ભૌમિતિક આકૃતિઓના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરીને, અમે સંખ્યાબંધ પ્રમેય સાબિત કર્યા. આમ કરવાથી, અમે એક નિયમ તરીકે, અગાઉ સાબિત થયેલા પ્રમેય પર આધાર રાખ્યો હતો. ભૂમિતિના પ્રથમ પ્રમેયના પુરાવા કયા આધારે છે? આ પ્રશ્નનો જવાબ આ છે: ભૌમિતિક આકૃતિઓના ગુણધર્મો વિશેના કેટલાક નિવેદનો પ્રારંભિક બિંદુઓ તરીકે સ્વીકારવામાં આવે છે, જેના આધારે વધુ પ્રમેય સાબિત થાય છે અને સામાન્ય રીતે, બધી ભૂમિતિ બનાવવામાં આવે છે. આવી પ્રારંભિક સ્થિતિ કહેવામાં આવે છે સ્વયંસિદ્ધ.
કેટલાક સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો પાછા પ્રથમ પ્રકરણમાં ઘડવામાં આવ્યા હતા (જોકે તેમને ત્યાં સ્વયંસિદ્ધ કહેવાતા ન હતા). ઉદાહરણ તરીકે, તે એક સ્વયંસિદ્ધ છે જે
અન્ય ઘણા સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો, જો કે ખાસ કરીને ભાર મૂક્યો ન હતો, વાસ્તવમાં અમારા તર્કમાં ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. આમ, અમે એક સેગમેન્ટને બીજા પર સુપરઇમ્પોઝ કરીને બે સેગમેન્ટની સરખામણી કરી. આવા ઓવરલેપની શક્યતા નીચેના સ્વયંસિદ્ધથી અનુસરે છે:
બે ખૂણાઓની સરખામણી સમાન સ્વયંસિદ્ધ પર આધારિત છે:
આ તમામ સ્વયંસિદ્ધ સ્પષ્ટપણે સ્પષ્ટ અને શંકાની બહાર છે. "એક્સિઓમ" શબ્દ પોતે ગ્રીક "એક્સિઓસ" પરથી આવ્યો છે, જેનો અર્થ થાય છે "મૂલ્યવાન, લાયક." અમે પાઠ્યપુસ્તકના અંતે અમારા ભૂમિતિ અભ્યાસક્રમમાં અપનાવેલા પ્લાનિમેટ્રી સ્વયંસિદ્ધોની સંપૂર્ણ સૂચિ પ્રદાન કરીએ છીએ.
ભૂમિતિના નિર્માણ માટેનો આ અભિગમ, જ્યારે પ્રારંભિક સ્થિતિ - સ્વયંસિદ્ધ - પ્રથમ ઘડવામાં આવે છે, અને પછી અન્ય નિવેદનો તેમના આધારે તાર્કિક તર્ક દ્વારા સાબિત થાય છે, જે પ્રાચીન સમયમાં ઉદ્ભવ્યું હતું અને પ્રાચીન ગ્રીક દ્વારા પ્રખ્યાત કૃતિ "સિદ્ધાંતો" માં દર્શાવેલ છે. વૈજ્ઞાનિક યુક્લિડ. યુક્લિડના કેટલાક સ્વયંસિદ્ધ (તેમાંથી કેટલાકને તેણે બોલાવ્યા ધારણા કરે છે) અને હવે તેનો ઉપયોગ ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમોમાં થાય છે, અને ભૂમિતિ પોતે, "એલિમેન્ટ્સ" માં રજૂ થાય છે, તેને કહેવામાં આવે છે. યુક્લિડિયન ભૂમિતિ. આગળના ફકરામાં આપણે ભૂમિતિના સૌથી પ્રસિદ્ધ સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોમાંથી એકથી પરિચિત થઈશું.
સમાંતર રેખાઓનો સ્વયંસિદ્ધ
ચાલો આપણે મનસ્વી સીધી રેખા a અને બિંદુ M ધ્યાનમાં લઈએ જે તેના પર ન હોય (ફિગ. 110, a). ચાલો સાબિત કરીએ કે બિંદુ M દ્વારા રેખા a ની સમાંતર રેખા દોરવી શક્ય છે. આ કરવા માટે, બિંદુ M દ્વારા બે સીધી રેખાઓ દોરો: પ્રથમ સીધી રેખા c સીધી રેખા a ને કાટખૂણે, અને પછી સીધી રેખા b સીધી રેખા c (ફિગ. 110, (b) માટે લંબરૂપ છે. કારણ કે સીધી રેખાઓ a અને b કાટખૂણે છે. સીધી રેખા c, તેઓ સમાંતર છે.
ચોખા. 110
તેથી, બિંદુ M દ્વારા રેખા a ની સમાંતર બી રેખા પસાર થાય છે. નીચેનો પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું બિંદુ M દ્વારા બીજી રેખા દોરવી શક્ય છે, સીધી રેખા a ની સમાંતર?
