સમાંતરગ્રામનો કોણ શું છે? સમાંતરગ્રામના ખૂણા અને ક્ષેત્રફળના સરવાળાની ગણતરી કરો: ગુણધર્મો અને લાક્ષણિકતાઓ

સમાંતર ચતુષ્કોણ એ ચતુષ્કોણ છે જેની વિરુદ્ધ બાજુઓ જોડીમાં સમાંતર હોય છે (ફિગ. 233).

મનસ્વી સમાંતરગ્રામ માટે નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છે:

1. સમાંતરગ્રામની વિરુદ્ધ બાજુઓ સમાન છે.

પુરાવો. સમાંતર ABCD માં આપણે વિકર્ણ AC દોરીએ છીએ. ત્રિકોણ ACD અને AC B સમાન છે, કારણ કે સામાન્ય બાજુ AC અને તેની બાજુમાં સમાન ખૂણાઓની બે જોડી હોય છે:

(જેમ કે સમાંતર રેખાઓ AD અને BC સાથે ક્રોસવાઇઝ ખૂણા). આનો અર્થ છે, અને સમાન ત્રિકોણની બાજુઓની જેમ સમાન ખૂણાઓ વિરુદ્ધ પડેલા છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

2. સમાંતરગ્રામના વિરોધી ખૂણા સમાન છે:

3. સમાંતરગ્રામના અડીને આવેલા ખૂણાઓ, એટલે કે, એક બાજુને અડીને આવેલા ખૂણા, ઉમેરો, વગેરે.

ગુણધર્મ 2 અને 3 નો પુરાવો સમાંતર રેખાઓ માટેના ખૂણાઓના ગુણધર્મમાંથી તરત જ મેળવવામાં આવે છે.

4. સમાંતરગ્રામના કર્ણ તેમના આંતરછેદ બિંદુ પર એકબીજાને દ્વિભાજિત કરે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો,

પુરાવો. ત્રિકોણ AOD અને BOC એકરૂપ છે, કારણ કે તેમની બાજુઓ AD અને BC સમાન છે (ગુણધર્મ 1) અને તેમને અડીને આવેલા ખૂણાઓ (જેમ કે સમાંતર રેખાઓ માટે ક્રોસવાઇઝ કોણ). અહીંથી તે અનુસરે છે કે આ ત્રિકોણની અનુરૂપ બાજુઓ સમાન છે: AO, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

આ ચાર ગુણોમાંથી પ્રત્યેક સમાંતર ચતુષ્કોણની લાક્ષણિકતા ધરાવે છે, અથવા, જેમ તેઓ કહે છે, તે તેની લાક્ષણિકતા ગુણધર્મ છે, એટલે કે, દરેક ચતુષ્કોણ કે જેમાં આમાંથી ઓછામાં ઓછો એક ગુણ હોય તે સમાંતરગ્રામ છે (અને, તેથી, અન્ય ત્રણ ગુણધર્મો ધરાવે છે).

ચાલો આપણે દરેક મિલકત માટે અલગથી પુરાવા હાથ ધરીએ.

1." જો ચતુર્ભુજની વિરુદ્ધ બાજુઓ જોડીમાં સમાન હોય, તો તે સમાંતરગ્રામ છે.

પુરાવો. ચતુષ્કોણ ABCD ની બાજુઓ AD અને BC, AB અને CD અનુક્રમે સમાન છે (ફિગ. 233). ચાલો કર્ણ AC દોરીએ. ત્રિકોણ ABC અને CDA સમાન બાજુઓની ત્રણ જોડી ધરાવતા હોવાના કારણે એકરૂપ થશે.

પરંતુ પછી ખૂણા BAC અને DCA સમાન છે અને . બાજુઓ BC અને AD ની સમાંતરતા કોણ CAD અને ACB ની સમાનતાથી અનુસરે છે.

