ત્રિકોણ એ ભૌમિતિક આકૃતિ છે જેમાં ત્રણ સીધી રેખાઓ હોય છે જે એક જ સીધી રેખા પર ન હોય તેવા બિંદુઓ પર જોડાય છે. રેખાઓના જોડાણ બિંદુઓ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે, જે લેટિન અક્ષરો દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે (ઉદાહરણ તરીકે, A, B, C). ત્રિકોણની જોડતી સીધી રેખાઓને સેગમેન્ટ્સ કહેવામાં આવે છે, જે સામાન્ય રીતે લેટિન અક્ષરો દ્વારા પણ સૂચવવામાં આવે છે. નીચેના પ્રકારના ત્રિકોણને અલગ પાડવામાં આવે છે:
- લંબચોરસ.
- સ્થૂળ.
- તીવ્ર કોણીય.
- બહુમુખી.
- સમભુજ.
- સમદ્વિબાજુ.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટે સામાન્ય સૂત્રો
લંબાઈ અને ઊંચાઈના આધારે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર
S= a*h/2,
જ્યાં a એ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ છે જેનો વિસ્તાર શોધવાની જરૂર છે, h એ આધાર તરફ દોરેલી ઊંચાઈની લંબાઈ છે.
હેરોનનું સૂત્ર
S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
જ્યાં √ એ વર્ગમૂળ છે, p એ ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ છે, a,b,c એ ત્રિકોણની દરેક બાજુની લંબાઈ છે. સૂત્ર p=(a+b+c)/2 નો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિની ગણતરી કરી શકાય છે.
કોણ અને સેગમેન્ટની લંબાઈના આધારે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર
S = (a*b*sin(α))/2,
જ્યાં b,c એ ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ છે, sin(α) એ બે બાજુઓ વચ્ચેના ખૂણાની સાઈન છે.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર, અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા અને ત્રણ બાજુઓ આપેલ છે
S=p*r,
જ્યાં p એ ત્રિકોણનો અર્ધ-પરિમિતિ છે જેનો વિસ્તાર શોધવાની જરૂર છે, r એ આ ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
ત્રણ બાજુઓ પર આધારિત ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર અને તેની ફરતે ઘેરાયેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા
S= (a*b*c)/4*R,
જ્યાં a,b,c એ ત્રિકોણની દરેક બાજુની લંબાઇ છે, R એ ત્રિકોણની ફરતે ઘેરાયેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
બિંદુઓના કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર
પોઈન્ટના કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ એ xOy સિસ્ટમમાં કોઓર્ડિનેટ્સ છે, જ્યાં x એ એબ્સીસા છે, y એ ઓર્ડિનેટ છે. પ્લેન પરની કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ xOy એ બિંદુ O પર સામાન્ય મૂળ સાથે પરસ્પર લંબરૂપ સંખ્યાત્મક અક્ષો Ox અને Oy છે. જો આ પ્લેન પરના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ A(x1, y1), B(x2, y2) સ્વરૂપમાં આપવામાં આવે છે ) અને C(x3, y3 ), પછી તમે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરી શકો છો, જે બે વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનમાંથી મેળવવામાં આવે છે.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
જ્યાં || મોડ્યુલ માટે વપરાય છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનો વિસ્તાર કેવી રીતે શોધવો
જમણો ત્રિકોણ એ ત્રિકોણ છે જેનો એક ખૂણો 90 ડિગ્રી છે. ત્રિકોણમાં આવો એક જ ખૂણો હોઈ શકે છે.
બે બાજુઓ પરના કાટકોણ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર
S= a*b/2,
જ્યાં a,b એ પગની લંબાઈ છે. પગ એ જમણા ખૂણાને અડીને બાજુઓ છે.
કર્ણ અને તીવ્ર કોણ પર આધારિત કાટકોણ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર
S = a*b*sin(α)/ 2,
જ્યાં a, b ત્રિકોણના પગ છે, અને sin(α) એ કોણની સાઈન છે કે જેના પર a, b રેખાઓ છેદે છે.
બાજુ અને વિરોધી ખૂણા પર આધારિત કાટકોણ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર
S = a*b/2*tg(β),
જ્યાં a, b ત્રિકોણના પગ છે, tan(β) એ કોણની સ્પર્શક છે કે જેના પર પગ a, b જોડાયેલા છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કેવી રીતે કરવી
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ તે છે જેની બે સમાન બાજુઓ હોય છે. આ બાજુઓને બાજુઓ કહેવામાં આવે છે, અને બીજી બાજુ આધાર છે. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે, તમે નીચેનામાંથી એક સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટે મૂળભૂત સૂત્ર
S=h*c/2,
જ્યાં c એ ત્રિકોણનો આધાર છે, h એ ત્રિકોણની ઊંચાઈ છે જે પાયા સુધી નીચે આવે છે.
બાજુ અને આધાર પર આધારિત સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનું સૂત્ર
S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
જ્યાં c એ ત્રિકોણનો આધાર છે, a એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની એક બાજુનું કદ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કેવી રીતે શોધવું
સમભુજ ત્રિકોણ એ ત્રિકોણ છે જેમાં બધી બાજુઓ સમાન હોય છે. સમભુજ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે, તમે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો:
S = (√3*a*a)/4,
જ્યાં a એ સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ છે.
