સંખ્યાઓ જે તર્કસંગત છે. અનંત બિન-સામયિક અપૂર્ણાંક

) એ સકારાત્મક અથવા નકારાત્મક ચિહ્ન (પૂર્ણાંકો અને અપૂર્ણાંક) અને શૂન્ય સાથેની સંખ્યાઓ છે. તર્કસંગત સંખ્યાઓનો વધુ ચોક્કસ ખ્યાલ આના જેવો લાગે છે:

તર્કસંગત સંખ્યા- એક સંખ્યા જે સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ થાય છે m/n, જ્યાં અંશ mપૂર્ણાંકો છે, અને છેદ n- કુદરતી સંખ્યાઓ, ઉદાહરણ તરીકે 2/3.

અનંત બિન-સામયિક અપૂર્ણાંકો તર્કસંગત સંખ્યાઓના સમૂહમાં સમાવિષ્ટ નથી.

a/b, ક્યાં a∈ ઝેડ (aપૂર્ણાંક સાથે સંબંધિત છે), b∈ એન (bકુદરતી સંખ્યાઓથી સંબંધિત છે).

વાસ્તવિક જીવનમાં તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ઉપયોગ.

વાસ્તવિક જીવનમાં, કેટલાક પૂર્ણાંક વિભાજ્ય પદાર્થોના ભાગોની ગણતરી કરવા માટે તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ વપરાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, કેક અથવા અન્ય ખાદ્યપદાર્થો કે જે વપરાશ પહેલાં ટુકડાઓમાં કાપવામાં આવે છે, અથવા વિસ્તૃત વસ્તુઓના અવકાશી સંબંધોનો અંદાજ કાઢવા માટે.

તર્કસંગત સંખ્યાઓના ગુણધર્મો.

તર્કસંગત સંખ્યાઓના મૂળભૂત ગુણધર્મો.

1. સુવ્યવસ્થિતતા aઅને bત્યાં એક નિયમ છે જે તમને અસ્પષ્ટપણે 1 અને તેમની વચ્ચેના 3 સંબંધોમાંથી ફક્ત એકને ઓળખવાની મંજૂરી આપે છે: “<», «>" અથવા "=". આ છે નિયમ - ઓર્ડર કરવાનો નિયમઅને તેને આ પ્રમાણે બનાવો:

• 2 હકારાત્મક સંખ્યાઓ a=m a /n aઅને b=m b /n b 2 પૂર્ણાંકો જેવા જ સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે m a⋅ n bઅને m b⋅ n એ;
• 2 નકારાત્મક સંખ્યાઓ aઅને b 2 હકારાત્મક સંખ્યાઓના સમાન ગુણોત્તરથી સંબંધિત છે |b|અને |a|;
• જ્યારે aહકારાત્મક અને b- પછી નકારાત્મક a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. એડિશન ઓપરેશન. તમામ તર્કસંગત સંખ્યાઓ માટે aઅને bછે સરવાળો નિયમ, જે તેમને ચોક્કસ તર્કસંગત સંખ્યા સાથે સાંકળે છે c. વધુમાં, નંબર પોતે c- આ સરવાળોસંખ્યાઓ aઅને bઅને તે તરીકે સૂચવવામાં આવે છે (a+b) સમીકરણ.

સમીકરણ નિયમઆના જેવો દેખાય છે:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ n b + m b⋅ n એ)/(એન એ⋅ n b).

∀ a,b∈ પ્ર∃ !(a+b)∈ પ્ર

3. ગુણાકાર કામગીરી. તમામ તર્કસંગત સંખ્યાઓ માટે aઅને bછે ગુણાકારનો નિયમ, તે તેમને ચોક્કસ તર્કસંગત સંખ્યા સાથે સાંકળે છે c. નંબર c કહેવાય છે કામસંખ્યાઓ aઅને bઅને સૂચવો (a⋅b), અને આ નંબર શોધવાની પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે ગુણાકાર.

ગુણાકારનો નિયમઆના જેવો દેખાય છે: m a n a⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. ઓર્ડર સંબંધની સંક્રમણાત્મકતા.કોઈપણ ત્રણ તર્કસંગત સંખ્યાઓ માટે a, bઅને cજો aઓછું bઅને bઓછું c, તે aઓછું c, અને જો aબરાબર bઅને bબરાબર c, તે aબરાબર c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. ઉમેરાની કોમ્યુટેટીવીટી. તર્કસંગત શબ્દોના સ્થાનો બદલવાથી સરવાળો બદલાતો નથી.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. એસોસિએટિવિટી ઉમેરો. જે ક્રમમાં 3 તર્કસંગત સંખ્યાઓ ઉમેરવામાં આવે છે તે પરિણામને અસર કરતું નથી.

∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. શૂન્યની હાજરી. ત્યાં એક તર્કસંગત સંખ્યા 0 છે, જ્યારે ઉમેરવામાં આવે ત્યારે તે દરેક અન્ય તર્કસંગત સંખ્યાને સાચવે છે.

∃ 0 ∈ પ્ર∀ a∈ Q a+0=a

8. વિરોધી સંખ્યાઓની હાજરી. કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાની વિપરિત તર્કસંગત સંખ્યા હોય છે, અને જ્યારે તે ઉમેરવામાં આવે છે, ત્યારે પરિણામ 0 આવે છે.

∀ a∈ પ્ર∃ (-a)∈ Q a+(−a)=0

9. ગુણાકારની કોમ્યુટેટીવીટી. તર્કસંગત પરિબળોના સ્થાનો બદલવાથી ઉત્પાદન બદલાતું નથી.

∀ a,b∈ સ એ⋅ b=b⋅ a

10. ગુણાકારની સહયોગીતા. જે ક્રમમાં 3 તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે તેની પરિણામ પર કોઈ અસર થતી નથી.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. એકમની ઉપલબ્ધતા. એક તર્કસંગત સંખ્યા 1 છે, તે ગુણાકારની પ્રક્રિયામાં દરેક અન્ય તર્કસંગત સંખ્યાને સાચવે છે.

∃ 1 ∈ પ્ર∀ a∈ સ એ⋅ 1=a

12. પારસ્પરિક સંખ્યાઓની હાજરી. શૂન્ય સિવાયની દરેક તર્કસંગત સંખ્યાને વ્યસ્ત તર્કસંગત સંખ્યા હોય છે, જેનાથી ગુણાકાર કરવાથી આપણને 1 મળે છે. .

∀ a∈ પ્ર∃ a−1∈ સ એ⋅ a−1=1

13. સરવાળાની તુલનામાં ગુણાકારની વિતરણતા. ગુણાકારની ક્રિયા વિતરણ કાયદાનો ઉપયોગ કરીને ઉમેરા સાથે સંબંધિત છે:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. ઓર્ડર સંબંધ અને ઉમેરણ કામગીરી વચ્ચેનો સંબંધ. તર્કસંગત અસમાનતાની ડાબી અને જમણી બાજુએ સમાન તર્કસંગત સંખ્યા ઉમેરવામાં આવે છે.

∀ a,b,c∈ સ એ ⇒ a+c

15. ક્રમ સંબંધ અને ગુણાકારની ક્રિયા વચ્ચેનો સંબંધ. તર્કસંગત અસમાનતાની ડાબી અને જમણી બાજુઓને સમાન બિન-નકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરી શકાય છે.

∀ a,b,c∈ Q c>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

16. આર્કિમિડીઝનું સ્વયંસિદ્ધ. તર્કસંગત સંખ્યા ગમે તે હોય a, એટલા બધા એકમો લેવાનું સરળ છે કે તેમનો સરવાળો વધારે હશે a.

આ પાઠમાં આપણે ઘણી તર્કસંગત સંખ્યાઓ વિશે શીખીશું. ચાલો તર્કસંગત સંખ્યાઓના મૂળભૂત ગુણધર્મોનું વિશ્લેષણ કરીએ, દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં અને તેનાથી વિપરીત કેવી રીતે રૂપાંતરિત કરવું તે શીખીએ.

