ફિબોનાકી નંબર શ્રેણીના ઉદાહરણો. સોનેરી ઓર્થોગોનલ ચતુષ્કોણ અને સર્પાકારનું માળખું

જો કે, આ બધું સુવર્ણ ગુણોત્તર સાથે કરી શકાય તેવું નથી. જો આપણે એકને 0.618 વડે ભાગીએ, તો આપણને 1.618 મળે છે, જો આપણે તેને ક્યુબ કરીએ તો આપણને 2.618 મળે છે; આ ફિબોનાકી વિસ્તરણ ગુણોત્તર છે. અહીં માત્ર ખૂટતી સંખ્યા 3,236 છે, જે જોન મર્ફી દ્વારા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી હતી.

નિષ્ણાતો સુસંગતતા વિશે શું માને છે?

કેટલાક કહેશે કે આ સંખ્યાઓ પહેલાથી જ પરિચિત છે કારણ કે તેનો ઉપયોગ ટેકનિકલ વિશ્લેષણ કાર્યક્રમોમાં સુધારા અને વિસ્તરણની તીવ્રતા નક્કી કરવા માટે થાય છે. વધુમાં, આ જ શ્રેણીઓ એલિયટના તરંગ સિદ્ધાંતમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. તેઓ તેના સંખ્યાત્મક આધાર છે.

અમારા નિષ્ણાત નિકોલે વોસ્ટોક ઇન્વેસ્ટમેન્ટ કંપનીમાં સાબિત પોર્ટફોલિયો મેનેજર છે.

• — નિકોલે, શું તમને લાગે છે કે વિવિધ સાધનોના ચાર્ટ પર ફિબોનાકી નંબરો અને તેના ડેરિવેટિવ્ઝનો દેખાવ આકસ્મિક છે? અને શું કહેવું શક્ય છે: "ફિબોનાકી શ્રેણી વ્યવહારુ એપ્લિકેશન" થાય છે?
• - મારું રહસ્યવાદ પ્રત્યે ખરાબ વલણ છે. અને તેથી પણ વધુ સ્ટોક એક્સચેન્જ ચાર્ટ પર. દરેક વસ્તુના તેના કારણો હોય છે. “ફિબોનાકી લેવલ્સ” પુસ્તકમાં તેણે સુંદર રીતે વર્ણવ્યું છે કે જ્યાં સુવર્ણ ગુણોત્તર દેખાય છે, તે સ્ટોક એક્સચેન્જ ક્વોટ ચાર્ટ પર દેખાય છે તેનાથી તેમને આશ્ચર્ય થયું નથી. પણ વ્યર્થ! તેમણે આપેલા ઘણા ઉદાહરણોમાં, Pi નંબર વારંવાર દેખાય છે. પરંતુ કેટલાક કારણોસર તે કિંમતના ગુણોત્તરમાં શામેલ નથી.
• - તો તમે એલિયટના તરંગ સિદ્ધાંતની અસરકારકતામાં માનતા નથી?
• - ના, તે મુદ્દો નથી. તરંગ સિદ્ધાંત એક વસ્તુ છે. સંખ્યાત્મક ગુણોત્તર અલગ છે. અને ભાવ ચાર્ટ પર તેમના દેખાવના કારણો ત્રીજા છે
• — તમારા મતે, સ્ટોક ચાર્ટ પર સુવર્ણ ગુણોત્તર દેખાવાનાં કારણો શું છે?
• - આ પ્રશ્નનો સાચો જવાબ તમને અર્થશાસ્ત્રમાં નોબેલ પુરસ્કાર મેળવી શકે છે. હમણાં માટે આપણે સાચા કારણો વિશે અનુમાન કરી શકીએ છીએ. તેઓ સ્પષ્ટપણે પ્રકૃતિ સાથે સુસંગત નથી. વિનિમય કિંમતના ઘણા મોડલ છે. તેઓ નિયુક્ત ઘટના સમજાવતા નથી. પરંતુ ઘટનાના સ્વભાવને ન સમજવાથી ઘટનાને નકારી ન શકાય.
• — અને જો આ કાયદો ક્યારેય ખોલવામાં આવે, તો શું તે વિનિમય પ્રક્રિયાને નષ્ટ કરી શકશે?
• - સમાન વેવ થિયરી બતાવે છે તેમ, શેરના ભાવમાં ફેરફારનો નિયમ શુદ્ધ મનોવિજ્ઞાન છે. મને લાગે છે કે આ કાયદાનું જ્ઞાન કંઈપણ બદલશે નહીં અને સ્ટોક એક્સચેન્જને નષ્ટ કરી શકશે નહીં.

વેબમાસ્ટર મેક્સિમના બ્લોગ દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવેલ સામગ્રી.

વિવિધ સિદ્ધાંતોમાં ગણિતના મૂળભૂત સિદ્ધાંતોનો સંયોગ અવિશ્વસનીય લાગે છે. કદાચ તે કાલ્પનિક છે અથવા અંતિમ પરિણામ માટે કસ્ટમાઇઝ કરેલ છે. રાહ જુઓ અને જુઓ. મોટાભાગની જે અગાઉ અસામાન્ય માનવામાં આવતી હતી અથવા શક્ય ન હતી: અવકાશ સંશોધન, ઉદાહરણ તરીકે, સામાન્ય બની ગયું છે અને તે કોઈને આશ્ચર્ય કરતું નથી. ઉપરાંત, તરંગ સિદ્ધાંત, જે અગમ્ય હોઈ શકે છે, તે સમય જતાં વધુ સુલભ અને સમજી શકાય તેવું બનશે. અનુભવી વિશ્લેષકના હાથમાં જે અગાઉ બિનજરૂરી ઇચ્છા હતી, તે ભાવિ વર્તનની આગાહી કરવા માટે એક શક્તિશાળી સાધન બની જાય છે.

પ્રકૃતિમાં ફિબોનાકી સંખ્યાઓ.

જુઓ

હવે, ચાલો તે વિશે વાત કરીએ કે તમે એ હકીકતને કેવી રીતે રદિયો આપી શકો છો કે ફિબોનાકી ડિજિટલ શ્રેણી પ્રકૃતિની કોઈપણ પેટર્નમાં સામેલ છે.

ચાલો કોઈપણ અન્ય બે સંખ્યાઓ લઈએ અને ફિબોનાકી સંખ્યાઓ જેવા જ તર્ક સાથે ક્રમ બનાવીએ. એટલે કે, અનુક્રમનો આગળનો સભ્ય અગાઉના બેના સરવાળા જેટલો છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો બે સંખ્યાઓ લઈએ: 6 અને 51. હવે આપણે એક ક્રમ બનાવીશું જે આપણે બે સંખ્યાઓ 1860 અને 3009 સાથે પૂર્ણ કરીશું. નોંધ લો કે આ સંખ્યાઓને વિભાજિત કરતી વખતે, આપણને સુવર્ણ ગુણોત્તરની નજીકની સંખ્યા મળે છે.

તે જ સમયે, અન્ય જોડીઓને વિભાજિત કરતી વખતે જે સંખ્યાઓ પ્રાપ્ત થઈ હતી તે પ્રથમથી છેલ્લી સુધી ઘટી હતી, જે અમને કહેવાની મંજૂરી આપે છે કે જો આ શ્રેણી અનિશ્ચિત રૂપે ચાલુ રહે છે, તો અમને સુવર્ણ ગુણોત્તરની સમાન સંખ્યા મળશે.

આમ, ફિબોનાકી નંબરો કોઈપણ રીતે અલગ દેખાતા નથી. સંખ્યાઓના અન્ય ક્રમ છે, જેમાંથી અનંત સંખ્યા છે, જે સમાન ક્રિયાઓના પરિણામે સોનેરી નંબર ફી આપે છે.

ફિબોનાકી કોઈ વિશિષ્ટતાવાદી ન હતા. તે સંખ્યાઓમાં કોઈ રહસ્યવાદ મૂકવા માંગતો ન હતો, તે ફક્ત સસલા વિશેની સામાન્ય સમસ્યાને હલ કરી રહ્યો હતો. અને તેણે સંખ્યાઓનો ક્રમ લખ્યો જે તેની સમસ્યાથી અનુસરે છે, પ્રથમ, બીજા અને અન્ય મહિનામાં, સંવર્ધન પછી કેટલા સસલા હશે. એક વર્ષમાં તેને તે જ ક્રમ મળ્યો. અને મેં સંબંધ બાંધ્યો નથી. કોઈ સુવર્ણ પ્રમાણ કે દૈવી સંબંધની વાત ન હતી. આ બધાની શોધ પુનરુજ્જીવન દરમિયાન તેમના પછી થઈ હતી.

ગણિતની તુલનામાં, ફિબોનાકીના ફાયદા પ્રચંડ છે. તેણે આરબો પાસેથી નંબર સિસ્ટમ અપનાવી અને તેની માન્યતા સાબિત કરી. તે એક સખત અને લાંબો સંઘર્ષ હતો. રોમન નંબર સિસ્ટમમાંથી: ગણતરી માટે ભારે અને અસુવિધાજનક. ફ્રેન્ચ ક્રાંતિ પછી તે અદૃશ્ય થઈ ગયું. ફિબોનાકીને ગોલ્ડન રેશિયો સાથે કોઈ લેવાદેવા નથી.

