Indiquer le type de solution partielle des équations différentielles. Problème de Cauchy et son interprétation géométrique

I. Équations différentielles ordinaires

1.1. Concepts et définitions de base

Une équation différentielle est une équation qui relie une variable indépendante x, la fonction requise oui et ses dérivés ou différentiels.

Symboliquement, l'équation différentielle s'écrit comme suit :

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Une équation différentielle est dite ordinaire si la fonction recherchée dépend d'une variable indépendante.

Résoudre une équation différentielle s'appelle une fonction qui transforme cette équation en une identité.

L'ordre de l'équation différentielle est l'ordre de la dérivée la plus élevée incluse dans cette équation

Exemples.

1. Considérons une équation différentielle du premier ordre

La solution de cette équation est la fonction y = 5 ln x. En effet, en substituant oui" dans l’équation, nous obtenons l’identité.

Et cela signifie que la fonction y = 5 ln x– est une solution de cette équation différentielle.

2. Considérons l'équation différentielle du second ordre y" - 5y" +6y = 0. La fonction est la solution de cette équation.

Vraiment, .

En substituant ces expressions dans l'équation, on obtient : , – identité.

Et cela signifie que la fonction est la solution de cette équation différentielle.

Intégration d'équations différentielles est le processus de recherche de solutions aux équations différentielles.

Solution générale de l'équation différentielle appelée fonction de la forme , qui comprend autant de constantes arbitraires indépendantes que l’ordre de l’équation.

Solution partielle de l'équation différentielle est une solution obtenue à partir d'une solution générale pour diverses valeurs numériques de constantes arbitraires. Les valeurs de constantes arbitraires se trouvent à certaines valeurs initiales de l'argument et de la fonction.

Le graphique d'une solution particulière à une équation différentielle est appelé courbe intégrale.

Exemples

1. Trouver une solution particulière à une équation différentielle du premier ordre

xdx + ydy = 0, Si oui= 4 à x = 3.

Solution. En intégrant les deux côtés de l’équation, on obtient

Commentaire. Une constante arbitraire C obtenue à la suite de l'intégration peut être représentée sous n'importe quelle forme pratique pour des transformations ultérieures. Dans ce cas, compte tenu de l'équation canonique d'un cercle, il convient de représenter une constante arbitraire C sous la forme .

- solution générale de l'équation différentielle.

Solution particulière de l'équation satisfaisant les conditions initiales oui = 4 à x = 3 est trouvé à partir du général en substituant les conditions initiales dans la solution générale : 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

En substituant C=5 dans la solution générale, on obtient x 2 + y 2 = 5 2 .

Il s'agit d'une solution particulière d'une équation différentielle obtenue à partir d'une solution générale dans des conditions initiales données.

2. Trouver la solution générale de l'équation différentielle

La solution de cette équation est n’importe quelle fonction de la forme , où C est une constante arbitraire. En effet, en substituant dans les équations, on obtient : , .

Par conséquent, cette équation différentielle a un nombre infini de solutions, puisque pour différentes valeurs de la constante C, l'égalité détermine différentes solutions à l'équation.

Par exemple, par substitution directe vous pouvez vérifier que les fonctions sont des solutions à l’équation.

Un problème dans lequel vous devez trouver une solution particulière à l'équation y" = f(x,y) satisfaisant la condition initiale y(x 0) = y 0, s'appelle le problème de Cauchy.

Résoudre l'équation y" = f(x,y), satisfaisant la condition initiale, y(x 0) = y 0, est appelé une solution au problème de Cauchy.

La solution du problème de Cauchy a une signification géométrique simple. En effet, selon ces définitions, pour résoudre le problème de Cauchy y" = f(x,y)étant donné que y(x 0) = y 0, signifie trouver la courbe intégrale de l'équation y" = f(x,y) qui passe par un point donné M 0 (x 0,oui 0).

II. Équations différentielles du premier ordre

2.1. Concepts de base

Une équation différentielle du premier ordre est une équation de la forme F(x,y,y") = 0.

Une équation différentielle du premier ordre inclut la dérivée première et n'inclut pas les dérivées d'ordre supérieur.

Équation y" = f(x,y) est appelée une équation du premier ordre résolue par rapport à la dérivée.

La solution générale d'une équation différentielle du premier ordre est une fonction de la forme , qui contient une constante arbitraire.

Exemple. Considérons une équation différentielle du premier ordre.

La solution de cette équation est la fonction.

En effet, en remplaçant cette équation par sa valeur, on obtient

c'est 3x=3x

Par conséquent, la fonction est une solution générale de l’équation pour toute constante C.

Trouver une solution particulière à cette équation qui satisfait la condition initiale y(1)=1 Remplacement des conditions initiales x = 1, y =1 dans la solution générale de l’équation, on obtient d’où C=0.

Ainsi, on obtient une solution particulière à partir de la solution générale en substituant dans cette équation la valeur résultante C=0– solution privée.

2.2. Équations différentielles à variables séparables

Une équation différentielle à variables séparables est une équation de la forme : y"=f(x)g(y) ou par différentiels, où f(x) Et g(y)– fonctions spécifiées.

