ફ્રીક્વન્સીઝ અને અપૂર્ણાંકો માટે કોન્ફિડન્સ ઈન્ટરવલ

© 2008

નેશનલ ઇન્સ્ટિટ્યુટ ઓફ પબ્લિક હેલ્થ, ઓસ્લો, નોર્વે

આ લેખ વાલ્ડ, વિલ્સન, ક્લોપર - પીયર્સન પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને, કોણીય પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને અને એગ્રેસ્ટી - કુલ કરેક્શન સાથેની વાલ્ડ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ફ્રીક્વન્સીઝ અને પ્રમાણ માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલોની ગણતરીનું વર્ણન અને ચર્ચા કરે છે. પ્રસ્તુત સામગ્રી ફ્રીક્વન્સીઝ અને પ્રમાણ માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલોની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિઓ વિશે સામાન્ય માહિતી પ્રદાન કરે છે અને જર્નલના વાચકોને તેમના પોતાના સંશોધનના પરિણામો રજૂ કરતી વખતે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલોનો ઉપયોગ કરવામાં જ નહીં, પણ કામ શરૂ કરતા પહેલા વિશિષ્ટ સાહિત્ય વાંચવામાં પણ રસ જગાડવાનો હેતુ છે. ભવિષ્યના પ્રકાશનો પર.

કીવર્ડ્સ: આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ, આવર્તન, પ્રમાણ

અગાઉના પ્રકાશનોમાંના એકે ગુણાત્મક ડેટાના વર્ણનનો સંક્ષિપ્તમાં ઉલ્લેખ કર્યો હતો અને અહેવાલ આપ્યો હતો કે વસ્તીમાં અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી લાક્ષણિકતાની ઘટનાની આવૃત્તિનું વર્ણન કરવા માટે તેમના અંતરાલનો અંદાજ પોઈન્ટ અંદાજ કરતાં વધુ યોગ્ય છે. ખરેખર, નમૂનાના ડેટાનો ઉપયોગ કરીને સંશોધન હાથ ધરવામાં આવતું હોવાથી, વસ્તી પરના પરિણામોના પ્રક્ષેપણમાં નમૂનાની અસ્પષ્ટતાનું તત્વ હોવું આવશ્યક છે. આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ એ અંદાજિત પરિમાણની ચોકસાઈનું માપ છે. તે રસપ્રદ છે કે ડોકટરો માટેના મૂળભૂત આંકડા પરના કેટલાક પુસ્તકો ફ્રીક્વન્સીઝ માટે આત્મવિશ્વાસના અંતરાલોનાં વિષયને સંપૂર્ણપણે અવગણે છે. આ લેખમાં આપણે ફ્રીક્વન્સીઝ માટે આત્મવિશ્વાસના અંતરાલોની ગણતરી કરવાની ઘણી રીતો જોઈશું, જે બિન-પુનરાવર્તન અને પ્રતિનિધિત્વ, તેમજ એકબીજાથી અવલોકનોની સ્વતંત્રતા જેવી નમૂનાની લાક્ષણિકતાઓ સૂચવે છે. આ લેખમાં, આવર્તન એ ચોક્કસ મૂલ્ય એકંદરમાં કેટલી વાર થાય છે તે દર્શાવતી સંપૂર્ણ સંખ્યા તરીકે નહીં, પરંતુ એક સંબંધિત મૂલ્ય તરીકે સમજવામાં આવે છે જે અભ્યાસમાં ભાગ લેનારાઓનું પ્રમાણ નક્કી કરે છે કે જેમાં અભ્યાસ કરેલ લાક્ષણિકતા જોવા મળે છે.

બાયોમેડિકલ સંશોધનમાં, 95% આત્મવિશ્વાસ અંતરાલોનો સૌથી વધુ ઉપયોગ થાય છે. આ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ એ વિસ્તાર છે કે જેની અંદર સાચું પ્રમાણ 95% વખત આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આપણે 95% વિશ્વસનીયતા સાથે કહી શકીએ કે વસ્તીમાં લક્ષણની ઘટનાની આવર્તનનું સાચું મૂલ્ય 95% આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની અંદર હશે.

તબીબી સંશોધકો માટેના મોટાભાગના આંકડા મેન્યુઅલ અહેવાલ આપે છે કે ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને આવર્તન ભૂલની ગણતરી કરવામાં આવે છે

જ્યાં p એ નમૂનામાં લાક્ષણિકતાની ઘટનાની આવૃત્તિ છે (0 થી 1 સુધીની કિંમત). મોટાભાગના સ્થાનિક વૈજ્ઞાનિક લેખો નમૂના (p) માં લક્ષણની ઘટનાની આવૃત્તિનું મૂલ્ય તેમજ p ± s સ્વરૂપમાં તેની ભૂલ (ઓ) સૂચવે છે. જો કે, વસ્તીમાં લક્ષણની ઘટનાની આવર્તન માટે 95% આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ રજૂ કરવું વધુ યોગ્ય છે, જેમાં મૂલ્યો શામેલ હશે

થી

કેટલાક માર્ગદર્શિકાઓ ભલામણ કરે છે કે નાના નમૂનાઓ માટે, 1.96 ના મૂલ્યને N - 1 ડિગ્રી સ્વતંત્રતા માટે t ના મૂલ્ય સાથે બદલો, જ્યાં N એ નમૂનામાં અવલોકનોની સંખ્યા છે. t મૂલ્ય t-વિતરણ માટેના કોષ્ટકોમાંથી જોવા મળે છે, જે લગભગ તમામ આંકડાકીય પાઠ્યપુસ્તકોમાં ઉપલબ્ધ છે. વોલ્ડ પદ્ધતિ માટે ટી વિતરણનો ઉપયોગ નીચે ચર્ચા કરાયેલી અન્ય પદ્ધતિઓની તુલનામાં દૃશ્યમાન ફાયદા પ્રદાન કરતું નથી, અને તેથી કેટલાક લેખકો દ્વારા ભલામણ કરવામાં આવતી નથી.

ફ્રીક્વન્સી અથવા પ્રમાણ માટે વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવા માટે ઉપર પ્રસ્તુત પદ્ધતિને અબ્રાહમ વાલ્ડ (1902-1950) ના માનમાં વાલ્ડ નામ આપવામાં આવ્યું છે, કારણ કે તેનો વ્યાપક ઉપયોગ 1939માં વાલ્ડ અને વોલ્ફોવિટ્ઝના પ્રકાશન પછી શરૂ થયો હતો. જો કે, પિયર સિમોન લેપ્લેસ (1749-1827) દ્વારા 1812માં આ પદ્ધતિનો પ્રસ્તાવ મૂકવામાં આવ્યો હતો.

વાલ્ડ પદ્ધતિ ખૂબ જ લોકપ્રિય છે, પરંતુ તેનો ઉપયોગ નોંધપાત્ર સમસ્યાઓ સાથે સંકળાયેલ છે. નાના નમૂનાના કદ માટે પદ્ધતિની ભલામણ કરવામાં આવતી નથી, તેમજ એવા કિસ્સાઓમાં કે જ્યાં લાક્ષણિકતાની ઘટનાની આવર્તન 0 અથવા 1 (0% અથવા 100%) હોય છે અને 0 અને 1 ની આવર્તન માટે ફક્ત અશક્ય છે. વધુમાં, સામાન્ય વિતરણની અંદાજિતતા, જેનો ઉપયોગ ભૂલની ગણતરી કરતી વખતે થાય છે, તે કિસ્સાઓમાં "કામ કરતું નથી" જ્યાં n · p< 5 или n · (1 – p) < 5 . Более консервативные статистики считают, что n · p и n · (1 – p) должны быть не менее 10 . Более детальное рассмотрение метода Вальда показало, что полученные с его помощью доверительные интервалы в большинстве случаев слишком узки, то есть их применение ошибочно создает слишком оптимистичную картину, особенно при удалении частоты встречаемости признака от 0,5, или 50 % . К тому же при приближении частоты к 0 или 1 доверительный интревал может принимать отрицательные значения или превышать 1, что выглядит абсурдно для частот. Многие авторы совершенно справедливо не рекомендуют применять данный метод не только в уже упомянутых случаях, но и тогда, когда частота встречаемости признака менее 25 % или более 75 % . Таким образом, несмотря на простоту расчетов, метод Вальда может применяться лишь в очень ограниченном числе случаев. Зарубежные исследователи более категоричны в своих выводах и однозначно рекомендуют не применять этот метод для небольших выборок , а ведь именно с такими выборками часто приходится иметь дело исследователям-медикам.

