La série de distribution est donnée. Loi de distribution de probabilité d'une variable aléatoire discrète

Dans les applications de la théorie des probabilités, les caractéristiques quantitatives de l’expérience sont d’une importance primordiale. Une grandeur qui peut être déterminée quantitativement et qui, à la suite d'une expérience, peut prendre des valeurs différentes selon les cas s'appelle variable aléatoire.

Exemples de variables aléatoires :

1. Le nombre de fois qu’un nombre pair de points apparaît en dix lancers de dé.

2. Le nombre de coups sûrs sur la cible par un tireur qui tire une série de coups.

3. Le nombre de fragments d'un obus qui explose.

Dans chacun des exemples donnés, la variable aléatoire ne peut prendre que des valeurs isolées, c'est-à-dire des valeurs pouvant être numérotées à l'aide d'une série naturelle de nombres.

Une telle variable aléatoire, dont les valeurs possibles sont des nombres isolés individuels, que cette variable prend avec certaines probabilités, est appelée discret.

Le nombre de valeurs possibles d'une variable aléatoire discrète peut être fini ou infini (dénombrable).

Loi de répartition Une variable aléatoire discrète est une liste de ses valeurs possibles et de leurs probabilités correspondantes. La loi de distribution d'une variable aléatoire discrète peut être spécifiée sous forme de tableau (série de distribution de probabilité), analytiquement et graphiquement (polygone de distribution de probabilité).

Lorsqu’on réalise une expérience, il devient nécessaire d’évaluer la valeur étudiée « en moyenne ». Le rôle de la valeur moyenne d'une variable aléatoire est joué par une caractéristique numérique appelée espérance mathématique, qui est déterminé par la formule

Où x 1 ,x 2 ,.. , x n– valeurs de variables aléatoires X, UN p 1 ,p 2 , ... , p n– les probabilités de ces valeurs (à noter que p 1 + p 2 +…+ p n = 1).

Exemple. Le tir s'effectue sur la cible (Fig. 11).

Une touche en I donne trois points, en II – deux points, en III – un point. Le nombre de points marqués en un seul tir par un tireur a une loi de distribution de la forme

Pour comparer l'habileté des tireurs, il suffit de comparer les valeurs moyennes des points marqués, c'est-à-dire attentes mathématiques M.(X) Et M.(Oui):

M.(X) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M.(Oui) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

Le deuxième tireur donne en moyenne un nombre de points légèrement plus élevé, c'est-à-dire il donnera de meilleurs résultats s’il est tiré à plusieurs reprises.

Notons les propriétés de l'espérance mathématique :

1. L'espérance mathématique d'une valeur constante est égale à la constante elle-même :

M.(C) =C.

2. L'espérance mathématique de la somme des variables aléatoires est égale à la somme des espérances mathématiques des termes :

M=(X 1 + X 2 +…+ X n)= M.(X 1)+ M.(X 2)+…+ M.(X n).

3. L'espérance mathématique du produit de variables aléatoires mutuellement indépendantes est égale au produit des espérances mathématiques des facteurs

M.(X 1 X 2 … X n) = M.(X 1)M.(X 2)… M.(X n).

4. La négation mathématique de la distribution binomiale est égale au produit du nombre d'essais et de la probabilité qu'un événement se produise dans un essai (tâche 4.6).

M.(X) = pr.

Évaluer comment une variable aléatoire s'écarte « en moyenne » de son espérance mathématique, c'est-à-dire Afin de caractériser la dispersion des valeurs d'une variable aléatoire en théorie des probabilités, la notion de dispersion est utilisée.

Variance variable aléatoire X s'appelle l'espérance mathématique de l'écart carré :

D(X) = M.[(X - M.(X)) 2 ].

La dispersion est une caractéristique numérique de la dispersion d'une variable aléatoire. D'après la définition, il ressort clairement que plus la dispersion d'une variable aléatoire est petite, plus ses valeurs possibles se situent autour de l'espérance mathématique, c'est-à-dire mieux les valeurs de la variable aléatoire sont caractérisées par son espérance mathématique. .

De la définition, il s'ensuit que la variance peut être calculée à l'aide de la formule

.

Il est pratique de calculer la variance en utilisant une autre formule :

D(X) = M.(X 2) - (M.(X)) 2 .

La dispersion a les propriétés suivantes :

1. La variance de la constante est nulle :

D(C) = 0.

2. Le facteur constant peut être retiré du signe de dispersion en le mettant au carré :

D(CX) = C 2 D(X).

3. La variance de la somme des variables aléatoires indépendantes est égale à la somme de la variance des termes :

D(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X n)= D(X 1)+ D(X 2)+…+ D(X n)

4. La variance de la distribution binomiale est égale au produit du nombre d'essais et de la probabilité d'occurrence et de non-occurrence d'un événement dans un essai :

D(X) = npq.

En théorie des probabilités, une caractéristique numérique égale à la racine carrée de la variance d'une variable aléatoire est souvent utilisée. Cette caractéristique numérique est appelée écart quadratique moyen et est désignée par le symbole

.

Il caractérise la taille approximative de l'écart d'une variable aléatoire par rapport à sa valeur moyenne et a la même dimension que la variable aléatoire.

