વિચલનનું વિશ્લેષણ અંદાજ લગાવવાનું શક્ય બનાવે છે. વિભિન્નતાનું વિશ્લેષણ

વિભિન્નતાનું વિશ્લેષણ શેના માટે વપરાય છે? વિભિન્નતાના પૃથ્થકરણનો હેતુ અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલા પરિણામી લાક્ષણિકતામાં ફેરફારો પર કોઈપણ ગુણાત્મક અથવા માત્રાત્મક પરિબળના નોંધપાત્ર પ્રભાવની હાજરી અથવા ગેરહાજરીનો અભ્યાસ કરવાનો છે. આ કરવા માટે, એક પરિબળ કે જેની નોંધપાત્ર અસર હોવાનું માનવામાં આવે છે અથવા ન હોય તેને ક્રમાંકન વર્ગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે (બીજા શબ્દોમાં, જૂથો) અને તે નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે કે માધ્યમો વચ્ચેના મહત્વની તપાસ કરીને પરિબળનો પ્રભાવ સમાન છે કે કેમ. પરિબળના ગ્રેડેશનને અનુરૂપ ડેટા સેટમાં. ઉદાહરણો: વપરાયેલ કાચા માલના પ્રકાર પર એન્ટરપ્રાઇઝના નફાની અવલંબનનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે (પછી ગ્રેડેશન વર્ગો કાચા માલના પ્રકારો છે), એન્ટરપ્રાઇઝના વિભાગના કદ પર ઉત્પાદનના એકમ દીઠ ઉત્પાદનના ખર્ચની અવલંબન (પછી ગ્રેડેશન વર્ગો એ વિભાગના કદની લાક્ષણિકતાઓ છે: મોટા, મધ્યમ, નાના).

ગ્રેડેશન વર્ગો (જૂથો)ની ન્યૂનતમ સંખ્યા બે છે. સ્નાતક વર્ગો ગુણાત્મક અથવા માત્રાત્મક હોઈ શકે છે.

વિભિન્નતાનું વિશ્લેષણ શા માટે વિચલન વિશ્લેષણ કહેવાય છે? ભિન્નતાનું વિશ્લેષણ બે ભિન્નતા વચ્ચેના સંબંધની તપાસ કરે છે. વિક્ષેપ, જેમ આપણે જાણીએ છીએ, સરેરાશ મૂલ્યની આસપાસના ડેટાના વિક્ષેપની લાક્ષણિકતા છે. પ્રથમ એ પરિબળના પ્રભાવ દ્વારા સમજાવાયેલ વિક્ષેપ છે, જે તમામ ડેટાની સરેરાશની આસપાસ પરિબળ (જૂથો) ના ક્રમાંકન વચ્ચેના મૂલ્યોના વિક્ષેપને લાક્ષણિકતા આપે છે. બીજું અસ્પષ્ટ તફાવત છે, જે જૂથોના સરેરાશ મૂલ્યોની આસપાસ ગ્રેડેશન (જૂથો) ની અંદર ડેટાના વિક્ષેપને લાક્ષણિકતા આપે છે. પ્રથમ ભિન્નતાને જૂથો વચ્ચે અને બીજાને જૂથોની અંદર કહી શકાય. આ ભિન્નતાના ગુણોત્તરને વાસ્તવિક ફિશર રેશિયો કહેવામાં આવે છે અને તેની ફિશર રેશિયોના નિર્ણાયક મૂલ્ય સાથે સરખામણી કરવામાં આવે છે. જો વાસ્તવિક ફિશર ગુણોત્તર નિર્ણાયક કરતા વધારે હોય, તો ગ્રેડેશન વર્ગોની સરેરાશ એકબીજાથી અલગ પડે છે અને અભ્યાસ હેઠળનું પરિબળ ડેટામાં ફેરફારને નોંધપાત્ર રીતે પ્રભાવિત કરે છે. જો તે ઓછું હોય, તો સરેરાશ ગ્રેડેશન વર્ગો એકબીજાથી અલગ નથી અને પરિબળનો નોંધપાત્ર પ્રભાવ નથી.

ANOVA માં પૂર્વધારણાઓ કેવી રીતે ઘડવામાં આવે છે, સ્વીકારવામાં આવે છે અને નકારવામાં આવે છે? ભિન્નતાના વિશ્લેષણમાં, એક અથવા વધુ પરિબળોની કુલ અસરનું ચોક્કસ વજન નક્કી કરવામાં આવે છે. પરિબળના પ્રભાવનું મહત્વ પરીક્ષણ પૂર્વધારણાઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

• એચ0 : μ 1 = μ 2 = ... = μ a, ક્યાં a- ગ્રેડેશન વર્ગોની સંખ્યા - તમામ ગ્રેડેશન વર્ગો સમાન સરેરાશ મૂલ્ય ધરાવે છે,
• એચ1 : બધા નહિ μ iસમાન - તમામ ગ્રેડેશન વર્ગો સમાન સરેરાશ મૂલ્ય ધરાવતા નથી.

જો પરિબળનો પ્રભાવ નોંધપાત્ર ન હોય, તો પછી આ પરિબળના વર્ગીકરણ વર્ગો વચ્ચેનો તફાવત પણ નજીવો છે અને તફાવતના વિશ્લેષણ દરમિયાન નલ પૂર્વધારણા એચ0 નામંજૂર નથી. જો પરિબળનો પ્રભાવ નોંધપાત્ર છે, તો પછી નલ પૂર્વધારણા એચ0 નામંજૂર: તમામ ગ્રેડેશન વર્ગોનું સરેરાશ મૂલ્ય સમાન હોતું નથી, એટલે કે, ગ્રેડેશન વર્ગો વચ્ચેના સંભવિત તફાવતો પૈકી, એક અથવા વધુ નોંધપાત્ર છે.

વિભિન્નતા વિશ્લેષણના કેટલાક વધુ ખ્યાલો. વિચલન વિશ્લેષણમાં આંકડાકીય સંકુલ એ પ્રયોગમૂલક માહિતીનું કોષ્ટક છે. જો ગ્રેડેશનના તમામ વર્ગોમાં સમાન સંખ્યામાં વિકલ્પો હોય, તો આંકડાકીય સંકુલને સજાતીય (સમાન્ય) કહેવામાં આવે છે, જો વિકલ્પોની સંખ્યા અલગ હોય તો - વિજાતીય (વિજાતીય).

મૂલ્યાંકન કરવામાં આવતા પરિબળોની સંખ્યાના આધારે, વિભિન્નતાના એક-પરિબળ, બે-પરિબળ અને મલ્ટિફેક્ટર વિશ્લેષણને અલગ પાડવામાં આવે છે.

વિભિન્નતાનું એક-પરિબળ વિશ્લેષણ: પદ્ધતિનો સાર, સૂત્રો, ઉદાહરણો

પદ્ધતિનો સાર, સૂત્ર

એ હકીકત પર આધારિત છે કે આંકડાકીય સંકુલના ચોરસ વિચલનોના સરવાળાને ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:

એસ.એસ = એસ.એસ a + એસ.એસઇ,

એસ.એસ

એસ.એસa aવર્ગ વિચલનોનો સરવાળો,

એસ.એસઇ- ચોરસ વિચલનોનો અસ્પષ્ટ સરવાળો અથવા ચોરસ ભૂલ વિચલનોનો સરવાળો.

જો મારફતે niદરેક ગ્રેડેશન વર્ગ (જૂથ) માં વિકલ્પોની સંખ્યા સૂચવો અને aપરિબળ (જૂથો) ના કુલ ગ્રેડેશનની સંખ્યા છે, પછી અવલોકનોની કુલ સંખ્યા છે અને નીચેના સૂત્રો મેળવી શકાય છે:

ચોરસ વિચલનોની કુલ સંખ્યા: ,

પરિબળના પ્રભાવ દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે aચોરસ વિચલનોનો સરવાળો: ,

ચોરસ વિચલનોનો અસ્પષ્ટ સરવાળો અથવા ચોરસ ભૂલ વિચલનોનો સરવાળો: ,

- અવલોકનોની સામાન્ય સરેરાશ,

(જૂથ).

ઉપરાંત,

પરિબળ (જૂથ) ગ્રેડેશનનો તફાવત ક્યાં છે.

આંકડાકીય સંકુલમાંથી ડેટાના ભિન્નતાનું એક-માર્ગી વિશ્લેષણ કરવા માટે, તમારે વાસ્તવિક ફિશર ગુણોત્તર શોધવાની જરૂર છે - પરિબળ (ઇન્ટરગ્રુપ) અને ન સમજાય તેવા ભિન્નતા (ઇન્ટ્રાગ્રુપ) ના પ્રભાવ દ્વારા સમજાવાયેલ તફાવતનો ગુણોત્તર:

અને તેની ફિશર નિર્ણાયક મૂલ્ય સાથે તુલના કરો.

ભિન્નતાની ગણતરી નીચે પ્રમાણે કરવામાં આવે છે:

સમજાવાયેલ તફાવત,

ન સમજાય તેવું ભિન્નતા

વિa = a − 1 - સમજાવાયેલ તફાવતની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા,

વિe = n − a - ન સમજાય તેવા તફાવતની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા,

વિ = n

મહત્વના સ્તરના ચોક્કસ મૂલ્યો અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી સાથે ફિશર રેશિયોનું નિર્ણાયક મૂલ્ય આંકડાકીય કોષ્ટકોમાં મળી શકે છે અથવા MS એક્સેલ ફંક્શન F.OBR (નીચેની આકૃતિ, તેને મોટું કરવા માટે, તેના પર ક્લિક કરો) નો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે. ડાબું માઉસ બટન).

ફંક્શન માટે તમારે નીચેનો ડેટા દાખલ કરવાની જરૂર છે:

સંભાવના - મહત્વનું સ્તર α ,

ડિગ્રી_સ્વતંત્રતા1 - સમજાવાયેલ વિચલનની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા વિa,

ડિગ્રી_સ્વતંત્રતા2 - ન સમજાય તેવા તફાવતની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા વિઇ.

જો ફિશર રેશિયોનું વાસ્તવિક મૂલ્ય નિર્ણાયક મૂલ્ય () કરતા વધારે હોય, તો નલ પૂર્વધારણાને મહત્વના સ્તરે નકારી કાઢવામાં આવે છે. α . આનો અર્થ એ છે કે પરિબળ ડેટામાં ફેરફારને નોંધપાત્ર રીતે પ્રભાવિત કરે છે અને ડેટા સંભાવના સાથે પરિબળ પર આધારિત છે. પી = 1 − α .

જો ફિશર રેશિયોનું વાસ્તવિક મૂલ્ય નિર્ણાયક મૂલ્ય () કરતાં ઓછું હોય, તો નલ પૂર્વધારણાને મહત્વના સ્તરે નકારી શકાય નહીં. α . આનો અર્થ એ છે કે પરિબળ સંભવિતતા સાથેના ડેટાને નોંધપાત્ર રીતે પ્રભાવિત કરતું નથી પી = 1 − α .

વન-વે એનોવા: ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 1.વપરાયેલ કાચા માલના પ્રકાર એન્ટરપ્રાઇઝના નફાને અસર કરે છે કે કેમ તે શોધવાનું જરૂરી છે. પરિબળના છ ગ્રેડેશન વર્ગો (જૂથો) માં (1 લી પ્રકાર, 2 જી પ્રકાર, વગેરે) 4 વર્ષમાં લાખો રુબેલ્સમાં ઉત્પાદનના 1000 એકમોના ઉત્પાદનમાંથી નફા પરનો ડેટા એકત્રિત કરવામાં આવે છે.

a= 6 અને દરેક વર્ગમાં (જૂથ) ni=4અવલોકનો અવલોકનોની કુલ સંખ્યા n = 24 .

સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા:

વિa = a − 1 = 6 − 1 = 5 ,

વિe = n − a = 24 − 6 = 18 ,

વિ = n − 1 = 24 − 1 = 23 .

ચાલો ભિન્નતાઓની ગણતરી કરીએ:

.

.

વાસ્તવિક ફિશર ગુણોત્તર જટિલ કરતા વધારે હોવાથી:

મહત્વના સ્તર સાથે α = 0.05 અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે એન્ટરપ્રાઇઝનો નફો, ઉત્પાદનમાં વપરાતા કાચા માલના પ્રકારને આધારે, નોંધપાત્ર રીતે અલગ પડે છે.

અથવા, સમાન વસ્તુ શું છે, અમે તમામ પરિબળ ગ્રેડેશન વર્ગો (જૂથો) માં સરેરાશની સમાનતા વિશેની મુખ્ય પૂર્વધારણાને નકારીએ છીએ.