ઉપરોક્ત સૂત્રો તમને ત્રિકોણના જરૂરી વિસ્તારની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપશે. તે યાદ રાખવું અગત્યનું છે કે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે, તમારે ત્રિકોણના પ્રકાર અને ગણતરી માટે ઉપયોગમાં લઈ શકાય તેવા ઉપલબ્ધ ડેટાને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે.
જીવનમાં કેટલીકવાર એવી પરિસ્થિતિઓ હોય છે જ્યારે તમારે લાંબા સમયથી ભૂલી ગયેલા શાળાના જ્ઞાનની શોધમાં તમારી યાદશક્તિમાં શોધવું પડે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમારે જમીનના ત્રિકોણાકાર આકારના પ્લોટનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવાની જરૂર છે, અથવા એપાર્ટમેન્ટ અથવા ખાનગી મકાનમાં અન્ય નવીનીકરણનો સમય આવી ગયો છે, અને તમારે ગણતરી કરવાની જરૂર છે કે સપાટી માટે કેટલી સામગ્રીની જરૂર પડશે. ત્રિકોણાકાર આકાર. એક સમય હતો જ્યારે તમે આવી સમસ્યાને થોડી મિનિટોમાં હલ કરી શકતા હતા, પરંતુ હવે તમે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કેવી રીતે નક્કી કરવું તે યાદ કરવાનો સખત પ્રયાસ કરી રહ્યાં છો?
તેના વિશે ચિંતા કરશો નહીં! છેવટે, તે એકદમ સામાન્ય છે જ્યારે વ્યક્તિનું મગજ લાંબા સમયથી ન વપરાયેલ જ્ઞાનને ક્યાંક દૂરના ખૂણામાં સ્થાનાંતરિત કરવાનું નક્કી કરે છે, જ્યાંથી કેટલીકવાર તેને કાઢવાનું એટલું સરળ નથી. આવી સમસ્યાને ઉકેલવા માટે તમારે ભૂલી ગયેલા શાળા જ્ઞાનની શોધમાં સંઘર્ષ ન કરવો પડે તે માટે, આ લેખમાં વિવિધ પદ્ધતિઓ છે જે ત્રિકોણના જરૂરી ક્ષેત્રને શોધવાનું સરળ બનાવે છે.
તે જાણીતું છે કે ત્રિકોણ એ બહુકોણનો એક પ્રકાર છે જે બાજુઓની ન્યૂનતમ સંભવિત સંખ્યા સુધી મર્યાદિત છે. સૈદ્ધાંતિક રીતે, કોઈપણ બહુકોણને તેના શિરોબિંદુઓને તેની બાજુઓને છેદતા ન હોય તેવા ભાગો સાથે જોડીને અનેક ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. તેથી, ત્રિકોણને જાણીને, તમે લગભગ કોઈપણ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરી શકો છો.
જીવનમાં બનતા તમામ સંભવિત ત્રિકોણમાં, નીચેના ચોક્કસ પ્રકારોને ઓળખી શકાય છે: અને લંબચોરસ.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો એ છે કે જ્યારે તેનો એક ખૂણો સાચો હોય, એટલે કે કાટકોણ ત્રિકોણના કિસ્સામાં. તે જોવાનું સરળ છે કે તે અડધો લંબચોરસ છે. તેથી, તેનો વિસ્તાર બાજુઓના અડધા ઉત્પાદન જેટલો છે જે એકબીજા સાથે જમણો ખૂણો બનાવે છે.
જો આપણે ત્રિકોણની ઊંચાઈ જાણીએ, જે તેના એક શિરોબિંદુથી વિરુદ્ધ બાજુએ નીચી હોય અને આ બાજુની લંબાઈ, જેને આધાર કહેવાય છે, તો વિસ્તારની ગણતરી ઊંચાઈ અને પાયાના અડધા ગુણાંક તરીકે કરવામાં આવે છે. આ નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને લખાયેલ છે:
S = 1/2*b*h, જેમાં
S એ ત્રિકોણનો આવશ્યક વિસ્તાર છે;
b, h - અનુક્રમે, ત્રિકોણની ઊંચાઈ અને આધાર.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવી ખૂબ જ સરળ છે કારણ કે ઊંચાઈ વિરુદ્ધ બાજુને દ્વિભાજિત કરશે અને સરળતાથી માપી શકાય છે. જો ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવામાં આવે, તો ઉંચાઈ તરીકે જમણો ખૂણો બનાવતી બાજુઓમાંથી એકની લંબાઈ લેવી અનુકૂળ છે.
