જો બે સીધી રેખાઓના આંતરછેદ પર ત્રીજી. બે રેખાઓની સમાંતરતાના ચિહ્નો

1. સમાંતરતાની પ્રથમ નિશાની.

જો, જ્યારે બે સીધી રેખાઓ ત્રીજાને છેદે છે, તો ક્રોસવાઇઝ આવેલા આંતરિક ખૂણાઓ સમાન છે, તો આ રેખાઓ સમાંતર છે.

રેખાઓ AB અને CD ને રેખા EF અને ∠1 = ∠2 વડે છેદે છે. ચાલો બિંદુ O લઈએ - સેકન્ટ EF (ફિગ.) ના KL સેગમેન્ટની મધ્યમાં.

ચાલો કાટખૂણે OM ને બિંદુ O થી રેખા AB પર નીચે કરીએ અને જ્યાં સુધી તે રેખા CD, AB ⊥ MN ને છેદે નહીં ત્યાં સુધી તેને ચાલુ રાખીએ. ચાલો સાબિત કરીએ કે CD ⊥ MN.

આ કરવા માટે, બે ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લો: MOE અને NOK. આ ત્રિકોણ એકબીજાના સમાન છે. ખરેખર: પ્રમેય મુજબ ∠1 = ∠2; ઓકે = ઓએલ - બાંધકામ દ્વારા;

∠MOL = ∠NOK, ઊભી ખૂણાની જેમ. આમ, એક ત્રિકોણની બાજુ અને બે અડીને આવેલા ખૂણો અનુક્રમે બાજુના અને બીજા ત્રિકોણના બે અડીને આવેલા ખૂણા સમાન છે; તેથી, ΔMOL = ΔNOK, અને તેથી ∠LMO = ∠KNO,
પરંતુ ∠LMO સીધુ છે, જેનો અર્થ છે ∠KNO પણ સીધો છે. આમ, રેખાઓ AB અને CD એ સમાન રેખા MN પર લંબ છે, તેથી, તેઓ સમાંતર છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર હતી.

નોંધ. સીધી રેખાઓ MO અને CD નું આંતરછેદ ત્રિકોણ MOL ને બિંદુ O ની આસપાસ 180° દ્વારા ફેરવીને સ્થાપિત કરી શકાય છે.

2. સમાંતરતાની બીજી નિશાની.

ચાલો જોઈએ કે શું સીધી રેખાઓ AB અને CD સમાંતર છે જો, જ્યારે તેઓ ત્રીજી સીધી રેખા EF ને છેદે છે, ત્યારે અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન છે.

કેટલાક અનુરૂપ ખૂણાઓને સમાન થવા દો, ઉદાહરણ તરીકે ∠ 3 = ∠2 (ફિગ.);

∠3 = ∠1, ઊભી ખૂણા તરીકે; આનો અર્થ એ છે કે ∠2 ∠1 ની બરાબર હશે. પરંતુ ખૂણા 2 અને 1 એ આંતરિક ખૂણાઓને છેદે છે, અને આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ કે જ્યારે બે સીધી રેખાઓ ત્રીજીને છેદે છે, તો છેદતા આંતરિક ખૂણા સમાન છે, તો આ રેખાઓ સમાંતર છે. તેથી, AB || સીડી.

જો, જ્યારે બે રેખાઓ ત્રીજા ભાગને છેદે છે, ત્યારે અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન છે, તો આ બે રેખાઓ સમાંતર છે.

શાસક અને ડ્રોઇંગ ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને સમાંતર રેખાઓનું નિર્માણ આ ગુણધર્મ પર આધારિત છે. આ નીચે પ્રમાણે કરવામાં આવે છે.

ચાલો ફિગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે ત્રિકોણને શાસક સાથે જોડીએ. આપણે ત્રિકોણને ખસેડીશું જેથી તેની એક બાજુ શાસક સાથે સરકી જાય, અને આપણે ત્રિકોણની બીજી બાજુ સાથે ઘણી સીધી રેખાઓ દોરીશું. આ રેખાઓ સમાંતર હશે.

3. સમાંતરતાનો ત્રીજો સંકેત.

ચાલો આપણે જાણીએ કે જ્યારે બે સીધી રેખાઓ AB અને CD ત્રીજી સીધી રેખા સાથે છેદે છે, ત્યારે કોઈપણ આંતરિક એકતરફી ખૂણાઓનો સરવાળો 2 જેટલો થાય છે. ડી(અથવા 180°). શું આ કિસ્સામાં AB અને CD સીધી રેખાઓ સમાંતર હશે (ફિગ.).

ચાલો ∠1 અને ∠2 ને આંતરિક એકતરફી કોણ હોઈએ અને 2 સુધી ઉમેરો ડી.

પરંતુ ∠3 + ∠2 = 2 ડીઅડીને આવેલા ખૂણા તરીકે. તેથી, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.

તેથી ∠1 = ∠3, અને આ આંતરિક ખૂણા ક્રોસવાઇઝ આવેલા છે. તેથી એબી || સીડી.