ત્યાં અસંખ્ય સર્પાકાર છે, જેમાં સૌથી વધુ લોકપ્રિય છે: કુદરતી લઘુગણક સર્પાકાર, આર્કિમિડીઝ સર્પાકાર અને હાઇપરબોલિક સર્પાકાર.

હવે ચાલો ફિબોનાકી સર્પાકાર પર એક નજર કરીએ. આ પીસવાઇઝ સંયુક્ત એકમમાં કેટલાક ક્વાર્ટર વર્તુળોનો સમાવેશ થાય છે. અને તે સર્પાકાર નથી, જેમ કે.

નિષ્કર્ષ

અમે સ્ટોક એક્સચેન્જ પર ફિબોનાકી શ્રેણીની લાગુ પડવાની પુષ્ટિ અથવા ખંડન માટે ગમે તેટલા લાંબા સમય સુધી જોતા હોઈએ, આવી પ્રથા અસ્તિત્વમાં છે.

લોકોનો વિશાળ સમૂહ ફિબોનાકી રેખા અનુસાર કાર્ય કરે છે, જે ઘણા વપરાશકર્તા ટર્મિનલ્સમાં જોવા મળે છે. તેથી, અમને તે ગમે કે ન ગમે: ફિબોનાકી સંખ્યાઓ પ્રભાવિત કરે છે , અને અમે આ પ્રભાવનો લાભ લઈ શકીએ છીએ.

લેખ વાંચવા માટે ખાતરી કરો -.

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

ફિબોનાકી નંબરો અને ગોલ્ડન રેશિયોઆસપાસના વિશ્વને સમજવા માટે, તેના સ્વરૂપનું નિર્માણ અને વ્યક્તિ દ્વારા શ્રેષ્ઠ દ્રશ્ય દ્રષ્ટિકોણ માટેનો આધાર બનાવે છે, જેની મદદથી તે સુંદરતા અને સંવાદિતા અનુભવી શકે છે.

સુવર્ણ ગુણોત્તરના પરિમાણોને નિર્ધારિત કરવાનો સિદ્ધાંત સમગ્ર વિશ્વની સંપૂર્ણતા અને તેની રચના અને કાર્યોમાં તેના ભાગોનો આધાર રાખે છે, તેનું અભિવ્યક્તિ પ્રકૃતિ, કલા અને તકનીકમાં જોઈ શકાય છે. સુવર્ણ પ્રમાણના સિદ્ધાંતની સ્થાપના પ્રાચીન વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા સંખ્યાઓની પ્રકૃતિમાં સંશોધનના પરિણામે કરવામાં આવી હતી.

પ્રાચીન ચિંતકો દ્વારા સુવર્ણ ગુણોત્તરના ઉપયોગનો પુરાવો યુક્લિડના પુસ્તક "એલિમેન્ટ્સ" માં આપવામાં આવ્યો છે, જે 3જી સદીમાં લખવામાં આવ્યો હતો. પૂર્વે, જેમણે નિયમિત પંચકોણ બાંધવા માટે આ નિયમ લાગુ કર્યો હતો. પાયથાગોરિયનોમાં, આ આંકડો પવિત્ર માનવામાં આવે છે કારણ કે તે સપ્રમાણ અને અસમપ્રમાણ બંને છે. પેન્ટાગ્રામ જીવન અને આરોગ્યનું પ્રતીક છે.

ફિબોનાકી નંબરો

પીસાના ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી લિયોનાર્ડો દ્વારા પ્રખ્યાત પુસ્તક લિબર એબેસી, જે પાછળથી ફિબોનાકી તરીકે જાણીતું બન્યું, તે 1202 માં પ્રકાશિત થયું હતું. તેમાં, વૈજ્ઞાનિકે પ્રથમ વખત સંખ્યાઓની પેટર્ન ટાંકી છે, જેની શ્રેણીમાં દરેક સંખ્યાનો સરવાળો છે. 2 અગાઉના અંકો. ફિબોનાકી નંબરનો ક્રમ નીચે મુજબ છે:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, વગેરે.

વૈજ્ઞાનિકે સંખ્યાબંધ દાખલાઓ પણ ટાંક્યા:

શ્રેણીમાંથી કોઈપણ સંખ્યાને આગામી એક વડે ભાગવામાં આવે તે મૂલ્ય 0.618 ની બરાબર હશે. તદુપરાંત, પ્રથમ ફિબોનાકી નંબરો આવી સંખ્યા આપતા નથી, પરંતુ જેમ જેમ આપણે ક્રમની શરૂઆતથી આગળ વધીશું તેમ તેમ આ ગુણોત્તર વધુ ને વધુ સચોટ થતો જશે.

જો તમે શ્રેણીમાંથી સંખ્યાને પાછલા એક દ્વારા વિભાજીત કરો છો, તો પરિણામ 1.618 સુધી પહોંચશે.

એક સંખ્યાને બીજા દ્વારા એક વડે ભાગવામાં આવે તો તે 0.382 નું મૂલ્ય દર્શાવશે.

સુવર્ણ ગુણોત્તર, ફિબોનાકી નંબર (0.618) ના જોડાણ અને દાખલાઓનો ઉપયોગ ફક્ત ગણિતમાં જ નહીં, પણ પ્રકૃતિ, ઇતિહાસ, સ્થાપત્ય અને બાંધકામ અને અન્ય ઘણા વિજ્ઞાનમાં પણ મળી શકે છે.

વ્યવહારુ હેતુઓ માટે, તેઓ Φ = 1.618 અથવા Φ = 1.62 ના અંદાજિત મૂલ્ય સુધી મર્યાદિત છે. ગોળાકાર ટકાવારી મૂલ્યમાં, સુવર્ણ ગુણોત્તર એ 62% અને 38% ના ગુણોત્તરમાં કોઈપણ મૂલ્યનો ભાગ છે.

ઐતિહાસિક રીતે, ગોલ્ડન સેક્શનને મૂળ રીતે સેગમેન્ટ AB નું બિંદુ C દ્વારા બે ભાગોમાં વિભાજન કહેવામાં આવતું હતું (નાના સેગમેન્ટ AC અને મોટા સેગમેન્ટ BC), જેથી સેગમેન્ટની લંબાઈ માટે AC/BC = BC/AB સાચું હતું. સરળ શબ્દોમાં કહીએ તો, સુવર્ણ ગુણોત્તર એક સેગમેન્ટને બે અસમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે જેથી નાનો ભાગ મોટા ભાગ સાથે સંબંધિત હોય, જેમ કે મોટો ભાગ સમગ્ર સેગમેન્ટ સાથે સંબંધિત હોય. પાછળથી આ ખ્યાલને મનસ્વી માત્રામાં વિસ્તારવામાં આવ્યો.

નંબર Φ પણ કહેવાય છેગોલ્ડન નંબર.

સુવર્ણ ગુણોત્તરમાં ઘણી અદ્ભુત ગુણધર્મો છે, પરંતુ તે ઉપરાંત, ઘણી કાલ્પનિક ગુણધર્મો તેને આભારી છે.

હવે વિગતો:

GS ની વ્યાખ્યા એ એવા ગુણોત્તરમાં એક સેગમેન્ટનું બે ભાગોમાં વિભાજન છે જેમાં મોટો ભાગ નાના ભાગ સાથે સંબંધિત છે, કારણ કે તેમનો સરવાળો (સંપૂર્ણ સેગમેન્ટ) મોટા ભાગ સાથે છે.

એટલે કે, જો આપણે સમગ્ર સેગમેન્ટ c ને 1 તરીકે લઈએ, તો સેગમેન્ટ a 0.618, સેગમેન્ટ b - 0.382 ની બરાબર હશે. આમ, જો આપણે કોઈ મકાન લઈએ, ઉદાહરણ તરીકે, 3S સિદ્ધાંત મુજબ બાંધવામાં આવેલ મંદિર, તો તેની ઊંચાઈ સાથે, કહો, 10 મીટર, ગુંબજ સાથેના ડ્રમની ઊંચાઈ 3.82 સેમી હશે, અને તેના પાયાની ઊંચાઈ હશે. માળખું 6.18 સેમી હશે (તે સ્પષ્ટ છે કે સ્પષ્ટતા માટે સંખ્યાઓ ફ્લેટ લેવામાં આવી છે)

ZS અને ફિબોનાકી નંબરો વચ્ચે શું જોડાણ છે?

ફિબોનાકી ક્રમ નંબરો છે:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

સંખ્યાઓની પેટર્ન એવી છે કે દરેક અનુગામી સંખ્યા અગાઉની બે સંખ્યાઓના સરવાળા જેટલી હોય છે.
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21, વગેરે,

અને સંલગ્ન સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર ZS ના ગુણોત્તર સુધી પહોંચે છે.
તેથી, 21: 34 = 0.617, અને 34: 55 = 0.618.

એટલે કે, GS ફિબોનાકી ક્રમની સંખ્યાઓ પર આધારિત છે.

