આપેલ ઇવેન્ટની તરફેણ કરતા કેસોની સીધી ગણતરી કરવી મુશ્કેલ હોઈ શકે છે. તેથી, ઘટનાની સંભાવના નક્કી કરવા માટે, આ ઘટનાને કેટલીક અન્ય, સરળ ઘટનાઓના સંયોજન તરીકે કલ્પના કરવી ફાયદાકારક હોઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં, જો કે, તમારે એવા નિયમો જાણવાની જરૂર છે જે ઘટનાઓના સંયોજનમાં સંભાવનાઓને સંચાલિત કરે છે. ફકરાના શીર્ષકમાં ઉલ્લેખિત પ્રમેય આ નિયમો સાથે સંબંધિત છે.

આમાંની પ્રથમ સંભાવનાની ગણતરી સાથે સંબંધિત છે કે ઓછામાં ઓછી એક ઘણી ઘટનાઓ બનશે.

ઉમેરણ પ્રમેય.

A અને B બે અસંગત ઘટનાઓ બનવા દો. પછી આ બે ઘટનાઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક થવાની સંભાવના તેમની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:

પુરાવો. જોડી મુજબની અસંગત ઘટનાઓનું સંપૂર્ણ જૂથ બનવા દો. જો આ પ્રાથમિક ઘટનાઓ વચ્ચે A ને અનુકૂળ ઘટનાઓ અને B ને અનુકૂળ ઘટનાઓ બરાબર છે. ઘટના A અને B અસંગત હોવાથી, તો કોઈ પણ ઘટના આ બંને ઘટનાઓની તરફેણ કરી શકે નહીં. ઘટના (A અથવા B), જેમાં આ બે ઘટનાઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બને છે, દેખીતી રીતે A અને દરેક ઘટનાની તરફેણ કરતી દરેક ઘટના બંને દ્વારા પસંદ કરવામાં આવે છે.

અનુકૂળ B. તેથી, ઘટના (A અથવા B) માટે અનુકૂળ ઘટનાઓની કુલ સંખ્યા નીચે આપેલા સરવાળાની બરાબર છે:

Q.E.D.

તે જોવાનું સરળ છે કે બે ઘટનાઓના કિસ્સામાં ઉપર ઘડવામાં આવેલ ઉમેરણ પ્રમેયને તેમાંથી કોઈપણ મર્યાદિત સંખ્યાના કિસ્સામાં સરળતાથી સ્થાનાંતરિત કરી શકાય છે. જો ત્યાં જોડીમાં અસંગત ઘટનાઓ હોય, તો પછી

ત્રણ ઘટનાઓના કેસ માટે, ઉદાહરણ તરીકે, એક લખી શકે છે

ઉમેરણ પ્રમેયનું એક મહત્વપૂર્ણ પરિણામ એ નિવેદન છે: જો ઘટનાઓ જોડી પ્રમાણે અસંગત અને અનન્ય રીતે શક્ય હોય, તો

ખરેખર, ઘટના કાં તો અથવા અથવા ધારણા દ્વારા ચોક્કસ છે અને તેની સંભાવના, § 1 માં દર્શાવ્યા મુજબ, એક સમાન છે. ખાસ કરીને, જો તેઓનો અર્થ બે પરસ્પર વિરોધી ઘટનાઓ છે, તો પછી

ચાલો આપણે ઉમેરણ પ્રમેયને ઉદાહરણો સાથે સમજાવીએ.

ઉદાહરણ 1. લક્ષ્ય પર શૂટિંગ કરતી વખતે, શ્રેષ્ઠ શોટ બનાવવાની સંભાવના 0.3 છે, અને "સારા" શોટ બનાવવાની સંભાવના 0.4 છે. શોટ માટે ઓછામાં ઓછા "સારા" નો સ્કોર મેળવવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ. જો ઇવેન્ટ A નો અર્થ "ઉત્તમ" રેટિંગ મેળવવો, અને ઇવેન્ટ B નો અર્થ "સારું" રેટિંગ પ્રાપ્ત કરવું, તો પછી

ઉદાહરણ 2. સફેદ, લાલ અને કાળા દડા ધરાવતા કલશમાં સફેદ દડા અને I લાલ દડા હોય છે. કાળો ન હોય તેવા બોલને દોરવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ. જો ઘટના Aમાં સફેદ બોલનો દેખાવ હોય અને ઘટના Bમાં લાલ દડો હોય, તો બોલનો દેખાવ કાળો નથી

સફેદ અથવા લાલ બોલનો દેખાવ. ત્યારથી સંભાવનાની વ્યાખ્યા દ્વારા

પછી, વધારાના પ્રમેય દ્વારા, બિન-કાળો બોલ દેખાવાની સંભાવના સમાન છે;

આ સમસ્યા આ રીતે ઉકેલી શકાય છે. ઘટના C ને કાળા બોલના દેખાવમાં સમાવવા દો. કાળા દડાઓની સંખ્યા સમાન છે જેથી P (C) બિન-કાળા બોલનો દેખાવ એ C ની વિરુદ્ધ ઘટના છે, તેથી, વધારાના પ્રમેયમાંથી ઉપરોક્ત કોરોલરીના આધારે, અમારી પાસે છે:

પહેલાની જેમ.

ઉદાહરણ 3. રોકડ-સામગ્રીની લોટરીમાં, 1000 ટિકિટોની શ્રેણી માટે 120 રોકડ અને 80 સામગ્રીની જીત છે. એક લોટરી ટિકિટ પર કંઈપણ જીતવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ. જો આપણે A દ્વારા નાણાકીય લાભ અને B દ્વારા ભૌતિક લાભનો સમાવેશ કરતી ઘટના દર્શાવીએ, તો સંભાવનાની વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે

અમને રસની ઘટના (A અથવા B) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, તેથી તે વધારાના પ્રમેયમાંથી અનુસરે છે

આમ, કોઈપણ જીતવાની સંભાવના 0.2 છે.

આગલા પ્રમેય પર આગળ વધતા પહેલા, એક નવી મહત્વની વિભાવના - શરતી સંભાવનાની વિભાવનાથી પરિચિત થવું જરૂરી છે. આ હેતુ માટે, અમે નીચેના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈને પ્રારંભ કરીશું.

ધારો કે એક વેરહાઉસમાં 400 લાઇટ બલ્બ છે, જે બે અલગ-અલગ ફેક્ટરીઓમાં ઉત્પાદિત છે, અને પ્રથમ એક તમામ લાઇટ બલ્બના 75% ઉત્પાદન કરે છે, અને બીજો - 25%. ચાલો ધારીએ કે પ્રથમ પ્લાન્ટ દ્વારા ઉત્પાદિત લાઇટ બલ્બમાંથી, 83% ચોક્કસ ધોરણની શરતોને સંતોષે છે, અને બીજા પ્લાન્ટના ઉત્પાદનો માટે આ ટકાવારી 63 છે. ચાલો સંભાવના નક્કી કરીએ કે લાઇટ બલ્બ અવ્યવસ્થિત રીતે લેવામાં આવે છે. વેરહાઉસ ધોરણની શરતોને સંતોષશે.

નોંધ કરો કે ઉપલબ્ધ પ્રમાણભૂત લાઇટ બલ્બની કુલ સંખ્યામાં પ્રથમ દ્વારા ઉત્પાદિત લાઇટ બલ્બનો સમાવેશ થાય છે

ફેક્ટરી, અને બીજા પ્લાન્ટ દ્વારા ઉત્પાદિત 63 લાઇટ બલ્બ, એટલે કે, 312 ની બરાબર. કોઈપણ લાઇટ બલ્બની પસંદગી સમાન રીતે શક્ય ગણવી જોઈએ, અમારી પાસે 400 માંથી 312 અનુકૂળ કેસ છે, તેથી

જ્યાં ઘટના B એ છે કે અમે પસંદ કરેલ લાઇટ બલ્બ પ્રમાણભૂત છે.

આ ગણતરી દરમિયાન, અમે પસંદ કરેલ લાઇટ બલ્બ કયા છોડના ઉત્પાદન વિશે કોઈ ધારણાઓ કરવામાં આવી ન હતી. જો આપણે આ પ્રકારની કોઈપણ ધારણાઓ કરીએ, તો તે સ્પષ્ટ છે કે આપણને રસ હોય તેવી સંભાવના બદલાઈ શકે છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, જો તે જાણીતું છે કે પસંદ કરેલ લાઇટ બલ્બ પ્રથમ પ્લાન્ટ (ઇવેન્ટ A) પર બનાવવામાં આવ્યો હતો, તો પછી તે પ્રમાણભૂત છે તેવી સંભાવના હવે 0.78 નહીં, પરંતુ 0.83 હશે.

આ પ્રકારની સંભાવના, એટલે કે ઘટના A બને તે જોતાં ઘટના B ની સંભાવના, ઘટના A ની ઘટનાને જોતાં ઘટના B ની શરતી સંભાવના કહેવાય છે અને તેને સૂચિત કરવામાં આવે છે.

જો અગાઉના ઉદાહરણમાં આપણે A દ્વારા એ ઘટના દર્શાવીએ છીએ કે પસંદ કરેલ લાઇટ બલ્બ પ્રથમ પ્લાન્ટમાં બનાવવામાં આવ્યો છે, તો આપણે લખી શકીએ છીએ

હવે આપણે ઘટનાઓના સંયોજનની સંભાવનાની ગણતરી સાથે સંબંધિત એક મહત્વપૂર્ણ પ્રમેય ઘડી શકીએ છીએ.

ગુણાકાર પ્રમેય.

ઘટનાઓ A અને B ને સંયોજિત કરવાની સંભાવના એ ઘટનાઓમાંથી એકની સંભાવના અને બીજીની શરતી સંભાવનાના ઉત્પાદન જેટલી છે, એમ ધારીને કે પ્રથમ ઘટના બની હતી:

આ કિસ્સામાં, ઘટના A અને B ના સંયોજનનો અર્થ એ છે કે તે દરેકની ઘટના, એટલે કે, ઘટના A અને B ઘટના બંનેની ઘટના.

પુરાવો. ચાલો સમાન રીતે શક્ય જોડી પ્રમાણે અસંગત ઘટનાઓના સંપૂર્ણ જૂથને ધ્યાનમાં લઈએ, જેમાંથી દરેક ઘટના A અને ઘટના B બંને માટે અનુકૂળ અથવા પ્રતિકૂળ હોઈ શકે છે.

