les ingénieurs ont porté une attention particulière à l'élasticité des matériaux utilisés, et les noms de soixante-douze scientifiques ayant apporté une contribution particulièrement significative au développement de la théorie de l'élasticité ont été inscrits sur cette gigantesque structure. Mais en vain on chercherait dans cette liste le nom de la brillante fille de France, dont les recherches ont largement contribué au développement de la théorie de l'élasticité des métaux - Sophie Germain. A-t-elle été exclue de cette liste pour la même raison que Maria Agnesi n'a pas été admise à l'Académie française - parce qu'elle était une femme ? Apparemment, c'était le cas. Mais si tel est réellement le cas, la honte sera d’autant plus grande pour ceux qui sont responsables d’une ingratitude aussi flagrante envers un homme qui a rendu de si grands services à la science – un homme qui a assuré la place qui lui revient au Temple de la renommée. (A.J. Mozans, 1913.)

Suite aux progrès réalisés grâce aux travaux de Sophie Germain, l'Académie française des sciences a institué une série de prix, dont une médaille d'or et 3 000 francs, pour le mathématicien qui parviendrait enfin à résoudre le mystère du dernier théorème de Fermat. Celui qui serait capable de prouver le théorème recevrait non seulement une renommée bien méritée, mais également une récompense matérielle importante. Les salons parisiens regorgeaient de rumeurs sur la stratégie choisie par tel ou tel candidat et sur la date à laquelle les résultats du concours seraient annoncés. Finalement, le 1er mars 1847, l'Académie se réunit pour la plus dramatique de ses réunions.

Le procès-verbal de la réunion détaille comment Gabriel Lamé, qui sept ans plus tôt avait prouvé le dernier théorème de Fermat pour n=7, monte sur le podium devant les mathématiciens les plus célèbres du XIXe siècle et déclare qu’il est sur le point de prouver le dernier théorème de Fermat pour le cas général. Lame admet que sa preuve n'est pas encore complète, mais il expose sa méthode et annonce, avec un certain plaisir, que dans quelques semaines il publiera la preuve complète dans un journal publié par l'Académie.

Le public s'est figé de joie, mais dès que Lame a quitté le podium, un autre des meilleurs mathématiciens parisiens, Augustin Louis Cauchy, a demandé la parole. S'adressant aux membres de l'Académie, Cauchy a déclaré qu'il travaillait depuis longtemps sur une preuve du dernier théorème de Fermat, basée à peu près sur les mêmes idées que Lamé, et qu'il avait également l'intention de publier bientôt une preuve complète.

Cauchy et Lamé reconnaissaient tous deux que le temps pressait. La première personne à présenter une preuve complète remportera le prix le plus prestigieux et le plus précieux en mathématiques. Même si ni Lamé ni Cauchy n'avaient de preuves complètes, les deux rivaux étaient impatients d'étayer leurs affirmations et, trois semaines plus tard, tous deux soumirent des enveloppes scellées à l'Académie. C'était la coutume à cette époque. Cela permettait aux mathématiciens d'affirmer leur priorité sans révéler les détails de leurs travaux. Si un différend survenait par la suite quant à l'originalité des idées, l'enveloppe scellée contenait les preuves concluantes nécessaires pour établir la priorité.

En avril, lorsque Cauchy et Lamé publièrent finalement certains détails de leur témoignage dans les Actes de l'Académie, les tensions augmentèrent. La communauté mathématique tout entière était désespérée d’en voir la preuve complète, de nombreux mathématiciens espérant secrètement que Lamé plutôt que Cauchy remporterait le concours. De toute évidence, Cauchy était une créature bien-pensante et un fanatique religieux. De plus, il était très impopulaire auprès de ses collègues. A l'Académie, il n'était toléré que pour son esprit brillant.