જો, જ્યારે બે સીધી રેખાઓ ત્રીજા ભાગને છેદે છે, તો આંતરિક એકતરફી ખૂણાઓનો સરવાળો બરાબર છે 2 d (અથવા 180°), તો આ બે રેખાઓ સમાંતર છે.

સમાંતર રેખાઓના ચિહ્નો:

1. જો, જ્યારે બે રેખાઓ ત્રીજા ભાગને છેદે છે, તો ક્રોસવાઇઝ આવેલા આંતરિક ખૂણાઓ સમાન છે, તો આ રેખાઓ સમાંતર છે.

2. જો, જ્યારે બે રેખાઓ ત્રીજાને છેદે છે, ત્યારે અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન છે, તો આ બે રેખાઓ સમાંતર છે.

3. જો, જ્યારે બે રેખાઓ ત્રીજા ભાગને છેદે છે, ત્યારે આંતરિક એકતરફી ખૂણાઓનો સરવાળો 180° છે, તો આ બે રેખાઓ સમાંતર છે.

4. જો બે રેખાઓ ત્રીજી રેખાની સમાંતર હોય, તો તે એકબીજાની સમાંતર હોય છે.

5. જો બે રેખાઓ ત્રીજી રેખાને લંબરૂપ હોય, તો તે એકબીજાની સમાંતર હોય છે.

યુક્લિડનું સમાંતરવાદનું સ્વાધ્યાય

કાર્ય. રેખા AB ની બહાર લીધેલા બિંદુ M દ્વારા, AB રેખાની સમાંતર રેખા દોરો.

રેખાઓની સમાંતરતાના સંકેતો પર સાબિત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આ સમસ્યાને વિવિધ રીતે ઉકેલી શકાય છે,

ઉકેલ.પહેલું પગલું (ડ્રોઇંગ 199).

આપણે MN⊥AB દોરીએ છીએ અને બિંદુ M દ્વારા આપણે CD⊥MN દોરીએ છીએ;

આપણને CD⊥MN અને AB⊥MN મળે છે.

પ્રમેયના આધારે (“જો બે રેખાઓ એક જ રેખાને લંબરૂપ હોય, તો તે સમાંતર હોય છે.”) આપણે તે સીડી પર તારણ કાઢીએ છીએ || એબી.

2જી પદ્ધતિ (ડ્રોઇંગ 200).

અમે AB ને કોઈપણ ખૂણા પર છેદતી MK દોરીએ છીએ, અને બિંદુ M દ્વારા આપણે સીધી રેખા EF દોરીએ છીએ, કોણ α ની બરાબર સીધી રેખા MK સાથે કોણ EMK બનાવે છે. પ્રમેય () ના આધારે, અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે EF || એબી.

આ સમસ્યાનું નિરાકરણ કર્યા પછી, આપણે તેને સાબિત કરી શકીએ છીએ કે સીધી રેખા AB ની બહાર લીધેલા કોઈપણ બિંદુ M દ્વારા, તેની સમાંતર સીધી રેખા દોરવી શક્ય છે. પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: આપેલ રેખાની સમાંતર અને આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થતી કેટલી રેખાઓ અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે?

બાંધકામની પ્રેક્ટિસ આપણને માની લેવાની મંજૂરી આપે છે કે આવી માત્ર એક જ સીધી રેખા છે, કારણ કે કાળજીપૂર્વક એક્ઝિક્યુટેડ ડ્રોઇંગ સાથે, સમાન સીધી રેખાના સમાંતર સમાન બિંદુ દ્વારા જુદી જુદી રીતે દોરવામાં આવેલી સીધી રેખાઓ.

સૈદ્ધાંતિક રીતે, પૂછાયેલા પ્રશ્નનો જવાબ યુક્લિડના કહેવાતા સમાંતરવાદ દ્વારા આપવામાં આવે છે; તે નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવે છે:

આપેલ રેખાની બહાર લીધેલા બિંદુ દ્વારા, આ રેખાની સમાંતર માત્ર એક રેખા દોરી શકાય છે.

રેખાંકન 201 માં, સીધા AB ની સમાંતર, બિંદુ O દ્વારા સીધી રેખા SC દોરવામાં આવે છે.

બિંદુ Oમાંથી પસાર થતી અન્ય કોઈપણ રેખા હવે રેખા ABની સમાંતર રહેશે નહીં, પરંતુ તેને છેદે છે.

યુક્લિડ દ્વારા તેના તત્વોમાં અપનાવવામાં આવેલ સ્વયંસિદ્ધિ, જે જણાવે છે કે પ્લેન પર, આપેલ રેખાની બહાર લીધેલા બિંદુ દ્વારા, આ રેખાની સમાંતર માત્ર એક સીધી રેખા દોરી શકાય છે, તેને કહેવામાં આવે છે. યુક્લિડની સમાંતરતાની સ્વયંસિદ્ધતા.