2. જો ચતુર્ભુજમાં બે જોડી વિરોધી ખૂણા સમાન હોય, તો તે સમાંતરગ્રામ છે.

પુરાવો. દો . ત્યારથી AD અને BC બંને બાજુઓ સમાંતર છે (રેખાઓની સમાંતરતા પર આધારિત).

3. અમે ફોર્મ્યુલેશન અને પુરાવા રીડર પર છોડીએ છીએ.

4. જો ચતુષ્કોણના કર્ણ એકબીજાને આંતરછેદના બિંદુ પર દ્વિભાજિત કરે છે, તો ચતુર્ભુજ એક સમાંતરગ્રામ છે.

પુરાવો. જો AO = OS, BO = OD (ફિગ. 233), તો ત્રિકોણ AOD અને BOC સમાન છે, કારણ કે શિરોબિંદુ O પર સમાન ખૂણા (ઊભી!) હોય છે, સમાન બાજુઓ AO અને CO, BO અને DOની જોડી વચ્ચે બંધ હોય છે. ત્રિકોણની સમાનતા પરથી આપણે તારણ કાઢીએ છીએ કે બાજુઓ AD અને BC સમાન છે. બાજુઓ AB અને CD પણ સમાન છે, અને ચતુર્ભુજ લાક્ષણિક ગુણધર્મ G અનુસાર સમાંતર ચતુષ્કોણ તરીકે બહાર આવે છે.

આમ, આપેલ ચતુષ્કોણ એ સમાંતરગ્રામ છે તે સાબિત કરવા માટે, તે ચાર ગુણોમાંથી કોઈપણની માન્યતા ચકાસવા માટે પૂરતું છે. વાચકને સ્વતંત્ર રીતે સમાંતરગ્રામની અન્ય લાક્ષણિકતા સાબિત કરવા માટે આમંત્રિત કરવામાં આવે છે.

5. જો ચતુર્ભુજમાં સમાન, સમાંતર બાજુઓની જોડી હોય, તો તે સમાંતરગ્રામ છે.

કેટલીકવાર સમાંતરગ્રામની સમાંતર બાજુઓની કોઈપણ જોડીને તેના પાયા કહેવામાં આવે છે, પછી અન્ય બેને બાજુની બાજુઓ કહેવામાં આવે છે. સમાંતરગ્રામની બે બાજુઓ પર લંબરૂપ એક સીધી રેખા ખંડ, તેમની વચ્ચે બંધ હોય છે, તેને સમાંતરગ્રામની ઊંચાઈ કહેવામાં આવે છે. ફિગમાં સમાંતરગ્રામ. 234 એ AD અને BC ની બાજુઓ તરફ દોરેલી h ઊંચાઈ ધરાવે છે, તેની બીજી ઊંચાઈ સેગમેન્ટ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

વિડિયો કોર્સ "A મેળવો" માં ગણિતમાં યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષા 60-65 પોઈન્ટ સાથે સફળતાપૂર્વક પાસ કરવા માટે જરૂરી તમામ વિષયોનો સમાવેશ થાય છે. ગણિતમાં પ્રોફાઈલ યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષાના 1-13ના સંપૂર્ણ તમામ કાર્યો. ગણિતમાં મૂળભૂત યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પાસ કરવા માટે પણ યોગ્ય. જો તમે 90-100 પોઈન્ટ્સ સાથે યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષા પાસ કરવા માંગતા હો, તો તમારે 30 મિનિટમાં અને ભૂલો વિના ભાગ 1 હલ કરવાની જરૂર છે!

ગ્રેડ 10-11, તેમજ શિક્ષકો માટે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા માટે તૈયારીનો અભ્યાસક્રમ. ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના ભાગ 1 (પ્રથમ 12 સમસ્યાઓ) અને સમસ્યા 13 (ત્રિકોણમિતિ) ઉકેલવા માટે તમારે જે બધું જોઈએ છે. અને આ યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં 70 થી વધુ પોઈન્ટ્સ છે, અને 100-પોઈન્ટનો વિદ્યાર્થી કે માનવતાનો વિદ્યાર્થી તેમના વિના કરી શકતો નથી.

