- ટ્રેપેઝોઇડના કર્ણના મધ્યબિંદુઓને જોડતો સેગમેન્ટ પાયાના તફાવતના અડધા સમાન છે
- ટ્રેપેઝોઇડના પાયા દ્વારા રચાયેલા ત્રિકોણ અને તેમના આંતરછેદના બિંદુ સુધીના કર્ણના ભાગો સમાન છે
- ટ્રેપેઝોઇડના કર્ણના ભાગો દ્વારા રચાયેલા ત્રિકોણ, જેની બાજુઓ ટ્રેપેઝોઇડની બાજુની બાજુઓ પર સ્થિત છે - કદમાં સમાન (સમાન ક્ષેત્ર ધરાવે છે)
- જો તમે ટ્રેપેઝોઇડની બાજુઓને નાના પાયા તરફ લંબાવશો, તો તે પાયાના મધ્યબિંદુઓને જોડતી સીધી રેખા સાથે એક બિંદુએ છેદે છે.
- ટ્રેપેઝોઇડના પાયાને જોડતો અને ટ્રેપેઝોઇડના કર્ણના આંતરછેદના બિંદુમાંથી પસાર થતો એક સેગમેન્ટ આ બિંદુ દ્વારા ટ્રેપેઝોઇડના પાયાની લંબાઈના ગુણોત્તરના પ્રમાણમાં વિભાજિત થાય છે.
- ટ્રેપેઝોઇડના પાયાની સમાંતર અને કર્ણના આંતરછેદના બિંદુ દ્વારા દોરવામાં આવેલ એક સેગમેન્ટ આ બિંદુ દ્વારા અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલું છે, અને તેની લંબાઈ 2ab/(a + b) ની બરાબર છે, જ્યાં a અને b એ પાયા છે. ટ્રેપેઝોઇડ
ટ્રેપેઝોઇડના કર્ણના મધ્યબિંદુઓને જોડતા સેગમેન્ટના ગુણધર્મો
ચાલો ટ્રેપેઝોઇડ ABCD ના કર્ણના મધ્યબિંદુઓને જોડીએ, જેના પરિણામે આપણી પાસે LM સેગમેન્ટ હશે.
ટ્રેપેઝોઇડના કર્ણના મધ્યબિંદુઓને જોડતો સેગમેન્ટ ટ્રેપેઝોઇડની મધ્યરેખા પર આવેલું છે.
આ સેગમેન્ટ ટ્રેપેઝોઇડના પાયાની સમાંતર.
ટ્રેપેઝોઇડના કર્ણના મધ્યબિંદુઓને જોડતા સેગમેન્ટની લંબાઈ તેના પાયાના તફાવતના અડધા જેટલી છે.
LM = (AD - BC)/2
અથવા
LM = (a-b)/2
ટ્રેપેઝોઇડના કર્ણ દ્વારા રચાયેલા ત્રિકોણના ગુણધર્મો
ટ્રેપેઝોઇડના પાયા અને ટ્રેપેઝોઇડના કર્ણના આંતરછેદના બિંદુ દ્વારા બનેલા ત્રિકોણ - સમાન છે.
ત્રિકોણ BOC અને AOD સમાન છે. ખૂણા BOC અને AOD વર્ટિકલ હોવાથી, તેઓ સમાન છે.
ખૂણાઓ OCB અને OAD એ આંતરિક ખૂણાઓ છે જે સમાંતર રેખાઓ AD અને BC (ટ્રેપેઝોઈડના પાયા એકબીજાને સમાંતર હોય છે) અને સીકન્ટ રેખા AC સાથે ક્રોસવાઇઝ સ્થિત હોય છે, તેથી તેઓ સમાન છે.
OBC અને ODA સમાન કારણોસર સમાન છે (આંતરિક ક્રોસવાઇઝ).
એક ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણા બીજા ત્રિકોણના અનુરૂપ ખૂણો સમાન હોવાથી, આ ત્રિકોણ સમાન છે.
આમાંથી શું અનુસરે છે?
ભૂમિતિમાં સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે, ત્રિકોણની સમાનતાનો ઉપયોગ નીચે પ્રમાણે કરવામાં આવે છે. જો આપણે સમાન ત્રિકોણના બે અનુરૂપ તત્વોની લંબાઈ જાણીએ, તો આપણે સમાનતા ગુણાંક શોધીએ છીએ (આપણે એકને બીજાથી વિભાજીત કરીએ છીએ). જ્યાંથી અન્ય તમામ ઘટકોની લંબાઈ બરાબર સમાન મૂલ્ય દ્વારા એકબીજા સાથે સંબંધિત છે.
ટ્રેપેઝોઇડની બાજુની બાજુ અને કર્ણ પર પડેલા ત્રિકોણના ગુણધર્મો
ટ્રેપેઝોઇડ એબી અને સીડીની બાજુની બાજુઓ પર આવેલા બે ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લો. આ AOB અને COD ત્રિકોણ છે. આ ત્રિકોણની વ્યક્તિગત બાજુઓના કદ સંપૂર્ણપણે અલગ હોઈ શકે છે તે હકીકત હોવા છતાં, પરંતુ બાજુની બાજુઓ દ્વારા રચાયેલા ત્રિકોણના વિસ્તારો અને ટ્રેપેઝોઇડના કર્ણના આંતરછેદના બિંદુ સમાન છે, એટલે કે, ત્રિકોણ કદમાં સમાન છે.
જો આપણે ટ્રેપેઝોઇડની બાજુઓને નાના પાયા તરફ લંબાવીએ, તો બાજુઓના આંતરછેદનું બિંદુ હશે પાયાની મધ્યમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા સાથે સુસંગત.
આમ, કોઈપણ ટ્રેપેઝોઇડને ત્રિકોણમાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે. આ કિસ્સામાં:
- વિસ્તૃત બાજુઓના આંતરછેદના બિંદુ પર સામાન્ય શિરોબિંદુ સાથે ટ્રેપેઝોઇડના પાયા દ્વારા રચાયેલા ત્રિકોણ સમાન છે
- ટ્રેપેઝોઇડના પાયાના મધ્યબિંદુઓને જોડતી સીધી રેખા, તે જ સમયે, બાંધેલા ત્રિકોણનો મધ્યક છે.
ટ્રેપેઝોઇડના પાયાને જોડતા સેગમેન્ટના ગુણધર્મો
જો આપણે એક સેગમેન્ટ દોરીએ જેનો અંત ટ્રેપેઝોઇડના પાયા પર આવેલો છે, જે ટ્રેપેઝોઇડ (KN) ના કર્ણના આંતરછેદના બિંદુ પર આવેલો છે, તો તેના ઘટક ભાગોનો ગુણોત્તર પાયાની બાજુથી આંતરછેદના બિંદુ સુધી કર્ણ (KO/ON) ટ્રેપેઝોઇડના પાયાના ગુણોત્તર સમાન હશે(BC/AD).
