Cercle trigonométrique. Le guide ultime (2019)

Cercle de nombres est un cercle unité dont les points correspondent à certains nombres réels.

Un cercle unité est un cercle de rayon 1.

Vue générale du cercle numérique.

1) Son rayon est pris comme unité de mesure.

2) Les diamètres horizontal et vertical divisent le cercle numérique en quatre quarts. Ils sont respectivement appelés premier, deuxième, troisième et quatrième trimestre.

3) Le diamètre horizontal est noté AC, A étant l'extrême droite point.
Le diamètre vertical est noté BD, B étant le point le plus haut.
Respectivement:

le premier quart est l'arc AB

deuxième quart - arc BC

troisième quart-temps - arc CD

quatrième quart - arc DA

4) Le point de départ du cercle numérique est le point A.

Compter le long du cercle numérique peut être effectué dans le sens des aiguilles d’une montre ou dans le sens inverse.

Compter à partir du point A contre dans le sens des aiguilles d'une montre s'appelle direction positive.

Compter à partir du point A Par appelé dans le sens des aiguilles d'une montre sens négatif.

Cercle numérique sur le plan de coordonnées.

Le centre du rayon du cercle numérique correspond à l'origine (chiffre 0).

Le diamètre horizontal correspond à l'axe x, axe vertical oui.

Point de départ Un cercle chiffréle tee est sur l'axexet a les coordonnées (1 ; 0).

Noms et emplacements des principaux points sur le cercle numérique :

Comment mémoriser les noms des cercles numériques.

Il existe plusieurs modèles simples qui vous aideront à mémoriser facilement les noms de base du cercle numérique.

Avant de commencer, rappelons : le comptage s'effectue dans le sens positif, c'est-à-dire à partir du point A (2π) dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

1) Commençons par les points extrêmes sur les axes de coordonnées.

Le point de départ est 2π (le point le plus à droite de l’axe X, égal à 1).

Comme vous le savez, 2π est la circonférence d’un cercle. Cela signifie qu'un demi-cercle vaut 1π ou π. Axe X divise le cercle exactement en deux. En conséquence, le point le plus à gauche de l'axe Xégal à -1 est appelé π.

Le point le plus haut de l'axe à, égal à 1, divise le demi-cercle supérieur en deux. Cela signifie que si un demi-cercle est π, alors un demi-cercle est π/2.

En même temps, π/2 est aussi un quart de cercle. Comptons trois de ces quarts du premier au troisième - et nous arriverons au point le plus bas de l'axe à, égal à -1. Mais s’il comprend les trois quarts, alors son nom est 3π/2.

2) Passons maintenant aux points restants. Attention : tous les points opposés ont le même dénominateur - et ce sont des points opposés par rapport à l'axe à, à la fois par rapport au centre des axes et par rapport à l'axe X. Cela nous aidera à connaître leurs valeurs en points sans bourrer.

Il suffit de retenir la signification des points du premier quart : π/6, π/4 et π/3. Et puis nous « verrons » quelques modèles :

- Par rapport à l'axe à aux points du deuxième trimestre, à l'opposé des points du premier trimestre, les nombres dans les numérateurs sont inférieurs de 1 à la taille des dénominateurs. Par exemple, prenons le point π/6. Le point opposé à lui par rapport à l'axe à a également 6 au dénominateur et 5 au numérateur (1 de moins). Autrement dit, le nom de ce point est : 5π/6. Le point opposé à π/4 a également 4 au dénominateur et 3 au numérateur (1 inférieur à 4) - c'est-à-dire qu'il s'agit d'un point 3π/4.
Le point opposé à π/3 a également 3 au dénominateur, et 1 de moins au numérateur : 2π/3.