બધા જરૂરી સિદ્ધાંત. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના ઝડપી ઉકેલો, મુશ્કેલીઓ અને રહસ્યો. FIPI ટાસ્ક બેંકના ભાગ 1 ના તમામ વર્તમાન કાર્યોનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવ્યું છે. અભ્યાસક્રમ યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા 2018 ની આવશ્યકતાઓનું સંપૂર્ણપણે પાલન કરે છે.

કોર્સમાં 5 મોટા વિષયો છે, દરેક 2.5 કલાક. દરેક વિષય શરૂઆતથી, સરળ અને સ્પષ્ટ રીતે આપવામાં આવ્યો છે.

સેંકડો યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા કાર્યો. શબ્દ સમસ્યાઓ અને સંભાવના સિદ્ધાંત. સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે સરળ અને યાદ રાખવામાં સરળ અલ્ગોરિધમ્સ. ભૂમિતિ. સિદ્ધાંત, સંદર્ભ સામગ્રી, તમામ પ્રકારના યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા કાર્યોનું વિશ્લેષણ. સ્ટીરીઓમેટ્રી. મુશ્કેલ ઉકેલો, ઉપયોગી ચીટ શીટ્સ, અવકાશી કલ્પનાનો વિકાસ. શરૂઆતથી સમસ્યા સુધીની ત્રિકોણમિતિ 13. ક્રેમિંગને બદલે સમજણ. જટિલ ખ્યાલોની સ્પષ્ટ સમજૂતી. બીજગણિત. મૂળ, સત્તા અને લઘુગણક, કાર્ય અને વ્યુત્પન્ન. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના ભાગ 2 ની જટિલ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેનો આધાર.

પાઠ વિષય

• સમાંતરગ્રામના કર્ણના ગુણધર્મો.

પાઠ હેતુઓ

• નવી વ્યાખ્યાઓથી પરિચિત થાઓ અને પહેલાથી જ અભ્યાસ કરેલ કેટલીક યાદ રાખો.
• સમાંતરગ્રામના કર્ણની મિલકત જણાવો અને સાબિત કરો.
• સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે આકારના ગુણધર્મો લાગુ કરવાનું શીખો.
• વિકાસલક્ષી – વિદ્યાર્થીઓનું ધ્યાન, દ્રઢતા, દ્રઢતા, તાર્કિક વિચારસરણી, ગાણિતિક ભાષણ વિકસાવવા.
• શૈક્ષણિક - પાઠ દ્વારા, એકબીજા પ્રત્યે સચેત વલણ કેળવો, સાથીઓને સાંભળવાની ક્ષમતા, પરસ્પર સહાયતા અને સ્વતંત્રતા કેળવો.

પાઠ હેતુઓ

• વિદ્યાર્થીઓની સમસ્યાનું નિરાકરણ કરવાની કુશળતાનું પરીક્ષણ કરો.

પાઠ યોજના

1. પ્રારંભિક ટિપ્પણી.
2. અગાઉ અભ્યાસ કરેલ સામગ્રીનું પુનરાવર્તન.
3. સમાંતરગ્રામ, તેના ગુણધર્મો અને લક્ષણો.
4. કાર્યોના ઉદાહરણો.
5. સ્વ-તપાસ.

પરિચય

"મોટી વૈજ્ઞાનિક શોધ મોટી સમસ્યાનો ઉકેલ આપે છે, પરંતુ કોઈપણ સમસ્યાના ઉકેલમાં શોધનો દાણો હોય છે."

સમાંતરગ્રામની વિરુદ્ધ બાજુઓની મિલકત

સમાંતરગ્રામની વિરુદ્ધ બાજુઓ સમાન હોય છે.

