સામાન્ય છેદ શું છે? અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદમાં ઘટાડવા માટેના નિયમો અથવા અલ્ગોરિધમ

હું મૂળ રૂપે અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવા વિભાગમાં સામાન્ય છેદ તકનીકોનો સમાવેશ કરવા માંગતો હતો. પરંતુ ત્યાં ઘણી બધી માહિતી હોવાનું બહાર આવ્યું છે, અને તેનું મહત્વ એટલું મહાન છે (છેવટે, માત્ર સંખ્યાત્મક અપૂર્ણાંકોમાં સામાન્ય છેદ નથી), કે આ મુદ્દાને અલગથી અભ્યાસ કરવો વધુ સારું છે.

તો, ચાલો કહીએ કે આપણી પાસે વિવિધ છેદ સાથે બે અપૂર્ણાંક છે. અને અમે ખાતરી કરવા માંગીએ છીએ કે છેદ સમાન બની જાય. અપૂર્ણાંકની મૂળભૂત મિલકત બચાવમાં આવે છે, જે, હું તમને યાદ કરાવું છું, આના જેવું લાગે છે:

જો તેના અંશ અને છેદને શૂન્ય સિવાયની સમાન સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે તો અપૂર્ણાંક બદલાશે નહીં.

આમ, જો તમે પરિબળોને યોગ્ય રીતે પસંદ કરો છો, તો અપૂર્ણાંકના છેદ સમાન બનશે - આ પ્રક્રિયાને સામાન્ય છેદમાં ઘટાડો કહેવામાં આવે છે. અને જરૂરી સંખ્યાઓ, "સાંજે બહાર" છેદ, વધારાના પરિબળો કહેવાય છે.

શા માટે આપણે અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડવાની જરૂર છે? અહીં માત્ર થોડા કારણો છે:

વિવિધ છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી. આ ઓપરેશન કરવા માટે બીજો કોઈ રસ્તો નથી;
અપૂર્ણાંકની તુલના. કેટલીકવાર સામાન્ય છેદમાં ઘટાડો આ કાર્યને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવે છે;
અપૂર્ણાંક અને ટકાવારી સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ. ટકાવારી એ અનિવાર્યપણે સામાન્ય અભિવ્યક્તિઓ છે જેમાં અપૂર્ણાંક હોય છે.

સંખ્યાઓ શોધવાની ઘણી રીતો છે કે, જ્યારે તેમના દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે, ત્યારે તે અપૂર્ણાંકના છેદ સમાન બનાવે છે. અમે તેમાંથી ફક્ત ત્રણને જ ધ્યાનમાં લઈશું - વધતી જટિલતાના ક્રમમાં અને, એક અર્થમાં, અસરકારકતા.

ક્રિસ-ક્રોસ ગુણાકાર

સૌથી સરળ અને સૌથી વિશ્વસનીય પદ્ધતિ, જે છેદને સમાન કરવાની ખાતરી આપે છે. અમે "હેડલૉંગ રીતે" કાર્ય કરીશું: અમે પ્રથમ અપૂર્ણાંકને બીજા અપૂર્ણાંકના છેદ દ્વારા અને બીજાને પ્રથમના છેદ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ. પરિણામે, બંને અપૂર્ણાંકના છેદ મૂળ છેદના ઉત્પાદનના સમાન બનશે. જરા જોઈ લો:

વધારાના પરિબળો તરીકે, પડોશી અપૂર્ણાંકના છેદને ધ્યાનમાં લો. અમને મળે છે:

હા, તે એટલું સરળ છે. જો તમે હમણાં જ અપૂર્ણાંકોનો અભ્યાસ કરવાનું શરૂ કરી રહ્યાં છો, તો આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને કામ કરવું વધુ સારું છે - આ રીતે તમે ઘણી ભૂલો સામે તમારી જાતને વીમો આપશો અને પરિણામ મેળવવાની ખાતરી આપવામાં આવશે.

આ પદ્ધતિની એકમાત્ર ખામી એ છે કે તમારે ઘણી ગણતરી કરવી પડશે, કારણ કે છેદ "બધી રીતે" ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, અને પરિણામ ખૂબ મોટી સંખ્યામાં હોઈ શકે છે. વિશ્વસનીયતા માટે ચૂકવણી કરવાની આ કિંમત છે.

સામાન્ય વિભાજક પદ્ધતિ

આ તકનીક ગણતરીઓને નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડવામાં મદદ કરે છે, પરંતુ, કમનસીબે, તેનો ઉપયોગ ખૂબ જ ભાગ્યે જ થાય છે. પદ્ધતિ નીચે મુજબ છે.

તમે સીધા આગળ વધો તે પહેલાં (એટલે કે, ક્રિસ-ક્રોસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને), છેદ પર એક નજર નાખો. કદાચ તેમાંથી એક (જે મોટો છે) બીજામાં વહેંચાયેલો છે.
આ વિભાજનથી પરિણમેલી સંખ્યા નાના છેદ સાથેના અપૂર્ણાંક માટે વધારાનું પરિબળ હશે.
આ કિસ્સામાં, મોટા છેદ સાથેના અપૂર્ણાંકને કંઈપણ દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર નથી - આ તે છે જ્યાં બચત રહે છે. તે જ સમયે, ભૂલની સંભાવના તીવ્ર ઘટાડો થાય છે.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિઓનો અર્થ શોધો:

નોંધ કરો કે 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. બંને કિસ્સાઓમાં એક છેદને બીજા દ્વારા શેષ વિના વિભાજિત કરવામાં આવ્યો હોવાથી, અમે સામાન્ય પરિબળોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અમારી પાસે:

નોંધ કરો કે બીજા અપૂર્ણાંકને કંઈપણ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો ન હતો. હકીકતમાં, અમે ગણતરીની રકમ અડધામાં કાપી નાખીએ છીએ!

માર્ગ દ્વારા, મેં આ ઉદાહરણમાંના અપૂર્ણાંકોને તક દ્વારા લીધા નથી. જો તમને રસ હોય, તો ક્રિસ-ક્રોસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને તેમને ગણવાનો પ્રયાસ કરો. ઘટાડા પછી, જવાબો સમાન હશે, પરંતુ ત્યાં વધુ કામ હશે.

