સમાંતર સ્વયંસિદ્ધ શું છે. બિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિની શોધ

જર્મન ભૌતિકશાસ્ત્રી આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈન, ગાણિતિક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને, 20મી સદીમાં ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ક્રાંતિ લાવી સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંતનો વિકાસ કર્યો.

એવું માનવામાં આવે છે કે આધુનિક ગણિતનો પાયો યુક્લિડ દ્વારા 300 બીસીની આસપાસ તેમના 13 વોલ્યુમના કાર્ય "એલિમેન્ટ્સ" માં નાખવામાં આવ્યો હતો. ઇ. તેના પુરોગામીઓથી વિપરીત, યુક્લિડ અહીં ભૂમિતિને અસંખ્ય રેખાંકનોની મદદથી નહીં, પરંતુ સંપૂર્ણ તાર્કિક રીતે સમજાવે છે. પ્રથમ, તે સંખ્યાબંધ તથ્યોનું વર્ણન કરે છે જેને તે સાચા અને અપરિવર્તનશીલ માને છે. આ હકીકતોને પોસ્ટ્યુલેટ્સ કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, યુક્લિડની આ ધારણાઓમાંથી એક કહે છે: "દરેક બિંદુથી કોઈ એક સીધી રેખા અન્ય કોઈપણ બિંદુ તરફ દોરી શકે છે." પછી, આ ધારણાઓના આધારે, તે બાકીનું બધું અનુમાન કરે છે. આ રીતે, યુક્લિડે પ્રથમ વખત આધુનિક ગાણિતિક વિચારસરણી દર્શાવી: અમુક ધારણાઓના આધારે, એકવાર કરવામાં આવી હતી અને પુનરાવર્તનને આધીન ન હતી, તેણે અન્ય ઘણા નિવેદનો સાબિત કર્યા હતા.

સદીઓથી, યુક્લિડની પાંચમી ધારણા, સમાંતર રેખાઓના કહેવાતા સ્વયંસિદ્ધ પર વિવાદો છે: જી રેખાની બહાર પડેલા કોઈપણ બિંદુ P દ્વારા, માત્ર એક જ સીધી રેખા દોરી શકાય છે જે g ને છેદતી નથી. આવી રેખાને P બિંદુ પરથી પસાર થતી રેખા gની સમાંતર કહેવામાં આવે છે. ઘણા વૈજ્ઞાનિકોએ માત્ર આ સ્થિતિને સ્વીકારવાની જ નહીં, પરંતુ તેને પ્રથમ ચારમાંથી મેળવવાની કોશિશ કરી હતી. પરંતુ આ અશક્ય હોવાનું બહાર આવ્યું. ગણિતશાસ્ત્રીઓએ ભૂમિતિ બનાવવાનું શરૂ કર્યું જે યુક્લિડના પ્રથમ ચાર સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો પર આધારિત હતું અને પાંચમાને નકારી કાઢ્યું. 20મી સદીની શરૂઆતમાં ગણિતની રમત જેવી દેખાતી હતી. માંગમાં હોવાનું બહાર આવ્યું છે. આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈને ભૂમિતિના આ મોડેલોને તેમના સાપેક્ષતાના સામાન્ય સિદ્ધાંતના આધાર તરીકે જોયા હતા.

બેક ફોરવર્ડ

ધ્યાન આપો! સ્લાઇડ પૂર્વાવલોકનો ફક્ત માહિતીના હેતુ માટે છે અને તે પ્રસ્તુતિની તમામ સુવિધાઓને રજૂ કરી શકશે નહીં. જો તમને આ કાર્યમાં રસ હોય, તો કૃપા કરીને સંપૂર્ણ સંસ્કરણ ડાઉનલોડ કરો.

પાઠ હેતુઓ:

વિદ્યાર્થીઓ માટે અજાણ્યા ભૂમિતિના સ્વયંસિદ્ધનો ખ્યાલ આપો, તેમને પહેલેથી જ જાણીતા સ્વયંસિદ્ધનું પુનરાવર્તન કરો;
સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધ પરિચય;
સ્વયંસિદ્ધ અને પ્રમેયમાંથી પરિણામોની વિભાવના રજૂ કરો;
સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે સમાંતર રેખાઓ અને તેના પરિણામોનો ઉપયોગ કેવી રીતે થાય છે તે બતાવો;
મહાન રશિયન ગણિતશાસ્ત્રી એન.આઇ.

સાધન:કમ્પ્યુટર, પ્રોજેક્ટર.

પાઠની પ્રગતિ

1. અગાઉનું હોમવર્ક તપાસી રહ્યું છે

2. વિદ્યાર્થીઓ માટે પહેલેથી જ જાણીતા પ્લાનિમેટ્રીના સ્વયંસિદ્ધનું પુનરાવર્તન

શિક્ષક:યુક્લિડ "એલિમેન્ટ્સ" (III સદી બીસી) ના પ્રખ્યાત કાર્યમાં, તે સમયે જાણીતી મૂળભૂત ભૌમિતિક માહિતીને વ્યવસ્થિત કરવામાં આવી હતી. મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે "સિદ્ધાંતો" માં ભૂમિતિના નિર્માણ માટે એક સ્વયંસિદ્ધ અભિગમ વિકસાવવામાં આવ્યો હતો, જેમાં એ હકીકતનો સમાવેશ થાય છે કે પ્રથમ મૂળભૂત જોગવાઈઓ કે જેને પુરાવા (સિદ્ધાંત) ની જરૂર નથી, ઘડવામાં આવે છે, અને પછી, તેમના આધારે, અન્ય નિવેદનો (પ્રમેય) તર્ક દ્વારા સાબિત થાય છે. યુક્લિડ દ્વારા પ્રસ્તાવિત કેટલાક સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો હજુ પણ ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમોમાં ઉપયોગમાં લેવાય છે.
"એક્સિઓમ" શબ્દ પોતે ગ્રીક "એક્સિઓસ" પરથી આવ્યો છે, જેનો અર્થ થાય છે "મૂલ્યવાન, લાયક". અમારા ભૂમિતિ અભ્યાસક્રમમાં અપનાવવામાં આવેલા પ્લાનિમેટ્રી સ્વયંસિદ્ધોની સંપૂર્ણ સૂચિ પાઠ્યપુસ્તકના અંતમાં પૃષ્ઠ 344-348 પરના પરિશિષ્ટમાં આપવામાં આવી છે. તમે ઘરે જાતે જ આ સિદ્ધાંતોને ધ્યાનમાં લેશો.
અમે આમાંના કેટલાક સ્વયંસિદ્ધ વિચારણા કરી ચૂક્યા છીએ. આ સિદ્ધાંતોને યાદ રાખો અને ઘડવો.

વિદ્યાર્થીઓ:

1) ત્યાં ઓછામાં ઓછા ત્રણ બિંદુઓ છે જે સમાન રેખા પર આવેલા નથી.
2) એક સીધી રેખા કોઈપણ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે, અને માત્ર એક.
3) સીધી રેખા પરના ત્રણ બિંદુઓમાંથી, એક અને માત્ર એક અન્ય બે વચ્ચે આવેલું છે.
4) રેખાના પ્રત્યેક બિંદુ O તેને બે ભાગોમાં (બે કિરણો) વિભાજિત કરે છે જેથી એક જ કિરણના કોઈપણ બે બિંદુઓ O બિંદુની એક જ બાજુ પર હોય, અને વિવિધ કિરણોના કોઈપણ બે બિંદુ O બિંદુની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર હોય.
5) દરેક રેખા a પ્લેનને બે ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે (બે અર્ધ-વિમાન) જેથી સમાન અર્ધ-વિમાનના કોઈપણ બે બિંદુઓ રેખા a ની એક જ બાજુ પર હોય છે, અને વિવિધ અર્ધ-વિમાનોના કોઈપણ બે બિંદુઓ વિરુદ્ધ બાજુઓ પર હોય છે. રેખા a.
6) જો, ઓવરલેપ દરમિયાન, બે સેગમેન્ટના છેડા ભેગા થાય છે, તો સેગમેન્ટ્સ પોતે જ ભેગા થાય છે.
7) કોઈપણ કિરણ પર, તેની શરૂઆતથી, તમે આપેલ એકના સમાન સેગમેન્ટને મૂકી શકો છો, અને વધુમાં, ફક્ત એક જ.
8) આપેલ અર્ધ-પ્લેનમાં કોઈપણ કિરણમાંથી આપેલ અવિકસિત કોણ સમાન કોણ બનાવવું શક્ય છે, અને વધુમાં, ફક્ત એક જ.

