વહેલા કે પછી, શાળામાં બધા બાળકો અપૂર્ણાંક શીખવાનું શરૂ કરે છે: તેમના ઉમેરા, ભાગાકાર, ગુણાકાર અને અપૂર્ણાંક સાથે કરી શકાય તેવી તમામ સંભવિત કામગીરી. બાળકને યોગ્ય સહાય પૂરી પાડવા માટે, માતાપિતાએ પોતે જ ભૂલવું જોઈએ નહીં કે પૂર્ણાંકોને અપૂર્ણાંકમાં કેવી રીતે વિભાજીત કરવું, અન્યથા તમે તેને કોઈપણ રીતે મદદ કરી શકશો નહીં, પરંતુ ફક્ત તેને મૂંઝવણમાં મૂકશો. જો તમારે આ ક્રિયાને યાદ રાખવાની જરૂર હોય, પરંતુ તમે તમારા માથાની બધી માહિતીને એક નિયમમાં મૂકી શકતા નથી, તો આ લેખ તમને મદદ કરશે: તમે સંખ્યાને અપૂર્ણાંક દ્વારા કેવી રીતે વિભાજીત કરવી તે શીખી શકશો અને સ્પષ્ટ ઉદાહરણો જોશો.
સંખ્યાને અપૂર્ણાંકમાં કેવી રીતે વિભાજીત કરવી
તમારા ઉદાહરણને રફ ડ્રાફ્ટ તરીકે લખો જેથી તમે નોંધો અને ભૂંસી નાખો. યાદ રાખો કે પૂર્ણાંક સંખ્યા કોષો વચ્ચે, તેમના આંતરછેદ પર લખાયેલ છે, અને અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ દરેક તેના પોતાના કોષમાં લખવામાં આવે છે.
- આ પદ્ધતિમાં, તમારે અપૂર્ણાંકને ઊંધું કરવાની જરૂર છે, એટલે કે, છેદને અંશમાં અને અંશને છેદમાં લખો.
- ભાગાકારનું ચિહ્ન ગુણાકારમાં બદલવું આવશ્યક છે.
- હવે તમારે ફક્ત તમે જે નિયમો શીખ્યા છે તે મુજબ ગુણાકાર કરવાનું છે: અંશને પૂર્ણાંક વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, પરંતુ તમે છેદને સ્પર્શતા નથી.
અલબત્ત, આ ક્રિયાના પરિણામે તમે અંશમાં ખૂબ મોટી સંખ્યા સાથે સમાપ્ત થશો. તમે આ સ્થિતિમાં અપૂર્ણાંક છોડી શકતા નથી - શિક્ષક ફક્ત આ જવાબ સ્વીકારશે નહીં. અંશને છેદ વડે ભાગીને અપૂર્ણાંકને ઘટાડવો. પરિણામી પૂર્ણાંકને કોષોની મધ્યમાં અપૂર્ણાંકની ડાબી બાજુએ લખો, અને બાકીનો નવો અંશ હશે. છેદ યથાવત રહે છે.
આ અલ્ગોરિધમ એકદમ સરળ છે, બાળક માટે પણ. તેને પાંચ કે છ વખત પૂર્ણ કર્યા પછી, બાળક પ્રક્રિયા યાદ રાખશે અને તેને કોઈપણ અપૂર્ણાંક પર લાગુ કરી શકશે.
સંખ્યાને દશાંશ વડે કેવી રીતે વિભાજીત કરવી
અપૂર્ણાંકના અન્ય પ્રકારો છે - દશાંશ. તેમનામાં વિભાજન સંપૂર્ણપણે અલગ અલ્ગોરિધમનો અનુસાર થાય છે. જો તમે આવા ઉદાહરણનો સામનો કરો છો, તો પછી સૂચનાઓને અનુસરો:
- પ્રથમ, બંને સંખ્યાઓને દશાંશમાં કન્વર્ટ કરો. આ કરવું સરળ છે: તમારું વિભાજક પહેલાથી જ અપૂર્ણાંકના રૂપમાં પ્રસ્તુત છે, અને તમે દશાંશ અપૂર્ણાંક મેળવીને અલ્પવિરામથી વિભાજિત કુદરતી સંખ્યાને અલગ કરો છો. એટલે કે, જો ડિવિડન્ડ 5 હતું, તો તમને અપૂર્ણાંક 5.0 મળશે. તમારે સંખ્યાને દશાંશ બિંદુ અને વિભાજક પછી જેટલા અંકોથી અલગ કરવાની જરૂર છે.
- આ પછી, તમારે બંને દશાંશ અપૂર્ણાંકને કુદરતી સંખ્યાઓ બનાવવી પડશે. તે શરૂઆતમાં થોડું મૂંઝવણભર્યું લાગે છે, પરંતુ તે વિભાજન કરવાની સૌથી ઝડપી રીત છે અને થોડા પ્રેક્ટિસ સત્રો પછી તમને સેકંડ લેશે. અપૂર્ણાંક 5.0 નંબર 50 બનશે, અપૂર્ણાંક 6.23 623 બનશે.
- વિભાજન કરો. જો સંખ્યાઓ મોટી હોય, અથવા ભાગાકાર શેષ સાથે થશે, તો તેને કૉલમમાં કરો. આ રીતે તમે આ ઉદાહરણની બધી ક્રિયાઓ સ્પષ્ટપણે જોઈ શકો છો. તમારે હેતુસર અલ્પવિરામ મૂકવાની જરૂર નથી, કારણ કે તે લાંબી વિભાજન પ્રક્રિયા દરમિયાન તેની જાતે જ દેખાશે.
આ પ્રકારનું વિભાજન શરૂઆતમાં ખૂબ ગૂંચવણભર્યું લાગે છે, કારણ કે તમારે ડિવિડન્ડ અને વિભાજકને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવવાની જરૂર છે, અને પછી પાછા કુદરતી સંખ્યામાં. પરંતુ ટૂંકી પ્રેક્ટિસ પછી, તમે તરત જ તે સંખ્યાઓ જોવાનું શરૂ કરશો જેને તમારે ફક્ત એકબીજા દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે.
યાદ રાખો કે તેમના દ્વારા અપૂર્ણાંકો અને સંપૂર્ણ સંખ્યાઓને યોગ્ય રીતે વિભાજીત કરવાની ક્ષમતા જીવનમાં ઘણી વખત કામમાં આવી શકે છે, તેથી, બાળકને આ નિયમો અને સરળ સિદ્ધાંતોને સંપૂર્ણ રીતે જાણવાની જરૂર છે જેથી કરીને ઉચ્ચ ગ્રેડમાં તેઓ ઠોકર ન બને. બાળક વધુ જટિલ કાર્યો હલ કરી શકતું નથી.
§ 87. અપૂર્ણાંકનો ઉમેરો.
અપૂર્ણાંક ઉમેરવાથી પૂર્ણ સંખ્યાઓ ઉમેરવામાં ઘણી સમાનતાઓ છે. અપૂર્ણાંકનો ઉમેરો એ એક ક્રિયા છે જેમાં એ હકીકતનો સમાવેશ થાય છે કે ઘણી આપેલ સંખ્યાઓ (પદ) એક સંખ્યા (સરવાળા) માં જોડવામાં આવે છે, જેમાં શરતોના એકમોના તમામ એકમો અને અપૂર્ણાંકો હોય છે.
અમે ક્રમશઃ ત્રણ કેસોને ધ્યાનમાં લઈશું:
1. સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંકનો ઉમેરો.
2. વિવિધ છેદ સાથે અપૂર્ણાંકનો ઉમેરો.
3. મિશ્ર સંખ્યાઓનો ઉમેરો.
1. સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંકનો ઉમેરો.
ઉદાહરણનો વિચાર કરો: 1/5 + 2/5.
ચાલો સેગમેન્ટ AB (ફિગ. 17) લઈએ, તેને એક તરીકે લઈએ અને તેને 5 સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરીએ, તો આ સેગમેન્ટનો ભાગ AC એ સેગમેન્ટ AB ના 1/5 જેટલો થશે, અને સમાન સેગમેન્ટની CDનો ભાગ બરાબર થશે. 2/5 એબી.
ડ્રોઇંગ પરથી જોઈ શકાય છે કે જો આપણે સેગમેન્ટ AD લઈએ, તો તે 3/5 AB ની બરાબર હશે; પરંતુ સેગમેન્ટ AD એ ચોક્કસ રીતે AC અને CD સેગમેન્ટનો સરવાળો છે. તેથી આપણે લખી શકીએ:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
આ શરતો અને પરિણામી રકમને ધ્યાનમાં લેતા, આપણે જોઈએ છીએ કે શરતોના અંશ ઉમેરીને રકમનો અંશ મેળવવામાં આવ્યો હતો, અને છેદ યથાવત રહ્યો હતો.
આમાંથી આપણને નીચેનો નિયમ મળે છે: સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવા માટે, તમારે તેમના અંશ ઉમેરવાની અને સમાન છેદ છોડવાની જરૂર છે.
ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:
2. વિવિધ છેદ સાથે અપૂર્ણાંકનો ઉમેરો.
ચાલો અપૂર્ણાંકો ઉમેરીએ: 3 / 4 + 3 / 8 પ્રથમ તેમને સૌથી નીચા સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડવાની જરૂર છે:
મધ્યવર્તી લિંક 6/8 + 3/8 લખી શકાતી નથી; અમે તેને સ્પષ્ટતા માટે અહીં લખ્યું છે.
આમ, વિવિધ છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવા માટે, તમારે પહેલા તેમને સૌથી નીચા સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડવું જોઈએ, તેમના અંશ ઉમેરવા જોઈએ અને સામાન્ય છેદને લેબલ કરવું જોઈએ.
ચાલો એક ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લઈએ (અમે અનુરૂપ અપૂર્ણાંકોની ઉપર વધારાના પરિબળો લખીશું):
3. મિશ્ર સંખ્યાઓનો ઉમેરો.
ચાલો સંખ્યાઓ ઉમેરીએ: 2 3/8 + 3 5/6.
ચાલો પહેલા આપણી સંખ્યાઓના અપૂર્ણાંક ભાગોને સામાન્ય છેદ પર લાવીએ અને તેમને ફરીથી લખીએ:
હવે આપણે ક્રમશઃ પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક ભાગો ઉમેરીએ છીએ:
§ 88. અપૂર્ણાંકની બાદબાકી.
અપૂર્ણાંકને બાદબાકી કરવી એ પૂર્ણ સંખ્યાઓની બાદબાકી જેવી જ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ એક એવી ક્રિયા છે જેની મદદથી, બે પદ અને તેમાંથી એકનો સરવાળો જોતાં, બીજી પદ મળે છે. ચાલો ક્રમિક ત્રણ કિસ્સાઓ પર વિચાર કરીએ:
1. સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંકને બાદબાકી કરવી.
2. વિવિધ છેદ સાથે અપૂર્ણાંકને બાદબાકી કરવી.
3. મિશ્ર સંખ્યાઓની બાદબાકી.
1. સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંકને બાદબાકી કરવી.
ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:
13 / 15 - 4 / 15
ચાલો સેગમેન્ટ એબી (ફિગ. 18) લઈએ, તેને એકમ તરીકે લઈએ અને તેને 15 સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરીએ; પછી આ સેગમેન્ટનો ભાગ AC એ AB ના 1/15નું પ્રતિનિધિત્વ કરશે અને એ જ સેગમેન્ટનો ભાગ AD 13/15 AB ને અનુરૂપ હશે. ચાલો આપણે 4/15 AB ની બરાબર ED સેગમેન્ટને બાજુ પર રાખીએ.
આપણે અપૂર્ણાંક 4/15 ને 13/15 માંથી બાદ કરવાની જરૂર છે. ડ્રોઇંગમાં, આનો અર્થ એ છે કે સેગમેન્ટ ED એ સેગમેન્ટ AD માંથી બાદબાકી કરવી આવશ્યક છે. પરિણામે, સેગમેન્ટ AE રહેશે, જે સેગમેન્ટ AB નો 9/15 છે. તેથી આપણે લખી શકીએ:
અમે બનાવેલ ઉદાહરણ બતાવે છે કે તફાવતનો અંશ અંશને બાદ કરીને મેળવવામાં આવ્યો હતો, પરંતુ છેદ એક જ રહ્યો.
તેથી, સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંકને બાદ કરવા માટે, તમારે સૂક્ષ્મ અંતના અંશમાંથી સબટ્રાહેન્ડના અંશને બાદબાકી કરવાની જરૂર છે અને તે જ છેદને છોડી દો.