આ સામાન્ય વિભાજક પદ્ધતિની શક્તિ છે, પરંતુ, ફરીથી, તેનો ઉપયોગ ત્યારે જ થઈ શકે છે જ્યારે એક છેદ બાકીના વિના બીજા દ્વારા વિભાજ્ય હોય. જે ભાગ્યે જ બને છે.

ઓછામાં ઓછી સામાન્ય બહુવિધ પદ્ધતિ

જ્યારે આપણે અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદમાં ઘટાડીએ છીએ, ત્યારે આપણે આવશ્યકપણે એવી સંખ્યા શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ જે દરેક છેદ દ્વારા વિભાજ્ય હોય. પછી આપણે બંને અપૂર્ણાંકના છેદને આ સંખ્યામાં લાવીએ છીએ.

આવી ઘણી બધી સંખ્યાઓ છે, અને તેમાંથી સૌથી નાની મૂળ અપૂર્ણાંકના છેદના સીધા ઉત્પાદનની સમાન હોવી જરૂરી નથી, જેમ કે "ક્રીસ-ક્રોસ" પદ્ધતિમાં ધારવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, છેદ 8 અને 12 માટે, નંબર 24 તદ્દન યોગ્ય છે, કારણ કે 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. આ સંખ્યા ઉત્પાદન 8 · 12 = 96 કરતાં ઘણી ઓછી છે.

દરેક છેદ દ્વારા ભાગી શકાય તેવી સૌથી નાની સંખ્યાને તેમના લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM) કહેવામાં આવે છે.

નોંધ: a અને b નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક LCM(a ; b) તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24 .

જો તમે આવી સંખ્યા શોધવાનું મેનેજ કરો છો, તો ગણતરીની કુલ રકમ ન્યૂનતમ હશે. ઉદાહરણો જુઓ:

કાર્ય. અભિવ્યક્તિઓનો અર્થ શોધો:

નોંધ કરો કે 234 = 117 2; 351 = 117 3. પરિબળ 2 અને 3 કોપ્રાઈમ છે (1 કરતાં અન્ય કોઈ સામાન્ય પરિબળો નથી), અને પરિબળ 117 સામાન્ય છે. તેથી LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

તેવી જ રીતે, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. પરિબળ 3 અને 4 કોપ્રાઈમ છે, અને પરિબળ 5 સામાન્ય છે. તેથી LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

હવે ચાલો અપૂર્ણાંકોને સામાન્ય છેદ પર લાવીએ:

નોંધ કરો કે મૂળ છેદને પરિબળ બનાવવું કેટલું ઉપયોગી હતું:

સમાન પરિબળોની શોધ કર્યા પછી, અમે તરત જ ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંક પર પહોંચ્યા, જે સામાન્ય રીતે કહીએ તો, બિન-તુચ્છ સમસ્યા છે;
પરિણામી વિસ્તરણમાંથી તમે શોધી શકો છો કે દરેક અપૂર્ણાંકમાં કયા પરિબળો "ગુમ" છે. ઉદાહરણ તરીકે, 234 · 3 = 702, તેથી, પ્રથમ અપૂર્ણાંક માટે વધારાનો અવયવ 3 છે.

ઓછામાં ઓછી સામાન્ય બહુવિધ પદ્ધતિથી કેટલો તફાવત આવે છે તેની પ્રશંસા કરવા માટે, ક્રિસ-ક્રોસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ જ ઉદાહરણોની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરો. અલબત્ત, કેલ્ક્યુલેટર વિના. મને લાગે છે કે આ ટિપ્પણીઓ પછી બિનજરૂરી હશે.

એવું ન વિચારો કે વાસ્તવિક ઉદાહરણોમાં આવા જટિલ અપૂર્ણાંકો હશે નહીં. તેઓ બધા સમય મળે છે, અને ઉપરોક્ત કાર્યો મર્યાદા નથી!

એક જ સમસ્યા એ છે કે આ NOC કેવી રીતે મેળવવું. કેટલીકવાર બધું થોડી સેકંડમાં મળી આવે છે, શાબ્દિક રીતે "આંખ દ્વારા", પરંતુ સામાન્ય રીતે આ એક જટિલ કોમ્પ્યુટેશનલ કાર્ય છે જેને અલગ વિચારણાની જરૂર છે. અમે અહીં તેના પર સ્પર્શ કરીશું નહીં.

આ પાઠમાં આપણે અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડવાનું જોઈશું અને આ વિષય પરની સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરીશું. ચાલો સામાન્ય છેદ અને વધારાના પરિબળની વિભાવનાને વ્યાખ્યાયિત કરીએ, અને પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ વિશે યાદ રાખીએ. ચાલો સૌથી નીચા સામાન્ય છેદ (LCD) ની વિભાવનાને વ્યાખ્યાયિત કરીએ અને તેને શોધવા માટે ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરીએ.

વિષય: વિવિધ છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવી

પાઠ: અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડવું

પુનરાવર્તન. અપૂર્ણાંકની મુખ્ય મિલકત.

જો અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સમાન પ્રાકૃતિક સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરવામાં આવે, તો તમને સમાન અપૂર્ણાંક મળે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને 2 વડે ભાગી શકાય છે. આપણને અપૂર્ણાંક મળે છે. આ કામગીરીને અપૂર્ણાંક ઘટાડો કહેવામાં આવે છે. તમે અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને 2 વડે ગુણાકાર કરીને વિપરીત પરિવર્તન પણ કરી શકો છો. આ કિસ્સામાં, અમે કહીએ છીએ કે અમે અપૂર્ણાંકને નવા છેદમાં ઘટાડી દીધો છે. નંબર 2 ને અતિરિક્ત પરિબળ કહેવામાં આવે છે.

નિષ્કર્ષ.અપૂર્ણાંકને કોઈપણ છેદ સુધી ઘટાડી શકાય છે જે આપેલ અપૂર્ણાંકના છેદનો ગુણાંક છે. નવા છેદમાં અપૂર્ણાંક લાવવા માટે, તેના અંશ અને છેદને વધારાના અવયવ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.

1. અપૂર્ણાંકને છેદ 35 સુધી ઘટાડો.

સંખ્યા 35 એ 7 નો ગુણાંક છે, એટલે કે, 35 એ શેષ વિના 7 વડે વિભાજ્ય છે. આનો અર્થ એ છે કે આ પરિવર્તન શક્ય છે. ચાલો એક વધારાનું પરિબળ શોધીએ. આ કરવા માટે, 35 ને 7 વડે ભાગો. આપણને 5 મળે છે. મૂળ અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને 5 વડે ગુણાકાર કરો.