શિક્ષક:સમતલમાં કઈ રેખાઓને સમાંતર કહેવામાં આવે છે?

વિદ્યાર્થીઓ:સમતલમાં બે રેખાઓ એકબીજાને છેદતી ન હોય તો તેને સમાંતર કહેવામાં આવે છે.

શિક્ષક:રેખાઓની સમાંતરતાના ચિહ્નો બનાવો.

વિદ્યાર્થીઓ:

1) જો, જ્યારે બે સીધી રેખાઓ ટ્રાંસવર્સલ સાથે છેદે છે, તો અસત્ય ખૂણા સમાન છે, તો સીધી રેખાઓ સમાંતર છે.
2) જો, જ્યારે બે રેખાઓ ટ્રાંસવર્સલ સાથે છેદે છે, અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન છે, તો રેખાઓ સમાંતર છે.
3) જો, જ્યારે બે સીધી રેખાઓ ટ્રાંસવર્સલ સાથે છેદે છે, એક બાજુવાળા ખૂણાઓનો સરવાળો 180˚ બરાબર છે, તો સીધી રેખાઓ સમાંતર છે.

3. નવો વિષય. સમાંતર રેખાઓનો સ્વયંસિદ્ધ

શિક્ષક:ચાલો સમસ્યાનું નિરાકરણ કરીએ: "એક બિંદુ M દ્વારા કે જે રેખા a પર રહેતું નથી, રેખા a ની સમાંતર રેખા દોરો."

સમસ્યાના નિરાકરણ માટેની યોજના સમગ્ર વર્ગ દ્વારા ચર્ચા કરવામાં આવે છે. વિદ્યાર્થીઓમાંથી એક બોર્ડ પર ઉકેલ લખે છે (તેમની નોટબુકમાં લખ્યા વિના).

શિક્ષક:પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું બિંદુ M દ્વારા બીજી રેખા દોરવી શક્ય છે, રેખા a ની સમાંતર?
આ પ્રશ્નનો લાંબો ઈતિહાસ છે. યુક્લિડના તત્વોમાં પાંચમી ધારણા છે: “અને જો બે સીધી રેખાઓ પર આવતી સીધી રેખા બે કાટખૂણા કરતા ઓછા હોય તો એક બાજુના આંતરિક ખૂણા બનાવે છે, તો આ સીધી રેખાઓનું વિસ્તરણ એ બાજુ પર અનિશ્ચિત રૂપે મળશે જ્યાં ખૂણા ઓછા છે. બે કાટકોણ કરતાં." પ્રોક્લસ 5મી સદી એડી યુક્લિડના અનુમાનને વધુ સરળ અને સ્પષ્ટ રીતે સુધારેલ: "આપેલ રેખા પર ન પડેલા બિંદુ દ્વારા, આપેલ રેખાની સમાંતર માત્ર એક રેખા પસાર થાય છે." આ સમાંતર રેખાઓનું સ્વયંસિદ્ધ છે. આના પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે ઉપરોક્ત સમસ્યાનો એક અનન્ય ઉકેલ છે.
ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓએ પાંચમી મુદ્રાને સાબિત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો, કારણ કે તેની રચના પ્રમેયની યાદ અપાવે છે. આ તમામ પ્રયાસો દર વખતે નિષ્ફળ ગયા. અને માત્ર 19મી સદીમાં. અંતે સ્પષ્ટતા કરવામાં આવી હતી કે યુક્લિડનું પાંચમું અનુમાન સાબિત કરી શકાતું નથી;
મહાન રશિયન ગણિતશાસ્ત્રી નિકોલાઈ ઇવાનોવિચ લોબાચેવ્સ્કી (1792-1856) એ આ મુદ્દાને હલ કરવામાં મોટી ભૂમિકા ભજવી હતી.

4. N.I. Lobachevsky વિશે પ્રેઝન્ટેશન જુઓ

5. જે શીખ્યા છે તેનું એકીકરણ. સમસ્યાનું નિરાકરણ

આપેલ ∆ABC. શિરોબિંદુ C દ્વારા બાજુ AB ની સમાંતર કેટલી રેખાઓ દોરી શકાય?

ઉકેલ.

સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધ અનુસાર, ત્યાં માત્ર એક જ સીધી રેખા છે જે દોરી શકાય છે.

રેખા p પર ન હોય તેવા બિંદુ દ્વારા ચાર સીધી રેખાઓ દોરવામાં આવે છે. આ રેખાઓમાંથી કેટલી રેખા p ને છેદે છે? બધા સંભવિત કેસોને ધ્યાનમાં લો.

ઉકેલ.

3 સીધા 4 સીધા

જવાબ: 3 અથવા 4 સીધા.

સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધમાંથી કોરોલરીઝ.

નિવેદનો કે જે સીધા સ્વયંસિદ્ધ અથવા પ્રમેયમાંથી લેવામાં આવે છે તેને કોરોલરી કહેવામાં આવે છે. ચાલો સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધ પરિણામોને ધ્યાનમાં લઈએ.

કોરોલરી 1˚.જો રેખા બે સમાંતર રેખાઓમાંથી એકને છેદે છે, તો તે બીજી રેખાને પણ છેદે છે.

કોરોલરી 2˚.જો બે રેખાઓ ત્રીજી રેખાની સમાંતર હોય, તો તે સમાંતર છે. (વિદ્યાર્થીઓને તે પોતાને સાબિત કરવા માટે કહેવામાં આવે છે).

ચિત્ર સમાન છે.

આપેલ: a || b, c || b
સાબિત કરો: a || સાથે
પુરાવા o (પદ્ધતિ "વિરોધાભાસ દ્વારા"):

રેખાઓ a અને c ને સમાંતર ન થવા દો. પછી તેઓ અમુક બિંદુ M પર છેદે છે. બે જુદી જુદી સીધી રેખાઓ (a અને c) સીધી રેખા b ની સમાંતર M બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. આ સમાંતર સ્વયંસિદ્ધનો વિરોધાભાસ કરે છે. આનો અર્થ એ છે કે અમારી ધારણા સાચી નથી. પણ એ વાત સાચી છે કે એક || સાથે. વગેરે.
સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધમાંથી બીજો કોરોલરી એ પ્લેન પરની રેખાઓની સમાંતરતાની અન્ય નિશાની છે.

સમસ્યાનું નિરાકરણ:નંબર 217 (મૌખિક), 218 (મૌખિક), 198, 200, 213.

№ 217 (મૌખિક રીતે)

રેખાઓ a અને b રેખા c ની સમાંતર છે. સાબિત કરો કે કોઈપણ રેખા છેદતી રેખા a પણ રેખા b ને છેદે છે.

ઉકેલ.

જો એક || b અને b || c, પછી a || s (કોરોલરી 2˚).
જો મનસ્વી રેખા d ∩ a, તો d ∩ b (કોરોલરી 1˚).

№ 218 (મૌખિક રીતે)

રેખાઓ a અને b છેદે છે. શું રેખા a ને છેદે અને રેખા b ની સમાંતર રેખા દોરવી શક્ય છે? તમારા જવાબને યોગ્ય ઠેરવો.

ઉકેલ.

ચાલો બિંદુ A b ને લીટી a પર લઈએ. બિંદુ A દ્વારા રેખા b (સમાંતર સ્વયંસિદ્ધ) ની સમાંતર માત્ર એક રેખા છે. બાંધેલી રેખા રેખા aને છેદે છે, કારણ કે તેની સાથે સામાન્ય બિંદુ A છે.

રેખાઓ a અને b રેખા p માટે લંબ છે, રેખા c રેખા aને છેદે છે. શું રેખા c રેખા b ને છેદે છે?

