લઘુગણકમાં શું હોય છે? એકીકરણ મર્યાદાઓનું અવેજી

મુખ્ય ગુણધર્મો.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

સમાન આધારો

લોગ6 4 + લોગ6 9.

હવે ચાલો કાર્યને થોડું જટિલ બનાવીએ.

લઘુગણક ઉકેલવાના ઉદાહરણો

જો લઘુગણકનો આધાર અથવા દલીલ શક્તિ હોય તો શું? પછી આ ડિગ્રીના ઘાતાંકને નીચેના નિયમો અનુસાર લઘુગણકના ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે:

અલબત્ત, આ બધા નિયમોનો અર્થ થાય છે જો લઘુગણકનો ODZ અવલોકન કરવામાં આવે: a > 0, a ≠ 1, x >

કાર્ય. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

નવા પાયામાં સંક્રમણ

લોગરીધમ લોગેક્સ આપવા દો. પછી કોઈપણ સંખ્યા c માટે જેમ કે c > 0 અને c ≠ 1, સમાનતા સાચી છે:

કાર્ય. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

આ પણ જુઓ:

લઘુગણકના મૂળભૂત ગુણધર્મો

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

ઘાત 2.718281828 છે…. ઘાતાંકને યાદ રાખવા માટે, તમે નિયમનો અભ્યાસ કરી શકો છો: ઘાતાંક 2.7 ની બરાબર છે અને લીઓ નિકોલાઈવિચ ટોલ્સટોયના જન્મના વર્ષમાં બે વાર છે.

લઘુગણકના મૂળભૂત ગુણધર્મો

આ નિયમને જાણીને, તમે ઘાતાંકની ચોક્કસ કિંમત અને લીઓ ટોલ્સટોયની જન્મ તારીખ બંને જાણી શકશો.

લોગરીધમ માટે ઉદાહરણો

લોગરીધમ અભિવ્યક્તિઓ

ઉદાહરણ 1.
એ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

ગુણધર્મો 3.5 નો ઉપયોગ કરીને અમે ગણતરી કરીએ છીએ

2.

3.

4. જ્યાં .

ઉદાહરણ 2. જો x શોધો

ઉદાહરણ 3. લોગરીધમનું મૂલ્ય આપવા દો

જો લોગ(x) ની ગણતરી કરો

લઘુગણકના મૂળભૂત ગુણધર્મો

લઘુગણક, કોઈપણ સંખ્યાઓની જેમ, દરેક રીતે ઉમેરી, બાદબાકી અને રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. પરંતુ લોગરીધમ બરાબર સામાન્ય સંખ્યાઓ નથી, તેથી અહીં નિયમો છે, જેને કહેવામાં આવે છે મુખ્ય ગુણધર્મો.

તમારે ચોક્કસપણે આ નિયમો જાણવાની જરૂર છે - એક પણ ગંભીર લઘુગણક સમસ્યા તેમના વિના ઉકેલી શકાતી નથી. વધુમાં, તેમાંના ઘણા ઓછા છે - તમે એક દિવસમાં બધું શીખી શકો છો. તો ચાલો શરુ કરીએ.

લઘુગણક ઉમેરવું અને બાદબાકી કરવી

સમાન પાયા સાથેના બે લઘુગણકને ધ્યાનમાં લો: લોગેક્સ અને લોગે. પછી તેઓ ઉમેરી અને બાદ કરી શકાય છે, અને:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

તેથી, લઘુગણકનો સરવાળો ઉત્પાદનના લઘુગણક જેટલો છે, અને તફાવત ગુણાંકના લઘુગણક જેટલો છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: અહીં મુખ્ય મુદ્દો છે સમાન આધારો. જો કારણો અલગ હોય, તો આ નિયમો કામ કરતા નથી!

આ સૂત્રો તમને લઘુગણક અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરવામાં મદદ કરશે, ભલે તેના વ્યક્તિગત ભાગોને ધ્યાનમાં લેવામાં ન આવે (પાઠ જુઓ "લોગરિધમ શું છે"). ઉદાહરણો પર એક નજર નાખો અને જુઓ:

લોગરીધમ્સ સમાન પાયા ધરાવતા હોવાથી, અમે સરવાળા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log2 48 − log2 3.

પાયા સમાન છે, અમે તફાવત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log3 135 − log3 5.

ફરીથી પાયા સમાન છે, તેથી અમારી પાસે છે:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, મૂળ અભિવ્યક્તિઓ "ખરાબ" લઘુગણકથી બનેલી છે, જેની અલગથી ગણતરી કરવામાં આવતી નથી. પરંતુ પરિવર્તન પછી, સંપૂર્ણ સામાન્ય સંખ્યાઓ પ્રાપ્ત થાય છે. ઘણા પરીક્ષણો આ હકીકત પર આધારિત છે. હા, યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામિનેશન પર તમામ ગંભીરતામાં (કેટલીકવાર વર્ચ્યુઅલ રીતે કોઈ ફેરફાર કર્યા વિના) ટેસ્ટ જેવા અભિવ્યક્તિઓ આપવામાં આવે છે.

લઘુગણકમાંથી ઘાતાંક બહાર કાઢવું

તે જોવાનું સરળ છે કે છેલ્લો નિયમ પ્રથમ બેને અનુસરે છે. પરંતુ કોઈપણ રીતે તેને યાદ રાખવું વધુ સારું છે - કેટલાક કિસ્સાઓમાં તે ગણતરીઓની માત્રામાં નોંધપાત્ર ઘટાડો કરશે.

અલબત્ત, જો લઘુગણકની ODZ અવલોકન કરવામાં આવે તો આ બધા નિયમોનો અર્થ થાય છે: a > 0, a ≠ 1, x > 0. અને બીજી એક વાત: બધા ફોર્મ્યુલાને માત્ર ડાબેથી જમણે જ નહીં, પણ ઊલટું પણ લાગુ કરવાનું શીખો. , એટલે કે લોગરીધમમાં જ લોગરીધમ સાઇન કરતા પહેલા તમે નંબરો દાખલ કરી શકો છો. આ તે છે જે મોટાભાગે જરૂરી છે.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log7 496.

ચાલો પ્રથમ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને દલીલમાં ડિગ્રીથી છુટકારો મેળવીએ:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

કાર્ય. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

નોંધ કરો કે છેદમાં લઘુગણક હોય છે, જેનો આધાર અને દલીલ ચોક્કસ શક્તિઓ છે: 16 = 24; 49 = 72. અમારી પાસે છે:

મને લાગે છે કે છેલ્લા ઉદાહરણમાં થોડી સ્પષ્ટતા જરૂરી છે. લઘુગણક ક્યાં ગયા? છેલ્લી ક્ષણ સુધી આપણે માત્ર છેદ સાથે જ કામ કરીએ છીએ.

લઘુગણક સૂત્રો. લોગરીધમ ઉદાહરણો ઉકેલો.

અમે સત્તાના રૂપમાં ત્યાં ઊભેલા લઘુગણકનો આધાર અને દલીલ રજૂ કરી અને ઘાતાંક કાઢ્યા - અમને "ત્રણ માળનું" અપૂર્ણાંક મળ્યો.

