Ce manuel vous aidera à apprendre à effectuer opérations avec des matrices: addition (soustraction) de matrices, transposition d'une matrice, multiplication de matrices, trouver la matrice inverse. Tout le matériel est présenté sous une forme simple et accessible, des exemples pertinents sont donnés, afin que même une personne non préparée puisse apprendre à effectuer des actions avec des matrices.
Pour l'autosurveillance et l'autotest, vous pouvez télécharger gratuitement un calculateur matriciel >>>. J'essaierai de minimiser les calculs théoriques ; à certains endroits, des explications « sur les doigts » et l'utilisation de termes non scientifiques sont possibles. Amateurs de théorie solide, ne vous lancez pas dans la critique, notre tâche est.
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Matrice, déterminant et test ! Une matrice est une table rectangulaire de certainséléments Une matrice est une table rectangulaire de certains. Comme nous considérerons des nombres, c'est-à-dire des matrices numériques.ÉLÉMENT
est un terme. Il est conseillé de retenir le terme, il apparaîtra souvent, ce n’est pas un hasard si j’ai utilisé des caractères gras pour le mettre en valeur. Désignation:
les matrices sont généralement désignées par des lettres latines majuscules Exemple:
Considérons une matrice deux par trois : Une matrice est une table rectangulaire de certains:
Cette matrice est composée de six 
Tous les nombres (éléments) à l'intérieur de la matrice existent par eux-mêmes, c'est-à-dire qu'il n'est question d'aucune soustraction :
C'est juste un tableau (ensemble) de chiffres ! Nous serons également d'accord ne pas réorganiser
chiffres, sauf indication contraire dans les explications. Chaque numéro a son propre emplacement et ne peut pas être mélangé ! 
La matrice en question comporte deux lignes : 
et trois colonnes : STANDARD : quand on parle de tailles de matrice, alors d'abord
indiquez le nombre de lignes, et ensuite seulement le nombre de colonnes. Nous venons de décomposer la matrice deux par trois. Si le nombre de lignes et de colonnes d'une matrice est le même, alors la matrice s'appelle carré 
, Par exemple:
– une matrice trois par trois. Si une matrice a une colonne ou une ligne, alors ces matrices sont également appelées.
vecteurs
Passons maintenant à l'étude opérations avec des matrices:
1) Acte un. Supprimer un moins de la matrice (introduire un moins dans la matrice).
Revenons à notre matrice 
. Comme vous l’avez probablement remarqué, il y a trop de nombres négatifs dans cette matrice. C'est très gênant du point de vue de l'exécution de diverses actions avec la matrice, il n'est pas pratique d'écrire autant d'inconvénients et cela a tout simplement l'air moche dans sa conception.
Déplaçons le moins en dehors de la matrice en changeant le signe de CHAQUE élément de la matrice:
A zéro, comme vous le comprenez, le signe ne change pas ; zéro c'est aussi zéro en Afrique.
Exemple inverse : 
. Ça a l'air moche.
Introduisons un moins dans la matrice en changeant le signe de CHAQUE élément de la matrice:
Eh bien, cela s'est avéré beaucoup plus agréable. Et surtout, il sera PLUS FACILE d'effectuer des actions avec la matrice. Parce qu'il existe un tel signe populaire mathématique : plus il y a d'inconvénients, plus il y a de confusion et d'erreurs.
2) Acte deux. Multiplier une matrice par un nombre.
les matrices sont généralement désignées par des lettres latines majuscules
C'est simple, pour multiplier une matrice par un nombre, il faut chaqueélément de matrice multiplié par un nombre donné. Dans ce cas – un trois.
Autre exemple utile :
– multiplier une matrice par une fraction
Voyons d'abord quoi faire PAS BESOIN:
Il n'est PAS BESOIN d'entrer une fraction dans la matrice ; d'une part, cela ne fait que compliquer les actions ultérieures avec la matrice, et d'autre part, cela rend difficile pour l'enseignant de vérifier la solution (surtout si 
– réponse finale de la tâche).
Et, de plus, PAS BESOIN divisez chaque élément de la matrice par moins sept :
De l'article Mathématiques pour les nuls ou par où commencer, nous nous souvenons qu'en mathématiques supérieures, ils essaient d'éviter de toutes les manières possibles les fractions décimales avec des virgules.
La seule chose est de préférence Que faire dans cet exemple est d'ajouter un moins à la matrice :
Mais si seulement TOUS les éléments de la matrice ont été divisés par 7 sans laisser de trace, alors il serait possible (et nécessaire !) de diviser.
les matrices sont généralement désignées par des lettres latines majuscules
Dans ce cas, vous pouvez BESOIN DE multiplier tous les éléments de la matrice par , puisque tous les nombres de la matrice sont divisibles par 2 sans laisser de trace.