4.1. Le tireur tire trois coups sur la cible. La probabilité d'atteindre la cible à chaque tir est de 0,3.

Construisez une série de distribution pour le nombre de hits.

Solution. Le nombre de hits est une variable aléatoire discrète X. Chaque valeur x n variable aléatoire X correspond à une certaine probabilité P. n .

La loi de distribution d'une variable aléatoire discrète dans ce cas peut être spécifiée proche de la distribution.

Dans ce problème X prend les valeurs 0, 1, 2, 3. D'après la formule de Bernoulli

,

Trouvons les probabilités des valeurs possibles de la variable aléatoire :

R. 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

R. 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

R. 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

R. 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

En arrangeant les valeurs de la variable aléatoire X par ordre croissant, on obtient la série de distribution :

Notez que le montant

désigne la probabilité que la variable aléatoire X prendra au moins une valeur parmi les possibles, et cet événement est fiable, donc

.

4.2 .Il y a quatre boules dans l'urne avec des numéros de 1 à 4. Deux boules sont retirées. Variable aléatoire X– la somme des numéros de boules. Construire une série de distribution d'une variable aléatoire X.

Solution. Valeurs de variables aléatoires X sont 3, 4, 5, 6, 7. Trouvons les probabilités correspondantes. Valeur variable aléatoire 3 X peut être accepté dans le seul cas où l'une des boules sélectionnées porte le numéro 1 et l'autre 2. Le nombre de résultats possibles du test est égal au nombre de combinaisons de quatre (le nombre de paires de boules possibles) de deux.

En utilisant la formule de probabilité classique, nous obtenons

De même,

R.(X= 4) =R.(X= 6) =R.(X= 7) = 1/6.

La somme 5 peut apparaître dans deux cas : 1 + 4 et 2 + 3, donc

.

X a la forme :

Trouver la fonction de distribution F(x) variable aléatoire X et tracez-le. Calculer pour X son espérance mathématique et sa variance.

Solution. La loi de distribution d'une variable aléatoire peut être spécifiée par la fonction de distribution

F(x) =P(X x).

Fonction de répartition F(x) est une fonction continue à gauche non décroissante définie sur toute la droite numérique, tandis que

F (- )= 0,F (+ )= 1.

Pour une variable aléatoire discrète, cette fonction est exprimée par la formule

.

Donc dans ce cas

Graphique de la fonction de distribution F(x) est une ligne en escalier (Fig. 12)

AttenteM.(X) est la moyenne arithmétique pondérée des valeurs X 1 ,X 2 ,……X n variable aléatoire X avec des balances ρ 1, ρ 2, …… , ρ n et est appelée valeur moyenne de la variable aléatoire X. D'après la formule

M.(X)=x 1 ρ 1 +x 2 ρ 2 +……+x n ρ n

M.(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.

Dispersion caractérise le degré de dispersion des valeurs d'une variable aléatoire par rapport à sa valeur moyenne et est noté D(X):

D(X)=M[(HM(X)) 2 ]=M(X 2) –[M.(X)] 2 .

Pour une variable aléatoire discrète, la variance a la forme

ou il peut être calculé en utilisant la formule

En substituant les données numériques du problème dans la formule, nous obtenons :

M.(X 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(X) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. Deux dés sont lancés deux fois en même temps. Écrire la loi binomiale de distribution d'une variable aléatoire discrète X- le nombre d'occurrences d'un nombre total pair de points sur deux dés.

Solution. Introduisons un événement aléatoire

UN= (deux dés avec un lancer donnaient un total de points pairs).

En utilisant la définition classique de la probabilité, nous trouvons

R.(UN)= ,

Où n - le nombre de résultats de test possibles est trouvé par la règle

multiplication:

n = 6∙6 =36,

m - nombre de personnes favorables à l'événement UN résultats - égaux

m= 3∙6=18.

Ainsi, la probabilité de succès d’un essai est

ρ =P(UN)= 1/2.

Le problème est résolu à l’aide d’un schéma de test de Bernoulli. Un défi ici consistera à lancer deux dés une fois. Nombre de ces tests n = 2. Variable aléatoire X prend les valeurs 0, 1, 2 avec probabilités

R. 2 (0) =,R. 2 (1) =∙,R. 2 (2) =

La distribution binomiale souhaitée d'une variable aléatoire X peut être représenté comme une série de distribution :

4.5 . Dans un lot de six pièces, il y a quatre pièces standards. Trois parties ont été sélectionnées au hasard. Construire une distribution de probabilité d'une variable aléatoire discrète X– le nombre de pièces standards parmi celles sélectionnées et trouver son espérance mathématique.

Solution. Valeurs de variables aléatoires X sont les nombres 0,1,2,3. C'est clair que R.(X=0)=0, puisqu'il n'y a que deux pièces non standards.

R.(X=1) =
=1/5,

R.(X= 2) =
= 3/5,

R.(X=3) =
= 1/5.

Loi de distribution d'une variable aléatoire X Présentons-le sous la forme d'une série de distribution :

Attente

M.(X)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Prouver que l'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète X- nombre d'occurrences de l'événement UN V n essais indépendants, dans chacun desquels la probabilité qu'un événement se produise est égale à ρ – égal au produit du nombre d'essais par la probabilité qu'un événement se produise dans un essai, c'est-à-dire pour prouver que l'espérance mathématique de la distribution binomiale

M.(X) =n . ρ ,

et dispersion

D(X) =n.p. .