આપેલ:ар, bр, с ∩ а
શોધો:શું c રેખા b ને છેદે છે?
ઉકેલ:જો એપી અને બીપી, તો એ || b (પ્રમેય).
જો c ∩ a અને a || b, પછી c ∩ b (કોરોલરી 1˚).
જવાબ: c ∩ b.

પાઠ્યપુસ્તકના ચિત્રમાં AD || p અને PQ || બી.સી. સાબિત કરો કે રેખા p રેખાઓ AB, AE, AC, BC, PQ ને છેદે છે.

પાઠ્યપુસ્તકના ચિત્રમાં, CE = ED, BE = EF અને KE = AD. સાબિત કરો કે KE || સૂર્ય.

6. સારાંશ

1) યુક્લિડની મુખ્ય યોગ્યતા શું છે?
2) સ્વયંસિદ્ધ કોને કહેવાય?
3) આપણે કયા સિદ્ધાંતો જાણીએ છીએ?
4) કયા રશિયન વૈજ્ઞાનિકે બિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિનો સુસંગત સિદ્ધાંત બનાવ્યો?
5) શબ્દના ગાણિતિક અર્થમાં પરિણામ શું કહેવાય છે?
6) આજે આપણે કયા પરિણામો શીખ્યા?

7. હોમવર્ક:

§2, ફકરો 27, 28, ભૂમિતિ પૃષ્ઠ 344-348 ના સ્વયંસિદ્ધ પર પરિશિષ્ટ, પ્રશ્નો 7-11 પૃષ્ઠ 68, નંબર 199, 214.
નંબર 199: રેખા p એ ત્રિકોણ ABC ની બાજુ AB ની સમાંતર છે. સાબિત કરો કે રેખાઓ BC અને AC રેખા r ને છેદે છે.
નંબર 214: ત્રિકોણ ABC ના દ્વિભાજક AD ની મધ્યમાંથી પસાર થતી એક રેખા અને AD ની કાટખૂણે બાજુ AC ને બિંદુ M પર છેદે છે. સાબિત કરો કે MD¦AB.

સાહિત્ય:

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I.ભૂમિતિ, 7-9: શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક. − એમ.: શિક્ષણ, 2003.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Glazkov Yu.A., Nekrasov V.B., Yudina I.I. 7, 8, 9 ગ્રેડમાં ભૂમિતિનો અભ્યાસ: પાઠ્યપુસ્તક માટે પદ્ધતિસરની ભલામણો. શિક્ષકો માટે પુસ્તક. − એમ.: શિક્ષણ, 2003.
ડોરોફીવા એ.વી.ગણિતના પાઠમાં ઇતિહાસના પૃષ્ઠો: શિક્ષકો માટે એક પુસ્તક. − એમ.: શિક્ષણ, 2007.
વિકિપીડિયા.

તેમના તફાવતો સમજાવ્યા વિના; યુક્લિડના તત્વોની વિવિધ હસ્તપ્રતોમાં, વિધાનોનું સ્વયંસિદ્ધ અને અનુમાનમાં વિભાજન અલગ છે, જેમ કે તેમનો ક્રમ એકરૂપ થતો નથી. હેબર્ગની પ્રિન્સિપિયાની ક્લાસિક આવૃત્તિમાં, જણાવેલ નિવેદન પાંચમું અનુમાન છે.

આધુનિક ભાષામાં, યુક્લિડના લખાણને નીચે પ્રમાણે સુધારી શકાય છે:

જો [પ્લેન પર] જ્યારે બે સીધી રેખાઓ ત્રીજા ભાગને છેદે છે, તો આંતરિક એક-બાજુવાળા ખૂણાઓનો સરવાળો બે સીધી રેખાઓ કરતાં ઓછો હોય છે, તો આ સીધી રેખાઓ પર્યાપ્ત સાતત્ય સાથે છેદે છે, અને વધુમાં, જે બાજુ પર આ સરવાળો ઓછો છે. બે સીધી રેખાઓ કરતાં.

યુક્લિડે સ્પષ્ટતા ઉમેર્યું કે લીટીઓ કઈ બાજુથી છેદે છે, કદાચ સ્પષ્ટતા માટે - તે સાબિત કરવું સરળ છે કે તે આંતરછેદના અસ્તિત્વની હકીકતને અનુસરે છે.

પાંચમું અનુમાન યુક્લિડના અન્ય પોસ્ટ્યુલેટ્સથી અત્યંત અલગ છે, જે સરળ અને સાહજિક રીતે સ્પષ્ટ છે (યુક્લિડના તત્વો જુઓ). તેથી, બે હજાર વર્ષથી, તેને સ્વયંસિદ્ધ સૂચિમાંથી બાકાત રાખવા અને તેને પ્રમેય તરીકે મેળવવાના પ્રયાસો બંધ થયા નથી. આ તમામ પ્રયાસો નિષ્ફળતામાં સમાપ્ત થયા. "યુક્લિડની પાંચમી પોસ્ટ્યુલેટની વાર્તા કરતાં વિજ્ઞાનમાં વધુ રોમાંચક અને નાટકીય વાર્તા શોધવી કદાચ અશક્ય છે." નકારાત્મક પરિણામ હોવા છતાં, આ શોધો નિરર્થક ન હતી, કારણ કે તેઓ આખરે બ્રહ્માંડની ભૂમિતિ વિશેના વૈજ્ઞાનિક વિચારોના સંપૂર્ણ પુનરાવર્તન તરફ દોરી ગયા.

સમાંતર પોસ્ટ્યુલેટના સમકક્ષ ફોર્મ્યુલેશન

આધુનિક સ્ત્રોતો સામાન્ય રીતે સમાંતર પોસ્ચ્યુલેટનું બીજું ફોર્મ્યુલેશન આપે છે, જે V પોસ્ટ્યુલેટની સમકક્ષ (સતુલ્ય) અને પ્રોક્લસ (વિદેશમાં, તેને ઘણીવાર પ્લેફેરનું સ્વયંસિદ્ધ કહેવાય છે):

પ્રોક્લસનું અનુમાન

આ ફોર્મ્યુલેશનમાં, "એક અને માત્ર એક" શબ્દો ઘણીવાર "માત્ર એક" અથવા "વધુમાં વધુ એક" સાથે બદલવામાં આવે છે, કારણ કે ઓછામાં ઓછા આવા એક સમાંતરનું અસ્તિત્વ યુક્લિડના તત્વોના પ્રમેય 27 અને 28માંથી તરત જ અનુસરે છે.

સામાન્ય રીતે, પોસ્ટ્યુલેટ V પાસે મોટી સંખ્યામાં સમકક્ષ ફોર્મ્યુલેશન હોય છે, જેમાંથી ઘણા એકદમ સ્પષ્ટ લાગે છે. અહીં તેમાંથી કેટલાક છે.

પાંચમું અનુમાન અન્ય લોકોમાં તીવ્રપણે બહાર આવે છે, જે એકદમ સ્પષ્ટ છે, તે વધુ જટિલ, બિન-સ્પષ્ટ પ્રમેય જેવું છે. યુક્લિડ કદાચ આનાથી વાકેફ હતા, અને તેથી એલિમેન્ટ્સમાં પ્રથમ 28 વાક્યો તેની મદદ વિના સાબિત થાય છે.