Pour ceux oui, pour lequel , l'équation y"=f(x)g(y) est équivalent à l'équation, dans lequel la variable oui est présente uniquement sur le côté gauche et la variable x est uniquement sur le côté droit. Ils disent : « dans l'équation. y"=f(x)g(y Séparons les variables."

Équation de la forme appelée équation à variables séparées.

Intégrer les deux côtés de l’équation Par x, nous obtenons G(y) = F(x) + C est la solution générale de l'équation, où G(o) Et F(x)– quelques primitives, respectivement, de fonctions et f(x), C constante arbitraire.

Algorithme de résolution d'une équation différentielle du premier ordre à variables séparables

Exemple 1

Résoudre l'équation y" = xy

Solution. Dérivée d'une fonction oui" remplacez-le par

séparons les variables

Intégrons les deux côtés de l'égalité :

Exemple 2

2aa" = 1- 3x 2, Si oui 0 = 3à x0 = 1

Il s'agit d'une équation à variables séparées. Imaginons-le en différentiels. Pour ce faire, on réécrit cette équation sous la forme D'ici

En intégrant les deux côtés de la dernière égalité, on trouve

Remplacement des valeurs initiales x 0 = 1, y 0 = 3 nous trouverons AVEC 9=1-1+C, c'est-à-dire C = 9.

Par conséquent, l’intégrale partielle requise sera ou

Exemple 3

Écrire une équation pour une courbe passant par un point M(2;-3) et ayant une tangente avec un coefficient angulaire

Solution. Selon l'état

Il s'agit d'une équation à variables séparables. En divisant les variables, on obtient :

En intégrant les deux côtés de l’équation, on obtient :

En utilisant les conditions initiales, x = 2 Et y = - 3 nous trouverons C:

Par conséquent, l’équation recherchée a la forme

2.3. Équations différentielles linéaires du premier ordre

Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation de la forme y" = f(x)y + g(x)

Où f(x) Et g(x)- quelques fonctions spécifiées.

Si g(x)=0 alors l'équation différentielle linéaire est dite homogène et a la forme : y" = f(x)y

Si alors l'équation y" = f(x)y + g(x) dit hétérogène.

Solution générale d'une équation différentielle homogène linéaire y" = f(x)y est donné par la formule : où AVEC– constante arbitraire.

En particulier, si C =0, alors la solution est y = 0 Si une équation linéaire homogène a la forme y" = ky Où k est une constante, alors sa solution générale a la forme : .

Solution générale d'une équation différentielle inhomogène linéaire y" = f(x)y + g(x) est donné par la formule ,

ceux. est égal à la somme de la solution générale de l'équation homogène linéaire correspondante et de la solution particulière de cette équation.

Pour une équation linéaire inhomogène de la forme y" = kx + b,

Où k Et b- certains nombres et une solution particulière seront une fonction constante. La solution générale est donc de la forme .

Exemple. Résoudre l'équation y" + 2y +3 = 0

Solution. Représentons l'équation sous la forme y" = -2y - 3 Où k = -2, b= -3 La solution générale est donnée par la formule.

Par conséquent, où C est une constante arbitraire.

2.4. Résolution d'équations différentielles linéaires du premier ordre par la méthode de Bernoulli

Trouver une solution générale à une équation différentielle linéaire du premier ordre y" = f(x)y + g(x) se réduit à résoudre deux équations différentielles avec des variables séparées par substitution y=uv, Où toi Et v- fonctions inconnues de x. Cette méthode de résolution est appelée méthode de Bernoulli.

Algorithme de résolution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre

y" = f(x)y + g(x)

1. Entrez le remplacement y=uv.

2. Différencier cette égalité y" = u"v + uv"

3. Remplacer oui Et oui" dans cette équation : u"v + uv" =f(x)uv + g(x) ou u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Regroupez les termes de l'équation de manière à ce que toi retirez-le des parenthèses :

5. À partir du support, en l'assimilant à zéro, trouvez la fonction

Il s'agit d'une équation séparable :

Divisons les variables et obtenons :

Où . .

6. Remplacez la valeur résultante v dans l'équation (de l'étape 4) :

et trouvez la fonction C'est une équation à variables séparables :

7. Écrivez la solution générale sous la forme : , c'est-à-dire .

Exemple 1

Trouver une solution particulière à l'équation y" = -2y +3 = 0 Si y=1à x = 0

Solution. Résolvons-le en utilisant la substitution y=uv,.y" = u"v + uv"

Remplacement oui Et oui" dans cette équation, on obtient

En regroupant les deuxième et troisième termes du côté gauche de l'équation, on retire le facteur commun toi hors parenthèses

Nous assimilons l'expression entre parenthèses à zéro et, après avoir résolu l'équation résultante, nous trouvons la fonction v = v(x)

Nous obtenons une équation avec des variables séparées. Intégrons les deux côtés de cette équation : Trouvez la fonction v:

Remplaçons la valeur résultante v dans l'équation on obtient :

Il s'agit d'une équation à variables séparées. Intégrons les deux côtés de l'équation : Trouvons la fonction u = u(x,c) Trouvons une solution générale : Trouvons une solution particulière à l'équation qui satisfait aux conditions initiales y = 1à x = 0:

III. Équations différentielles d'ordre supérieur

3.1. Concepts et définitions de base

Une équation différentielle du second ordre est une équation contenant des dérivées ne dépassant pas le second ordre. Dans le cas général, une équation différentielle du second ordre s’écrit : F(x,y,y",y") = 0

La solution générale d'une équation différentielle du second ordre est fonction de la forme , qui comprend deux constantes arbitraires C1 Et C2.