આપણે પ્રાકૃતિક અને પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના સેટ વિશે પહેલેથી જ વાત કરી છે. કુદરતી સંખ્યાઓનો સમૂહ એ પૂર્ણાંકોનો ઉપગણ છે.

હવે આપણે અપૂર્ણાંક શું છે તે શીખ્યા અને તેમની સાથે કેવી રીતે કામ કરવું તે શીખ્યા. અપૂર્ણાંક, ઉદાહરણ તરીકે, પૂર્ણ સંખ્યા નથી. આનો અર્થ એ છે કે આપણે સંખ્યાઓના નવા સમૂહનું વર્ણન કરવાની જરૂર છે, જેમાં તમામ અપૂર્ણાંકો શામેલ હશે, અને આ સમૂહને નામ, સ્પષ્ટ વ્યાખ્યા અને હોદ્દાની જરૂર છે.

ચાલો નામ સાથે શરૂ કરીએ. લેટિન શબ્દનો ગુણોત્તર રશિયનમાં ગુણોત્તર, અપૂર્ણાંક તરીકે અનુવાદિત થાય છે. નવા સમૂહનું નામ “તર્કસંગત સંખ્યાઓ” આ શબ્દ પરથી આવ્યું છે. એટલે કે, "તર્કસંગત સંખ્યાઓ" નો અનુવાદ "અપૂર્ણાંક સંખ્યા" તરીકે કરી શકાય છે.

ચાલો જાણીએ કે આ સમૂહમાં કઈ સંખ્યાઓ છે. અમે ધારી શકીએ છીએ કે તે તમામ અપૂર્ણાંકોનો સમાવેશ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જેમ કે - . પરંતુ આવી વ્યાખ્યા સંપૂર્ણપણે સાચી નથી. અપૂર્ણાંક પોતે સંખ્યા નથી, પરંતુ સંખ્યા લખવાનું એક સ્વરૂપ છે. નીચેના ઉદાહરણમાં, બે અલગ અલગ અપૂર્ણાંકો સમાન સંખ્યાને રજૂ કરે છે:

પછી તે કહેવું વધુ સચોટ હશે કે તર્કસંગત સંખ્યાઓ તે સંખ્યાઓ છે જે અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. અને આ, વાસ્તવમાં, લગભગ સમાન વ્યાખ્યા છે જેનો ઉપયોગ ગણિતમાં થાય છે.

આ સમૂહ પત્ર દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવ્યો છે. પ્રાકૃતિક અને પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના સમૂહો નવા તર્કસંગત સંખ્યાઓ સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે? કુદરતી સંખ્યાને અપૂર્ણાંક તરીકે અસંખ્ય રીતે લખી શકાય છે. અને કારણ કે તે અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, તો તે તર્કસંગત પણ છે.

નકારાત્મક પૂર્ણાંકો સાથે પરિસ્થિતિ સમાન છે. કોઈપણ નકારાત્મક પૂર્ણાંકને અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે . શું શૂન્ય સંખ્યાને અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરવી શક્ય છે? અલબત્ત, તમે અસંખ્ય રીતે પણ કરી શકો છો .

આમ, બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ અને તમામ પૂર્ણાંકો પણ તર્કસંગત સંખ્યાઓ છે. પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ અને પૂર્ણાંકોના સેટ એ તર્કસંગત સંખ્યાઓ () ના સમૂહના ઉપગણ છે.

અંકગણિત કામગીરીના સંદર્ભમાં સેટની બંધતા

નવી સંખ્યાઓ રજૂ કરવાની જરૂરિયાત - પૂર્ણાંકો, પછી તર્કસંગત - ફક્ત વાસ્તવિક જીવનની સમસ્યાઓ દ્વારા જ સમજાવી શકાય છે. અંકગણિતની કામગીરી પોતે જ આપણને આ કહે છે. ચાલો બે કુદરતી સંખ્યાઓ ઉમેરીએ: . આપણને ફરીથી કુદરતી સંખ્યા મળે છે.

તેઓ કહે છે કે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમૂહ વધારાની કામગીરી હેઠળ બંધ છે (વધારા હેઠળ બંધ). તમારા માટે વિચારો કે શું કુદરતી સંખ્યાઓનો સમૂહ ગુણાકાર હેઠળ બંધ છે.

જલદી આપણે સંખ્યામાંથી સમાન અથવા મોટી વસ્તુને બાદ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ, આપણી પાસે કુદરતી સંખ્યાઓ ઓછી રહી જાય છે. શૂન્ય અને નકારાત્મક પૂર્ણાંકોનો પરિચય પરિસ્થિતિને સુધારે છે:

પૂર્ણાંકોનો સમૂહ બાદબાકી હેઠળ બંધ છે. પરિણામ લખવા માટે સંખ્યા ન હોવાના ડર વિના આપણે કોઈપણ પૂર્ણાંક ઉમેરી અને બાદ કરી શકીએ છીએ (ઉમેરા અને બાદબાકી માટે બંધ).

શું પૂર્ણાંકોનો સમૂહ ગુણાકાર હેઠળ બંધ છે? હા, કોઈપણ બે પૂર્ણાંકોનો ગુણાંક પૂર્ણાંકમાં પરિણમે છે (વધારા, બાદબાકી અને ગુણાકાર હેઠળ બંધ).

એક વધુ ક્રિયા બાકી છે - વિભાગ. શું પૂર્ણાંકોનો સમૂહ વિભાગ હેઠળ બંધ છે? જવાબ સ્પષ્ટ છે: ના. ચાલો દ્વારા વિભાજીત કરીએ. પૂર્ણાંકોમાં જવાબ લખવા માટે આવી કોઈ સંખ્યા નથી: .

પરંતુ અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને, આપણે લગભગ હંમેશા એક પૂર્ણાંકને બીજા દ્વારા વિભાજિત કરવાના પરિણામને લખી શકીએ છીએ. શા માટે લગભગ? ચાલો યાદ રાખીએ કે, વ્યાખ્યા દ્વારા, તમે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી.

આમ, તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ (જે અપૂર્ણાંક રજૂ કરવામાં આવે ત્યારે ઉદ્ભવે છે) ચારેય અંકગણિત ક્રિયાઓ હેઠળ બંધ સમૂહ હોવાનો દાવો કરે છે.

ચાલો તેને તપાસીએ.

એટલે કે, તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ શૂન્ય વડે ભાગાકારને બાદ કરતાં, સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર હેઠળ બંધ છે. આ અર્થમાં, આપણે કહી શકીએ કે પ્રાકૃતિક અને પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના અગાઉના સેટ કરતાં તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ "વધુ સારી" છે. શું આનો અર્થ એવો થાય છે કે તર્કસંગત સંખ્યાઓ એ છેલ્લો સંખ્યા સમૂહ છે જેનો આપણે અભ્યાસ કરીએ છીએ? ના. ત્યારબાદ, આપણી પાસે અન્ય સંખ્યાઓ હશે જે અપૂર્ણાંક તરીકે લખી શકાતી નથી, ઉદાહરણ તરીકે, અતાર્કિક.

એક સાધન તરીકે સંખ્યાઓ

સંખ્યાઓ એ એક સાધન છે જે માણસે જરૂરિયાત મુજબ બનાવ્યું છે.

ચોખા. 1. કુદરતી સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરવો

પાછળથી, જ્યારે નાણાકીય ગણતરીઓ હાથ ધરવી જરૂરી હતી, ત્યારે તેઓએ સંખ્યાની આગળ વત્તા અથવા ઓછા ચિહ્નો મૂકવાનું શરૂ કર્યું, જે સૂચવે છે કે મૂળ મૂલ્ય વધારવું કે ઘટાડવું જોઈએ. આ રીતે નકારાત્મક અને સકારાત્મક સંખ્યાઓ દેખાય છે. નવા સમૂહને પૂર્ણાંકોનો સમૂહ () કહેવામાં આવતું હતું.

ચોખા. 2. અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને

તેથી, એક નવું સાધન દેખાય છે, નવી સંખ્યાઓ - અપૂર્ણાંક. અમે તેમને વિવિધ સમકક્ષ રીતે લખીએ છીએ: સામાન્ય અને દશાંશ અપૂર્ણાંક ( ).

બધી સંખ્યાઓ - "જૂની" (પૂર્ણાંક) અને "નવી" (અપૂર્ણાંક) - એક સમૂહમાં જોડાઈ હતી અને તેને તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ કહે છે (- પરિમેય સંખ્યાઓ)

તેથી, તર્કસંગત સંખ્યા એ એવી સંખ્યા છે જે સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. પરંતુ ગણિતમાં આ વ્યાખ્યા વધુ શુદ્ધ છે. કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાને સકારાત્મક છેદ સાથે અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, એટલે કે, કુદરતી સંખ્યા સાથે પૂર્ણાંકનો ગુણોત્તર: .

પછી આપણે વ્યાખ્યા મેળવીએ છીએ: સંખ્યાને તર્કસંગત કહેવામાં આવે છે જો તેને પૂર્ણાંક અંશ અને કુદરતી છેદ સાથે અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય ( ).

સામાન્ય અપૂર્ણાંકો ઉપરાંત, આપણે દશાંશનો પણ ઉપયોગ કરીએ છીએ. ચાલો જોઈએ કે તેઓ તર્કસંગત સંખ્યાઓના સમૂહ સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે.

દશાંશ ત્રણ પ્રકારના હોય છે: મર્યાદિત, સામયિક અને બિન-સામયિક.

અનંત બિન-સામયિક અપૂર્ણાંકો: આવા અપૂર્ણાંકોમાં પણ અસંખ્ય દશાંશ સ્થાનો હોય છે, પરંતુ કોઈ અવધિ નથી. ઉદાહરણ PI નું દશાંશ સંકેત છે:

વ્યાખ્યા દ્વારા કોઈપણ મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંક એ છેદ વગેરે સાથેનો સામાન્ય અપૂર્ણાંક છે.

ચાલો દશાંશ અપૂર્ણાંકને મોટેથી વાંચીએ અને તેને સામાન્ય સ્વરૂપમાં લખીએ: , .

જ્યારે દશાંશમાં અપૂર્ણાંક તરીકે લખીને પાછા જઈએ, ત્યારે તમે મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંક અથવા અનંત સામયિક અપૂર્ણાંક મેળવી શકો છો.

અપૂર્ણાંકમાંથી દશાંશમાં રૂપાંતર કરવું

સૌથી સરળ કેસ એ છે કે જ્યારે અપૂર્ણાંકનો છેદ દસની ઘાત છે: વગેરે. પછી આપણે દશાંશ અપૂર્ણાંકની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

એવા અપૂર્ણાંકો છે જેમના છેદને સરળતાથી આ સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે: . આવા સંકેત પર જવાનું શક્ય છે જો છેદના વિસ્તરણમાં ફક્ત બે અને પાંચનો સમાવેશ થાય છે.

છેદમાં ત્રણ બે અને એક પાંચનો સમાવેશ થાય છે. દરેક એક દસ બનાવે છે. આનો અર્થ એ છે કે આપણે બે ખૂટે છે. અંશ અને છેદ બંને વડે ગુણાકાર કરો:

તે અલગ રીતે કરી શકાયું હોત. કૉલમ દ્વારા વિભાજીત કરો (ફિગ. 1 જુઓ).

ચોખા. 2. કૉલમ વિભાગ

સાથેના કિસ્સામાં, છેદને અથવા અન્ય અંકની સંખ્યામાં ફેરવી શકાતું નથી, કારણ કે તેના વિસ્તરણમાં ટ્રિપલનો સમાવેશ થાય છે. ફક્ત એક જ રસ્તો બાકી છે - કૉલમમાં વિભાજીત કરવા માટે (ફિગ 2 જુઓ).

દરેક પગલા પર આવો વિભાજન શેષ અને એક ભાગ આપશે. આ પ્રક્રિયા અનંત છે. એટલે કે, આપણને અવધિ સાથે અનંત સામયિક અપૂર્ણાંક મળ્યો

ચાલો પ્રેક્ટિસ કરીએ. ચાલો સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરીએ.

આ તમામ ઉદાહરણોમાં, અમે અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંક સાથે સમાપ્ત થયા કારણ કે છેદના વિસ્તરણમાં ફક્ત બે અને પાંચનો સમાવેશ થાય છે.

(ચાલો કોષ્ટકમાં વિભાજન કરીને પોતાને તપાસીએ - ફિગ 3 જુઓ).

ચોખા. 3. લાંબા વિભાજન

ચોખા. 4. કૉલમ વિભાગ

(ફિગ. 4 જુઓ)

છેદના વિસ્તરણમાં ટ્રિપલનો સમાવેશ થાય છે, જેનો અર્થ છે છેદને સ્વરૂપમાં લાવવું વગેરે. તે કામ કરશે નહીં. દ્વારા કૉલમમાં વિભાજીત કરો. પરિસ્થિતિનું પુનરાવર્તન થશે. પરિણામ રેકોર્ડમાં અસંખ્ય ત્રિપુટીઓ હશે. આમ, .

(ફિગ 5 જુઓ)

ચોખા. 5. કૉલમ વિભાગ

તેથી, કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાને સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. આ તેની વ્યાખ્યા છે.

અને કોઈપણ સામાન્ય અપૂર્ણાંકને મર્યાદિત અથવા અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

રેકોર્ડિંગ અપૂર્ણાંકના પ્રકારો:

દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકના રૂપમાં લખવું: ; ;

દશાંશ તરીકે સામાન્ય અપૂર્ણાંક લખવું: (અંતિમ અપૂર્ણાંક); (અનંત સામયિક).

એટલે કે, કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાને મર્યાદિત અથવા સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે લખી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, અંતિમ અપૂર્ણાંકને શૂન્યના સમયગાળા સાથે સામયિક પણ ગણી શકાય.

કેટલીકવાર તર્કસંગત સંખ્યાને બરાબર આ વ્યાખ્યા આપવામાં આવે છે: તર્કસંગત સંખ્યા એવી સંખ્યા છે જે સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે લખી શકાય છે.

સામયિક અપૂર્ણાંક રૂપાંતર

ચાલો સૌપ્રથમ એવા અપૂર્ણાંકને ધ્યાનમાં લઈએ કે જેનો સમયગાળો એક અંકનો હોય છે અને તેમાં કોઈ પૂર્વ-કાળ નથી. ચાલો આ સંખ્યાને અક્ષર વડે દર્શાવીએ. પદ્ધતિ એ જ સમયગાળા સાથે અન્ય નંબર મેળવવાની છે:

આ મૂળ સંખ્યાને વડે ગુણાકાર કરીને કરી શકાય છે. તેથી સંખ્યા સમાન અવધિ ધરાવે છે. સંખ્યામાંથી જ બાદ કરો:

ખાતરી કરવા માટે કે અમે બધું બરાબર કર્યું છે, ચાલો હવે વિપરીત દિશામાં સંક્રમણ કરીએ, જે આપણને પહેલાથી જ જાણીતું છે - દ્વારા કૉલમમાં વિભાજીત કરીને (ફિગ. 1 જુઓ).

વાસ્તવમાં, આપણે સમયગાળા સાથે તેના મૂળ સ્વરૂપમાં સંખ્યા મેળવીએ છીએ.

ચાલો પ્રી-પીરિયડ અને લાંબી અવધિ સાથેની સંખ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ: પદ્ધતિ અગાઉના ઉદાહરણની જેમ બરાબર એ જ રહે છે. અમારે એ જ સમયગાળા સાથેનો નવો નંબર અને સમાન લંબાઈનો પૂર્વ-અવધિ મેળવવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, અવધિની લંબાઈ દ્વારા અલ્પવિરામ માટે જમણી તરફ જવાનું જરૂરી છે, એટલે કે. બે અક્ષરો દ્વારા. મૂળ સંખ્યાનો આનાથી ગુણાકાર કરો:

ચાલો પરિણામી અભિવ્યક્તિમાંથી મૂળ અભિવ્યક્તિ બાદ કરીએ:

તો, અનુવાદ અલ્ગોરિધમ શું છે? સામયિક અપૂર્ણાંકને ફોર્મ વગેરેની સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવો આવશ્યક છે, જેમાં દશાંશ અપૂર્ણાંકના સમયગાળામાં અંકો જેટલા શૂન્ય હોય છે. અમને એક નવું સામયિક મળે છે. ઉદાહરણ તરીકે:

એક સામયિક અપૂર્ણાંકમાંથી બીજાને બાદ કરીને, આપણને અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંક મળે છે:

તે મૂળ સામયિક અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકના રૂપમાં વ્યક્ત કરવાનું બાકી છે.

પ્રેક્ટિસ કરવા માટે, થોડા સામયિક અપૂર્ણાંક જાતે લખો. આ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને, તેમને સામાન્ય અપૂર્ણાંકના રૂપમાં ઘટાડી દો. કેલ્ક્યુલેટર પર તપાસ કરવા માટે, અંશને છેદ દ્વારા વિભાજીત કરો. જો બધું બરાબર છે, તો તમને મૂળ સામયિક અપૂર્ણાંક મળશે

તેથી, આપણે કુદરતી સંખ્યા અને પૂર્ણાંકના ગુણોત્તર તરીકે કોઈપણ મર્યાદિત અથવા અનંત સામયિક અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે લખી શકીએ છીએ. તે. આવા તમામ અપૂર્ણાંક પરિમેય સંખ્યાઓ છે.

બિન-સામયિક અપૂર્ણાંક વિશે શું? તે તારણ આપે છે કે બિન-સામયિક અપૂર્ણાંકોને સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાતા નથી (અમે પુરાવા વિના આ હકીકત સ્વીકારીશું). આનો અર્થ એ છે કે તેઓ તર્કસંગત સંખ્યાઓ નથી. તેમને અતાર્કિક કહેવામાં આવે છે.

અનંત બિન-સામયિક અપૂર્ણાંક

જેમ આપણે પહેલેથી જ કહ્યું છે તેમ, દશાંશ સંકેતમાં તર્કસંગત સંખ્યા કાં તો મર્યાદિત અથવા સામયિક અપૂર્ણાંક છે. આનો અર્થ એ થયો કે જો આપણે અનંત બિન-સામયિક અપૂર્ણાંક બનાવી શકીએ, તો આપણને બિન-તર્કસંગત, એટલે કે, અતાર્કિક સંખ્યા મળશે.

આને બાંધવાની અહીં એક રીત છે: આ સંખ્યાના અપૂર્ણાંક ભાગમાં માત્ર શૂન્ય અને રાશિઓનો સમાવેશ થાય છે. તેમની વચ્ચેના શૂન્યની સંખ્યા દ્વારા વધે છે. પુનરાવર્તિત ભાગને અહીં પ્રકાશિત કરવો અશક્ય છે. એટલે કે, અપૂર્ણાંક સામયિક નથી.

બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકો, એટલે કે, અતાર્કિક સંખ્યાઓ, તમારા પોતાના પર બાંધવાની પ્રેક્ટિસ કરો

અતાર્કિક સંખ્યાનું એક પરિચિત ઉદાહરણ છે pi ( ). આ પ્રવેશમાં કોઈ સમયગાળો નથી. પરંતુ pi ઉપરાંત, અનંતપણે બીજી ઘણી અતાર્કિક સંખ્યાઓ છે. અતાર્કિક સંખ્યાઓ વિશે આપણે પછીથી વધુ વાત કરીશું.

1. ગણિત 5 મા ધોરણ. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I., 31st ed., ભૂંસી નાખ્યું. - M: Mnemosyne, 2013.
2. ગણિત 5 મા ધોરણ. ઇરિના ટી.એમ.. પાઠ્યપુસ્તક વિલેન્કીના એન.યા., એમ.: પરીક્ષા, 2013 માટે વર્કબુક.
3. ગણિત 5 મા ધોરણ. મેર્ઝલ્યાક એ.જી., પોલોન્સકી વી.બી., યાકિર એમ.એસ., એમ.: વેન્ટાના - ગ્રાફ, 2013.

1. Math-prosto.ru ().
2. Cleverstudents.ru ().
3. Mathematics-repetition.com ().

હોમવર્ક

કુદરતી સંખ્યાઓ

કુદરતી સંખ્યાઓની વ્યાખ્યા હકારાત્મક પૂર્ણાંકો છે. કુદરતી સંખ્યાઓનો ઉપયોગ વસ્તુઓની ગણતરી કરવા અને અન્ય ઘણા હેતુઓ માટે થાય છે. આ નંબરો છે:

આ સંખ્યાઓની કુદરતી શ્રેણી છે.
શું શૂન્ય કુદરતી સંખ્યા છે? ના, શૂન્ય એ કુદરતી સંખ્યા નથી.
ત્યાં કેટલી કુદરતી સંખ્યાઓ છે? કુદરતી સંખ્યાઓની અનંત સંખ્યા છે.
સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા કઈ છે? એક સૌથી નાની કુદરતી સંખ્યા છે.
સૌથી મોટી પ્રાકૃતિક સંખ્યા કઈ છે? તેને સ્પષ્ટ કરવું અશક્ય છે, કારણ કે ત્યાં કુદરતી સંખ્યાઓની અનંત સંખ્યા છે.

પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો એ કુદરતી સંખ્યા છે. તેથી, કુદરતી સંખ્યાઓ a અને b ઉમેરી રહ્યા છીએ:

કુદરતી સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન એ કુદરતી સંખ્યા છે. તેથી, કુદરતી સંખ્યાઓ a અને b નું ઉત્પાદન:

c હંમેશા કુદરતી સંખ્યા છે.

કુદરતી સંખ્યાઓનો તફાવત હંમેશા કુદરતી સંખ્યા હોતી નથી. જો મીન્યુએન્ડ સબટ્રાહેન્ડ કરતા મોટો હોય, તો કુદરતી સંખ્યાઓનો તફાવત એ કુદરતી સંખ્યા છે, અન્યથા તે નથી.

પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ભાગ હંમેશા કુદરતી સંખ્યા હોતી નથી. જો કુદરતી સંખ્યાઓ a અને b માટે

જ્યાં c એ કુદરતી સંખ્યા છે, તેનો અર્થ એ છે કે a એ b વડે વિભાજ્ય છે. આ ઉદાહરણમાં, a એ ડિવિડન્ડ છે, b એ વિભાજક છે, c એ ભાગાંક છે.

પ્રાકૃતિક સંખ્યાનો વિભાજક એ એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જેના દ્વારા પ્રથમ સંખ્યાને પૂર્ણ વડે ભાગી શકાય છે.

દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા એક અને તેના દ્વારા વિભાજ્ય છે.

અવિભાજ્ય પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ ફક્ત એક અને પોતાના દ્વારા વિભાજ્ય છે. અહીં અમારો અર્થ સંપૂર્ણપણે વિભાજિત છે. ઉદાહરણ, નંબર 2; 3; 5; 7 એ ફક્ત એક અને પોતે જ વિભાજ્ય છે. આ સરળ કુદરતી સંખ્યાઓ છે.

એકને અવિભાજ્ય સંખ્યા ગણવામાં આવતી નથી.

જે સંખ્યાઓ એક કરતા મોટી હોય અને જે અવિભાજ્ય ન હોય તેને સંયુક્ત સંખ્યા કહેવામાં આવે છે. સંયુક્ત સંખ્યાઓના ઉદાહરણો:

એકને સંયુક્ત સંખ્યા ગણવામાં આવતી નથી.

પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સમૂહમાં એક, અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ અને સંયુક્ત સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે.

કુદરતી સંખ્યાઓનો સમૂહ લેટિન અક્ષર N દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

કુદરતી સંખ્યાઓના ઉમેરા અને ગુણાકારના ગુણધર્મો:

વધારાની વિનિમયાત્મક મિલકત

ઉમેરાની સહયોગી મિલકત

(a + b) + c = a + (b + c);

ગુણાકારની વિનિમયાત્મક મિલકત

ગુણાકારની સહયોગી મિલકત

(ab) c = a (bc);

ગુણાકારની વિતરક મિલકત

A (b + c) = ab + ac;

પૂર્ણાંક

પૂર્ણાંક એ કુદરતી સંખ્યાઓ, શૂન્ય અને કુદરતી સંખ્યાઓના વિરોધી છે.

કુદરતી સંખ્યાઓની વિરુદ્ધ નકારાત્મક પૂર્ણાંકો છે, ઉદાહરણ તરીકે:

1; -2; -3; -4;...

પૂર્ણાંકોનો સમૂહ લેટિન અક્ષર Z દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

તર્કસંગત સંખ્યાઓ

તર્કસંગત સંખ્યાઓ પૂર્ણ સંખ્યાઓ અને અપૂર્ણાંક છે.

કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાને સામયિક અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. ઉદાહરણો:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

ઉદાહરણો પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે કોઈપણ પૂર્ણાંક એ પીરિયડ શૂન્ય સાથેનો સામયિક અપૂર્ણાંક છે.

કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાને m/n અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જ્યાં m એ પૂર્ણાંક છે અને n એ કુદરતી સંખ્યા છે. ચાલો અગાઉના ઉદાહરણમાંથી નંબર 3,(6) ને આવા અપૂર્ણાંક તરીકે કલ્પીએ.

આ લેખમાં આપણે અન્વેષણ કરવાનું શરૂ કરીશું તર્કસંગત સંખ્યાઓ. અહીં આપણે તર્કસંગત સંખ્યાઓની વ્યાખ્યા આપીશું, જરૂરી સમજૂતી આપીશું અને તર્કસંગત સંખ્યાઓના ઉદાહરણો આપીશું. આ પછી, આપણે આપેલ સંખ્યા તર્કસંગત છે કે નહીં તે કેવી રીતે નક્કી કરવું તેના પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીશું.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

તર્કસંગત સંખ્યાઓની વ્યાખ્યા અને ઉદાહરણો

આ વિભાગમાં આપણે તર્કસંગત સંખ્યાઓની ઘણી વ્યાખ્યાઓ આપીશું. શબ્દોમાં ભિન્નતા હોવા છતાં, આ બધી વ્યાખ્યાઓનો એક જ અર્થ છે: પરિમાણીય સંખ્યાઓ પૂર્ણાંકો અને અપૂર્ણાંકોને એક કરે છે, જેમ કે પૂર્ણાંકો કુદરતી સંખ્યાઓ, તેમના વિરોધીઓ અને શૂન્યને એક કરે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તર્કસંગત સંખ્યાઓ સંપૂર્ણ અને અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓને સામાન્ય બનાવે છે.

સાથે શરૂઆત કરીએ તર્કસંગત સંખ્યાઓની વ્યાખ્યા, જે સૌથી વધુ કુદરતી રીતે જોવામાં આવે છે.

ઉલ્લેખિત વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે તર્કસંગત સંખ્યા છે:

• કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા n. ખરેખર, તમે કોઈપણ કુદરતી સંખ્યાને સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, 3=3/1.
• કોઈપણ પૂર્ણાંક, ખાસ કરીને શૂન્ય સંખ્યા. હકીકતમાં, કોઈપણ પૂર્ણાંકને ધન અપૂર્ણાંક, નકારાત્મક અપૂર્ણાંક અથવા શૂન્ય તરીકે લખી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 26=26/1, .
• કોઈપણ સામાન્ય અપૂર્ણાંક (હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક). તર્કસંગત સંખ્યાઓની આપેલ વ્યાખ્યા દ્વારા આ સીધી પુષ્ટિ થાય છે.
• કોઈપણ મિશ્ર સંખ્યા. ખરેખર, તમે હંમેશા મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, અને.
• કોઈપણ મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંક અથવા અનંત સામયિક અપૂર્ણાંક. આ તે હકીકતને કારણે છે કે દર્શાવેલ દશાંશ અપૂર્ણાંક સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, , અને 0,(3)=1/3.

તે પણ સ્પષ્ટ છે કે કોઈપણ અનંત બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક એ તર્કસંગત સંખ્યા નથી, કારણ કે તે સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાતી નથી.

હવે આપણે સરળતાથી આપી શકીએ છીએ તર્કસંગત સંખ્યાઓના ઉદાહરણો. સંખ્યાઓ 4, 903, 100,321 એ તર્કસંગત સંખ્યાઓ છે કારણ કે તે કુદરતી સંખ્યાઓ છે. પૂર્ણાંકો 58, −72, 0, −833,333,333 પણ તર્કસંગત સંખ્યાઓના ઉદાહરણો છે. સામાન્ય અપૂર્ણાંક 4/9, 99/3 પણ તર્કસંગત સંખ્યાઓના ઉદાહરણો છે. તર્કસંગત સંખ્યાઓ પણ સંખ્યાઓ છે.

ઉપરોક્ત ઉદાહરણો પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે ત્યાં સકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને તર્કસંગત સંખ્યાઓ છે, અને તર્કસંગત સંખ્યા શૂન્ય હકારાત્મક કે નકારાત્મક નથી.

તર્કસંગત સંખ્યાઓની ઉપરની વ્યાખ્યા વધુ સંક્ષિપ્ત સ્વરૂપમાં ઘડી શકાય છે.

વ્યાખ્યા.

તર્કસંગત સંખ્યાઓએવી સંખ્યાઓ છે જે અપૂર્ણાંક z/n તરીકે લખી શકાય છે, જ્યાં z એ પૂર્ણાંક છે અને n એ કુદરતી સંખ્યા છે.

ચાલો સાબિત કરીએ કે તર્કસંગત સંખ્યાઓની આ વ્યાખ્યા અગાઉની વ્યાખ્યાની સમકક્ષ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે આપણે અપૂર્ણાંકની રેખાને વિભાજન ચિન્હ તરીકે ગણી શકીએ છીએ, પછી પૂર્ણાંકોના વિભાજનના ગુણધર્મો અને પૂર્ણાંકોને વિભાજિત કરવાના નિયમોમાંથી, નીચેની સમાનતાઓની માન્યતા અનુસરે છે અને. આમ, તે સાબિતી છે.

ચાલો આ વ્યાખ્યાના આધારે તર્કસંગત સંખ્યાઓના ઉદાહરણો આપીએ. સંખ્યાઓ −5, 0, 3, અને તે તર્કસંગત સંખ્યાઓ છે, કારણ કે તે અનુક્રમે પૂર્ણાંક અંશ અને સ્વરૂપના કુદરતી છેદ સાથે અપૂર્ણાંક તરીકે લખી શકાય છે.

તર્કસંગત સંખ્યાઓની વ્યાખ્યા નીચેના સૂત્રમાં આપી શકાય છે.

વ્યાખ્યા.

તર્કસંગત સંખ્યાઓએવી સંખ્યાઓ છે જે મર્યાદિત અથવા અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે લખી શકાય છે.

આ વ્યાખ્યા પણ પ્રથમ વ્યાખ્યાની સમકક્ષ છે, કારણ કે દરેક સામાન્ય અપૂર્ણાંક મર્યાદિત અથવા સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકને અનુલક્ષે છે અને તેનાથી ઊલટું, અને કોઈપણ પૂર્ણાંક દશાંશ બિંદુ પછી શૂન્ય સાથે દશાંશ અપૂર્ણાંક સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓ 5, 0, −13, તર્કસંગત સંખ્યાઓના ઉદાહરણો છે કારણ કે તે નીચેના દશાંશ અપૂર્ણાંક 5.0, 0.0, −13.0, 0.8 અને −7, (18) તરીકે લખી શકાય છે.

ચાલો આ મુદ્દાના સિદ્ધાંતને નીચેના નિવેદનો સાથે સમાપ્ત કરીએ:

• પૂર્ણાંકો અને અપૂર્ણાંકો (ધન અને નકારાત્મક) તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ બનાવે છે;
• દરેક તર્કસંગત સંખ્યાને પૂર્ણાંક અંશ અને કુદરતી છેદ સાથે અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, અને આવા દરેક અપૂર્ણાંક ચોક્કસ તર્કસંગત સંખ્યાને રજૂ કરે છે;
• દરેક તર્કસંગત સંખ્યાને મર્યાદિત અથવા અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, અને આવા દરેક અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સંખ્યાને રજૂ કરે છે.

શું આ સંખ્યા તર્કસંગત છે?

પાછલા ફકરામાં, આપણે શોધી કાઢ્યું કે કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા, કોઈપણ પૂર્ણાંક, કોઈપણ સામાન્ય અપૂર્ણાંક, કોઈપણ મિશ્ર સંખ્યા, કોઈપણ મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંક, તેમજ કોઈપણ સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક એક તર્કસંગત સંખ્યા છે. આ જ્ઞાન અમને લેખિત સંખ્યાઓના સમૂહમાંથી તર્કસંગત સંખ્યાઓને "ઓળખવા" માટે પરવાનગી આપે છે.

પરંતુ જો સંખ્યા અમુક , અથવા તરીકે , વગેરેના રૂપમાં આપવામાં આવી હોય, તો આ સંખ્યા તર્કસંગત છે કે કેમ તે પ્રશ્નનો જવાબ કેવી રીતે આપવો? ઘણા કિસ્સાઓમાં તેનો જવાબ આપવો ખૂબ મુશ્કેલ છે. ચાલો વિચારની કેટલીક દિશાઓ સૂચવીએ.

જો સંખ્યાને આંકડાકીય અભિવ્યક્તિ તરીકે આપવામાં આવે છે જેમાં માત્ર તર્કસંગત સંખ્યાઓ અને અંકગણિત ચિહ્નો (+, −, · અને:) હોય છે, તો આ અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય એક તર્કસંગત સંખ્યા છે. તર્કસંગત સંખ્યાઓ સાથેની ક્રિયાઓ કેવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે તેના પરથી આ અનુસરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિમાં બધી ક્રિયાઓ કર્યા પછી, આપણને તર્કસંગત નંબર 18 મળે છે.

કેટલીકવાર, અભિવ્યક્તિઓને સરળ બનાવ્યા પછી અને તેમને વધુ જટિલ બનાવ્યા પછી, આપેલ સંખ્યા તર્કસંગત છે કે કેમ તે નક્કી કરવું શક્ય બને છે.

ચાલો આગળ વધીએ. નંબર 2 એ એક તર્કસંગત સંખ્યા છે, કારણ કે કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા તર્કસંગત છે. નંબર વિશે શું? શું તે તર્કસંગત છે? તે તારણ આપે છે કે ના, તે તર્કસંગત સંખ્યા નથી, તે અતાર્કિક સંખ્યા છે (વિરોધાભાસ દ્વારા આ હકીકતનો પુરાવો ગ્રેડ 8 માટે બીજગણિત પાઠયપુસ્તકમાં આપવામાં આવ્યો છે, સંદર્ભોની સૂચિમાં નીચે સૂચિબદ્ધ છે). તે પણ સાબિત થયું છે કે પ્રાકૃતિક સંખ્યાનું વર્ગમૂળ માત્ર એવા કિસ્સાઓમાં જ એક તર્કસંગત સંખ્યા છે જ્યારે મૂળની નીચે એવી સંખ્યા હોય જે અમુક કુદરતી સંખ્યાનો સંપૂર્ણ વર્ગ હોય. ઉદાહરણ તરીકે, અને 81 = 9 2 અને 1 024 = 32 2 થી, અને સંખ્યાઓ અને પરિમેયીય નથી, કારણ કે સંખ્યાઓ 7 અને 199 કુદરતી સંખ્યાઓના સંપૂર્ણ વર્ગો નથી.

સંખ્યા તર્કસંગત છે કે નહીં? આ કિસ્સામાં, તે નોંધવું સરળ છે કે, તેથી, આ સંખ્યા તર્કસંગત છે. શું સંખ્યા તર્કસંગત છે? તે સાબિત થયું છે કે પૂર્ણાંકનું kth મૂળ એ તર્કસંગત સંખ્યા છે જો મૂળ ચિન્હ હેઠળની સંખ્યા અમુક પૂર્ણાંકની kth ઘાત હોય. તેથી, તે તર્કસંગત સંખ્યા નથી, કારણ કે ત્યાં કોઈ પૂર્ણાંક નથી જેની પાંચમી ઘાત 121 છે.

વિરોધાભાસ દ્વારા પદ્ધતિ તમને સાબિત કરવાની મંજૂરી આપે છે કે કેટલીક સંખ્યાઓના લઘુગણક કેટલાક કારણોસર તર્કસંગત સંખ્યાઓ નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો સાબિત કરીએ કે - એક તર્કસંગત સંખ્યા નથી.

ચાલો વિરુદ્ધ ધારીએ, એટલે કે, ચાલો કહીએ કે તે એક તર્કસંગત સંખ્યા છે અને તેને સામાન્ય અપૂર્ણાંક m/n તરીકે લખી શકાય છે. પછી અમે નીચેની સમાનતા આપીએ છીએ: . છેલ્લી સમાનતા અશક્ય છે, કારણ કે ડાબી બાજુએ છે વિષમ સંખ્યા 5 n, અને જમણી બાજુએ સમ સંખ્યા 2 m છે. તેથી, અમારી ધારણા ખોટી છે, આમ કોઈ તર્કસંગત સંખ્યા નથી.

નિષ્કર્ષમાં, તે ખાસ કરીને નોંધવું યોગ્ય છે કે સંખ્યાઓની તર્કસંગતતા અથવા અતાર્કિકતા નક્કી કરતી વખતે, વ્યક્તિએ અચાનક તારણો કાઢવાથી દૂર રહેવું જોઈએ.

ઉદાહરણ તરીકે, તમારે તરત જ ભારપૂર્વક કહેવું જોઈએ નહીં કે અતાર્કિક સંખ્યાઓ π અને e એક અતાર્કિક સંખ્યા છે, પરંતુ તે સાબિત નથી. આ પ્રશ્ન ઉભો કરે છે: "ઉત્પાદન એક તર્કસંગત સંખ્યા કેમ હશે?" અને શા માટે નહીં, કારણ કે તમે અતાર્કિક સંખ્યાઓનું ઉદાહરણ આપી શકો છો, જેનું ઉત્પાદન તર્કસંગત સંખ્યા આપે છે: .

સંખ્યાઓ અને અન્ય ઘણી સંખ્યાઓ તર્કસંગત છે કે નહીં તે પણ અજ્ઞાત છે. ઉદાહરણ તરીકે, અતાર્કિક સંખ્યાઓ છે જેની અતાર્કિક શક્તિ એક તર્કસંગત સંખ્યા છે. ઉદાહરણ માટે, અમે ફોર્મની ડિગ્રી રજૂ કરીએ છીએ, આ ડિગ્રીનો આધાર અને ઘાતાંક પરિમેય સંખ્યાઓ નથી, પરંતુ , અને 3 એક પરિમેય સંખ્યા છે.

સંદર્ભો.

• ગણિત. 6ઠ્ઠો ધોરણ: શૈક્ષણિક. સામાન્ય શિક્ષણ માટે સંસ્થાઓ / [એન. યા વિલેન્કીન અને અન્ય]. - 22મી આવૃત્તિ, રેવ. - એમ.: નેમોસીન, 2008. - 288 પૃષ્ઠ: બીમાર. ISBN 978-5-346-00897-2.
• બીજગણિત:પાઠ્યપુસ્તક 8મા ધોરણ માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / [યુ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; સંપાદન એસ. એ. ટેલિયાકોવ્સ્કી. - 16મી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 2008. - 271 પૃષ્ઠ. : બીમાર. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• ગુસેવ વી.એ., મોર્ડકોવિચ એ.જી.ગણિત (તકનીકી શાળાઓમાં પ્રવેશ કરનારાઓ માટે માર્ગદર્શિકા): પ્રોક. ભથ્થું.- એમ.; ઉચ્ચ શાળા, 1984.-351 પૃ., બીમાર.

તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ

તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ સૂચવવામાં આવે છે અને નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

તે તારણ આપે છે કે વિવિધ સંકેતો સમાન અપૂર્ણાંકનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, અને , (સમાન પ્રાકૃતિક સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરીને એકબીજામાંથી મેળવી શકાય તેવા તમામ અપૂર્ણાંક સમાન તર્કસંગત સંખ્યાને રજૂ કરે છે). અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને તેમના સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજક દ્વારા વિભાજિત કરીને, આપણે એક તર્કસંગત સંખ્યાનું એક અપૂર્ણ નિરૂપણ મેળવી શકીએ છીએ, અમે તેમના સમૂહને સમૂહ તરીકે કહી શકીએ છીએ. અફરપરસ્પર મુખ્ય પૂર્ણાંક અંશ અને કુદરતી છેદ સાથેના અપૂર્ણાંક:

અહીં સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક છે અને .

તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ એ પૂર્ણાંકોના સમૂહનું કુદરતી સામાન્યીકરણ છે. તે જોવાનું સરળ છે કે જો કોઈ તર્કસંગત સંખ્યામાં છેદ હોય, તો તે પૂર્ણાંક છે. તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ સંખ્યાના અક્ષ પર દરેક જગ્યાએ ગીચતાથી સ્થિત છે: કોઈપણ બે જુદી જુદી તર્કસંગત સંખ્યાઓ વચ્ચે ઓછામાં ઓછી એક પરિમેય સંખ્યા હોય છે (અને તેથી પરિમેય સંખ્યાઓનો અનંત સમૂહ). જો કે, તે તારણ આપે છે કે તર્કસંગત સંખ્યાઓના સમૂહમાં ગણનાપાત્ર કાર્ડિનલિટી છે (એટલે ​​​​કે, તેના તમામ ઘટકો ફરીથી નંબર કરી શકાય છે). ચાલો આપણે નોંધ લઈએ, માર્ગ દ્વારા, પ્રાચીન ગ્રીક લોકો એવી સંખ્યાઓના અસ્તિત્વ વિશે સહમત હતા જે અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાતા નથી (ઉદાહરણ તરીકે, તેઓએ સાબિત કર્યું કે કોઈ તર્કસંગત સંખ્યા નથી જેનો વર્ગ 2 છે).

પરિભાષા

ઔપચારિક વ્યાખ્યા

ઔપચારિક રીતે, તર્કસંગત સંખ્યાઓને સમકક્ષતા સંબંધ જો સંબંધમાં જોડીના સમકક્ષ વર્ગોના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, સરવાળો અને ગુણાકારની ક્રિયાઓ નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે:

સંબંધિત વ્યાખ્યાઓ

યોગ્ય, અયોગ્ય અને મિશ્ર અપૂર્ણાંક

સાચો જે અપૂર્ણાંકનો અંશ તેના છેદ કરતા ઓછો હોય તેને અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે. યોગ્ય અપૂર્ણાંક એક કરતાં ઓછી મોડ્યુલો તર્કસંગત સંખ્યાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. જે અપૂર્ણાંક યોગ્ય નથી તેને કહેવામાં આવે છે ખોટુંઅને મોડ્યુલસમાં એક કરતાં મોટી અથવા તેની સમાન તર્કસંગત સંખ્યા દર્શાવે છે.

અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને પૂર્ણ સંખ્યા અને યોગ્ય અપૂર્ણાંકના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જેને કહેવાય છે મિશ્ર અપૂર્ણાંક . ઉદાહરણ તરીકે, . પ્રારંભિક અંકગણિતમાં ઉપયોગમાં લેવાતા હોવા છતાં સમાન સંકેત (ઉમેરાનું ચિહ્ન ખૂટે છે), પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંકના ઉત્પાદન માટેના સંકેત સાથે મિશ્ર અપૂર્ણાંક માટે સંકેતની સમાનતાને કારણે સખત ગાણિતિક સાહિત્યમાં ટાળવામાં આવે છે.

શોટ ઊંચાઈ

સામાન્ય શોટની ઊંચાઈ આ અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદના મોડ્યુલસનો સરવાળો છે. તર્કસંગત સંખ્યાની ઊંચાઈ અંશના મોડ્યુલસનો સરવાળો અને આ સંખ્યાને અનુરૂપ અફર સામાન્ય અપૂર્ણાંકનો છેદ છે.

ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંકની ઊંચાઈ છે. અનુરૂપ તર્કસંગત સંખ્યાની ઊંચાઈ બરાબર છે, કારણ કે અપૂર્ણાંકને દ્વારા ઘટાડી શકાય છે.

ટિપ્પણી

મુદત અપૂર્ણાંક (અપૂર્ણાંક)ક્યારેક [ સ્પષ્ટ કરો] શબ્દનો સમાનાર્થી તરીકે ઉપયોગ થાય છે તર્કસંગત સંખ્યા, અને કેટલીકવાર કોઈપણ બિન-પૂર્ણાંક સંખ્યા માટે સમાનાર્થી. પછીના કિસ્સામાં, અપૂર્ણાંક અને તર્કસંગત સંખ્યાઓ અલગ અલગ વસ્તુઓ છે, ત્યારથી બિન-પૂર્ણાંક પરિમેય સંખ્યાઓ અપૂર્ણાંકનો માત્ર એક વિશિષ્ટ કેસ છે.

ગુણધર્મો

મૂળભૂત ગુણધર્મો

તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ સોળ મૂળભૂત ગુણધર્મોને સંતોષે છે, જે પૂર્ણાંકોના ગુણધર્મોમાંથી સરળતાથી મેળવી શકાય છે.

1. સુવ્યવસ્થિતતા.કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાઓ માટે, ત્યાં એક નિયમ છે જે તમને તેમની વચ્ચેના ત્રણ સંબંધોમાંથી એક અને માત્ર એકને અનન્ય રીતે ઓળખવાની મંજૂરી આપે છે: "", "" અથવા "". આ નિયમ કહેવાય છે ઓર્ડર કરવાનો નિયમઅને નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવે છે: બે સકારાત્મક સંખ્યાઓ અને બે પૂર્ણાંકો અને ; બે બિન-ધન સંખ્યાઓ અને બે બિન-ઋણાત્મક સંખ્યાઓ જેવા જ સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે અને ; જો અચાનક તે નકારાત્મક નથી, પરંતુ - નકારાત્મક છે, તો .

   

   અપૂર્ણાંક ઉમેરી રહ્યા છે

2. એડિશન ઓપરેશન. સરવાળો નિયમ રકમસંખ્યાઓ અને અને દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને આવી સંખ્યા શોધવાની પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે સમીકરણ. સરવાળો નિયમ નીચેના સ્વરૂપ ધરાવે છે: .
3. ગુણાકાર કામગીરી.કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાઓ માટે કહેવાતી સંખ્યા છે ગુણાકારનો નિયમ, જે તેમને અમુક તર્કસંગત સંખ્યા સાથે પત્રવ્યવહારમાં મૂકે છે. આ કિસ્સામાં, નંબર પોતે જ કહેવાય છે કામસંખ્યાઓ અને અને દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને આવી સંખ્યા શોધવાની પ્રક્રિયાને પણ કહેવામાં આવે છે ગુણાકાર. ગુણાકારના નિયમમાં નીચેનું સ્વરૂપ છે: .
4. ઓર્ડર સંબંધની સંક્રમણાત્મકતા.તર્કસંગત સંખ્યાઓના કોઈપણ ત્રિવિધ માટે, અને જો ઓછા અને ઓછા, તો ઓછા, અને જો સમાન અને સમાન, તો સમાન.
5. ઉમેરાની કોમ્યુટેટીવીટી.તર્કસંગત શબ્દોના સ્થાનો બદલવાથી સરવાળો બદલાતો નથી.
6. ઉમેરાની સહયોગીતા.જે ક્રમમાં ત્રણ તર્કસંગત સંખ્યાઓ ઉમેરવામાં આવે છે તે પરિણામને અસર કરતું નથી.
7. શૂન્યની હાજરી.ત્યાં એક તર્કસંગત સંખ્યા 0 છે જે ઉમેરવામાં આવે ત્યારે દરેક અન્ય તર્કસંગત સંખ્યાને સાચવે છે.
8. વિરોધી સંખ્યાઓની હાજરી.કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાની વિરુદ્ધ તર્કસંગત સંખ્યા હોય છે, જે ઉમેરવાથી 0 મળે છે.
9. ગુણાકારની કોમ્યુટેટીવીટી.તર્કસંગત પરિબળોના સ્થાનો બદલવાથી ઉત્પાદન બદલાતું નથી.
10. ગુણાકારની સહયોગીતા.જે ક્રમમાં ત્રણ તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે તે પરિણામને અસર કરતું નથી.
11. એકમની ઉપલબ્ધતા.એક તર્કસંગત સંખ્યા 1 છે જે જ્યારે ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે દરેક અન્ય તર્કસંગત સંખ્યાને સાચવે છે.
12. પારસ્પરિક સંખ્યાઓની હાજરી.કોઈપણ બિન-શૂન્ય તર્કસંગત સંખ્યા એક વ્યસ્ત તર્કસંગત સંખ્યા ધરાવે છે, જેનો ગુણાકાર કરવાથી 1 મળે છે.
13. સરવાળાની તુલનામાં ગુણાકારની વિતરણતા.ગુણાકારની કામગીરી વિતરણ કાયદા દ્વારા ઉમેરણ કામગીરી સાથે સંકલિત છે:
14. ઉમેરાની કામગીરી સાથે ઓર્ડર સંબંધનું જોડાણ.તર્કસંગત અસમાનતાની ડાબી અને જમણી બાજુએ સમાન તર્કસંગત સંખ્યા ઉમેરી શકાય છે.
15. ગુણાકારની ક્રિયા સાથે ઓર્ડર સંબંધનું જોડાણ.તર્કસંગત અસમાનતાની ડાબી અને જમણી બાજુઓને સમાન સકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરી શકાય છે.
16. આર્કિમિડીઝનું સ્વયંસિદ્ધ.તર્કસંગત સંખ્યા ગમે તે હોય, તમે એટલા બધા એકમો લઈ શકો છો કે તેમનો સરવાળો વધી જાય.

વધારાના ગુણધર્મો

તર્કસંગત સંખ્યાઓમાં સહજ અન્ય તમામ ગુણધર્મોને મૂળભૂત તરીકે ઓળખવામાં આવતાં નથી, કારણ કે, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, તેઓ હવે પૂર્ણાંકોના ગુણધર્મો પર સીધા આધારિત નથી, પરંતુ આપેલ મૂળભૂત ગુણધર્મોના આધારે અથવા સીધા કેટલાક ગાણિતિક પદાર્થની વ્યાખ્યા દ્વારા સાબિત કરી શકાય છે. . આવા ઘણા વધારાના ગુણધર્મો છે. તેમાંથી માત્ર થોડાને અહીં સૂચિબદ્ધ કરવાનું અર્થપૂર્ણ છે.

સમૂહની ગણતરી

તર્કસંગત સંખ્યાઓની સંખ્યાનો અંદાજ કાઢવા માટે, તમારે તેમના સમૂહની મુખ્યતા શોધવાની જરૂર છે. તે સાબિત કરવું સરળ છે કે તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ ગણતરીપાત્ર છે. આ કરવા માટે, એક અલ્ગોરિધમ આપવા માટે તે પૂરતું છે જે તર્કસંગત સંખ્યાઓની ગણતરી કરે છે, એટલે કે, તર્કસંગત અને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સમૂહો વચ્ચે દ્વિભાજન સ્થાપિત કરે છે. આવા બાંધકામનું ઉદાહરણ નીચેના સરળ અલ્ગોરિધમનો છે. સામાન્ય અપૂર્ણાંકોનું એક અનંત કોષ્ટક સંકલિત કરવામાં આવે છે, દરેક પંક્તિ પર દરેક કૉલમમાં અપૂર્ણાંક સ્થિત છે. નિશ્ચિતતા માટે, એવું માનવામાં આવે છે કે આ કોષ્ટકની પંક્તિઓ અને કૉલમ એકથી શરૂ કરીને ક્રમાંકિત છે. કોષ્ટક કોષો નિયુક્ત કરવામાં આવે છે , જ્યાં કોષ સ્થિત છે તે કોષ્ટક પંક્તિની સંખ્યા ક્યાં છે અને કૉલમ નંબર છે.

પરિણામી કોષ્ટક નીચેના ઔપચારિક અલ્ગોરિધમ અનુસાર "સાપ" નો ઉપયોગ કરીને પસાર થાય છે.

આ નિયમો ઉપરથી નીચે સુધી શોધવામાં આવે છે અને પ્રથમ મેચના આધારે આગળની સ્થિતિ પસંદ કરવામાં આવે છે.

આવા ટ્રાવર્સલની પ્રક્રિયામાં, દરેક નવી તર્કસંગત સંખ્યા બીજી કુદરતી સંખ્યા સાથે સંકળાયેલી હોય છે. એટલે કે, અપૂર્ણાંકને નંબર 1 અસાઇન કરવામાં આવે છે, અપૂર્ણાંકને નંબર 2 સોંપવામાં આવે છે, વગેરે. એ નોંધવું જોઇએ કે માત્ર અફર અપૂર્ણાંકને ક્રમાંકિત કરવામાં આવે છે. અપૂર્ણતાની ઔપચારિક નિશાની એ છે કે અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક એક સમાન છે.

આ અલ્ગોરિધમને અનુસરીને, આપણે બધી હકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યાઓની ગણતરી કરી શકીએ છીએ. આનો અર્થ એ છે કે સકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ ગણતરીપાત્ર છે. ધન અને નકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યાઓના સમૂહો વચ્ચે દ્વિભાજન સ્થાપિત કરવું સરળ છે અને દરેક તર્કસંગત સંખ્યાને તેની વિરુદ્ધમાં સોંપી શકાય છે. તે. નકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ પણ ગણતરીપાત્ર છે. તેમનું યુનિયન ગણી શકાય તેવા સેટની મિલકત દ્વારા પણ ગણનાપાત્ર છે. તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ પણ ગણતરીપાત્ર હોય છે, કારણ કે તે મર્યાદિત સંખ્યા સાથે ગણી શકાય તેવા સમૂહના જોડાણ તરીકે ગણાય છે.

અલબત્ત, તર્કસંગત સંખ્યાઓની ગણતરી કરવાની અન્ય રીતો છે. ઉદાહરણ તરીકે, આ માટે તમે કલ્કિન-વિલ્ફ ટ્રી, સ્ટર્ન-બ્રોકો ટ્રી અથવા ફેરી શ્રેણી જેવી રચનાઓનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

તર્કસંગત સંખ્યાઓના સમૂહની ગણતરીક્ષમતા વિશેનું નિવેદન કેટલીક મૂંઝવણનું કારણ બની શકે છે, કારણ કે પ્રથમ નજરમાં એવું લાગે છે કે તે કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહ કરતાં વધુ વ્યાપક છે. વાસ્તવમાં, આવું નથી અને તમામ તર્કસંગત સંખ્યાઓની ગણતરી કરવા માટે પૂરતી કુદરતી સંખ્યાઓ છે.

તર્કસંગત સંખ્યાઓનો અભાવ

પણ જુઓ

નોંધો

સાહિત્ય

• I. કુશનિર. શાળાના બાળકો માટે ગણિતની હેન્ડબુક. - કિવ: ASTARTA, 1998. - 520 પૃષ્ઠ.
• પી.એસ. એલેક્ઝાન્ડ્રોવ. સેટ થિયરી અને સામાન્ય ટોપોલોજીનો પરિચય. - એમ.: પ્રકરણ. સંપાદન ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિત પ્રકાશિત સંપાદન "વિજ્ઞાન", 1977
• આઇ.એલ. ખ્મેલનીત્સ્કી. બીજગણિત પ્રણાલીના સિદ્ધાંતનો પરિચય