આ બધું અલબત્ત સારું છે, પરંતુ ત્રિકોણનો એક ખૂણો સાચો છે કે નહીં તે કેવી રીતે નક્કી કરવું? જો આપણી આકૃતિનું કદ નાનું હોય, તો આપણે બાંધકામ કોણ, ડ્રોઇંગ ત્રિકોણ, પોસ્ટકાર્ડ અથવા લંબચોરસ આકારવાળા અન્ય ઑબ્જેક્ટનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
પરંતુ જો આપણી પાસે જમીનનો ત્રિકોણાકાર પ્લોટ હોય તો શું? આ કિસ્સામાં, નીચે પ્રમાણે આગળ વધો: એક બાજુએ 3 (30 સે.મી., 90 સે.મી., 3 મીટર) ના અંતરના ગુણાંકમાં માનવામાં આવેલા જમણા ખૂણોની ટોચ પરથી ગણતરી કરો અને બીજી બાજુ તે જ અંતર 4 ના ગુણાંકને માપો. પ્રમાણ (40 cm, 160 cm, 4 m). હવે તમારે આ બે વિભાગોના અંતિમ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર માપવાની જરૂર છે. જો પરિણામ 5 (50 cm, 250 cm, 5 m) નો ગુણાંક હોય, તો આપણે કહી શકીએ કે કોણ સાચો છે.
જો આપણી આકૃતિની ત્રણેય બાજુઓની લંબાઈ જાણીતી હોય, તો હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરી શકાય છે. તેને સરળ સ્વરૂપ આપવા માટે, એક નવું મૂલ્ય વપરાય છે, જેને અર્ધ-પરિમિતિ કહેવામાં આવે છે. આ આપણા ત્રિકોણની બધી બાજુઓનો સરવાળો છે, જે અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલો છે. અર્ધ-પરિમિતિની ગણતરી કર્યા પછી, તમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તાર નક્કી કરવાનું શરૂ કરી શકો છો:
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), ક્યાં
sqrt - વર્ગમૂળ;
p - અર્ધ-પરિમિતિ મૂલ્ય (p = (a+b+c)/2);
a, b, c - ત્રિકોણની ધાર (બાજુઓ).
પરંતુ જો ત્રિકોણનો આકાર અનિયમિત હોય તો શું? અહીં બે સંભવિત રસ્તાઓ છે. તેમાંથી પ્રથમ આવી આકૃતિને બે જમણા ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરવાનો પ્રયાસ કરવાનો છે, જેનાં ક્ષેત્રોનો સરવાળો અલગથી ગણવામાં આવે છે, અને પછી ઉમેરવામાં આવે છે. અથવા, જો બે બાજુઓ વચ્ચેનો કોણ અને આ બાજુઓનું કદ જાણીતું હોય, તો સૂત્ર લાગુ કરો:
S = 0.5 * ab * sinC, જ્યાં
a,b - ત્રિકોણની બાજુઓ;
c એ આ બાજુઓ વચ્ચેના ખૂણાનું કદ છે.
પછીનો કેસ વ્યવહારમાં દુર્લભ છે, પરંતુ તેમ છતાં, જીવનમાં બધું જ શક્ય છે, તેથી ઉપરોક્ત સૂત્ર અનાવશ્યક રહેશે નહીં. તમારી ગણતરીઓ સાથે સારા નસીબ!
વિસ્તારનો ખ્યાલ
કોઈપણ ભૌમિતિક આકૃતિના ક્ષેત્રફળની વિભાવના, ખાસ કરીને ત્રિકોણ, ચોરસ જેવી આકૃતિ સાથે સંકળાયેલ હશે. કોઈપણ ભૌમિતિક આકૃતિના એકમ ક્ષેત્રફળ માટે આપણે ચોરસનો વિસ્તાર લઈશું જેની બાજુ એક સમાન છે. સંપૂર્ણતા માટે, ચાલો આપણે ભૌમિતિક આકૃતિઓના ક્ષેત્રોના ખ્યાલ માટે બે મૂળભૂત ગુણધર્મોને યાદ કરીએ.
મિલકત 1:જો ભૌમિતિક આકૃતિઓ સમાન છે, તો તેમના ક્ષેત્રો પણ સમાન છે.
મિલકત 2:કોઈપણ આકૃતિને અનેક આકૃતિઓમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. તદુપરાંત, મૂળ આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ તેના તમામ ઘટક આકૃતિઓના ક્ષેત્રોના સરવાળા જેટલું છે.
ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ.
ઉદાહરણ 1
દેખીતી રીતે, ત્રિકોણની એક બાજુ લંબચોરસનો કર્ણ છે, જેની એક બાજુની લંબાઈ $5$ છે (કારણ કે $5$ કોષો છે) અને બીજી $6$ છે (કારણ કે $6$ કોષો છે). તેથી, આ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ આવા લંબચોરસના અડધા જેટલું હશે. લંબચોરસનો વિસ્તાર છે
પછી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બરાબર છે
જવાબ: $15$.
આગળ, આપણે ત્રિકોણના ક્ષેત્રો શોધવા માટે ઘણી પદ્ધતિઓનો વિચાર કરીશું, જેમ કે ઊંચાઈ અને આધારનો ઉપયોગ કરીને, હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અને સમભુજ ત્રિકોણનો વિસ્તાર.
ત્રિકોણનો વિસ્તાર તેની ઊંચાઈ અને આધારનો ઉપયોગ કરીને કેવી રીતે શોધવો
પ્રમેય 1
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ એક બાજુની લંબાઈ અને તે બાજુની ઊંચાઈના અડધા ગુણાંક તરીકે શોધી શકાય છે.
ગાણિતિક રીતે તે આના જેવું લાગે છે
$S=\frac(1)(2)αh$
જ્યાં $a$ એ બાજુની લંબાઈ છે, $h$ એ તેની તરફ દોરેલી ઊંચાઈ છે.
પુરાવો.
ત્રિકોણ $ABC$ ને ધ્યાનમાં લો જેમાં $AC=α$. ઊંચાઈ $BH$ આ બાજુ દોરવામાં આવે છે, જે $h$ ની બરાબર છે. ચાલો તેને આકૃતિ 2 ની જેમ $AXYC$ ચોરસ સુધી બનાવીએ.
લંબચોરસ $AXBH$ નો વિસ્તાર $h\cdot AH$ છે, અને લંબચોરસ $HBYC$ નો વિસ્તાર $h\cdot HC$ છે. પછી
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
તેથી, ત્રિકોણનું આવશ્યક ક્ષેત્ર, ગુણધર્મ 2 દ્વારા, બરાબર છે
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
પ્રમેય સાબિત થયો છે.
ઉદાહરણ 2
જો કોષનો વિસ્તાર એક સમાન હોય તો નીચેની આકૃતિમાં ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો
આ ત્રિકોણનો આધાર $9$ બરાબર છે (કારણ કે $9$ $9$ ચોરસ છે). ઊંચાઈ પણ $9$ છે. પછી, પ્રમેય 1 દ્વારા, આપણને મળે છે
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$
જવાબ: $40.5$.
હેરોનનું સૂત્ર
પ્રમેય 2
જો આપણને ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓ $α$, $β$ અને $γ$ આપવામાં આવે, તો તેનો વિસ્તાર નીચે પ્રમાણે શોધી શકાય છે.
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
અહીં $ρ$ એટલે આ ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ.
પુરાવો.
નીચેની આકૃતિ ધ્યાનમાં લો:
પાયથાગોરિયન પ્રમેય દ્વારા, ત્રિકોણમાંથી આપણે $ABH$ મેળવીએ છીએ
ત્રિકોણ $CBH$ થી, પાયથાગોરિયન પ્રમેય મુજબ, આપણી પાસે છે
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
આ બે સંબંધોમાંથી આપણને સમાનતા મળે છે
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
ત્યારથી $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, પછી $α+β+γ=2ρ$, જેનો અર્થ થાય છે
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
પ્રમેય 1 દ્વારા, આપણે મેળવીએ છીએ
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
સૂચનાઓ
1. બે પગ માટે S = a * b/2, a, b – પગ,
ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટેનો બીજો વિકલ્પ કોટેન્જેન્ટને બદલે જાણીતા ખૂણાઓની સાઈનનો ઉપયોગ કરે છે. આ સંસ્કરણમાં ચોરસજાણીતી બાજુની લંબાઇના વર્ગની બરાબર છે, દરેક ખૂણાના સાઇન્સ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે અને આ ખૂણાઓની ડબલ સાઇન વડે ભાગવામાં આવે છે: S = A*A*sin(α)*sin(β)/(2 *પાપ(α + β)). ઉદાહરણ તરીકે, 15 સે.મી.ની જાણીતી બાજુ સાથે સમાન ત્રિકોણ માટે, અને તેની બાજુમાં ખૂણા 40° અને 60° પર, વિસ્તારની ગણતરી આના જેવી દેખાશે: (15*15*sin(40)*sin(60))/(2*sin(40+60)) = 225*0.74511316*(-0.304810621) /( 2*(-0.506365641)) = -51.1016411/-1.01273128 = 50.4592305 ચોરસ સેન્ટિમીટર.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરીના સંસ્કરણમાં ખૂણાઓનો સમાવેશ થાય છે. વિસ્તાર જાણીતી બાજુની લંબાઈના ચોરસ જેટલો હશે, દરેક ખૂણાના સ્પર્શક વડે ગુણાકાર કરવામાં આવશે અને આ ખૂણાઓના સ્પર્શકોના સરવાળાના બમણા વડે ભાગવામાં આવશે: S = A*A*tg(α)*tg (β)/2(tg(α)+tg(β) ). ઉદાહરણ તરીકે, 15 સે.મી.ની બાજુ અને અડીને અગાઉના પગલાઓમાં વપરાયેલ ત્રિકોણ માટે ખૂણા 40° અને 60° પર, વિસ્તારની ગણતરી આના જેવી દેખાશે: (15*15*tg(40)*tg(60))/(2*(tg(40)+tg(60)) = (225*( -1.11721493 )*0.320040389)/(2*(-1.11721493+0.320040389)) = -80.4496277/-1.59434908 = 50.4592305 ચોરસ સેન્ટિમીટર.
ત્રિકોણ એ ત્રણ શિરોબિંદુઓ અને ત્રણ બાજુઓ ધરાવતો સૌથી સરળ બહુકોણ છે. ત્રિકોણ, જેનો એક ખૂણો સાચો હોય, તેને કાટકોણ ત્રિકોણ કહેવાય છે. કાટકોણ ત્રિકોણ માટે, સામાન્ય ત્રિકોણ માટેના તમામ સૂત્રો લાગુ પડે છે. જો કે, જમણા ખૂણાના ગુણધર્મને ધ્યાનમાં રાખીને તેમાં ફેરફાર કરી શકાય છે.
સૂચનાઓ
વિસ્તાર શોધવા માટે મૂળભૂત ત્રિકોણનીચે પ્રમાણે આધાર દ્વારા: S = 1/2 * b * h, જ્યાં b બાજુ છે ત્રિકોણ, અને h - ત્રિકોણ. ઊંચાઈ ત્રિકોણશિરોબિંદુમાંથી દોરવામાં આવેલ લંબ છે ત્રિકોણવિપરીત સમાવિષ્ટ લીટી પર. લંબચોરસ માટે ત્રિકોણઊંચાઈ k b લેગ a સાથે એકરુપ છે. આ રીતે તમને વિસ્તારની ગણતરી કરવા માટેનું સૂત્ર મળશે ત્રિકોણકોણ સાથે: S = 1/2 * a * b.
ધ્યાનમાં લો. ચાલો એક લંબચોરસ a = 3, b = 4. પછી S = 1/2 * 3 * 4 = 6. ગણતરી કરો ચોરસસમાન ત્રિકોણ, પરંતુ હવે માત્ર એક બાજુ જાણીએ, b = 4. અને કોણ α, tan α = 3/4 પણ જાણીતો છે. પછી, ત્રિકોણમિતિ કાર્ય સ્પર્શક α માટે અભિવ્યક્તિમાંથી, લેગ a: tg α = a = b * tan α. લંબચોરસના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે આ મૂલ્યને સૂત્રમાં બદલો ત્રિકોણઅને આપણને મળે છે: S = 1/2 * a * b = 1/2 * b^2 * tan α = 1/2 * 16 * 3/4 = 6.
સમદ્વિબાજુ લંબચોરસના ક્ષેત્રફળની ગણતરીને વિશેષ કેસ તરીકે ધ્યાનમાં લો ત્રિકોણ. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ એક ત્રિકોણ છે જેમાં બે બાજુઓ એકબીજાની સમાન હોય છે. લંબચોરસના કિસ્સામાં ત્રિકોણતે a = b બહાર આવ્યું છે. આ કેસ માટે પાયથાગોરિયન પ્રમેય લખો: c^2 = a^2 + b^2 = 2 * a^2. આગળ, આ મૂલ્યને નીચે પ્રમાણે વિસ્તારની ગણતરી માટે સૂત્રમાં બદલો: S = 1/2 * a * b = 1/2 * a^2 = 1/2 * (c^2 / 2) = c^2 / 4 .
જો અંકિત વર્તુળ r અને પરિપત્ર R ની ત્રિજ્યા જાણીતી હોય, તો ચોરસલંબચોરસ ત્રિકોણસૂત્ર S = r^2 + 2 * r * R દ્વારા ગણવામાં આવે છે. ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા r = 1, પરિક્રમિત વર્તુળની ત્રિજ્યા હોવા દો ત્રિકોણવર્તુળ R = 5/2. પછી S = 1 + 2 * 1 * 5 / 2 = 6.
વિષય પર વિડિઓ
ઉપયોગી સલાહ
કાટકોણ ત્રિકોણની ફરતે ઘેરાયેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા અડધા કર્ણોની બરાબર છે: R = c / 2. કાટકોણ ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા સૂત્ર r = (a + b – c) / 2 દ્વારા જોવા મળે છે.
આ એક સરળ ભૌમિતિક આકૃતિઓ છે, જેમાં જોડીમાં ત્રણ બિંદુઓને જોડતા ત્રણ વિભાગો પ્લેનના એક ભાગને મર્યાદિત કરે છે. વિવિધ સંયોજનોમાં ત્રિકોણના કેટલાક પરિમાણો (બાજુઓની લંબાઈ, ખૂણા, અંકિત અથવા પરિમાણિત વર્તુળની ત્રિજ્યા, ઊંચાઈ, વગેરે) નું જ્ઞાન તમને પ્લેનના આ મર્યાદિત વિભાગના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે.
સૂચનાઓ
જો ત્રિકોણ (A અને B) ની બે બાજુઓની લંબાઈ અને તેમના કોણ (γ) ની તીવ્રતા જાણીતી હોય, તો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ (S) બાજુઓની લંબાઈના અડધા ગુણાંક જેટલું હશે અને જાણીતા કોણની સાઈન: S=A∗B∗sin(γ)/2.
જો મનસ્વી ત્રિકોણમાં ત્રણેય બાજુઓ (A, B અને C) ની લંબાઈ જાણીતી હોય, તો તેના ક્ષેત્રફળ (S) ની ગણતરી કરવા માટે વધારાના ચલ - અર્ધ-પરિમિતિ (p) ને રજૂ કરવું વધુ અનુકૂળ છે. આ ચલની ગણતરી બધી બાજુઓની લંબાઈના અડધા સરવાળામાં કરવામાં આવે છે: p=(A+B+C)/2. આ ચલનો ઉપયોગ કરીને આ ચલ પરના અર્ધ-પરિમિતિના ઉત્પાદનના વર્ગમૂળ અને બાજુઓની લંબાઈ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે: S=√(p∗(p-A)∗(p-B)∗(p-C)).
જો, બધી બાજુઓ (A, B અને C) ની લંબાઈ ઉપરાંત, મનસ્વી ત્રિકોણની નજીક પરિક્રમા કરાયેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા (R) ની લંબાઈ પણ જાણીતી છે, તો પછી તમે અર્ધ-પરિમિતિ વિના કરી શકો છો - વિસ્તાર (S) વર્તુળની ચતુર્થાંશ ત્રિજ્યા સુધીની બધી બાજુઓની લંબાઈના ગુણોત્તર સમાન હશે: S=A ∗B∗C/(4∗R).
જો ત્રિકોણના તમામ ખૂણાઓ (α, β અને γ) અને તેની એક બાજુ (A) ની લંબાઈ જાણીતી હોય, તો ક્ષેત્રફળ (S) ચોરસના ગુણોત્તર સમાન હશે. સામેના એક ખૂણાના ડબલ સાઈનને અડીને આવેલા બે ખૂણાઓની સાઈન દ્વારા જાણીતી બાજુની લંબાઈ: S=A²∗sin(β)∗sin(γ)/(2∗sin(α)).
જો મનસ્વી ત્રિકોણ (α, β અને γ) ના તમામ ખૂણાઓના મૂલ્યો અને પરિક્રમિત વર્તુળની ત્રિજ્યા (R) જાણીતી હોય, તો ક્ષેત્રફળ (S) ત્રિજ્યાના ચોરસના બમણા સમાન હશે અને બધા ખૂણાઓની સાઈન: S=2∗R²∗sin(α)∗ sin(β)∗sin(γ).
વિષય પર વિડિઓ
ત્રિકોણનું કદ શોધવું એ ખરેખર બિન-તુચ્છ કાર્ય છે. હકીકત એ છે કે ત્રિકોણ એ દ્વિ-પરિમાણીય આકૃતિ છે, એટલે કે. તે સંપૂર્ણપણે એક પ્લેનમાં આવેલું છે, જેનો અર્થ છે કે તેની પાસે કોઈ વોલ્યુમ નથી. અલબત્ત, તમે એવી કોઈ વસ્તુ શોધી શકતા નથી જે અસ્તિત્વમાં નથી. પરંતુ ચાલો હાર ન માનીએ! અમે નીચેની ધારણા સ્વીકારી શકીએ છીએ: દ્વિ-પરિમાણીય આકૃતિનું કદ તેનું ક્ષેત્રફળ છે. આપણે ત્રિકોણનો વિસ્તાર શોધીશું.
તમને જરૂર પડશે
- કાગળની શીટ, પેન્સિલ, શાસક, કેલ્ક્યુલેટર
સૂચનાઓ
શાસક અને પેન્સિલનો ઉપયોગ કરીને કાગળના ટુકડા પર દોરો. ત્રિકોણની કાળજીપૂર્વક તપાસ કરીને, તમે ખાતરી કરી શકો છો કે તેમાં ખરેખર ત્રિકોણ નથી, કારણ કે તે પ્લેન પર દોરવામાં આવ્યું છે. ત્રિકોણની બાજુઓને લેબલ કરો: એક બાજુ "a", બીજી બાજુ "b" અને ત્રીજી બાજુ "c" હોવા દો. ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓને "A", "B" અને "C" અક્ષરો સાથે લેબલ કરો.
ત્રિકોણની કોઈપણ બાજુને શાસક વડે માપો અને પરિણામ લખો. આ પછી, તેની વિરુદ્ધ શિરોબિંદુમાંથી માપેલી બાજુના લંબને પુનઃસ્થાપિત કરો, આવી લંબ ત્રિકોણની ઊંચાઈ હશે. આકૃતિમાં બતાવેલ કિસ્સામાં, લંબરૂપ "h" શિરોબિંદુ "A" માંથી બાજુ "c" પર પુનઃસ્થાપિત થાય છે. પરિણામી ઊંચાઈને શાસક વડે માપો અને માપન પરિણામ લખો.
તમારા માટે ચોક્કસ લંબને પુનઃસ્થાપિત કરવું મુશ્કેલ હોઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં, તમારે એક અલગ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ. ત્રિકોણની બધી બાજુઓને શાસક વડે માપો. આ પછી, બાજુઓની પરિણામી લંબાઈ ઉમેરીને અને તેમના સરવાળાને અડધા ભાગમાં વહેંચીને ત્રિકોણ "p" ની અર્ધ-પરિમિતિની ગણતરી કરો. તમારા નિકાલ પર અર્ધ-પરિમિતિનું મૂલ્ય રાખવાથી, તમે હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો. આ કરવા માટે, તમારે નીચેનાનું વર્ગમૂળ લેવાની જરૂર છે: p(p-a)(p-b)(p-c).
તમે ત્રિકોણનો જરૂરી વિસ્તાર મેળવી લીધો છે. ત્રિકોણનું કદ શોધવાની સમસ્યા હલ થઈ નથી, પરંતુ ઉપર જણાવ્યા મુજબ, વોલ્યુમ નથી. તમે ત્રિ-પરિમાણીય વિશ્વમાં આવશ્યકપણે એક ત્રિકોણ છે તે વોલ્યુમ શોધી શકો છો. જો આપણે કલ્પના કરીએ કે આપણો મૂળ ત્રિકોણ ત્રિ-પરિમાણીય પિરામિડ બની ગયો છે, તો આવા પિરામિડનું કદ આપણે મેળવેલા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ દ્વારા તેના પાયાની લંબાઈનું ઉત્પાદન હશે.
મહેરબાની કરીને નોંધ કરો
તમે જેટલી કાળજીપૂર્વક માપશો, તમારી ગણતરીઓ વધુ સચોટ હશે.
સ્ત્રોતો:
- કેલ્ક્યુલેટર "એવરીથિંગ ટુ એવરીથિંગ" - સંદર્ભ મૂલ્યો માટેનું પોર્ટલ
- ત્રિકોણનું પ્રમાણ
ત્રિકોણ એ સૌથી સરળ ભૌમિતિક આકૃતિ છે, જેમાં ત્રણ બાજુઓ અને ત્રણ શિરોબિંદુઓ હોય છે. તેની સરળતાને લીધે, ત્રિકોણનો ઉપયોગ પ્રાચીન સમયથી વિવિધ માપ લેવા માટે કરવામાં આવે છે, અને આજે આકૃતિ વ્યવહારુ અને રોજિંદા સમસ્યાઓના ઉકેલ માટે ઉપયોગી થઈ શકે છે.
ત્રિકોણની વિશેષતાઓ
આકૃતિનો ઉપયોગ પ્રાચીન સમયથી ગણતરી માટે કરવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, જમીન સર્વેક્ષણકર્તાઓ અને ખગોળશાસ્ત્રીઓ વિસ્તારો અને અંતરની ગણતરી કરવા માટે ત્રિકોણના ગુણધર્મો સાથે કાર્ય કરે છે. આ આકૃતિના ક્ષેત્રફળ દ્વારા કોઈપણ n-gon ના ક્ષેત્રફળને વ્યક્ત કરવું સરળ છે, અને આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ પ્રાચીન વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા બહુકોણના વિસ્તારો માટે સૂત્રો મેળવવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો. ત્રિકોણ સાથે સતત કામ, ખાસ કરીને જમણો ત્રિકોણ, ગણિતની સંપૂર્ણ શાખા - ત્રિકોણમિતિ માટેનો આધાર બની ગયો.
ત્રિકોણ ભૂમિતિ
પ્રાચીન કાળથી ભૌમિતિક આકૃતિના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે: ત્રિકોણ વિશેની સૌથી પ્રાચીન માહિતી 4,000 વર્ષ પહેલાં ઇજિપ્તની પેપિરીમાં મળી આવી હતી. પછી પ્રાચીન ગ્રીસમાં આકૃતિનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો અને ત્રિકોણની ભૂમિતિમાં સૌથી મોટું યોગદાન યુક્લિડ, પાયથાગોરસ અને હેરોન દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું. ત્રિકોણનો અભ્યાસ ક્યારેય બંધ ન થયો અને 18મી સદીમાં લિયોનહાર્ડ યુલરે આકૃતિના ઓર્થોસેન્ટર અને યુલર વર્તુળનો ખ્યાલ રજૂ કર્યો. 19મી અને 20મી સદીના વળાંક પર, જ્યારે એવું લાગતું હતું કે ત્રિકોણ વિશે સંપૂર્ણપણે બધું જ જાણીતું છે, ત્યારે ફ્રેન્ક મોર્લીએ કોણ ત્રિકોણ પર પ્રમેય ઘડ્યો, અને વેકલો સિઅરપિન્સકીએ ખંડિત ત્રિકોણનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો.
ત્યાં ઘણા પ્રકારના સપાટ ત્રિકોણ છે જે અમને શાળા ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમોથી પરિચિત છે:
- તીવ્ર - આકૃતિના બધા ખૂણા તીવ્ર છે;
- સ્થૂળ - આકૃતિમાં એક સ્થૂળ કોણ છે (90 ડિગ્રીથી વધુ);
- લંબચોરસ - આકૃતિમાં 90 ડિગ્રી સમાન એક જમણો કોણ છે;
- સમદ્વિબાજુ - બે સમાન બાજુઓ સાથેનો ત્રિકોણ;
- સમભુજ - બધી સમાન બાજુઓ સાથેનો ત્રિકોણ.
- વાસ્તવિક જીવનમાં તમામ પ્રકારના ત્રિકોણ હોય છે, અને કેટલાક કિસ્સાઓમાં આપણે ભૌમિતિક આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવાની જરૂર પડી શકે છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ
વિસ્તાર એ અંદાજ છે કે પ્લેનનો કેટલો ભાગ આકૃતિને ઘેરી લે છે. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છ રીતે શોધી શકાય છે, જેમાં બાજુઓ, ઊંચાઈ, ખૂણા, ત્રિજ્યાનો ઉપયોગ કરીને અંકિત અથવા પરિમાણિત વર્તુળનો ઉપયોગ કરી શકાય છે, તેમજ હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અથવા વિમાનને બાઉન્ડ કરતી રેખાઓ સાથે ડબલ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરીને. ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટેનું સૌથી સરળ સૂત્ર છે:
જ્યાં a ત્રિકોણની બાજુ છે, h તેની ઊંચાઈ છે.
જો કે, વ્યવહારમાં ભૌમિતિક આકૃતિની ઊંચાઈ શોધવાનું આપણા માટે હંમેશા અનુકૂળ નથી. અમારા કેલ્ક્યુલેટરનું અલ્ગોરિધમ તમને જાણીને વિસ્તારની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે:
- ત્રણ બાજુઓ;
- બે બાજુઓ અને તેમની વચ્ચેનો કોણ;
- એક બાજુ અને બે ખૂણા.
ત્રણ બાજુઓ દ્વારા વિસ્તાર નક્કી કરવા માટે, અમે હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),
જ્યાં p એ ત્રિકોણની અર્ધ પરિમિતિ છે.
ક્લાસિક સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બે બાજુઓ પરનો વિસ્તાર અને એક ખૂણાની ગણતરી કરવામાં આવે છે:
S = a × b × sin(alfa),
જ્યાં આલ્ફા એ બાજુઓ a અને b વચ્ચેનો ખૂણો છે.
એક બાજુ અને બે ખૂણાઓના સંદર્ભમાં વિસ્તાર નક્કી કરવા માટે, અમે સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ જે:
a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)
સરળ પ્રમાણનો ઉપયોગ કરીને, અમે બીજી બાજુની લંબાઈ નક્કી કરીએ છીએ, ત્યારબાદ આપણે S = a × b × sin(alfa) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તારની ગણતરી કરીએ છીએ. આ અલ્ગોરિધમ સંપૂર્ણપણે સ્વયંસંચાલિત છે અને તમારે ફક્ત ઉલ્લેખિત ચલો દાખલ કરવાની અને પરિણામ મેળવવાની જરૂર છે. ચાલો એક-બે ઉદાહરણો જોઈએ.
જીવનમાંથી ઉદાહરણો
પેવિંગ સ્લેબ
ધારો કે તમે ત્રિકોણાકાર ટાઇલ્સ વડે ફ્લોર પેવ કરવા માંગો છો, અને જરૂરી સામગ્રીની માત્રા નક્કી કરવા માટે, તમારે બોન ટાઇલનો વિસ્તાર અને ફ્લોરનો વિસ્તાર જાણવાની જરૂર છે. ધારો કે તમારે એક ટાઇલનો ઉપયોગ કરીને 6 ચોરસ મીટર સપાટી પર પ્રક્રિયા કરવાની જરૂર છે જેના પરિમાણો a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm છે સ્વાભાવિક રીતે, ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે, કેલ્ક્યુલેટર હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરે છે અને આપે છે. પરિણામ:
આમ, એક ટાઇલ તત્વનું ક્ષેત્રફળ 0.021 ચોરસ મીટર હશે, અને તમારે ફ્લોર સુધારણા માટે 6/0.021 = 285 ત્રિકોણની જરૂર પડશે. 20, 21 અને 29 નંબરો પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ નંબર્સ બનાવે છે જે સંતોષે છે. અને તે સાચું છે, અમારા કેલ્ક્યુલેટરે ત્રિકોણના તમામ ખૂણાઓની પણ ગણતરી કરી છે, અને ગામા કોણ બરાબર 90 ડિગ્રી છે.
શાળા કાર્ય
શાળાની સમસ્યામાં, તમારે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાની જરૂર છે, તે જાણીને કે બાજુ a = 5 સે.મી., અને કોણ આલ્ફા અને બીટા અનુક્રમે 30 અને 50 ડિગ્રી છે. આ સમસ્યાને મેન્યુઅલી ઉકેલવા માટે, આપણે સૌપ્રથમ સાપેક્ષ ગુણોત્તરના પ્રમાણ અને વિરોધી ખૂણાઓના સાઈનનો ઉપયોગ કરીને બાજુ b નું મૂલ્ય શોધીશું, અને પછી સરળ સૂત્ર S = a × b × sin(alfa) નો ઉપયોગ કરીને ક્ષેત્રફળ નક્કી કરીશું. ચાલો સમય બચાવીએ, કેલ્ક્યુલેટર ફોર્મમાં ડેટા દાખલ કરીએ અને ત્વરિત જવાબ મેળવીએ
કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરતી વખતે, ખૂણા અને બાજુઓને યોગ્ય રીતે દર્શાવવું મહત્વપૂર્ણ છે, અન્યથા પરિણામ ખોટું હશે.
નિષ્કર્ષ
ત્રિકોણ એ એક અનન્ય આકૃતિ છે જે વાસ્તવિક જીવનમાં અને અમૂર્ત ગણતરીઓમાં જોવા મળે છે. કોઈપણ પ્રકારના ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવા માટે અમારા ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરો.