Solution. Variable aléatoire X peut prendre les valeurs 0, 1, 2..., n. Probabilité R.(X= k) se trouve à l’aide de la formule de Bernoulli :

R.(X=k)= R. n(k)= ρ À (1-ρ ) n-À

Série de distribution d'une variable aléatoire X a la forme :

Où q= 1- ρ .

Pour l’espérance mathématique, nous avons l’expression :

M.(X)=ρq n - 1 +2 ρ 2 q n - 2 +…+.n ρ n

Dans le cas d'un test, c'est-à-dire avec m= 1 pour variable aléatoire X 1 – nombre d’occurrences de l’événement UN- la série de distribution a la forme :

M.(X 1)= 0∙q + 1 ∙ p = p

D(X 1) = p – p 2 = p(1- p) = pq.

Si X k – nombre d'occurrences de l'événement UN dans quel test, alors R.(X À)= ρ Et

X=X 1 +X 2 +….+X n .

De là, nous obtenons

M.(X)=M(X 1 )+M(X 2)+ … +M(X n)= nρ,

D(X)=D(X 1)+D(X 2)+ ... +D(X n)=npq.

4.7. Le service de contrôle qualité vérifie la conformité des produits. La probabilité que le produit soit standard est de 0,9. Chaque lot contient 5 produits. Trouver l'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète X- le nombre de lots contenant chacun 4 produits standards - si 50 lots sont soumis au contrôle.

Solution. La probabilité qu'il y ait 4 produits standards dans chaque lot sélectionné au hasard est constante ; notons-le par ρ .Puis l'espérance mathématique de la variable aléatoire X est égal M.(X)= 50∙ρ.

Trouvons la probabilité ρ selon la formule de Bernoulli :

ρ = P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

M.(X)= 50∙0,32=16.

4.8 . Trois dés sont lancés. Trouvez l'espérance mathématique de la somme des points perdus.

Solution. Vous pouvez trouver la distribution d'une variable aléatoire X- la somme des points perdus puis son espérance mathématique. Cependant, cette voie est trop lourde. Il est plus simple d'utiliser une autre technique, représentant une variable aléatoire X, dont l'espérance mathématique doit être calculée, sous la forme d'une somme de plusieurs variables aléatoires plus simples, dont l'espérance mathématique est plus facile à calculer. Si la variable aléatoire X je- c'est le nombre de points perdus je– les os ( je= 1, 2, 3), puis la somme des points X sera exprimé sous la forme

X = X 1 +X 2 +X 3 .

Pour calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire d'origine, il ne reste plus qu'à utiliser la propriété d'espérance mathématique

M.(X 1 +X 2 +X 3 )=M(X 1 )+M(X 2)+M(X 3 ).

C'est évident que

R.(X je =K)= 1/6, À= 1, 2, 3, 4, 5, 6, je= 1, 2, 3.

Par conséquent, l’espérance mathématique de la variable aléatoire X je on dirait

M.(X je) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

M.(X) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Déterminez l'espérance mathématique du nombre d'appareils qui sont tombés en panne pendant les tests si :

a) la probabilité de panne pour tous les appareils est la même r, et le nombre d'appareils testés est égal à n;

b) probabilité d'échec pour je – de l'appareil est égal à p je , je= 1, 2, … , n.

Solution. Laissez la variable aléatoire X est le nombre d'appareils en panne, alors

X = X 1 +X 2 + … + X n ,

X je =

C'est clair que

R.(X je = 1)= R. je , R.(X je = 0)= 1– R. je ,je= 1, 2, … ,n.

M.(X je)= 1∙R. je + 0∙(1–P je)=P je ,

M.(X)=M(X 1)+M(X 2)+ … +M(X n)=P 1 +P 2 + … + P n .

Dans le cas « a », la probabilité de panne de l'appareil est la même, c'est-à-dire

R. je =p,je= 1, 2, … ,n.

M.(X)= n.p..

Cette réponse pourrait être obtenue immédiatement si l’on remarque que la variable aléatoire X a une distribution binomiale avec des paramètres ( n, p).

4.10. Deux dés sont lancés simultanément deux fois. Écrire la loi binomiale de distribution d'une variable aléatoire discrète X- le nombre de lancers d'un nombre pair de points sur deux dés.

Solution. Laisser

UN=(lancer un nombre pair au premier dé),

B =(en lançant un nombre pair sur le deuxième dé).

Obtenir un nombre pair sur les deux dés en un seul lancer est exprimé par le produit AB. Alors

R. (AB) = R.(UN)∙R.(DANS) =
.

Le résultat du deuxième lancer de deux dés ne dépend pas du premier, donc la formule de Bernoulli s'applique lorsque

n = 2,p = 1/4, q = 1– p = 3/4.

Variable aléatoire X peut prendre les valeurs 0, 1, 2 , dont la probabilité peut être trouvée à l’aide de la formule de Bernoulli :

R.(X= 0)=P 2 (0) = q 2 = 9/16,

R.(X= 1)=P 2 (1)=C ,r∙q = 6/16,

R.(X= 2)=P 2 (2)=C , r 2 = 1/16.