Finalement, le 24 mai, une déclaration a été faite qui a mis fin à toutes les spéculations. Ce n'est pas Cauchy ou Lamé qui s'adressent à l'Académie, mais Joseph Liouville. Il a choqué l'honorable public en lisant une lettre du mathématicien allemand Ernst Kummer. Kummer était un expert reconnu en théorie des nombres, mais son patriotisme ardent, alimenté par une haine sincère de Napoléon, ne lui a pas permis pendant de nombreuses années de se consacrer à sa véritable vocation. Alors que Kummer était encore enfant, l'armée française envahit sa ville natale de Sorau, entraînant avec elle une épidémie de typhus. Le père de Kummer était médecin de ville et quelques semaines plus tard, la maladie l'a emporté. Choqué par ce qui s'était passé, Kummer a juré de faire tout ce qui était en son pouvoir pour débarrasser son pays d'une nouvelle invasion ennemie - et après avoir obtenu son diplôme universitaire, il a dirigé son intellect vers la résolution du problème de la construction des trajectoires des boulets de canon. Plus tard, il enseigna les lois de la balistique à l'école militaire de Berlin.

Parallèlement à sa carrière militaire, Kummer était activement engagé dans des recherches dans le domaine des mathématiques pures et était pleinement conscient de ce qui se passait à l'Académie française. Kummer a lu attentivement les publications des Actes de l'Académie et analysé les quelques détails que Cauchy et Lama se risquaient à révéler. Il lui apparaît clairement que les deux Français se dirigent vers la même impasse logique - et il expose ses réflexions dans une lettre à Liouville.

Selon Kummer, le principal problème était que les preuves de Cauchy et Lamé reposaient sur l'utilisation d'une propriété des entiers connue sous le nom de factorisation unique. Cette propriété signifie qu’il n’existe qu’une seule combinaison possible de nombres premiers dont le produit produit un entier donné. Par exemple, la seule combinaison de nombres premiers dont le produit est égal à 18 est :

18 = 2·3·3.

De même, les nombres 35, 180 et 106260 peuvent être factorisés de manière unique en nombres premiers, et leurs factorisations sont de la forme

35 = 5 7, 180 = 2 2 3 3 5, 106260 = 2 2 3 5 7 11 23.

Le caractère unique de la factorisation a été découvert au 4ème siècle avant JC. e. Euclide, qui dans le livre IX de ses Éléments a prouvé que cela est vrai pour tous les nombres naturels. Le caractère unique de la factorisation première pour tous les nombres naturels est un élément essentiel dans les preuves de nombreux théorèmes différents et est maintenant appelé théorème fondamental de l'arithmétique.

À première vue, il ne devrait y avoir aucune raison pour que Cauchy et Lamé ne puissent pas utiliser le caractère unique de la factorisation dans leur raisonnement, comme l'avaient fait des centaines de mathématiciens avant eux. Cependant, les deux preuves présentées à l’Académie utilisaient des nombres imaginaires. Kummer a attiré l'attention de Liouville sur le fait que même si le théorème de factorisation unique est valable pour les nombres entiers, il n'est pas nécessairement valable si des nombres imaginaires sont utilisés. Selon Kummer, ce fut une erreur fatale.

Par exemple, si on se limite aux entiers, alors le nombre 12 admet une décomposition unique de 2·2·3. Mais si l’on autorise les nombres imaginaires dans la preuve, le nombre 12 peut être factorisé comme ceci :

12 = (1 + v–11)·(1 + v–11).

Ici 1 + v–11 est un nombre complexe qui est une combinaison d’un nombre réel et d’un nombre imaginaire. Bien que la multiplication de nombres complexes suive des règles plus complexes que la multiplication de nombres réels, l’existence de nombres complexes donne lieu à des façons supplémentaires de factoriser le nombre 12. Voici une autre façon de décomposer le nombre 12 :

12 = (2 + v–8)·(2 + v–8).

Par conséquent, lorsqu'on utilise des nombres imaginaires dans la preuve, on ne parle pas de l'unicité de la décomposition, mais du choix d'une des variantes de factorisation.