Une solution particulière d'une équation différentielle du second ordre est une solution obtenue à partir d'une solution générale pour certaines valeurs de constantes arbitraires C1 Et C2.

3.2. Equations différentielles homogènes linéaires du second ordre avec coefficients constants.

Équation différentielle homogène linéaire du second ordre à coefficients constants appelé une équation de la forme y" + py" + qy = 0, Où p Et q- des valeurs constantes.

Algorithme de résolution d'équations différentielles homogènes du second ordre à coefficients constants

1. Écrivez l'équation différentielle sous la forme : y" + py" + qy = 0.

2. Créez son équation caractéristique, désignant oui"à travers r2, oui"à travers r, oui en 1 : r 2 + pr + q = 0

Rappelons la tâche à laquelle nous étions confrontés lors de la recherche d'intégrales définies :

ou dy = f(x)dx. Sa solution :

et cela revient à calculer l’intégrale indéfinie. En pratique, une tâche plus complexe est plus souvent rencontrée : trouver la fonction oui, si l'on sait qu'il satisfait une relation de la forme

Cette relation relie la variable indépendante x, fonction inconnue oui et ses dérivés à hauteur de l'ordre n inclus, sont appelés .

Une équation différentielle comprend une fonction sous le signe des dérivées (ou différentielles) d'un ordre ou d'un autre. L'ordre le plus élevé est appelé ordre (9.1) .

Équations différentielles :

- première commande,

Deuxième commande

- cinquième ordre, etc.

Une fonction qui satisfait une équation différentielle donnée est appelée sa solution , ou intégrale . Le résoudre, c’est trouver toutes ses solutions. Si pour la fonction requise oui réussi à obtenir une formule qui donne toutes les solutions, alors on dit qu'on a trouvé sa solution générale , ou intégrale générale .

Solution générale contient n constantes arbitraires et on dirait

Si l’on obtient une relation qui concerne x, y Et n constantes arbitraires, sous une forme non autorisée par rapport à oui -

alors une telle relation est appelée l'intégrale générale de l'équation (9.1).

Problème de Cauchy

Chaque solution spécifique, c'est-à-dire chaque fonction spécifique qui satisfait une équation différentielle donnée et ne dépend pas de constantes arbitraires, est appelée une solution particulière. , ou une intégrale partielle. Pour obtenir des solutions particulières (intégrales) à partir de solutions générales, les constantes doivent recevoir des valeurs numériques spécifiques.

Le graphique d’une solution particulière est appelé courbe intégrale. La solution générale, qui contient toutes les solutions partielles, est une famille de courbes intégrales. Pour une équation du premier ordre cette famille dépend d'une constante arbitraire, pour l'équation n-ième commande - à partir de n constantes arbitraires.

Le problème de Cauchy consiste à trouver une solution particulière à l'équation n-ième ordre, satisfaisant n conditions initiales :

par lequel n constantes c 1, c 2,..., c n sont déterminées.

équations différentielles du 1er ordre

Pour une équation différentielle du 1er ordre non résolue par rapport à la dérivée, elle a la forme

ou pour permis relativement

Exemple 3.46. Trouver la solution générale de l'équation

Solution. En intégrant, on obtient

où C est une constante arbitraire. Si nous attribuons des valeurs numériques spécifiques à C, nous obtenons des solutions particulières, par exemple,

Exemple 3.47. Considérons une somme d'argent croissante déposée à la banque sous réserve de l'accumulation de 100 r intérêts composés par an. Soit Yo le montant d'argent initial, et Yx - à la fin x années. Si les intérêts sont calculés une fois par an, nous obtenons

où x = 0, 1, 2, 3,.... Lorsque les intérêts sont calculés deux fois par an, on obtient

où x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Lors du calcul des intérêts n une fois par an et si x prend les valeurs séquentielles 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., puis

Désignez 1/n = h, alors l’égalité précédente ressemblera à :

Avec un grossissement illimité n(à ) à la limite, nous arrivons au processus d'augmentation du montant d'argent avec accumulation continue d'intérêts :

Il est donc clair qu'avec un changement continu x la loi de variation de la masse monétaire est exprimée par une équation différentielle du premier ordre. Où Y x est une fonction inconnue, x- variable indépendante, r- constante. Résolvons cette équation, pour ce faire nous la réécrivons comme suit :

où , ou , où P désigne e C .

A partir des conditions initiales Y(0) = Yo, on trouve P : Yo = Pe o, d'où, Yo = P. La solution a donc la forme :

Considérons le deuxième problème économique. Les modèles macroéconomiques sont également décrits par des équations différentielles linéaires du 1er ordre, décrivant les changements de revenu ou de production Y en fonction du temps.