નવું ચલ સામાન્ય રીતે વિતરિત થતું હોવાથી, વેરિયેબલ φ માટે 95% વિશ્વાસ અંતરાલની નીચલી અને ઉપલી સીમા φ-1.96 અને φ+1.96left"> હશે.

નાના નમૂનાઓ માટે 1.96 ને બદલે, N - 1 ડિગ્રી સ્વતંત્રતા માટે t મૂલ્યને બદલવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે. આ પદ્ધતિ નકારાત્મક મૂલ્યો ઉત્પન્ન કરતી નથી અને વાલ્ડ પદ્ધતિ કરતાં ફ્રીક્વન્સીઝ માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલોના વધુ સચોટ અંદાજોને મંજૂરી આપે છે. વધુમાં, તે તબીબી આંકડાઓ પરના ઘણા સ્થાનિક સંદર્ભ પુસ્તકોમાં વર્ણવેલ છે, જે, જો કે, તબીબી સંશોધનમાં તેનો વ્યાપક ઉપયોગ થયો નથી. કોણીય રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કરીને આત્મવિશ્વાસ અંતરાલોની ગણતરી 0 અથવા 1 ની નજીક આવતી ફ્રીક્વન્સીઝ માટે ભલામણ કરવામાં આવતી નથી.

આ તે છે જ્યાં તબીબી સંશોધકો માટેના આંકડાઓની મૂળભૂત બાબતો પરના મોટાભાગના પુસ્તકોમાં આત્મવિશ્વાસના અંતરાલનો અંદાજ કાઢવા માટેની પદ્ધતિઓનું વર્ણન સામાન્ય રીતે સમાપ્ત થાય છે, અને આ સમસ્યા માત્ર સ્થાનિક માટે જ નહીં પણ વિદેશી સાહિત્ય માટે પણ લાક્ષણિક છે. બંને પદ્ધતિઓ કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય પર આધારિત છે, જે મોટા નમૂનાને સૂચિત કરે છે.

ઉપરોક્ત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને આત્મવિશ્વાસના અંતરાલોનો અંદાજ કાઢવાની ખામીઓને ધ્યાનમાં લેતા, ક્લોપર અને પીયર્સને 1934માં કહેવાતા ચોક્કસ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવા માટેની એક પદ્ધતિનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો હતો, જેનો અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલા લક્ષણના દ્વિપદી વિતરણને જોતાં. આ પદ્ધતિ ઘણા ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટરમાં ઉપલબ્ધ છે, પરંતુ આ રીતે મેળવેલ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં ખૂબ વિશાળ છે. તે જ સમયે, રૂઢિચુસ્ત મૂલ્યાંકન જરૂરી હોય તેવા કિસ્સાઓમાં આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે. નમૂનાના કદમાં ઘટાડો થતાં પદ્ધતિની રૂઢિચુસ્તતાની ડિગ્રી વધે છે, ખાસ કરીને જ્યારે એન< 15 . описывает применение функции биномиального распределения для анализа качественных данных с использованием MS Excel, в том числе и для определения доверительных интервалов, однако расчет последних для частот в электронных таблицах не «затабулирован» в удобном для пользователя виде, а потому, вероятно, и не используется большинством исследователей.

ઘણા આંકડાશાસ્ત્રીઓના મતે, ફ્રીક્વન્સીઝ માટે આત્મવિશ્વાસના અંતરાલોનું સૌથી શ્રેષ્ઠ મૂલ્યાંકન વિલ્સન પદ્ધતિ દ્વારા કરવામાં આવે છે, જે 1927 માં પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી હતી, પરંતુ ઘરેલુ બાયોમેડિકલ સંશોધનમાં તેનો વ્યવહારીક ઉપયોગ થતો નથી. આ પદ્ધતિ ખૂબ જ નાની અને ખૂબ મોટી ફ્રીક્વન્સી બંને માટે આત્મવિશ્વાસના અંતરાલનો અંદાજ લગાવવાની મંજૂરી આપે છે, પરંતુ તે ઓછી સંખ્યામાં અવલોકનો માટે પણ લાગુ પડે છે. સામાન્ય રીતે, વિલ્સનના સૂત્ર અનુસાર આત્મવિશ્વાસ અંતરાલનું સ્વરૂપ હોય છે

જ્યાં 95% આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરતી વખતે મૂલ્ય 1.96 લે છે, N એ અવલોકનોની સંખ્યા છે, અને p એ નમૂનામાં લાક્ષણિકતાની ઘટનાની આવર્તન છે. આ પદ્ધતિ ઑનલાઇન કેલ્ક્યુલેટરમાં ઉપલબ્ધ છે, તેથી તેનો ઉપયોગ સમસ્યારૂપ નથી. અને n p માટે આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરશો નહીં< 4 или n · (1 – p) < 4 по причине слишком грубого приближения распределения р к нормальному в такой ситуации, однако зарубежные статистики считают метод Уилсона применимым и для малых выборок .

વિલ્સન પદ્ધતિ ઉપરાંત, એગ્રેસ્ટી-કોલ કરેક્શન સાથેની વાલ્ડ પદ્ધતિ પણ ફ્રીક્વન્સીઝ માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલનો શ્રેષ્ઠ અંદાજ પૂરો પાડવા માટે માનવામાં આવે છે. એગ્રેસ્ટી-કોલ કરેક્શન એ p` દ્વારા નમૂના (p) માં લાક્ષણિકતાની ઘટનાની આવૃત્તિના વાલ્ડ સૂત્રમાં બદલાવ છે, જ્યારે ગણતરી કરવામાં આવે છે કે અંશમાં 2 ઉમેરવામાં આવે છે અને 4 છેદમાં ઉમેરવામાં આવે છે, એટલે કે, p` = (X + 2) / (N + 4), જ્યાં X એ અભ્યાસમાં ભાગ લેનારાઓની સંખ્યા છે જેમની લાક્ષણિકતા અભ્યાસ કરવામાં આવી રહી છે, અને N એ નમૂનાનું કદ છે. આ ફેરફાર વિલ્સનના સૂત્ર જેવા જ પરિણામો આપે છે, સિવાય કે જ્યારે ઘટનાની આવર્તન 0% અથવા 100% સુધી પહોંચે અને નમૂના નાનો હોય. ફ્રીક્વન્સીઝ માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવા માટેની ઉપરોક્ત પદ્ધતિઓ ઉપરાંત, નાના નમૂનાઓ માટે વાલ્ડ અને વિલ્સન બંને પદ્ધતિઓ માટે સાતત્ય સુધારણાની દરખાસ્ત કરવામાં આવી છે, પરંતુ અભ્યાસોએ દર્શાવ્યું છે કે તેનો ઉપયોગ અયોગ્ય છે.