Ainsi, la perte de l’unicité de la factorisation a causé de lourds dommages aux preuves de Cauchy et Lamé, mais ne les a pas complètement détruites. La preuve était censée démontrer la non-existence de solutions entières à l'équation xn + o n = z n, Où n- tout entier supérieur à 2. Comme nous l'avons déjà mentionné dans ce chapitre, en réalité le Dernier Théorème de Fermat n'a besoin d'être démontré que pour les valeurs premières n. Kummer a montré qu'en utilisant des astuces supplémentaires, il est possible de restaurer l'unicité de la factorisation pour certaines valeurs n. Par exemple, le problème de l'unicité de la décomposition peut être contourné pour tous les nombres premiers n'excédant pas n= 31 (y compris la valeur elle-même n= 31). Mais quand n= 37 se débarrasser des difficultés n'est pas si facile. Parmi les nombres inférieurs à 100, il est particulièrement difficile de prouver le dernier théorème de Fermat pour n= 59 et n= 67. Ces nombres premiers dits irréguliers, dispersés parmi le reste des nombres, sont devenus une pierre d'achoppement sur la voie d'une preuve complète.

Kummer a noté qu'il n'existe aucune méthode mathématique connue qui permettrait de considérer tous les nombres premiers irréguliers d'un seul coup. Mais il pensait qu’en adaptant soigneusement les méthodes existantes à chaque nombre premier irrégulier séparément, il serait capable de les traiter « un par un ». Le développement de telles méthodes sur mesure serait lent et extrêmement difficile, et pour aggraver les choses, le nombre de nombres premiers irréguliers serait infini. L’examen des nombres premiers irréguliers un par un par l’ensemble de la communauté mathématique mondiale s’étendra jusqu’à la fin des siècles.

La lettre de Kummer eut un effet stupéfiant sur Lame. Oubliez l'hypothèse de factorisation unique ! Au mieux, cela pourrait s’appeler un optimisme excessif, au pire, une bêtise impardonnable. Lame s'est rendu compte que s'il n'avait pas cherché à garder secrets les détails de son travail, il aurait pu découvrir la lacune beaucoup plus tôt. Dans une lettre adressée à son collègue Dirichlet à Berlin, il admet : « Si seulement vous aviez été à Paris, ou si j'avais été à Berlin, tout cela ne serait jamais arrivé. » Si Lamé se sent humilié, Cauchy refuse de s'avouer vaincu. À son avis, comparée à la preuve de Lamé, sa propre preuve reposait moins sur l'unicité de la factorisation, et jusqu'à ce que l'analyse de Kummer soit entièrement vérifiée, il est possible qu'une erreur se soit glissée quelque part dans le raisonnement du mathématicien allemand. Pendant plusieurs semaines, Cauchy a continué à publier article après article sur la preuve du dernier théorème de Fermat, mais à la fin de l'été, lui aussi était devenu silencieux.

Kummer a montré qu'une preuve complète du dernier théorème de Fermat dépassait les capacités des approches mathématiques existantes. C'était un brillant exemple de logique et en même temps un coup monstrueux pour toute une génération de mathématiciens qui espéraient être capables de résoudre le problème mathématique le plus difficile du monde.

Le résumé fut résumé par Cauchy, qui écrivait en 1857 dans le rapport final présenté à l'Académie concernant le prix décerné pour la preuve du dernier théorème de Fermat : « Rapport sur le concours pour le prix des sciences mathématiques. Le concours était prévu pour 1853 puis prolongé jusqu'en 1856. Onze mémoires ont été présentés au secrétaire. Dans aucun d’eux, la question posée n’a été résolue. Ainsi, bien qu’elle ait été posée à maintes reprises, la question reste de savoir où M. Kummer en est resté. Cependant, les sciences mathématiques ont été récompensées par les travaux entrepris par les géomètres pour tenter de résoudre la question, notamment par M. Kummer, et les membres de la Commission estiment que l'Académie aurait pris une décision suffisante et utile si, s'étant retirée la question du concours, elle avait décerné une médaille à M. Kummer pour ses excellentes études sur les nombres complexes constitués de racines d'unité et d'entiers.

Pendant plus de deux siècles, toute tentative de redécouvrir la preuve du dernier théorème de Fermat s'est soldée par un échec. Dans sa jeunesse, Andrew Wiles étudie les œuvres d'Euler, Germaine, Cauchy, Lamé et enfin Kummer. Wiles espérait pouvoir apprendre des erreurs commises par ses grands prédécesseurs, mais au moment où il est devenu étudiant à l'Université d'Oxford, le même mur de pierre que Kummer avait dressé sur son chemin se dressait sur son chemin.