પુરાવો.

ABCD ને આપેલ સમાંતર ચતુષ્કોણ ગણીએ. અને તેના કર્ણને બિંદુ O પર છેદવા દો.
ત્રિકોણની સમાનતાના પ્રથમ માપદંડ દ્વારા Δ AOB = Δ COD (∠ AOB = ∠ COD, ઊભી રાશિઓ તરીકે, AO=OC, DO=OB, સમાંતરગ્રામના કર્ણના ગુણધર્મ દ્વારા), પછી AB=CD. તે જ રીતે, ત્રિકોણ BOC અને DOA ની સમાનતા પરથી, તે BC = DA ને અનુસરે છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

સમાંતરગ્રામના વિરોધી ખૂણાઓની મિલકત

સમાંતરગ્રામમાં, વિરોધી ખૂણા સમાન હોય છે.

પુરાવો.

ABCD ને આપેલ સમાંતર ચતુષ્કોણ ગણીએ. અને તેના કર્ણને બિંદુ O પર છેદવા દો.
ત્રણ બાજુઓ પર સમાંતર ચતુષ્કોણ Δ ABC = Δ CDA ની વિરુદ્ધ બાજુઓના ગુણધર્મો વિશે પ્રમેયમાં શું સાબિત થયું હતું (AB=CD, BC=DA જે સાબિત થયું હતું, AC – સામાન્ય). ત્રિકોણની સમાનતા પરથી તે અનુસરે છે કે ∠ ABC = ∠ CDA.
તે પણ સાબિત થાય છે કે ∠ DAB = ∠ BCD, જે ∠ ABD = ∠ CDB માંથી અનુસરે છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

સમાંતરગ્રામના કર્ણની મિલકત

સમાંતરગ્રામના કર્ણ એકબીજાને છેદે છે અને આંતરછેદના બિંદુ પર દ્વિભાજિત થાય છે.

પુરાવો.

ABCD ને આપેલ સમાંતર ચતુષ્કોણ ગણવા દો. ચાલો કર્ણ AC દોરીએ. ચાલો તેના પર મધ્ય O ને ચિહ્નિત કરીએ DO ની ચાલુ રાખવા પર, આપણે DO ની બરાબર OB 1 ને બાજુ પર રાખીશું.
અગાઉના પ્રમેય દ્વારા, AB 1 CD એ સમાંતરગ્રામ છે. તેથી, રેખા AB 1 એ DC ની સમાંતર છે. પરંતુ બિંદુ A દ્વારા DC ની સમાંતર માત્ર એક રેખા દોરી શકાય છે. આનો અર્થ એ છે કે સીધો AB 1 સીધા AB સાથે એકરુપ છે.
એ પણ સાબિત થાય છે કે BC 1 એ BC સાથે એકરુપ છે. આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ C C 1 સાથે એકરુપ છે. સમાંતરગ્રામ ABCD સમાંતરગ્રામ AB 1 CD સાથે એકરુપ છે. પરિણામે, સમાંતરગ્રામના કર્ણ એકબીજાને છેદે છે અને આંતરછેદના બિંદુ પર દ્વિભાજિત થાય છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

નિયમિત શાળાઓના પાઠ્યપુસ્તકોમાં (ઉદાહરણ તરીકે, પોગોરેલોવોમાં) તે આ રીતે સાબિત થાય છે: કર્ણ સમાંતરગ્રામને 4 ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે. ચાલો એક જોડીને ધ્યાનમાં લઈએ અને શોધી કાઢીએ - તે સમાન છે: તેમના પાયા વિરુદ્ધ બાજુઓ છે, તેને અડીને આવેલા અનુરૂપ ખૂણા સમાન છે, જેમ કે સમાંતર રેખાઓ સાથે ઊભી ખૂણાઓ. એટલે કે, કર્ણ વિભાગો જોડીમાં સમાન છે. બધા.