ચાલો બે ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવા માટે ઉપરોક્ત પદ્ધતિઓના ઉપયોગને ધ્યાનમાં લઈએ. પ્રથમ કિસ્સામાં, અમે 1,000 અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલા અભ્યાસ સહભાગીઓના મોટા નમૂનાનો અભ્યાસ કરીએ છીએ, જેમાંથી 450 અભ્યાસ હેઠળના લક્ષણો ધરાવે છે (આ જોખમ પરિબળ, પરિણામ અથવા અન્ય કોઈ લક્ષણ હોઈ શકે છે), જે 0.45 અથવા 45 ની આવર્તનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. %. બીજા કિસ્સામાં, અભ્યાસ નાના નમૂનાનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે, કહો કે, ફક્ત 20 લોકો, અને માત્ર 1 અભ્યાસ સહભાગી (5%) માં આ લક્ષણનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. જેફ સૌરો (http://www. /wald. htm) દ્વારા વિકસિત ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને વોલ્ડ પદ્ધતિ, એગ્રેસ્ટી-કોલ કરેક્શન સાથેની વાલ્ડ પદ્ધતિ અને વિલ્સન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આત્મવિશ્વાસ અંતરાલોની ગણતરી કરવામાં આવી હતી. વિલ્સનના સાતત્ય-સુધારિત આત્મવિશ્વાસના અંતરાલની ગણતરી વાસાર સ્ટેટ્સ: વેબ સાઇટ ફોર સ્ટેટિસ્ટિકલ કમ્પ્યુટેશન (http://faculty.vassar.edu/lowry/prop1.html) દ્વારા પ્રદાન કરાયેલ કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવી હતી. અનુક્રમે 19 અને 999 ડિગ્રી સ્વતંત્રતા માટે નિર્ણાયક ટી મૂલ્યનો ઉપયોગ કરીને કોણીય ફિશર ટ્રાન્સફોર્મેશન ગણતરીઓ જાતે કરવામાં આવી હતી. ગણતરીના પરિણામો બંને ઉદાહરણો માટે કોષ્ટકમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે.

ટેક્સ્ટમાં વર્ણવેલ બે ઉદાહરણો માટે છ અલગ અલગ રીતે ગણતરી કરાયેલ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ

કોષ્ટકમાંથી જોઈ શકાય છે તેમ, પ્રથમ ઉદાહરણ માટે "સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત" વાલ્ડ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરાયેલ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ નકારાત્મક ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે, જે ફ્રીક્વન્સીઝ માટે કેસ હોઈ શકતો નથી. કમનસીબે, રશિયન સાહિત્યમાં આવી ઘટનાઓ અસામાન્ય નથી. આવર્તનના સંદર્ભમાં ડેટા પ્રસ્તુત કરવાની પરંપરાગત રીત અને તેની ભૂલ આંશિક રીતે આ સમસ્યાને ઢાંકી દે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો લક્ષણની ઘટનાની આવર્તન (ટકાવારીમાં) 2.1 ± 1.4 તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે, તો આ 2.1% (95% CI: –0.7; 4.9) જેટલી "આંખ માટે અપમાનજનક" નથી, જોકે અને તેનો અર્થ એ જ વસ્તુ. એગ્રેસ્ટી-કોલ કરેક્શન સાથેની વાલ્ડ પદ્ધતિ અને કોણીય રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી શૂન્ય તરફ નીચલી બાઉન્ડ ટેન્ડિંગ આપે છે. વિલ્સનની સાતત્ય-સુધારિત પદ્ધતિ અને "ચોક્કસ પદ્ધતિ" વિલ્સનની પદ્ધતિ કરતાં વધુ વ્યાપક આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ ઉત્પન્ન કરે છે. બીજા ઉદાહરણ માટે, બધી પદ્ધતિઓ લગભગ સમાન આત્મવિશ્વાસ અંતરાલો આપે છે (ફરક માત્ર હજારમાં જ દેખાય છે), જે આશ્ચર્યજનક નથી, કારણ કે આ ઉદાહરણમાં ઘટનાની આવર્તન 50% થી ઘણી અલગ નથી, અને નમૂનાનું કદ છે. તદ્દન મોટી.

આ સમસ્યામાં રસ ધરાવતા વાચકો માટે, અમે R. G. Newcombe અને Brown, Cai અને દાસગુપ્તાના કાર્યોની ભલામણ કરી શકીએ છીએ, જે આત્મવિશ્વાસના અંતરાલની ગણતરી કરવા માટે અનુક્રમે 7 અને 10 વિવિધ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવાના ગુણદોષ પ્રદાન કરે છે. ઘરેલું માર્ગદર્શિકાઓમાં, અમે પુસ્તકની ભલામણ કરીએ છીએ અને, જે સિદ્ધાંતના વિગતવાર વર્ણન ઉપરાંત, વાલ્ડ અને વિલ્સનની પદ્ધતિઓ રજૂ કરે છે, તેમજ દ્વિપદી આવર્તન વિતરણને ધ્યાનમાં લેતા આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિ પણ રજૂ કરે છે. મફત ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટર ઉપરાંત (http://www. /wald. htm અને http://faculty. vassar. edu/lowry/prop1.html), ફ્રીક્વન્સીઝ (અને માત્ર નહીં!) માટે વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી આનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે. CIA પ્રોગ્રામ ( કોન્ફિડન્સ ઈન્ટરવલ એનાલિસિસ), જે http://www પરથી ડાઉનલોડ કરી શકાય છે. મેડસ્કૂલ સોટન એસી uk/cia/ .

હવે પછીનો લેખ ગુણાત્મક ડેટાની તુલના કરવાની અવિચલિત રીતો પર વિચાર કરશે.

સંદર્ભો

પ્રમાણ માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ

એ. એમ. ગ્રજીબોવ્સ્કી

નેશનલ ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઓફ પબ્લિક હેલ્થ, ઓસ્લો, નોર્વે

આ લેખ દ્વિપદી પ્રમાણ માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલોની ગણતરી માટે ઘણી પદ્ધતિઓ રજૂ કરે છે, જેમ કે, વાલ્ડ, વિલ્સન, આર્ક્સીન, એગ્રેસ્ટી-કુલ અને ચોક્કસ ક્લોપર-પિયરસન પદ્ધતિઓ. આ પેપર દ્વિપદી પ્રમાણના આત્મવિશ્વાસ અંતરાલના અંદાજની સમસ્યાનો માત્ર સામાન્ય પરિચય આપે છે અને તેનો ઉદ્દેશ્ય માત્ર વાચકોને તેમના પોતાના પ્રયોગમૂલક સંશોધનના પરિણામો રજૂ કરતી વખતે આત્મવિશ્વાસના અંતરાલનો ઉપયોગ કરવા માટે પ્રોત્સાહિત કરવાનો નથી, પણ તેમને આંકડાકીય પુસ્તકોનો સંપર્ક કરવા પ્રોત્સાહિત કરવાનો પણ છે. પોતાના ડેટાનું વિશ્લેષણ કરવા અને હસ્તપ્રતો તૈયાર કરવા પહેલાં.

મુખ્ય શબ્દો: આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ, પ્રમાણ

સંપર્ક માહિતી:

– વરિષ્ઠ સલાહકાર, નેશનલ ઇન્સ્ટિટ્યુટ ઓફ પબ્લિક હેલ્થ, ઓસ્લો, નોર્વે

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ ( અંગ્રેજી આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ) આંકડાઓમાં ઉપયોગમાં લેવાતા અંતરાલ અંદાજોના પ્રકારોમાંથી એક, જે આપેલ મહત્વના સ્તર માટે ગણવામાં આવે છે. તેઓ અમને નિવેદન કરવાની મંજૂરી આપે છે કે વસ્તીના અજાણ્યા આંકડાકીય પરિમાણનું સાચું મૂલ્ય આંકડાકીય મહત્વના પસંદ કરેલા સ્તર દ્વારા નિર્દિષ્ટ સંભાવના સાથે મૂલ્યોની પ્રાપ્ત શ્રેણીની અંદર છે.

સામાન્ય વિતરણ

જ્યારે ડેટાની વસ્તીનો તફાવત (σ 2) જાણીતો હોય, ત્યારે z-સ્કોરનો ઉપયોગ વિશ્વાસ મર્યાદા (વિશ્વાસ અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓ) ની ગણતરી કરવા માટે થઈ શકે છે. ટી-ડિસ્ટ્રિબ્યુશનના ઉપયોગની તુલનામાં, z-સ્કોરનો ઉપયોગ કરવાથી તમે માત્ર એક સાંકડો આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ જ નહીં, પણ અપેક્ષિત મૂલ્ય અને પ્રમાણભૂત વિચલન (σ) ના વધુ વિશ્વસનીય અંદાજો પણ બાંધી શકશો, કારણ કે z-સ્કોર પર આધારિત છે. સામાન્ય વિતરણ.