Certains contemporains de Wiles commencèrent à soupçonner que le problème de Fermat pourrait être insoluble. Il est possible que Fermat se soit trompé, et donc la raison pour laquelle personne n'a été capable de reconstituer la preuve de Fermat est simplement qu'une telle preuve n'a jamais existé. Wiles s'est inspiré du fait que dans le passé, après des efforts persistants pendant des siècles, pour certaines significations n Une preuve du dernier théorème de Fermat a finalement été découverte. Et dans certains de ces cas, les idées réussies qui ont résolu le problème ne reposaient pas sur de nouveaux progrès mathématiques ; au contraire, il s’agissait de preuves qui auraient pu être découvertes depuis longtemps.

L’hypothèse du point est un exemple de problème qui résiste obstinément à une solution depuis des décennies. Il s'agit de plusieurs points dont chacun est relié à d'autres points par des lignes droites, comme le montre la Fig. 13. L'hypothèse stipule qu'il est impossible de tracer un diagramme de ce type de telle sorte qu'au moins trois points se trouvent sur chaque ligne (nous excluons de l'examen un diagramme dans lequel tous les points se trouvent sur la même ligne). En expérimentant plusieurs diagrammes, nous pouvons vérifier que l’hypothèse du point semble correcte. Sur la fig. 13 UN cinq points sont reliés par six lignes droites. Il n'y a pas trois points sur quatre de ces droites, et il est donc clair que cet arrangement de points ne satisfait pas à l'exigence du problème, selon lequel chaque droite a trois points.

Riz. 13. Dans ces diagrammes, chaque point est relié à chacun des autres points par des lignes droites. Est-il possible de construire un diagramme dans lequel chaque droite passe par au moins trois points ?

En ajoutant un point et une ligne qui le traverse, nous avons réduit à trois le nombre de lignes ne contenant pas trois points. Mais une réduction plus poussée du diagramme aux conditions de l'hypothèse (un tel réarrangement du diagramme, à la suite duquel il y aurait trois points sur chaque ligne droite), est apparemment impossible. Bien entendu, cela ne prouve pas qu’un tel schéma n’existe pas.

Des générations de mathématiciens ont tenté de trouver une preuve de l’hypothèse apparemment simple des points – et ont échoué. Cette hypothèse est d’autant plus irritante que lorsque la solution a finalement été trouvée, il s’est avéré qu’elle ne nécessitait qu’une connaissance minimale des mathématiques et une extraordinaire tournure du raisonnement. L’avancement de la preuve est présenté en annexe 6.

Il est fort possible que toutes les méthodes nécessaires pour prouver le dernier théorème de Fermat soient déjà à la disposition des mathématiciens et que le seul ingrédient manquant soit une astuce ingénieuse. Wiles n'allait pas abandonner : son rêve d'enfant de prouver le dernier théorème de Fermat s'est transformé en une passion profonde et sérieuse. Ayant appris tout ce qu’il y avait à savoir sur les mathématiques du XIXe siècle, Wiles a décidé d’adopter les méthodes du XXe siècle.

Remarques :

Je me suis souvenu de la phrase de Titchmarsh : "J'ai récemment rencontré un homme qui m'a dit qu'il ne croyait même pas à l'existence de moins un, puisque cela implique l'existence de sa racine carrée :) - E.G.A.