KO/ON = BC/AD
આ ગુણધર્મ અનુરૂપ ત્રિકોણની સમાનતાને અનુસરે છે (ઉપર જુઓ).
ટ્રેપેઝોઇડના પાયાના સમાંતર સેગમેન્ટના ગુણધર્મો
જો આપણે ટ્રેપેઝોઈડના પાયાની સમાંતર એક સેગમેન્ટ દોરીએ અને ટ્રેપેઝોઈડના કર્ણના આંતરછેદના બિંદુમાંથી પસાર થઈએ, તો તેમાં નીચેના ગુણધર્મો હશે:
- નિર્દિષ્ટ અંતર (KM) ટ્રેપેઝોઇડના કર્ણના આંતરછેદ બિંદુ દ્વારા દ્વિભાજિત
- વિભાગ લંબાઈટ્રેપેઝોઇડના કર્ણના આંતરછેદના બિંદુમાંથી પસાર થવું અને પાયાની સમાંતર સમાન છે KM = 2ab/(a + b)
ટ્રેપેઝોઇડના કર્ણ શોધવા માટેના સૂત્રો
a, b- ટ્રેપેઝોઇડ પાયા
c, d- ટ્રેપેઝોઇડની બાજુઓ
d1 d2- ટ્રેપેઝોઇડના કર્ણ
α β - ટ્રેપેઝોઇડના મોટા પાયા સાથેના ખૂણા
પાયા પરના પાયા, બાજુઓ અને ખૂણાઓ દ્વારા ટ્રેપેઝોઇડના કર્ણ શોધવા માટેના સૂત્રો
સૂત્રોનું પ્રથમ જૂથ (1-3) ટ્રેપેઝોઇડ કર્ણના મુખ્ય ગુણધર્મોમાંના એકને પ્રતિબિંબિત કરે છે:
1. ટ્રેપેઝોઇડના કર્ણના ચોરસનો સરવાળો બાજુઓના ચોરસના સરવાળા વત્તા તેના પાયાના ગુણાંકના બમણા જેટલો છે. ટ્રેપેઝોઇડ કર્ણની આ મિલકત એક અલગ પ્રમેય તરીકે સાબિત થઈ શકે છે
2 . આ ફોર્મ્યુલા પાછલા ફોર્મ્યુલાને બદલીને મેળવવામાં આવે છે. બીજા કર્ણના ચોરસને સમાન ચિહ્ન દ્વારા ફેંકવામાં આવે છે, ત્યારબાદ વર્ગમૂળ અભિવ્યક્તિની ડાબી અને જમણી બાજુઓમાંથી કાઢવામાં આવે છે.
3 . ટ્રેપેઝોઇડના કર્ણની લંબાઈ શોધવા માટેનું આ સૂત્ર અગાઉના એક જેવું જ છે, જેમાં તફાવત એ છે કે અભિવ્યક્તિની ડાબી બાજુએ બીજો કર્ણ બાકી છે.
સૂત્રોનું આગલું જૂથ (4-5) અર્થમાં સમાન છે અને સમાન સંબંધ વ્યક્ત કરે છે.
સૂત્રોનું જૂથ (6-7) તમને ટ્રેપેઝોઇડનો કર્ણ શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે જો ટ્રેપેઝોઇડનો મોટો આધાર, એક બાજુની બાજુ અને આધાર પરનો કોણ જાણીતો હોય.
ઊંચાઈ દ્વારા ટ્રેપેઝોઈડના કર્ણ શોધવા માટેના સૂત્રો
કાર્ય.
ટ્રેપેઝોઈડ ABCD (AD | | BC) ના કર્ણ O બિંદુ પર છેદે છે. જો આધાર AD = 24 cm, લંબાઈ AO = 9 cm, લંબાઈ OS = 6 cm હોય તો ટ્રેપેઝોઈડના આધાર BC ની લંબાઈ શોધો.
ઉકેલ.
આ સમસ્યાનો ઉકેલ વૈચારિક રીતે અગાઉની સમસ્યાઓ જેવો જ છે.
ત્રિકોણ AOD અને BOC ત્રણ ખૂણામાં સમાન છે - AOD અને BOC વર્ટિકલ છે, અને બાકીના ખૂણાઓ જોડીમાં સમાન છે, કારણ કે તે એક રેખા અને બે સમાંતર રેખાઓના આંતરછેદ દ્વારા રચાય છે.
ત્રિકોણ સમાન હોવાથી, તેમના તમામ ભૌમિતિક પરિમાણ એકબીજા સાથે સંબંધિત છે, જેમ કે AO અને OC ના ભૌમિતિક પરિમાણો સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર અમને જાણીતા છે. એટલે કે
AO/OC = AD/BC
9/6 = 24/BC
BC = 24 * 6 / 9 = 16
જવાબ આપો: 16 સે.મી
કાર્ય .
ટ્રેપેઝોઇડ એબીસીડીમાં તે જાણીતું છે કે AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર શોધો. 
ઉકેલ.
નાના આધાર B અને C ના શિરોબિંદુઓમાંથી ટ્રેપેઝોઈડની ઊંચાઈ શોધવા માટે, અમે બે ઊંચાઈને મોટા પાયા સુધી ઘટાડીએ છીએ. ટ્રેપેઝોઇડ અસમાન હોવાથી, આપણે લંબાઈ AM = a, લંબાઈ KD = b ( ફોર્મ્યુલામાં નોટેશન સાથે મૂંઝવણમાં ન આવવા માટેટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર શોધવો). ટ્રેપેઝોઈડના પાયા સમાંતર હોવાથી, અને અમે મોટા પાયા પર કાટખૂણે બે ઊંચાઈ છોડી દીધી છે, તો MBCK એક લંબચોરસ છે.
અર્થ
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b
ત્રિકોણ DBM અને ACK લંબચોરસ છે, તેથી તેમના જમણા ખૂણો ટ્રેપેઝોઇડની ઊંચાઈ દ્વારા રચાય છે. ચાલો ટ્રેપેઝોઈડની ઊંચાઈ h દ્વારા દર્શાવીએ. પછી, પાયથાગોરિયન પ્રમેય દ્વારા
H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
અને
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2
ચાલો ધ્યાનમાં લઈએ કે a = 16 - b, પછી પ્રથમ સમીકરણમાં
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2
ચાલો ઊંચાઈના ચોરસના મૂલ્યને પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલા બીજા સમીકરણમાં બદલીએ. અમને મળે છે:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
તો KD = 12
જ્યાં
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5
ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર તેની ઊંચાઈ અને પાયાના અડધા સરવાળા દ્વારા શોધો
, જ્યાં a b - ટ્રેપેઝોઈડનો આધાર, h - ટ્રેપેઝોઈડની ઊંચાઈ
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 સેમી 2
જવાબ આપો: ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર 80 સેમી 2 છે.