2. અપૂર્ણાંકને છેદ 18 સુધી ઘટાડો.

ચાલો એક વધારાનું પરિબળ શોધીએ. આ કરવા માટે, નવા છેદને મૂળ દ્વારા વિભાજીત કરો. આપણને 3 મળે છે. આ અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને 3 વડે ગુણાકાર કરીએ.

3. અપૂર્ણાંકને 60 ના છેદ સુધી ઘટાડવો.

60 ને 15 વડે ભાગવાથી એક વધારાનો અવયવ મળે છે. તે 4 ની બરાબર છે. અંશ અને છેદને 4 વડે ગુણાકાર કરો.

4. અપૂર્ણાંકને છેદ 24 સુધી ઘટાડો

સરળ કિસ્સાઓમાં, નવા સંપ્રદાયમાં ઘટાડો માનસિક રીતે કરવામાં આવે છે. કૌંસની પાછળના વધારાના પરિબળને મૂળ અપૂર્ણાંકની ઉપર સહેજ જમણી બાજુએ અને ઉપર દર્શાવવાનો રિવાજ છે.

અપૂર્ણાંકને 15 ના છેદ સુધી ઘટાડી શકાય છે અને અપૂર્ણાંકને 15 ના છેદ સુધી ઘટાડી શકાય છે. અપૂર્ણાંકમાં 15 નો સામાન્ય છેદ પણ હોય છે.

અપૂર્ણાંકનો સામાન્ય છેદ તેમના છેદનો કોઈપણ સામાન્ય ગુણાંક હોઈ શકે છે. સરળતા માટે, અપૂર્ણાંકને તેમના સૌથી નીચા સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડવામાં આવે છે. તે આપેલ અપૂર્ણાંકોના છેદના લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંકની બરાબર છે.

ઉદાહરણ. અપૂર્ણાંકના સૌથી નીચા સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડો અને .

પ્રથમ, ચાલો આ અપૂર્ણાંકોના છેદનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધીએ. આ સંખ્યા 12 છે. ચાલો પ્રથમ અને બીજા અપૂર્ણાંક માટે વધારાનું અવયવ શોધીએ. આ કરવા માટે, 12 ને 4 અને 6 વડે વિભાજિત કરો. ત્રણ એ પ્રથમ અપૂર્ણાંક માટે વધારાનું પરિબળ છે, અને બીજા માટે બે છે. ચાલો અપૂર્ણાંકને છેદ 12 પર લાવીએ.

અમે અપૂર્ણાંકોને સામાન્ય છેદ પર લાવ્યાં, એટલે કે, અમને સમાન છેદ ધરાવતા સમાન અપૂર્ણાંક મળ્યાં.

નિયમ.અપૂર્ણાંકને તેમના સૌથી નીચા સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડવા માટે, તમારે આવશ્યક છે

પ્રથમ, આ અપૂર્ણાંકોના છેદનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધો, તે તેમના લઘુત્તમ સામાન્ય છેદ હશે;

બીજું, આ અપૂર્ણાંકોના છેદ દ્વારા સૌથી નીચા સામાન્ય છેદને વિભાજિત કરો, એટલે કે દરેક અપૂર્ણાંક માટે વધારાનું પરિબળ શોધો.

ત્રીજું, દરેક અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને તેના વધારાના અવયવ વડે ગુણાકાર કરો.

a) અપૂર્ણાંકો અને સામાન્ય છેદમાં ઘટાડો.

સૌથી નીચો સામાન્ય છેદ 12 છે. પ્રથમ અપૂર્ણાંક માટે વધારાનું પરિબળ 4 છે, બીજા માટે - 3. આપણે અપૂર્ણાંકને છેદ 24 સુધી ઘટાડીએ છીએ.

b) અપૂર્ણાંકો અને સામાન્ય છેદમાં ઘટાડો.

સૌથી નીચો સામાન્ય છેદ 45 છે. 45 ને 9 વડે 15 વડે ભાગવાથી અનુક્રમે 5 અને 3 મળે છે.

c) અપૂર્ણાંકો અને સામાન્ય છેદમાં ઘટાડો.

સામાન્ય છેદ 24 છે. વધારાના પરિબળો અનુક્રમે 2 અને 3 છે.

કેટલીકવાર આપેલ અપૂર્ણાંકોના છેદના ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંકને મૌખિક રીતે શોધવાનું મુશ્કેલ બની શકે છે. પછી અવિભાજ્ય અવયવીકરણનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય છેદ અને વધારાના પરિબળો જોવા મળે છે.

અપૂર્ણાંકો અને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડો.

ચાલો 60 અને 168 નંબરોને અવિભાજ્ય અવયવોમાં પરિબળ કરીએ. ચાલો 60 નંબરનું વિસ્તરણ લખીએ અને બીજા વિસ્તરણમાંથી ખૂટતા પરિબળો 2 અને 7 ઉમેરીએ. ચાલો 60 ને 14 વડે ગુણાકાર કરીએ અને 840 નો સામાન્ય છેદ મેળવીએ. પ્રથમ અપૂર્ણાંક માટે વધારાનો અવયવ 14 છે. બીજા અપૂર્ણાંક માટે વધારાનો અવયવ 5 છે. ચાલો અપૂર્ણાંકોને 840 ના સામાન્ય છેદ પર લાવીએ.

ગ્રંથસૂચિ

1. વિલેન્કિન એન.યા., ઝોખોવ વી.આઈ., ચેસ્નોકોવ એ.એસ. અને અન્ય ગણિત 6. - M.: Mnemosyne, 2012.

2. મર્ઝલ્યાક એ.જી., પોલોન્સકી વી.વી., યાકીર એમ.એસ. ગણિત 6ઠ્ઠું ધોરણ. - જિમ્નેશિયમ, 2006.

3. ડેપમેન I.Ya., Vilenkin N.Ya. ગણિતના પાઠ્યપુસ્તકના પાના પાછળ. - જ્ઞાન, 1989.

4. રુરુકિન એ.એન., ચાઇકોવ્સ્કી આઇ.વી. ગ્રેડ 5-6 માટે ગણિતના અભ્યાસક્રમ માટે સોંપણીઓ. - ZSh MEPhI, 2011.