યુક્લિડના બે હજાર વર્ષ પછી, ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓએ આ ગાણિતિક પ્રસ્તાવને સાબિત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો, પરંતુ તેમના પ્રયત્નો હંમેશા નિષ્ફળ રહ્યા. માત્ર 1826 માં, મહાન રશિયન વૈજ્ઞાનિક, કાઝાન યુનિવર્સિટીના પ્રોફેસર નિકોલાઈ ઇવાનોવિચ લોબાચેવ્સ્કીએ સાબિત કર્યું કે યુક્લિડના અન્ય તમામ સ્વયંસિદ્ધનો ઉપયોગ કરીને, આ ગાણિતિક પ્રસ્તાવને સાબિત કરી શકાતું નથી, કે તે ખરેખર સ્વયંસિદ્ધ તરીકે સ્વીકારવું જોઈએ. એન.આઈ. લોબાચેવ્સ્કીએ એક નવી ભૂમિતિ બનાવી, જે યુક્લિડની ભૂમિતિથી વિપરીત, લોબાચેવ્સ્કી ભૂમિતિ કહેવાય છે.

આ પ્રકરણ સમાંતર રેખાઓના અભ્યાસ માટે સમર્પિત છે. આ પ્લેનમાં બે સીધી રેખાઓને આપવામાં આવેલું નામ છે જે એકબીજાને છેદતી નથી. આપણે પર્યાવરણમાં સમાંતર રેખાઓના સેગમેન્ટ્સ જોઈએ છીએ - આ લંબચોરસ કોષ્ટકની બે ધાર, પુસ્તકના કવરની બે ધાર, બે ટ્રોલીબસ બાર વગેરે છે. સમાંતર રેખાઓ ભૂમિતિમાં ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. આ પ્રકરણમાં, તમે ભૂમિતિના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો શું છે અને સમાંતર રેખાઓનો સ્વયંસિદ્ધ શું છે તે વિશે શીખીશું - ભૂમિતિના સૌથી પ્રસિદ્ધ સ્વયંસિદ્ધોમાંનું એક.

ફકરા 1 માં, અમે નોંધ્યું છે કે બે રેખાઓ કાં તો એક સામાન્ય બિંદુ ધરાવે છે, એટલે કે, તેઓ છેદે છે, અથવા તેમની પાસે એક સામાન્ય બિંદુ નથી, એટલે કે, તેઓ છેદતી નથી.

વ્યાખ્યા

રેખાઓ a અને b ની સમાંતરતા નીચે પ્રમાણે દર્શાવવામાં આવે છે: a || b

આકૃતિ 98 એ રેખા c ને લંબરૂપ રેખાઓ a અને b દર્શાવે છે. ફકરા 12 માં, અમે સ્થાપિત કર્યું છે કે આવી રેખાઓ a અને b એકબીજાને છેદતી નથી, એટલે કે તેઓ સમાંતર છે.

ચોખા. 98

સમાંતર રેખાઓ સાથે, સમાંતર ભાગોને ઘણીવાર ગણવામાં આવે છે. બે વિભાગો કહેવામાં આવે છે સમાંતર, જો તેઓ સમાંતર રેખાઓ પર આવેલા હોય. આકૃતિ 99 માં, સેગમેન્ટ્સ AB અને CD સમાંતર છે (AB || CD), પરંતુ સેગમેન્ટ્સ MN અને CD સમાંતર નથી. એક સેગમેન્ટ અને એક સીધી રેખા (ફિગ. 99, બી), એક કિરણ અને સીધી રેખા, એક સેગમેન્ટ અને એક કિરણ, બે કિરણો (ફિગ. 99, સી) ની સમાનતા સમાન રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે.

ચોખા. 99બે રેખાઓની સમાંતરતાના ચિહ્નો

સાથેની સીધી રેખા કહેવાય છે સેકન્ટસીધી રેખા a અને b ના સંબંધમાં, જો તે તેમને બે બિંદુઓ પર છેદે છે (ફિગ. 100). જ્યારે a અને b રેખાઓ ટ્રાંસવર્સલ c સાથે છેદે છે, ત્યારે આઠ ખૂણા રચાય છે, જે આકૃતિ 100 માં સંખ્યાઓ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આ ખૂણાઓની કેટલીક જોડીના વિશિષ્ટ નામો છે:

ક્રોસવાઇઝ કોણ: 3 અને 5, 4 અને 6;
એકતરફી ખૂણા: 4 અને 5, 3 અને 6;
અનુરૂપ ખૂણા: 1 અને 5, 4 અને 8, 2 અને 6, 3 અને 7.

ચોખા. 100

ચાલો ખૂણાઓની આ જોડી સાથે સંકળાયેલી બે સીધી રેખાઓની સમાંતરતાના ત્રણ ચિહ્નોને ધ્યાનમાં લઈએ.

પ્રમેય

પુરાવો

છેદતી રેખાઓ a અને b ને ક્રોસવાઇઝ ખૂણાઓ AB સમાન થવા દો: ∠1 = ∠2 (ફિગ. 101, a).

ચાલો સાબિત કરીએ કે એ || b જો ખૂણા 1 અને 2 સાચા છે (ફિગ. 101, b), તો પછી રેખાઓ a અને b રેખા AB ને લંબ છે અને તેથી, સમાંતર છે.

ચોખા. 101

ચાલો કેસને ધ્યાનમાં લઈએ જ્યારે ખૂણા 1 અને 2 બરાબર ન હોય.