Série de distribution d'une variable aléatoire X :

4.11. Le dispositif est constitué d'un grand nombre d'éléments fonctionnant indépendamment avec la même très faible probabilité de défaillance de chaque élément au fil du temps. t. Trouver le nombre moyen de refus au fil du temps téléments, si la probabilité qu'au moins un élément tombe en panne pendant cette période est de 0,98.

Solution. Nombre de personnes ayant refusé au fil du temps téléments – variable aléatoire X, qui est distribué selon la loi de Poisson, puisque le nombre d'éléments est grand, les éléments fonctionnent indépendamment et la probabilité de défaillance de chaque élément est faible. Nombre moyen d'occurrences d'un événement dans n les tests sont égaux

M.(X) = n.p..

Puisque la probabilité d'échec Àéléments de n exprimé par la formule

R. n (À)
,

où  = n.p., alors la probabilité qu'aucun élément ne tombe en panne pendant le temps t nous arrivons à K = 0:

R. n (0)= e -  .

Par conséquent, la probabilité que l’événement inverse se produise est en temps t au moins un élément échoue – égal à 1 -e -  . Selon les conditions du problème, cette probabilité est de 0,98. De l'équation.

1 - e -  = 0,98,

e -  = 1 – 0,98 = 0,02,

d'ici  = -ln 0,02  4.

Alors, avec le temps t fonctionnement de l'appareil, en moyenne 4 éléments tomberont en panne.

4.12 . Les dés sont lancés jusqu'à ce qu'un « deux » apparaisse. Trouvez le nombre moyen de lancers.

Solution. Introduisons une variable aléatoire X– le nombre de tests qui doivent être effectués jusqu'à ce que l'événement qui nous intéresse se produise. La probabilité que X= 1 est égal à la probabilité qu'au cours d'un lancer de dé un « deux » apparaisse, c'est-à-dire :

R.(X= 1) = 1/6.

Événement X= 2 signifie que lors du premier test, les « deux » ne sont pas tombés, mais que lors du second, c'est le cas. Probabilité de l'événement X= 2 est trouvé par la règle de multiplication des probabilités d'événements indépendants :

R.(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

De même,

R.(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, R.(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

etc. Nous obtenons une série de distributions de probabilité :

Le nombre moyen de lancers (essais) est l'espérance mathématique

M.(X) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + À (5/6) À -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + À (5/6) À -1 + …)

Trouvons la somme de la série :

Àg À -1 = (g À) g 
.

Ainsi,

M.(X) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Ainsi, vous devez faire en moyenne 6 lancers de dés jusqu'à ce qu'un « deux » apparaisse.

4.13. Des tests indépendants sont réalisés avec la même probabilité d'occurrence de l'événement UNà chaque essai. Trouver la probabilité qu'un événement se produise UN, si la variance du nombre d'occurrences d'un événement dans trois essais indépendants est de 0,63 .

Solution. Le nombre d'occurrences d'un événement dans trois essais est une variable aléatoire X, distribué selon la loi binomiale. La variance du nombre d'occurrences d'un événement dans des essais indépendants (avec la même probabilité d'occurrence de l'événement dans chaque essai) est égale au produit du nombre d'essais par les probabilités d'occurrence et de non-occurrence de l'événement. (problème 4.6)

D(X) = npq.

Par condition n = 3, D(X) = 0,63, vous pouvez donc r trouver à partir de l'équation

0,63 = 3∙r(1-r),

qui a deux solutions r 1 = 0,7 et r 2 = 0,3.

Sur cette page, nous avons rassemblé des exemples de solutions pédagogiques problèmes concernant les variables aléatoires discrètes. Il s'agit d'une section assez étendue : diverses lois de distribution (binomiale, géométrique, hypergéométrique, Poisson et autres), propriétés et caractéristiques numériques sont étudiées ; pour chaque série de distribution, des représentations graphiques peuvent être construites : polygone (polygone) de probabilités, fonction de distribution.

Vous trouverez ci-dessous des exemples de décisions concernant des variables aléatoires discrètes, dans lesquelles vous devez appliquer les connaissances des sections précédentes de la théorie des probabilités pour élaborer une loi de distribution, puis calculer l'espérance mathématique, la variance, l'écart type, construire une fonction de distribution, répondre questions sur la DSV, etc. p.

Exemples de lois de distribution de probabilité populaires :

Calculateurs pour les caractéristiques DSV

• Calcul de l'espérance mathématique, de la dispersion et de l'écart type du DSV.

Problèmes résolus concernant DSV

Distributions proches de la géométrie

Tâche 1. Il y a 4 feux de circulation le long du chemin du véhicule, chacun interdisant tout mouvement ultérieur du véhicule avec une probabilité de 0,5. Retrouvez la série de répartition du nombre de feux tricolores franchis par la voiture avant le premier arrêt. Quelles sont l’espérance mathématique et la variance de cette variable aléatoire ?

Tâche 2. Le chasseur tire sur le gibier jusqu'au premier coup, mais ne parvient pas à tirer plus de quatre coups. Établissez une loi de répartition du nombre de tirs manqués si la probabilité d'atteindre la cible d'un seul coup est de 0,7. Trouvez la variance de cette variable aléatoire.