એવું માનવામાં આવે છે કે "ગોલ્ડન રેશિયો" શબ્દની રજૂઆત લિયોનાર્ડો દા વિન્સી દ્વારા કરવામાં આવી હતી, જેમણે કહ્યું હતું કે, "કોઈપણ વ્યક્તિ જે ગણિતશાસ્ત્રી નથી તે મારી રચનાઓ વાંચવાની હિંમત ન કરે" અને તેના પ્રખ્યાત ચિત્ર "વિટ્રુવિયન મેન" માં માનવ શરીરનું પ્રમાણ દર્શાવ્યું. " "જો આપણે માનવ આકૃતિ - બ્રહ્માંડની સૌથી સંપૂર્ણ રચના - એક પટ્ટા સાથે બાંધીએ અને પછી પટ્ટાથી પગ સુધીનું અંતર માપીએ, તો આ મૂલ્ય સમાન પટ્ટાથી માથાની ટોચ સુધીના અંતર સાથે સંબંધિત હશે, જેમ વ્યક્તિની સમગ્ર ઊંચાઈ કમરથી પગ સુધીની લંબાઈ સાથે સંબંધિત છે."

ફિબોનાકી નંબર શ્રેણી સર્પાકારના રૂપમાં દૃષ્ટિની રીતે તૈયાર કરવામાં આવે છે (મટીરિયલાઇઝ્ડ).

અને પ્રકૃતિમાં, જીએસ સર્પાકાર આના જેવો દેખાય છે:

તે જ સમયે, સર્પાકાર દરેક જગ્યાએ જોવા મળે છે (પ્રકૃતિમાં અને માત્ર નહીં):

મોટાભાગના છોડના બીજ સર્પાકારમાં ગોઠવાયેલા હોય છે
- સ્પાઈડર સર્પાકારમાં વેબ વણાટ કરે છે
- વાવાઝોડું સર્પાકારની જેમ ફરતું હોય છે
- શીત પ્રદેશનું હરણનું ડરી ગયેલું ટોળું સર્પાકારમાં વિખેરાઈ જાય છે.
- ડીએનએ પરમાણુ ડબલ હેલિક્સમાં ટ્વિસ્ટેડ છે. ડીએનએ પરમાણુ બે ઊભી રીતે ગૂંથેલા હેલિકોથી બનેલું છે, 34 એંગસ્ટ્રોમ લાંબુ અને 21 એંગસ્ટ્રોમ પહોળું. 21 અને 34 નંબરો ફિબોનાકી ક્રમમાં એકબીજાને અનુસરે છે.
- ગર્ભ સર્પાકાર આકારમાં વિકાસ પામે છે
- આંતરિક કાનમાં કોક્લીયર સર્પાકાર
- પાણી સર્પાકારમાં ગટરની નીચે જાય છે
- સર્પાકાર ગતિશીલતા સર્પાકારમાં વ્યક્તિના વ્યક્તિત્વ અને તેના મૂલ્યોનો વિકાસ દર્શાવે છે.
- અને અલબત્ત, ગેલેક્સી પોતે સર્પાકારનો આકાર ધરાવે છે

આમ, એવી દલીલ કરી શકાય છે કે કુદરત પોતે સુવર્ણ વિભાગના સિદ્ધાંત અનુસાર બનાવવામાં આવી છે, તેથી જ આ પ્રમાણ માનવ આંખ દ્વારા વધુ સુમેળમાં જોવામાં આવે છે. તેને વિશ્વના પરિણામી ચિત્રમાં "સુધારણા" અથવા ઉમેરાની જરૂર નથી.

મૂવી. ભગવાનનો નંબર. ભગવાનનો અકાટ્ય પુરાવો; ભગવાનની સંખ્યા. ભગવાનનો અવિચારી પુરાવો.

ડીએનએ પરમાણુની રચનામાં સુવર્ણ પ્રમાણ

જીવંત પ્રાણીઓની શારીરિક લાક્ષણિકતાઓ વિશેની તમામ માહિતી માઇક્રોસ્કોપિક ડીએનએ પરમાણુમાં સંગ્રહિત છે, જેની રચનામાં સુવર્ણ પ્રમાણનો કાયદો પણ છે. ડીએનએ પરમાણુ બે ઊભી રીતે એકબીજા સાથે જોડાયેલા હેલિકો ધરાવે છે. આ દરેક સર્પાકારની લંબાઈ 34 એંગસ્ટ્રોમ અને પહોળાઈ 21 એંગસ્ટ્રોમ છે. (1 એંગસ્ટ્રોમ એ સેન્ટીમીટરનો સો મિલિયનમો ભાગ છે).

21 અને 34 એ ફિબોનાકી સંખ્યાઓના ક્રમમાં એકબીજાને અનુસરતી સંખ્યાઓ છે, એટલે કે, DNA પરમાણુના લઘુગણક સર્પાકારની લંબાઈ અને પહોળાઈનો ગુણોત્તર સુવર્ણ ગુણોત્તર 1:1.618નું સૂત્ર ધરાવે છે.

માઇક્રોકોસ્મ્સની રચનામાં સુવર્ણ ગુણોત્તર

ભૌમિતિક આકારો માત્ર ત્રિકોણ, ચોરસ, પંચકોણ અથવા ષટ્કોણ સુધી મર્યાદિત નથી. જો આપણે આ આંકડાઓને એકબીજા સાથે જુદી જુદી રીતે જોડીએ, તો આપણને નવા ત્રિ-પરિમાણીય ભૌમિતિક આકૃતિઓ મળે છે. આનાં ઉદાહરણો ક્યુબ અથવા પિરામિડ જેવા આકૃતિઓ છે. જો કે, તેમના ઉપરાંત, અન્ય ત્રિ-પરિમાણીય આકૃતિઓ પણ છે જેનો આપણે રોજિંદા જીવનમાં સામનો કર્યો નથી, અને જેમના નામ આપણે સાંભળીએ છીએ, કદાચ પ્રથમ વખત. આવી ત્રિ-પરિમાણીય આકૃતિઓમાં ટેટ્રાહેડ્રોન (નિયમિત ચાર-બાજુની આકૃતિ), અષ્ટાહેડ્રોન, ડોડેકેહેડ્રોન, આઇકોસાહેડ્રોન વગેરે છે. ડોડેકાહેડ્રોનમાં 13 પેન્ટાગોન્સ હોય છે, જે 20 ત્રિકોણનું આઇકોસાહેડ્રોન હોય છે. ગણિતશાસ્ત્રીઓ નોંધે છે કે આ આંકડાઓ ગાણિતિક રીતે ખૂબ જ સરળતાથી રૂપાંતરિત થાય છે, અને તેમનું પરિવર્તન સુવર્ણ ગુણોત્તરના લઘુગણક સર્પાકારના સૂત્ર અનુસાર થાય છે.

માઇક્રોકોઝમમાં, સુવર્ણ પ્રમાણ અનુસાર બાંધવામાં આવેલા ત્રિ-પરિમાણીય લઘુગણક સ્વરૂપો સર્વવ્યાપક છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઘણા વાયરસ આઇકોસાહેડ્રોનનો ત્રિ-પરિમાણીય ભૌમિતિક આકાર ધરાવે છે. કદાચ આ વાયરસમાંથી સૌથી પ્રખ્યાત એડેનો વાયરસ છે. એડેનો વાયરસનું પ્રોટીન શેલ ચોક્કસ ક્રમમાં ગોઠવાયેલા પ્રોટીન કોષોના 252 એકમોમાંથી બને છે. આઇકોસાહેડ્રોનના દરેક ખૂણા પર પેન્ટાગોનલ પ્રિઝમના આકારમાં પ્રોટીન કોષોના 12 એકમો છે અને આ ખૂણાઓથી સ્પાઇક જેવી રચનાઓ વિસ્તરે છે.

વાયરસના બંધારણમાં સુવર્ણ ગુણોત્તર સૌપ્રથમ 1950 ના દાયકામાં શોધાયું હતું. બિર્કબેક કોલેજ લંડનના વૈજ્ઞાનિકો એ. ક્લગ અને ડી. કાસ્પર. 13 પોલીયો વાયરસ લઘુગણક સ્વરૂપ દર્શાવનાર પ્રથમ હતો. આ વાયરસનું સ્વરૂપ રાઇનો 14 વાયરસના સ્વરૂપ જેવું જ નીકળ્યું.

પ્રશ્ન એ ઊભો થાય છે કે વાયરસ આવા જટિલ ત્રિ-પરિમાણીય આકારો કેવી રીતે બનાવે છે, જેની રચનામાં સુવર્ણ ગુણોત્તર હોય છે, જે આપણા માનવ મન માટે પણ બાંધવું ખૂબ મુશ્કેલ છે? વાયરસના આ સ્વરૂપોના શોધક, વાઈરોલોજિસ્ટ એ. ક્લગ, નીચેની ટિપ્પણી આપે છે:

“ડૉ. કાસ્પર અને મેં બતાવ્યું કે વાઇરસના ગોળાકાર શેલ માટે, આઇકોસાહેડ્રોન આકાર જેવી સપ્રમાણતા સૌથી શ્રેષ્ઠ છે. આ ક્રમ કનેક્ટિંગ તત્વોની સંખ્યાને ઘટાડે છે... બકમિન્સ્ટર ફુલરના મોટાભાગના જીઓડેસિક હેમિસ્ફેરિકલ ક્યુબ્સ સમાન ભૌમિતિક સિદ્ધાંત પર બનેલા છે. 14 આવા ક્યુબ્સના ઇન્સ્ટોલેશન માટે અત્યંત સચોટ અને વિગતવાર સમજૂતીત્મક આકૃતિની જરૂર છે. જ્યારે બેભાન વાયરસ પોતે સ્થિતિસ્થાપક, લવચીક પ્રોટીન સેલ્યુલર એકમોમાંથી આવા જટિલ શેલ બનાવે છે.

પ્રકૃતિમાં બનતી સંખ્યાઓ અને સૂત્રો વિશે. ઠીક છે, આ સમાન સંખ્યાઓ અને સૂત્રો વિશે થોડાક શબ્દો.

કુદરતમાં સંખ્યાઓ અને સૂત્રો એ કોઈના દ્વારા બ્રહ્માંડની રચનામાં વિશ્વાસ કરનારા અને બ્રહ્માંડની રચનામાં વિશ્વાસ કરનારાઓ વચ્ચેનો અવરોધ છે. કારણ કે પ્રશ્ન એ છે: "જો બ્રહ્માંડ તેના પોતાના પર ઉદ્ભવ્યું છે, તો પછી લગભગ તમામ જીવંત અને નિર્જીવ પદાર્થો સમાન યોજના અનુસાર, સમાન સૂત્રો અનુસાર બનાવવામાં આવશે નહીં?"

ઠીક છે, અમે અહીં આ ફિલોસોફિકલ પ્રશ્નનો જવાબ આપીશું નહીં (સાઇટનું ફોર્મેટ સમાન નથી 🙂), પરંતુ અમે સૂત્રોને અવાજ આપીશું. અને ચાલો ફિબોનાકી અને ગોલ્ડન સર્પાકાર નંબરોથી શરૂઆત કરીએ.

આમ, ફિબોનાકી સંખ્યાઓ સંખ્યા ક્રમના ઘટકો છે જેમાં દરેક અનુગામી સંખ્યા અગાઉની બે સંખ્યાઓના સરવાળા જેટલી હોય છે. એટલે કે, 0 +1=1, 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5 અને તેથી વધુ.

કુલ, અમને શ્રેણી મળે છે: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 67965,

ફિબોનાકી શ્રેણીનું બીજું ઉદાહરણ: 0, 2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110, 178 અને તેથી વધુ. તમે જાતે પ્રયોગ કરી શકો છો :)

ફિબોનાકી નંબરો પ્રકૃતિમાં કેવી રીતે દેખાય છે? ખૂબ જ સરળ:

1. છોડની પાંદડાની ગોઠવણી ફિબોનાકી ક્રમ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. સૂર્યમુખીના બીજ, પાઈન શંકુ, ફૂલોની પાંખડીઓ અને અનેનાસના કોષો પણ ફિબોનાકી ક્રમ પ્રમાણે ગોઠવાયેલા છે.
2. માનવ આંગળીઓના ફાલેન્જીસની લંબાઈ લગભગ ફિબોનાકી સંખ્યાઓ જેટલી જ હોય ​​છે.
3. ડીએનએ પરમાણુ બે ઊભી રીતે ગૂંથેલા હેલિકોથી બનેલું છે, 34 એંગસ્ટ્રોમ લાંબુ અને 21 એંગસ્ટ્રોમ પહોળું. 21 અને 34 નંબરો ફિબોનાકી ક્રમમાં એકબીજાને અનુસરે છે.

ફિબોનાકી નંબરોનો ઉપયોગ કરીને તમે ગોલ્ડન સર્પાકાર બનાવી શકો છો. તો, ચાલો, 1 ની બાજુ સાથે એક નાનો ચોરસ દોરીએ. આગળ, ચાલો શાળાને યાદ કરીએ. 12 શું છે? આ 1 હશે. તો, ચાલો પહેલા એકની બાજુમાં બીજો ચોરસ દોરીએ, એકબીજાની નજીક. આગળ, આગામી ફિબોનાકી નંબર 2 (1+1) છે. 2 2 શું છે? આ 4 હશે. ચાલો પહેલા બે ચોરસની નજીક બીજો ચોરસ દોરીએ, પરંતુ હવે 2 ની બાજુ અને 4 ના ક્ષેત્ર સાથે આગળની સંખ્યા 3 (1+2) છે. નંબર 3 નો વર્ગ 9 છે. 3 ની બાજુ સાથેનો ચોરસ દોરો અને પહેલાથી દોરેલાની બાજુમાં 9 નો વિસ્તાર દોરો. આગળ આપણી પાસે બાજુ 5 અને ક્ષેત્રફળ 25 સાથેનો ચોરસ છે, બાજુ 8 અને વિસ્તાર 64 સાથેનો ચોરસ છે - અને તેથી આગળ, અનંત.

તે સુવર્ણ સર્પાકાર માટે સમય છે. ચાલો ચોરસ વચ્ચેના સરહદ બિંદુઓને સરળ વક્ર રેખા સાથે જોડીએ. અને આપણને તે જ સોનેરી સર્પાકાર મળશે, જેના આધારે પ્રકૃતિમાં ઘણી જીવંત અને નિર્જીવ વસ્તુઓ બનાવવામાં આવી છે.

અને સુવર્ણ ગુણોત્તર તરફ આગળ વધતા પહેલા, ચાલો વિચાર કરીએ. અહીં આપણે ફિબોનાકી ક્રમના ચોરસ (ક્રમ 1, 1, 2, 3, 5, 8 અને વર્ગ 1, 1, 4, 9, 25, 64) પર આધારિત સર્પાકાર બનાવ્યો છે. પરંતુ જો આપણે સંખ્યાઓના ચોરસ નહીં, પરંતુ તેમના સમઘનનો ઉપયોગ કરીએ તો શું થશે? સમઘન કેન્દ્રમાંથી આના જેવો દેખાશે:

અને બાજુ પર:

સારું, સર્પાકાર બનાવતી વખતે, તે બહાર આવશે વોલ્યુમેટ્રિક સોનેરી સર્પાકાર:

આ વિશાળ સોનેરી સર્પાકાર બાજુથી જેવો દેખાય છે તે આ છે:

પરંતુ જો આપણે ફિબોનાકી નંબરોના ક્યુબ્સ ન લઈએ, પરંતુ ચોથા પરિમાણ પર જઈએ તો શું?.. આ એક કોયડો છે, બરાબર?

જો કે, મને કોઈ ખ્યાલ નથી કે વોલ્યુમેટ્રિક સોનેરી ગુણોત્તર કેવી રીતે પ્રકૃતિમાં ફિબોનાકી સંખ્યાઓના ક્યુબ્સના આધારે પ્રગટ થાય છે, ચોથા ઘાતથી ઘણી ઓછી સંખ્યાઓ. તેથી, અમે પ્લેન પર સુવર્ણ ગુણોત્તર પર પાછા આવીએ છીએ. તેથી, ચાલો ફરીથી અમારા ચોરસ જોઈએ. ગાણિતિક રીતે કહીએ તો, આ આપણને મળેલ ચિત્ર છે:

એટલે કે, આપણને સુવર્ણ ગુણોત્તર મળે છે - જ્યાં એક બાજુને બે ભાગોમાં એવા ગુણોત્તરમાં વહેંચવામાં આવે છે કે નાનો ભાગ મોટા ભાગ સાથે સંબંધિત છે કારણ કે મોટો ભાગ સમગ્ર મૂલ્ય સાથે છે.

એટલે કે, a: b = b: c અથવા c: b = b: a.

તીવ્રતાના આ ગુણોત્તરના આધારે, અન્ય વસ્તુઓની વચ્ચે, નિયમિત પેન્ટાગોન અને પેન્ટાગ્રામ બનાવવામાં આવે છે:

સંદર્ભ માટે: પેન્ટાગ્રામ બનાવવા માટે તમારે નિયમિત પેન્ટાગોન બનાવવાની જરૂર છે. તેના બાંધકામની પદ્ધતિ જર્મન ચિત્રકાર અને ગ્રાફિક કલાકાર આલ્બ્રેક્ટ ડ્યુરેર (1471...1528) દ્વારા વિકસાવવામાં આવી હતી. O એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે, વર્તુળ પર A એ બિંદુ છે અને E એ OA ખંડનો મધ્યબિંદુ છે. ત્રિજ્યા OA નો લંબ, બિંદુ O પર પુનઃસ્થાપિત, બિંદુ D પર વર્તુળને છેદે છે. હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કરીને, વ્યાસ પર સેગમેન્ટ CE = ED પ્લોટ કરો. વર્તુળમાં અંકિત નિયમિત પેન્ટાગોનની બાજુની લંબાઈ DC જેટલી છે. અમે વર્તુળ પર DC વિભાગો બનાવીએ છીએ અને નિયમિત પંચકોણ દોરવા માટે પાંચ બિંદુઓ મેળવીએ છીએ. અમે પેન્ટાગોનના ખૂણાઓને એક બીજા દ્વારા કર્ણ સાથે જોડીએ છીએ અને પેન્ટાગ્રામ મેળવીએ છીએ. પેન્ટાગોનના તમામ કર્ણ એકબીજાને સુવર્ણ ગુણોત્તર દ્વારા જોડાયેલા ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે.