Je vais vous donner une illustration d’un nouveau client emménageant dans l’hôtel de Gilbert. Il est tiré du livre « Proofs from THE BOOK », publié par Springer en 1998 et réédité en 2001. Auteurs : Martin Aigner et Gunter M. Ziegler. Une petite citation de la préface des auteurs à ce livre : "Paul Erdos aimait parler du Livre, dans lequel Dieu maintient les preuves parfaites des théorèmes mathématiques, suivant le dicton de G. H. Hardy selon lequel il n'y a pas de place permanente pour les mathématiques laides. Erdos a également dit qu'il n'est pas nécessaire de croire en Dieu mais qu'en tant que mathématicien, vous devez croire au Livre. Nous n'avons aucune définition ou caractérisation de ce qui constitue une preuve tirée du Livre : tout ce que nous proposons ici, ce sont les exemples que nous avons sélectionnés, en espérant que notre les lecteurs partageront notre enthousiasme pour les idées brillantes, les idées intelligentes et les observations merveilleuses. Nous espérons également que nos lecteurs apprécieront cela malgré les imperfections de notre exposition. La sélection est dans une large mesure influencée par Paul Erdos lui-même. Cette illustration ouvre le chapitre « Ensembles, fonctions et hypothèse du continu ». - E.G.A.

Hmm... J'ai lu quelque part qu'il a payé de sa vie en criant : « Attention ! Ne marchez pas sur mes dessins ! », mais le soldat romain à qui cette exclamation était adressée ne prêta pas attention au fait que devant lui se trouvait un vieil homme non armé. :(Et dans le livre « Preuves du LIVRE » que j'ai mentionné plus tôt, le chapitre « Théorie des nombres » est précédé d'un dessin dans lequel il n'y a pas de lance. Apparemment, l'artiste ne connaissait pas non plus les détails de la mort d'Archimède. - E.G.A.

Autour et autour

Tout d’abord, par souci d’exhaustivité, je voudrais présenter ici la preuve du théorème de Pythagore, qui, à mon avis, est la plus élégante et la plus évidente. L'image ci-dessus montre deux carrés identiques : gauche et droite. On peut voir sur la figure qu'à gauche et à droite les aires des figures ombrées sont égales, puisque dans chacun des grands carrés il y a 4 triangles rectangles identiques ombrés. Cela signifie que les zones non ombrées (blanches) à gauche et à droite sont également égales. On note que dans le premier cas l'aire de la figure non ombrée est égale à , et dans le second cas l'aire de la région non ombrée est égale à . Ainsi, . Le théorème est prouvé !

Comment appeler ces numéros ? Vous ne pouvez pas les appeler des triangles, car quatre nombres ne peuvent pas former un triangle. Et ici ! Comme un éclair venu du bleu

Puisqu’il existe de tels quadruples de nombres, cela signifie qu’il doit y avoir un objet géométrique avec les mêmes propriétés reflétées dans ces nombres !

Il ne reste plus qu'à sélectionner un objet géométrique pour cette propriété, et tout se mettra en place ! Bien entendu, cette hypothèse était purement hypothétique et n’avait aucun fondement. Mais et si c'était le cas !

La sélection des objets a commencé. Étoiles, polygones, réguliers, irréguliers, à angle droit, etc. Encore une fois, rien ne rentre. Ce qu'il faut faire? Et à ce moment-là, Sherlock obtient sa deuxième avance.

Il faut augmenter la taille ! Puisque trois correspond à un triangle sur un plan, alors quatre correspond à quelque chose de tridimensionnel !

Oh non! Encore trop d'options ! Et en trois dimensions, il existe beaucoup plus de corps géométriques différents. Essayez de tous les parcourir ! Mais tout n’est pas mauvais. Il y a aussi un angle droit et d'autres indices ! Qu'avons-nous ? Quatre chiffres égyptiens (qu'ils soient égyptiens, il faut les appeler quelque chose), un angle droit (ou des angles) et un objet tridimensionnel. La déduction a fonctionné ! Et... Je crois que les lecteurs à l'esprit vif ont déjà compris qu'il s'agit de pyramides dont, à l'un des sommets, les trois angles sont droits. Vous pouvez même les appeler pyramides rectangulaires semblable à un triangle rectangle.

Nouveau théorème

L'image montre une pyramide dont le sommet est à l'origine de coordonnées rectangulaires (la pyramide semble couchée sur le côté). La pyramide est formée de trois vecteurs mutuellement perpendiculaires tracés à partir de l'origine le long des axes de coordonnées. Autrement dit, chaque face latérale de la pyramide est un triangle rectangle avec un angle droit à l'origine. Les extrémités des vecteurs définissent le plan de coupe et forment la face de base de la pyramide.