Remarque : dans la théorie des mathématiques du supérieur, il n'y a pas de notion de « division ». Au lieu de dire « ceci divisé par cela », vous pouvez toujours dire « ceci multiplié par une fraction ». Autrement dit, la division est un cas particulier de multiplication.
3) Acte trois. Transposition matricielle.
Pour transposer une matrice, vous devez écrire ses lignes dans les colonnes de la matrice transposée.
les matrices sont généralement désignées par des lettres latines majuscules
Transposer la matrice
Il n'y a qu'une seule ligne ici et, selon la règle, elle doit être écrite dans une colonne :
– matrice transposée.
Une matrice transposée est généralement indiquée par un exposant ou un nombre premier en haut à droite.
Exemple étape par étape :
Transposer la matrice 
Nous réécrivons d’abord la première ligne dans la première colonne :
Ensuite, nous réécrivons la deuxième ligne dans la deuxième colonne : 
Et enfin, on réécrit la troisième ligne dans la troisième colonne :
Prêt. En gros, transposer signifie retourner la matrice sur le côté.
4) Acte quatre. Somme (différence) des matrices.
La somme des matrices est une opération simple.
TOUTES LES MATRICES NE PEUVENT PAS ÊTRE PLIÉES. Pour effectuer une addition (soustraction) de matrices, il faut qu'elles soient de MÊME TAILLE.
Par exemple, si une matrice deux par deux est donnée, alors elle ne peut être ajoutée qu'avec une matrice deux par deux et aucune autre ! 
les matrices sont généralement désignées par des lettres latines majuscules
Ajouter des matrices 
Et 
Afin d'ajouter des matrices, vous devez ajouter leurs éléments correspondants:
Pour la différence des matrices, la règle est similaire, il faut trouver la différence des éléments correspondants.
les matrices sont généralement désignées par des lettres latines majuscules
Trouver la différence matricielle 
, 
Comment résoudre cet exemple plus facilement, pour ne pas se tromper ? Il est conseillé de se débarrasser des moins inutiles ; pour ce faire, ajoutez un moins à la matrice :
Remarque : dans la théorie des mathématiques du supérieur, il n'y a pas de notion de « soustraction ». Au lieu de dire « soustrayez ceci de ceci », vous pouvez toujours dire « ajoutez un nombre négatif à ceci ». Autrement dit, la soustraction est un cas particulier d’addition.
5) Acte cinq. Multiplication matricielle.
Quelles matrices peuvent être multipliées ?
Pour qu’une matrice soit multipliée par une matrice, il faut de sorte que le nombre de colonnes de la matrice soit égal au nombre de lignes de la matrice.
les matrices sont généralement désignées par des lettres latines majuscules
Est-il possible de multiplier une matrice par une matrice ?
Cela signifie que les données matricielles peuvent être multipliées.
Mais si les matrices sont réarrangées, alors, dans ce cas, la multiplication n'est plus possible !
La multiplication n’est donc pas possible :
Il n'est pas si rare de rencontrer des tâches astucieuses, lorsqu'il est demandé à l'élève de multiplier des matrices dont la multiplication est évidemment impossible.
Il convient de noter que dans certains cas, il est possible de multiplier les matrices dans les deux sens.
Par exemple, pour les matrices, la multiplication et la multiplication sont possibles
Matrices, familiarisez-vous avec ses concepts de base. Les éléments déterminants d’une matrice sont ses diagonales et ses diagonales latérales. Home commence par l'élément de la première ligne, première colonne et continue jusqu'à l'élément de la dernière colonne, dernière ligne (c'est-à-dire qu'il va de gauche à droite). La diagonale latérale commence au contraire dans la première ligne, mais dans la dernière colonne et continue jusqu'à l'élément qui a les coordonnées de la première colonne et de la dernière ligne (va de droite à gauche).
Pour passer aux définitions suivantes et aux opérations algébriques avec des matrices, étudiez les types de matrices. Les plus simples sont le carré, l'unité, le zéro et l'inverse. Le nombre de colonnes et de lignes correspond. La matrice transposée, appelons-la B, est obtenue à partir de la matrice A en remplaçant les colonnes par des lignes. En unité, tous les éléments de la diagonale principale sont des uns, et les autres sont des zéros. Et en zéro, même les éléments des diagonales sont nuls. La matrice inverse est celle sur laquelle la matrice originale prend la forme identité.