Exemple 3.48. Supposons que le revenu national Y augmente à un taux proportionnel à sa valeur :

et laissez le déficit des dépenses publiques être directement proportionnel au revenu Y avec le coefficient de proportionnalité q. Un déficit de dépenses entraîne une augmentation de la dette nationale D :

Conditions initiales Y = Yo et D = Do à t = 0. D'après la première équation Y= Yoe kt. En remplaçant Y, nous obtenons dD/dt = qYoe kt . La solution générale a la forme
D = (q/ k) Yoe kt +С, où С = const, qui est déterminé à partir des conditions initiales. En substituant les conditions initiales, nous obtenons Do = (q/ k)Yo + C. Donc, finalement,

D = Faire +(q/ k)Yo (e kt -1),

cela montre que la dette nationale augmente au même rythme relatif k, la même chose que le revenu national.

Considérons les équations différentielles les plus simples nème ordre, ce sont des équations de la forme

Sa solution générale peut être obtenue en utilisant n fois les intégrations.

Exemple 3.49. Prenons l'exemple y """ = cos x.

Solution. En intégrant, on trouve

La solution générale a la forme

Équations différentielles linéaires

Ils sont largement utilisés en économie ; considérons la résolution de telles équations. Si (9.1) a la forme :

alors on l'appelle linéaire, où рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) reçoivent des fonctions. Si f(x) = 0, alors (9.2) est dit homogène, sinon il est dit inhomogène. La solution générale de l'équation (9.2) est égale à la somme de l'une de ses solutions particulières y(x) et la solution générale de l'équation homogène qui lui correspond :

Si les coefficients р o (x), р 1 (x),..., р n (x) sont constants, alors (9.2)

(9.4) est appelée une équation différentielle linéaire à coefficients d'ordre constants n .

Car (9.4) a la forme :

Sans perte de généralité, on peut poser p o = 1 et écrire (9.5) sous la forme

Nous chercherons une solution (9.6) sous la forme y = e kx, où k est une constante. Nous avons: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . En substituant les expressions résultantes dans (9.6), nous aurons :

(9.7) est une équation algébrique, son inconnue est k, cela s’appelle caractéristique. L'équation caractéristique a un degré n Et n racines, parmi lesquelles elles peuvent être à la fois multiples et complexes. Soient k 1 , k 2 ,..., k n réels et distincts, alors - solutions particulières (9.7), et générales

Considérons une équation différentielle homogène linéaire du second ordre à coefficients constants :

Son équation caractéristique a la forme

(9.9)

son discriminant D = p 2 - 4q, selon le signe de D, trois cas sont possibles.

1. Si D>0, alors les racines k 1 et k 2 (9.9) sont réelles et différentes, et la solution générale a la forme :

Solution.Équation caractéristique : k 2 + 9 = 0, d'où k = ± 3i, a = 0, b = 3, la solution générale a la forme :

y = C 1 cos 3x + C 2 péché 3x.

Des équations différentielles linéaires du 2ème ordre sont utilisées lors de l'étude d'un modèle économique de type Web avec des stocks de biens, où le taux de variation du prix P dépend de la taille des stocks (voir paragraphe 10). Si l’offre et la demande sont des fonctions linéaires du prix, c’est-à-dire

a est une constante qui détermine le taux de réaction, alors le processus de changement de prix est décrit par l'équation différentielle :

Pour une solution particulière, nous pouvons prendre une constante

prix d’équilibre significatif. Déviation satisfait l'équation homogène

(9.10)

L'équation caractéristique sera la suivante :

Dans le cas où le terme est positif. Notons . Les racines de l'équation caractéristique k 1,2 = ± i w, donc la solution générale (9.10) a la forme :

où C et sont des constantes arbitraires, elles sont déterminées à partir des conditions initiales. Nous avons obtenu la loi de variation des prix dans le temps :

Entrez votre équation différentielle, l'apostroa "" est utilisée pour saisir la dérivée, appuyez sur Soumettre pour obtenir la solution

Établissement d'enseignement "État biélorusse

Académie agricole"

Département de mathématiques supérieures

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE

Notes de cours pour les étudiants en comptabilité

forme d'enseignement par correspondance (NISPO)

Gorki, 2013

Équations différentielles du premier ordre

Le concept d'une équation différentielle. Solutions générales et particulières

Lors de l'étude de divers phénomènes, il n'est souvent pas possible de trouver une loi qui relie directement la variable indépendante et la fonction souhaitée, mais il est possible d'établir un lien entre la fonction souhaitée et ses dérivées.

La relation reliant la variable indépendante, la fonction souhaitée et ses dérivées est appelée équation différentielle :

Ici x– variable indépendante, oui– la fonction recherchée,
- les dérivées de la fonction souhaitée. Dans ce cas, la relation (1) doit avoir au moins une dérivée.

L'ordre de l'équation différentielle est appelé l'ordre de la dérivée la plus élevée incluse dans l'équation.

Considérons l'équation différentielle

. (2)

Puisque cette équation ne comprend qu’une dérivée du premier ordre, elle est appelée est une équation différentielle du premier ordre.

Si l'équation (2) peut être résolue par rapport à la dérivée et écrite sous la forme

, (3)

alors une telle équation est appelée équation différentielle du premier ordre sous forme normale.

Dans de nombreux cas, il est conseillé de considérer une équation de la forme

qui s'appelle une équation différentielle du premier ordre écrite sous forme différentielle.