ટ્રેપેઝોઇડ એ ચતુષ્કોણનો એક વિશિષ્ટ કેસ છે જેમાં બાજુઓની એક જોડી સમાંતર હોય છે. "ટ્રેપેઝોઇડ" શબ્દ ગ્રીક શબ્દ τράπεζα પરથી આવ્યો છે, જેનો અર્થ થાય છે "ટેબલ", "ટેબલ". આ લેખમાં આપણે ટ્રેપેઝોઇડના પ્રકારો અને તેના ગુણધર્મો જોઈશું. વધુમાં, અમે આના વ્યક્તિગત ઘટકોની ગણતરી કેવી રીતે કરવી તે શોધીશું ઉદાહરણ તરીકે, સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડનો કર્ણ, કેન્દ્ર રેખા, વિસ્તાર, વગેરે. સામગ્રી પ્રાથમિક લોકપ્રિય ભૂમિતિની શૈલીમાં રજૂ કરવામાં આવી છે, એટલે કે સરળતાથી સુલભ સ્વરૂપમાં. .
સામાન્ય માહિતી
પ્રથમ, ચાલો જોઈએ કે ચતુષ્કોણ શું છે. આ આંકડો ચાર બાજુઓ અને ચાર શિરોબિંદુઓ ધરાવતા બહુકોણનો વિશેષ કેસ છે. ચતુર્ભુજના બે શિરોબિંદુઓ જે અડીને ન હોય તેને વિરોધી કહેવામાં આવે છે. આ જ બે બિન-સંલગ્ન બાજુઓ માટે કહી શકાય. ચતુષ્કોણના મુખ્ય પ્રકારો સમાંતર, લંબચોરસ, સમચતુર્ભુજ, ચોરસ, ટ્રેપેઝોઇડ અને ડેલ્ટોઇડ છે.
તો ચાલો ટ્રેપેઝોઈડ પર પાછા જઈએ. જેમ આપણે પહેલેથી જ કહ્યું છે, આ આંકડો બે સમાંતર બાજુઓ ધરાવે છે. તેમને પાયા કહેવામાં આવે છે. અન્ય બે (બિન-સમાંતર) બાજુની બાજુઓ છે. પરીક્ષાઓ અને વિવિધ પરીક્ષણોની સામગ્રીમાં, તમે ઘણીવાર ટ્રેપેઝોઇડ્સને લગતી સમસ્યાઓ શોધી શકો છો, જેના ઉકેલ માટે વારંવાર વિદ્યાર્થીને પ્રોગ્રામમાં પ્રદાન કરેલ જ્ઞાન હોવું જરૂરી છે. શાળા ભૂમિતિનો અભ્યાસક્રમ વિદ્યાર્થીઓને ખૂણા અને કર્ણના ગુણધર્મો તેમજ સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડની મધ્ય રેખાનો પરિચય કરાવે છે. પરંતુ, આ ઉપરાંત, ઉલ્લેખિત ભૌમિતિક આકૃતિમાં અન્ય સુવિધાઓ છે. પરંતુ તેમના વિશે થોડી વાર પછી વધુ...
ટ્રેપેઝોઇડના પ્રકાર
આ આકૃતિના ઘણા પ્રકારો છે. જો કે, મોટેભાગે તેમાંથી બેને ધ્યાનમાં લેવાનો રિવાજ છે - સમદ્વિબાજુ અને લંબચોરસ.
1. લંબચોરસ ટ્રેપેઝોઇડ એ એક આકૃતિ છે જેમાં એક બાજુ પાયા પર લંબ છે. તેના બે ખૂણા હંમેશા નેવું ડિગ્રી સમાન હોય છે.
2. સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડ એક ભૌમિતિક આકૃતિ છે જેની બાજુઓ એકબીજાની સમાન હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે પાયા પરના ખૂણાઓ પણ જોડીમાં સમાન છે.
ટ્રેપેઝોઇડના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવા માટેની પદ્ધતિના મુખ્ય સિદ્ધાંતો
મુખ્ય સિદ્ધાંતમાં કહેવાતા કાર્ય અભિગમનો ઉપયોગ શામેલ છે. વાસ્તવમાં, ભૂમિતિના સૈદ્ધાંતિક અભ્યાસક્રમમાં આ આકૃતિના નવા ગુણધર્મો દાખલ કરવાની કોઈ જરૂર નથી. તેઓ વિવિધ સમસ્યાઓ (પ્રાધાન્યમાં સિસ્ટમ મુદ્દાઓ) ઉકેલવાની પ્રક્રિયામાં શોધી અને ઘડવામાં આવી શકે છે. તે જ સમયે, તે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે કે શિક્ષક જાણે છે કે શૈક્ષણિક પ્રક્રિયા દરમિયાન એક અથવા બીજા સમયે વિદ્યાર્થીઓને કયા કાર્યો સોંપવાની જરૂર છે. તદુપરાંત, ટ્રેપેઝોઇડની દરેક મિલકતને કાર્ય સિસ્ટમમાં મુખ્ય કાર્ય તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.
બીજો સિદ્ધાંત એ ટ્રેપેઝોઇડના "નોંધપાત્ર" ગુણધર્મોના અભ્યાસની કહેવાતી સર્પાકાર સંસ્થા છે. આ આપેલ ભૌમિતિક આકૃતિની વ્યક્તિગત લાક્ષણિકતાઓમાં શીખવાની પ્રક્રિયામાં વળતર સૂચવે છે. આ વિદ્યાર્થીઓ માટે તેમને યાદ રાખવાનું સરળ બનાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાર બિંદુઓની મિલકત. સમાનતાનો અભ્યાસ કરતી વખતે અને ત્યારબાદ વેક્ટરનો ઉપયોગ કરતી વખતે તે સાબિત થઈ શકે છે. અને આકૃતિની બાજુની બાજુઓને અડીને આવેલા ત્રિકોણની સમાનતા એ જ સીધી રેખા પર આવેલી બાજુઓ પર દોરેલા સમાન ઊંચાઈવાળા ત્રિકોણના ગુણધર્મોને લાગુ કરીને જ નહીં, પણ સૂત્ર S = 1/2(નો ઉપયોગ કરીને પણ સાબિત કરી શકાય છે. ab*sinα). આ ઉપરાંત, તમે અંકિત ટ્રેપેઝોઇડ પર કામ કરી શકો છો અથવા અંકિત ટ્રેપેઝોઇડ, વગેરે પર કાટકોણ ત્રિકોણ પર કામ કરી શકો છો.
શાળાના અભ્યાસક્રમની સામગ્રીમાં ભૌમિતિક આકૃતિની "અસાધારણ" વિશેષતાઓનો ઉપયોગ તેમને શીખવવા માટેની કાર્ય-આધારિત તકનીક છે. અન્ય વિષયોમાંથી પસાર થતી વખતે અભ્યાસ કરવામાં આવતી મિલકતોનો સતત ઉલ્લેખ કરવાથી વિદ્યાર્થીઓ ટ્રેપેઝોઇડની ઊંડી સમજ મેળવી શકે છે અને સોંપેલ સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં સફળતાની ખાતરી આપે છે. તો, ચાલો આ અદ્ભુત આકૃતિનો અભ્યાસ શરૂ કરીએ.
સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડના તત્વો અને ગુણધર્મો
આપણે પહેલેથી જ નોંધ્યું છે તેમ, આ ભૌમિતિક આકૃતિની સમાન બાજુઓ છે. તેને યોગ્ય ટ્રેપેઝોઇડ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. તે શા માટે આટલું નોંધપાત્ર છે અને તેને આવું નામ કેમ મળ્યું? આ આકૃતિની ખાસિયત એ છે કે પાયા પર માત્ર બાજુઓ અને ખૂણાઓ સમાન નથી, પણ કર્ણ પણ છે. વધુમાં, સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડના ખૂણાઓનો સરવાળો 360 ડિગ્રી છે. પરંતુ તે બધુ જ નથી! બધા જાણીતા ટ્રેપેઝોઇડ્સમાંથી, માત્ર એક સમદ્વિબાજુને વર્તુળ તરીકે વર્ણવી શકાય છે. આ એ હકીકતને કારણે છે કે આ આકૃતિના વિરોધી ખૂણાઓનો સરવાળો 180 ડિગ્રી જેટલો છે, અને ફક્ત આ સ્થિતિમાં જ કોઈ ચતુર્ભુજની આસપાસના વર્તુળનું વર્ણન કરી શકે છે. વિચારણા હેઠળની ભૌમિતિક આકૃતિની આગળની મિલકત એ છે કે આધારના શિરોબિંદુથી વિરુદ્ધ શિરોબિંદુના પ્રક્ષેપણ સુધીની સીધી રેખા કે જેમાં આ આધાર હોય છે તે મધ્યરેખાની બરાબર હશે.
હવે ચાલો સમજીએ કે સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડના ખૂણાઓ કેવી રીતે શોધી શકાય. ચાલો આ સમસ્યાના ઉકેલ પર વિચાર કરીએ, જો આકૃતિની બાજુઓના પરિમાણો જાણીતા હોય.
ઉકેલ
સામાન્ય રીતે, ચતુર્ભુજ સામાન્ય રીતે A, B, C, D અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, જ્યાં BS અને AD એ પાયા છે. સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડમાં, બાજુઓ સમાન હોય છે. અમે ધારીશું કે તેમનું કદ X બરાબર છે, અને પાયાના કદ Y અને Z (અનુક્રમે નાના અને મોટા) ની બરાબર છે. ગણતરી હાથ ધરવા માટે, કોણ B થી H ઊંચાઈ દોરવી જરૂરી છે. પરિણામ એ કાટકોણ ત્રિકોણ ABN છે, જ્યાં AB એ કર્ણ છે, અને BN અને AN પગ છે. અમે પગ AN ના કદની ગણતરી કરીએ છીએ: અમે મોટા પાયામાંથી નાનાને બાદ કરીએ છીએ, અને પરિણામને 2 વડે ભાગીએ છીએ. અમે તેને સૂત્રના સ્વરૂપમાં લખીએ છીએ: (Z-Y)/2 = F. હવે, તીવ્રની ગણતરી કરવા માટે ત્રિકોણનો કોણ, આપણે cos ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અમને નીચેની એન્ટ્રી મળે છે: cos(β) = X/F. હવે આપણે કોણની ગણતરી કરીએ છીએ: β=આર્કોસ (X/F). આગળ, એક ખૂણો જાણીને, આપણે બીજો નક્કી કરી શકીએ છીએ, આ માટે આપણે પ્રાથમિક અંકગણિત કામગીરી કરીએ છીએ: 180 - β. બધા ખૂણા નિર્ધારિત છે.
આ સમસ્યાનો બીજો ઉકેલ છે. પ્રથમ, અમે તેને ખૂણાથી ઊંચાઈ H સુધી નીચે કરીએ છીએ. અમે લેગ BN ની કિંમતની ગણતરી કરીએ છીએ. આપણે જાણીએ છીએ કે કાટકોણ ત્રિકોણના કર્ણનો વર્ગ પગના ચોરસના સરવાળા જેટલો હોય છે. આપણને મળે છે: BN = √(X2-F2). આગળ આપણે ત્રિકોણમિતિ ફંક્શન tg નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પરિણામે, અમારી પાસે છે: β = આર્ક્ટાન (BN/F). એક તીવ્ર ખૂણો મળી આવ્યો છે. આગળ, અમે તેને પ્રથમ પદ્ધતિની જેમ જ વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.
સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડના કર્ણની મિલકત
પ્રથમ, ચાલો ચાર નિયમો લખીએ. જો સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડમાં કર્ણ કાટખૂણે હોય, તો પછી:
આકૃતિની ઊંચાઈ બે વડે વિભાજિત પાયાના સરવાળા જેટલી હશે;
તેની ઊંચાઈ અને મધ્ય રેખા સમાન છે;
વર્તુળનું કેન્દ્ર તે બિંદુ છે કે જેના પર;
જો બાજુની બાજુને સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુ દ્વારા H અને M માં વિભાજિત કરવામાં આવે, તો તે આ વિભાગોના ઉત્પાદનના વર્ગમૂળની બરાબર છે;
સંપર્કના બિંદુઓ દ્વારા રચાયેલ ચતુર્ભુજ, ટ્રેપેઝોઇડનું શિરોબિંદુ અને અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર એક ચોરસ છે જેની બાજુ ત્રિજ્યા જેટલી છે;
આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ પાયાના ગુણાંક અને પાયાના અડધા સરવાળાના ઉત્પાદન અને તેની ઊંચાઈ જેટલું છે.
સમાન ટ્રેપેઝોઇડ્સ
આ વિષયના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવા માટે આ વિષય ખૂબ જ અનુકૂળ છે ઉદાહરણ તરીકે, કર્ણ ટ્રેપેઝોઇડને ચાર ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે, અને પાયાને અડીને આવેલા સમાન હોય છે, અને બાજુઓને અડીને આવેલા કદમાં સમાન હોય છે. આ વિધાનને ત્રિકોણની મિલકત કહી શકાય જેમાં ટ્રેપેઝોઇડ તેના કર્ણ દ્વારા વિભાજિત થાય છે. આ નિવેદનનો પ્રથમ ભાગ બે ખૂણા પર સમાનતાના સંકેત દ્વારા સાબિત થાય છે. બીજા ભાગને સાબિત કરવા માટે, નીચે આપેલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો વધુ સારું છે.