- Par rapport au centre des axes de coordonnées tout est inversé : les nombres aux numérateurs des points opposés (au troisième trimestre) sont supérieurs de 1 à la valeur des dénominateurs. Reprenons le point π/6. Le point opposé par rapport au centre a également 6 au dénominateur, et au numérateur le nombre est 1 de plus, c'est-à-dire qu'il est 7π/6.
Le point opposé au point π/4 a également 4 au dénominateur, et au numérateur le nombre est 1 de plus : 5π/4.
Le point opposé au point π/3 a également 3 au dénominateur, et au numérateur le nombre est 1 de plus : 4π/3.

- Par rapport à l'axe X(quatrième trimestre) la question est plus compliquée. Ici, vous devez ajouter à la valeur du dénominateur un nombre inférieur de 1 - cette somme sera égale à la partie numérique du numérateur du point opposé. Reprenons avec π/6. Ajoutons à la valeur du dénominateur égale à 6 un nombre inférieur de 1 à ce nombre, soit 5. On obtient : 6 + 5 = 11. Cela signifie qu'il est opposé à l'axe X le point aura 6 au dénominateur et 11 au numérateur, soit 11π/6.

Point π/4. On ajoute à la valeur du dénominateur un nombre de moins 1 : 4 + 3 = 7. Cela signifie qu'il lui est opposé par rapport à l'axe X le point a 4 au dénominateur et 7 au numérateur, soit 7π/4.
Point π/3. Le dénominateur est 3. Nous ajoutons à 3 un nombre plus petit de un, c'est-à-dire 2. Nous obtenons 5. Cela signifie que le point opposé a 5 au numérateur - et c'est le point 5π/3.

3) Un autre motif pour les points des milieux des quartiers. Il est clair que leur dénominateur est 4. Faisons attention aux numérateurs. Le numérateur du milieu du premier trimestre est 1π (mais il n'est pas d'usage d'écrire 1). Le numérateur du milieu du deuxième trimestre est 3π. Le numérateur du milieu du troisième quart est 5π. Le numérateur du milieu du quatrième trimestre est 7π. Il s'avère que les numérateurs des quartiers du milieu contiennent les quatre premiers nombres impairs par ordre croissant :
(1)π, 3π, 5π, 7π.
C'est aussi très simple. Puisque les milieux de tous les quartiers ont 4 au dénominateur, nous connaissons déjà leurs noms complets : π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Caractéristiques du cercle numérique. Comparaison avec la droite numérique.

Comme vous le savez, sur la droite numérique, chaque point correspond à un seul nombre. Par exemple, si le point A d’une droite est égal à 3, alors il ne peut plus être égal à aucun autre nombre.

C'est différent sur le cercle numérique parce que c'est un cercle. Par exemple, pour venir du point A d'un cercle au point M, vous pouvez le faire comme sur une ligne droite (en passant seulement un arc), ou vous pouvez faire le tour d'un cercle entier, puis arriver au point M. Conclusion:

Soit le point M égal à un nombre t. Comme nous le savons, la circonférence d’un cercle est 2π. Cela signifie que l’on peut écrire un point sur un cercle t de deux manières : t ou t + 2π. Ce sont des valeurs équivalentes.
Autrement dit, t = t + 2π. La seule différence est que dans le premier cas, vous êtes arrivé immédiatement au point M sans faire de cercle, et dans le second cas, vous avez fait un cercle, mais vous êtes arrivé au même point M. Vous pouvez en faire deux, trois ou deux cents. cercles. Si on note le nombre de cercles par la lettre n, on obtient alors une nouvelle expression :
t = t + 2π n.

D'où la formule :

Établissement d'enseignement municipal école secondaire n°1

KHMAO-Yugra

Développement de la leçon

en 10ème année

sur l'algèbre et les principes d'analyse

Nadejda Mikhaïlovna

professeur de mathématiques

Sovetski

Sujet : TRIGONOMÉTRIE

Fonctions trigonométriques

Équations trigonométriques

Transformations trigonométriques

Cercle numérique activé

plan de coordonnées

La matière est enseignée à l'aide de la technologie modulaire en blocs.