"યુક્લિડ ચોક્કસપણે સમાંતર પોસ્ટ્યુલેટના વિવિધ સ્વરૂપો જાણતા હોવા જોઈએ." તેણે ઘટાડેલ, જટિલ અને બોજારૂપ શા માટે પસંદ કર્યું? આ પસંદગીના કારણો વિશે ઈતિહાસકારોએ વિવિધ ધારણાઓ કરી છે. વી.પી. સ્મિલ્ગા માનતા હતા કે યુક્લિડ, આવી રચના સાથે, સૂચવે છે કે સિદ્ધાંતનો આ ભાગ અપૂર્ણ છે. એમ. ક્લેઈન એ હકીકત તરફ ધ્યાન દોરે છે કે યુક્લિડની પાંચમી ધારણા છે સ્થાનિકપાત્ર, એટલે કે, તે વિમાનના મર્યાદિત ભાગ પરની ઘટનાનું વર્ણન કરે છે, જ્યારે, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રોક્લસનો સ્વયંસિદ્ધ સમાંતરતાની હકીકત જણાવે છે, જેને સમગ્ર અનંત સીધી રેખાને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે. તે સ્પષ્ટ કરવું જોઈએ કે પ્રાચીન ગણિતશાસ્ત્રીઓ વાસ્તવિક અનંતતાનો ઉપયોગ કરવાનું ટાળતા હતા; ઉદાહરણ તરીકે, યુક્લિડનું બીજું અનુમાન કોઈ સીધી રેખાની અનંતતાને સમર્થન આપતું નથી, પરંતુ માત્ર એટલું જ કે "એક સીધી રેખાને સતત વિસ્તૃત કરી શકાય છે." પ્રાચીન ગણિતશાસ્ત્રીઓના દૃષ્ટિકોણથી, સમાંતર પોસ્ટ્યુલેટના ઉપરોક્ત સમકક્ષો અસ્વીકાર્ય લાગે છે: તેઓ કાં તો વાસ્તવિક અનંતતા અથવા માપનની (હજુ સુધી રજૂ કરવામાં આવી નથી) ખ્યાલનો સંદર્ભ આપે છે, અથવા તે ખૂબ સ્પષ્ટ પણ નથી. ઈતિહાસકાર ઈમ્રે ટોથ દ્વારા બીજું સંસ્કરણ આગળ મૂકવામાં આવ્યું હતું: યુક્લિડિયન ફોર્મ્યુલેશન કદાચ યુક્લિડના પુરોગામીમાંથી એકનું (ભૂલથી સાબિત) પ્રમેય હોઈ શકે છે, અને જ્યારે તેઓને ખાતરી થઈ ગઈ કે તે સાબિત થઈ શકતું નથી, ત્યારે પ્રમેયનો દરજ્જો વધારવામાં આવ્યો. ફોર્મ્યુલેશનના ટેક્સ્ટને બદલ્યા વિના પોસ્ટ્યુલેટ માટે.

સંપૂર્ણ ભૂમિતિ

જો પોસ્ચ્યુલેટ V ને સ્વયંસિદ્ધોની સૂચિમાંથી બાકાત રાખવામાં આવે છે, તો પછી પરિણમેલી ધરીની સિસ્ટમ કહેવાતી સંપૂર્ણ ભૂમિતિનું વર્ણન કરશે. ખાસ કરીને, યુક્લિડના તત્વોના પ્રથમ 28 પ્રમેય V પોસ્ટ્યુલેટનો ઉપયોગ કર્યા વિના સાબિત થાય છે અને તેથી તે સંપૂર્ણ ભૂમિતિ સાથે સંબંધિત છે. વધુ ચર્ચા માટે, ચાલો નિરપેક્ષ ભૂમિતિના બે પ્રમેયની નોંધ લઈએ:

સાબિત કરવાના પ્રયાસો

પ્રાચીન કાળથી, ગણિતશાસ્ત્રીઓએ "યુક્લિડમાં સુધારો" કરવાનો પ્રયાસ કર્યો છે - કાં તો પ્રારંભિક વિધાનોની સંખ્યામાંથી પાંચમા પોસ્ટ્યુલેટને બાકાત રાખવા માટે, એટલે કે, તેને બાકીના પોસ્ટ્યુલેટ્સ અને સ્વયંસિદ્ધિઓના આધારે સાબિત કરવા માટે, અથવા તેને અન્ય સાથે બદલવા માટે, જે સ્પષ્ટ છે. અન્ય ધારણાઓ. આ પરિણામની સિદ્ધિ માટેની આશા એ હકીકત દ્વારા સમર્થિત હતી કે યુક્લિડની IV પોસ્ટ્યુલેટ ( બધા કાટકોણ સમાન છે) ખરેખર અનાવશ્યક હોવાનું બહાર આવ્યું છે - તે પ્રમેય તરીકે સખત રીતે સાબિત થયું હતું અને ધરીની સૂચિમાંથી બાકાત રાખવામાં આવ્યું હતું.

બે સહસ્ત્રાબ્દીથી વધુ, પાંચમી ધારણાના ઘણા પુરાવાઓ પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યા છે, પરંતુ તેમાંથી દરેકમાં, વહેલા અથવા પછીના સમયમાં, એક દુષ્ટ વર્તુળ મળી આવ્યું હતું: તે બહાર આવ્યું છે કે સ્પષ્ટ અથવા ગર્ભિત પરિસરમાં એક નિવેદન હતું જે સાબિત કરી શકાતું નથી. સમાન પાંચમી પોસ્ટ્યુલેટનો ઉપયોગ કરીને.

પ્રોક્લસનો પુરાવો

પ્રાચીન સંસ્કૃતિના પતન પછી, ઇસ્લામિક દેશોના ગણિતશાસ્ત્રીઓએ પોસ્ટ્યુલેટ વી. અલ-ખ્વારિઝ્મી (9મી સદી) ના વિદ્યાર્થી અલ-જવહારીનો પુરાવો ગર્ભિત રીતે સૂચવે છે: જો બે સીધી રેખાઓ કોઈપણ ત્રીજી સાથે છેદે છે, તો ક્રોસ-લીંગ એંગલ સમાન હોય છે, તો તે જ થાય છે જ્યારે સમાન બે સીધી રેખાઓ છેદે છે. કોઈપણ અન્ય સાથે. અને આ ધારણા વી અનુમાનિત કરવા માટે સમકક્ષ છે.

સેચેરી લેમ્બર્ટ ચતુષ્કોણના 4થા કોણ વિશે સમાન ત્રણ પૂર્વધારણાઓને ધ્યાનમાં લે છે. તેણે ઔપચારિક કારણોસર સ્થૂળ કોણની પૂર્વધારણાને તરત જ નકારી કાઢી. તે બતાવવાનું સરળ છે કે આ કિસ્સામાં, સામાન્ય રીતે, બધી રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે, અને પછી આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે યુક્લિડની વી પોસ્ટ્યુલેટ માન્ય છે - છેવટે, તે ચોક્કસપણે જણાવે છે કે અમુક પરિસ્થિતિઓમાં રેખાઓ છેદે છે. આના પરથી એવું તારણ કાઢવામાં આવે છે કે “ સ્થૂળ કોણની પૂર્વધારણા હંમેશા સંપૂર્ણપણે ખોટી હોય છે, કારણ કે તે પોતાનો નાશ કરે છે» .

આ પછી, સાચેરી "તીવ્ર કોણની પૂર્વધારણા" ને રદિયો આપવા આગળ વધે છે અને અહીં તેમનું સંશોધન વધુ રસપ્રદ છે. તે સ્વીકારે છે કે તે સાચું છે, અને, એક પછી એક, પરિણામોની સંપૂર્ણ શ્રેણી સાબિત કરે છે. તેના પર શંકા કર્યા વિના, તે લોબાચેવ્સ્કી ભૂમિતિના નિર્માણમાં ખૂબ આગળ વધે છે. સાચેરી દ્વારા સાબિત કરાયેલા ઘણા પ્રમેય સાહજિક રીતે અસ્વીકાર્ય લાગે છે, પરંતુ તે પ્રમેયની સાંકળ ચાલુ રાખે છે. છેલ્લે, સાચેરી સાબિત કરે છે કે "ખોટી ભૂમિતિ" માં કોઈપણ બે રેખાઓ કાં તો છેદે છે અથવા એક સામાન્ય લંબ છે. બંનેબાજુઓ કે જ્યાંથી તેઓ એકબીજાથી દૂર જાય છે, અથવા એક બાજુએ એકબીજાથી દૂર જાય છે અને અનિશ્ચિત રૂપે એકબીજાની નજીક આવે છે. આ બિંદુએ સાચેરી એક અણધારી નિષ્કર્ષ કાઢે છે: “ તીવ્ર કોણની પૂર્વધારણા સંપૂર્ણપણે ખોટી છે, કારણ કે તે સીધી રેખાની પ્રકૃતિનો વિરોધાભાસ કરે છે» .