પ્રમેયનો પુરાવો
અમે સ્વીકારીએ છીએ કે આકૃતિ ABSD (AD અને BS એ ટ્રેપેઝોઇડના પાયા છે) VD અને AC દ્વારા વિભાજિત છે. તેમના આંતરછેદનું બિંદુ O છે. આપણને ચાર ત્રિકોણ મળે છે: AOS - નીચલા પાયા પર, BOS - ઉપલા આધાર પર, ABO અને SOD બાજુઓ પર. ત્રિકોણ SOD અને BOS ની સામાન્ય ઊંચાઈ હોય છે જો સેગમેન્ટ્સ BO અને OD તેમના પાયા હોય. અમે શોધીએ છીએ કે તેમના ક્ષેત્રો (P) વચ્ચેનો તફાવત આ વિભાગો વચ્ચેના તફાવત જેટલો છે: PBOS/PSOD = BO/OD = K. તેથી, PSOD = PBOS/K. એ જ રીતે, BOS અને AOB ત્રિકોણની ઊંચાઈ સામાન્ય છે. અમે સેગમેન્ટ્સ CO અને OA ને તેમના પાયા તરીકે લઈએ છીએ. અમને PBOS/PAOB = CO/OA = K અને PAOB = PBOS/K મળે છે. તે આના પરથી અનુસરે છે કે PSOD = PAOB.
સામગ્રીને એકીકૃત કરવા માટે, વિદ્યાર્થીઓને પરિણામી ત્રિકોણના ક્ષેત્રો વચ્ચેનું જોડાણ શોધવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે જેમાં નીચેની સમસ્યા હલ કરીને ટ્રેપેઝોઇડને તેના કર્ણ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે. તે જાણીતું છે કે ત્રિકોણ બીઓએસ અને એઓડી સમાન ક્ષેત્રો ધરાવે છે, ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર શોધવો જરૂરી છે. PSOD = PAOB હોવાથી, તેનો અર્થ PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD થાય છે. ત્રિકોણ BOS અને AOD ની સમાનતા પરથી તે અનુસરે છે કે BO/OD = √(PBOS/PAOD). તેથી, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). અમને PSOD = √(PBOS*PAOD) મળે છે. પછી PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.
સમાનતાના ગુણધર્મો
આ વિષયને વિકસાવવાનું ચાલુ રાખીને, અમે ટ્રેપેઝોઇડ્સની અન્ય રસપ્રદ લાક્ષણિકતાઓ સાબિત કરી શકીએ છીએ. આમ, સમાનતાનો ઉપયોગ કરીને, કોઈ પણ સેગમેન્ટની મિલકતને સાબિત કરી શકે છે જે આ ભૌમિતિક આકૃતિના કર્ણના આંતરછેદ દ્વારા રચાયેલા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે, જે પાયાની સમાંતર છે. આ કરવા માટે, ચાલો નીચેની સમસ્યાને હલ કરીએ: આપણે બિંદુ Oમાંથી પસાર થતા RK સેગમેન્ટની લંબાઈ શોધવાની જરૂર છે. AOD અને BOS ત્રિકોણની સમાનતા પરથી તે AO/OS = AD/BSને અનુસરે છે. AOP અને ASB ત્રિકોણની સમાનતા પરથી તે અનુસરે છે કે AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). અહીંથી આપણને તે RO=BS*BP/(BS+BP) મળે છે. એ જ રીતે, DOC અને DBS ત્રિકોણની સમાનતા પરથી, તે OK = BS*AD/(BS+AD) ને અનુસરે છે. અહીંથી આપણને તે RO=OK અને RK=2*BS*AD/(BS+AD) મળે છે. કર્ણના આંતરછેદના બિંદુમાંથી પસાર થતો એક ભાગ, પાયાની સમાંતર અને બે બાજુની બાજુઓને જોડતો, આંતરછેદના બિંદુ દ્વારા અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલો છે. તેની લંબાઈ આકૃતિના પાયાના હાર્મોનિક સરેરાશ છે.
ટ્રેપેઝોઇડની નીચેની મિલકતને ધ્યાનમાં લો, જેને ચાર બિંદુઓની મિલકત કહેવામાં આવે છે. કર્ણ (O) ના આંતરછેદ બિંદુઓ, બાજુઓ (E) ના સાતત્યનું આંતરછેદ, તેમજ પાયાના મધ્યબિંદુઓ (T અને F) હંમેશા સમાન રેખા પર આવેલા હોય છે. આ સમાનતા પદ્ધતિ દ્વારા સરળતાથી સાબિત કરી શકાય છે. પરિણામી ત્રિકોણ BES અને AED સમાન છે, અને તે દરેકમાં મધ્યક ET અને EJ શિરોબિંદુ કોણ E ને સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે. તેથી, બિંદુઓ E, T અને F સમાન સીધી રેખા પર આવેલા છે. તે જ રીતે, બિંદુઓ T, O, અને Zh સમાન સીધી રેખા પર સ્થિત છે આ બધું BOS અને AOD ત્રિકોણની સમાનતાને અનુસરે છે. અહીંથી આપણે તારણ કાઢીએ છીએ કે ચારેય બિંદુઓ - E, T, O અને F - એક જ સીધી રેખા પર આવેલા હશે.
સમાન ટ્રેપેઝોઇડ્સનો ઉપયોગ કરીને, તમે વિદ્યાર્થીઓને સેગમેન્ટ (LS) ની લંબાઈ શોધવા માટે કહી શકો છો જે આકૃતિને બે સમાન ભાગમાં વહેંચે છે. આ સેગમેન્ટ પાયાના સમાંતર હોવા જોઈએ. પરિણામી ટ્રેપેઝોઈડ ALFD અને LBSF સમાન હોવાથી, પછી BS/LF = LF/AD. તે LF=√(BS*AD)ને અનુસરે છે. અમે શોધી કાઢ્યું છે કે ટ્રેપેઝોઇડને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરતા સેગમેન્ટની લંબાઈ આકૃતિના પાયાની લંબાઈના ભૌમિતિક સરેરાશ જેટલી છે.
નીચેના સમાનતા ગુણધર્મને ધ્યાનમાં લો. તે એક સેગમેન્ટ પર આધારિત છે જે ટ્રેપેઝોઇડને બે સમાન આકૃતિઓમાં વિભાજિત કરે છે. અમે ધારીએ છીએ કે ટ્રેપેઝોઇડ ABSD એ સેગમેન્ટ EH દ્વારા બે સમાન ભાગમાં વહેંચાયેલું છે. શિરોબિંદુ B થી એક ઊંચાઈ અવગણવામાં આવે છે, જે સેગમેન્ટ EN દ્વારા બે ભાગોમાં વિભાજિત થાય છે - B1 અને B2. અમને મળે છે: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 અને PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. આગળ, અમે એક સિસ્ટમ બનાવીએ છીએ જેનું પ્રથમ સમીકરણ (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 અને બીજું (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2 છે. તે અનુસરે છે કે B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) અને BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). અમે શોધી કાઢ્યું છે કે ટ્રેપેઝોઇડને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરતા સેગમેન્ટની લંબાઈ પાયાની લંબાઈના મૂળ સરેરાશ ચોરસ જેટલી છે: √((BS2+AD2)/2).