Cette leçon est l'une des leçons pour apprendre du nouveau matériel. Par conséquent, la majeure partie de la leçon est consacrée à l'apprentissage de nouvelles matières et les étudiants effectuent la plupart de ce travail de manière indépendante.

Types d'activités étudiantes dans la leçon : travail frontal, indépendant et individuel.

Étant donné que beaucoup de travail doit être effectué dans une leçon et que les résultats des activités des élèves doivent être surveillés, un tableau blanc interactif est utilisé aux étapes de mise à jour des connaissances et d'apprentissage de nouveau matériel. Pour une représentation plus visuelle de la superposition du cercle numérique sur le plan de coordonnées et pour une réflexion sur le contenu du matériel pédagogique à la fin de la session de formation, des présentations Power Point sont également utilisées.

pédagogique

Apprendre à acquérir des connaissances de manière autonome

nourrir

Cultiver le sang-froid, la responsabilité, la diligence

développement

Apprendre à analyser, comparer, construire des analogies

Plan de cours :

1) Moment d'organisation, sujet, but de la leçon 2 min.

2) Actualisation des connaissances 4 min.

3) Apprendre du nouveau matériel 30 min.

4) Réflexion 3 min.

5) Résumé de la leçon 1 min.

Moment d'organisation

Cercle de nombres

plan de coordonnées

considérons le cercle numérique sur le plan de coordonnées ; trouver ensemble les coordonnées de deux points ; puis compilez indépendamment des tableaux de valeurs de coordonnées des autres points principaux du cercle ;

testez votre capacité à trouver les coordonnées de points sur un cercle numérique.

Actualisation des connaissances

Dans le cours de géométrie de 9e année, nous avons étudié les éléments suivants

matériel:

Sur un demi-cercle unité (R = 1) on a considéré un point M de coordonnées X Et à

Extraits d'un manuel de géométrie

Ayant appris à trouver les coordonnées d'un point sur le cercle unité,

Passons facilement à leurs autres noms : sinus et cosinus, c'est-à-dire

au sujet principal - TRIGONOMÉTRIE

La première tâche est donnée sur le tableau blanc interactif, où les élèves doivent placer les points et leurs nombres correspondants à des endroits sur le cercle numérique en les faisant glisser avec leur doigt sur le tableau.

Tâche 1

Nous avons obtenu le résultat :

La deuxième tâche est donnée sur le tableau interactif. Les réponses sont fermées par un « rideau » et se révèlent au fur et à mesure de leur résolution.

Tâche 2

Résultat de la tâche :

Apprendre du nouveau matériel

Prenons un système de coordonnées et plaçons dessus un cercle numérique de manière à ce que leurs centres coïncident et que le rayon horizontal du cercle coïncide avec la direction positive de l'axe OX (présentation Power Point)

En conséquence, nous avons des points qui appartiennent à la fois au cercle numérique et au plan de coordonnées. Considérons l'un de ces points, par exemple le point M (présentation Power Point)

M(t)

Traçons les coordonnées de ce point

Trouvons les coordonnées des points qui nous intéressent sur le cercle unité, que nous avons considéré plus tôt avec les dénominateurs 4, 3, 6 et le numérateur π.

Trouver les coordonnées du point sur le cercle unité correspondant au nombre et, par conséquent, l'angle

Tâche 3

(Présentation Power Point)

Décrivons le rayon et les coordonnées du point

Par le théorème de Pythagore, nous avons X 2+x 2 = 12

Mais les angles du triangle sont π/4 = 45° , Cela signifie que le triangle est isocèle et x = oui

Trouver les coordonnées d'un point sur le cercle unité correspondant aux nombres (angles)

Tâche 4

(Présentation Power Point)

Moyens à= 1/2

D'après le théorème de Pythagore

Les triangles sont égaux en hypoténuse

et un angle aigu, ce qui signifie que leurs jambes sont égales

Lors de la leçon précédente, les élèves ont reçu des feuilles contenant des cercles numériques vierges et divers tableaux.