તે બધા છે?
તે ઉપર સાબિત થયું હતું કે આંતરછેદ બિંદુ કર્ણને વિભાજિત કરે છે - જો તે અસ્તિત્વમાં છે. ઉપરોક્ત તર્ક કોઈપણ રીતે તેનું અસ્તિત્વ સાબિત કરતું નથી. એટલે કે, પ્રમેયનો એક ભાગ "સમાંતરગ્રામના કર્ણ એકબીજાને છેદે છે" અપ્રમાણિત રહે છે.

મજાની વાત એ છે કે આ ભાગ સાબિત કરવો વધુ મુશ્કેલ છે. આ, માર્ગ દ્વારા, વધુ સામાન્ય પરિણામ પરથી નીચે મુજબ છે: કોઈપણ બહિર્મુખ ચતુર્ભુજને છેદતી કર્ણ હશે, પરંતુ કોઈપણ બિન-બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ નહીં.

એક બાજુ અને બે અડીને આવેલા ખૂણાઓ (ત્રિકોણની સમાનતાનું બીજું ચિહ્ન) અને અન્ય સાથે ત્રિકોણની સમાનતા પર.

થેલ્સને એક બાજુ અને બે અડીને આવેલા ખૂણાઓ સાથેના બે ત્રિકોણની સમાનતા પરના પ્રમેય માટે એક મહત્વપૂર્ણ વ્યવહારુ ઉપયોગ મળ્યો. દરિયામાં જહાજનું અંતર નક્કી કરવા માટે મિલેટસના બંદરમાં રેન્જ ફાઇન્ડર બનાવવામાં આવ્યું હતું. તેમાં ત્રણ ચાલિત પેગ્સ A, B અને C (AB = BC) અને CA ને લંબરૂપ સીધી રેખા SC નો સમાવેશ થાય છે. જ્યારે SK સીધી રેખા પર એક જહાજ દેખાયું, ત્યારે અમને બિંદુ D એવું મળ્યું કે બિંદુઓ D, .B અને E સમાન સીધી રેખા પર હતા. ડ્રોઇંગ પરથી સ્પષ્ટ છે તેમ, જમીન પરનું અંતર સીડી એ જહાજનું ઇચ્છિત અંતર છે.

પ્રશ્નો

1. શું ચોરસના કર્ણને આંતરછેદના બિંદુથી અડધા ભાગમાં વહેંચવામાં આવે છે?
   
2. શું સમાંતરગ્રામના કર્ણ સમાન છે?
3. શું સમાંતરગ્રામના વિરોધી ખૂણા સમાન છે?
4. સમાંતરગ્રામની વ્યાખ્યા જણાવો?
5. સમાંતરગ્રામના કેટલા ચિહ્નો?
   
6. શું સમચતુર્ભુજ સમાંતરગ્રામ હોઈ શકે?
   

વપરાયેલ સ્ત્રોતોની યાદી

1. કુઝનેત્સોવ એ.વી., ગણિતના શિક્ષક (ગ્રેડ 5-9), કિવ
2. “યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા 2006. ગણિત. વિદ્યાર્થીઓને તૈયાર કરવા માટેની શૈક્ષણિક અને તાલીમ સામગ્રી
3. મઝુર કે.આઈ. "એમ. આઈ. સ્કાનવી દ્વારા સંપાદિત સંગ્રહના ગણિતમાં મુખ્ય સ્પર્ધાની સમસ્યાઓનું નિરાકરણ"
4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina “ભૂમિતિ, 7 – 9: શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક”

અમે પાઠ પર કામ કર્યું

કુઝનેત્સોવ એ.વી.

પોટર્નક એસ.એ.

એવજેની પેટ્રોવ

તમે આધુનિક શિક્ષણ વિશે કોઈ પ્રશ્ન ઉઠાવી શકો છો, કોઈ વિચાર વ્યક્ત કરી શકો છો અથવા કોઈ મહત્ત્વની સમસ્યાનું નિરાકરણ કરી શકો છો શૈક્ષણિક ફોરમ, જ્યાં તાજા વિચાર અને કાર્યની શૈક્ષણિક પરિષદ આંતરરાષ્ટ્રીય સ્તરે મળે છે. બનાવીને બ્લોગતમે માત્ર એક સક્ષમ શિક્ષક તરીકે તમારી સ્થિતિને સુધારશો નહીં, પરંતુ ભવિષ્યની શાળાના વિકાસમાં પણ મહત્વપૂર્ણ યોગદાન કરશો. શૈક્ષણિક નેતાઓનું ગિલ્ડટોચના ક્રમાંકિત નિષ્ણાતો માટે દરવાજા ખોલે છે અને તેમને વિશ્વની શ્રેષ્ઠ શાળાઓ બનાવવામાં સહકાર આપવા આમંત્રણ આપે છે.

સમાંતર ચતુષ્કોણ એ ચતુષ્કોણ છે જેની વિરુદ્ધ બાજુઓ જોડીમાં સમાંતર હોય છે. નીચેની આકૃતિ સમાંતર ABCD બતાવે છે. તેની બાજુ CD ની સમાંતર બાજુ AB અને બાજુ AD ની સમાંતર બાજુ BC છે.

જેમ તમે અનુમાન કર્યું હશે, સમાંતર ચતુષ્કોણ એ બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ છે. ચાલો સમાંતરગ્રામના મૂળભૂત ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈએ.

સમાંતરગ્રામના ગુણધર્મો

1. સમાંતરગ્રામમાં, વિરોધી ખૂણા અને વિરુદ્ધ બાજુઓ સમાન હોય છે. ચાલો આ ગુણધર્મને સાબિત કરીએ - નીચેની આકૃતિમાં પ્રસ્તુત સમાંતરગ્રામને ધ્યાનમાં લો.

વિકર્ણ BD તેને બે સમાન ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે: ABD અને CBD. તે બાજુના BD અને તેની બાજુના બે ખૂણાઓ સાથે સમાન છે, કારણ કે ખૂણાઓ અનુક્રમે BC અને AD અને AB અને CD ની સમાંતર રેખાઓના સીકન્ટ BD પર ક્રોસવાઇઝ આવેલા છે. તેથી AB = CD અને
BC = AD. અને કોણ 1, 2, 3 અને 4 ની સમાનતા પરથી તે કોણ A = કોણ1 + કોણ3 = કોણ2 + કોણ 4 = કોણ C અનુસરે છે.

2. સમાંતરગ્રામના કર્ણને આંતરછેદના બિંદુ દ્વારા અડધા ભાગમાં વહેંચવામાં આવે છે. બિંદુ O એ સમાંતર ABCD ના કર્ણ AC અને BD ના આંતરછેદ બિંદુ છે.

પછી ત્રિકોણ AOB અને ત્રિકોણ COD એકબીજાના સમાન છે, બાજુ અને બે અડીને આવેલા ખૂણાઓ સાથે. (AB = CD કારણ કે આ સમાંતરગ્રામની વિરુદ્ધ બાજુઓ છે. અને કોણ 1 = કોણ2 અને કોણ3 = કોણ 4 એ ક્રોસવાઇઝ ખૂણા જેવા છે જ્યારે AB અને CD રેખાઓ અનુક્રમે AC અને BD સાથે છેદે છે.) આના પરથી તે અનુસરે છે કે AO = OC અને OB = OD, જે અને સાબિત કરવાની જરૂર છે.

તમામ મુખ્ય ગુણધર્મો નીચેના ત્રણ આકૃતિઓમાં દર્શાવવામાં આવ્યા છે.

આ એક ચતુષ્કોણ છે જેની વિરુદ્ધ બાજુઓ જોડીમાં સમાંતર છે.

મિલકત 1. સમાંતરગ્રામનો કોઈપણ કર્ણ તેને બે સમાન ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે.

પુરાવો. II લાક્ષણિકતા અનુસાર (ક્રોસવાઇઝ કોણ અને સામાન્ય બાજુ).

પ્રમેય સાબિત થાય છે.

મિલકત 2. સમાંતરગ્રામમાં, વિરોધી બાજુઓ સમાન હોય છે અને વિરોધી ખૂણા સમાન હોય છે.

પુરાવો.
તેવી જ રીતે,

પ્રમેય સાબિત થાય છે.

ગુણધર્મ 3. સમાંતર ચતુષ્કોણમાં, કર્ણને આંતરછેદના બિંદુ દ્વારા દ્વિભાજિત કરવામાં આવે છે.

પુરાવો.

પ્રમેય સાબિત થાય છે.

મિલકત 4. સમાંતરગ્રામનો કોણ દ્વિભાજક, વિરુદ્ધ બાજુને પાર કરીને, તેને સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ અને ટ્રેપેઝોઇડમાં વિભાજિત કરે છે. (Ch. શબ્દો - શિરોબિંદુ - બે સમદ્વિબાજુ? -ka).

પુરાવો.

પ્રમેય સાબિત થાય છે.

મિલકત 5. સમાંતર ચતુષ્કોણમાં, વિકર્ણોના આંતરછેદના બિંદુમાંથી પસાર થતી વિરુદ્ધ બાજુઓ પરના અંત સાથેનો રેખાખંડ આ બિંદુ દ્વારા દ્વિભાજિત થાય છે.

પુરાવો.

પ્રમેય સાબિત થાય છે.

મિલકત 6. સમાંતર ચતુષ્કોણના સ્થૂળ ખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી નીચે પડેલા ઊંચાઈ વચ્ચેનો ખૂણો સમાંતર ચતુષ્કોણના તીવ્ર કોણ જેટલો છે.

પુરાવો.

પ્રમેય સાબિત થાય છે.

મિલકત 7. એક બાજુને અડીને આવેલા સમાંતરગ્રામના ખૂણાઓનો સરવાળો 180° છે.

પુરાવો.

પ્રમેય સાબિત થાય છે.

ખૂણાના દ્વિભાજકનું નિર્માણ. ત્રિકોણના કોણ દ્વિભાજકના ગુણધર્મો.

1) મનસ્વી કિરણ DE બનાવો.

2) આપેલ કિરણ પર, શિરોબિંદુ પર કેન્દ્ર સાથે એક મનસ્વી વર્તુળ બનાવો અને તે જ
બાંધેલા કિરણની શરૂઆતમાં કેન્દ્ર સાથે.

3) F અને G - આપેલ કોણની બાજુઓ સાથે વર્તુળના આંતરછેદના બિંદુઓ, H - બાંધેલા કિરણ સાથે વર્તુળના આંતરછેદના બિંદુઓ

બિંદુ H અને FG ની બરાબર ત્રિજ્યા પર કેન્દ્ર સાથે વર્તુળ બનાવો.

5) I એ બાંધેલા બીમના વર્તુળોના આંતરછેદનું બિંદુ છે.

6) શિરોબિંદુ અને I દ્વારા સીધી રેખા દોરો.

IDH જરૂરી કોણ છે.
)

મિલકત 1. ત્રિકોણના ખૂણાનો દ્વિભાજક બાજુની બાજુઓના પ્રમાણમાં વિરુદ્ધ બાજુને વિભાજિત કરે છે.

પુરાવો. ચાલો x, y બાજુ c ના સેગમેન્ટ્સ હોઈએ. ચાલો બીમ બીસી ચાલુ રાખીએ. કિરણ BC પર આપણે C માંથી AC ની સમાન CK ખંડને પ્લોટ કરીએ છીએ.