Aussi, la matrice peut être symétrique par rapport aux axes principaux ou secondaires. Autrement dit, un élément ayant les coordonnées a(1;2), où 1 est le numéro de ligne et 2 est le numéro de colonne, est égal à a(2;1). A(3;1)=A(1;3) et ainsi de suite. Les matrices appariées sont celles où le nombre de colonnes de l'une est égal au nombre de lignes de l'autre (ces matrices peuvent être multipliées).
Les principales actions pouvant être effectuées avec les matrices sont l'addition, la multiplication et la recherche du déterminant. Si les matrices sont de même taille, c’est-à-dire qu’elles ont un nombre égal de lignes et de colonnes, elles peuvent alors être ajoutées. Il est nécessaire d'ajouter des éléments qui se trouvent aux mêmes endroits dans les matrices, c'est-à-dire d'ajouter a (m; n) avec c dans (m; n), où m et n sont les coordonnées correspondantes de la colonne et de la ligne. Lors de l'ajout de matrices, la règle principale de l'addition arithmétique ordinaire s'applique : lorsque les places des termes sont modifiées, la somme ne change pas. Ainsi, si au lieu d'un simple élément a il existe une expression a + b, alors elle peut être ajoutée à un élément c d'une autre matrice proportionnée selon les règles a + (b + c) = (a + b) + c.
Vous pouvez multiplier les matrices correspondantes données ci-dessus. Cela produit une matrice où chaque élément est la somme des éléments multipliés par paires d'une ligne de la matrice A et d'une colonne de la matrice B. Lors de la multiplication, l'ordre des actions est très important. m*n n’est pas égal à n*m.
L'une des principales actions consiste également à trouver. Il est également appelé déterminant et est désigné comme suit : det. Cette valeur est déterminée modulo, c'est-à-dire qu'elle n'est jamais négative. Le moyen le plus simple de trouver le déterminant est d’utiliser une matrice carrée 2x2. Pour ce faire, vous devez multiplier les éléments de la diagonale principale et leur soustraire les éléments multipliés de la diagonale secondaire.
Matrices. Actions sur les matrices. Propriétés des opérations sur les matrices. Types de matrices.
Matrices (et, par conséquent, la section mathématique - algèbre matricielle) sont importants en mathématiques appliquées, car ils permettent d'écrire une partie importante des modèles mathématiques d'objets et de processus sous une forme assez simple. Le terme « matrice » apparaît en 1850. Les matrices ont été mentionnées pour la première fois dans la Chine ancienne, puis par des mathématiciens arabes.
Matrice A = A min l'ordre m*n est appelé tableau rectangulaire de nombres contenant m - lignes et n - colonnes.
Éléments matriciels aij, pour lesquels i=j sont appelés diagonale et forme diagonale principale.
Pour une matrice carrée (m=n), la diagonale principale est formée des éléments a 11, a 22,..., a nn.
Égalité matricielle.
A = B, si la matrice ordonne UN Et B sont les mêmes et a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)
Actions sur les matrices.
1. Ajout matriciel - opération par élément
2. Soustraction de matrices - opération élément par élément
3. Le produit d'une matrice et d'un nombre est une opération élément par élément
4. Multiplications A*B matrices selon la règle ligne à colonne(le nombre de colonnes de la matrice A doit être égal au nombre de lignes de la matrice B)
A mk *B kn =C mn et chaque élément avec ij matrices Cmn est égal à la somme des produits des éléments de la i-ème ligne de la matrice A par les éléments correspondants de la j-ème colonne de la matrice B, soit
Montrons le fonctionnement de la multiplication matricielle à l'aide d'un exemple
5. Exponentiation
m>1 est un entier positif. A est une matrice carrée (m=n), c'est-à-dire pertinent uniquement pour les matrices carrées
6. Matrice transposante A. La matrice transposée est notée A T ou A"
Lignes et colonnes échangées
Exemple
Propriétés des opérations sur les matrices
(A+B)+C=A+(B+C)
λ(A+B)=λA+λB
A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
λ(AB)=(λA)B=UNE(λB)
UNE(BC)=(AB)C
(λA)"=λ(A)"
(A+B)"=A"+B"
(AB)"=B"A"
Types de matrices
1. Rectangulaire : m Et n- entiers positifs arbitraires
2. Carré : m=n
3. Ligne matricielle : m=1. Par exemple, (1 3 5 7) - dans de nombreux problèmes pratiques, une telle matrice est appelée vecteur
4. Colonne matricielle : n=1. Par exemple
5. Matrice diagonale : m=n Et un ij =0, Si je≠j. Par exemple
6. Matrice d'identité : m=n Et
7. Matrice zéro : a ij =0, i=1,2,...,m
j=1,2,...,n
8. Matrice triangulaire : tous les éléments en dessous de la diagonale principale sont 0.
9. Matrice symétrique : m=n Et une ij = une ji(c'est-à-dire que les éléments égaux sont situés à des endroits symétriques par rapport à la diagonale principale), et donc A"=A
Par exemple,
10. Matrice asymétrique : m=n Et une ij =-une ji(c'est-à-dire que les éléments opposés sont situés à des endroits symétriques par rapport à la diagonale principale). Par conséquent, il y a des zéros sur la diagonale principale (depuis quand je = j nous avons un ii =-un ii)
Clair, A"=-A
11. Matrice hermitienne : m=n Et une ii =-ã ii (ã ji- complexe - conjugué à un ji, c'est-à-dire Si A=3+2i, alors le complexe conjugué Ã=3-2i)
DÉFINITION DE LA MATRICE. TYPES DE MATRICES
Matrice de taille m× n appelé un ensemble m·n nombres disposés dans un tableau rectangulaire de m lignes et n colonnes. Ce tableau est généralement placé entre parenthèses. Par exemple, la matrice pourrait ressembler à :
Par souci de concision, une matrice peut être désignée par une seule lettre majuscule, par exemple : UN ou DANS.
En général, une matrice de taille m× nécris-le comme ça
.
Les nombres qui composent la matrice sont appelés éléments de la matrice. Il est pratique de fournir aux éléments matriciels deux indices un ij: Le premier indique le numéro de ligne et le second indique le numéro de colonne. Par exemple, un 23– l'élément est en 2ème ligne, 3ème colonne.
Si une matrice a le même nombre de lignes que de colonnes, alors la matrice s'appelle Si le nombre de lignes et de colonnes d'une matrice est le même, alors la matrice s'appelle, et le nombre de ses lignes ou colonnes est appelé en ordre matrices. Dans les exemples ci-dessus, la deuxième matrice est carrée - son ordre est 3 et la quatrième matrice est son ordre 1.
Une matrice dans laquelle le nombre de lignes n'est pas égal au nombre de colonnes est appelée rectangulaire. Dans les exemples, il s'agit de la première matrice et de la troisième.
Il existe également des matrices qui n'ont qu'une seule ligne ou une seule colonne.
Une matrice avec une seule ligne s'appelle matrice - ligne(ou chaîne), et une matrice avec une seule colonne matrice - colonne.
Une matrice dont les éléments sont tous nuls s’appelle nul et est noté (0), ou simplement 0. Par exemple,
.
Diagonale principale d’une matrice carrée, nous appelons la diagonale allant du coin supérieur gauche au coin inférieur droit.
Une matrice carrée dans laquelle tous les éléments situés en dessous de la diagonale principale sont égaux à zéro est appelée triangulaire matrice.
.
Une matrice carrée dans laquelle tous les éléments, sauf peut-être ceux de la diagonale principale, sont égaux à zéro, s'appelle diagonale matrice. Par exemple, ou.
Une matrice diagonale dans laquelle tous les éléments diagonaux sont égaux à un est appelée célibataire matrice et est désignée par la lettre E. Par exemple, la matrice d'identité du 3ème ordre a la forme 
.
ACTIONS SUR LES MATRICES
Égalité matricielle. Deux matrices UN Et B sont dits égaux s’ils ont le même nombre de lignes et de colonnes et que leurs éléments correspondants sont égaux un ij = b je. Alors si 
Et 
, Que A = B, Si une 11 = b 11, une 12 = b 12, une 21 = b 21 Et une 22 = b 22.
Transposer. Considérons une matrice arbitraire UN depuis m lignes et n colonnes. Il peut être associé à la matrice suivante B depuis n lignes et m colonnes, dans lesquelles chaque ligne est une colonne matricielle UN avec le même numéro (donc chaque colonne est une ligne de la matrice UN avec le même numéro). Alors si 
, Que 
.
Cette matrice B appelé transposé matrice UN, et la transition de UNÀ Transposition B.
Ainsi, la transposition est une inversion des rôles des lignes et des colonnes d’une matrice. Matrice transposée en matrice UN, généralement noté À.
Communication entre matrice UN et sa transposée peut s'écrire sous la forme .
Par exemple. Trouver la matrice transposée de celle donnée.
Ajout de matrice. Laissez les matrices UN Et B se composent du même nombre de lignes et du même nombre de colonnes, c'est-à-dire avoir mêmes tailles. Ensuite pour ajouter des matrices UN Et B nécessaire pour les éléments de la matrice UN ajouter des éléments de matrice B debout aux mêmes endroits. Ainsi, la somme de deux matrices UN Et B appelé matrice C, qui est déterminé par la règle, par exemple,
Exemples. Trouver la somme des matrices :
Il est facile de vérifier que l’addition matricielle obéit aux lois suivantes : commutative A+B=B+A et associatif ( A+B)+C=UN+(B+C).
Multiplier une matrice par un nombre. Multiplier une matrice UN par numéro k chaque élément de la matrice est nécessaire UN multiplier par ce nombre. Ainsi, le produit matriciel UN par numéro k il existe une nouvelle matrice, qui est déterminée par la règle 
ou .
Pour tous les numéros un Et b et matrices UN Et B les égalités suivantes sont vérifiées :
Exemples.
Multiplication matricielle. Cette opération s'effectue selon une loi particulière. Tout d’abord, notons que les tailles des matrices factorielles doivent être cohérentes. Vous ne pouvez multiplier que les matrices dans lesquelles le nombre de colonnes de la première matrice coïncide avec le nombre de lignes de la deuxième matrice (c'est-à-dire que la longueur de la première ligne est égale à la hauteur de la deuxième colonne). Le travail matrices UN pas une matrice B appelée la nouvelle matrice C=AB, dont les éléments sont composés comme suit :
Ainsi, par exemple, pour obtenir le produit (c'est-à-dire dans la matrice C) élément situé en 1ère ligne et 3ème colonne à partir du 13, vous devez prendre la 1ère ligne de la 1ère matrice, la 3ème colonne dans la 2ème, puis multiplier les éléments de la ligne par les éléments de la colonne correspondants et ajouter les produits résultants. Et d'autres éléments de la matrice produit sont obtenus en utilisant un produit similaire des lignes de la première matrice et des colonnes de la deuxième matrice.
En général, si l'on multiplie une matrice A = (aij) taille m× nà la matrice B = (b ij) taille n× p, alors on obtient la matrice C taille m× p, dont les éléments sont calculés comme suit : élément c ij est obtenu à la suite du produit d’éléments jeème ligne de la matrice UN aux éléments correspondants jème colonne de la matrice B et leurs ajouts.
De cette règle, il s'ensuit que l'on peut toujours multiplier deux matrices carrées du même ordre, et par conséquent on obtient une matrice carrée du même ordre. En particulier, une matrice carrée peut toujours être multipliée par elle-même, c'est-à-dire mettez-le au carré.
Un autre cas important est la multiplication d'une matrice ligne par une matrice colonne, et la largeur de la première doit être égale à la hauteur de la seconde, ce qui donne une matrice du premier ordre (c'est-à-dire un élément). Vraiment,
.
Exemples.
Ainsi, ces exemples simples montrent que les matrices, d’une manière générale, ne commutent pas entre elles, c’est-à-dire A∙B ≠ B∙A . Par conséquent, lors de la multiplication de matrices, vous devez surveiller attentivement l'ordre des facteurs.
On peut vérifier que la multiplication matricielle obéit à des lois associatives et distributives, c'est-à-dire (AB)C=A(BC) Et (A+B)C=AC+BC.
Il est également facile de vérifier qu'en multipliant une matrice carrée UNà la matrice d'identité E du même ordre on obtient à nouveau une matrice UN, et AE = EA = A.
Le fait intéressant suivant peut être noté. Comme vous le savez, le produit de 2 nombres non nuls n'est pas égal à 0. Pour les matrices, cela peut ne pas être le cas, c'est-à-dire le produit de 2 matrices non nulles peut s'avérer égal à la matrice nulle.
Par exemple, Si 
, Que
.
LE CONCEPT DE DÉTERMINANTS
Soit une matrice du second ordre - une matrice carrée composée de deux lignes et de deux colonnes .
Déterminant du deuxième ordre correspondant à une matrice donnée est le nombre obtenu comme suit : un 11 un 22 – un 12 un 21.
Le déterminant est indiqué par le symbole 
.
Ainsi, pour trouver le déterminant du second ordre, vous devez soustraire le produit des éléments le long de la deuxième diagonale du produit des éléments de la diagonale principale.
Exemples. Calculez les déterminants du second ordre.
De même, on peut considérer une matrice du troisième ordre et son déterminant correspondant.
Déterminant du troisième ordre, correspondant à une matrice carrée donnée du troisième ordre, est le nombre noté et obtenu comme suit :
.
Ainsi, cette formule donne le développement du déterminant du troisième ordre en termes d'éléments de la première ligne un 11, un 12, un 13 et réduit le calcul du déterminant du troisième ordre au calcul des déterminants du deuxième ordre.
Exemples. Calculez le déterminant du troisième ordre.
De même, on peut introduire les notions de déterminants du quatrième, du cinquième, etc. ordres, en abaissant leur ordre en développant les éléments de la 1ère rangée, en alternant les signes « + » et « – » des termes.