Remplissez le premier tableau.

Tâche 5

(tableau blanc interactif)

Tout d’abord, entrez dans le tableau les points du cercle qui sont des multiples de 2 et 4.

Vérification du résultat :

(tableau blanc interactif)

Remplissez vous-même les ordonnées et les abscisses de ces points dans le tableau en tenant compte des signes de coordonnées, selon le quartier dans lequel se situe le point, en utilisant les longueurs des segments obtenues ci-dessus pour les coordonnées des points.

Tâche 6

L'un des étudiants nomme les résultats obtenus, les autres vérifient leurs réponses, puis pour réussir à corriger les résultats (puisque ces tableaux seront utilisés plus tard dans le travail pour développer des compétences et approfondir les connaissances sur le sujet), un tableau correctement complété est affiché sur le tableau interactif.

Vérification du résultat :

(tableau blanc interactif)

Remplissez le deuxième tableau.

Tâche 7

(tableau blanc interactif)

Tout d'abord, entrez dans le tableau les points du cercle qui sont des multiples de 3 et 6.

Vérification du résultat :

(tableau blanc interactif)

Remplissez vous-même les ordonnées et les abscisses de ces points dans le tableau

Tâche 8

Vérification du résultat :

(tableau blanc interactif)

(Présentation Power Point)

Faisons une courte dictée mathématique suivie d'une maîtrise de soi.

1) Trouver les coordonnées des points du cercle unité :

Option 2

1 possibilité

2) Trouver l'abscisse des points du cercle unité :

1) Trouver les coordonnées des points sur le cercle unité

Option 2

1 possibilité

2) Trouver l'abscisse des points sur le cercle unité

Testez-vous

3) Trouver les ordonnées des points du cercle unité :

Pour vous-même, vous pouvez noter « 5 » pour 4 exemples complétés,

« 4 » pour 3 exemples et marquez « 3 » pour 2 exemples

Résumer la leçon

1) A l'avenir, pour trouver les valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente des points et des angles, il faudra apprendre des tableaux complétés les valeurs des coordonnées des points appartenant au premier quart car en outre, nous apprendrons à exprimer les valeurs de coordonnées de tous les autres points à travers les valeurs des points du premier quart ;

2) Préparez des questions théoriques pour les tests.

Devoirs:

Résumé de la leçon

La note est attribuée aux étudiants qui ont travaillé le plus activement pendant la leçon. Le travail de tous les élèves n'est pas noté, puisque les erreurs sont corrigées immédiatement pendant le cours. La dictée a été réalisée pour la maîtrise de soi ; le volume est insuffisant pour l'évaluation.

La géométrie analytique fournit des techniques uniformes pour résoudre des problèmes géométriques. Pour ce faire, tous les points et lignes donnés et recherchés sont attribués à un seul système de coordonnées.

Dans un système de coordonnées, chaque point peut être caractérisé par ses coordonnées, et chaque ligne - par une équation à deux inconnues, dont est le graphique cette ligne. Ainsi, le problème géométrique est réduit à un problème algébrique, où toutes les méthodes de calcul sont bien développées.

Un cercle est un lieu géométrique de points possédant une propriété spécifique (chaque point du cercle est équidistant d’un point appelé centre). L'équation d'un cercle doit refléter cette propriété et satisfaire cette condition.

L'interprétation géométrique de l'équation d'un cercle est la ligne d'un cercle.

Si vous placez un cercle dans un système de coordonnées, alors tous les points du cercle satisfont à une condition : la distance entre eux et le centre du cercle doit être la même et égale à celle du cercle.

Cercle avec le centre en un point UN et rayon R. placez-le dans le plan de coordonnées.