ચાલો આ બધી ઘટનાઓને નીચે પ્રમાણે ચાર જુદા જુદા જૂથોમાં વહેંચીએ. પ્રથમ જૂથમાં તે ઘટનાઓનો સમાવેશ થાય છે જે ઘટના A અને ઘટના B બંનેની તરફેણ કરે છે; બીજા અને ત્રીજા જૂથમાં તે ઘટનાઓનો સમાવેશ થાય છે જે અમને રસ ધરાવતી બે ઘટનાઓમાંથી એકની તરફેણ કરે છે અને બીજાની તરફેણ કરતી નથી, ઉદાહરણ તરીકે, બીજા જૂથમાં એનો સમાવેશ થાય છે જે A ની તરફેણ કરે છે પરંતુ Bની તરફેણ કરતા નથી, અને ત્રીજા જૂથમાં તે સમાવેશ થાય છે જે B ની તરફેણ કરો પરંતુ A ની તરફેણ કરશો નહીં; અંતે

ચોથા જૂથમાં તે ઘટનાઓનો સમાવેશ થાય છે જે A અથવા B ની તરફેણ કરતા નથી.

ઘટનાઓની સંખ્યામાં કોઈ ફરક પડતો નથી, તેથી આપણે ધારી શકીએ કે ચાર જૂથોમાં આ વિભાજન આના જેવો દેખાય છે:

જૂથ I:

જૂથ II:

III જૂથ:

IV જૂથ:

આમ, સમાન રીતે શક્ય અને જોડી મુજબની અસંગત ઘટનાઓમાં, એવી ઘટનાઓ છે જે ઘટના A અને ઘટના B બંનેની તરફેણ કરે છે, ઘટનાઓ જે ઘટના Aની તરફેણ કરે છે, પરંતુ ઘટના Aની તરફેણ કરતી નથી, ઘટનાઓ જે B ની તરફેણ કરે છે, પરંતુ Aની તરફેણ કરતી નથી, અને છેવટે, ઘટનાઓ કે જે A કે B ની તરફેણ કરતી નથી.

ચાલો આપણે નોંધ લઈએ કે આપણે ધ્યાનમાં લીધેલા ચાર જૂથોમાંથી કોઈપણમાં (અને એક કરતાં વધુ) એક પણ ઘટના સમાવી શકાતી નથી. આ કિસ્સામાં, આવા જૂથમાં ઇવેન્ટ્સની સંખ્યા દર્શાવતી અનુરૂપ સંખ્યા શૂન્યની બરાબર હશે.

જૂથોમાં અમારું વિભાજન તમને તરત જ લખવાની મંજૂરી આપે છે

ઘટનાઓ A અને B ના સંયોજન માટે પ્રથમ જૂથની ઘટનાઓ દ્વારા અને ફક્ત તેમના દ્વારા તરફેણ કરવામાં આવે છે. A ની તરફેણ કરતી ઘટનાઓની કુલ સંખ્યા પ્રથમ અને બીજા જૂથની ઘટનાઓની કુલ સંખ્યા જેટલી છે, અને B ની તરફેણ કરતી ઘટનાઓ પ્રથમ અને ત્રીજા જૂથની ઘટનાઓની કુલ સંખ્યા જેટલી છે.

ચાલો હવે સંભાવનાની ગણતરી કરીએ, એટલે કે, ઘટના B ની સંભાવના, જો તે ઘટના A બની હોય. હવે ત્રીજા અને ચોથા જૂથોમાં સમાવિષ્ટ ઘટનાઓ અદૃશ્ય થઈ ગઈ છે, કારણ કે તેમની ઘટના ઘટના A ની ઘટનાનો વિરોધાભાસ કરશે, અને સંભવિત કેસોની સંખ્યા હવે ની બરાબર નથી. આમાંથી, ઇવેન્ટ B ફક્ત પ્રથમ જૂથની ઘટનાઓ દ્વારા જ પસંદ કરવામાં આવે છે, તેથી અમને મળે છે:

પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે, હવે સ્પષ્ટ ઓળખ લખવા માટે તે પૂરતું છે:

અને ઉપરની ગણતરી કરેલ સંભાવનાઓ સાથે ત્રણેય અપૂર્ણાંકોને બદલો. અમે પ્રમેયમાં દર્શાવેલ સમાનતા પર પહોંચીએ છીએ:

તે સ્પષ્ટ છે કે અમે ઉપર લખેલી ઓળખ માત્ર ત્યારે જ અર્થપૂર્ણ બને છે જો તે હંમેશા સાચી હોય, સિવાય કે A એક અશક્ય ઘટના છે.

ઘટનાઓ A અને B સમાન હોવાથી, તેમને અદલાબદલી કરીને, આપણે ગુણાકાર પ્રમેયનું બીજું સ્વરૂપ મેળવીએ છીએ:

જો કે, આ સમાનતા અગાઉની સમાનતાની જેમ જ મેળવી શકાય છે, જો તમે નોંધ્યું કે ઓળખનો ઉપયોગ કરીને

P(A અને B) સંભાવના માટે બે અભિવ્યક્તિઓની જમણી બાજુની સરખામણી કરીને, અમે ઉપયોગી સમાનતા મેળવીએ છીએ:

ચાલો હવે ગુણાકાર પ્રમેયને સમજાવતા ઉદાહરણોનો વિચાર કરીએ.

ઉદાહરણ 4. ચોક્કસ એન્ટરપ્રાઇઝના ઉત્પાદનોમાં, 96% ઉત્પાદનોને યોગ્ય ગણવામાં આવે છે (ઇવેન્ટ A). દરેક સો યોગ્ય ઉત્પાદનોમાંથી 75 ઉત્પાદનો પ્રથમ ગ્રેડ (ઇવેન્ટ B) સાથે સંબંધિત છે. સંભવિતતા નક્કી કરો કે રેન્ડમલી પસંદ કરેલ ઉત્પાદન યોગ્ય હશે અને તે પ્રથમ ગ્રેડનું છે.

ઉકેલ. ઇચ્છિત સંભાવના એ ઘટના A અને B ને સંયોજિત કરવાની સંભાવના છે. શરત દ્વારા અમારી પાસે છે: . તેથી ગુણાકાર પ્રમેય આપે છે

ઉદાહરણ 5. એક જ શોટ (ઇવેન્ટ A) વડે લક્ષ્યને હિટ કરવાની સંભાવના 0.2 છે. જો 2% ફ્યુઝ નિષ્ફળ જાય તો લક્ષ્યને હિટ કરવાની સંભાવના કેટલી છે (એટલે ​​​​કે, 2% કેસોમાં શોટ નિષ્ફળ જાય છે.

ઉકેલ. ઘટના B ને એવું થવા દો કે શોટ થશે, અને B નો અર્થ વિપરીત ઘટના થવા દો. પછી શરત દ્વારા અને વધારાના પ્રમેયના પરિણામ અનુસાર. આગળ, શરત અનુસાર.

લક્ષ્યને હિટ કરવાનો અર્થ એ છે કે ઘટનાઓ A અને B (શોટ ફાયર થશે અને હિટ થશે), તેથી, ગુણાકાર પ્રમેય અનુસાર

ગુણાકાર પ્રમેયનો એક મહત્વપૂર્ણ વિશેષ કેસ ઘટનાઓની સ્વતંત્રતાના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે.

બે ઘટનાઓને સ્વતંત્ર કહેવામાં આવે છે જો તેમાંથી એકની સંભાવના બીજી બને છે કે ન થાય તેના પરિણામે બદલાતી નથી.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓના ઉદાહરણો એ છે કે જ્યારે ફરીથી ડાઇસ ફેંકવામાં આવે ત્યારે અથવા સિક્કાની એક અથવા બીજી બાજુ જ્યારે ફરીથી સિક્કો ફેંકવામાં આવે ત્યારે અલગ-અલગ સંખ્યાના પોઈન્ટની ઘટના, કારણ કે તે સ્પષ્ટ છે કે બીજા ફેંકવા પર હથિયારોનો કોટ મળવાની સંભાવના સમાન છે. શસ્ત્રોનો કોટ પ્રથમ પર આવ્યો કે નહીં તે ધ્યાનમાં લીધા વિના.

તેવી જ રીતે, સફેદ અને કાળા દડા ધરાવતા કલગીમાંથી બીજી વખત સફેદ બોલ દોરવાની સંભાવના જો દોરેલો પહેલો દડો અગાઉ પાછો ફર્યો હોય તો તે બોલ પ્રથમ વખત દોરવામાં આવ્યો હતો કે સફેદ કે કાળો તેના પર નિર્ભર નથી. તેથી, પ્રથમ અને બીજા દૂર કરવાના પરિણામો એકબીજાથી સ્વતંત્ર છે. તેનાથી વિપરિત, જો પ્રથમ બહાર કાઢવામાં આવેલો દડો કલશમાં પાછો આવતો નથી, તો બીજા દૂર કરવાના પરિણામ પ્રથમ પર આધાર રાખે છે, કારણ કે પ્રથમ દૂર કર્યા પછી ભઠ્ઠીમાં દડાની રચના તેના પરિણામના આધારે બદલાય છે. અહીં આપણી પાસે આશ્રિત ઘટનાઓનું ઉદાહરણ છે.

શરતી સંભાવનાઓ માટે અપનાવવામાં આવેલા સંકેતનો ઉપયોગ કરીને, આપણે ઘટના A અને B ની સ્વતંત્રતા માટેની સ્થિતિને ફોર્મમાં લખી શકીએ છીએ.

આ સમાનતાઓનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટેના ગુણાકાર પ્રમેયને નીચેના સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકીએ છીએ.

જો ઘટનાઓ A અને B સ્વતંત્ર છે, તો પછી તેમના સંયોજનની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ઉત્પાદન જેટલી છે:

ખરેખર, ગુણાકાર પ્રમેયની પ્રારંભિક અભિવ્યક્તિમાં મૂકવા માટે તે પૂરતું છે, જે ઘટનાઓની સ્વતંત્રતાથી અનુસરે છે, અને અમે જરૂરી સમાનતા પ્રાપ્ત કરીશું.

ચાલો હવે કેટલીક ઘટનાઓ પર વિચાર કરીએ: જો તેમાંથી કોઈની ઘટનાની સંભાવના વિચારણા હેઠળની અન્ય કોઈ ઘટનાઓ બની કે નહીં તેના પર નિર્ભર ન હોય તો અમે તેમને સામૂહિક રીતે સ્વતંત્ર કહીશું.

સામૂહિક રીતે સ્વતંત્ર હોય તેવી ઘટનાઓના કિસ્સામાં, ગુણાકાર પ્રમેયને તેમાંથી કોઈપણ મર્યાદિત સંખ્યામાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે, તેથી તેને નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છે:

એકંદરમાં સ્વતંત્ર ઘટનાઓને સંયોજિત કરવાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ઉત્પાદન જેટલી છે:

ઉદાહરણ 6. એક કાર્યકર ત્રણ સ્વચાલિત મશીનો ચલાવે છે, જો મશીન બંધ થઈ જાય તો તેમાંની દરેક ખામીને સુધારવા માટે સંપર્ક કરવો આવશ્યક છે. પ્રથમ મશીન એક કલાકની અંદર બંધ નહીં થાય તેવી સંભાવના 0.9 છે. બીજા મશીન માટે સમાન સંભાવના 0.8 અને ત્રીજા માટે - 0.7 છે. સંભવિતતા નક્કી કરો કે એક કલાકની અંદર કાર્યકરને તે જે મશીનની સેવા કરી રહ્યો છે તેમાંથી કોઈપણનો સંપર્ક કરવાની જરૂર રહેશે નહીં.

ઉદાહરણ 7. રાઇફલ શોટ વડે વિમાનને નીચે ઉતારવાની સંભાવના જો એક જ સમયે 250 રાઇફલ્સ ફાયર કરવામાં આવે તો દુશ્મનના વિમાનને નષ્ટ કરવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ. એક શૉટ વડે પ્લેન શૉટ ન થાય તેવી સંભાવના એ વધારાના પ્રમેયની બરાબર છે, પછી આપણે ગુણાકાર પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, સંયોજનની સંભાવના તરીકે, 250 શૉટ સાથે પ્લેન શૉટ ડાઉન થવાની સંભાવનાની ગણતરી કરી શકીએ છીએ. ઘટનાઓ તે બરાબર છે આ પછી, આપણે ફરીથી વધારાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ અને વિરોધી ઘટનાની સંભાવના તરીકે પ્લેન નીચે પડવાની સંભાવના શોધી શકીએ છીએ.

આના પરથી જોઈ શકાય છે કે, એક રાઈફલના ગોળી વડે પ્લેનને તોડી પાડવાની સંભાવના નગણ્ય હોવા છતાં, 250 રાઈફલથી ગોળીબાર કરતી વખતે, પ્લેનને નીચે ઉતારવાની સંભાવના પહેલેથી જ ખૂબ જ નોંધપાત્ર છે. જો રાઇફલ્સની સંખ્યામાં વધારો કરવામાં આવે તો તે નોંધપાત્ર રીતે વધે છે. તેથી, 500 રાઇફલ્સથી શૂટિંગ કરતી વખતે, પ્લેન નીચે શૂટ કરવાની સંભાવના, જેમ કે ગણતરી કરવી સરળ છે, તે 1000 રાઇફલ્સથી શૂટિંગ કરતી વખતે સમાન છે - પણ.

ઉપર સાબિત થયેલ ગુણાકાર પ્રમેય આપણને અમુક અંશે વધારાના પ્રમેયને વિસ્તૃત કરવાની પરવાનગી આપે છે, તેને સુસંગત ઘટનાઓના કિસ્સામાં વિસ્તરે છે. તે સ્પષ્ટ છે કે જો ઘટનાઓ A અને B સુસંગત છે, તો તેમાંથી ઓછામાં ઓછી એકની ઘટનાની સંભાવના તેમની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જો ઇવેન્ટ A નો અર્થ સમ સંખ્યા હોય

ડાઇ ફેંકતી વખતે પોઈન્ટની સંખ્યા, અને ઘટના B એ પોઈન્ટની સંખ્યાની ખોટ છે જે ત્રણનો ગુણાંક છે, તો ઘટના (A અથવા B) 2, 3, 4 અને 6 પોઈન્ટના નુકશાન દ્વારા તરફેણ કરે છે, તે જ

બીજી બાજુ, તે છે. તેથી આ કિસ્સામાં

આના પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે સુસંગત ઘટનાઓના કિસ્સામાં સંભાવનાઓના ઉમેરાનું પ્રમેય બદલવું આવશ્યક છે. જેમ આપણે હવે જોઈશું, તે એવી રીતે ઘડવામાં આવી શકે છે કે તે સુસંગત અને અસંગત ઘટનાઓ બંને માટે માન્ય છે, જેથી અગાઉ ગણવામાં આવેલ ઉમેરણ પ્રમેય નવા એક વિશેષ કેસ તરીકે બહાર આવે.

A ને અનુકૂળ ન હોય તેવી ઘટનાઓ.

ઘટના (A અથવા B) ની તરફેણ કરતી તમામ પ્રાથમિક ઘટનાઓએ માત્ર A, અથવા ફક્ત B, અથવા A અને B બંનેની તરફેણ કરવી જોઈએ. આમ, આવી ઘટનાઓની કુલ સંખ્યા બરાબર છે

અને સંભાવના

Q.E.D.

ડાઇ ફેંકતી વખતે દેખાતા પોઈન્ટની સંખ્યાના ઉપરના ઉદાહરણ પર સૂત્ર (9) લાગુ કરવાથી, આપણને મળે છે:

જે સીધી ગણતરીના પરિણામ સાથે એકરુપ છે.

દેખીતી રીતે, સૂત્ર (1) એ (9) નો વિશેષ કેસ છે. ખરેખર, જો ઘટનાઓ A અને B અસંગત છે, તો પછી સંયોજનની સંભાવના

દાખ્લા તરીકે. બે ફ્યુઝ ઇલેક્ટ્રિકલ સર્કિટ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. પ્રથમ ફ્યુઝની નિષ્ફળતાની સંભાવના 0.6 છે, અને બીજી 0.2 છે. ચાલો આમાંથી ઓછામાં ઓછા એક ફ્યુઝની નિષ્ફળતાના પરિણામે પાવર નિષ્ફળતાની સંભાવના નક્કી કરીએ.

ઉકેલ. ઘટનાઓ A અને B, જેમાં ફ્યુઝના પ્રથમ અને બીજા ની નિષ્ફળતાનો સમાવેશ થાય છે, સુસંગત છે, આવશ્યક સંભાવના સૂત્ર (9) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવશે:

કસરતો

સંભાવના સિદ્ધાંતનો અભ્યાસ સંભવિતતાઓના સરવાળા અને ગુણાકાર સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓ ઉકેલવા સાથે શરૂ થાય છે. તે તરત જ ઉલ્લેખનીય છે કે જ્ઞાનના આ ક્ષેત્રમાં નિપુણતા પ્રાપ્ત કરતી વખતે વિદ્યાર્થીને સમસ્યા આવી શકે છે: જો ભૌતિક અથવા રાસાયણિક પ્રક્રિયાઓને દૃષ્ટિની રીતે રજૂ કરી શકાય છે અને અનુભવપૂર્વક સમજી શકાય છે, તો ગાણિતિક અમૂર્તતાનું સ્તર ખૂબ ઊંચું છે, અને અહીં સમજણ ફક્ત આવે છે. અનુભવ સાથે.

જો કે, આ રમત મીણબત્તીની કિંમતની છે, કારણ કે સૂત્રો - આ લેખમાં જેની ચર્ચા કરવામાં આવી છે અને વધુ જટિલ - બંને - આજે દરેક જગ્યાએ ઉપયોગમાં લેવાય છે અને કાર્યમાં સારી રીતે ઉપયોગી થઈ શકે છે.

મૂળ

વિચિત્ર રીતે, ગણિતની આ શાખાના વિકાસની પ્રેરણા હતી... જુગાર. ખરેખર, ડાઇસ, કોઇન ટોસ, પોકર, રૂલેટ એ લાક્ષણિક ઉદાહરણો છે જે સંભાવનાઓના ઉમેરા અને ગુણાકારનો ઉપયોગ કરે છે. કોઈપણ પાઠ્યપુસ્તકમાં સમસ્યાઓના ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને આ સ્પષ્ટપણે જોઈ શકાય છે. લોકોને તેમની જીતવાની તકો કેવી રીતે વધારવી તે શીખવામાં રસ હતો, અને એવું કહેવું જ જોઇએ કે કેટલાક આમાં સફળ થયા.

ઉદાહરણ તરીકે, પહેલેથી જ 21મી સદીમાં, એક વ્યક્તિ, જેનું નામ આપણે જાહેર કરીશું નહીં, સદીઓથી સંચિત આ જ્ઞાનનો ઉપયોગ કેસિનોને શાબ્દિક રીતે "સાફ" કરવા માટે કર્યો, રુલેટમાં કરોડો ડોલર જીત્યા.

જો કે, આ વિષયમાં રસ વધ્યો હોવા છતાં, માત્ર 20મી સદી સુધીમાં એક સૈદ્ધાંતિક માળખું વિકસાવવામાં આવ્યું હતું જેણે "પ્રમેય"ને સંપૂર્ણ બનાવ્યું હતું, આજે લગભગ કોઈપણ વિજ્ઞાનમાં સંભવિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓ શોધી શકાય છે.

પ્રયોજ્યતા

સંભાવનાઓ અને શરતી સંભાવના ઉમેરવા અને ગુણાકાર કરવા માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતી વખતે મહત્વનો મુદ્દો એ કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયની સંતોષકારકતા છે. નહિંતર, જો કે વિદ્યાર્થીને તેનો ખ્યાલ ન હોય, બધી ગણતરીઓ, ભલે તે ગમે તેટલી બુદ્ધિગમ્ય લાગે, ખોટી હશે.

હા, એક ખૂબ જ પ્રેરિત વિદ્યાર્થી દરેક તક પર નવા જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરવા લલચાય છે. પરંતુ આ કિસ્સામાં તે થોડું ધીમું કરવું અને લાગુ પાડવાના અવકાશને સખત રીતે રૂપરેખા આપવો જરૂરી છે.

સંભાવના સિદ્ધાંત રેન્ડમ ઘટનાઓ સાથે વ્યવહાર કરે છે, જે પ્રયોગમૂલક દ્રષ્ટિએ પ્રયોગોના પરિણામોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે: આપણે છ-બાજુવાળા ડાઇને રોલ કરી શકીએ છીએ, ડેકમાંથી કાર્ડ દોરી શકીએ છીએ, બેચમાં ખામીયુક્ત ભાગોની સંખ્યાની આગાહી કરી શકીએ છીએ. જો કે, કેટલાક પ્રશ્નોમાં ગણિતના આ વિભાગમાંથી સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવાની સખત મનાઈ છે. અમે લેખના અંતે ઘટનાની સંભાવનાઓ, ઘટનાઓના ઉમેરા અને ગુણાકારના પ્રમેયને ધ્યાનમાં લેવાના લક્ષણોની ચર્ચા કરીશું, પરંતુ હમણાં માટે ચાલો ઉદાહરણો તરફ વળીએ.

મૂળભૂત ખ્યાલો

અવ્યવસ્થિત ઘટના એ અમુક પ્રક્રિયા અથવા પરિણામનો ઉલ્લેખ કરે છે જે પ્રયોગના પરિણામે દેખાઈ શકે છે અથવા ન પણ હોઈ શકે. ઉદાહરણ તરીકે, અમે સેન્ડવીચને ટૉસ કરીએ છીએ - તે માખણની બાજુ ઉપર અથવા માખણની બાજુ નીચે ઉતરી શકે છે. બેમાંથી કોઈ એક પરિણામ રેન્ડમ હશે અને તેમાંથી કયું પરિણામ આવશે તે આપણે અગાઉથી જાણતા નથી.

સંભાવનાઓના ઉમેરા અને ગુણાકારનો અભ્યાસ કરતી વખતે, આપણને વધુ બે ખ્યાલોની જરૂર પડશે.

આવી ઘટનાઓને સંયુક્ત કહેવામાં આવે છે, જેમાંથી એકની ઘટના બીજાની ઘટનાને બાકાત રાખતી નથી. જણાવી દઈએ કે એક જ સમયે બે લોકો નિશાન પર ગોળીબાર કરે છે. જો તેમાંથી એક સફળ ઉત્પાદન કરે છે, તો તે કોઈ પણ રીતે બીજાની બુલ્સ આઈ અથવા ચૂકી જવાની ક્ષમતાને અસર કરશે નહીં.

અસંગત ઘટનાઓ તે ઘટનાઓ હશે જેની ઘટના એક જ સમયે અશક્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે બોક્સમાંથી માત્ર એક જ બોલ કાઢો છો, તો તમે એક સાથે વાદળી અને લાલ બંને મેળવી શકતા નથી.

હોદ્દો

સંભાવનાનો ખ્યાલ લેટિન કેપિટલ અક્ષર P દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આગળ કૌંસમાં અમુક ઘટનાઓને દર્શાવતી દલીલો છે.

વધારાના પ્રમેય, શરતી સંભાવના અને ગુણાકાર પ્રમેયના સૂત્રોમાં, તમે કૌંસમાં સમીકરણો જોશો, ઉદાહરણ તરીકે: A+B, AB અથવા A|B. તેમની ગણતરી વિવિધ રીતે કરવામાં આવશે, અને હવે અમે તેમની તરફ વળીશું.

ઉમેરણ

ચાલો એવા કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ કે જેમાં સંભાવનાઓને ઉમેરવા અને ગુણાકાર કરવા માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

અસંગત ઘટનાઓ માટે, સરળ ઉમેરણ સૂત્ર સુસંગત છે: કોઈપણ રેન્ડમ પરિણામોની સંભાવના આ દરેક પરિણામોની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી હશે.

ધારો કે 2 વાદળી, 3 લાલ અને 5 પીળા આરસ સાથે એક બોક્સ છે. બોક્સમાં કુલ 10 વસ્તુઓ છે. આપણે વાદળી કે લાલ બોલ દોરીશું એ વિધાનનું સત્ય શું છે? તે 2/10 + 3/10 બરાબર હશે, એટલે કે પચાસ ટકા.

અસંગત ઘટનાઓના કિસ્સામાં, સૂત્ર વધુ જટિલ બની જાય છે, કારણ કે વધારાના શબ્દ ઉમેરવામાં આવે છે. ચાલો બીજા સૂત્રને ધ્યાનમાં લીધા પછી, એક ફકરામાં તેના પર પાછા ફરીએ.

ગુણાકાર

સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ઉમેરા અને ગુણાકારનો ઉપયોગ વિવિધ કેસોમાં થાય છે. જો, પ્રયોગની શરતો અનુસાર, અમે બે સંભવિત પરિણામોમાંથી કોઈપણથી સંતુષ્ટ છીએ, તો અમે સરવાળાની ગણતરી કરીશું; જો આપણે એક પછી એક બે ચોક્કસ પરિણામો મેળવવા માંગીએ છીએ, તો અમે એક અલગ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીશું.

પાછલા વિભાગના ઉદાહરણ પર પાછા ફરીને, આપણે પહેલા વાદળી બોલ અને પછી લાલ બોલ દોરવા માંગીએ છીએ. આપણે પ્રથમ નંબર જાણીએ છીએ - તે 2/10 છે. આગળ શું થશે? ત્યાં 9 બોલ બાકી છે, અને હજી પણ સમાન સંખ્યામાં લાલ છે - ત્રણ. ગણતરી મુજબ, તે 3/9 અથવા 1/3 હશે. પણ હવે બે નંબરનું શું કરવું? સાચો જવાબ 2/30 મેળવવા માટે ગુણાકાર કરવાનો છે.

સંયુક્ત ઘટનાઓ

હવે આપણે સંયુક્ત ઘટનાઓ માટેના સરવાળા સૂત્ર તરફ ફરી શકીએ છીએ. શા માટે આપણે વિષયથી વિચલિત થયા? સંભાવનાઓ કેવી રીતે ગુણાકાર થાય છે તે શોધવા માટે. હવે આપણને આ જ્ઞાનની જરૂર પડશે.

આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ કે પ્રથમ બે શબ્દો શું હશે (અગાઉ ચર્ચા કરેલ ઉમેરણ સૂત્રમાં સમાન છે), પરંતુ હવે આપણે સંભાવનાઓના ઉત્પાદનને બાદ કરવાની જરૂર છે, જે આપણે હમણાં જ ગણતરી કરવાનું શીખ્યા. સ્પષ્ટતા માટે, ચાલો સૂત્ર લખીએ: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). તે તારણ આપે છે કે સંભાવનાઓના ઉમેરા અને ગુણાકાર બંનેનો ઉપયોગ એક અભિવ્યક્તિમાં થાય છે.

ચાલો કહીએ કે ક્રેડિટ મેળવવા માટે અમારે બેમાંથી કોઈપણ સમસ્યાનો ઉકેલ લાવવો પડશે. આપણે પ્રથમ 0.3 ની સંભાવના સાથે અને બીજાને 0.6 ની સંભાવના સાથે હલ કરી શકીએ છીએ. ઉકેલ: 0.3 + 0.6 - 0.18 = 0.72. નોંધ કરો કે અહીં ફક્ત સંખ્યાઓ ઉમેરવાનું પૂરતું નથી.

શરતી સંભાવના

છેલ્લે, શરતી સંભાવનાની વિભાવના છે, જેની દલીલો કૌંસમાં દર્શાવેલ છે અને ઊભી પટ્ટી દ્વારા અલગ કરવામાં આવી છે. એન્ટ્રી P(A|B) નીચે પ્રમાણે વાંચે છે: "ઇવેન્ટ A આપેલ ઇવેન્ટ B ની સંભાવના."

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ: એક મિત્ર તમને કોઈ ઉપકરણ આપે છે, તે એક ટેલિફોન છે. તે તૂટી (20%) અથવા અખંડ (80%) હોઈ શકે છે. તમે 0.4 ની સંભાવના સાથે તમારા હાથમાં આવતા કોઈપણ ઉપકરણને સુધારવા માટે સક્ષમ છો, અથવા તમે આમ કરવામાં અસમર્થ છો (0.6). અંતે, જો ઉપકરણ કાર્યકારી ક્રમમાં છે, તો તમે 0.7 ની સંભાવના સાથે યોગ્ય વ્યક્તિ સુધી પહોંચી શકો છો.

આ કિસ્સામાં શરતી સંભાવના કેવી રીતે ચાલે છે તે જોવાનું સરળ છે: જો ફોન તૂટી ગયો હોય તો તમે કોઈ વ્યક્તિ સુધી પહોંચી શકશો નહીં, પરંતુ જો તે કામ કરી રહ્યું છે, તો તમારે તેને ઠીક કરવાની જરૂર નથી. આમ, "બીજા સ્તર" પર કોઈપણ પરિણામો મેળવવા માટે, તમારે તે શોધવાની જરૂર છે કે કઈ ઇવેન્ટ પહેલા એક્ઝિક્યુટ કરવામાં આવી હતી.

ગણતરીઓ

ચાલો પાછલા ફકરામાંથી ડેટાનો ઉપયોગ કરીને સંભાવનાઓના સરવાળો અને ગુણાકાર સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓ ઉકેલવાના ઉદાહરણો જોઈએ.

પ્રથમ, ચાલો સંભવિતતા શોધીએ કે તમે તમને આપેલા ઉપકરણને રિપેર કરશો. આ કરવા માટે, પ્રથમ, તે ખામીયુક્ત હોવું જોઈએ, અને બીજું, તમારે તેને ઠીક કરવામાં સમર્થ હોવા જોઈએ. ગુણાકારનો ઉપયોગ કરીને આ એક લાક્ષણિક સમસ્યા છે: આપણને 0.2 * 0.4 = 0.08 મળે છે.

તમે તરત જ યોગ્ય વ્યક્તિ સુધી પહોંચશો એવી સંભાવના કેટલી છે? તે એટલું જ સરળ છે: 0.8*0.7 = 0.56. આ કિસ્સામાં, તમે જોયું કે ફોન કામ કરી રહ્યો છે અને સફળતાપૂર્વક કૉલ કર્યો.

છેલ્લે, આ દૃશ્યને ધ્યાનમાં લો: તમને તૂટેલા ફોન મળે છે, તેને ઠીક કરો, પછી નંબર ડાયલ કરો અને બીજી બાજુની વ્યક્તિ ઉપાડે છે. અહીં આપણે પહેલાથી જ ત્રણ ઘટકોનો ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે: 0.2*0.4*0.7 = 0.056.

જો તમારી પાસે એક સાથે બે કામ ન કરતા ફોન હોય તો શું કરવું? તમે તેમાંના ઓછામાં ઓછા એકને ઠીક કરી શકો છો? સંભાવનાઓના ઉમેરા અને ગુણાકાર પર, કારણ કે સંયુક્ત ઘટનાઓનો ઉપયોગ થાય છે. ઉકેલ: 0.4 + 0.4 - 0.4*0.4 = 0.8 - 0.16 = 0.64. આમ, જો તમને બે તૂટેલા ઉપકરણો મળે, તો તમે 64% કેસમાં તેને ઠીક કરી શકશો.

સાવચેત ઉપયોગ

લેખની શરૂઆતમાં જણાવ્યા મુજબ, સંભાવના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ ઇરાદાપૂર્વક અને સભાન હોવો જોઈએ.

