ત્રિકોણની પરિમિતિ શોધવા માટેનું સૂત્ર. ત્રિકોણની પરિમિતિ: ખ્યાલ, લાક્ષણિકતાઓ, નિર્ધારણની પદ્ધતિઓ

સામગ્રી:

પરિમિતિ એ દ્વિ-પરિમાણીય આકારની સીમાઓની કુલ લંબાઈ છે. જો તમે ત્રિકોણની પરિમિતિ શોધવા માંગતા હો, તો તમારે તેની બધી બાજુઓની લંબાઈ ઉમેરવી આવશ્યક છે; જો તમને ત્રિકોણની ઓછામાં ઓછી એક બાજુની લંબાઈ ખબર નથી, તો તમારે તેને શોધવાની જરૂર છે. આ લેખ તમને જણાવશે (a) ત્રણ જાણીતી બાજુઓ આપેલ ત્રિકોણની પરિમિતિ કેવી રીતે શોધવી; (b) જ્યારે માત્ર બે બાજુઓ જ જાણીતી હોય ત્યારે કાટકોણ ત્રિકોણની પરિમિતિ કેવી રીતે શોધવી; (c) કોઈપણ ત્રિકોણની પરિમિતિ કેવી રીતે શોધી શકાય જ્યારે બે બાજુઓ અને તેમની વચ્ચેનો કોણ આપવામાં આવે (કોસાઈન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને).

પગલાં

1 આ ત્રણ બાજુઓ અનુસાર

1. 1 પરિમિતિ શોધવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરો: P = a + b + c, જ્યાં a, b, c એ ત્રણ બાજુઓની લંબાઈ છે, P એ પરિમિતિ છે.
2. 2 ત્રણેય બાજુઓની લંબાઈ શોધો.અમારા ઉદાહરણમાં: a = 5, b = 5, c = 5.
   • તે એક સમભુજ ત્રિકોણ છે કારણ કે ત્રણેય બાજુઓ સમાન લંબાઈ ધરાવે છે. પરંતુ ઉપરોક્ત સૂત્ર કોઈપણ ત્રિકોણને લાગુ પડે છે.
3. 3 પરિમિતિ શોધવા માટે ત્રણેય બાજુઓની લંબાઈ ઉમેરો.અમારા ઉદાહરણમાં: 5 + 5 + 5 = 15, એટલે કે, P = 15.
   • બીજું ઉદાહરણ: a = 4, b = 3, c = 5. P = 3 + 4 + 5 = 12.
4. 4 તમારા જવાબમાં માપનનું એકમ દર્શાવવાનું ભૂલશો નહીં.અમારા ઉદાહરણમાં, બાજુઓને સેન્ટિમીટરમાં માપવામાં આવે છે, તેથી તમારા અંતિમ જવાબમાં સેન્ટિમીટર (અથવા સમસ્યા નિવેદનમાં ઉલ્લેખિત એકમો) પણ શામેલ હોવા જોઈએ.
   • અમારા ઉદાહરણમાં, દરેક બાજુ 5 સેમી છે, તેથી અંતિમ જવાબ P = 15 સેમી છે.

2 કાટકોણ ત્રિકોણની આપેલ બે બાજુઓ માટે

1. 1 પાયથાગોરિયન પ્રમેય યાદ રાખો.આ પ્રમેય કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ વચ્ચેના સંબંધનું વર્ણન કરે છે અને તે ગણિતમાં સૌથી પ્રસિદ્ધ અને લાગુ પ્રમેયમાંનું એક છે. પ્રમેય જણાવે છે કે કોઈપણ કાટકોણ ત્રિકોણમાં બાજુઓ નીચેના સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે: a 2 + b 2 = c 2, જ્યાં a, b એ પગ છે, c એ કર્ણ છે.
2. 2 ત્રિકોણ દોરો અને બાજુઓને a, b, c તરીકે લેબલ કરો.કાટકોણ ત્રિકોણની સૌથી લાંબી બાજુ એ કર્ણ છે. તે જમણા ખૂણાની સામે આવેલું છે. કર્ણને "c" તરીકે લેબલ કરો. પગ (જમણા ખૂણાને અડીને બાજુઓ) ને “a” અને “b” તરીકે લેબલ કરો.
3. 3 જાણીતી બાજુઓના મૂલ્યોને પાયથાગોરિયન પ્રમેયમાં બદલો (a 2 + b 2 = c 2).અક્ષરોને બદલે, સમસ્યા નિવેદનમાં આપેલ સંખ્યાઓ બદલો.
   • ઉદાહરણ તરીકે, a = 3 અને b = 4. આ મૂલ્યોને પાયથાગોરિયન પ્રમેયમાં બદલો: 3 2 + 4 2 = c 2.
   • બીજું ઉદાહરણ: a = 6 અને c = 10. પછી: 6 2 + b 2 = 10 2
4. 4 અજ્ઞાત બાજુ શોધવા માટે પરિણામી સમીકરણ ઉકેલો.આ કરવા માટે, પહેલા બાજુઓની જાણીતી લંબાઈનો ચોરસ કરો (ફક્ત તમને આપેલી સંખ્યાને જાતે જ ગુણાકાર કરો). જો તમે કર્ણો શોધી રહ્યા છો, તો બે બાજુઓના વર્ગો ઉમેરો અને પરિણામી સરવાળાનું વર્ગમૂળ લો. જો તમે પગ શોધી રહ્યા છો, તો કર્ણોના વર્ગમાંથી જાણીતા પગના વર્ગને બાદ કરો અને પરિણામી ભાગનું વર્ગમૂળ લો.
   • પ્રથમ ઉદાહરણમાં: 3 2 + 4 2 = c 2 ; 9 + 16 = c 2 ; 25= c 2 ; √25 = સે. તેથી c = 25.
   • બીજા ઉદાહરણમાં: 6 2 + b 2 = 10 2 ; 36 + b 2 = 100. 36 ને સમીકરણની જમણી બાજુએ ખસેડો અને મેળવો: b 2 = 64; b = √64. તો b = 8.
5. 5
   • અમારા પ્રથમ ઉદાહરણમાં: P = 3 + 4 + 5 = 12.
   • અમારા બીજા ઉદાહરણમાં: P = 6 + 8 + 10 = 24.

3 આપેલ બે બાજુઓ અને તેમની વચ્ચેના ખૂણો અનુસાર

1. 1 જો તમને બે બાજુઓ અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો આપવામાં આવે તો કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણની કોઈપણ બાજુ શોધી શકાય છે.આ પ્રમેય કોઈપણ ત્રિકોણને લાગુ પડે છે અને તે ખૂબ જ ઉપયોગી સૂત્ર છે. કોસાઇન પ્રમેય: c 2 = a 2 + b 2 - 2abcos(C), જ્યાં a, b, c ત્રિકોણની બાજુઓ છે, A, B, C ત્રિકોણની અનુરૂપ બાજુઓની વિરુદ્ધના ખૂણા છે.
2. 2 ત્રિકોણ દોરો અને બાજુઓને a, b, c તરીકે લેબલ કરો; અનુરૂપ બાજુઓની વિરુદ્ધના ખૂણાઓને A, B, C તરીકે લેબલ કરો (એટલે ​​​​કે, બાજુ "a" ની વિરુદ્ધ કોણ, તેને "A" અને તેથી વધુ લેબલ કરો).
   • ઉદાહરણ તરીકે, 10 અને 12 બાજુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ અને તેમની વચ્ચેનો 97°નો ખૂણો આપેલ છે, એટલે કે, a = 10, b = 12, C = 97°.
3. 3 તમને આપેલા મૂલ્યોને ફોર્મ્યુલામાં બદલો અને અજાણી બાજુ “c” શોધો.પ્રથમ, જાણીતી બાજુઓની લંબાઈને ચોરસ કરો અને પરિણામી મૂલ્યો ઉમેરો. પછી કોણ C નો કોસાઇન શોધો (કેલ્ક્યુલેટર અથવા ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને). આપેલ કોણના કોસાઇન દ્વારા અને 2 (2abcos(C)) દ્વારા જાણીતી બાજુઓની લંબાઈનો ગુણાકાર કરો. પરિણામી મૂલ્યને બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળામાંથી બાદ કરો (a 2 + b 2), અને તમને c 2 મળશે. અજાણી બાજુ "c" ની લંબાઈ શોધવા માટે આ મૂલ્યનું વર્ગમૂળ લો. અમારા ઉદાહરણમાં:
   • c 2 = 10 2 + 12 2 - 2 × 10 × 12 × cos(97)
   • c 2 = 100 + 144 – (240 × -0.12187)
   • c 2 = 244 – (-29.25)
   • c 2 = 244 + 29.25
   • c 2 = 273.25
   • c = 16.53
4. 4 પરિમિતિ શોધવા માટે ત્રણ બાજુઓની લંબાઈ ઉમેરો.યાદ કરો કે પરિમિતિ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે: P = a + b + c.
   • અમારા ઉદાહરણમાં: P = 10 + 12 + 16.53 = 38.53.

પરિમિતિ એ એક જથ્થો છે જે સપાટ (દ્વિ-પરિમાણીય) ભૌમિતિક આકૃતિની બધી બાજુઓની લંબાઈ સૂચવે છે. વિવિધ ભૌમિતિક આકારો માટે, પરિમિતિ શોધવાની વિવિધ રીતો છે.

આ લેખમાં તમે શીખી શકશો કે આકૃતિની પરિમિતિ તેના જાણીતા ચહેરાના આધારે અલગ અલગ રીતે કેવી રીતે શોધવી.

સંભવિત પદ્ધતિઓ:

• સમદ્વિબાજુ અથવા અન્ય કોઈપણ ત્રિકોણની ત્રણેય બાજુઓ જાણીતી છે;
• કાટકોણ ત્રિકોણની પરિમિતિ તેના બે જાણીતા ચહેરાને જોતાં તેની પરિમિતિ કેવી રીતે શોધવી;
• બે ચહેરા અને તેમની વચ્ચે સ્થિત કોણ (કોસાઇન ફોર્મ્યુલા) કેન્દ્ર રેખા અને ઊંચાઈ વિના ઓળખાય છે.

પ્રથમ પદ્ધતિ: આકૃતિની બધી બાજુઓ જાણીતી છે

જ્યારે ત્રણેય ચહેરાઓ જાણીતા હોય ત્યારે ત્રિકોણની પરિમિતિ કેવી રીતે શોધવી, તમારે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો આવશ્યક છે: P = a + b + c, જ્યાં a,b,c ત્રિકોણની બધી બાજુઓની જાણીતી લંબાઈ છે, P એ આકૃતિની પરિમિતિ છે.

ઉદાહરણ તરીકે, આકૃતિની ત્રણ બાજુઓ જાણીતી છે: a = 24 cm, b = 24 cm, આ એક નિયમિત સમદ્વિબાજુની આકૃતિ છે જે આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: P = 24 + 24 + 24 = 72 સે.મી.

આ સૂત્ર કોઈપણ ત્રિકોણને લાગુ પડે છે., તમારે ફક્ત તેની બધી બાજુઓની લંબાઈ જાણવાની જરૂર છે. જો તેમાંથી ઓછામાં ઓછી એક અજાણી હોય, તો તમારે અન્ય પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે, જેની અમે નીચે ચર્ચા કરીશું.

બીજું ઉદાહરણ: a = 15 cm, b = 13 cm, c = 17 cm પરિમિતિની ગણતરી કરો: P = 15 + 13 + 17 = 45 cm.

પ્રાપ્ત પ્રતિસાદમાં માપનના એકમને ચિહ્નિત કરવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. અમારા ઉદાહરણોમાં, બાજુઓની લંબાઈ સેન્ટીમીટર (સે.મી.) માં દર્શાવેલ છે, જો કે, ત્યાં વિવિધ કાર્યો છે જેમાં માપનના અન્ય એકમો હાજર છે.

બીજી પદ્ધતિ: કાટકોણ ત્રિકોણ અને તેની બે જાણીતી બાજુઓ

એવા કિસ્સામાં જ્યારે જે કાર્યને હલ કરવાની જરૂર છે તેને એક લંબચોરસ આકૃતિ આપવામાં આવે છે, જેમાંના બે ચહેરાઓની લંબાઈ જાણીતી છે, પરંતુ ત્રીજો નથી, પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે.

કાટકોણ ત્રિકોણના ચહેરાઓ વચ્ચેના સંબંધનું વર્ણન કરે છે. આ પ્રમેય દ્વારા વર્ણવેલ સૂત્ર એ ભૂમિતિમાં સૌથી જાણીતા અને સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતા પ્રમેયમાંનું એક છે. તેથી, પ્રમેય પોતે:

કોઈપણ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ નીચેના સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે: a^2 + b^2 = c^2, જ્યાં a અને b એ આકૃતિના પગ છે, અને c એ કર્ણ છે.

• હાયપોટેન્યુઝ. તે હંમેશા જમણા ખૂણા (90 ડિગ્રી) ની વિરુદ્ધ સ્થિત હોય છે, અને તે ત્રિકોણની સૌથી લાંબી ધાર પણ છે. ગણિતમાં, કર્ણોને c અક્ષરથી દર્શાવવાનો રિવાજ છે.
• પગ- આ કાટકોણ ત્રિકોણની કિનારીઓ છે જે કાટખૂણાની છે અને અક્ષર a અને b દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવી છે. એક પગ એ આકૃતિની ઊંચાઈ પણ છે.

આમ, જો સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ આવી ભૌમિતિક આકૃતિના ત્રણમાંથી બે ચહેરાની લંબાઈનો ઉલ્લેખ કરે છે, તો પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ત્રીજા ચહેરાનું પરિમાણ શોધવાનું જરૂરી છે, અને પછી પ્રથમ પદ્ધતિમાંથી સૂત્રનો ઉપયોગ કરો.

ઉદાહરણ તરીકે, આપણે 2 પગની લંબાઈ જાણીએ છીએ: a = 3 cm, b = 5 cm મૂલ્યોને પ્રમેયમાં બદલો: 3^2 + 4^2 = c^2 => 9 + 16 = c^2. => 25 = c ^2 => c = 5 cm તેથી, આવા ત્રિકોણનું કર્ણ 5 cm છે, આ ઉદાહરણ સૌથી સામાન્ય છે અને કહેવાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો આકૃતિના બે પગ 3 સેમી અને 4 સેમી હોય, તો કર્ણો અનુક્રમે 5 સેમી હશે.

જો એક પગની લંબાઈ અજાણ હોય, તો સૂત્રને નીચે પ્રમાણે રૂપાંતરિત કરવું જરૂરી છે: c^2 – a^2 = b^2. અને બીજા પગ માટે ઊલટું.

ચાલો ઉદાહરણ સાથે ચાલુ રાખીએ. હવે તમારે આકૃતિની પરિમિતિ શોધવા માટે માનક સૂત્ર તરફ વળવાની જરૂર છે: P = a + b + c. અમારા કિસ્સામાં: P = 3 + 4 + 5 = 12 સે.મી.

ત્રીજી પદ્ધતિ: બે ચહેરા પર અને તેમની વચ્ચેનો કોણ

ઉચ્ચ શાળામાં, તેમજ યુનિવર્સિટીમાં, તમારે મોટેભાગે પરિમિતિ શોધવાની આ પદ્ધતિ તરફ વળવું પડશે. જો સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ બે બાજુઓની લંબાઈ તેમજ તેમની વચ્ચેના ખૂણાના પરિમાણને સ્પષ્ટ કરે છે, તો પછી તમારે કોસાઇન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે.

આ પ્રમેય સંપૂર્ણપણે કોઈપણ ત્રિકોણને લાગુ પડે છે, જે તેને ભૂમિતિમાં સૌથી વધુ ઉપયોગી બનાવે છે. પ્રમેય પોતે આના જેવો દેખાય છે: c^2 = a^2 + b^2 – (2 * a * b * cos(C)), જ્યાં a,b,c ચહેરાઓની પ્રમાણભૂત લંબાઈ છે, અને A,B અને C એ ખૂણા છે જે ત્રિકોણના અનુરૂપ ચહેરાઓની વિરુદ્ધ આવેલા છે. એટલે કે, A એ બાજુ a ની વિરુદ્ધ કોણ છે અને તેથી વધુ.

ચાલો કલ્પના કરીએ કે ત્રિકોણનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે, જેની બાજુઓ a અને b અનુક્રમે 100 cm અને 120 cm છે, અને તેમની વચ્ચે આવેલો ખૂણો 97 ડિગ્રી છે. એટલે કે, a = 100 cm, b = 120 cm, C = 97 ડિગ્રી.

આ કિસ્સામાં તમારે ફક્ત બધા જાણીતા મૂલ્યોને કોસાઇન પ્રમેયમાં બદલવાની જરૂર છે. જાણીતા ચહેરાઓની લંબાઈનો વર્ગ કરવામાં આવે છે, ત્યારબાદ જાણીતી બાજુઓ એકબીજા વચ્ચે અને બે વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે અને તેમની વચ્ચેના ખૂણાના કોસાઈન દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. આગળ, તમારે ચહેરાના ચોરસ ઉમેરવાની જરૂર છે અને તેમાંથી મેળવેલા બીજા મૂલ્યને બાદ કરો. વર્ગમૂળ અંતિમ મૂલ્યમાંથી લેવામાં આવે છે - આ ત્રીજી, અગાઉ અજાણી બાજુ હશે.

આકૃતિની ત્રણેય બાજુઓ જાણી લીધા પછી, તે પ્રથમ પદ્ધતિથી વર્ણવેલ આકૃતિની પરિમિતિ શોધવા માટે પ્રમાણભૂત સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાનું બાકી છે, જે આપણે પહેલાથી જ પ્રેમ કરીએ છીએ.

પ્રાથમિક માહિતી

પ્લેન પર કોઈપણ સપાટ ભૌમિતિક આકૃતિની પરિમિતિ તેની બધી બાજુઓની લંબાઈના સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ત્રિકોણ આમાં અપવાદ નથી. પ્રથમ, અમે ત્રિકોણની વિભાવના, તેમજ બાજુઓના આધારે ત્રિકોણના પ્રકારો રજૂ કરીએ છીએ.

વ્યાખ્યા 1

આપણે ત્રિકોણને ભૌમિતિક આકૃતિ કહીશું જે વિભાગો દ્વારા એકબીજા સાથે જોડાયેલા ત્રણ બિંદુઓથી બનેલું છે (ફિગ. 1).

વ્યાખ્યા 2

વ્યાખ્યા 1 ના માળખામાં, આપણે બિંદુઓને ત્રિકોણના શિરોબિંદુ કહીશું.

વ્યાખ્યા 3

વ્યાખ્યા 1 ના માળખામાં, આપણે ત્રિકોણની બાજુઓના ભાગોને કૉલ કરીશું.

દેખીતી રીતે, કોઈપણ ત્રિકોણમાં 3 શિરોબિંદુઓ, તેમજ ત્રણ બાજુઓ હશે.

બાજુઓના એકબીજા સાથેના સંબંધના આધારે, ત્રિકોણને સ્કેલેન, સમદ્વિબાજુ અને સમબાજુમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 4

આપણે ત્રિકોણને સ્કેલેન કહીશું જો તેની કોઈ પણ બાજુ અન્ય કોઈપણ સમાન નથી.

વ્યાખ્યા 5

આપણે ત્રિકોણને સમદ્વિબાજુ કહીશું જો તેની બે બાજુઓ એકબીજાની સમાન હોય, પરંતુ ત્રીજી બાજુની સમાન ન હોય.

વ્યાખ્યા 6

આપણે ત્રિકોણને સમભુજ કહીશું જો તેની બધી બાજુઓ એકબીજાની સમાન હોય.

તમે આકૃતિ 2 માં આ તમામ પ્રકારના ત્રિકોણ જોઈ શકો છો.

સ્કેલેન ત્રિકોણની પરિમિતિ કેવી રીતે શોધવી?

ચાલો આપણે એક સ્કેલીન ત્રિકોણ આપીએ જેની બાજુની લંબાઈ $α$, $β$ અને $γ$ જેટલી હોય.

નિષ્કર્ષ:સ્કેલેન ત્રિકોણની પરિમિતિ શોધવા માટે, તમારે તેની બાજુઓની બધી લંબાઈને એકસાથે ઉમેરવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ 1

$34$ cm, $12$ cm અને $11$ cm ની બરાબર સ્કેલેન ત્રિકોણની પરિમિતિ શોધો.

$P=34+12+11=57$ સેમી

જવાબ: $57$ સેમી.

ઉદાહરણ 2

કાટકોણ ત્રિકોણની પરિમિતિ શોધો જેના પગ $6$ અને $8$ cm છે.

પ્રથમ, ચાલો પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને આ ત્રિકોણના કર્ણની લંબાઈ શોધીએ. ચાલો તેને $α$ દ્વારા દર્શાવીએ

$α=10$ સ્કેલેન ત્રિકોણની પરિમિતિની ગણતરી માટેના નિયમ મુજબ, આપણને મળે છે

$P=10+8+6=24$ સેમી

જવાબ: $24$ જુઓ.

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિ કેવી રીતે શોધવી?

ચાલો આપણે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ આપીએ, બાજુઓની લંબાઈ $α$ જેટલી હશે, અને પાયાની લંબાઈ $β$ જેટલી હશે.

સપાટ ભૌમિતિક આકૃતિની પરિમિતિ નક્કી કરીને, આપણે તે મેળવીએ છીએ

$P=α+α+β=2α+β$

નિષ્કર્ષ:સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિ શોધવા માટે, તેની બાજુઓની લંબાઈને તેના આધારની લંબાઈમાં બમણી ઉમેરો.

ઉદાહરણ 3

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિ શોધો જો તેની બાજુઓ $12$ cm હોય અને તેનો આધાર $11$ cm હોય.

ઉપર ચર્ચા કરેલ ઉદાહરણ પરથી, આપણે તે જોઈએ છીએ

$P=2\cdot 12+11=35$ સેમી

જવાબ: $35$ જુઓ.

ઉદાહરણ 4

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિ શોધો જો તેની ઊંચાઈ પાયા તરફ દોરવામાં આવે તો $8$ સેમી હોય અને આધાર $12$ સેમી હોય.

ચાલો સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર ડ્રોઇંગ જોઈએ:

ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ હોવાથી, $BD$ પણ મધ્યક છે, તેથી $AD=6$ સે.મી.

પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, ત્રિકોણ $ADB$માંથી, આપણે બાજુની બાજુ શોધીએ છીએ. ચાલો તેને $α$ દ્વારા દર્શાવીએ

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિની ગણતરી માટેના નિયમ અનુસાર, આપણને મળે છે

$P=2\cdot 10+12=32$ સેમી

જવાબ: $32$ જુઓ.

સમભુજ ત્રિકોણની પરિમિતિ કેવી રીતે શોધવી?

ચાલો આપણે એક સમબાજુ ત્રિકોણ આપીએ જેની બધી બાજુઓની લંબાઈ $α$ જેટલી હોય.

સપાટ ભૌમિતિક આકૃતિની પરિમિતિ નક્કી કરીને, આપણે તે મેળવીએ છીએ

$P=α+α+α=3α$

નિષ્કર્ષ:સમબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિ શોધવા માટે, ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈને $3$ વડે ગુણાકાર કરો.

ઉદાહરણ 5

સમબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિ શોધો જો તેની બાજુ $12$ સેમી હોય.

ઉપર ચર્ચા કરેલ ઉદાહરણ પરથી, આપણે તે જોઈએ છીએ

$P=3\cdot 12=36$ સેમી

ત્રિકોણની પરિમિતિ કેવી રીતે શોધવી? શાળામાં અભ્યાસ કરતી વખતે અમને દરેકે આ પ્રશ્ન પૂછ્યો હતો. ચાલો આ અદ્ભુત આકૃતિ વિશે આપણે જે જાણીએ છીએ તે બધું યાદ રાખવાનો પ્રયાસ કરીએ, અને પૂછાયેલા પ્રશ્નનો જવાબ પણ આપીએ.

ત્રિકોણની પરિમિતિ કેવી રીતે શોધવી તે પ્રશ્નનો જવાબ સામાન્ય રીતે એકદમ સરળ છે - તમારે ફક્ત તેની બધી બાજુઓની લંબાઈ ઉમેરવાની પ્રક્રિયા કરવાની જરૂર છે. જો કે, ઇચ્છિત મૂલ્ય શોધવા માટે ઘણી વધુ સરળ પદ્ધતિઓ છે.

સલાહ

જો ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા (r) અને તેનો વિસ્તાર (S) જાણીતો હોય, તો ત્રિકોણની પરિમિતિ કેવી રીતે શોધવી તે પ્રશ્નનો જવાબ આપવો એકદમ સરળ છે. આ કરવા માટે તમારે સામાન્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે:

જો બે ખૂણા જાણીતા હોય, તો કહો કે α અને β, જે બાજુની બાજુમાં છે, અને બાજુની જ લંબાઈ છે, તો પરિમિતિ ખૂબ જ લોકપ્રિય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે, જે આના જેવું લાગે છે:

sinβ∙а/(sin(180° - β - α)) + sinα∙а/(sin(180° - β - α)) + а

જો તમે નજીકની બાજુઓની લંબાઈ અને તેમની વચ્ચેનો β કોણ જાણો છો, તો પરિમિતિ શોધવા માટે, તમારે ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે પરિમિતિ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:

P = b + a + √(b2 + a2 - 2∙b∙a∙cosβ),

જ્યાં b2 અને a2 એ અડીને આવેલી બાજુઓની લંબાઈના ચોરસ છે. આમૂલ અભિવ્યક્તિ એ ત્રીજી બાજુની લંબાઈ છે જે અજાણી છે, જે કોસાઈન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને વ્યક્ત કરવામાં આવે છે.

જો તમને પરિમિતિ કેવી રીતે શોધવી તે ખબર નથી, તો વાસ્તવમાં અહીં કંઈ જટિલ નથી. સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેની ગણતરી કરો:

જ્યાં b એ ત્રિકોણનો આધાર છે, a તેની બાજુઓ છે.

નિયમિત ત્રિકોણની પરિમિતિ શોધવા માટે, સૌથી સરળ સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:

જ્યાં a એ બાજુની લંબાઈ છે.

ત્રિકોણની પરિમિતિ કેવી રીતે શોધવી જો ફક્ત તેની આસપાસના વર્તુળોની ત્રિજ્યા જાણીતી હોય અથવા તેમાં અંકિત હોય? જો ત્રિકોણ સમભુજ હોય, તો સૂત્ર લાગુ કરવું જોઈએ:

P = 3R√3 = 6r√3,

જ્યાં R અને r અનુક્રમે પરિપત્ર અને અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.

જો ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે, તો સૂત્ર તેને લાગુ પડે છે:

P=2R (sinβ + 2sinα),

જ્યાં α એ કોણ છે જે આધાર પર રહેલો છે, અને β એ કોણ છે જે આધારની વિરુદ્ધ છે.

મોટે ભાગે, ગાણિતિક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે ઊંડાણપૂર્વક વિશ્લેષણ અને જરૂરી સૂત્રો શોધવા અને મેળવવાની ચોક્કસ ક્ષમતાની જરૂર પડે છે, અને આ, જેમ કે ઘણા લોકો જાણે છે, ખૂબ મુશ્કેલ કાર્ય છે. જોકે કેટલીક સમસ્યાઓ માત્ર એક ફોર્મ્યુલાથી ઉકેલી શકાય છે.

ચાલો વિવિધ પ્રકારના ત્રિકોણના સંબંધમાં, ત્રિકોણની પરિમિતિ કેવી રીતે શોધવી તે પ્રશ્નના જવાબ માટે મૂળભૂત સૂત્રો જોઈએ.

અલબત્ત, ત્રિકોણની પરિમિતિ શોધવાનો મુખ્ય નિયમ આ વિધાન છે: ત્રિકોણની પરિમિતિ શોધવા માટે, તમારે યોગ્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેની બધી બાજુઓની લંબાઈ ઉમેરવાની જરૂર છે:

જ્યાં b, a અને c એ ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ છે અને P એ ત્રિકોણની પરિમિતિ છે.

આ સૂત્રના કેટલાક વિશિષ્ટ કિસ્સાઓ છે. ચાલો કહીએ કે તમારી સમસ્યા નીચે મુજબ છે: "કાટકોણ ત્રિકોણની પરિમિતિ કેવી રીતે શોધવી?" આ કિસ્સામાં, તમારે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ:

P = b + a + √(b2 + a2)

આ સૂત્રમાં, b અને a એ જમણા ત્રિકોણના પગની તાત્કાલિક લંબાઈ છે. અનુમાન લગાવવું સરળ છે કે (હાયપોટેન્યુઝ) સાથેની બાજુને બદલે, એક અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જે પ્રાચીનકાળના મહાન વૈજ્ઞાનિક - પાયથાગોરસના પ્રમેયમાંથી મેળવેલ છે.

જો તમારે કોઈ સમસ્યા હલ કરવાની જરૂર હોય જ્યાં ત્રિકોણ સમાન હોય, તો આ વિધાનનો ઉપયોગ કરવો તાર્કિક રહેશે: પરિમિતિનો ગુણોત્તર સમાનતા ગુણાંકને અનુરૂપ છે. ચાલો કહીએ કે તમારી પાસે બે સમાન ત્રિકોણ છે - ΔABC અને ΔA1B1C1. પછી, સમાનતા ગુણાંક શોધવા માટે, પરિમિતિ ΔABC ને પરિમિતિ ΔA1B1C1 દ્વારા વિભાજીત કરવી જરૂરી છે.

નિષ્કર્ષમાં, તે નોંધી શકાય છે કે તમારી પાસે જે પ્રારંભિક ડેટા છે તેના આધારે, વિવિધ તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણની પરિમિતિ શોધી શકાય છે. તે ઉમેરવું જોઈએ કે જમણા ત્રિકોણ માટે કેટલાક વિશિષ્ટ કિસ્સાઓ છે.

ઘણીવાર ગાણિતિક સમસ્યાઓ માટે ઊંડાણપૂર્વક વિશ્લેષણ, ઉકેલો શોધવાની ક્ષમતા અને જરૂરી નિવેદનો અને સૂત્રો પસંદ કરવાની જરૂર પડે છે. આ પ્રકારના કામમાં મૂંઝવણમાં પડવું સરળ છે. અને તેમ છતાં એવી સમસ્યાઓ છે કે જેના ઉકેલ એક સૂત્રના ઉપયોગથી ઉકળે છે. આવી સમસ્યાઓમાં ત્રિકોણની પરિમિતિ કેવી રીતે શોધવી તે પ્રશ્નનો સમાવેશ થાય છે.

ચાલો વિવિધ પ્રકારના ત્રિકોણના સંબંધમાં આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટેના મૂળભૂત સૂત્રોને ધ્યાનમાં લઈએ.

1. ત્રિકોણની પરિમિતિ શોધવા માટેનો મૂળભૂત નિયમ નીચે આપેલ વિધાન છે: ત્રિકોણની પરિમિતિ તેની બધી બાજુઓની લંબાઈના સરવાળા જેટલી હોય છે. ફોર્મ્યુલા P=a+b+c. અહીં a, b, c એ ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ છે, P તેની પરિમિતિ છે.
2. આ સૂત્રના ખાસ કિસ્સાઓ છે. દાખ્લા તરીકે:
3. જો સમસ્યા પૂછે છે કે કાટકોણ ત્રિકોણની પરિમિતિ કેવી રીતે શોધવી, તો તમે ક્લાસિક સૂત્ર (બિંદુ 1 જુઓ) અને ઓછા ડેટાની જરૂર હોય તેવા સૂત્ર બંનેનો ઉપયોગ કરી શકો છો: P=a+b+ (a 2 +b 2). અહીં a, b એ કાટકોણ ત્રિકોણના પગની લંબાઈ છે. તે નોંધવું સરળ છે કે ત્રીજી બાજુ (હાયપોટેન્યુઝ) પાયથાગોરિયન પ્રમેયના અભિવ્યક્તિ દ્વારા બદલવામાં આવે છે.
4. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિ P=2*a+b સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે. અહીં a એ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ છે, b એ તેના પાયાની લંબાઈ છે.
5. સમભુજ (અથવા નિયમિત) ત્રિકોણની પરિમિતિ શોધવા માટે, અમે P=3*a અભિવ્યક્તિની કિંમતની ગણતરી કરીએ છીએ, જ્યાં a એ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ છે.
6. સમાન ત્રિકોણ દેખાય તેવી સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે, નીચેના વિધાનને જાણવું ઉપયોગી છે: પરિમિતિનો ગુણોત્તર સમાનતા ગુણાંક સમાન છે. સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે
   P(ABC)/P(A 1 B 1 C 1)=k, જ્યાં ABC ~ A 1 B 1 C 1, અને k એ સમાનતા ગુણાંક છે.

બાજુઓ 6, 8, અને 10 સાથે ABC અને બાજુઓ 9, 12 સાથે A 1 B 1 C 1 આપેલ છે. તે જાણીતું છે કે કોણ B એ કોણ B 1 બરાબર છે. A 1 B 1 C 1 ત્રિકોણની પરિમિતિ શોધો.

• ચાલો AB=6, BC=8, AC=10- A 1 B 1 =9- B 1 C 1 =12. નોંધ કરો કે AB/ A 1 B 1 =BC/ B 1 C 1, કારણ કે 6/9=8/12=2/3. વધુમાં, શરત B=B 1 અનુસાર. આ ખૂણા અનુક્રમે AB, BC અને A 1 B 1, B 1 C 1 બાજુઓ વચ્ચે સમાયેલ છે. નિષ્કર્ષ - ત્રિકોણની સમાનતાના 2જા માપદંડ પર આધારિત, ABC A 1 B 1 C 1. સમાનતા ગુણાંક k=2/3.
• ચાલો પગલું 1 P(ABC) = 6+8+10=24 (એકમો) માં સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધીએ. તમે આઇટમ 2a ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો, કારણ કે પાયથાગોરિયન પ્રમેય સાબિત કરે છે કે ABC લંબચોરસ છે.
• બિંદુ 2d થી તે અનુસરે છે, P(ABC)/P(A 1 B 1 C 1)=2/3. તેથી P(A 1 B 1 C 1)=3*P(ABC)/2=3*24/2=36 (એકમો).

અન્ય

દરેક પ્રાથમિક શાળાના વિદ્યાર્થીએ ત્રિકોણ શું છે અને ત્રિકોણની પરિમિતિ શું છે તે જાણવાનો પ્રયાસ કર્યો. ચાલો પ્રયત્ન કરીએ...

બે ત્રિકોણ વચ્ચે સમાનતાના ચિહ્નો એવા ભૌમિતિક લક્ષણો છે જે આપણને તે બે સ્થાપિત કરવા દે છે...

ચોક્કસપણે આપણામાંના દરેકે પરિમિતિ તરીકે ભૂમિતિનો એક મહત્વપૂર્ણ ઘટક શાળામાં શીખ્યો. પરિમિતિ શોધવી સરળ છે...

સૌ પ્રથમ, ત્રિકોણ એ એક ભૌમિતિક આકૃતિ છે જે ત્રણ બિંદુઓથી બનેલી છે જે એક જ સીધી રેખા પર નથી...

ગણિત એ એક જટિલ વિજ્ઞાન છે જેને યાદ રાખવાની અને મોટી સંખ્યામાં સૂત્રો ચલાવવાની ક્ષમતાની જરૂર હોય છે. ચાલો વિચાર કરીએ...

એક ત્રિકોણ જેમાં બે બાજુઓ એકબીજાની સમાન હોય તેને સમદ્વિબાજુ કહેવાય છે. આ બાજુઓને બાજુની કહેવામાં આવે છે, અને...

તે રસપ્રદ છે કે ઘણા વર્ષો પહેલા "ભૂમિતિ" જેવી ગણિતની આવી શાખાને "જમીન સર્વેક્ષણ" કહેવામાં આવતું હતું.

ભૂમિતિની મૂળભૂત બાબતોમાંની એક એ દ્વિભાજક શોધવાનું છે, કિરણ જે ખૂણાને દ્વિભાજિત કરે છે. ત્રિકોણનો દ્વિભાજક...

લંબચોરસના કર્ણ શોધવાની સમસ્યાને ત્રણ અલગ અલગ રીતે ઘડી શકાય છે. ચાલો નજીકથી નજર કરીએ...

ત્રિકોણ ઉકેલવાની સમસ્યાઓ (જેને આવી સમસ્યાઓ કહેવામાં આવે છે) ભૂમિતિની વિશેષ શાખા દ્વારા ઉકેલવામાં આવે છે -...

ચોરસ એ સમાન બાજુઓ અને કાટખૂણો સાથેનો સમાંતરગ્રામ છે. ચોરસની પરિમિતિ કેવી રીતે શોધવી? પરિમિતિ છે...

લંબચોરસની લંબાઈ શોધવાની સમસ્યા વિવિધ રીતે ઘડી શકાય છે. ચાલો જાણીએ કે બાજુઓની લંબાઈ કેવી રીતે શોધવી...

ત્રિકોણ એ પ્લેન પરની એક આકૃતિ છે જેમાં ત્રણ શિરોબિંદુઓ છે જે એક જ રેખા પર આવેલા નથી, અને આને જોડતા ત્રણ ભાગો...

ભૂમિતિ એ શાળાના અભ્યાસક્રમમાં સૌથી મુશ્કેલ વિજ્ઞાન છે. જેઓ ઉકેલ શોધી રહ્યા છે તેમના માટે કદાચ સૌથી મુશ્કેલ બાબત છે...

તમે આશ્ચર્ય પામી રહ્યા છો કે તમે ત્રિકોણની મધ્યરેખા કેવી રીતે ગણતરી અને શોધી શકો છો. તો ચાલો કામ પર જઈએ મધ્ય રેખાની લંબાઈ શોધીએ...