આ પાઠમાં આપણે સમીકરણોની પ્રણાલીઓને ઉકેલવાની પદ્ધતિનો અભ્યાસ કરવાનું ચાલુ રાખીશું, એટલે કે બીજગણિતીય ઉમેરણની પદ્ધતિ. પ્રથમ, ચાલો રેખીય સમીકરણો અને તેના સારનો ઉપયોગ કરીને આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ જોઈએ. ચાલો એ પણ યાદ રાખીએ કે સમીકરણોમાં ગુણાંકને કેવી રીતે સમાન કરવું. અને અમે આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાબંધ સમસ્યાઓ હલ કરીશું.

વિષય: સમીકરણોની સિસ્ટમો

પાઠ: બીજગણિત ઉમેરવાની પદ્ધતિ

1. ઉદાહરણ તરીકે રેખીય પ્રણાલીઓનો ઉપયોગ કરીને બીજગણિત ઉમેરવાની પદ્ધતિ

ચાલો વિચાર કરીએ બીજગણિત ઉમેરવાની પદ્ધતિરેખીય સિસ્ટમોના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને.

ઉદાહરણ 1. સિસ્ટમ ઉકેલો

જો આપણે આ બે સમીકરણો ઉમેરીએ, તો x માટે સમીકરણ છોડીને y રદ થાય છે.

જો આપણે પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજાને બાદ કરીએ, તો x એકબીજાને રદ કરે છે, અને આપણને y માટે સમીકરણ મળે છે. આ બીજગણિત ઉમેરણ પદ્ધતિનો અર્થ છે.

અમે સિસ્ટમ ઉકેલી અને બીજગણિત ઉમેરાની પદ્ધતિ યાદ રાખી. ચાલો તેના સારને પુનરાવર્તિત કરીએ: આપણે સમીકરણો ઉમેરી અને બાદબાકી કરી શકીએ છીએ, પરંતુ આપણે ખાતરી કરવી જોઈએ કે આપણને ફક્ત એક જ અજ્ઞાત સાથે સમીકરણ મળે.

2. ગુણાંકના પ્રારંભિક સમાનીકરણ સાથે બીજગણિત ઉમેરવાની પદ્ધતિ

ઉદાહરણ 2. સિસ્ટમ ઉકેલો

આ શબ્દ બંને સમીકરણોમાં હાજર છે, તેથી બીજગણિત ઉમેરવાની પદ્ધતિ અનુકૂળ છે. ચાલો પહેલા સમીકરણમાંથી બીજાને બાદ કરીએ.

જવાબ: (2; -1).

આમ, સમીકરણોની સિસ્ટમનું પૃથ્થકરણ કર્યા પછી, તમે જોઈ શકો છો કે તે બીજગણિત ઉમેરણની પદ્ધતિ માટે અનુકૂળ છે, અને તેને લાગુ કરો.

ચાલો બીજી રેખીય સિસ્ટમનો વિચાર કરીએ.

3. નોનલાઇનર સિસ્ટમ્સનું સોલ્યુશન

ઉદાહરણ 3. સિસ્ટમ ઉકેલો

અમે y થી છુટકારો મેળવવા માંગીએ છીએ, પરંતુ બે સમીકરણોમાં y ના ગુણાંક અલગ છે. ચાલો આ કરવા માટે, પ્રથમ સમીકરણને 3 વડે, બીજાને 4 વડે ગુણાકાર કરીએ.

ઉદાહરણ 4. સિસ્ટમ ઉકેલો

ચાલો x માટે ગુણાંક સમાન કરીએ

તમે તેને અલગ રીતે કરી શકો છો - y માટે ગુણાંક સમાન કરો.

અમે બીજગણિત ઉમેરણ પદ્ધતિને બે વાર લાગુ કરીને સિસ્ટમ ઉકેલી.

બીજગણિત ઉમેરણ પદ્ધતિ બિનરેખીય સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે પણ લાગુ પડે છે.

ઉદાહરણ 5. સિસ્ટમ ઉકેલો

ચાલો આ સમીકરણો એકસાથે ઉમેરીએ અને આપણે y થી છુટકારો મેળવીશું.

બીજગણિત ઉમેરણ પદ્ધતિને બે વાર લાગુ કરીને સમાન પદ્ધતિને ઉકેલી શકાય છે. ચાલો એક સમીકરણમાંથી બીજા સમીકરણ ઉમેરી અને બાદ કરીએ.

ઉદાહરણ 6. સિસ્ટમ ઉકેલો

જવાબ:

ઉદાહરણ 7. સિસ્ટમ ઉકેલો

બીજગણિત ઉમેરણની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આપણે xy શબ્દમાંથી છુટકારો મેળવીશું. ચાલો પ્રથમ સમીકરણને વડે ગુણાકાર કરીએ.

પ્રથમ સમીકરણ યથાવત રહે છે, બીજાને બદલે આપણે બીજગણિતીય સરવાળો લખીએ છીએ.

જવાબ:

ઉદાહરણ 8. સિસ્ટમ ઉકેલો

સંપૂર્ણ ચોરસને અલગ કરવા માટે બીજા સમીકરણને 2 વડે ગુણાકાર કરો.

અમારું કાર્ય ચાર સરળ સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે ઘટાડવામાં આવ્યું હતું.

4. નિષ્કર્ષ

અમે રેખીય અને બિનરેખીય પ્રણાલીઓને ઉકેલવાના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને બીજગણિત ઉમેરવાની પદ્ધતિની તપાસ કરી. હવે પછીના પાઠમાં આપણે નવા ચલોને રજૂ કરવાની પદ્ધતિ જોઈશું.

1. મોર્ડકોવિચ એ.જી. એટ અલજીબ્રા 9મી ગ્રેડ: પાઠ્યપુસ્તક. સામાન્ય શિક્ષણ માટે સંસ્થાઓ.- ચોથી આવૃત્તિ. - એમ.: નેમોસીન, 2002.-192 પૃષ્ઠ: બીમાર.

2. મોર્ડકોવિચ એ.જી. એટ અલજીબ્રા 9મી ગ્રેડ: સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે સમસ્યા પુસ્તક / એ.જી. મોર્ડકોવિચ, ટી.એન. - એમ.: નેમોસીન, 2002.-143 પૃષ્ઠ: બીમાર.

3. મકરીચેવ યુ. બીજગણિત. 9 મી ગ્રેડ: શૈક્ષણિક. સામાન્ય શિક્ષણના વિદ્યાર્થીઓ માટે. સંસ્થાઓ / યુ. એન. મકરીચેવ, એન. જી. મિંડ્યુક, કે. આઇ. નેશકોવ, આઇ. ઇ. ફેઓક્ટીસ્ટોવ. — 7મી આવૃત્તિ, રેવ. અને વધારાના - એમ.: નેમોસીન, 2008.

4. અલીમોવ એ., કોલ્યાગિન યુ., સિદોરોવ યુ. 9મા ધોરણ. 16મી આવૃત્તિ. - એમ., 2011. - 287 પૃ.

5. મોર્ડકોવિચ એ. જી. બીજગણિત. 9મા ધોરણ. 2 કલાકમાં ભાગ 1. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12મી આવૃત્તિ, ભૂંસી નાખેલી. - એમ.: 2010. - 224 પૃષ્ઠ: બીમાર.

6. બીજગણિત. 9મા ધોરણ. 2 ભાગોમાં ભાગ 2. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે સમસ્યા પુસ્તક / એ. જી. મોર્ડકોવિચ, એલ. એ. એલેકસાન્ડ્રોવા, ટી. એન. મિશુસ્ટીના અને અન્ય; એડ. એ.જી. મોર્ડકોવિચ. — 12મી આવૃત્તિ, રેવ. - એમ.: 2010.-223 પૃષ્ઠ: બીમાર.

1. કોલેજ વિભાગ. ગણિતમાં ru.

2. ઇન્ટરનેટ પ્રોજેક્ટ "કાર્યો".

3. શૈક્ષણિક પોર્ટલ “હું યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા હલ કરીશ”.

1. મોર્ડકોવિચ એ.જી. એટ અલજીબ્રા 9મી ગ્રેડ: સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે સમસ્યા પુસ્તક / એ.જી. મોર્ડકોવિચ, ટી.એન. - એમ.: નેમોસીન, 2002.-143 પૃષ્ઠ: બીમાર. નંબર 125 - 127.

તમારે વિષય પર પાઠ યોજના ડાઉનલોડ કરવાની જરૂર છે » બીજગણિત ઉમેરવાની પદ્ધતિ?

બીજગણિત ઉમેરવાની પદ્ધતિ

તમે બે અજાણ્યા સાથેના સમીકરણોની સિસ્ટમને વિવિધ રીતે હલ કરી શકો છો - ગ્રાફિકલી અથવા ચલ બદલીને.

આ પાઠમાં આપણે પ્રણાલીઓને ઉકેલવાની બીજી પદ્ધતિથી પરિચિત થઈશું જે તમને કદાચ ગમશે - આ બીજગણિત ઉમેરવાની પદ્ધતિ છે.

સિસ્ટમમાં કંઈક મૂકવાનો વિચાર ક્યાંથી આવ્યો? સિસ્ટમો ઉકેલતી વખતે, મુખ્ય સમસ્યા એ બે ચલોની હાજરી છે, કારણ કે આપણે બે ચલ સાથે સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા તે જાણતા નથી. આનો અર્થ એ છે કે તેમાંથી એકને અમુક કાયદાકીય રીતે બાકાત રાખવો જોઈએ. અને આવા કાયદેસર માર્ગો ગાણિતિક નિયમો અને ગુણધર્મો છે.

આ ગુણધર્મો પૈકી એક છે: વિરોધી સંખ્યાઓનો સરવાળો શૂન્ય છે. આનો અર્થ એ થયો કે જો કોઈ એક ચલમાં વિરોધી ગુણાંક હોય, તો તેનો સરવાળો શૂન્ય જેટલો થશે અને આપણે આ ચલને સમીકરણમાંથી બાકાત કરી શકીશું. તે સ્પષ્ટ છે કે અમને જોઈતા ચલ સાથે માત્ર શબ્દો ઉમેરવાનો અમને અધિકાર નથી. તમારે સમગ્ર સમીકરણો ઉમેરવાની જરૂર છે, એટલે કે. અલગથી ડાબી બાજુ, પછી જમણી બાજુએ સમાન શબ્દો ઉમેરો. પરિણામે, આપણને એક નવું સમીકરણ મળે છે જેમાં માત્ર એક ચલ હોય છે. ચાલો ચોક્કસ ઉદાહરણો સાથે શું કહેવામાં આવ્યું છે તે જોઈએ.

આપણે જોઈએ છીએ કે પ્રથમ સમીકરણમાં ચલ y છે, અને બીજામાં વિરુદ્ધ સંખ્યા -y છે. આનો અર્થ એ છે કે આ સમીકરણ ઉમેરા દ્વારા ઉકેલી શકાય છે.

એક સમીકરણ જેમ છે તેમ બાકી છે. તમને શ્રેષ્ઠ ગમે તે કોઈપણ.

પરંતુ બીજું સમીકરણ આ બે સમીકરણો ટર્મ બાય ટર્મ ઉમેરીને મેળવવામાં આવશે. તે. આપણે 2x સાથે 3x ઉમેરીએ, -y સાથે y ઉમેરીએ, 7 સાથે 8 ઉમેરીએ.

અમે સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ

આ સિસ્ટમનું બીજું સમીકરણ એ એક ચલ સાથેનું સરળ સમીકરણ છે. તેમાંથી આપણે x = 3 શોધીએ છીએ. પ્રથમ સમીકરણમાં મળેલ મૂલ્યને બદલીને, આપણને y = -1 મળે છે.

જવાબ: (3; - 1).

નમૂના ડિઝાઇન:

બીજગણિત ઉમેરો પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

આ સિસ્ટમમાં વિરોધી ગુણાંક સાથે કોઈ ચલ નથી. પરંતુ આપણે જાણીએ છીએ કે સમીકરણની બંને બાજુઓને સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરી શકાય છે. ચાલો સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને 2 વડે ગુણાકાર કરીએ.

પછી પ્રથમ સમીકરણ ફોર્મ લેશે:

હવે આપણે જોઈએ છીએ કે x ચલ વિરુદ્ધ ગુણાંક ધરાવે છે. આનો અર્થ એ છે કે આપણે પ્રથમ ઉદાહરણની જેમ જ કરીશું: આપણે સમીકરણોમાંથી એકને યથાવત રાખીશું. ઉદાહરણ તરીકે, 2y + 2x = 10. અને આપણે સરવાળા દ્વારા બીજું મેળવીએ છીએ.

હવે આપણી પાસે સમીકરણોની સિસ્ટમ છે:

આપણે બીજા સમીકરણ y = 1 અને પછી પ્રથમ સમીકરણ x = 4 માંથી સરળતાથી શોધી શકીએ છીએ.

નમૂના ડિઝાઇન:

ચાલો સારાંશ આપીએ:

અમે બીજગણિત ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બે અજ્ઞાત સાથેના બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને કેવી રીતે હલ કરવી તે શીખ્યા. આમ, હવે આપણે આવી સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટેની ત્રણ મુખ્ય પદ્ધતિઓ જાણીએ છીએ: ગ્રાફિકલ, વેરીએબલ રિપ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિ અને ઉમેરણ પદ્ધતિ. લગભગ કોઈપણ સિસ્ટમ આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વધુ જટિલ કેસોમાં, આ તકનીકોના સંયોજનનો ઉપયોગ થાય છે.

વપરાયેલ સાહિત્યની સૂચિ:

1. મોર્ડકોવિચ એ.જી., 2 ભાગોમાં બીજગણિત 7 મા ધોરણ, ભાગ 1, સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક / એ.જી. મોર્ડકોવિચ. - 10મી આવૃત્તિ, સુધારેલ - મોસ્કો, "મેનેમોસીન", 2007.
2. મોર્ડકોવિચ એ.જી., 2 ભાગોમાં બીજગણિત 7 મા ધોરણ, ભાગ 2, શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ માટે સમસ્યા પુસ્તક / [એ.જી. મોર્ડકોવિચ અને અન્ય]; એજી દ્વારા સંપાદિત મોર્ડકોવિચ - 10મી આવૃત્તિ, સુધારેલ - મોસ્કો, "મેનેમોસીન", 2007.
3. તેણીના. તુલચિન્સકાયા, બીજગણિત 7 મી ગ્રેડ. બ્લિટ્ઝ સર્વે: સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે માર્ગદર્શિકા, ચોથી આવૃત્તિ, સુધારેલી અને વિસ્તૃત, મોસ્કો, મેનેમોસીન, 2008.
4. એલેક્ઝાન્ડ્રોવા એલ.એ., બીજગણિત 7મો ગ્રેડ. A.G. દ્વારા સંપાદિત સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે નવા સ્વરૂપમાં વિષયોનું પરીક્ષણ પેપર. મોર્ડકોવિચ, મોસ્કો, "મેનેમોસીન", 2011.
5. એલેક્ઝાન્ડ્રોવા એલ.એ. બીજગણિત 7 મા ધોરણ. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે સ્વતંત્ર કાર્યો, એ.જી. દ્વારા સંપાદિત. મોર્ડકોવિચ - 6ઠ્ઠી આવૃત્તિ, સ્ટીરિયોટાઇપિકલ, મોસ્કો, "મેનેમોસીન", 2010.

OGBOU "સ્મોલેન્સ્કમાં વિશેષ શૈક્ષણિક જરૂરિયાતો ધરાવતા બાળકો માટેનું શિક્ષણ કેન્દ્ર"

અંતર શિક્ષણ માટે કેન્દ્ર

7મા ધોરણમાં બીજગણિત પાઠ

પાઠ વિષય: બીજગણિત ઉમેરવાની પદ્ધતિ.

1. 1. પાઠનો પ્રકાર: નવા જ્ઞાનની પ્રારંભિક રજૂઆતનો પાઠ.

પાઠનો હેતુ: અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવામાં જ્ઞાન અને કુશળતાના સંપાદનનું સ્તર નિયંત્રિત કરો; ઉમેરાનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે કુશળતા અને ક્ષમતાઓ વિકસાવવી.

પાઠ હેતુઓ:

વિષય: સરવાળો પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બે ચલ વડે સમીકરણોની પ્રણાલી ઉકેલવાનું શીખો.

મેટાવિષય: જ્ઞાનાત્મક UUD: વિશ્લેષણ કરો (મુખ્ય વસ્તુને પ્રકાશિત કરો), ખ્યાલો વ્યાખ્યાયિત કરો, સામાન્યીકરણ કરો, તારણો દોરો. નિયમનકારી UUD: લક્ષ્ય નક્કી કરો, શૈક્ષણિક પ્રવૃત્તિઓમાં સમસ્યા. કોમ્યુનિકેટિવ UUD: તમારા અભિપ્રાય વ્યક્ત કરો, તેના કારણો આપીને. વ્યક્તિગત UUD: fશીખવા માટે સકારાત્મક પ્રેરણા બનાવવા માટે, પાઠ અને વિષય પ્રત્યે વિદ્યાર્થીનું હકારાત્મક ભાવનાત્મક વલણ બનાવવું.

કાર્યનું સ્વરૂપ: વ્યક્તિગત

પાઠનાં પગલાં:

1) સંસ્થાકીય તબક્કો.

આ વિષયની વિચારસરણી અને સમજણની અખંડિતતા તરફ વલણ બનાવીને વિષય પર વિદ્યાર્થીના કાર્યને ગોઠવો.

2. હોમવર્ક માટે સોંપેલ સામગ્રી પર વિદ્યાર્થીને પ્રશ્ન કરવો, જ્ઞાન અપડેટ કરવું.

હેતુ: હોમવર્ક દરમિયાન વિદ્યાર્થીના જ્ઞાનની ચકાસણી કરવી, ભૂલો ઓળખવી અને ભૂલો પર કામ કરવું. અગાઉના પાઠમાંથી સામગ્રીની સમીક્ષા કરો.

3. નવી સામગ્રીનો અભ્યાસ.

1). વધારાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને હલ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવો;

2). નવી પરિસ્થિતિઓમાં હાલના જ્ઞાનનો વિકાસ અને સુધારો;

3). નિયંત્રણ અને સ્વ-નિયંત્રણ કુશળતા કેળવો, સ્વતંત્રતા વિકસાવો.

http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

ધ્યેય: દ્રષ્ટિ સાચવો, વર્ગમાં કામ કરતી વખતે આંખનો થાક દૂર કરો.

5. અભ્યાસ કરેલ સામગ્રીનું એકીકરણ

હેતુ: પાઠમાં મેળવેલા જ્ઞાન, કૌશલ્યો અને ક્ષમતાઓનું પરીક્ષણ કરવું

6. પાઠનો સારાંશ, હોમવર્ક વિશેની માહિતી, પ્રતિબિંબ.

પાઠની પ્રગતિ (ઇલેક્ટ્રોનિક Google દસ્તાવેજમાં કામ કરવું):

1. આજે હું વોલ્ટરના ફિલોસોફિકલ કોયડાથી પાઠ શરૂ કરવા માંગતો હતો.

સૌથી ઝડપી, પણ સૌથી ધીમું, સૌથી મોટું, પણ સૌથી નાનું, સૌથી લાંબુ અને ટૂંકું, સૌથી મોંઘું, પણ સસ્તું પણ આપણા દ્વારા મૂલ્યવાન શું છે?

સમય

ચાલો વિષય પરના મૂળભૂત ખ્યાલોને યાદ કરીએ:

આપણી સમક્ષ બે સમીકરણોની સિસ્ટમ છે.

ચાલો યાદ કરીએ કે આપણે છેલ્લા પાઠમાં સમીકરણોની સિસ્ટમ કેવી રીતે હલ કરી.

અવેજી પદ્ધતિ

ફરી એકવાર, સોલ્વ કરેલી સિસ્ટમ પર ધ્યાન આપો અને મને કહો કે શા માટે આપણે અવેજી પદ્ધતિનો આશરો લીધા વિના સિસ્ટમના દરેક સમીકરણને હલ કરી શકતા નથી?

કારણ કે આ બે ચલોવાળી સિસ્ટમના સમીકરણો છે. આપણે માત્ર એક ચલ વડે સમીકરણો ઉકેલી શકીએ છીએ.

માત્ર એક ચલ સાથે સમીકરણ મેળવીને આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરી શક્યા.

3. અમે નીચેની સિસ્ટમને હલ કરવા આગળ વધીએ છીએ:

ચાલો એક સમીકરણ પસંદ કરીએ જેમાં એક ચલને બીજા દ્વારા વ્યક્ત કરવાનું અનુકૂળ હોય.

એવું કોઈ સમીકરણ નથી.

તે. આ સ્થિતિમાં, અગાઉ અભ્યાસ કરેલ પદ્ધતિ આપણા માટે યોગ્ય નથી. આ પરિસ્થિતિમાંથી બહાર નીકળવાનો રસ્તો શું છે?

નવી પદ્ધતિ શોધો.

ચાલો પાઠનો હેતુ ઘડવાનો પ્રયાસ કરીએ.

નવી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોને હલ કરવાનું શીખો.

નવી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોને કેવી રીતે હલ કરવી તે શીખવા માટે આપણે શું કરવાની જરૂર છે?

સમીકરણોની સિસ્ટમ, પૂર્ણ વ્યવહારુ કાર્યોને ઉકેલવા માટેના નિયમો (એલ્ગોરિધમ) જાણો

ચાલો એક નવી પદ્ધતિ વિકસાવવાનું શરૂ કરીએ.

પ્રથમ સિસ્ટમ ઉકેલ્યા પછી અમે જે નિષ્કર્ષ કાઢ્યો તેના પર ધ્યાન આપો. અમે એક ચલ સાથે રેખીય સમીકરણ મેળવ્યા પછી જ સિસ્ટમ ઉકેલવાનું શક્ય હતું.

સમીકરણોની સિસ્ટમ જુઓ અને આપેલ બે સમીકરણોમાંથી એક ચલ સાથે એક સમીકરણ કેવી રીતે મેળવવું તે વિશે વિચારો.

સમીકરણો ઉમેરો.

સમીકરણો ઉમેરવાનો અર્થ શું છે?

ડાબી બાજુઓનો સરવાળો, સમીકરણોની જમણી બાજુઓનો સરવાળો અલગથી કંપોઝ કરો અને પરિણામી સરવાળો કરો.

ચાલો પ્રયત્ન કરીએ. અમે મારી સાથે મળીને કામ કરીએ છીએ.

13x+14x+17y-17y=43+11

આપણે એક ચલ સાથે રેખીય સમીકરણ મેળવ્યું છે.

શું તમે સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરી છે?

સિસ્ટમનો ઉકેલ એ સંખ્યાઓની જોડી છે.

y કેવી રીતે શોધવી?

સિસ્ટમ સમીકરણમાં x ની મળેલી કિંમતને બદલો.

શું આપણે x ની કિંમતને કયા સમીકરણમાં બદલીએ તેનાથી કોઈ ફરક પડે છે?

આનો અર્થ એ છે કે x નું મળેલું મૂલ્ય આમાં બદલી શકાય છે...

સિસ્ટમનું કોઈપણ સમીકરણ.

અમે એક નવી પદ્ધતિથી પરિચિત થયા - બીજગણિત ઉમેરવાની પદ્ધતિ.

સિસ્ટમ હલ કરતી વખતે, અમે આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમને ઉકેલવા માટેના અલ્ગોરિધમ વિશે ચર્ચા કરી.

અમે અલ્ગોરિધમની સમીક્ષા કરી છે. હવે ચાલો તેને સમસ્યાના ઉકેલ માટે લાગુ કરીએ.

સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવાની ક્ષમતા વ્યવહારમાં ઉપયોગી થઈ શકે છે.

ચાલો સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ:

ખેતરમાં ચિકન અને ઘેટાં છે. જો એકસાથે 19 માથા અને 46 પગ હોય તો બંનેમાંથી કેટલા છે?

કુલ મળીને 19 ચિકન અને ઘેટાં છે તે જાણીને, ચાલો પ્રથમ સમીકરણ બનાવીએ: x + y = 19

4x - ઘેટાંના પગની સંખ્યા

2у - મરઘીઓમાં પગની સંખ્યા

માત્ર 46 પગ છે તે જાણીને, ચાલો બીજું સમીકરણ બનાવીએ: 4x + 2y = 46

ચાલો સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવીએ:

ચાલો ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલીએ.

સમસ્યા! x અને y ની આગળના ગુણાંક સમાન નથી અને વિરુદ્ધ નથી! શું કરવું?

ચાલો બીજું ઉદાહરણ જોઈએ!

ચાલો આપણા અલ્ગોરિધમમાં એક વધુ પગલું ઉમેરીએ અને તેને પ્રથમ સ્થાને મૂકીએ: જો ચલોની સામેના ગુણાંક સમાન ન હોય અને વિરુદ્ધ ન હોય, તો આપણે કેટલાક ચલ માટે મોડ્યુલોને સમાન બનાવવાની જરૂર છે! અને પછી આપણે અલ્ગોરિધમ મુજબ કાર્ય કરીશું.

4. આંખો માટે ઇલેક્ટ્રોનિક શારીરિક તાલીમ: http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

5. અમે નવી સામગ્રીને એકીકૃત કરીને, બીજગણિત ઉમેરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાને પૂર્ણ કરીએ છીએ અને ખેતરમાં કેટલા મરઘા અને ઘેટાં હતા તે શોધી કાઢીએ છીએ.

વધારાના કાર્યો:

6.

પ્રતિબિંબ.

હું વર્ગમાં મારા કામ માટે ગ્રેડ આપું છું -...

6. ઈન્ટરનેટ સંસાધનોનો ઉપયોગ:

શિક્ષણ માટે Google સેવાઓ

ગણિતના શિક્ષક સોકોલોવા એન. એન.

વિવિધ પ્રક્રિયાઓના ગાણિતિક મોડેલિંગ માટે આર્થિક ક્ષેત્રમાં સમીકરણોની સિસ્ટમોનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રોડક્શન મેનેજમેન્ટ અને પ્લાનિંગ, લોજિસ્ટિક્સ રૂટ્સ (ટ્રાન્સપોર્ટ પ્રોબ્લેમ) અથવા ઇક્વિપમેન્ટ પ્લેસમેન્ટની સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે.

સમીકરણોની પ્રણાલીઓનો ઉપયોગ માત્ર ગણિતમાં જ નહીં, પણ ભૌતિકશાસ્ત્ર, રસાયણશાસ્ત્ર અને જીવવિજ્ઞાનમાં પણ થાય છે, જ્યારે વસ્તીનું કદ શોધવાની સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં આવે છે.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ એ બે અથવા વધુ સમીકરણો છે જેમાં અનેક ચલ હોય છે જેના માટે સામાન્ય ઉકેલ શોધવો જરૂરી છે. સંખ્યાઓનો આવો ક્રમ કે જેના માટે તમામ સમીકરણો સાચી સમાનતા બને અથવા સાબિત કરે કે ક્રમ અસ્તિત્વમાં નથી.

રેખીય સમીકરણ

ax+by=c ફોર્મના સમીકરણોને રેખીય કહેવામાં આવે છે. હોદ્દો x, y એ અજાણ્યા છે જેનું મૂલ્ય મળવું આવશ્યક છે, b, a એ ચલોના ગુણાંક છે, c એ સમીકરણનો મુક્ત શબ્દ છે.
કાવતરું ઘડીને સમીકરણ ઉકેલવું તે એક સીધી રેખા જેવું દેખાશે, જેનાં તમામ બિંદુઓ બહુપદીના ઉકેલો છે.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોના પ્રકાર

સૌથી સરળ ઉદાહરણો બે ચલ X અને Y સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો તરીકે ગણવામાં આવે છે.

F1(x, y) = 0 અને F2(x, y) = 0, જ્યાં F1,2 ફંક્શન છે અને (x, y) ફંક્શન વેરિયેબલ છે.

સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો - આનો અર્થ એ છે કે મૂલ્યો (x, y) શોધવા કે જેના પર સિસ્ટમ સાચી સમાનતામાં ફેરવાય છે અથવા સ્થાપિત કરે છે કે x અને y ના યોગ્ય મૂલ્યો અસ્તિત્વમાં નથી.

બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે લખેલા મૂલ્યોની જોડી (x, y), રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ કહેવાય છે.

જો સિસ્ટમમાં એક સામાન્ય ઉકેલ હોય અથવા કોઈ ઉકેલ અસ્તિત્વમાં ન હોય, તો તેને સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે.

રેખીય સમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલીઓ એવી પ્રણાલીઓ છે જેની જમણી બાજુ શૂન્યની બરાબર છે. જો સમાન ચિહ્ન પછીના જમણા ભાગમાં મૂલ્ય હોય અથવા ફંક્શન દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે, તો આવી સિસ્ટમ વિજાતીય છે.

ચલોની સંખ્યા બે કરતા ઘણી વધારે હોઈ શકે છે, પછી આપણે ત્રણ અથવા વધુ ચલો સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉદાહરણ વિશે વાત કરવી જોઈએ.

જ્યારે પ્રણાલીઓનો સામનો કરવો પડે છે, ત્યારે શાળાના બાળકો ધારે છે કે સમીકરણોની સંખ્યા અનિવાર્યપણે અજ્ઞાતની સંખ્યા સાથે સુસંગત હોવી જોઈએ, પરંતુ આવું નથી. સિસ્ટમમાં સમીકરણોની સંખ્યા ચલ પર આધારિત નથી;

સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેની સરળ અને જટિલ પદ્ધતિઓ

આવી સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે કોઈ સામાન્ય વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ નથી; બધી પદ્ધતિઓ સંખ્યાત્મક ઉકેલો પર આધારિત છે. શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં ક્રમચય, બીજગણિત ઉમેરો, અવેજીકરણ, તેમજ ગ્રાફિકલ અને મેટ્રિક્સ પદ્ધતિઓ, ગૌસીયન પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલ જેવી પદ્ધતિઓનું વિગતવાર વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે.

ઉકેલની પદ્ધતિઓ શીખવતી વખતે મુખ્ય કાર્ય એ શીખવવાનું છે કે સિસ્ટમનું યોગ્ય રીતે વિશ્લેષણ કેવી રીતે કરવું અને દરેક ઉદાહરણ માટે શ્રેષ્ઠ ઉકેલ અલ્ગોરિધમ શોધવું. મુખ્ય વસ્તુ એ દરેક પદ્ધતિ માટે નિયમો અને ક્રિયાઓની સિસ્ટમને યાદ રાખવાની નથી, પરંતુ ચોક્કસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાના સિદ્ધાંતોને સમજવાની છે.

7મા ધોરણના સામાન્ય શિક્ષણ અભ્યાસક્રમમાં રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓના ઉદાહરણોનું નિરાકરણ એકદમ સરળ છે અને ખૂબ જ વિગતવાર સમજાવવામાં આવ્યું છે. કોઈપણ ગણિતના પાઠ્યપુસ્તકમાં આ વિભાગ પર પૂરતું ધ્યાન આપવામાં આવે છે. ગૌસ અને ક્રેમર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોના ઉદાહરણોને ઉકેલવા માટે ઉચ્ચ શિક્ષણના પ્રથમ વર્ષોમાં વધુ વિગતવાર અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોનું નિરાકરણ

અવેજી પદ્ધતિની ક્રિયાઓ બીજાની દ્રષ્ટિએ એક ચલના મૂલ્યને વ્યક્ત કરવાનો છે. અભિવ્યક્તિને બાકીના સમીકરણમાં બદલવામાં આવે છે, પછી તેને એક ચલ સાથેના સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે છે. સિસ્ટમમાં અજાણ્યાઓની સંખ્યાના આધારે ક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરવામાં આવે છે

ચાલો અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વર્ગ 7 ની રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉદાહરણનો ઉકેલ આપીએ:

ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, ચલ x એ F(X) = 7 + Y દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવ્યો હતો. પરિણામી અભિવ્યક્તિ, X ની જગ્યાએ સિસ્ટમના 2જા સમીકરણમાં બદલાઈ, 2જી સમીકરણમાં એક ચલ Y મેળવવામાં મદદ કરી. . આ ઉદાહરણને ઉકેલવું સરળ છે અને તમને Y મૂલ્ય મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે.

અવેજી દ્વારા રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉદાહરણને ઉકેલવું હંમેશા શક્ય નથી. સમીકરણો જટિલ હોઈ શકે છે અને બીજા અજ્ઞાતના સંદર્ભમાં ચલને વ્યક્ત કરવું વધુ ગણતરીઓ માટે ખૂબ બોજારૂપ હશે. જ્યારે સિસ્ટમમાં 3 થી વધુ અજાણ્યા હોય, ત્યારે અવેજી દ્વારા ઉકેલવું પણ અયોગ્ય છે.

રેખીય અસંગત સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉદાહરણનો ઉકેલ:

બીજગણિત ઉમેરાનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ

વધારાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોના ઉકેલો માટે શોધ કરતી વખતે, સમીકરણો શબ્દ દ્વારા શબ્દ ઉમેરવામાં આવે છે અને વિવિધ સંખ્યાઓ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. ગાણિતિક ક્રિયાઓનું અંતિમ ધ્યેય એ એક ચલમાં સમીકરણ છે.

આ પદ્ધતિના ઉપયોગ માટે પ્રેક્ટિસ અને અવલોકન જરૂરી છે. જ્યારે 3 અથવા વધુ ચલો હોય ત્યારે વધારાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી સરળ નથી. જ્યારે સમીકરણોમાં અપૂર્ણાંક અને દશાંશ હોય ત્યારે બીજગણિત ઉમેરણ વાપરવા માટે અનુકૂળ છે.

ઉકેલ અલ્ગોરિધમ:

1. સમીકરણની બંને બાજુઓને ચોક્કસ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરો. અંકગણિત કામગીરીના પરિણામે, ચલના ગુણાંકમાંથી એક 1 ની બરાબર થવો જોઈએ.
2. શબ્દ દ્વારા પરિણામી અભિવ્યક્તિ શબ્દ ઉમેરો અને અજ્ઞાતમાંથી એક શોધો.
3. બાકીના ચલ શોધવા માટે પરિણામી મૂલ્યને સિસ્ટમના 2જા સમીકરણમાં બદલો.

નવું ચલ રજૂ કરીને ઉકેલની પદ્ધતિ

જો સિસ્ટમને બે કરતાં વધુ સમીકરણો માટે ઉકેલ શોધવાની જરૂર હોય તો એક નવું ચલ રજૂ કરી શકાય છે.

પદ્ધતિનો ઉપયોગ નવા ચલ રજૂ કરીને સમીકરણોમાંથી એકને સરળ બનાવવા માટે થાય છે. નવા સમીકરણને રજૂ કરાયેલ અજાણ્યા માટે ઉકેલવામાં આવે છે, અને પરિણામી મૂલ્યનો ઉપયોગ મૂળ ચલ નક્કી કરવા માટે થાય છે.

ઉદાહરણ બતાવે છે કે નવું ચલ t રજૂ કરીને, સિસ્ટમના 1લા સમીકરણને પ્રમાણભૂત ચતુર્ભુજ ત્રિનોમીમાં ઘટાડી શકાય તેવું શક્ય હતું. તમે ભેદભાવ શોધીને બહુપદી ઉકેલી શકો છો.

જાણીતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ભેદભાવનું મૂલ્ય શોધવાનું જરૂરી છે: D = b2 - 4*a*c, જ્યાં D એ ઇચ્છિત ભેદભાવ છે, b, a, c એ બહુપદીના પરિબળો છે. આપેલ ઉદાહરણમાં, a=1, b=16, c=39, તેથી D=100. જો ભેદભાવ શૂન્ય કરતાં મોટો હોય, તો બે ઉકેલો છે: t = -b±√D / 2*a, જો ભેદભાવ શૂન્ય કરતાં ઓછો હોય, તો ત્યાં એક ઉકેલ છે: x = -b / 2*a.

પરિણામી સિસ્ટમો માટેનો ઉકેલ ઉમેરણ પદ્ધતિ દ્વારા મળી આવે છે.

સિસ્ટમો ઉકેલવા માટે વિઝ્યુઅલ પદ્ધતિ

3 સમીકરણ સિસ્ટમો માટે યોગ્ય. પદ્ધતિમાં કોઓર્ડિનેટ અક્ષ પર સિસ્ટમમાં સમાવિષ્ટ દરેક સમીકરણના ગ્રાફ બનાવવાનો સમાવેશ થાય છે. વણાંકોના આંતરછેદ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ એ સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ હશે.

ગ્રાફિકલ પદ્ધતિમાં સંખ્યાબંધ ઘોંઘાટ છે. ચાલો દ્રશ્ય રીતે રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓને ઉકેલવાના કેટલાક ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે, દરેક લીટી માટે બે પોઈન્ટ બનાવવામાં આવ્યા હતા, x ચલના મૂલ્યો મનસ્વી રીતે પસંદ કરવામાં આવ્યા હતા: 0 અને 3. x ના મૂલ્યોના આધારે, y માટેના મૂલ્યો મળ્યા હતા: 3 અને 0. કોઓર્ડિનેટ્સ (0, 3) અને (3, 0) સાથેના બિંદુઓને ગ્રાફ પર ચિહ્નિત કરવામાં આવ્યા હતા અને એક રેખા દ્વારા જોડાયેલા હતા.

બીજા સમીકરણ માટે પગલાંઓનું પુનરાવર્તન કરવું આવશ્યક છે. રેખાઓના આંતરછેદનો બિંદુ એ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે.

નીચેના ઉદાહરણ માટે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે ગ્રાફિકલ ઉકેલ શોધવાની જરૂર છે: 0.5x-y+2=0 અને 0.5x-y-1=0.

ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલ નથી, કારણ કે આલેખ સમાંતર છે અને તેમની સમગ્ર લંબાઈ સાથે છેદે નથી.

ઉદાહરણો 2 અને 3 માંથી સિસ્ટમો સમાન છે, પરંતુ જ્યારે બનાવવામાં આવે છે ત્યારે તે સ્પષ્ટ બને છે કે તેમના ઉકેલો અલગ છે. તે યાદ રાખવું જોઈએ કે સિસ્ટમમાં ઉકેલ છે કે નહીં તે કહેવું હંમેશા શક્ય નથી;

મેટ્રિક્સ અને તેની જાતો

મેટ્રિસિસનો ઉપયોગ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને સંક્ષિપ્તમાં લખવા માટે થાય છે. મેટ્રિક્સ એ સંખ્યાઓથી ભરેલું એક વિશિષ્ટ પ્રકારનું કોષ્ટક છે. n*m માં n - પંક્તિઓ અને m - કૉલમ છે.

જ્યારે કૉલમ અને પંક્તિઓની સંખ્યા સમાન હોય ત્યારે મેટ્રિક્સ ચોરસ હોય છે. મેટ્રિક્સ-વેક્ટર એ એક કૉલમનું મેટ્રિક્સ છે જેમાં પંક્તિઓની અસંખ્ય સંભવિત સંખ્યા છે. એક કર્ણ અને અન્ય શૂન્ય તત્વો સાથેના મેટ્રિક્સને ઓળખ કહેવામાં આવે છે.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ એ એક મેટ્રિક્સ છે જેના દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે મૂળ એક એકમ મેટ્રિક્સમાં ફેરવાય છે.

સમીકરણોની સિસ્ટમને મેટ્રિક્સમાં રૂપાંતરિત કરવાના નિયમો

સમીકરણોની સિસ્ટમોના સંબંધમાં, સમીકરણોના ગુણાંક અને મુક્ત શરતો મેટ્રિક્સ નંબરો તરીકે લખવામાં આવે છે, એક સમીકરણ મેટ્રિક્સની એક પંક્તિ છે.

જો પંક્તિનું ઓછામાં ઓછું એક ઘટક શૂન્ય ન હોય તો મેટ્રિક્સ પંક્તિ બિનશૂન્ય હોવાનું કહેવાય છે. તેથી, જો કોઈપણ સમીકરણોમાં ચલોની સંખ્યા અલગ હોય, તો ગુમ થયેલ અજાણ્યાની જગ્યાએ શૂન્ય દાખલ કરવું જરૂરી છે.

મેટ્રિક્સ કૉલમ ચલોને સખત રીતે અનુરૂપ હોવા જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે ચલ x ના ગુણાંક ફક્ત એક કૉલમમાં લખી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે પ્રથમ, અજાણ્યા y નો ગુણાંક - ફક્ત બીજામાં.

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરતી વખતે, મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો ક્રમિક રીતે સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટેના વિકલ્પો

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટેનું સૂત્ર એકદમ સરળ છે: K -1 = 1 / |K|, જ્યાં K -1 એ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ છે, અને |K| મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક છે. |કે| શૂન્યની બરાબર ન હોવી જોઈએ, તો સિસ્ટમ પાસે ઉકેલ છે.

નિર્ણાયકને બે-બાય-બે મેટ્રિક્સ માટે સરળતાથી ગણવામાં આવે છે, તમારે ફક્ત વિકર્ણ તત્વોને એકબીજા દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. “ત્રણ બાય ત્રણ” વિકલ્પ માટે, એક સૂત્ર છે |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . તમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો, અથવા તમે યાદ રાખી શકો છો કે તમારે દરેક પંક્તિ અને દરેક કૉલમમાંથી એક ઘટક લેવાની જરૂર છે જેથી કરીને કાર્યમાં કૉલમ અને પંક્તિઓની સંખ્યાઓનું પુનરાવર્તન ન થાય.

મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોના ઉદાહરણો ઉકેલવા

સોલ્યુશન શોધવાની મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ તમને મોટી સંખ્યામાં ચલ અને સમીકરણો સાથે સિસ્ટમ ઉકેલતી વખતે બોજારૂપ એન્ટ્રીઓને ઘટાડવાની મંજૂરી આપે છે.

ઉદાહરણમાં, a nm એ સમીકરણોના ગુણાંક છે, મેટ્રિક્સ એ વેક્ટર છે x n ચલ છે, અને b n એ મુક્ત પદો છે.

ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોનું નિરાકરણ

ઉચ્ચ ગણિતમાં, ગૌસિયન પદ્ધતિનો ક્રેમર પદ્ધતિ સાથે અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, અને સિસ્ટમોના ઉકેલો શોધવાની પ્રક્રિયાને ગૌસ-ક્રેમર સોલ્યુશન પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે. આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ મોટી સંખ્યામાં રેખીય સમીકરણો ધરાવતી સિસ્ટમોના ચલોને શોધવા માટે થાય છે.

ગૌસ પદ્ધતિ અવેજી અને બીજગણિત ઉમેરા દ્વારા ઉકેલો જેવી જ છે, પરંતુ વધુ વ્યવસ્થિત છે. શાળાના અભ્યાસક્રમમાં, 3 અને 4 સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે ગૌસીયન પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલનો ઉપયોગ થાય છે. પદ્ધતિનો હેતુ સિસ્ટમને ઊંધી ટ્રેપેઝોઇડના સ્વરૂપમાં ઘટાડવાનો છે. બીજગણિત પરિવર્તન અને અવેજીના માધ્યમથી, એક ચલનું મૂલ્ય સિસ્ટમના સમીકરણોમાંના એકમાં જોવા મળે છે. બીજું સમીકરણ 2 અજ્ઞાત સાથેની અભિવ્યક્તિ છે, જ્યારે 3 અને 4 અનુક્રમે 3 અને 4 ચલ સાથે છે.

સિસ્ટમને વર્ણવેલ સ્વરૂપમાં લાવ્યા પછી, વધુ ઉકેલને સિસ્ટમના સમીકરણોમાં જાણીતા ચલોના અનુક્રમિક અવેજીમાં ઘટાડવામાં આવે છે.

ગ્રેડ 7 માટે શાળાના પાઠ્યપુસ્તકોમાં, ગૌસ પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલનું ઉદાહરણ નીચે પ્રમાણે વર્ણવવામાં આવ્યું છે:

ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, સ્ટેપ (3) પર બે સમીકરણો પ્રાપ્ત થયા: 3x 3 -2x 4 =11 અને 3x 3 +2x 4 =7. કોઈપણ સમીકરણો ઉકેલવાથી તમે એક ચલ x n શોધી શકશો.

પ્રમેય 5, જે ટેક્સ્ટમાં ઉલ્લેખિત છે, તે જણાવે છે કે જો સિસ્ટમના સમીકરણોમાંથી એકને સમકક્ષ દ્વારા બદલવામાં આવે છે, તો પરિણામી સિસ્ટમ પણ મૂળ સમકક્ષ હશે.

ગૌસીયન પદ્ધતિ મધ્યમ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ માટે સમજવી મુશ્કેલ છે, પરંતુ ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રના વર્ગોમાં અદ્યતન શિક્ષણ કાર્યક્રમોમાં નોંધાયેલા બાળકોની ચાતુર્ય વિકસાવવાની તે સૌથી રસપ્રદ રીતો પૈકીની એક છે.

રેકોર્ડીંગની સરળતા માટે, ગણતરીઓ સામાન્ય રીતે નીચે મુજબ કરવામાં આવે છે:

સમીકરણો અને મુક્ત શબ્દોના ગુણાંક મેટ્રિક્સના સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે, જ્યાં મેટ્રિક્સની દરેક પંક્તિ સિસ્ટમના સમીકરણોમાંથી એકને અનુરૂપ હોય છે. સમીકરણની ડાબી બાજુને જમણી બાજુથી અલગ કરે છે. રોમન અંકો સિસ્ટમમાં સમીકરણોની સંખ્યા દર્શાવે છે.

પ્રથમ, જેની સાથે કામ કરવું છે તે મેટ્રિક્સ લખો, પછી બધી ક્રિયાઓ એક પંક્તિ સાથે હાથ ધરવામાં આવે છે. પરિણામી મેટ્રિક્સ "તીર" ચિહ્ન પછી લખવામાં આવે છે અને પરિણામ પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી જરૂરી બીજગણિત કામગીરી ચાલુ રાખવામાં આવે છે.

પરિણામ એક મેટ્રિક્સ હોવું જોઈએ જેમાં એક કર્ણ 1 ની બરાબર હોય, અને અન્ય તમામ ગુણાંક શૂન્ય સમાન હોય, એટલે કે, મેટ્રિક્સને એકમ સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે. આપણે સમીકરણની બંને બાજુએ સંખ્યાઓ સાથે ગણતરી કરવાનું ભૂલવું જોઈએ નહીં.

આ રેકોર્ડિંગ પદ્ધતિ ઓછી બોજારૂપ છે અને તમને અસંખ્ય અજાણ્યાઓને સૂચિબદ્ધ કરીને વિચલિત ન થવા દે છે.

કોઈપણ ઉકેલ પદ્ધતિના મફત ઉપયોગ માટે કાળજી અને કેટલાક અનુભવની જરૂર પડશે. બધી પદ્ધતિઓ લાગુ પ્રકૃતિની નથી. ઉકેલો શોધવાની કેટલીક પદ્ધતિઓ માનવ પ્રવૃત્તિના ચોક્કસ ક્ષેત્રમાં વધુ પ્રાધાન્યક્ષમ છે, જ્યારે અન્ય શૈક્ષણિક હેતુઓ માટે અસ્તિત્વમાં છે.

આ ગાણિતિક પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને, તમે અવેજી પદ્ધતિ અને ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બે ચલ સાથે બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલી શકો છો.

પ્રોગ્રામ માત્ર સમસ્યાનો જવાબ જ આપતો નથી, પરંતુ ઉકેલના પગલાંના સ્પષ્ટીકરણ સાથે બે રીતે વિગતવાર ઉકેલ પણ પૂરો પાડે છે: અવેજી પદ્ધતિ અને ઉમેરણ પદ્ધતિ.

આ પ્રોગ્રામ સામાન્ય શિક્ષણની શાળાઓમાં ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ માટે પરીક્ષણો અને પરીક્ષાઓની તૈયારી કરતી વખતે, યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પહેલાં જ્ઞાનની ચકાસણી કરતી વખતે અને માતા-પિતા માટે ગણિત અને બીજગણિતની ઘણી સમસ્યાઓના ઉકેલને નિયંત્રિત કરવા માટે ઉપયોગી થઈ શકે છે.

અથવા કદાચ તમારા માટે શિક્ષકને ભાડે રાખવું અથવા નવા પાઠ્યપુસ્તકો ખરીદવા તે ખૂબ ખર્ચાળ છે? અથવા શું તમે તમારા ગણિત અથવા બીજગણિતનું હોમવર્ક શક્ય તેટલી ઝડપથી પૂર્ણ કરવા માંગો છો? આ કિસ્સામાં, તમે વિગતવાર ઉકેલો સાથે અમારા પ્રોગ્રામ્સનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો.

આ રીતે, તમે તમારી પોતાની તાલીમ અને/અથવા તમારા નાના ભાઈઓ અથવા બહેનોની તાલીમ લઈ શકો છો, જ્યારે સમસ્યાઓ ઉકેલવાના ક્ષેત્રમાં શિક્ષણનું સ્તર વધે છે.

સમીકરણો દાખલ કરવાના નિયમો
કોઈપણ લેટિન અક્ષર ચલ તરીકે કાર્ય કરી શકે છે.

સમીકરણો દાખલ કરતી વખતે તમે કૌંસનો ઉપયોગ કરી શકો છો. આ કિસ્સામાં, સમીકરણો પ્રથમ સરળ કરવામાં આવે છે.
સરળીકરણ પછીના સમીકરણો રેખીય હોવા જોઈએ, એટલે કે. તત્વોના ક્રમની ચોકસાઈ સાથે ax+by+c=0 ફોર્મનું.

ઉદાહરણ તરીકે: 6x+1 = 5(x+y)+2

સમીકરણોમાં, તમે માત્ર સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ જ નહીં, પણ દશાંશ અને સામાન્ય અપૂર્ણાંકના રૂપમાં અપૂર્ણાંકનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો.
દશાંશ અપૂર્ણાંક દાખલ કરવા માટેના નિયમો.
દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક ભાગોને પીરિયડ અથવા અલ્પવિરામ દ્વારા અલગ કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે: 2.1n + 3.5m = 55
સામાન્ય અપૂર્ણાંક દાખલ કરવા માટેના નિયમો.
માત્ર સંપૂર્ણ સંખ્યા જ અપૂર્ણાંકના અંશ, છેદ અને પૂર્ણાંક ભાગ તરીકે કાર્ય કરી શકે છે.
છેદ નકારાત્મક ન હોઈ શકે. /
સંખ્યાત્મક અપૂર્ણાંક દાખલ કરતી વખતે, અંશને વિભાજન ચિહ્ન દ્વારા છેદથી અલગ કરવામાં આવે છે: &

આખો ભાગ એમ્પરસેન્ડ ચિહ્ન દ્વારા અપૂર્ણાંકથી અલગ થયેલ છે:
ઉદાહરણો.
-1&2/3y + 5/3x = 55

ઉદાહરણ: 6x+1 = 5(x+y)+2
એવું જાણવા મળ્યું હતું કે આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે જરૂરી કેટલીક સ્ક્રિપ્ટો લોડ કરવામાં આવી ન હતી, અને પ્રોગ્રામ કામ કરી શકશે નહીં.
તમે AdBlock સક્ષમ કરેલ હોઈ શકે છે.

તમારા બ્રાઉઝરમાં JavaScript ને કેવી રીતે સક્ષમ કરવું તેની સૂચનાઓ અહીં છે.
કારણ કે સમસ્યા હલ કરવા માટે ઘણા બધા લોકો તૈયાર છે, તમારી વિનંતી કતારમાં છે.
થોડીવારમાં ઉકેલ નીચે દેખાશે. કૃપા કરીને રાહ જુઓ

સેકન્ડ... જો તમેઉકેલમાં ભૂલ નોંધાઈ
, પછી તમે આ વિશે ફીડબેક ફોર્મમાં લખી શકો છો. ભૂલશો નહીંકયું કાર્ય સૂચવે છે તમે શું નક્કી કરો.

ક્ષેત્રોમાં દાખલ કરો

અમારી રમતો, કોયડાઓ, અનુકરણકર્તાઓ:

થોડો સિદ્ધાંત.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી. અવેજી પદ્ધતિ
અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરતી વખતે ક્રિયાઓનો ક્રમ:
1) સિસ્ટમના કેટલાક સમીકરણમાંથી એક ચલને બીજાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરો;

2) પરિણામી અભિવ્યક્તિને આ ચલને બદલે સિસ્ટમના અન્ય સમીકરણમાં બદલો;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(એરે) \જમણે. $$
ચાલો પ્રથમ સમીકરણમાંથી x ની દ્રષ્ટિએ y વ્યક્ત કરીએ: y = 7-3x. અભિવ્યક્તિ 7-3x ને બીજા સમીકરણમાં y ને બદલે બદલીને, અમે સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ:

$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(એરે) \right. $$
તે બતાવવાનું સરળ છે કે પ્રથમ અને બીજી સિસ્ટમમાં સમાન ઉકેલો છે. બીજી સિસ્ટમમાં, બીજા સમીકરણમાં માત્ર એક ચલ છે. ચાલો આ સમીકરણ હલ કરીએ:

$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

જોડી (1;4) - સિસ્ટમનો ઉકેલ

સમાન ઉકેલો ધરાવતા બે ચલોમાં સમીકરણોની સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે સમકક્ષ. સિસ્ટમો કે જેમાં ઉકેલો નથી તે પણ સમકક્ષ ગણવામાં આવે છે.

ઉમેરા દ્વારા રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી

ચાલો રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને હલ કરવાની બીજી રીત પર વિચાર કરીએ - ઉમેરણ પદ્ધતિ. જ્યારે આ રીતે સિસ્ટમોને ઉકેલતી વખતે, તેમજ જ્યારે અવેજી દ્વારા ઉકેલવામાં આવે ત્યારે, અમે આ સિસ્ટમમાંથી બીજી, સમકક્ષ સિસ્ટમમાં જઈએ છીએ, જેમાં એક સમીકરણમાં ફક્ત એક જ ચલ હોય છે.

વધારાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરતી વખતે ક્રિયાઓનો ક્રમ:
1) સિસ્ટમ ટર્મના સમીકરણોને ટર્મ દ્વારા ગુણાકાર કરો, પરિબળો પસંદ કરો જેથી કરીને એક ચલના ગુણાંક વિરુદ્ધ સંખ્યાઓ બની જાય;
2) ટર્મ દ્વારા સિસ્ટમ સમીકરણો શબ્દની ડાબી અને જમણી બાજુઓ ઉમેરો;
3) પરિણામી સમીકરણને એક ચલ સાથે હલ કરો;
4) બીજા ચલનું અનુરૂપ મૂલ્ય શોધો.

ઉદાહરણ. ચાલો સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીએ:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(એરે) \right. $$

આ સિસ્ટમના સમીકરણોમાં, y ના ગુણાંક વિરોધી સંખ્યાઓ છે. ટર્મ દ્વારા સમીકરણો શબ્દની ડાબી અને જમણી બાજુઓ ઉમેરીને, આપણે એક ચલ 3x=33 સાથે સમીકરણ મેળવીએ છીએ. ચાલો સિસ્ટમના સમીકરણોમાંથી એકને બદલીએ, ઉદાહરણ તરીકે પ્રથમ એક, સમીકરણ 3x=33 સાથે. ચાલો સિસ્ટમ મેળવીએ
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(એરે) \right. $$

3x=33 સમીકરણ પરથી આપણે શોધીએ છીએ કે x=11. આ x મૂલ્યને સમીકરણ \(x-3y=38\) માં બદલવાથી આપણને ચલ y: \(11-3y=38\) સાથે સમીકરણ મળે છે. ચાલો આ સમીકરણ હલ કરીએ:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

આમ, અમે સરવાળો દ્વારા સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ શોધી કાઢ્યો: \(x=11; y=-9\) અથવા \((11;-9)\)

એ હકીકતનો લાભ લઈને કે સિસ્ટમના સમીકરણોમાં y ના ગુણાંક વિરોધી સંખ્યાઓ છે, અમે તેના ઉકેલને સમકક્ષ સિસ્ટમના ઉકેલમાં ઘટાડી દીધું છે (મૂળ સિસ્ટમના દરેક સમીકરણોની બંને બાજુઓનો સરવાળો કરીને), જેમાં એક સમીકરણોમાં માત્ર એક ચલ છે.