દેખીતી રીતે સાચેરીને લાગ્યું કે આ "પુરાવા" પાયાવિહોણા હતા, કારણ કે અભ્યાસ ચાલુ છે. તે ઇક્વિડિસ્ટન્ટને માને છે - પ્લેન પરના બિંદુઓના ભૌમિતિક સ્થાનને સીધી રેખાથી સમાન અંતરે; તેના પુરોગામીઓથી વિપરીત, સાચેરી સમજે છે કે આ કિસ્સામાં તે સીધી રેખા નથી. જો કે, તેના ચાપની લંબાઈની ગણતરી કરતી વખતે, સાચેરી ભૂલ કરે છે અને વાસ્તવિક વિરોધાભાસ પર આવે છે, જેના પછી તે અભ્યાસ પૂર્ણ કરે છે અને રાહત સાથે જાહેર કરે છે કે તે “ આ દુષ્ટ પૂર્વધારણાને મૂળથી ફાડી નાખી" કમનસીબે, મરણોત્તર પ્રકાશિત થયેલ સાચેરીનું પહેલું કાર્ય, ગણિતશાસ્ત્રીઓનું ધ્યાન આકર્ષિત કરી શક્યું નહીં જે તે લાયક હતું, અને માત્ર 150 વર્ષ પછી () તેમના દેશબંધુ બેલ્ટ્રામીએ આ ભૂલી ગયેલું કાર્ય શોધી કાઢ્યું અને તેના ઐતિહાસિક મહત્વની પ્રશંસા કરી.

ગોળાકાર ભૂમિતિ: બધી રેખાઓ છેદે છે

લેમ્બર્ટ એ શોધનાર સૌપ્રથમ હતા કે "ઓબ્ટ્યુઝ એન્ગલ ભૂમિતિ" ગોળા પર સાકાર થાય છે, જો સીધી રેખાઓ દ્વારા આપણે મહાન વર્તુળોનો અર્થ કરીએ છીએ. તેણે, સાચેરીની જેમ, "તીવ્ર કોણની પૂર્વધારણા" માંથી ઘણા પરિણામો કાઢ્યા, અને સાચેરી કરતા ઘણા આગળ ગયા; ખાસ કરીને, તેમણે શોધ્યું કે ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાનો સરવાળો 180° છે તે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણસર છે.

તેમના પુસ્તકમાં, લેમ્બર્ટે ચતુરાઈપૂર્વક નોંધ્યું:

તે મને ખૂબ જ નોંધપાત્ર લાગે છે કે બીજી પૂર્વધારણા [સ્થૂળ કોણની] વાજબી છે જો આપણે સપાટ ત્રિકોણને બદલે ગોળાકાર લઈએ. મારે લગભગ આમાંથી એક નિષ્કર્ષ કાઢવો પડશે - તારણ કે ત્રીજી પૂર્વધારણા કેટલાક કાલ્પનિક ક્ષેત્ર પર થાય છે. કોઈ પણ સંજોગોમાં, ત્યાં એક કારણ હોવું જોઈએ કે પ્લેન પર ખંડન કરવું એટલું સરળ નથી જેટલું બીજી પૂર્વધારણાના સંબંધમાં કરી શકાય છે.

લેમ્બર્ટને તીવ્ર કોણની પૂર્વધારણામાં કોઈ વિરોધાભાસ જોવા મળ્યો ન હતો અને તે નિષ્કર્ષ પર આવ્યા કે V ધારણાને સાબિત કરવાના તમામ પ્રયાસો નિરાશાજનક છે. તેમણે "તીવ્ર કોણ ભૂમિતિ" ની ખોટીતા વિશે કોઈ શંકા વ્યક્ત કરી ન હતી, પરંતુ તેમની અન્ય સમજદાર ટિપ્પણી સૂચવે છે કે લેમ્બર્ટ બિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિની સંભવિત ભૌતિક વાસ્તવિકતા અને વિજ્ઞાન માટેના અસરો વિશે અનુમાન કરી રહ્યા હતા:

આના વિશે કંઈક આનંદદાયક છે જેનાથી તમે ઈચ્છો છો કે ત્રીજી પૂર્વધારણા સાચી હોય. અને હજુ સુધી હું ઈચ્છું છું<…>, જેથી આ કેસ ન બને, કારણ કે તે સમગ્ર શ્રેણી સાથે સંકળાયેલું હશે<…>અસુવિધા ત્રિકોણમિતિ કોષ્ટકો અનંત વિશાળ બની જશે, આકૃતિઓની સમાનતા અને પ્રમાણ બિલકુલ અસ્તિત્વમાં રહેશે નહીં.<…>, ખગોળશાસ્ત્રનો ખરાબ સમય હશે.

સેચેરીના પુસ્તકની જેમ લેમ્બર્ટનું નોંધપાત્ર કાર્ય તેના સમય કરતાં ઘણું આગળ હતું અને તે સમયના ગણિતશાસ્ત્રીઓમાં રસ જગાડ્યો ન હતો. આ જ ભાગ્ય જર્મન ગણિતશાસ્ત્રીઓ એફ.કે. શ્વેઇકાર્ટ () અને એફ.એ. ટૌરીનસ ()ની "અપાર્થિવ ભૂમિતિ" પર આવ્યું, જેમના વિચારો લેમ્બર્ટ દ્વારા બાંધવામાં આવેલા વિચારોની નજીક હતા.

દરમિયાન, યુક્લિડ તરફથી "ડાગ ધોવા"ના પ્રયાસો ચાલુ રહ્યા (લુઈસ બર્ટ્રાન્ડ, લિજેન્ડ્રે, સેમિઓન ગુરીયેવ અને અન્ય). દંતકથાએ વી પોસ્ટ્યુલેટના ત્રણ જેટલા પુરાવા આપ્યા હતા, જેનું ભ્રમણા તેમના સમકાલીન લોકોએ ઝડપથી દર્શાવ્યું હતું. નવી ભૂમિતિ પર લોબાચેવ્સ્કીના પ્રથમ અહેવાલના ત્રણ વર્ષ પહેલાં, તેમણે 1823 માં તેમનો છેલ્લો "સાબિતી" પ્રકાશિત કર્યો.

બિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિની શોધ

ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાઓનો સરવાળો 180° કરતા ઓછો છે તેવી ધારણા એક વિશિષ્ટ ભૂમિતિ તરફ દોરી જાય છે, જે આપણી (યુક્લિડિયન) ભૂમિતિથી સંપૂર્ણપણે અલગ છે; આ ભૂમિતિ સંપૂર્ણપણે સુસંગત છે, અને મેં તેને મારા માટે સંપૂર્ણપણે સંતોષકારક રીતે વિકસાવી છે; મારી પાસે આ ભૂમિતિમાં કોઈપણ સમસ્યાને ઉકેલવાની તક છે, ચોક્કસ સ્થિર [વક્રતા] નક્કી કરવાના અપવાદ સિવાય, જેનું મૂલ્ય પ્રાધાન્ય સ્થાપિત કરી શકાતું નથી. આપણે આ સ્થિરતાને જેટલું વધુ મહત્વ આપીએ છીએ, તેટલું જ આપણે યુક્લિડિયન ભૂમિતિની નજીક આવીએ છીએ, અને તેનું અસંખ્ય મોટું મૂલ્ય બંને સિસ્ટમોને એકરૂપ થવા તરફ દોરી જાય છે. આ ભૂમિતિની દરખાસ્તો કંઈક અંશે વિરોધાભાસી લાગે છે અને અજાણ્યા વ્યક્તિને પણ વાહિયાત લાગે છે; પરંતુ કડક અને શાંત પ્રતિબિંબ પર તે તારણ આપે છે કે તેમાં કંઈપણ અશક્ય નથી. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણા ઇચ્છિત તેટલા નાના બનાવી શકાય છે, જો આપણે પૂરતી મોટી બાજુઓ લઈએ; ત્રિકોણનો વિસ્તાર ઓળંગી શકતો નથી, ચોક્કસ મર્યાદા સુધી પણ પહોંચી શકતો નથી, પછી ભલે તેની બાજુઓ કેટલી મોટી હોય. આ બિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં વિરોધાભાસ અથવા અસંગતતા શોધવાના મારા તમામ પ્રયત્નો નિરર્થક રહ્યા, અને આ સિસ્ટમમાં એકમાત્ર વસ્તુ જે આપણા કારણનો પ્રતિકાર કરે છે તે એ છે કે અવકાશમાં, જો આ સિસ્ટમ માન્ય હોત, તો ત્યાં કેટલાક સ્વ-નિર્ધારિત હોવું જરૂરી હતું ( જોકે અને અમને અજાણ્યા) રેખીય જથ્થો. પરંતુ મને એવું લાગે છે કે, મેટાફિઝિશિયનોના અભિવ્યક્ત મૌખિક શાણપણ સિવાય, આપણે અવકાશના સાર વિશે બહુ ઓછા અથવા તો કશું જ જાણતા નથી. (એક પત્રથી

ભૌમિતિક આકૃતિઓના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરીને, અમે સંખ્યાબંધ પ્રમેય સાબિત કર્યા. આમ કરવાથી, અમે એક નિયમ તરીકે, અગાઉ સાબિત થયેલા પ્રમેય પર આધાર રાખ્યો હતો. ભૂમિતિના પ્રથમ પ્રમેયના પુરાવા કયા આધારે છે? આ પ્રશ્નનો જવાબ આ છે: ભૌમિતિક આકૃતિઓના ગુણધર્મો વિશેના કેટલાક નિવેદનો પ્રારંભિક બિંદુઓ તરીકે સ્વીકારવામાં આવે છે, જેના આધારે વધુ પ્રમેય સાબિત થાય છે અને સામાન્ય રીતે, બધી ભૂમિતિ બનાવવામાં આવે છે. આવી પ્રારંભિક સ્થિતિ કહેવામાં આવે છે સ્વયંસિદ્ધ.

કેટલાક સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો પાછા પ્રથમ પ્રકરણમાં ઘડવામાં આવ્યા હતા (જોકે તેમને ત્યાં સ્વયંસિદ્ધ કહેવાતા ન હતા). ઉદાહરણ તરીકે, તે એક સ્વયંસિદ્ધ છે જે

અન્ય ઘણા સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો, જો કે ખાસ કરીને ભાર મૂક્યો ન હતો, વાસ્તવમાં અમારા તર્કમાં ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. આમ, અમે એક સેગમેન્ટને બીજા પર સુપરઇમ્પોઝ કરીને બે સેગમેન્ટની સરખામણી કરી. આવા ઓવરલેપની શક્યતા નીચેના સ્વયંસિદ્ધથી અનુસરે છે:

બે ખૂણાઓની સરખામણી સમાન સ્વયંસિદ્ધ પર આધારિત છે:

આ તમામ સ્વયંસિદ્ધ સ્પષ્ટપણે સ્પષ્ટ અને શંકાની બહાર છે. "એક્સિઓમ" શબ્દ પોતે ગ્રીક "એક્સિઓસ" પરથી આવ્યો છે, જેનો અર્થ થાય છે "મૂલ્યવાન, લાયક". અમે પાઠ્યપુસ્તકના અંતે અમારા ભૂમિતિ અભ્યાસક્રમમાં અપનાવેલ પ્લાનિમેટ્રી સ્વયંસિદ્ધોની સંપૂર્ણ સૂચિ પ્રદાન કરીએ છીએ.

ભૂમિતિના નિર્માણ માટેનો આ અભિગમ, જ્યારે પ્રારંભિક સ્થિતિ - સ્વયંસિદ્ધ - પ્રથમ ઘડવામાં આવે છે, અને પછી અન્ય નિવેદનો તેમના આધારે તાર્કિક તર્ક દ્વારા સાબિત થાય છે, જે પ્રાચીન સમયમાં ઉદ્ભવ્યું હતું અને પ્રાચીન ગ્રીક દ્વારા પ્રખ્યાત કૃતિ "સિદ્ધાંતો" માં દર્શાવેલ છે. વૈજ્ઞાનિક યુક્લિડ. યુક્લિડના કેટલાક સ્વયંસિદ્ધ (તેમાંથી કેટલાકને તેણે બોલાવ્યા ધારણા કરે છે) અને હવે તેનો ઉપયોગ ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમોમાં થાય છે, અને ભૂમિતિ પોતે, "સિદ્ધાંતો" માં રજૂ થાય છે, તેને કહેવામાં આવે છે. યુક્લિડિયન ભૂમિતિ. આગળના ફકરામાં આપણે ભૂમિતિના સૌથી પ્રસિદ્ધ સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોમાંથી એકથી પરિચિત થઈશું.

સમાંતર રેખાઓનો સ્વયંસિદ્ધ

મનસ્વી સીધી રેખા a અને બિંદુ M ને ધ્યાનમાં લો જે તેના પર ન હોય (ફિગ. 110, a). ચાલો સાબિત કરીએ કે બિંદુ M દ્વારા રેખા a ની સમાંતર રેખા દોરવી શક્ય છે. આ કરવા માટે, બિંદુ M દ્વારા બે સીધી રેખાઓ દોરો: પ્રથમ સીધી રેખા c સીધી રેખા a ને કાટખૂણે, અને પછી સીધી રેખા b સીધી રેખા c (ફિગ. 110, (b) માટે લંબરૂપ છે. કારણ કે સીધી રેખાઓ a અને b કાટખૂણે છે. સીધી રેખા c, તેઓ સમાંતર છે.

ચોખા. 110

તેથી, બિંદુ M દ્વારા રેખા a ની સમાંતર બી રેખા પસાર થાય છે. નીચેનો પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું બિંદુ M દ્વારા બીજી રેખા દોરવી શક્ય છે, સીધી રેખા a ની સમાંતર?

અમને એવું લાગે છે કે જો સીધી રેખા b બિંદુ M ની આસપાસ ખૂબ જ નાના કોણ દ્વારા પણ "વળેલું" હોય, તો તે સીધી રેખા a (આકૃતિ 110.6 માં રેખા b") ને છેદે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અમને લાગે છે કે તે છે. બિંદુ M (b થી અલગ), રેખા a ની સમાંતર દ્વારા બીજી સીધી રેખા દોરવાનું અશક્ય છે શું આ વિધાનને સાબિત કરવું શક્ય છે?

આ પ્રશ્નનો લાંબો ઈતિહાસ છે. યુક્લિડના "એલિમેન્ટ્સ" માં એક પોસ્ટ્યુલેટ (યુક્લિડનું પાંચમું પોસ્ટ્યુલેટ) છે, જેમાંથી તે અનુસરે છે કે આપેલ રેખા પર ન હોય તેવા બિંદુ દ્વારા, આપેલ રેખાની સમાંતર માત્ર એક સીધી રેખા દોરી શકાય છે. ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓએ, પ્રાચીન સમયથી શરૂ કરીને, યુક્લિડના પાંચમા અનુમાનને સાબિત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો છે, એટલે કે, તેને અન્ય સ્વયંસિદ્ધોમાંથી મેળવવાનો. જો કે, દરેક વખતે આ પ્રયાસો નિષ્ફળ રહ્યા હતા. અને માત્ર છેલ્લી સદીમાં જ આખરે સ્પષ્ટતા કરવામાં આવી હતી કે આપેલ રેખાના સમાંતર આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાની વિશિષ્ટતા વિશેનું નિવેદન યુક્લિડના બાકીના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોના આધારે સાબિત કરી શકાતું નથી, પરંતુ તે પોતે એક સ્વયંસિદ્ધ છે.

મહાન રશિયન ગણિતશાસ્ત્રી નિકોલાઈ ઇવાનોવિચ લોબાચેવસ્કી (1792-1856) એ આ મુશ્કેલ મુદ્દાને હલ કરવામાં મોટી ભૂમિકા ભજવી હતી.

તેથી, અન્ય પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે અમે સ્વીકારીએ છીએ સમાંતર રેખાઓનું સ્વયંસિદ્ધ.

વિધાન કે જે સીધા સ્વયંસિદ્ધ અથવા પ્રમેયમાંથી લેવામાં આવ્યા હોય તેને કહેવામાં આવે છે પરિણામો. ઉદાહરણ તરીકે, વિધાન 1 અને 2 (જુઓ પૃષ્ઠ 35) એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના દ્વિભાજક પરના પ્રમેયના પરિણામો છે.

ચાલો સમાંતર રેખાઓના સ્વતંતરમાંથી કેટલાક કોરોલરીને ધ્યાનમાં લઈએ.

ખરેખર, સીધી રેખા a અને b ને સમાંતર રહેવા દો અને સીધી રેખા c સીધી રેખા aને બિંદુ M પર છેદે છે (ફિગ. 111, a). ચાલો સાબિત કરીએ કે રેખા c પણ રેખા b ને છેદે છે. જો રેખા c રેખા b ને છેદતી ન હોય, તો રેખા b ની સમાંતર બે રેખાઓ (લાઇન a અને c) બિંદુ M (ફિગ. 111, b)માંથી પસાર થશે. પરંતુ આ સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધનો વિરોધાભાસ કરે છે, અને તેથી, રેખા c રેખા b ને છેદે છે.

ચોખા. 111

ખરેખર, સીધી રેખાઓ a અને b ને સીધી રેખા c (ફિગ. 112, a) ની સમાંતર રહેવા દો. ચાલો સાબિત કરીએ કે એ || b ચાલો ધારીએ કે રેખાઓ a અને b સમાંતર નથી, એટલે કે, તેઓ અમુક બિંદુ M (ફિગ. 112.6) પર છેદે છે. પછી બે રેખાઓ બિંદુ M (રેખાઓ a અને b)માંથી પસાર થાય છે, જે રેખા cની સમાંતર છે.

ચોખા. 112

પરંતુ આ સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતનો વિરોધાભાસ કરે છે. તેથી, અમારી ધારણા ખોટી છે, જેનો અર્થ છે કે રેખાઓ a અને b સમાંતર છે.

બે સમાંતર રેખાઓ અને ટ્રાંસવર્સલ દ્વારા રચાયેલા ખૂણા પરના પ્રમેય

દરેક પ્રમેયના બે ભાગો હોય છે: સ્થિતિઅને નિષ્કર્ષ. પ્રમેયની સ્થિતિ એ છે જે આપવામાં આવે છે, અને નિષ્કર્ષ એ છે જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, બે સીધી રેખાઓની સમાંતરતા માટેના માપદંડને વ્યક્ત કરતા પ્રમેયને ધ્યાનમાં લઈએ: જો, જ્યારે બે સીધી રેખાઓ ટ્રાંસવર્સલ સાથે છેદે છે, તો અસત્ય ખૂણા સમાન છે, તો સીધી રેખાઓ સમાંતર છે.

આ પ્રમેયમાં, સ્થિતિ એ વિધાનનો પ્રથમ ભાગ છે: "જ્યારે બે રેખાઓ ક્રોસવાઇઝ છેદે છે, ત્યારે અસત્ય ખૂણા સમાન હોય છે" (આ આપેલ છે), અને નિષ્કર્ષ એ બીજો ભાગ છે: "રેખાઓ સમાંતર છે" (આ જરૂરી છે સાબિત કરવા માટે).

આ પ્રમેયની વાતચીત, એ એક પ્રમેય છે જેમાં શરત એ પ્રમેયનું નિષ્કર્ષ છે, અને નિષ્કર્ષ એ પ્રમેયની સ્થિતિ છે. ચાલો ફકરા 25 માં ત્રણ પ્રમેય સાથે વિરોધાભાસી પ્રમેય સાબિત કરીએ.

પ્રમેય

પુરાવો

સમાંતર રેખાઓ a અને b ને સેકન્ટ MN દ્વારા છેદે છે. ચાલો સાબિત કરીએ કે ક્રોસવાઇઝ કોણ, ઉદાહરણ તરીકે 1 અને 2, સમાન છે (ફિગ. 113).

ચોખા. 113

ચાલો ધારીએ કે ખૂણા 1 અને 2 સમાન નથી. ચાલો કિરણ MN માંથી કોણ PMN કોણ 2 ની બરાબર બાદબાકી કરીએ, જેથી ∠PMN અને ∠2 એ સીકન્ટ MN દ્વારા MR અને b રેખાઓના આંતરછેદ પર ક્રોસવાઇઝ કોણ છે. બાંધકામ દ્વારા, આ ક્રોસ કરેલા ખૂણા સમાન છે, તેથી MR || b અમે જોયું કે બિંદુ M દ્વારા સીધી રેખા b ની સમાંતર બે સીધી રેખાઓ (સીધી રેખા a અને MR) છે. પરંતુ આ સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતનો વિરોધાભાસ કરે છે. આનો અર્થ એ થયો કે અમારી ધારણા ખોટી છે અને ∠1 = ∠2. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ટિપ્પણી

આ પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે, અમે તર્કની એક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો જેને કહેવાય છે વિરોધાભાસ દ્વારા પુરાવા દ્વારા.

અમે ધાર્યું છે કે જ્યારે સમાંતર રેખાઓ a અને b એક ટ્રાંસવર્સલ MN સાથે છેદે છે, ત્યારે અસત્ય ખૂણા 1 અને 2 સમાન નથી, એટલે કે જે સાબિત કરવાની જરૂર છે તેની વિરુદ્ધ અમે ધાર્યું છે. આ ધારણાના આધારે, તર્ક દ્વારા આપણે સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધ સાથે વિરોધાભાસ પર આવ્યા છીએ. આનો અર્થ એ છે કે અમારી ધારણા ખોટી છે અને તેથી ∠1 = ∠2.

તર્કની આ રીતનો ગણિતમાં વારંવાર ઉપયોગ થાય છે. અમે પહેલાં તેનો ઉપયોગ કર્યો છે, ઉદાહરણ તરીકે, ફકરા 12 માં જ્યારે સાબિત કરે છે કે ત્રીજાને કાટખૂણે બે લીટીઓ છેદતી નથી. અમે ફકરા 28 માં સમાન પદ્ધતિનો ઉપયોગ 1 0 અને 2 0 ને સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધથી સાબિત કરવા માટે કર્યો છે.

પરિણામ

ખરેખર, ચાલો એક || b, c ⊥ a, એટલે કે ∠1 = 90° (ફિગ. 114). રેખા c રેખા a ને છેદે છે, તેથી તે રેખા b ને પણ છેદે છે. જ્યારે સમાંતર રેખાઓ a અને b ટ્રાંસવર્સલ c સાથે છેદે છે, ત્યારે સમાન ક્રોસવાઇઝ ખૂણાઓ રચાય છે: ∠1=∠2. ∠1 = 90° થી, પછી ∠2 = 90°, એટલે કે, c ⊥ b, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

ચોખા. 114

પ્રમેય

પુરાવો

સમાંતર રેખાઓ a અને b ને સેકન્ટ c વડે છેદે છે. ચાલો સાબિત કરીએ કે અનુરૂપ ખૂણાઓ, ઉદાહરણ તરીકે 1 અને 2, સમાન છે (જુઓ. ફિગ. 102). ત્યારથી || b, પછી ક્રોસવાઇઝ ખૂણા 1 અને 3 સમાન છે.

ખૂણા 2 અને 3 વર્ટિકલ સમાન છે. સમાનતાઓમાંથી ∠1 = ∠3 અને ∠2 = ∠3 તે અનુસરે છે કે ∠1 = ∠2. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

પ્રમેય

પુરાવો

સમાંતર રેખાઓ a અને b ને સેકન્ટ c વડે છેદવા દો (ફિગ. 102 જુઓ). ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો સાબિત કરીએ કે ∠1 + ∠4 = 180°. ત્યારથી || b, તો અનુરૂપ ખૂણા 1 અને 2 સમાન છે. ખૂણા 2 અને 4 અડીને છે, તેથી ∠2 + ∠4 = 180°. સમાનતાઓમાંથી ∠1 = ∠2 અને ∠2 + ∠4 = 180° તે અનુસરે છે કે ∠1 + ∠4 = 180°. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ટિપ્પણી

જો કોઈ ચોક્કસ પ્રમેય સાબિત થાય, તો કન્વર્સ સ્ટેટમેન્ટ અનુસરતું નથી. તદુપરાંત, વાતચીત હંમેશા સાચી હોતી નથી. ચાલો એક સરળ ઉદાહરણ આપીએ. આપણે જાણીએ છીએ કે જો ખૂણાઓ લંબરૂપ છે, તો તે સમાન છે. કન્વર્સ સ્ટેટમેન્ટ: "જો ખૂણા સમાન હોય, તો તે વર્ટિકલ છે" અલબત્ત, ખોટું છે.

અનુક્રમે સમાંતર અથવા લંબ બાજુઓ સાથેના ખૂણા

ચાલો અનુરૂપ સમાંતર બાજુઓ સાથે કોણ વિશે પ્રમેય સાબિત કરીએ.

પ્રમેય

પુરાવો

∠AOB અને ∠A 1 O 1 B 1 એ આપેલ ખૂણા અને OA હોવા દો || ઓ 1 એ 1 , ઓબી || લગભગ 1 માં 1. જો કોણ AOB વિકસાવવામાં આવે છે, તો કોણ A 1 O 1 B 1 પણ વિકસિત છે (શા માટે સમજાવો), તેથી આ ખૂણા સમાન છે. ચાલો ∠AOB એક અવિકસિત કોણ છે. ખૂણા AOB અને A 1 O 1 B 1 ના સ્થાનના સંભવિત કિસ્સાઓ આકૃતિ 115, a અને b માં બતાવવામાં આવ્યા છે. સીધી રેખા O 1 B 1 રેખા O 1 A 1 ને છેદે છે અને તેથી, રેખા OA ને અમુક બિંદુએ તેની સમાંતર છેદે છે. સમાંતર રેખાઓ OB અને O 1 B 1 એ સેકન્ટ OM દ્વારા છેદે છે, તેથી તેમાંથી એક સીધી રેખાઓ O 1 B 1 અને OA (આકૃતિ 115 માં કોણ 1) ના આંતરછેદ પર બનેલો ખૂણો, કોણ AOB (જેમ કે ક્રોસવાઇઝ ખૂણા) ની બરાબર છે. સમાંતર રેખાઓ OA અને O 1 A 1 એ સેકન્ટ O 1 M દ્વારા છેદે છે, તેથી કાં તો ∠1 = ∠A 1 O 1 B 1 (ફિગ. 115, a), અથવા ∠1 + ∠A 1 O 1 B 1 = 180 ° (ફિગ. 115, બી). સમાનતા ∠1 = ∠AOB અને છેલ્લી બે સમાનતાઓ પરથી તે અનુસરે છે કે કાં તો ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 (જુઓ આકૃતિ. 115, a), અથવા ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180° (જુઓ ફિગ. 115, b). પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ચોખા. 115

ચાલો હવે અનુરૂપ કાટખૂણે બાજુઓ સાથે કોણ વિશે પ્રમેય સાબિત કરીએ.

પ્રમેય

પુરાવો

ચાલો ∠AOB અને ∠A 1 O 1 B 1 ને કોણ, OA ⊥ O 1 A 1 , OB ⊥ O 1 B 1 આપીએ. જો AOB કોણ ઊલટું અથવા સીધો છે, તો કોણ A 1 O 1 B 1 ઊલટું અથવા સીધો છે (શા માટે સમજાવો), તેથી આ ખૂણા સમાન છે. ચાલો ∠AOB< 180°, О ∉ О 1 А 1 , О ∉ О 1 В 1 (случаи О ∈ O 1 А 1 , О ∈ О 1 В 1 рассмотрите самостоятельно).

બે કિસ્સાઓ શક્ય છે (ફિગ. 116).

1 0 ∠AOB< 90° (см. рис. 116, а). Проведём луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными, а точки В и С лежали по разные стороны от прямой О А. Далее, проведём луч OD так, чтобы прямые ОВ и OD были взаимно перпендикулярными, а точки С и D лежали по одну сторону от прямой О А. Поскольку ∠AOB = 90° - ∠AOD и ∠COD = 90° - ∠AOD, то ∠AOB = ∠COD. Стороны угла COD соответственно параллельны сторонам угла А 1 О 1 В 1 (объясните почему), поэтому либо ∠COD = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠COD + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Следовательно, либо ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°.

2 0 ∠AOB > 90° (જુઓ ફિગ. 116, b). ચાલો રે OS દોરીએ જેથી કોણ AOS એ કોણ AOB ને અડીને આવે. કોણ AOC તીવ્ર છે, અને તેની બાજુઓ કોણ A 1 O 1 B 1 ની બાજુઓને અનુરૂપ કાટખૂણે છે. તેથી, કાં તો ∠AOC + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°, અથવા ∠AOC = ∠A 1 O 1 B 1 . પ્રથમ કિસ્સામાં, ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1, બીજા કિસ્સામાં, ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

કાર્યો

196. ABC ત્રિકોણ આપેલ છે. શિરોબિંદુ C દ્વારા બાજુ AB ની સમાંતર કેટલી રેખાઓ દોરી શકાય?

197. રેખા p પર ન હોય તેવા બિંદુ દ્વારા ચાર સીધી રેખાઓ દોરવામાં આવે છે. આ રેખાઓમાંથી કેટલી રેખા p ને છેદે છે? બધા સંભવિત કેસોને ધ્યાનમાં લો.

198. રેખાઓ a અને b રેખા p ને કાટખૂણે છે, રેખા c રેખા aને છેદે છે. શું રેખા c રેખા b ને છેદે છે?

199. રેખા p એ ત્રિકોણ ABC ની બાજુ AB ની સમાંતર છે. સાબિત કરો કે રેખાઓ BC અને AC રેખા r ને છેદે છે.

200. આકૃતિ 117 એડી માં || p અને PQ || સૂર્ય. સાબિત કરો કે રેખા p રેખાઓ AB, AE, AC, BC અને PQ ને છેદે છે.

ચોખા. 117

201. જ્યારે બે સમાંતર રેખાઓ ટ્રાંસવર્સલ સાથે છેદે છે ત્યારે ક્રોસવાઇઝ ખૂણાઓનો સરવાળો 210° જેટલો છે. આ ખૂણાઓ શોધો.

202. આકૃતિ 118 માં, રેખાઓ a, b અને c રેખા d દ્વારા છેદે છે, ∠1 = 42°, ∠2 = 140°, ∠3 = 138°. a, b અને c કઈ રેખાઓ સમાંતર છે?

ચોખા. 118

203. જ્યારે બે સમાંતર રેખાઓ a અને b ટ્રાંસવર્સલ c સાથે છેદે ત્યારે બનેલા તમામ ખૂણા શોધો, જો:

a) એક ખૂણો 150° છે;
b) એક ખૂણો બીજા કરતા 70° મોટો છે.

204. AB સેગમેન્ટના છેડા a અને b સમાંતર રેખાઓ પર આવેલા છે. આ સેગમેન્ટના મધ્ય Oમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા a અને b ને C અને D બિંદુઓ પર છેદે છે. સાબિત કરો કે CO = OD.

205. આકૃતિ 119 માં ડેટાનો ઉપયોગ કરીને, ∠1 શોધો.

ચોખા. 119

206. ∠ABC = 70°, અને ABCD = 110°. ડાયરેક્ટ AB અને CD હોઈ શકે છે:

a) સમાંતર;
b) છેદે છે?

207. સમસ્યા 206 માં પ્રશ્નોના જવાબ આપો જો ∠ABC = 65° અને ∠BCD = 105° હોય.

208. જ્યારે બે સમાંતર રેખાઓ ટ્રાંસવર્સલ સાથે છેદે છે ત્યારે બે એકતરફી ખૂણા વચ્ચેનો તફાવત 50° છે. આ ખૂણાઓ શોધો.

209. આકૃતિ 120 a || b, c || d, ∠4 = 45°. ખૂણા 1, 2 અને 3 શોધો.

ચોખા. 120

210. બ્લોક્સ A અને B (ફિગ. 121) પર ફેંકવામાં આવેલા થ્રેડના છેડે બે શરીર P 1 અને P 2 લટકાવવામાં આવ્યા છે. ત્રીજું શરીર P 3 બિંદુ C પર સમાન થ્રેડથી સસ્પેન્ડ થયેલ છે અને P 1 અને P 2 શરીરને સંતુલિત કરે છે. (આ કિસ્સામાં, AP 1 || BP 2 || CP 3.) સાબિત કરો કે ∠ACB = ∠CAP 1 + ∠CBP 2 .