અમને એવું લાગે છે કે જો સીધી રેખા b બિંદુ M ની આસપાસ ખૂબ જ નાના કોણ દ્વારા પણ "વળેલું" હોય, તો તે સીધી રેખા a (આકૃતિ 110.6 માં રેખા b") ને છેદે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અમને લાગે છે કે તે છે. બિંદુ M (b થી અલગ), રેખા a ની સમાંતર દ્વારા બીજી સીધી રેખા દોરવાનું અશક્ય છે શું આ વિધાનને સાબિત કરવું શક્ય છે?
આ પ્રશ્નનો લાંબો ઈતિહાસ છે. યુક્લિડના "એલિમેન્ટ્સ" માં એક પોસ્ટ્યુલેટ (યુક્લિડનું પાંચમું પોસ્ટ્યુલેટ) છે, જેમાંથી તે અનુસરે છે કે આપેલ રેખા પર ન હોય તેવા બિંદુ દ્વારા, આપેલ રેખાની સમાંતર માત્ર એક સીધી રેખા દોરી શકાય છે. ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓએ, પ્રાચીન કાળથી શરૂ કરીને, યુક્લિડની પાંચમી ધારણાને સાબિત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો છે, એટલે કે, તેને અન્ય સ્વયંસિદ્ધોમાંથી મેળવવાનો. જો કે, આ પ્રયાસો દરેક વખતે નિષ્ફળ રહ્યા હતા. અને માત્ર છેલ્લી સદીમાં જ આખરે સ્પષ્ટતા કરવામાં આવી હતી કે આપેલ રેખાના સમાંતર આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાની વિશિષ્ટતા વિશેનું નિવેદન યુક્લિડના બાકીના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોના આધારે સાબિત કરી શકાતું નથી, પરંતુ તે પોતે એક સ્વયંસિદ્ધ છે.
મહાન રશિયન ગણિતશાસ્ત્રી નિકોલાઈ ઇવાનોવિચ લોબાચેવસ્કી (1792-1856) એ આ મુશ્કેલ મુદ્દાને હલ કરવામાં મોટી ભૂમિકા ભજવી હતી.
તેથી, અન્ય પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે અમે સ્વીકારીએ છીએ સમાંતર રેખાઓનું સ્વયંસિદ્ધ.
વિધાન કે જે સીધા જ સ્વયંસિદ્ધ અથવા પ્રમેયમાંથી લેવામાં આવે છે તેને કહેવામાં આવે છે પરિણામો. ઉદાહરણ તરીકે, વિધાન 1 અને 2 (જુઓ પૃષ્ઠ 35) એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના દ્વિભાજક પરના પ્રમેયના પરિણામો છે.
ચાલો સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધમાંથી કેટલાક કોરોલરીને ધ્યાનમાં લઈએ.
ખરેખર, સીધી રેખા a અને b ને સમાંતર રહેવા દો અને સીધી રેખા c સીધી રેખા aને બિંદુ M પર છેદે છે (ફિગ. 111, a). ચાલો સાબિત કરીએ કે રેખા c પણ રેખા b ને છેદે છે. જો રેખા c રેખા b ને છેદતી ન હોય, તો રેખા b ની સમાંતર બે રેખાઓ (લાઇન a અને c) બિંદુ M (ફિગ. 111, b)માંથી પસાર થશે. પરંતુ આ સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધનો વિરોધાભાસ કરે છે, અને તેથી, રેખા c રેખા b ને છેદે છે.
ચોખા. 111
ખરેખર, સીધી રેખાઓ a અને b ને સીધી રેખા c (ફિગ. 112, a) ની સમાંતર રહેવા દો. ચાલો સાબિત કરીએ કે એ || b ચાલો ધારીએ કે રેખાઓ a અને b સમાંતર નથી, એટલે કે, તેઓ અમુક બિંદુ M (ફિગ. 112.6) પર છેદે છે. પછી બે રેખાઓ બિંદુ M (રેખાઓ a અને b)માંથી પસાર થાય છે, જે રેખા cની સમાંતર છે.
ચોખા. 112
પરંતુ આ સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતનો વિરોધાભાસ કરે છે. તેથી, અમારી ધારણા ખોટી છે, જેનો અર્થ છે કે રેખાઓ a અને b સમાંતર છે.
બે સમાંતર રેખાઓ અને ટ્રાંસવર્સલ દ્વારા રચાયેલા ખૂણા પરના પ્રમેય
દરેક પ્રમેયના બે ભાગો હોય છે: સ્થિતિઅને નિષ્કર્ષ. પ્રમેયની સ્થિતિ તે છે જે આપવામાં આવે છે, અને નિષ્કર્ષ તે છે જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.
ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, બે સીધી રેખાઓની સમાંતરતા માટેના માપદંડને વ્યક્ત કરતા પ્રમેયને ધ્યાનમાં લઈએ: જો, જ્યારે બે સીધી રેખાઓ ટ્રાંસવર્સલ સાથે છેદે છે, તો અસત્ય ખૂણા સમાન છે, તો સીધી રેખાઓ સમાંતર છે.
આ પ્રમેયમાં, સ્થિતિ એ વિધાનનો પ્રથમ ભાગ છે: "જ્યારે બે રેખાઓ ક્રોસવાઇઝ છેદે છે, ત્યારે અસત્ય ખૂણા સમાન હોય છે" (આ આપેલ છે), અને નિષ્કર્ષ એ બીજો ભાગ છે: "રેખાઓ સમાંતર છે" (આ જરૂરી છે સાબિત કરવા માટે).
આ પ્રમેયની વાતચીત, એ એક પ્રમેય છે જેમાં શરત એ પ્રમેયનું નિષ્કર્ષ છે, અને નિષ્કર્ષ એ પ્રમેયની સ્થિતિ છે. ચાલો આપણે ફકરા 25 માં ત્રણ પ્રમેય સાથે વિરોધાભાસી પ્રમેય સાબિત કરીએ.
પ્રમેય
પુરાવો
સમાંતર રેખાઓ a અને b ને સેકન્ટ MN દ્વારા છેદે છે. ચાલો સાબિત કરીએ કે ક્રોસવાઇઝ આવેલા ખૂણાઓ, ઉદાહરણ તરીકે 1 અને 2, સમાન છે (ફિગ. 113).
ચોખા. 113
ચાલો ધારીએ કે ખૂણા 1 અને 2 સમાન નથી. ચાલો કિરણ MN માંથી કોણ PMN કોણ 2 ની બરાબર બાદબાકી કરીએ, જેથી ∠PMN અને ∠2 એ સીકન્ટ MN દ્વારા MR અને b રેખાઓના આંતરછેદ પર ક્રોસવાઇઝ કોણ છે. બાંધકામ દ્વારા, આ ક્રોસ કરેલા ખૂણા સમાન છે, તેથી MR || b અમે જોયું કે બે રેખાઓ બિંદુ M (લાઇન a અને MP) માંથી પસાર થાય છે, જે રેખા b ની સમાંતર છે. પરંતુ આ સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતનો વિરોધાભાસ કરે છે. આનો અર્થ એ થયો કે અમારી ધારણા ખોટી છે અને ∠1 = ∠2. પ્રમેય સાબિત થયો છે.
ટિપ્પણી
આ પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે, અમે તર્કની એક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો જેને કહેવાય છે વિરોધાભાસ દ્વારા પુરાવા દ્વારા.
અમે ધાર્યું કે જ્યારે સમાંતર રેખાઓ a અને b એ સેકન્ટ MN ને ક્રોસવાઇઝ છેદે છે, ત્યારે અસત્ય ખૂણા 1 અને 2 સમાન નથી, એટલે કે જે સાબિત કરવાની જરૂર છે તેની વિરુદ્ધ અમે ધાર્યું છે. આ ધારણાના આધારે, તર્ક દ્વારા આપણે સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધ સાથે વિરોધાભાસ પર આવ્યા છીએ. આનો અર્થ એ થયો કે અમારી ધારણા ખોટી છે અને તેથી ∠1 = ∠2.
તર્કની આ રીતનો ગણિતમાં વારંવાર ઉપયોગ થાય છે. અમે તેનો ઉપયોગ અગાઉ કર્યો હતો, ઉદાહરણ તરીકે, ફકરા 12 માં જ્યારે સાબિત કરે છે કે ત્રીજાને કાટખૂણે બે લીટીઓ છેદતી નથી. અમે ફકરા 28 માં સમાન પદ્ધતિનો ઉપયોગ 1 0 અને 2 0 ને સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધથી સાબિત કરવા માટે કર્યો છે.
પરિણામ
ખરેખર, ચાલો એક || b, c ⊥ a, એટલે કે ∠1 = 90° (ફિગ. 114). રેખા c રેખા a ને છેદે છે, તેથી તે રેખા b ને પણ છેદે છે. જ્યારે સમાંતર રેખાઓ a અને b ટ્રાંસવર્સલ c સાથે છેદે છે, ત્યારે સમાન ક્રોસવાઇઝ ખૂણાઓ રચાય છે: ∠1=∠2. ત્યારથી ∠1 = 90°, પછી ∠2 = 90°, એટલે કે, c ⊥ b, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.
ચોખા. 114
પ્રમેય
પુરાવો
સમાંતર રેખાઓ a અને b ને સેકન્ટ c વડે છેદે છે. ચાલો સાબિત કરીએ કે અનુરૂપ ખૂણાઓ, ઉદાહરણ તરીકે 1 અને 2, સમાન છે (જુઓ. ફિગ. 102). ત્યારથી || b, પછી ક્રોસવાઇઝ ખૂણા 1 અને 3 સમાન છે.
ખૂણા 2 અને 3 વર્ટિકલ સમાન છે. સમાનતાઓમાંથી ∠1 = ∠3 અને ∠2 = ∠3 તે અનુસરે છે કે ∠1 = ∠2. પ્રમેય સાબિત થયો છે.
પ્રમેય
પુરાવો
સમાંતર રેખાઓ a અને b ને સેકન્ટ c વડે છેદવા દો (ફિગ. 102 જુઓ). ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો સાબિત કરીએ કે ∠1 + ∠4 = 180°. ત્યારથી || b, તો અનુરૂપ ખૂણા 1 અને 2 સમાન છે. ખૂણા 2 અને 4 અડીને છે, તેથી ∠2 + ∠4 = 180°. સમાનતાઓમાંથી ∠1 = ∠2 અને ∠2 + ∠4 = 180° તે અનુસરે છે કે ∠1 + ∠4 = 180°. પ્રમેય સાબિત થયો છે.
ટિપ્પણી
જો કોઈ ચોક્કસ પ્રમેય સાબિત થાય, તો કન્વર્સ સ્ટેટમેન્ટ અનુસરતું નથી. તદુપરાંત, વાતચીત હંમેશા સાચી હોતી નથી. ચાલો એક સરળ ઉદાહરણ આપીએ. આપણે જાણીએ છીએ કે જો ખૂણાઓ લંબરૂપ છે, તો તે સમાન છે. કન્વર્સ સ્ટેટમેન્ટ: "જો ખૂણા સમાન હોય, તો તે વર્ટિકલ છે" અલબત્ત, ખોટું છે.
અનુક્રમે સમાંતર અથવા લંબ બાજુઓ સાથેના ખૂણા
ચાલો અનુરૂપ સમાંતર બાજુઓ સાથે કોણ વિશે પ્રમેય સાબિત કરીએ.
પ્રમેય
પુરાવો
∠AOB અને ∠A 1 O 1 B 1 એ આપેલ ખૂણા અને OA હોવા દો || ઓ 1 એ 1 , ઓબી || લગભગ 1 માં 1. જો કોણ AOB વિકસાવવામાં આવે છે, તો કોણ A 1 O 1 B 1 પણ વિકસિત છે (શા માટે સમજાવો), તેથી આ ખૂણા સમાન છે. ચાલો ∠AOB એક અવિકસિત કોણ છે. ખૂણા AOB અને A 1 O 1 B 1 ના સ્થાનના સંભવિત કિસ્સાઓ આકૃતિ 115, a અને b માં બતાવવામાં આવ્યા છે. સીધી રેખા O 1 B 1 રેખા O 1 A 1 ને છેદે છે અને તેથી, રેખા OA ને અમુક બિંદુએ તેની સમાંતર છેદે છે. સમાંતર રેખાઓ OB અને O 1 B 1 એ સેકન્ટ OM દ્વારા છેદે છે, તેથી તેમાંથી એક સીધી રેખાઓ O 1 B 1 અને OA (આકૃતિ 115 માં કોણ 1) ના આંતરછેદ પર બનેલો ખૂણો, કોણ AOB (જેમ કે ક્રોસવાઇઝ ખૂણા) ની બરાબર છે. સમાંતર રેખાઓ OA અને O 1 A 1 એ સેકન્ટ O 1 M દ્વારા છેદે છે, તેથી કાં તો ∠1 = ∠A 1 O 1 B 1 (ફિગ. 115, a), અથવા ∠1 + ∠A 1 O 1 B 1 = 180 ° (ફિગ. 115, બી). સમાનતા ∠1 = ∠AOB અને છેલ્લી બે સમાનતાઓ પરથી તે અનુસરે છે કે કાં તો ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 (જુઓ આકૃતિ. 115, a), અથવા ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180° (જુઓ ફિગ. 115, b). પ્રમેય સાબિત થયો છે.
ચોખા. 115
ચાલો હવે અનુરૂપ કાટખૂણે બાજુઓ સાથે કોણ વિશે પ્રમેય સાબિત કરીએ.
પ્રમેય
પુરાવો
ચાલો ∠AOB અને ∠A 1 O 1 B 1 ને કોણ, OA ⊥ O 1 A 1 , OB ⊥ O 1 B 1 આપીએ. જો AOB કોણ ઊલટું અથવા સીધો છે, તો કોણ A 1 O 1 B 1 ઊલટું અથવા સીધો છે (શા માટે સમજાવો), તેથી આ ખૂણા સમાન છે. ચાલો ∠AOB< 180°, О ∉ О 1 А 1 , О ∉ О 1 В 1 (случаи О ∈ O 1 А 1 , О ∈ О 1 В 1 рассмотрите самостоятельно).
બે કિસ્સાઓ શક્ય છે (ફિગ. 116).
1 0 ∠AOB< 90° (см. рис. 116, а). Проведём луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными, а точки В и С лежали по разные стороны от прямой О А. Далее, проведём луч OD так, чтобы прямые ОВ и OD были взаимно перпендикулярными, а точки С и D лежали по одну сторону от прямой О А. Поскольку ∠AOB = 90° - ∠AOD и ∠COD = 90° - ∠AOD, то ∠AOB = ∠COD. Стороны угла COD соответственно параллельны сторонам угла А 1 О 1 В 1 (объясните почему), поэтому либо ∠COD = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠COD + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Следовательно, либо ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°.
2 0 ∠AOB > 90° (જુઓ ફિગ. 116, b). ચાલો રે OS દોરીએ જેથી કોણ AOS એ કોણ AOB ને અડીને આવે. કોણ AOC તીવ્ર છે, અને તેની બાજુઓ કોણ A 1 O 1 B 1 ની બાજુઓને અનુરૂપ કાટખૂણે છે. તેથી, કાં તો ∠AOC + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°, અથવા ∠AOC = ∠A 1 O 1 B 1 . પ્રથમ કિસ્સામાં, ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1, બીજા કિસ્સામાં, ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. પ્રમેય સાબિત થયો છે.
કાર્યો
196. ABC ત્રિકોણ આપેલ છે. શિરોબિંદુ C દ્વારા બાજુ AB ની સમાંતર કેટલી રેખાઓ દોરી શકાય?
197. રેખા p પર ન હોય તેવા બિંદુ દ્વારા ચાર સીધી રેખાઓ દોરવામાં આવે છે. આ રેખાઓમાંથી કેટલી રેખા p ને છેદે છે? બધા સંભવિત કેસોને ધ્યાનમાં લો.
198. રેખાઓ a અને b રેખા p ને કાટખૂણે છે, રેખા c રેખા aને છેદે છે. શું રેખા c રેખા b ને છેદે છે?
199. રેખા p એ ત્રિકોણ ABC ની બાજુ AB ની સમાંતર છે. સાબિત કરો કે રેખાઓ BC અને AC રેખા r ને છેદે છે.
200. આકૃતિ 117 એડી માં || p અને PQ || સૂર્ય. સાબિત કરો કે રેખા p રેખાઓ AB, AE, AC, BC અને PQ ને છેદે છે.
ચોખા. 117
201. જ્યારે બે સમાંતર રેખાઓ ટ્રાંસવર્સલ સાથે છેદે છે ત્યારે ક્રોસવાઇઝ ખૂણાઓનો સરવાળો 210° જેટલો છે. આ ખૂણાઓ શોધો.
202. આકૃતિ 118 માં, રેખાઓ a, b અને c રેખા d દ્વારા છેદે છે, ∠1 = 42°, ∠2 = 140°, ∠3 = 138°. a, b અને c કઈ રેખાઓ સમાંતર છે?
ચોખા. 118
203. જ્યારે બે સમાંતર રેખાઓ a અને b ટ્રાંસવર્સલ c સાથે છેદે ત્યારે બનેલા તમામ ખૂણા શોધો, જો:
a) એક ખૂણો 150° છે;
b) એક ખૂણો બીજા કરતા 70° મોટો છે.
204. AB સેગમેન્ટના છેડા a અને b સમાંતર રેખાઓ પર આવેલા છે. આ સેગમેન્ટના મધ્ય Oમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા a અને b ને C અને D બિંદુઓ પર છેદે છે. સાબિત કરો કે CO = OD.
205. આકૃતિ 119 માં ડેટાનો ઉપયોગ કરીને, ∠1 શોધો.
ચોખા. 119
206. ∠ABC = 70°, અને ABCD = 110°. ડાયરેક્ટ AB અને CD હોઈ શકે છે:
a) સમાંતર;
b) છેદે છે?
207. સમસ્યા 206 માં પ્રશ્નોના જવાબ આપો જો ∠ABC = 65° અને ∠BCD = 105° હોય.
208. જ્યારે બે સમાંતર રેખાઓ ટ્રાંસવર્સલ સાથે છેદે છે ત્યારે બે એકતરફી ખૂણા વચ્ચેનો તફાવત 50° છે. આ ખૂણાઓ શોધો.
209. આકૃતિ 120 a || b, c || d, ∠4 = 45°. ખૂણા 1, 2 અને 3 શોધો.
ચોખા. 120
210. બ્લોક્સ A અને B (ફિગ. 121) પર ફેંકવામાં આવેલા થ્રેડના છેડે બે શરીર P 1 અને P 2 લટકાવવામાં આવ્યા છે. ત્રીજું શરીર P 3 બિંદુ C પર સમાન થ્રેડથી સસ્પેન્ડ થયેલ છે અને P 1 અને P 2 શરીરને સંતુલિત કરે છે. (આ કિસ્સામાં, AP 1 || BP 2 || CP 3.) સાબિત કરો કે ∠ACB = ∠CAP 1 + ∠CBP 2 .
ચોખા. 121
211. બે સમાંતર રેખાઓ ટ્રાન્સવર્સલ દ્વારા છેદે છે. સાબિત કરો કે: a) વિરોધી ખૂણાના દ્વિભાજકો સમાંતર છે; b) એક-બાજુવાળા ખૂણાઓના દ્વિભાજકો કાટખૂણે છે.
212. ત્રિકોણ ABC ની ઊંચાઈ AA 1 અને BB 1 ધરાવતી સીધી રેખાઓ બિંદુ H પર છેદે છે, કોણ B સ્થૂળ છે, ∠C = 20°. કોણ ABB શોધો.
સમસ્યાઓના જવાબો
196. એક સીધી રેખા.
197. ત્રણ કે ચાર.
201. 105°, 105°.
203. b) ચાર ખૂણા 55° છે, અન્ય ચાર ખૂણા 125° છે.
206. a) હા; b) હા.
207. a) ના; b) હા.
208. 115° અને 65°.
209. ∠1 = 135°, ∠2 = 45°, ∠3=135°.
210. સૂચના. બીમ CP 3 ની ચાલુ રાખવાનો વિચાર કરો.
તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.
વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ
વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.
જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.
અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.
અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:
- જ્યારે તમે સાઇટ પર અરજી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે તમારું નામ, ફોન નંબર, ઇમેઇલ સરનામું વગેરે સહિત વિવિધ માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ.
અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:
- અમે એકત્રિત કરીએ છીએ તે વ્યક્તિગત માહિતી અમને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ સાથે તમારો સંપર્ક કરવાની મંજૂરી આપે છે.
- સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
- અમે આંતરિક હેતુઓ માટે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ પણ કરી શકીએ છીએ, જેમ કે અમે પ્રદાન કરીએ છીએ તે સેવાઓને સુધારવા માટે અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે ઑડિટ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ સંશોધન કરવા.
- જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત
અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.
અપવાદો:
- જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયામાં, કાનૂની કાર્યવાહીમાં અને/અથવા રશિયન ફેડરેશનના પ્રદેશમાં સરકારી સત્તાવાળાઓની જાહેર વિનંતીઓ અથવા વિનંતીઓના આધારે - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરવા માટે. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
- પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.
વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ
અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.
કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો
તમારી વ્યક્તિગત માહિતી સુરક્ષિત છે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોનો સંચાર કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.
ગ્રેડ 7 "જી" એમબીઓયુ "ઓકે" લિસિયમ નંબર 3 ના વિદ્યાર્થી દ્વારા પૂર્ણ થયેલ ગેવરીલોવ દિમિત્રી
સ્વયંસિદ્ધ
ગ્રીક "એક્સિઓસ" માંથી આવે છે, જેનો અર્થ થાય છે "મૂલ્યવાન, લાયક" તાત્કાલિક સમજાવટના કારણે તાર્કિક પુરાવા વિના સ્વીકારવામાં આવેલી સ્થિતિ એ સિદ્ધાંતની સાચી પ્રારંભિક સ્થિતિ છે. (સોવિયેત જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ)
ડાઉનલોડ કરો:
પૂર્વાવલોકન:
પ્રસ્તુતિ પૂર્વાવલોકનોનો ઉપયોગ કરવા માટે, એક Google એકાઉન્ટ બનાવો અને તેમાં લોગ ઇન કરો: https://accounts.google.com
સ્લાઇડ કૅપ્શન્સ:
ગ્રેડ 7 “G” MBOU “OK “Lyceum No. 3” Gavrilov Dmitry 2015-2016 શૈક્ષણિક વર્ષ (શિક્ષક કોનારેવા T.N.) ના વિદ્યાર્થી દ્વારા પૂર્ણ કરાયેલ સમાંતર રેખાઓનો સ્વતઃપ્રાપ્તિ
જાણીતી વ્યાખ્યાઓ અને તથ્યો. વાક્ય પૂરું કરો. 1. રેખા x એ રેખાઓ a અને b ના સંબંધમાં ટ્રાંસવર્સલ કહેવાય છે જો... 2. જ્યારે બે સીધી રેખા એકબીજાને છેદે છે, ત્યારે ટ્રાંસવર્સલ રચાય છે... અવિકસિત ખૂણા. 3. જો રેખાઓ AB અને C D રેખા B D વડે છેદે છે, તો રેખા B D કહેવામાં આવે છે... 4. જો બિંદુ B અને D સેકન્ટ ACની સાપેક્ષમાં જુદા જુદા અર્ધ-પ્લેનમાં આવેલા હોય, તો કોણ BAC અને DCA કહેવાય છે... 5. જો બિંદુઓ B અને D સેકન્ટ AC ની સાપેક્ષમાં એક અર્ધ-પ્લેનમાં આવેલા હોય, તો BAC અને DCA એ કોણ કહેવાય છે... 6. જો એક જોડીના આંતરિક ખૂણા સમાન હોય, તો બીજી જોડીના આંતરિક ખૂણાઓ સમાન છે... D C A C B D A B
કાર્ય તપાસી રહ્યું છે. 1. ...જો તે તેમને બે બિંદુઓ પર છેદે છે 2. 8 3. ... સેકન્ટ 4. ... ક્રોસવાઇઝ બોલિંગ 5. ... એકતરફી 6. ... સમાન
મેચ a) a b m 1) a | | b, કારણ કે આંતરિક ક્રોસવાઇઝ ખૂણાઓ સમાન છે b) 2) a | | b, કારણ કે અનુરૂપ ખૂણા સમાન છે c) a b 3) a | | b, કારણ કે આંતરિક એકતરફી ખૂણાઓનો સરવાળો 180° 50 º 130 º 45 º 45 º m a b m a 150 º 150º બરાબર છે
ભૂમિતિના સ્વયંસિદ્ધ વિશે
Axiom ગ્રીક "axios" પરથી આવ્યો છે, જેનો અર્થ થાય છે "મૂલ્યવાન, લાયક." તાત્કાલિક સમજાવટના કારણે તાર્કિક પુરાવા વિના સ્વીકારવામાં આવેલી સ્થિતિ એ સિદ્ધાંતની સાચી પ્રારંભિક સ્થિતિ છે. સોવિયેત જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ
એક સીધી રેખા કોઈપણ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે, અને પ્લેન પર પડેલા કોઈપણ બે બિંદુઓ દ્વારા કેટલી સીધી રેખાઓ દોરી શકાય છે?
કોઈપણ કિરણ પર, તેની શરૂઆતથી, આપેલ એક સમાન સેગમેન્ટ મૂકી શકાય છે, અને વધુમાં, કિરણની શરૂઆતથી આપેલ લંબાઈના કેટલા સેગમેન્ટને છૂટા કરી શકાય છે?
આપેલ દિશામાં કોઈપણ કિરણમાંથી આપેલ અવિકસિત કોણ સમાન ખૂણો બનાવવો શક્ય છે, અને આપેલ કિરણથી આપેલ અર્ધ-વિમાન સુધી આપેલ એક સમાન કેટલા ખૂણાઓ પ્લોટ કરી શકાય છે?
સ્વયંસિદ્ધ પ્રમેય તાર્કિક તર્ક વિખ્યાત નિબંધ “પ્રિન્સિપિયા” યુક્લિડિયન ભૂમિતિ ભૂમિતિનું તાર્કિક બાંધકામ
સમાંતર રેખાઓનો સ્વયંસિદ્ધ
M a ચાલો સાબિત કરીએ કે M બિંદુ દ્વારા a c b a ┴ c b ┴ c a II c રેખાની સમાંતર રેખા દોરવી શક્ય છે.
શું રેખા aની સમાંતર બિંદુ M દ્વારા બીજી રેખા દોરવી શક્ય છે? a M in 1 શું આ સાબિત કરવું શક્ય છે?
પ્રાચીન સમયથી ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓએ આ વિધાનને સાબિત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો છે અને યુક્લિડના તત્વોમાં આ વિધાનને પાંચમું અનુમાન કહેવામાં આવે છે. યુક્લિડની પાંચમી ધારણાને સાબિત કરવાના પ્રયાસો નિષ્ફળ રહ્યા હતા, અને માત્ર 19મી સદીમાં જ આખરે સ્પષ્ટતા કરવામાં આવી હતી કે આપેલ રેખાની સમાંતર આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાની વિશિષ્ટતા વિશેનું નિવેદન યુક્લિડના બાકીના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોના આધારે સાબિત કરી શકાતું નથી. , પરંતુ પોતે એક સ્વયંસિદ્ધ છે. રશિયન ગણિતશાસ્ત્રી નિકોલાઈ ઇવાનોવિચ લોબાચેવસ્કીએ આ મુદ્દાને હલ કરવામાં મોટી ભૂમિકા ભજવી હતી.
યુક્લિડ 1792-1856 નિકોલાઈ ઇવાનોવિચનું પાંચમું અનુમાન
"આપેલ રેખા પર ન આવેલા બિંદુ દ્વારા, આપેલ રેખાની સમાંતર માત્ર એક રેખા પસાર થાય છે." "આપેલ રેખા પર ન હોય તેવા બિંદુ દ્વારા, કોઈ આપેલ રેખાની સમાંતર રેખા દોરી શકે છે." આમાંથી કયું વિધાન સ્વયંસિદ્ધ છે? ઉપરોક્ત નિવેદનો કેવી રીતે અલગ છે?
આપેલ રેખા પર ન પડેલા બિંદુ દ્વારા, આપેલ રેખાની સમાંતર માત્ર એક રેખા પસાર થાય છે. વિધાન કે જે સ્વયંસિદ્ધ અથવા પ્રમેયમાંથી લેવામાં આવે છે તેને કોરોલરી 1 કહેવામાં આવે છે. જો કોઈ રેખા બે સમાંતર રેખાઓમાંથી એકને છેદે છે, તો તે બીજીને પણ છેદે છે. a II b , c b ⇒ c એ સમાંતરતાનો સ્વયંસિદ્ધ અને તેનાં પરિણામો. a A કોરોલરી 2. જો બે રેખાઓ ત્રીજી રેખાની સમાંતર હોય, તો તે સમાંતર છે. a II c, b II c a II b a b c c b
જ્ઞાનનું એકીકરણ. “+” ચિહ્ન વડે સાચા વિધાનોને ચિહ્નિત કરો અને “-” ચિહ્ન વડે ભૂલભરેલા વિધાનોનું પરીક્ષણ કરો. વિકલ્પ 1 1. સ્વયંસિદ્ધ એ ભૌમિતિક આકૃતિઓના ગુણધર્મો વિશેનું ગાણિતિક નિવેદન છે જેને પુરાવાની જરૂર છે. 2. એક સીધી રેખા કોઈપણ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. 3. કોઈપણ કિરણ પર, શરૂઆતથી, તમે આપેલ એકના સમાન સેગમેન્ટ્સ અને તમને ગમે તેટલા પ્લૉટ કરી શકો છો. 4. આપેલ રેખા પર ન આવેલા બિંદુ દ્વારા, આપેલ રેખાની સમાંતર માત્ર એક રેખા પસાર થાય છે. 5. જો બે રેખાઓ ત્રીજાની સમાંતર હોય, તો તે એકબીજાની સમાંતર હોય છે. વિકલ્પ 2 1. સ્વયંસિદ્ધ ભૌમિતિક આકૃતિઓના ગુણધર્મો વિશેનું ગાણિતિક નિવેદન છે, જે પુરાવા વિના સ્વીકારવામાં આવે છે. 2. એક સીધી રેખા કોઈપણ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે, અને માત્ર એક. 3. આપેલ રેખા પર ન આવેલા બિંદુમાંથી, આપેલ રેખાની સમાંતર માત્ર બે રેખાઓ જ પસાર થાય છે. 4. જો રેખા બે સમાંતર રેખાઓમાંથી એકને છેદે છે, તો તે બીજી રેખા પર લંબ છે. 5. જો રેખા બે સમાંતર રેખાઓમાંથી એકને છેદે છે, તો તે બીજી રેખાને પણ છેદે છે.
ટેસ્ટ જવાબો વિકલ્પ 1 1. “-” 2. “-” 3. “-” 4. “+” 5. “+” વિકલ્પ 2 “+” “+” “-” “-” “+”
“ભૂમિતિ સાહસથી ભરેલી છે કારણ કે દરેક સમસ્યા પાછળ વિચારોનું સાહસ રહેલું છે. સમસ્યાનું નિરાકરણ એટલે સાહસનો અનુભવ કરવો.” (વી. પ્રોઇઝવોલોવ)
1. જો બે રેખાઓ ત્રીજી રેખાની સમાંતર હોય, તો તે સમાંતર છે:
જો a||cઅને b||c, તે a||b.
2. જો બે રેખાઓ ત્રીજી રેખાને લંબરૂપ હોય, તો તે સમાંતર છે:
જો a⊥cઅને b⊥c, તે a||b.
રેખાઓની સમાંતરતાના બાકીના ચિહ્નો જ્યારે બે સીધી રેખાઓ ત્રીજા સાથે છેદે ત્યારે બનેલા ખૂણા પર આધારિત છે.
3. જો આંતરિક એકતરફી ખૂણાઓનો સરવાળો 180° છે, તો રેખાઓ સમાંતર છે:
જો ∠1 + ∠2 = 180°, તો a||b.
4. જો અનુરૂપ ખૂણા સમાન હોય, તો રેખાઓ સમાંતર છે:
જો ∠2 = ∠4, તો a||b.
5. જો આંતરિક ક્રોસવાઇઝ ખૂણાઓ સમાન હોય, તો રેખાઓ સમાંતર છે:
જો ∠1 = ∠3, તો a||b.
સમાંતર રેખાઓના ગુણધર્મો
સમાંતર રેખાઓના ગુણધર્મના વિપરિત નિવેદનો તેમના ગુણધર્મો છે. તેઓ ત્રીજી રેખા સાથે બે સમાંતર રેખાઓના આંતરછેદ દ્વારા રચાયેલા ખૂણાના ગુણધર્મો પર આધારિત છે.
1. જ્યારે બે સમાંતર રેખાઓ ત્રીજી રેખાને છેદે છે, ત્યારે તેમના દ્વારા રચાતા આંતરિક એક-બાજુના ખૂણાઓનો સરવાળો 180° જેટલો થાય છે:
જો a||b, પછી ∠1 + ∠2 = 180°.
2. જ્યારે બે સમાંતર રેખાઓ ત્રીજી રેખાને છેદે છે, ત્યારે તેમના દ્વારા બનેલા અનુરૂપ ખૂણા સમાન હોય છે:
જો a||b, પછી ∠2 = ∠4.
3. જ્યારે બે સમાંતર રેખાઓ ત્રીજી રેખાને છેદે છે, ત્યારે તેઓ જે ક્રોસવાઇઝ કોણ બનાવે છે તે સમાન છે:
જો a||b, પછી ∠1 = ∠3.
નીચેની મિલકત દરેક પાછલા એક માટે ખાસ કેસ છે:
4. જો પ્લેન પરની રેખા બે સમાંતર રેખાઓમાંથી એકને લંબરૂપ હોય, તો તે બીજી રેખાને પણ લંબરૂપ છે:
જો a||bઅને c⊥a, તે c⊥b.
પાંચમી ગુણધર્મ એ સમાંતર રેખાઓનો સ્વયંસિદ્ધ છે:
5. આપેલ લીટી પર ન આવેલા બિંદુ દ્વારા, આપેલ લીટીની સમાંતર માત્ર એક લીટી દોરી શકાય છે.