Théorème

Soit une pyramide rectangulaire formée de trois vecteurs perpendiculaires entre eux, dont les aires sont égales à - , et l'aire de la face de l'hypoténuse est - . Alors

Formulation alternative : Pour une pyramide tétraédrique, dans laquelle à l'un des sommets tous les angles plans sont droits, la somme des carrés des aires des faces latérales est égale au carré de l'aire de la base.

Bien sûr, si le théorème habituel de Pythagore est formulé pour les longueurs des côtés des triangles, alors notre théorème est formulé pour les aires des côtés de la pyramide. Prouver ce théorème en trois dimensions est très simple si vous connaissez un peu l’algèbre vectorielle.

Preuve

Exprimons les aires en termes de longueurs des vecteurs.

Où .

Imaginons l'aire comme la moitié de l'aire d'un parallélogramme construit sur les vecteurs et

Comme on le sait, le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur dont la longueur est numériquement égale à l'aire du parallélogramme construit sur ces vecteurs.
C'est pourquoi

Ainsi,

Q.E.D !

Bien sûr, en tant que personne professionnellement engagée dans la recherche, cela s’est déjà produit dans ma vie, plus d’une fois. Mais ce moment fut le plus brillant et le plus mémorable. J'ai vécu toute la gamme des sentiments, des émotions et des expériences d'un découvreur. De la naissance d'une pensée, la cristallisation d'une idée, la découverte d'évidences - jusqu'à l'incompréhension totale et même le rejet que mes idées ont rencontré parmi mes amis, mes connaissances et, comme il me semblait alors, dans le monde entier. C'était unique ! J'avais l'impression d'être à la place de Galilée, Copernic, Newton, Schrödinger, Bohr, Einstein et bien d'autres découvreurs.

Épilogue

Dans la vie, tout s'est avéré beaucoup plus simple et prosaïque. J'étais en retard... Mais de combien ! A seulement 18 ans ! Sous de terribles tortures prolongées et ce n'est pas la première fois, Google m'a avoué que ce théorème avait été publié en 1996 !

Cet article a été publié par Texas Tech University Press. Les auteurs, des mathématiciens professionnels, ont introduit une terminologie (qui, soit dit en passant, coïncidait largement avec la mienne) et ont également prouvé un théorème généralisé valable pour un espace de toute dimension supérieure à un. Que se passe-t-il dans les dimensions supérieures à 3 ? Tout est très simple : à la place des faces et des zones, il y aura des hypersurfaces et des volumes multidimensionnels. Et l'énoncé, bien sûr, restera le même : la somme des carrés des volumes des faces latérales est égale au carré du volume de la base - seul le nombre de faces sera plus grand, et le volume de chacune d'entre eux seront égaux à la moitié du produit des vecteurs générateurs. C'est presque impossible à imaginer ! On ne peut que penser, comme disent les philosophes !

Étonnamment, lorsque j'ai appris qu'un tel théorème était déjà connu, je n'étais pas du tout contrarié. Quelque part au plus profond de mon âme, je soupçonnais qu'il était fort possible que je ne sois pas le premier, et j'ai compris que je devais toujours être préparé à cela. Mais l’expérience émotionnelle que j’ai vécue a allumé en moi une étincelle de chercheur qui, j’en suis sûr, ne s’effacera plus jamais !

P.S.

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Théorème de De Gois

Extrait de Wikipédia

En 1783, le théorème fut présenté à l'Académie des sciences de Paris par le mathématicien français J.-P. de Gois, mais elle était connue auparavant de René Descartes et avant lui de Johann Fulgaber, qui fut probablement le premier à la découvrir en 1622. Sous une forme plus générale, le théorème a été formulé par Charles Tinsault (français) dans un rapport à l'Académie des sciences de Paris en 1774.

Je n’étais donc pas en retard de 18 ans, mais d’au moins quelques siècles !

Sources

Les lecteurs ont fourni plusieurs liens utiles dans les commentaires. Voici ces liens et quelques autres :