સેગમેન્ટ AB ના મધ્ય O થી આપણે સીધી રેખા a (ફિગ. 101, c) માટે કાટખૂણે OH દોરીએ છીએ. બિંદુ B થી સીધી રેખા b પર, અમે આકૃતિ 101, c માં બતાવ્યા પ્રમાણે, સેગમેન્ટ ВН 1, સેગમેન્ટ AH ની બરાબર પ્લોટ કરીશું અને OH 1 સેગમેન્ટ દોરીશું. ત્રિકોણ OHA અને OH 1 B બંને બાજુઓ પર સમાન છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો (AO = VO, AN = BH 1, ∠1 = ∠2), તેથી ∠3 = ∠4 અને ∠5 = ∠6. સમાનતા ∠3 = ∠4 પરથી તે અનુસરે છે કે બિંદુ H 1 એ OH કિરણની સાતત્ય પર આવેલું છે, એટલે કે બિંદુઓ H, O અને H 1 એ જ સીધી રેખા પર છે, અને સમાનતા ∠5 = ∠6 પરથી તે અનુસરે છે. કોણ 6 એ સીધી રેખા છે (કારણ કે કોણ 5 એ જમણો ખૂણો છે). તેથી, રેખાઓ a અને b એ રેખા HH 1 ને લંબ છે, તેથી તેઓ સમાંતર છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

પ્રમેય

પુરાવો

જ્યારે રેખાઓ a અને b ટ્રાંસવર્સલ c સાથે છેદે છે ત્યારે અનુરૂપ ખૂણાઓને સમાન થવા દો, ઉદાહરણ તરીકે ∠1 =∠2 (ફિગ. 102).

ચોખા. 102

ખૂણા 2 અને 3 વર્ટિકલ હોવાથી, પછી ∠2 = ∠3. આ બે સમાનતાઓ પરથી તે અનુસરે છે કે ∠1 = ∠3. પરંતુ ખૂણા 1 અને 3 ક્રોસવાઇઝ છે, તેથી રેખાઓ a અને b સમાંતર છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

પ્રમેય

પુરાવો

ટ્રાંસવર્સલ c સાથે સીધી રેખાઓ a અને b ના આંતરછેદને 180° ની બરાબર એકતરફી કોણનો સરવાળો કરીએ, ઉદાહરણ તરીકે ∠1 + ∠4 = 180° (જુઓ. આકૃતિ. 102).

ખૂણા 3 અને 4 અડીને હોવાથી, પછી ∠3 + ∠4 = 180°. આ બે સમાનતાઓ પરથી તે અનુસરે છે કે ક્રોસવાઇઝ ખૂણા 1 અને 3 સમાન છે, તેથી રેખાઓ a અને b સમાંતર છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

સમાંતર રેખાઓ બાંધવાની વ્યવહારુ રીતો

ચોખા. 103આકૃતિ 104 ક્રોસબારનો ઉપયોગ કરીને સમાંતર રેખાઓ બનાવવા માટેની પદ્ધતિ બતાવે છે. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ ડ્રોઇંગ પ્રેક્ટિસમાં થાય છે.

ચોખા. 104સુથારીકામ કરતી વખતે સમાન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જ્યાં સમાંતર રેખાઓને ચિહ્નિત કરવા માટે એક બ્લોક (બે લાકડાના પાટિયાને મિજાગરું સાથે બાંધવામાં આવે છે, ફિગ. 105) નો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

ચોખા. 105

કાર્યો

186. આકૃતિ 106 માં, રેખાઓ a અને b રેખા c દ્વારા છેદે છે. એ સાબિત કરો કે || b, જો:

a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°, અને કોણ 7 એ કોણ 3 કરતા ત્રણ ગણો મોટો છે.

ચોખા. 106

187. આકૃતિ 107 માં ડેટાના આધારે, સાબિત કરો કે AB || ડી.ઈ.

ચોખા. 107

188. સેગમેન્ટ્સ AB અને CD તેમના સામાન્ય મધ્યબિંદુ પર છેદે છે. સાબિત કરો કે રેખાઓ AC અને BD સમાંતર છે.

189. આકૃતિ 108 માં ડેટાનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે BC || એ.ડી.

ચોખા. 108

190. આકૃતિ 109 માં, AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. સાબિત કરો કે DE || એસી.

ચોખા. 109

191. સેગમેન્ટ BK એ ત્રિકોણ ABC નો દ્વિભાજક છે. બિંદુ K દ્વારા એક સીધી રેખા દોરવામાં આવે છે, બિંદુ M પર બાજુ BC ને છેદે છે જેથી BM = MK. સાબિત કરો કે રેખાઓ KM અને AB સમાંતર છે.

192. ત્રિકોણ ABC માં, કોણ A 40° છે, અને કોણ ALL, કોણ ACB ને અડીને, 80° છે. સાબિત કરો કે કોણ ALL નો દ્વિભાજક સીધી રેખા AB ને સમાંતર છે.

193. ABC ત્રિકોણમાં, ∠A = 40°, ∠B = 70°. શિરોબિંદુ B દ્વારા સીધી રેખા BD દોરવામાં આવે છે જેથી કિરણ BC એ કોણ ABD નો દ્વિભાજક છે. સાબિત કરો કે રેખાઓ AC અને BD સમાંતર છે.