હમણાં જ ધ્યાનમાં લેવાયેલા ઉદાહરણમાં, દરેક પરિબળ ગ્રેડેશન વર્ગમાં સમાન સંખ્યામાં વિકલ્પો હતા. પરંતુ, પ્રારંભિક ભાગમાં દર્શાવ્યા મુજબ, વિકલ્પોની સંખ્યા બદલાઈ શકે છે. અને આ કોઈપણ રીતે વિભિન્ન પ્રક્રિયાના વિશ્લેષણને જટિલ બનાવતું નથી. આ પછીનું ઉદાહરણ છે.

ઉદાહરણ 2.એન્ટરપ્રાઇઝ ડિવિઝનના કદ પર ઉત્પાદનના એકમ દીઠ ઉત્પાદન ખર્ચની અવલંબન છે કે કેમ તે શોધવાનું જરૂરી છે. પરિબળ (એકમનું કદ) ત્રણ ગ્રેડેશન વર્ગો (જૂથો) માં વહેંચાયેલું છે: નાના, મધ્યમ, મોટા. ચોક્કસ સમયગાળા માટે સમાન પ્રકારના ઉત્પાદનના એકમના ઉત્પાદનની કિંમત પરના આ જૂથોને અનુરૂપ ડેટાનો સારાંશ આપવામાં આવે છે.

પરિબળ ગ્રેડેશન વર્ગોની સંખ્યા (જૂથો) a= 3, વર્ગોમાં અવલોકનોની સંખ્યા (જૂથો) n1 = 4 , n2 = 7 , n3 = 6 . અવલોકનોની કુલ સંખ્યા n = 17 .

સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા:

વિa = a − 1 = 2 ,

વિe = n − a = 17 − 3 = 14 ,

વિ = n − 1 = 16 .

ચાલો વર્ગ વિચલનોના સરવાળાની ગણતરી કરીએ:

ચાલો ભિન્નતાઓની ગણતરી કરીએ:

,

.

ચાલો વાસ્તવિક ફિશર રેશિયોની ગણતરી કરીએ:

.

ફિશર રેશિયોનું નિર્ણાયક મૂલ્ય:

ફિશર રેશિયોનું વાસ્તવિક મૂલ્ય નિર્ણાયક કરતા ઓછું હોવાથી: , અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે એન્ટરપ્રાઇઝ ડિવિઝનના કદની ઉત્પાદન કિંમત પર નોંધપાત્ર અસર થતી નથી.

અથવા, સમાન શું છે, 95% ની સંભાવના સાથે અમે મુખ્ય પૂર્વધારણા સ્વીકારીએ છીએ કે એન્ટરપ્રાઇઝના નાના, મધ્યમ અને મોટા વિભાગોમાં સમાન ઉત્પાદનના એકમના ઉત્પાદનની સરેરાશ કિંમત નોંધપાત્ર રીતે અલગ નથી.

એમએસ એક્સેલમાં વન-વે એનોવા

વિભિન્નતાનું એક-માર્ગી વિશ્લેષણ એમએસ એક્સેલ પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે વન-વે ANOVA. અમે તેનો ઉપયોગ ઉદાહરણ 1 થી ઉપયોગમાં લેવાતા કાચા માલના પ્રકાર અને એન્ટરપ્રાઇઝના નફા વચ્ચેના સંબંધ પરના ડેટાનું વિશ્લેષણ કરવા માટે કરીએ છીએ.

સેવા/ડેટા વિશ્લેષણઅને વિશ્લેષણ સાધન પસંદ કરો વન-વે ANOVA.

બારીમાં ઇનપુટ અંતરાલડેટા વિસ્તાર સૂચવો (અમારા કિસ્સામાં તે $A$2 છે:$E$7). અમે સૂચવીએ છીએ કે પરિબળને કેવી રીતે જૂથબદ્ધ કરવામાં આવે છે - કૉલમ દ્વારા અથવા પંક્તિઓ દ્વારા (અમારા કિસ્સામાં, પંક્તિઓ દ્વારા). જો પ્રથમ કૉલમમાં પરિબળ વર્ગોના નામ હોય, તો બૉક્સને ચિહ્નિત કરો પ્રથમ કૉલમમાં લેબલ્સ. બારીમાં આલ્ફામહત્વનું સ્તર દર્શાવે છે α = 0,05 .

બીજું કોષ્ટક - વિસંગતતાનું વિશ્લેષણ - જૂથો અને જૂથો અને કુલ વચ્ચેના પરિબળ માટેના મૂલ્યો પરનો ડેટા ધરાવે છે. આ ચોરસ વિચલનો (SS), સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા (df), વિક્ષેપ (MS) નો સરવાળો છે. છેલ્લી ત્રણ કૉલમમાં ફિશર રેશિયો (F), p-સ્તર (P-મૂલ્ય) અને ફિશર રેશિયો (F ક્રિટ) નું નિર્ણાયક મૂલ્ય શામેલ છે.

ફિશર રેશિયો (6.89) નું વાસ્તવિક મૂલ્ય નિર્ણાયક (2.77) કરતા વધારે હોવાથી, 95% ની સંભાવના સાથે અમે તમામ પ્રકારની કાચી સામગ્રીનો ઉપયોગ કરતી વખતે સરેરાશ ઉત્પાદકતાની સમાનતા વિશે શૂન્ય પૂર્વધારણાને નકારીએ છીએ, એટલે કે, અમે તારણ કાઢો કે વપરાયેલ કાચા માલનો પ્રકાર નફાકારક સાહસોને અસર કરે છે.

પુનરાવર્તન વિના ભિન્નતાનું દ્વિ-પરિબળ વિશ્લેષણ: પદ્ધતિનો સાર, સૂત્રો, ઉદાહરણ

વિભિન્નતાના દ્વિ-પરિબળ વિશ્લેષણનો ઉપયોગ બે પરિબળો પર પરિણામી લાક્ષણિકતાની સંભવિત અવલંબન ચકાસવા માટે થાય છે - એઅને બી. પછી a- પરિબળ ગ્રેડેશનની સંખ્યા એઅને b- પરિબળ ગ્રેડેશનની સંખ્યા બી. આંકડાકીય સંકુલમાં, ચોરસ અવશેષોનો સરવાળો ત્રણ ઘટકોમાં વહેંચાયેલો છે:

એસ.એસ = એસ.એસ a + એસ.એસ b+ એસ.એસઇ,

- ચોરસ વિચલનોનો કુલ સરવાળો,

- પરિબળના પ્રભાવ દ્વારા સમજાવ્યું એવર્ગ વિચલનોનો સરવાળો,

- પરિબળના પ્રભાવ દ્વારા સમજાવ્યું બીવર્ગ વિચલનોનો સરવાળો,

- અવલોકનોની સામાન્ય સરેરાશ,

દરેક પરિબળ ગ્રેડેશનમાં અવલોકનોની સરેરાશ એ ,

બી .

એ ,

પરિબળના પ્રભાવ દ્વારા વિભિન્નતા સમજાવી બી ,

વિa = a − 1 એ ,

વિb = b − 1 - પરિબળના પ્રભાવ દ્વારા સમજાવાયેલ ફેલાવાની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા બી ,

વિe = ( a − 1)(b − 1)

વિ = ab− 1 - સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની કુલ સંખ્યા.

જો પરિબળો એકબીજા પર નિર્ભર ન હોય, તો પછી પરિબળોનું મહત્વ નક્કી કરવા માટે, બે શૂન્ય પૂર્વધારણાઓ અને અનુરૂપ વૈકલ્પિક પૂર્વધારણાઓ આગળ મૂકવામાં આવે છે:

પરિબળ માટે એ :

એચ0 : μ 1A = μ 2A = ... = μ aA,

એચ1 : બધા નહિ μ iAસમાન

પરિબળ માટે બી :

એચ0 : μ 1B = μ 2B = ... = μ એબી,

એચ1 : બધા નહિ μ iBસમાન છે.

એ

પરિબળનો પ્રભાવ નક્કી કરવા બી, તમારે વાસ્તવિક ફિશર વલણને નિર્ણાયક ફિશર વલણ સાથે સરખાવવાની જરૂર છે.

α પી = 1 − α .

α પી = 1 − α .

પુનરાવર્તન વિના દ્વિ-માર્ગી એનોવા: ઉદાહરણ

ઉદાહરણ 3.એન્જિનના કદ અને ઇંધણના પ્રકારને આધારે લિટરમાં 100 કિલોમીટર દીઠ સરેરાશ ઇંધણ વપરાશ પર માહિતી આપવામાં આવે છે.

ઇંધણનો વપરાશ એન્જિનના કદ અને ઇંધણના પ્રકાર પર આધારિત છે કે કેમ તે તપાસવું જરૂરી છે.

ઉકેલ. પરિબળ માટે એગ્રેડેશન વર્ગોની સંખ્યા a= 3, અવયવ માટે બીગ્રેડેશન વર્ગોની સંખ્યા b = 3 .

અમે ચોરસ વિચલનોના સરવાળાની ગણતરી કરીએ છીએ:

,

,

,

.

અનુરૂપ ભિન્નતા:

,

,

.

એ . વાસ્તવિક ફિશર ગુણોત્તર નિર્ણાયક કરતા ઓછો હોવાથી, 95% ની સંભાવના સાથે અમે એ પૂર્વધારણા સ્વીકારીએ છીએ કે એન્જિનનું કદ બળતણ વપરાશને અસર કરતું નથી. જો કે, જો આપણે મહત્વ સ્તર પસંદ કરીએ α = 0.1, પછી ફિશર રેશિયોનું વાસ્તવિક મૂલ્ય અને પછી 95% ની સંભાવના સાથે આપણે સ્વીકારી શકીએ છીએ કે એન્જિન વોલ્યુમ બળતણ વપરાશને અસર કરે છે.

પરિબળ માટે ફિશરનો વાસ્તવિક ગુણોત્તર બી , ફિશર રેશિયોનું નિર્ણાયક મૂલ્ય: . વાસ્તવિક ફિશર રેશિયો ફિશર રેશિયોના નિર્ણાયક મૂલ્ય કરતાં વધારે હોવાથી, અમે 95% સંભાવના સાથે સ્વીકારીએ છીએ કે બળતણનો પ્રકાર તેના વપરાશને અસર કરે છે.

એમએસ એક્સેલમાં પુનરાવર્તન વિના દ્વિ-માર્ગી એનોવા

એમએસ એક્સેલ પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તનો વિના વિભિન્નતાનું દ્વિ-પરિબળ વિશ્લેષણ કરી શકાય છે. અમે તેનો ઉપયોગ ઉદાહરણ 3 થી બળતણના પ્રકાર અને તેના વપરાશ વચ્ચેના સંબંધ પરના ડેટાનું વિશ્લેષણ કરવા માટે કરીએ છીએ.

MS Excel મેનુમાં, આદેશ ચલાવો સેવા/ડેટા વિશ્લેષણઅને વિશ્લેષણ સાધન પસંદ કરો પુનરાવર્તન વિના દ્વિ-માર્ગી ANOVA.

અમે વિભિન્નતાના એક-માર્ગીય વિશ્લેષણના કિસ્સામાં તે જ રીતે ડેટા ભરીએ છીએ.

પ્રક્રિયાના પરિણામે, બે કોષ્ટકો પ્રદર્શિત થાય છે. પ્રથમ કોષ્ટક કુલ છે. તેમાં પરિબળ ગ્રેડેશનના તમામ વર્ગો પરનો ડેટા છે: અવલોકનોની સંખ્યા, કુલ મૂલ્ય, સરેરાશ મૂલ્ય અને તફાવત.

બીજું કોષ્ટક - વિસંગતતાનું વિશ્લેષણ - વિવિધતાના સ્ત્રોતો પરનો ડેટા ધરાવે છે: પંક્તિઓ વચ્ચેનું વિક્ષેપ, કૉલમ વચ્ચેનું વિક્ષેપ, ભૂલનું વિક્ષેપ, કુલ વિક્ષેપ, વર્ગ વિચલનોનો સરવાળો (SS), સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી (df), વિક્ષેપ (MS). છેલ્લી ત્રણ કૉલમમાં ફિશર રેશિયો (F), p-સ્તર (P-મૂલ્ય) અને ફિશર રેશિયો (F ક્રિટ) નું નિર્ણાયક મૂલ્ય શામેલ છે.

પરિબળ એ(એન્જિન ડિસ્પ્લેસમેન્ટ) લીટીઓમાં જૂથ થયેલ છે. 5.28 નો વાસ્તવિક ફિશર રેશિયો 6.94 ના નિર્ણાયક કરતા ઓછો હોવાથી, અમે 95% સંભાવના સાથે સ્વીકારીએ છીએ કે ઇંધણનો વપરાશ એન્જિનના કદ પર આધારિત નથી.