ફોર્મ્યુલા

વિશ્વાસ અંતરાલના સીમા બિંદુઓ નક્કી કરવા માટે, જો કે ડેટાની વસ્તીનું પ્રમાણભૂત વિચલન જાણીતું હોય, તો નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે

ઉદાહરણ

ધારો કે નમૂનાનું કદ 25 અવલોકનો છે, નમૂનાનું અપેક્ષિત મૂલ્ય 15 છે, અને વસ્તી પ્રમાણભૂત વિચલન 8 છે. α=5% ના મહત્વના સ્તર માટે, Z-સ્કોર Z α/2 =1.96 છે. આ કિસ્સામાં, આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની નીચલી અને ઉપલી મર્યાદા હશે

આમ, આપણે કહી શકીએ કે 95% સંભાવના સાથે વસ્તીની ગાણિતિક અપેક્ષા 11.864 થી 18.136 ની રેન્જમાં ઘટશે.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલને સંકુચિત કરવા માટેની પદ્ધતિઓ

ચાલો ધારીએ કે અમારા અભ્યાસના હેતુઓ માટે શ્રેણી ખૂબ વિશાળ છે. આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની શ્રેણી ઘટાડવાની બે રીતો છે.

1. આંકડાકીય મહત્વ α નું સ્તર ઘટાડવું.
2. નમૂનાનું કદ વધારો.

આંકડાકીય મહત્વના સ્તરને α=10% સુધી ઘટાડીને, અમે Z α/2 =1.64 ની બરાબર Z-સ્કોર મેળવીએ છીએ. આ કિસ્સામાં, અંતરાલની નીચલી અને ઉપલી સીમાઓ હશે

અને આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ પોતે આ રીતે લખી શકાય છે

આ કિસ્સામાં, અમે ધારણા કરી શકીએ છીએ કે 90% સંભાવના સાથે વસ્તીની ગાણિતિક અપેક્ષા શ્રેણીમાં આવશે.

જો આપણે આંકડાકીય મહત્વ α ના સ્તરને ઘટાડવા માંગતા નથી, તો એક માત્ર વિકલ્પ એ છે કે નમૂનાનું કદ વધારવું. તેને 144 અવલોકનો સુધી વધારીને, અમે આત્મવિશ્વાસ મર્યાદાના નીચેના મૂલ્યો મેળવીએ છીએ

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ પોતે નીચેનું સ્વરૂપ ધરાવશે

આમ, આંકડાકીય મહત્વના સ્તરને ઘટાડ્યા વિના આત્મવિશ્વાસના અંતરાલને સંકુચિત કરવું માત્ર નમૂનાનું કદ વધારીને જ શક્ય છે. જો નમૂનાનું કદ વધારવું શક્ય ન હોય, તો વિશ્વાસ અંતરાલને સંકુચિત કરીને માત્ર આંકડાકીય મહત્વના સ્તરને ઘટાડીને જ પ્રાપ્ત કરી શકાય છે.

સામાન્ય કરતાં અન્ય વિતરણ માટે વિશ્વાસ અંતરાલ બનાવવો

જો વસ્તીનું પ્રમાણભૂત વિચલન જાણીતું ન હોય અથવા વિતરણ સામાન્ય કરતાં અલગ હોય, તો ટી-વિતરણનો ઉપયોગ વિશ્વાસ અંતરાલ બાંધવા માટે થાય છે. આ તકનીક વધુ રૂઢિચુસ્ત છે, જે Z-સ્કોર પર આધારિત તકનીકની તુલનામાં વિશાળ આત્મવિશ્વાસના અંતરાલોમાં પ્રતિબિંબિત થાય છે.

ફોર્મ્યુલા

ટી-વિતરણના આધારે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની નીચલી અને ઉપલી મર્યાદાની ગણતરી કરવા માટે, નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરો

વિદ્યાર્થી વિતરણ અથવા ટી-વિતરણ માત્ર એક પરિમાણ પર આધાર રાખે છે - સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા, જે વિશેષતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યોની સંખ્યા (નમૂનામાં અવલોકનોની સંખ્યા) જેટલી છે. આપેલ સંખ્યાની સ્વતંત્રતા (n) ડિગ્રી અને આંકડાકીય મહત્વ α માટે વિદ્યાર્થીની ટી-ટેસ્ટનું મૂલ્ય સંદર્ભ કોષ્ટકોમાં મળી શકે છે.

ઉદાહરણ

ધારો કે નમૂનાનું કદ 25 વ્યક્તિગત મૂલ્યો છે, નમૂનાનું અપેક્ષિત મૂલ્ય 50 છે, અને નમૂનાનું પ્રમાણભૂત વિચલન 28 છે. આંકડાકીય મહત્વ α=5% ના સ્તર માટે વિશ્વાસ અંતરાલ બાંધવો જરૂરી છે.

અમારા કિસ્સામાં, સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા 24 (25-1) છે, તેથી આંકડાકીય મહત્વ α=5% ના સ્તર માટે વિદ્યાર્થીની ટી-ટેસ્ટનું અનુરૂપ કોષ્ટક મૂલ્ય 2.064 છે. તેથી, આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની નીચલી અને ઉપલી મર્યાદા હશે

અને અંતરાલ પોતે ફોર્મમાં લખી શકાય છે

આમ, આપણે કહી શકીએ કે 95% સંભાવના સાથે વસ્તીની ગાણિતિક અપેક્ષા શ્રેણીમાં હશે.

ટી ડિસ્ટ્રિબ્યુશનનો ઉપયોગ કરીને તમે આંકડાકીય મહત્વને ઘટાડીને અથવા નમૂનાનું કદ વધારીને આત્મવિશ્વાસ અંતરાલને સંકુચિત કરી શકો છો.

અમારા ઉદાહરણની શરતો હેઠળ આંકડાકીય મહત્વને 95% થી 90% સુધી ઘટાડીને, અમે વિદ્યાર્થીની 1.711 ની ટી-ટેસ્ટનું અનુરૂપ કોષ્ટક મૂલ્ય મેળવીએ છીએ.

આ કિસ્સામાં, આપણે કહી શકીએ કે 90% સંભાવના સાથે વસ્તીની ગાણિતિક અપેક્ષા શ્રેણીમાં હશે.

જો આપણે આંકડાકીય મહત્વ ઘટાડવા માંગતા નથી, તો એક માત્ર વિકલ્પ એ છે કે નમૂનાનું કદ વધારવું. ચાલો કહીએ કે તે 64 વ્યક્તિગત અવલોકનો છે, અને ઉદાહરણની મૂળ સ્થિતિમાં 25 નથી. સ્વતંત્રતાના 63 ડિગ્રી (64-1) માટે વિદ્યાર્થીની ટી-ટેસ્ટનું ટેબલ મૂલ્ય અને આંકડાકીય મહત્વ α=5%નું સ્તર 1.998 છે.

આ અમને કહેવાની મંજૂરી આપે છે કે 95% સંભાવના સાથે વસ્તીની ગાણિતિક અપેક્ષા શ્રેણીમાં હશે.

મોટા નમૂનાઓ

મોટા નમૂનાઓ ડેટાની વસ્તીમાંથી નમૂનાઓ છે જેમાં વ્યક્તિગત અવલોકનોની સંખ્યા 100 કરતાં વધી જાય છે. આંકડાકીય અભ્યાસોએ દર્શાવ્યું છે કે મોટા નમૂનાઓ સામાન્ય રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે, ભલે વસ્તીનું વિતરણ સામાન્ય ન હોય. વધુમાં, આવા નમૂનાઓ માટે, z-સ્કોર અને ટી-વિતરણનો ઉપયોગ વિશ્વાસ અંતરાલ બાંધતી વખતે લગભગ સમાન પરિણામો આપે છે. આમ, મોટા નમૂનાઓ માટે, t-વિતરણને બદલે સામાન્ય વિતરણ માટે z-સ્કોરનો ઉપયોગ કરવો સ્વીકાર્ય છે.