Parce que
, alors l'équation (3) peut s'écrire sous la forme
ou
, où l'on peut compter
Et
. Cela signifie que l'équation (3) est convertie en équation (4).

Écrivons l'équation (4) sous la forme
. Alors
,
,
, où l'on peut compter
, c'est-à-dire une équation de la forme (3) est obtenue. Ainsi, les équations (3) et (4) sont équivalentes.

Résoudre une équation différentielle (2) ou (3) est appelé n’importe quelle fonction
, qui, en le substituant dans l'équation (2) ou (3), le transforme en une identité :

ou
.

Le processus de recherche de toutes les solutions d'une équation différentielle est appelé son intégration , et le graphique de solution
l'équation différentielle s'appelle courbe intégrale cette équation.

Si la solution de l'équation différentielle est obtenue sous forme implicite
, alors on l'appelle intégral de cette équation différentielle.

Solution générale d'une équation différentielle du premier ordre est une famille de fonctions de la forme
, en fonction d'une constante arbitraire AVEC, dont chacun est une solution à une équation différentielle donnée pour toute valeur admissible d'une constante arbitraire AVEC. Ainsi, l’équation différentielle possède un nombre infini de solutions.

Décision privée l'équation différentielle est une solution obtenue à partir de la formule générale de solution pour une valeur spécifique d'une constante arbitraire AVEC, y compris
.

Problème de Cauchy et son interprétation géométrique

L'équation (2) a un nombre infini de solutions. Afin de sélectionner une solution dans cet ensemble, appelée solution privée, vous devez définir des conditions supplémentaires.

Le problème de trouver une solution particulière à l’équation (2) dans des conditions données est appelé Problème de Cauchy . Ce problème est l’un des plus importants de la théorie des équations différentielles.

Le problème de Cauchy se formule ainsi : parmi toutes les solutions de l'équation (2), trouver une telle solution
, dans lequel la fonction
prend la valeur numérique donnée , si la variable indépendante x prend la valeur numérique donnée , c'est-à-dire

,
, (5)

Où D– domaine de définition de la fonction
.

Signification appelé la valeur initiale de la fonction , UN – valeur initiale de la variable indépendante . La condition (5) est appelée état initial ou État de Cauchy .

D'un point de vue géométrique, le problème de Cauchy pour l'équation différentielle (2) peut être formulé comme suit : parmi l'ensemble des courbes intégrales de l'équation (2), sélectionner celle qui passe par un point donné
.

Équations différentielles à variables séparables

L'un des types d'équations différentielles les plus simples est une équation différentielle du premier ordre qui ne contient pas la fonction souhaitée :

. (6)

Considérant que
, on écrit l'équation sous la forme
ou
. En intégrant les deux côtés de la dernière équation, on obtient :
ou

. (7)

Ainsi, (7) est une solution générale de l’équation (6).

Exemple 1 . Trouver la solution générale de l'équation différentielle
.

Solution . Écrivons l'équation sous la forme
ou
. Intégrons les deux côtés de l'équation résultante :
,
. Nous allons enfin l'écrire
.

Exemple 2 . Trouver la solution de l'équation
étant donné que
.

Solution . Trouvons une solution générale à l'équation :
,
,
,
. Par condition
,
. Remplaçons par la solution générale :
ou
. Nous substituons la valeur trouvée d'une constante arbitraire dans la formule de la solution générale :
. Il s'agit d'une solution particulière de l'équation différentielle qui satisfait la condition donnée.

Équation

(8)

Appelé une équation différentielle du premier ordre qui ne contient pas de variable indépendante . Écrivons-le sous la forme
ou
. Intégrons les deux côtés de la dernière équation :
ou
- solution générale de l'équation (8).

Exemple . Trouver la solution générale de l'équation
.

Solution . Écrivons cette équation sous la forme :
ou
. Alors
,
,
,
. Ainsi,
est la solution générale de cette équation.

Équation de la forme

(9)

intègre en utilisant la séparation des variables. Pour ce faire, on écrit l'équation sous la forme
, puis en utilisant les opérations de multiplication et de division, nous l'amenons à une forme telle qu'une partie ne comprenne que la fonction de X et différentiel dx, et dans la deuxième partie – la fonction de à et différentiel mourir. Pour ce faire, les deux côtés de l’équation doivent être multipliés par dx et diviser par
. En conséquence, nous obtenons l'équation

, (10)

dans lequel les variables X Et à séparé. Intégrons les deux côtés de l'équation (10) :
. La relation résultante est l'intégrale générale de l'équation (9).

Exemple 3 . Intégrer l'équation
.

Solution . Transformons l'équation et séparons les variables :
,
. Intégrons :
,
ou est l'intégrale générale de cette équation.
.

Soit l'équation sous la forme

Cette équation s'appelle équation différentielle du premier ordre à variables séparables sous une forme symétrique.

Pour séparer les variables, vous devez diviser les deux côtés de l'équation par
:

. (12)

L'équation résultante s'appelle équation différentielle séparée . Intégrons l'équation (12) :

.(13)

La relation (13) est l'intégrale générale de l'équation différentielle (11).

Exemple 4 . Intégrer une équation différentielle.