હવે મુખ્ય અપૂર્ણાંક જોઈએ. અંશ અને છેદ સમાન સંખ્યા ધરાવે છે: લોગ2 7. લોગ2 7 ≠ 0 હોવાથી, આપણે અપૂર્ણાંક ઘટાડી શકીએ છીએ - 2/4 છેદમાં રહેશે. અંકગણિતના નિયમો અનુસાર, ચારને અંશમાં સ્થાનાંતરિત કરી શકાય છે, જે કરવામાં આવ્યું હતું. પરિણામ જવાબ હતો: 2.

નવા પાયામાં સંક્રમણ

લઘુગણક ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવાના નિયમો વિશે બોલતા, મેં ખાસ ભારપૂર્વક કહ્યું કે તેઓ ફક્ત સમાન પાયા સાથે કામ કરે છે. જો કારણો અલગ હોય તો શું? જો તેઓ સમાન સંખ્યાની ચોક્કસ શક્તિઓ ન હોય તો શું?

નવા પાયામાં સંક્રમણ માટેના સૂત્રો બચાવમાં આવે છે. ચાલો તેમને પ્રમેયના રૂપમાં ઘડીએ:

લોગરીધમ લોગેક્સ આપવા દો. પછી કોઈપણ સંખ્યા c માટે જેમ કે c > 0 અને c ≠ 1, સમાનતા સાચી છે:

ખાસ કરીને, જો આપણે c = x સેટ કરીએ, તો આપણને મળશે:

બીજા સૂત્રમાંથી તે અનુસરે છે કે લઘુગણકનો આધાર અને દલીલ અદલાબદલી કરી શકાય છે, પરંતુ આ કિસ્સામાં સમગ્ર અભિવ્યક્તિ "વળી" છે, એટલે કે. લઘુગણક છેદમાં દેખાય છે.

સામાન્ય આંકડાકીય અભિવ્યક્તિઓમાં આ સૂત્રો ભાગ્યે જ જોવા મળે છે. લઘુગણક સમીકરણો અને અસમાનતાઓને હલ કરતી વખતે જ તેઓ કેટલા અનુકૂળ છે તેનું મૂલ્યાંકન કરવું શક્ય છે.

જો કે, એવી સમસ્યાઓ છે જે નવા પાયા પર જવા સિવાય બિલકુલ હલ કરી શકાતી નથી. ચાલો આમાંના કેટલાકને જોઈએ:

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log5 16 log2 25.

નોંધ કરો કે બંને લઘુગણકની દલીલોમાં ચોક્કસ શક્તિઓ હોય છે. ચાલો સૂચકાંકો કાઢીએ: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

હવે ચાલો બીજા લઘુગણકને "વિપરીત" કરીએ:

કારણ કે પરિબળોને ફરીથી ગોઠવતી વખતે ઉત્પાદન બદલાતું નથી, અમે શાંતિથી ચાર અને બેનો ગુણાકાર કર્યો, અને પછી લઘુગણક સાથે વ્યવહાર કર્યો.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log9 100 lg 3.

પ્રથમ લઘુગણકનો આધાર અને દલીલ ચોક્કસ શક્તિઓ છે. ચાલો આ લખીએ અને સૂચકાંકોથી છૂટકારો મેળવીએ:

હવે ચાલો નવા આધાર પર જઈને દશાંશ લઘુગણકથી છુટકારો મેળવીએ:

મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ

ઘણીવાર સોલ્યુશન પ્રક્રિયામાં આપેલ આધાર માટે લઘુગણક તરીકે સંખ્યા રજૂ કરવી જરૂરી છે. આ કિસ્સામાં, નીચેના સૂત્રો અમને મદદ કરશે:

પ્રથમ કિસ્સામાં, સંખ્યા n દલીલમાં ઘાતાંક બને છે. સંખ્યા n સંપૂર્ણપણે કંઈપણ હોઈ શકે છે, કારણ કે તે માત્ર લઘુગણક મૂલ્ય છે.

બીજું સૂત્ર વાસ્તવમાં એક પરિભાષિત વ્યાખ્યા છે. તે તેને કહેવાય છે: .

વાસ્તવમાં, જો સંખ્યા b ને એવી ઘાત સુધી વધારવામાં આવે કે આ ઘાતની સંખ્યા b એ સંખ્યા a આપે તો શું થાય? તે સાચું છે: પરિણામ એ જ સંખ્યા છે a. આ ફકરો ફરીથી ધ્યાનથી વાંચો - ઘણા લોકો તેના પર અટકી જાય છે.

નવા આધાર પર જવા માટેના સૂત્રોની જેમ, મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ ક્યારેક એકમાત્ર સંભવિત ઉકેલ છે.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

નોંધ લો કે log25 64 = log5 8 - લોગરીધમના આધાર અને દલીલમાંથી ખાલી ચોરસ લીધો છે. સમાન આધાર સાથે શક્તિનો ગુણાકાર કરવાના નિયમોને ધ્યાનમાં લેતા, અમને મળે છે:

જો કોઈને ખબર ન હોય, તો યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષાનું આ એક વાસ્તવિક કાર્ય હતું :)

લઘુગણક એકમ અને લઘુગણક શૂન્ય

નિષ્કર્ષમાં, હું બે ઓળખ આપીશ જેને ભાગ્યે જ ગુણધર્મો કહી શકાય - તેના બદલે, તે લઘુગણકની વ્યાખ્યાના પરિણામો છે. તેઓ સતત સમસ્યાઓમાં દેખાય છે અને આશ્ચર્યજનક રીતે, "અદ્યતન" વિદ્યાર્થીઓ માટે પણ સમસ્યાઓ ઊભી કરે છે.

1. લોગા = 1 છે. એકવાર અને બધા માટે યાદ રાખો: તે આધારના કોઈપણ આધાર a માટે લઘુગણક પોતે એક સમાન છે.
2. લોગા 1 = 0 છે. આધાર a કંઈપણ હોઈ શકે છે, પરંતુ જો દલીલમાં એક હોય, તો લઘુગણક શૂન્ય બરાબર છે! કારણ કે a0 = 1 એ વ્યાખ્યાનું સીધું પરિણામ છે.

તે બધા ગુણધર્મો છે. તેમને વ્યવહારમાં મૂકવાની પ્રેક્ટિસ કરવાની ખાતરી કરો! પાઠની શરૂઆતમાં ચીટ શીટ ડાઉનલોડ કરો, તેને છાપો અને સમસ્યાઓ હલ કરો.

આ પણ જુઓ:

a ને બેઝ કરવા માટે b નો લઘુગણક અભિવ્યક્તિ સૂચવે છે. લઘુગણકની ગણતરી કરવાનો અર્થ એ છે કે પાવર x () શોધવાનું કે જેના પર સમાનતા સંતુષ્ટ હોય

લઘુગણકના મૂળભૂત ગુણધર્મો

ઉપરોક્ત ગુણધર્મોને જાણવું જરૂરી છે, કારણ કે લઘુગણકને લગતી લગભગ તમામ સમસ્યાઓ અને ઉદાહરણો તેના આધારે ઉકેલવામાં આવે છે. બાકીના વિદેશી ગુણધર્મો આ સૂત્રો સાથે ગાણિતિક મેનિપ્યુલેશન્સ દ્વારા મેળવી શકાય છે

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

લોગરિધમ્સ (3.4) ના સરવાળા અને તફાવત માટેના સૂત્રની ગણતરી કરતી વખતે તમે ઘણી વાર આવો છો. બાકીના કેટલાક અંશે જટિલ છે, પરંતુ સંખ્યાબંધ કાર્યોમાં તેઓ જટિલ અભિવ્યક્તિઓને સરળ બનાવવા અને તેમના મૂલ્યોની ગણતરી કરવા માટે અનિવાર્ય છે.