Si le centre coordonne (un;b) , et les coordonnées de n'importe quel point du cercle (x;y) , alors l'équation du cercle a la forme :

Si le carré du rayon d'un cercle est égal à la somme des carrés des différences entre les coordonnées correspondantes de n'importe quel point du cercle et son centre, alors cette équation est l'équation d'un cercle dans un système de coordonnées planes.

Si le centre du cercle coïncide avec l'origine, alors le carré du rayon du cercle est égal à la somme des carrés des coordonnées de n'importe quel point du cercle. Dans ce cas, l’équation du cercle prend la forme :

Exemples de résolution de problèmes sur l'équation d'un cercle

Tâche. Écrire une équation pour un cercle donné

Solution.
Passons à la formule de l'équation d'un cercle :
R 2 = (x-a) 2 + (y-b) 2

Remplaçons les valeurs dans la formule.
Rayon du cercle R = 4
Coordonnées du centre du cercle (selon la condition)
une = 2
b = -3

On obtient :
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
ou
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

Tâche. Un point appartient-il à l'équation d'un cercle ?

Solution.
Si un point appartient à un cercle, alors ses coordonnées satisfont à l'équation du cercle.
Pour vérifier si un point avec des coordonnées données appartient à un cercle, on substitue les coordonnées du point dans l'équation du cercle donné.

Dans l'équation ( x - 2) 2 + (oui + 3) 2 = 16
Substituons, selon la condition, les coordonnées du point A(2;3), soit
x = 2
y=3

Vérifions la véracité de l'égalité résultante
(x - 2) 2 + (oui + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 l'égalité est fausse

Donc le point donné n'appartient paséquation donnée d'un cercle.

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Légendes des diapositives :

Cercle numérique dans le plan de coordonnées

Répétons : Le cercle unité est un cercle numérique dont le rayon est 1. R=1 C=2 π + - y x

Si le point M du cercle numérique correspond au nombre t, alors il correspond également à un nombre de la forme t+2 π k, où k est n'importe quel nombre entier (k ϵ Z). M(t) = M(t+2 π k), où k ϵ Z

Dispositions de base Première disposition 0 π y x Deuxième disposition y x

x y 1 A(1, 0) B (0, 1) C (- 1, 0) D (0, -1) 0 x>0 y>0 x 0 x 0 y

Trouvons les coordonnées du point M correspondant au point. 1) 2) x y M P 45° O A

Coordonnées des points principaux du premier tracé 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 D y x

M P x y O A Trouvons les coordonnées du point M correspondant au point. 1) 2) 30°

M P Trouver les coordonnées du point M correspondant au point. 1) 2) 30° x y O A B

En utilisant la propriété de symétrie, on trouve les coordonnées des points multiples de y x

Coordonnées des points principaux du deuxième tracé x y x y y x

Exemple Trouvez les coordonnées d'un point sur un cercle numérique. Solution : P y x

Exemple Trouver des points en ordonnée sur le cercle numérique Solution : y x ​​​​x y x y

Exercices : Trouvez les coordonnées des points sur le cercle numérique : a) , b) . Trouvez les points en abscisse sur le cercle numérique.

Coordonnées des points principaux 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 Coordonnées des points principaux du premier tracé x y x y Coordonnées du principal points du deuxième tracé

Sur le thème : évolutions méthodologiques, présentations et notes

Matériel didactique sur l'algèbre et les débuts de l'analyse en 10e année (niveau profil) "Cercle numérique sur le plan de coordonnées"

Option 1.1. Trouvez le point sur le cercle numérique : A) -2∏/3B) 72. Quel quart du cercle numérique correspond au point 16.3.

Si vous placez le cercle du numéro d'unité sur le plan de coordonnées, vous pouvez alors trouver les coordonnées de ses points. Le cercle numérique est positionné de manière à ce que son centre coïncide avec l'origine du plan, c'est-à-dire le point O (0 ; 0).