Solution . Écrivons l'équation sous la forme

et divisez les deux parties par
,
. L'équation résultante :
est une équation à variables séparées. Intégrons-le :

,
,

,
. La dernière égalité est l'intégrale générale de cette équation différentielle.

Exemple 5 . Trouver une solution particulière à une équation différentielle
, satisfaisant la condition
.

Solution . Considérant que
, on écrit l'équation sous la forme
ou
. Séparons les variables :
. Intégrons cette équation :
,
,
. La relation résultante est l'intégrale générale de cette équation. Par condition
. Remplaçons-le par l'intégrale générale et trouvons AVEC:
,AVEC=1. Alors l'expression
est une solution partielle d'une équation différentielle donnée, écrite sous forme d'intégrale partielle.

Équations différentielles linéaires du premier ordre

Équation

(14)

appelé équation différentielle linéaire du premier ordre . Fonction inconnue
et sa dérivée entrent linéairement dans cette équation, et les fonctions
Et
continu.

Si
, alors l'équation

(15)

appelé linéaire homogène . Si
, alors l'équation (14) est appelée linéaire inhomogène .

Pour trouver une solution à l’équation (14), on utilise généralement méthode de substitution (Bernoulli) , dont l'essence est la suivante.

Nous chercherons une solution à l'équation (14) sous la forme d'un produit de deux fonctions

, (16)

Où
Et
- quelques fonctions continues. Remplaçons
et dérivé
dans l'équation (14) :

Fonction v nous sélectionnerons de telle manière que la condition soit satisfaite
.
Alors

. Ainsi, pour trouver une solution à l'équation (14), il faut résoudre le système d'équations différentielles
,
,
,
,
La première équation du système est une équation linéaire homogène et peut être résolue par la méthode de séparation des variables :
. En fonction AVEC=1:
vous pouvez prendre l'une des solutions partielles de l'équation homogène, c'est-à-dire à
ou
. Remplaçons dans la deuxième équation du système :
.Alors
.

. Ainsi, la solution générale d’une équation différentielle linéaire du premier ordre a la forme Exemple 6
.

Solution . Résoudre l'équation
. Alors
. Nous chercherons une solution à l'équation sous la forme

ou
. Remplaçons dans l'équation : v. Fonction
. Alors
choisir de telle manière que l'égalité soit respectée
,
,
,
,. Remplaçons dans l'équation : v. Résolvons la première de ces équations en utilisant la méthode de séparation des variables :
,
,
,
Remplaçons dans la deuxième équation :
.

. La solution générale de cette équation est

Questions pour la maîtrise de soi des connaissances

Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?

Quel est l'ordre d'une équation différentielle ?

Quelle équation différentielle est appelée équation différentielle du premier ordre ?

Comment une équation différentielle du premier ordre s’écrit-elle sous forme différentielle ?

Quelle est la solution d’une équation différentielle ?

Qu'est-ce qu'une courbe intégrale ?

Quelle est la solution générale d’une équation différentielle du premier ordre ?

Qu'appelle-t-on une solution partielle d'une équation différentielle ?

Comment le problème de Cauchy est-il formulé pour une équation différentielle du premier ordre ?

Quelle est l’interprétation géométrique du problème de Cauchy ?

Comment écrire une équation différentielle à variables séparables sous forme symétrique ?

Quelle équation est appelée équation différentielle linéaire du premier ordre ?

Tâches pour le travail indépendant

Résoudre des équations différentielles avec des variables séparables :

UN)
;
;

b)
V)
.

;

UN)
;
g)
;

2. Résolvez des équations différentielles linéaires du premier ordre :
;
.

; d) 6.1. CONCEPTS DE BASE ET DÉFINITIONS

Lors de la résolution de divers problèmes de mathématiques et de physique, de biologie et de médecine, il n'est souvent pas possible d'établir immédiatement une relation fonctionnelle sous la forme d'une formule reliant les variables qui décrivent le processus étudié. Habituellement, vous devez utiliser des équations qui contiennent, en plus de la variable indépendante et de la fonction inconnue, également ses dérivées. y(x) Définition. Une équation reliant une variable indépendante, une fonction inconnue et ses dérivées de divers ordres est appelée différentiel. oui", oui" Une fonction inconnue est généralement notée

ou juste oui oui, et ses dérivés - etc. D'autres désignations sont également possibles, par exemple : si= x(t), alors

; x"(t), x""(t) - ses dérivés, et

t - variable indépendante. Et Si une fonction dépend d'une variable, alors l'équation différentielle est dite ordinaire. Vue généraleéquation différentielle ordinaire :

;L'ordre de l'équation différentielle Fonctions

F f- oui peut ne pas contenir certains arguments, mais pour que les équations soient différentielles, la présence d'une dérivée est indispensable. x est appelé l'ordre de la dérivée la plus élevée qu'il contient. oui"+ 2 oui"+ 5 oui= x Par exemple,

x 2 ans" n= 0, y" + péché n= 0 sont des équations du premier ordre, et

- équation du second ordre.

Lors de la résolution d'équations différentielles, l'opération d'intégration est utilisée, qui est associée à l'apparition d'une constante arbitraire. Si l'action d'intégration est appliquée fois, alors, évidemment, la solution contiendra constantes arbitraires.