સામાન્ય રીતે, આ પેટર્ન છે. તદુપરાંત, વર્ણવેલ કરતાં ઘણી વધુ વૈવિધ્યસભર પેટર્ન છે. અને હવે, આ બધા કંટાળાજનક નંબરો પછી - વચન આપેલ વિડિઓ ક્લિપ, જ્યાં બધું સરળ અને સ્પષ્ટ છે:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, ગણિત ખરેખર પ્રકૃતિમાં હાજર છે. અને માત્ર વિડિઓમાં સૂચિબદ્ધ ઑબ્જેક્ટ્સમાં જ નહીં, પણ અન્ય ઘણા ક્ષેત્રોમાં પણ. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે કોઈ તરંગ કિનારાને અથડાવે છે અને ફરે છે, ત્યારે તે ગોલ્ડન સર્પાકાર સાથે ફરે છે. અને તેથી વધુ :)

ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી લિયોનાર્ડો ફિબોનાચી 13મી સદીમાં રહેતા હતા અને યુરોપમાં અરબી (ભારતીય) અંકોનો ઉપયોગ કરનારા પ્રથમ લોકોમાંના એક હતા. તે ખેતરમાં ઉછરેલા સસલાં વિશે કંઈક અંશે કૃત્રિમ સમસ્યા લઈને આવ્યા, જે તમામને માદા ગણવામાં આવે છે અને નર અવગણવામાં આવે છે. સસલા બે મહિનાના થયા પછી પ્રજનન શરૂ કરે છે અને પછી દર મહિને એક સસલાને જન્મ આપે છે. સસલા ક્યારેય મરતા નથી.

અમારે એ નક્કી કરવાની જરૂર છે કે ખેતરમાં કેટલા સસલા હશે nમહિનાઓ, જો પ્રારંભિક સમયે માત્ર એક નવજાત સસલું હતું.

સ્વાભાવિક છે કે ખેડૂતને પહેલા મહિનામાં એક સસલું અને બીજા મહિનામાં એક સસલું હોય છે. ત્રીજા મહિને બે સસલા થશે, ચોથા મહિને ત્રણ હશે વગેરે. ચાલો માં સસલાની સંખ્યા દર્શાવીએ nમહિના જેવો. આમ,
,
,
,
,
, …

શોધવા માટે અલ્ગોરિધમનું નિર્માણ કરવું શક્ય છે કોઈપણ સમયે n.

સમસ્યા નિવેદન મુજબ, સસલાની કુલ સંખ્યા
વી n+1 મહિનો ત્રણ ઘટકોમાં વહેંચાયેલો છે:

પ્રજનન માટે અસમર્થ એક મહિનાના સસલા, ની માત્રામાં

;

આમ, આપણને મળે છે

. (8.1)

ફોર્મ્યુલા (8.1) તમને સંખ્યાઓની શ્રેણીની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . ..

આ ક્રમમાંના નંબરો કહેવામાં આવે છે ફિબોનાકી નંબરો .

જો આપણે સ્વીકારીએ
અને
, પછી ફોર્મ્યુલા (8.1) નો ઉપયોગ કરીને તમે અન્ય તમામ ફિબોનાકી નંબરો નક્કી કરી શકો છો. ફોર્મ્યુલા (8.1) કહેવાય છે આવર્તક સૂત્ર ( પુનરાવૃત્તિ - લેટિનમાં "રીટર્ન").

ઉદાહરણ 8.1.ધારો કે અંદર એક સીડી છે nપગલાં આપણે તેને એક પગથિયાંના પગથિયાં અથવા બે પગથિયાંના પગથિયાંમાં ચઢી શકીએ છીએ. વિવિધ પ્રશિક્ષણ પદ્ધતિઓના કેટલા સંયોજનો છે?

જો n= 1, સમસ્યાનો એક જ ઉકેલ છે. માટે n= 2 ત્યાં 2 વિકલ્પો છે: બે સિંગલ સ્ટેપ્સ અથવા એક ડબલ. માટે n= 3 ત્યાં 3 વિકલ્પો છે: ત્રણ સિંગલ સ્ટેપ્સ, અથવા એક સિંગલ અને એક ડબલ, અથવા એક ડબલ અને એક સિંગલ.

નીચેના કિસ્સામાં n= 4, આપણી પાસે 5 શક્યતાઓ છે (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).

રેન્ડમ પૂછવામાં આવેલ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે n, ચાલો વિકલ્પોની સંખ્યાને આ રીતે દર્શાવીએ , અને ચાલો નક્કી કરવાનો પ્રયાસ કરીએ
જાણીતા અનુસાર અને
. જો આપણે એક પગલાથી શરૂઆત કરીએ, તો આપણી પાસે છે બાકીના માટે સંયોજનો nપગલાં જો આપણે ડબલ સ્ટેપથી શરૂઆત કરીએ, તો આપણી પાસે છે
બાકીના માટે સંયોજનો n-1 પગલાં. માટે વિકલ્પોની કુલ સંખ્યા n+1 પગલાં સમાન છે

. (8.2)

પરિણામી સૂત્ર જોડિયા તરીકે સૂત્ર (8.1) જેવું લાગે છે. જો કે, આ અમને સંયોજનોની સંખ્યાને ઓળખવાની મંજૂરી આપતું નથી ફિબોનાકી નંબરો સાથે . આપણે જોઈએ છીએ, ઉદાહરણ તરીકે, તે
, પરંતુ
. જો કે, નીચેની અવલંબન થાય છે:

.

માટે આ સાચું છે n= 1, 2, અને દરેક માટે સાચું પણ n. ફિબોનાકી સંખ્યાઓ અને સંયોજનોની સંખ્યા સમાન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે છે, પરંતુ પ્રારંભિક મૂલ્યો
,
અને
,
તેઓ અલગ પડે છે.

ઉદાહરણ 8.2.ભૂલ-સુધારણા કોડિંગની સમસ્યાઓ માટે આ ઉદાહરણ વ્યવહારુ મહત્વ ધરાવે છે. લંબાઈના તમામ દ્વિસંગી શબ્દોની સંખ્યા શોધો n, એક પંક્તિમાં ઘણા શૂન્ય ધરાવતું નથી. ચાલો આ સંખ્યાને વડે દર્શાવીએ . દેખીતી રીતે,
, અને લંબાઈ 2 ના શબ્દો જે આપણી મર્યાદાને સંતોષે છે તે છે: 10, 01, 11, એટલે કે.
. દો
- તરફથી આવા શબ્દ nપાત્રો જો પ્રતીક
, તે
મનસ્વી હોઈ શકે છે (
)-શાબ્દિક શબ્દ કે જેમાં એક પંક્તિમાં ઘણા શૂન્ય ન હોય. આનો અર્થ એ છે કે એકમાં સમાપ્ત થતા શબ્દોની સંખ્યા છે
.

જો પ્રતીક
, પછી ચોક્કસપણે
, અને પ્રથમ
પ્રતીક
મનસ્વી હોઈ શકે છે, ધ્યાનમાં લેવામાં આવતી અવરોધોને આધીન. તેથી, ત્યાં છે
શબ્દોની લંબાઈ nઅંતે શૂન્ય સાથે. આમ, આપણને રસ હોય તેવા શબ્દોની કુલ સંખ્યા બરાબર છે

.

તે ધ્યાનમાં લેતા
અને
, સંખ્યાઓનો પરિણામી ક્રમ એ ફિબોનાકી સંખ્યાઓ છે.

ઉદાહરણ 8.3.ઉદાહરણ 7.6 માં આપણે જોયું કે સતત વજનવાળા દ્વિસંગી શબ્દોની સંખ્યા t(અને લંબાઈ k) બરાબર . હવે ચાલો સતત વજનના દ્વિસંગી શબ્દોની સંખ્યા શોધીએ t, એક પંક્તિમાં ઘણા શૂન્ય ધરાવતું નથી.

તમે આ રીતે વિચારી શકો છો. દો
પ્રશ્નમાંના શબ્દોમાં શૂન્યની સંખ્યા. કોઈપણ શબ્દ હોય છે
નજીકના શૂન્ય વચ્ચેની જગ્યાઓ, જેમાંના દરેકમાં એક અથવા વધુ શૂન્ય હોય છે. એવું મનાય છે
. નહિંતર, અડીને આવેલા શૂન્ય વિના એક પણ શબ્દ નથી.

જો આપણે દરેક અંતરાલમાંથી બરાબર એક એકમ દૂર કરીએ, તો આપણને લંબાઈનો શબ્દ મળે છે
સમાવતી શૂન્ય આવા કોઈપણ શબ્દ અમુક (અને માત્ર એક) પાસેથી સૂચવેલ રીતે મેળવી શકાય છે. k- શાબ્દિક શબ્દ ધરાવે છે શૂન્ય, જેમાંથી કોઈ બે અડીને નથી. આનો અર્થ એ છે કે જરૂરી સંખ્યા લંબાઈના તમામ શબ્દોની સંખ્યા સાથે એકરુપ છે
, બરાબર સમાવે છે શૂન્ય, એટલે કે બરાબર
.