સમાનતા તારણો
આમ, અમે સાબિત કર્યું છે કે:
1. ટ્રેપેઝોઈડની બાજુની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો સેગમેન્ટ AD અને BS ની સમાંતર છે અને BS અને AD (ટ્રેપેઝોઈડના પાયાની લંબાઈ) ના અંકગણિત સરેરાશ સમાન છે.
2. AD અને BSના સમાંતર કર્ણના આંતરછેદના બિંદુ Oમાંથી પસાર થતી રેખા AD અને BS (2*BS*AD/(BS+AD)) નંબરોના હાર્મોનિક સરેરાશ જેટલી હશે.
3. ટ્રેપેઝોઇડને સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરતા સેગમેન્ટમાં BS અને AD બેઝના ભૌમિતિક સરેરાશની લંબાઈ છે.
4. એક આકૃતિને બે સમાનમાં વિભાજીત કરતું તત્વ AD અને BS નંબરોના મૂળ સરેરાશ ચોરસની લંબાઈ ધરાવે છે.
સામગ્રીને એકીકૃત કરવા અને ધ્યાનમાં લેવાયેલા વિભાગો વચ્ચેના જોડાણને સમજવા માટે, વિદ્યાર્થીએ તેમને ચોક્કસ ટ્રેપેઝોઇડ માટે બનાવવાની જરૂર છે. તે આકૃતિના કર્ણના આંતરછેદ - બિંદુ O માંથી પસાર થતા મધ્ય રેખા અને સેગમેન્ટને સરળતાથી પ્રદર્શિત કરી શકે છે - પાયાની સમાંતર. પરંતુ ત્રીજો અને ચોથો ક્યાં સ્થિત હશે? આ જવાબ વિદ્યાર્થીને સરેરાશ મૂલ્યો વચ્ચેના ઇચ્છિત સંબંધની શોધ તરફ દોરી જશે.
ટ્રેપેઝોઇડના કર્ણના મધ્યબિંદુઓને જોડતો સેગમેન્ટ
આ આકૃતિની નીચેની મિલકતને ધ્યાનમાં લો. અમે ધારીએ છીએ કે MH સેગમેન્ટ પાયાની સમાંતર છે અને કર્ણને દ્વિભાજિત કરે છે. ચાલો આંતરછેદ બિંદુઓને Ш અને Ш કહીએ આ સેગમેન્ટ પાયાના અડધા તફાવત જેટલો હશે. ચાલો આને વધુ વિગતમાં જોઈએ. MS એ ABS ત્રિકોણની મધ્ય રેખા છે, તે BS/2 બરાબર છે. MSH એ ત્રિકોણ ABD ની મધ્ય રેખા છે, તે AD/2 બરાબર છે. પછી આપણને મળે છે કે ShShch = MSh-MSh, તેથી, ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.
ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર
ચાલો જોઈએ કે આપેલ ભૌમિતિક આકૃતિ માટે આ તત્વ કેવી રીતે નક્કી થાય છે. આ કરવા માટે, પાયાને વિરુદ્ધ દિશામાં લંબાવવું જરૂરી છે. તેનો અર્થ શું છે? તમારે નીચલા આધારને ઉપલા આધારમાં ઉમેરવાની જરૂર છે - કોઈપણ દિશામાં, ઉદાહરણ તરીકે, જમણી બાજુએ. અને અમે નીચલા એકને ઉપલા એકની લંબાઈથી ડાબી તરફ લંબાવીએ છીએ. આગળ, અમે તેમને ત્રાંસાથી જોડીએ છીએ. આકૃતિની મધ્યરેખા સાથે આ સેગમેન્ટના આંતરછેદનું બિંદુ એ ટ્રેપેઝોઇડના ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર છે.
અંકિત અને સંક્રમિત ટ્રેપેઝોઇડ્સ
ચાલો આવા આંકડાઓની વિશેષતાઓની સૂચિ બનાવીએ:
1. સમદ્વિબાજુ હોય તો જ વર્તુળમાં ટ્રેપેઝોઈડ અંકિત કરી શકાય છે.
2. વર્તુળની આસપાસ ટ્રેપેઝોઇડનું વર્ણન કરી શકાય છે, જો કે તેમના પાયાની લંબાઈનો સરવાળો બાજુઓની લંબાઈના સરવાળા જેટલો હોય.
વર્તુળના પરિણામો:
1. વર્ણવેલ ટ્રેપેઝોઇડની ઊંચાઈ હંમેશા બે ત્રિજ્યા જેટલી હોય છે.
2. વર્ણવેલ ટ્રેપેઝોઇડની બાજુ વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જમણા ખૂણા પર જોવા મળે છે.
પ્રથમ કોરોલરી સ્પષ્ટ છે, પરંતુ બીજાને સાબિત કરવા માટે તે સ્થાપિત કરવું જરૂરી છે કે કોણ SOD યોગ્ય છે, જે હકીકતમાં, મુશ્કેલ પણ નથી. પરંતુ આ ગુણધર્મનું જ્ઞાન તમને સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે કાટકોણ ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપશે.
હવે ચાલો વર્તુળમાં અંકિત સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડ માટેના આ પરિણામોનો ઉલ્લેખ કરીએ. આપણે શોધીએ છીએ કે ઊંચાઈ એ આકૃતિના પાયાનો ભૌમિતિક સરેરાશ છે: H=2R=√(BS*AD). ટ્રેપેઝોઇડ્સ (બે ઊંચાઈ દોરવાનો સિદ્ધાંત) ની સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની મૂળભૂત તકનીકની પ્રેક્ટિસ કરતી વખતે, વિદ્યાર્થીએ નીચેના કાર્યને હલ કરવું આવશ્યક છે. અમે ધારીએ છીએ કે BT એ સમદ્વિબાજુ આકૃતિ ABSD ની ઊંચાઈ છે. એટી અને ટીડી સેગમેન્ટ્સ શોધવા જરૂરી છે. ઉપર વર્ણવેલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આ કરવું મુશ્કેલ રહેશે નહીં.
હવે ચાલો સમજીએ કે સર્કક્રાઈબ ટ્રેપેઝોઈડના ક્ષેત્રફળનો ઉપયોગ કરીને વર્તુળની ત્રિજ્યા કેવી રીતે નક્કી કરવી. અમે શિરોબિંદુ B થી આધાર AD સુધીની ઊંચાઈને ઓછી કરીએ છીએ. વર્તુળ ટ્રેપેઝોઇડમાં લખેલું હોવાથી, પછી BS+AD = 2AB અથવા AB = (BS+AD)/2. ત્રિકોણ ABN પરથી આપણે sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD) શોધીએ છીએ. PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. આપણને PABSD = (BS+BP)*R મળે છે, તે R = PABSD/(BS+BP) ને અનુસરે છે.
ટ્રેપેઝોઇડની મધ્યરેખા માટેના તમામ સૂત્રો
હવે આ ભૌમિતિક આકૃતિના છેલ્લા તત્વ પર જવાનો સમય છે. ચાલો સમજીએ કે ટ્રેપેઝોઇડ (M) ની મધ્ય રેખા શું બરાબર છે:
1. પાયા દ્વારા: M = (A+B)/2.
2. ઊંચાઈ, આધાર અને ખૂણાઓ દ્વારા:
M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;
M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.
3. ઊંચાઈ, કર્ણ અને તેમની વચ્ચેના કોણ દ્વારા. ઉદાહરણ તરીકે, D1 અને D2 એ ટ્રેપેઝોઇડના કર્ણ છે; α, β - તેમની વચ્ચેના ખૂણા:
M = D1*D2*sinα/2Н = D1*D2*sinβ/2Н.
4. વિસ્તાર અને ઊંચાઈ દ્વારા: M = P/N.
તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.
વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ
વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.
જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.
અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.
અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:
- જ્યારે તમે સાઇટ પર અરજી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે તમારું નામ, ફોન નંબર, ઇમેઇલ સરનામું વગેરે સહિત વિવિધ માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ.
અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:
- અમે એકત્રિત કરીએ છીએ તે વ્યક્તિગત માહિતી અમને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ સાથે તમારો સંપર્ક કરવાની મંજૂરી આપે છે.
- સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
- અમે આંતરિક હેતુઓ માટે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ પણ કરી શકીએ છીએ, જેમ કે અમે પ્રદાન કરીએ છીએ તે સેવાઓને સુધારવા માટે અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે ઑડિટ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ સંશોધન કરવા.
- જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત
અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.
અપવાદો:
- જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયામાં, કાનૂની કાર્યવાહીમાં અને/અથવા જાહેર વિનંતીઓ અથવા રશિયન ફેડરેશનમાં સરકારી સંસ્થાઓની વિનંતીઓના આધારે - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરવા. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
- પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.
વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ
અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.
કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો
તમારી વ્યક્તિગત માહિતી સુરક્ષિત છે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોનો સંચાર કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.
\[(\Large(\text(ફ્રી ટ્રેપેઝોઇડ)))\]
વ્યાખ્યાઓ
ટ્રેપેઝોઇડ એ બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ છે જેમાં બે બાજુઓ સમાંતર હોય છે અને બીજી બે બાજુઓ સમાંતર હોતી નથી.
ટ્રેપેઝોઇડની સમાંતર બાજુઓને તેના પાયા કહેવામાં આવે છે, અને અન્ય બે બાજુઓને તેની બાજુઓ કહેવામાં આવે છે.
ટ્રેપેઝોઇડની ઊંચાઈ એ એક પાયાના કોઈપણ બિંદુથી બીજા આધાર પર દોરવામાં આવેલ લંબ છે.
પ્રમેય: ટ્રેપેઝોઇડના ગુણધર્મો
1) બાજુના ખૂણાઓનો સરવાળો \(180^\circ\) છે.
2) કર્ણ ટ્રેપેઝોઇડને ચાર ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે, જેમાંથી બે સમાન છે, અને અન્ય બે કદમાં સમાન છે.
પુરાવો
1) કારણ કે \(AD\સમાંતર BC\), પછી કોણ \(\કોણ BAD\) અને \(\Angle ABC\) આ રેખાઓ માટે એકતરફી છે અને ટ્રાંસવર્સલ \(AB\), તેથી, \(\કોણ BAD +\angle ABC=180^\circ\).
2) કારણ કે \(AD\સમાંતર BC\) અને \(BD\) એક સેકન્ટ છે, પછી \(\angle DBC=\angle BDA\) ક્રોસવાઇઝ આવે છે.
તેમજ \(\angle BOC=\angle AOD\) વર્ટિકલ તરીકે.
તેથી, બે ખૂણા પર \(\ત્રિકોણ BOC\sim \ત્રિકોણ AOD\).
ચાલો તે સાબિત કરીએ \(S_(\triangle AOB)=S_(\ટ્રાયેન્ગલ COD)\). ચાલો \(h\) ટ્રેપેઝોઈડની ઊંચાઈ હોઈએ. પછી \(S_(\triangle ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\ત્રિકોણ ACD)\). પછી: \
વ્યાખ્યા
ટ્રેપેઝોઇડની મધ્યરેખા એ બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો સેગમેન્ટ છે.
પ્રમેય
ટ્રેપેઝોઇડની મધ્યરેખા પાયાની સમાંતર અને તેમના અર્ધ સરવાળા જેટલી છે.
પુરાવો*
1) ચાલો સમાંતરતા સાબિત કરીએ.
ચાલો બિંદુ \(M\) સીધી રેખા \(MN"\parallel AD\) (\(N"\in CD\) ) દ્વારા દોરીએ. પછી, થેલ્સના પ્રમેય અનુસાર (ત્યારથી \(MN"\સમાંતર AD\સમાંતર BC, AM=MB\)) બિંદુ \(N"\) એ સેગમેન્ટ \(CD\) ની મધ્યમાં છે. આનો અર્થ એ થાય કે બિંદુઓ \(N\) અને \(N"\) એકરૂપ થશે.
2) ચાલો સૂત્ર સાબિત કરીએ.
ચાલો \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) કરીએ. દો \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).
પછી, થેલ્સના પ્રમેય દ્વારા, \(M"\) અને \(N"\) અનુક્રમે \(BB"\) અને \(CC"\) વિભાગોના મધ્યબિંદુ છે. આનો અર્થ એ છે કે \(MM"\) એ \(\triangle ABB"\) ની મધ્ય રેખા છે, \(NN"\) \(\triangle DCC"\) ની મધ્ય રેખા છે. તેથી જ: \
કારણ કે \(MN\સમાંતર એડી\સમાંતર BC\)અને \(BB", CC"\perp AD\), પછી \(B"M"N"C"\) અને \(BM"N"C\) લંબચોરસ છે. થેલ્સના પ્રમેય મુજબ, \(MN\સમાંતર AD\) અને \(AM=MB\) માંથી તે \(B"M"=M"B\) અનુસરે છે. તેથી, \(B"M"N"C "\) અને \(BM"N"C\) સમાન લંબચોરસ છે, તેથી, \(M"N"=B"C"=BC\) .
આમ:
\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\જમણે)=\dfrac12\left(AD+BC\જમણે)\]
પ્રમેય: મનસ્વી ટ્રેપેઝોઇડની મિલકત
પાયાના મધ્યબિંદુઓ, ટ્રેપેઝોઇડના કર્ણના આંતરછેદના બિંદુ અને બાજુની બાજુઓના વિસ્તરણના આંતરછેદના બિંદુ સમાન સીધી રેખા પર આવેલા છે.
પુરાવો*
એવી ભલામણ કરવામાં આવે છે કે તમે "ત્રિકોણની સમાનતા" વિષયનો અભ્યાસ કર્યા પછી પુરાવા સાથે પોતાને પરિચિત કરો.
1) ચાલો સાબિત કરીએ કે બિંદુઓ \(P\), \(N\) અને \(M\) સમાન રેખા પર આવેલા છે.
ચાલો એક સીધી રેખા દોરીએ \(PN\) (\(P\) એ બાજુની બાજુઓના વિસ્તરણના આંતરછેદનું બિંદુ છે, \(N\) \(BC\) ની મધ્ય છે). તેને બાજુ \(AD\) બિંદુ \(M\) પર છેદવા દો. ચાલો સાબિત કરીએ કે \(M\) એ \(AD\) નો મધ્યબિંદુ છે.
\(\ત્રિકોણ BPN\) અને \(\ટ્રાયેન્ગલ APM\) ને ધ્યાનમાં લો. તેઓ બે ખૂણાઓ પર સમાન છે (\(\કોણ APM\) - સામાન્ય, \(\angle PAM=\angle PBN\) \(AD\સમાંતર BC\) અને \(AB\) સેકન્ટ પર અનુરૂપ છે. અર્થ: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]
\(\ત્રિકોણ CPN\) અને \(\ત્રિકોણ DPM\) ને ધ્યાનમાં લો. તેઓ બે ખૂણાઓ પર સમાન છે (\(\કોણ DPM\) - સામાન્ય, \(\angle PDM=\angle PCN\) \(AD\સમાંતર BC\) અને \(CD\) સેકન્ટ પર અનુરૂપ). અર્થ: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]
અહીંથી \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). પરંતુ \(BN=NC\) તેથી \(AM=DM\) .
2) ચાલો સાબિત કરીએ કે બિંદુઓ \(N, O, M\) સમાન રેખા પર આવેલા છે.
ચાલો \(N\) એ \(BC\) નું મધ્યબિંદુ હોઈએ અને \(O\) એ કર્ણના આંતરછેદનું બિંદુ હોય. ચાલો એક સીધી રેખા દોરીએ \(NO\) , તે બાજુ \(AD\) બિંદુ \(M\) પર છેદે છે. ચાલો સાબિત કરીએ કે \(M\) એ \(AD\) નો મધ્યબિંદુ છે.
\(\ત્રિકોણ BNO\sim \ત્રિકોણ DMO\)બે ખૂણાઓ સાથે (\(\angle OBN=\angle ODM\) \(BC\parallel AD\) અને \(BD\) સેકન્ટ પર ક્રોસવાઇઝ પડેલો છે; \(\angle BON=\angle DOM\) વર્ટિકલ તરીકે). અર્થ: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]
તેવી જ રીતે \(\triangle CON\sim \triangle AOM\). અર્થ: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]
અહીંથી \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). પરંતુ \(BN=CN\) તેથી \(AM=MD\) .
\[(\Large(\text(Isosceles trapezoid)))\]
વ્યાખ્યાઓ
ટ્રેપેઝોઇડને લંબચોરસ કહેવામાં આવે છે જો તેનો એક ખૂણો સાચો હોય.
ટ્રેપેઝોઇડને સમદ્વિબાજુ કહેવામાં આવે છે જો તેની બાજુઓ સમાન હોય.
પ્રમેય: સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડના ગુણધર્મો
1) સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડ સમાન આધાર ખૂણા ધરાવે છે.
2) સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડના કર્ણ સમાન હોય છે.
3) કર્ણ અને આધાર દ્વારા બનેલા બે ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.
પુરાવો
1) સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડ \(ABCD\) ને ધ્યાનમાં લો.
શિરોબિંદુઓ \(B\) અને \(C\) પરથી, અમે અનુક્રમે લંબ \(BM\) અને \(CN\) ને બાજુ \(AD\) પર મૂકીએ છીએ. ત્યારથી \(BM\perp AD\) અને \(CN\perp AD\) , પછી \(BM\perp AD\) ; \(AD\સમાંતર BC\) , પછી \(MBCN\) એ સમાંતરગ્રામ છે, તેથી, \(BM = CN\) .
જમણા ત્રિકોણ \(ABM\) અને \(CDN\) ને ધ્યાનમાં લો. કારણ કે તેમના કર્ણ સમાન છે અને પગ \(BM\) પગ \(CN\) સમાન છે, તો આ ત્રિકોણ સમાન છે, તેથી, \(\angle DAB = \angle CDA\) .
2) 
કારણ કે \(AB=CD, \Angle A=\Angle D, AD\)- સામાન્ય, પછી પ્રથમ સંકેત અનુસાર. તેથી, \(AC=BD\) .
3) કારણ કે \(\ત્રિકોણ ABD=\ત્રિકોણ ACD\), પછી \(\angle BDA=\angle CAD\) . તેથી, ત્રિકોણ \(\ત્રિકોણ AOD\) સમદ્વિબાજુ છે. એ જ રીતે, તે સાબિત થાય છે કે \(\ત્રિકોણ BOC\) સમદ્વિબાજુ છે.
પ્રમેય: સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડના ચિહ્નો
1) જો ટ્રેપેઝોઇડમાં સમાન આધાર ખૂણા હોય, તો તે સમદ્વિબાજુ છે.
2) જો ટ્રેપેઝોઇડમાં સમાન કર્ણ હોય, તો તે સમદ્વિબાજુ છે.
પુરાવો
ટ્રેપેઝોઇડ \(ABCD\) ને ધ્યાનમાં લો કે \(\ કોણ A = \ કોણ D\) .
આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે ચાલો ટ્રેપેઝોઇડને ત્રિકોણ \(AED\) સુધી પૂર્ણ કરીએ. ત્યારથી \(\કોણ 1 = \કોણ 2\), પછી ત્રિકોણ \(AED\) સમદ્વિબાજુ અને \(AE = ED\) છે. ખૂણા \(1\) અને \(3\) સમાંતર રેખાઓ \(AD\) અને \(BC\) અને સેકન્ટ \(AB\) માટે અનુરૂપ ખૂણા સમાન છે. એ જ રીતે, ખૂણા \(2\) અને \(4\) સમાન છે, પરંતુ \(\કોણ 1 = \કોણ 2\), પછી \(\કોણ 3 = \કોણ 1 = \કોણ 2 = \કોણ 4\), તેથી, ત્રિકોણ \(BEC\) સમદ્વિબાજુ અને \(BE = EC\) પણ છે.
અંતે \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), એટલે કે, \(AB = CD\), જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.
2) ચાલો \(AC=BD\) . કારણ કે \(\ત્રિકોણ એઓડી\સિમ \ત્રિકોણ BOC\), પછી આપણે તેમના સમાનતા ગુણાંકને \(k\) તરીકે દર્શાવીએ છીએ. પછી જો \(BO=x\) , તો \(OD=kx\) . \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) જેવું જ.
કારણ કે \(AC=BD\) , પછી \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . આનો અર્થ એ છે કે \(\ત્રિકોણ AOD\) સમદ્વિબાજુ છે અને \(\angle OAD=\angle ODA\) છે.
આમ, પ્રથમ સંકેત મુજબ \(\ત્રિકોણ ABD=\ત્રિકોણ ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\)- સામાન્ય). તો, \(AB=CD\), શા માટે.