6.2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE x Et Une équation reliant une variable indépendante, une fonction inconnue et ses dérivées de divers ordres est appelée Vue générale

équation différentielle du premier ordre

est déterminé par l'expression

; L'équation ne peut pas contenir explicitement , Où AVEC mais contient nécessairement y".

Si l'équation peut s'écrire on obtient alors une équation différentielle du premier ordre résolue par rapport à la dérivée.

La solution générale de l’équation différentielle du premier ordre (6.3) (ou (6.4)) est l’ensemble des solutions AVEC- constante arbitraire. Le graphique de la solution d’une équation différentielle s’appelle courbe intégrale.

Donner une constante arbitraire valeurs différentes, des solutions partielles peuvent être obtenues. Dans un avion xOy On peut en citer une : une solution privée.

;Décision privée d'une équation différentielle est sa solution qui ne contient pas de constantes arbitraires.

Si est une solution générale, alors à partir de la condition

tu peux trouver une constante AVEC. La condition s'appelle état initial.

Le problème de trouver une solution particulière à l'équation différentielle (6.3) ou (6.4) satisfaisant la condition initiale à appelé Problème de Cauchy. Ce problème a-t-il toujours une solution ? La réponse est contenue dans le théorème suivant.

Théorème de Cauchy(théorème d'existence et d'unicité d'une solution). Laissez entrer l'équation différentielle oui"= f(x,y) fonction f(x,y) et elle

dérivée partielle défini et continu dans certains

région D, contenant un point Puis dans la région D existe

la seule solution de l'équation qui satisfait la condition initiale à

Le théorème de Cauchy stipule que sous certaines conditions, il existe une courbe intégrale unique oui= f(x), passant par un point Points auxquels les conditions du théorème ne sont pas remplies

Les Cauchies sont appelés spécial.À ces moments-là, ça casse Si une fonction dépend d'une variable, alors l'équation différentielle est dite ordinaire. Vue générale(x, y) ou.

Soit plusieurs courbes intégrales, soit aucune ne passe par un point singulier.

; Si la solution (6.3), (6.4) se trouve sous la forme Si une fonction dépend d'une variable, alors l'équation différentielle est dite ordinaire. Vue générale(x, y, C)= 0, non autorisé par rapport à y, alors on l'appelle intégrale généraleéquation différentielle.

Le théorème de Cauchy garantit seulement qu'une solution existe. Puisqu'il n'existe pas de méthode unique pour trouver une solution, nous ne considérerons que certains types d'équations différentielles du premier ordre pouvant être intégrées dans quadratures.

; L'équation différentielle s'appelle intégrable en quadratures, si trouver sa solution revient à intégrer des fonctions.

6.2.1. Équations différentielles du premier ordre avec variables séparables

; Une équation différentielle du premier ordre est appelée une équation avec variables séparables,

Le côté droit de l’équation (6.5) est le produit de deux fonctions dont chacune dépend d’une seule variable.

Par exemple, l'équation est une équation avec séparation

avec des variables
et l'équation

ne peut pas être représenté sous la forme (6.5).

Considérant que , on réécrit (6.5) sous la forme

De cette équation on obtient une équation différentielle à variables séparées, dans laquelle les différentielles sont des fonctions qui dépendent uniquement de la variable correspondante :

En intégrant terme par terme, on a

où C = C 2 - C 1 - constante arbitraire. L'expression (6.6) est l'intégrale générale de l'équation (6.5).

En divisant les deux côtés de l'équation (6.5) par, nous pouvons perdre les solutions pour lesquelles, En effet, si à

Que est évidemment une solution à l’équation (6.5).

Exemple 1. Trouver une solution à l'équation qui satisfait

condition: oui= 6 à x= 2 (oui(2) = 6).

Solution. Nous remplacerons oui" alors . Multipliez les deux côtés par

dx, car lors d'une intégration plus poussée, il est impossible de quitter dx au dénominateur :

puis diviser les deux parties par on obtient l'équation,

qui peut être intégré. Intégrons :

Alors ; en potentialisant, on obtient y = C. (x + 1) - ob-

solution générale.

En utilisant les données initiales, nous déterminons une constante arbitraire, en les substituant dans la solution générale

Finalement on obtient oui= 2(x + 1) est une solution particulière. Examinons quelques exemples supplémentaires de résolution d'équations avec des variables séparables.

Exemple 2. Trouver la solution de l'équation

Solution. Considérant que , nous obtenons .

En intégrant les deux côtés de l’équation, nous avons

où

Exemple 3. Trouver la solution de l'équation Solution. Nous divisons les deux côtés de l'équation en facteurs qui dépendent d'une variable qui ne coïncide pas avec la variable sous le signe différentiel, c'est-à-dire et intégrer. Ensuite, nous obtenons

et enfin

Exemple 4. Trouver la solution de l'équation

Solution. Savoir ce que nous obtiendrons. Section

variables limitées. Alors

En intégrant, on obtient

Commentaire. Dans les exemples 1 et 2, la fonction requise est oui exprimée explicitement (solution générale). Dans les exemples 3 et 4 - implicitement (intégrale générale). A l’avenir, la forme de la décision ne sera pas précisée.