Habituellement sur le cercle du numéro d'unité sont marqués les points correspondant à l'origine du cercle

• quarts - 0 ou 2π, π/2, π, (2π)/3,
• quartiers du milieu - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• tiers des quarts - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Sur le plan de coordonnées, avec l'emplacement ci-dessus du cercle unité, vous pouvez trouver les coordonnées correspondant à ces points du cercle.

Les coordonnées des extrémités des quartiers sont très faciles à retrouver. Au point 0 du cercle, la coordonnée x est 1 et la coordonnée y est 0. Nous pouvons la noter comme A (0) = A (1; 0).

La fin du premier trimestre sera située sur l’axe des y positif. Par conséquent, B (π/2) = B (0 ; 1).

La fin du deuxième quart se situe sur le demi-axe négatif : C (π) = C (-1 ; 0).

Fin du troisième trimestre : D ((2π)/3) = D (0 ; -1).

Mais comment trouver les coordonnées des milieux des quartiers ? Pour ce faire, construisez un triangle rectangle. Son hypoténuse est un segment allant du centre du cercle (ou origine) au milieu du quart de cercle. C'est le rayon du cercle. Puisqu'il existe un cercle unité, l'hypoténuse est égale à 1. Ensuite, tracez une perpendiculaire d'un point du cercle à n'importe quel axe. Que ce soit vers l'axe des x. Le résultat est un triangle rectangle dont les longueurs des branches sont les coordonnées x et y du point sur le cercle.

Un quart de cercle fait 90º. Et un demi-quart fait 45º. Puisque l’hypoténuse est tirée jusqu’au milieu du quadrant, l’angle entre l’hypoténuse et la jambe partant de l’origine est de 45º. Mais la somme des angles de n’importe quel triangle est de 180º. Par conséquent, l’angle entre l’hypoténuse et l’autre jambe reste également de 45º. Cela donne un triangle rectangle isocèle.

Du théorème de Pythagore, nous obtenons l'équation x 2 + y 2 = 1 2. Puisque x = y et 1 2 = 1, l'équation se simplifie en x 2 + x 2 = 1. En la résolvant, nous obtenons x = √½ = 1/√2 = √2/2.

Ainsi, les coordonnées du point M 1 (π/4) = M 1 (√2/2 ; √2/2).

Dans les coordonnées des points des milieux des autres quartiers, seuls les signes changeront, et les modules des valeurs resteront les mêmes, puisque le triangle rectangle ne sera que retourné. On obtient :
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2 ; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2 ; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2 ; -√2/2)

Lors de la détermination des coordonnées des tiers des quarts d'un cercle, un triangle rectangle est également construit. Si nous prenons le point π/6 et traçons une perpendiculaire à l'axe des x, alors l'angle entre l'hypoténuse et la jambe située sur l'axe des x sera de 30º. On sait qu'une jambe opposée à un angle de 30º est égale à la moitié de l'hypoténuse. Cela signifie que nous avons trouvé la coordonnée y, elle est égale à ½.

Connaissant les longueurs de l'hypoténuse et d'une des jambes, en utilisant le théorème de Pythagore on trouve l'autre jambe :
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2

Ainsi T 1 (π/6) = T 1 (√3/2 ; ½).

Pour le point du deuxième tiers du premier quart (π/3), il vaut mieux tracer une perpendiculaire à l'axe des y. Alors l'angle à l'origine sera également de 30º. Ici, la coordonnée x sera égale à ½ et y, respectivement, √3/2 : T 2 (π/3) = T 2 (½ ; √3/2).

Pour les autres points des troisièmes quarts, les signes et l'ordre des valeurs de coordonnées changeront. Tous les points les plus proches de l'axe x auront une valeur de coordonnée de module x égale à √3/2. Les points les plus proches de l'axe y auront une valeur de module y égale à √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½ ; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2 ; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2 ; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2 ; -½)