ઉદાહરણ 8.4.ચાલો સાબિત કરીએ કે સરવાળો
કોઈપણ પૂર્ણાંક માટે ફિબોનાકી સંખ્યાઓ સમાન . પ્રતીક
માટે વપરાય છે નાનો પૂર્ણાંક તેનાથી મોટો અથવા તેની બરાબર . ઉદાહરણ તરીકે, જો
, તે
; શું જો
, તે
છત("છત"). એક પ્રતીક પણ છે
, જે સૂચવે છે સૌથી મોટો પૂર્ણાંક તેનાથી ઓછો અથવા બરાબર . અંગ્રેજીમાં આ ઓપરેશન કહેવાય છે માળ ("ફ્લોર").

જો
, તે
. જો
, તે
. જો
, તે
.

આમ, ધ્યાનમાં લેવાયેલા કિસ્સાઓ માટે, સરવાળો ખરેખર ફિબોનાકી સંખ્યાઓની બરાબર છે. હવે અમે સામાન્ય કેસ માટે પુરાવા રજૂ કરીએ છીએ. ફિબોનાકી નંબરો પુનરાવર્તિત સમીકરણ (8.1) નો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે, તેથી સમાનતા સંતુષ્ટ હોવી આવશ્યક છે:

.

અને તે ખરેખર કામ કરે છે:

અહીં આપણે અગાઉ મેળવેલ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કર્યો છે (4.4):
.

ફિબોનાકી સંખ્યાઓનો સરવાળો

ચાલો પહેલાનો સરવાળો નક્કી કરીએ nફિબોનાકી નંબરો.

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

તે જોવાનું સરળ છે કે દરેક સમીકરણની જમણી બાજુએ એક ઉમેરીને આપણે ફરીથી ફિબોનાકી નંબર મેળવીએ છીએ. પ્રથમનો સરવાળો નક્કી કરવા માટેનું સામાન્ય સૂત્ર nફિબોનાકી નંબરોનું સ્વરૂપ છે:

ચાલો આને ગાણિતિક ઇન્ડક્શન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરીએ. આ કરવા માટે, ચાલો લખીએ:

આ રકમ સમાન હોવી જોઈએ
.

સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુઓને –1 થી ઘટાડીને, આપણે સમીકરણ (6.1) મેળવીએ છીએ.

ફિબોનાકી નંબરો માટે ફોર્મ્યુલા

પ્રમેય 8.1. સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ફિબોનાકી સંખ્યાઓની ગણતરી કરી શકાય છે

.

પુરાવો. ચાલો આ ફોર્મ્યુલાની માન્યતા ચકાસીએ n= 0, 1, અને પછી આપણે મનસ્વી માટે આ સૂત્રની માન્યતા સાબિત કરીશું nઇન્ડક્શન દ્વારા. ચાલો બે નજીકના ફિબોનાકી સંખ્યાઓના ગુણોત્તરની ગણતરી કરીએ:

આપણે જોઈએ છીએ કે આ સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર 1.618 ની આસપાસ વધઘટ થાય છે (જો આપણે પ્રથમ થોડા મૂલ્યોને અવગણીએ). ફિબોનાકી નંબરોની આ ગુણધર્મ ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોને મળતી આવે છે. ચાલો સ્વીકારીએ
, (
). પછી અભિવ્યક્તિ

માં રૂપાંતરિત

જે સરળીકરણ પછી આના જેવો દેખાય છે

.

અમે એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ મેળવ્યું છે જેના મૂળ સમાન છે:

હવે આપણે લખી શકીએ:

(જ્યાં cસ્થિર છે). બંને સભ્યો અને ઉદાહરણ તરીકે, ફિબોનાકી નંબરો આપશો નહીં
, જ્યારે
. જો કે, તફાવત
પુનરાવૃત્તિ સમીકરણને સંતોષે છે:

માટે n=0 આ તફાવત આપે છે , એટલે કે:
. જો કે, જ્યારે n=1 અમારી પાસે છે
. મેળવવા માટે
, તમારે સ્વીકારવું આવશ્યક છે:
.

હવે આપણી પાસે બે ક્રમ છે: અને
, જે સમાન બે સંખ્યાઓથી શરૂ થાય છે અને સમાન પુનરાવૃત્તિ સૂત્રને સંતોષે છે. તેઓ સમાન હોવા જોઈએ:
. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

જ્યારે વધી રહી છે nસભ્ય જ્યારે ખૂબ મોટી બને છે
, અને સભ્યની ભૂમિકા તફાવત ઓછો થાય છે. તેથી, મોટા પ્રમાણમાં nઅમે લગભગ લખી શકીએ છીએ

.

અમે 1/2ને અવગણીએ છીએ (કારણ કે ફિબોનાકી સંખ્યાઓ અનંત સુધી વધે છે nજાહેરાત અનંત).

વલણ
કહેવાય છે સુવર્ણ ગુણોત્તર, તેનો ઉપયોગ ગણિતની બહાર થાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, શિલ્પ અને સ્થાપત્યમાં). સુવર્ણ ગુણોત્તર એ કર્ણ અને બાજુ વચ્ચેનો ગુણોત્તર છે નિયમિત પેન્ટાગોન(ફિગ. 8.1).

ચોખા. 8.1. નિયમિત પંચકોણ અને તેના કર્ણ

સુવર્ણ ગુણોત્તર દર્શાવવા માટે, અક્ષરનો ઉપયોગ કરવાનો રિવાજ છે
પ્રખ્યાત એથેનિયન શિલ્પકાર ફિડિયાસના માનમાં.

પ્રાઇમ નંબરો

બધી કુદરતી સંખ્યાઓ, મોટી સંખ્યાઓ, બે વર્ગોમાં આવે છે. પ્રથમમાં એવી સંખ્યાઓ શામેલ છે કે જેમાં બરાબર બે કુદરતી વિભાજકો છે, એક અને પોતે, બીજામાં બાકીના બધાનો સમાવેશ થાય છે. પ્રથમ વર્ગના નંબરો કહેવામાં આવે છે સરળ, અને બીજું - સંયુક્ત. પ્રથમ ત્રણ દસકામાં મુખ્ય સંખ્યાઓ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણધર્મો અને તમામ કુદરતી સંખ્યાઓ સાથેના તેમના સંબંધનો અભ્યાસ યુક્લિડ (3જી સદી બીસી) દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો. જો તમે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓને એક પંક્તિમાં લખો છો, તો તમે જોશો કે તેમની સંબંધિત ઘનતા ઘટતી જાય છે. પ્રથમ દસ માટે 4 છે, એટલે કે 40%, સો માટે - 25, એટલે કે. 25%, પ્રતિ હજાર - 168, એટલે કે 17% કરતા ઓછા, પ્રતિ મિલિયન - 78498, એટલે કે 8% કરતા ઓછા, વગેરે. જો કે, તેમની કુલ સંખ્યા અનંત છે.

અવિભાજ્ય સંખ્યાઓમાં આવી સંખ્યાઓની જોડી હોય છે, જેની વચ્ચેનો તફાવત બે જેવો હોય છે (કહેવાતા સરળ જોડિયા), જો કે, આવી જોડીની મર્યાદિતતા અથવા અનંતતા સાબિત થઈ નથી.

યુક્લિડે તે સ્પષ્ટ માન્યું કે માત્ર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવાથી વ્યક્તિ બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ મેળવી શકે છે, અને દરેક કુદરતી સંખ્યાને અવિભાજ્ય રીતે (પરિબળોના ક્રમ સુધી) અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. આમ, અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ કુદરતી શ્રેણીનો ગુણાકાર આધાર બનાવે છે.

અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના વિતરણના અભ્યાસથી એક અલ્ગોરિધમનું નિર્માણ થયું જે વ્યક્તિને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના કોષ્ટકો મેળવવાની મંજૂરી આપે છે. આવા અલ્ગોરિધમ છે Eratosthenes ની ચાળણી(3જી સદી બીસી). આ પદ્ધતિમાં આપેલ ક્રમના તે પૂર્ણાંકોને દૂર કરવાનો (ઉદાહરણ તરીકે, બહાર કાઢીને) સમાવેશ થાય છે.
, જે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક નાનીથી વિભાજ્ય છે
.

પ્રમેય 8 . 2 . (યુક્લિડિયન પ્રમેય). અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની સંખ્યા અનંત છે.

પુરાવો. અમે લીઓનહાર્ડ યુલર (1707-1783) દ્વારા પ્રસ્તાવિત પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની સંખ્યાની અનંતતા પર યુક્લિડના પ્રમેયને સાબિત કરીશું. યુલરે તમામ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ પર ઉત્પાદન ગણ્યું પી:

ખાતે
. આ ઉત્પાદન કન્વર્જ થાય છે, અને જો તેને વિસ્તૃત કરવામાં આવે છે, તો પછી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના મુખ્ય પરિબળોમાં વિઘટનની વિશિષ્ટતાને લીધે, તે તારણ આપે છે કે તે શ્રેણીના સરવાળાની બરાબર છે. , જેમાંથી યુલરની ઓળખ નીચે મુજબ છે:

.

ક્યારથી
જમણી બાજુની શ્રેણી અલગ પડે છે (હાર્મોનિક શ્રેણી), પછી યુક્લિડનું પ્રમેય યુલરની ઓળખ પરથી અનુસરે છે.

રશિયન ગણિતશાસ્ત્રી પી.એલ. ચેબીશેવ (1821-1894) એ એક સૂત્ર મેળવ્યું જે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની સંખ્યાની મર્યાદા નક્કી કરે છે
, ઓળંગી નહીં એક્સ:

,

જ્યાં
,
.

બી. બિગ્સના પુસ્તકની સામગ્રી પર આધારિત "એ હેજર ઇમર્જ્ડ ફ્રોમ ધ ફોગ"

ફિબોનાકી નંબરો અને ટ્રેડિંગ વિશે

વિષયના પરિચય તરીકે, ચાલો સંક્ષિપ્તમાં તકનીકી વિશ્લેષણ તરફ વળીએ. ટૂંકમાં, ટેકનિકલ પૃથ્થકરણનો હેતુ ભૂતકાળના ઐતિહાસિક ડેટાના આધારે સંપત્તિની ભાવિ કિંમતની હિલચાલની આગાહી કરવાનો છે. તેના સમર્થકોની સૌથી પ્રખ્યાત રચના એ છે કે કિંમતમાં પહેલાથી જ બધી જરૂરી માહિતી શામેલ છે. ટેકનિકલ પૃથ્થકરણનો અમલ શેરબજારની અટકળોના વિકાસ સાથે શરૂ થયો હતો અને સંભવતઃ હજુ સંપૂર્ણ રીતે સમાપ્ત થયો નથી, કારણ કે તે સંભવિતપણે અમર્યાદિત કમાણીનું વચન આપે છે. ટેક્નિકલ પૃથ્થકરણમાં સૌથી વધુ જાણીતી પદ્ધતિઓ (શબ્દો) સપોર્ટ અને પ્રતિકાર સ્તરો, જાપાનીઝ મીણબત્તીઓ, કિંમતમાં ઉલટાનું પૂર્વદર્શન આપતા આંકડાઓ વગેરે છે.

પરિસ્થિતિનો વિરોધાભાસ, મારા મતે, નીચેનામાં રહેલો છે - મોટાભાગની વર્ણવેલ પદ્ધતિઓ એટલી વ્યાપક બની ગઈ છે કે, તેમની અસરકારકતા પર પુરાવાના અભાવ હોવા છતાં, તેમની પાસે ખરેખર બજારના વર્તનને પ્રભાવિત કરવાની તક છે. તેથી, મૂળભૂત ડેટાનો ઉપયોગ કરનારા સંશયવાદીઓએ પણ આ વિભાવનાઓને ધ્યાનમાં લેવી જોઈએ કારણ કે ઘણા અન્ય ખેલાડીઓ ("તકનીકી") તેમને ધ્યાનમાં લે છે. ટેકનિકલ વિશ્લેષણ ઈતિહાસ પર સારી રીતે કામ કરી શકે છે, પરંતુ વ્યવહારમાં લગભગ કોઈ પણ વ્યક્તિ તેની મદદથી સ્થિર પૈસા કમાવવાનું મેનેજ કરી શકતું નથી - "ટેક્નિકલ વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરીને કરોડપતિ કેવી રીતે બનવું" પર મોટી માત્રામાં પુસ્તક પ્રકાશિત કરીને સમૃદ્ધ થવું ખૂબ સરળ છે. .

આ અર્થમાં, ફિબોનાકી સિદ્ધાંત અલગ છે, જેનો ઉપયોગ વિવિધ સમયગાળા માટે કિંમતોની આગાહી કરવા માટે પણ થાય છે. તેના અનુયાયીઓને સામાન્ય રીતે "વેવર્સ" કહેવામાં આવે છે. તે અલગ છે કારણ કે તે બજાર સાથે એકસાથે દેખાતું ન હતું, પરંતુ ખૂબ પહેલા - 800 વર્ષ જેટલું. તેની બીજી વિશેષતા એ છે કે સિદ્ધાંત દરેક વસ્તુ અને દરેકનું વર્ણન કરવા માટે લગભગ એક વિશ્વ ખ્યાલ તરીકે પ્રતિબિંબિત થાય છે, અને બજાર તેના ઉપયોગ માટે માત્ર એક વિશિષ્ટ કેસ છે. સિદ્ધાંતની અસરકારકતા અને તેના અસ્તિત્વનો સમયગાળો તેને નવા સમર્થકો અને તેના આધારે બજારોના વર્તનનું ઓછામાં ઓછું વિવાદાસ્પદ અને સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત વર્ણન બનાવવાના નવા પ્રયાસો બંને પ્રદાન કરે છે. પરંતુ અફસોસ, થિયરી વ્યક્તિગત સફળ બજારની આગાહીઓથી આગળ વધી શકી નથી, જેને નસીબ સમાન ગણી શકાય.

ફિબોનાકી સિદ્ધાંતનો સાર

ફિબોનાકી લાંબુ જીવન જીવ્યા, ખાસ કરીને તેમના સમય માટે, જે તેમણે સંખ્યાબંધ ગાણિતિક સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે સમર્પિત કર્યું, તેમને તેમના વિશાળ કાર્ય "ધ બુક ઓફ એબેકસ" (13મી સદીની શરૂઆતમાં) માં ઘડ્યા. તે હંમેશા સંખ્યાઓના રહસ્યવાદમાં રસ લેતો હતો - તે કદાચ આર્કિમિડીઝ અથવા યુક્લિડ કરતા ઓછો તેજસ્વી ન હતો. ફિબોનાકી સમક્ષ ચતુર્ભુજ સમીકરણો સંબંધિત સમસ્યાઓ ઊભી કરવામાં આવી હતી અને આંશિક રીતે હલ કરવામાં આવી હતી, ઉદાહરણ તરીકે પ્રખ્યાત ઓમર ખય્યામ, એક વૈજ્ઞાનિક અને કવિ દ્વારા; જો કે, ફિબોનાકીએ સસલાના પ્રજનનની સમસ્યા ઘડી કાઢી હતી, જેમાંથી તારણો તેને કંઈક લાવ્યા હતા જેનાથી તેનું નામ સદીઓમાં ખોવાઈ ન જાય.

સંક્ષિપ્તમાં, કાર્ય નીચે મુજબ છે. સસલાની જોડીને દિવાલ દ્વારા ચારે બાજુ વાડવાળી જગ્યાએ મૂકવામાં આવી હતી, અને સસલાની કોઈપણ જોડી તેમના અસ્તિત્વના બીજા મહિનાથી શરૂ કરીને દર મહિને બીજી જોડીને જન્મ આપે છે. સમય જતાં સસલાના પ્રજનનનું વર્ણન ક્રમ દ્વારા કરવામાં આવશે: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, વગેરે. ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી, ક્રમ ફક્ત અનન્ય હોવાનું બહાર આવ્યું, કારણ કે તેમાં સંખ્યાબંધ ઉત્કૃષ્ટ ગુણધર્મો છે:

• કોઈપણ બે સળંગ સંખ્યાઓનો સરવાળો એ અનુક્રમમાં આગળની સંખ્યા છે;

• અનુક્રમમાં દરેક સંખ્યાનો ગુણોત્તર, પાંચમાથી શરૂ કરીને, પાછલા એક સુધી 1.618 છે;

• કોઈપણ સંખ્યાના વર્ગ અને ડાબી બાજુની સંખ્યા બે સ્થિતિના વર્ગ વચ્ચેનો તફાવત ફિબોનાકી નંબર હશે;

• સંલગ્ન સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો ફિબોનાકી નંબર હશે, જે વર્ગની સૌથી મોટી સંખ્યા પછીની બે સ્થિતિ છે

આ તારણોમાંથી, બીજો સૌથી રસપ્રદ છે કારણ કે તે 1.618 નંબરનો ઉપયોગ કરે છે, જેને "ગોલ્ડન રેશિયો" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ સંખ્યા પ્રાચીન ગ્રીકો માટે જાણીતી હતી, જેમણે પાર્થેનોનના નિર્માણ દરમિયાન તેનો ઉપયોગ કર્યો હતો (માર્ગ દ્વારા, કેટલાક સ્રોતો અનુસાર, સેન્ટ્રલ બેંક ગ્રીકોની સેવા કરતી હતી). ઓછી રસપ્રદ વાત એ છે કે 1.618 નંબર પ્રકૃતિમાં માઇક્રો અને મેક્રો બંને સ્કેલ પર મળી શકે છે - ગોકળગાયના શેલ પર સર્પાકાર વળાંકથી લઈને કોસ્મિક તારાવિશ્વોના મોટા સર્પાકાર સુધી. ગીઝા ખાતેના પિરામિડ, પ્રાચીન ઇજિપ્તવાસીઓ દ્વારા બનાવવામાં આવ્યા હતા, જેમાં બાંધકામ દરમિયાન ફિબોનાકી શ્રેણીના ઘણા પરિમાણો પણ હતા. એક લંબચોરસ, જેની એક બાજુ બીજી બાજુ કરતાં 1.618 ગણી મોટી છે, તે આંખને સૌથી વધુ આનંદદાયક લાગે છે - આ ગુણોત્તરનો ઉપયોગ લિયોનાર્ડો દા વિન્સી દ્વારા તેમના ચિત્રો માટે કરવામાં આવ્યો હતો, અને વધુ રોજિંદા અર્થમાં તેનો ઉપયોગ કેટલીકવાર બારીઓ અથવા દરવાજા બનાવતી વખતે કરવામાં આવતો હતો. લેખની શરૂઆતમાં આકૃતિની જેમ એક તરંગને પણ ફિબોનાકી સર્પાકાર તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

જીવંત પ્રકૃતિમાં, ફિબોનાકી ક્રમ ઓછી વાર દેખાતો નથી - તે પંજા, દાંત, સૂર્યમુખી, કરોળિયાના જાળા અને બેક્ટેરિયાના વિકાસમાં પણ જોવા મળે છે. જો ઇચ્છિત હોય, તો માનવ ચહેરા અને શરીર સહિત લગભગ દરેક વસ્તુમાં સુસંગતતા જોવા મળે છે. અને તેમ છતાં, એવું માનવામાં આવે છે કે કુદરતી અને ઐતિહાસિક ઘટનાઓમાં ફિબોનાકી નંબરો શોધવાના ઘણા દાવા ખોટા છે - આ એક સામાન્ય દંતકથા છે જે ઘણીવાર ઇચ્છિત પરિણામ માટે અચોક્કસ ફિટ હોવાનું બહાર આવે છે.

નાણાકીય બજારોમાં ફિબોનાકી નંબરો

નાણાકીય બજારમાં ફિબોનાકી નંબરો લાગુ કરવામાં સૌથી વધુ નજીકથી સંકળાયેલા પ્રથમ વ્યક્તિઓમાંના એક આર. ઇલિયટ હતા. તેમનું કાર્ય એ અર્થમાં નિરર્થક નહોતું કે ફિબોનાકી સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને બજારના વર્ણનને ઘણીવાર "ઇલિયટ તરંગો" કહેવામાં આવે છે. અહીંના બજારોનો વિકાસ ત્રણ ડગલાં આગળ અને બે ડગલાં પાછળ સાથે સુપરસાઈકલથી માનવ વિકાસના મોડેલ પર આધારિત હતો. હકીકત એ છે કે માનવતા બિનરેખીય રીતે વિકાસ કરી રહી છે તે લગભગ દરેક માટે સ્પષ્ટ છે - પ્રાચીન ઇજિપ્તનું જ્ઞાન અને ડેમોક્રિટસનું અણુવાદી શિક્ષણ મધ્ય યુગમાં સંપૂર્ણપણે ખોવાઈ ગયું હતું, એટલે કે. લગભગ 2000 વર્ષ પછી; 20મી સદીએ માનવ જીવનની એવી ભયાનકતા અને તુચ્છતાને જન્મ આપ્યો કે ગ્રીકોના પ્યુનિક યુદ્ધોના યુગમાં પણ તેની કલ્પના કરવી મુશ્કેલ હતી. જો કે, જો આપણે પગલાઓના સિદ્ધાંત અને તેમની સંખ્યાને સત્ય તરીકે સ્વીકારીએ તો પણ, દરેક પગલાનું કદ અસ્પષ્ટ રહે છે, જે ઇલિયટ તરંગોને માથા અને પૂંછડીઓની આગાહી શક્તિ સાથે તુલનાત્મક બનાવે છે. પ્રારંભિક બિંદુ અને તરંગોની સંખ્યાની સાચી ગણતરી એ સિદ્ધાંતની મુખ્ય નબળાઈ હતી અને દેખીતી રીતે હશે.

તેમ છતાં, સિદ્ધાંતને સ્થાનિક સફળતા મળી હતી. ઇલિયટના વિદ્યાર્થી ગણી શકાય તેવા બોબ પ્રીચરે 1980ના દાયકાની શરૂઆતમાં તેજીના બજારની સાચી આગાહી કરી હતી અને 1987ને ટર્નિંગ પોઈન્ટ તરીકે જોયો હતો. આ વાસ્તવમાં બન્યું હતું, જેના પછી બોબ દેખીતી રીતે જ એક પ્રતિભાશાળી જેવું લાગ્યું - ઓછામાં ઓછું અન્ય લોકોની નજરમાં, તે ચોક્કસપણે એક રોકાણ ગુરુ બની ગયો. પ્રીચ્ટરનું ઇલિયટ વેવ થિયરીસ્ટ સબસ્ક્રિપ્શન તે વર્ષે વધીને 20,000 થયું.જો કે, 1990ના દાયકાની શરૂઆતમાં તેમાં ઘટાડો થયો હતો કારણ કે અમેરિકન બજારની વધુ આગાહી કરાયેલ "ડૂમ એન્ડ લૂમ" એ થોડી અટકવાનું નક્કી કર્યું હતું. જો કે, તેણે જાપાનીઝ બજાર માટે કામ કર્યું, અને સિદ્ધાંતના ઘણા સમર્થકો, જેઓ ત્યાં એક તરંગ માટે "મોડા" હતા, તેઓએ કાં તો તેમની મૂડી અથવા તેમની કંપનીઓના ગ્રાહકોની મૂડી ગુમાવી. તે જ રીતે અને તે જ સફળતા સાથે, તેઓ વારંવાર સિદ્ધાંતને વિદેશી વિનિમય બજારમાં વેપાર કરવા માટે લાગુ કરવાનો પ્રયાસ કરે છે.

સિદ્ધાંત વિવિધ ટ્રેડિંગ સમયગાળાને આવરી લે છે - સાપ્તાહિકથી, જે તેને માનક તકનીકી વિશ્લેષણ વ્યૂહરચના સમાન બનાવે છે, દાયકાઓ સુધીની ગણતરીઓ, એટલે કે. મૂળભૂત આગાહીઓના પ્રદેશમાં પ્રવેશ કરે છે. તરંગોની સંખ્યામાં ફેરફાર કરીને આ શક્ય છે. સિદ્ધાંતની નબળાઈઓ, જેનો ઉપર ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો હતો, તેના અનુયાયીઓને તરંગોની અસંગતતા વિશે નહીં, પરંતુ તેમની વચ્ચેની તેમની પોતાની ખોટી ગણતરીઓ અને પ્રારંભિક સ્થિતિની ખોટી વ્યાખ્યા વિશે બોલવાની મંજૂરી આપે છે. તે ભુલભુલામણી જેવું છે - જો તમારી પાસે સાચો નકશો હોય, તો પણ તમે તેને ફક્ત ત્યારે જ અનુસરી શકો છો જો તમે બરાબર સમજો કે તમે ક્યાં છો. અન્યથા કાર્ડનો કોઈ ઉપયોગ નથી. ઇલિયટ તરંગોના કિસ્સામાં, ફક્ત તમારા સ્થાનની શુદ્ધતા જ નહીં, પણ નકશાની ચોકસાઈ પર પણ શંકા કરવાના દરેક સંકેત છે.

તારણો

માનવતાના તરંગ વિકાસનો વાસ્તવિક આધાર છે - મધ્ય યુગમાં, ફુગાવાના તરંગો અને ડિફ્લેશન એકબીજા સાથે બદલાયા હતા, જ્યારે યુદ્ધોએ પ્રમાણમાં શાંત શાંતિપૂર્ણ જીવનનો માર્ગ આપ્યો હતો. પ્રકૃતિમાં ફિબોનાકી ક્રમનું અવલોકન, ઓછામાં ઓછા કેટલાક કિસ્સાઓમાં, પણ શંકા પેદા કરતું નથી. તેથી, દરેકને ભગવાન કોણ છે તે પ્રશ્નનો પોતાનો જવાબ આપવાનો અધિકાર છે: ગણિતશાસ્ત્રી અથવા રેન્ડમ નંબર જનરેટર. મારો અંગત અભિપ્રાય એ છે કે તમામ માનવ ઇતિહાસ અને બજારોને તરંગ ખ્યાલમાં રજૂ કરી શકાય તેમ હોવા છતાં, દરેક તરંગની ઊંચાઈ અને અવધિની આગાહી કોઈ પણ કરી શકતું નથી.

તે જ સમયે, અમેરિકન બજારના 200 વર્ષ અને અન્ય બજારોના 100 થી વધુ વર્ષોનું અવલોકન એ સ્પષ્ટ કરે છે કે શેરબજાર વધી રહ્યું છે, વૃદ્ધિ અને સ્થિરતાના વિવિધ સમયગાળામાંથી પસાર થઈ રહ્યું છે. આ હકીકત શેરબજારમાં લાંબા ગાળાની કમાણી માટે પૂરતી છે, વિવાદાસ્પદ સિદ્ધાંતોનો આશરો લીધા વિના અને વ્યાજબી જોખમોની અંદર હોવી જોઈએ તેના કરતાં વધુ મૂડી સાથે તેમના પર વિશ્વાસ રાખ્યા વિના.