2. વિવિધ છેદ સાથે અપૂર્ણાંકને બાદબાકી કરવી.
ઉદાહરણ. 3/4 - 5/8
પ્રથમ, ચાલો આ અપૂર્ણાંકોને સૌથી નીચા સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડીએ:
મધ્યવર્તી 6/8 - 5/8 અહીં સ્પષ્ટતા માટે લખાયેલ છે, પરંતુ પછીથી છોડી શકાય છે.
આમ, અપૂર્ણાંકમાંથી અપૂર્ણાંકને બાદબાકી કરવા માટે, તમારે પહેલા તેમને સૌથી નીચા સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડવું જોઈએ, પછી મિન્યુએન્ડના અંશમાંથી મિનુએન્ડના અંશને બાદ કરો અને તેમના તફાવત હેઠળ સામાન્ય છેદ પર સહી કરો.
ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:
3. મિશ્ર સંખ્યાઓની બાદબાકી.
ઉદાહરણ. 10 3/4 - 7 2/3.
ચાલો મિન્યુએન્ડના અપૂર્ણાંક ભાગોને ઘટાડીએ અને સૌથી નીચા સામાન્ય છેદમાં સબટ્રાહેન્ડ કરીએ:
અમે સંપૂર્ણમાંથી સંપૂર્ણ અને અપૂર્ણાંકમાંથી અપૂર્ણાંક બાદ કરીએ છીએ. પરંતુ એવા કિસ્સાઓ છે કે જ્યારે સબટ્રાહેન્ડનો અપૂર્ણાંક ભાગ મિનિટના અપૂર્ણાંક ભાગ કરતાં મોટો હોય છે. આવા કિસ્સાઓમાં, તમારે મિન્યુએન્ડના આખા ભાગમાંથી એક એકમ લેવાની જરૂર છે, તેને તે ભાગોમાં વિભાજિત કરો કે જેમાં અપૂર્ણાંક ભાગ વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, અને તેને મિન્યુએન્ડના અપૂર્ણાંક ભાગમાં ઉમેરવાની જરૂર છે. અને પછી બાદબાકી પાછલા ઉદાહરણની જેમ જ કરવામાં આવશે:
§ 89. અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર.
અપૂર્ણાંક ગુણાકારનો અભ્યાસ કરતી વખતે, અમે નીચેના પ્રશ્નોને ધ્યાનમાં લઈશું:
1. અપૂર્ણાંકને પૂર્ણ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવો.
2. આપેલ સંખ્યાનો અપૂર્ણાંક શોધવો.
3. અપૂર્ણાંક દ્વારા પૂર્ણ સંખ્યાનો ગુણાકાર.
4. અપૂર્ણાંકનો અપૂર્ણાંક વડે ગુણાકાર કરવો.
5. મિશ્ર સંખ્યાઓનો ગુણાકાર.
6. રસનો ખ્યાલ.
7. આપેલ સંખ્યાની ટકાવારી શોધવી. ચાલો તેમને ક્રમિક રીતે ધ્યાનમાં લઈએ.
1. અપૂર્ણાંકનો સંપૂર્ણ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવો.
અપૂર્ણાંકને પૂર્ણ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાનો અર્થ પૂર્ણ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવા જેવો જ છે. અપૂર્ણાંક (ગુણાકાર) ને પૂર્ણાંક (પરિબળ) વડે ગુણાકાર કરવાનો અર્થ એ છે કે સમાન પદોનો સરવાળો બનાવવો, જેમાં પ્રત્યેક પદ ગુણાકારની સમાન હોય અને પદોની સંખ્યા ગુણકની સમાન હોય.
આનો અર્થ એ છે કે જો તમારે 1/9 ને 7 વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર હોય, તો તે આ રીતે કરી શકાય છે:
અમે સરળતાથી પરિણામ મેળવી લીધું, કારણ કે ક્રિયા સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવા માટે ઘટાડવામાં આવી હતી. આથી,
આ ક્રિયાની વિચારણા દર્શાવે છે કે અપૂર્ણાંકને પૂર્ણ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવો એ આ અપૂર્ણાંકને પૂર્ણ સંખ્યામાં એકમો હોય તેટલી વખત વધારવા સમાન છે. અને કારણ કે અપૂર્ણાંક વધારવો કાં તો તેના અંશને વધારીને પ્રાપ્ત થાય છે
અથવા તેના છેદને ઘટાડીને 
, તો પછી આપણે અંશને પૂર્ણાંક વડે ગુણાકાર કરી શકીએ અથવા તેના દ્વારા છેદને ભાગી શકીએ, જો આવો ભાગાકાર શક્ય હોય.
અહીંથી અમને નિયમ મળે છે:
અપૂર્ણાંકને પૂર્ણ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવા માટે, તમે અંશને તે પૂર્ણ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરો અને છેદને તે જ છોડી દો, અથવા, જો શક્ય હોય તો, છેદને તે સંખ્યા વડે વિભાજિત કરો, અંશને યથાવત છોડી દો.
ગુણાકાર કરતી વખતે, સંક્ષેપ શક્ય છે, ઉદાહરણ તરીકે:
2. આપેલ સંખ્યાનો અપૂર્ણાંક શોધવો.ત્યાં ઘણી સમસ્યાઓ છે જેમાં તમારે આપેલ સંખ્યાનો ભાગ શોધવા અથવા ગણતરી કરવી પડશે. આ સમસ્યાઓ અને અન્ય વચ્ચેનો તફાવત એ છે કે તેઓ અમુક વસ્તુઓ અથવા માપના એકમોની સંખ્યા આપે છે અને તમારે આ સંખ્યાનો એક ભાગ શોધવાની જરૂર છે, જે અહીં ચોક્કસ અપૂર્ણાંક દ્વારા પણ સૂચવવામાં આવે છે. સમજણની સુવિધા માટે, અમે પ્રથમ આવી સમસ્યાઓના ઉદાહરણો આપીશું, અને પછી તેમને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિ રજૂ કરીશું.
કાર્ય 1.મારી પાસે 60 રુબેલ્સ હતા; મેં આમાંથી 1/3 પૈસા પુસ્તકો ખરીદવા પાછળ ખર્ચ્યા. પુસ્તકોની કિંમત કેટલી હતી?
કાર્ય 2.ટ્રેને A અને B શહેરો વચ્ચે 300 કિમી જેટલું અંતર કાપવું પડશે. તેણે આ અંતરનો 2/3 ભાગ કવર કર્યો છે. આ કેટલા કિલોમીટર છે?
કાર્ય 3.ગામમાં 400 ઘરો છે, જેમાંથી 3/4 ઈંટના છે, બાકીના લાકડાના છે. કુલ કેટલા ઈંટ ઘરો છે?
આપેલ સંખ્યાના ભાગને શોધવામાં સંકળાયેલી આ ઘણી સમસ્યાઓમાંથી કેટલીક છે જેનો આપણે સામનો કરીએ છીએ. આપેલ સંખ્યાના અપૂર્ણાંકને શોધવા માટે તેમને સામાન્ય રીતે સમસ્યાઓ કહેવામાં આવે છે.
સમસ્યાનું સમાધાન 1. 60 ઘસવું થી. મેં પુસ્તકો પર 1/3 ખર્ચ્યા; આનો અર્થ એ છે કે પુસ્તકોની કિંમત શોધવા માટે તમારે સંખ્યા 60 ને 3 વડે વિભાજિત કરવાની જરૂર છે:
સમસ્યાનું નિરાકરણ 2.સમસ્યાનો મુદ્દો એ છે કે તમારે 300 કિમીમાંથી 2/3 શોધવાની જરૂર છે. ચાલો પહેલા 300 ના 1/3 ની ગણતરી કરીએ; આ 300 કિમીને 3 દ્વારા વિભાજિત કરીને પ્રાપ્ત થાય છે:
300: 3 = 100 (તે 300 નો 1/3 છે).
300 ના બે તૃતીયાંશ ભાગ શોધવા માટે, તમારે પરિણામી ભાગને બમણું કરવાની જરૂર છે, એટલે કે, 2 વડે ગુણાકાર કરો:
100 x 2 = 200 (તે 300 નો 2/3 છે).
સમસ્યાનું નિરાકરણ 3.અહીં તમારે 400 માંથી 3/4 બનેલા ઈંટ ઘરોની સંખ્યા નક્કી કરવાની જરૂર છે. ચાલો પહેલા 400 માંથી 1/4 શોધીએ,
400: 4 = 100 (તે 400 નો 1/4 છે).
400 ના ત્રણ ચતુર્થાંશની ગણતરી કરવા માટે, પરિણામી ભાગ ત્રણ ગણો, એટલે કે 3 વડે ગુણાકાર કરવો આવશ્યક છે:
100 x 3 = 300 (તે 400 નો 3/4 છે).
આ સમસ્યાઓના ઉકેલના આધારે, અમે નીચેના નિયમ મેળવી શકીએ છીએ:
આપેલ સંખ્યામાંથી અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય શોધવા માટે, તમારે આ સંખ્યાને અપૂર્ણાંકના છેદ દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે અને પરિણામી ભાગને તેના અંશ દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.
3. અપૂર્ણાંક દ્વારા પૂર્ણ સંખ્યાનો ગુણાકાર.
અગાઉ (§ 26) તે સ્થાપિત કરવામાં આવ્યું હતું કે પૂર્ણાંકોના ગુણાકારને સમાન શબ્દોના ઉમેરા તરીકે સમજવું જોઈએ (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). આ ફકરામાં (બિંદુ 1) તે સ્થાપિત કરવામાં આવ્યું હતું કે અપૂર્ણાંકને પૂર્ણાંક વડે ગુણાકાર કરવાનો અર્થ એ છે કે આ અપૂર્ણાંકની સમાન સમાન શરતોનો સરવાળો શોધવો.
બંને કિસ્સાઓમાં, ગુણાકારમાં સમાન શબ્દોનો સરવાળો શોધવાનો સમાવેશ થાય છે.
હવે આપણે પૂર્ણ સંખ્યાને અપૂર્ણાંક વડે ગુણાકાર કરવા આગળ વધીએ છીએ. અહીં આપણે સામનો કરીશું, ઉદાહરણ તરીકે, ગુણાકાર: 9 2 / 3. તે સ્પષ્ટ છે કે ગુણાકારની અગાઉની વ્યાખ્યા આ કિસ્સામાં લાગુ પડતી નથી. આ એ હકીકત પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે આપણે સમાન સંખ્યાઓ ઉમેરીને આવા ગુણાકારને બદલી શકતા નથી.
આ કારણે, આપણે ગુણાકારની નવી વ્યાખ્યા આપવી પડશે, એટલે કે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અપૂર્ણાંક દ્વારા ગુણાકાર દ્વારા શું સમજવું જોઈએ, આ ક્રિયા કેવી રીતે સમજવી જોઈએ તે પ્રશ્નનો જવાબ આપો.
પૂર્ણ સંખ્યાને અપૂર્ણાંક વડે ગુણાકાર કરવાનો અર્થ નીચેની વ્યાખ્યા પરથી સ્પષ્ટ થાય છે: પૂર્ણાંક (ગુણાકાર) ને અપૂર્ણાંક (ગુણાકાર) વડે ગુણાકાર કરવાનો અર્થ છે ગુણાકારનો આ અપૂર્ણાંક શોધવો.
જેમ કે, 9 ને 2/3 વડે ગુણાકાર કરવો એટલે નવ એકમોમાંથી 2/3 શોધવા. અગાઉના ફકરામાં, આવી સમસ્યાઓ હલ કરવામાં આવી હતી; તેથી તે સમજવું સરળ છે કે આપણે 6 સાથે સમાપ્ત થઈશું.
પરંતુ હવે એક રસપ્રદ અને મહત્વપૂર્ણ પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: સમાન સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધવા અને સંખ્યાના અપૂર્ણાંકને શોધવા જેવી દેખીતી રીતે જુદી જુદી ક્રિયાઓ શા માટે છે, જેને અંકગણિતમાં સમાન શબ્દ "ગુણાકાર" દ્વારા કહેવામાં આવે છે?
આવું એટલા માટે થાય છે કારણ કે અગાઉની ક્રિયા (સંખ્યાને ઘણી વખત શબ્દો સાથે પુનરાવર્તિત કરવી) અને નવી ક્રિયા (સંખ્યાનો અપૂર્ણાંક શોધવી) સમાન પ્રશ્નોના જવાબો આપે છે. આનો અર્થ એ છે કે આપણે અહીં એ વિચારણાઓથી આગળ વધીએ છીએ કે સમાન ક્રિયા દ્વારા સમાન પ્રશ્નો અથવા કાર્યોનું નિરાકરણ કરવામાં આવે છે.