Ainsi, contrairement à une matrice, qui est un tableau de nombres, un déterminant est un nombre attribué à la matrice d’une certaine manière.
Matrices et déterminants
1. 1 Matrices. Concepts.
Matrice de taille rectangulaire m x n appelé un ensemble minute nombres disposés dans un tableau rectangulaire contenant m lignes et n colonnes. Nous écrirons la matrice sous la forme
ou abrégé en A = (a ij) (i = ; j = ). Les nombres a ij qui composent cette matrice sont appelés ses éléments ; Le premier index indique le numéro de ligne, le second - le numéro de colonne. Deux matrices A = (a ij) et B = (b ij) de même taille sont dites égales si leurs éléments aux mêmes endroits sont égaux par paires, c'est-à-dire A = B si a ij = b ij.
Une matrice composée d’une ligne ou d’une colonne est appelée respectivement vecteur ligne ou vecteur colonne. Les vecteurs colonnes et les vecteurs lignes sont simplement appelés vecteurs.
Une matrice composée d'un numéro est identifiée par ce numéro. Matrice de taille m x n, dont tous les éléments sont égaux à zéro sont appelés la matrice zéro et sont notés 0. Les éléments de la matrice avec les mêmes indices sont appelés les éléments de la diagonale principale. Si le nombre de lignes de la matrice est égal au nombre de colonnes, c'est-à-dire m = n, alors la matrice est appelée carré d'ordre n. Les matrices carrées dans lesquelles seuls les éléments de la diagonale principale sont non nuls sont appelées matrices diagonales et s'écrivent comme suit :
.
Si tous les éléments a ii d'une matrice diagonale sont égaux à 1, alors la matrice est appelée matrice identité et est désignée par la lettre E :
Une matrice carrée est dite triangulaire si tous les éléments au-dessus (ou en dessous) de la diagonale principale sont égaux à zéro. La transposition est une transformation d'une matrice dans laquelle les lignes et les colonnes sont permutées tout en conservant leurs numéros. La transposition est indiquée par un T en haut.
Soit la matrice (4.1). Réorganisons les lignes et les colonnes. Obtenons la matrice
UNE T = 
,
qui sera transposé par rapport à la matrice A. En particulier, lors de la transposition d'un vecteur colonne, un vecteur ligne est obtenu et vice versa.
Opérations de base sur les matrices.
Les opérations arithmétiques de base sur les matrices consistent à multiplier une matrice par un nombre, à additionner et à multiplier des matrices.
Passons à la définition des opérations de base sur les matrices.
Ajout de matrice : La somme de deux matrices, par exemple : A et B, ayant le même nombre de lignes et de colonnes, autrement dit les mêmes ordres m et n, est appelée matrice C = (Сij)(i = 1, 2, …m ; j = 1, 2, …n) de mêmes ordres m et n dont les éléments Cij sont égaux.
Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.2)
Pour désigner la somme de deux matrices, la notation C = A + B est utilisée. L'opération de composition de la somme des matrices est appelée leur addition.
On a donc par définition :
+ 
=
= 
De la définition de la somme des matrices, ou plus précisément de la formule (1.2), il résulte immédiatement que l'opération d'addition de matrices a les mêmes propriétés que l'opération d'addition de nombres réels, à savoir :
1) propriété commutative : A + B = B + A
2) propriété de combinaison : (A + B) + C = A + (B + C)
Ces propriétés vous permettent de ne pas vous soucier de l'ordre des termes des matrices lors de l'ajout de deux ou plusieurs matrices.
Multiplier une matrice par un nombre :
Le produit de la matrice A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) par un nombre réel est la matrice C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n), dont les éléments sont égaux
Cij = Aij (i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n). (1.3)
Pour désigner le produit d'une matrice et d'un nombre, la notation C = A ou C = A est utilisée. L'opération consistant à composer le produit d'une matrice par un nombre s'appelle multiplier la matrice par ce nombre.
Directement à partir de la formule (1.3), il ressort clairement que multiplier une matrice par un nombre a les propriétés suivantes :
1) propriété distributive concernant la somme des matrices :
(A + B) = A + B
2) propriété associative concernant un facteur numérique :
3) propriété distributive concernant la somme des nombres :
( + ) A = A + A.
Commentaire: Différence de deux matrices A et B de mêmes ordres, il est naturel d'appeler une telle matrice C de mêmes ordres, qui en somme avec la matrice B donne la matrice A. Pour désigner la différence de deux matrices, une notation naturelle est utilisée : C = A – B.
Multiplication matricielle :
Le produit de la matrice A = (Aij) (i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n), d'ordres égaux respectivement à m et n, par la matrice B = (Bij) (je = 1, 2 , …, n;
j = 1, 2, …, p), d'ordres respectivement égaux à n et p, est appelée la matrice C = (Сij) (i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, p) , ayant des ordres , respectivement égaux à m et p, et les éléments Cij, définis par la formule
Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4)
Pour désigner le produit de la matrice A et de la matrice B, utilisez la notation
C = AB. L'opération de composition du produit de la matrice A et de la matrice B est appelée multiplication de ces matrices. De la définition formulée ci-dessus il résulte que la matrice A ne peut pas être multipliée par chaque matrice B : il faut que le nombre de colonnes de la matrice A soit est égal nombre de lignes de la matrice B. Pour que les deux produits AB et BA soient non seulement définis, mais aient également le même ordre, il est nécessaire et suffisant que les deux matrices A et B soient des matrices carrées du même ordre.
La formule (1.4) est une règle pour composer les éléments de la matrice C,
qui est le produit de la matrice A et de la matrice B. Cette règle peut aussi être formulée verbalement : L'élément Cij situé à l'intersection de la i-ème ligne et de la j-ème colonne de la matrice C = AB est égal à la somme de produits par paires des éléments correspondants de la i-ème ligne de la matrice A et de la j-ème colonne de la matrice B. A titre d'exemple d'application de cette règle, nous présentons la formule de multiplication des matrices carrées du second ordre
La formule (1.4) implique les propriétés suivantes du produit de la matrice A et de la matrice B :
1) propriété correspondante : (AB) C = A (BC) ;
2) propriété distributive par rapport à la somme des matrices :
(A + B) C = AC + BC ou A (B + C) = AB + AC.
Il est logique de poser la question de la propriété de permutation d'un produit de matrices uniquement pour des matrices carrées de même ordre. Des exemples élémentaires montrent que le produit de deux matrices carrées du même ordre ne possède pas, en général, la propriété de commutation. En fait, si on pose
A = , B = , puis AB = et BA =
Les mêmes matrices dont le produit a la propriété de commutation sont généralement appelées navettage.
Parmi les matrices carrées, nous soulignons une classe de matrices dites diagonales, dont chacune comporte des éléments situés en dehors de la diagonale principale égaux à zéro. Parmi toutes les matrices diagonales dont les éléments coïncident sur la diagonale principale, deux matrices jouent un rôle particulièrement important. La première de ces matrices est obtenue lorsque tous les éléments de la diagonale principale sont égaux à un, est appelée matrice identité du nième ordre et est désignée par le symbole E. La deuxième matrice est obtenue avec tous les éléments égaux à zéro et est appelée matrice nulle du nième ordre et est désignée par le symbole O. Supposons qu'il existe une matrice arbitraire A, alors
AE = EA = A, AO = OA = O.
La première des formules caractérise le rôle particulier de la matrice d'identité E, semblable au rôle joué par le nombre 1 lors de la multiplication de nombres réels. Quant au rôle particulier de la matrice nulle O, il se révèle non seulement par la seconde des formules, mais aussi par une égalité élémentaire vérifiable : A + O = O + A = A. La notion de matrice nulle peut être introduite pas pour les matrices carrées.
Rang matriciel
Considérons la matrice rectangulaire (4.1). Si nous sélectionnons arbitrairement k lignes dans cette matrice et k colonnes, alors les éléments à l'intersection des lignes et colonnes sélectionnées forment une matrice carrée k-ième ordre. Le déterminant de cette matrice est appelé le mineur d'ordre k de la matrice A. Évidemment, la matrice A a des mineurs de tout ordre allant de 1 au plus petit nombre m Et n. Parmi tous les mineurs non nuls de la matrice A, il existe au moins un mineur dont l'ordre est le plus grand. Le plus grand des ordres mineurs non nuls d'une matrice donnée est appelé le rang de la matrice. Si le rang de la matrice A est r, cela signifie que la matrice A a un mineur d'ordre non nul r, mais tout mineur d'ordre supérieur à r est égal à zéro. Le rang de la matrice A est noté r(A). Évidemment, la relation est vraie
0 ≤ r(A) ≤ min (m,n).
Le rang de la matrice se trouve soit par la méthode des mineurs limitrophes, soit par la méthode des transformations élémentaires. Lors du calcul du rang d'une matrice à l'aide de la première méthode, vous devez passer des mineurs d'ordre inférieur aux mineurs d'ordre supérieur. Si un mineur D du kième ordre de la matrice A, différent de zéro, a déjà été trouvé, alors seuls les mineurs d'ordre (k+1) bordant le mineur D nécessitent un calcul, c'est-à-dire le contenant comme mineur. S'ils sont tous égaux à zéro, alors le rang de la matrice est égal à k.
