Геометрический смысл разности значений первообразной функции. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если F`(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx

Возникновение понятия интеграла было обусловлено необходимостью нахождения первообразной функции по ее производной, а также определения величины работы, площади сложных фигур, расстояния пройденного пути, при параметрах, очерченных кривыми, описываемыми нелинейными формулами.

а что работа равна произведению силы на расстояние. Если все движение происходит с постоянной скоростью или расстояние преодолевается с приложением одной и той же силы, то все понятно, нужно их просто перемножить. Что такое интеграл от константы? вида y=kx+c.

Но сила на протяжении работы может меняться, причем в какой-то закономерной зависимости. Такая же ситуация возникает и с вычислением пройденного расстояния, если скорость непостоянна.

Итак, понятно, для чего нужен интеграл. Определение его как суммы произведений значений функции на бесконечно малое приращение аргумента вполне описывает главный смысл этого понятия как площадь фигуры, ограниченной сверху линией функции, а по краям - границами определения.

Жан Гастон Дарбу, французский математик, во второй половине XIX века очень наглядно объяснил, что такое интеграл. Он сделал это настолько понятно, что в целом разобраться в этом вопросе не составит труда даже школьнику младших классов средней школы.

Допустим, есть функция любой сложной формы. Ось ординат, на которой откладываются значения аргумента, разбивается на небольшие интервалы, в идеале они бесконечно малы, но так как понятие бесконечности довольно абстрактно, то достаточно представить себе просто небольшие отрезки, величину которых обычно обозначают греческой буквой Δ (дельта).

Функция оказалась «нарезанной» на маленькие кирпичики.

Каждому значению аргумента соответствует точка на оси ординат, на которой откладываются соответствующие значения функции. Но так как границ у выделенного участка две, то и значений функции тоже будет два, большее и меньшее.

Сумма произведений бо́льших значений на приращение Δ называется большой суммой Дарбу, и обозначается как S. Соответственно, меньшие на ограниченном участке значения, умноженные на Δ, все вместе образуют малую сумму Дарбу s. Сам участок напоминает прямоугольную трапецию, так как кривизной линии функции при бесконечно малом ее приращении можно пренебречь. Самый простой способ найти площадь такой геометрической фигуры - это сложить произведения большего и меньшего значения функции на Δ-приращение и поделить на два, то есть определить как среднее арифметическое.

Вот что такое интеграл по Дарбу:

s=Σf(x) Δ - малая сумма;

S= Σf(x+Δ)Δ - большая сумма.

Итак, что такое интеграл? Площадь, ограниченная линией функции и границами определения будет равна:

∫f(x)dx = {(S+s)/2} +c

То есть среднее арифметическое большой и малой сумм Дарбу.с - величина постоянная, обнуляемая при дифференцировании.

Исходя из геометрического выражения этого понятия, становится понятен и физический смысл интеграла. очерченная функцией скорости, и ограниченная временным интервалом по оси абсцисс, будет составлять длину пройденного пути.

L = ∫f(x)dx на промежутке от t1 до t2,

f(x) - функция скорости, то есть формула, по которой она меняется во времени;

L - длина пути;

t1 - время начала пути;

t2 - время окончания пути.

Точно по такому же принципу определяется величина работы, только по абсциссе будет откладываться расстояние, а по ординате - величина силы, прилагаемая в каждой конкретной точке.

Для каждого математического действия существует обратное ему действие. Для действия дифференцирования (нахождения производных функций) тоже существует обратное действие — интегрирование. Посредством интегрирования находят (восстанавливают) функцию по заданной ее производной или дифференциалу. Найденную функцию называют первообразной .

Определение. Дифференцируемая функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка справедливо равенство: F′(x)=f (x) .

Примеры. Найти первообразные для функций: 1) f (x)=2x; 2) f (x)=3cos3x.

1) Так как (х²)′=2х, то, по определению, функция F (x)=x² будет являться первообразной для функции f (x)=2x.

2) (sin3x)′=3cos3x. Если обозначить f (x)=3cos3x и F (x)=sin3x, то, по определению первообразной, имеем: F′(x)=f (x), и, значит, F (x)=sin3x является первообразной для f (x)=3cos3x.

Заметим, что и (sin3x+5 )′=3cos3x , и (sin3x-8,2 )′=3cos3x , ... в общем виде можно записать: (sin3x+С )′=3cos3x , где С — некоторая постоянная величина. Эти примеры говорят о неоднозначности действия интегрирования, в отличие от действия дифференцирования, когда у любой дифференцируемой функции существует единственная производная.

Определение. Если функция F (x) является первообразной для функции f (x) на некотором промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид:

F (x)+C , где С — любое действительное число.

Совокупность всех первообразных F (x)+C функции f (x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом ∫ (знак интеграла). Записывают: ∫f (x) dx=F (x)+C .

Выражение ∫f (x) dx читают: «интеграл эф от икс по дэ икс».

f (x) dx — подынтегральное выражение,

f (x) — подынтегральная функция,

х — переменная интегрирования.

F (x) — первообразная для функции f (x) ,

С — некоторая постоянная величина.

Теперь рассмотренные примеры можно записать так:

1) ∫ 2хdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

Что же означает знак d?

d — знак дифференциала — имеет двойное назначение: во-первых, этот знак отделяет подынтегральную функцию от переменной интегрирования; во-вторых, все, что стоит после этого знака диференцируется по умолчанию и умножается на подынтегральную функцию.

Примеры. Найти интегралы: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) После значка дифференциала d стоит х х , а р

∫ 2хрdx=рх²+С. Сравните с примером 1).

Сделаем проверку. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) После значка дифференциала d стоит р . Значит, переменная интегрирования р , а множитель х следует считать некоторой постоянной величиной.

∫ 2хрdр=р²х+С. Сравните с примерами 1) и 3).

Сделаем проверку. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

Рассмотрим движение точки вдоль прямой. Пусть за время t от начала движения точка прошла путь s(t). Тогда мгновенная скорость v(t) равна производной функции s(t), то есть v(t) = s"(t).

В практике встречается обратная задача: по заданной скорости движения точки v(t) найти пройденный ею путь s(t) , то есть найти такую функцию s(t), производная которой равна v(t) . Функцию s(t), такую, что s"(t) = v(t) , называют первообразной функции v(t).

Например, если v(t) = аt , где а – заданное число, то функция
s(t) = (аt 2) / 2 v(t), так как
s"(t) = ((аt 2) / 2) " = аt = v(t).

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка F"(x) = f(x).

Например, функция F(x) = sin x является первообразной функции f(x) = cos x, так как (sin x)" = cos x ; функция F(x) = х 4 /4 является первообразной функции f(x) = х 3 , так как (х 4 /4)" = х 3 .

Рассмотрим задачу.

Задача .

Доказать, что функции х 3 /3, х 3 /3 + 1, х 3 /3 – 4 являются первообразной одной и той же функции f(x) = х 2 .

Решение .

1) Обозначим F 1 (x) = х 3 /3, тогда F" 1 (x) = 3 ∙ (х 2 /3) = х 2 = f(x).

2) F 2 (x) = х 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (х 3 /3 + 1)" = (х 3 /3)" + (1)"= х 2 = f(x).

3) F 3 (x) = х 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (х 3 /3 – 4)" = х 2 = f(x).

Вообще любая функция х 3 /3 + С, где С – постоянная, является первообразной функции х 2 . Это следует из того, что производная постоянной равна нулю. Этот пример показывает, что для заданной функции ее первообразная определяется неоднозначно.

Пусть F 1 (x) и F 2 (x) – две первообразные одной и той же функции f(x).

Тогда F 1 "(x) = f(x) и F" 2 (x) = f(x).

Производная их разности g(х) = F 1 (x) – F 2 (x) равна нулю, так как g"(х) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x) – f(x) = 0.

Если g"(х) = 0 на некотором промежутке, то касательная к графику функции у = g(х) в каждой точке этого промежутка параллельна оси Ох. Поэтому графиком функции у = g(х) является прямая, параллельная оси Ох, т.е. g(х) = С, где С – некоторая постоянная. Из равенств g(х) = С, g(х) = F 1 (x) – F 2 (x) следует, что F 1 (x) = F 2 (x) + С.

Итак, если функция F(x) является первообразной функции f(x) на некотором промежутке, то все первообразные функции f(x) записываются в виде F(x) + С, где С – произвольная постоянная.

Рассмотрим графики всех первообразных заданной функции f(x). Если F(x) – одна из первообразных функции f(x), то любая первообразная этой функции получается прибавлением к F(x) некоторой постоянной: F(x) + С. Графики функций у = F(x) + С получаются из графика у = F(x) сдвигом вдоль оси Оу. Выбором С можно добиться того, чтобы график первообразной проходил через заданную точку.

Обратим внимание на правила нахождения первообразных.

Вспомним, что операцию нахождения производной для заданной функции называют дифференцированием . Обратную операцию нахождения первообразной для данной функции называют интегрированием (от латинского слова «восстанавливать» ).

Таблицу первообразных для некоторых функций можно составить, используя таблицу производных. Например, зная, что (cos x)" = -sin x, получаем (-cos x)" = sin x , откуда следует, что все первообразные функции sin x записываются в виде -cos x + С , где С – постоянная.

Рассмотрим некоторые значения первообразных.

1) Функция: х р, р ≠ -1 . Первообразная: (х р+1) / (р+1) + С.

2) Функция: 1/х, х > 0. Первообразная: ln x + С.

3) Функция: х р, р ≠ -1 . Первообразная: (х р+1) / (р+1) + С.

4) Функция: е х . Первообразная: е х + С.

5) Функция: sin x . Первообразная: -cos x + С.

6) Функция: (kx + b) p , р ≠ -1, k ≠ 0. Первообразная: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + С.

7) Функция: 1/(kx + b), k ≠ 0 . Первообразная: (1/k) ln (kx + b)+ С.

8) Функция: е kx + b , k ≠ 0 . Первообразная: (1/k) е kx + b + С.

9) Функция: sin (kx + b), k ≠ 0 . Первообразная: (-1/k) cos (kx + b) .

10) Функция: cos (kx + b), k ≠ 0. Первообразная: (1/k) sin (kx + b).

Правила интегрирования можно получить с помощью правил дифференцирования . Рассмотрим некоторые правила.

Пусть F(x) и G(x) – первообразные соответственно функций f(x) и g(x) на некотором промежутке. Тогда:

1) функция F(x) ± G(x) является первообразной функции f(x) ± g(x);

2) функция аF(x) является первообразной функции аf(x).

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Некотором промежутке Х. Если для любого хХ F"(x) = f(x), то функция F называется первообразной для функции f на промежутке Х. Первообразную для функции можно попытаться найти...