આ સમજવા માટે, નીચેની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લો: “1 મીટર કાપડની કિંમત 50 રુબેલ્સ છે. આવા 4 મીટર કાપડની કિંમત કેટલી હશે?
આ સમસ્યા રુબેલ્સ (50) ની સંખ્યાને મીટર (4) ની સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરીને ઉકેલવામાં આવે છે, એટલે કે 50 x 4 = 200 (રુબેલ્સ).
ચાલો એ જ સમસ્યા લઈએ, પરંતુ તેમાં કાપડનો જથ્થો અપૂર્ણાંક તરીકે દર્શાવવામાં આવશે: “1 મીટર કાપડની કિંમત 50 રુબેલ્સ છે. આવા 3/4 મીટર કાપડની કિંમત કેટલી હશે?"
આ સમસ્યાને રુબેલ્સ (50) ની સંખ્યાને મીટર (3/4) ની સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરીને પણ હલ કરવાની જરૂર છે.
તમે સમસ્યાનો અર્થ બદલ્યા વિના, તેમાં સંખ્યાઓ ઘણી વખત બદલી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, 9/10 એમ અથવા 2 3/10 એમ લો, વગેરે.
કારણ કે આ સમસ્યાઓ સમાન સામગ્રી ધરાવે છે અને માત્ર સંખ્યામાં જ ભિન્ન છે, તેથી અમે તેમને ઉકેલવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતી ક્રિયાઓને સમાન શબ્દ કહીએ છીએ - ગુણાકાર.
તમે પૂર્ણ સંખ્યાને અપૂર્ણાંક દ્વારા કેવી રીતે ગુણાકાર કરશો?
ચાલો છેલ્લી સમસ્યામાં મળેલી સંખ્યાઓ લઈએ:
વ્યાખ્યા મુજબ, આપણે 50 નો 3/4 શોધવો જોઈએ. ચાલો પહેલા 50 નો 1/4 અને પછી 3/4 શોધીએ.
50 નો 1/4 50/4 છે;
સંખ્યા 50 નો 3/4 છે.
આથી.
ચાલો બીજા ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ: 12 5 / 8 =?
નંબર 12 નો 1/8 12/8 છે,
નંબર 12 નો 5/8 છે.
આથી,
અહીંથી અમને નિયમ મળે છે:
સંપૂર્ણ સંખ્યાને અપૂર્ણાંક વડે ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે અપૂર્ણાંકના અંશ વડે સંપૂર્ણ સંખ્યાનો ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે અને આ ઉત્પાદનને અંશ બનાવવો પડશે, અને આ અપૂર્ણાંકના છેદને છેદ તરીકે સહી કરવી પડશે.
ચાલો અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને આ નિયમ લખીએ:
આ નિયમને સંપૂર્ણપણે સ્પષ્ટ કરવા માટે, તે યાદ રાખવું જોઈએ કે અપૂર્ણાંકને એક ભાગ તરીકે ગણી શકાય. તેથી, § 38 માં સુયોજિત થયેલ સંખ્યાને એક ભાગ દ્વારા ગુણાકાર કરવાના નિયમ સાથે મળેલ નિયમની તુલના કરવી ઉપયોગી છે.
તે યાદ રાખવું અગત્યનું છે કે ગુણાકાર કરતા પહેલા, તમારે કરવું જોઈએ (જો શક્ય હોય તો) ઘટાડો, ઉદાહરણ તરીકે:
4. અપૂર્ણાંકને અપૂર્ણાંક વડે ગુણાકાર કરવો.અપૂર્ણાંકને અપૂર્ણાંક વડે ગુણાકાર કરવાનો અર્થ પૂર્ણ સંખ્યાને અપૂર્ણાંક વડે ગુણાકાર કરવા જેટલો જ છે, એટલે કે, અપૂર્ણાંકને અપૂર્ણાંક વડે ગુણાકાર કરતી વખતે, તમારે પ્રથમ અપૂર્ણાંક (ગુણાકાર) માંથી અવયવમાં રહેલા અપૂર્ણાંકને શોધવાની જરૂર છે.
જેમ કે, 3/4 ને 1/2 (અડધો) વડે ગુણાકાર કરવો એટલે 3/4 નો અડધો ભાગ શોધવો.
તમે અપૂર્ણાંકને અપૂર્ણાંક દ્વારા કેવી રીતે ગુણાકાર કરશો?
ચાલો એક ઉદાહરણ લઈએ: 3/4 ને 5/7 વડે ગુણાકાર. આનો અર્થ એ છે કે તમારે 3/4 માંથી 5/7 શોધવાની જરૂર છે. ચાલો પહેલા 3/4 નો 1/7, અને પછી 5/7 શોધીએ
નંબર 3/4 નો 1/7 નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરવામાં આવશે:
5/7 નંબરો 3/4 નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરવામાં આવશે:
આમ,
બીજું ઉદાહરણ: 5/8 ને 4/9 વડે ગુણાકાર.
5/8 ના 1/9 છે,
નંબર 5/8 નો 4/9 છે.
આમ, 
આ ઉદાહરણો પરથી નીચેનો નિયમ જાણી શકાય છે:
અપૂર્ણાંકને અપૂર્ણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે અંશને અંશ દ્વારા અને છેદને છેદ દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, અને પ્રથમ ઉત્પાદનને અંશ અને બીજા ઉત્પાદનને ઉત્પાદનનો છેદ બનાવવાની જરૂર છે.
આ નિયમ સામાન્ય સ્વરૂપમાં નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:
ગુણાકાર કરતી વખતે, (જો શક્ય હોય તો) ઘટાડો કરવો જરૂરી છે. ચાલો ઉદાહરણો જોઈએ:
5. મિશ્ર સંખ્યાઓનો ગુણાકાર.મિશ્ર સંખ્યાઓ સરળતાથી અયોગ્ય અપૂર્ણાંકો દ્વારા બદલી શકાય છે, આ સંજોગો સામાન્ય રીતે મિશ્રિત સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરતી વખતે વપરાય છે. આનો અર્થ એ છે કે એવા કિસ્સાઓમાં કે જ્યાં ગુણાકાર, અથવા ગુણક, અથવા બંને પરિબળો મિશ્ર સંખ્યાઓ તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, તે અયોગ્ય અપૂર્ણાંકો દ્વારા બદલવામાં આવે છે. ચાલો ગુણાકાર કરીએ, ઉદાહરણ તરીકે, મિશ્ર સંખ્યાઓ: 2 1/2 અને 3 1/5. ચાલો તેમાંથી દરેકને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં ફેરવીએ અને પછી અપૂર્ણાંકને અપૂર્ણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવાના નિયમ અનુસાર પરિણામી અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કરીએ:
નિયમ.મિશ્રિત સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે પહેલા તેમને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવું જોઈએ અને પછી અપૂર્ણાંકને અપૂર્ણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવાના નિયમ અનુસાર તેમને ગુણાકાર કરવો જોઈએ.
નોંધ.જો એક પરિબળ પૂર્ણાંક છે, તો પછી ગુણાકાર નીચે પ્રમાણે વિતરણ કાયદાના આધારે કરી શકાય છે:
6. રસનો ખ્યાલ.સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે અને વિવિધ વ્યવહારુ ગણતરીઓ કરતી વખતે, અમે તમામ પ્રકારના અપૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પરંતુ તે ધ્યાનમાં રાખવું આવશ્યક છે કે ઘણા જથ્થાઓ તેમના માટે માત્ર કોઈને નહીં, પરંતુ કુદરતી વિભાજનને મંજૂરી આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમે રૂબલનો સોમો ભાગ (1/100) લઈ શકો છો, તે કોપેક હશે, બે સોમો ભાગ 2 કોપેક છે, ત્રણ સોમો ભાગ 3 કોપેક છે. તમે રૂબલનો 1/10 લઈ શકો છો, તે "10 કોપેક અથવા દસ-કોપેકનો ટુકડો હશે. તમે રૂબલનો એક ક્વાર્ટર, એટલે કે 25 કોપેક, અડધો રૂબલ, એટલે કે 50 કોપેક્સ (પચાસ કોપેક) લઈ શકો છો. પરંતુ તેઓ વ્યવહારીક રીતે તેને લેતા નથી, ઉદાહરણ તરીકે, રૂબલનો 2/7 કારણ કે રૂબલ સાતમા ભાગમાં વહેંચાયેલું નથી.
વજનનું એકમ, એટલે કે કિલોગ્રામ, મુખ્યત્વે દશાંશ વિભાજન માટે પરવાનગી આપે છે, ઉદાહરણ તરીકે 1/10 કિગ્રા, અથવા 100 ગ્રામ અને 1/6, 1/11, 1/13 જેવા કિલોગ્રામના અપૂર્ણાંક સામાન્ય નથી.
સામાન્ય રીતે, અમારા (મેટ્રિક) માપ દશાંશ હોય છે અને દશાંશ વિભાજનને મંજૂરી આપે છે.
જો કે, એ નોંધવું જોઈએ કે જથ્થાના પેટાવિભાજનની સમાન (સમાન) પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવા માટે વિવિધ કેસોમાં તે અત્યંત ઉપયોગી અને અનુકૂળ છે. ઘણા વર્ષોના અનુભવે બતાવ્યું છે કે આવો યોગ્ય રીતે વાજબી વિભાગ એ "સોમો" વિભાગ છે. ચાલો આપણે માનવ પ્રેક્ટિસના સૌથી વધુ વૈવિધ્યસભર ક્ષેત્રોને લગતા કેટલાક ઉદાહરણોનો વિચાર કરીએ.
1. પુસ્તકોની કિંમતમાં અગાઉના ભાવ કરતાં 12/100નો ઘટાડો થયો છે.
ઉદાહરણ. પુસ્તકની અગાઉની કિંમત 10 રુબેલ્સ હતી. તેમાં 1 રૂબલનો ઘટાડો થયો છે. 20 કોપેક્સ
2. બચત બેંકો થાપણદારોને વર્ષ દરમિયાન બચત માટે જમા કરાયેલી રકમના 2/100 ચુકવે છે.
ઉદાહરણ. રોકડ રજિસ્ટરમાં 500 રુબેલ્સ જમા કરવામાં આવે છે, વર્ષ માટે આ રકમમાંથી આવક 10 રુબેલ્સ છે.
3. એક શાળામાંથી સ્નાતકોની સંખ્યા કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાના 5/100 હતી.
ઉદાહરણ શાળામાં માત્ર 1,200 વિદ્યાર્થીઓ હતા, જેમાંથી 60 સ્નાતક થયા.
સંખ્યાના સોમા ભાગને ટકાવારી કહેવાય છે.
"ટકા" શબ્દ લેટિનમાંથી લેવામાં આવ્યો છે અને તેના મૂળ "સેન્ટ" નો અર્થ સો થાય છે. પૂર્વનિર્ધારણ (પ્રો સેન્ટમ) સાથે આ શબ્દનો અર્થ થાય છે "સો માટે." આ અભિવ્યક્તિનો અર્થ એ હકીકત પરથી થાય છે કે પ્રાચીન રોમમાં શરૂઆતમાં વ્યાજ એ પૈસાને આપવામાં આવતું નામ હતું જે દેવાદારે ધિરાણકર્તાને "દર સો માટે" ચૂકવ્યું હતું. "સેન્ટ" શબ્દ આવા પરિચિત શબ્દોમાં સાંભળવામાં આવે છે: સેન્ટનર (એકસો કિલોગ્રામ), સેન્ટિમીટર (કહો સેન્ટિમીટર).
ઉદાહરણ તરીકે, પાછલા મહિનામાં પ્લાન્ટે તેના દ્વારા ઉત્પાદિત તમામ ઉત્પાદનોમાંથી 1/100 ઉત્પાદન ખામીયુક્ત હોવાનું કહેવાને બદલે, અમે આ કહીશું: પાછલા મહિનામાં પ્લાન્ટમાં એક ટકા ખામીઓ પેદા થઈ છે. કહેવાને બદલે: પ્લાન્ટે સ્થાપિત યોજના કરતાં 4/100 વધુ ઉત્પાદનોનું ઉત્પાદન કર્યું, અમે કહીશું: પ્લાન્ટે યોજનાને 4 ટકા વટાવી દીધી છે.