પરિબળ બી(ઇંધણનો પ્રકાર) કૉલમમાં જૂથ થયેલ છે. 13.56 નો વાસ્તવિક ફિશર ગુણોત્તર 6.94 ના નિર્ણાયક ગુણોત્તર કરતા વધારે છે, તેથી અમે 95% સંભાવના સાથે સ્વીકારીએ છીએ કે બળતણનો વપરાશ તેના પ્રકાર પર આધારિત છે.

પુનરાવર્તનો સાથે ભિન્નતાનું દ્વિ-પરિબળ વિશ્લેષણ: પદ્ધતિનો સાર, સૂત્રો, ઉદાહરણ

પુનરાવર્તનો સાથેના ભિન્નતાના દ્વિ-પરિબળ વિશ્લેષણનો ઉપયોગ માત્ર બે પરિબળો પર પરિણામી લાક્ષણિકતાની સંભવિત અવલંબન તપાસવા માટે થાય છે - એઅને બી, પણ પરિબળોની સંભવિત ક્રિયાપ્રતિક્રિયા એઅને બી. પછી a- પરિબળ ગ્રેડેશનની સંખ્યા એઅને b- પરિબળ ગ્રેડેશનની સંખ્યા બી, આર- પુનરાવર્તનોની સંખ્યા. આંકડાકીય સંકુલમાં, ચોરસ અવશેષોના સરવાળાને ચાર ઘટકોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે:

એસ.એસ = એસ.એસ a + એસ.એસ b+ એસ.એસ ab + એસ.એસઇ,

- ચોરસ વિચલનોનો કુલ સરવાળો,

- પરિબળના પ્રભાવ દ્વારા સમજાવ્યું એવર્ગ વિચલનોનો સરવાળો,

- પરિબળના પ્રભાવ દ્વારા સમજાવ્યું બીવર્ગ વિચલનોનો સરવાળો,

- પરિબળોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના પ્રભાવ દ્વારા સમજાવાયેલ એઅને બીવર્ગ વિચલનોનો સરવાળો,

- ચોરસ વિચલનોનો અસ્પષ્ટ સરવાળો અથવા ચોરસ ભૂલ વિચલનોનો સરવાળો,

- અવલોકનોની સામાન્ય સરેરાશ,

- દરેક પરિબળ ગ્રેડેશનમાં અવલોકનોની સરેરાશ એ ,

- દરેક પરિબળ ગ્રેડેશનમાં અવલોકનોની સરેરાશ સંખ્યા બી ,

પરિબળ ગ્રેડેશનના દરેક સંયોજનમાં અવલોકનોની સરેરાશ સંખ્યા એઅને બી ,

n = abr- અવલોકનોની કુલ સંખ્યા.

ભિન્નતાની ગણતરી નીચે પ્રમાણે કરવામાં આવે છે:

પરિબળના પ્રભાવ દ્વારા વિભિન્નતા સમજાવી એ ,

પરિબળના પ્રભાવ દ્વારા વિભિન્નતા સમજાવી બી ,

- પરિબળોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા દ્વારા સમજાવાયેલ તફાવત એઅને બી ,

- અસ્પષ્ટ તફાવત અથવા ભૂલ તફાવત,

વિa = a − 1 - પરિબળના પ્રભાવ દ્વારા સમજાવાયેલ ફેલાવાની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા એ ,

વિb = b − 1 - પરિબળના પ્રભાવ દ્વારા સમજાવાયેલ ફેલાવાની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા બી ,

વિab = ( a − 1)(b − 1) - પરિબળોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા દ્વારા સમજાવાયેલ તફાવતની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા એઅને બી ,

વિe = ab(આર − 1) - ન સમજાય તેવા ભિન્નતા અથવા ભૂલ ભિન્નતાની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા,

વિ = abr− 1 - સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની કુલ સંખ્યા.

જો પરિબળો એકબીજા પર નિર્ભર ન હોય, તો પછી પરિબળોનું મહત્વ નક્કી કરવા માટે, ત્રણ શૂન્ય પૂર્વધારણાઓ અને અનુરૂપ વૈકલ્પિક પૂર્વધારણાઓ આગળ મૂકવામાં આવે છે:

પરિબળ માટે એ :

એચ0 : μ 1A = μ 2A = ... = μ aA,

એચ1 : બધા નહિ μ iAસમાન

પરિબળ માટે બી :

પરિબળોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના પ્રભાવને નિર્ધારિત કરવા એઅને બી, તમારે વાસ્તવિક ફિશર વલણને નિર્ણાયક ફિશર વલણ સાથે સરખાવવાની જરૂર છે.

જો વાસ્તવિક ફિશર ગુણોત્તર નિર્ણાયક ફિશર ગુણોત્તર કરતા વધારે હોય, તો નલ પૂર્વધારણાને મહત્વના સ્તરે નકારી કાઢવી જોઈએ. α . આનો અર્થ એ છે કે પરિબળ ડેટાને નોંધપાત્ર રીતે પ્રભાવિત કરે છે: ડેટા સંભાવના સાથેના પરિબળ પર આધારિત છે પી = 1 − α .

જો વાસ્તવિક ફિશર ગુણોત્તર નિર્ણાયક ફિશર ગુણોત્તર કરતા ઓછો હોય, તો નલ પૂર્વધારણાને મહત્વના સ્તરે સ્વીકારવી જોઈએ. α . આનો અર્થ એ છે કે પરિબળ સંભવિતતા સાથેના ડેટાને નોંધપાત્ર રીતે પ્રભાવિત કરતું નથી પી = 1 − α .

પુનરાવર્તનો સાથે દ્વિ-માર્ગી એનોવા: એક ઉદાહરણ

પરિબળોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા વિશે એઅને બી: ફિશરનો વાસ્તવિક ગુણોત્તર નિર્ણાયક કરતાં ઓછો છે, તેથી, જાહેરાત ઝુંબેશ અને ચોક્કસ સ્ટોરની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા નોંધપાત્ર નથી.

એમએસ એક્સેલમાં પુનરાવર્તનો સાથે દ્વિ-માર્ગી એનોવા

MS Excel પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને પ્રતિકૃતિઓ સાથેના તફાવતનું દ્વિ-માર્ગીય વિશ્લેષણ કરી શકાય છે. અમે તેનો ઉપયોગ સ્ટોરની આવક અને ચોક્કસ સ્ટોરની પસંદગી અને ઉદાહરણ 4 થી જાહેરાત ઝુંબેશ વચ્ચેના સંબંધ પરના ડેટાનું વિશ્લેષણ કરવા માટે કરીએ છીએ.

MS Excel મેનુમાં, આદેશ ચલાવો સેવા/ડેટા વિશ્લેષણઅને વિશ્લેષણ સાધન પસંદ કરો પુનરાવર્તનો સાથે દ્વિ-માર્ગી ANOVA.

અમે એ જ રીતે ડેટા ભરીએ છીએ જેમ કે પુનરાવર્તનો વિના વિભિન્નતાના દ્વિ-પરિબળ વિશ્લેષણના કિસ્સામાં, વધુમાં કે નમૂના વિંડો માટે પંક્તિઓની સંખ્યામાં તમારે પુનરાવર્તનોની સંખ્યા દાખલ કરવાની જરૂર છે.

પ્રક્રિયાના પરિણામે, બે કોષ્ટકો પ્રદર્શિત થાય છે. પ્રથમ કોષ્ટકમાં ત્રણ ભાગોનો સમાવેશ થાય છે: પ્રથમ બે દરેક બે જાહેરાત ઝુંબેશને અનુરૂપ છે, ત્રીજામાં બંને જાહેરાત ઝુંબેશ વિશેનો ડેટા છે. કોષ્ટકના સ્તંભોમાં બીજા પરિબળના તમામ ગ્રેડેશન વર્ગો વિશેની માહિતી છે - સ્ટોર: અવલોકનોની સંખ્યા, કુલ મૂલ્ય, સરેરાશ મૂલ્ય અને વિક્ષેપ.

બીજા કોષ્ટકમાં ચોરસ વિચલનો (SS), સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા (df), વિક્ષેપ (MS), ફિશર રેશિયો (F), p-સ્તર (P-મૂલ્ય) અને વિવિધતાના વિવિધ સ્ત્રોતો માટે ફિશર રેશિયો (એફ ક્રિટ) નું નિર્ણાયક મૂલ્ય: બે પરિબળો, જે પંક્તિઓ (નમૂના) અને કૉલમમાં આપવામાં આવે છે, પરિબળોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા, ભૂલ (અંદર) અને કુલ સૂચકાંકો (કુલ).

પરિબળ માટે બીવાસ્તવિક ફિશર ગુણોત્તર નિર્ણાયક ગુણોત્તર કરતા વધારે છે, તેથી સ્ટોર્સ વચ્ચે આવક નોંધપાત્ર રીતે અલગ પડે તેવી 95% સંભાવના છે.

પરિબળોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા માટે એઅને બીફિશરનો વાસ્તવિક ગુણોત્તર નિર્ણાયક કરતાં ઓછો છે, તેથી, 95% ની સંભાવના સાથે, જાહેરાત ઝુંબેશ અને ચોક્કસ સ્ટોરની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા નોંધપાત્ર નથી.

"ગાણિતિક આંકડા" વિષય પરની દરેક વસ્તુ

આ લેખ ભિન્નતાના વિશ્લેષણની ચર્ચા કરે છે. તેની એપ્લિકેશનની લાક્ષણિકતાઓનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવે છે, વિચલન વિશ્લેષણની પદ્ધતિઓ અને વિચલન વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરવાની શરતો પ્રદાન કરવામાં આવે છે. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાની જરૂરિયાત ઓળખવામાં આવી છે અને ન્યાયી છે. હાથ ધરાયેલા સંશોધનના આધારે, વિભિન્નતાના શાસ્ત્રીય વિશ્લેષણના તબક્કાઓ પ્રદાન કરવામાં આવે છે.

• સર્ટિફિકેશન સિસ્ટમની જરૂરિયાતોને ધ્યાનમાં લેતા, ઓટોમોટિવ સર્વિસ એન્ટરપ્રાઇઝમાં સમારકામ પછી કારના ગુણવત્તા નિયંત્રણને સુનિશ્ચિત કરવાના મુદ્દા પર
• રશિયન સંસ્થાઓના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને લોજિસ્ટિક્સમાં માહિતી તકનીકોના અમલીકરણની સમસ્યાઓ
• વેવ જનરેટર પ્લાન્ટની કાર્યક્ષમતામાં સુધારો
• મૂડલ ડિસ્ટન્સ લર્નિંગ સિસ્ટમમાં શૈક્ષણિક અને પદ્ધતિસરની મેન્યુઅલ "અર્થ-મૂન સિસ્ટમ".

વિભિન્નતાના વિશ્લેષણનો મુખ્ય હેતુ માધ્યમો વચ્ચેના તફાવતોના મહત્વની તપાસ કરવાનો છે. જો તમે ફક્ત બે નમૂનાઓના માધ્યમની સરખામણી કરી રહ્યા છો, તો વિભિન્નતાનું વિશ્લેષણ સામાન્ય વિશ્લેષણ જેવું જ પરિણામ આપશે. ટી-સ્વતંત્ર નમૂનાઓ માટે પરીક્ષણ (આ તે છે જો ઑબ્જેક્ટ અથવા અવલોકનોના બે સ્વતંત્ર જૂથોની તુલના કરવામાં આવે છે) અથવા આશ્રિત નમૂનાઓ માટે ટી-ટેસ્ટ (આ તે છે જો ઑબ્જેક્ટ અથવા અવલોકનોના સમાન સમૂહ પર બે ચલોની સરખામણી કરવામાં આવે તો).

વિભિન્નતાનું વિશ્લેષણ અમુક પરિબળોને કારણે આ નામ ધરાવે છે. તે વિચિત્ર લાગે છે કે અર્થની તુલના કરવાની પ્રક્રિયાને વિભિન્નતાનું વિશ્લેષણ કહેવામાં આવે છે. વાસ્તવમાં, આ એટલા માટે છે કારણ કે જ્યારે આપણે બે (અથવા વધુ) જૂથોના માધ્યમો વચ્ચેના તફાવતના આંકડાકીય મહત્વની તપાસ કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે વાસ્તવમાં નમૂનાના ભિન્નતાઓની તુલના (એટલે ​​​​કે, વિશ્લેષણ) કરી રહ્યા છીએ. 1920 માં ફિશર દ્વારા વિભિન્નતાના વિશ્લેષણનો મૂળભૂત ખ્યાલ પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યો હતો. કદાચ વધુ પ્રાકૃતિક શબ્દ ચોરસના સરવાળાનું વિશ્લેષણ અથવા વિવિધતાનું વિશ્લેષણ હશે, પરંતુ પરંપરાને કારણે, વિભિન્નતાનું વિશ્લેષણ શબ્દ વપરાય છે.

વિચલન વિશ્લેષણ એ ગાણિતિક આંકડાઓમાં એક પદ્ધતિ છે જેનો હેતુ સરેરાશ મૂલ્યોમાં તફાવતોના મહત્વની તપાસ કરીને પ્રાયોગિક ડેટામાં નિર્ભરતાને શોધવાનો છે. ટી-ટેસ્ટથી વિપરીત, તે તમને ત્રણ અથવા વધુ જૂથોના સરેરાશ મૂલ્યોની તુલના કરવાની મંજૂરી આપે છે. પ્રાયોગિક અભ્યાસના પરિણામોનું વિશ્લેષણ કરવા માટે આર. ફિશર દ્વારા વિકસિત. સાહિત્યમાં, હોદ્દો ANOVA પણ જોવા મળે છે. વિચલનનું વિશ્લેષણ).

બજાર સંશોધન કરતી વખતે, પરિણામોની તુલનાત્મકતાનો પ્રશ્ન વારંવાર ઉદ્ભવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે દેશના જુદા જુદા પ્રદેશોમાં ઉત્પાદનના વપરાશ પર સર્વેક્ષણો હાથ ધરવામાં આવે છે, ત્યારે સર્વેક્ષણ ડેટા કેટલી હદ સુધી અલગ છે અથવા એકબીજાથી અલગ નથી તેના નિષ્કર્ષ દોરવા જરૂરી છે. વ્યક્તિગત સૂચકાંકોની તુલના કરવાનો કોઈ અર્થ નથી, અને તેથી સરખામણી અને અનુગામી મૂલ્યાંકન પ્રક્રિયા આ સરેરાશ મૂલ્યાંકનમાંથી કેટલાક સરેરાશ મૂલ્યો અને વિચલનોનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે. લક્ષણની વિવિધતાનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. વિક્ષેપને વિવિધતાના માપદંડ તરીકે લઈ શકાય છે. વિક્ષેપ σ 2 એ વિવિધતાનું માપ છે, જે લાક્ષણિક વર્ગના વિચલનની સરેરાશ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.

વ્યવહારમાં, વધુ સામાન્ય પ્રકૃતિની સમસ્યાઓ ઘણીવાર ઊભી થાય છે - સંખ્યાબંધ નમૂનાઓની વસ્તીની સરેરાશમાં તફાવતના મહત્વને તપાસવાની સમસ્યા. ઉદાહરણ તરીકે, કૃષિ ઉપજ પર ખાતરોની માત્રાના પ્રભાવની સમસ્યાને હલ કરવા માટે, ઉત્પાદનોની ગુણવત્તા પર વિવિધ કાચા માલના પ્રભાવનું મૂલ્યાંકન કરવું જરૂરી છે. ઉત્પાદનો

કેટલીકવાર વિભિન્નતાના વિશ્લેષણનો ઉપયોગ ઘણી વસ્તીની એકરૂપતા સ્થાપિત કરવા માટે કરવામાં આવે છે (આ વસ્તીના ભિન્નતા ધારણા દ્વારા સમાન હોય છે; જો ભિન્નતાનું વિશ્લેષણ બતાવે છે કે ગાણિતિક અપેક્ષાઓ સમાન છે, તો આ અર્થમાં વસ્તી એકરૂપ છે). સજાતીય વસ્તીને એકમાં જોડી શકાય છે અને ત્યાંથી તેના વિશે વધુ સંપૂર્ણ માહિતી મેળવી શકાય છે, અને તેથી વધુ વિશ્વસનીય તારણો.

વિચલન પદ્ધતિઓનું વિશ્લેષણ

1. ફિશર પદ્ધતિ - એફ પરીક્ષણ; આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ ભિન્નતાના એક-માર્ગીય વિશ્લેષણમાં થાય છે, જ્યારે તમામ અવલોકન કરેલ મૂલ્યોના કુલ વિચલનનું વિઘટન વ્યક્તિગત જૂથો અને જૂથો વચ્ચેના તફાવતમાં થાય છે.
2. "સામાન્ય રેખીય મોડેલ" પદ્ધતિ. તે મલ્ટિવેરિયેટ વિશ્લેષણમાં વપરાતા સહસંબંધ અથવા રીગ્રેશન વિશ્લેષણ પર આધારિત છે.

એક-પરિબળ વિક્ષેપ મોડેલનું સ્વરૂપ છે: x ij = μ + F j + ε ij ,
જ્યાં x ij એ પરિબળ (i=1,2,...,t) ના i-th સ્તરે j-th સીરીયલ નંબર (j=1,2,... .,n); F i - પરિબળના i-th સ્તરના પ્રભાવને કારણે થતી અસર; ε ij - અવ્યવસ્થિત ઘટક, અથવા અનિયંત્રિત પરિબળોના પ્રભાવને કારણે વિક્ષેપ, એટલે કે. ચોક્કસ સ્તરની અંદર વિવિધતા.

ભિન્નતાના પૃથ્થકરણનો સૌથી સરળ કિસ્સો એ બે કે તેથી વધુ સ્વતંત્ર જૂથો માટે અવિભાજ્ય એક-માર્ગીય વિશ્લેષણ છે, જ્યારે બધા જૂથો એક લાક્ષણિકતા પર જોડાયેલા હોય છે. વિશ્લેષણ દરમિયાન, સાધનની સમાનતાની શૂન્ય પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરવામાં આવે છે. બે જૂથોનું પૃથ્થકરણ કરતી વખતે, વિભિન્નતાનું વિશ્લેષણ બે-નમૂના વિશ્લેષણ જેવું જ હોય ​​છે. tસ્વતંત્ર નમૂનાઓ અને મૂલ્ય માટે વિદ્યાર્થીની ટી-ટેસ્ટ એફ-આંકડા અનુરૂપ વર્ગના બરાબર છે t- આંકડા.

ભિન્નતાની સમાનતાની પુષ્ટિ કરવા માટે, સામાન્ય રીતે લિવેન માપદંડનો ઉપયોગ થાય છે ( લેવેનનો ટેસ્ટ). જો ભિન્નતાઓની સમાનતાની પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે, તો મુખ્ય વિશ્લેષણ લાગુ પડતું નથી. જો ભિન્નતાઓ સમાન હોય, તો પછી આંતરજૂથ અને આંતરગ્રુપ ચલના ગુણોત્તરનો અંદાજ કાઢવા માટે, અમે ઉપયોગ કરીએ છીએ એફ- ફિશર માપદંડ જો એફ-આંકડા નિર્ણાયક મૂલ્ય કરતાં વધી જાય છે, પછી શૂન્ય પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે છે અને માધ્યમોની અસમાનતા વિશે નિષ્કર્ષ કાઢવામાં આવે છે. બે જૂથોના માધ્યમોનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે, ફિશર ટેસ્ટ લાગુ કર્યા પછી પરિણામોનું સીધું અર્થઘટન કરી શકાય છે.

ઘણા પરિબળો. વિશ્વ પ્રકૃતિમાં જટિલ અને બહુપરીમાણીય છે. પરિસ્થિતિઓ જ્યારે કોઈ ચોક્કસ ઘટનાને એક ચલ દ્વારા સંપૂર્ણપણે વર્ણવવામાં આવે છે તે અત્યંત દુર્લભ છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે મોટા ટામેટાં કેવી રીતે ઉગાડવું તે શીખવાનો પ્રયાસ કરી રહ્યા છીએ, તો આપણે છોડની આનુવંશિક રચના, જમીનનો પ્રકાર, પ્રકાશ, તાપમાન વગેરેને લગતા પરિબળોને ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ. આમ, લાક્ષણિક પ્રયોગ કરતી વખતે, વ્યક્તિએ મોટી સંખ્યામાં પરિબળોનો સામનો કરવો પડે છે. ANOVA નો ઉપયોગ શા માટે શ્રૃંખલાનો ઉપયોગ કરીને વિવિધ પરિબળ સ્તરો પર બે નમૂનાઓની પુનરાવર્તિત તુલના કરવા માટે વધુ સારું છે તેનું મુખ્ય કારણ ટી-માપદંડ એ છે કે તફાવતનું વિશ્લેષણ નોંધપાત્ર રીતે વધુ છે અસરકારકઅને, નાના નમૂનાઓ માટે, વધુ માહિતીપ્રદ. તમારે STATISTICA માં લાગુ કરવામાં આવેલ ANOVA ટેકનીકમાં નિપુણતા મેળવવા અને ચોક્કસ અભ્યાસોમાં તેના સંપૂર્ણ લાભોનો અનુભવ કરવા માટે થોડો પ્રયત્ન કરવાની જરૂર છે.

દ્વિ-પરિબળ ભિન્નતા મોડેલનું સ્વરૂપ છે:

x ijk =μ+F i +G j +I ij +ε ijk ,

જ્યાં x ijk એ નંબર k સાથે સેલ ij માં અવલોકન મૂલ્ય છે; μ - એકંદર સરેરાશ; F i - પરિબળ A ના i-th સ્તરના પ્રભાવને કારણે અસર; G j - પરિબળ B ના j-th સ્તરના પ્રભાવને કારણે થતી અસર; I ij - બે પરિબળોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને કારણે થતી અસર, એટલે કે. મોડેલમાં પ્રથમ ત્રણ શબ્દોના સરવાળામાંથી સેલ ij માં અવલોકન સરેરાશથી વિચલન; ε ijk એ એક કોષની અંદર ચલના ભિન્નતાને કારણે થતી ખલેલ છે. એવું માનવામાં આવે છે કે ε ijk નો સામાન્ય વિતરણ કાયદો N(0; c 2) છે, અને તમામ ગાણિતિક અપેક્ષાઓ F *, G *, I i *, I * j શૂન્યની બરાબર છે.

વિચલન વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરવા માટેની શરતો છે:

1. અભ્યાસનો ઉદ્દેશ પરિણામ પરના એક (3 સુધી) પરિબળોના પ્રભાવની તાકાત નક્કી કરવાનો છે અથવા વિવિધ પરિબળો (લિંગ અને ઉંમર, શારીરિક પ્રવૃત્તિ અને પોષણ, વગેરે) ના સંયુક્ત પ્રભાવની તાકાત નક્કી કરવાનો છે.
2. અભ્યાસ કરવામાં આવતા પરિબળો એકબીજાથી સ્વતંત્ર (અસંબંધિત) હોવા જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, કામના અનુભવ અને વય, બાળકોની ઊંચાઈ અને વજન વગેરેના સંયુક્ત પ્રભાવનો અભ્યાસ કરવો અશક્ય છે. વસ્તીની બિમારી પર.
3. અભ્યાસ માટે જૂથોની પસંદગી અવ્યવસ્થિત રીતે હાથ ધરવામાં આવે છે (રેન્ડમ પસંદગી). વિકલ્પોની પસંદગીમાં રેન્ડમનેસના સિદ્ધાંતના અમલીકરણ સાથે વિખેરાઈ સંકુલના સંગઠનને રેન્ડમાઇઝેશન કહેવામાં આવે છે (અંગ્રેજીમાંથી અનુવાદિત - રેન્ડમ), એટલે કે. આકસ્મિક રીતે પસંદ કરેલ.
4. બંને જથ્થાત્મક અને ગુણાત્મક (લક્ષણાત્મક) લાક્ષણિકતાઓનો ઉપયોગ કરી શકાય છે.

ભિન્નતાનું એક-માર્ગી વિશ્લેષણ કરતી વખતે, તેની ભલામણ કરવામાં આવે છે (ઉપયોગ માટે જરૂરી શરત):

1. વિશ્લેષિત જૂથોના વિતરણની સામાન્યતા અથવા સામાન્ય વિતરણ સાથે સામાન્ય વસ્તી માટે નમૂના જૂથોના પત્રવ્યવહાર.
2. જૂથોમાં અવલોકનોના વિતરણની સ્વતંત્રતા (સંબંધિતતા નહીં).
3. અવલોકનોની આવર્તન (પુનરાવર્તન) ની ઉપલબ્ધતા.

વિતરણની સામાન્યતા ગૌસ વળાંક (ડી માવોર) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, જેનું વર્ણન y = f (x) દ્વારા કરી શકાય છે, કારણ કે તે અવ્યવસ્થિત, સંભવિત ઘટનાઓના અંદાજિત વર્ણન માટે વપરાતા વિતરણ કાયદાઓમાંનો એક છે. પ્રકૃતિમાં બાયોમેડિકલ સંશોધનનો વિષય સંભવિત ઘટના છે; આવા સંશોધનમાં સામાન્ય વિતરણ ઘણી વાર જોવા મળે છે.

વિભિન્નતાનું શાસ્ત્રીય વિશ્લેષણ નીચેના તબક્કામાં કરવામાં આવે છે:

1. વિક્ષેપ સંકુલનું બાંધકામ.
2. સરેરાશ ચોરસ વિચલનોની ગણતરી.
3. વિચલનની ગણતરી.
4. પરિબળ અને શેષ ભિન્નતાઓની સરખામણી.
5. ફિશર-સ્નેડેકોર વિતરણના સૈદ્ધાંતિક મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને પરિણામોનું મૂલ્યાંકન
6. વિભિન્નતાના વિશ્લેષણની આધુનિક એપ્લિકેશનો અર્થશાસ્ત્ર, જીવવિજ્ઞાન અને તકનીકમાં સમસ્યાઓની વિશાળ શ્રેણીને આવરી લે છે અને સામાન્ય રીતે ચોક્કસ બદલાતી પરિસ્થિતિઓ હેઠળ કરવામાં આવેલા સીધા માપનના પરિણામો વચ્ચે પદ્ધતિસરના તફાવતોને ઓળખવાના આંકડાકીય સિદ્ધાંતના સંદર્ભમાં અર્થઘટન કરવામાં આવે છે.
7. ભિન્નતા વિશ્લેષણના સ્વચાલિતતાને આભારી, સંશોધક ડેટાની ગણતરીઓ પર ઓછો સમય અને પ્રયત્નો ખર્ચીને કમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ કરીને વિવિધ આંકડાકીય અભ્યાસો કરી શકે છે. હાલમાં, ઘણા એપ્લિકેશન સોફ્ટવેર પેકેજો છે જે વિક્ષેપ વિશ્લેષણ ઉપકરણને અમલમાં મૂકે છે. સૌથી સામાન્ય સોફ્ટવેર ઉત્પાદનો છે: MS Excel, Statistica; સ્ટેડિયા; SPSS.

મોટાભાગની આંકડાકીય પદ્ધતિઓ આધુનિક આંકડાકીય સોફ્ટવેર ઉત્પાદનોમાં લાગુ કરવામાં આવે છે. અલ્ગોરિધમિક પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓના વિકાસ સાથે, આંકડાકીય માહિતીની પ્રક્રિયા માટે વધારાના બ્લોક્સ બનાવવાનું શક્ય બન્યું.

વિભિન્નતાનું વિશ્લેષણ એ મનોવિજ્ઞાન, જીવવિજ્ઞાન, દવા અને અન્ય વિજ્ઞાનમાં પ્રાયોગિક ડેટાની પ્રક્રિયા અને વિશ્લેષણ માટે એક શક્તિશાળી આધુનિક આંકડાકીય પદ્ધતિ છે. તે પ્રાયોગિક સંશોધનની રચના અને સંચાલન માટેની વિશિષ્ટ પદ્ધતિ સાથે ખૂબ નજીકથી સંબંધિત છે.

વિભિન્નતાના વિશ્લેષણનો ઉપયોગ વૈજ્ઞાનિક સંશોધનના તમામ ક્ષેત્રોમાં થાય છે જ્યાં અભ્યાસ હેઠળના ચલ પરના વિવિધ પરિબળોના પ્રભાવનું વિશ્લેષણ કરવું જરૂરી છે.

સંદર્ભો

1. એબલેવા, એ.એમ. ફેડરલ સ્ટેટ એજ્યુકેશનલ સ્ટાન્ડર્ડની શરતોમાં મૂલ્યાંકન સાધનોના ભંડોળની રચના [ટેક્સ્ટ] / એ.એમ. અબ્લેવા, જી.એ. સલીમોવા // ઉચ્ચ શિક્ષણના આધુનિકીકરણના સંદર્ભમાં સામાજિક, માનવતાવાદી, કુદરતી વિજ્ઞાન અને તકનીકી શાખાઓ શીખવવાની વર્તમાન સમસ્યાઓ શિક્ષણ: સામગ્રી આંતરરાષ્ટ્રીય વૈજ્ઞાનિક અને પદ્ધતિસરની પરિષદ, એપ્રિલ 4-5, 2014 / બશ્કીર રાજ્ય કૃષિ યુનિવર્સિટી, ઇન્ફર્મેશન ટેક્નોલોજી અને મેનેજમેન્ટ ફેકલ્ટી. - ઉફા, 2014. - પૃષ્ઠ 11-14.
2. ગનીવા, એ.એમ. રોજગાર અને બેરોજગારીનું આંકડાકીય વિશ્લેષણ [ટેક્સ્ટ] / A.M. ગેનીવા, ટી.એન. લુબોવા // આર્થિક-આંકડાકીય સંશોધન અને માહિતી તકનીકોના વર્તમાન મુદ્દાઓ: લેખોનો સંગ્રહ. વૈજ્ઞાનિક આર્ટ.: "અર્થશાસ્ત્રમાં આંકડા અને માહિતી પ્રણાલીઓ" / બશ્કીર રાજ્ય કૃષિ યુનિવર્સિટી વિભાગની રચનાની 40 મી વર્ષગાંઠને સમર્પિત. - ઉફા, 2011. - પૃષ્ઠ 315-316.
3. ઇસ્માગીલોવ, આર. આર. સર્જનાત્મક જૂથ - ઉચ્ચ શિક્ષણમાં વૈજ્ઞાનિક સંશોધનનું એક અસરકારક સ્વરૂપ [ટેક્સ્ટ] / આર. આર. ઇસ્માગીલોવ, એમ. કેએચ. બેલારુસ રિપબ્લિક ઓફ સાયન્ટિફિક-પ્રેક્ટિકલ કોન્ફરન્સ / એકેડેમી ઑફ સાયન્સની સામગ્રી, UGATU. - ઉફા, 1999. - પૃષ્ઠ 105-106.
4. ઇસ્લામગુલોવ, ડી.આર. શિક્ષણ માટે યોગ્યતા-આધારિત અભિગમ: શિક્ષણની ગુણવત્તાનું મૂલ્યાંકન [ટેક્સ્ટ] / D.R. ઇસ્લામગુલોવ, ટી.એન. લુબોવા, આઈ.આર. ઇસ્લામગુલોવા // આધુનિક વૈજ્ઞાનિક બુલેટિન. – 2015. – ટી. 7. – નંબર 1. – પી. 62-69.
5. ઇસ્લામગુલોવ, ડી.આર. વિદ્યાર્થીઓનું સંશોધન કાર્ય એ કૃષિ યુનિવર્સિટીમાં તાલીમ નિષ્ણાતોનું સૌથી મહત્વપૂર્ણ તત્વ છે [ટેક્સ્ટ] / ડી.આર. ઇસ્લામગુલોવ // હાલના તબક્કે યુનિવર્સિટીમાં વિદ્યાર્થીઓની વ્યવહારિક તાલીમની સમસ્યાઓ અને તેને હલ કરવાની રીતો: સંગ્રહ. સામગ્રી વૈજ્ઞાનિક પદ્ધતિ. કોન્ફરન્સ., 24 એપ્રિલ, 2007 / બશ્કિર સ્ટેટ એગ્રેરીયન યુનિવર્સિટી. - ઉફા, 2007. - પૃષ્ઠ 20-22.
6. લુબોવા, ટી.એન. સંઘીય રાજ્ય શૈક્ષણિક ધોરણના અમલીકરણ માટેનો આધાર સક્ષમતા-આધારિત અભિગમ છે [ટેક્સ્ટ] / T.N. લુબોવા, ડી.આર. ઇસ્લામગુલોવ, આઇ.આર. ઇસ્લામગુલોવા// બિગ રિસર્ચ - 2016: XII ઇન્ટરનેશનલ સાયન્ટિફિક એન્ડ પ્રેક્ટિકલ કોન્ફરન્સ માટે સામગ્રી, 15-22 ફેબ્રુઆરી, 2016. - સોફિયા: બાયલ GRAD-BG OOD, 2016. - વોલ્યુમ 4 શિક્ષણશાસ્ત્ર વિજ્ઞાન. - પૃષ્ઠ 80-85.
7. લુબોવા, ટી.એન. નવા શૈક્ષણિક ધોરણો: અમલીકરણ સુવિધાઓ [ટેક્સ્ટ] / T.N. લુબોવા, ડી.આર. ઇસ્લામગુલોવ // આધુનિક વૈજ્ઞાનિક બુલેટિન. – 2015. – ટી. 7. – નંબર 1. – પી. 79-84.
8. લુબોવા, ટી.એન. વિદ્યાર્થીઓના સ્વતંત્ર કાર્યનું સંગઠન [ટેક્સ્ટ] / ટી.એન. લુબોવા, ડી.આર. ઇસ્લામગુલોવ // ઉચ્ચ શિક્ષણના ફેડરલ રાજ્ય શૈક્ષણિક ધોરણના માળખામાં ઉચ્ચ શિક્ષણના શૈક્ષણિક કાર્યક્રમોનું અમલીકરણ: પર્યાવરણીય વ્યવસ્થાપન અને પાણી પર નેશનલ મેડિકલ કાઉન્સિલની મુલાકાતી બેઠકના માળખામાં ઓલ-રશિયન વૈજ્ઞાનિક અને પદ્ધતિસરની પરિષદની સામગ્રી ઉચ્ચ શિક્ષણ પ્રણાલીમાં ફેડરલ શૈક્ષણિક સંસ્થાનો ઉપયોગ. / બશ્કીર રાજ્ય કૃષિ યુનિવર્સિટી. - ઉફા, 2016. - પૃષ્ઠ 214-219.
9. લુબોવા, ટી.એન. સંઘીય રાજ્ય શૈક્ષણિક ધોરણના અમલીકરણ માટેનો આધાર સક્ષમતા-આધારિત અભિગમ છે [ટેક્સ્ટ] / T.N. લુબોવા, ડી.આર. ઇસ્લામગુલોવ, આઇ.આર. ઇસ્લામગુલોવા // આધુનિક વૈજ્ઞાનિક બુલેટિન. – 2015. – ટી. 7. – નંબર 1. – પી. 85-93.
10. સૌબાનોવા, એલ.એમ. વસ્તી વિષયક લોડ સ્તર [ટેક્સ્ટ] / L.M. સૌબાનોવા, ટી.એન. લુબોવા // આર્થિક-આંકડાકીય સંશોધન અને માહિતી તકનીકોના વર્તમાન મુદ્દાઓ: લેખોનો સંગ્રહ. વૈજ્ઞાનિક આર્ટ.: "અર્થશાસ્ત્રમાં આંકડા અને માહિતી પ્રણાલીઓ" / બશ્કીર રાજ્ય કૃષિ યુનિવર્સિટી વિભાગની રચનાની 40 મી વર્ષગાંઠને સમર્પિત. - ઉફા, 2011. - પૃષ્ઠ 321-322.
11. ફખરુલીના, એ.આર. રશિયામાં ફુગાવાના આંકડાકીય વિશ્લેષણ [ટેક્સ્ટ] / એ.આર. ફખરુલીના, ટી.એન. લુબોવા // આર્થિક-આંકડાકીય સંશોધન અને માહિતી તકનીકોના વર્તમાન મુદ્દાઓ: લેખોનો સંગ્રહ. વૈજ્ઞાનિક આર્ટ.: "અર્થશાસ્ત્રમાં આંકડા અને માહિતી પ્રણાલીઓ" / બશ્કીર રાજ્ય કૃષિ યુનિવર્સિટી વિભાગની રચનાની 40 મી વર્ષગાંઠને સમર્પિત. - ઉફા, 2011. - પૃષ્ઠ 323-324.
12. ફરખુતદીનોવા, એ.ટી. 2012 માં બશ્કોર્ટોસ્તાન પ્રજાસત્તાકમાં મજૂર બજાર [ઇલેક્ટ્રોનિક સંસાધન] / એ.ટી. ફારખુતદીનોવા, ટી.એન. લુબોવા // વિદ્યાર્થી વૈજ્ઞાનિક ફોરમ. વી ઇન્ટરનેશનલ સ્ટુડન્ટ ઇલેક્ટ્રોનિક સાયન્ટિફિક કોન્ફરન્સની સામગ્રી: ઇલેક્ટ્રોનિક સાયન્ટિફિક કોન્ફરન્સ (ઇલેક્ટ્રોનિક કલેક્શન). રશિયન એકેડેમી ઓફ નેચરલ સાયન્સ. 2013.

વિભિન્નતાનું વિશ્લેષણ

1. વિભિન્નતાના વિશ્લેષણનો ખ્યાલ

વિભિન્નતાનું વિશ્લેષણકોઈપણ નિયંત્રિત ચલ પરિબળોના પ્રભાવ હેઠળના લક્ષણની પરિવર્તનશીલતાનું વિશ્લેષણ છે. વિદેશી સાહિત્યમાં, ભિન્નતાના વિશ્લેષણને ઘણીવાર ANOVA તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, જેનું ભાષાંતર પરિવર્તનશીલતાના વિશ્લેષણ તરીકે થાય છે (વિવિધતાનું વિશ્લેષણ).

ANOVA સમસ્યાલક્ષણની સામાન્ય પરિવર્તનશીલતાથી અલગ પ્રકારની પરિવર્તનશીલતાનો સમાવેશ થાય છે:

a) અભ્યાસ હેઠળના દરેક સ્વતંત્ર ચલોની ક્રિયાને કારણે પરિવર્તનશીલતા;

b) અભ્યાસ કરવામાં આવતા સ્વતંત્ર ચલોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને કારણે પરિવર્તનશીલતા;

c) અન્ય તમામ અજ્ઞાત ચલોને કારણે રેન્ડમ વેરિએબિલિટી.

અભ્યાસ હેઠળના ચલોની ક્રિયાને કારણે પરિવર્તનશીલતા અને તેમની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા રેન્ડમ ચલ સાથે સહસંબંધિત છે. આ સંબંધનું સૂચક ફિશરની એફ ટેસ્ટ છે.

F માપદંડની ગણતરી માટેના સૂત્રમાં ભિન્નતાના અંદાજોનો સમાવેશ થાય છે, એટલે કે, લક્ષણના વિતરણ પરિમાણો, તેથી F માપદંડ એ પેરામેટ્રિક માપદંડ છે.

અભ્યાસ હેઠળના ચલો (પરિબળો) અથવા તેમની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને કારણે લક્ષણની પરિવર્તનક્ષમતા જેટલી વધારે છે પ્રયોગમૂલક માપદંડ મૂલ્યો.

શૂન્ય વિભિન્નતાના વિશ્લેષણમાં પૂર્વધારણા જણાવશે કે અભ્યાસ કરેલ અસરકારક લાક્ષણિકતાના સરેરાશ મૂલ્યો તમામ ગ્રેડેશનમાં સમાન છે.

વૈકલ્પિક પૂર્વધારણા જણાવશે કે અભ્યાસ હેઠળના પરિબળના વિવિધ ગ્રેડેશનમાં પરિણામી લાક્ષણિકતાના સરેરાશ મૂલ્યો અલગ છે.

વિભિન્નતાનું વિશ્લેષણ આપણને લાક્ષણિકતામાં ફેરફાર જણાવવા દે છે, પરંતુ તે સૂચવતું નથી દિશાઆ ફેરફારો.

જ્યારે આપણે માત્ર ની ક્રિયાનો અભ્યાસ કરીએ છીએ ત્યારે ચાલો સરળ કેસથી વિભિન્નતા વિશ્લેષણની વિચારણા શરૂ કરીએ એકચલ (એક પરિબળ).

2. અસંબંધિત નમૂનાઓ માટે ભિન્નતાનું એક-માર્ગી વિશ્લેષણ

2.1. પદ્ધતિનો હેતુ

વિભિન્નતાના એક-પરિબળ વિશ્લેષણની પદ્ધતિનો ઉપયોગ એવા કિસ્સાઓમાં થાય છે કે જ્યાં બદલાતી પરિસ્થિતિઓ અથવા પરિબળના ગ્રેડેશનના પ્રભાવ હેઠળ અસરકારક લાક્ષણિકતામાં ફેરફારોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. પદ્ધતિના આ સંસ્કરણમાં, પરિબળના દરેક ગ્રેડેશનનો પ્રભાવ છે અલગવિષયોના નમૂનાઓ. પરિબળના ઓછામાં ઓછા ત્રણ ગ્રેડેશન હોવા જોઈએ. (ત્યાં બે ક્રમાંકન હોઈ શકે છે, પરંતુ આ કિસ્સામાં આપણે બિનરેખીય અવલંબન સ્થાપિત કરી શકીશું નહીં અને સરળનો ઉપયોગ કરવો વધુ વ્યાજબી લાગે છે).

આ પ્રકારના વિશ્લેષણનું નોનપેરામેટ્રિક સંસ્કરણ ક્રુસ્કલ-વોલિસ એચ પરીક્ષણ છે.

પૂર્વધારણાઓ

H 0: પરિબળ ગ્રેડ (વિવિધ પરિસ્થિતિઓ) વચ્ચેના તફાવતો દરેક જૂથમાં રેન્ડમ તફાવતો કરતા વધારે નથી.

H 1: પરિબળ ગ્રેડ (વિવિધ પરિસ્થિતિઓ) વચ્ચેના તફાવતો દરેક જૂથમાં રેન્ડમ તફાવતો કરતાં વધારે છે.

2.2. અસંબંધિત નમૂનાઓ માટે ભિન્નતાના વન-વે વિશ્લેષણની મર્યાદાઓ

1. વિભિન્નતાના એક-માર્ગીય વિશ્લેષણ માટે પરિબળના ઓછામાં ઓછા ત્રણ ક્રમાંકન અને દરેક ગ્રેડેશનમાં ઓછામાં ઓછા બે વિષયોની જરૂર છે.

2. પરિણામી લાક્ષણિકતા સામાન્ય રીતે અભ્યાસ હેઠળના નમૂનામાં વિતરિત થવી જોઈએ.

સાચું છે, તે સામાન્ય રીતે સૂચવવામાં આવતું નથી કે શું આપણે આખા સર્વેક્ષણ કરેલ નમૂનામાં લાક્ષણિકતાના વિતરણ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ અથવા તેના તે ભાગમાં જે વિખેરાઈ જટિલ બનાવે છે.

3. ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને અસંબંધિત નમૂનાઓ માટે ભિન્નતાના એક-માર્ગીય વિશ્લેષણની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાને ઉકેલવાનું ઉદાહરણ:

છ વિષયોના ત્રણ જુદા જુદા જૂથોને દસ શબ્દોની યાદી આપવામાં આવી હતી. પ્રથમ જૂથને ઓછી ઝડપે શબ્દો રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા - 5 સેકન્ડ દીઠ 1 શબ્દ, બીજા જૂથને સરેરાશ ઝડપે - 1 શબ્દ પ્રતિ 2 સેકન્ડ, અને ત્રીજા જૂથને ઊંચી ઝડપે - 1 શબ્દ પ્રતિ સેકન્ડ. પ્રજનન પ્રદર્શન શબ્દ પ્રસ્તુતિની ઝડપ પર નિર્ભર રહેવાની આગાહી કરવામાં આવી હતી. પરિણામો કોષ્ટકમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે. 1.

પુનઃઉત્પાદિત શબ્દોની સંખ્યા કોષ્ટક 1

H 0: શબ્દ ઉત્પાદન સમયગાળામાં તફાવત વચ્ચેજૂથો રેન્ડમ તફાવતો કરતાં વધુ ઉચ્ચારણ નથી અંદરદરેક જૂથ.

H1: શબ્દ ઉત્પાદન વોલ્યુમમાં તફાવત વચ્ચેજૂથો રેન્ડમ તફાવતો કરતાં વધુ સ્પષ્ટ છે અંદરદરેક જૂથ. કોષ્ટકમાં પ્રસ્તુત પ્રાયોગિક મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને. 1, અમે કેટલાક મૂલ્યો સ્થાપિત કરીશું જે F માપદંડની ગણતરી કરવા માટે જરૂરી હશે.

ભિન્નતાના એક-માર્ગીય વિશ્લેષણ માટે મુખ્ય જથ્થાની ગણતરી કોષ્ટકમાં રજૂ કરવામાં આવી છે:

કોષ્ટક 2

કોષ્ટક 3

અસંબંધિત નમૂનાઓ માટે ભિન્નતાના એક-માર્ગીય વિશ્લેષણમાં કામગીરીનો ક્રમ

ઘણીવાર આ અને પછીના કોષ્ટકોમાં જોવા મળે છે, હોદ્દો SS એ "ચોરસનો સરવાળો" માટેનું સંક્ષિપ્ત રૂપ છે. આ સંક્ષેપનો ઉપયોગ મોટાભાગે અનુવાદિત સ્ત્રોતોમાં થાય છે.

એસ.એસ હકીકતઅભ્યાસ હેઠળના પરિબળની ક્રિયાને કારણે લાક્ષણિકતાની પરિવર્તનશીલતાનો અર્થ થાય છે;

એસ.એસ સામાન્ય રીતે- લક્ષણની સામાન્ય પરિવર્તનક્ષમતા;

એસ સી.એ.- બિનહિસાબી પરિબળોને લીધે પરિવર્તનશીલતા, "રેન્ડમ" અથવા "શેષ" પરિવર્તનક્ષમતા.

એમ.એસ- "મીન ચોરસ", અથવા ચોરસના સરવાળાની ગાણિતિક અપેક્ષા, અનુરૂપ SS નું સરેરાશ મૂલ્ય.

ડીએફ - સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા, જે, બિન-પેરામેટ્રિક માપદંડોને ધ્યાનમાં લેતા, અમે ગ્રીક અક્ષર દ્વારા સૂચિત કરીએ છીએ વિ.

નિષ્કર્ષ: H 0 નકારવામાં આવે છે. H 1 સ્વીકારવામાં આવે છે. જૂથો વચ્ચેના શબ્દ યાદમાં તફાવતો પ્રત્યેક જૂથ (α=0.05)માં રેન્ડમ તફાવતો કરતાં વધુ હતા. તેથી, શબ્દોની રજૂઆતની ઝડપ તેમના પ્રજનનની માત્રાને અસર કરે છે.

Excel માં સમસ્યા હલ કરવાનું ઉદાહરણ નીચે પ્રસ્તુત છે:

પ્રારંભિક ડેટા:

આદેશનો ઉપયોગ કરીને: ટૂલ્સ->ડેટા એનાલિસિસ->વન-વે એનોવા, અમને નીચેના પરિણામો મળે છે:

વિભિન્નતાનું એક-માર્ગી વિશ્લેષણ.

વિભિન્નતા વિશ્લેષણના ખ્યાલ અને મોડેલો.

વિષય 13. વિચલનનું વિશ્લેષણ

લેક્ચર 1. પ્રશ્નો:

સંશોધન પદ્ધતિ તરીકે વિભિન્નતાનું પૃથ્થકરણ, કૃષિમાં સંશોધનના સંબંધમાં આર. ફિશર (1918-1935)ની કૃતિઓમાં જોવા મળ્યું હતું કે તે પરિસ્થિતિઓને ઓળખવા માટે કે જેના હેઠળ કૃષિ પાકની પરીક્ષિત વિવિધતા મહત્તમ ઉપજ આપે છે. યેટ્સના કાર્યોમાં વિભિન્નતાનું વિશ્લેષણ વધુ વિકસાવવામાં આવ્યું હતું. વિભિન્નતાનું વિશ્લેષણ આપણને એ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા દે છે કે શું ચોક્કસ પરિબળો પરિબળની પરિવર્તનશીલતા પર નોંધપાત્ર પ્રભાવ ધરાવે છે, જેનાં મૂલ્યો અનુભવના પરિણામે મેળવી શકાય છે. આંકડાકીય પૂર્વધારણાઓનું પરીક્ષણ કરતી વખતે, અભ્યાસ કરવામાં આવતા પરિબળોમાં રેન્ડમ ભિન્નતા ધારવામાં આવે છે. વિભિન્નતાના વિશ્લેષણમાં, આપેલ રીતે એક અથવા વધુ પરિબળો બદલાય છે, અને આ ફેરફારો અવલોકનોના પરિણામોને અસર કરી શકે છે. આવા પ્રભાવનો અભ્યાસ એ ભિન્નતાના વિશ્લેષણનો હેતુ છે.

હાલમાં, અર્થશાસ્ત્ર, સમાજશાસ્ત્ર, જીવવિજ્ઞાન, વગેરેમાં વિભિન્નતા વિશ્લેષણનો વધુને વધુ વ્યાપક ઉપયોગ થઈ રહ્યો છે, ખાસ કરીને સૉફ્ટવેરના આગમન પછી જે આંકડાકીય ગણતરીઓની જટિલતાની સમસ્યાઓને દૂર કરે છે.

વ્યાવહારિક પ્રવૃત્તિઓમાં, વિજ્ઞાનના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં, આપણે ઘણીવાર અમુક સૂચકાંકો પર વિવિધ પરિબળોના પ્રભાવનું મૂલ્યાંકન કરવાની જરૂરિયાતનો સામનો કરીએ છીએ. મોટેભાગે આ પરિબળો ગુણાત્મક પ્રકૃતિના હોય છે (ઉદાહરણ તરીકે, આર્થિક અસરને પ્રભાવિત કરતું ગુણાત્મક પરિબળ નવી ઉત્પાદન વ્યવસ્થાપન પ્રણાલીની રજૂઆત હોઈ શકે છે) અને પછી વિચલન વિશ્લેષણ ચોક્કસ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે, કારણ કે તે સંશોધનની એકમાત્ર આંકડાકીય પદ્ધતિ બની જાય છે જે આવા પરિણામો આપે છે. એક આકારણી.

વિભિન્નતાના વિશ્લેષણથી તે નક્કી કરવાનું શક્ય બને છે કે વિચારણા હેઠળના પરિબળોમાંથી એક અથવા અન્ય કોઈ લક્ષણની પરિવર્તનશીલતા પર નોંધપાત્ર અસર કરે છે કે નહીં, તેમજ તેમની સંપૂર્ણતામાં પરિવર્તનશીલતાના દરેક સ્ત્રોતના "વિશિષ્ટ વજન"ને માપવાનું શક્ય બનાવે છે. પરંતુ વિભિન્નતાનું વિશ્લેષણ અમને ફક્ત નોંધપાત્ર પ્રભાવની હાજરી વિશે જ સકારાત્મક જવાબ આપવા દે છે, અન્યથા પ્રશ્ન ખુલ્લો રહે છે અને વધારાના સંશોધનની જરૂર પડે છે (મોટાભાગે, પ્રયોગોની સંખ્યામાં વધારો).

વિભિન્નતાના વિશ્લેષણમાં નીચેના શબ્દોનો ઉપયોગ થાય છે.

પરિબળ (X) એવું કંઈક છે જે અમે માનીએ છીએ કે પરિણામ (પરિણામાત્મક વિશેષતા) Y ને પ્રભાવિત કરવું જોઈએ.

પરિબળ સ્તર (અથવા પ્રક્રિયા પદ્ધતિ, કેટલીકવાર શાબ્દિક રીતે, ઉદાહરણ તરીકે, જમીનની ખેતી પદ્ધતિ) - મૂલ્યો (X, i = 1.2,...I) જે પરિબળ લઈ શકે છે.

પ્રતિભાવ - માપેલ લાક્ષણિકતાનું મૂલ્ય (પરિણામ મૂલ્ય Y).

ANOVA ટેકનિક અભ્યાસ કરવામાં આવતા સ્વતંત્ર પરિબળોની સંખ્યાના આધારે બદલાય છે. જો લાક્ષણિકતાના સરેરાશ મૂલ્યમાં પરિવર્તનશીલતાનું કારણ બને તેવા પરિબળો એક સ્ત્રોત સાથે સંબંધિત હોય, તો પછી આપણી પાસે એક સરળ જૂથ અથવા ભિન્નતાનું એક-પરિબળ વિશ્લેષણ છે અને તે મુજબ, બેવડા જૂથ - ભિન્નતાનું બે-પરિબળ વિશ્લેષણ, ત્રણ-પરિબળ વિચલનનું વિશ્લેષણ, ..., એમ-પરિબળ. મલ્ટિવેરિયેટ વિશ્લેષણમાં પરિબળો સામાન્ય રીતે લેટિન અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે: A, B, C, વગેરે.

ભિન્નતા વિશ્લેષણનું કાર્ય અવલોકન કરાયેલ રેન્ડમ ચલોના સરેરાશ મૂલ્યોની પરિવર્તનશીલતા પર અમુક પરિબળો (અથવા પરિબળોના સ્તરો) ના પ્રભાવનો અભ્યાસ કરવાનું છે.

વિચલન વિશ્લેષણનો સાર. ભિન્નતાના વિશ્લેષણમાં પરિવર્તનશીલતાનું કારણ બને તેવા વ્યક્તિગત પરિબળોને અલગ અને મૂલ્યાંકન કરવાનો સમાવેશ થાય છે. આ હેતુ માટે, અવલોકન કરેલ આંશિક વસ્તી (લક્ષણની કુલ ભિન્નતા), પરિવર્તનશીલતાના તમામ સ્ત્રોતોને કારણે, સ્વતંત્ર પરિબળો દ્વારા પેદા થતા વિભિન્ન ઘટકોમાં વિઘટિત થાય છે. આમાંના દરેક ઘટકો એકંદર વસ્તીમાં પરિવર્તનશીલતાના ચોક્કસ સ્ત્રોતને કારણે થતા ભિન્નતા , ,...નો અંદાજ પૂરો પાડે છે. આ ઘટક ભિન્નતા અંદાજોના મહત્વને ચકાસવા માટે, તેમની સરખામણી વસ્તીના કુલ વિભિન્નતા (ફિશર ટેસ્ટ) સાથે કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, બે-પરિબળ વિશ્લેષણમાં આપણને ફોર્મનું વિઘટન મળે છે:

અભ્યાસ કરેલ લક્ષણ C નો કુલ તફાવત;

પરિબળ A ના પ્રભાવને કારણે થતા તફાવતનો હિસ્સો;

પરિબળ B ના પ્રભાવને કારણે થતા તફાવતનો હિસ્સો;

પરિબળ A અને B ની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને કારણે થતા તફાવતનું પ્રમાણ;

બિનહિસાબી અવ્યવસ્થિત કારણો (રેન્ડમ વેરિઅન્સ) ને કારણે થતા તફાવતનો હિસ્સો;

ભિન્નતાના પૃથ્થકરણમાં, પૂર્વધારણાને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે: H 0 - વિચારણા હેઠળના પરિબળોમાંથી કોઈ પણ લક્ષણની પરિવર્તનશીલતા પર અસર કરતું નથી. ફિશર-સ્નેડેકોર F વિતરણ (પરિશિષ્ટ 4) ના નિર્ણાયક મૂલ્યોના કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરીને, મહત્વના સ્તર a પર, દરેક ભિન્નતા અંદાજનું મહત્વ તેના રેન્ડમ ભિન્નતા અંદાજના ગુણોત્તરના મૂલ્ય દ્વારા તપાસવામાં આવે છે અને સંબંધિત નિર્ણાયક મૂલ્ય સાથે સરખામણી કરવામાં આવે છે. . જો F ની ગણતરી કરવામાં આવે તો પરિવર્તનશીલતાના એક અથવા બીજા સ્ત્રોતને લગતી પૂર્વધારણા H 0 નકારવામાં આવે છે. > F cr. (ઉદાહરણ તરીકે, પરિબળ B માટે: S B 2 /S ε 2 >F cr.).

વિચલન વિશ્લેષણ 3 પ્રકારના પ્રયોગોને ધ્યાનમાં લે છે:

a) પ્રયોગો જેમાં તમામ પરિબળોનું વ્યવસ્થિત (નિશ્ચિત) સ્તર હોય છે;

b) પ્રયોગો જેમાં તમામ પરિબળો રેન્ડમ સ્તર ધરાવે છે;

c) પ્રયોગો જેમાં રેન્ડમ સ્તર ધરાવતા પરિબળો તેમજ નિશ્ચિત સ્તર ધરાવતા પરિબળો હોય છે.

કિસ્સાઓ a), b), c) ત્રણ મોડલને અનુરૂપ છે જે વિભિન્નતાના વિશ્લેષણમાં ગણવામાં આવે છે.

વિભિન્નતાના વિશ્લેષણ માટેનો ઇનપુટ ડેટા સામાન્ય રીતે નીચેના કોષ્ટકના રૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે છે:

એક પરિબળને ધ્યાનમાં લો જે p વિવિધ સ્તરો લે છે, અને ધારો કે દરેક સ્તરે n અવલોકનો કરવામાં આવે છે, N=np અવલોકનો આપે છે. (અમે ભિન્નતા વિશ્લેષણના પ્રથમ મોડેલને ધ્યાનમાં લેવા માટે અમારી જાતને મર્યાદિત કરીશું - બધા પરિબળોના સ્તર નિશ્ચિત છે.)

પરિણામોને X ij (i=1,2…,р; j=1,2,…,n) સ્વરૂપમાં રજૂ કરવા દો.

એવું માનવામાં આવે છે કે n અવલોકનોના દરેક સ્તર માટે સરેરાશ હોય છે, જે એકંદર સરેરાશના સરવાળાની બરાબર હોય છે અને પસંદ કરેલ સ્તરને કારણે તેની વિવિધતા હોય છે:

જ્યાં m એ એકંદર સરેરાશ છે;

એ i - પરિબળના i - m સ્તરને કારણે થતી અસર;

e ij - વ્યક્તિગત પરિબળ સ્તરની અંદર પરિણામોની વિવિધતા. e ij શબ્દ તમામ અનિયંત્રિત પરિબળોને ધ્યાનમાં લે છે.

નિશ્ચિત પરિબળ સ્તરે અવલોકનો સામાન્ય રીતે સરેરાશ m + A i ની આસપાસ સામાન્ય વિચલન s 2 સાથે વિતરિત કરવા દો.

પછી (ઇન્ડેક્સને બદલે ડોટ આ ઇન્ડેક્સ પરના અનુરૂપ અવલોકનોની સરેરાશ દર્શાવે છે):

A.X ij – X.. = (X i. – X..) + (X ij – X i.). (12.3)

સમીકરણની બંને બાજુઓને ચોરસ કર્યા પછી અને i અને j નો સરવાળો કર્યા પછી, આપણને મળે છે:

ત્યારથી, પરંતુ

નહિંતર, ચોરસનો સરવાળો લખી શકાય છે: S = S 1 + S 2. S 1 નું મૂલ્ય એકંદર સરેરાશ X. માંથી p સરેરાશના વિચલનો પરથી ગણવામાં આવે છે. તેથી S 1 પાસે સ્વતંત્રતાની (p-1) ડિગ્રી છે. S 2 નું મૂલ્ય p નમૂનાના અર્થમાંથી N અવલોકનોના વિચલનો પરથી ગણવામાં આવે છે અને તેથી, N-р = np - p=p(n-1) ડિગ્રી સ્વતંત્રતા ધરાવે છે. S પાસે સ્વતંત્રતાની (N-1) ડિગ્રી છે. ગણતરીના પરિણામોના આધારે, વિચલન વિશ્લેષણ કોષ્ટક બનાવવામાં આવે છે.

ANOVA ટેબલ

જો તમામ સ્તરોનો પ્રભાવ સમાન છે તેવી પૂર્વધારણા સાચી છે, તો M 1 અને M 2 (સરેરાશ ચોરસ) બંને s 2 ના નિષ્પક્ષ અંદાજો હશે. આનો અર્થ એ છે કે અનુમાનને ગુણોત્તર (M 1 / M 2) ની ગણતરી કરીને અને તેની F cr સાથે સરખામણી કરીને ચકાસી શકાય છે. ν 1 = (p-1) અને ν 2 = (N-p) સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી સાથે.

જો F ની ગણતરી કરવામાં આવે > F cr. , તો અવલોકનોના પરિણામ પર પરિબળ A ના નજીવા પ્રભાવ વિશેની પૂર્વધારણા સ્વીકારવામાં આવતી નથી.

F કેલ્ક પર તફાવતોના મહત્વનું મૂલ્યાંકન કરવા. F ટેબલ ગણતરી કરો:

a) પ્રાયોગિક ભૂલ

b) માધ્યમોના તફાવતમાં ભૂલ

c) સૌથી નાનો નોંધપાત્ર તફાવત

NSR સાથે વિકલ્પો માટે સરેરાશ મૂલ્યોમાં તફાવતની સરખામણી કરીને, તેઓ તારણ કાઢે છે કે સરેરાશ સ્તરમાં તફાવત નોંધપાત્ર છે.

ટિપ્પણી. વિભિન્નતાના વિશ્લેષણનો ઉપયોગ ધારે છે કે:

2) D(ε ij)=σ 2 = const,

3) ε ij → N (0, σ) અથવા x ij → N (a, σ).

વિભિન્નતાનું વિશ્લેષણ

શિસ્તમાં અભ્યાસક્રમ: "સિસ્ટમ્સ વિશ્લેષણ"

પરફોર્મર વિદ્યાર્થી જી.આર. 99 ISE-2 Zhbanov V.V.

ઓરેનબર્ગ સ્ટેટ યુનિવર્સિટી

માહિતી ટેકનોલોજી ફેકલ્ટી

એપ્લાઇડ ઇન્ફોર્મેટિક્સ વિભાગ

ઓરેનબર્ગ-2003

પરિચય

કાર્યનો હેતુ: વિભિન્નતાના વિશ્લેષણ જેવી આંકડાકીય પદ્ધતિથી પરિચિત થવા માટે.

વિક્ષેપ વિશ્લેષણ (લેટિન ડિસ્પર્સિયો - ડિસ્પર્ઝનમાંથી) એ એક આંકડાકીય પદ્ધતિ છે જે તમને અભ્યાસ હેઠળના ચલ પરના વિવિધ પરિબળોના પ્રભાવનું વિશ્લેષણ કરવાની મંજૂરી આપે છે. આ પદ્ધતિ 1925 માં જીવવિજ્ઞાની આર. ફિશર દ્વારા વિકસાવવામાં આવી હતી અને મૂળ રીતે તેનો ઉપયોગ પાક ઉત્પાદનમાં પ્રયોગોનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો. ત્યારબાદ, મનોવિજ્ઞાન, શિક્ષણશાસ્ત્ર, દવા વગેરેમાં પ્રયોગો માટે વિભિન્નતાના વિશ્લેષણનું સામાન્ય વૈજ્ઞાનિક મહત્વ સ્પષ્ટ થયું.

ભિન્નતાના વિશ્લેષણનો હેતુ ભિન્નતાઓની તુલના કરીને માધ્યમો વચ્ચેના તફાવતોના મહત્વને ચકાસવાનો છે. માપેલ લાક્ષણિકતાનો તફાવત સ્વતંત્ર શબ્દોમાં વિઘટિત થાય છે, જેમાંથી દરેક ચોક્કસ પરિબળ અથવા તેમની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના પ્રભાવને દર્શાવે છે. આવા શબ્દોની અનુગામી સરખામણી અમને અભ્યાસ હેઠળના દરેક પરિબળના મહત્વ તેમજ તેમના સંયોજન /1/નું મૂલ્યાંકન કરવાની મંજૂરી આપે છે.

જો શૂન્ય પૂર્વધારણા (વસ્તીમાંથી પસંદ કરાયેલા અવલોકનોના ઘણા જૂથોમાં અર્થ સમાન હોય છે) સાચું હોય, તો જૂથની અંદરની પરિવર્તનશીલતા સાથે સંકળાયેલ ભિન્નતાનો અંદાજ જૂથ વચ્ચેના તફાવતના અંદાજની નજીક હોવો જોઈએ.

બજાર સંશોધન કરતી વખતે, પરિણામોની તુલનાત્મકતાનો પ્રશ્ન વારંવાર ઉદ્ભવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે દેશના જુદા જુદા પ્રદેશોમાં ઉત્પાદનના વપરાશ પર સર્વેક્ષણો હાથ ધરવામાં આવે છે, ત્યારે સર્વેક્ષણ ડેટા કેટલી હદ સુધી અલગ છે અથવા એકબીજાથી અલગ નથી તેના નિષ્કર્ષ દોરવા જરૂરી છે. વ્યક્તિગત સૂચકાંકોની તુલના કરવાનો કોઈ અર્થ નથી, અને તેથી સરખામણી અને અનુગામી મૂલ્યાંકન પ્રક્રિયા આ સરેરાશ મૂલ્યાંકનમાંથી કેટલાક સરેરાશ મૂલ્યો અને વિચલનોનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે. લક્ષણની વિવિધતાનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. વિક્ષેપને વિવિધતાના માપદંડ તરીકે લઈ શકાય છે. વિક્ષેપ σ 2 એ વિવિધતાનું માપ છે, જે લાક્ષણિક વર્ગના વિચલનની સરેરાશ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.

વ્યવહારમાં, વધુ સામાન્ય પ્રકૃતિની સમસ્યાઓ ઘણીવાર ઊભી થાય છે - સંખ્યાબંધ નમૂનાઓની વસ્તીની સરેરાશમાં તફાવતના મહત્વને તપાસવાની સમસ્યા. ઉદાહરણ તરીકે, કૃષિ ઉત્પાદનોની ઉપજ પર ખાતરોના જથ્થાના પ્રભાવની સમસ્યાને ઉકેલવા માટે ઉત્પાદિત ઉત્પાદનોની ગુણવત્તા પર વિવિધ કાચા માલના પ્રભાવનું મૂલ્યાંકન કરવું જરૂરી છે.

કેટલીકવાર વિભિન્નતાના વિશ્લેષણનો ઉપયોગ ઘણી વસ્તીની એકરૂપતા સ્થાપિત કરવા માટે કરવામાં આવે છે (આ વસ્તીના ભિન્નતા ધારણા દ્વારા સમાન હોય છે; જો ભિન્નતાનું વિશ્લેષણ બતાવે છે કે ગાણિતિક અપેક્ષાઓ સમાન છે, તો આ અર્થમાં વસ્તી એકરૂપ છે). સજાતીય વસ્તીને એકમાં જોડી શકાય છે અને તેના દ્વારા તેના વિશે વધુ સંપૂર્ણ માહિતી મેળવી શકાય છે, અને તેથી વધુ વિશ્વસનીય તારણો /2/.

1 વિચલનનું વિશ્લેષણ

1.1 વિભિન્નતાના વિશ્લેષણની મૂળભૂત વિભાવનાઓ

અભ્યાસ હેઠળના ઑબ્જેક્ટનું નિરીક્ષણ કરવાની પ્રક્રિયામાં, ગુણાત્મક પરિબળો મનસ્વી રીતે અથવા આપેલ રીતે બદલાય છે. પરિબળના ચોક્કસ અમલીકરણ (ઉદાહરણ તરીકે, ચોક્કસ તાપમાન શાસન, પસંદ કરેલ સાધનો અથવા સામગ્રી)ને પરિબળ સ્તર અથવા પ્રક્રિયા પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે. પરિબળના નિશ્ચિત સ્તરો સાથે વિચલન મોડેલના વિશ્લેષણને મોડેલ I કહેવામાં આવે છે, રેન્ડમ પરિબળો સાથેના મોડેલને મોડેલ II કહેવામાં આવે છે. પરિબળને અલગ કરીને, પ્રતિભાવની તીવ્રતા પર તેના પ્રભાવનો અભ્યાસ કરવો શક્ય છે. હાલમાં, મૉડલ I માટે વિભિન્નતાના વિશ્લેષણનો સામાન્ય સિદ્ધાંત વિકસાવવામાં આવ્યો છે.

પરિણામી લાક્ષણિકતાની વિવિધતાને નિર્ધારિત કરતા પરિબળોની સંખ્યાના આધારે, ભિન્નતાના વિશ્લેષણને સિંગલ-ફેક્ટર અને મલ્ટિફેક્ટરમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.

બે અથવા વધુ પરિબળો સાથે સ્રોત ડેટાને ગોઠવવા માટેની મુખ્ય યોજનાઓ છે:

ક્રોસ-વર્ગીકરણ, મોડેલ I ની લાક્ષણિકતા, જેમાં બીજા પરિબળના દરેક ગ્રેડેશન સાથે પ્રયોગનું આયોજન કરતી વખતે એક પરિબળના દરેક સ્તરને જોડવામાં આવે છે;

અધિક્રમિક (ક્લસ્ટર) વર્ગીકરણ, મોડેલ II ની લાક્ષણિકતા, જેમાં એક પરિબળનું દરેક રેન્ડમ, રેન્ડમલી પસંદ કરેલ મૂલ્ય બીજા પરિબળના મૂલ્યોના તેના પોતાના સબસેટને અનુરૂપ છે.

જો ગુણાત્મક અને જથ્થાત્મક પરિબળો પરના પ્રતિભાવની અવલંબનનો એક સાથે અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, એટલે કે. મિશ્ર પ્રકૃતિના પરિબળો, પછી સહપ્રવર્તન વિશ્લેષણનો ઉપયોગ થાય છે /3/.

આમ, આ મોડેલો પરિબળના સ્તરો પસંદ કરવાની રીતમાં એકબીજાથી અલગ પડે છે, જે દેખીતી રીતે પ્રાયોગિક પરિણામોને સામાન્ય બનાવવાની શક્યતાને અસર કરે છે. એકલ-પરિબળ પ્રયોગોના ANOVA માટે, આ બે મોડેલો વચ્ચેનો તફાવત એટલો નોંધપાત્ર નથી, પરંતુ મલ્ટિવેરિયેટ ANOVA માં તે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ હોઈ શકે છે.

ભિન્નતાનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે, નીચેની આંકડાકીય ધારણાઓ પૂરી કરવી આવશ્યક છે: પરિબળના સ્તરને ધ્યાનમાં લીધા વિના, પ્રતિભાવ મૂલ્યોમાં સામાન્ય (ગૌસીયન) વિતરણ કાયદો અને સમાન તફાવત હોય છે. ભિન્નતાની આ સમાનતાને એકરૂપતા કહેવામાં આવે છે. આમ, પ્રક્રિયા પદ્ધતિમાં ફેરફાર માત્ર રેન્ડમ પ્રતિભાવ ચલની સ્થિતિને અસર કરે છે, જે સરેરાશ મૂલ્ય અથવા મધ્ય દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. તેથી, તમામ પ્રતિભાવ અવલોકનો સામાન્ય વિતરણના શિફ્ટ પરિવારના છે.

ANOVA ટેકનિક "મજબૂત" હોવાનું કહેવાય છે. આંકડાશાસ્ત્રીઓ દ્વારા ઉપયોગમાં લેવાતા આ શબ્દનો અર્થ એ છે કે આપેલ ધારણાઓનું અમુક અંશે ઉલ્લંઘન થઈ શકે છે, પરંતુ તકનીકનો ઉપયોગ હજુ પણ થઈ શકે છે.

જ્યારે પ્રતિભાવ મૂલ્યોના વિતરણનો કાયદો અજ્ઞાત હોય, ત્યારે બિનપેરામેટ્રિક (મોટાભાગે રેન્ક) વિશ્લેષણ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

ભિન્નતાનું પૃથ્થકરણ ભિન્નતાને ભાગો અથવા ઘટકોમાં વિભાજીત કરવા પર આધારિત છે. ગ્રૂપિંગ અંતર્ગત પરિબળના પ્રભાવને કારણે ભિન્નતા આંતર-જૂથ વિખેરી σ 2 દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. તે જૂથોમાં આંશિક સરેરાશની વિવિધતાનું માપ છે

જ્યાં k એ જૂથોની સંખ્યા છે;

n j - j-th જૂથમાં એકમોની સંખ્યા;

અન્ય પરિબળોના પ્રભાવને લીધે થતી ભિન્નતા દરેક જૂથમાં ઇન્ટ્રાગ્રુપ વેરિઅન્સ σ j 2 દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

કુલ ભિન્નતા σ 0 2 ની વચ્ચે , જૂથ ભેદ σ 2 ની અંદર અને જૂથ ભિન્નતા વચ્ચે

1.2 ભિન્નતાનું એક-માર્ગી વિશ્લેષણ

એક-પરિબળ વિચલન મોડેલનું સ્વરૂપ છે:

x ij = μ + F j + ε ij , (1)

જ્યાં x ij એ પરિબળ (i=1,2,...,t) ના i-th સ્તરે j-th સીરીયલ નંબર (j=1,2,... .,n);

F i - પરિબળના i-th સ્તરના પ્રભાવને કારણે થતી અસર;

ε ij - અવ્યવસ્થિત ઘટક, અથવા અનિયંત્રિત પરિબળોના પ્રભાવને કારણે વિક્ષેપ, એટલે કે. ચોક્કસ સ્તરની અંદર વિવિધતા.

વિભિન્નતાના વિશ્લેષણ માટે મૂળભૂત પૂર્વજરૂરીયાતો:

વિક્ષેપ ε ij ની ગાણિતિક અપેક્ષા કોઈપણ i માટે શૂન્ય બરાબર છે, એટલે કે.

M(ε ij) = 0; (2)

વિક્ષેપ ε ij પરસ્પર સ્વતંત્ર છે;

ચલ x ij (અથવા વિક્ષેપ ε ij) નું વિચલન સતત છે

કોઈપણ i, j, i.e.

D(ε ij) = σ 2 ; (3)

ચલ x ij (અથવા વિક્ષેપ ε ij) નો સામાન્ય કાયદો છે

વિતરણ N(0;σ 2).

પરિબળ સ્તરોનો પ્રભાવ કાં તો નિશ્ચિત અથવા વ્યવસ્થિત (મોડલ I) અથવા રેન્ડમ (મોડલ II) હોઈ શકે છે.

ધારો કે, ઉદાહરણ તરીકે, કેટલાક ગુણવત્તા સૂચકના સંદર્ભમાં ઉત્પાદનોના બેચ વચ્ચે નોંધપાત્ર તફાવત છે કે કેમ તે શોધવાનું જરૂરી છે, એટલે કે. એક પરિબળની ગુણવત્તા પર પ્રભાવ તપાસો - ઉત્પાદનોનો સમૂહ. જો આપણે અભ્યાસમાં કાચા માલના તમામ બેચનો સમાવેશ કરીએ, તો આવા પરિબળના સ્તરનો પ્રભાવ વ્યવસ્થિત (મોડલ I) છે, અને પ્રાપ્ત તારણો ફક્ત તે વ્યક્તિગત બેચને લાગુ પડે છે જે અભ્યાસમાં સામેલ હતા. જો આપણે પક્ષોના અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલા ભાગનો જ સમાવેશ કરીએ, તો પરિબળનો પ્રભાવ રેન્ડમ (મોડલ II) છે. મલ્ટિફેક્ટર સંકુલમાં, મિશ્ર મોડલ III શક્ય છે, જેમાં કેટલાક પરિબળોમાં રેન્ડમ સ્તર હોય છે, જ્યારે અન્યમાં નિશ્ચિત સ્તર હોય છે.