લઘુગણકના સામાન્ય કિસ્સાઓ

કેટલાક સામાન્ય લઘુગણક એવા છે કે જેમાં આધાર દસ, ઘાતાંકીય અથવા બે હોય છે.
બેઝ ટેન સુધીના લઘુગણકને સામાન્ય રીતે દશાંશ લઘુગણક કહેવામાં આવે છે અને તેને ફક્ત lg(x) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

રેકોર્ડિંગ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે રેકોર્ડિંગમાં બેઝિક્સ લખવામાં આવી નથી. ઉદાહરણ તરીકે

પ્રાકૃતિક લઘુગણક એ લઘુગણક છે જેનો આધાર ઘાતાંક છે (ln(x) દ્વારા સૂચિત).

ઘાત 2.718281828 છે…. ઘાતાંકને યાદ રાખવા માટે, તમે નિયમનો અભ્યાસ કરી શકો છો: ઘાતાંક 2.7 ની બરાબર છે અને લીઓ નિકોલાઈવિચ ટોલ્સટોયના જન્મના વર્ષમાં બે વાર છે. આ નિયમને જાણીને, તમે ઘાતાંકની ચોક્કસ કિંમત અને લીઓ ટોલ્સટોયની જન્મ તારીખ બંને જાણી શકશો.

અને બેઝ બે માટે અન્ય મહત્વપૂર્ણ લઘુગણક દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે

ફંક્શનના લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન ચલ વડે ભાગ્યા સમાન છે

ઇન્ટિગ્રલ અથવા એન્ટિડેરિવેટિવ લોગરીધમ સંબંધ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

આપેલ સામગ્રી તમારા માટે લઘુગણક અને લઘુગણક સંબંધિત સમસ્યાઓના વિશાળ વર્ગને ઉકેલવા માટે પૂરતી છે. સામગ્રીને સમજવામાં તમારી મદદ કરવા માટે, હું શાળાના અભ્યાસક્રમ અને યુનિવર્સિટીઓમાંથી માત્ર થોડા સામાન્ય ઉદાહરણો આપીશ.

લોગરીધમ માટે ઉદાહરણો

લોગરીધમ અભિવ્યક્તિઓ

ઉદાહરણ 1.
એ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

ગુણધર્મો 3.5 નો ઉપયોગ કરીને અમે ગણતરી કરીએ છીએ

2.
લોગરીધમના તફાવતના ગુણધર્મ દ્વારા આપણી પાસે છે

3.
ગુણધર્મો 3.5 નો ઉપયોગ કરીને આપણે શોધીએ છીએ

4. જ્યાં .

જટિલ લાગતી અભિવ્યક્તિને સંખ્યાબંધ નિયમોનો ઉપયોગ કરીને રચવા માટે સરળ બનાવવામાં આવે છે

લઘુગણક મૂલ્યો શોધવી

ઉદાહરણ 2. જો x શોધો

ઉકેલ. ગણતરી માટે, અમે છેલ્લી મુદત 5 અને 13 ગુણધર્મો માટે અરજી કરીએ છીએ

અમે તેને રેકોર્ડ પર મૂકીએ છીએ અને શોક કરીએ છીએ

પાયા સમાન હોવાથી, અમે સમીકરણોની સમાનતા કરીએ છીએ

લઘુગણક. પ્રવેશ સ્તર.

લઘુગણકનું મૂલ્ય આપવા દો

જો લોગ(x) ની ગણતરી કરો

ઉકેલ: ચાલો ચલનો લઘુગણક લઈએ અને તેના શબ્દોના સરવાળા દ્વારા લઘુગણક લખીએ.

લોગરીધમ્સ અને તેમના ગુણધર્મો સાથેના અમારા પરિચયની આ માત્ર શરૂઆત છે. ગણતરીઓનો અભ્યાસ કરો, તમારી વ્યવહારિક કુશળતાને સમૃદ્ધ બનાવો - લઘુગણક સમીકરણો ઉકેલવા માટે તમને ટૂંક સમયમાં જ તમને પ્રાપ્ત જ્ઞાનની જરૂર પડશે. આવા સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની મૂળભૂત પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ કર્યા પછી, અમે તમારા જ્ઞાનને બીજા સમાન મહત્વના વિષય - લઘુગણક અસમાનતાઓ પર વિસ્તૃત કરીશું.

લઘુગણકના મૂળભૂત ગુણધર્મો

લઘુગણક, કોઈપણ સંખ્યાઓની જેમ, દરેક રીતે ઉમેરી, બાદબાકી અને રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. પરંતુ લોગરીધમ બરાબર સામાન્ય સંખ્યાઓ નથી, તેથી અહીં નિયમો છે, જેને કહેવામાં આવે છે મુખ્ય ગુણધર્મો.

તમારે ચોક્કસપણે આ નિયમો જાણવાની જરૂર છે - એક પણ ગંભીર લઘુગણક સમસ્યા તેમના વિના ઉકેલી શકાતી નથી. વધુમાં, તેમાંના ઘણા ઓછા છે - તમે એક દિવસમાં બધું શીખી શકો છો. તો ચાલો શરુ કરીએ.

લઘુગણક ઉમેરવું અને બાદબાકી કરવી

સમાન પાયા સાથેના બે લઘુગણકને ધ્યાનમાં લો: લોગેક્સ અને લોગે. પછી તેઓ ઉમેરી અને બાદ કરી શકાય છે, અને:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

તેથી, લઘુગણકનો સરવાળો ઉત્પાદનના લઘુગણક જેટલો છે, અને તફાવત ગુણાંકના લઘુગણક જેટલો છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: અહીં મુખ્ય મુદ્દો છે સમાન આધારો. જો કારણો અલગ હોય, તો આ નિયમો કામ કરતા નથી!

આ સૂત્રો તમને લઘુગણક અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરવામાં મદદ કરશે, ભલે તેના વ્યક્તિગત ભાગોને ધ્યાનમાં લેવામાં ન આવે (પાઠ જુઓ "લોગરિધમ શું છે"). ઉદાહરણો પર એક નજર નાખો અને જુઓ:

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log6 4 + log6 9.

લોગરીધમ્સ સમાન પાયા ધરાવતા હોવાથી, અમે સરવાળા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log2 48 − log2 3.

પાયા સમાન છે, અમે તફાવત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log3 135 − log3 5.

ફરીથી પાયા સમાન છે, તેથી અમારી પાસે છે:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, મૂળ અભિવ્યક્તિઓ "ખરાબ" લઘુગણકથી બનેલી છે, જેની અલગથી ગણતરી કરવામાં આવતી નથી. પરંતુ પરિવર્તન પછી, સંપૂર્ણ સામાન્ય સંખ્યાઓ પ્રાપ્ત થાય છે. ઘણા પરીક્ષણો આ હકીકત પર આધારિત છે. હા, યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામિનેશન પર તમામ ગંભીરતામાં (કેટલીકવાર વર્ચ્યુઅલ રીતે કોઈ ફેરફાર કર્યા વિના) ટેસ્ટ જેવા અભિવ્યક્તિઓ આપવામાં આવે છે.

લઘુગણકમાંથી ઘાતાંક બહાર કાઢવું

હવે ચાલો કાર્યને થોડું જટિલ બનાવીએ. જો લઘુગણકનો આધાર અથવા દલીલ શક્તિ હોય તો શું? પછી આ ડિગ્રીના ઘાતાંકને નીચેના નિયમો અનુસાર લઘુગણકના ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે:

તે જોવાનું સરળ છે કે છેલ્લો નિયમ પ્રથમ બેને અનુસરે છે. પરંતુ કોઈપણ રીતે તેને યાદ રાખવું વધુ સારું છે - કેટલાક કિસ્સાઓમાં તે ગણતરીઓની માત્રામાં નોંધપાત્ર ઘટાડો કરશે.

અલબત્ત, જો લઘુગણકની ODZ અવલોકન કરવામાં આવે તો આ બધા નિયમોનો અર્થ થાય છે: a > 0, a ≠ 1, x > 0. અને બીજી એક વાત: બધા ફોર્મ્યુલાને માત્ર ડાબેથી જમણે જ નહીં, પણ ઊલટું પણ લાગુ કરવાનું શીખો. , એટલે કે લોગરીધમમાં જ લોગરીધમ સાઇન કરતા પહેલા તમે નંબરો દાખલ કરી શકો છો.

લોગરીધમ્સ કેવી રીતે હલ કરવી

આ તે છે જે મોટાભાગે જરૂરી છે.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log7 496.

ચાલો પ્રથમ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને દલીલમાં ડિગ્રીથી છુટકારો મેળવીએ:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

કાર્ય. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

નોંધ કરો કે છેદમાં લઘુગણક હોય છે, જેનો આધાર અને દલીલ ચોક્કસ શક્તિઓ છે: 16 = 24; 49 = 72. અમારી પાસે છે:

મને લાગે છે કે છેલ્લા ઉદાહરણમાં થોડી સ્પષ્ટતા જરૂરી છે. લઘુગણક ક્યાં ગયા? છેલ્લી ક્ષણ સુધી આપણે માત્ર છેદ સાથે જ કામ કરીએ છીએ. અમે સત્તાના રૂપમાં ત્યાં ઊભેલા લઘુગણકનો આધાર અને દલીલ રજૂ કરી અને ઘાતાંક કાઢ્યા - અમને "ત્રણ માળનું" અપૂર્ણાંક મળ્યો.

હવે મુખ્ય અપૂર્ણાંક જોઈએ. અંશ અને છેદ સમાન સંખ્યા ધરાવે છે: લોગ2 7. લોગ2 7 ≠ 0 હોવાથી, આપણે અપૂર્ણાંક ઘટાડી શકીએ છીએ - 2/4 છેદમાં રહેશે. અંકગણિતના નિયમો અનુસાર, ચારને અંશમાં સ્થાનાંતરિત કરી શકાય છે, જે કરવામાં આવ્યું હતું. પરિણામ જવાબ હતો: 2.

નવા પાયામાં સંક્રમણ

લઘુગણક ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવાના નિયમો વિશે બોલતા, મેં ખાસ ભારપૂર્વક કહ્યું કે તેઓ ફક્ત સમાન પાયા સાથે કામ કરે છે. જો કારણો અલગ હોય તો શું? જો તેઓ સમાન સંખ્યાની ચોક્કસ શક્તિઓ ન હોય તો શું?

નવા પાયામાં સંક્રમણ માટેના સૂત્રો બચાવમાં આવે છે. ચાલો તેમને પ્રમેયના રૂપમાં ઘડીએ:

લોગરીધમ લોગેક્સ આપવા દો. પછી કોઈપણ સંખ્યા c માટે જેમ કે c > 0 અને c ≠ 1, સમાનતા સાચી છે:

ખાસ કરીને, જો આપણે c = x સેટ કરીએ, તો આપણને મળશે:

બીજા સૂત્રમાંથી તે અનુસરે છે કે લઘુગણકનો આધાર અને દલીલ અદલાબદલી કરી શકાય છે, પરંતુ આ કિસ્સામાં સમગ્ર અભિવ્યક્તિ "વળી" છે, એટલે કે. લઘુગણક છેદમાં દેખાય છે.

સામાન્ય આંકડાકીય અભિવ્યક્તિઓમાં આ સૂત્રો ભાગ્યે જ જોવા મળે છે. લઘુગણક સમીકરણો અને અસમાનતાઓને હલ કરતી વખતે જ તેઓ કેટલા અનુકૂળ છે તેનું મૂલ્યાંકન કરવું શક્ય છે.

જો કે, એવી સમસ્યાઓ છે જે નવા પાયા પર જવા સિવાય બિલકુલ હલ કરી શકાતી નથી. ચાલો આમાંના કેટલાકને જોઈએ:

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log5 16 log2 25.

નોંધ કરો કે બંને લઘુગણકની દલીલોમાં ચોક્કસ શક્તિઓ હોય છે. ચાલો સૂચકાંકો કાઢીએ: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

હવે ચાલો બીજા લઘુગણકને "વિપરીત" કરીએ:

કારણ કે પરિબળોને ફરીથી ગોઠવતી વખતે ઉત્પાદન બદલાતું નથી, અમે શાંતિથી ચાર અને બેનો ગુણાકાર કર્યો, અને પછી લઘુગણક સાથે વ્યવહાર કર્યો.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log9 100 lg 3.

પ્રથમ લઘુગણકનો આધાર અને દલીલ ચોક્કસ શક્તિઓ છે. ચાલો આ લખીએ અને સૂચકાંકોથી છૂટકારો મેળવીએ:

હવે ચાલો નવા આધાર પર જઈને દશાંશ લઘુગણકથી છુટકારો મેળવીએ:

મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ

ઘણીવાર સોલ્યુશન પ્રક્રિયામાં આપેલ આધાર માટે લઘુગણક તરીકે સંખ્યા રજૂ કરવી જરૂરી છે. આ કિસ્સામાં, નીચેના સૂત્રો અમને મદદ કરશે:

પ્રથમ કિસ્સામાં, સંખ્યા n દલીલમાં ઘાતાંક બને છે. સંખ્યા n સંપૂર્ણપણે કંઈપણ હોઈ શકે છે, કારણ કે તે માત્ર લઘુગણક મૂલ્ય છે.

બીજું સૂત્ર વાસ્તવમાં એક પરિભાષિત વ્યાખ્યા છે. તે તેને કહેવાય છે: .

વાસ્તવમાં, જો સંખ્યા b ને એવી ઘાત સુધી વધારવામાં આવે કે આ ઘાતની સંખ્યા b એ સંખ્યા a આપે તો શું થાય? તે સાચું છે: પરિણામ એ જ સંખ્યા છે a. આ ફકરો ફરીથી ધ્યાનથી વાંચો - ઘણા લોકો તેના પર અટકી જાય છે.

નવા આધાર પર જવા માટેના સૂત્રોની જેમ, મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ ક્યારેક એકમાત્ર સંભવિત ઉકેલ છે.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

નોંધ લો કે log25 64 = log5 8 - લોગરીધમના આધાર અને દલીલમાંથી ખાલી ચોરસ લીધો છે. સમાન આધાર સાથે શક્તિનો ગુણાકાર કરવાના નિયમોને ધ્યાનમાં લેતા, અમને મળે છે:

જો કોઈને ખબર ન હોય, તો યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષાનું આ એક વાસ્તવિક કાર્ય હતું :)

લઘુગણક એકમ અને લઘુગણક શૂન્ય

નિષ્કર્ષમાં, હું બે ઓળખ આપીશ જેને ભાગ્યે જ ગુણધર્મો કહી શકાય - તેના બદલે, તે લઘુગણકની વ્યાખ્યાના પરિણામો છે. તેઓ સતત સમસ્યાઓમાં દેખાય છે અને આશ્ચર્યજનક રીતે, "અદ્યતન" વિદ્યાર્થીઓ માટે પણ સમસ્યાઓ ઊભી કરે છે.

1. લોગા = 1 છે. એકવાર અને બધા માટે યાદ રાખો: તે આધારના કોઈપણ આધાર a માટે લઘુગણક પોતે એક સમાન છે.
2. લોગા 1 = 0 છે. આધાર a કંઈપણ હોઈ શકે છે, પરંતુ જો દલીલમાં એક હોય, તો લઘુગણક શૂન્ય બરાબર છે! કારણ કે a0 = 1 એ વ્યાખ્યાનું સીધું પરિણામ છે.

તે બધા ગુણધર્મો છે. તેમને વ્યવહારમાં મૂકવાની પ્રેક્ટિસ કરવાની ખાતરી કરો! પાઠની શરૂઆતમાં ચીટ શીટ ડાઉનલોડ કરો, તેને છાપો અને સમસ્યાઓ હલ કરો.

લઘુગણક, કોઈપણ સંખ્યાઓની જેમ, દરેક રીતે ઉમેરી, બાદબાકી અને રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. પરંતુ લોગરીધમ બરાબર સામાન્ય સંખ્યાઓ નથી, તેથી અહીં નિયમો છે, જેને કહેવામાં આવે છે મુખ્ય ગુણધર્મો.

તમારે ચોક્કસપણે આ નિયમો જાણવાની જરૂર છે - એક પણ ગંભીર લઘુગણક સમસ્યા તેમના વિના ઉકેલી શકાતી નથી. વધુમાં, તેમાંના ઘણા ઓછા છે - તમે એક દિવસમાં બધું શીખી શકો છો. તો ચાલો શરુ કરીએ.

લઘુગણક ઉમેરવું અને બાદબાકી કરવી

સમાન પાયા સાથેના બે લઘુગણકને ધ્યાનમાં લો: લોગ a xઅને લોગ a y. પછી તેઓ ઉમેરી અને બાદ કરી શકાય છે, અને:

1. લોગ a x+ લોગ a y=લોગ a (x · y);
2. લોગ a x- લોગ a y=લોગ a (x : y).

તેથી, લઘુગણકનો સરવાળો ઉત્પાદનના લઘુગણક જેટલો છે, અને તફાવત ગુણાંકના લઘુગણક જેટલો છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: અહીં મુખ્ય મુદ્દો છે સમાન આધારો. જો કારણો અલગ હોય, તો આ નિયમો કામ કરતા નથી!

આ સૂત્રો તમને લઘુગણક અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરવામાં મદદ કરશે, ભલે તેના વ્યક્તિગત ભાગોને ધ્યાનમાં લેવામાં ન આવે (પાઠ જુઓ "લોગરિધમ શું છે"). ઉદાહરણો પર એક નજર નાખો અને જુઓ:

લોગ 6 4 + લોગ 6 9.

લોગરીધમ્સ સમાન પાયા ધરાવતા હોવાથી, અમે સરવાળા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
લોગ 6 4 + લોગ 6 9 = લોગ 6 (4 9) = લોગ 6 36 = 2.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log 2 48 − log 2 3.

પાયા સમાન છે, અમે તફાવત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
લોગ 2 48 − લોગ 2 3 = લોગ 2 (48: 3) = લોગ 2 16 = 4.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log 3 135 − log 3 5.

ફરીથી પાયા સમાન છે, તેથી અમારી પાસે છે:
લોગ 3 135 − લોગ 3 5 = લોગ 3 (135: 5) = લોગ 3 27 = 3.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, મૂળ અભિવ્યક્તિઓ "ખરાબ" લઘુગણકથી બનેલી છે, જેની અલગથી ગણતરી કરવામાં આવતી નથી. પરંતુ પરિવર્તન પછી, સંપૂર્ણ સામાન્ય સંખ્યાઓ પ્રાપ્ત થાય છે. ઘણા પરીક્ષણો આ હકીકત પર આધારિત છે. હા, યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામિનેશન પર તમામ ગંભીરતામાં (કેટલીકવાર વર્ચ્યુઅલ રીતે કોઈ ફેરફાર કર્યા વિના) ટેસ્ટ જેવા અભિવ્યક્તિઓ આપવામાં આવે છે.

લઘુગણકમાંથી ઘાતાંક કાઢવું

હવે ચાલો કાર્યને થોડું જટિલ બનાવીએ. જો લઘુગણકનો આધાર અથવા દલીલ શક્તિ હોય તો શું? પછી આ ડિગ્રીના ઘાતાંકને નીચેના નિયમો અનુસાર લઘુગણકના ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે:

તે જોવાનું સરળ છે કે છેલ્લો નિયમ પ્રથમ બેને અનુસરે છે. પરંતુ કોઈપણ રીતે તેને યાદ રાખવું વધુ સારું છે - કેટલાક કિસ્સાઓમાં તે ગણતરીઓની માત્રામાં નોંધપાત્ર ઘટાડો કરશે.

અલબત્ત, જો લઘુગણકનો ODZ અવલોકન કરવામાં આવે તો આ બધા નિયમોનો અર્થ થાય છે: a > 0, a ≠ 1, x> 0. અને એક વધુ વસ્તુ: બધા ફોર્મ્યુલાને માત્ર ડાબેથી જમણે જ નહીં, પણ ઊલટું પણ લાગુ કરવાનું શીખો, એટલે કે. લોગરીધમમાં જ લોગરીધમ સાઇન કરતા પહેલા તમે નંબરો દાખલ કરી શકો છો. આ તે છે જે મોટાભાગે જરૂરી છે.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log 7 49 6 .

ચાલો પ્રથમ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને દલીલમાં ડિગ્રીથી છુટકારો મેળવીએ:
લોગ 7 49 6 = 6 લોગ 7 49 = 6 2 = 12

કાર્ય. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

[ચિત્ર માટે કૅપ્શન]

નોંધ કરો કે છેદમાં લઘુગણક હોય છે, જેનો આધાર અને દલીલ ચોક્કસ શક્તિઓ છે: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. અમારી પાસે છે:

મને લાગે છે કે છેલ્લા ઉદાહરણમાં થોડી સ્પષ્ટતા જરૂરી છે. લઘુગણક ક્યાં ગયા? છેલ્લી ક્ષણ સુધી આપણે માત્ર છેદ સાથે જ કામ કરીએ છીએ. અમે સત્તાના રૂપમાં ત્યાં ઊભેલા લઘુગણકનો આધાર અને દલીલ રજૂ કરી અને ઘાતાંક કાઢ્યા - અમને "ત્રણ માળનું" અપૂર્ણાંક મળ્યો.

હવે મુખ્ય અપૂર્ણાંક જોઈએ. અંશ અને છેદ સમાન સંખ્યા ધરાવે છે: લોગ 2 7. લોગ 2 7 ≠ 0 હોવાથી, આપણે અપૂર્ણાંક ઘટાડી શકીએ છીએ - 2/4 છેદમાં રહેશે. અંકગણિતના નિયમો અનુસાર, ચારને અંશમાં સ્થાનાંતરિત કરી શકાય છે, જે કરવામાં આવ્યું હતું. પરિણામ જવાબ હતો: 2.

નવા પાયામાં સંક્રમણ

લઘુગણક ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવાના નિયમો વિશે બોલતા, મેં ખાસ ભારપૂર્વક કહ્યું કે તેઓ ફક્ત સમાન પાયા સાથે કામ કરે છે. જો કારણો અલગ હોય તો શું? જો તેઓ સમાન સંખ્યાની ચોક્કસ શક્તિઓ ન હોય તો શું?

નવા પાયામાં સંક્રમણ માટેના સૂત્રો બચાવમાં આવે છે. ચાલો તેમને પ્રમેયના રૂપમાં ઘડીએ:

લોગરીધમ લોગ આપવા દો a x. પછી કોઈપણ નંબર માટે cજેમ કે c> 0 અને c≠ 1, સમાનતા સાચી છે:

[ચિત્ર માટે કૅપ્શન]

ખાસ કરીને, જો આપણે મૂકીએ c = x, અમને મળે છે:

[ચિત્ર માટે કૅપ્શન]

બીજા સૂત્રમાંથી તે અનુસરે છે કે લઘુગણકનો આધાર અને દલીલ અદલાબદલી કરી શકાય છે, પરંતુ આ કિસ્સામાં સમગ્ર અભિવ્યક્તિ "વળી" છે, એટલે કે. લઘુગણક છેદમાં દેખાય છે.

સામાન્ય આંકડાકીય અભિવ્યક્તિઓમાં આ સૂત્રો ભાગ્યે જ જોવા મળે છે. લઘુગણક સમીકરણો અને અસમાનતાઓને હલ કરતી વખતે જ તેઓ કેટલા અનુકૂળ છે તેનું મૂલ્યાંકન કરવું શક્ય છે.

જો કે, એવી સમસ્યાઓ છે જે નવા પાયા પર જવા સિવાય બિલકુલ હલ કરી શકાતી નથી. ચાલો આમાંના કેટલાકને જોઈએ:

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log 5 16 log 2 25.

નોંધ કરો કે બંને લઘુગણકની દલીલોમાં ચોક્કસ શક્તિઓ હોય છે. ચાલો સૂચકાંકો કાઢીએ: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; લોગ 2 25 = લોગ 2 5 2 = 2લોગ 2 5;

હવે ચાલો બીજા લઘુગણકને "વિપરીત" કરીએ:

કારણ કે પરિબળોને ફરીથી ગોઠવતી વખતે ઉત્પાદન બદલાતું નથી, અમે શાંતિથી ચાર અને બેનો ગુણાકાર કર્યો, અને પછી લઘુગણક સાથે વ્યવહાર કર્યો.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log 9 100 lg 3.

પ્રથમ લઘુગણકનો આધાર અને દલીલ ચોક્કસ શક્તિઓ છે. ચાલો આ લખીએ અને સૂચકાંકોથી છૂટકારો મેળવીએ:

હવે ચાલો નવા આધાર પર જઈને દશાંશ લઘુગણકથી છુટકારો મેળવીએ:

મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ

ઘણીવાર સોલ્યુશન પ્રક્રિયામાં આપેલ આધાર માટે લઘુગણક તરીકે સંખ્યા રજૂ કરવી જરૂરી છે. આ કિસ્સામાં, નીચેના સૂત્રો અમને મદદ કરશે:

પ્રથમ કિસ્સામાં, નંબર nદલીલમાં ઊભેલી ડિગ્રીનું સૂચક બને છે. નંબર nસંપૂર્ણપણે કંઈપણ હોઈ શકે છે, કારણ કે તે માત્ર એક લઘુગણક મૂલ્ય છે.

બીજું સૂત્ર વાસ્તવમાં એક પરિભાષિત વ્યાખ્યા છે. તેને તે કહેવામાં આવે છે: મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ.

વાસ્તવમાં, નંબર જો શું થશે bએવી શક્તિ સુધી વધારો કે સંખ્યા bઆ પાવર નંબર આપે છે a? તે સાચું છે: તમને આ જ નંબર મળે છે a. આ ફકરો ફરીથી ધ્યાનથી વાંચો - ઘણા લોકો તેના પર અટકી જાય છે.

નવા આધાર પર જવા માટેના સૂત્રોની જેમ, મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ ક્યારેક એકમાત્ર સંભવિત ઉકેલ છે.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

[ચિત્ર માટે કૅપ્શન]

નોંધ લો કે લોગ 25 64 = લોગ 5 8 - લોગરીધમના આધાર અને દલીલમાંથી ખાલી ચોરસ લીધો છે. સમાન આધાર સાથે શક્તિનો ગુણાકાર કરવાના નિયમોને ધ્યાનમાં લેતા, અમને મળે છે:

જો કોઈને ખબર ન હોય તો, યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષાનું આ એક વાસ્તવિક કાર્ય હતું :)

લઘુગણક એકમ અને લઘુગણક શૂન્ય

નિષ્કર્ષમાં, હું બે ઓળખ આપીશ જેને ભાગ્યે જ ગુણધર્મો કહી શકાય - તેના બદલે, તે લઘુગણકની વ્યાખ્યાના પરિણામો છે. તેઓ સતત સમસ્યાઓમાં દેખાય છે અને આશ્ચર્યજનક રીતે, "અદ્યતન" વિદ્યાર્થીઓ માટે પણ સમસ્યાઓ ઊભી કરે છે.

1. લોગ a a= 1 લઘુગણક એકમ છે. એકવાર અને બધા માટે યાદ રાખો: કોઈપણ આધાર માટે લઘુગણક aઆ ખૂબ જ આધાર થી એક સમાન છે.
2. લોગ a 1 = 0 લઘુગણક શૂન્ય છે. આધાર aકંઈપણ હોઈ શકે છે, પરંતુ જો દલીલમાં એક હોય, તો લઘુગણક શૂન્ય બરાબર છે! કારણ કે a 0 = 1 એ વ્યાખ્યાનું સીધું પરિણામ છે.

તે બધા ગુણધર્મો છે. તેમને વ્યવહારમાં મૂકવાની પ્રેક્ટિસ કરવાની ખાતરી કરો! પાઠની શરૂઆતમાં ચીટ શીટ ડાઉનલોડ કરો, તેને છાપો અને સમસ્યાઓ હલ કરો.