ઉપરોક્ત ઉદાહરણો અલગ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે:
1. પુસ્તકોની કિંમતમાં અગાઉના ભાવ કરતાં 12 ટકાનો ઘટાડો થયો છે.
2. બચત બેંકો થાપણદારોને બચતમાં જમા રકમ પર દર વર્ષે 2 ટકા ચૂકવે છે.
3. એક શાળામાંથી સ્નાતકોની સંખ્યા તમામ શાળાના વિદ્યાર્થીઓના 5 ટકા હતી.
અક્ષરને ટૂંકો કરવા માટે, "ટકા" શબ્દને બદલે % ચિહ્ન લખવાનો રિવાજ છે.
જો કે, તમારે યાદ રાખવાની જરૂર છે કે ગણતરીમાં % ચિહ્ન સામાન્ય રીતે લખવામાં આવતું નથી તે સમસ્યા નિવેદનમાં અને અંતિમ પરિણામમાં લખી શકાય છે. ગણતરીઓ કરતી વખતે, તમારે આ પ્રતીક સાથે પૂર્ણ સંખ્યાને બદલે 100 ના છેદ સાથે અપૂર્ણાંક લખવાની જરૂર છે.
તમારે 100 ના છેદ સાથેના અપૂર્ણાંક સાથે સૂચવેલ આયકન સાથે પૂર્ણાંકને બદલવા માટે સક્ષમ બનવાની જરૂર છે:
તેનાથી વિપરિત, તમારે 100 ના છેદ સાથે અપૂર્ણાંકને બદલે સૂચવેલ પ્રતીક સાથે પૂર્ણાંક લખવાની ટેવ પાડવી પડશે:
7. આપેલ સંખ્યાની ટકાવારી શોધવી.
કાર્ય 1.શાળાને 200 ઘન મીટર પ્રાપ્ત થયું. મીટર ફાયરવુડ, જેમાં બિર્ચ ફાયરવુડનો હિસ્સો 30% છે. ત્યાં કેટલું બર્ચ લાકડું હતું?
આ સમસ્યાનો અર્થ એ છે કે બર્ચ ફાયરવુડ એ લાકડાનો માત્ર એક ભાગ બનાવે છે જે શાળામાં પહોંચાડવામાં આવ્યો હતો, અને આ ભાગ અપૂર્ણાંક 30/100 માં દર્શાવવામાં આવ્યો છે. આનો અર્થ એ છે કે સંખ્યાના અપૂર્ણાંકને શોધવાનું અમારી પાસે કાર્ય છે. તેને ઉકેલવા માટે, આપણે 200 ને 30/100 વડે ગુણાકાર કરવો જોઈએ (સંખ્યાના અપૂર્ણાંકને શોધવાની સમસ્યાઓ અપૂર્ણાંક દ્વારા સંખ્યાને ગુણાકાર કરવાથી હલ થાય છે.).
આનો અર્થ એ છે કે 200 માંથી 30% 60 બરાબર છે.
આ સમસ્યામાં જે અપૂર્ણાંક 30/100 નો સામનો કરવો પડ્યો હતો તે 10 થી ઘટાડી શકાય છે. આ ઘટાડો શરૂઆતથી જ કરવો શક્ય બનશે; સમસ્યાનો ઉકેલ બદલાયો ન હોત.
કાર્ય 2.કેમ્પમાં વિવિધ વયના 300 બાળકોએ ભાગ લીધો હતો. 11 વર્ષના બાળકો 21%, 12 વર્ષના બાળકો 61% અને છેલ્લે 13 વર્ષના બાળકો 18% બને છે. શિબિરમાં દરેક વયના કેટલા બાળકો હતા?
આ સમસ્યામાં તમારે ત્રણ ગણતરીઓ કરવાની જરૂર છે, એટલે કે ક્રમિક રીતે 11 વર્ષનાં, પછી 12 વર્ષનાં અને છેલ્લે 13 વર્ષના બાળકોની સંખ્યા શોધો.
આનો અર્થ એ છે કે અહીં તમારે સંખ્યાના અપૂર્ણાંકને ત્રણ વખત શોધવાની જરૂર પડશે. ચાલો આ કરીએ:
1) 11 વર્ષના કેટલા બાળકો હતા?
2) 12 વર્ષના કેટલા બાળકો હતા?
3) 13 વર્ષના કેટલા બાળકો હતા?
સમસ્યા હલ કર્યા પછી, મળેલી સંખ્યાઓ ઉમેરવા માટે તે ઉપયોગી છે; તેમનો સરવાળો 300 હોવો જોઈએ:
63 + 183 + 54 = 300
એ પણ નોંધવું જોઈએ કે સમસ્યા નિવેદનમાં આપેલ ટકાવારીઓનો સરવાળો 100 છે:
21% + 61% + 18% = 100%
આ સૂચવે છે કે શિબિરમાં બાળકોની કુલ સંખ્યા 100% તરીકે લેવામાં આવી હતી.
3 a d a h a 3.કાર્યકરને દર મહિને 1,200 રુબેલ્સ મળ્યા. તેમાંથી, તેણે 65% ખોરાક પર, 6% એપાર્ટમેન્ટ્સ અને હીટિંગ પર, 4% ગેસ, વીજળી અને રેડિયો પર, 10% સાંસ્કૃતિક જરૂરિયાતો પર અને 15% બચત પર ખર્ચ્યા. સમસ્યામાં દર્શાવેલ જરૂરિયાતો પર કેટલા પૈસા ખર્ચવામાં આવ્યા?
આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે તમારે 1,200 5 વખતનો અપૂર્ણાંક શોધવાની જરૂર છે.
1) ખોરાક પાછળ કેટલા પૈસા ખર્ચાયા? સમસ્યા કહે છે કે આ ખર્ચ કુલ કમાણીનો 65% છે, એટલે કે 1,200ની સંખ્યાના 65/100, ચાલો ગણતરી કરીએ:
2) તમે હીટિંગવાળા એપાર્ટમેન્ટ માટે કેટલા પૈસા ચૂકવ્યા? પાછલા એકની જેમ જ તર્ક આપતા, અમે નીચેની ગણતરી પર પહોંચીએ છીએ:
3) તમે ગેસ, વીજળી અને રેડિયો માટે કેટલા પૈસા ચૂકવ્યા?
4) સાંસ્કૃતિક જરૂરિયાતો માટે કેટલા પૈસા ખર્ચવામાં આવ્યા હતા?
5) કામદારે કેટલા પૈસા બચાવ્યા?
ચકાસવા માટે, આ 5 પ્રશ્નોમાં મળેલ સંખ્યાઓનો ઉમેરો કરવો ઉપયોગી છે. રકમ 1,200 રુબેલ્સ હોવી જોઈએ. બધી કમાણી 100% તરીકે લેવામાં આવે છે, જે સમસ્યા નિવેદનમાં આપેલ ટકાવારી સંખ્યાઓ ઉમેરીને તપાસવી સરળ છે.
અમે ત્રણ સમસ્યાઓ હલ કરી. હકીકત એ છે કે આ સમસ્યાઓ વિવિધ વસ્તુઓ (શાળા માટે લાકડાની ડિલિવરી, વિવિધ ઉંમરના બાળકોની સંખ્યા, કામદારોના ખર્ચ) સાથે વ્યવહાર કરતી હોવા છતાં, તે જ રીતે હલ કરવામાં આવી હતી. આવું થયું કારણ કે બધી સમસ્યાઓમાં આપેલ સંખ્યાના કેટલાંક ટકા શોધવા જરૂરી હતા.
§ 90. અપૂર્ણાંકનું વિભાજન.
જેમ જેમ આપણે અપૂર્ણાંકના વિભાજનનો અભ્યાસ કરીએ છીએ તેમ, આપણે નીચેના પ્રશ્નો પર વિચાર કરીશું:
1. પૂર્ણાંકને પૂર્ણાંક વડે વિભાજીત કરો.
2. અપૂર્ણાંકને પૂર્ણ સંખ્યા વડે ભાગવું
3. પૂર્ણ સંખ્યાને અપૂર્ણાંક વડે ભાગવું.
4. અપૂર્ણાંકને અપૂર્ણાંક દ્વારા વિભાજિત કરવું.
5. મિશ્ર સંખ્યાઓનું વિભાજન.
6. તેના આપેલ અપૂર્ણાંકમાંથી સંખ્યા શોધવી.
7. સંખ્યાને તેની ટકાવારી દ્વારા શોધવી.
ચાલો તેમને ક્રમિક રીતે ધ્યાનમાં લઈએ.
1. પૂર્ણાંકને પૂર્ણાંક વડે વિભાજીત કરો.
જેમ કે પૂર્ણાંક વિભાગમાં સૂચવવામાં આવ્યું હતું, વિભાજન એ એવી ક્રિયા છે જેમાં એ હકીકતનો સમાવેશ થાય છે કે, બે પરિબળો (ડિવિડન્ડ) અને આમાંના એક પરિબળ (વિભાજક) ના ઉત્પાદનને જોતાં, અન્ય પરિબળ જોવા મળે છે.
અમે પૂર્ણાંક પરના વિભાગમાં પૂર્ણાંકને પૂર્ણાંક વડે વિભાજિત કરવાનું જોયું. અમારે ત્યાં વિભાજનના બે કિસ્સાઓ આવ્યા: શેષ વિનાનું વિભાજન, અથવા "સંપૂર્ણપણે" (150: 10 = 15), અને શેષ સાથે વિભાજન (100: 9 = 11 અને 1 શેષ). તેથી આપણે કહી શકીએ કે પૂર્ણાંકોના ક્ષેત્રમાં, ચોક્કસ ભાગાકાર હંમેશા શક્ય નથી, કારણ કે ડિવિડન્ડ હંમેશા પૂર્ણાંક દ્વારા વિભાજકનું ઉત્પાદન નથી. અપૂર્ણાંક દ્વારા ગુણાકારની રજૂઆત કર્યા પછી, આપણે પૂર્ણાંકોના વિભાજનના કોઈપણ કેસને શક્ય તેટલું ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ (માત્ર શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર બાકાત છે).
ઉદાહરણ તરીકે, 7 ને 12 વડે ભાગવાનો અર્થ એ છે કે એવી સંખ્યા શોધવી કે જેનો ગુણાંક 12 વડે 7 ની બરાબર હશે. આવી સંખ્યા અપૂર્ણાંક 7/12 છે કારણ કે 7/12 12 = 7. બીજું ઉદાહરણ: 14: 25 = 14 / 25, કારણ કે 14 / 25 25 = 14.
આમ, પૂર્ણ સંખ્યાને પૂર્ણ સંખ્યા વડે ભાગવા માટે, તમારે એક અપૂર્ણાંક બનાવવાની જરૂર છે જેનો અંશ ડિવિડન્ડ સમાન હોય અને છેદ વિભાજક સમાન હોય.
2. અપૂર્ણાંકને પૂર્ણ સંખ્યા વડે ભાગવું.
અપૂર્ણાંક 6/7 ને 3 વડે વિભાજિત કરો. ઉપર આપેલ વિભાજનની વ્યાખ્યા મુજબ, આપણી પાસે અહીં ગુણાંક (6/7) અને એક પરિબળ (3) છે; બીજું પરિબળ શોધવાની જરૂર છે કે, જ્યારે 3 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે, ત્યારે આપેલ ઉત્પાદનને 6/7 મળે. દેખીતી રીતે, તે આ ઉત્પાદન કરતાં ત્રણ ગણું નાનું હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે અમારી સમક્ષ જે કાર્ય સેટ કરવામાં આવ્યું હતું તે અપૂર્ણાંક 6/7 ને 3 વખત ઘટાડવાનું હતું.
આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ કે અપૂર્ણાંકને ઘટાડવા તેના અંશને ઘટાડીને અથવા તેના છેદને વધારીને કરી શકાય છે. તેથી તમે લખી શકો છો:
આ કિસ્સામાં, અંશ 6 એ 3 વડે વિભાજ્ય છે, તેથી અંશ 3 ગણો ઘટાડવો જોઈએ.
ચાલો બીજું ઉદાહરણ લઈએ: 5/8 ભાગ્યા 2. અહીં અંશ 5 એ 2 વડે વિભાજ્ય નથી, જેનો અર્થ છે કે છેદને આ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવો પડશે:
તેના આધારે, એક નિયમ બનાવી શકાય છે: અપૂર્ણાંકને પૂર્ણ સંખ્યા વડે ભાગવા માટે, તમારે અપૂર્ણાંકના અંશને તે પૂર્ણ સંખ્યા વડે ભાગવાની જરૂર છે.(જો શક્ય હોય તો), સમાન છેદ છોડીને, અથવા અપૂર્ણાંકના છેદને આ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરો, સમાન અંશ છોડીને.