Les transformations matricielles suivantes sont dites élémentaires :
1) permutation de deux lignes (ou colonnes),
2) multiplier une ligne (ou une colonne) par un nombre non nul,
3) ajouter à une ligne (ou colonne) une autre ligne (ou colonne), multipliée par un certain nombre.
Deux matrices sont dites équivalentes si l’une d’elles est obtenue à partir de l’autre à l’aide d’un ensemble fini de transformations élémentaires.
Les matrices équivalentes ne sont généralement pas égales, mais leurs rangs sont égaux. Si les matrices A et B sont équivalentes, alors cela s'écrit ainsi :
Une matrice canonique est une matrice dont le début
le long de la diagonale principale, il y a plusieurs unités alignées (dont le nombre
peut être nul), et tous les autres éléments sont nuls,
Par exemple, 
.
Grâce à des transformations élémentaires de lignes et de colonnes, n'importe quelle matrice peut être réduite à canonique. Le rang d'une matrice canonique est égal au nombre de un sur sa diagonale principale.
Matrice inverse
Considérons une matrice carrée
UNE = 
.
Notons Δ = det A.
Une matrice carrée A est dite non singulière, ou non singulière, si son déterminant est non nul, et singulière, ou spéciale, si Δ = 0.
Une matrice carrée B est appelée l'inverse d'une matrice carrée A du même ordre si leur produit A B = B A = E, où E est la matrice identité du même ordre que les matrices A et B.
Théorème. Pour que la matrice A ait un inverse, il faut et il suffit que son déterminant soit différent de zéro.
La matrice inverse de la matrice A est notée A -1. La matrice inverse est calculée à l'aide de la formule
A -1 = 1/Δ 
, (4.5)
où A ij sont des compléments algébriques d'éléments a ij.
Le calcul de la matrice inverse à l'aide de la formule (4.5) pour les matrices d'ordre élevé demande beaucoup de travail, donc en pratique, il est pratique de trouver la matrice inverse à l'aide de la méthode de transformation élémentaire (ET). Toute matrice non singulière A peut être réduite à la matrice identité E au moyen d'ED de colonnes uniquement (ou de lignes uniquement). Si les ED perfectionnés sur la matrice A sont appliqués dans le même ordre à la matrice identité E, alors le résultat est. une matrice inverse. Il est pratique d’effectuer simultanément EP sur les matrices A et E, en écrivant les deux matrices côte à côte sur une ligne. Notons encore une fois que pour trouver la forme canonique d'une matrice afin de trouver son rang, on peut utiliser des transformations de lignes et de colonnes. Si vous avez besoin de trouver l'inverse d'une matrice, vous devez utiliser uniquement des lignes ou uniquement des colonnes pendant le processus de transformation.
2. Déterminants
Pour chaque matrice carrée, il existe un nombre défini, appelé déterminant de la matrice, déterminant de la matrice ou simplement déterminant.
Définition. Le déterminant d'une matrice carrée du premier ordre est un nombre égal au seul élément de cette matrice : A=(a), detA=|A|=a.
Soit A une matrice carrée arbitraire d'ordre n, n>1 :
Définition Le déterminant d'ordre n (le déterminant d'une matrice carrée d'ordre n n), n>1, est le nombre égal à
où est le déterminant d'une matrice carrée obtenue à partir de la matrice A en supprimant la première ligne et la j-ième colonne.
Pour les déterminants du 2ème et du 3ème ordre, il est facile d'obtenir des expressions simples à travers les éléments de la matrice.
Déterminant de 2ème ordre :
Déterminant de 3ème ordre :
.
2.1. Complément mineur et algébrique d'un élément
Définition. Le mineur d'un élément matriciel est le déterminant d'une matrice obtenu en supprimant la ligne et la colonne dans lesquelles se trouve l'élément. On note : l'élément mineur a ij - .
Définition. Le complément algébrique d'un élément matriciel est son mineur, multiplié par -1 à une puissance égale à la somme des numéros de ligne et de colonne dans lesquels se trouve l'élément. On note : le complément algébrique de l'élément a ij - .
Ainsi, nous pouvons reformuler la définition du déterminant d’ordre n :
le déterminant d'ordre n, n>1, est égal à la somme des produits des éléments de la première ligne et de leurs compléments algébriques.
Exemple.
Théorème sur le calcul du déterminant par expansion sur n'importe quelle ligne
Théorème. Le déterminant d'ordre n, n>1, est égal à la somme des produits des éléments de n'importe quelle ligne (colonne) par leurs compléments algébriques.
Exemple. Calculons le déterminant de l'exemple précédent en développant le long de la deuxième ligne :
Conséquence. Le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produit des éléments diagonaux. (Prouvez-le vous-même).