ચાલો તેનો સરવાળો કરીએ

આત્મવિશ્વાસના અંતરાલ.

વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી અનુરૂપ પરિમાણની સરેરાશ ભૂલ પર આધારિત છે. આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ સંભાવના (1-a) અંદાજિત પરિમાણનું સાચું મૂલ્ય કઈ મર્યાદામાં છે તે દર્શાવે છે. અહીં a એ મહત્વ સ્તર છે, (1-a) ને આત્મવિશ્વાસ સંભાવના પણ કહેવાય છે.

પ્રથમ પ્રકરણમાં અમે બતાવ્યું કે, ઉદાહરણ તરીકે, અંકગણિત સરેરાશ માટે, સાચા વસ્તીનો અર્થ આશરે 95% કેસોમાં સરેરાશની 2 પ્રમાણભૂત ભૂલોમાં રહેલો છે. આમ, સરેરાશ માટેના 95% આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની સીમાઓ નમૂનાના સરેરાશથી સરેરાશની સરેરાશ ભૂલના બમણા દ્વારા અલગ કરવામાં આવશે, એટલે કે. આત્મવિશ્વાસના સ્તરના આધારે આપણે ચોક્કસ ગુણાંક દ્વારા સરેરાશની સરેરાશ ભૂલનો ગુણાકાર કરીએ છીએ. માધ્યમના સરેરાશ અને તફાવત માટે, વિદ્યાર્થી ગુણાંક લેવામાં આવે છે (વિદ્યાર્થીની કસોટીનું નિર્ણાયક મૂલ્ય), શેર અને શેરના તફાવત માટે, z પરીક્ષણનું નિર્ણાયક મૂલ્ય. ગુણાંકનું ઉત્પાદન અને સરેરાશ ભૂલને આપેલ પરિમાણની મહત્તમ ભૂલ કહી શકાય, એટલે કે. મહત્તમ કે જે આપણે તેનું મૂલ્યાંકન કરતી વખતે મેળવી શકીએ છીએ.

માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ અંકગણિત સરેરાશ : .

અહીં નમૂનાનો અર્થ છે;

અંકગણિતની સરેરાશ ભૂલ;

ઓ -નમૂના પ્રમાણભૂત વિચલન;

n

f = n-1 (વિદ્યાર્થી ગુણાંક).

માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ અંકગણિત અર્થનો તફાવત :

અહીં નમૂના અર્થ વચ્ચે તફાવત છે;

- અંકગણિત માધ્યમો વચ્ચેના તફાવતની સરેરાશ ભૂલ;

s 1 , s 2 -નમૂના પ્રમાણભૂત વિચલનો;

n1, n2

આપેલ મહત્વના સ્તર a અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા માટે વિદ્યાર્થીની કસોટીનું નિર્ણાયક મૂલ્ય f=n 1 +n 2-2 (વિદ્યાર્થી ગુણાંક).

માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ શેર :

.

અહીં d એ નમૂનાનો અપૂર્ણાંક છે;

- સરેરાશ અપૂર્ણાંક ભૂલ;

n- નમૂનાનું કદ (જૂથનું કદ);

માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ શેરનો તફાવત :

અહીં નમૂનાના શેરમાં તફાવત છે;

- અંકગણિત માધ્યમો વચ્ચેના તફાવતની સરેરાશ ભૂલ;

n1, n2- નમૂના વોલ્યુમો (જૂથોની સંખ્યા);

આપેલ મહત્વ સ્તર a ( , , ) પર z માપદંડનું નિર્ણાયક મૂલ્ય.

સૂચકાંકો વચ્ચેના તફાવત માટે આત્મવિશ્વાસના અંતરાલની ગણતરી કરીને, અમે, પ્રથમ, અસરના સંભવિત મૂલ્યોને સીધા જ જોઈએ છીએ, અને માત્ર તેના બિંદુ અંદાજને જ નહીં. બીજું, આપણે શૂન્ય પૂર્વધારણાની સ્વીકૃતિ અથવા અસ્વીકાર વિશે નિષ્કર્ષ દોરી શકીએ છીએ અને, ત્રીજું, અમે પરીક્ષણની શક્તિ વિશે નિષ્કર્ષ દોરી શકીએ છીએ.

આત્મવિશ્વાસના અંતરાલોનો ઉપયોગ કરીને પૂર્વધારણાઓનું પરીક્ષણ કરતી વખતે, તમારે નીચેના નિયમનું પાલન કરવું આવશ્યક છે:

જો અર્થમાં તફાવતના 100(1-a) ટકા આત્મવિશ્વાસ અંતરાલમાં શૂન્ય ન હોય, તો તફાવતો આંકડાકીય રીતે મહત્વના સ્તર a પર નોંધપાત્ર છે; તેનાથી વિપરિત, જો આ અંતરાલમાં શૂન્ય હોય, તો તફાવતો આંકડાકીય રીતે નોંધપાત્ર નથી.

ખરેખર, જો આ અંતરાલમાં શૂન્ય હોય, તો તુલનાત્મક સૂચક એક જૂથમાં બીજાની સરખામણીમાં વધારે અથવા ઓછું હોઈ શકે છે, એટલે કે. અવલોકન કરેલ તફાવતો તકને કારણે છે.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલમાં શૂન્યના સ્થાન દ્વારા પરીક્ષણની શક્તિનો નિર્ણય કરી શકાય છે. જો શૂન્ય અંતરાલની નીચલી અથવા ઉપલી મર્યાદાની નજીક હોય, તો સંભવ છે કે મોટી સંખ્યામાં જૂથોની સરખામણી કરવામાં આવે તો, તફાવતો આંકડાકીય મહત્વ સુધી પહોંચે. જો શૂન્ય અંતરાલની મધ્યની નજીક છે, તો તેનો અર્થ એ છે કે પ્રાયોગિક જૂથમાં સૂચકમાં વધારો અને ઘટાડો બંને સમાન રીતે સંભવિત છે, અને, સંભવતઃ, ખરેખર કોઈ તફાવત નથી.

ઉદાહરણો:

બે અલગ અલગ પ્રકારના એનેસ્થેસિયાનો ઉપયોગ કરતી વખતે સર્જિકલ મૃત્યુદરની તુલના કરવા માટે: 61 લોકોનું પ્રથમ પ્રકારના એનેસ્થેસિયા સાથે ઓપરેશન કરવામાં આવ્યું હતું, 8 મૃત્યુ પામ્યા હતા, બીજા પ્રકાર સાથે - 67 લોકો, 10 મૃત્યુ પામ્યા હતા.

d 1 = 8/61 = 0.131; d2 = 10/67 = 0.149; d1-d2 = - 0.018.

100(1-a) = 95% ની સંભાવના સાથે તુલનાત્મક પદ્ધતિઓની ઘાતકતામાં તફાવત (-0.018 - 0.122; -0.018 + 0.122) અથવા (-0.14; 0.104) શ્રેણીમાં હશે. અંતરાલમાં શૂન્ય છે, એટલે કે. બે અલગ અલગ પ્રકારના એનેસ્થેસિયા સાથે સમાન મૃત્યુદરની પૂર્વધારણાને નકારી શકાતી નથી.

આમ, મૃત્યુ દર ઘટીને 14% થઈ શકે છે અને 95% ની સંભાવના સાથે વધીને 10.4% થઈ શકે છે, એટલે કે. શૂન્ય લગભગ અંતરાલની મધ્યમાં છે, તેથી એવી દલીલ કરી શકાય છે કે, મોટે ભાગે, આ બે પદ્ધતિઓ ખરેખર જીવલેણતામાં અલગ નથી.

અગાઉ ચર્ચા કરેલ ઉદાહરણમાં, ટેપીંગ ટેસ્ટ દરમિયાન સરેરાશ દબાવવાના સમયની સરખામણી વિદ્યાર્થીઓના ચાર જૂથોમાં પરીક્ષાના સ્કોરમાં ભિન્ન હોય છે. ચાલો 2 અને 5 ગ્રેડ સાથે પરીક્ષા પાસ કરનારા વિદ્યાર્થીઓ માટે સરેરાશ દબાવતા સમય માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ અને આ સરેરાશ વચ્ચેના તફાવત માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરીએ.

વિદ્યાર્થીના ગુણાંક વિદ્યાર્થીઓના વિતરણ કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે (પરિશિષ્ટ જુઓ): પ્રથમ જૂથ માટે: = t(0.05;48) = 2.011; બીજા જૂથ માટે: = t(0.05;61) = 2.000. આમ, પ્રથમ જૂથ માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ: = (162.19-2.011*2.18; 162.19+2.011*2.18) = (157.8; 166.6), બીજા જૂથ માટે (156.55- 2,000*1.88; .5150 = 5180) = 1520. ; 160.3). તેથી, જેઓ 2 સાથે પરીક્ષા પાસ કરે છે, તેમના માટે સરેરાશ દબાવવાનો સમય 95% ની સંભાવના સાથે 157.8 ms થી 166.6 ms સુધીનો છે, જેઓ 5 સાથે પરીક્ષા પાસ કરે છે - 152.8 ms થી 160.3 ms ની સંભાવના સાથે 95% .

તમે અર્થ માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલોનો ઉપયોગ કરીને શૂન્ય પૂર્વધારણાને પણ ચકાસી શકો છો, અને માત્ર અર્થમાં તફાવત માટે નહીં. ઉદાહરણ તરીકે, અમારા કિસ્સામાં, જો માધ્યમો માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલો ઓવરલેપ થાય, તો નલ પૂર્વધારણાને નકારી શકાતી નથી. પસંદ કરેલા મહત્વના સ્તરે પૂર્વધારણાને નકારવા માટે, અનુરૂપ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલો ઓવરલેપ ન થવી જોઈએ.

ચાલો 2 અને 5 ગ્રેડ સાથે પરીક્ષા પાસ કરનારા જૂથોમાં સરેરાશ દબાવવાના સમયના તફાવત માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ શોધીએ. સરેરાશનો તફાવત: 162.19 – 156.55 = 5.64. વિદ્યાર્થીનો ગુણાંક: = t(0.05;49+62-2) = t(0.05;109) = 1.982. જૂથ પ્રમાણભૂત વિચલનો સમાન હશે: ; . અમે માધ્યમો વચ્ચેના તફાવતની સરેરાશ ભૂલની ગણતરી કરીએ છીએ: . આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ: =(5.64-1.982*2.87; 5.64+1.982*2.87) = (-0.044; 11.33).

તેથી, 2 અને 5 સાથે પરીક્ષા પાસ કરનાર જૂથોમાં સરેરાશ દબાવવાના સમયનો તફાવત -0.044 ms થી 11.33 ms સુધીનો હશે. આ અંતરાલમાં શૂન્યનો સમાવેશ થાય છે, એટલે કે. જેઓ પરીક્ષા સારી રીતે પાસ કરે છે તેમના માટે સરેરાશ દબાણનો સમય કાં તો અસંતોષકારક રીતે પરીક્ષા પાસ કરનારાઓની સરખામણીમાં વધી શકે છે અથવા ઘટી શકે છે, એટલે કે. નલ પૂર્વધારણાને નકારી શકાતી નથી. પરંતુ શૂન્ય નીચલી મર્યાદાની ખૂબ નજીક છે, અને જેઓ સારી રીતે પસાર થયા છે તેમના માટે દબાવવાનો સમય ઓછો થવાની શક્યતા વધુ છે. આમ, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે 2 અને 5 પાસ કરનારાઓ વચ્ચે દબાવવાના સરેરાશ સમયમાં હજુ પણ તફાવત છે, અમે સરેરાશ સમય, સરેરાશ સમયનો ફેલાવો અને નમૂનાના કદમાં ફેરફાર જોતાં તેમને શોધી શક્યા નથી.

પરીક્ષણની શક્તિ એ ખોટી નલ પૂર્વધારણાને નકારવાની સંભાવના છે, એટલે કે. તેઓ વાસ્તવમાં અસ્તિત્વમાં છે ત્યાં તફાવતો શોધો.

પરીક્ષણની શક્તિ મહત્વના સ્તર, જૂથો વચ્ચેના તફાવતોની તીવ્રતા, જૂથોમાં મૂલ્યોનો ફેલાવો અને નમૂનાઓના કદના આધારે નક્કી કરવામાં આવે છે.

વિદ્યાર્થીની ટી ટેસ્ટ અને વિભિન્નતાના વિશ્લેષણ માટે, સંવેદનશીલતા આકૃતિઓનો ઉપયોગ કરી શકાય છે.

માપદંડની શક્તિનો ઉપયોગ જૂથોની આવશ્યક સંખ્યાને પ્રાથમિક રીતે નક્કી કરવા માટે થઈ શકે છે.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ દર્શાવે છે કે આપેલ સંભાવના સાથે અંદાજિત પરિમાણનું સાચું મૂલ્ય કઈ મર્યાદામાં છે.

આત્મવિશ્વાસના અંતરાલોનો ઉપયોગ કરીને, તમે આંકડાકીય પૂર્વધારણાઓ ચકાસી શકો છો અને માપદંડોની સંવેદનશીલતા વિશે તારણો દોરી શકો છો.

સાહિત્ય.

Glanz S. – પ્રકરણ 6,7.

રેબ્રોવા ઓ.યુ. – p.112-114, p.171-173, p.234-238.

સિડોરેન્કો ઇ.વી. - પૃષ્ઠ 32-33.

વિદ્યાર્થીઓના સ્વ-પરીક્ષણ માટેના પ્રશ્નો.

1. માપદંડની શક્તિ શું છે?

2. કયા કિસ્સાઓમાં માપદંડની શક્તિનું મૂલ્યાંકન કરવું જરૂરી છે?

3. શક્તિની ગણતરી કરવા માટેની પદ્ધતિઓ.

6. વિશ્વાસ અંતરાલનો ઉપયોગ કરીને આંકડાકીય પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કેવી રીતે કરવું?

7. વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરતી વખતે માપદંડની શક્તિ વિશે શું કહી શકાય?

કાર્યો.

ઘણીવાર મૂલ્યાંકનકર્તાએ તે સેગમેન્ટના રિયલ એસ્ટેટ માર્કેટનું વિશ્લેષણ કરવાનું હોય છે જેમાં મિલકતનું મૂલ્યાંકન કરવામાં આવે છે. જો બજાર વિકસિત હોય, તો પ્રસ્તુત ઑબ્જેક્ટ્સના સમગ્ર સમૂહનું વિશ્લેષણ કરવું મુશ્કેલ બની શકે છે, તેથી વિશ્લેષણ માટે ઑબ્જેક્ટના નમૂનાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. આ નમૂનો હંમેશા એકરૂપ થતો નથી; કેટલીકવાર તેને આત્યંતિક મુદ્દાઓથી દૂર કરવું જરૂરી છે - ખૂબ ઊંચી અથવા ખૂબ ઓછી બજાર ઓફર. આ હેતુ માટે તેનો ઉપયોગ થાય છે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ. આ અભ્યાસનો હેતુ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી માટે બે પદ્ધતિઓનું તુલનાત્મક વિશ્લેષણ કરવાનો છે અને estimatica.pro સિસ્ટમમાં વિવિધ નમૂનાઓ સાથે કામ કરતી વખતે શ્રેષ્ઠ ગણતરી વિકલ્પ પસંદ કરવાનો છે.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ એ નમૂનાના આધારે ગણવામાં આવતા વિશેષતા મૂલ્યોનું અંતરાલ છે, જે જાણીતી સંભાવના સાથે સામાન્ય વસ્તીના અંદાજિત પરિમાણ ધરાવે છે.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવાનો મુદ્દો એ છે કે નમૂના ડેટાના આધારે આવા અંતરાલનું નિર્માણ કરવું જેથી તે આપેલ સંભાવના સાથે કહી શકાય કે અંદાજિત પરિમાણનું મૂલ્ય આ અંતરાલમાં છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વિશ્વાસ અંતરાલ ચોક્કસ સંભાવના સાથે અંદાજિત મૂલ્યનું અજ્ઞાત મૂલ્ય ધરાવે છે. અંતરાલ જેટલો વિશાળ છે, તેટલી અચોક્કસતા વધારે છે.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ નક્કી કરવા માટે વિવિધ પદ્ધતિઓ છે. આ લેખમાં આપણે 2 પદ્ધતિઓ જોઈશું:

• મધ્ય અને પ્રમાણભૂત વિચલન દ્વારા;
• ટી-આંકડા (વિદ્યાર્થી ગુણાંક) ના નિર્ણાયક મૂલ્ય દ્વારા.

CI ની ગણતરી માટે વિવિધ પદ્ધતિઓના તુલનાત્મક વિશ્લેષણના તબક્કાઓ:

1. ડેટા સેમ્પલ બનાવવું;

2. અમે આંકડાકીય પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને તેની પ્રક્રિયા કરીએ છીએ: અમે સરેરાશ મૂલ્ય, મધ્ય, વિચલન, વગેરેની ગણતરી કરીએ છીએ;

3. બે રીતે વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરો;

4. સાફ કરેલા નમૂનાઓ અને પરિણામી આત્મવિશ્વાસ અંતરાલોનું વિશ્લેષણ કરો.

સ્ટેજ 1. ડેટા સેમ્પલિંગ

estimatica.pro સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરીને નમૂનાની રચના કરવામાં આવી હતી. નમૂનામાં "ખ્રુશ્ચેવ" પ્રકારના લેઆઉટ સાથે 3જી પ્રાઇસ ઝોનમાં 1-રૂમના એપાર્ટમેન્ટના વેચાણ માટેની 91 ઑફરોનો સમાવેશ થાય છે.

કોષ્ટક 1. પ્રારંભિક નમૂના

ફિગ.1. પ્રારંભિક નમૂના

સ્ટેજ 2. પ્રારંભિક નમૂનાની પ્રક્રિયા

આંકડાકીય પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને નમૂનાની પ્રક્રિયા કરવા માટે નીચેના મૂલ્યોની ગણતરી કરવી જરૂરી છે:

1. અંકગણિત સરેરાશ

2. મધ્યક - નમૂનાનું લક્ષણ દર્શાવતી સંખ્યા: નમૂનાના ઘટકોનો બરાબર અડધો ભાગ મધ્યક કરતાં મોટો છે, બાકીનો અડધો ભાગ મધ્યક કરતાં ઓછો છે

(મૂલ્યોની વિચિત્ર સંખ્યાવાળા નમૂના માટે)

3. શ્રેણી - નમૂનામાં મહત્તમ અને લઘુત્તમ મૂલ્યો વચ્ચેનો તફાવત

4. વિભિન્નતા - ડેટાની વિવિધતાનો વધુ ચોક્કસ અંદાજ કાઢવા માટે વપરાય છે

5. નમૂના પ્રમાણભૂત વિચલન (ત્યારબાદ - SD) એ અંકગણિત સરેરાશની આસપાસ ગોઠવણ મૂલ્યોના વિક્ષેપનું સૌથી સામાન્ય સૂચક છે.

6. વિવિધતાનો ગુણાંક - ગોઠવણ મૂલ્યોના સ્કેટરિંગની ડિગ્રીને પ્રતિબિંબિત કરે છે

7. ઓસિલેશન ગુણાંક - સરેરાશની આસપાસના નમૂનામાં આત્યંતિક કિંમત મૂલ્યોની સંબંધિત વધઘટને પ્રતિબિંબિત કરે છે

કોષ્ટક 2. મૂળ નમૂનાના આંકડાકીય સૂચકાંકો

વિવિધતાનો ગુણાંક, જે ડેટાની એકરૂપતાને દર્શાવે છે, તે 12.29% છે, પરંતુ ઓસિલેશનનો ગુણાંક ખૂબ વધારે છે. આમ, આપણે કહી શકીએ કે મૂળ નમૂનો એકરૂપ નથી, તેથી ચાલો વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવા આગળ વધીએ.

સ્ટેજ 3. કોન્ફિડન્સ અંતરાલની ગણતરી

પદ્ધતિ 1. મધ્ય અને પ્રમાણભૂત વિચલનનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ નીચે પ્રમાણે નક્કી કરવામાં આવે છે: ન્યૂનતમ મૂલ્ય - પ્રમાણભૂત વિચલન મધ્યમાંથી બાદ કરવામાં આવે છે; મહત્તમ મૂલ્ય - પ્રમાણભૂત વિચલન મધ્યમાં ઉમેરવામાં આવે છે.

આમ, આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ (47179 CU; 60689 CU)

ચોખા. 2. વિશ્વાસ અંતરાલમાં આવતા મૂલ્યો 1.

પદ્ધતિ 2. ટી-આંકડા (વિદ્યાર્થી ગુણાંક) ના નિર્ણાયક મૂલ્યનો ઉપયોગ કરીને આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ બનાવવો

એસ.વી. ગ્રિબોવ્સ્કી તેમના પુસ્તક "સંપત્તિ મૂલ્યના અંદાજ માટે ગાણિતિક પદ્ધતિઓ" માં વિદ્યાર્થી ગુણાંકનો ઉપયોગ કરીને આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિનું વર્ણન કરે છે. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરતી વખતે, અંદાજકર્તાએ પોતે જ મહત્ત્વનું સ્તર ∝ સેટ કરવું જોઈએ, જે સંભવિતતા નક્કી કરે છે કે જેની સાથે વિશ્વાસ અંતરાલ બાંધવામાં આવશે. સામાન્ય રીતે, 0.1 ના મહત્વના સ્તરોનો ઉપયોગ થાય છે; 0.05 અને 0.01. તેઓ 0.9 ની આત્મવિશ્વાસ સંભાવનાઓને અનુરૂપ છે; 0.95 અને 0.99. આ પદ્ધતિ સાથે, ગાણિતિક અપેક્ષાઓ અને ભિન્નતાના સાચા મૂલ્યો વ્યવહારીક રીતે અજાણ હોવાનું માનવામાં આવે છે (જે વ્યવહારિક અંદાજની સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે લગભગ હંમેશા સાચું હોય છે).

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ સૂત્ર:

n - નમૂનાનું કદ;

મહત્વના સ્તર સાથે ટી-આંકડા (વિદ્યાર્થી વિતરણ) નું નિર્ણાયક મૂલ્ય ∝, સ્વતંત્રતા n-1 ની ડિગ્રીની સંખ્યા, જે વિશિષ્ટ આંકડાકીય કોષ્ટકો અથવા MS એક્સેલ (→"આંકડાકીય"→ STUDIST) નો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે;

∝ - મહત્વ સ્તર, ∝=0.01 લો.

ચોખા. 2. વિશ્વાસ અંતરાલમાં આવતા મૂલ્યો 2.

સ્ટેજ 4. આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવા માટે વિવિધ પદ્ધતિઓનું વિશ્લેષણ

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવાની બે પદ્ધતિઓ - મધ્ય અને વિદ્યાર્થીના ગુણાંક દ્વારા - અંતરાલોના વિવિધ મૂલ્યો તરફ દોરી જાય છે. તદનુસાર, અમને બે અલગ-અલગ ક્લીન સેમ્પલ મળ્યા.

કોષ્ટક 3. ત્રણ નમૂનાઓ માટે આંકડા.

કરવામાં આવેલી ગણતરીઓના આધારે, અમે કહી શકીએ કે વિવિધ પદ્ધતિઓ દ્વારા મેળવેલ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ મૂલ્યો એકબીજાને છેદે છે, તેથી તમે મૂલ્યાંકનકર્તાના વિવેકબુદ્ધિથી કોઈપણ ગણતરી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

જો કે, અમે માનીએ છીએ કે estimatica.pro સિસ્ટમમાં કામ કરતી વખતે, બજારના વિકાસની ડિગ્રીના આધારે વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવા માટેની પદ્ધતિ પસંદ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે:

• જો બજાર અવિકસિત છે, તો મધ્ય અને પ્રમાણભૂત વિચલનનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો, કારણ કે આ કિસ્સામાં નિવૃત્ત વસ્તુઓની સંખ્યા ઓછી છે;
• જો બજાર વિકસિત હોય, તો ટી-આંકડા (વિદ્યાર્થી ગુણાંક) ના નિર્ણાયક મૂલ્ય દ્વારા ગણતરી લાગુ કરો, કારણ કે મોટા પ્રારંભિક નમૂનાનું નિર્માણ શક્ય છે.

લેખ તૈયાર કરવા માટે નીચેનાનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો:

1. ગ્રિબોવ્સ્કી એસ.વી., સિવેટ્સ એસ.એ., લેવીકીના આઈ.એ. મિલકતના મૂલ્યનું મૂલ્યાંકન કરવા માટેની ગાણિતિક પદ્ધતિઓ. મોસ્કો, 2014

2. સિસ્ટમ ડેટા estimatica.pro

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ આંકડાઓના ક્ષેત્રમાંથી અમારી પાસે આવે છે. આ એક ચોક્કસ શ્રેણી છે જે ઉચ્ચ સ્તરની વિશ્વસનીયતા સાથે અજાણ્યા પરિમાણનો અંદાજ કાઢવા માટે સેવા આપે છે. આને સમજાવવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો એક ઉદાહરણ સાથે છે.

ધારો કે તમારે કેટલાક રેન્ડમ વેરીએબલનો અભ્યાસ કરવાની જરૂર છે, ઉદાહરણ તરીકે, ક્લાયંટની વિનંતી પર સર્વરની પ્રતિભાવ ગતિ. દરેક વખતે જ્યારે વપરાશકર્તા ચોક્કસ સાઇટનું સરનામું ટાઇપ કરે છે, ત્યારે સર્વર જુદી જુદી ઝડપે પ્રતિસાદ આપે છે. આમ, અભ્યાસ હેઠળનો પ્રતિભાવ સમય રેન્ડમ છે. તેથી, આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ અમને આ પરિમાણની સીમાઓ નક્કી કરવાની મંજૂરી આપે છે, અને પછી અમે કહી શકીએ કે 95% સંભાવના સાથે સર્વર અમે ગણતરી કરેલ શ્રેણીમાં હશે.

અથવા તમારે એ શોધવાની જરૂર છે કે કંપનીના ટ્રેડમાર્ક વિશે કેટલા લોકો જાણે છે. જ્યારે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવામાં આવે છે, ત્યારે તે કહેવું શક્ય બનશે, ઉદાહરણ તરીકે, 95% સંભાવના સાથે આ અંગે વાકેફ ગ્રાહકોનો હિસ્સો 27% થી 34% ની રેન્જમાં છે.

આત્મવિશ્વાસની સંભાવનાનું મૂલ્ય આ શબ્દ સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. તે સંભાવનાને રજૂ કરે છે કે ઇચ્છિત પરિમાણ વિશ્વાસ અંતરાલમાં શામેલ છે. આપણી ઇચ્છિત શ્રેણી કેટલી મોટી હશે તે આ મૂલ્ય પર આધારિત છે. તે જેટલું મોટું મૂલ્ય લે છે, આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ સંકુચિત થાય છે, અને ઊલટું. સામાન્ય રીતે તે 90%, 95% અથવા 99% પર સેટ છે. મૂલ્ય 95% સૌથી લોકપ્રિય છે.

આ સૂચક અવલોકનોના વિક્ષેપથી પણ પ્રભાવિત છે અને તેની વ્યાખ્યા એ ધારણા પર આધારિત છે કે અભ્યાસ હેઠળની લાક્ષણિકતા આ વિધાનને ગૌસના કાયદા તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. તેમના મતે, સામાન્ય એ સતત રેન્ડમ ચલની તમામ સંભાવનાઓનું વિતરણ છે જે સંભવિતતા ઘનતા દ્વારા વર્ણવી શકાય છે. જો સામાન્ય વિતરણની ધારણા ખોટી હોય, તો અંદાજ ખોટો હોઈ શકે છે.

પ્રથમ, ચાલો આકૃતિ કરીએ કે વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કેવી રીતે કરવી અહીં બે સંભવિત કિસ્સાઓ છે. વિક્ષેપ (રેન્ડમ ચલના ફેલાવાની ડિગ્રી) જાણી શકાય છે અથવા ન પણ હોઈ શકે. જો તે જાણીતું હોય, તો આપણો આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:

xsr - t*σ / (sqrt(n))<= α <= хср + t*σ / (sqrt(n)), где

α - ચિહ્ન,

t - લેપ્લેસ વિતરણ કોષ્ટકમાંથી પરિમાણ,

σ એ ભિન્નતાનું વર્ગમૂળ છે.

જો ભિન્નતા અજ્ઞાત હોય, તો તેની ગણતરી કરી શકાય છે જો આપણે ઇચ્છિત સુવિધાના તમામ મૂલ્યો જાણીએ. આ માટે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે:

σ2 = х2ср - (хср)2, જ્યાં

х2ср - અભ્યાસ કરેલ લાક્ષણિકતાના ચોરસનું સરેરાશ મૂલ્ય,

(хср)2 એ આ લાક્ષણિકતાનો વર્ગ છે.

આ કિસ્સામાં જે ફોર્મ્યુલા દ્વારા આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવામાં આવે છે તે સહેજ બદલાય છે:

xsr - t*s / (sqrt(n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n)), где

xsr - નમૂના સરેરાશ,

α - ચિહ્ન,

t એ પરિમાણ છે જે વિદ્યાર્થી વિતરણ કોષ્ટક t = t(ɣ;n-1) નો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે.

sqrt(n) - કુલ નમૂનાના કદનું વર્ગમૂળ,

s એ ભિન્નતાનું વર્ગમૂળ છે.

આ ઉદાહરણનો વિચાર કરો. ધારો કે 7 માપોના પરિણામોના આધારે, અભ્યાસ કરેલ લાક્ષણિકતા 30 ની બરાબર અને નમૂનાની વિસંગતતા 36 ની બરાબર હોવાનું નિર્ધારિત કરવામાં આવ્યું હતું. 99% ની સંભાવના સાથે, વિશ્વાસ અંતરાલ શોધવો જરૂરી છે જેમાં સાચું માપેલ પરિમાણનું મૂલ્ય.

પ્રથમ, ચાલો નક્કી કરીએ કે t શું છે: t = t (0.99; 7-1) = 3.71. ઉપરોક્ત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, અમને મળે છે:

xsr - t*s / (sqrt(n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n))

30 - 3.71*36 / (sqrt(7))<= α <= 30 + 3.71*36 / (sqrt(7))

21.587 <= α <= 38.413

વિભિન્નતા માટેના વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી જાણીતા સરેરાશના કિસ્સામાં અને જ્યારે ગાણિતિક અપેક્ષા પર કોઈ ડેટા ન હોય ત્યારે બંને રીતે ગણવામાં આવે છે, અને માત્ર વિચલનના નિષ્પક્ષ અંદાજના બિંદુનું મૂલ્ય જાણીતું છે. અમે અહીં તેની ગણતરી કરવા માટેના સૂત્રો આપીશું નહીં, કારણ કે તે ખૂબ જટિલ છે અને, જો ઇચ્છિત હોય, તો હંમેશા ઇન્ટરનેટ પર મળી શકે છે.

ચાલો માત્ર એ નોંધીએ કે એક્સેલ અથવા નેટવર્ક સેવાનો ઉપયોગ કરીને વિશ્વાસ અંતરાલ નક્કી કરવાનું અનુકૂળ છે, જેને તે રીતે કહેવામાં આવે છે.