194. ત્રિકોણ દોરો. આ ત્રિકોણના દરેક શિરોબિંદુ દ્વારા, ડ્રોઇંગ સ્ક્વેર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને, વિરુદ્ધ બાજુની સમાંતર સીધી રેખા દોરો.

195. ત્રિકોણ ABC દોરો અને બાજુ AC પર બિંદુ D ને ચિહ્નિત કરો. બિંદુ D દ્વારા, ડ્રોઇંગ સ્ક્વેર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને, ત્રિકોણની અન્ય બે બાજુઓની સમાંતર સીધી રેખાઓ દોરો.

અનુરૂપ ખૂણા: 1 અને 5, 4 અને 8, 2 અને 6, 3 અને 7;

આંતરિક ક્રોસવાઇઝ ખૂણા: 3 અને 5, 4 અને 6;

બાહ્ય ક્રોસવાઇઝ કોણ: 1 અને 7, 2 અને 8;

આંતરિક એકતરફી ખૂણા: 3 અને 6, 4 અને 5;

બાહ્ય એકતરફી ખૂણા: 1 અને 8, 2 અને 7.

તેથી, ∠ 2 = ∠ 4 અને ∠ 8 = ∠ 6, પરંતુ જે સાબિત થયું છે તે મુજબ, ∠ 4 = ∠ 6.

તેથી, ∠ 2 =∠ 8.

3. અનુરૂપ ખૂણો 2 અને 6 સમાન છે, કારણ કે ∠ 2 = ∠ 4, અને ∠ 4 = ∠ 6. ચાલો એ પણ ખાતરી કરીએ કે અન્ય અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન છે.

4. સરવાળો આંતરિક એકતરફી ખૂણા 3 અને 6 2d હશે કારણ કે સરવાળો અડીને ખૂણા 3 અને 4 2d = 180 0 બરાબર છે, અને ∠ 4 સમાન ∠ 6 વડે બદલી શકાય છે. અમે એ પણ સુનિશ્ચિત કરીએ છીએ કે ખૂણાઓનો સરવાળો 4 અને 5 બરાબર 2d.

5. સરવાળો બાહ્ય એકતરફી ખૂણા 2d હશે કારણ કે આ ખૂણા અનુક્રમે સમાન છે આંતરિક એકતરફી ખૂણાખૂણા જેવા ઊભી.

ઉપરોક્ત સાબિત સમર્થનમાંથી આપણે મેળવીએ છીએ વાતચીત પ્રમેયો.

જ્યારે, મનસ્વી ત્રીજી લાઇન સાથે બે રેખાઓના આંતરછેદ પર, આપણે તે મેળવીએ છીએ:

1. આંતરિક ક્રોસવાઇઝ ખૂણા સમાન છે;

અથવા 2.બાહ્ય ક્રોસવાઇઝ ખૂણાઓ સમાન છે;

અથવા 3.અનુરૂપ ખૂણા સમાન છે;

અથવા 4.આંતરિક એક-બાજુવાળા ખૂણાઓનો સરવાળો 2d = 180 0 છે;

અથવા 5.બાહ્ય એકતરફી રાશિઓનો સરવાળો 2d = 180 0 છે ,

પછી પ્રથમ બે રેખાઓ સમાંતર છે.

આ પ્રકરણ સમાંતર રેખાઓના અભ્યાસ માટે સમર્પિત છે. આ પ્લેનમાં બે સીધી રેખાઓને આપવામાં આવેલું નામ છે જે એકબીજાને છેદતી નથી. આપણે પર્યાવરણમાં સમાંતર રેખાઓના સેગમેન્ટ્સ જોઈએ છીએ - આ લંબચોરસ કોષ્ટકની બે ધાર, પુસ્તકના કવરની બે ધાર, બે ટ્રોલીબસ બાર વગેરે છે. સમાંતર રેખાઓ ભૂમિતિમાં ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. આ પ્રકરણમાં, તમે ભૂમિતિના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો શું છે અને સમાંતર રેખાઓનો સ્વયંસિદ્ધ શું છે તે વિશે શીખીશું - ભૂમિતિના સૌથી પ્રસિદ્ધ સ્વયંસિદ્ધોમાંનું એક.

ફકરા 1 માં, અમે નોંધ્યું છે કે બે રેખાઓ કાં તો એક સામાન્ય બિંદુ ધરાવે છે, એટલે કે, તેઓ છેદે છે, અથવા તેમની પાસે એક સામાન્ય બિંદુ નથી, એટલે કે, તેઓ છેદતી નથી.

વ્યાખ્યા

રેખાઓ a અને b ની સમાંતરતા નીચે પ્રમાણે દર્શાવવામાં આવે છે: a || b

આકૃતિ 98 એ રેખા c ને લંબરૂપ રેખાઓ a અને b દર્શાવે છે. ફકરા 12 માં, અમે સ્થાપિત કર્યું છે કે આવી રેખાઓ a અને b એકબીજાને છેદતી નથી, એટલે કે તેઓ સમાંતર છે.