પ્રયોગોની શ્રેણી જેટલી મોટી હોય છે, સૈદ્ધાંતિક રીતે અનુમાનિત મૂલ્ય વ્યવહારમાં મેળવેલા મૂલ્યની નજીક આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અમે સિક્કો ફેંકીએ છીએ. સૈદ્ધાંતિક રીતે, સંભાવનાઓના ઉમેરા અને ગુણાકાર માટેના સૂત્રોના અસ્તિત્વને જાણીને, જો આપણે 10 વખત પ્રયોગ કરીશું તો કેટલી વખત "હેડ" અને "પૂંછડીઓ" દેખાશે તેની આગાહી કરી શકીએ છીએ. અમે એક પ્રયોગ કર્યો, અને સંયોગથી દોરેલી બાજુઓનો ગુણોત્તર 3 થી 7 હતો. પરંતુ જો આપણે 100, 1000 અથવા વધુ પ્રયત્નોની શ્રેણી ચલાવીએ, તો તે તારણ આપે છે કે વિતરણ ગ્રાફ સૈદ્ધાંતિક એકની નજીક અને નજીક આવી રહ્યો છે: 44 થી 56, 482 થી 518, અને તેથી વધુ.

હવે કલ્પના કરો કે આ પ્રયોગ સિક્કાથી નહીં, પરંતુ કેટલાક નવા રાસાયણિક પદાર્થના ઉત્પાદન સાથે કરવામાં આવે છે, જેની સંભાવના આપણે જાણતા નથી. અમે 10 પ્રયોગો કરીશું અને સફળ પરિણામ પ્રાપ્ત કર્યા વિના, અમે સામાન્યીકરણ કરી શકીશું: "પદાર્થ મેળવવો અશક્ય છે." પણ કોણ જાણે, જો આપણે અગિયારમો પ્રયાસ કર્યો હોત, તો આપણે લક્ષ્ય પ્રાપ્ત કર્યું હોત કે નહીં?

તેથી જો તમે અજ્ઞાત, અન્વેષિત ક્ષેત્રમાં જઈ રહ્યા છો, તો સંભાવના સિદ્ધાંત લાગુ ન થઈ શકે. આ કિસ્સામાં દરેક અનુગામી પ્રયાસ સફળ થઈ શકે છે અને "X અસ્તિત્વમાં નથી" અથવા "X અશક્ય છે" જેવા સામાન્યીકરણો અકાળ હશે.

અંતિમ શબ્દ

તેથી, અમે બે પ્રકારના સરવાળા, ગુણાકાર અને શરતી સંભાવનાઓ જોયા. આ વિસ્તારના વધુ અભ્યાસ સાથે, દરેક ચોક્કસ સૂત્રનો ઉપયોગ કરવામાં આવે ત્યારે પરિસ્થિતિઓને અલગ પાડવાનું શીખવું જરૂરી છે. વધુમાં, તમારે કલ્પના કરવાની જરૂર છે કે શું સંભવિત પદ્ધતિઓ તમારી સમસ્યાને ઉકેલવા માટે સામાન્ય રીતે લાગુ પડે છે.

જો તમે પ્રેક્ટિસ કરો છો, તો થોડા સમય પછી તમે ફક્ત તમારા મગજમાં જ તમામ જરૂરી ઓપરેશનો કરવા લાગશો. જેઓ પત્તાની રમતોમાં રસ ધરાવતા હોય તેમના માટે, આ કૌશલ્ય અત્યંત મૂલ્યવાન ગણી શકાય - તમે ફક્ત કોઈ ચોક્કસ કાર્ડ અથવા સૂટ બહાર પડવાની સંભાવનાની ગણતરી કરીને જીતવાની તમારી તકોમાં નોંધપાત્ર વધારો કરશો. જો કે, તમે પ્રવૃત્તિના અન્ય ક્ષેત્રોમાં હસ્તગત જ્ઞાનનો ઉપયોગ સરળતાથી શોધી શકો છો.

સંભાવના ઉમેરા અને ગુણાકાર પ્રમેય

ઉમેરણ પ્રમેય

ઘણી અસંગત ઘટનાઓમાંથી એકની ઘટનાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે.

A અને B બે અસંગત ઘટનાઓના કિસ્સામાં અમારી પાસે છે:

P(A+B) = P(A) + P(B) (7)

ઘટના A ની વિરુદ્ધ ઘટના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ઘટના A નું સંયોજન વિશ્વસનીય ઘટના આપે છે અને ઘટના A અસંગત હોવાથી

P(A) + P() = 1 (8)

ઘટના A ની સંભાવના, જે ધારણા હેઠળ ગણવામાં આવે છે કે ઘટના B બની છે, કહેવાય છે શરતી સંભાવનાઘટના A અને પ્રતીક P B (A) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

જો ઘટના A અને B સ્વતંત્ર છે, તો P(B) = P A (B).

ઘટનાઓ A, B, C, ... કહેવાય છે સામૂહિક રીતે સ્વતંત્ર, જો તેમાંથી દરેકની સંભાવના અલગથી અથવા તેમના કોઈપણ સંયોજનમાં અને કોઈપણ સંખ્યામાં અન્ય ઘટનાઓની ઘટના અથવા બિન-ઘટનાને કારણે બદલાતી નથી.

ગુણાકાર પ્રમેય

ઘટનાઓ A, B, અને C બનશે તેવી સંભાવના... તેમની સંભાવનાઓના ઉત્પાદનની સમાન છે, તે ધારણા હેઠળ ગણવામાં આવે છે કે તેમાંથી દરેક પહેલાની તમામ ઘટનાઓ બની હતી, એટલે કે.

P(AB) = P(A) P A (B)(9)

નોટેશન P A (B) એ ધારણા હેઠળ ઘટના B ની સંભાવના દર્શાવે છે કે ઘટના A પહેલેથી જ આવી છે.

જો ઘટનાઓ A, B, C, ... સામૂહિક રીતે સ્વતંત્ર છે, તો પછી તે બધી થવાની સંભાવના તેમની સંભાવનાઓના ઉત્પાદન જેટલી છે:

P(ABC) = P(A)P(B)P(C) (10)

ઉદાહરણ 3.1.બેગમાં દડાઓ છે: 10 સફેદ, 15 કાળો, 20 વાદળી અને 25 લાલ. એક બોલ બહાર કાઢવામાં આવ્યો હતો. દોરેલા બોલ સફેદ હશે તેવી સંભાવના શોધો? કાળો? અને એક વધુ વસ્તુ: સફેદ કે કાળો?

ઉકેલ.

તમામ સંભવિત પરીક્ષણોની સંખ્યા n = 10 + 15 + 20 + 25 = 70;

સંભાવના P(b) = 10/70 = 1/7, P(h) = 15/70 = 3/14.

અમે સંભાવના પ્રમેયના ઉમેરાને લાગુ કરીએ છીએ:

R(b + h) = R(b) + R(h) = 1/7 + 3/14 = 5/14.

નૉૅધ:કૌંસમાં મોટા અક્ષરો અનુક્રમે સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર દરેક બોલનો રંગ સૂચવે છે.

ઉદાહરણ 3.2પ્રથમ બોક્સમાં બે સફેદ અને દસ કાળા બોલ છે. બીજા બોક્સમાં આઠ સફેદ અને ચાર કાળા બોલ છે. દરેક બોક્સમાંથી એક બોલ લેવામાં આવ્યો હતો. સંભાવના નક્કી કરો કે બંને બોલ સફેદ હશે.

ઉકેલ.

ઇવેન્ટ A એ પ્રથમ બોક્સમાંથી સફેદ બોલનો દેખાવ છે. ઇવેન્ટ B એ બીજા બોક્સમાંથી સફેદ બોલનો દેખાવ છે. ઘટનાઓ A અને B સ્વતંત્ર છે.

સંભાવનાઓ P(A) = 2/12 = 1/6, P(B) = 8/12 = 2/3.

અમે સંભાવના ગુણાકાર પ્રમેય લાગુ કરીએ છીએ:

P(AB) = P(A)P(B) = 2/18 = 1/9.

પ્રશ્નોની સમીક્ષા કરો

1 કારણદર્શક શું છે?

2 સંયોજનશાસ્ત્રના મુખ્ય કાર્યોની યાદી બનાવો.

3 ક્રમચયો શું કહેવાય છે?

4 હલનચલન શું કહેવાય છે?

5 સંયોજનો શું કહેવાય છે?

6 કઈ ઘટનાઓને વિશ્વસનીય કહેવાય છે?

7 કઈ ઘટનાઓને અસંગત કહેવામાં આવે છે?

8 ઘટનાની સંભાવના શું છે?

9 શરતી સંભાવના શું કહેવાય છે?

10 સંભાવનાઓના ઉમેરા અને ગુણાકાર માટે પ્રમેય ઘડવો.

11 વગેરેથી પ્લેસમેન્ટ પી દ્વારા તત્વો k (k ≤ p ) સમાવેશ થાય છે કોઈપણ સમૂહ છે પ્રતિ ડેટામાંથી ચોક્કસ ક્રમમાં લેવામાં આવેલા તત્વો પી તત્વો

આમ, થી બે પ્લેસમેન્ટ પી દ્વારા તત્વો પ્રતિ અલગ ગણવામાં આવે છે જો તેઓ તત્વોમાં અથવા તેમની ગોઠવણીના ક્રમમાં અલગ હોય તો પ્લેસમેન્ટની સંખ્યા પી દ્વારા તત્વો પ્રતિ સૂચવો એ પી કે અને સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે છે

A p k =

જો થી પ્લેસમેન્ટ પી દ્વારા તત્વો પી તત્વોના ક્રમમાં જ એકબીજાથી અલગ પડે છે, પછી તેઓ ક્રમચયોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે પી તત્વો

ઉદાહરણ1. બીજા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓ 9 વિષયોનો અભ્યાસ કરે છે. તમે એક દિવસનું શેડ્યૂલ કેટલી રીતે બનાવી શકો છો જેથી તેમાં 4 જુદા જુદા વિષયો હોય?

ઉકેલ: એક દિવસ માટેનું કોઈપણ શેડ્યૂલ, 4 અલગ-અલગ વિષયોનું બનેલું છે, તે વિષયોના સમૂહમાં અથવા જે ક્રમમાં રજૂ કરવામાં આવ્યું છે તે ક્રમમાં બીજા કરતાં અલગ છે. આનો અર્થ એ છે કે આ ઉદાહરણમાં આપણે 4 ના 9 ઘટકોના પ્લેસમેન્ટ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ. અમારી પાસે છે

A 9 4 = = 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 = 3024

શેડ્યૂલ 3024 રીતે બનાવી શકાય છે

ઉદાહરણ 2. 0,1,2,3,4,5,6 નંબરોમાંથી કેટલી ત્રણ-અંકની સંખ્યાઓ (સંખ્યામાંની સંખ્યાઓનું પુનરાવર્તન કર્યા વિના) બનાવી શકાય?

ઉકેલ જો સાત અંકોમાં કોઈ શૂન્ય ન હોય, તો ત્રણ-અંકની સંખ્યાઓ (અંકોનું પુનરાવર્તન કર્યા વિના) જે આ અંકોમાંથી બનાવી શકાય છે તે પ્લેસમેન્ટની સંખ્યા જેટલી છે.

22

3 ના 7 તત્વો જો કે, આ સંખ્યાઓમાં 0 નંબર છે, જેની સાથે ત્રણ-અંકની સંખ્યા શરૂ થઈ શકતી નથી. તેથી, 3 દ્વારા 7 તત્વોની ગોઠવણીમાંથી, જેમનું પ્રથમ તત્વ 0 છે તેને બાકાત રાખવું જરૂરી છે. તેમની સંખ્યા 2 દ્વારા તેમના 6 તત્વોની ગોઠવણીની સંખ્યા જેટલી છે. =

આનો અર્થ એ છે કે ત્રણ-અંકની સંખ્યાઓની આવશ્યક સંખ્યા છે

A 7 3 - A 6 2 = - = 5 ∙ 6 ∙ 7 - 5 ∙ 6 = 180.

3. સમસ્યાઓ ઉકેલવાની પ્રક્રિયામાં હસ્તગત જ્ઞાનનું એકત્રીકરણ

№754 . જો ડબ્બામાં અન્ય મુસાફરો ન હોય તો ચાર સીટવાળા ડબ્બામાં ત્રણ જણનું કુટુંબ કેટલી રીતે સૂઈ શકે?

ઉકેલ. માર્ગોની સંખ્યા સમાન છે A 4 3 = = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24

№755. 30 મીટિંગ સહભાગીઓમાંથી, એક અધ્યક્ષ અને સચિવની પસંદગી કરવી આવશ્યક છે. આ કેટલી રીતે કરી શકાય?

ઉકેલ. કોઈપણ સહભાગીઓ ક્યાં તો સેક્રેટરી અથવા ચેરમેન હોઈ શકે છે, તેથી તેમને પસંદ કરવાના રસ્તાઓની સંખ્યા સમાન છે.

A 30 2 = = = 29 ∙ 30 = 870

№762 કેટલા ચાર-અંકની સંખ્યાઓ જેમાં સમાન અંકો નથી તે નીચેના અંકોમાંથી બનાવી શકાય છે: a) 1,3,5,7,9. b) 0,2,4,6,8?

ઉકેલ એ) A 5 4 = = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120

b)) A 5 4 - A 4 3 = 5! - 4! = 120 – 24 = 96

ગૃહકાર્ય નં. 756, નં. 757, નં. 758, નં. 759.

પાઠ 6 વિષય: "સંયોજન"

હેતુ: સંયોજનોની વિભાવના આપવા માટે, સંયોજનોની ગણતરી માટે સૂત્ર રજૂ કરો, સંયોજનોની સંખ્યાની ગણતરી કરવા માટે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે શીખવો.

1 હોમવર્ક તપાસી રહ્યું છે.

№ 756 . સ્ટેશન પર 7 વૈકલ્પિક ટ્રેક છે. તેમના પર 4 ટ્રેનો કેટલી રીતે ગોઠવી શકાય?

23

ઉકેલ : A 7 4 = = 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 = 20 ∙ 42 = 840 રીતો

№757 કોચ કેટલી રીતે નક્કી કરી શકે છે કે 4x100m રિલેમાં ભાગ લેવા માટે તૈયાર 12 એથ્લેટ્સમાંથી કયા પ્રથમ, બીજા, ત્રીજા અને ચોથા તબક્કામાં દોડશે?

ઉકેલ: A 12 4 = = 9 ∙ 10 ∙ 11 ∙ 12 = 90 ∙ 132 = 11 880

№ 758. પાઇ ચાર્ટમાં, વર્તુળને 5 ક્ષેત્રોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. અમે 10 પેઇન્ટ ધરાવતા સેટમાંથી લેવામાં આવેલા વિવિધ પેઇન્ટથી સેક્ટરને રંગવાનું નક્કી કર્યું. આ કેટલી રીતે કરી શકાય?

ઉકેલ: A 10 5 = = 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9∙ 10 = 30 240

№759. પરીક્ષા આપતા 6 વિદ્યાર્થીઓ 20 સિંગલ ટેબલવાળા વર્ગખંડમાં કેટલી રીતે બેઠકો લઈ શકે છે?

ઉકેલ: A 20 6 = = 15∙ 16 ∙17∙ 18∙19 ∙20 = 27 907 200

તમે હોમવર્ક ચેકિંગને જુદી જુદી રીતે ગોઠવી શકો છો: હોમવર્ક કસરતોના ઉકેલો મૌખિક રીતે તપાસો, તેમાંના કેટલાક ઉકેલો બોર્ડ પર લખો, અને જ્યારે ઉકેલો રેકોર્ડ કરવામાં આવી રહ્યા હોય, ત્યારે નીચેના પ્રશ્નો પર વિદ્યાર્થીઓનું સર્વેક્ષણ કરો:

1. પ્રવેશનો અર્થ શું થાય છે? પી!

2.જેમાંથી ક્રમચય કહેવાય છે પી તત્વો?

ક્રમચયોની સંખ્યાની ગણતરી કરવા માટે કયા સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે?

4. માંથી પ્લેસમેન્ટ શું કહેવાય છે પી દ્વારા તત્વો પ્રતિ?

5. પી દ્વારા તત્વો પ્રતિ?

2 નવી સામગ્રીની સમજૂતી

વિવિધ રંગોના 5 કાર્નેશન થવા દો. ચાલો તેમને અક્ષરો સાથે નિયુક્ત કરીએ a, c, c, d, f. તમારે ત્રણ કાર્નેશનનો કલગી બનાવવાની જરૂર છે. ચાલો શોધી કાઢીએ કે કયા કલગી કંપોઝ કરી શકાય છે.

જો કલગીમાં કાર્નેશનનો સમાવેશ થાય છે એ , પછી તમે નીચેના કલગી બનાવી શકો છો:

avs, avd, ave, asd, ace, ade.

જો કલગીમાં કાર્નેશનનો સમાવેશ થતો નથી એ, પરંતુ લવિંગ આવે છે વી , તો પછી તમે નીચેના કલગી મેળવી શકો છો:

બધા, બધા, દરેક જગ્યાએ.

છેલ્લે, જો કલગીમાં કાર્નેશનનો સમાવેશ થતો નથી એ, લવિંગ નથી વી, પછી કલગી કંપોઝ કરવા માટે ફક્ત એક જ વિકલ્પ છે:

sde

24

અમે કલગી બનાવવાની તમામ સંભવિત રીતો સૂચવી છે, જેમાં 5 માંથી ત્રણ કાર્નેશન અલગ અલગ રીતે જોડવામાં આવ્યા છે તેઓ કહે છે કે અમે બધું જ શક્ય બનાવ્યું છે સંયોજનો 5 તત્વોમાંથી, દરેકમાં 3, અમને મળ્યાં કે C 5 3 = 10.

ચાલો સંયોજનોની સંખ્યા માટે સૂત્ર મેળવીએ પી k માં તત્વો, ક્યાં k ≤ પૃષ્ઠ.

ચાલો પહેલા એ શોધી કાઢીએ કે C 5 3 કેવી રીતે A 5 3 અને P 3 દ્વારા વ્યક્ત થાય છે. અમને જાણવા મળ્યું કે તેમના 5 તત્વોને 3 તત્વોના નીચેના સંયોજનોમાં બનાવી શકાય છે:

avs, avd, ave, asd, ase, ade, vsd, all, vde, sde.

દરેક સંયોજનમાં અમે તમામ ક્રમચયો કરીશું. 3 તત્વોના ક્રમચયોની સંખ્યા P 3 ની બરાબર છે. પરિણામે, અમને 3 ના 5 ઘટકોના તમામ સંભવિત સંયોજનો મળે છે, જે તત્વોમાં અથવા તત્વોના ક્રમમાં અલગ પડે છે, એટલે કે. 5 તત્વોના તમામ પ્લેસમેન્ટ 3 છે કુલ મળીને આપણને A 5 3 પ્લેસમેન્ટ મળે છે.

અર્થ , C 5 3 ∙ P 3 = A 5 3, તેથી C 5 3 = A 5 3 : P 3

સામાન્ય કિસ્સામાં તર્ક, અમને મળે છે C p k = A p k: P k,

એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીને કે A p k = , જ્યાં k ≤ પૃષ્ઠ., અમે મેળવીએ છીએ C p k = .

ના સંયોજનોની સંખ્યાની ગણતરી માટે આ સૂત્ર છે પી દ્વારા તત્વો પ્રતિ કોઈપણ સમયે

k ≤ પૃષ્ઠ.

ઉદાહરણ1. 15 પેઇન્ટના સમૂહમાંથી, તમારે બૉક્સને રંગવા માટે 3 રંગો પસંદ કરવાની જરૂર છે. આ પસંદગી કેટલી રીતે કરી શકાય?

ઉકેલ: ત્રણ રંગોની દરેક પસંદગી ઓછામાં ઓછા એક રંગમાં બીજા કરતા અલગ પડે છે. આનો અર્થ એ છે કે અહીં આપણે 3 ના 15 તત્વોના સંયોજન વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ

15 3 = = (13∙ 14∙15) થી : ( 1∙ 2 ∙ 3) = 455

પ્રાઇમ2વર્ગમાં 12 છોકરાઓ અને 10 છોકરીઓ છે. શાળા નજીકના વિસ્તારને સાફ કરવા માટે ત્રણ છોકરાઓ અને બે છોકરીઓની જરૂર છે. આ પસંદગી કેટલી રીતે કરી શકાય?

ઉકેલ: તમે 12 માંથી 3 છોકરાઓને 12 3 સાથે પસંદ કરી શકો છો અને 10 માંથી બે છોકરીઓને 10 2 સાથે પસંદ કરી શકો છો. છોકરાઓની દરેક પસંદગી માટે 10 2 રીતે છોકરીઓ પસંદ કરવાનું શક્ય છે, તો પછી તમે વિદ્યાર્થીઓની પસંદગી કરી શકો છો, જેની ચર્ચા સમસ્યામાં કરવામાં આવી છે.

С 12 3 ∙ С 10 2 = ∙ = 220 ∙ 45 = 9900

3) સમસ્યાઓ ઉકેલવાની પ્રક્રિયામાં નવી સામગ્રીનું એકીકરણ

25

કાર્ય

શાશાની ઘરની લાઇબ્રેરીમાં 8 ઐતિહાસિક નવલકથાઓ છે. પેટ્યા તેની પાસેથી કોઈપણ 2 નવલકથાઓ લેવા માંગે છે. આ પસંદગી કેટલી રીતે કરી શકાય?

ઉકેલ: C 8 2 = = ( 7 ∙ 8) : ( 1∙ 2) = 56: 2 = 28

№779 એ

ચેસ ક્લબમાં 16 લોકો છે. આગામી ટુર્નામેન્ટ માટે કોચ તેમની પાસેથી 4 લોકોની ટીમ કેટલી રીતે પસંદ કરી શકે છે?

ઉકેલ: C 16 4 = = ( 13∙ 14∙15 ∙16) : ( 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4) = 13 ∙ 7 ∙5∙ 4 = 91 ∙20 = 1820

№774 શાળાનું નવીનીકરણ કરતી ટીમમાં 12 ચિત્રકારો અને 5 સુથારોનો સમાવેશ થાય છે. જેમાં સ્પોર્ટ્સ હોલના સમારકામ માટે 4 ચિત્રકારો અને 2 સુથાર ફાળવવાના રહેશે. આ કેટલી રીતે કરી શકાય?

С 12 4 ∙ С 5 2 = ∙ = 495 ∙ 10 = 4950

હોમવર્ક નંબર 768, નંબર 769, નંબર 770, નંબર 775

પાઠ 7 વિષય: "ચળવળ, પ્લેસમેન્ટ, સંયોજનોની સંખ્યાની ગણતરી કરવા માટે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓનું નિરાકરણ"

ધ્યેય: વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનનું એકત્રીકરણ. સરળ સંયોજન સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે કુશળતાની રચના

1 હોમવર્ક તપાસી રહ્યું છે

№768 વર્ગમાં 7 લોકો એવા છે જેઓ સફળતાપૂર્વક ગણિત કરી રહ્યા છે. મેથેમેટિકલ ઓલિમ્પિયાડમાં ભાગ લેવા માટે તમે તેમાંથી બેને કેટલી રીતે પસંદ કરી શકો છો?

ઉકેલ: C 7 2 = = (6∙ 7) : 2 = 21

№769 Philately સ્ટોર સ્પોર્ટ્સ થીમ્સને સમર્પિત સ્ટેમ્પના 8 અલગ અલગ સેટ વેચે છે. તમે તેમાંથી 3 સેટ કેટલી રીતે પસંદ કરી શકો છો?

ઉકેલ: C 8 3 = = ( 6 ∙ 7 ∙ 8) : ( 1∙ 2 ∙ 3) = 56

26

№770 વિદ્યાર્થીઓને રજાઓમાં વાંચવા માટે 10 પુસ્તકોની યાદી આપવામાં આવી હતી. વિદ્યાર્થી તેમાંથી 6 પુસ્તકો કેટલી રીતે પસંદ કરી શકે?

ઉકેલ: C 10 6 = = ( 7 ∙ 8 ∙ 9∙ 10) : ( 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4) = 210

№775 પુસ્તકાલયે વાચકને નવા આવનારાઓમાંથી 10 પુસ્તકો અને 4 સામયિકોની પસંદગીની ઓફર કરી. તેમાંથી 3 પુસ્તકો અને 2 સામયિકો તે કેટલી રીતે પસંદ કરી શકે?

ઉકેલ: C 10 3 ∙ C 4 2 = ∙ = 120 ∙ 6 = 720

વર્ગ માટે પ્રશ્નો

1.જેમાંથી ક્રમચય કહેવાય છે પી તત્વો?

ક્રમચયોની સંખ્યાની ગણતરી કરવા માટે કયા સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે?

3. માંથી પ્લેસમેન્ટ શું કહેવાય છે પી દ્વારા તત્વો પ્રતિ?

4. પ્લેસમેન્ટની સંખ્યાની ગણતરી કરવા માટે કયા ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ થાય છે પી દ્વારા તત્વો પ્રતિ?

5. કોનું સંયોજન કહેવાય છે પી દ્વારા તત્વો પ્રતિ?

6. ના સંયોજનોની સંખ્યાની ગણતરી કરવા માટે કયા સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે પી દ્વારા તત્વો પ્રતિ?

સંયુક્ત ઉકેલ માટે સમસ્યાઓ

દરેક સમસ્યાનું નિરાકરણ કરતી વખતે, સૌપ્રથમ ચર્ચા થાય છે: અભ્યાસ કરેલ ત્રણમાંથી કયા સૂત્રો જવાબ મેળવવામાં મદદ કરશે અને શા માટે

1. 4,6,8,9 નંબરોમાંથી કેટલી ચાર-અંકની સંખ્યાઓ બનાવી શકાય છે, જો બધી સંખ્યાઓ અલગ હોય તો?

2. વિદ્યાર્થીઓના જૂથમાં 15 લોકોમાંથી, તમારે હેડમેન અને તેના નાયબને પસંદ કરવું આવશ્યક છે. આ કેટલી રીતે કરી શકાય?

3. શાળાના 10 શ્રેષ્ઠ વિદ્યાર્થીઓમાંથી, બે લોકોને નેતાઓની બેઠકમાં મોકલવા જોઈએ.

આ કેટલી રીતે કરી શકાય?

ટિપ્પણી:સમસ્યા નંબર 3 માં, કોને પસંદ કરવું તે કોઈ વાંધો નથી: 10 માંથી કોઈપણ 2 લોકો, તેથી સંયોજનોની સંખ્યાની ગણતરી માટેનું સૂત્ર અહીં કામ કરે છે.

સમસ્યા નંબર 2 માં, ઓર્ડર કરેલ જોડી પસંદ કરવામાં આવી છે, કારણ કે પસંદ કરેલ જોડીમાં, જો અટકોની અદલાબદલી કરવામાં આવે, તો તે એક અલગ પસંદગી હશે, તેથી પ્લેસમેન્ટની સંખ્યાની ગણતરી માટેનું સૂત્ર અહીં કામ કરે છે

સંયુક્ત ઉકેલ માટે સમસ્યાઓના જવાબો:

24મીએ નં. નંબર 2 210 માર્ગો. નંબર 3 45 માર્ગો

સંયુક્ત ચર્ચા અને સ્વતંત્ર ગણતરી માટે સમસ્યાઓ

નંબર 1 6 મિત્રો મળ્યા અને દરેકે એકબીજા સાથે હાથ મિલાવ્યા. કેટલા હેન્ડશેક હતા?

27

નંબર 2 જો 1લા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓ પાસે 7 વિષયો હોય અને તે દિવસે 4 પાઠ હોવા જોઈએ તો તમે એક દિવસ માટે કેટલી રીતે શેડ્યૂલ બનાવી શકો છો?

(7 થી 4 પ્લેસમેન્ટની સંખ્યા)

નંબર 3 પરિવારમાં 6 લોકો છે, અને રસોડામાં ટેબલ પર 6 ખુરશીઓ છે. દરરોજ સાંજે ડિનર પહેલા આ 6 ખુરશીઓ પર નવી રીતે બેસવાનું નક્કી કરવામાં આવ્યું હતું. કુટુંબના સભ્યો પુનરાવર્તન કર્યા વિના કેટલા દિવસ આ કરી શકે છે?

નંબર 4 મહેમાનો A, B, C, D ઘરના માલિક પાસે આવ્યા. રાઉન્ડ ટેબલ પર પાંચ અલગ અલગ ખુરશીઓ છે. ત્યાં કેટલી બેઠક પદ્ધતિઓ છે?

(4 લોકો મુલાકાત લેવા આવ્યા + માલિક = 5 લોકો 5 ખુરશીઓ પર બેસે છે, તમારે ક્રમચયોની સંખ્યા ગણવાની જરૂર છે)

5. કલરિંગ બુકમાં, આંતરછેદ વગરનો ત્રિકોણ, ચોરસ અને વર્તુળ દોરવામાં આવે છે. દરેક આકૃતિને મેઘધનુષ્યના એક રંગમાં રંગવામાં આવવી જોઈએ, વિવિધ રંગોમાં વિવિધ આકૃતિઓ. કલર કરવાની કેટલી રીતો છે?

(7 થી 3 પ્લેસમેન્ટની સંખ્યા ગણો)

નંબર 6 વર્ગમાં 10 છોકરાઓ અને 4 છોકરીઓ છે. ફરજ પર 3 લોકોની પસંદગી કરવી જરૂરી છે જેથી તેમાંથી 2 છોકરાઓ અને 1 છોકરી હોય. આ કેટલી રીતે કરી શકાય?

(10 બાય 2 ના સંયોજનોની સંખ્યા 4 બાય 1 ના સંયોજનોની સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર)

સ્વ-ગણતરી સમસ્યાઓ માટે જવાબો

№1 15 હેન્ડશેક્સ

№2,840 માર્ગો

№3 720 દિવસ

№5 120 રીતો

№6,180 માર્ગો

હોમવર્ક નંબર 835, નંબર 841

પાઠ 8 વિષય: "સ્વતંત્ર કાર્ય"

હેતુ: વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનનું પરીક્ષણ કરવું

1. હોમવર્ક તપાસી રહ્યું છે

№^ 835 કેટલી ચાર-અંકની સંખ્યાઓ જેમાં અંકોનું પુનરાવર્તન થતું નથી તે સંખ્યાઓ દ્વારા લખી શકાય છે a) 1,2,3,7. b) 1,2,3,4.

28

a) આપણી સંખ્યાઓ એક સમાન અંક સાથે સમાપ્ત થવી જોઈએ, આવા અંકનો શરત એક અંક 2 છે, અમે તેને છેલ્લા સ્થાને મૂકીશું, અને બાકીના 3 અંકોને ફરીથી ગોઠવીશું, આવા ક્રમચયોની સંખ્યા 3 છે! = 6. તેથી તમે 6 સમ સંખ્યાઓ બનાવી શકો છો

b) આપણે ઉદાહરણ તરીકે કારણ આપીએ છીએ a) નંબર 2 ને છેલ્લા સ્થાને મુકવાથી આપણને 6 સમ સંખ્યાઓ મળે છે, નંબર 4 ને છેલ્લા સ્થાને મુકવાથી આપણને 6 વધુ સમ સંખ્યાઓ મળે છે,

તેનો અર્થ એ કે ત્યાં માત્ર 12 સમ સંખ્યાઓ છે

№841 તમે 24 વિદ્યાર્થીઓના વર્ગમાંથી કેટલી રીતે પસંદ કરી શકો છો: a) બે પરિચારકો; b) હેડમેન અને તેનો મદદનીશ?

એ) કારણ કે 24 માંથી કોઈપણ 2 લોકો ફરજ પર હોઈ શકે છે, પછી જોડીની સંખ્યા સમાન છે

C 24 2 = = 23 ∙ 24:2 = 276

b) અહીં તેઓ 24 તત્વોમાંથી તત્વોની ક્રમબદ્ધ જોડીને ફાડી નાખે છે, આવી જોડીની સંખ્યા A 24 2 = = 23 ∙ 24 = 552 છે

વિકલ્પ 1 કાર્યો નંબર 1,2,3,4,5 હલ કરે છે.

વિકલ્પ 2 કાર્યો નંબર 6,7,8,9,10 હલ કરે છે.

સરળ કોમ્બિનેટરી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

(એપ્રિલ 2010 માં કે.આર.ની સામગ્રી પર આધારિત)

1 . વિવિધ લેખકોના પાંચ પુસ્તકોને એક શેલ્ફ પર કેટલી રીતે ગોઠવી શકાય?

2. જો મેનૂમાં ચા, કોફી, કોકો અને સફરજન અથવા ચેરી પાઈનો સમાવેશ થાય તો તમે પીણાં અને પાઈમાંથી બપોરનો નાસ્તો કેટલી રીતે બનાવી શકો છો?

3. બુધવારે, શેડ્યૂલ મુજબ, ગ્રેડ 9 “A” માં 5 પાઠ હોવા જોઈએ: રસાયણશાસ્ત્ર, ભૌતિકશાસ્ત્ર, બીજગણિત, જીવવિજ્ઞાન અને જીવન સલામતી. તમે આ દિવસ માટે કેટલી રીતે શેડ્યૂલ બનાવી શકો છો?

4. ત્યાં 2 સફેદ ઘોડા અને 4 ખાડીના ઘોડા છે. તમે કેટલી રીતે કરી શકો છો

વિવિધ રંગોના ઘોડાઓની જોડી બનાવો?

5. તમે 5 જુદા જુદા ખિસ્સામાં 5 જુદા જુદા સિક્કા કેટલી રીતે મૂકી શકો છો?

29

6. કબાટમાં શેલ્ફ પર વિવિધ શૈલીની 3 ટોપીઓ અને વિવિધ રંગોના 4 સ્કાર્ફ છે. તમે એક ટોપી અને એક સ્કાર્ફનો સેટ કેટલી રીતે બનાવી શકો છો?

7. સૌંદર્ય સ્પર્ધાની ફાઇનલમાં 4 પ્રતિભાગીઓ પહોંચ્યા. કેટલી રીતે

શું સૌંદર્ય ફાઇનલમાં સહભાગીઓના પ્રદર્શનનો ક્રમ સ્થાપિત કરવો શક્ય છે?

^ 8 .ત્યાં 4 બતક અને 3 હંસ છે. તમે બે અલગ-અલગ પક્ષીઓને કેટલી રીતે પસંદ કરી શકો છો?

9. 5 જુદા જુદા અક્ષરોને 5 અલગ-અલગ અક્ષરોમાં કેટલી રીતે વિભાજિત કરી શકાય?

પરબિડીયાઓ, જો દરેક પરબિડીયુંમાં માત્ર એક જ અક્ષર મૂકવામાં આવે તો?

10. એક બોક્સમાં 5 લાલ અને 4 લીલા બોલ હોય છે. તમે વિવિધ રંગોના બોલની જોડી કેટલી રીતે બનાવી શકો છો?

સ્વ-અભ્યાસ સોંપણીઓ માટે જવાબો

પાઠનો પ્રકાર: નવી સામગ્રી શીખવી.
શૈક્ષણિક કાર્યો:
- રેન્ડમ ઇવેન્ટનો ખ્યાલ આપો, ઇવેન્ટની સંભાવના;
- ઘટનાની સંભાવનાઓની ગણતરી કેવી રીતે કરવી તે શીખવો; શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા અનુસાર રેન્ડમ ઘટનાઓની સંભાવનાઓ;
- સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે સંભાવનાઓના ઉમેરા અને ગુણાકારના પ્રમેયને કેવી રીતે લાગુ કરવું તે શીખવો;
- ઘટનાની સંભાવનાઓની સીધી ગણતરી કરવા માટે સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓ હલ કરીને ગણિતમાં રસ વિકસાવવાનું ચાલુ રાખો;
- ઐતિહાસિક સામગ્રીનો ઉપયોગ કરીને ગણિતમાં રસ જગાવો;
- શીખવાની પ્રક્રિયા પ્રત્યે સભાન વલણ કેળવો, જ્ઞાનની ગુણવત્તા માટે જવાબદારીની ભાવના કેળવો, કસરત ઉકેલવાની અને ડિઝાઇન કરવાની પ્રક્રિયા પર આત્મ-નિયંત્રણનો ઉપયોગ કરો.

વર્ગો પૂરા પાડો:
- વ્યક્તિગત પ્રશ્ન માટે ટાસ્ક કાર્ડ્સ;
- પરીક્ષણ કાર્ય માટે ટાસ્ક કાર્ડ્સ;
- રજૂઆત.

વિદ્યાર્થીએ જાણવું જોઈએ:
- ક્રમચયો, પ્લેસમેન્ટ અને સંયોજનોની સંખ્યા માટે વ્યાખ્યાઓ અને સૂત્રો;
- સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા;
- ઘટનાઓનો સરવાળો, ઘટનાઓનું ઉત્પાદન નક્કી કરવું; સંભાવનાઓના ઉમેરા અને ગુણાકારના પ્રમેયના ફોર્મ્યુલેશન અને સૂત્રો.

વિદ્યાર્થીએ સક્ષમ હોવું જોઈએ:
- ક્રમચયો, પ્લેસમેન્ટ અને સંયોજનોની ગણતરી કરો;
- શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા અને સંયોજનશાસ્ત્રના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ઘટનાની સંભાવનાની ગણતરી કરો;
- સંભાવનાઓના ઉમેરા અને ગુણાકારના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓ ઉકેલો.

વિદ્યાર્થીઓની જ્ઞાનાત્મક પ્રવૃત્તિની પ્રેરણા.
શિક્ષક અહેવાલ આપે છે કે સંભાવના સિદ્ધાંતનો ઉદભવ 17મી સદીના મધ્યભાગનો છે. અને બી. પાસ્કલ, પી. ફર્મેટ અને એચ. હ્યુજેન્સ (1629-1695)ના સંશોધન સાથે સંકળાયેલા છે. સંભાવના સિદ્ધાંતના વિકાસમાં એક મુખ્ય પગલું જે. બર્નૌલી (1654-1705) ના કાર્ય સાથે સંકળાયેલું છે. તે સંભાવના સિદ્ધાંતની સૌથી મહત્વપૂર્ણ જોગવાઈઓમાંની એકનો પ્રથમ પુરાવો છે - મોટી સંખ્યાનો કાયદો. સિદ્ધાંતના વિકાસમાં આગળનો તબક્કો એ. મોઇવર (1667-1754), સી. ગૌસ, પી. લાપ્લેસ (1749-1827), એસ. પોઈસન (1781-1840) ના નામો સાથે સંકળાયેલો છે. સેન્ટ પીટર્સબર્ગ શાળાના વૈજ્ઞાનિકોમાં, એ.એમ.ના નામોનો ઉલ્લેખ કરવો જોઈએ. લ્યાપુનોવ (1857-1918) અને એ.એ માર્કોવ (1856-1922). આ ગણિતશાસ્ત્રીઓના કાર્ય પછી, સંભાવના સિદ્ધાંતને સમગ્ર વિશ્વમાં "રશિયન વિજ્ઞાન" કહેવાનું શરૂ થયું. 20 ના દાયકાના મધ્યમાં A.Ya. ખિંચિન (1894-1959) અને એ.એન. કોલમોગોરોવે મોસ્કો સ્કૂલ ઓફ પ્રોબેબિલિટી થિયરી બનાવી. acad નું યોગદાન. એ.એન. કોલમોગોરોવ - લેનિન પુરસ્કારના વિજેતા, આંતરરાષ્ટ્રીય પુરસ્કારનું નામ આપવામાં આવ્યું છે. બી. બોલઝાનો, સંખ્યાબંધ વિદેશી શિક્ષણવિદોના સભ્ય, આધુનિક ગણિતમાં પ્રચંડ છે. એ.એન. કોલ્મોગોરોવની યોગ્યતા ફક્ત નવા વૈજ્ઞાનિક સિદ્ધાંતોના વિકાસમાં જ નથી, પરંતુ તેનાથી પણ વધુ એ હકીકતમાં છે કે તેણે પ્રતિભાશાળી વૈજ્ઞાનિકોની સમગ્ર આકાશગંગાને તાલીમ આપી હતી (યુક્રેનિયન એસએસઆર બી.વી. ગેનેડેન્કો, એકેડેમીશિયન યુ.વી. પ્રોખોરોવ, B.A. સેવાસ્ત્યાનોવ અને અન્ય).
સંભાવના સિદ્ધાંત - એક ગાણિતિક વિજ્ઞાન જે રેન્ડમ ચલોની પેટર્નનો અભ્યાસ કરે છે - છેલ્લા દાયકામાં આધુનિક વિજ્ઞાન અને તકનીકની મુખ્ય પદ્ધતિઓમાંની એક બની ગઈ છે. સ્વચાલિત નિયંત્રણના સિદ્ધાંતના ઝડપી વિકાસને કારણે રેન્ડમ પરિબળોથી પ્રભાવિત પ્રક્રિયાઓના સંભવિત કોર્સને સ્પષ્ટ કરવા સંબંધિત અસંખ્ય મુદ્દાઓને ઉકેલવાની જરૂરિયાત ઊભી થઈ છે. ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ, જીવવિજ્ઞાનીઓ, ડોકટરો, અર્થશાસ્ત્રીઓ, એન્જિનિયરો, લશ્કરી કર્મચારીઓ, ઉત્પાદન સંચાલકો વગેરે - નિષ્ણાતોની વિશાળ શ્રેણી માટે સંભાવના સિદ્ધાંત જરