હાલમાં, હાઇસ્કૂલના અભ્યાસક્રમ માટેની અંતિમ પરીક્ષાઓ અને વિવિધ શૈક્ષણિક સંસ્થાઓની પ્રવેશ પરીક્ષાઓમાં, મોડ્યુલસ અને પરિમાણો સાથેના સમીકરણો ઓફર કરવામાં આવે છે, જેના ઉકેલો ઘણીવાર વિદ્યાર્થીઓ માટે મુશ્કેલીઓનું કારણ બને છે. ચાલો આપણે વિવિધ પ્રકારના સમીકરણોના ઉકેલને ધ્યાનમાં લઈએ, એકીકરણ લક્ષણ કે જેના માટે માત્ર સંપૂર્ણ મૂલ્યના ચિહ્નની હાજરી છે.
ડાઉનલોડ કરો:
પૂર્વાવલોકન:
મોડ્યુલસ (સંપૂર્ણ મૂલ્ય) ની નિશાની ધરાવતા સમીકરણો ઉકેલવા
હાલમાં, હાઇસ્કૂલના અભ્યાસક્રમ માટેની અંતિમ પરીક્ષાઓ અને વિવિધ શૈક્ષણિક સંસ્થાઓની પ્રવેશ પરીક્ષાઓમાં, મોડ્યુલસ અને પરિમાણો સાથેના સમીકરણો ઓફર કરવામાં આવે છે, જેના ઉકેલો ઘણીવાર વિદ્યાર્થીઓ માટે મુશ્કેલીઓનું કારણ બને છે. ચાલો આપણે વિવિધ પ્રકારના સમીકરણોના ઉકેલને ધ્યાનમાં લઈએ, એકીકરણ લક્ષણ કે જેના માટે માત્ર સંપૂર્ણ મૂલ્યના ચિહ્નની હાજરી છે.
વ્યાખ્યા પ્રમાણે, વાસ્તવિક સંખ્યાનું મોડ્યુલસ (સંપૂર્ણ મૂલ્ય). a (સૂચિત |a|) આ નંબર પોતે જો કહેવાય છે a≥0 , અને વિરોધી સંખ્યા-a, જો a
, a≥0 માટે અને , a માટે
ભૌમિતિક રીતે |a| મતલબ સંખ્યા દર્શાવતા બિંદુથી સંકલન રેખા પરનું અંતરએ , કાઉન્ટડાઉનની શરૂઆત પહેલાં. શૂન્યનું મોડ્યુલસ શૂન્ય છે, અને જો a≠0 , પછી સંકલન રેખા પર બે બિંદુઓ છે a અને -a , શૂન્યથી સમાન અંતર, જેના મોડ્યુલો સમાન છે|a|=|-a|.
તમે સંપૂર્ણ મૂલ્ય ચિહ્ન ધરાવતા સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ કરવાનું શરૂ કરો તે પહેલાં, તમારે સંખ્યાઓ પર આ ચિહ્નની અસરની સ્પષ્ટ સમજ પ્રાપ્ત કરવાની જરૂર છે. અનિવાર્યપણે, મોડ્યુલસની વ્યાખ્યા વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહ પર એક નવી યુનરી ઓપરેશન રજૂ કરે છે, એટલે કે. સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકારની વધુ જાણીતી બાઈનરી ક્રિયાઓથી વિપરીત એક જ સંખ્યા પર કરવામાં આવેલ ઓપરેશન. તમે નીચેના પ્રકારની કસરતોનો ઉપયોગ કરીને મોડ્યુલ ચિહ્નની તમારી સમજને ચકાસી શકો છો.
1. શું તફાવત છે??
2. રકમ કેટલી છે??
3. અપૂર્ણાંક બરાબર શું છે??
4. શું નિવેદન સાચું છે: જો, પછી a=b?
5. શું નિવેદન સાચું છે: જો a=b, તો પછી?
6. કયા મૂલ્યો પરએક્સ સમાનતા સાચી છે:
એ). x = |x|;
b). –x = |-x|;
વી). –x = |x|?
8. સંપૂર્ણ મૂલ્ય ચિહ્ન વિના અભિવ્યક્તિ લખો:
એ). |x+2|;
b). |x+2|+x;
વી). -2|x+2|-x; જી). |2-x|;
ડી). -2|2-x|+2-x;?
e). |x-|x||;અને). |x+2|x||+2x.સમસ્યા 3.1,
શું સમાનતા સાચી હોઈ શકે?
અને જો એમ હોય તો, ક્યારે.
નીચેના જવાબો વારંવાર જોવા મળે છે: "આ સમાનતા એ કિસ્સામાં સાચી છે જ્યારે સંખ્યાઓ a અને b માં અલગ અલગ ચિહ્નો હોય છે." જવાબ સંપૂર્ણ નથી કારણ કે જ્યારે આ સંખ્યાઓમાંથી એક શૂન્ય થઈ જાય છે ત્યારે તે કેસ વિશે કશું કહેતું નથી. અહીં એક સામાન્ય ભૂલ કરવામાં આવી છે, જે વર્ગીકરણની અપૂર્ણતા છે. આ કિસ્સામાં, તે ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ કે, હકારાત્મક અને નકારાત્મક સંખ્યાઓ ઉપરાંત, શૂન્ય પણ છે.
સાચો જવાબ
: ખાતે. ચાલો મોડ્યુલસ સાથેના સમીકરણોના કેટલાક વિશિષ્ટ કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ.
1. સમીકરણનો ઉકેલ નિરપેક્ષ મૂલ્યની વ્યાખ્યા દ્વારા, આ સમીકરણ બે મિશ્ર પ્રણાલીઓના સમૂહમાં તૂટી જાય છે: F(x)=a f(-x)=a
કાર્ય થીસમાન છે, તો તેના મૂળ વિરોધી સંખ્યાઓની જોડીમાં અસ્તિત્વમાં હશે, એટલે કે. જો α એ સમીકરણનું મૂળ છે, તો –α પણ આ સમીકરણનું મૂળ હશે. તેથી, આ બે સિસ્ટમોમાંથી માત્ર એક જ ઉકેલવા માટે તે પૂરતું છે.
ઉદાહરણ 1 નિરપેક્ષ મૂલ્યની વ્યાખ્યા દ્વારા, આ સમીકરણ બે મિશ્ર પ્રણાલીઓના સમૂહમાં તૂટી જાય છે:. સમીકરણ ઉકેલો
2|x|-4.5-0.5|x|=7.5.
આ સમીકરણ એકદમ સરળ છે, અને હમણાં માટે તેને બે સિસ્ટમના સ્વરૂપમાં લખવાનો કોઈ અર્થ નથી, પરંતુ તમે ફક્ત સમાન આપી શકો છો અને તેને ફરીથી ગોઠવી શકો છો:
1.5|x|=12 → |x|=8 → x 1 =-8, x 2 =8.
ઉદાહરણ 2 x 2 -|x|=6. ઉપર જણાવ્યા મુજબ, સમીકરણ બે પ્રણાલીઓમાં વિભાજિત થાય છે, પરંતુ કાર્યની સમાનતાને લીધે, પરિણામી ઉકેલોમાં વિપરીત ચિહ્નોના મૂલ્યો ઉમેરવાનું ભૂલશો નહીં, ફક્ત એક જ સિસ્ટમ ઉકેલી શકાય છે. X 2 -x-6=0, x 1 =-2, x 2 =3
X≥0 x≥0એક્સ સિસ્ટમનો ઉકેલ મૂલ્ય હશે x=3 , અને આ સમીકરણના ઉકેલમાં બે મૂલ્યો છે: x 1 =-3, x 2 =3. આવા સમીકરણને ગ્રાફિકલી ઉકેલવા માટે, બિન-નકારાત્મક મૂલ્યો માટેએક્સ કાર્યનો આલેખ કરો y 1 = f(x) , તેને ધરી વિશે સમપ્રમાણરીતે પ્રતિબિંબિત કરો OU
નકારાત્મક મૂલ્યોના ક્ષેત્રમાં.
અને પછી ફંક્શન પ્લોટ કરો
y 2 =a
. સોલ્યુશન ગ્રાફના આંતરછેદ બિંદુઓનું એબ્સીસા હશે
1 અને 2 પર..
2. ફોર્મના સમીકરણનો ઉકેલ…
આવા સમીકરણનો ઉકેલ બે મિશ્ર પ્રણાલીઓના સમૂહમાં તૂટી જાય છે: F(x)=φ(x) f(x)= - φ(x) φ(x) φ(x) 3. ફોર્મના સમીકરણો ઉકેલવા અમે નિરપેક્ષ મૂલ્ય ચિહ્ન હેઠળ દ્વિપદીના મૂળ શોધીએ છીએ:ચાલો x 1 2 કે. આ સમીકરણ અંતરાલો પર ક્રમિક રીતે ઉકેલાય છે: (-∞, x 1 ], , …,
સમીકરણ બને છે-x 2 +5x-6=5x-x 2 -6
અને પરિવર્તન પછી તે તેના પર નિર્ભર નથી નિરપેક્ષ મૂલ્યની વ્યાખ્યા દ્વારા, આ સમીકરણ બે મિશ્ર પ્રણાલીઓના સમૂહમાં તૂટી જાય છે:|x 2 -1|=-|x|+1
પ્રથમ મોડ્યુલ બે લાક્ષણિકતા બિંદુઓ આપે છે x 1 =-1, x 2 =1 , સેકન્ડ મોડ્યુલ પોઈન્ટ x=0 . સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણીને ચાર અંતરાલોમાં વહેંચવામાં આવી છે(-∞; -1) [-1; 0] (0; 1] (1;+ ∞) , જેમાંના દરેકમાં આપણે, મોડ્યુલ ખોલતી વખતે, સ્ટેન્ડિંગ એક્સપ્રેશનના ચિહ્નને ધ્યાનથી જોવું જોઈએ.
એ). x (-∞; -1) : x 2 -1=x+1, x 2 -x-2=0 . આ સમીકરણના મૂળ x 1 =-1, x 2 =2 પસંદ કરેલ ખુલ્લા અંતરમાં ન આવશો. અહીં એક મહત્વપૂર્ણ નોંધ છે. અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની શ્રેણીને અંતરાલોમાં વિભાજિત કરતી વખતે, તમારા વિવેકબુદ્ધિથી અંતરાલોમાં તમે દરેક લાક્ષણિકતા બિંદુને સમાવી શકો છો, જેની સીમા તે સેવા આપે છે, અથવા તમે તેમાંથી ફક્ત એકમાં શામેલ કરી શકો છો. આ ભૂલ તરફ દોરી જશે નહીં.
b). x [-1; 0] : -x 2 +1=x+1, x 2 +x=0, x 1 =-1, x 2 =0. બંને મૂળો વિચારણા હેઠળના અંતરાલમાં સમાવિષ્ટ છે અને તેથી, મૂળ સમીકરણના ઉકેલો છે.
વી). x (0; 1] : -x 2 +1=-x+1, x 2 -x=0, x 1 =0, x 2 =1 . બીજું મૂળ ગેપમાં આવે છે.
જી). x (1;+ ∞): x 2 -1=-x+1, x 2 +x-2=0, x 1 =-2, x 2 =1 . બંને મૂળ અંતરાલમાં સમાવિષ્ટ નથી.
આ સમીકરણના અંતિમ ઉકેલમાં ત્રણ મૂળ છે: x 1 =-1, x 2 =0, x 3 =1.
મોડ્યુલો સાથેના સમીકરણોના બધા બતાવેલ ઉદાહરણોમાં, ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન શક્ય હતું, કેટલીકવાર તે બધા અંતરાલોની લાંબી શોધ કરતાં પણ ઝડપી કે જેમાં સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી લાક્ષણિક બિંદુઓ દ્વારા વિભાજિત થાય છે.
તાલીમ કસરતો.
- | x+5| = |10+x|
- |3x+1|+x=9
- |x-3|+2|x+1|=4
મોડ્યુલસ n ની વ્યાખ્યા વાસ્તવિક સંખ્યા x નું મોડ્યુલસ (સંપૂર્ણ મૂલ્ય), એટલે કે | એક્સ
1. મોડ્યુલ ગુણધર્મો 1. | a b | = | a | | b | કોઈપણ સંખ્યા a અને b 2 માટે. | |= 3. ≠ 0 માટે | a |2= a 2 કોઈપણ સંખ્યા માટે a
n n 2. મોડ્યુલ ધરાવતું સરળ સમીકરણ એ ફોર્મનું સમીકરણ છે | f(x) | = a, જ્યાં a≥ 0. આ સમીકરણ સમીકરણોના સમૂહને સમકક્ષ છે. [જો
n n n વધુ જટિલ એ ફોર્મના સમીકરણો છે | f(x) | = g(x), જ્યાં f(x), g(x) વાસ્તવિક ચલ x ના કેટલાક કાર્યો છે. 1) g(x) 0 માટે, મૂળ સમીકરણ Γ f(x) = g(x), Lf(x) = -g(x) સમૂહની સમકક્ષ છે.
ઉદાહરણ 2. સમીકરણ ઉકેલો | 1 – 2 x | = 3 x - 2 n ઉકેલ: નોંધ લો કે 3x 2≥ 0, એટલે કે x ≥ અથવા x є (; +∞) સમૂહ x є (; + ∞) પર આપેલ સમીકરણ બે સમીકરણોના સમૂહને સમકક્ષ છે: 1) 1 - 2 x=3x-2 X 1 = 2)1 2 x= (3x 2) X 2 = 1 n ત્યારથી
n n હવે ફોર્મના સમીકરણોને ધ્યાનમાં લો | a 1 x – 1 માં |+ | a 2 x – 2 માં | + … + | અન્હ – વાન | = ax + b, જ્યાં a 1, a 2, a 3, ..., an, a 1, a 2, a 3 એ R સાથે જોડાયેલી કેટલીક સંખ્યાઓ છે, x વાસ્તવિક ચલ નીચેની યોજના અનુસાર બાંધવામાં આવે છે. આપેલ સમીકરણના ચલના અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોના ક્ષેત્રને સેટમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે, જેમાંના દરેક પર સબમોડ્યુલર અભિવ્યક્તિઓના ચિહ્નો સ્થિર હોય છે. આવા દરેક સમૂહ પર, મૂળ સમીકરણને સમકક્ષ સમીકરણ દ્વારા બદલવામાં આવે છે (સબમોડ્યુલર અભિવ્યક્તિઓના ચિહ્નોને ધ્યાનમાં લેતા) જેમાં સંપૂર્ણ મૂલ્યો શામેલ નથી. આ રીતે મેળવેલા સમીકરણોના સમૂહના ઉકેલોનું સંયોજન એ આપેલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.
ઉદાહરણ 3. સમીકરણ ઉકેલો | 2 x+5 | | 3 x | = 0.5 n n n ઉકેલ. ચલના અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની શ્રેણી એ સમગ્ર સંખ્યાત્મક અક્ષ છે. ચાલો તે બિંદુઓ શોધીએ કે જેના પર સબમોડ્યુલર સમીકરણો 0: 2 x+5=0, એટલે કે x1= 2, 5; 3 x=0, એટલે કે x2 = 3.
n n n n n ચાલો પ્રાપ્ત બિંદુઓ દ્વારા સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણીને સેટમાં વિભાજીત કરીએ (∞; 2, 5), (2, 5; 3), (3; +∞) ચાલો દરેક પર સબમોડ્યુલર અભિવ્યક્તિઓના ચિહ્નો નક્કી કરીએ. મેળવેલ સમૂહો (તે કોષ્ટક 1 માં લખેલા છે) કોષ્ટક 1 ( ∞; 2, 5) (2, 5; 3) (З; + ∞) 2 x + 5 + + 3–x + + આમ, મૂળ સમીકરણ | 2 x+5 | | 3 x | =0.5 એ સમીકરણોના સમૂહની સમકક્ષ છે: 1) x
n 2) 2.5 ≤ x પર
3. હવે કેટલાક વિધાનોને ધ્યાનમાં લો, જેનો ઉપયોગ મોડ્યુલો સાથેના સમીકરણોના ઉકેલને નોંધપાત્ર રીતે સરળ બનાવી શકે છે. n n n વિધાન 1. સમાનતા | a+b | = | a | + | માં | સાચું છે જો ab ≥ 0. સાબિતી. ખરેખર, આ સમાનતાની બંને બાજુઓને ચોરસ કર્યા પછી, અમે | મેળવીએ છીએ a+b |2 = |a|2 + 2|ab | + |в|2 a 2 + 2 ав + в 2 = a 2 + 2|ав |+ в 2, ક્યાંથી | aw | = ав અને છેલ્લી સમાનતા ав ≥ 0 માટે સાચી હશે. વિધાન 2. સમાનતા | a-c | = | a | + | માં | ав ≤ 0 માટે સાચું છે. સાબિતી. સાબિતી માટે તે સમાનતામાં પૂરતું છે | a+b | = | a | + | માં | -в સાથે બદલો, પછી a(-в) ≥ 0, જ્યાંથી ав ≤ 0
n n વિધાન 3. સમાનતા | a | + | માં | = a+b a≥ 0 અને b ≥ 0 માટે ધરાવે છે. પુરાવો. ચાર કેસો a≥ 0 અને b ≥ 0 ધ્યાનમાં લીધા પછી; a≥ 0 અને b
ઉદાહરણ 4. સમીકરણ ઉકેલો: | 2 x 2| = |x3 2 | + | 2 x x3 | n n n ઉકેલ: ત્યારથી |x3 2 | + | 2 x x3 | = |x3 2 + 2 x x3 |, તો સમીકરણના તમામ મૂળ અસમાનતા (x3 2)(2 x – x3)≥ 0 (વિધાન 1) ના ઉકેલો પૈકીના છે. ચાલો અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ અસમાનતાને હલ કરીએ; x(x3 – 2)(x2 – 2)≥ 0 x(x3 – 2)(x +)≤ 0 + + + 0 x જવાબ: [ ; 0] યુ [; ]
4. અન્ય ઉદાહરણોમાં, તમારે મોડ્યુલને જાહેર કરવા માટે બિલકુલ ઉતાવળ કરવી જોઈએ નહીં; તમારે પ્રથમ સમીકરણને સંપૂર્ણ તરીકે ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ. 1 માત્ર ત્રણ કિસ્સાઓમાં: n a) જો અપૂર્ણાંકો પરસ્પર વ્યસ્ત હોય, એટલે કે x+1= x+2 અને | x+1| = | x+2|, પરંતુ આ કોઈપણ x માટે શક્ય નથી. n b) જો તેમાંથી દરેક 1 ની બરાબર હોય, તો આપણને મળશે અને. પ્રથમ સમીકરણથી તે x+1>0 x > 1ને અનુસરે છે. બીજા સમીકરણમાંથી આપણને x+2>0 x> 2 મળે છે. સામાન્ય ઉકેલ: x> 1. c) જો તે દરેક 1 ની બરાબર હોય, તો આપણે મેળવો અને. પ્રથમ સમીકરણથી તે x+1 ને અનુસરે છે
n n n બીજા સમીકરણમાંથી આપણને x+2 મળે છે
મુખ્ય અભ્યાસક્રમ સામગ્રી
સંખ્યાનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય. મૂળભૂત ગુણધર્મો (1 કલાક).
સંખ્યા અથવા મોડ્યુલના સંપૂર્ણ મૂલ્યનું નિર્ધારણ. વ્યાખ્યાના વિશ્લેષણાત્મક રેકોર્ડ. ભૌમિતિક અર્થ. મૂળભૂત ગુણધર્મો. ઐતિહાસિક સંદર્ભ.
મુખ્ય ધ્યેય "સંપૂર્ણ મૂલ્ય" વિષય પરના વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનને વ્યવસ્થિત અને સામાન્ય બનાવવાનો છે, જે તેમના દ્વારા ગ્રેડ 6 અને 8 માં પ્રાપ્ત થાય છે; સંપૂર્ણ મૂલ્ય અને મૂળભૂત ગુણધર્મોના ભૌમિતિક અર્થને ધ્યાનમાં લો; "મોડ્યુલસ" અને "મોડ્યુલસ સાઇન" શબ્દના પરિચય વિશે ઐતિહાસિક માહિતી આપો; ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લો કે જેના ઉકેલ મોડ્યુલની વ્યાખ્યા પર આધારિત છે.
મોડ્યુલો સાથે સમીકરણો ઉકેલવા (3 કલાક).
મોડ્યુલી સાથે રેખીય, ચતુર્ભુજ સમીકરણો તેમજ પરિમાણો સાથે સંપૂર્ણ મૂલ્યો ધરાવતા સમીકરણો ઉકેલવા.
પ્રાથમિક ધ્યેય- અભિવ્યક્તિનું ભૌમિતિક અર્થઘટન અને ફોર્મના સમીકરણોને ઉકેલવા માટે તેનો ઉપયોગ; મોડ્યુલસની વ્યાખ્યાના આધારે રેખીય સમીકરણો ઉકેલવા પર વિચાર કરો; નિરપેક્ષ મૂલ્યની નિશાની ધરાવતા ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા, તેમજ પરિમાણો સાથે સંપૂર્ણ મૂલ્ય ધરાવતા સમીકરણોને ગ્રાફિકલી ઉકેલવા.
મોડ્યુલો (3 કલાક) સાથે અસમાનતાઓનું નિરાકરણ.
મોડ્યુલી સાથે રેખીય, ચતુર્ભુજ અસમાનતાઓ તેમજ પરિમાણો સાથે સંપૂર્ણ મૂલ્યો ધરાવતી અસમાનતાઓને ઉકેલવી.
પ્રાથમિક ધ્યેય- વિવિધ રીતે મોડ્યુલસ સાથે રેખીય અસમાનતાઓને હલ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવો (ભૌમિતિક અર્થનો ઉપયોગ કરીને, અસમાનતાને વર્ગીકરણ કરીને, ડબલ અસમાનતાનો ઉપયોગ કરીને); ચતુર્ભુજ કાર્યના ગ્રાફના યોજનાકીય સ્કેચનો ઉપયોગ કરીને, તેમજ અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, ચોક્કસ મૂલ્ય ચિહ્નને સમાવતા ચતુર્ભુજ અસમાનતાઓ; પરિમાણો સાથે સંપૂર્ણ મૂલ્યો સાથે સંકળાયેલી અસમાનતાઓને ઉકેલવાનો વિચાર આપો.
અંતરાલ પદ્ધતિ (2 કલાક).
અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને નિરપેક્ષ મૂલ્યોને સમાવતા સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવી.
પ્રાથમિક ધ્યેય - અંતરાલોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને નિરપેક્ષ મૂલ્યો ધરાવતા સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે શાળાના બાળકોને શીખવો; એક પ્રમેય ઘડવો કે જેના પર સતત ચિહ્નના અંતરાલોની શોધ આધારિત છે; મોડ્યુલસ શૂન્ય શોધવી.
ફોર્મની અસમાનતાઓ , , સમકક્ષ સંક્રમણો દ્વારા ઉકેલી શકાય તેવું (2h).
અસમાનતાઓના સમૂહમાં સમકક્ષ સંક્રમણો દ્વારા ફોર્મની અસમાનતાઓને ઉકેલવી, અને અસમાનતાઓ - અસમાનતાઓની સિસ્ટમમાં.
પ્રાથમિક ધ્યેય– સમકક્ષતાના ખ્યાલને એકીકૃત કરો, જે 8મા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓ માટે જાણીતું છે; અસમાનતામાંથી સમૂહમાં અને અસમાનતાથી સિસ્ટમમાં સમકક્ષ સંક્રમણની મિલકત ઘડવો (અને "મજબૂત" વર્ગમાં સાબિત કરો).
સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવામાં સંપૂર્ણ મૂલ્યના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ (1 કલાક).
નિરપેક્ષ મૂલ્યના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો અને અસમાનતાઓ (રેખીય, ચતુર્ભુજ, બે કરતા વધુ ડિગ્રી), તેમજ સમીકરણો અને અસમાનતાઓની સિસ્ટમો ઉકેલવી.
પ્રાથમિક ધ્યેય- જો જરૂરી હોય તો, મોડ્યુલના મૂળભૂત ગુણધર્મોનું પુનરાવર્તન કરો; વિદ્યાર્થીઓને સમીકરણો અને અસમાનતાઓ (રેખીય, ચતુર્ભુજ, બે ઉપરની ડિગ્રી), તેમજ નિરપેક્ષ મૂલ્યના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો અને અસમાનતાઓની સિસ્ટમો ઉકેલવા શીખવો; જવાબ લખતી વખતે ગ્રાફિક તકનીકો બતાવો; મોડ્યુલસ સાથે સમીકરણોના વર્ગને વિસ્તૃત કરો (બે ચલો સાથેના સમીકરણને ધ્યાનમાં લો).
સંકલન રેખા (1 કલાક) પર સંપૂર્ણ મૂલ્ય સાથે સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવા.
સંકલન રેખા પર સંપૂર્ણ મૂલ્ય સાથે રેખીય સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવી.
પ્રાથમિક ધ્યેય- બે બિંદુ A( વચ્ચેના અંતર માટે સૂત્રનું પુનરાવર્તન કરો x 1) અને B( x 2) સંકલન રેખા; વિદ્યાર્થીઓને સંકલન રેખા પર મોડ્યુલસ વડે સમીકરણો અને અસમાનતા ઉકેલવાનું શીખવો.
મોડ્યુલસ અને મૂળનું પરિવર્તન (1 કલાક).
અંકગણિત મૂળ સાથે કામ કરતી વખતે મોડ્યુલના ખ્યાલનો ઉપયોગ. અતાર્કિક અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન, જેનો ઉકેલ મોડ્યુલનો ઉપયોગ કરે છે.
પ્રાથમિક ધ્યેય- વર્ગમૂળ ધરાવતા અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન કરવાની ક્ષમતા વિકસાવો, જેમાં મોડ્યુલનો ઉપયોગ થાય છે.
મોડ્યુલસ અને અતાર્કિક સમીકરણો (2 કલાક).
સંપૂર્ણ ચોરસને અલગ કરવાની અથવા નવું ચલ રજૂ કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અતાર્કિક સમીકરણો ઉકેલવા.
પ્રાથમિક ધ્યેય- 8મા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓ માટે જાણીતા અતાર્કિક સમીકરણોની વ્યાખ્યાનું પુનરાવર્તન કરો; મોડ્યુલનો ઉપયોગ કરવાની જરૂરિયાતને લગતા અતાર્કિક સમીકરણોના ઉકેલ ઉદાહરણો સાથે બતાવો.
શૈક્ષણિક અને વિષયોનું આયોજન
| ના. | વિષય | કલાકોની સંખ્યા | વર્ગો ચલાવવાનું સ્વરૂપ | નિયંત્રણનું સ્વરૂપ | શૈક્ષણિક ઉત્પાદનનું નામ |
| 1 | સંખ્યાનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય. મૂળભૂત ગુણધર્મો. | 1 | વ્યાખ્યાન | - | - |
| 2 | મોડ્યુલો સાથે સમીકરણો ઉકેલવા: રેખીય; ચોરસ; પરિમાણો સાથે. |
1 | વર્કશોપ વર્કશોપ નવી સામગ્રી શીખવી |
પરીક્ષણ કાર્યો ઉકેલવા પરીક્ષણ કાર્યો ઉકેલવા વર્કબુક તપાસી રહ્યા છીએ |
- |
| 5 | મોડ્યુલો સાથે અસમાનતાઓનું નિરાકરણ: રેખીય; ચોરસ; પરિમાણો સાથે. |
1 | વર્કશોપ નવી સામગ્રી શીખવી |
હોમવર્ક તપાસી રહ્યું છે પ્રશ્નોના જવાબો વર્કબુક તપાસી રહ્યા છીએ |
- |
| 8 | અંતરાલ પદ્ધતિ. | 1 | સંયુક્ત પાઠ પાઠ-સ્પર્ધા |
પ્રશ્નોના જવાબો પીઅર સમીક્ષા પાઠ |
- |
| 10 | ફોર્મની અસમાનતાઓનો ઉકેલ , , સમકક્ષ સંક્રમણો દ્વારા ઉકેલાય છે. | 1 | નવી સામગ્રી શીખવી શીખેલી સામગ્રીનું એકીકરણ |
નોંધો તપાસી રહ્યા છીએ ગાણિતિક શ્રુતલેખન |
- |
| 12 | સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવામાં સંપૂર્ણ મૂલ્યના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ. | 1 | મૌખિક સર્વેક્ષણ | - | |
| 13 | સંકલન રેખા પર સંપૂર્ણ મૂલ્ય સાથે સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવી. | 1 | જ્ઞાનનું સામાન્યીકરણ અને વ્યવસ્થિતકરણ | સ્વતંત્ર કાર્ય | - |
| 14 | મોડ્યુલસ અને મૂળનું પરિવર્તન. | 1 | વર્કશોપ | સમુહકાર્ય | - |
| 15 | મોડ્યુલસ અને અતાર્કિક સમીકરણો. | 1 | ડેટા રેકોર્ડરને તપાસવું અને સુધારવું પરામર્શ |
ઘર પરીક્ષણ પ્રશ્નોના જવાબો |
- |
| 17 | ટેસ્ટ. | 1 | પરીક્ષણ અથવા પરીક્ષણ | - | પૃષ્ઠભૂમિ નોંધોની તૈયારી |
શિક્ષકો માટે સાહિત્યની સૂચિ
- ગોલુબેવ વી.આઇ. ગણિતની સ્પર્ધાત્મક પરીક્ષાઓમાં સંખ્યાનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય (દેશની અગ્રણી યુનિવર્સિટીઓની સામગ્રી પર આધારિત).
- ગોલુબેવ વી. "સંપૂર્ણ મૂલ્ય" વિષય પર સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની અસરકારક પદ્ધતિઓ - એમ.: ચિસ્તે પ્રુડી, 2006.
- ડાન્કોવા I.N., Bondarenko T.E., Emelina L.L., Pletneva O.K. ગણિતમાં 9મા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓની પૂર્વ-પ્રોફાઇલ તૈયારી - M.: 5 જ્ઞાન માટે, 2006.
- રૂરુકિન એ.એન. ગણિતમાં પરીક્ષાની સઘન તૈયારી માટેનું એક માર્ગદર્શિકા “સ્નાતક, પ્રવેશ, 5+ માટે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા.” - M.: VAKO, 2006.
- સ્મીકાલોવા ઇ.વી. ગણિત (મોડ્યુલ્સ, પરિમાણો, બહુપદી), પૂર્વ-પ્રોફાઇલ તૈયારી, 8-9 ગ્રેડ - સેન્ટ પીટર્સબર્ગ: SMIO-પ્રેસ, 2006.
વિદ્યાર્થીઓ માટે સાહિત્યની યાદી
- ગુસેવ વી.એ., મોર્ડકોવિચ એ.જી. ગણિત. સંદર્ભ સામગ્રી - એમ.: શિક્ષણ, 1988.
- Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. યુનિવર્સિટીઓમાં પ્રવેશ કરનારાઓ માટે ગણિત પર એક માર્ગદર્શિકા - એમ.: નૌકા, 1973.
- ઝોરીન વી.વી. યુનિવર્સિટીઓમાં પ્રવેશ મેળવનારાઓ માટે ગણિત પર મેન્યુઅલ - એમ.: હાયર સ્કૂલ, 1974.
- Ivlev B.M., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P., Shvartsburd S.I. બીજગણિતમાં વધેલી જટિલતા અને વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતોની સમસ્યાઓ - એમ.: શિક્ષણ, 1990.
- કાલનીન આર.એ. બીજગણિત અને પ્રાથમિક કાર્યો, પ્રકાશન ગૃહ "નૌકા", ભૌતિક અને ગાણિતિક સાહિત્યનું મુખ્ય સંપાદકીય કાર્યાલય - એમ.: નૌકા, 1975.
- ક્રુલીકોવ્સ્કી એન.એન. અરજદારો માટે ગાણિતિક સમસ્યાઓ - ટોમસ્ક: એડ. ટોમ્સ્ક યુનિવર્સિટી, 1973.
- નેસ્ટેરેન્કો યુ.વી., ઓલેહનિક એસ.એન., પોટાપોવ એમ.કે. ગણિતમાં પ્રવેશ પરીક્ષાના ઉદ્દેશ્યો - એમ.: નૌકા, 1986.
- શરીગિન આઈ.એફ. ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ માટે ગણિત, મોસ્કો, "ડ્રોફા", 1995.
પદ્ધતિસરની સામગ્રી
પાઠ #1:સંખ્યાના સંપૂર્ણ મૂલ્યનું નિર્ધારણ (સંખ્યાનું મોડ્યુલસ), તેનો ભૌમિતિક અર્થ અને મૂળભૂત ગુણધર્મો.
વાસ્તવિક સંખ્યા a નું સંપૂર્ણ મૂલ્ય (અથવા મોડ્યુલસ) એ સંખ્યા છે જો તે બિન-ઋણાત્મક હોય, અને આ સંખ્યા જો નકારાત્મક હોય તો વિપરીત ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે.
સંખ્યાનું મોડ્યુલસ નીચે મુજબ સૂચવવામાં આવે છે: સંખ્યાના મોડ્યુલસ અને સંખ્યા વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરીને, અમે વ્યાખ્યાનું વિશ્લેષણાત્મક સંકેત મેળવીએ છીએ:
= 
સંખ્યાનું મોડ્યુલસ એ મૂળથી બિંદુ સુધીનું અંતર પણ છે જે સંકલન રેખા પર આ સંખ્યાને રજૂ કરે છે. આ છે ભૌમિતિક અર્થમોડ્યુલ તે. સંખ્યાના "મોડ્યુલસ", "સંપૂર્ણ મૂલ્ય" અથવા "સંપૂર્ણ મૂલ્ય" શબ્દોનો ઉપયોગ થાય છે. ઉપરની વ્યાખ્યા = 5, = 3, =0 અનુસાર. સંખ્યાના મોડ્યુલસને a અને – a ની સૌથી મોટી સંખ્યા તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે.
ઐતિહાસિક માહિતી: શબ્દ "મોડ્યુલ" (લેટિન મોડ્યુલસ - માપમાંથી) અંગ્રેજી ગણિતશાસ્ત્રી આર. કોટેસ (1682-1716) દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો, અને મોડ્યુલસ સાઇન જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી કે. વેયરસ્ટ્રાસ (1815-1897) દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. 1841 માં.
મોડ્યુલના મુખ્ય ગુણધર્મો:
ચાલો ઉદાહરણો જોઈએ કે જેના ઉકેલ મોડ્યુલની વ્યાખ્યા પર આધારિત છે.
નંબર 1. સમીકરણ =4 ઉકેલો.
મોડ્યુલ વ્યાખ્યા દ્વારા; એક્સ=4 અથવા એક્સ=-4.
નંબર 2. સમીકરણ ઉકેલો: =3.
સમીકરણ બે સમીકરણોના સંયોજનને સમકક્ષ છે:
ક્યાં: x 1=2 અને x 2=-1.
નંબર 3. સમીકરણ ઉકેલો: =-2.
ગુણધર્મ 1 દ્વારા: કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનું મોડ્યુલસ એ બિન-નકારાત્મક સંખ્યા છે, અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે તેનો કોઈ ઉકેલ નથી.
નંબર 4. સમીકરણ ઉકેલો: = એક્સ–5.
સમાન મિલકત માટે 1: એક્સ–50, એક્સ 5.
નંબર 5. સમીકરણ ઉકેલો: + એક્સ=0.
=- x, એક્સ 0.
નંબર 6. સમીકરણ ઉકેલો: = એક્સ+2.
અગાઉના ઉદાહરણથી વિપરીત, આ સમીકરણની જમણી બાજુ ચલ સાથેની અભિવ્યક્તિ ધરાવે છે. તેથી, સમીકરણમાં એક ઉકેલ છે જે પ્રદાન કરે છે એક્સ+20, એટલે કે. x-2. પછી અમારી પાસે છે:
2x+1= x +2 અથવા
2x+1 = - x – 2.
તે. ખાતે x -2,અમારી પાસે:
સમીકરણો ઉકેલો:
પાઠ નંબર 2. મોડ્યુલી સાથે રેખીય સમીકરણો ઉકેલવા.
રેખીય સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, કાં તો સંખ્યાના મોડ્યુલસનો ભૌમિતિક અર્થ અથવા મોડ્યુલસની ચિહ્નની જાહેરાતનો ઉપયોગ થાય છે. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ: સમીકરણ ઉકેલો
a) આપણે સંખ્યાના મોડ્યુલસના ભૌમિતિક અર્થનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. ચાલો ફોર્મમાં સમીકરણ લખીએ: +=7. પછી d=x–5- બિંદુથી અંતર એક્સનંબર લાઇન પર પોઇન્ટ 5 પર, f =x–(-2)- બિંદુથી અંતર એક્સબિંદુ (-2) સમસ્યાની શરતો અનુસાર, આ અંતરોનો સરવાળો d+f=7. ચાલો નંબર લાઇન પર પોઈન્ટ 5 અને -2 લખીએ. અંતરાલ [-2;5] માંથી કોઈપણ સંખ્યા માટે અંતરનો સરવાળો છે તે તપાસવું સરળ છે d+fસેગમેન્ટ AB ની લંબાઈ જેટલી, એટલે કે. 7. પોઈન્ટ માટે શું સેટ કરવું તે પણ સરળ છે એક્સ<2 અથવા x>5અંતરનો સરવાળો d+f>7. તેથી, સમીકરણનો ઉકેલ અંતરાલ છે.
b) ચાલો મોડ્યુલસ ચિહ્નને વિસ્તૃત કરીએ. આ કરવા માટે, નંબર લાઇન પર પોઇન્ટ -2 અને 5 પ્લોટ કરો. આ બિંદુઓ તેને ત્રણ અંતરાલોમાં વિભાજિત કરે છે. ચાલો દરેક અંતરાલમાં મોડ્યુલોના ચિહ્નોને ધ્યાનમાં લઈએ.
અંતરાલમાં 1 (એક્સ<-2) અમને મળે છે: -(x–5)-(x+2)=7અથવા –x+5–x–2=7અથવા - 2x+3=7, જ્યાંથી આપણે મેળવીએ છીએ: x=-2. પરંતુ આ બિંદુ માનવામાં અંતરાલમાં શામેલ નથી. એ કારણે x=-2ઉકેલ નથી.
અંતરાલ 2 માં: એક્સઅમને મળે છે: -(x–5)+(x+2)=7અથવા 7=7. સમાનતા સાચી હોવાથી, આ અંતરાલમાં કોઈપણ બિંદુ આ સમીકરણનો ઉકેલ છે.
અંતરાલ 3 માં (x>5)અમને મળે છે: (x-5)+(x+2)=7અથવા 2x-3=7, ક્યાં x=5. ડોટ x=5વિચારણા હેઠળના અંતરાલમાં શામેલ નથી અને તે સમીકરણનો ઉકેલ નથી.
તેથી, આ સમીકરણનો ઉકેલ છે: -2x5.
સ્વતંત્ર કાર્ય માટે કસરતો:
સમીકરણો ઉકેલો:
પાઠ નંબર 3. મોડ્યુલસ સાથે ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા.
ચાલો ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને મોડ્યુલ વડે ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાનો વિચાર કરીએ:
નંબર 1. સમીકરણ ઉકેલો
ચાલો બદલીનો પરિચય કરીએ =y, પછી ખાતે y 0સમીકરણ ફોર્મ લે છે:
y 2 –6у+8=0, ક્યાંથી y 1 = 2 અને y 2 = 4. એ x= 2 અથવા -2; 4 અથવા -4.
નંબર 2. સમીકરણ ઉકેલો:
સમીકરણ સિસ્ટમ માટે સમકક્ષ છે: ક્યાંથી એક્સ=1.
નંબર 3. સમીકરણ ઉકેલો:
2એક્સ – 1.
સમીકરણમાં એક ઉકેલ છે જો કે 2 એક્સ-10, અને સમાનતા પૂરી પાડવામાં આવેલ છે: અભિવ્યક્તિઓના અર્થો x 2 + x-1 અને 2 એક્સ-1 સમાન અથવા વિરુદ્ધ છે. તે. અમારી પાસે છે: x0.5. ચાલો સમીકરણો બનાવીએ: x 2 + x–1=2એક્સ-1 અથવા x 2+એક્સ–1=-(2એક્સ-1); જે ઉકેલવાથી આપણે મેળવીએ છીએ
નંબર 4. સમીકરણના મૂળ શોધો: 
.
ચાલો આ સમીકરણને ફોર્મમાં રજૂ કરીએ: = એક્સ 2 - 1, ક્યાંથી:
x – 1 = x 2 – 1,
અથવા x – 1 = - (x 2 – 1).
x 2 – 1 ખાતે x - 1અને x 1સમીકરણો ઉકેલવાથી, આપણે પ્રથમમાંથી મેળવીએ છીએ: x=0અને x=1, બીજામાંથી: x=-2અને x=1.
જવાબ: x=1; x=-2.
નંબર 5. સમીકરણના સંપૂર્ણ મૂળ શોધો: = .
મોડ્યુલની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે જો સમીકરણોના મૂલ્યો હોય તો સમાનતા શક્ય છે x–x 2 –1અને 2x+3–x 2સમાન અથવા વિરુદ્ધ, એટલે કે. આ સમીકરણ બે સમીકરણોના સંયોજનને સમકક્ષ છે:
સમૂહને હલ કરીને, અમે આ સમીકરણના મૂળ મેળવીએ છીએ: x=-4;-0.5;2.તેમની વચ્ચે પૂર્ણાંકો: -4 અને 2.
નંબર 6. સમીકરણ ઉકેલો: =2x 2 –3x+1.
ચાલો અભિવ્યક્તિને સૂચિત કરીએ 3x-1-2x 2પત્ર એ. પછી આ સમીકરણ ફોર્મ લેશે: =-એ. મોડ્યુલસની વ્યાખ્યાના વિશ્લેષણાત્મક સંકેતના આધારે, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે આ સમીકરણ અસમાનતાની સમકક્ષ છે: 3x–1-2x 2 0, જેને ઉકેલવાથી, અમને જવાબ મળે છે: x0.5અને x1.
સ્વતંત્ર કાર્ય માટે કસરતો.
સમીકરણ ઉકેલો:
નંબર 1.=x 2 + x–20.
નંબર 2. + 3x -5=0,
નંબર 3. =(x–1)(x+1),
નંબર 4. x 2 –6+5=0,
નંબર 5. x 2 +8=9,
નંબર 6.=x 2 –6x+6,
નંબર 7. x = -8.
પાઠ નંબર 4.પરિમાણ સાથે સંપૂર્ણ મૂલ્ય ધરાવતા સમીકરણો ઉકેલવા.
ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ: પરિમાણ સાથે સમીકરણ ઉકેલો
ચાલો ફંક્શન ગ્રાફ બનાવીએ y=3–xઅને y=.અનુસૂચિ y=3–xનિશ્ચિત છે અને પરિમાણ પર આધારિત નથી. અનુસૂચિ y=કાર્યના ગ્રાફમાંથી મેળવેલ y=,પરિમાણ પર આધાર રાખે છે એ. તેથી, ચાલો 3 કેસો ધ્યાનમાં લઈએ:
આ કેસ, આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે, ક્યારે હશે એ<3 . આ ફંક્શન્સના આલેખ એક જ બિંદુ B પર છેદે છે. ત્રિકોણ ABC ને ધ્યાનમાં લો, જેમાં કોણ A એ કોણ B બરાબર છે અને 45 0 બરાબર છે, આ ત્રિકોણમાં ઊંચાઈ VD દોરો. કારણ કે ત્રિકોણ ABC સમદ્વિબાજુ છે, તો BD પણ આ ત્રિકોણનો મધ્યક છે. તેથી, પોઈન્ટ D નો એબ્સીસા એક્સ=(a + 3)/2.
આ કિસ્સો ત્યારે થાય છે જ્યારે એ=3. પછી ફંક્શનના આલેખ સેગમેન્ટ AB સાથે એકરુપ થાય છે અને આ કિરણ પરના કોઈપણ બિંદુનો એબ્સીસા આ સમીકરણનો ઉકેલ છે, એટલે કે. એક્સ<3.
આ બાબતે એ>3. તે જોઈ શકાય છે કે ફંક્શનના ગ્રાફ એકબીજાને છેદતા નથી, એટલે કે. કોઈ સામાન્ય મુદ્દા નથી. તેથી, સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.
સ્વતંત્ર કાર્ય માટે કસરતો:
સમીકરણો ઉકેલો:
નંબર 3. (a–2)=a–2,
નંબર 4. a 2 x 2 + a = 0.
પાઠ નંબર 5.મોડ્યુલી સાથે રેખીય અસમાનતાઓ ઉકેલવી.
મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળ ચલ ધરાવતી અસમાનતાઓ વિવિધ રીતે ઉકેલાય છે; ચાલો એકદમ સરળ ઉદાહરણ જોઈએ:
નંબર 1. અસમાનતા ઉકેલો:
પ્રથમ પદ્ધતિ: અમારી પાસે છે: >4,
ભૌમિતિક રીતે, અભિવ્યક્તિનો અર્થ બિંદુઓ વચ્ચેની સંકલન રેખા પરનું અંતર છે એક્સઅને 2.5. આનો અર્થ એ છે કે આપણે આવા તમામ મુદ્દાઓ શોધવાની જરૂર છે એક્સ, જે બિંદુ 2.5 થી 2 થી વધુ દૂર છે, તે અંતરાલોના બિંદુઓ છે એક્સ<0,5 અને x>4.5.
બીજી પદ્ધતિ: આપેલ અસમાનતાની બંને બાજુઓ બિન-નકારાત્મક હોવાથી, આપણે આ અસમાનતાની બંને બાજુઓને વર્ગીકૃત કરીએ છીએ: 2 >4 2.
(2x–5) 2 >4 2 ,
(2x–5) 2 –16>0,
(2x–5–4)(2x–5+4)>0,
2(x–4.5) 2(x–0.5)>0,
(x–4.5)(x–0.5)>0.
અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અમને મળે છે: એક્સ<0 ,5 અને x>4.5.
ત્રીજી રીત: અભિવ્યક્તિ 2x–5બિન-નકારાત્મક અથવા નકારાત્મક હોઈ શકે છે. તે. અમારી પાસે બે સિસ્ટમોનું સંયોજન છે:
ક્યાં: એક્સ<0,5 અને x>4.5.
ચાલો થોડા વધુ ઉદાહરણો જોઈએ.
ઉદાહરણ નંબર 2. અસમાનતા ઉકેલો:<3.
આ અસમાનતા બે સિસ્ટમોના સંયોજનને સમકક્ષ છે:
પ્રથમ સિસ્ટમમાંથી આપણે મેળવીએ છીએ 2x<5 , બીજાથી -1<х<2 . આ બે ઉકેલોને જોડીને આપણને મળે છે: -1<х<5 .
ઉદાહરણ નંબર 3. અસમાનતા ઉકેલો: 3 x+3.
આ અસમાનતા બેવડી અસમાનતાની સમકક્ષ છે -x-33x–3x+3અથવા સિસ્ટમ 
અમારી પાસે : 0x3.
સ્વતંત્ર કાર્ય માટે કસરતો:
અસમાનતાઓ ઉકેલો:
№1. <3х+1,
№3. ->-2.
પાઠ નંબર 6.મોડ્યુલી સાથે ચતુર્ભુજ અસમાનતાઓ ઉકેલવી.
ચાલો ઉદાહરણ નંબર 1 જોઈએ. અસમાનતા ઉકેલો: +x–2<0 .
આ અસમાનતા અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. ચાલો નીચેના વિધાનના આધારે બીજા ઉકેલને ધ્યાનમાં લઈએ: a ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે, અસમાનતા અસમાનતાની સિસ્ટમની સમકક્ષ છે: ,અને અસમાનતાઅસમાનતાના સમૂહની સમકક્ષ છે.
તેથી, અમારી અસમાનતા અસમાનતાઓની સિસ્ટમની સમકક્ષ છે: 
જેને હલ કરવાથી, અમને મળે છે: 
ચાલો જવાબ લખીએ: (1-;2-).
ઉદાહરણ નંબર 2. અસમાનતા માટે પૂર્ણાંક ઉકેલો શોધો: 2x–x 2. સમસ્યા બે અસમાનતા પ્રણાલીઓના સમૂહને ઉકેલવા માટે નીચે આવે છે:
ચાલો આપણે પ્રથમ સિસ્ટમ હલ કરીએ: પ્રથમ અસમાનતામાંથી આપણી પાસે છે: x1; x2.
બીજા થી: 2x 2 –5x+20, અથવા 0.5x2.
કોઓર્ડિનેટ લાઇન પર પ્રથમ સિસ્ટમની પ્રથમ અને બીજી અસમાનતાના મળેલા ઉકેલોની નોંધ લીધા પછી, અમે ઉકેલોનું આંતરછેદ શોધીએ છીએ.
તે. 0.5x1અને x=2. આ પ્રથમ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે.
ચાલો બીજી સિસ્ટમ હલ કરીએ: પ્રથમ અસમાનતાથી આપણી પાસે છે: 1<х<2 , બીજામાંથી: -(x 2 -3x+2)2x–x 2, અથવા – x 2 +3x–2–2x+ x 2 0, અથવા x2.
કોઓર્ડિનેટ લાઇન પર બીજી સિસ્ટમની પ્રથમ અને બીજી અસમાનતાના મળેલા ઉકેલોની નોંધ લેતા, અમે મેળવીએ છીએ: 1<х<2 . આ બીજી સિસ્ટમનો ઉકેલ છે.
અસમાનતાઓની પ્રણાલીઓમાં મળેલા ઉકેલોનું સંયોજન 0.5x1; x=2; 1
સ્વતંત્ર કાર્ય માટે કસરતો:
અસમાનતાઓ ઉકેલો:
№3. <3х–3,
નંબર 4. x 2 -3+2>0,
નંબર 5. x 2 x<3,
નંબર 6. x 2 -6x+7-<0,
નંબર 7. 3+x 2 –7>0,
№8. >.
પાઠ નંબર 7. પરિમાણો સાથે સંપૂર્ણ મૂલ્ય ધરાવતી અસમાનતાઓને ઉકેલવી.
ઉદાહરણ. કયા મૂલ્યો પર એઅસમાનતા સાચી છે: આહ 2 +4+a+3<0 ?
મુ x0અમારી પાસે આહ 2 +4x+a+3<0 . વરિષ્ઠ ગુણાંક એનકારાત્મક હોવું જ જોઈએ, ભેદભાવ શૂન્ય કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
એ<0, Д=16–4a(a+3)<0; 16-4а 2 -12а<0; а 2 +3а-4>0; એ<-4 અને a>1;
પેરાબોલાના શિરોબિંદુનો એબ્સીસા x 0 = -b/2a=- 4/2a=-2/a 0, ક્યાં એ<-4 .
મુ એક્સ<0 અમારી પાસે આહ 2 –4x+a+3<0 . સમાન રીતે દલીલ કરતા, અમને મળે છે: એ<-4 .
જવાબ: ક્યારે એ<-4 આ અસમાનતા x ના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે ધરાવે છે.
સ્વતંત્ર કાર્ય માટે કસરતો:
પરિમાણો સાથે અસમાનતાઓ ઉકેલો:
નંબર 2. (હા)<0,
નંબર 3. શું એવા મૂલ્યો છે જેના માટે અસમાનતા છે આહ 2 >2+5કોઈ ઉકેલ નથી?
પાઠ નંબર 8 - 9. મોડ્યુલસ ધરાવતી સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની અંતરાલ પદ્ધતિ.
ચાલો સમીકરણ ઉકેલવાના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને અંતરાલ પદ્ધતિનો વિચાર કરીએ
-+3-2=x+2.
આ અસમાનતાને ઉકેલવા માટે, મોડ્યુલોને વિસ્તૃત કરવું જરૂરી છે. આ કરવા માટે, અમે અંતરાલો પસંદ કરીએ છીએ, જેમાંના દરેક મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળના અભિવ્યક્તિઓ માત્ર હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક મૂલ્યો લે છે. આવા અંતરાલો શોધવા એ પ્રમેય પર આધારિત છે: જો અંતરાલ (a; b) પર ફંક્શન f સતત છે અને અદૃશ્ય થતું નથી, તો તે આ અંતરાલ પર સતત ચિહ્ન જાળવી રાખે છે.
સતત ચિહ્નના અંતરાલોને પ્રકાશિત કરવા માટે, અમે એવા બિંદુઓ શોધીએ છીએ કે જેના પર મોડ્યુલસ હેઠળ લખાયેલા અભિવ્યક્તિઓ શૂન્ય બની જાય છે:
x+1=0, x=-1; x=0; x–1=0, x=1; x–2=0, x=2.
પરિણામી બિંદુઓ રેખાને જરૂરી અંતરાલોમાં વિભાજિત કરશે. ચાલો અભિવ્યક્તિના ચિહ્નોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ
આ અંતરાલો પર x+1, x, x–1, x–2:
ચિહ્નોને ધ્યાનમાં રાખીને, અમે મોડ્યુલોને વિસ્તૃત કરીશું. પરિણામે, અમે આ સમીકરણની સમકક્ષ સિસ્ટમોનો સમૂહ મેળવીએ છીએ:
છેલ્લો સેટ ફોર્મમાં ઘટાડ્યો છે:
સિસ્ટમોના સમૂહ અને આ સમીકરણનો ઉકેલ: -2; એક્સ 2.
વપરાયેલી તકનીક કહેવામાં આવે છે અંતરાલ પદ્ધતિ. તેનો ઉપયોગ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે પણ થાય છે.
અસમાનતા ઉકેલો: +x–2<0.
1) અભિવ્યક્તિના શૂન્ય શોધો: x 2 -3x.
x 1 =0, x 2 =3.
2) ચાલો સંકલન રેખાને અંતરાલોમાં વિભાજીત કરીએ અને અભિવ્યક્તિનું ચિહ્ન સેટ કરીએ x 2 -3xદરેક અંતરાલ પર:
3) ચાલો મોડ્યુલને વિસ્તૃત કરીએ: 
પ્રથમ સિસ્ટમનો ઉકેલ: , બીજાનો ઉકેલ. આ અસમાનતાનો ઉકેલ: 
.
સ્વતંત્ર કાર્ય માટે કસરતો:
№3
પાઠ નંબર 10 - 11. ફોર્મની અસમાનતાઓનું નિરાકરણ , સમકક્ષ સંક્રમણો દ્વારા.
ચાલો ફોર્મની અસમાનતાઓને ધ્યાનમાં લઈએ અને . ચાલો પુરાવા વિના નીચેના પ્રમેયને સ્વીકારીએ: અસમાનતાના કોઈપણ મૂલ્ય માટેઅસમાનતા અને અસમાનતાની સિસ્ટમની સમકક્ષ છેઅસમાનતાના સમૂહની સમકક્ષ છે
ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ: અસમાનતા ઉકેલો: 
>x+2.
ઘડાયેલ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, ચાલો અસમાનતાઓના સમૂહ તરફ આગળ વધીએ:
સિસ્ટમ અને અસમાનતા 0x>2કોઈ ઉકેલ નથી. તેથી, વસ્તી (અને આ અસમાનતાનો) ઉકેલ છે એક્સ.
સ્વતંત્ર કાર્ય માટે કસરતો:
પાઠ નંબર 12.સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવામાં સંપૂર્ણ મૂલ્યના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ.
કેટલાક કાર્યોને હલ કરતી વખતે, મોડ્યુલના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. (જો જરૂરી હોય તો, તેમને પુનરાવર્તન કરો, પાઠ નંબર 1 જુઓ).
ચાલો નીચેના ઉદાહરણોને ઉકેલવામાં મોડ્યુલ પ્રોપર્ટીઝનો ઉપયોગ સમજાવીએ.
નિરપેક્ષ ચિન્હ હેઠળ અજ્ઞાત ધરાવતી અસમાનતાઓને ઉકેલતી વખતે, નિરપેક્ષ ચિન્હ હેઠળ અજાણ્યા સમીકરણોને ઉકેલતી વખતે સમાન તકનીકનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, એટલે કે: મૂળ અસમાનતાને ઉકેલવાથી ઘણી અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે ઘટાડી દેવામાં આવે છે જે અંતર્ગત અભિવ્યક્તિના સતત સંકેતોના અંતરાલો પર ગણવામાં આવે છે. સંપૂર્ણ ચિહ્ન મોટું.
ઉદાહરણ:અસમાનતા ઉકેલો
ઉકેલ: ચાલો નિરપેક્ષ તીવ્રતાના ચિહ્ન હેઠળ ઊભા રહીને x 2 - 2 ની અભિવ્યક્તિના સતત ચિહ્નના અંતરાલોને ધ્યાનમાં લઈએ.
1) ધારો કે
પછી અસમાનતા (*) સ્વરૂપ લે છે
આ અસમાનતા અને અસમાનતા x 2 -2 0 ના ઉકેલોના સમૂહનું આંતરછેદ મૂળ અસમાનતા (આકૃતિ 1): x(-2; -]ના ઉકેલોના પ્રથમ સમૂહને રજૂ કરે છે.
- 2) ધારો કે x 2 - 2
- 2 - x 2 + x
આ અસમાનતા અને અસમાનતાના ઉકેલોના સમૂહનું આંતરછેદ x 2 - 2
જવાબ: x(-2; -1).
સમીકરણોથી વિપરીત, અસમાનતાઓ સીધી રીતે ચકાસી શકાતી નથી. જો કે, મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં, તમે ગ્રાફિકલી પ્રાપ્ત પરિણામોની ચોકસાઈ ચકાસી શકો છો. ખરેખર, ચાલો ફોર્મમાં ઉદાહરણની અસમાનતા લખીએ
ચાલો વિચારણા હેઠળની અસમાનતાની ડાબી અને જમણી બાજુઓમાં સમાવિષ્ટ કાર્યો y 1 = x 2 - 2 અને y 2 = -x બનાવીએ અને દલીલના તે મૂલ્યો શોધીએ જેના માટે y 1
ફિગ માં. 3, x-અક્ષના છાયાવાળા વિસ્તારમાં જરૂરી x મૂલ્યો છે. નિરપેક્ષ મૂલ્યની નિશાની ધરાવતી અસમાનતાઓનો ઉકેલ ક્યારેક સમાનતા x 2 = x 2 નો ઉપયોગ કરીને નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડી શકાય છે.
આકૃતિ 3
ઉદાહરણ:અસમાનતા ઉકેલો
ઉકેલ: બધા x -2 માટે મૂળ અસમાનતા અસમાનતાની સમકક્ષ છે
x - 1> x + 2. (**)
અસમાનતા (**) ની બંને બાજુઓને વર્ગીકરણ કરીને, સમાન શરતો લાવ્યા પછી, આપણે અસમાનતા મેળવીએ છીએ
શરત x -2 દ્વારા નિર્ધારિત મૂળ અસમાનતાના સ્વીકાર્ય મૂલ્યોના સમૂહને ધ્યાનમાં લેતા, અમે આખરે મેળવીએ છીએ કે અસમાનતા (*) તમામ x(-; -2)(-2; -1/2) માટે સંતુષ્ટ છે. .
જવાબ: (-; -2)(-2; -1/2).
ઉદાહરણ:સૌથી નાનો પૂર્ણાંક x શોધો જે અસમાનતાને સંતોષે છે:
ઉકેલ: x +1 0 અને, શરત દ્વારા, x +1 0 હોવાથી, આ અસમાનતા નીચેનાની સમકક્ષ છે: 2x + 5 > x +1. બાદમાં, બદલામાં, અસમાનતાઓની સિસ્ટમની સમકક્ષ છે -(2x + 5)
- -(2x + 5)
- 2x + 5 > x +1,
સૌથી નાનો પૂર્ણાંક x જે આ અસમાનતા પ્રણાલીને સંતોષે છે તે 0 છે. નોંધ કરો કે x -1 છે, અન્યથા આ અસમાનતાની ડાબી બાજુની અભિવ્યક્તિનો કોઈ અર્થ નથી.
ઉદાહરણ:અસમાનતા ઉકેલો:
જવાબ: [-1; 1].
ઉદાહરણ:અસમાનતા ઉકેલો
x2 - 3x + 2+ 2x + 1 5.
ઉકેલ. x 2 - 3x + 2 1 પર ઋણ છે
- 2. - ? એક્સ? 1. આપણી પાસે અસમાનતા x2 - x - 2 છે? 0. તેનો ઉકેલ -1 છે? એક્સ? 2. તેથી, સમગ્ર સેગમેન્ટ -S? x? 1 અસમાનતાને સંતોષે છે.
- 4. x? 2. અસમાનતા કેસ 2 જેવી જ છે. માત્ર x = 2 જ યોગ્ય છે.
જવાબ: 5 - 41 2 ? એક્સ? 2.
ઉદાહરણ:અસમાનતા ઉકેલો.
x 3 + x - 3- 5 x 3 - x + 8.
ઉકેલ. ચાલો આ અસમાનતાને બિન-માનક રીતે હલ કરીએ.
x 3 + x - 3 - 5 x 3 - x + 8,
x 3 + x - 3 - 5 x 3 + x - 8
x 3 + x - 3 x 3 - x + 13
x 3 + x - 3 - x 3 + x - 3
x 3 + x - 3 x 3 - x + 13,
x 3 + x - 3 - x 3 + x - 13,
x 3 + x - 3 - x 3 + x - 3,
x 3 + x - 3 x 3 - x + 3
કેમેરોવો
મ્યુનિસિપલ શૈક્ષણિક સંસ્થા "માધ્યમિક શાળા નંબર 37"
વૈકલ્પિક અભ્યાસક્રમ
ગ્રેડ 10-11 ના વિદ્યાર્થીઓ માટે
સમીકરણો, અસમાનતાઓ અને પ્રણાલીઓ,
દ્વારા સંકલિત:
કપલુનોવા ઝોયા નિકોલાયેવના
ગણિત શિક્ષક
સ્પષ્ટીકરણ નોંધ………………………………………..પૃષ્ઠ 2
અભ્યાસક્રમ અને વિષયોનું આયોજન……………………………………… પી. 6
કીવર્ડ્સની સૂચિ ……………………………………………………… પૃષ્ઠ 7
શિક્ષકો માટે સાહિત્ય…………………………………………..પાનું 8
વિદ્યાર્થીઓ માટે સાહિત્ય ………………………………………પૃ.8
સમજૂતી નોંધ.
શાળામાં ગણિત શીખવવાનું મુખ્ય કાર્ય વિદ્યાર્થીઓની રોજિંદા જીવનમાં જરૂરી ગાણિતિક જ્ઞાન અને કૌશલ્યોની પ્રણાલીમાં મજબૂત અને સભાન નિપુણતા સુનિશ્ચિત કરવાનું છે અને આધુનિક સમાજના દરેક સભ્ય માટે કાર્ય કરે છે, જે સંબંધિત વિદ્યાશાખાઓનો અભ્યાસ કરવા અને શિક્ષણ ચાલુ રાખવા માટે પૂરતું છે.
મુખ્ય સમસ્યાને ઉકેલવા સાથે, ગણિતના વધુ ઊંડાણપૂર્વકના અભ્યાસમાં વિદ્યાર્થીઓમાં વિષયમાં ટકાઉ રુચિની રચના, તેમની ગાણિતિક ક્ષમતાઓની ઓળખ અને વિકાસ, ગણિત સાથે નોંધપાત્ર રીતે સંબંધિત વ્યવસાયો તરફ અભિમુખતા અને અહીં અભ્યાસ માટેની તૈયારીનો સમાવેશ થાય છે. યુનિવર્સિટીઓ
ગણિતના શિક્ષણને અલગ પાડવાનો પ્રશ્ન સુસંગત રહે છે, એક તરફ, મૂળભૂત ગાણિતિક તાલીમ પ્રદાન કરવા માટે, અને બીજી તરફ, વિષયમાં રસ દાખવનારા દરેકની જરૂરિયાતોને પૂર્ણ કરવા માટે.
આ અભ્યાસક્રમનો કાર્યક્રમ "સમીકરણો, અસમાનતાઓ અને સંપૂર્ણ મૂલ્ય ચિહ્ન ધરાવતી સિસ્ટમો" એવા મુદ્દાઓનો અભ્યાસ પ્રદાન કરે છે જે મૂળભૂત શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં સંપૂર્ણ રીતે સમાવિષ્ટ નથી, પરંતુ તેના આગળના અભ્યાસ માટે જરૂરી છે.
સંપૂર્ણ મૂલ્ય (મોડ્યુલસ) ની વિભાવના એ સંખ્યાની સૌથી મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓમાંની એક છે, વાસ્તવિક અને જટિલ સંખ્યાઓના ક્ષેત્રમાં બંને. આ ખ્યાલનો ઉપયોગ માત્ર શાળાના અભ્યાસક્રમના વિવિધ વિભાગોમાં જ નહીં, પણ યુનિવર્સિટીઓમાં અભ્યાસ કરવામાં આવતા ઉચ્ચ ગણિત, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને તકનીકી વિજ્ઞાનના અભ્યાસક્રમોમાં પણ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અંદાજિત ગણતરીના સિદ્ધાંતમાં, અંદાજિત સંખ્યાની સંપૂર્ણ અને સંબંધિત ભૂલોના ખ્યાલોનો ઉપયોગ થાય છે. મિકેનિક્સ અને ભૂમિતિમાં, વેક્ટર અને તેની લંબાઈ (વેક્ટર મોડ્યુલસ) ના ખ્યાલોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં, સંખ્યાના નિરપેક્ષ મૂલ્યનો ખ્યાલ મર્યાદા, બાઉન્ડેડ ફંક્શન વગેરે જેવી મૂળભૂત વિભાવનાઓની વ્યાખ્યાઓમાં સમાયેલો છે. નિરપેક્ષ મૂલ્યોને લગતી સમસ્યાઓ ઘણીવાર ગાણિતિક ઓલિમ્પિયાડ્સ, યુનિવર્સિટીઓમાં પ્રવેશ પરીક્ષાઓ અને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા.
શાળાના ગણિતનો અભ્યાસક્રમ અભ્યાસના સમગ્ર સમયગાળા દરમિયાન વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા મેળવેલ મોડ્યુલો અને તેમની મિલકતો વિશેના જ્ઞાનના સામાન્યીકરણ અને વ્યવસ્થિતકરણ માટે પ્રદાન કરતું નથી.
તેથી, આ અભ્યાસક્રમ, સમીકરણો, અસમાનતાઓ, અને સિસ્ટમો જેમાં સંપૂર્ણ મૂલ્ય ચિહ્ન છે, મૂળભૂત બીજગણિત અને પ્રારંભિક વિશ્લેષણ અભ્યાસક્રમને વિસ્તારવા અને વિદ્યાર્થીઓને મોડ્યુલ્સ સાથે સંકળાયેલ અસાઇનમેન્ટ પૂર્ણ કરવાની મૂળભૂત તકનીકો અને પદ્ધતિઓથી પરિચિત થવાની તક પૂરી પાડવા માટે રચાયેલ છે. . આ મુદ્દાઓમાં સંશોધન રસ જગાડે છે, તાર્કિક વિચારસરણીનો વિકાસ કરે છે અને જરૂરી સ્તર કરતાં જટિલતાના ઉચ્ચ સ્તરે કાર્ય સાથે કામ કરવામાં અનુભવ પ્રાપ્ત કરવામાં ફાળો આપે છે.
કોર્સ "સમીકરણો, અસમાનતાઓ અને પ્રણાલીઓ જેમાં સંપૂર્ણ મૂલ્ય ચિહ્ન છે" નો હેતુ ગ્રેડ 10-11 ના વિદ્યાર્થીઓની વિશેષ તાલીમ માટે છે અને તે 34 કલાક (અઠવાડિયામાં 1 કલાક) માટે રચાયેલ છે.
આ અભ્યાસક્રમની શિક્ષણ પ્રક્રિયામાં, વિદ્યાર્થીઓની જ્ઞાનાત્મક પ્રવૃત્તિને સક્રિય કરવાની વિવિધ પદ્ધતિઓ તેમજ તેમના સ્વતંત્ર કાર્યને ગોઠવવાના વિવિધ સ્વરૂપોનો ઉપયોગ કરવાનો પ્રસ્તાવ છે.
આ અભ્યાસક્રમનો અભ્યાસ કરતી વખતે, વિદ્યાર્થીઓ સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીમાં નિપુણતા મેળવે છે અને વ્યવહારુ કાર્યો કરે છે. કોર્સ પ્રોગ્રામમાં નિપુણતા મેળવવાનું પરિણામ એ અંતિમ પાઠ પર સર્જનાત્મક કાર્યોની રજૂઆત છે
અભ્યાસક્રમનો અભ્યાસ કરતી વખતે, પરીક્ષણ નિયંત્રણ પ્રદાન કરવામાં આવે છે.
અભ્યાસક્રમના ઉદ્દેશ્યો:
*સામાન્યીકરણ અને વ્યવસ્થિતકરણ, "સંપૂર્ણ મૂલ્ય" વિષય પર જ્ઞાનનું વિસ્તરણ અને ઊંડુંકરણ;
*મોડ્યુલ સાથે કાર્યો પૂર્ણ કરવામાં વ્યવહારુ કૌશલ્ય મેળવવું;
* વિદ્યાર્થીઓની ગાણિતિક તૈયારીનું સ્તર વધારવું.
કોર્સ હેતુઓ
* વિદ્યાર્થીઓને “સંપૂર્ણ મૂલ્ય” વિષય પર જ્ઞાન પ્રણાલીથી સજ્જ કરો
*વિવિધ જટિલતાની સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે આ જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરવાની કુશળતા વિકસાવો;
*યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા માટે વિદ્યાર્થીઓને તૈયાર કરો;
*સ્વતંત્ર કાર્ય અને જૂથ કાર્યની કુશળતા વિકસાવો;
*સંદર્ભ સાહિત્ય સાથે કામ કરવાની કુશળતા વિકસાવો;
શૈક્ષણિક સામગ્રીની નિપુણતાના સ્તર માટેની આવશ્યકતાઓ
કોર્સ પ્રોગ્રામના અભ્યાસના પરિણામે, વિદ્યાર્થીઓને તક મળે છે
જાણો અને સમજો:
*અસમાનતા સમીકરણો અને સિસ્ટમોને મોડ્યુલસ સાથે ઉકેલવા માટે વ્યાખ્યાઓ, ખ્યાલો અને મૂળભૂત ગાણિતીક નિયમો;
*નિરપેક્ષ મૂલ્યની નિશાની ધરાવતા કાર્યોના ગ્રાફ બનાવવા માટેના નિયમો;
સક્ષમ બનો:
* ચોક્કસ સમસ્યાઓના ઉકેલ માટે વાસ્તવિક સંખ્યાના ઉકેલ માટે વાસ્તવિક સંખ્યાના સંપૂર્ણ મૂલ્યની વ્યાખ્યા, ગુણધર્મો લાગુ કરો;
*સમીકરણો, અસમાનતાઓ, સમીકરણોની સિસ્ટમો અને મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળ ચલ ધરાવતી અસમાનતાઓ ઉકેલો;
* સ્વતંત્ર રીતે નાના સંશોધન હાથ ધરવા માટે સક્ષમ બનો.
1. પરિચય 1 કલાક
કોર્સના લક્ષ્યો અને ઉદ્દેશ્યો. અભ્યાસક્રમમાં આવરી લેવામાં આવેલા મુદ્દાઓ અને તેની રચના. સાહિત્ય સાથે પરિચય, સર્જનાત્મક કાર્યોના વિષયો.
24 કલાક)
સંપૂર્ણ મૂલ્યનું નિર્ધારણ. મોડ્યુલના ખ્યાલનું ભૌમિતિક અર્થઘટન. નિરપેક્ષ મૂલ્યો પર કામગીરી. . સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે મોડ્યુલ ગુણધર્મોનો ઉપયોગ.
3. સંપૂર્ણ મૂલ્ય ચિહ્ન (8 કલાક) ધરાવતા કાર્યોનો આલેખ.
ફંક્શન ગ્રાફ બનાવવા માટેના નિયમો અને અલ્ગોરિધમ્સ. સમ કાર્યની વ્યાખ્યા. મોડ્યુલસ ચિહ્ન ધરાવતાં કાર્યોના ગ્રાફનું ભૌમિતિક પરિવર્તન. સૌથી સરળ કાર્યોના ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને આલેખનું મૂળભૂત બાંધકામ. સમીકરણ આલેખ: y=f|x|; y=f(-|x|); y=|f(x)|; y=|f|x||; |y|=f(x),જ્યાં f(x)≥0; |y|=|f(x)|
4.સંપૂર્ણ મૂલ્યો ધરાવતા સમીકરણો.(10 કલાક)
વ્યાખ્યા દ્વારા મોડ્યુલની જાહેરાત, મૂળ સમીકરણમાંથી સમકક્ષ સિસ્ટમમાં સંક્રમણ, સમીકરણની બંને બાજુઓનું વર્ગીકરણ, અંતરાલ પદ્ધતિ, ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ, સંપૂર્ણ મૂલ્ય ગુણધર્મોનો ઉપયોગ. ફોર્મના સમીકરણો: |f(x)|=0; f|x|=o; |f(x)|=g(x); |f(x)|=|g(x)|;
નિરપેક્ષ મૂલ્યો ધરાવતા સમીકરણોને ઉકેલતી વખતે ચલોને બદલવાની પદ્ધતિ. નિરપેક્ષ મૂલ્યો ધરાવતા સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની અંતરાલ પદ્ધતિ. ફોર્મના સમીકરણો:|f(x)|±|f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=0; |f(x)|±|)f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=g(x).
નિરપેક્ષ મૂલ્યો ધરાવતા સમીકરણોનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન.
5. સંપૂર્ણ મૂલ્યો ધરાવતી અસમાનતાઓ (10 કલાક)
એક અજાણ્યા સાથે અસમાનતા. અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની મૂળભૂત પદ્ધતિઓ
મોડ્યુલ સાથે |f(x)|>a. ફોર્મની અસમાનતા a|f(x)|>g(x); |f(x)|>|g(x)|.
6. અંતિમ પાઠ (1 કલાક)
સર્જનાત્મક કાર્યોની રજૂઆત.
વિભાગ III. શૈક્ષણિક અને વિષયોનું આયોજન
વિભાગો અને વિષયોના શીર્ષકો | પ્રેક્ટિસ કરો | આચાર સ્વરૂપ | નિયંત્રણનું સ્વરૂપ |
|||
પરિચય | જ્ઞાન હરાજી | પ્રશ્નાવલી, રેકોર્ડ |
||||
વાસ્તવિક સંખ્યાનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય | વ્યાખ્યાન, વર્કશોપ | મૂળભૂત નોંધો, સમસ્યાનું નિરાકરણ |
||||
મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળ ચલ ધરાવતા સમીકરણોને સરળ બનાવવું | વર્કશોપ | સમસ્યા ઉકેલવાની |
||||
સમીકરણોના આલેખ જેમાં મોડ્યુલસ ચિહ્ન હોય છે | ||||||
ચાર્ટ બનાવવા માટેના નિયમો અને અલ્ગોરિધમ્સ | વર્કશોપ | નિયમો અને બાંધકામ અલ્ગોરિધમ્સ સાથે મેમો |
||||
સમ કાર્યની વ્યાખ્યા. આલેખનું ભૌમિતિક પરિવર્તન | સેમિનાર - વર્કશોપ | મૂળભૂત સારાંશ, કાર્યનો ઉકેલ |
||||
સમીકરણ આલેખ: y=f|x|; y=f(-|x|); y=|f(x)|; y=|f|x||; |y|=f(x),જ્યાં f(x)≥0; |y|=|f(x)| | પ્લોટીંગની પ્રગતિ તપાસી રહી છે |
|||||
નિરપેક્ષ મૂલ્યો ધરાવતા સમીકરણો | ||||||
મોડ્યુલસ સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટેની મૂળભૂત પદ્ધતિઓ | નોંધો, અલ્ગોરિધમ્સ |
|||||
ફોર્મના સમીકરણો: |f(x)|=0; f|x|=o; |f(x)|=g(x); |f(x)|=|g(x)|; | વર્કશોપ | ઉકેલાયેલ કાર્યો તપાસી રહ્યા છીએ |
||||
મોડ્યુલસ ચિહ્ન ધરાવતા સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની અંતરાલ પદ્ધતિ. ફોર્મના સમીકરણો:|f(x)|±|f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=0; |f(x)|±|)f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=g(x). | વર્કશોપ | મૂળભૂત નોંધો, હલ કરેલા કાર્યોની તપાસ કરવી |
||||
"મોડ્યુલની અંદર મોડ્યુલ" ધરાવતા સમીકરણોને ઉકેલતી વખતે મોડ્યુલને ક્રમિક રીતે જાહેર કરવાની પદ્ધતિ | વર્કશોપ | એબ્સ્ટ્રેક્ટ, મેમો, તપાસ સોંપણીઓ |
||||
નિરપેક્ષ મૂલ્યો ધરાવતા સમીકરણોનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન. | વર્કશોપ | ચાર્ટ ટેસ્ટ |
||||
સંપૂર્ણ મૂલ્યો ધરાવતી અસમાનતા | ||||||
એક અજાણ્યા સાથે અસમાનતા. | અમૂર્ત |
|||||
મોડ્યુલસ સાથે અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની મૂળભૂત પદ્ધતિઓ | વર્કશોપ | અમૂર્ત, ઉકેલ ચકાસણી |
||||
ફોર્મની અસમાનતા a|f(x)|>g(x); |f(x)|>|g(x)|. | વર્કશોપ | |||||
મોડ્યુલસ ચિહ્ન ધરાવતી અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની અંતરાલ પદ્ધતિ. | વર્કશોપ | પરીક્ષણ નિયંત્રણ |
||||
અંતિમ પાઠ | પરિષદ | અમૂર્ત |
||||
વિભાગ IV. કીવર્ડ્સની સૂચિ.
અલ્ગોરિધમ, સમીકરણ, અસમાનતા, મોડ્યુલસ, આલેખ, સંકલન અક્ષો, સમાંતર અનુવાદ, કેન્દ્રિય અને અક્ષીય સમપ્રમાણતા, અંતરાલોની પદ્ધતિ, ચતુર્ભુજ ત્રિપદી, બહુપદી, બહુપદીનું અવયવીકરણ, સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રો, સપ્રમાણ સમીકરણો, સંક્ષિપ્ત મૂલ્યો, પુનઃપ્રાપ્તિ મૂલ્ય વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર, સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી.
વિભાગ V. શિક્ષકો માટે સાહિત્ય.
1. બશ્માકોવ એમ.આઈ. સમીકરણો અને અસમાનતાઓ. (ટેક્સ્ટ)/ M.I. બશ્માકોવ.-એમ.: વીઝેડએમએસએચ
મોસ્કો સ્ટેટ યુનિવર્સિટી ખાતે, 1983.-138p.
2.Vilenkin N.Ya અને અન્યો બીજગણિત અને ગાણિતિક વિશ્લેષણ, ગ્રેડ 11. (ટેક્સ્ટ)/N.Ya.
વિલેન્કિન-એમ.: એજ્યુકેશન, 2007.-280 પૃ.
3. ગેડુકોવ I.I. સંપૂર્ણ મૂલ્ય. (ટેક્સ્ટ)/ ગાયડુકોવ I.I. -એમ.: શિક્ષણ, 1968.-96 પૃષ્ઠ.
4. ગેલફંડ I. M. એટ અલ.
5. ગોલ્ડિચ વી.એ. Zlotin S.E.t 3000 સમસ્યાઓ બીજગણિત (ટેક્સ્ટ)/V.A. ગોલ્ડિચ S.E.-M.:
Eksmo, 2009.-350 p.
6. કોલેસ્નિકોવા S.I. ગણિત. એક માટે સઘન તૈયારી અભ્યાસક્રમ
રાજ્ય પરીક્ષા. (ટેક્સ્ટ)/ કોલેસ્નિકોવા S.I. - M.: Iris-press 2004.-299 p.
7. નિકોલ્સ્કાયા I.L. ગણિતમાં વૈકલ્પિક અભ્યાસક્રમ. (ટેક્સ્ટ)/I.L. નિકોલ્સકાયા-
એમ.: શિક્ષણ, 1995.-80 પૃષ્ઠ.
8.ઓલેખનિક એસ.એન. અને અન્ય સમીકરણો અને અસમાનતાઓ. બિન-માનક ઉકેલ પદ્ધતિઓ.
(ટેક્સ્ટ)/ .ઓલેખનિક એસ.એન.-એમ.: બસ્ટાર્ડ, 2002.-219 પૃ.
વિભાગ VI. વિદ્યાર્થીઓ માટે સાહિત્ય
1. ગોલ્ડિચ વી.એ. Zlotin S.E.t 3000 સમસ્યાઓ બીજગણિત (ટેક્સ્ટ)/V.A. ગોલ્ડિચ S.E.-M.:
Eksmo, 2009.-350 p.
2. કોલેસ્નિકોવા S.I. ગણિત. એક માટે સઘન તૈયારી અભ્યાસક્રમ
દસ્તાવેજ... માટેપસંદગીએક અથવા બીજા શૈક્ષણિક વિષયનો (અભ્યાસક્રમની અંદર, વિભાગ: “ વૈકલ્પિકઅભ્યાસક્રમો") વી 10 -11 વર્ગો...અને તેમાં પણ સિસ્ટમવધારાનું શિક્ષણ. માટેઆ શ્રેણીઓ વિદ્યાર્થીઓનેટવર્ક તાલીમ વિકસાવી અને અમલમાં મૂકી અભ્યાસક્રમોદ્વારાદરેક...
એક્શન N 4 51-1 "માહિતી તકનીકોના અમલીકરણ પર આધારિત ઓછામાં ઓછા 18 વિષયોમાં વિષય-લક્ષી મોડ્યુલ બનાવવાના આધારે માધ્યમિક શાળાઓમાં શિક્ષણ પદ્ધતિઓમાં સુધારો કરવો; વૈજ્ઞાનિક અને શૈક્ષણિક વિકાસ
જાણ કરો... વિદ્યાર્થીઓ. આ અભ્યાસ રજૂ કરે છે વૈકલ્પિકસારુંદ્વારાગણિત "ગાણિતિક વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતો અને તેમના ઉપયોગો" માટે10 - 11 પ્રોફાઇલ વર્ગો... અવલંબન અને સંબંધો (કાર્યો, સમીકરણો, અસમાનતાવગેરે). સામાન્ય રીતે તે પ્રથમ નક્કી કરવામાં આવે છે ...
મુખ્ય અભ્યાસક્રમ સામગ્રી
સંખ્યાનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય. મૂળભૂત ગુણધર્મો (1 કલાક).
સંખ્યા અથવા મોડ્યુલના સંપૂર્ણ મૂલ્યનું નિર્ધારણ. વ્યાખ્યાના વિશ્લેષણાત્મક રેકોર્ડ. ભૌમિતિક અર્થ. મૂળભૂત ગુણધર્મો. ઐતિહાસિક સંદર્ભ.
મુખ્ય ધ્યેય "સંપૂર્ણ મૂલ્ય" વિષય પરના વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનને વ્યવસ્થિત અને સામાન્ય બનાવવાનો છે, જે તેમના દ્વારા ગ્રેડ 6 અને 8 માં પ્રાપ્ત થાય છે; સંપૂર્ણ મૂલ્ય અને મૂળભૂત ગુણધર્મોના ભૌમિતિક અર્થને ધ્યાનમાં લો; "મોડ્યુલસ" અને "મોડ્યુલસ સાઇન" શબ્દના પરિચય વિશે ઐતિહાસિક માહિતી આપો; ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લો કે જેના ઉકેલ મોડ્યુલની વ્યાખ્યા પર આધારિત છે.
મોડ્યુલો સાથે સમીકરણો ઉકેલવા (3 કલાક).
મોડ્યુલી સાથે રેખીય, ચતુર્ભુજ સમીકરણો તેમજ પરિમાણો સાથે સંપૂર્ણ મૂલ્યો ધરાવતા સમીકરણો ઉકેલવા.
પ્રાથમિક ધ્યેય- અભિવ્યક્તિનું ભૌમિતિક અર્થઘટન અને ફોર્મના સમીકરણોને ઉકેલવા માટે તેનો ઉપયોગ; મોડ્યુલસની વ્યાખ્યાના આધારે રેખીય સમીકરણો ઉકેલવા પર વિચાર કરો; નિરપેક્ષ મૂલ્યની નિશાની ધરાવતા ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા, તેમજ પરિમાણો સાથે સંપૂર્ણ મૂલ્ય ધરાવતા સમીકરણોને ગ્રાફિકલી ઉકેલવા.
મોડ્યુલો (3 કલાક) સાથે અસમાનતાઓનું નિરાકરણ.
મોડ્યુલી સાથે રેખીય, ચતુર્ભુજ અસમાનતાઓ તેમજ પરિમાણો સાથે સંપૂર્ણ મૂલ્યો ધરાવતી અસમાનતાઓને ઉકેલવી.
પ્રાથમિક ધ્યેય- વિવિધ રીતે મોડ્યુલસ સાથે રેખીય અસમાનતાઓને હલ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવો (ભૌમિતિક અર્થનો ઉપયોગ કરીને, અસમાનતાને વર્ગીકરણ કરીને, ડબલ અસમાનતાનો ઉપયોગ કરીને); ચતુર્ભુજ કાર્યના ગ્રાફના યોજનાકીય સ્કેચનો ઉપયોગ કરીને, તેમજ અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, ચોક્કસ મૂલ્ય ચિહ્નને સમાવતા ચતુર્ભુજ અસમાનતાઓ; પરિમાણો સાથે સંપૂર્ણ મૂલ્યો સાથે સંકળાયેલી અસમાનતાઓને ઉકેલવાનો વિચાર આપો.
અંતરાલ પદ્ધતિ (2 કલાક).
અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને નિરપેક્ષ મૂલ્યોને સમાવતા સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવી.
પ્રાથમિક ધ્યેય - અંતરાલોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને નિરપેક્ષ મૂલ્યો ધરાવતા સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે શાળાના બાળકોને શીખવો; એક પ્રમેય ઘડવો કે જેના પર સતત ચિહ્નના અંતરાલોની શોધ આધારિત છે; મોડ્યુલસ શૂન્ય શોધવી.
ફોર્મની અસમાનતાઓ, સમકક્ષ સંક્રમણો (2 કલાક) દ્વારા ઉકેલી.
અસમાનતાઓના સમૂહમાં સમકક્ષ સંક્રમણો દ્વારા ફોર્મની અસમાનતાઓને ઉકેલવી, અને અસમાનતાઓ - અસમાનતાઓની સિસ્ટમમાં.
પ્રાથમિક ધ્યેય– સમકક્ષતાના ખ્યાલને એકીકૃત કરો, જે 8મા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓ માટે જાણીતું છે; અસમાનતામાંથી સમૂહમાં અને અસમાનતાથી સિસ્ટમમાં સમકક્ષ સંક્રમણની મિલકત ઘડવો (અને "મજબૂત" વર્ગમાં સાબિત કરો).
સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવામાં સંપૂર્ણ મૂલ્યના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ (1 કલાક).
નિરપેક્ષ મૂલ્યના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો અને અસમાનતાઓ (રેખીય, ચતુર્ભુજ, બે કરતા વધુ ડિગ્રી), તેમજ સમીકરણો અને અસમાનતાઓની સિસ્ટમો ઉકેલવી.
પ્રાથમિક ધ્યેય- જો જરૂરી હોય તો, મોડ્યુલના મૂળભૂત ગુણધર્મોનું પુનરાવર્તન કરો; વિદ્યાર્થીઓને સમીકરણો અને અસમાનતાઓ (રેખીય, ચતુર્ભુજ, બે ઉપરની ડિગ્રી), તેમજ નિરપેક્ષ મૂલ્યના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો અને અસમાનતાઓની સિસ્ટમો ઉકેલવા શીખવો; જવાબ લખતી વખતે ગ્રાફિક તકનીકો બતાવો; મોડ્યુલસ સાથે સમીકરણોના વર્ગને વિસ્તૃત કરો (બે ચલો સાથેના સમીકરણને ધ્યાનમાં લો).
સંકલન રેખા (1 કલાક) પર સંપૂર્ણ મૂલ્ય સાથે સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવા.
સંકલન રેખા પર સંપૂર્ણ મૂલ્ય સાથે રેખીય સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવી.
પ્રાથમિક ધ્યેય- બે બિંદુ A( વચ્ચેના અંતર માટે સૂત્રનું પુનરાવર્તન કરો x 1) અને B( x 2) સંકલન રેખા; વિદ્યાર્થીઓને સંકલન રેખા પર મોડ્યુલસ વડે સમીકરણો અને અસમાનતા ઉકેલવાનું શીખવો.
મોડ્યુલસ અને મૂળનું પરિવર્તન (1 કલાક).
અંકગણિત મૂળ સાથે કામ કરતી વખતે મોડ્યુલના ખ્યાલનો ઉપયોગ. અતાર્કિક અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન, જેનો ઉકેલ મોડ્યુલનો ઉપયોગ કરે છે.
પ્રાથમિક ધ્યેય- વર્ગમૂળ ધરાવતા અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન કરવાની ક્ષમતા વિકસાવો, જેમાં મોડ્યુલનો ઉપયોગ થાય છે.
મોડ્યુલસ અને અતાર્કિક સમીકરણો (2 કલાક).
સંપૂર્ણ ચોરસને અલગ કરવાની અથવા નવું ચલ રજૂ કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અતાર્કિક સમીકરણો ઉકેલવા.
પ્રાથમિક ધ્યેય- 8મા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓ માટે જાણીતા અતાર્કિક સમીકરણોની વ્યાખ્યાનું પુનરાવર્તન કરો; મોડ્યુલનો ઉપયોગ કરવાની જરૂરિયાતને લગતા અતાર્કિક સમીકરણોના ઉકેલ ઉદાહરણો સાથે બતાવો.
શૈક્ષણિક અને વિષયોનું આયોજન
| ના. | વિષય | કલાકોની સંખ્યા | વર્ગો ચલાવવાનું સ્વરૂપ | નિયંત્રણનું સ્વરૂપ | શૈક્ષણિક ઉત્પાદનનું નામ |
| 1 | સંખ્યાનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય. મૂળભૂત ગુણધર્મો. | 1 | વ્યાખ્યાન | - | - |
| 2 | મોડ્યુલો સાથે સમીકરણો ઉકેલવા: રેખીય; ચોરસ; પરિમાણો સાથે. |
1 | વર્કશોપ વર્કશોપ નવી સામગ્રી શીખવી |
પરીક્ષણ કાર્યો ઉકેલવા પરીક્ષણ કાર્યો ઉકેલવા વર્કબુક તપાસી રહ્યા છીએ |
- |
| 5 | મોડ્યુલો સાથે અસમાનતાઓનું નિરાકરણ: રેખીય; ચોરસ; પરિમાણો સાથે. |
1 | વર્કશોપ નવી સામગ્રી શીખવી |
હોમવર્ક તપાસી રહ્યું છે પ્રશ્નોના જવાબો વર્કબુક તપાસી રહ્યા છીએ |
- |
| 8 | અંતરાલ પદ્ધતિ. | 1 | સંયુક્ત પાઠ પાઠ-સ્પર્ધા |
પ્રશ્નોના જવાબો પીઅર સમીક્ષા પાઠ |
- |
| 10 | ફોર્મની અસમાનતાઓને ઉકેલવી, સમકક્ષ સંક્રમણો દ્વારા ઉકેલી. | 1 | નવી સામગ્રી શીખવી શીખેલી સામગ્રીનું એકીકરણ |
નોંધો તપાસી રહ્યા છીએ ગાણિતિક શ્રુતલેખન |
- |
| 12 | સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવામાં સંપૂર્ણ મૂલ્યના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ. | 1 | મૌખિક સર્વેક્ષણ | - | |
| 13 | સંકલન રેખા પર સંપૂર્ણ મૂલ્ય સાથે સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવી. | 1 | જ્ઞાનનું સામાન્યીકરણ અને વ્યવસ્થિતકરણ | સ્વતંત્ર કાર્ય | - |
| 14 | મોડ્યુલસ અને મૂળનું પરિવર્તન. | 1 | વર્કશોપ | સમુહકાર્ય | - |
| 15 | મોડ્યુલસ અને અતાર્કિક સમીકરણો. | 1 | ડેટા રેકોર્ડરને તપાસવું અને સુધારવું પરામર્શ |
ઘર પરીક્ષણ પ્રશ્નોના જવાબો |
- |
| 17 | ટેસ્ટ. | 1 | પરીક્ષણ અથવા પરીક્ષણ | - | પૃષ્ઠભૂમિ નોંધોની તૈયારી |
શિક્ષકો માટે સાહિત્યની સૂચિ
- ગોલુબેવ વી.આઇ. ગણિતની સ્પર્ધાત્મક પરીક્ષાઓમાં સંખ્યાનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય (દેશની અગ્રણી યુનિવર્સિટીઓની સામગ્રી પર આધારિત).
- ગોલુબેવ વી. "સંપૂર્ણ મૂલ્ય" વિષય પર સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની અસરકારક પદ્ધતિઓ - એમ.: ચિસ્તે પ્રુડી, 2006.
- ડાન્કોવા I.N., Bondarenko T.E., Emelina L.L., Pletneva O.K. ગણિતમાં 9મા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓની પૂર્વ-પ્રોફાઇલ તૈયારી - M.: 5 જ્ઞાન માટે, 2006.
- રૂરુકિન એ.એન. ગણિતમાં પરીક્ષાની સઘન તૈયારી માટેનું એક માર્ગદર્શિકા “સ્નાતક, પ્રવેશ, 5+ માટે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા.” - M.: VAKO, 2006.
- સ્મીકાલોવા ઇ.વી. ગણિત (મોડ્યુલ્સ, પરિમાણો, બહુપદી), પૂર્વ-પ્રોફાઇલ તૈયારી, 8-9 ગ્રેડ - સેન્ટ પીટર્સબર્ગ: SMIO-પ્રેસ, 2006.
વિદ્યાર્થીઓ માટે સાહિત્યની યાદી
- ગુસેવ વી.એ., મોર્ડકોવિચ એ.જી. ગણિત. સંદર્ભ સામગ્રી - એમ.: શિક્ષણ, 1988.
- Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. યુનિવર્સિટીઓમાં પ્રવેશ કરનારાઓ માટે ગણિત પર એક માર્ગદર્શિકા - એમ.: નૌકા, 1973.
- ઝોરીન વી.વી. યુનિવર્સિટીઓમાં પ્રવેશ મેળવનારાઓ માટે ગણિત પર મેન્યુઅલ - એમ.: હાયર સ્કૂલ, 1974.
- Ivlev B.M., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P., Shvartsburd S.I. બીજગણિતમાં વધેલી જટિલતા અને વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતોની સમસ્યાઓ - એમ.: શિક્ષણ, 1990.
- કાલનીન આર.એ. બીજગણિત અને પ્રાથમિક કાર્યો, પ્રકાશન ગૃહ "નૌકા", ભૌતિક અને ગાણિતિક સાહિત્યનું મુખ્ય સંપાદકીય કાર્યાલય - એમ.: નૌકા, 1975.
- ક્રુલીકોવ્સ્કી એન.એન. અરજદારો માટે ગાણિતિક સમસ્યાઓ - ટોમસ્ક: એડ. ટોમ્સ્ક યુનિવર્સિટી, 1973.
- નેસ્ટેરેન્કો યુ.વી., ઓલેહનિક એસ.એન., પોટાપોવ એમ.કે. ગણિતમાં પ્રવેશ પરીક્ષાના ઉદ્દેશ્યો - એમ.: નૌકા, 1986.
- શરીગિન આઈ.એફ. ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ માટે ગણિત, મોસ્કો, "ડ્રોફા", 1995.
પદ્ધતિસરની સામગ્રી
પાઠ #1:સંખ્યાના સંપૂર્ણ મૂલ્યનું નિર્ધારણ (સંખ્યાનું મોડ્યુલસ), તેનો ભૌમિતિક અર્થ અને મૂળભૂત ગુણધર્મો.
વાસ્તવિક સંખ્યા a નું સંપૂર્ણ મૂલ્ય (અથવા મોડ્યુલસ) એ સંખ્યા છે જો તે બિન-ઋણાત્મક હોય, અને આ સંખ્યા જો નકારાત્મક હોય તો વિપરીત ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે.
સંખ્યાનું મોડ્યુલસ નીચે મુજબ સૂચવવામાં આવે છે: સંખ્યાના મોડ્યુલસ અને સંખ્યા વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરીને, અમે વ્યાખ્યાનું વિશ્લેષણાત્મક સંકેત મેળવીએ છીએ:
= 
સંખ્યાનું મોડ્યુલસ એ મૂળથી બિંદુ સુધીનું અંતર પણ છે જે સંકલન રેખા પર આ સંખ્યાને રજૂ કરે છે. આ છે ભૌમિતિક અર્થમોડ્યુલ તે. સંખ્યાના "મોડ્યુલસ", "સંપૂર્ણ મૂલ્ય" અથવા "સંપૂર્ણ મૂલ્ય" શબ્દોનો ઉપયોગ થાય છે. ઉપરની વ્યાખ્યા = 5, = 3, =0 અનુસાર. સંખ્યાના મોડ્યુલસને a અને – a ની સૌથી મોટી સંખ્યા તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે.
ઐતિહાસિક માહિતી: શબ્દ "મોડ્યુલ" (લેટિન મોડ્યુલસ - માપમાંથી) અંગ્રેજી ગણિતશાસ્ત્રી આર. કોટેસ (1682-1716) દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો, અને મોડ્યુલસ સાઇન જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી કે. વેયરસ્ટ્રાસ (1815-1897) દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. 1841 માં.
મોડ્યુલના મુખ્ય ગુણધર્મો:
ચાલો ઉદાહરણો જોઈએ કે જેના ઉકેલ મોડ્યુલની વ્યાખ્યા પર આધારિત છે.
નંબર 1. સમીકરણ =4 ઉકેલો.
મોડ્યુલ વ્યાખ્યા દ્વારા; એક્સ=4 અથવા એક્સ=-4.
નંબર 2. સમીકરણ ઉકેલો: =3.
સમીકરણ બે સમીકરણોના સંયોજનને સમકક્ષ છે:
ક્યાં: x 1=2 અને x 2=-1.
નંબર 3. સમીકરણ ઉકેલો: =-2.
ગુણધર્મ 1 દ્વારા: કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનું મોડ્યુલસ એ બિન-નકારાત્મક સંખ્યા છે, અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે તેનો કોઈ ઉકેલ નથી.
નંબર 4. સમીકરણ ઉકેલો: = એક્સ–5.
સમાન મિલકત માટે 1: એક્સ–50, એક્સ 5.
નંબર 5. સમીકરણ ઉકેલો: + એક્સ=0.
=- x, એક્સ 0.
નંબર 6. સમીકરણ ઉકેલો: = એક્સ+2.
અગાઉના ઉદાહરણથી વિપરીત, આ સમીકરણની જમણી બાજુ ચલ સાથેની અભિવ્યક્તિ ધરાવે છે. તેથી, સમીકરણમાં એક ઉકેલ છે જે પ્રદાન કરે છે એક્સ+20, એટલે કે. x-2. પછી અમારી પાસે છે:
2x+1= x +2 અથવા
2x+1 = - x – 2.
તે. ખાતે x -2,અમારી પાસે:
સમીકરણો ઉકેલો:
પાઠ નંબર 2. મોડ્યુલી સાથે રેખીય સમીકરણો ઉકેલવા.
રેખીય સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, કાં તો સંખ્યાના મોડ્યુલસનો ભૌમિતિક અર્થ અથવા મોડ્યુલસની ચિહ્નની જાહેરાતનો ઉપયોગ થાય છે. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ: સમીકરણ ઉકેલો
a) આપણે સંખ્યાના મોડ્યુલસના ભૌમિતિક અર્થનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. ચાલો ફોર્મમાં સમીકરણ લખીએ: +=7. પછી d=x–5- બિંદુથી અંતર એક્સનંબર લાઇન પર પોઇન્ટ 5 પર, f =x–(-2)- બિંદુથી અંતર એક્સબિંદુ (-2) સમસ્યાની શરતો અનુસાર, આ અંતરોનો સરવાળો d+f=7. ચાલો નંબર લાઇન પર પોઈન્ટ 5 અને -2 લખીએ. અંતરાલ [-2;5] માંથી કોઈપણ સંખ્યા માટે અંતરનો સરવાળો છે તે તપાસવું સરળ છે d+fસેગમેન્ટ AB ની લંબાઈ જેટલી, એટલે કે. 7. પોઈન્ટ માટે શું સેટ કરવું તે પણ સરળ છે x અથવા x>5અંતરનો સરવાળો d+f>7. તેથી, સમીકરણનો ઉકેલ અંતરાલ છે.
b) ચાલો મોડ્યુલસ ચિહ્નને વિસ્તૃત કરીએ. આ કરવા માટે, નંબર લાઇન પર પોઇન્ટ -2 અને 5 પ્લોટ કરો. આ બિંદુઓ તેને ત્રણ અંતરાલોમાં વિભાજિત કરે છે. ચાલો દરેક અંતરાલમાં મોડ્યુલોના ચિહ્નોને ધ્યાનમાં લઈએ.
અંતરાલમાં 1 (x આપણને મળે છે: -(x–5)-(x+2)=7અથવા –x+5–x–2=7અથવા - 2x+3=7, જ્યાંથી આપણે મેળવીએ છીએ: x=-2. પરંતુ આ બિંદુ માનવામાં અંતરાલમાં શામેલ નથી. એ કારણે x=-2ઉકેલ નથી.
અંતરાલ 2 માં: એક્સઅમને મળે છે: -(x–5)+(x+2)=7અથવા 7=7. સમાનતા સાચી હોવાથી, આ અંતરાલમાં કોઈપણ બિંદુ આ સમીકરણનો ઉકેલ છે.
અંતરાલ 3 માં (x>5)અમને મળે છે: (x-5)+(x+2)=7અથવા 2x-3=7, ક્યાં x=5. ડોટ x=5વિચારણા હેઠળના અંતરાલમાં શામેલ નથી અને તે સમીકરણનો ઉકેલ નથી.
તેથી, આ સમીકરણનો ઉકેલ છે: -2x5.
સમીકરણો ઉકેલો:
પાઠ નંબર 3. મોડ્યુલસ સાથે ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા.
ચાલો ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને મોડ્યુલ વડે ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાનો વિચાર કરીએ:
નંબર 1. સમીકરણ ઉકેલો
ચાલો બદલીનો પરિચય કરીએ =y, પછી ખાતે y 0સમીકરણ ફોર્મ લે છે:
y 2 –6у+8=0, ક્યાંથી y 1 = 2 અને y 2 = 4. એ x= 2 અથવા -2; 4 અથવા -4.
નંબર 2. સમીકરણ ઉકેલો:
સમીકરણ સિસ્ટમ માટે સમકક્ષ છે: ક્યાંથી એક્સ=1.
નંબર 3. સમીકરણ ઉકેલો:
2એક્સ – 1.
સમીકરણમાં એક ઉકેલ છે જો કે 2 એક્સ-10, અને સમાનતા પૂરી પાડવામાં આવેલ છે: અભિવ્યક્તિઓના અર્થો x 2 + x-1 અને 2 એક્સ-1 સમાન અથવા વિરુદ્ધ છે. તે. અમારી પાસે છે: x0.5. ચાલો સમીકરણો બનાવીએ: x 2 + x–1=2એક્સ-1 અથવા x 2+એક્સ–1=-(2એક્સ-1); જે ઉકેલવાથી આપણે મેળવીએ છીએ
નંબર 4. સમીકરણના મૂળ શોધો: 
.
ચાલો આ સમીકરણને ફોર્મમાં રજૂ કરીએ: = એક્સ 2 - 1, ક્યાંથી:
x – 1 = x 2 – 1,
અથવા x – 1 = - (x 2 – 1).
x 2 – 1 ખાતે x - 1અને x 1સમીકરણો ઉકેલવાથી, આપણે પ્રથમમાંથી મેળવીએ છીએ: x=0અને x=1, બીજામાંથી: x=-2અને x=1.
જવાબ: x=1; x=-2.
નંબર 5. સમીકરણના સંપૂર્ણ મૂળ શોધો: = .
મોડ્યુલની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે જો સમીકરણોના મૂલ્યો હોય તો સમાનતા શક્ય છે x–x 2 –1અને 2x+3–x 2સમાન અથવા વિરુદ્ધ, એટલે કે. આ સમીકરણ બે સમીકરણોના સંયોજનને સમકક્ષ છે:
સમૂહને હલ કરીને, અમે આ સમીકરણના મૂળ મેળવીએ છીએ: x=-4;-0.5;2.તેમની વચ્ચે પૂર્ણાંકો: -4 અને 2.
નંબર 6. સમીકરણ ઉકેલો: =2x 2 –3x+1.
ચાલો અભિવ્યક્તિને સૂચિત કરીએ 3x-1-2x 2પત્ર એ. પછી આ સમીકરણ ફોર્મ લેશે: =-એ. મોડ્યુલસની વ્યાખ્યાના વિશ્લેષણાત્મક સંકેતના આધારે, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે આ સમીકરણ અસમાનતાની સમકક્ષ છે: 3x–1-2x 2 0, જેને ઉકેલવાથી, અમને જવાબ મળે છે: x0.5અને x1.
સ્વતંત્ર કાર્ય માટે કસરતો.
સમીકરણ ઉકેલો:
નંબર 1.=x 2 + x–20.
નંબર 2. + 3x -5=0,
નંબર 3. =(x–1)(x+1),
નંબર 4. x 2 –6+5=0,
નંબર 5. x 2 +8=9,
નંબર 6.=x 2 –6x+6,
નંબર 7. x = -8.
પાઠ નંબર 4.પરિમાણ સાથે સંપૂર્ણ મૂલ્ય ધરાવતા સમીકરણો ઉકેલવા.
ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ: પરિમાણ સાથે સમીકરણ ઉકેલો
ચાલો ફંક્શન ગ્રાફ બનાવીએ y=3–xઅને y=.અનુસૂચિ y=3–xનિશ્ચિત છે અને પરિમાણ પર આધારિત નથી. અનુસૂચિ y=કાર્યના ગ્રાફમાંથી મેળવેલ y=,પરિમાણ પર આધાર રાખે છે એ. તેથી, ચાલો 3 કેસો ધ્યાનમાં લઈએ:
આ કેસ, આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે, ક્યારે હશે એ. આ ફંક્શન્સના આલેખ એક જ બિંદુ B પર છેદે છે. ત્રિકોણ ABC ને ધ્યાનમાં લો, જેમાં કોણ A એ કોણ B બરાબર છે અને 45 0 બરાબર છે, આ ત્રિકોણમાં ઊંચાઈ VD દોરો. કારણ કે ત્રિકોણ ABC સમદ્વિબાજુ છે, તો BD પણ આ ત્રિકોણનો મધ્યક છે. તેથી, પોઈન્ટ D નો એબ્સીસા એક્સ=(a + 3)/2.
આ કિસ્સો ત્યારે થાય છે જ્યારે એ=3. પછી ફંક્શનના આલેખ સેગમેન્ટ AB સાથે એકરુપ થાય છે અને આ કિરણ પરના કોઈપણ બિંદુનો એબ્સીસા આ સમીકરણનો ઉકેલ છે, એટલે કે. એક્સ
આ બાબતે એ>3. તે જોઈ શકાય છે કે ફંક્શનના ગ્રાફ એકબીજાને છેદતા નથી, એટલે કે. કોઈ સામાન્ય મુદ્દા નથી. તેથી, સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.
સ્વતંત્ર કાર્ય માટે કસરતો:
સમીકરણો ઉકેલો:
નંબર 3. (a–2)=a–2,
નંબર 4. a 2 x 2 + a = 0.
પાઠ નંબર 5.મોડ્યુલી સાથે રેખીય અસમાનતાઓ ઉકેલવી.
મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળ ચલ ધરાવતી અસમાનતાઓ વિવિધ રીતે ઉકેલાય છે; ચાલો એકદમ સરળ ઉદાહરણ જોઈએ:
નંબર 1. અસમાનતા ઉકેલો:
પ્રથમ પદ્ધતિ: અમારી પાસે છે: >4,
ભૌમિતિક રીતે, અભિવ્યક્તિનો અર્થ બિંદુઓ વચ્ચેની સંકલન રેખા પરનું અંતર છે એક્સઅને 2.5. આનો અર્થ એ છે કે આપણે આવા તમામ મુદ્દાઓ શોધવાની જરૂર છે એક્સ, જે બિંદુ 2.5 થી 2 થી વધુ દૂર છે, તે અંતરાલોના બિંદુઓ છે x અને x>4.5.
બીજી પદ્ધતિ: આપેલ અસમાનતાની બંને બાજુઓ બિન-નકારાત્મક હોવાથી, આપણે આ અસમાનતાની બંને બાજુઓને વર્ગીકૃત કરીએ છીએ: 2 >4 2.
(2x–5) 2 >4 2 ,
(2x–5) 2 –16>0,
(2x–5–4)(2x–5+4)>0,
2(x–4.5) 2(x–0.5)>0,
(x–4.5)(x–0.5)>0.
અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અમને મળે છે: x.5 અને x>4.5.
ત્રીજી રીત: અભિવ્યક્તિ 2x–5બિન-નકારાત્મક અથવા નકારાત્મક હોઈ શકે છે. તે. અમારી પાસે બે સિસ્ટમોનું સંયોજન છે:
ક્યાં: x અને x>4.5.
ચાલો થોડા વધુ ઉદાહરણો જોઈએ.
ઉદાહરણ નંબર 2. અસમાનતા ઉકેલો:
આ અસમાનતા બે સિસ્ટમોના સંયોજનને સમકક્ષ છે:
પ્રથમ સિસ્ટમમાંથી આપણે મેળવીએ છીએ 2x, બીજાથી -1-1
ઉદાહરણ નંબર 3. અસમાનતા ઉકેલો: 3 x+3.
આ અસમાનતા બેવડી અસમાનતાની સમકક્ષ છે -x-33x–3x+3અથવા સિસ્ટમ 
અમારી પાસે : 0x3.
સ્વતંત્ર કાર્ય માટે કસરતો:
અસમાનતાઓ ઉકેલો:
№3. ->-2.
પાઠ નંબર 6.મોડ્યુલી સાથે ચતુર્ભુજ અસમાનતાઓ ઉકેલવી.
ચાલો ઉદાહરણ નંબર 1 જોઈએ. અસમાનતા ઉકેલો: +x–2.
આ અસમાનતા અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. ચાલો નીચેના વિધાનના આધારે બીજા ઉકેલને ધ્યાનમાં લઈએ: a ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે, અસમાનતા અસમાનતાની સિસ્ટમની સમકક્ષ છે: ,અને અસમાનતાઅસમાનતાના સમૂહની સમકક્ષ છે.
તેથી, અમારી અસમાનતા અસમાનતાઓની સિસ્ટમની સમકક્ષ છે: 
જેને હલ કરવાથી, અમને મળે છે: 
ચાલો જવાબ લખીએ: (1-;2-).
ઉદાહરણ નંબર 2. અસમાનતા માટે પૂર્ણાંક ઉકેલો શોધો: 2x–x 2. સમસ્યા બે અસમાનતા પ્રણાલીઓના સમૂહને ઉકેલવા માટે નીચે આવે છે:
ચાલો આપણે પ્રથમ સિસ્ટમ હલ કરીએ: પ્રથમ અસમાનતામાંથી આપણી પાસે છે: x1; x2.
બીજા થી: 2x 2 –5x+20, અથવા 0.5x2.
કોઓર્ડિનેટ લાઇન પર પ્રથમ સિસ્ટમની પ્રથમ અને બીજી અસમાનતાના મળેલા ઉકેલોની નોંધ લીધા પછી, અમે ઉકેલોનું આંતરછેદ શોધીએ છીએ.
તે. 0.5x1અને x=2. આ પ્રથમ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે.
ચાલો બીજી સિસ્ટમ હલ કરીએ: પ્રથમ અસમાનતાથી આપણી પાસે છે: 1-(x 2 -3x+2)2x–x 2, અથવા – x 2 +3x–2–2x+ x 2 0, અથવા x2.
કોઓર્ડિનેટ લાઇન પર બીજી સિસ્ટમની પ્રથમ અને બીજી અસમાનતાના મળેલા ઉકેલોની નોંધ લેતા, અમે મેળવીએ છીએ: 1
અસમાનતાઓની પ્રણાલીઓમાં મળેલા ઉકેલોનું સંયોજન 0.5x1; x=2; 1 0.5x2વગેરે સંપૂર્ણ ઉકેલો હશે x=1અને x=2.
સ્વતંત્ર કાર્ય માટે કસરતો:
અસમાનતાઓ ઉકેલો:
નંબર 4. x 2 -3+2>0,
નંબર 6. x 2 -6x+7-
નંબર 7. 3+x 2 –7>0,
№8. >.
પાઠ નંબર 7. પરિમાણો સાથે સંપૂર્ણ મૂલ્ય ધરાવતી અસમાનતાઓને ઉકેલવી.
ઉદાહરણ. કયા મૂલ્યો પર એઅસમાનતા સાચી છે: આહ 2 +4+a+3 ?
મુ x0અમારી પાસે આહ 2 +4x+a+3. વરિષ્ઠ ગુણાંક એનકારાત્મક હોવું જ જોઈએ, ભેદભાવ શૂન્ય કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
a 16–4a(a+3) 0; એઆઈ a>1;
પેરાબોલાના શિરોબિંદુનો એબ્સીસા x 0 = -b/2a=- 4/2a=-2/a 0, ક્યાં એ.
મુ x અમારી પાસે છે આહ 2 –4x+a+3. સમાન રીતે દલીલ કરતા, અમને મળે છે: એ.
જવાબ: ક્યારે અને આ અસમાનતા x ના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે ધરાવે છે.
સ્વતંત્ર કાર્ય માટે કસરતો:
પરિમાણો સાથે અસમાનતાઓ ઉકેલો:
નંબર 3. શું એવા મૂલ્યો છે જેના માટે અસમાનતા છે આહ 2 >2+5કોઈ ઉકેલ નથી?
પાઠ નંબર 8 - 9. મોડ્યુલસ ધરાવતી સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની અંતરાલ પદ્ધતિ.
ચાલો સમીકરણ ઉકેલવાના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને અંતરાલ પદ્ધતિનો વિચાર કરીએ
-+3-2=x+2.
આ અસમાનતાને ઉકેલવા માટે, મોડ્યુલોને વિસ્તૃત કરવું જરૂરી છે. આ કરવા માટે, અમે અંતરાલો પસંદ કરીએ છીએ, જેમાંના દરેક મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળના અભિવ્યક્તિઓ માત્ર હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક મૂલ્યો લે છે. આવા અંતરાલો શોધવા એ પ્રમેય પર આધારિત છે: જો અંતરાલ (a; b) પર ફંક્શન f સતત છે અને અદૃશ્ય થતું નથી, તો તે આ અંતરાલ પર સતત ચિહ્ન જાળવી રાખે છે.
સતત ચિહ્નના અંતરાલોને પ્રકાશિત કરવા માટે, અમે એવા બિંદુઓ શોધીએ છીએ કે જેના પર મોડ્યુલસ હેઠળ લખાયેલા અભિવ્યક્તિઓ શૂન્ય બની જાય છે:
x+1=0, x=-1; x=0; x–1=0, x=1; x–2=0, x=2.
પરિણામી બિંદુઓ રેખાને જરૂરી અંતરાલોમાં વિભાજિત કરશે. ચાલો અભિવ્યક્તિના ચિહ્નોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ
આ અંતરાલો પર x+1, x, x–1, x–2:
ચિહ્નોને ધ્યાનમાં રાખીને, અમે મોડ્યુલોને વિસ્તૃત કરીશું. પરિણામે, અમે આ સમીકરણની સમકક્ષ સિસ્ટમોનો સમૂહ મેળવીએ છીએ:
છેલ્લો સેટ ફોર્મમાં ઘટાડ્યો છે:
સિસ્ટમોના સમૂહ અને આ સમીકરણનો ઉકેલ: -2; એક્સ 2.
વપરાયેલી તકનીક કહેવામાં આવે છે અંતરાલ પદ્ધતિ. તેનો ઉપયોગ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે પણ થાય છે.
અસમાનતા ઉકેલો: +x–2
1) અભિવ્યક્તિના શૂન્ય શોધો: x 2 -3x.
x 1 =0, x 2 =3.
2) ચાલો સંકલન રેખાને અંતરાલોમાં વિભાજીત કરીએ અને અભિવ્યક્તિનું ચિહ્ન સેટ કરીએ x 2 -3xદરેક અંતરાલ પર:
3) ચાલો મોડ્યુલને વિસ્તૃત કરીએ: 
પ્રથમ સિસ્ટમનો ઉકેલ: , બીજાનો ઉકેલ. આ અસમાનતાનો ઉકેલ: 
.
સ્વતંત્ર કાર્ય માટે કસરતો:
№3
પાઠ નંબર 10 - 11. ફોર્મની અસમાનતાઓનું નિરાકરણ , સમકક્ષ સંક્રમણો દ્વારા.
ચાલો ફોર્મની અસમાનતાઓને ધ્યાનમાં લઈએ અને. ચાલો પુરાવા વિના નીચેના પ્રમેયને સ્વીકારીએ: અસમાનતાના કોઈપણ મૂલ્ય માટેઅસમાનતા અને અસમાનતાની સિસ્ટમની સમકક્ષ છેઅસમાનતાના સમૂહની સમકક્ષ છે
ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ: અસમાનતા ઉકેલો: 
>x+2.
ઘડાયેલ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, ચાલો અસમાનતાઓના સમૂહ તરફ આગળ વધીએ:
સિસ્ટમ અને અસમાનતા 0x>2કોઈ ઉકેલ નથી. તેથી, વસ્તી (અને આ અસમાનતાનો) ઉકેલ છે એક્સ.
સ્વતંત્ર કાર્ય માટે કસરતો:
પાઠ નંબર 12.સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવામાં સંપૂર્ણ મૂલ્યના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ.
કેટલાક કાર્યોને હલ કરતી વખતે, મોડ્યુલના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. (જો જરૂરી હોય તો, તેમને પુનરાવર્તન કરો, પાઠ નંબર 1 જુઓ).
સમજૂતી નોંધ
ગણિત એ માત્ર વિજ્ઞાન અને ટેકનોલોજી દ્વારા બોલાતી ભાષા નથી, ગણિત એ માનવ સભ્યતાની ભાષા છે. તે વ્યવહારીક રીતે માનવ જીવનના તમામ ક્ષેત્રોમાં ઘૂસી ગયું છે. આધુનિક ઉત્પાદન, સમાજનું કોમ્પ્યુટરાઇઝેશન અને આધુનિક માહિતી ટેકનોલોજીની રજૂઆત માટે ગાણિતિક સાક્ષરતા જરૂરી છે.
ગાણિતિક શિક્ષણ વ્યક્તિની સામાન્ય સંસ્કૃતિની રચનામાં ફાળો આપે છે. ગણિતનો અભ્યાસ વ્યક્તિના સૌંદર્યલક્ષી શિક્ષણમાં ફાળો આપે છે, ગાણિતિક તર્કની સુંદરતા અને ગ્રેસને સમજે છે.
9 ગ્રેડમાં અમલીકરણ માટે વૈકલ્પિક અભ્યાસક્રમ "સમીકરણો અને અસમાનતાઓ જેમાં સંપૂર્ણ મૂલ્ય ચિહ્ન" બનાવવામાં આવ્યો હતો.
આ કોર્સ વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાન અને કૌશલ્યને વિસ્તૃત કરવા માટે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યો છે જેથી સંખ્યાના સંપૂર્ણ મૂલ્યની વિભાવના, ગ્રાફિંગ ફંક્શન્સ અને ગ્રાફિકલી ઉકેલવા સમીકરણો અને અસમાનતાઓ કે જેમાં સંપૂર્ણ મૂલ્ય ચિહ્ન હોય છે.
નિરપેક્ષ મૂલ્ય (મોડ્યુલસ) ની વિભાવના એ વાસ્તવિક અને જટિલ સંખ્યાઓના ક્ષેત્રમાં, સંખ્યાની સૌથી મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓમાંની એક છે. આ ખ્યાલનો ઉપયોગ માત્ર શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમના વિવિધ વિભાગોમાં જ નહીં, પણ યુનિવર્સિટીઓમાં અભ્યાસ કરવામાં આવતા ઉચ્ચ ગણિત, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને તકનીકી વિજ્ઞાનના અભ્યાસક્રમોમાં પણ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અંદાજિત ગણતરીના સિદ્ધાંતમાં, અંદાજિત સંખ્યાની સંપૂર્ણ અને સંબંધિત ભૂલોના ખ્યાલોનો ઉપયોગ થાય છે. મિકેનિક્સ અને ભૂમિતિમાં, વેક્ટર અને તેની લંબાઈ (વેક્ટર મોડ્યુલસ) ના ખ્યાલોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં, સંખ્યાના નિરપેક્ષ મૂલ્યનો ખ્યાલ મર્યાદા, બાઉન્ડેડ ફંક્શન, વગેરે જેવી મૂળભૂત વિભાવનાઓની વ્યાખ્યાઓમાં સમાયેલ છે. સંપૂર્ણ મૂલ્યો સંબંધિત સમસ્યાઓ ઘણીવાર ગાણિતિક ઓલિમ્પિયાડ્સ, યુનિવર્સિટીની પ્રવેશ પરીક્ષાઓ અને યુનિફાઇડમાં જોવા મળે છે. રાજ્ય પરીક્ષા.
આ કોર્સ શિક્ષકને વિદ્યાર્થીઓને ગણિતના ઓલિમ્પિયાડ્સ, યુનિફાઈડ સ્ટેટ એક્ઝામિનેશન, યુનિફાઈડ સ્ટેટ એક્ઝામિનેશન અને યુનિવર્સિટીઓમાં પ્રવેશ માટેની પરીક્ષાઓ માટે શ્રેષ્ઠ રીતે તૈયાર કરવામાં મદદ કરશે.
વૈકલ્પિક અભ્યાસક્રમ કાર્યક્રમમાં વિચારણા હેઠળના મુદ્દાઓના સિદ્ધાંત અને પ્રેક્ટિસ સાથે પરિચિતતાનો સમાવેશ થાય છે અને તે 34 કલાક માટે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યો છે: 7.5 કલાકના પ્રવચનો અને 26.5 કલાકના વ્યવહારિક વર્ગો.
અભ્યાસક્રમની સામગ્રીમાં પરિચય અને નિષ્કર્ષ પાઠ સહિત આઠ વિભાગોનો સમાવેશ થાય છે. શિક્ષક, વિદ્યાર્થીઓની તૈયારીના સ્તર, અભ્યાસ કરવામાં આવતી સામગ્રીની જટિલતાના સ્તર અને તેના વિશે વિદ્યાર્થીઓની ધારણાને આધારે, અન્ય અભ્યાસ માટે કલાકોની સંખ્યામાં વધારો કરતી વખતે, બધા વિષયો અભ્યાસ માટે લઈ શકતા નથી. શિક્ષક પ્રસ્તુત સામગ્રીના મુશ્કેલી સ્તરને પણ બદલી શકે છે.
પ્રોગ્રામમાં રચનાત્મક કાર્યોના વિષયો અને સૂચિત વિષયો પરના સંદર્ભોની સૂચિ છે.
આ અભ્યાસક્રમના અભ્યાસની પ્રક્રિયામાં, શાળાના બાળકોની જ્ઞાનાત્મક પ્રવૃત્તિને સક્રિય કરવાની વિવિધ પદ્ધતિઓ તેમજ તેમના સ્વતંત્ર કાર્યને ગોઠવવાના વિવિધ સ્વરૂપોનો ઉપયોગ કરવાની અપેક્ષા રાખવામાં આવે છે.
કોર્સ પ્રોગ્રામમાં નિપુણતા મેળવવાનું પરિણામ એ અંતિમ પાઠ પર સર્જનાત્મક વ્યક્તિગત અને જૂથ કાર્યોના શાળાના બાળકો દ્વારા પ્રસ્તુતિ છે.
અભ્યાસક્રમના ઉદ્દેશ્યો:
- વિદ્યાર્થીઓમાં ગણિતમાં ટકાઉ રસ વિકસાવવો;
- વ્યવહારિક પ્રવૃત્તિઓમાં ઉપયોગ માટે જરૂરી ચોક્કસ ગાણિતિક જ્ઞાનની નિપુણતા;
- બીજગણિત અને ભૂમિતિના વ્યવસ્થિત અભ્યાસક્રમની સભાન નિપુણતા માટેની તૈયારી;
- "સંપૂર્ણ મૂલ્ય" વિષય પર જ્ઞાનનું સામાન્યીકરણ અને વ્યવસ્થિતકરણ, વિસ્તરણ અને ઊંડુંકરણ; મોડ્યુલ સાથે કાર્યો પૂર્ણ કરવામાં વ્યવહારુ કુશળતા પ્રાપ્ત કરવી; શાળાના બાળકોની ગાણિતિક તાલીમનું સ્તર વધારવું.
અભ્યાસક્રમના ઉદ્દેશ્યો:
- વિદ્યાર્થીઓમાં ભૌમિતિક રૂપાંતરણની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને નિરપેક્ષ મૂલ્ય ચિહ્ન ધરાવતા કાર્યોના આલેખ બનાવવાની ક્ષમતા વિકસાવવા, મોડ્યુલી સાથે સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે;
- વિવિધ જટિલતાની વિવિધ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે આ જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરવાની કુશળતા વિકસાવો;
- યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા માટે વિદ્યાર્થીઓને તૈયાર કરો;
- સ્વતંત્ર કાર્ય અને નાના જૂથોમાં કામ કરવાની કુશળતા વિકસાવો;
- સંદર્ભ પુસ્તકો અને કમ્પ્યુટર્સ સાથે કામ કરવાની કુશળતા વિકસાવો;
- સંશોધન કાર્યની કુશળતા અને ક્ષમતાઓ વિકસાવવી;
- વિદ્યાર્થીઓની અલ્ગોરિધમિક વિચારસરણીના વિકાસને પ્રોત્સાહન આપવું;
- ગણિતમાં જ્ઞાનાત્મક રસની રચનાને પ્રોત્સાહન આપો.
(અઠવાડિયે 1 કલાક, કુલ 34 કલાક)
1. પરિચય (1 કલાક)
વૈકલ્પિક અભ્યાસક્રમના લક્ષ્યો અને ઉદ્દેશ્યો. અભ્યાસક્રમમાં આવરી લેવામાં આવેલા મુદ્દાઓ અને તેની રચના. સાહિત્ય સાથે પરિચય, સર્જનાત્મક કાર્યોના વિષયો. કોર્સ સહભાગીઓ માટે જરૂરીયાતો. હરાજી "હું ચોક્કસ મૂલ્ય વિશે શું જાણું છું?"
2. વાસ્તવિક સંખ્યા a (4 કલાક) નું સંપૂર્ણ મૂલ્ય
વાસ્તવિક સંખ્યાનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય a. વિરોધી સંખ્યાઓના મોડ્યુલો. મોડ્યુલ a ના ખ્યાલનું ભૌમિતિક અર્થઘટન. રકમનું મોડ્યુલસ અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓની મર્યાદિત સંખ્યાના તફાવતનું મોડ્યુલસ. બે સંખ્યાઓની મોડ્યુલી વચ્ચેના તફાવતનું મોડ્યુલસ. ઉત્પાદન મોડ્યુલ અને ભાગાંક મોડ્યુલ. નિરપેક્ષ મૂલ્યો પર કામગીરી. મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળ ચલ ધરાવતા અભિવ્યક્તિઓનું સરળીકરણ. ઓલિમ્પિયાડ સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે મોડ્યુલ ગુણધર્મોનો ઉપયોગ.
3. સમીકરણોના આલેખ (કાર્યો સહિત), જેની વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ સંપૂર્ણ મૂલ્યની નિશાની ધરાવે છે (5 કલાક)
કોમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામ "એડવાન્સ્ડ ગ્રાફર" ની એપ્લિકેશન ફંક્શનના ગ્રાફ બનાવવા માટે જેના વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિમાં મોડ્યુલસ ચિહ્ન હોય છે. સમીકરણોના આલેખ બનાવવા માટેના નિયમો અને ગાણિતીક નિયમો કે જેના વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિમાં મોડ્યુલસ ચિહ્ન હોય છે. સમીકરણ આલેખ
કેટલાક સરળ કાર્યોના આલેખ, સ્પષ્ટ અને અસ્પષ્ટ રીતે ઉલ્લેખિત છે, જેની વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ મોડ્યુલસ ચિહ્ન ધરાવે છે. સમીકરણોના આલેખ (કાર્યો સહિત), જેની વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ ઓલિમ્પિયાડ કાર્યોમાં સંપૂર્ણ મૂલ્યની નિશાની ધરાવે છે.
4. સંપૂર્ણ મૂલ્યો ધરાવતા સમીકરણો (11 કલાક)
મોડ્યુલસ સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટેની મૂળભૂત પદ્ધતિઓ. વ્યાખ્યા દ્વારા મોડ્યુલની જાહેરાત, મૂળ સમીકરણમાંથી સમકક્ષ સિસ્ટમમાં સંક્રમણ, સમીકરણની બંને બાજુઓનું વર્ગીકરણ, અંતરાલ પદ્ધતિ, ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ, સંપૂર્ણ મૂલ્ય ગુણધર્મોનો ઉપયોગ. ફોર્મના સમીકરણો
નિરપેક્ષ મૂલ્યો ધરાવતા સમીકરણોને ઉકેલતી વખતે ચલોને બદલવાની પદ્ધતિ. નિરપેક્ષ મૂલ્યો ધરાવતા સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની અંતરાલ પદ્ધતિ. ફોર્મના સમીકરણો
"મોડ્યુલની અંદર મોડ્યુલ" ધરાવતા સમીકરણોને ઉકેલતી વખતે મોડ્યુલને ક્રમિક રીતે જાહેર કરવાની પદ્ધતિ. નિરપેક્ષ મૂલ્યો ધરાવતા સમીકરણોનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન. સમીકરણો ઉકેલતી વખતે સંપૂર્ણ મૂલ્યના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવો. સંપૂર્ણ મૂલ્યો ધરાવતા પરિમાણો સાથેના સમીકરણો. ઉકેલાયેલ ઓલિમ્પિયાડ સોંપણીઓનું સંરક્ષણ.
5. સંપૂર્ણ મૂલ્યો ધરાવતી અસમાનતાઓ (7 કલાક)
ફોર્મની અસમાનતા
ફોર્મની અસમાનતા
મોડ્યુલસ ચિહ્ન ધરાવતી અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની અંતરાલ પદ્ધતિ. સંપૂર્ણ મૂલ્યો ધરાવતા પરિમાણો સાથે અસમાનતા. બે ચલો સાથે અસમાનતા.
સંપૂર્ણ મૂલ્યો ધરાવતી સમીકરણો અને અસમાનતાઓની સિસ્ટમ્સ.
અન્ય પ્રશ્નો જેમાં સંપૂર્ણ મૂલ્યનો ખ્યાલ વપરાય છે.
6. અંતિમ પાઠ (1 કલાક)
કેલેન્ડર અને વિષયોનું આયોજન
નામ વિભાગો અને વિષયો | કલાકોની સંખ્યા | ||||
પરિચય | |||||
વાસ્તવિક સંખ્યા a (4 કલાક) નું સંપૂર્ણ મૂલ્ય |
|||||
વાસ્તવિક સંખ્યાનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય a. મૂળભૂત પ્રમેય | |||||
નિરપેક્ષ મૂલ્યો પર કામગીરી | |||||
મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળ ચલ ધરાવતા સમીકરણોને સરળ બનાવવું | |||||
ઓલિમ્પિયાડ સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે મોડ્યુલ ગુણધર્મોનો ઉપયોગ | |||||
આલેખન સમીકરણો જેના વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિમાં સંપૂર્ણ મૂલ્ય ચિહ્ન (5 કલાક) હોય છે |
|||||
કોમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામ "એડવાન્સ્ડ ગ્રાફર" ની એપ્લિકેશન ફંક્શનના ગ્રાફના નિર્માણમાં જેના વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિમાં મોડ્યુલસ ચિહ્ન હોય છે | |||||
ગ્રાફ બનાવવા માટેના નિયમો અને ગાણિતીક નિયમો (કાર્યો સહિત), જેની વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ મોડ્યુલસ ચિહ્ન ધરાવે છે | |||||
સમીકરણ આલેખ
| |||||
કેટલાક સરળ કાર્યોના આલેખ, સ્પષ્ટ અને ગર્ભિત રીતે ઉલ્લેખિત છે, જેની વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ મોડ્યુલસ ચિહ્ન ધરાવે છે | |||||
સમીકરણોના આલેખ જેની વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ ઓલિમ્પિયાડ કાર્યોમાં સંપૂર્ણ મૂલ્ય ચિહ્ન ધરાવે છે | |||||
સંપૂર્ણ મૂલ્યો ધરાવતા સમીકરણો (11 કલાક) |
|||||
મોડ્યુલસ સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટેની મૂળભૂત પદ્ધતિઓ | |||||
ફોર્મના સમીકરણો
| |||||
નિરપેક્ષ મૂલ્યો ધરાવતા સમીકરણોને ઉકેલતી વખતે ચલોને બદલવા માટેની પદ્ધતિ | |||||
નિરપેક્ષ મૂલ્યો ધરાવતા સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની અંતરાલ પદ્ધતિ. ફોર્મના સમીકરણો
| |||||
"મોડ્યુલની અંદર મોડ્યુલ" ધરાવતા સમીકરણોને ઉકેલતી વખતે મોડ્યુલને ક્રમિક રીતે જાહેર કરવાની પદ્ધતિ | |||||
નિરપેક્ષ મૂલ્યો ધરાવતા સમીકરણોનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન | |||||
સમીકરણો ઉકેલવા માટે સંપૂર્ણ મૂલ્યના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવો | |||||
સંપૂર્ણ મૂલ્યો ધરાવતા પરિમાણો સાથેના સમીકરણો | |||||
હલ કરેલ ઓલિમ્પિયાડ સોંપણીઓનું રક્ષણ | |||||
સંપૂર્ણ મૂલ્યો ધરાવતી અસમાનતાઓ (13 કલાક) |
|||||
એક અજાણ્યા સાથે અસમાનતા. મોડ્યુલસ સાથે અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની મૂળભૂત પદ્ધતિઓ | |||||
મોડ્યુલસ સાથે અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની મૂળભૂત પદ્ધતિઓ | |||||
ફોર્મની અસમાનતા | |||||
બે ચલો સાથે અસમાનતા | |||||
સંપૂર્ણ મૂલ્યો ધરાવતી સમીકરણો અને અસમાનતાઓની સિસ્ટમ્સ | |||||
અન્ય પ્રશ્નો જેમાં સંપૂર્ણ મૂલ્યનો ખ્યાલ વપરાય છે | |||||
અંતિમ પાઠ | |||||
શૈક્ષણિક અને પદ્ધતિસરની સામગ્રીની સૂચિ
1. બશ્માકોવ એમ.આઈ. સમીકરણો અને અસમાનતાઓ. - એમ.: મોસ્કો સ્ટેટ યુનિવર્સિટી ખાતે VZMSH, 1983.
2. Vilenkin N.Ya. બીજગણિત અને ગાણિતિક વિશ્લેષણ. 11મા ધોરણ - એમ.: શિક્ષણ, 1993.
3. ગેડુકોવ I.I. સંપૂર્ણ મૂલ્ય. - એમ.: શિક્ષણ, 1968.
4. ગેલિટ્સ્કી એમ.એલ. બીજગણિત 8 - 9 ગ્રેડમાં સમસ્યાઓનો સંગ્રહ. - એમ.: શિક્ષણ, 1995.
5. ગોવોરોવ વી.એમ. અને અન્ય ગણિતમાં સ્પર્ધાત્મક સમસ્યાઓનો સંગ્રહ - M.: Prosveshchenie, 1983.
6. Gornshtein P.I. અને અન્ય પરિમાણો સાથે સમસ્યાઓ. – એમ.: ઇલેક્ઝા, ખાર્કોવ: જિમ્નેશિયમ, 2003.
7. કોલેસ્નિકોવા S.I. ગણિત. યુનિફાઇડ સ્ટેટ માટે સઘન તૈયારીનો કોર્સ
પરીક્ષા. એમ.: આઇરિસ-પ્રેસ, 2004.
8. મેર્ઝલીક એ.જી. અને બીજગણિત સિમ્યુલેટર. - M.: Ilexa, 2001.
9. મોર્ડકોવિચ એ.જી. બીજગણિત. 8 મી ગ્રેડ - એમ.: નેમોસીન, 2000.
10. નેશકોવ કે.આઇ. અને અન્ય. સંબંધ. સંખ્યાઓ. જથ્થો. - એમ.: શિક્ષણ, 1978.
11. નિકોલ્સ્કાયા I.L. ગણિતમાં વૈકલ્પિક અભ્યાસક્રમ. - એમ.: શિક્ષણ, 1995.
12. ઓલેહનિક એસ.એન. અને અન્ય સમીકરણો અને અસમાનતાઓ. બિન-માનક ઉકેલ પદ્ધતિઓ. 10 - 11 ગ્રેડ -
એમ.: બસ્ટાર્ડ, 1995.
13. શારીગિન આઈ.એફ. ગણિત 10 - 11 ગ્રેડનો વૈકલ્પિક અભ્યાસક્રમ. - એમ.: શિક્ષણ, 1989.
14. ઈલેક્ટ્રોનિક પાઠ્યપુસ્તક “બીજગણિત 7 – 11”.
15. યસ્ત્રેબિનેત્સ્કી જી.એ. પરિમાણો સાથે સમસ્યાઓ. - એમ.: શિક્ષણ, 1986.
સર્જનાત્મક કાર્યોના વિષયો
- મિકેનિક્સ અને વેક્ટર બીજગણિતમાં મોડ્યુલનો ઉપયોગ.
- મર્યાદા વ્યાખ્યામાં મોડ્યુલસ.
- ભૂલો.
- સમીકરણોના આલેખ (કાર્યો સહિત) બનાવવા માટે નિયમો અને ગાણિતીક નિયમોનો ડ્રાફ્ટ મેમો, જેની વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ મોડ્યુલસ ચિહ્ન ધરાવે છે.
- "સમીકરણોના આલેખ જેના વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિમાં મોડ્યુલસ ચિહ્ન હોય છે" વિષય પર "ગાણિતિક લોટો" રમત બનાવવી.
- મોડ્યુલસ સાથે સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવાની પદ્ધતિઓ પર સંદર્ભ સંકેતોનો પ્રોજેક્ટ.
- સૌથી સરળ કાર્યો, સ્પષ્ટ અને ગર્ભિત રીતે ઉલ્લેખિત છે, જેની વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિમાં મોડ્યુલસ ચિહ્ન અને તેમના આલેખ શામેલ છે.
"મોડ્યુલસ" ફંક્શનના આલેખ બનાવવાના કાર્યો અને પરિમાણો સાથેની સમસ્યાઓ પરંપરાગત રીતે ગણિતના સૌથી મુશ્કેલ વિષયોમાંનો એક છે, તેથી તે હંમેશા રાજ્ય પરીક્ષા અને એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષાના અદ્યતન અને ઉચ્ચ સ્તરના કાર્યોમાં શામેલ છે.
"મોડ્યુલ" ની વિભાવનાનો અભ્યાસ શાળામાં 6ઠ્ઠા ધોરણથી કરવામાં આવે છે, અને માત્ર વ્યાખ્યાઓ અને ગણતરીઓના સ્તરે, તે હકીકત હોવા છતાં કે તે શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમના ઘણા વિભાગોમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, સંપૂર્ણ અભ્યાસમાં અને અંદાજિત સંખ્યાની સંબંધિત ભૂલો; ભૂમિતિ અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં વેક્ટર અને તેની લંબાઈ (વેક્ટર મોડ્યુલસ) ના ખ્યાલોનો અભ્યાસ કરવામાં આવશે. મોડ્યુલ ખ્યાલોનો ઉપયોગ ઉચ્ચ શૈક્ષણિક સંસ્થાઓમાં અભ્યાસ કરતા ઉચ્ચ ગણિત, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને તકનીકી વિજ્ઞાનના અભ્યાસક્રમોમાં થાય છે.
સ્નાતકોને 9મા ધોરણમાં રાજ્યની પરીક્ષા અને ત્યારબાદ યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષા સફળતાપૂર્વક પાસ કરવાની સમસ્યાનો સામનો કરવો પડે છે.
આ વર્ષે ગણિતના પાઠમાં અમે રેખીય કાર્યની વિભાવનાથી પરિચિત થયા અને તેનો ગ્રાફ કેવી રીતે બનાવવો તે શીખ્યા. તે દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે તેનો આ આલેખ "મોડ્યુલસ" કાર્ય બનાવવા માટેના આધાર તરીકે લેવામાં આવ્યો છે. વધુમાં, શિક્ષકે કહ્યું કે સમીકરણો એક અને અનેક મોડ્યુલ સાથે આવે છે. મેં આ વિષયનો વધુ ઊંડો અભ્યાસ કરવાનું નક્કી કર્યું છે, ખાસ કરીને કારણ કે પરીક્ષા પાસ કરતી વખતે તે મારા માટે ઉપયોગી થશે.
વિષય "સંપૂર્ણ મૂલ્ય ધરાવતા સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ"
કાર્યનું લક્ષ્ય: મોડ્યુલ અને પેરામીટર ધરાવતા સમીકરણોને ઉકેલવા માટે મોડ્યુલો સાથે આલેખના તર્કસંગત બાંધકામની શક્યતાનો અભ્યાસ
મોડ્યુલસ સાથે સમીકરણોની પદ્ધતિઓ ઉકેલવાના સિદ્ધાંતનો અભ્યાસ કરો.
નિરપેક્ષ મૂલ્ય ચિહ્ન ધરાવતા 1લી ડિગ્રીના સમીકરણોને ઉકેલવાનું શીખો.
સમીકરણો ઉકેલવા માટે ગ્રાફિકલ પદ્ધતિઓનું વર્ગીકરણ કરો.
મોડ્યુલસ ફંક્શનના આલેખ બનાવવા માટેની વિવિધ પદ્ધતિઓના ફાયદા અને ગેરફાયદાનું વિશ્લેષણ કરો.
પરિમાણ શું છે તે શોધો
પરિમાણ સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટે તર્કસંગત પદ્ધતિઓ લાગુ કરો
ઑબ્જેક્ટ - મોડ્યુલસ સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ
વિષય: સમીકરણો ઉકેલવા માટે ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ
સંશોધન પદ્ધતિઓ: સૈદ્ધાંતિક અને વ્યવહારુ:
સૈદ્ધાંતિક - આ સંશોધન વિષય પર સાહિત્યનો અભ્યાસ છે; ઇન્ટરનેટ માહિતી;
વ્યવહારુ - આ સાહિત્યના અભ્યાસમાંથી મેળવેલી માહિતીનું વિશ્લેષણ છે, વિવિધ રીતે મોડ્યુલસ સાથે સમીકરણો ઉકેલતી વખતે પ્રાપ્ત પરિણામો;
સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓની સરખામણી એ મોડ્યુલસ સાથે વિવિધ સમીકરણોને ઉકેલતી વખતે તેમના ઉપયોગની તર્કસંગતતાનો વિષય છે.
ખ્યાલો અને વ્યાખ્યાઓ
1.1. શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમના ઘણા વિભાગોમાં "મોડ્યુલ" નો ખ્યાલ વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, અંદાજિત સંખ્યાની સંપૂર્ણ અને સંબંધિત ભૂલોના અભ્યાસમાં; ભૂમિતિ અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં વેક્ટર અને તેની લંબાઈ (વેક્ટર મોડ્યુલસ) ના ખ્યાલોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. મોડ્યુલ ખ્યાલોનો ઉપયોગ ઉચ્ચ શૈક્ષણિક સંસ્થાઓમાં અભ્યાસ કરતા ઉચ્ચ ગણિત, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને તકનીકી વિજ્ઞાનના અભ્યાસક્રમોમાં થાય છે.
"મોડ્યુલ" શબ્દ લેટિન શબ્દ "મોડ્યુલસ" પરથી આવ્યો છે, જેનો અર્થ "માપ" થાય છે. આ શબ્દના ઘણા અર્થો છે અને તેનો ઉપયોગ માત્ર ગણિત, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ટેકનોલોજીમાં જ નહીં, પરંતુ આર્કિટેક્ચર, પ્રોગ્રામિંગ અને અન્ય ચોક્કસ વિજ્ઞાનમાં પણ થાય છે એવું માનવામાં આવે છે કે આ શબ્દ ન્યૂટનના વિદ્યાર્થી કોટ્સ દ્વારા સૂચવવામાં આવ્યો હતો. મોડ્યુલસ ચિહ્નની રજૂઆત 19મી સદીમાં વેયરસ્ટ્રાસ દ્વારા કરવામાં આવી હતી.
આર્કિટેક્ચરમાં, મોડ્યુલ એ આપેલ આર્કિટેક્ચરલ સ્ટ્રક્ચર માટે સ્થપાયેલ માપનનું પ્રારંભિક એકમ છે, જે ટેક્નોલોજીના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં ઉપયોગમાં લેવાય છે, જેનો ઉપયોગ વિવિધ ગુણાંક અને જથ્થાઓ માટે થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, સ્થિતિસ્થાપક મોડ્યુલ, ગણિતમાં , મોડ્યુલના ઘણા અર્થો છે, પરંતુ હું તેને સંખ્યાના સંપૂર્ણ મૂલ્ય તરીકે ગણીશ.
વ્યાખ્યા : વાસ્તવિક સંખ્યાનું મોડ્યુલસ (સંપૂર્ણ મૂલ્ય). એઆ નંબર પોતે જો કહેવાય છે એ≥0, અથવા વિરોધી સંખ્યા - એ, જો અને શૂન્યનું મોડ્યુલસ શૂન્ય છે.
મોડ્યુલસ એ સંકલન રેખા પર શૂન્યથી બિંદુ સુધીનું અંતર છે.
1.2. મોડ્યુલસ સાથેનું સમીકરણ એ ચોક્કસ મૂલ્ય ચિહ્ન (મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળ) હેઠળ ચલ ધરાવતું સમીકરણ છે. સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ છે તેના તમામ મૂળ શોધવા, અથવા સાબિત કરવું કે ત્યાં કોઈ મૂળ નથી. મોડ્યુલસ સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ:
1. મોડ્યુલની વ્યાખ્યા પ્રમાણે - "મોડ્યુલને દૂર કરવું". નિર્ણય વ્યાખ્યાના આધારે થાય છે.
2. વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ - સમીકરણ અને મોડ્યુલના ગુણધર્મોમાં સમાવિષ્ટ અભિવ્યક્તિઓના પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા.
3.અંતરોની પદ્ધતિ: મોડ્યુલના "શૂન્ય" દ્વારા રચાયેલા અંતરાલો અને અડધા અંતરાલો પર મોડ્યુલનું વિસ્તરણ.
4.ગ્રાફિક પદ્ધતિ. આ પદ્ધતિનો સાર એ સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા આ કાર્યોના ગ્રાફ બનાવવાનો છે. જો આલેખ એકબીજાને છેદે છે, તો આ આલેખના આંતરછેદના બિંદુઓના એબ્સિસાસ આ સમીકરણના મૂળ હશે.
1.3.મોડ્યુલસ સાથે કાર્યોનું કાવતરું કરવા માટેની પદ્ધતિઓ
1.3.1. એ-પ્રાયોરી. બે લીટીઓ y=khx+b બનેલી છે, જ્યાં x>0, y=-khx+b, જ્યાં x
1.3.2 સમપ્રમાણ પદ્ધતિ. x પર સીધી રેખાના ભાગ માટે y=kx+b ગ્રાફ દોરવામાં આવે છે
1.3.3.કાર્યોનું રૂપાંતર:
a) y=|x |+n ગ્રાફ એકમો દ્વારા ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે ઉપર જાય છે
b) y=|x |-n ગ્રાફ ઓર્ડિનેટ સાથે નીચે શિફ્ટ થાય છે
c) y=|x +n | આલેખ એબ્સીસા અક્ષ સાથે ડાબી તરફ જાય છે
d)у=|x -n | આલેખ એબ્સીસા અક્ષ સાથે જમણી તરફ જાય છે
1.3.4. અંતરાલ પદ્ધતિ. સંકલન રેખાને મોડ્યુલસ શૂન્ય દ્વારા અંતરાલો અને અડધા-અંતરોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. આગળ, મોડ્યુલની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, દરેક મળેલા વિસ્તારો માટે આપણે એક સમીકરણ મેળવીએ છીએ જે આપેલ અંતરાલ પર ઉકેલવું જોઈએ અને ફંક્શન મેળવવું જોઈએ.
1.3.5. શૂન્ય વિસ્તારોને વિસ્તારવા માટેની પદ્ધતિ. એવા કિસ્સામાં જ્યારે ઘણા મોડ્યુલો હોય, તો મોડ્યુલોને વિસ્તૃત કરવા માટે નહીં, પરંતુ નીચેના વિધાનનો ઉપયોગ કરવો વધુ અનુકૂળ છે: મોડ્યુલોનો બીજગણિત સરવાળો nરેખીય અભિવ્યક્તિઓ એ એક ભાગ પ્રમાણે રેખીય કાર્ય છે, જેનો ગ્રાફ સમાવે છે n+1 સીધા સેગમેન્ટ્સ.
પછી આલેખને અનુરૂપ બનાવી શકાય n+2 પોઈન્ટ, nજેમાંથી ઇન્ટ્રામોડ્યુલર અભિવ્યક્તિઓના મૂળનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, બીજો એક મનસ્વી બિંદુ છે જેમાં આ મૂળના નાના કરતા ઓછા એબ્સિસા છે, અને છેલ્લો છે જે મૂળના મોટા કરતા મોટા છે.
1.4. આપણી પાસે સમીકરણ છે ax+b=c.આ સમીકરણમાં એક્સ- અજ્ઞાત, a,b,c- ગુણાંક જે વિવિધ સંખ્યાત્મક મૂલ્યો લઈ શકે છે. આ રીતે ઉલ્લેખિત ગુણાંકને પરિમાણો કહેવામાં આવે છે. પરિમાણો સાથેનું એક સમીકરણ ઘણા સમીકરણોને વ્યાખ્યાયિત કરે છે (તમામ સંભવિત પરિમાણ મૂલ્યો માટે).
આ તમામ સમીકરણો છે જે પરિમાણો સાથેના સમીકરણ દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે ax+b=c.
પરિમાણો સાથે સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ છે:
સમીકરણના કયા પરિમાણોના મૂલ્યો છે અને પરિમાણોના વિવિધ મૂલ્યો માટે કેટલા છે તે દર્શાવો.
મૂળ માટે તમામ અભિવ્યક્તિઓ શોધો અને તે દરેક માટે તે પરિમાણ મૂલ્યો સૂચવો કે જેના પર આ અભિવ્યક્તિ સમીકરણનું મૂળ નક્કી કરે છે.
1.5.તારણો:
આમ, મોડ્યુલસ સાથે આલેખ બાંધવા માટેની વિવિધ પદ્ધતિઓ છે, જેના તર્કસંગત ઉપયોગની શક્યતા માટે તપાસ કરવાની જરૂર છે.
મોડ્યુલ અને એપ્લિકેશન ધરાવતાં કાર્યોના ગ્રાફ બનાવવા માટેની પદ્ધતિઓનું વિશ્લેષણ
3. અંતરાલ પદ્ધતિ
4. વિશ્લેષણાત્મક
3.નેસ્ટેડ મોડ્યુલો
|||x 
n| m||= a
1. મોડ્યુલ વ્યાખ્યા દ્વારા
2.ગ્રાફિક
નિષ્કર્ષ: આમ, સમીકરણોનું વર્ગીકરણ આપણને તમામ પ્રકારના સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની સામાન્ય પદ્ધતિઓ આપે છે - આ, વ્યાખ્યા દ્વારા, એક મોડ્યુલસ અને ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ છે.
2.2.ગ્રાફિંગ વિશ્લેષણ.
2.2.1. પ્રકાર 1. બાંધકામ y=|x |
2.2.1.1.એ-પ્રાયોરી.
1. સીધી રેખા y=x બનાવો
2. x પર લીટીનો ભાગ પસંદ કરો 
0
3. y=-x સીધી રેખા બનાવો
4. x પર લીટીનો ભાગ પસંદ કરો
2.2.1.2. સમપ્રમાણતા પદ્ધતિ
1. સીધી રેખા y=x બનાવો
2. આપણે x પર એબ્સીસા અક્ષ વિશે સમપ્રમાણતા બનાવીએ છીએ
5. અંતરાલો પર રેખાઓના ભાગો પસંદ કરો
2.2.2.2.શૂન્ય વિસ્તાર વિસ્તરણ પદ્ધતિ
1.ઝીરો: 3 અને 1; વિસ્તૃત વિસ્તાર: 2,4,0
2. અમે આમાં મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ: 3,1,2,4,0 આ છે: -2, -2, -2, 0, 0
3. પોઈન્ટને તેમના કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે મૂકો અને કનેક્ટ કરો
નિષ્કર્ષ: શૂન્યના પ્રદેશને વિસ્તારવાની પદ્ધતિ વધુ તર્કસંગત છે
2.2.3. પ્રકાર 3. નેસ્ટેડ મોડ્યુલો - "માત્રિઓષ્કા"
અને 
ચાલો y=||x|-1| ના બાંધકામનું અન્વેષણ કરીએ
2.2.3.1.મોડ્યુલ વ્યાખ્યા દ્વારા
મુખ્ય મોડ્યુલની વ્યાખ્યા દ્વારા અમારી પાસે છે:
1) x>0 y=|x|-1
2. નીચેના મોડ્યુલને "દૂર કરો":
મોડ્યુલ: y=x-1, x>0 અને y=-x+1 x
y=-x+1 x>0 y=x-1 x
3. અમે ગ્રાફ બનાવીએ છીએ
2.2.3.2.સપ્રમાણતા પદ્ધતિ
1. y=|x|-1 
y=x-1, સમપ્રમાણતા
2. આલેખના ભાગની એબ્સીસા અક્ષ વિશે સપ્રમાણતા, જ્યાં x-1
નિષ્કર્ષ: સમપ્રમાણતા પદ્ધતિ વધુ તર્કસંગત છે.
2.2.4. ચાલો કોષ્ટકમાં પરિણામોના વિશ્લેષણનો સારાંશ આપીએ:
જ્ઞાન અને કૌશલ્ય
ખામીઓ
એ-પ્રાયોરી
મોડ્યુલ વ્યાખ્યા
જાણો: સીધી રેખાઓ પરના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ કેવી રીતે નક્કી થાય છે
અસમાનતાનો ઉપયોગ કરીને રેખાના ભાગને ઓળખવામાં સક્ષમ બનો
વિશાળ ઉકેલો
મોટી માત્રામાં જ્ઞાનનો ઉપયોગ
મોડ્યુલને "દૂર" કરતી વખતે, ભૂલો થઈ શકે છે
સમપ્રમાણતા પદ્ધતિ
ફંક્શન ટ્રાન્સફોર્મેશનને જાણો અને લાગુ કરવામાં સક્ષમ બનો
એબ્સીસા અક્ષની આસપાસ સમપ્રમાણતા બનાવો
અંતરાલ પદ્ધતિ
મોડ્યુલસ શૂન્ય શોધો
અંતરાલ અને અર્ધ-અંતરો વ્યાખ્યાયિત કરો
મોડ્યુલો વિસ્તૃત કરો
મોડ્યુલોની ગણતરી કરો
સમાન શરતો આપો
સીધી રેખાઓ બનાવો
વિશાળ ઉકેલો
શૂન્યને દૂર કરતી વખતે ઘણી બધી ગણતરીઓ અને પરિવર્તનો
ઘણો સમય લો
અંતરાલ અને અર્ધ-અંતરોની સાચી વ્યાખ્યા
શૂન્ય વિસ્તાર વિસ્તરણ પદ્ધતિ
મોડ્યુલસ શૂન્ય શોધો
શૂન્યનું ક્ષેત્રફળ વિસ્તારવામાં સમર્થ થાઓ
આ બિંદુઓ પર મોડ્યુલીની ગણતરી કરવામાં સક્ષમ બનો
તેમના કોઓર્ડિનેટ્સના આધારે પોઈન્ટ બનાવવામાં સક્ષમ બનો
ગણતરીમાં ભૂલોને મંજૂરી આપવી
કાર્ય પરિવર્તન પદ્ધતિ
કન્વર્ઝન અલ્ગોરિધમ જાણો
તેમના કોઓર્ડિનેટ્સના આધારે પોઈન્ટ બનાવવામાં સક્ષમ બનો
પોઈન્ટના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી કરવામાં સમર્થ થાઓ
કન્વર્ઝન અલ્ગોરિધમ લાગુ કરવામાં સક્ષમ બનો
ગ્રાફ કન્વર્ઝન એલ્ગોરિધમ્સનું જ્ઞાન
નિષ્કર્ષ: કોષ્ટકનું વિશ્લેષણ કરીને, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે શૂન્ય વિસ્તારનું સમપ્રમાણતા પદ્ધતિ અને વિસ્તરણ સૌથી વધુ તર્કસંગત છે, કારણ કે બાંધકામના ઓછામાં ઓછા સંખ્યાના પગલાઓ શામેલ છે, જેનો અર્થ છે કે તેઓ સમય બચાવે છે.
2.3મોડ્યુલસ અને પેરામીટર સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટે તર્કસંગત ગ્રાફિંગ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ
2.3.1. સમીકરણ ઉકેલો: 
અમે y= બનાવીએ છીએ 
અને y=0.5's
2.વિસ્તૃત વિસ્તાર: -1.2
3.(0;-1), (1;1), (-1;-1) (2;1)
4. સેગમેન્ટ્સ અને કિરણો દોરો
2.3.2. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા 2009 a ના બધા મૂલ્યો શોધો, જેમાંથી દરેક માટે સમીકરણ 
, બરાબર 1 root.a = 7 ધરાવે છે. કરેલા કાર્ય દરમિયાન, અમે આલેખ બાંધવા માટેની વિવિધ પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ અને વિશ્લેષણ કરવામાં સક્ષમ હતા. ગ્રાફિંગ પદ્ધતિઓના વિશ્લેષણ અને સરખામણીના પરિણામે, નીચેના તારણો પ્રાપ્ત થયા:
બીજગણિત સમસ્યાનો ભાષામાં અનુવાદ જીરફીકોવ તમને બોજારૂપ નિર્ણયો ટાળવા દે છે;
મોડ્યુલસ અને પરિમાણ ધરાવતા સમીકરણોને ઉકેલતી વખતે, ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ વધુ દ્રશ્ય અને પ્રમાણમાં સરળ છે;
જ્યારે 2 મોડ્યુલો અને "મેટ્રિઓશ્કા" ધરાવતા આલેખ બનાવતા હોય, ત્યારે સપ્રમાણતા પદ્ધતિ વધુ વ્યવહારુ હોય છે;
સમીકરણો ઉકેલવાની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ અંદાજિત હોવા છતાં, કારણ કે ચોકસાઈ પસંદ કરેલ એકમ સેગમેન્ટ, પેન્સિલની જાડાઈ, લીટીઓ કયા ખૂણા પર છેદે છે વગેરે પર આધાર રાખે છે, પરંતુ આ પદ્ધતિ તમને પરિમાણ સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટે સમીકરણોના મૂળની સંખ્યાનો અંદાજ કાઢવા દે છે.
યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામિનેશન અને સ્ટેટ એક્ઝામિનેશન માટેના કેટલાક સૌથી લોકપ્રિય કાર્યો એ મોડ્યુલસ સાથેના સમીકરણો છે તે ધ્યાનમાં લેતા, મારું મુખ્ય પરિણામ એ છે કે હું મોડ્યુલસ અને પેરામીટર સાથેના સમીકરણોને ગ્રાફિકલી ઉકેલી શકું છું.
ગ્રંથસૂચિ
1.ડેન્કોવા I. "ગણિતમાં પ્રી-પ્રોફાઇલ તૈયારી", મોસ્કો, 2006.
2. ગણિતમાં અભ્યાસેતર કાર્ય. અલ્ખોવા ઝેડ.એન., મેકેવા એ.વી., સારાટોવ: લિસિયમ, 2003.
3.ગણિત. Ant L.Ya. દ્વારા સંપાદિત પાઠ્યપુસ્તક, મોસ્કો બ્રિજ, 1994.
4. ગણિત. ગ્રેડ 8-9: વૈકલ્પિક અભ્યાસક્રમોનો સંગ્રહ. અંક-2 લેખક-કમ્પાઈલર: M.E. કોઝિના, વોલ્ગોગ્રાડ: શિક્ષક, 2007
5. યસ્ત્રેબિનેત્સ્કી જી.એ. પરિમાણો સાથે સમસ્યાઓ. એમ, 2006
"મોડ્યુલસ" ફંક્શનના આલેખ બનાવવાના કાર્યો અને પરિમાણો સાથેની સમસ્યાઓ પરંપરાગત રીતે ગણિતના સૌથી મુશ્કેલ વિષયોમાંનો એક છે, તેથી તે હંમેશા રાજ્ય પરીક્ષા અને એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષાના અદ્યતન અને ઉચ્ચ સ્તરના કાર્યોમાં શામેલ છે.
"મોડ્યુલ" ની વિભાવનાનો અભ્યાસ શાળામાં 6ઠ્ઠા ધોરણથી કરવામાં આવે છે, અને માત્ર વ્યાખ્યાઓ અને ગણતરીઓના સ્તરે, તે હકીકત હોવા છતાં કે તે શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમના ઘણા વિભાગોમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, સંપૂર્ણ અભ્યાસમાં અને અંદાજિત સંખ્યાની સંબંધિત ભૂલો; ભૂમિતિ અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં વેક્ટર અને તેની લંબાઈ (વેક્ટર મોડ્યુલસ) ના ખ્યાલોનો અભ્યાસ કરવામાં આવશે. મોડ્યુલ ખ્યાલોનો ઉપયોગ ઉચ્ચ શૈક્ષણિક સંસ્થાઓમાં અભ્યાસ કરતા ઉચ્ચ ગણિત, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને તકનીકી વિજ્ઞાનના અભ્યાસક્રમોમાં થાય છે.
સ્નાતકોને 9મા ધોરણમાં રાજ્યની પરીક્ષા અને ત્યારબાદ યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષા સફળતાપૂર્વક પાસ કરવાની સમસ્યાનો સામનો કરવો પડે છે.
આ વર્ષે ગણિતના પાઠમાં અમે રેખીય કાર્યની વિભાવનાથી પરિચિત થયા અને તેનો ગ્રાફ કેવી રીતે બનાવવો તે શીખ્યા. તે દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે તેનો આ આલેખ "મોડ્યુલસ" કાર્ય બનાવવા માટેના આધાર તરીકે લેવામાં આવ્યો છે. વધુમાં, શિક્ષકે કહ્યું કે સમીકરણો એક અને અનેક મોડ્યુલ સાથે આવે છે. મેં આ વિષયનો વધુ ઊંડો અભ્યાસ કરવાનું નક્કી કર્યું છે, ખાસ કરીને કારણ કે પરીક્ષા પાસ કરતી વખતે તે મારા માટે ઉપયોગી થશે.
વિષય "સંપૂર્ણ મૂલ્ય ધરાવતા સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ"
કાર્યનું લક્ષ્ય : મોડ્યુલ અને પેરામીટર ધરાવતા સમીકરણોને ઉકેલવા માટે મોડ્યુલો સાથે આલેખના તર્કસંગત બાંધકામની શક્યતાનો અભ્યાસ
મોડ્યુલસ સાથે સમીકરણોની પદ્ધતિઓ ઉકેલવાના સિદ્ધાંતનો અભ્યાસ કરો.
નિરપેક્ષ મૂલ્ય ચિહ્ન ધરાવતા 1લી ડિગ્રીના સમીકરણોને ઉકેલવાનું શીખો.
સમીકરણો ઉકેલવા માટે ગ્રાફિકલ પદ્ધતિઓનું વર્ગીકરણ કરો.
મોડ્યુલસ ફંક્શનના આલેખ બનાવવા માટેની વિવિધ પદ્ધતિઓના ફાયદા અને ગેરફાયદાનું વિશ્લેષણ કરો.
પરિમાણ શું છે તે શોધો
પરિમાણ સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટે તર્કસંગત પદ્ધતિઓ લાગુ કરો
ઑબ્જેક્ટ - મોડ્યુલસ સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ
વિષય: સમીકરણો ઉકેલવા માટે ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ
સંશોધન પદ્ધતિઓ: સૈદ્ધાંતિક અને વ્યવહારુ:
સૈદ્ધાંતિક - આ સંશોધન વિષય પર સાહિત્યનો અભ્યાસ છે; ઇન્ટરનેટ માહિતી;
વ્યવહારુ - આ સાહિત્યના અભ્યાસમાંથી મેળવેલી માહિતીનું વિશ્લેષણ છે, વિવિધ રીતે મોડ્યુલસ સાથે સમીકરણો ઉકેલતી વખતે પ્રાપ્ત પરિણામો;
સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓની સરખામણી એ મોડ્યુલસ સાથે વિવિધ સમીકરણોને ઉકેલતી વખતે તેમના ઉપયોગની તર્કસંગતતાનો વિષય છે.
પ્રકરણ I
ખ્યાલો અને વ્યાખ્યાઓ
1.1. શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમના ઘણા વિભાગોમાં "મોડ્યુલ" નો ખ્યાલ વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, અંદાજિત સંખ્યાની સંપૂર્ણ અને સંબંધિત ભૂલોના અભ્યાસમાં; ભૂમિતિ અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં વેક્ટર અને તેની લંબાઈ (વેક્ટર મોડ્યુલસ) ના ખ્યાલોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. મોડ્યુલ ખ્યાલોનો ઉપયોગ ઉચ્ચ શૈક્ષણિક સંસ્થાઓમાં અભ્યાસ કરતા ઉચ્ચ ગણિત, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને તકનીકી વિજ્ઞાનના અભ્યાસક્રમોમાં થાય છે.
"મોડ્યુલ" શબ્દ લેટિન શબ્દ "મોડ્યુલસ" પરથી આવ્યો છે, જેનો અર્થ "માપ" થાય છે. આ શબ્દના ઘણા અર્થો છે અને તેનો ઉપયોગ માત્ર ગણિત, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ટેકનોલોજીમાં જ નહીં, પરંતુ આર્કિટેક્ચર, પ્રોગ્રામિંગ અને અન્ય ચોક્કસ વિજ્ઞાનમાં પણ થાય છે એવું માનવામાં આવે છે કે આ શબ્દ ન્યૂટનના વિદ્યાર્થી કોટ્સ દ્વારા સૂચવવામાં આવ્યો હતો. મોડ્યુલસ ચિહ્નની રજૂઆત 19મી સદીમાં વેયરસ્ટ્રાસ દ્વારા કરવામાં આવી હતી.
આર્કિટેક્ચરમાં, મોડ્યુલ એ આપેલ આર્કિટેક્ચરલ સ્ટ્રક્ચર માટે સ્થપાયેલ માપનનું પ્રારંભિક એકમ છે, જે ટેક્નોલોજીના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં ઉપયોગમાં લેવાય છે, જેનો ઉપયોગ વિવિધ ગુણાંક અને જથ્થાઓ માટે થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, સ્થિતિસ્થાપક મોડ્યુલ, ગણિતમાં , મોડ્યુલના ઘણા અર્થો છે, પરંતુ હું તેને સંખ્યાના સંપૂર્ણ મૂલ્ય તરીકે ગણીશ.
વ્યાખ્યા : વાસ્તવિક સંખ્યાનું મોડ્યુલસ (સંપૂર્ણ મૂલ્ય). એઆ નંબર પોતે જો કહેવાય છે એ≥0, અથવા વિરોધી સંખ્યા - એ, જો એ<0; શૂન્યનું મોડ્યુલસ શૂન્ય છે.
મોડ્યુલસ એ સંકલન રેખા પર શૂન્યથી બિંદુ સુધીનું અંતર છે.
1.2. મોડ્યુલસ સાથેનું સમીકરણ એ ચોક્કસ મૂલ્ય ચિહ્ન (મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળ) હેઠળ ચલ ધરાવતું સમીકરણ છે. સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ છે તેના તમામ મૂળ શોધવા, અથવા સાબિત કરવું કે ત્યાં કોઈ મૂળ નથી. મોડ્યુલસ સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ:
1. મોડ્યુલની વ્યાખ્યા પ્રમાણે - "મોડ્યુલને દૂર કરવું". નિર્ણય વ્યાખ્યાના આધારે થાય છે.
2. વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ - સમીકરણ અને મોડ્યુલના ગુણધર્મોમાં સમાવિષ્ટ અભિવ્યક્તિઓના પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા.
3.અંતરોની પદ્ધતિ: મોડ્યુલના "શૂન્ય" દ્વારા રચાયેલા અંતરાલો અને અડધા અંતરાલો પર મોડ્યુલનું વિસ્તરણ.
4.ગ્રાફિક પદ્ધતિ. આ પદ્ધતિનો સાર એ સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા આ કાર્યોના ગ્રાફ બનાવવાનો છે. જો આલેખ એકબીજાને છેદે છે, તો આ આલેખના આંતરછેદના બિંદુઓના એબ્સિસાસ આ સમીકરણના મૂળ હશે.
1.3.મોડ્યુલસ સાથે કાર્યોનું કાવતરું કરવા માટેની પદ્ધતિઓ
1.3.1. એ-પ્રાયોરી. બે લીટીઓ y=khx+b બનેલી છે, જ્યાં x>0, y=-khx+b, જ્યાં x<0
1.3.2 સપ્રમાણ પદ્ધતિ. x પર સીધી રેખાના ભાગ માટે y=kx+b ગ્રાફ દોરવામાં આવ્યો છે<0 отображается относительно оси абцисс.
1.3.3.કાર્યોનું રૂપાંતર:
a) y=|x |+n ગ્રાફ એકમો દ્વારા ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે ઉપર જાય છે
b) y=|x |-n ગ્રાફ ઓર્ડિનેટ સાથે નીચે શિફ્ટ થાય છે
c) y=|x +n | આલેખ એબ્સીસા અક્ષ સાથે ડાબી તરફ જાય છે
d )y=|x -n | આલેખ એબ્સીસા અક્ષ સાથે જમણી તરફ જાય છે
1.3.4. અંતરાલ પદ્ધતિ. સંકલન રેખાને મોડ્યુલસ શૂન્ય દ્વારા અંતરાલો અને અડધા-અંતરોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. આગળ, મોડ્યુલની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, દરેક મળેલા વિસ્તારો માટે આપણે એક સમીકરણ મેળવીએ છીએ જે આપેલ અંતરાલ પર ઉકેલવું જોઈએ અને ફંક્શન મેળવવું જોઈએ.
1.3.5. શૂન્ય વિસ્તારોને વિસ્તારવા માટેની પદ્ધતિ. એવા કિસ્સામાં જ્યારે ઘણા મોડ્યુલો હોય, તો મોડ્યુલોને વિસ્તૃત કરવા માટે નહીં, પરંતુ નીચેના વિધાનનો ઉપયોગ કરવો વધુ અનુકૂળ છે: મોડ્યુલોનો બીજગણિત સરવાળો nરેખીય અભિવ્યક્તિઓ એ એક ભાગ પ્રમાણે રેખીય કાર્ય છે, જેનો ગ્રાફ સમાવે છે n+1 સીધા સેગમેન્ટ્સ.
પછી આલેખને અનુરૂપ બનાવી શકાય n+2 પોઈન્ટ, nજેમાંથી ઇન્ટ્રામોડ્યુલર અભિવ્યક્તિઓના મૂળનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, બીજો એક મનસ્વી બિંદુ છે જેમાં આ મૂળના નાના કરતા ઓછા એબ્સિસા છે, અને છેલ્લો છે જે મૂળના મોટા કરતા મોટા છે.
1.4. આપણી પાસે સમીકરણ છે ax+b=c.આ સમીકરણમાં એક્સ- અજ્ઞાત, a,b,c- ગુણાંક જે વિવિધ સંખ્યાત્મક મૂલ્યો લઈ શકે છે. આ રીતે ઉલ્લેખિત ગુણાંકને પરિમાણો કહેવામાં આવે છે. પરિમાણો સાથેનું એક સમીકરણ ઘણા સમીકરણોને વ્યાખ્યાયિત કરે છે (તમામ સંભવિત પરિમાણ મૂલ્યો માટે).
આ તમામ સમીકરણો છે જે પરિમાણો સાથેના સમીકરણ દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે ax+b=c.
પરિમાણો સાથે સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ છે:
સમીકરણના કયા પરિમાણોના મૂલ્યો છે અને પરિમાણોના વિવિધ મૂલ્યો માટે કેટલા છે તે દર્શાવો.
મૂળ માટે તમામ અભિવ્યક્તિઓ શોધો અને તે દરેક માટે તે પરિમાણ મૂલ્યો સૂચવો કે જેના પર આ અભિવ્યક્તિ સમીકરણનું મૂળ નક્કી કરે છે.
1.5.તારણો:
આમ, મોડ્યુલસ સાથે આલેખ બાંધવા માટેની વિવિધ પદ્ધતિઓ છે, જેના તર્કસંગત ઉપયોગની શક્યતા માટે તપાસ કરવાની જરૂર છે.
પ્રકરણ II
મોડ્યુલ અને એપ્લિકેશન ધરાવતાં કાર્યોના ગ્રાફ બનાવવા માટેની પદ્ધતિઓનું વિશ્લેષણ
« આલેખ એ વાત કરવાની રેખા છે
જે તમને ઘણું કહી શકે છે"
એમ.બી.બાલ્ક
2.1. મોડ્યુલસ સાથે સમીકરણોના પ્રકારોનો અભ્યાસ કરતા, અમે જોયું કે તેમને પ્રકારો અને ઉકેલની પદ્ધતિઓમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.
ટેબલ. સમીકરણોના પ્રકારો અને તેમના ઉકેલની પદ્ધતિઓનું વર્ગીકરણ.
સમીકરણ પ્રકાર
સમીકરણનો પ્રકાર
ઉકેલ પદ્ધતિ
1. એક મોડ્યુલ સાથે સમીકરણ
|x n|=a
|x| n=a
1. મોડ્યુલ વ્યાખ્યા દ્વારા
2.ગ્રાફિક
3. વિશ્લેષણાત્મક
2.2 મોડ્યુલ ધરાવતું સમીકરણ
|x n| |x m|=a
1. મોડ્યુલ વ્યાખ્યા દ્વારા
2.ગ્રાફિક
3. અંતરાલ પદ્ધતિ
4. વિશ્લેષણાત્મક
3.નેસ્ટેડ મોડ્યુલો
|||x n| m||=એ
1. મોડ્યુલ વ્યાખ્યા દ્વારા
2.ગ્રાફિક
નિષ્કર્ષ: આમ, સમીકરણોનું વર્ગીકરણ આપણને તમામ પ્રકારના સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની સામાન્ય પદ્ધતિઓ આપે છે - આ, વ્યાખ્યા દ્વારા, એક મોડ્યુલસ અને ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ છે.
2.2.ગ્રાફિંગ વિશ્લેષણ.
2.2.1. પ્રકાર 1. બાંધકામ y=|x |
2.2.1.1.એ-પ્રાયોરી.
1. સીધી રેખા y=x બનાવો
2. x પર લીટીનો ભાગ પસંદ કરો 
0
3. y=-x સીધી રેખા બનાવો
4. x પર લીટીનો ભાગ પસંદ કરો<0
2.2.1.2. સમપ્રમાણતા પદ્ધતિ
1. સીધી રેખા y=x બનાવો
2. આપણે x પર એબ્સીસા અક્ષ વિશે સમપ્રમાણતા બનાવીએ છીએ<0
2.2.1.3. બાંધકામ y=|x -2|
1. સીધી રેખા y=x-2 બનાવો
2. x-2 પર સીધી રેખાનો ભાગ પસંદ કરો 0
3. y=-x+2 સીધી રેખા બનાવો
4. x-2 પર સીધી રેખાનો ભાગ પસંદ કરો<0
નિષ્કર્ષ: સમપ્રમાણતા પદ્ધતિ વધુ તર્કસંગત છે 
2.2.2. પ્રકાર 2.
કાર્ય: y= નો ગ્રાફ બનાવો 
2.2.2.1.અંતરાલ પદ્ધતિ
1.
પર 
આપણને y=-x+3+1-x-4 મળે છે; y = -2x
2. ચાલુ 
આપણને મળે છે=-x+3-1+x-4; y = -2
3. ચાલુ 
આપણને y=x-3-1+x-4 મળે છે; y = 2x-8
4. અમે બધી સીધી રેખાઓ બનાવીએ છીએ.
5. અંતરાલો પર રેખાઓના ભાગો પસંદ કરો
2.2.2.2.શૂન્ય વિસ્તાર વિસ્તરણ પદ્ધતિ
1.ઝીરો: 3 અને 1; વિસ્તૃત વિસ્તાર: 2,4,0
2. અમે આમાં મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ: 3,1,2,4,0 આ છે: -2, -2, -2, 0, 0
3. પોઈન્ટને તેમના કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે મૂકો અને કનેક્ટ કરો
નિષ્કર્ષ: શૂન્યના પ્રદેશને વિસ્તારવાની પદ્ધતિ વધુ તર્કસંગત છે
2.2.3. પ્રકાર 3. નેસ્ટેડ મોડ્યુલો - "માત્રિઓષ્કા"
અને ચાલો y=||x|-1| ના બાંધકામનું અન્વેષણ કરીએ
2.2.3.1.મોડ્યુલ વ્યાખ્યા દ્વારા
મુખ્ય મોડ્યુલની વ્યાખ્યા દ્વારા અમારી પાસે છે:
1) x>0 y=|x|-1
2) એક્સ<0 у=-|х|+1
2. નીચેના મોડ્યુલને "દૂર કરો":
મોડ્યુલ: y=x-1, x>0 અને y=-x+1 x<0
y=-x+1 x>0 y=x-1 x<0
3. અમે ગ્રાફ બનાવીએ છીએ
2.2.3.2.સપ્રમાણતા પદ્ધતિ
1. y=|x|-1 y=x-1, સમપ્રમાણતા
2. આલેખના ભાગની એબ્સીસા અક્ષ વિશે સપ્રમાણતા, જ્યાં x-1<0
નિષ્કર્ષ: સમપ્રમાણતા પદ્ધતિ વધુ તર્કસંગત છે.
2.2.4. ચાલો કોષ્ટકમાં પરિણામોના વિશ્લેષણનો સારાંશ આપીએ:
જ્ઞાન અને કૌશલ્ય
ખામીઓ
એ-પ્રાયોરી
મોડ્યુલ વ્યાખ્યા
જાણો: સીધી રેખાઓ પરના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ કેવી રીતે નક્કી થાય છે
અસમાનતાનો ઉપયોગ કરીને રેખાના ભાગને ઓળખવામાં સક્ષમ બનો
વિશાળ ઉકેલો
મોટી માત્રામાં જ્ઞાનનો ઉપયોગ
મોડ્યુલને "દૂર" કરતી વખતે, ભૂલો થઈ શકે છે
સમપ્રમાણતા પદ્ધતિ
ફંક્શન ટ્રાન્સફોર્મેશનને જાણો અને લાગુ કરવામાં સક્ષમ બનો
એબ્સીસા અક્ષની આસપાસ સમપ્રમાણતા બનાવો
ગ્રાફ કન્વર્ઝન એલ્ગોરિધમ્સનું જ્ઞાન
અંતરાલ પદ્ધતિ
મોડ્યુલસ શૂન્ય શોધો
અંતરાલ અને અર્ધ-અંતરો વ્યાખ્યાયિત કરો
મોડ્યુલો વિસ્તૃત કરો
મોડ્યુલોની ગણતરી કરો
સમાન શરતો આપો
તેમના કોઓર્ડિનેટ્સના આધારે પોઈન્ટ બનાવવામાં સક્ષમ બનો
સીધી રેખાઓ બનાવો
વિશાળ ઉકેલો
શૂન્યને દૂર કરતી વખતે ઘણી બધી ગણતરીઓ અને પરિવર્તનો
ઘણો સમય લો
અંતરાલ અને અર્ધ-અંતરોની સાચી વ્યાખ્યા
શૂન્ય વિસ્તાર વિસ્તરણ પદ્ધતિ
મોડ્યુલસ શૂન્ય શોધો
શૂન્યનું ક્ષેત્રફળ વિસ્તારવામાં સમર્થ થાઓ
આ બિંદુઓ પર મોડ્યુલીની ગણતરી કરવામાં સક્ષમ બનો
તેમના કોઓર્ડિનેટ્સના આધારે પોઈન્ટ બનાવવામાં સક્ષમ બનો
ગણતરીમાં ભૂલોને મંજૂરી આપવી
કાર્ય પરિવર્તન પદ્ધતિ
કન્વર્ઝન અલ્ગોરિધમ જાણો
તેમના કોઓર્ડિનેટ્સના આધારે પોઈન્ટ બનાવવામાં સક્ષમ બનો
પોઈન્ટના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી કરવામાં સમર્થ થાઓ
કન્વર્ઝન અલ્ગોરિધમ લાગુ કરવામાં સક્ષમ બનો
ગ્રાફ કન્વર્ઝન એલ્ગોરિધમ્સનું જ્ઞાન
નિષ્કર્ષ: કોષ્ટકનું વિશ્લેષણ કરીને, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે શૂન્ય વિસ્તારનું સમપ્રમાણતા પદ્ધતિ અને વિસ્તરણ સૌથી વધુ તર્કસંગત છે, કારણ કે બાંધકામના ઓછામાં ઓછા સંખ્યાના પગલાઓ શામેલ છે, જેનો અર્થ છે કે તેઓ સમય બચાવે છે.
2.3મોડ્યુલસ અને પેરામીટર સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટે તર્કસંગત ગ્રાફિંગ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ
2.3.1. સમીકરણ ઉકેલો: 
અમે y= બનાવીએ છીએ અને y=0.5's
2.વિસ્તૃત વિસ્તાર: -1.2
3.(0;-1), (1;1), (-1;-1) (2;1)
4. સેગમેન્ટ્સ અને કિરણો દોરો
2.3.2. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા 2009 a ના બધા મૂલ્યો શોધો, જેમાંથી દરેક માટે સમીકરણ , બરાબર 1 root.a = 7 ધરાવે છે. કરેલા કાર્ય દરમિયાન, અમે આલેખ બાંધવા માટેની વિવિધ પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ અને વિશ્લેષણ કરવામાં સક્ષમ હતા. ગ્રાફિંગ પદ્ધતિઓના વિશ્લેષણ અને સરખામણીના પરિણામે, નીચેના તારણો પ્રાપ્ત થયા:
બીજગણિત સમસ્યાનો ભાષામાં અનુવાદ જીરફીકોવ તમને બોજારૂપ નિર્ણયો ટાળવા દે છે;
મોડ્યુલસ અને પરિમાણ ધરાવતા સમીકરણોને ઉકેલતી વખતે, ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ વધુ દ્રશ્ય અને પ્રમાણમાં સરળ છે;
જ્યારે 2 મોડ્યુલો અને "મેટ્રિઓશ્કા" ધરાવતા આલેખ બનાવતા હોય, ત્યારે સપ્રમાણતા પદ્ધતિ વધુ વ્યવહારુ હોય છે;
સમીકરણો ઉકેલવાની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ અંદાજિત હોવા છતાં, કારણ કે ચોકસાઈ પસંદ કરેલ એકમ સેગમેન્ટ, પેન્સિલની જાડાઈ, લીટીઓ કયા ખૂણા પર છેદે છે વગેરે પર આધાર રાખે છે, પરંતુ આ પદ્ધતિ તમને પરિમાણ સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટે સમીકરણોના મૂળની સંખ્યાનો અંદાજ કાઢવા દે છે.
યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામિનેશન અને સ્ટેટ એક્ઝામિનેશન માટેના કેટલાક સૌથી લોકપ્રિય કાર્યો એ મોડ્યુલસ સાથેના સમીકરણો છે તે ધ્યાનમાં લેતા, મારું મુખ્ય પરિણામ એ છે કે હું મોડ્યુલસ અને પેરામીટર સાથેના સમીકરણોને ગ્રાફિકલી ઉકેલી શકું છું.
ગ્રંથસૂચિ
1.ડેન્કોવા I. "ગણિતમાં પ્રી-પ્રોફાઇલ તૈયારી", મોસ્કો, 2006.
2. ગણિતમાં અભ્યાસેતર કાર્ય. અલ્ખોવા ઝેડ.એન., મેકેવા એ.વી., સારાટોવ: લિસિયમ, 2003.
3.ગણિત. Ant L.Ya. દ્વારા સંપાદિત પાઠ્યપુસ્તક, મોસ્કો બ્રિજ, 1994.
4. ગણિત. ગ્રેડ 8-9: વૈકલ્પિક અભ્યાસક્રમોનો સંગ્રહ. અંક-2 લેખક-કમ્પાઈલર: M.E. કોઝિના, વોલ્ગોગ્રાડ: શિક્ષક, 2007
5. યસ્ત્રેબિનેત્સ્કી જી.એ. પરિમાણો સાથે સમસ્યાઓ. એમ, 2006