3. પૂર્ણ સંખ્યાને અપૂર્ણાંક વડે ભાગવું.
5 ને 1/2 વડે ભાગવું જરૂરી છે, એટલે કે, એવી સંખ્યા શોધો કે જે 1/2 વડે ગુણાકાર કર્યા પછી, ગુણાંક 5 આપશે. દેખીતી રીતે, આ સંખ્યા 5 કરતા વધારે હોવી જોઈએ, કારણ કે 1/2 એ યોગ્ય અપૂર્ણાંક છે. , અને જ્યારે કોઈ સંખ્યાનો ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે યોગ્ય અપૂર્ણાંકનું ઉત્પાદન ગુણાકાર કરવામાં આવતા ઉત્પાદન કરતા ઓછું હોવું જોઈએ. આને સ્પષ્ટ કરવા માટે, ચાલો આપણી ક્રિયાઓ નીચે પ્રમાણે લખીએ: 5: 1 / 2 = એક્સ , જેનો અર્થ x 1 / 2 = 5 છે.
આપણે આવી સંખ્યા શોધવી જોઈએ એક્સ , જેને 1/2 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે તો 5 મળશે. કારણ કે ચોક્કસ સંખ્યાને 1/2 વડે ગુણાકાર કરવાનો અર્થ આ સંખ્યાનો 1/2 શોધવાનો છે, તો, તેથી, અજાણી સંખ્યાનો 1/2 એક્સ 5 બરાબર છે, અને સંપૂર્ણ સંખ્યા એક્સ બમણું, એટલે કે 5 2 = 10.
તેથી 5: 1 / 2 = 5 2 = 10
ચાલો તપાસીએ: 
ચાલો બીજું ઉદાહરણ જોઈએ. ધારો કે તમે 6 ને 2/3 વડે ભાગવા માંગો છો. ચાલો પહેલા ડ્રોઇંગનો ઉપયોગ કરીને ઇચ્છિત પરિણામ શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ (ફિગ. 19).
ફિગ.19
ચાલો આપણે 6 એકમ સમાન AB ખંડ દોરીએ અને દરેક એકમને 3 સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરીએ. દરેક એકમમાં, સમગ્ર સેગમેન્ટ AB નો ત્રણ તૃતીયાંશ (3/3) 6 ગણો મોટો છે, એટલે કે. ઇ. 18/3. નાના કૌંસનો ઉપયોગ કરીને, અમે 2 ના 18 પરિણામી સેગમેન્ટ્સને જોડીએ છીએ; માત્ર 9 સેગમેન્ટ હશે. આનો અર્થ એ છે કે અપૂર્ણાંક 2/3 એ 6 એકમોમાં 9 વખત સમાયેલ છે, અથવા, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અપૂર્ણાંક 2/3 એ 6 સંપૂર્ણ એકમો કરતાં 9 ગણો ઓછો છે. આથી,
એકલા ગણતરીઓનો ઉપયોગ કરીને ડ્રોઇંગ વિના આ પરિણામ કેવી રીતે મેળવવું? ચાલો આના જેવું કારણ કરીએ: આપણે 6 ને 2/3 વડે ભાગવાની જરૂર છે, એટલે કે આપણે એ પ્રશ્નનો જવાબ આપવાની જરૂર છે કે 6 માં 2/3 કેટલી વાર સમાયેલ છે. ચાલો પહેલા શોધીએ: 6 માં 1/3 કેટલી વાર સમાયેલ છે? સંપૂર્ણ એકમમાં 3 તૃતીયાંશ છે, અને 6 એકમોમાં 6 ગણા વધુ છે, એટલે કે 18 તૃતીયાંશ; આ સંખ્યા શોધવા માટે આપણે 6 ને 3 વડે ગુણાકાર કરવો જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે 1/3 b એકમોમાં 18 વખત સમાયેલ છે, અને 2/3 b એકમોમાં 18 વખત નહીં, પરંતુ અડધી વખત સમાયેલ છે, એટલે કે 18: 2 = 9 તેથી, 6 ને 2/3 વડે વિભાજિત કરતી વખતે અમે નીચે મુજબ કર્યું:
અહીંથી આપણને પૂર્ણ સંખ્યાને અપૂર્ણાંક વડે ભાગવાનો નિયમ મળે છે. સંપૂર્ણ સંખ્યાને અપૂર્ણાંક દ્વારા વિભાજીત કરવા માટે, તમારે આ સંપૂર્ણ સંખ્યાને આપેલ અપૂર્ણાંકના છેદ દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે અને, આ ઉત્પાદનને અંશ બનાવીને, આપેલ અપૂર્ણાંકના અંશ દ્વારા ભાગાકાર કરવાની જરૂર છે.
ચાલો અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને નિયમ લખીએ:
આ નિયમને સંપૂર્ણપણે સ્પષ્ટ કરવા માટે, તે યાદ રાખવું જોઈએ કે અપૂર્ણાંકને એક ભાગ તરીકે ગણી શકાય. તેથી, સંખ્યાને ભાગાકાર દ્વારા વિભાજીત કરવાના નિયમ સાથે મળેલ નિયમની તુલના કરવી ઉપયોગી છે, જે § 38 માં સુયોજિત કરવામાં આવી હતી. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે ત્યાં સમાન સૂત્ર પ્રાપ્ત થયું હતું.
વિભાજન કરતી વખતે, સંક્ષેપ શક્ય છે, ઉદાહરણ તરીકે:
4. અપૂર્ણાંકને અપૂર્ણાંક દ્વારા વિભાજિત કરવું.
ચાલો કહીએ કે આપણે 3/4 ને 3/8 વડે ભાગવાની જરૂર છે. ભાગાકારથી પરિણમેલી સંખ્યાનો અર્થ શું થશે? તે પ્રશ્નનો જવાબ આપશે કે અપૂર્ણાંક 3/8 અપૂર્ણાંક 3/4 માં કેટલી વાર સમાયેલ છે. આ મુદ્દાને સમજવા માટે, ચાલો એક ચિત્ર બનાવીએ (ફિગ. 20).
ચાલો એક સેગમેન્ટ AB લઈએ, તેને એક તરીકે લઈએ, તેને 4 સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરીએ અને આવા 3 ભાગોને ચિહ્નિત કરીએ. સેગમેન્ટ AC એ સેગમેન્ટ AB ના 3/4 બરાબર હશે. ચાલો હવે આપણે ચાર મૂળ ભાગોમાંથી દરેકને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરીએ, પછી સેગમેન્ટ AB ને 8 સમાન ભાગોમાં વહેંચવામાં આવશે અને આવા દરેક ભાગ AB ખંડના 1/8 જેટલા હશે. ચાલો આવા 3 સેગમેન્ટને ચાપ સાથે જોડીએ, પછી દરેક સેગમેન્ટ AD અને DC એ સેગમેન્ટ AB ના 3/8 સમાન હશે. ડ્રોઇંગ બતાવે છે કે 3/8 બરાબર સેગમેન્ટ 3/4 બરાબર 2 વખત સમાયેલ છે; મતલબ કે વિભાજનનું પરિણામ નીચે મુજબ લખી શકાય.
3 / 4: 3 / 8 = 2
ચાલો બીજું ઉદાહરણ જોઈએ. ચાલો કહીએ કે આપણે 15/16 ને 3/32 વડે વિભાજીત કરવાની જરૂર છે:
આપણે આ રીતે તર્ક આપી શકીએ છીએ: આપણે એવી સંખ્યા શોધવાની જરૂર છે જે, 3/32 વડે ગુણાકાર કર્યા પછી, 15/16 ની બરાબર ઉત્પાદન આપશે. ચાલો આ રીતે ગણતરીઓ લખીએ:
15 / 16: 3 / 32 = એક્સ
3 / 32 એક્સ = 15 / 16
3/32 અજાણ્યો નંબર એક્સ 15/16 છે
અજાણ્યા નંબરનો 1/32 એક્સ છે,
32 / 32 નંબરો એક્સ બનાવે છે.
આથી,
આમ, અપૂર્ણાંકને અપૂર્ણાંક દ્વારા વિભાજીત કરવા માટે, તમારે પ્રથમ અપૂર્ણાંકના અંશને બીજાના છેદ દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, અને પ્રથમ અપૂર્ણાંકના છેદને બીજાના અંશ દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, અને પ્રથમ ઉત્પાદનને અંશ બનાવવાની જરૂર છે, અને બીજો છેદ.
ચાલો અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને નિયમ લખીએ:
વિભાજન કરતી વખતે, સંક્ષેપ શક્ય છે, ઉદાહરણ તરીકે:
5. મિશ્ર સંખ્યાઓનું વિભાજન.
મિશ્ર સંખ્યાઓને વિભાજિત કરતી વખતે, તેમને પ્રથમ અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવું આવશ્યક છે, અને પછી પરિણામી અપૂર્ણાંકોને અપૂર્ણાંકને વિભાજિત કરવાના નિયમો અનુસાર વિભાજિત કરવું આવશ્યક છે. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:
ચાલો મિશ્ર સંખ્યાઓને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીએ:
ચાલો હવે વિભાજન કરીએ:
આમ, મિશ્ર સંખ્યાઓને વિભાજિત કરવા માટે, તમારે તેમને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે અને પછી અપૂર્ણાંકને વિભાજિત કરવાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિભાજન કરવાની જરૂર છે.
6. તેના આપેલ અપૂર્ણાંકમાંથી સંખ્યા શોધવી.
વિવિધ અપૂર્ણાંક સમસ્યાઓમાં, કેટલીકવાર એવી સમસ્યાઓ હોય છે જેમાં અજાણી સંખ્યાના અમુક અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય આપવામાં આવે છે અને તમારે આ સંખ્યા શોધવાની જરૂર છે. આ પ્રકારની સમસ્યા એ આપેલ સંખ્યાના અપૂર્ણાંકને શોધવાની સમસ્યાનો વ્યસ્ત હશે; ત્યાં એક નંબર આપવામાં આવ્યો હતો અને આ નંબરનો અમુક અંશ શોધવાની જરૂર હતી, અહીં સંખ્યાનો અપૂર્ણાંક આપવામાં આવ્યો હતો અને આ નંબરને જ શોધવાની જરૂર હતી. જો આપણે આ પ્રકારની સમસ્યાને ઉકેલવા તરફ વળીશું તો આ વિચાર વધુ સ્પષ્ટ થશે.
કાર્ય 1.પ્રથમ દિવસે, ગ્લેઝિયર્સે 50 બારીઓને ચમકદાર કરી, જે બિલ્ટ હાઉસની તમામ બારીઓના 1/3 છે. આ ઘરમાં કેટલી બારીઓ છે?
ઉકેલ.સમસ્યા કહે છે કે 50 ચમકદાર બારીઓ ઘરની તમામ બારીઓમાંથી 1/3 બનાવે છે, જેનો અર્થ છે કે કુલ 3 ગણી વધુ બારીઓ છે, એટલે કે.
ઘરમાં 150 બારીઓ હતી.
કાર્ય 2.સ્ટોરે 1,500 કિલો લોટ વેચ્યો હતો, જે સ્ટોર પાસે રહેલા લોટના કુલ સ્ટોકના 3/8 છે. સ્ટોરમાં લોટનો પ્રારંભિક પુરવઠો શું હતો?
ઉકેલ.સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે વેચવામાં આવેલ 1,500 કિલો લોટ કુલ સ્ટોકનો 3/8 ભાગ બનાવે છે; આનો અર્થ એ છે કે આ અનામતનો 1/8 ભાગ 3 ગણો ઓછો હશે, એટલે કે તેની ગણતરી કરવા માટે તમારે 1500 ને 3 વખત ઘટાડવાની જરૂર છે:
1,500: 3 = 500 (આ અનામતનો 1/8 છે).
દેખીતી રીતે, સમગ્ર પુરવઠો 8 ગણો મોટો હશે. આથી,
500 8 = 4,000 (કિલો).
સ્ટોરમાં લોટનો પ્રારંભિક સ્ટોક 4,000 કિલો હતો.
આ સમસ્યાને ધ્યાનમાં રાખીને, નીચેના નિયમને અનુમાનિત કરી શકાય છે.
તેના અપૂર્ણાંકના આપેલ મૂલ્યમાંથી સંખ્યા શોધવા માટે, આ મૂલ્યને અપૂર્ણાંકના અંશ દ્વારા વિભાજીત કરવા અને પરિણામને અપૂર્ણાંકના છેદ દ્વારા ગુણાકાર કરવા માટે પૂરતું છે.
અમે સંખ્યાને તેના અપૂર્ણાંકને જોતાં શોધવામાં બે સમસ્યાઓ હલ કરી. આવી સમસ્યાઓ, જેમ કે છેલ્લા એકથી ખાસ કરીને સ્પષ્ટ છે, બે ક્રિયાઓ દ્વારા ઉકેલવામાં આવે છે: ભાગાકાર (જ્યારે એક ભાગ મળે છે) અને ગુણાકાર (જ્યારે સંપૂર્ણ સંખ્યા મળે છે).
જો કે, આપણે અપૂર્ણાંકનો ભાગાકાર શીખ્યા પછી, ઉપરોક્ત સમસ્યાઓ એક ક્રિયા દ્વારા ઉકેલી શકાય છે, એટલે કે: અપૂર્ણાંક દ્વારા ભાગાકાર.
ઉદાહરણ તરીકે, છેલ્લું કાર્ય આના જેવી એક ક્રિયામાં ઉકેલી શકાય છે:
ભવિષ્યમાં, આપણે તેના અપૂર્ણાંકમાંથી સંખ્યા શોધવાની સમસ્યાઓને એક ક્રિયા - ભાગાકાર વડે હલ કરીશું.
7. સંખ્યાને તેની ટકાવારી દ્વારા શોધવી.
આ સમસ્યાઓમાં તમારે તે સંખ્યાના અમુક ટકા જાણતા નંબર શોધવાની જરૂર પડશે.
કાર્ય 1.આ વર્ષની શરૂઆતમાં મને બચત બેંકમાંથી 60 રુબેલ્સ મળ્યા. એક વર્ષ પહેલા મેં બચતમાં મૂકેલી રકમમાંથી આવક. મેં બચત બેંકમાં કેટલા પૈસા મૂક્યા છે? (કેશ ડેસ્ક થાપણદારોને દર વર્ષે 2% વળતર આપે છે.)
સમસ્યાનો મુદ્દો એ છે કે મેં બચત બેંકમાં ચોક્કસ રકમ મૂકી અને એક વર્ષ સુધી ત્યાં રહ્યો. એક વર્ષ પછી, મને તેની પાસેથી 60 રુબેલ્સ મળ્યા. આવક, જે મેં જમા કરેલ નાણાના 2/100 છે. મેં કેટલા પૈસા મૂક્યા?
પરિણામે, આ નાણાંનો એક ભાગ જાણીને, જે બે રીતે (રુબેલ્સ અને અપૂર્ણાંકમાં) વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, આપણે સંપૂર્ણ, હજુ સુધી અજ્ઞાત, રકમ શોધવી જોઈએ. સંખ્યાને તેના અપૂર્ણાંકને જોતાં શોધવાની આ એક સામાન્ય સમસ્યા છે. નીચેની સમસ્યાઓ વિભાજન દ્વારા હલ કરવામાં આવે છે:
આનો અર્થ એ છે કે બચત બેંકમાં 3,000 રુબેલ્સ જમા કરવામાં આવ્યા હતા.
કાર્ય 2.માછીમારોએ બે અઠવાડિયામાં 512 ટન માછલીની લણણી કરીને માસિક યોજના 64% પૂર્ણ કરી. તેમની યોજના શું હતી?
સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ પરથી તે જાણીતું છે કે માછીમારોએ યોજનાનો એક ભાગ પૂર્ણ કર્યો. આ ભાગ 512 ટન જેટલો છે, જે યોજનાના 64% છે. અમને ખબર નથી કે યોજના મુજબ કેટલા ટન માછલી તૈયાર કરવાની જરૂર છે. આ નંબર શોધવાથી સમસ્યાનો ઉકેલ આવી જશે.
આવી સમસ્યાઓ વિભાજન દ્વારા હલ કરવામાં આવે છે:
મતલબ કે યોજના મુજબ 800 ટન માછલી તૈયાર કરવાની જરૂર છે.
કાર્ય 3.ટ્રેન રીગાથી મોસ્કો જતી હતી. જ્યારે તેણે 276મું કિલોમીટર પસાર કર્યું, ત્યારે એક પેસેન્જરે પસાર થતા કંડક્ટરને પૂછ્યું કે તેઓ પહેલેથી જ કેટલી મુસાફરી કવર કરી ચૂક્યા છે. આના પર કંડક્ટરે જવાબ આપ્યો: "અમે આખી મુસાફરીનો 30% કવર કરી લીધો છે." રીગાથી મોસ્કોનું અંતર કેટલું છે?
સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓથી તે સ્પષ્ટ છે કે રીગાથી મોસ્કો સુધીનો 30% માર્ગ 276 કિમી છે. આપણે આ શહેરો વચ્ચેનું સમગ્ર અંતર શોધવાની જરૂર છે, એટલે કે, આ ભાગ માટે, આખું શોધો:
§ 91. પારસ્પરિક સંખ્યાઓ. ભાગાકારને ગુણાકાર સાથે બદલીને.
ચાલો અપૂર્ણાંક 2/3 લઈએ અને છેદની જગ્યાએ અંશ બદલીએ, આપણને 3/2 મળે છે. આપણને આ અપૂર્ણાંકનો વ્યુત્ક્રમ મળ્યો.
આપેલ અપૂર્ણાંકનો વ્યસ્ત અપૂર્ણાંક મેળવવા માટે, તમારે તેના અંશને છેદની જગ્યાએ અને છેદને અંશની જગ્યાએ મૂકવાની જરૂર છે. આ રીતે આપણે કોઈપણ અપૂર્ણાંકનો પરસ્પર મેળવી શકીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે:
3/4, રિવર્સ 4/3; 5/6, રિવર્સ 6/5
પ્રથમનો અંશ બીજાનો છેદ છે અને પ્રથમનો છેદ બીજાનો અંશ છે તેવી મિલકત ધરાવતા બે અપૂર્ણાંકને કહેવામાં આવે છે. પરસ્પર વિપરીત.
હવે ચાલો વિચારીએ કે 1/2 નો અપૂર્ણાંક કયો અપૂર્ણાંક હશે. દેખીતી રીતે, તે 2/1, અથવા માત્ર 2 હશે. આપેલ એકના વ્યસ્ત અપૂર્ણાંકને શોધીને, અમને પૂર્ણાંક મળ્યો. અને આ કેસ અલગ નથી; તેનાથી વિપરિત, 1 (એક) ના અંશ સાથેના તમામ અપૂર્ણાંકો માટે, પારસ્પરિક પૂર્ણાંકો હશે, ઉદાહરણ તરીકે:
1/3, વિપરીત 3; 1/5, વિપરીત 5
પારસ્પરિક અપૂર્ણાંકો શોધવામાં અમને પૂર્ણાંકોનો પણ સામનો કરવો પડ્યો હતો, આ પછી આપણે પારસ્પરિક અપૂર્ણાંકો વિશે નહીં, પરંતુ પારસ્પરિક સંખ્યાઓ વિશે વાત કરીશું.
ચાલો સમજીએ કે પૂર્ણાંકનો વ્યસ્ત કેવી રીતે લખવો. અપૂર્ણાંક માટે, આ સરળ રીતે ઉકેલી શકાય છે: તમારે અંશની જગ્યાએ છેદ મૂકવાની જરૂર છે. તે જ રીતે, તમે પૂર્ણાંક માટે વ્યસ્ત સંખ્યા મેળવી શકો છો, કારણ કે કોઈપણ પૂર્ણાંકમાં 1 નો છેદ હોઈ શકે છે. આનો અર્થ એ છે કે 7 ની વ્યસ્ત સંખ્યા 1/7 હશે, કારણ કે 7 = 7/1; સંખ્યા 10 માટે વ્યસ્ત 1/10 હશે, કારણ કે 10 = 10/1
આ વિચારને અલગ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે: આપેલ સંખ્યાનો પરસ્પર એક આપેલ સંખ્યા દ્વારા ભાગાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે. આ વિધાન માત્ર પૂર્ણ સંખ્યાઓ માટે જ નહીં, પણ અપૂર્ણાંક માટે પણ સાચું છે. વાસ્તવમાં, જો આપણે અપૂર્ણાંક 5/9 નો વ્યસ્ત લખવાની જરૂર હોય, તો આપણે 1 લઈ શકીએ છીએ અને તેને 5/9 વડે ભાગી શકીએ છીએ, એટલે કે.
હવે એક વાતનો નિર્દેશ કરીએ મિલકતપારસ્પરિક સંખ્યાઓ, જે આપણા માટે ઉપયોગી થશે: પારસ્પરિક સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન એક સમાન છે.હકીકતમાં:
આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને, આપણે નીચેની રીતે પારસ્પરિક સંખ્યાઓ શોધી શકીએ છીએ. ચાલો કહીએ કે આપણે 8 નો વ્યસ્ત શોધવાની જરૂર છે.
ચાલો તેને અક્ષર દ્વારા સૂચિત કરીએ એક્સ , પછી 8 એક્સ = 1, તેથી એક્સ = 1/8. ચાલો બીજી સંખ્યા શોધીએ જે 7/12 ની વ્યસ્ત છે અને તેને અક્ષર દ્વારા સૂચિત કરીએ એક્સ , પછી 7/12 એક્સ = 1, તેથી એક્સ = 1: 7 / 12 અથવા એક્સ = 12 / 7 .
અપૂર્ણાંકને વિભાજિત કરવા વિશેની માહિતીને સહેજ પૂરક બનાવવા માટે અમે અહીં પારસ્પરિક સંખ્યાઓનો ખ્યાલ રજૂ કર્યો છે.
જ્યારે આપણે સંખ્યા 6 ને 3/5 વડે વિભાજીત કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે નીચે મુજબ કરીએ છીએ:
અભિવ્યક્તિ પર વિશેષ ધ્યાન આપો અને આપેલ એક સાથે તેની તુલના કરો: .
જો આપણે અગાઉના એક સાથે જોડાણ વિના, અભિવ્યક્તિને અલગથી લઈએ, તો તે ક્યાંથી આવ્યું તે પ્રશ્ન હલ કરવો અશક્ય છે: 6 ને 3/5 વડે ભાગવાથી અથવા 6 ને 5/3 વડે ગુણાકાર કરવાથી. બંને કિસ્સાઓમાં એક જ વસ્તુ થાય છે. તેથી આપણે કહી શકીએ કે એક સંખ્યાને બીજી સંખ્યા વડે વિભાજિત કરીને ડિવિડન્ડને વિભાજકના વ્યસ્ત વડે ગુણાકાર કરીને બદલી શકાય છે.
અમે નીચે આપેલા ઉદાહરણો આ નિષ્કર્ષની સંપૂર્ણ પુષ્ટિ કરે છે.
તમે વિભાજન સહિત અપૂર્ણાંક સાથે બધું કરી શકો છો. આ લેખ સામાન્ય અપૂર્ણાંકોનું વિભાજન દર્શાવે છે. વ્યાખ્યાઓ આપવામાં આવશે અને ઉદાહરણોની ચર્ચા કરવામાં આવશે. ચાલો આપણે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ દ્વારા અપૂર્ણાંકને વિભાજિત કરવા અને તેનાથી વિપરિત વિભાજન પર વિગતવાર ધ્યાન આપીએ. સામાન્ય અપૂર્ણાંકને મિશ્ર સંખ્યા વડે વિભાજિત કરવાની ચર્ચા કરવામાં આવશે.
અપૂર્ણાંક વિભાજન
ભાગાકાર એ ગુણાકારનો વ્યસ્ત છે. વિભાજન કરતી વખતે, અજ્ઞાત પરિબળ અન્ય પરિબળના જાણીતા ઉત્પાદન સાથે જોવા મળે છે, જ્યાં તેનો આપેલ અર્થ સામાન્ય અપૂર્ણાંકો સાથે સાચવવામાં આવે છે.
જો સામાન્ય અપૂર્ણાંક a b ને c d વડે ભાગવું જરૂરી હોય, તો આવી સંખ્યા નક્કી કરવા માટે તમારે વિભાજક c d વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, આ આખરે ડિવિડન્ડ a b આપશે. ચાલો એક સંખ્યા મેળવીએ અને તેને b · d c લખીએ, જ્યાં d c એ c d સંખ્યાનો વ્યસ્ત છે. સમાનતાઓ ગુણાકારના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને લખી શકાય છે, જેમ કે: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, જ્યાં a b · d c અભિવ્યક્તિ એ b ને c d વડે ભાગવાનો ભાગાંક છે.
અહીંથી આપણે સામાન્ય અપૂર્ણાંકોને વિભાજીત કરવા માટેનો નિયમ મેળવીએ છીએ અને ઘડીએ છીએ:
વ્યાખ્યા 1
સામાન્ય અપૂર્ણાંક a b ને c d દ્વારા વિભાજીત કરવા માટે, તમારે વિભાજકના પરસ્પર દ્વારા ડિવિડન્ડનો ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.
ચાલો નિયમને અભિવ્યક્તિના રૂપમાં લખીએ: a b: c d = a b · d c
ભાગાકારના નિયમો ગુણાકારમાં આવે છે. તેની સાથે વળગી રહેવા માટે, તમારે અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કરવાની સારી સમજ હોવી જરૂરી છે.
ચાલો સામાન્ય અપૂર્ણાંકોના વિભાજનને ધ્યાનમાં લઈએ.
ઉદાહરણ 1
9 7 ને 5 3 વડે ભાગો. પરિણામને અપૂર્ણાંક તરીકે લખો.
ઉકેલ
નંબર 5 3 એ પારસ્પરિક અપૂર્ણાંક 3 5 છે. સામાન્ય અપૂર્ણાંકને વિભાજીત કરવા માટે નિયમનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે. અમે આ અભિવ્યક્તિ નીચે પ્રમાણે લખીએ છીએ: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.
જવાબ: 9 7: 5 3 = 27 35 .
અપૂર્ણાંક ઘટાડતી વખતે, જો અંશ છેદ કરતા મોટો હોય તો આખો ભાગ અલગ કરો.
ઉદાહરણ 2
ભાગાકાર 8 15: 24 65. જવાબને અપૂર્ણાંક તરીકે લખો.
ઉકેલ
ઉકેલવા માટે, તમારે ભાગાકારથી ગુણાકાર તરફ જવાની જરૂર છે. ચાલો તેને આ ફોર્મમાં લખીએ: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
ઘટાડો કરવો જરૂરી છે, અને આ નીચે મુજબ કરવામાં આવે છે: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
આખો ભાગ પસંદ કરો અને 13 9 = 1 4 9 મેળવો.
જવાબ: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
અસાધારણ અપૂર્ણાંકને કુદરતી સંખ્યા વડે ભાગવું
આપણે પ્રાકૃતિક સંખ્યા વડે અપૂર્ણાંકને વિભાજિત કરવા માટેના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: a b ને કુદરતી સંખ્યા n વડે ભાગવા માટે, તમારે માત્ર છેદને n વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. અહીંથી આપણને અભિવ્યક્તિ મળે છે: a b: n = a b · n.
ભાગાકારનો નિયમ એ ગુણાકારના નિયમનું પરિણામ છે. તેથી, કુદરતી સંખ્યાને અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરવાથી આ પ્રકારની સમાનતા મળશે: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.
સંખ્યા દ્વારા અપૂર્ણાંકના આ વિભાજનને ધ્યાનમાં લો.
ઉદાહરણ 3
અપૂર્ણાંક 16 45 ને સંખ્યા 12 વડે ભાગો.
ઉકેલ
ચાલો અપૂર્ણાંકને સંખ્યા વડે ભાગવાનો નિયમ લાગુ કરીએ. આપણે ફોર્મ 16 45: 12 = 16 45 · 12 ની અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ.
ચાલો અપૂર્ણાંક ઘટાડીએ. આપણને 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 મળે છે.
જવાબ: 16 45: 12 = 4 135 .
પ્રાકૃતિક સંખ્યાને અપૂર્ણાંક વડે ભાગવું
વિભાજન નિયમ સમાન છે ઓકુદરતી સંખ્યાને સામાન્ય અપૂર્ણાંક દ્વારા વિભાજિત કરવાનો નિયમ: કુદરતી સંખ્યા n ને સામાન્ય અપૂર્ણાંક a b વડે ભાગવા માટે, સંખ્યા n નો અપૂર્ણાંક a b ના પારસ્પરિક દ્વારા ગુણાકાર કરવો જરૂરી છે.
નિયમના આધારે, આપણી પાસે n: a b = n · b a છે, અને કુદરતી સંખ્યાને સામાન્ય અપૂર્ણાંક વડે ગુણાકાર કરવાના નિયમને કારણે, આપણને આપણી અભિવ્યક્તિ n: a b = n · b a સ્વરૂપમાં મળે છે. આ વિભાજનને ઉદાહરણ સાથે ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે.
ઉદાહરણ 4
25 ને 15 28 વડે ભાગો.
ઉકેલ
આપણે ભાગાકારમાંથી ગુણાકાર તરફ જવાની જરૂર છે. ચાલો તેને 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 અભિવ્યક્તિના સ્વરૂપમાં લખીએ. ચાલો અપૂર્ણાંક ઘટાડીએ અને પરિણામ 46 2 3 ના રૂપમાં મેળવીએ.
જવાબ: 25: 15 28 = 46 2 3 .
અપૂર્ણાંકને મિશ્ર સંખ્યા વડે ભાગવું
મિશ્ર સંખ્યા દ્વારા સામાન્ય અપૂર્ણાંકને વિભાજીત કરતી વખતે, તમે સરળતાથી સામાન્ય અપૂર્ણાંકને વિભાજીત કરવાનું શરૂ કરી શકો છો. તમારે મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે.
ઉદાહરણ 5
અપૂર્ણાંક 35 16 ને 3 1 8 વડે ભાગો.
ઉકેલ
3 1 8 મિશ્ર સંખ્યા હોવાથી, ચાલો તેને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરીએ. પછી આપણને 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 મળે છે. હવે ચાલો અપૂર્ણાંકને વિભાજીત કરીએ. આપણને મળે છે 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
જવાબ: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
મિશ્ર સંખ્યાનો ભાગાકાર સામાન્ય સંખ્યાઓની જેમ જ કરવામાં આવે છે.
જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો
છેલ્લી વખતે આપણે શીખ્યા કે કેવી રીતે અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવી (પાઠ "અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી" જુઓ). તે ક્રિયાઓનો સૌથી મુશ્કેલ ભાગ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય સંપ્રદાયમાં લાવવાનો હતો.
હવે ગુણાકાર અને ભાગાકાર સાથે વ્યવહાર કરવાનો સમય છે. સારા સમાચાર એ છે કે આ કામગીરી સરવાળો અને બાદબાકી કરતાં પણ સરળ છે. પ્રથમ, ચાલો સૌથી સરળ કેસને ધ્યાનમાં લઈએ, જ્યારે વિભાજિત પૂર્ણાંક ભાગ વિના બે હકારાત્મક અપૂર્ણાંક હોય.
બે અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે તેમના અંશ અને છેદને અલગથી ગુણાકાર કરવો પડશે. પ્રથમ નંબર નવા અપૂર્ણાંકનો અંશ હશે, અને બીજો છેદ હશે.
બે અપૂર્ણાંકને વિભાજીત કરવા માટે, તમારે પ્રથમ અપૂર્ણાંકને "ઊંધી" બીજા અપૂર્ણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.
હોદ્દો:
વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે અપૂર્ણાંકને વિભાજિત કરવાથી ગુણાકારમાં ઘટાડો થાય છે. અપૂર્ણાંકને "ફ્લિપ" કરવા માટે, ફક્ત અંશ અને છેદની અદલાબદલી કરો. તેથી, સમગ્ર પાઠ દરમિયાન આપણે મુખ્યત્વે ગુણાકારને ધ્યાનમાં લઈશું.
ગુણાકારના પરિણામે, ઘટાડી શકાય તેવો અપૂર્ણાંક ઉત્પન્ન થઈ શકે છે (અને ઘણી વખત ઉદ્ભવે છે) - તે, અલબત્ત, ઘટાડવું આવશ્યક છે. જો તમામ ઘટાડા પછી અપૂર્ણાંક ખોટો હોવાનું બહાર આવે છે, તો આખો ભાગ પ્રકાશિત થવો જોઈએ. પરંતુ જે ચોક્કસપણે ગુણાકાર સાથે થશે નહીં તે સામાન્ય છેદમાં ઘટાડો છે: કોઈ ક્રિસ-ક્રોસ પદ્ધતિઓ નથી, મહાન પરિબળો અને ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંક.
વ્યાખ્યા દ્વારા અમારી પાસે છે:
સંપૂર્ણ ભાગો અને ઋણ અપૂર્ણાંક સાથે અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર
જો અપૂર્ણાંકમાં પૂર્ણાંક ભાગ હોય, તો તેને અયોગ્યમાં રૂપાંતરિત કરવું આવશ્યક છે - અને માત્ર ત્યારે જ ઉપર દર્શાવેલ યોજનાઓ અનુસાર ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.
જો કોઈ અપૂર્ણાંકના અંશમાં, છેદમાં અથવા તેની સામે કોઈ માઈનસ હોય, તો તેને નીચેના નિયમો અનુસાર ગુણાકારમાંથી લઈ શકાય છે અથવા સંપૂર્ણપણે દૂર કરી શકાય છે:
- પ્લસ બાય માઈનસ આપે છે માઈનસ;
- બે નકારાત્મક એક હકારાત્મક બનાવે છે.
અત્યાર સુધી, આ નિયમો ફક્ત નકારાત્મક અપૂર્ણાંકો ઉમેરવા અને બાદબાકી કરતી વખતે જ આવ્યા છે, જ્યારે સંપૂર્ણ ભાગમાંથી છૂટકારો મેળવવો જરૂરી હતો. કાર્ય માટે, એકસાથે અનેક ગેરફાયદાને "બર્ન" કરવા માટે તેમને સામાન્ય કરી શકાય છે:
- જ્યાં સુધી તે સંપૂર્ણપણે અદૃશ્ય થઈ જાય ત્યાં સુધી અમે જોડીમાં નકારાત્મકને પાર કરીએ છીએ. આત્યંતિક કિસ્સાઓમાં, એક બાદબાકી ટકી શકે છે - એક જેના માટે કોઈ સાથી ન હતો;
- જો ત્યાં કોઈ ઓછા બાકી નથી, તો ઓપરેશન પૂર્ણ થઈ ગયું છે - તમે ગુણાકાર કરવાનું શરૂ કરી શકો છો. જો છેલ્લું માઈનસ ઓળંગી ન જાય, કારણ કે તેના માટે કોઈ જોડી ન હતી, તો અમે તેને ગુણાકારની મર્યાદામાંથી બહાર લઈ જઈએ છીએ. પરિણામ નકારાત્મક અપૂર્ણાંક છે.
કાર્ય. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:
અમે બધા અપૂર્ણાંકને અયોગ્યમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ, અને પછી ગુણાકારમાંથી બાદબાકી લઈએ છીએ. અમે સામાન્ય નિયમો અનુસાર જે બાકી છે તેનો ગુણાકાર કરીએ છીએ. અમને મળે છે:
હું તમને ફરી એક વાર યાદ અપાવી દઉં કે હાઇલાઇટ કરેલા સંપૂર્ણ ભાગ સાથે અપૂર્ણાંકની સામે જે માઇનસ દેખાય છે તે સમગ્ર અપૂર્ણાંકનો ઉલ્લેખ કરે છે, અને માત્ર તેના સંપૂર્ણ ભાગને જ નહીં (આ છેલ્લા બે ઉદાહરણોને લાગુ પડે છે).
નકારાત્મક સંખ્યાઓ પર પણ ધ્યાન આપો: ગુણાકાર કરતી વખતે, તેઓ કૌંસમાં બંધ હોય છે. આ ગુણાકારના ચિહ્નોમાંથી બાદબાકીને અલગ કરવા અને સમગ્ર સંકેતને વધુ સચોટ બનાવવા માટે કરવામાં આવે છે.
ફ્લાય પર અપૂર્ણાંક ઘટાડવા
ગુણાકાર એ ખૂબ જ શ્રમ-સઘન ઓપરેશન છે. અહીં સંખ્યાઓ ખૂબ મોટી છે, અને સમસ્યાને સરળ બનાવવા માટે, તમે અપૂર્ણાંકને વધુ ઘટાડવાનો પ્રયાસ કરી શકો છો. ગુણાકાર પહેલાં. ખરેખર, સારમાં, અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ એ સામાન્ય પરિબળ છે, અને તેથી, તેઓને અપૂર્ણાંકની મૂળભૂત મિલકતનો ઉપયોગ કરીને ઘટાડી શકાય છે. ઉદાહરણો પર એક નજર નાખો:
કાર્ય. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:
વ્યાખ્યા દ્વારા અમારી પાસે છે:
બધા ઉદાહરણોમાં, જે સંખ્યાઓ ઘટી છે અને તેમાંથી શું બાકી છે તે લાલ રંગમાં ચિહ્નિત થયેલ છે.
મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: પ્રથમ કિસ્સામાં, મલ્ટિપ્લાયર્સ સંપૂર્ણપણે ઘટાડવામાં આવ્યા હતા. તેમની જગ્યાએ એવા એકમો રહે છે જે સામાન્ય રીતે કહીએ તો લખવાની જરૂર નથી. બીજા ઉદાહરણમાં, સંપૂર્ણ ઘટાડો હાંસલ કરવો શક્ય ન હતું, પરંતુ ગણતરીની કુલ રકમ હજુ પણ ઘટી છે.
જો કે, અપૂર્ણાંક ઉમેરતી અને બાદબાકી કરતી વખતે આ તકનીકનો ક્યારેય ઉપયોગ કરશો નહીં! હા, કેટલીકવાર એવી સમાન સંખ્યાઓ હોય છે જેને તમે ઘટાડવા માંગો છો. અહીં, જુઓ:
તમે તે કરી શકતા નથી!
ભૂલ થાય છે કારણ કે ઉમેરતી વખતે, અપૂર્ણાંકનો અંશ સરવાળો બનાવે છે, સંખ્યાઓનો ગુણાંક નહીં. પરિણામે, અપૂર્ણાંકની મૂળભૂત મિલકત લાગુ કરવી અશક્ય છે, કારણ કે આ ગુણધર્મ ખાસ કરીને સંખ્યાઓના ગુણાકાર સાથે વ્યવહાર કરે છે.
અપૂર્ણાંક ઘટાડવા માટેના અન્ય કોઈ કારણો નથી, તેથી અગાઉની સમસ્યાનો સાચો ઉકેલ આના જેવો દેખાય છે:
સાચો ઉકેલ:
જેમ તમે જોઈ શકો છો, સાચો જવાબ એટલો સુંદર ન હતો. સામાન્ય રીતે, સાવચેત રહો.
સામાન્ય અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ સૌપ્રથમ 5મા ધોરણમાં શાળાના બાળકોને મળે છે અને તેમના સમગ્ર જીવન દરમિયાન તેમની સાથે રહે છે, કારણ કે રોજિંદા જીવનમાં ઘણી વાર કોઈ વસ્તુને સંપૂર્ણ રીતે નહીં, પરંતુ અલગ ટુકડાઓમાં ધ્યાનમાં લેવી અથવા તેનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે. આ વિષયનો અભ્યાસ શરૂ કરો - શેર કરો. શેર સમાન ભાગો છે, જેમાં આ અથવા તે ઑબ્જેક્ટ વિભાજિત થયેલ છે. છેવટે, વ્યક્ત કરવું હંમેશા શક્ય નથી, ઉદાહરણ તરીકે, સંપૂર્ણ સંખ્યા તરીકે ઉત્પાદનની લંબાઈ અથવા કિંમત અમુક માપના ભાગો અથવા અપૂર્ણાંકને ધ્યાનમાં લેવી જોઈએ. "વિભાજિત કરવા" - ભાગોમાં વિભાજિત કરવા માટે ક્રિયાપદમાંથી રચાયેલ અને અરબી મૂળ ધરાવતા, 8 મી સદીમાં રશિયન ભાષામાં "અપૂર્ણાંક" શબ્દનો ઉદ્ભવ થયો.
અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓ લાંબા સમયથી ગણિતની સૌથી મુશ્કેલ શાખા માનવામાં આવે છે. 17મી સદીમાં, જ્યારે ગણિત પરની પ્રથમ પાઠયપુસ્તકો પ્રગટ થઈ, ત્યારે તેને "તૂટેલી સંખ્યાઓ" કહેવાતી, જે લોકો માટે સમજવી ખૂબ જ મુશ્કેલ હતી.
સરળ અપૂર્ણાંક અવશેષોનું આધુનિક સ્વરૂપ, જેના ભાગો આડી રેખા દ્વારા અલગ પડે છે, તેને પ્રથમ ફિબોનાકી - પીસાના લિયોનાર્ડો દ્વારા પ્રોત્સાહન આપવામાં આવ્યું હતું. તેમની કૃતિઓ 1202ની છે. પરંતુ આ લેખનો હેતુ વાચકને સરળ અને સ્પષ્ટ રીતે સમજાવવાનો છે કે કેવી રીતે વિવિધ છેદ સાથે મિશ્રિત અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર થાય છે.
વિવિધ છેદ સાથે અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર
શરૂઆતમાં તે નક્કી કરવા યોગ્ય છે અપૂર્ણાંકના પ્રકારો:
- સાચું
- ખોટું
- મિશ્ર
આગળ, તમારે યાદ રાખવાની જરૂર છે કે સમાન છેદ સાથેની અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કેવી રીતે થાય છે. આ પ્રક્રિયાનો નિયમ સ્વતંત્ર રીતે ઘડવો મુશ્કેલ નથી: સમાન છેદ સાથે સરળ અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કરવાનું પરિણામ અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિ છે, જેનો અંશ એ અંશનું ઉત્પાદન છે, અને છેદ એ આ અપૂર્ણાંકોના છેદનું ઉત્પાદન છે. . એટલે કે, હકીકતમાં, નવો છેદ એ શરૂઆતમાં અસ્તિત્વમાં છે તેમાંથી એકનો વર્ગ છે.
જ્યારે ગુણાકાર વિવિધ છેદ સાથે સરળ અપૂર્ણાંકબે અથવા વધુ પરિબળો માટે નિયમ બદલાતો નથી:
a/b * c/ડી = a*c/ b*d.
માત્ર એટલો જ તફાવત છે કે અપૂર્ણાંક રેખા હેઠળ રચાયેલી સંખ્યા વિવિધ સંખ્યાઓનો ગુણાંક હશે અને સ્વાભાવિક રીતે, તેને એક સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિનો વર્ગ કહી શકાય નહીં.
ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને વિવિધ છેદ સાથે અપૂર્ણાંકના ગુણાકારને ધ્યાનમાં લેવું યોગ્ય છે:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
ઉદાહરણો અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓ ઘટાડવા માટેની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરે છે. તમે અપૂર્ણાંક રેખાની ઉપર અથવા નીચે સંલગ્ન પરિબળોને માત્ર છેદની સંખ્યા સાથે ઘટાડી શકો છો;
સરળ અપૂર્ણાંકો સાથે, મિશ્ર અપૂર્ણાંકનો ખ્યાલ છે. મિશ્ર સંખ્યામાં પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક ભાગનો સમાવેશ થાય છે, એટલે કે, તે આ સંખ્યાઓનો સરવાળો છે:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
ગુણાકાર કેવી રીતે કાર્ય કરે છે?
વિચારણા માટે કેટલાક ઉદાહરણો આપવામાં આવ્યા છે.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
ઉદાહરણ દ્વારા સંખ્યાના ગુણાકારનો ઉપયોગ થાય છે સામાન્ય અપૂર્ણાંક ભાગ, આ ક્રિયા માટેનો નિયમ આ રીતે લખી શકાય છે:
એક* b/c = a*b /c
હકીકતમાં, આવા ઉત્પાદન સમાન અપૂર્ણાંક અવશેષોનો સરવાળો છે, અને શરતોની સંખ્યા આ કુદરતી સંખ્યા સૂચવે છે. ખાસ કેસ:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
સંખ્યાને અપૂર્ણાંક શેષ વડે ગુણાકાર કરવાનો બીજો ઉપાય છે. તમારે ફક્ત આ સંખ્યા દ્વારા છેદને વિભાજીત કરવાની જરૂર છે:
ડી* e/f = e/f: ડી.
આ ટેકનિકનો ઉપયોગ કરવા માટે ઉપયોગી છે જ્યારે છેદને કુદરતી સંખ્યા દ્વારા શેષ વિના અથવા તેઓ કહે છે તેમ, પૂર્ણ સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે.
મિશ્ર સંખ્યાઓને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરો અને અગાઉ વર્ણવેલ રીતે ઉત્પાદન મેળવો:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
આ ઉદાહરણમાં મિશ્ર અપૂર્ણાંકને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરવાની રીતનો સમાવેશ થાય છે, અને તેને સામાન્ય સૂત્ર તરીકે પણ રજૂ કરી શકાય છે:
a bc = a*b+ c/c, જ્યાં નવા અપૂર્ણાંકના છેદને છેદ સાથે સમગ્ર ભાગનો ગુણાકાર કરીને અને તેને મૂળ અપૂર્ણાંક શેષના અંશ સાથે ઉમેરીને રચાય છે, અને છેદ એક જ રહે છે.
આ પ્રક્રિયા વિરુદ્ધ દિશામાં પણ કામ કરે છે. સંપૂર્ણ ભાગ અને અપૂર્ણાંક શેષને અલગ કરવા માટે, તમારે "ખૂણા" નો ઉપયોગ કરીને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકના અંશને તેના છેદ દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે.
અયોગ્ય અપૂર્ણાંકનો ગુણાકારસામાન્ય રીતે સ્વીકૃત રીતે ઉત્પાદિત. એક અપૂર્ણાંક રેખા હેઠળ લખતી વખતે, તમારે આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાઓ ઘટાડવા અને પરિણામની ગણતરી કરવાનું સરળ બનાવવા માટે જરૂરી હોય તે રીતે અપૂર્ણાંક ઘટાડવાની જરૂર છે.
પ્રોગ્રામની વિવિધ ભિન્નતાઓમાં જટિલ ગાણિતિક સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે ઇન્ટરનેટ પર ઘણા સહાયકો છે. પર્યાપ્ત સંખ્યામાં આવી સેવાઓ છેદમાં વિવિધ સંખ્યાઓ સાથે અપૂર્ણાંકના ગુણાકારની ગણતરી કરવામાં તેમની સહાય પ્રદાન કરે છે - અપૂર્ણાંકની ગણતરી માટે કહેવાતા ઑનલાઇન કેલ્ક્યુલેટર. તેઓ માત્ર ગુણાકાર કરવા માટે જ નહીં, પરંતુ સામાન્ય અપૂર્ણાંકો અને મિશ્ર સંખ્યાઓ સાથે અન્ય તમામ સરળ અંકગણિત કામગીરી કરવા માટે પણ સક્ષમ છે. તેની સાથે કામ કરવું મુશ્કેલ નથી; તમે વેબસાઇટ પૃષ્ઠ પર યોગ્ય ફીલ્ડ્સ ભરો, ગાણિતિક કામગીરીનું ચિહ્ન પસંદ કરો અને "ગણતરી કરો" પર ક્લિક કરો. પ્રોગ્રામ આપમેળે ગણતરી કરે છે.
અપૂર્ણાંક સાથે અંકગણિત કામગીરીનો વિષય મધ્યમ અને ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીઓના સમગ્ર શિક્ષણ દરમિયાન સંબંધિત છે. ઉચ્ચ શાળામાં, તેઓ હવે સરળ પ્રજાતિઓને ધ્યાનમાં લેતા નથી, પરંતુ પૂર્ણાંક અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓ, પરંતુ અગાઉ મેળવેલ રૂપાંતરણ અને ગણતરીઓ માટેના નિયમોનું જ્ઞાન તેના મૂળ સ્વરૂપમાં લાગુ કરવામાં આવે છે. સારી રીતે નિપુણતા પ્રાપ્ત મૂળભૂત જ્ઞાન સૌથી જટિલ સમસ્યાઓને સફળતાપૂર્વક ઉકેલવામાં સંપૂર્ણ વિશ્વાસ આપે છે.
નિષ્કર્ષમાં, લેવ નિકોલાઇવિચ ટોલ્સટોયના શબ્દોને ટાંકવાનો અર્થપૂર્ણ છે, જેમણે લખ્યું: “માણસ એક અપૂર્ણાંક છે. તેના અંશ - તેની યોગ્યતા - વધારવી તે વ્યક્તિની શક્તિમાં નથી, પરંતુ કોઈપણ તેના છેદને ઘટાડી શકે છે - તેના પોતાના વિશેના અભિપ્રાય, અને આ ઘટાડાની સાથે તેની સંપૂર્ણતાની નજીક આવે છે.