તેઓ તેની વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે. અને તેથી સંખ્યાનો લઘુગણક bપર આધારિત છે એઘાતાંક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે જેના પર સંખ્યા વધારવી આવશ્યક છે aનંબર મેળવવા માટે b(લોગરીધમ માત્ર હકારાત્મક સંખ્યાઓ માટે જ અસ્તિત્વમાં છે).

આ ફોર્મ્યુલેશન પરથી તે ગણતરીને અનુસરે છે x=log a b, સમીકરણ ઉકેલવા માટે સમકક્ષ છે a x = b.ઉદાહરણ તરીકે, લોગ 2 8 = 3કારણ કે 8 = 2 3 . લોગરીધમનું નિર્માણ તેને યોગ્ય ઠેરવવાનું શક્ય બનાવે છે જો b=a c, પછી સંખ્યાનો લઘુગણક bપર આધારિત છે aબરાબર સાથે. તે પણ સ્પષ્ટ છે કે લઘુગણકનો વિષય સંખ્યાની શક્તિઓના વિષય સાથે ગાઢ રીતે સંબંધિત છે.

લઘુગણક સાથે, કોઈપણ સંખ્યાની જેમ, તમે કરી શકો છો સરવાળો, બાદબાકીની કામગીરીઅને દરેક શક્ય રીતે પરિવર્તન કરો. પરંતુ એ હકીકતને કારણે કે લઘુગણક સંપૂર્ણપણે સામાન્ય સંખ્યાઓ નથી, તેમના પોતાના વિશેષ નિયમો અહીં લાગુ પડે છે, જેને કહેવામાં આવે છે મુખ્ય ગુણધર્મો.

લઘુગણક ઉમેરવું અને બાદબાકી કરવી.

ચાલો સમાન આધારો સાથે બે લઘુગણક લઈએ: લોગ a xઅને લોગ a y. પછી ઉમેરા અને બાદબાકીની કામગીરી કરવી શક્ય છે:

લોગ a x+ લોગ a y = લોગ a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

લોગ એ(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = લોગ a x 1 + લોગ a x 2 + લોગ a x 3 + ... + લોગ a x k.

થી લઘુગણક ગુણાંક પ્રમેયલઘુગણકની વધુ એક મિલકત મેળવી શકાય છે. તે સામાન્ય જ્ઞાન છે કે લોગ a 1=0, તેથી

લોગ a 1 /b=લોગ a 1 - લોગ a b= -લોગ a b.

આનો અર્થ એ છે કે ત્યાં સમાનતા છે:

log a 1 / b = - log a b.

બે પારસ્પરિક સંખ્યાઓના લઘુગણકઆ જ કારણસર માત્ર સાઇન દ્વારા એકબીજાથી અલગ હશે. તેથી:

લોગ 3 9= - લોગ 3 1 / 9 ; લોગ 5 1 / 125 = -લોગ 5 125.

લઘુગણક અભિવ્યક્તિઓ, ઉદાહરણો ઉકેલવા. આ લેખમાં આપણે લોગરીધમ ઉકેલવા સંબંધિત સમસ્યાઓ જોઈશું. કાર્યો અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધવાનો પ્રશ્ન પૂછે છે. એ નોંધવું જોઈએ કે લોગરીધમનો ખ્યાલ ઘણા કાર્યોમાં વપરાય છે અને તેનો અર્થ સમજવો અત્યંત મહત્વપૂર્ણ છે. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની વાત કરીએ તો, સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, લાગુ સમસ્યાઓમાં અને કાર્યોના અભ્યાસ સાથે સંબંધિત કાર્યોમાં પણ લઘુગણકનો ઉપયોગ થાય છે.

ચાલો લોગરીધમનો અર્થ સમજવા માટે ઉદાહરણો આપીએ:

મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ:

લોગરીધમના ગુણધર્મો જે હંમેશા યાદ રાખવા જોઈએ:

*ઉત્પાદનનું લઘુગણક પરિબળના લઘુગણકના સરવાળા જેટલું છે.

* * *

*ભાગ્યાંક (અપૂર્ણાંક) નો લઘુગણક પરિબળના લઘુગણક વચ્ચેના તફાવત જેટલો છે.

* * *

*ઘાતનું લઘુગણક ઘાતાંકના ગુણાંક અને તેના આધારના લઘુગણક સમાન છે.

* * *

*નવા પાયામાં સંક્રમણ

* * *

વધુ ગુણધર્મો:

* * *

લઘુગણકની ગણતરી ઘાતાંકના ગુણધર્મોના ઉપયોગ સાથે ગાઢ રીતે સંબંધિત છે.

ચાલો તેમાંથી કેટલાકની સૂચિ બનાવીએ:

આ ગુણધર્મનો સાર એ છે કે જ્યારે અંશને છેદમાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે અને ઊલટું, ઘાતાંકનું ચિહ્ન વિરુદ્ધમાં બદલાય છે. ઉદાહરણ તરીકે:

આ મિલકતમાંથી એક પરિણામ:

* * *

જ્યારે પાવરને પાવરમાં વધારતા હોય, ત્યારે આધાર સમાન રહે છે, પરંતુ ઘાતનો ગુણાકાર થાય છે.

* * *

તમે જોયું તેમ, લઘુગણકનો ખ્યાલ પોતે જ સરળ છે. મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે તમારે સારી પ્રેક્ટિસની જરૂર છે, જે તમને ચોક્કસ કુશળતા આપે છે. અલબત્ત, સૂત્રોનું જ્ઞાન જરૂરી છે. જો પ્રાથમિક લઘુગણકને રૂપાંતરિત કરવાની કુશળતા વિકસિત કરવામાં આવી નથી, તો પછી સરળ કાર્યોને હલ કરતી વખતે તમે સરળતાથી ભૂલ કરી શકો છો.

પ્રેક્ટિસ કરો, પહેલા ગણિતના કોર્સમાંથી સૌથી સરળ ઉદાહરણો ઉકેલો, પછી વધુ જટિલ મુદ્દાઓ પર આગળ વધો. ભવિષ્યમાં, હું ચોક્કસપણે બતાવીશ કે "નીચ" લઘુગણક કેવી રીતે ઉકેલાય છે; આ યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં દેખાશે નહીં, પરંતુ તે રસ ધરાવે છે, તેમને ચૂકશો નહીં!

બસ એટલું જ! તમને શુભકામનાઓ!

આપની, એલેક્ઝાન્ડર ક્રુતિત્સ્કીખ

P.S: જો તમે મને સામાજિક નેટવર્ક્સ પરની સાઇટ વિશે જણાવશો તો હું આભારી થઈશ.

સૂચનાઓ

આપેલ લઘુગણક અભિવ્યક્તિ લખો. જો અભિવ્યક્તિ 10 ના લઘુગણકનો ઉપયોગ કરે છે, તો તેનું સંકેત ટૂંકું કરવામાં આવે છે અને આના જેવું દેખાય છે: lg b એ દશાંશ લઘુગણક છે. જો લઘુગણકમાં તેના આધાર તરીકે સંખ્યા e હોય, તો અભિવ્યક્તિ લખો: ln b – કુદરતી લઘુગણક. તે સમજી શકાય છે કે કોઈપણનું પરિણામ એ શક્તિ છે કે જેના પર સંખ્યા b મેળવવા માટે આધાર નંબર વધારવામાં આવશ્યક છે.

બે કાર્યોનો સરવાળો શોધતી વખતે, તમારે તેમને એક પછી એક અલગ કરવાની અને પરિણામો ઉમેરવાની જરૂર છે: (u+v)" = u"+v";

બે ફંક્શનના ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન શોધતી વખતે, પ્રથમ ફંક્શનના વ્યુત્પન્નને બીજા વડે ગુણાકાર કરવો અને બીજા ફંક્શનના વ્યુત્પન્નને પ્રથમ ફંક્શન વડે ગુણાકાર કરવો જરૂરી છે: (u*v)" = u"*v +v"*u;

બે વિધેયોના ભાગનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, વિભાજક ફંક્શન દ્વારા ગુણાકાર કરેલ ડિવિડન્ડના વ્યુત્પન્નના ગુણાંકમાંથી બાદબાકી કરવી જરૂરી છે અને ડિવિડન્ડના કાર્ય દ્વારા ગુણાકાર કરીને વિભાજકના વ્યુત્પન્નનો ગુણાંક અને ભાગાકાર આ બધું વિભાજક ફંક્શન સ્ક્વેર દ્વારા. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

જો જટિલ કાર્ય આપવામાં આવે છે, તો આંતરિક કાર્યના વ્યુત્પન્ન અને બાહ્ય કાર્યના વ્યુત્પન્નનો ગુણાકાર કરવો જરૂરી છે. ચાલો y=u(v(x)), પછી y"(x)=y"(u)*v"(x).

ઉપરોક્ત પ્રાપ્ત પરિણામોનો ઉપયોગ કરીને, તમે લગભગ કોઈપણ કાર્યને અલગ કરી શકો છો. તો ચાલો થોડા ઉદાહરણો જોઈએ:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
એક બિંદુ પર વ્યુત્પન્નની ગણતરી સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓ પણ છે. ફંક્શન y=e^(x^2+6x+5) આપવા દો, તમારે x=1 બિંદુ પર ફંક્શનની કિંમત શોધવાની જરૂર છે.
1) ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) આપેલ બિંદુ y"(1)=8*e^0=8 પર ફંક્શનની કિંમતની ગણતરી કરો

વિષય પર વિડિઓ

ઉપયોગી સલાહ

પ્રાથમિક ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક શીખો. આ સમયને નોંધપાત્ર રીતે બચાવશે.

સ્ત્રોતો:

• અચલનું વ્યુત્પન્ન

તો, અતાર્કિક સમીકરણ અને તર્કસંગત વચ્ચે શું તફાવત છે? જો અજ્ઞાત ચલ વર્ગમૂળ ચિહ્ન હેઠળ હોય, તો સમીકરણ અતાર્કિક ગણવામાં આવે છે.

સૂચનાઓ

આવા સમીકરણો ઉકેલવા માટેની મુખ્ય પદ્ધતિ એ બંને બાજુઓ બાંધવાની પદ્ધતિ છે સમીકરણોએક ચોરસ માં. જોકે. આ સ્વાભાવિક છે, તમારે પ્રથમ વસ્તુ જે કરવાની જરૂર છે તે છે ચિહ્નથી છુટકારો મેળવવો. આ પદ્ધતિ તકનીકી રીતે મુશ્કેલ નથી, પરંતુ કેટલીકવાર તે મુશ્કેલી તરફ દોરી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ v(2x-5)=v(4x-7) છે. બંને બાજુઓનું વર્ગીકરણ કરવાથી તમને 2x-5=4x-7 મળે છે. આવા સમીકરણને ઉકેલવું મુશ્કેલ નથી; x=1. પરંતુ 1 નંબર આપવામાં આવશે નહીં સમીકરણો. શા માટે? x ની કિંમતને બદલે એકને સમીકરણમાં બદલો અને જમણી અને ડાબી બાજુએ એવા સમીકરણો હશે જેનો અર્થ નથી. આ મૂલ્ય વર્ગમૂળ માટે માન્ય નથી. તેથી, 1 એ બાહ્ય મૂળ છે, અને તેથી આ સમીકરણનું કોઈ મૂળ નથી.

તેથી, એક અતાર્કિક સમીકરણ તેની બંને બાજુઓના વર્ગીકરણની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવે છે. અને સમીકરણ હલ કર્યા પછી, બાહ્ય મૂળને કાપી નાખવું જરૂરી છે. આ કરવા માટે, મૂળ સમીકરણમાં મળેલા મૂળને બદલો.

બીજા એકનો વિચાર કરો.
2х+vх-3=0
અલબત્ત, આ સમીકરણ અગાઉના સમાન સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. સંયોજનો ખસેડો સમીકરણો, જેનું વર્ગમૂળ નથી, જમણી બાજુએ અને પછી વર્ગીકરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો. પરિણામી તર્કસંગત સમીકરણ અને મૂળ ઉકેલો. પણ અન્ય, વધુ ભવ્ય. નવું ચલ દાખલ કરો; vх=y. તદનુસાર, તમને 2y2+y-3=0 ફોર્મનું સમીકરણ પ્રાપ્ત થશે. એટલે કે, એક સામાન્ય ચતુર્ભુજ સમીકરણ. તેના મૂળ શોધો; y1=1 અને y2=-3/2. આગળ, બે ઉકેલો સમીકરણો vх=1; vх=-3/2. બીજા સમીકરણમાં કોઈ મૂળ નથી; પ્રથમમાંથી આપણે શોધીએ છીએ કે x=1. મૂળ તપાસવાનું ભૂલશો નહીં.

ઓળખ ઉકેલવી એકદમ સરળ છે. આ કરવા માટે, નિર્ધારિત ધ્યેય પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી સમાન પરિવર્તનો હાથ ધરવા જરૂરી છે. આમ, સરળ અંકગણિત કામગીરીની મદદથી, હાથ પરનું કાર્ય હલ કરવામાં આવશે.

તમને જરૂર પડશે

• - કાગળ;
• - પેન.

સૂચનાઓ

આવા પરિવર્તનોમાં સૌથી સરળ બીજગણિત સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર છે (જેમ કે સરવાળોનો વર્ગ (તફાવત), વર્ગોનો તફાવત, સરવાળો (તફાવત), સરવાળો (તફાવત))નો સમઘન. વધુમાં, ત્યાં ઘણા ત્રિકોણમિતિ સૂત્રો છે, જે આવશ્યકપણે સમાન ઓળખ છે.

ખરેખર, બે પદોના સરવાળાનો વર્ગ એ પ્રથમના વર્ગના બરાબર છે વત્તા બીજાના ગુણાંકના બમણા અને બીજાના વર્ગ વત્તા, એટલે કે (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

બંનેને સરળ બનાવો

ઉકેલના સામાન્ય સિદ્ધાંતો

વેરિયેબલ રિપ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિ

બીજા પ્રકારના અવિભાજ્ય ઉકેલો

એકીકરણ મર્યાદાઓનું અવેજી