Exemple 5. Trouver la solution de l'équation Solution.

Exemple 6. Trouver la solution de l'équation , satisfaisant

condition vous)= 1.

Solution.Écrivons l'équation sous la forme

En multipliant les deux côtés de l'équation par dx et ainsi de suite, nous obtenons

En intégrant les deux côtés de l'équation (l'intégrale du côté droit est prise par parties), on obtient

Mais selon la condition oui= 1 à x= e. Alors

Remplaçons les valeurs trouvées AVECà la solution générale :

L’expression résultante est appelée solution partielle de l’équation différentielle.

6.2.2. Équations différentielles homogènes du premier ordre

; L'équation différentielle du premier ordre s'appelle homogène, si cela peut être représenté sous la forme

Présentons un algorithme pour résoudre une équation homogène.

1.Au lieu de cela oui introduisons une nouvelle fonctionEnsuite et donc

2.En termes de fonction toi l'équation (6.7) prend la forme

c'est-à-dire que le remplacement réduit une équation homogène à une équation à variables séparables.

3. En résolvant l’équation (6.8), nous trouvons d’abord u puis oui= ux.

Exemple 1. Résoudre l'équation Solution.Écrivons l'équation sous la forme

On fait la substitution :
Alors

Nous remplacerons

Multiplier par dx : Diviser par x et sur Alors

Après avoir intégré les deux côtés de l’équation sur les variables correspondantes, nous avons

ou, en revenant aux anciennes variables, on obtient finalement

Exemple 2.Résoudre l'équation Solution.Laisser Alors

Divisons les deux côtés de l'équation par x2 : Ouvrons les parenthèses et réorganisons les termes :

En passant aux anciennes variables, nous arrivons au résultat final :

Exemple 3.Trouver la solution de l'équation étant donné que

Solution.Effectuer un remplacement standard nous obtenons

Cela signifie que la solution particulière a la forme Exemple 4. Trouver la solution de l'équation

Solution.

Exemple 5.Trouver la solution de l'équation Solution.

Travail indépendant

Trouver des solutions aux équations différentielles avec des variables séparables (1-9).

Trouver une solution aux équations différentielles homogènes (9-18).

6.2.3. Quelques applications des équations différentielles du premier ordre

Problème de désintégration radioactive

Le taux de désintégration de Ra (radium) à chaque instant est proportionnel à sa masse disponible. Trouvez la loi de la désintégration radioactive de Ra si l'on sait qu'au moment initial il y avait Ra et que la demi-vie de Ra est de 1590 ans.

Solution. Soit à l'instant la masse Ra x= x(t) g, et Alors le taux de désintégration Ra est égal à

Selon les conditions du problème

Où k

En séparant les variables dans la dernière équation et en intégrant, nous obtenons

où

Pour déterminer C on utilise la condition initiale : quand .

Alors et, par conséquent,

Facteur de proportionnalité k déterminé à partir de la condition supplémentaire :

Nous avons

D'ici et la formule requise

Problème de taux de reproduction bactérienne

Le taux de reproduction des bactéries est proportionnel à leur nombre. Au début, il y avait 100 bactéries. En 3 heures, leur nombre a doublé. Trouvez la dépendance du nombre de bactéries en fonction du temps. Combien de fois le nombre de bactéries va-t-il augmenter en 9 heures ?

Solution. Laisser x- nombre de bactéries à la fois t. Alors, selon la condition,

Où k- coefficient de proportionnalité.

D'ici De la condition, on sait que . Moyens,

De la condition supplémentaire . Alors

La fonction que vous recherchez :

Alors, quand D'autres désignations sont également possibles, par exemple : si= 9 x= 800, c'est-à-dire en 9 heures, le nombre de bactéries a augmenté 8 fois.

Le problème de l'augmentation de la quantité d'enzyme

Dans une culture de levure de bière, le taux de croissance de l'enzyme active est proportionnel à sa quantité initiale X. Quantité initiale d'enzyme un doublé en une heure. Trouver une dépendance

x(t).

Solution. Par condition, l'équation différentielle du processus a la forme

d'ici

Mais . Moyens, C= un et puis

On sait aussi que

Ainsi,

6.3. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU DEUXIÈME ORDRE

6.3.1. Concepts de base

;Équation différentielle du second ordre s'appelle une relation reliant la variable indépendante, la fonction souhaitée et ses dérivées première et seconde.

Dans des cas particuliers, x peut manquer dans l'équation, à ou y". Cependant, une équation du second ordre doit nécessairement contenir y." Dans le cas général, une équation différentielle du second ordre s’écrit :

ou, si possible, sous la forme résolue par rapport à la dérivée seconde :

Comme dans le cas d’une équation du premier ordre, pour une équation du second ordre il peut y avoir des solutions générales et particulières. La solution générale est :

Trouver une solution particulière

dans des conditions initiales - données

numéros) est appelé Problème de Cauchy. Géométriquement, cela signifie que nous devons trouver la courbe intégrale à= oui(x), passant par un point donné et ayant une tangente en ce point qui est

s'aligne avec la direction de l'axe positif Bœuf angle spécifié. e. (Fig. 6.1). Le problème de Cauchy a une solution unique si le membre de droite de l’équation (6.10), incessant