Tâche 3. Le tireur, doté de 3 cartouches, tire sur la cible jusqu'au premier coup. Les probabilités de réussite pour les premier, deuxième et troisième tirs sont respectivement de 0,6, 0,5 et 0,4. S.V. $\xi$ - nombre de cartouches restantes. Compilez une série de distribution d'une variable aléatoire, trouvez l'espérance mathématique, la variance, l'écart type de la variable aléatoire, construisez la fonction de distribution de la variable aléatoire, trouvez $P(|\xi-m| \le \sigma$.

Tâche 4. La boîte contient 7 pièces standards et 3 pièces défectueuses. Ils retirent les pièces séquentiellement jusqu'à ce que la pièce standard apparaisse, sans les rendre. $\xi$ est le nombre de pièces défectueuses récupérées.
Établissez une loi de distribution pour une variable aléatoire discrète $\xi$, calculez son espérance mathématique, sa variance, son écart type, dessinez un polygone de distribution et un graphique de la fonction de distribution.

Tâches avec événements indépendants

Tâche 5. 3 étudiants se sont présentés au réexamen de théorie des probabilités. La probabilité que la première personne réussisse l'examen est de 0,8, la deuxième de 0,7 et la troisième de 0,9. Trouvez la série de distribution de la variable aléatoire $\xi$ du nombre d'étudiants qui ont réussi l'examen, tracez la fonction de distribution, trouvez $M(\xi), D(\xi)$.

Tâche 6. La probabilité d'atteindre la cible d'un seul coup est de 0,8 et diminue de 0,1 à chaque tir. Etablir une loi de répartition du nombre de touches sur une cible si trois coups sont tirés. Trouvez la valeur attendue, la variance et le S.K.O. cette variable aléatoire. Dessinez un graphique de la fonction de distribution.

Tâche 7. 4 coups sont tirés sur la cible. La probabilité d'un coup augmente comme suit : 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Trouvez la loi de distribution de la variable aléatoire $X$ - le nombre de résultats. Trouvez la probabilité que $X \ge 1$.

Tâche 8. Deux pièces symétriques sont lancées et le nombre d'armoiries sur les deux faces supérieures des pièces est compté. Nous considérons une variable aléatoire discrète $X$ - le nombre d'armoiries sur les deux pièces. Écrivez la loi de distribution de la variable aléatoire $X$, trouvez son espérance mathématique.

Autres problèmes et lois de distribution du DSV

Tâche 9. Deux basketteurs effectuent trois tirs dans le panier. La probabilité de toucher pour le premier basketteur est de 0,6, pour le second de 0,7. Soit $X$ la différence entre le nombre de tirs réussis du premier et du deuxième basketteur. Trouvez la série de distribution, le mode et la fonction de distribution de la variable aléatoire $X$. Construisez un polygone de distribution et un graphique de la fonction de distribution. Calculez la valeur attendue, la variance et l’écart type. Trouvez la probabilité de l'événement $(-2 \lt X \le 1)$.

Problème 10. Le nombre de navires non-résidents arrivant quotidiennement pour être chargés dans un certain port est une variable aléatoire $X$, donnée comme suit :
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) s'assurer que la série de distribution est précisée,
B) trouver la fonction de distribution de la variable aléatoire $X$,
C) si plus de trois navires arrivent un jour donné, le port assume la responsabilité des coûts dus à la nécessité d'embaucher des chauffeurs et des chargeurs supplémentaires. Quelle est la probabilité que le port supporte des coûts supplémentaires ?
D) trouver l'espérance mathématique, la variance et l'écart type de la variable aléatoire $X$.

Problème 11. 4 dés sont lancés. Trouvez l'espérance mathématique de la somme du nombre de points qui apparaîtront de tous les côtés.

Problème 12. Les deux hommes lancent une pièce de monnaie à tour de rôle jusqu'à ce que les armoiries apparaissent pour la première fois. Le joueur qui a obtenu les armoiries reçoit 1 rouble de l'autre joueur. Trouvez l'espérance mathématique de gagner pour chaque joueur.

Variable aléatoire Une variable est appelée une variable qui, à la suite de chaque test, prend une valeur jusqu'alors inconnue, en fonction de raisons aléatoires. Les variables aléatoires sont désignées par des lettres majuscules latines : $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Selon leur type, les variables aléatoires peuvent être discret Et continu.

Variable aléatoire discrète- il s'agit d'une variable aléatoire dont les valeurs ne peuvent être que dénombrables, c'est-à-dire finies ou dénombrables. Par dénombrabilité, nous entendons que les valeurs d'une variable aléatoire peuvent être numérotées.

Exemple 1 . Voici des exemples de variables aléatoires discrètes :

a) le nombre de coups sur la cible avec $n$ tirs, ici les valeurs possibles sont $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) le nombre d'emblèmes abandonnés lors du lancer d'une pièce, ici les valeurs possibles sont $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) le nombre de navires arrivant à bord (un ensemble dénombrable de valeurs).

d) le nombre d'appels arrivant au PBX (ensemble dénombrable de valeurs).

1. Loi de distribution de probabilité d'une variable aléatoire discrète.

Une variable aléatoire discrète $X$ peut prendre des valeurs $x_1,\dots ,\ x_n$ avec des probabilités $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. La correspondance entre ces valeurs et leurs probabilités s'appelle loi de distribution d'une variable aléatoire discrète. En règle générale, cette correspondance est précisée à l'aide d'un tableau dont la première ligne indique les valeurs $x_1,\dots ,\ x_n$, et la deuxième ligne les probabilités $p_1,\dots ,\ p_n$. correspondant à ces valeurs sont indiquées.