5. રુરુકિન એ.એન., સોચિલોવ એસ.વી., ચાઇકોવ્સ્કી કે.જી. ગણિત 5-6. MEPhI પત્રવ્યવહાર શાળામાં 6ઠ્ઠા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓ માટે માર્ગદર્શિકા. - ZSh MEPhI, 2011.

6. શેવરિન એલ.એન., જીન એ.જી., કોર્યાકોવ આઈ.ઓ. અને અન્ય ગણિત: માધ્યમિક શાળાના 5-6 ગ્રેડ માટે પાઠ્યપુસ્તક-ઇન્ટરલોક્યુટર. ગણિત શિક્ષકનું પુસ્તકાલય. - જ્ઞાન, 1989.

તમે કલમ 1.2 માં ઉલ્લેખિત પુસ્તકો ડાઉનલોડ કરી શકો છો. આ પાઠના.

ગૃહ કાર્ય

વિલેન્કિન એન.યા., ઝોખોવ વી.આઈ., ચેસ્નોકોવ એ.એસ. અને અન્ય ગણિત 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (લિંક જુઓ 1.2)

હોમવર્ક: નંબર 297, નંબર 298, નંબર 300.

અન્ય કાર્યો: નંબર 270, નંબર 290

ક્રિસ-ક્રોસ ગુણાકાર

સામાન્ય વિભાજક પદ્ધતિ

કાર્ય. અભિવ્યક્તિઓનો અર્થ શોધો:

ઓછામાં ઓછી સામાન્ય બહુવિધ પદ્ધતિથી કેટલો તફાવત આવે છે તેની પ્રશંસા કરવા માટે, ક્રિસ-ક્રોસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ જ ઉદાહરણોની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરો.

અપૂર્ણાંકનો સામાન્ય છેદ

અલબત્ત, કેલ્ક્યુલેટર વિના. મને લાગે છે કે આ ટિપ્પણીઓ પછી બિનજરૂરી હશે.

આ પણ જુઓ:

જો તેના અંશ અને છેદને શૂન્ય સિવાયની સમાન સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે તો અપૂર્ણાંક બદલાશે નહીં.

આમ, જો તમે પરિબળોને યોગ્ય રીતે પસંદ કરો છો, તો અપૂર્ણાંકના છેદ સમાન બનશે - આ પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે. અને જરૂરી સંખ્યાઓ, "સાંજે બહાર" છેદ, કહેવામાં આવે છે.

વિવિધ છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી. આ ઓપરેશન કરવા માટે બીજો કોઈ રસ્તો નથી;
અપૂર્ણાંકની તુલના. કેટલીકવાર સામાન્ય છેદમાં ઘટાડો આ કાર્યને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવે છે;
અપૂર્ણાંક અને ટકાવારી સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ. ટકાવારી એ અનિવાર્યપણે સામાન્ય અભિવ્યક્તિઓ છે જેમાં અપૂર્ણાંક હોય છે.

ક્રિસ-ક્રોસ ગુણાકાર

કાર્ય. અભિવ્યક્તિઓનો અર્થ શોધો:

વધારાના પરિબળો તરીકે, પડોશી અપૂર્ણાંકના છેદને ધ્યાનમાં લો. અમને મળે છે:

સામાન્ય વિભાજક પદ્ધતિ

તમે સીધા આગળ વધો તે પહેલાં (એટલે કે, ક્રિસ-ક્રોસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને), છેદ પર એક નજર નાખો. કદાચ તેમાંથી એક (જે મોટો છે) બીજામાં વહેંચાયેલો છે.
આ વિભાજનથી પરિણમેલી સંખ્યા નાના છેદ સાથેના અપૂર્ણાંક માટે વધારાનું પરિબળ હશે.
આ કિસ્સામાં, મોટા છેદ સાથેના અપૂર્ણાંકને કંઈપણ દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર નથી - આ તે છે જ્યાં બચત રહે છે. તે જ સમયે, ભૂલની સંભાવના તીવ્ર ઘટાડો થાય છે.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિઓનો અર્થ શોધો:

નોંધ કરો કે 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. બંને કિસ્સાઓમાં એક છેદને બીજા દ્વારા શેષ વિના વિભાજિત કરવામાં આવતો હોવાથી, અમે સામાન્ય અવયવોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અમારી પાસે:

ઓછામાં ઓછી સામાન્ય બહુવિધ પદ્ધતિ

ઉદાહરણ તરીકે, છેદ 8 અને 12 માટે, નંબર 24 તદ્દન યોગ્ય છે, કારણ કે 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. આ સંખ્યા ઉત્પાદન 8 12 = 96 કરતા ઘણી ઓછી છે.

દરેક છેદ દ્વારા ભાગી શકાય તેવી સૌથી નાની સંખ્યાને તેમની (LCM) કહેવામાં આવે છે.

નોંધ: a અને b નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક LCM(a; b) તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

સૌથી નીચો સામાન્ય છેદ કેવી રીતે શોધવો

અભિવ્યક્તિઓનો અર્થ શોધો:

નોંધ કરો કે 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. પરિબળ 2 અને 3 કોપ્રાઈમ છે (1 સિવાય કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી), અને પરિબળ 117 સામાન્ય છે. તેથી LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

હવે ચાલો અપૂર્ણાંકોને સામાન્ય છેદ પર લાવીએ:

નોંધ કરો કે મૂળ છેદને પરિબળ બનાવવું કેટલું ઉપયોગી હતું:

સમાન પરિબળોની શોધ કર્યા પછી, અમે તરત જ ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંક પર પહોંચ્યા, જે સામાન્ય રીતે કહીએ તો, બિન-તુચ્છ સમસ્યા છે;
પરિણામી વિસ્તરણમાંથી તમે શોધી શકો છો કે દરેક અપૂર્ણાંકમાં કયા પરિબળો "ગુમ" છે. ઉદાહરણ તરીકે, 234 · 3 = 702, તેથી, પ્રથમ અપૂર્ણાંક માટે વધારાનો અવયવ 3 છે.

આ પણ જુઓ:

અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડીને

શા માટે આપણે અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડવાની જરૂર છે?

સામાન્ય છેદ, ખ્યાલ અને વ્યાખ્યા.

અહીં માત્ર થોડા કારણો છે:

વિવિધ છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી. આ ઓપરેશન કરવા માટે બીજો કોઈ રસ્તો નથી;
અપૂર્ણાંકની તુલના. કેટલીકવાર સામાન્ય છેદમાં ઘટાડો આ કાર્યને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવે છે;
અપૂર્ણાંક અને ટકાવારી સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ. ટકાવારી એ અનિવાર્યપણે સામાન્ય અભિવ્યક્તિઓ છે જેમાં અપૂર્ણાંક હોય છે.

ક્રિસ-ક્રોસ ગુણાકાર

કાર્ય. અભિવ્યક્તિઓનો અર્થ શોધો:

વધારાના પરિબળો તરીકે, પડોશી અપૂર્ણાંકના છેદને ધ્યાનમાં લો. અમને મળે છે:

સામાન્ય વિભાજક પદ્ધતિ

તમે સીધા આગળ વધો તે પહેલાં (એટલે કે, ક્રિસ-ક્રોસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને), છેદ પર એક નજર નાખો. કદાચ તેમાંથી એક (જે મોટો છે) બીજામાં વહેંચાયેલો છે.
આ વિભાજનથી પરિણમેલી સંખ્યા નાના છેદ સાથેના અપૂર્ણાંક માટે વધારાનું પરિબળ હશે.
આ કિસ્સામાં, મોટા છેદ સાથેના અપૂર્ણાંકને કંઈપણ દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર નથી - આ તે છે જ્યાં બચત રહે છે. તે જ સમયે, ભૂલની સંભાવના તીવ્ર ઘટાડો થાય છે.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિઓનો અર્થ શોધો:

ઓછામાં ઓછી સામાન્ય બહુવિધ પદ્ધતિ

દરેક છેદ દ્વારા ભાગી શકાય તેવી સૌથી નાની સંખ્યાને તેમની (LCM) કહેવામાં આવે છે.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિઓનો અર્થ શોધો:

હવે ચાલો અપૂર્ણાંકોને સામાન્ય છેદ પર લાવીએ:

નોંધ કરો કે મૂળ છેદને પરિબળ બનાવવું કેટલું ઉપયોગી હતું:

સમાન પરિબળોની શોધ કર્યા પછી, અમે તરત જ ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંક પર પહોંચ્યા, જે સામાન્ય રીતે કહીએ તો, બિન-તુચ્છ સમસ્યા છે;
પરિણામી વિસ્તરણમાંથી તમે શોધી શકો છો કે દરેક અપૂર્ણાંકમાં કયા પરિબળો "ગુમ" છે. ઉદાહરણ તરીકે, 234 · 3 = 702, તેથી, પ્રથમ અપૂર્ણાંક માટે વધારાનો અવયવ 3 છે.

આ પણ જુઓ:

અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડીને

વિવિધ છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી. આ ઓપરેશન કરવા માટે બીજો કોઈ રસ્તો નથી;
અપૂર્ણાંકની તુલના. કેટલીકવાર સામાન્ય છેદમાં ઘટાડો આ કાર્યને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવે છે;
અપૂર્ણાંક અને ટકાવારી સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ. ટકાવારી એ અનિવાર્યપણે સામાન્ય અભિવ્યક્તિઓ છે જેમાં અપૂર્ણાંક હોય છે.

ક્રિસ-ક્રોસ ગુણાકાર

જરા જોઈ લો:

કાર્ય. અભિવ્યક્તિઓનો અર્થ શોધો:

વધારાના પરિબળો તરીકે, પડોશી અપૂર્ણાંકના છેદને ધ્યાનમાં લો. અમને મળે છે:

સામાન્ય વિભાજક પદ્ધતિ

તમે સીધા આગળ વધો તે પહેલાં (એટલે કે, ક્રિસ-ક્રોસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને), છેદ પર એક નજર નાખો. કદાચ તેમાંથી એક (જે મોટો છે) બીજામાં વહેંચાયેલો છે.
આ વિભાજનથી પરિણમેલી સંખ્યા નાના છેદ સાથેના અપૂર્ણાંક માટે વધારાનું પરિબળ હશે.
આ કિસ્સામાં, મોટા છેદ સાથેના અપૂર્ણાંકને કંઈપણ દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર નથી - આ તે છે જ્યાં બચત રહે છે. તે જ સમયે, ભૂલની સંભાવના તીવ્ર ઘટાડો થાય છે.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિઓનો અર્થ શોધો:

ઓછામાં ઓછી સામાન્ય બહુવિધ પદ્ધતિ

દરેક છેદ દ્વારા ભાગી શકાય તેવી સૌથી નાની સંખ્યાને તેમની (LCM) કહેવામાં આવે છે.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિઓનો અર્થ શોધો:

હવે ચાલો અપૂર્ણાંકોને સામાન્ય છેદ પર લાવીએ:

નોંધ કરો કે મૂળ છેદને પરિબળ બનાવવું કેટલું ઉપયોગી હતું:

સમાન પરિબળોની શોધ કર્યા પછી, અમે તરત જ ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંક પર પહોંચ્યા, જે સામાન્ય રીતે કહીએ તો, બિન-તુચ્છ સમસ્યા છે;
પરિણામી વિસ્તરણમાંથી તમે શોધી શકો છો કે દરેક અપૂર્ણાંકમાં કયા પરિબળો "ગુમ" છે. ઉદાહરણ તરીકે, 234 · 3 = 702, તેથી, પ્રથમ અપૂર્ણાંક માટે વધારાનો અવયવ 3 છે.

આ પણ જુઓ:

અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડીને

વિવિધ છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી. આ ઓપરેશન કરવા માટે બીજો કોઈ રસ્તો નથી;
અપૂર્ણાંકની તુલના. કેટલીકવાર સામાન્ય છેદમાં ઘટાડો આ કાર્યને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવે છે;
અપૂર્ણાંક અને ટકાવારી સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ. ટકાવારી એ અનિવાર્યપણે સામાન્ય અભિવ્યક્તિઓ છે જેમાં અપૂર્ણાંક હોય છે.

ક્રિસ-ક્રોસ ગુણાકાર

કાર્ય. અભિવ્યક્તિઓનો અર્થ શોધો:

વધારાના પરિબળો તરીકે, પડોશી અપૂર્ણાંકના છેદને ધ્યાનમાં લો. અમને મળે છે:

આ પદ્ધતિની એકમાત્ર ખામી એ છે કે તમારે ઘણી ગણતરી કરવી પડશે, કારણ કે છેદ "બધી રીતે" ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, અને પરિણામ ખૂબ મોટી સંખ્યામાં હોઈ શકે છે.

અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડીને

વિશ્વસનીયતા માટે ચૂકવણી કરવાની આ કિંમત છે.

સામાન્ય વિભાજક પદ્ધતિ

તમે સીધા આગળ વધો તે પહેલાં (એટલે કે, ક્રિસ-ક્રોસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને), છેદ પર એક નજર નાખો. કદાચ તેમાંથી એક (જે મોટો છે) બીજામાં વહેંચાયેલો છે.
આ વિભાજનથી પરિણમેલી સંખ્યા નાના છેદ સાથેના અપૂર્ણાંક માટે વધારાનું પરિબળ હશે.
આ કિસ્સામાં, મોટા છેદ સાથેના અપૂર્ણાંકને કંઈપણ દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર નથી - આ તે છે જ્યાં બચત રહે છે. તે જ સમયે, ભૂલની સંભાવના તીવ્ર ઘટાડો થાય છે.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિઓનો અર્થ શોધો:

ઓછામાં ઓછી સામાન્ય બહુવિધ પદ્ધતિ

દરેક છેદ દ્વારા ભાગી શકાય તેવી સૌથી નાની સંખ્યાને તેમની (LCM) કહેવામાં આવે છે.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિઓનો અર્થ શોધો:

હવે ચાલો અપૂર્ણાંકોને સામાન્ય છેદ પર લાવીએ:

નોંધ કરો કે મૂળ છેદને પરિબળ બનાવવું કેટલું ઉપયોગી હતું:

સમાન પરિબળોની શોધ કર્યા પછી, અમે તરત જ ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંક પર પહોંચ્યા, જે સામાન્ય રીતે કહીએ તો, બિન-તુચ્છ સમસ્યા છે;
પરિણામી વિસ્તરણમાંથી તમે શોધી શકો છો કે દરેક અપૂર્ણાંકમાં કયા પરિબળો "ગુમ" છે. ઉદાહરણ તરીકે, 234 · 3 = 702, તેથી, પ્રથમ અપૂર્ણાંક માટે વધારાનો અવયવ 3 છે.

બીજગણિત અપૂર્ણાંકો સાથેની મોટાભાગની ક્રિયાઓ, જેમ કે સરવાળો અને બાદબાકી માટે, પહેલા આ અપૂર્ણાંકને સમાન છેદમાં ઘટાડવાની જરૂર પડે છે. આવા છેદને ઘણીવાર "સામાન્ય છેદ" તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. આ વિષયમાં, આપણે "બીજગણિત અપૂર્ણાંકનો સામાન્ય છેદ" અને "બીજગણિત અપૂર્ણાંકનો ઓછામાં ઓછો સામાન્ય છેદ (LCD)" વિભાવનાઓની વ્યાખ્યા જોઈશું, બિંદુ દ્વારા સામાન્ય છેદ શોધવા માટેના અલ્ગોરિધમનો વિચાર કરીશું અને ઘણી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરીશું. વિષય

Yandex.RTB R-A-339285-1

બીજગણિત અપૂર્ણાંકનો સામાન્ય છેદ

જો આપણે સામાન્ય અપૂર્ણાંકો વિશે વાત કરીએ, તો સામાન્ય છેદ એ એવી સંખ્યા છે જે મૂળ અપૂર્ણાંકના કોઈપણ છેદ દ્વારા વિભાજ્ય છે. સામાન્ય અપૂર્ણાંક માટે 1 2 અને 5 9 સંખ્યા 36 એ સામાન્ય છેદ હોઈ શકે છે, કારણ કે તે શેષ વિના 2 અને 9 વડે વિભાજ્ય છે.

બીજગણિતીય અપૂર્ણાંકનો સામાન્ય છેદ એ જ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે, સંખ્યાઓને બદલે માત્ર બહુપદીનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, કારણ કે તે બીજગણિતીય અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ છે.

વ્યાખ્યા 1

બીજગણિત અપૂર્ણાંકનો સામાન્ય છેદબહુપદી છે જે કોઈપણ અપૂર્ણાંકના છેદ દ્વારા વિભાજ્ય છે.

બીજગણિત અપૂર્ણાંકની વિશિષ્ટતાઓને લીધે, જેની નીચે ચર્ચા કરવામાં આવશે, અમે ઘણીવાર પ્રમાણભૂત બહુપદી તરીકે નહીં પણ ઉત્પાદન તરીકે રજૂ થતા સામાન્ય છેદ સાથે વ્યવહાર કરીશું.

ઉદાહરણ 1

ઉત્પાદન તરીકે બહુપદી લખાયેલ છે 3 x 2 (x + 1), પ્રમાણભૂત સ્વરૂપના બહુપદીને અનુલક્ષે છે 3 x 3 + 3 x 2. આ બહુપદી એ બીજગણિતીય અપૂર્ણાંક 2 x, - 3 x y x 2 અને y + 3 x + 1 નો સામાન્ય છેદ હોઈ શકે છે, કારણ કે તે વડે વિભાજ્ય છે. x, ચાલુ x 2અને x+1. બહુપદીની વિભાજ્યતા પરની માહિતી અમારા સંસાધનના અનુરૂપ વિષયમાં ઉપલબ્ધ છે.

લઘુત્તમ સામાન્ય છેદ (LCD)

આપેલ બીજગણિત અપૂર્ણાંક માટે, સામાન્ય છેદની સંખ્યા અનંત હોઈ શકે છે.

ઉદાહરણ 2

ચાલો ઉદાહરણ તરીકે અપૂર્ણાંક 1 2 x અને x + 1 x 2 + 3 લઈએ. તેમનો સામાન્ય છેદ છે 2 x (x 2 + 3), જેમ − 2 x (x 2 + 3), જેમ x (x 2 + 3), જેમ 6, 4 x (x 2 + 3) (y + 4), જેમ − 31 x 5 (x 2 + 3) 3, અને તેથી વધુ.

સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, તમે સામાન્ય છેદનો ઉપયોગ કરીને તમારા કાર્યને સરળ બનાવી શકો છો, જે છેદના સમગ્ર સમૂહમાં સૌથી સરળ સ્વરૂપ ધરાવે છે. આ છેદને ઘણીવાર સૌથી નીચો સામાન્ય છેદ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 2

બીજગણિત અપૂર્ણાંકનો સૌથી ઓછો સામાન્ય છેદબીજગણિતીય અપૂર્ણાંકનો સામાન્ય છેદ છે, જેનું સ્વરૂપ સૌથી સરળ છે.

માર્ગ દ્વારા, "સૌથી નીચો સામાન્ય છેદ" શબ્દ સામાન્ય રીતે સ્વીકારવામાં આવતો નથી, તેથી "સામાન્ય છેદ" શબ્દ સુધી પોતાને મર્યાદિત કરવું વધુ સારું છે. અને તેથી જ.

અગાઉ અમે તમારું ધ્યાન "સૌથી સરળ પ્રકારનો છેદ" વાક્ય પર કેન્દ્રિત કર્યું હતું. આ વાક્યનો મુખ્ય અર્થ નીચે મુજબ છે: બીજગણિત અપૂર્ણાંકની સમસ્યાની સ્થિતિમાં ડેટાના કોઈપણ અન્ય સામાન્ય છેદને બાકી રાખ્યા વિના સરળ સ્વરૂપના છેદને વિભાજિત કરવું આવશ્યક છે. આ કિસ્સામાં, ઉત્પાદનમાં, જે અપૂર્ણાંકનો સામાન્ય છેદ છે, વિવિધ સંખ્યાત્મક ગુણાંકનો ઉપયોગ કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ 3

ચાલો અપૂર્ણાંક 1 2 · x અને x + 1 x 2 + 3 લઈએ. અમને પહેલેથી જ જાણવા મળ્યું છે કે ફોર્મ 2 · x · (x 2 + 3) ના સામાન્ય છેદ સાથે કામ કરવું અમારા માટે સૌથી સરળ રહેશે. ઉપરાંત, આ બે અપૂર્ણાંક માટે સામાન્ય છેદ હોઈ શકે છે x (x 2 + 3), જેમાં આંકડાકીય ગુણાંક નથી. પ્રશ્ન એ છે કે આ બે સામાન્ય છેદમાંથી કયો અપૂર્ણાંકનો સૌથી ઓછો સામાન્ય છેદ ગણવામાં આવે છે. ત્યાં કોઈ ચોક્કસ જવાબ નથી, તેથી સામાન્ય છેદ વિશે વાત કરવી વધુ યોગ્ય છે, અને તે વિકલ્પ સાથે કામ કરવું જે કામ કરવા માટે સૌથી અનુકૂળ હશે. તેથી, આપણે આવા સામાન્ય છેદનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ x 2 (x 2 + 3) (y + y 4)અથવા − 15 x 5 (x 2 + 3) 3, જે વધુ જટિલ દેખાવ ધરાવે છે, પરંતુ તેમની સાથે ક્રિયાઓ કરવી વધુ મુશ્કેલ હોઈ શકે છે.

બીજગણિત અપૂર્ણાંકનો સામાન્ય છેદ શોધવો: ક્રિયાઓનો અલ્ગોરિધમ

ધારો કે આપણી પાસે ઘણા બીજગણિત અપૂર્ણાંક છે જેના માટે આપણે એક સામાન્ય છેદ શોધવાની જરૂર છે. આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે આપણે નીચેની ક્રિયાઓના અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. પ્રથમ આપણે મૂળ અપૂર્ણાંકોના છેદને પરિબળ કરવાની જરૂર છે. પછી અમે એક કાર્ય કંપોઝ કરીએ છીએ જેમાં અમે અનુક્રમે શામેલ કરીએ છીએ:

સત્તાઓ સાથે પ્રથમ અપૂર્ણાંકના છેદના તમામ પરિબળો;
બીજા અપૂર્ણાંકના છેદમાં હાજર તમામ પરિબળો, પરંતુ જે લેખિત ઉત્પાદનમાં નથી અથવા તેમની ડિગ્રી અપૂરતી છે;
ત્રીજા અપૂર્ણાંકના છેદમાંથી તમામ ખૂટતા પરિબળો, વગેરે.

પરિણામી ઉત્પાદન બીજગણિત અપૂર્ણાંકનો સામાન્ય છેદ હશે.

ઉત્પાદનના પરિબળ તરીકે, આપણે સમસ્યા નિવેદનમાં આપેલા અપૂર્ણાંકના તમામ છેદ લઈ શકીએ છીએ. જો કે, અંતે આપણને જે ગુણક મળશે તે અર્થમાં NCDથી દૂર હશે અને તેનો ઉપયોગ અતાર્કિક હશે.

ઉદાહરણ 4

અપૂર્ણાંક 1 x 2 y, 5 x + 1 અને y - 3 x 5 y નો સામાન્ય છેદ નક્કી કરો.

ઉકેલ

આ કિસ્સામાં, આપણે મૂળ અપૂર્ણાંકોના છેદને પરિબળ કરવાની જરૂર નથી. તેથી, અમે કાર્ય કંપોઝ કરીને એલ્ગોરિધમ લાગુ કરવાનું શરૂ કરીશું.

પ્રથમ અપૂર્ણાંકના છેદમાંથી આપણે ગુણક લઈએ છીએ x 2 y, બીજા અપૂર્ણાંકના છેદમાંથી ગુણક x+1. અમે ઉત્પાદન મેળવીએ છીએ x 2 y (x + 1).

ત્રીજા અપૂર્ણાંકનો છેદ આપણને ગુણક આપી શકે છે x 5 yજો કે, અમે અગાઉ કમ્પાઈલ કરેલ ઉત્પાદનમાં પહેલાથી જ પરિબળો છે x 2અને y. તેથી, અમે વધુ ઉમેરીએ છીએ x 5 − 2 = x 3. અમે ઉત્પાદન મેળવીએ છીએ x 2 y (x + 1) x 3, જે ફોર્મમાં ઘટાડી શકાય છે x 5 y (x + 1). આ બીજગણિત અપૂર્ણાંકનો આપણો NOZ હશે.

જવાબ: x 5 · y · (x + 1) .

હવે ચાલો સમસ્યાઓના ઉદાહરણો જોઈએ જ્યાં બીજગણિત અપૂર્ણાંકના છેદ પૂર્ણાંક સંખ્યાત્મક પરિબળો ધરાવે છે. આવા કિસ્સાઓમાં, અમે અલ્ગોરિધમને પણ અનુસરીએ છીએ, અગાઉ પૂર્ણાંક સંખ્યાત્મક પરિબળોને સરળ પરિબળોમાં વિઘટિત કર્યા હતા.