ચોખા. 98

સમાંતર રેખાઓ સાથે, સમાંતર ભાગોને ઘણીવાર ગણવામાં આવે છે. બે વિભાગો કહેવામાં આવે છે સમાંતર, જો તેઓ સમાંતર રેખાઓ પર આવેલા હોય. આકૃતિ 99 માં, સેગમેન્ટ્સ AB અને CD સમાંતર છે (AB || CD), પરંતુ સેગમેન્ટ્સ MN અને CD સમાંતર નથી. એક સેગમેન્ટ અને એક સીધી રેખા (ફિગ. 99, બી), એક કિરણ અને સીધી રેખા, એક સેગમેન્ટ અને એક કિરણ, બે કિરણો (ફિગ. 99, સી) ની સમાનતા સમાન રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે.

ચોખા. 99બે રેખાઓની સમાંતરતાના ચિહ્નો

સાથેની સીધી રેખા કહેવાય છે સેકન્ટસીધી રેખા a અને b ના સંબંધમાં, જો તે તેમને બે બિંદુઓ પર છેદે છે (ફિગ. 100). જ્યારે a અને b રેખાઓ ટ્રાંસવર્સલ c સાથે છેદે છે, ત્યારે આઠ ખૂણા રચાય છે, જે આકૃતિ 100 માં સંખ્યાઓ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આ ખૂણાઓની કેટલીક જોડીના વિશિષ્ટ નામો છે:

ક્રોસવાઇઝ કોણ: 3 અને 5, 4 અને 6;
એકતરફી ખૂણા: 4 અને 5, 3 અને 6;
અનુરૂપ ખૂણા: 1 અને 5, 4 અને 8, 2 અને 6, 3 અને 7.

ચોખા. 100

ચાલો ખૂણાઓની આ જોડી સાથે સંકળાયેલી બે સીધી રેખાઓની સમાંતરતાના ત્રણ ચિહ્નોને ધ્યાનમાં લઈએ.

પ્રમેય

પુરાવો

છેદતી રેખાઓ a અને b ને ક્રોસવાઇઝ ખૂણાઓ AB સમાન થવા દો: ∠1 = ∠2 (ફિગ. 101, a).

ચાલો સાબિત કરીએ કે એ || b જો ખૂણા 1 અને 2 સાચા છે (ફિગ. 101, b), તો પછી રેખાઓ a અને b રેખા AB ને લંબ છે અને તેથી, સમાંતર છે.

ચોખા. 101

ચાલો કેસને ધ્યાનમાં લઈએ જ્યારે ખૂણા 1 અને 2 બરાબર ન હોય.

સેગમેન્ટ AB ના મધ્ય O થી આપણે સીધી રેખા a (ફિગ. 101, c) માટે કાટખૂણે OH દોરીએ છીએ. બિંદુ B થી સીધી રેખા b પર, અમે આકૃતિ 101, c માં બતાવ્યા પ્રમાણે, સેગમેન્ટ ВН 1, સેગમેન્ટ AH ની બરાબર પ્લોટ કરીશું અને OH 1 સેગમેન્ટ દોરીશું. ત્રિકોણ OHA અને OH 1 B બંને બાજુઓ પર સમાન છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો (AO = VO, AN = BH 1, ∠1 = ∠2), તેથી ∠3 = ∠4 અને ∠5 = ∠6. સમાનતા ∠3 = ∠4 પરથી તે અનુસરે છે કે બિંદુ H 1 એ OH કિરણની સાતત્ય પર આવેલું છે, એટલે કે બિંદુઓ H, O અને H 1 એ જ સીધી રેખા પર છે, અને સમાનતા ∠5 = ∠6 પરથી તે અનુસરે છે. કોણ 6 એ સીધી રેખા છે (કારણ કે કોણ 5 એ જમણો ખૂણો છે). તેથી, રેખાઓ a અને b એ રેખા HH 1 ને લંબ છે, તેથી તેઓ સમાંતર છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

પ્રમેય

પુરાવો

જ્યારે રેખાઓ a અને b ટ્રાંસવર્સલ c સાથે છેદે છે ત્યારે અનુરૂપ ખૂણાઓને સમાન થવા દો, ઉદાહરણ તરીકે ∠1 =∠2 (ફિગ. 102).

ચોખા. 102

ખૂણા 2 અને 3 વર્ટિકલ હોવાથી, પછી ∠2 = ∠3. આ બે સમાનતાઓ પરથી તે અનુસરે છે કે ∠1 = ∠3. પરંતુ ખૂણા 1 અને 3 ક્રોસવાઇઝ છે, તેથી રેખાઓ a અને b સમાંતર છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

પ્રમેય

પુરાવો

ટ્રાંસવર્સલ c સાથે સીધી રેખાઓ a અને b ના આંતરછેદને 180° ની બરાબર એકતરફી કોણનો સરવાળો કરીએ, ઉદાહરણ તરીકે ∠1 + ∠4 = 180° (જુઓ. આકૃતિ. 102).

ખૂણા 3 અને 4 અડીને હોવાથી, પછી ∠3 + ∠4 = 180°. આ બે સમાનતાઓ પરથી તે અનુસરે છે કે ક્રોસવાઇઝ ખૂણા 1 અને 3 સમાન છે, તેથી રેખાઓ a અને b સમાંતર છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

સમાંતર રેખાઓ બાંધવાની વ્યવહારુ રીતો

ચોખા. 103આકૃતિ 104 ક્રોસબારનો ઉપયોગ કરીને સમાંતર રેખાઓ બનાવવા માટેની પદ્ધતિ બતાવે છે. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ ડ્રોઇંગ પ્રેક્ટિસમાં થાય છે.

ચોખા. 104સુથારીકામ કરતી વખતે સમાન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જ્યાં સમાંતર રેખાઓને ચિહ્નિત કરવા માટે એક બ્લોક (બે લાકડાના પાટિયાને મિજાગરું સાથે બાંધવામાં આવે છે, ફિગ. 105) નો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

ચોખા. 105

કાર્યો

186. આકૃતિ 106 માં, રેખાઓ a અને b રેખા c દ્વારા છેદે છે. એ સાબિત કરો કે || b, જો:

a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°, અને કોણ 7 એ કોણ 3 કરતા ત્રણ ગણો મોટો છે.

ચોખા. 106

187. આકૃતિ 107 માં ડેટાના આધારે, સાબિત કરો કે AB || ડી.ઈ.

ચોખા. 107

188. સેગમેન્ટ્સ AB અને CD તેમના સામાન્ય મધ્યબિંદુ પર છેદે છે. સાબિત કરો કે રેખાઓ AC અને BD સમાંતર છે.

189. આકૃતિ 108 માં ડેટાનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે BC || એ.ડી.

ચોખા. 108

190. આકૃતિ 109 માં, AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. સાબિત કરો કે DE || એસી.

ચોખા. 109

191. સેગમેન્ટ BK એ ત્રિકોણ ABC નો દ્વિભાજક છે. બિંદુ K દ્વારા એક સીધી રેખા દોરવામાં આવે છે, બિંદુ M પર બાજુ BC ને છેદે છે જેથી BM = MK. સાબિત કરો કે રેખાઓ KM અને AB સમાંતર છે.

192. ત્રિકોણ ABC માં, કોણ A 40° છે, અને કોણ ALL, કોણ ACB ને અડીને, 80° છે. સાબિત કરો કે કોણ ALL નો દ્વિભાજક સીધી રેખા AB ને સમાંતર છે.

193. ABC ત્રિકોણમાં, ∠A = 40°, ∠B = 70°. શિરોબિંદુ B દ્વારા સીધી રેખા BD દોરવામાં આવે છે જેથી કિરણ BC એ કોણ ABD નો દ્વિભાજક છે. સાબિત કરો કે રેખાઓ AC અને BD સમાંતર છે.

194. ત્રિકોણ દોરો. આ ત્રિકોણના દરેક શિરોબિંદુ દ્વારા, ડ્રોઇંગ સ્ક્વેર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને, વિરુદ્ધ બાજુની સમાંતર સીધી રેખા દોરો.

195. ત્રિકોણ ABC દોરો અને બાજુ AC પર બિંદુ D ને ચિહ્નિત કરો. બિંદુ D દ્વારા, ડ્રોઇંગ સ્ક્વેર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને, ત્રિકોણની અન્ય બે બાજુઓની સમાંતર સીધી રેખાઓ દોરો.

બે રેખાઓની સમાંતરતાના ચિહ્નો

પ્રમેય 1. જો સેકન્ટ દ્વારા બે રેખાઓના આંતરછેદ પર હોય તો:

ક્રોસ કરેલા ખૂણા સમાન છે, અથવા

અનુરૂપ ખૂણા સમાન છે, અથવા

એકતરફી ખૂણાઓનો સરવાળો 180° છે, પછી

રેખાઓ સમાંતર છે(ફિગ. 1).

પુરાવો. અમે અમારી જાતને કેસ 1 સાબિત કરવા માટે મર્યાદિત કરીએ છીએ.

છેદતી રેખાઓ a અને b ને ક્રોસવાઇઝ થવા દો અને ખૂણા AB સમાન થવા દો. ઉદાહરણ તરીકે, ∠ 4 = ∠ 6. ચાલો સાબિત કરીએ કે a || b

ધારો કે રેખાઓ a અને b સમાંતર નથી. પછી તેઓ અમુક બિંદુ M પર છેદે છે અને તેથી, 4 અથવા 6 પૈકીનો એક ખૂણો ABM ત્રિકોણનો બાહ્ય કોણ હશે. નિશ્ચિતતા માટે, ∠ 4 એ ત્રિકોણ ABM નો બાહ્ય કોણ અને ∠ 6 એ આંતરિક ખૂણો છે. ત્રિકોણના બાહ્ય કોણ પરના પ્રમેય પરથી તે અનુસરે છે કે ∠ 4 એ ∠ 6 કરતા મોટો છે, અને આ સ્થિતિનો વિરોધાભાસ કરે છે, જેનો અર્થ છે કે રેખાઓ a અને 6 એકબીજાને છેદતી નથી, તેથી તેઓ સમાંતર છે.

કોરોલરી 1. સમાન રેખાના લંબરૂપ સમતલમાં બે જુદી જુદી રેખાઓ સમાંતર હોય છે(ફિગ. 2).

ટિપ્પણી. આપણે જે રીતે પ્રમેય 1 નો કેસ 1 સાબિત કર્યો છે તેને વિરોધાભાસ અથવા વાહિયાતતામાં ઘટાડો દ્વારા સાબિતીની પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે. આ પદ્ધતિને તેનું પ્રથમ નામ મળ્યું કારણ કે દલીલની શરૂઆતમાં એક ધારણા કરવામાં આવે છે જે સાબિત કરવાની જરૂર છે તેનાથી વિરુદ્ધ (વિરુદ્ધ) છે. તે હકીકતને કારણે વાહિયાતતા તરફ દોરી જવાનું કહેવામાં આવે છે કારણ કે, ધારણાના આધારે તર્ક કરીને, આપણે વાહિયાત નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ (વાહિયાત તરફ). આવા નિષ્કર્ષ પ્રાપ્ત કરવાથી આપણે શરૂઆતમાં બનાવેલી ધારણાને નકારી કાઢવા અને જે સાબિત કરવાની જરૂર છે તેને સ્વીકારવાની ફરજ પાડે છે.

કાર્ય 1.આપેલ બિંદુ M માંથી પસાર થતી રેખા બનાવો અને આપેલ રેખા a ની સમાંતર, બિંદુ M માંથી પસાર થતી નથી.

ઉકેલ. અમે બિંદુ M દ્વારા સીધી રેખા a (ફિગ. 3) માટે લંબરૂપ સીધી રેખા p દોરીએ છીએ.

પછી આપણે રેખા p પર લંબરૂપ M બિંદુ દ્વારા બી રેખા દોરીએ છીએ. પ્રમેય 1 ના કોરોલરી અનુસાર રેખા b એ રેખા aની સમાંતર છે.

ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલી સમસ્યામાંથી એક મહત્વપૂર્ણ નિષ્કર્ષ નીચે મુજબ છે:
આપેલ રેખા પર ન પડેલા બિંદુ દ્વારા, આપેલ રેખાની સમાંતર રેખા દોરવાનું હંમેશા શક્ય છે.

સમાંતર રેખાઓની મુખ્ય મિલકત નીચે મુજબ છે.

સમાંતર રેખાઓનો સ્વયંસિદ્ધ. આપેલ બિંદુ દ્વારા જે આપેલ રેખા પર આવેલો નથી, ત્યાં આપેલ એકની સમાંતર માત્ર એક રેખા પસાર થાય છે.

ચાલો સમાંતર રેખાઓના કેટલાક ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈએ જે આ ગૃહીતથી અનુસરે છે.

1) જો રેખા બે સમાંતર રેખાઓમાંથી એકને છેદે છે, તો તે બીજીને પણ છેદે છે (ફિગ. 4).

2) જો બે જુદી જુદી રેખાઓ ત્રીજી રેખાની સમાંતર હોય, તો તે સમાંતર છે (ફિગ. 5).

નીચેનું પ્રમેય પણ સાચું છે.

પ્રમેય 2. જો બે સમાંતર રેખાઓ ટ્રાંસવર્સલ દ્વારા છેદે છે, તો પછી:

ક્રોસવાઇઝ ખૂણા સમાન છે;

અનુરૂપ ખૂણા સમાન છે;

એકતરફી ખૂણાઓનો સરવાળો 180° છે.

કોરોલરી 2. જો રેખા બે સમાંતર રેખાઓમાંથી એકને લંબરૂપ હોય, તો તે બીજી રેખાને પણ લંબરૂપ હોય છે.(ફિગ 2 જુઓ).

ટિપ્પણી. પ્રમેય 2 ને પ્રમેય 1 નું વ્યસ્ત કહેવામાં આવે છે. પ્રમેય 1 નું નિષ્કર્ષ એ પ્રમેય 2 ની સ્થિતિ છે. અને પ્રમેય 1 ની સ્થિતિ પ્રમેય 2 નું નિષ્કર્ષ છે. દરેક પ્રમેયમાં વ્યસ્ત નથી, એટલે કે, જો આપેલ પ્રમેય સાચું, તો વિપરીત પ્રમેય ખોટું હોઈ શકે છે.

ચાલો ઊભી ખૂણા પરના પ્રમેયના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને આને સમજાવીએ. આ પ્રમેય નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છે: જો બે ખૂણા ઊભા હોય, તો તે સમાન હોય છે. કન્વર્ઝ પ્રમેય આ હશે: જો બે ખૂણા સમાન હોય, તો તે લંબરૂપ છે. અને આ, અલબત્ત, સાચું નથી. બે સમાન ખૂણાઓ ઊભા હોવા જરૂરી નથી.

ઉદાહરણ 1.બે સમાંતર રેખાઓ ત્રીજા દ્વારા ઓળંગી છે. તે જાણીતું છે કે બે આંતરિક એકતરફી ખૂણા વચ્ચેનો તફાવત 30° છે. આ ખૂણાઓ શોધો.

ઉકેલ. આકૃતિ 6 ને શરત પૂરી કરવા દો.