$\begin(tableau)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(tableau)$

Exemple 2 . Soit la variable aléatoire $X$ le nombre de points obtenu en lançant un dé. Une telle variable aléatoire $X$ peut prendre les valeurs suivantes : $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Les probabilités de toutes ces valeurs sont égales à 1/6$. Puis la loi de distribution de probabilité de la variable aléatoire $X$ :

$\begin(tableau)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(tableau)$

Commentaire. Puisque dans la loi de distribution d'une variable aléatoire discrète $X$ les événements $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ forment un groupe complet d'événements, alors la somme des probabilités doit être égale à un, c'est-à-dire $ \sum(p_i)=1$.

2. Espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète.

Attente d'une variable aléatoire fixe sa signification « centrale ». Pour une variable aléatoire discrète, l'espérance mathématique est calculée comme la somme des produits des valeurs $x_1,\dots ,\ x_n$ et des probabilités $p_1,\dots ,\ p_n$ correspondant à ces valeurs, soit : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Dans la littérature de langue anglaise, une autre notation $E\left(X\right)$ est utilisée.

Propriétés de l'espérance mathématique$M\gauche(X\droite)$ :

1. $M\left(X\right)$ se situe entre les valeurs les plus petites et les plus grandes de la variable aléatoire $X$.
2. L'espérance mathématique d'une constante est égale à la constante elle-même, c'est-à-dire $M\gauche(C\droite)=C$.
3. Le facteur constant peut être soustrait du signe de l'espérance mathématique : $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. L'espérance mathématique de la somme des variables aléatoires est égale à la somme de leurs espérances mathématiques : $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. L'espérance mathématique du produit de variables aléatoires indépendantes est égale au produit de leurs espérances mathématiques : $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Exemple 3 . Trouvons l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ de l'exemple $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\sur (6))+4\cdot ((1)\sur (6))+5\cdot ((1)\sur (6))+6\cdot ((1 )\plus de (6))=3,5.$$

On peut remarquer que $M\left(X\right)$ se situe entre la plus petite ($1$) et la plus grande ($6$) valeurs de la variable aléatoire $X$.

Exemple 4 . On sait que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est égale à $M\left(X\right)=2$. Trouvez l'espérance mathématique de la variable aléatoire $3X+5$.

En utilisant les propriétés ci-dessus, nous obtenons $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Exemple 5 . On sait que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est égale à $M\left(X\right)=4$. Trouvez l'espérance mathématique de la variable aléatoire $2X-9$.

En utilisant les propriétés ci-dessus, nous obtenons $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Dispersion d'une variable aléatoire discrète.

Les valeurs possibles de variables aléatoires avec des attentes mathématiques égales peuvent se disperser différemment autour de leurs valeurs moyennes. Par exemple, dans deux groupes d'étudiants, la note moyenne à l'examen de théorie des probabilités s'est avérée être de 4, mais dans un groupe, tout le monde s'est avéré être de bons étudiants, et dans l'autre groupe, il n'y avait que des étudiants C et d'excellents étudiants. Par conséquent, il existe un besoin d'une caractéristique numérique d'une variable aléatoire qui montrerait la répartition des valeurs de la variable aléatoire autour de son espérance mathématique. Cette caractéristique est la dispersion.

Variance d'une variable aléatoire discrète$X$ est égal à :

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

Dans la littérature anglaise, la notation $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ est utilisée. Très souvent, la variance $D\left(X\right)$ est calculée à l'aide de la formule $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ gauche(X \droite)\droite))^2$.

Propriétés de dispersion$D\gauche(X\droite)$ :

1. La variance est toujours supérieure ou égale à zéro, c'est-à-dire $D\gauche(X\droite)\ge 0$.
2. La variance de la constante est nulle, c'est-à-dire $D\gauche(C\droite)=0$.
3. Le facteur constant peut être soustrait du signe de dispersion à condition qu'il soit au carré, c'est-à-dire $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. La variance de la somme des variables aléatoires indépendantes est égale à la somme de leurs variances, c'est-à-dire $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. La variance de la différence entre les variables aléatoires indépendantes est égale à la somme de leurs variances, c'est-à-dire $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Exemple 6 . Calculons la variance de la variable aléatoire $X$ à partir de l'exemple $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\over (6))\cdot (\left(6-3.5\right))^2=((35)\over (12))\environ 2,92.$$

Exemple 7 . On sait que la variance de la variable aléatoire $X$ est égale à $D\left(X\right)=2$. Trouvez la variance de la variable aléatoire $4X+1$.

En utilisant les propriétés ci-dessus, nous trouvons $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ gauche(X\droite)=16\cdot 2=32$.

Exemple 8 . On sait que la variance de la variable aléatoire $X$ est égale à $D\left(X\right)=3$. Trouvez la variance de la variable aléatoire $3-2X$.

En utilisant les propriétés ci-dessus, nous trouvons $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ gauche(X\droite)=4\cdot 3=12$.

4. Fonction de distribution d'une variable aléatoire discrète.

La méthode de représentation d'une variable aléatoire discrète sous la forme d'une série de distribution n'est pas la seule, et surtout, elle n'est pas universelle, puisqu'une variable aléatoire continue ne peut pas être spécifiée à l'aide d'une série de distribution. Il existe une autre façon de représenter une variable aléatoire : la fonction de distribution.

Fonction de répartition la variable aléatoire $X$ est appelée une fonction $F\left(x\right)$, qui détermine la probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne une valeur inférieure à une valeur fixe $x$, c'est-à-dire $F\ gauche(x\droite)=P\gauche(X< x\right)$

Propriétés de la fonction de distribution:

1. $0\le F\gauche(x\droite)\le 1$.
2. La probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne des valeurs de l'intervalle $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ est égale à la différence entre les valeurs de la fonction de distribution aux extrémités de cet intervalle : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - non décroissant.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

Exemple 9 . Trouvons la fonction de distribution $F\left(x\right)$ pour la loi de distribution de la variable aléatoire discrète $X$ de l'exemple $2$.

$\begin(tableau)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(tableau)$

Si $x\le 1$, alors, évidemment, $F\left(x\right)=0$ (y compris pour $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Si 1 $< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Si 2 $< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Si 3 $< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Si 4$< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Si 5$< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Si $x > 6$, alors $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\gauche(X=4\droite)+P\gauche(X=5\droite)+P\gauche(X=6\droite)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Donc $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ à\ x\le 1,\\
1/6,à\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ à\ 2< x\le 3,\\
1/2,à\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ à\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ à\ 4< x\le 5,\\
1,\ pour\ x > 6.
\fin(matrice)\droite.$

L'un des concepts les plus importants de la théorie des probabilités est le concept variable aléatoire.

Aléatoire appelé taille, qui, à la suite de tests, prend certaines valeurs possibles inconnues à l'avance et qui dépendent de raisons aléatoires qui ne peuvent être prises en compte à l'avance.

Les variables aléatoires sont désignées par les lettres majuscules de l'alphabet latin X, Oui, Z etc. ou en lettres majuscules de l'alphabet latin avec un index inférieur droit, et les valeurs que peuvent prendre les variables aléatoires - dans les petites lettres correspondantes de l'alphabet latin x, oui, z etc.

Le concept de variable aléatoire est étroitement lié au concept d'événement aléatoire. Connexion avec un événement aléatoire réside dans le fait que l'adoption d'une certaine valeur numérique par une variable aléatoire est un événement aléatoire caractérisé par la probabilité .

En pratique, il existe deux principaux types de variables aléatoires :

1. Variables aléatoires discrètes ;

2. Variables aléatoires continues.

Une variable aléatoire est une fonction numérique d'événements aléatoires.

Par exemple, une variable aléatoire est le nombre de points obtenus en lançant un dé, ou la taille d'un élève sélectionné au hasard dans un groupe d'étude.

Variables aléatoires discrètes sont appelées variables aléatoires qui ne prennent que des valeurs éloignées les unes des autres et pouvant être répertoriées à l'avance.

Loi de répartition(fonction de distribution et série de distribution ou densité de probabilité) décrivent complètement le comportement d'une variable aléatoire. Mais dans un certain nombre de problèmes, il suffit de connaître certaines caractéristiques numériques de la grandeur étudiée (par exemple, sa valeur moyenne et son éventuel écart par rapport à celle-ci) pour répondre à la question posée. Considérons les principales caractéristiques numériques des variables aléatoires discrètes.

Loi de distribution d'une variable aléatoire discrète toute relation est appelée , établir un lien entre les valeurs possibles d'une variable aléatoire et leurs probabilités correspondantes .

La loi de distribution d'une variable aléatoire peut être représentée comme tableaux:

La somme des probabilités de toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire est égale à un, c'est-à-dire

La loi de distribution peut être représentée graphiquement: les valeurs possibles d'une variable aléatoire sont portées le long de l'axe des abscisses, et les probabilités de ces valeurs sont portées le long de l'axe des ordonnées ; les points résultants sont reliés par des segments. La polyligne construite est appelée polygone de distribution.

Exemple. Un chasseur équipé de 4 cartouches tire sur le gibier jusqu'à ce qu'il réussisse le premier coup ou qu'il épuise toutes les cartouches. La probabilité de toucher au premier coup est de 0,7, à chaque coup suivant, elle diminue de 0,1. Etablir une loi de répartition du nombre de cartouches dépensées par un chasseur.

Solution. Puisqu'un chasseur, possédant 4 cartouches, peut tirer quatre coups, alors la variable aléatoire X- le nombre de cartouches dépensées par le chasseur peut prendre les valeurs 1, 2, 3, 4. Pour retrouver les probabilités correspondantes, on introduit les événements :

- "frapper avec je- oh coup de feu", ;

- "manquer quand je- om shot », et les événements et sont indépendants par paire.

Selon les conditions problématiques, nous avons :

,

En utilisant le théorème de multiplication pour les événements indépendants et le théorème d'addition pour les événements incompatibles, on trouve :

(le chasseur a touché la cible du premier coup) ;

(le chasseur a touché la cible avec le deuxième coup) ;

(le chasseur a touché la cible au troisième coup) ;

(le chasseur a touché la cible au quatrième coup ou a raté les quatre fois).

Vérifiez : - vrai.

Ainsi, la loi de distribution d'une variable aléatoire X a la forme :

Exemple. Un ouvrier fait fonctionner trois machines. La probabilité que dans une heure la première machine ne nécessite pas de réglage est de 0,9, la seconde de 0,8 et la troisième de 0,7. Etablir une loi de répartition du nombre de machines qui nécessiteront un réglage dans l'heure.

Solution. Variable aléatoire X- le nombre de machines qui nécessiteront un réglage dans une heure peut prendre les valeurs 0,1, 2, 3. Pour trouver les probabilités correspondantes, on introduit les événements :

- “je- la machine nécessitera un réglage dans une heure, » ;

- “je- la machine ne nécessitera aucun réglage dans l'heure, » .

Selon les conditions du problème on a :

, .

Aléatoire discret Les variables sont des variables aléatoires qui ne prennent que des valeurs éloignées les unes des autres et qui peuvent être listées à l'avance.
Loi de répartition
La loi de distribution d'une variable aléatoire est une relation qui établit un lien entre les valeurs possibles d'une variable aléatoire et leurs probabilités correspondantes.
La série de distribution d'une variable aléatoire discrète est la liste de ses valeurs possibles et des probabilités correspondantes.
La fonction de distribution d'une variable aléatoire discrète est la fonction :
,
déterminer pour chaque valeur de l'argument x la probabilité que la variable aléatoire X prenne une valeur inférieure à ce x.

Attente d'une variable aléatoire discrète
,
où est la valeur d'une variable aléatoire discrète ; - la probabilité qu'une variable aléatoire accepte des valeurs X.
Si une variable aléatoire prend un ensemble dénombrable de valeurs possibles, alors :
.
Espérance mathématique du nombre d'occurrences d'un événement dans n essais indépendants :
,

Dispersion et écart type d'une variable aléatoire discrète
Dispersion d'une variable aléatoire discrète :
ou .
Variation du nombre d'occurrences d'un événement dans n essais indépendants
,
où p est la probabilité que l'événement se produise.
Écart type d'une variable aléatoire discrète :
.

Exemple 1
Établissez une loi de distribution de probabilité pour une variable aléatoire discrète (DRV) X – le nombre de k occurrences d'au moins un « six » en n = 8 lancers d'une paire de dés. Construisez un polygone de distribution. Trouver les caractéristiques numériques de la distribution (mode de distribution, espérance mathématique M(X), dispersion D(X), écart type s(X)). Solution: Introduisons la notation : événement A – « lors du lancement d’une paire de dés, un six apparaît au moins une fois ». Pour trouver la probabilité P(A) = p de l'événement A, il est plus pratique de trouver d'abord la probabilité P(Ā) = q de l'événement opposé Ā - "lors du lancement d'une paire de dés, un six n'est jamais apparu".
Puisque la probabilité qu'un « six » n'apparaisse pas lors du lancement d'un dé est de 5/6, alors selon le théorème de multiplication des probabilités
P(Ā) = q = = .
Respectivement,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Les tests du problème suivent le schéma de Bernoulli, donc d.s.v. ampleur X- nombre k l'apparition d'au moins un six lors du lancement de deux dés obéit à la loi binomiale de distribution de probabilité :

où = est le nombre de combinaisons de n Par k.

Les calculs effectués pour ce problème peuvent être commodément présentés sous la forme d'un tableau :
Distribution de probabilité d.s.v. X º k (n = 8; p = ; q = )

Polygone (polygone) de distribution de probabilité d'une variable aléatoire discrète X montré sur la figure :

Riz. Polygone de distribution de probabilité d.s.v. X=k.
La ligne verticale montre l'espérance mathématique de la distribution M.(X).

Trouvons les caractéristiques numériques de la distribution de probabilité de d.s.v. X. Le mode de distribution est 2 (ici P. 8(2) = 0,2932 maximum). L'espérance mathématique par définition est égale à :
M.(X) = = 2,4444,
Où xk = k– valeur prise par d.s.v. X. Variance D(X) on trouve la distribution à l'aide de la formule :
D(X) = = 4,8097.
Écart type (RMS) :
s( X) = = 2,1931.

Exemple2
Variable aléatoire discrète X donnée par la loi sur la distribution

Solution. Si , alors (troisième propriété).
Si, alors. Vraiment, X peut prendre la valeur 1 avec une probabilité de 0,3.
Si, alors. En effet, si elle satisfait l’inégalité
, alors est égal à la probabilité qu'un événement puisse se produire lorsque X prendra la valeur 1 (la probabilité de cet événement est de 0,3) ou la valeur 4 (la probabilité de cet événement est de 0,1). Puisque ces deux événements sont incompatibles, alors, selon le théorème d'addition, la probabilité d'un événement est égale à la somme des probabilités 0,3 + 0,1 = 0,4. Si, alors. En effet, l’événement est certain, donc sa probabilité est égale à un. Ainsi, la fonction de distribution peut s’écrire analytiquement comme suit :

Graphique de cette fonction :
Trouvons les probabilités correspondant à ces valeurs. Par condition, les probabilités de panne des appareils sont égales : alors les probabilités que les appareils fonctionnent pendant la période de garantie sont égales :




La loi de répartition a la forme :