ઉદાહરણ 5

અપૂર્ણાંક 1 12 x અને 1 90 x 2 નો સામાન્ય છેદ શોધો.

ઉકેલ

અપૂર્ણાંકના છેદમાં સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય અવયવોમાં વિભાજીત કરવાથી, આપણને 1 2 2 3 x અને 1 2 3 2 5 x 2 મળે છે. હવે આપણે સામાન્ય છેદનું સંકલન કરવા આગળ વધી શકીએ છીએ. આ કરવા માટે, પ્રથમ અપૂર્ણાંકના છેદમાંથી આપણે ઉત્પાદન લઈએ છીએ 2 2 3 xઅને તેમાં પરિબળ 3, 5 અને ઉમેરો xબીજા અપૂર્ણાંકના છેદમાંથી. અમને મળે છે 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2. આ આપણો સામાન્ય સંપ્રદાય છે.

જવાબ: 180 x 2.

જો તમે વિશ્લેષણ કરેલા બે ઉદાહરણોના પરિણામોને નજીકથી જોશો, તો તમે જોશો કે અપૂર્ણાંકના સામાન્ય છેદમાં છેદના વિસ્તરણમાં હાજર તમામ પરિબળો હોય છે, અને જો કોઈ ચોક્કસ પરિબળ કેટલાક છેદમાં હાજર હોય, તો તે લેવામાં આવે છે. ઉપલબ્ધ સૌથી મોટા ઘાતાંક સાથે. અને જો છેદમાં પૂર્ણાંક ગુણાંક હોય, તો સામાન્ય છેદમાં આ સંખ્યાત્મક ગુણાંકના ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંક સમાન સંખ્યાત્મક પરિબળ હોય છે.

ઉદાહરણ 6

બંને બીજગણિત અપૂર્ણાંક 1 12 x અને 1 90 x 2 ના છેદ એક અવયવ ધરાવે છે x. બીજા કિસ્સામાં, અવયવ x નો વર્ગ છે. સામાન્ય છેદ બનાવવા માટે, આપણે આ પરિબળને સૌથી વધુ હદ સુધી લેવાની જરૂર છે, એટલે કે. x 2. ચલ સાથે અન્ય કોઈ ગુણક નથી. મૂળ અપૂર્ણાંકના પૂર્ણાંક સંખ્યાત્મક ગુણાંક 12 અને 90 , અને તેમનો ઓછામાં ઓછો સામાન્ય ગુણાંક છે 180 . તે તારણ આપે છે કે ઇચ્છિત સામાન્ય છેદનું સ્વરૂપ છે 180 x 2.

હવે આપણે બીજગણિત અપૂર્ણાંકના સામાન્ય અવયવને શોધવા માટે અન્ય અલ્ગોરિધમ લખી શકીએ છીએ. આ માટે અમે:

તમામ અપૂર્ણાંકોના છેદનું પરિબળ;
અમે બધા અક્ષર પરિબળોનું ઉત્પાદન કંપોઝ કરીએ છીએ (જો ઘણા વિસ્તરણમાં કોઈ પરિબળ હોય, તો અમે સૌથી મોટા ઘાતાંક સાથે વિકલ્પ લઈએ છીએ);
અમે પરિણામી ઉત્પાદનમાં વિસ્તરણના સંખ્યાત્મક ગુણાંકનો LCM ઉમેરીએ છીએ.

આપેલ અલ્ગોરિધમ્સ સમકક્ષ છે, તેથી તેમાંથી કોઈપણનો ઉપયોગ સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે થઈ શકે છે. વિગતો પર ધ્યાન આપવું મહત્વપૂર્ણ છે.

એવા કિસ્સાઓ છે જ્યારે અપૂર્ણાંકના છેદમાં સામાન્ય પરિબળો સંખ્યાત્મક ગુણાંક પાછળ અદ્રશ્ય હોઈ શકે છે. અહીં પ્રથમ છેદમાં હાજર દરેક પરિબળોમાં કૌંસની બહાર ચલોની ઉચ્ચ શક્તિઓ પર સંખ્યાત્મક ગુણાંક મૂકવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 7

3 5 - x અને 5 - x · y 2 2 · x - 10 અપૂર્ણાંક કયા સામાન્ય છેદ ધરાવે છે?

ઉકેલ

પ્રથમ કિસ્સામાં, માઈનસ વનને કૌંસમાંથી બહાર કાઢવો આવશ્યક છે. આપણને 3 - x - 5 મળે છે. છેદમાં બાદબાકીમાંથી છૂટકારો મેળવવા માટે આપણે અંશ અને છેદને - 1 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ: - 3 x - 5.

બીજા કિસ્સામાં, અમે બેને કૌંસની બહાર મૂકીએ છીએ. આ આપણને અપૂર્ણાંક 5 - x · y 2 2 · x - 5 મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે.

તે સ્પષ્ટ છે કે આ બીજગણિત અપૂર્ણાંકનો સામાન્ય છેદ - 3 x - 5 અને 5 - x · y 2 2 · x - 5 છે 2 (x − 5).

જવાબ:2 (x − 5).

અપૂર્ણાંક સમસ્યાની સ્થિતિમાં ડેટામાં અપૂર્ણાંક ગુણાંક હોઈ શકે છે. આ કિસ્સાઓમાં, તમારે પ્રથમ ચોક્કસ સંખ્યા દ્વારા અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરીને અપૂર્ણાંક ગુણાંકમાંથી છુટકારો મેળવવો જોઈએ.

ઉદાહરણ 8

બીજગણિત અપૂર્ણાંક 1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 અને - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 ને સરળ બનાવો અને પછી તેમનો સામાન્ય છેદ નક્કી કરો.

ઉકેલ

ચાલો પ્રથમ કિસ્સામાં અંશ અને છેદને 14 વડે, બીજા કિસ્સામાં 3 વડે ગુણાકાર કરીને અપૂર્ણાંક ગુણાંકમાંથી છુટકારો મેળવીએ. અમને મળે છે:

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 અને - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .

પરિવર્તનો પછી, તે સ્પષ્ટ થાય છે કે સામાન્ય છેદ છે 2 (x 2 + 2).

જવાબ: 2 (x 2 + 2).

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો