અપૂર્ણાંક, અપૂર્ણાંક સાથેની કામગીરી. પારસ્પરિક સંખ્યાઓ

આ લેખ વિશે છે સામાન્ય અપૂર્ણાંક. અહીં આપણે સંપૂર્ણના અપૂર્ણાંકનો ખ્યાલ રજૂ કરીશું, જે આપણને સામાન્ય અપૂર્ણાંકની વ્યાખ્યા તરફ દોરી જશે. આગળ આપણે સામાન્ય અપૂર્ણાંક માટે સ્વીકૃત સંકેત પર ધ્યાન આપીશું અને અપૂર્ણાંકના ઉદાહરણો આપીશું, ચાલો અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ વિશે કહીએ. આ પછી, આપણે યોગ્ય અને અયોગ્ય, ધન અને ઋણ અપૂર્ણાંકોની વ્યાખ્યા આપીશું, અને સંકલન કિરણ પર અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓની સ્થિતિને પણ ધ્યાનમાં લઈશું. નિષ્કર્ષમાં, અમે અપૂર્ણાંક સાથે મુખ્ય કામગીરીની સૂચિ બનાવીએ છીએ.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

સમગ્ર ના શેર

પ્રથમ અમે પરિચય આપીએ છીએ શેરનો ખ્યાલ.

ચાલો માની લઈએ કે આપણી પાસે અમુક એકદમ સરખા (એટલે કે સમાન) ભાગોથી બનેલો પદાર્થ છે. સ્પષ્ટતા માટે, તમે કલ્પના કરી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, એક સફરજનને ઘણા સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે, અથવા નારંગીમાં ઘણા સમાન ટુકડાઓ હોય છે. આ દરેક સમાન ભાગો જે સમગ્ર પદાર્થ બનાવે છે તેને કહેવામાં આવે છે સમગ્ર ભાગોઅથવા સરળ રીતે શેર.

નોંધ કરો કે શેર અલગ છે. ચાલો આ સમજાવીએ. ચાલો આપણે બે સફરજન લઈએ. પ્રથમ સફરજનને બે સમાન ભાગોમાં અને બીજાને 6 સમાન ભાગોમાં કાપો. તે સ્પષ્ટ છે કે પ્રથમ સફરજનનો હિસ્સો બીજા સફરજનના શેર કરતા અલગ હશે.

સમગ્ર ઑબ્જેક્ટ બનાવે છે તે શેરની સંખ્યાના આધારે, આ શેરના પોતાના નામ છે. ચાલો તેને સૉર્ટ કરીએ ધબકારાનાં નામ. જો કોઈ ઑબ્જેક્ટમાં બે ભાગો હોય, તો તેમાંથી કોઈપણને સમગ્ર ઑબ્જેક્ટનો એક સેકન્ડ ભાગ કહેવામાં આવે છે; જો કોઈ વસ્તુમાં ત્રણ ભાગો હોય, તો તેમાંથી કોઈપણને ત્રીજો ભાગ કહેવામાં આવે છે, વગેરે.

એક સેકન્ડ શેરનું ખાસ નામ છે - અડધા. એક તૃતીયાંશ કહેવાય છે ત્રીજું, અને એક ક્વાર્ટર ભાગ - ચોથા ભાગનું.

સંક્ષિપ્તતા માટે, નીચેની એન્ટ્રીઓ રજૂ કરવામાં આવી છે: બીટ હોદ્દો. એક સેકન્ડ શેર અથવા 1/2 તરીકે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે, એક ત્રીજો શેર અથવા 1/3 તરીકે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે; એક ચોથો શેર - લાઇક અથવા 1/4, અને તેથી વધુ. નોંધ કરો કે આડી પટ્ટી સાથેનો સંકેત વધુ વખત ઉપયોગમાં લેવાય છે. સામગ્રીને મજબુત બનાવવા માટે, ચાલો એક વધુ ઉદાહરણ આપીએ: એન્ટ્રી સમગ્રનો એકસો સાઠ સાતમો ભાગ દર્શાવે છે.

શેરની વિભાવના કુદરતી રીતે વસ્તુઓથી જથ્થા સુધી વિસ્તરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, લંબાઈના માપદંડોમાંનું એક મીટર છે. મીટર કરતાં નાની લંબાઈને માપવા માટે, મીટરના અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. તેથી તમે ઉપયોગ કરી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, અડધો મીટર અથવા દસમો અથવા મીટરનો હજારમો. અન્ય જથ્થાના શેર સમાન રીતે લાગુ પડે છે.

સામાન્ય અપૂર્ણાંક, વ્યાખ્યા અને અપૂર્ણાંકના ઉદાહરણો

અમે ઉપયોગ કરીએ છીએ તે શેર્સની સંખ્યાનું વર્ણન કરવા માટે સામાન્ય અપૂર્ણાંક. ચાલો એક ઉદાહરણ આપીએ જે આપણને સામાન્ય અપૂર્ણાંકોની વ્યાખ્યાનો સંપર્ક કરવા દેશે.

નારંગીમાં 12 ભાગો થવા દો. આ કિસ્સામાં દરેક શેર સંપૂર્ણ નારંગીના બારમા ભાગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, એટલે કે. આપણે બે ધબકારા આ રીતે દર્શાવીએ છીએ, ત્રણ ધબકારા આ રીતે, અને તેથી વધુ, 12 ધબકારા તરીકે આપણે સૂચવીએ છીએ. આપેલ દરેક એન્ટ્રીને સામાન્ય અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે.

હવે એક જનરલ આપીએ સામાન્ય અપૂર્ણાંકની વ્યાખ્યા.

સામાન્ય અપૂર્ણાંકોની અવાજવાળી વ્યાખ્યા આપણને આપવા દે છે સામાન્ય અપૂર્ણાંકના ઉદાહરણો: 5/10, , 21/1, 9/4, . અને અહીં રેકોર્ડ છે સામાન્ય અપૂર્ણાંકની જણાવેલ વ્યાખ્યામાં બંધબેસતા નથી, એટલે કે, તે સામાન્ય અપૂર્ણાંક નથી.

અંશ અને છેદ

સગવડ માટે, સામાન્ય અપૂર્ણાંકોને અલગ પાડવામાં આવે છે અંશ અને છેદ.

વ્યાખ્યા.

અંશસામાન્ય અપૂર્ણાંક (m/n) એ કુદરતી સંખ્યા m છે.

વ્યાખ્યા.

છેદસામાન્ય અપૂર્ણાંક (m/n) એ કુદરતી સંખ્યા n છે.

તેથી, અંશ અપૂર્ણાંક રેખાની ઉપર સ્થિત છે (સ્લેશની ડાબી બાજુએ), અને છેદ અપૂર્ણાંક રેખાની નીચે (સ્લેશની જમણી બાજુએ) સ્થિત છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો સામાન્ય અપૂર્ણાંક 17/29 લઈએ, આ અપૂર્ણાંકનો અંશ નંબર 17 છે, અને છેદ 29 નંબર છે.

સામાન્ય અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદમાં સમાવિષ્ટ અર્થની ચર્ચા કરવાનું બાકી છે. અપૂર્ણાંકનો છેદ બતાવે છે કે એક પદાર્થ કેટલા ભાગો ધરાવે છે, અને અંશ, બદલામાં, આવા શેરોની સંખ્યા સૂચવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક 12/5 ના છેદ 5 નો અર્થ છે કે એક પદાર્થ પાંચ શેર ધરાવે છે, અને અંશ 12 નો અર્થ છે કે આવા 12 શેર લેવામાં આવ્યા છે.

છેદ 1 સાથે અપૂર્ણાંક તરીકે કુદરતી સંખ્યા

સામાન્ય અપૂર્ણાંકનો છેદ એક સમાન હોઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં, આપણે ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ કે ઑબ્જેક્ટ અવિભાજ્ય છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે કંઈક સંપૂર્ણ રજૂ કરે છે. આવા અપૂર્ણાંકનો અંશ સૂચવે છે કે કેટલી બધી વસ્તુઓ લેવામાં આવી છે. આમ, m/1 ફોર્મના સામાન્ય અપૂર્ણાંકનો અર્થ કુદરતી સંખ્યા m છે. આ રીતે અમે સમાનતા m/1=m ની માન્યતા સાબિત કરી.

ચાલો છેલ્લી સમાનતાને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખીએ: m=m/1. આ સમાનતા આપણને કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા m ને સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરવાની મંજૂરી આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, નંબર 4 એ અપૂર્ણાંક 4/1 છે, અને સંખ્યા 103,498 અપૂર્ણાંક 103,498/1 ની બરાબર છે.

તેથી, કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા m ને 1 ના છેદ સાથે m/1 તરીકે સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, અને m/1 સ્વરૂપના કોઈપણ સામાન્ય અપૂર્ણાંકને કુદરતી સંખ્યા m દ્વારા બદલી શકાય છે..

વિભાજન ચિહ્ન તરીકે અપૂર્ણાંક બાર

મૂળ વસ્તુને n શેરના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવી એ n સમાન ભાગોમાં વિભાજન કરતાં વધુ કંઈ નથી. આઇટમને n શેરમાં વિભાજિત કર્યા પછી, અમે તેને n લોકોમાં સમાનરૂપે વહેંચી શકીએ છીએ - દરેકને એક શેર પ્રાપ્ત થશે.

જો આપણી પાસે શરૂઆતમાં m સમાન વસ્તુઓ હોય, જેમાંથી દરેક n શેરમાં વિભાજિત હોય, તો પછી આપણે આ m વસ્તુઓને n લોકો વચ્ચે સમાન રીતે વિભાજિત કરી શકીએ છીએ, દરેક વ્યક્તિને દરેક m ઑબ્જેક્ટમાંથી એક શેર આપીને. આ કિસ્સામાં, દરેક વ્યક્તિ પાસે 1/n ના m શેર હશે, અને 1/n ના m શેર સામાન્ય અપૂર્ણાંક m/n આપે છે. આમ, સામાન્ય અપૂર્ણાંક m/n નો ઉપયોગ n લોકો વચ્ચે m વસ્તુઓના વિભાજનને દર્શાવવા માટે થઈ શકે છે.

આ રીતે આપણે સામાન્ય અપૂર્ણાંક અને ભાગાકાર વચ્ચે સ્પષ્ટ જોડાણ મેળવ્યું (કુદરતી સંખ્યાઓને વિભાજિત કરવાનો સામાન્ય વિચાર જુઓ). આ જોડાણ નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરવામાં આવ્યું છે: અપૂર્ણાંક રેખાને વિભાજન ચિહ્ન તરીકે સમજી શકાય છે, એટલે કે, m/n=m:n.

સામાન્ય અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને, તમે બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ભાગાકારનું પરિણામ લખી શકો છો જેના માટે સંપૂર્ણ ભાગાકાર કરી શકાતો નથી. ઉદાહરણ તરીકે, 5 સફરજનને 8 લોકો દ્વારા વિભાજીત કરવાનું પરિણામ 5/8 તરીકે લખી શકાય છે, એટલે કે, દરેકને સફરજનના પાંચ-આઠમા ભાગ મળશે: 5:8 = 5/8.

સમાન અને અસમાન અપૂર્ણાંક, અપૂર્ણાંકની સરખામણી

એકદમ કુદરતી ક્રિયા છે અપૂર્ણાંકની તુલના, કારણ કે તે સ્પષ્ટ છે કે નારંગીનો 1/12 ભાગ 5/12 કરતા અલગ છે, અને સફરજનનો 1/6 ભાગ આ સફરજનના બીજા 1/6 સમાન છે.

બે સામાન્ય અપૂર્ણાંકોની તુલના કરવાના પરિણામે, પરિણામોમાંથી એક પ્રાપ્ત થાય છે: અપૂર્ણાંક કાં તો સમાન અથવા અસમાન છે. પ્રથમ કિસ્સામાં અમારી પાસે છે સમાન સામાન્ય અપૂર્ણાંક, અને બીજામાં - અસમાન સામાન્ય અપૂર્ણાંક. ચાલો સમાન અને અસમાન સામાન્ય અપૂર્ણાંકની વ્યાખ્યા આપીએ.

વ્યાખ્યા.

સમાન, જો સમાનતા a·d=b·c સાચી હોય.

વ્યાખ્યા.

બે સામાન્ય અપૂર્ણાંક a/b અને c/d સમાન નથી, જો સમાનતા a·d=b·c સંતુષ્ટ ન હોય.

અહીં સમાન અપૂર્ણાંકના કેટલાક ઉદાહરણો છે. ઉદાહરણ તરીકે, સામાન્ય અપૂર્ણાંક 1/2 એ અપૂર્ણાંક 2/4 ની બરાબર છે, કારણ કે 1·4=2·2 (જો જરૂરી હોય તો, પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગુણાકારના નિયમો અને ઉદાહરણો જુઓ). સ્પષ્ટતા માટે, તમે બે સમાન સફરજનની કલ્પના કરી શકો છો, પ્રથમ અડધા ભાગમાં કાપવામાં આવે છે, અને બીજું 4 ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે. તે સ્પષ્ટ છે કે સફરજનના બે ચતુર્થાંશ 1/2 શેર બરાબર છે. સમાન સામાન્ય અપૂર્ણાંકના અન્ય ઉદાહરણો છે અપૂર્ણાંક 4/7 અને 36/63, અને અપૂર્ણાંકની જોડી 81/50 અને 1,620/1,000.

પરંતુ સામાન્ય અપૂર્ણાંક 4/13 અને 5/14 સમાન નથી, કારણ કે 4·14=56, અને 13·5=65, એટલે કે, 4·14≠13·5. અસમાન સામાન્ય અપૂર્ણાંકના અન્ય ઉદાહરણો અપૂર્ણાંક 17/7 અને 6/4 છે.

જો, બે સામાન્ય અપૂર્ણાંકોની તુલના કરતી વખતે, તે તારણ આપે છે કે તેઓ સમાન નથી, તો તમારે આમાંથી કયા સામાન્ય અપૂર્ણાંકો શોધવાની જરૂર પડી શકે છે. ઓછુંઅલગ, અને કયું - વધુ. તે જાણવા માટે, સામાન્ય અપૂર્ણાંકોની સરખામણી કરવા માટેના નિયમનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જેનો સાર એ છે કે તુલનાત્મક અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદમાં લાવવો અને પછી અંશની તુલના કરવી. આ વિષય પર વિગતવાર માહિતી અપૂર્ણાંકની તુલના લેખમાં એકત્રિત કરવામાં આવી છે: નિયમો, ઉદાહરણો, ઉકેલો.

અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ

દરેક અપૂર્ણાંક એક સંકેત છે અપૂર્ણાંક સંખ્યા. એટલે કે, અપૂર્ણાંક એ અપૂર્ણાંક સંખ્યાનો ફક્ત "શેલ" છે, તેનો દેખાવ અને તમામ સિમેન્ટીક લોડ અપૂર્ણાંક નંબરમાં સમાયેલ છે. જો કે, સંક્ષિપ્તતા અને સગવડતા માટે, અપૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક સંખ્યાની વિભાવનાઓને જોડવામાં આવે છે અને તેને સરળ રીતે અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે. અહીં એક જાણીતી કહેવતને સમજાવવું યોગ્ય છે: અમે અપૂર્ણાંક કહીએ છીએ - અમારો અર્થ અપૂર્ણાંક સંખ્યા છે, અમે અપૂર્ણાંક સંખ્યા કહીએ છીએ - અમારો અર્થ અપૂર્ણાંક છે.

સંકલન કિરણ પરના અપૂર્ણાંક

સામાન્ય અપૂર્ણાંકોને અનુરૂપ તમામ અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓનું પોતાનું આગવું સ્થાન હોય છે, એટલે કે, અપૂર્ણાંક અને સંકલન કિરણના બિંદુઓ વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર હોય છે.

અપૂર્ણાંક m/n ને અનુરૂપ સંકલન કિરણ પરના બિંદુ પર જવા માટે, તમારે મૂળમાંથી m સેગમેન્ટ્સને હકારાત્મક દિશામાં અલગ રાખવાની જરૂર છે, જેની લંબાઈ એકમ સેગમેન્ટનો 1/n અપૂર્ણાંક છે. આવા સેગમેન્ટ્સને એકમ સેગમેન્ટને n સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરીને મેળવી શકાય છે, જે હંમેશા હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો અપૂર્ણાંક 14/10 ને અનુરૂપ, સંકલન કિરણ પર બિંદુ M બતાવીએ. બિંદુ O પર સમાપ્ત થાય છે અને તેની સૌથી નજીકનો બિંદુ, નાના ડેશ સાથે ચિહ્નિત થયેલ સેગમેન્ટની લંબાઈ એકમ સેગમેન્ટનો 1/10 છે. કોઓર્ડિનેટ 14/10 સાથેના બિંદુને આવા 14 સેગમેન્ટ્સના અંતરે મૂળમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે.

સમાન અપૂર્ણાંકો સમાન અપૂર્ણાંક સંખ્યાને અનુરૂપ છે, એટલે કે, સમાન અપૂર્ણાંક એ સંકલન કિરણ પર સમાન બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ છે. ઉદાહરણ તરીકે, કોઓર્ડિનેટ્સ 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 કોઓર્ડિનેટ કિરણ પરના એક બિંદુને અનુરૂપ છે, કારણ કે તમામ લેખિત અપૂર્ણાંક સમાન છે (તે મૂકેલા અડધા એકમ સેગમેન્ટના અંતરે સ્થિત છે. સકારાત્મક દિશામાં મૂળમાંથી).

આડા અને જમણે-નિર્દેશિત સંકલન કિરણ પર, જે બિંદુનો સંકલન મોટો અપૂર્ણાંક છે તે બિંદુની જમણી બાજુએ સ્થિત છે જેનું સંકલન નાનું અપૂર્ણાંક છે. એ જ રીતે, નાના કોઓર્ડિનેટ ધરાવતો બિંદુ મોટા કોઓર્ડિનેટવાળા બિંદુની ડાબી બાજુએ આવેલું છે.

યોગ્ય અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકો, વ્યાખ્યાઓ, ઉદાહરણો

સામાન્ય અપૂર્ણાંકો વચ્ચે છે યોગ્ય અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક. આ વિભાજન અંશ અને છેદની સરખામણી પર આધારિત છે.

ચાલો આપણે યોગ્ય અને અયોગ્ય સામાન્ય અપૂર્ણાંકોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ.

વ્યાખ્યા.

યોગ્ય અપૂર્ણાંકએક સામાન્ય અપૂર્ણાંક છે જેનો અંશ છેદ કરતા ઓછો છે, એટલે કે, જો m

વ્યાખ્યા.

અયોગ્ય અપૂર્ણાંકએ એક સામાન્ય અપૂર્ણાંક છે જેમાં અંશ છેદ કરતા મોટો અથવા તેના સમાન હોય છે, એટલે કે, જો m≥n હોય, તો સામાન્ય અપૂર્ણાંક અયોગ્ય છે.

અહીં યોગ્ય અપૂર્ણાંકના કેટલાક ઉદાહરણો છે: 1/4, , 32,765/909,003. ખરેખર, દરેક લેખિત સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં અંશ છેદ કરતા ઓછો હોય છે (જો જરૂરી હોય તો, પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની સરખામણી કરતો લેખ જુઓ), તેથી તેઓ વ્યાખ્યા દ્વારા સાચા છે.

અહીં અયોગ્ય અપૂર્ણાંકના ઉદાહરણો છે: 9/9, 23/4, . ખરેખર, લેખિત સામાન્ય અપૂર્ણાંકોમાંથી પ્રથમનો અંશ છેદ સમાન છે, અને બાકીના અપૂર્ણાંકોમાં અંશ છેદ કરતા મોટો છે.

એક સાથે અપૂર્ણાંકની સરખામણીના આધારે યોગ્ય અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકોની વ્યાખ્યાઓ પણ છે.

વ્યાખ્યા.

યોગ્ય, જો તે એક કરતા ઓછું હોય.

વ્યાખ્યા.

એક સામાન્ય અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે ખોટું, જો તે કાં તો એક સમાન હોય અથવા 1 કરતા વધારે હોય.

તેથી સામાન્ય અપૂર્ણાંક 7/11 સાચો છે, 7/11 થી<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1, અને 27/27=1.

ચાલો વિચારીએ કે કેવી રીતે છેદ કરતા મોટા અથવા સમાન અંશ સાથેના સામાન્ય અપૂર્ણાંક આવા નામને લાયક છે - "અયોગ્ય".

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો અયોગ્ય અપૂર્ણાંક 9/9 લઈએ. આ અપૂર્ણાંકનો અર્થ એ છે કે નવ ભાગોનો સમાવેશ કરતી વસ્તુના નવ ભાગો લેવામાં આવે છે. એટલે કે ઉપલબ્ધ નવ ભાગોમાંથી આપણે એક આખો પદાર્થ બનાવી શકીએ છીએ. એટલે કે, અયોગ્ય અપૂર્ણાંક 9/9 આવશ્યકપણે સમગ્ર ઑબ્જેક્ટ આપે છે, એટલે કે, 9/9 = 1. સામાન્ય રીતે, છેદ સમાન અંશ સાથે અયોગ્ય અપૂર્ણાંક એક સંપૂર્ણ પદાર્થ દર્શાવે છે, અને આવા અપૂર્ણાંકને કુદરતી સંખ્યા 1 દ્વારા બદલી શકાય છે.

હવે અયોગ્ય અપૂર્ણાંક 7/3 અને 12/4 ને ધ્યાનમાં લો. તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે આ સાત ત્રીજા ભાગમાંથી આપણે બે આખા ઓબ્જેક્ટ કંપોઝ કરી શકીએ છીએ (એક સંપૂર્ણ ઑબ્જેક્ટમાં 3 ભાગો હોય છે, પછી બે સંપૂર્ણ ઑબ્જેક્ટ બનાવવા માટે આપણને 3 + 3 = 6 ભાગોની જરૂર પડશે) અને હજી એક તૃતીયાંશ ભાગ બાકી રહેશે. . એટલે કે, અયોગ્ય અપૂર્ણાંક 7/3 એ આવશ્યકપણે 2 વસ્તુઓનો અર્થ થાય છે અને આવા પદાર્થનો 1/3 પણ. અને બાર ચતુર્થાંશ ભાગોમાંથી આપણે ત્રણ આખા ઓબ્જેક્ટ બનાવી શકીએ છીએ (દરેક ભાગો સાથે ત્રણ વસ્તુઓ). એટલે કે, અપૂર્ણાંક 12/4 અનિવાર્યપણે 3 સંપૂર્ણ વસ્તુઓનો અર્થ થાય છે.

ધ્યાનમાં લીધેલા ઉદાહરણો આપણને નીચેના નિષ્કર્ષ પર લઈ જાય છે: અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને કુદરતી સંખ્યાઓ દ્વારા બદલી શકાય છે, જ્યારે અંશને છેદ દ્વારા સમાનરૂપે વિભાજિત કરવામાં આવે છે (ઉદાહરણ તરીકે, 9/9=1 અને 12/4=3), અથવા સરવાળો દ્વારા કુદરતી સંખ્યા અને યોગ્ય અપૂર્ણાંકનો, જ્યારે અંશ છેદ દ્વારા સરખે ભાગે વિભાજ્ય ન હોય (ઉદાહરણ તરીકે, 7/3=2+1/3). કદાચ આને કારણે જ અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને "અનિયમિત" નામ મળ્યું.

પ્રાકૃતિક સંખ્યા અને યોગ્ય અપૂર્ણાંક (7/3=2+1/3) ના સરવાળા તરીકે અયોગ્ય અપૂર્ણાંકનું પ્રતિનિધિત્વ એ ખાસ રસ છે. આ પ્રક્રિયાને આખા ભાગને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકથી અલગ કરવાનું કહેવામાં આવે છે, અને તે અલગ અને વધુ કાળજીપૂર્વક વિચારણાને પાત્ર છે.

તે નોંધવું પણ યોગ્ય છે કે અયોગ્ય અપૂર્ણાંકો અને મિશ્ર સંખ્યાઓ વચ્ચે ખૂબ નજીકનો સંબંધ છે.

સકારાત્મક અને નકારાત્મક અપૂર્ણાંક

દરેક સામાન્ય અપૂર્ણાંક હકારાત્મક અપૂર્ણાંક સંખ્યાને અનુલક્ષે છે (ધન અને નકારાત્મક સંખ્યાઓ પરનો લેખ જુઓ). એટલે કે, સામાન્ય અપૂર્ણાંક છે હકારાત્મક અપૂર્ણાંક. ઉદાહરણ તરીકે, સામાન્ય અપૂર્ણાંક 1/5, 56/18, 35/144 હકારાત્મક અપૂર્ણાંક છે. જ્યારે તમારે અપૂર્ણાંકની હકારાત્મકતાને પ્રકાશિત કરવાની જરૂર હોય, ત્યારે તેની સામે વત્તાનું ચિહ્ન મૂકવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, +3/4, +72/34.

જો તમે સામાન્ય અપૂર્ણાંકની સામે બાદબાકીનું ચિહ્ન મૂકો છો, તો આ પ્રવેશ નકારાત્મક અપૂર્ણાંક સંખ્યાને અનુરૂપ હશે. આ કિસ્સામાં આપણે વાત કરી શકીએ છીએ નકારાત્મક અપૂર્ણાંક. અહીં નકારાત્મક અપૂર્ણાંકના કેટલાક ઉદાહરણો છે: −6/10, −65/13, −1/18.

હકારાત્મક અને ઋણ અપૂર્ણાંક m/n અને −m/n એ વિરોધી સંખ્યાઓ છે. ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક 5/7 અને −5/7 વિરોધી અપૂર્ણાંક છે.

સકારાત્મક અપૂર્ણાંકો, જેમ કે સામાન્ય રીતે સકારાત્મક સંખ્યાઓ, ઉમેરણ, આવક, કોઈપણ મૂલ્યમાં ઉપરનો ફેરફાર વગેરે દર્શાવે છે. નકારાત્મક અપૂર્ણાંક ખર્ચ, દેવું અથવા કોઈપણ જથ્થામાં ઘટાડોને અનુરૂપ છે. ઉદાહરણ તરીકે, નકારાત્મક અપૂર્ણાંક −3/4 ને દેવું તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે જેની કિંમત 3/4 ની બરાબર છે.

આડી અને જમણી દિશામાં, નકારાત્મક અપૂર્ણાંક મૂળની ડાબી બાજુએ સ્થિત છે. સંકલન રેખાના બિંદુઓ, જેના સંકલન ધન અપૂર્ણાંક m/n અને ઋણ અપૂર્ણાંક −m/n છે, મૂળથી સમાન અંતરે સ્થિત છે, પરંતુ O બિંદુની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર.

અહીં તે 0/n ફોર્મના અપૂર્ણાંકોનો ઉલ્લેખ કરવા યોગ્ય છે. આ અપૂર્ણાંકો શૂન્ય સંખ્યાની બરાબર છે, એટલે કે, 0/n=0.

સકારાત્મક અપૂર્ણાંક, ઋણ અપૂર્ણાંક અને 0/n અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સંખ્યાઓ બનાવવા માટે ભેગા થાય છે.

અપૂર્ણાંક સાથે કામગીરી

અમે સામાન્ય અપૂર્ણાંકો સાથેની એક ક્રિયાની ચર્ચા કરી છે - અપૂર્ણાંકની તુલના - ઉપર. ચાર વધુ અંકગણિત કાર્યો વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે અપૂર્ણાંક સાથે કામગીરી- અપૂર્ણાંકો ઉમેરવા, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર. ચાલો તેમાંના દરેકને જોઈએ.

અપૂર્ણાંકો સાથેની કામગીરીનો સામાન્ય સાર કુદરતી સંખ્યાઓ સાથેના અનુરૂપ કામગીરીના સાર જેવો જ છે. ચાલો એક સામ્યતા બનાવીએ.

અપૂર્ણાંકનો ગુણાકારઅપૂર્ણાંકમાંથી અપૂર્ણાંક શોધવાની ક્રિયા તરીકે વિચારી શકાય. સ્પષ્ટ કરવા માટે, ચાલો એક ઉદાહરણ આપીએ. ચાલો આપણે 1/6 સફરજન લઈએ અને આપણે તેમાંથી 2/3 લેવા જોઈએ. આપણને જે ભાગની જરૂર છે તે અપૂર્ણાંક 1/6 અને 2/3ના ગુણાકારનું પરિણામ છે. બે સામાન્ય અપૂર્ણાંકના ગુણાકારનું પરિણામ એ એક સામાન્ય અપૂર્ણાંક છે (જે ખાસ કિસ્સામાં કુદરતી સંખ્યાની બરાબર છે). આગળ, અમે ભલામણ કરીએ છીએ કે તમે અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર - નિયમો, ઉદાહરણો અને ઉકેલો લેખમાંની માહિતીનો અભ્યાસ કરો.

ગ્રંથસૂચિ.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. ગણિત: 5મા ધોરણ માટે પાઠ્યપુસ્તક. શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ.
Vilenkin N.Ya. અને અન્ય. 6ઠ્ઠું ધોરણ: સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક.
ગુસેવ વી.એ., મોર્ડકોવિચ એ.જી. ગણિત (તકનીકી શાળાઓમાં પ્રવેશ કરનારાઓ માટે માર્ગદર્શિકા).

§ 1 દશાંશ અપૂર્ણાંક

આ પાઠમાં તમે દશાંશ અપૂર્ણાંકની વિભાવના વિશે શીખી શકશો, તેના ઇતિહાસથી પરિચિત થશો, દશાંશ અપૂર્ણાંકને કેવી રીતે વાંચવા અને લખવા તે શીખી શકશો, સામાન્ય અપૂર્ણાંકને 10, 100, 1000, વગેરેના છેદ સાથે કન્વર્ટ કરી શકશો. દશાંશ અને ઊલટું.

તો દશાંશ શું છે? તે તારણ આપે છે કે આ એક સામાન્ય અપૂર્ણાંક લખવાનું એક સ્વરૂપ છે, જેમાં છેદ 10, 100, 1000, 10000, અને તેથી વધુ છે, એટલે કે. કેટલાક શૂન્ય સાથે 1. પહેલા આખો ભાગ લખો, પછી અપૂર્ણાંક ભાગનો અંશ લખો અને અલ્પવિરામ વડે આખા ભાગને અપૂર્ણાંકથી અલગ કરો.

ઉદાહરણ તરીકે, 12 પોઈન્ટ 7 12.7 તરીકે લખાયેલ છે. બીજું ઉદાહરણ: 8 પોઈન્ટ 156 હજારમા ભાગ બરાબર 8.156. પરંતુ જો આખો ભાગ ખૂટે તો શું? એટલે કે, શું અપૂર્ણાંક સાચો છે? પછી આખો ભાગ 0 લખાય છે! ઉદાહરણ તરીકે, 17 સો = 0.17.

§ 2 છેદ 10, 100, 1000, વગેરે સાથે સામાન્ય અપૂર્ણાંકનો અનુવાદ. દશાંશ અને ઊલટું

ધ્યાન આપો! દશાંશને યોગ્ય રીતે લખવા માટે, અપૂર્ણાંકના અંશમાં અપૂર્ણાંકના છેદમાં શૂન્ય જેટલા અંકો હોવા જોઈએ. તેથી અપૂર્ણાંક

બીજું ઉદાહરણ: દશાંશ સંકેતમાં અપૂર્ણાંક 3 મિલિયનમાં કેવી રીતે લખવો?

દશાંશને યોગ્ય રીતે વાંચવા માટે, તમારે અપૂર્ણાંક ભાગમાં દરેક અંકનું નામ યાદ રાખવાની જરૂર છે. દશાંશ બિંદુ પછી પ્રથમ સ્થાને દસમો, બીજામાં સોમો, પછી હજારમો, પછી દસ-હજારમો, પછી સો-હજારમો, વગેરે લખવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, આ સંખ્યા (1234.5678) નીચે પ્રમાણે વાંચવામાં આવે છે: 1234 પોઇન્ટ 5678 દસ હજારમો.

હવે તમે જાણો છો કે અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં કેવી રીતે રૂપાંતરિત કરવું. પરંતુ આસપાસના અન્ય માર્ગ વિશે શું? એકદમ સરળ પણ! ઉદાહરણ તરીકે, આપણે દશાંશ અપૂર્ણાંક 1.5 ને એક બિંદુ પાંચ તરીકે વાંચીએ છીએ અને આ રીતે લખી શકાય છે:

અપૂર્ણાંક 1.05 એક બિંદુ પાંચ તરીકે વાંચવામાં આવે છે અને આ રીતે લખવામાં આવે છે: 1

અને અપૂર્ણાંક 1.005 એક પોઈન્ટ પાંચ હજારમા ભાગ તરીકે વાંચવામાં આવે છે અને આ રીતે લખવામાં આવે છે:

§ 3 દશાંશ અપૂર્ણાંકના ઉદભવનો ઇતિહાસ

તે તારણ આપે છે કે પહેલાથી જ પ્રાચીન ચીનમાં તેઓએ માપની દશાંશ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો હતો અને લંબાઈના માપનો ઉપયોગ કરીને શબ્દો સાથે અપૂર્ણાંક સૂચવ્યા હતા: ચી, સુની, અપૂર્ણાંક, ઓર્ડિનલ, વાળ, શ્રેષ્ઠ, કોબવેબ્સ.

2.135436 ફોર્મનો અપૂર્ણાંક આના જેવો દેખાતો હતો: 2 ચી, 1 ક્યુન, 3 લોબ્સ, 5 ઓર્ડિનલ, 4 વાળ, 3 શ્રેષ્ઠ, 6 કોબવેબ્સ. બે સદીઓથી આ રીતે અપૂર્ણાંક લખવામાં આવ્યા છે. તે પછી, 15મી સદીમાં, તે સમયના એક મોટા વૈજ્ઞાનિક, જમશીદ ગિયાસેદ્દીન અલ-કાશીએ પ્રથમ દશાંશ અપૂર્ણાંકના સિદ્ધાંતને સમજાવ્યો, જ્યારે સંપૂર્ણ અને અપૂર્ણાંક ભાગોને એક લીટી પર લખવામાં આવે છે અને તેને અલગ કરવામાં આવે છે. એકબીજાથી ક્યાં તો ઊભી રેખા દ્વારા અથવા વિવિધ રંગોની શાહી દ્વારા. તે જ સમયે, યુરોપમાં ગણિતશાસ્ત્રીઓ દશાંશ અપૂર્ણાંક માટે અનુકૂળ સંકેત શોધવાનો પ્રયાસ કરી રહ્યા હતા. "મેથેમેટિકલ કેનન" પુસ્તકમાં, ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી ફ્રાન્કોઇસ વિયેટે, જ્યારે દશાંશ અપૂર્ણાંક લખતા હતા, ત્યારે અપૂર્ણાંક ભાગને રેખાંકિત કર્યો હતો અને તેને સંખ્યાના પૂર્ણાંક ભાગની રેખાની ઉપર લખ્યો હતો. રશિયામાં, દશાંશ અપૂર્ણાંક વિશેની પ્રથમ પદ્ધતિસરની માહિતી મેગ્નિટસ્કીના અંકગણિતમાં જોવા મળે છે. અપૂર્ણાંકના સંકેતમાં અલ્પવિરામનો ઉપયોગ સૌપ્રથમ 1592માં અને 1617માં થયો હતો. સ્કોટિશ ગણિતશાસ્ત્રી જ્હોન નેપિયરે દશાંશને પૂર્ણ સંખ્યામાંથી અલ્પવિરામ અથવા અવધિ સાથે અલગ કરવાની દરખાસ્ત કરી હતી. દશાંશ જોહાન્સ કેપ્લર અપૂર્ણાંકનું આધુનિક સંકેત, એટલે કે. જોહાન્સ કેપ્લર દ્વારા પ્રસ્તાવિત અપૂર્ણાંક અલ્પવિરામથી પૂર્ણાંક ભાગનું વિભાજન. એવા દેશોમાં જ્યાં તેઓ અંગ્રેજી બોલે છે અને હવે અલ્પવિરામને બદલે પીરિયડ લખે છે.

વપરાયેલ સાહિત્યની સૂચિ:

ગણિત 5 મા ધોરણ. વિલેન્કિન એન.યા., ઝોખોવ વી.આઈ. અને અન્ય 31મી આવૃત્તિ. - એમ: 2013.
ગણિતના ગ્રેડ 5 માટે ડિડેક્ટિક સામગ્રી. લેખક - પોપોવ એમ.એ. - વર્ષ 2013
અમે ભૂલો વિના ગણતરી કરીએ છીએ. ગણિતના ગ્રેડ 5-6માં સ્વ-પરીક્ષણ સાથે કામ કરો. લેખક - મિનાવા એસ.એસ. - વર્ષ 2014
ગણિતના ગ્રેડ 5 માટે ડિડેક્ટિક સામગ્રી. લેખકો: ડોરોફીવ જી.વી., કુઝનેત્સોવા એલ.વી. - 2010
ગણિતના ગ્રેડ 5 માં પરીક્ષણો અને સ્વતંત્ર કાર્ય. લેખકો - પોપોવ એમ.એ. - વર્ષ 2012
ગણિત. 5 મી ગ્રેડ: શૈક્ષણિક. સામાન્ય શિક્ષણના વિદ્યાર્થીઓ માટે. સંસ્થાઓ / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9મી આવૃત્તિ, ભૂંસી નાખી. - એમ.: નેમોસીન, 2009. - 270 પૃષ્ઠ.: બીમાર.

સામાન્ય અપૂર્ણાંકની વ્યાખ્યા

વ્યાખ્યા 1

ભાગોની સંખ્યાનું વર્ણન કરવા માટે સામાન્ય અપૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ થાય છે. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ જેનો ઉપયોગ સામાન્ય અપૂર્ણાંકને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થઈ શકે છે.

સફરજનને $8$ શેરમાં વહેંચવામાં આવ્યું હતું. આ કિસ્સામાં, દરેક શેર સમગ્ર સફરજનના આઠમા ભાગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, એટલે કે $\frac(1)(8)$. બે શેર $\frac(2)(8)$ દ્વારા, ત્રણ શેર $\frac(3)(8)$, વગેરે દ્વારા અને $8$ શેર $\frac(8)(8)$ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. પ્રસ્તુત દરેક એન્ટ્રી કહેવામાં આવે છે સામાન્ય અપૂર્ણાંક.

ચાલો સામાન્ય અપૂર્ણાંકની સામાન્ય વ્યાખ્યા આપીએ.

વ્યાખ્યા 2

સામાન્ય અપૂર્ણાંક$\frac(m)(n)$ ફોર્મનું સંકેત કહેવાય છે, જ્યાં $m$ અને $n$ કોઈપણ કુદરતી સંખ્યાઓ છે.

સામાન્ય અપૂર્ણાંક માટે તમે વારંવાર નીચે આપેલા સંકેતો શોધી શકો છો: $m/n$.

ઉદાહરણ 1

સામાન્ય અપૂર્ણાંકના ઉદાહરણો:

\[(3)/(4), \frac(101)(345),\ \ (23)/(5), \frac(15)(15), (111)/(81).\]

નોંધ 1

$\frac(\sqrt(2))(3)$, $-\frac(13)(37)$, $\frac(4)(\frac(2)(7))$, $\frac( 2,4)(8,3)$ એ સામાન્ય અપૂર્ણાંક નથી, કારણ કે ઉપરની વ્યાખ્યામાં બંધબેસતું નથી.

અંશ અને છેદ

સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં અંશ અને છેદ હોય છે.

વ્યાખ્યા 3

અંશસામાન્ય અપૂર્ણાંક $\frac(m)(n)$ એ કુદરતી સંખ્યા $m$ છે, જે એક સંપૂર્ણમાંથી લેવામાં આવેલા સમાન ભાગોની સંખ્યા દર્શાવે છે.

વ્યાખ્યા 4

છેદસામાન્ય અપૂર્ણાંક $\frac(m)(n)$ એ કુદરતી સંખ્યા $n$ છે, જે બતાવે છે કે સમગ્ર કેટલા સમાન ભાગોમાં વહેંચાયેલું છે.

ચિત્ર 1.

અંશ અપૂર્ણાંક રેખાની ઉપર સ્થિત છે, અને છેદ અપૂર્ણાંક રેખાની નીચે સ્થિત છે. ઉદાહરણ તરીકે, સામાન્ય અપૂર્ણાંક $\frac(5)(17)$ નો અંશ $5$ છે, અને છેદ એ $17$ છે. છેદ બતાવે છે કે આઇટમ $17$ શેરોમાં વિભાજિત છે, અને અંશ બતાવે છે કે $5$ આવા શેર લેવામાં આવ્યા હતા.

છેદ 1 સાથે અપૂર્ણાંક તરીકે કુદરતી સંખ્યા

સામાન્ય અપૂર્ણાંકનો છેદ એક હોઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં, ઑબ્જેક્ટને અવિભાજ્ય ગણવામાં આવે છે, એટલે કે. એક સંપૂર્ણ રજૂ કરે છે. આવા અપૂર્ણાંકનો અંશ બતાવે છે કે કેટલી બધી વસ્તુઓ લેવામાં આવી છે. $\frac(m)(1)$ ફોર્મના સામાન્ય અપૂર્ણાંકનો અર્થ $m$ છે. આમ, અમે સારી રીતે સ્થાપિત સમાનતા $\frac(m)(1)=m$ મેળવીએ છીએ.

જો આપણે સમાનતાને $m=\frac(m)(1)$ સ્વરૂપમાં ફરીથી લખીએ, તો તે કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા $m$ ને સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરવાનું શક્ય બનાવશે. ઉદાહરણ તરીકે, $5$ને અપૂર્ણાંક $\frac(5)(1)$ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, $123\456$ નંબરને અપૂર્ણાંક $\frac(123\456)(1)$ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

આમ, કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા $m$ ને $1$ સાથે સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, અને $\frac(m)(1)$ સ્વરૂપના કોઈપણ સામાન્ય અપૂર્ણાંકને કુદરતી સંખ્યા $m$ દ્વારા બદલી શકાય છે.

વિભાજન ચિહ્ન તરીકે અપૂર્ણાંક બાર

$n$ ભાગોના સ્વરૂપમાં ઑબ્જેક્ટનું પ્રતિનિધિત્વ કરવું એ $n$ સમાન ભાગોમાં વિભાજન છે. આઇટમને $n$ શેરમાં વિભાજિત કર્યા પછી, તેને $n$ લોકો વચ્ચે સમાનરૂપે વિભાજિત કરી શકાય છે - દરેકને એક શેર પ્રાપ્ત થશે.

ચાલો ત્યાં $m$ સમાન વસ્તુઓને $n$ ભાગોમાં વિભાજિત કરીએ. આ $m$ આઇટમ દરેક વ્યક્તિને $m$ આઇટમમાંથી દરેકને એક શેર આપીને $n$ લોકોમાં સમાન રીતે વિભાજિત કરી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, દરેક વ્યક્તિને $\frac(1)(n)$ ના $m$ શેર પ્રાપ્ત થશે, જે સામાન્ય અપૂર્ણાંક $\frac(m)(n)$ આપે છે. અમે શોધીએ છીએ કે સામાન્ય અપૂર્ણાંક $\frac(m)(n)$ નો ઉપયોગ $n$ લોકો વચ્ચે $m$ વસ્તુઓના વિભાજનને દર્શાવવા માટે થઈ શકે છે.

સામાન્ય અપૂર્ણાંક અને વિભાજન વચ્ચેનું જોડાણ એ હકીકતમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે છે કે અપૂર્ણાંક બારને વિભાજન ચિહ્ન તરીકે સમજી શકાય છે, એટલે કે. $\frac(m)(n)=m:n$.

એક સામાન્ય અપૂર્ણાંક બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને વિભાજિત કરવાના પરિણામને લખવાનું શક્ય બનાવે છે જેના માટે સંપૂર્ણ ભાગાકાર કરવામાં આવતો નથી.

ઉદાહરણ 2

ઉદાહરણ તરીકે, $7$ સફરજનને $9$ લોકો દ્વારા વિભાજિત કરવાના પરિણામને $\frac(7)(9)$ તરીકે લખી શકાય છે, એટલે કે. દરેકને સફરજનનો સાત-નવમો ભાગ પ્રાપ્ત થશે: $7:9=\frac(7)(9)$.

સમાન અને અસમાન અપૂર્ણાંક, અપૂર્ણાંકની સરખામણી

બે સામાન્ય અપૂર્ણાંકોની તુલના કરવાનું પરિણામ કાં તો તેમની સમાનતા અથવા તેમની બિન-સમાનતા હોઈ શકે છે. જ્યારે સામાન્ય અપૂર્ણાંક સમાન હોય છે, ત્યારે તેઓ સમાન કહેવાય છે અન્યથા, સામાન્ય અપૂર્ણાંક અસમાન કહેવાય છે.

સમાન, જો સમાનતા $a\cdot d=b\cdot c$ સાચી છે.

સામાન્ય અપૂર્ણાંક $\frac(a)(b)$ અને $\frac(c)(d)$ કહેવાય છે અસમાન, જો સમાનતા $a\cdot d=b\cdot c$ ધરાવે નથી.

ઉદાહરણ 3

$\frac(1)(3)$ અને $\frac(2)(6)$ સમાન છે કે કેમ તે શોધો.

સમાનતા સંતુષ્ટ છે, જેનો અર્થ છે કે $\frac(1)(3)$ અને $\frac(2)(6)$ સમાન છે: $\frac(1)(3)=\frac(2)( 6)$.

આ ઉદાહરણને સફરજનનો ઉપયોગ કરીને ગણી શકાય: બે સરખા સફરજનમાંથી એકને ત્રણ સમાન શેરમાં, બીજાને $6$ શેરમાં વહેંચવામાં આવે છે. તે જોઈ શકાય છે કે સફરજનનો બે છઠ્ઠો ભાગ $\frac(1)(3)$ શેર ધરાવે છે.

ઉદાહરણ 4

તપાસો કે શું સામાન્ય અપૂર્ણાંક $\frac(3)(17)$ અને $\frac(4)(13)$ સમાન છે.

ચાલો તપાસ કરીએ કે શું સમાનતા $a\cdot d=b\cdot c$ ધરાવે છે:

\ \

સમાનતા પકડી શકતી નથી, જેનો અર્થ છે કે અપૂર્ણાંક $\frac(3)(17)$ અને $\frac(4)(13)$ સમાન નથી: $\frac(3)(17)\ne \frac( 4)(13) $.

બે સામાન્ય અપૂર્ણાંકોની સરખામણી કરીને અને તેઓ સમાન નથી તે શોધીને, તમે શોધી શકો છો કે કયા મોટા છે અને કયા બીજા કરતા નાનું છે. આ કરવા માટે, સામાન્ય અપૂર્ણાંકોની તુલના કરવા માટેના નિયમનો ઉપયોગ કરો: તમારે અપૂર્ણાંકોને સામાન્ય છેદ પર લાવવાની જરૂર છે અને પછી તેમના અંશની તુલના કરો. જે પણ અપૂર્ણાંકમાં મોટો અંશ હશે, તે અપૂર્ણાંક મોટો હશે.

સંકલન કિરણ પરના અપૂર્ણાંક

સામાન્ય અપૂર્ણાંકને અનુરૂપ તમામ અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ સંકલન કિરણ પર પ્રદર્શિત કરી શકાય છે.

અપૂર્ણાંક $\frac(m)(n)$ ને અનુરૂપ સંકલન કિરણ પર બિંદુને ચિહ્નિત કરવા માટે, સંકલનના મૂળમાંથી $m$ વિભાગોને સકારાત્મક દિશામાં પ્લોટ કરવા જરૂરી છે, જેની લંબાઈ $\ છે. frac(1)(n)$ એક એકમ સેગમેન્ટનો અપૂર્ણાંક. આવા સેગમેન્ટ્સ એકમ સેગમેન્ટને $n$ સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરીને મેળવવામાં આવે છે.

સંકલન કિરણ પર અપૂર્ણાંક સંખ્યા દર્શાવવા માટે, તમારે એકમ સેગમેન્ટને ભાગોમાં વિભાજીત કરવાની જરૂર છે.

આકૃતિ 2.

સમાન અપૂર્ણાંક સમાન અપૂર્ણાંક સંખ્યા દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, એટલે કે. સમાન અપૂર્ણાંકો સંકલન કિરણ પર સમાન બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ દર્શાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, $\frac(1)(3)$, $\frac(2)(6)$, $\frac(3)(9)$, $\frac(4)(12)$નું વર્ણન કરે છે. સંકલન કિરણ પર સમાન બિંદુ સમાન છે, કારણ કે બધા લેખિત અપૂર્ણાંક સમાન છે.

જો કોઈ બિંદુ મોટા અપૂર્ણાંક સાથે સંકલન દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, તો તે બિંદુથી જમણી તરફ નિર્દેશિત આડી સંકલન કિરણ પર જમણી બાજુ સ્થિત હશે જેનો સંકલન એક નાનો અપૂર્ણાંક છે. ઉદાહરણ તરીકે, કારણ કે અપૂર્ણાંક $\frac(5)(6)$ અપૂર્ણાંક $\frac(2)(6)$ કરતાં મોટો છે, પછી સંકલન $\frac(5)(6)$ સાથેનો બિંદુ જમણી બાજુએ સ્થિત છે સંકલન $\frac(2) (6)$ સાથે બિંદુ.

તેવી જ રીતે, નાના સંકલન સાથેનો એક બિંદુ મોટા સંકલન સાથે બિંદુની ડાબી બાજુએ આવેલું હશે.

એકમના અપૂર્ણાંક અને તરીકે રજૂ થાય છે \frac(a)(b).

અપૂર્ણાંકનો અંશ (a)- અપૂર્ણાંક રેખાની ઉપર સ્થિત સંખ્યા અને શેરની સંખ્યા દર્શાવે છે જેમાં એકમ વિભાજિત કરવામાં આવ્યું હતું.

અપૂર્ણાંક છેદ (b)- અપૂર્ણાંકની રેખા હેઠળ સ્થિત સંખ્યા અને એકમ કેટલા ભાગોમાં વહેંચાયેલું છે તે દર્શાવે છે.

બતાવો છુપાવો

અપૂર્ણાંકની મુખ્ય મિલકત

જો ad=bc હોય તો બે અપૂર્ણાંક \frac(a)(b)અને \frac(c)(d)સમાન ગણવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક સમાન હશે \frac35અને \frac(9)(15), ત્યારથી 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7)અને \frac(24)(14), ત્યારથી 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24.

અપૂર્ણાંકની સમાનતાની વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે અપૂર્ણાંક સમાન હશે \frac(a)(b)અને \frac(am)(bm), કારણ કે a(bm)=b(am) એ ક્રિયામાં કુદરતી સંખ્યાઓના ગુણાકારના સહયોગી અને વિનિમયાત્મક ગુણધર્મોના ઉપયોગનું સ્પષ્ટ ઉદાહરણ છે.

અર્થ \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- આ તે જેવો દેખાય છે અપૂર્ણાંકની મુખ્ય મિલકત.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, મૂળ અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સમાન પ્રાકૃતિક સંખ્યા વડે ગુણાકાર કે ભાગાકાર કરીને આપણને આપેલ એક સમાન અપૂર્ણાંક મળે છે.

અપૂર્ણાંક ઘટાડવોઅપૂર્ણાંકને બદલવાની પ્રક્રિયા છે જેમાં નવો અપૂર્ણાંક મૂળ એક સમાન હોય છે, પરંતુ નાના અંશ અને છેદ સાથે.

અપૂર્ણાંકની મૂળભૂત મિલકતના આધારે અપૂર્ણાંકને ઘટાડવાનો રિવાજ છે.

દાખ્લા તરીકે, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(અંશ અને છેદને નંબર 3 દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે); પરિણામી અપૂર્ણાંક ફરીથી 5 વડે ભાગીને ઘટાડી શકાય છે, એટલે કે \frac(15)(20)=\frac 34.

અફર અપૂર્ણાંકફોર્મનો અપૂર્ણાંક છે \frac 34, જ્યાં અંશ અને છેદ પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે. અપૂર્ણાંકને ઘટાડવાનો મુખ્ય હેતુ અપૂર્ણાંકને અવિભાજ્ય બનાવવાનો છે.

અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડીને

ચાલો ઉદાહરણ તરીકે બે અપૂર્ણાંક લઈએ: \frac(2)(3)અને \frac(5)(8)વિવિધ છેદ 3 અને 8 સાથે. આ અપૂર્ણાંકોને સામાન્ય છેદ પર લાવવા માટે, આપણે પહેલા અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરીએ છીએ. \frac(2)(3) 8 સુધીમાં. અમને નીચેના પરિણામ મળે છે: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). પછી આપણે અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરીએ છીએ \frac(5)(8) 3 દ્વારા. પરિણામે આપણને મળે છે: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). તેથી, મૂળ અપૂર્ણાંકોને સામાન્ય છેદ 24 સુધી ઘટાડવામાં આવે છે.

સામાન્ય અપૂર્ણાંકો પર અંકગણિત કામગીરી

સામાન્ય અપૂર્ણાંકોનો ઉમેરો

a) જો છેદ સમાન હોય, તો પ્રથમ અપૂર્ણાંકનો અંશ બીજા અપૂર્ણાંકના અંશમાં ઉમેરવામાં આવે છે, છેદ સમાન રહે છે. જેમ તમે ઉદાહરણમાં જોઈ શકો છો:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) વિવિધ છેદ માટે, અપૂર્ણાંકને પ્રથમ સામાન્ય છેદમાં ઘટાડવામાં આવે છે, અને પછી નિયમ a અનુસાર અંશ ઉમેરવામાં આવે છે):

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

અપૂર્ણાંક બાદબાકી

a) જો છેદ સમાન હોય, તો પ્રથમ અપૂર્ણાંકના અંશમાંથી બીજા અપૂર્ણાંકના અંશને બાદ કરો, છેદને સમાન છોડી દો:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) જો અપૂર્ણાંકોના છેદ જુદા હોય, તો પહેલા અપૂર્ણાંકોને સામાન્ય છેદ પર લાવવામાં આવે છે, અને પછી ક્રિયાઓ બિંદુ a માંની જેમ પુનરાવર્તિત થાય છે).

સામાન્ય અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર

અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર નીચેના નિયમનું પાલન કરે છે:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

એટલે કે, તેઓ અંશ અને છેદને અલગથી ગુણાકાર કરે છે.

દાખ્લા તરીકે:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

અપૂર્ણાંક વિભાજન

અપૂર્ણાંકને નીચેની રીતે વિભાજિત કરવામાં આવે છે:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

એટલે કે, અપૂર્ણાંક \frac(a)(b)અપૂર્ણાંક દ્વારા ગુણાકાર \frac(d)(c).

ઉદાહરણ: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

પારસ્પરિક સંખ્યાઓ

જો ab=1, તો સંખ્યા b છે પારસ્પરિક સંખ્યાનંબર માટે a.

ઉદાહરણ: નંબર 9 માટે પારસ્પરિક છે \frac(1)(9), કારણ કે 9\cdot\frac(1)(9)=1, નંબર 5 માટે - \frac(1)(5), કારણ કે 5\cdot\frac(1)(5)=1.

દશાંશ

દશાંશયોગ્ય અપૂર્ણાંક કહેવાય છે જેનો છેદ 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n છે.

દાખ્લા તરીકે: \frac(6)(10)=0.6;\enspace \frac(44)(1000)=0.044.

10^n ના છેદ સાથેની અનિયમિત સંખ્યાઓ અથવા મિશ્ર સંખ્યાઓ એ જ રીતે લખવામાં આવે છે.

દાખ્લા તરીકે: 5\frac(1)(10)=5.1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63.

10 ની ચોક્કસ ઘાતનો વિભાજક હોય તેવા છેદ સાથેનો કોઈપણ સામાન્ય અપૂર્ણાંક દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ થાય છે.

ઉદાહરણ: 5 એ 100 નો વિભાજક છે, તેથી તે અપૂર્ણાંક છે \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0.2.

દશાંશ પર અંકગણિત કામગીરી

દશાંશ ઉમેરી રહ્યા છીએ

બે દશાંશ અપૂર્ણાંક ઉમેરવા માટે, તમારે તેમને એવી રીતે ગોઠવવાની જરૂર છે કે એકબીજાની નીચે સમાન અંકો હોય અને અલ્પવિરામ હેઠળ અલ્પવિરામ હોય, અને પછી સામાન્ય સંખ્યાઓની જેમ અપૂર્ણાંક ઉમેરો.

દશાંશ બાદબાકી

તે ઉમેરા તરીકે જ રીતે કરવામાં આવે છે.

દશાંશનો ગુણાકાર

દશાંશ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરતી વખતે, અલ્પવિરામ (જેમ કે કુદરતી સંખ્યાઓ) પર ધ્યાન ન આપતા, આપેલ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવા માટે તે પૂરતું છે અને પરિણામી જવાબમાં, જમણી બાજુનો અલ્પવિરામ બંને પરિબળોમાં દશાંશ બિંદુ પછી હોય તેટલા અંકોને અલગ પાડે છે. કુલ.

ચાલો 2.7 ને 1.3 વડે ગુણાકાર કરીએ. અમારી પાસે 27 \cdot 13=351 છે. અમે જમણી બાજુના બે અંકોને અલ્પવિરામથી અલગ કરીએ છીએ (પ્રથમ અને બીજા નંબરમાં દશાંશ બિંદુ પછી એક અંક હોય છે; 1+1=2). પરિણામે, આપણને 2.7 \cdot 1.3=3.51 મળે છે.

જો પરિણામી પરિણામમાં અલ્પવિરામ દ્વારા અલગ કરવાની જરૂર કરતાં ઓછા અંકો હોય, તો ગુમ થયેલ શૂન્ય આગળ લખવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે:

10, 100, 1000 વડે ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે દશાંશ બિંદુ 1, 2, 3 અંકોને જમણી તરફ ખસેડવાની જરૂર છે (જો જરૂરી હોય તો, શૂન્યની ચોક્કસ સંખ્યા જમણી બાજુએ સોંપેલ છે).

ઉદાહરણ તરીકે: 1.47\cdot 10\,000 = 14,700.

દશાંશ વિભાજન

પ્રાકૃતિક સંખ્યા દ્વારા દશાંશ અપૂર્ણાંકને ભાગાકાર એ કુદરતી સંખ્યા દ્વારા કુદરતી સંખ્યાને વિભાજીત કરવા જેવી જ રીતે કરવામાં આવે છે. આખા ભાગનું વિભાજન પૂર્ણ થયા પછી અવશેષમાં અલ્પવિરામ મૂકવામાં આવે છે.

જો ડિવિડન્ડનો પૂર્ણાંક ભાગ વિભાજક કરતા ઓછો હોય, તો જવાબ શૂન્ય પૂર્ણાંક છે, ઉદાહરણ તરીકે:

ચાલો દશાંશને દશાંશ વડે ભાગતા જોઈએ. ચાલો કહીએ કે આપણે 2.576 ને 1.12 વડે ભાગવાની જરૂર છે. સૌ પ્રથમ, ચાલો અપૂર્ણાંકના ડિવિડન્ડ અને વિભાજકને 100 વડે ગુણાકાર કરીએ, એટલે કે, દશાંશ બિંદુ પછી વિભાજકમાં જેટલા અંકો છે તેટલા અંકોથી ડિવિડન્ડ અને વિભાજકમાં દશાંશ બિંદુને જમણી બાજુએ ખસેડીએ (આ ઉદાહરણમાં, બે). પછી તમારે અપૂર્ણાંક 257.6 ને પ્રાકૃતિક સંખ્યા 112 દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે, એટલે કે, સમસ્યા પહેલાથી ધ્યાનમાં લેવાયેલા કેસમાં ઘટાડવામાં આવે છે:

એવું બને છે કે અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંક હંમેશા પ્રાપ્ત થતો નથી જ્યારે એક સંખ્યાને બીજા દ્વારા વિભાજીત કરવામાં આવે છે. પરિણામ અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંક છે. આવા કિસ્સાઓમાં, આપણે સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરફ આગળ વધીએ છીએ.

2.8: 0.09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31\frac( 1)(9).

અપૂર્ણાંક- ગણિતમાં સંખ્યા દર્શાવવાનું એક સ્વરૂપ. અપૂર્ણાંક પટ્ટી ડિવિઝન કામગીરી સૂચવે છે. અંશઅપૂર્ણાંકને ડિવિડન્ડ કહેવાય છે, અને છેદ- વિભાજક. ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંકમાં અંશ 5 છે અને છેદ 7 છે.

સાચોઅપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે જેમાં અંશનું મોડ્યુલસ છેદના મોડ્યુલસ કરતા વધારે હોય. જો અપૂર્ણાંક યોગ્ય હોય, તો તેના મૂલ્યનું મોડ્યુલસ હંમેશા 1 કરતા ઓછું હોય છે. અન્ય તમામ અપૂર્ણાંક ખોટું.

અપૂર્ણાંક કહેવાય છે મિશ્ર, જો તે પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક તરીકે લખાયેલ હોય. આ સંખ્યા અને અપૂર્ણાંકના સરવાળા સમાન છે:

અપૂર્ણાંકની મુખ્ય મિલકત

જો અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય બદલાશે નહીં, એટલે કે, ઉદાહરણ તરીકે,

અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડીને

સામાન્ય છેદમાં બે અપૂર્ણાંક લાવવા માટે, તમારે આની જરૂર છે:

પ્રથમ અપૂર્ણાંકના અંશને બીજાના છેદ દ્વારા ગુણાકાર કરો
બીજા અપૂર્ણાંકના અંશને પ્રથમના છેદ દ્વારા ગુણાકાર કરો
બંને અપૂર્ણાંકના છેદને તેમના ઉત્પાદન સાથે બદલો

અપૂર્ણાંક સાથે કામગીરી

ઉમેરણ.બે અપૂર્ણાંક ઉમેરવા માટે તમને જરૂર છે

બંને અપૂર્ણાંકના નવા અંશ ઉમેરો અને છેદને યથાવત રાખો

ઉદાહરણ:

બાદબાકી.એક અપૂર્ણાંકને બીજામાંથી બાદ કરવા માટે, તમારે જરૂર છે

અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદમાં ઘટાડો
પ્રથમ અપૂર્ણાંકના અંશમાંથી બીજાના અંશને બાદ કરો અને છેદને યથાવત રાખો

ઉદાહરણ:

ગુણાકાર.એક અપૂર્ણાંકને બીજા દ્વારા ગુણાકાર કરવા માટે, તેમના અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરો:

વિભાગ.એક અપૂર્ણાંકને બીજા દ્વારા વિભાજીત કરવા માટે, પ્રથમ અપૂર્ણાંકના અંશને બીજાના છેદ દ્વારા ગુણાકાર કરો, અને પ્રથમ અપૂર્ણાંકના છેદને બીજાના અંશ દ્વારા ગુણાકાર કરો: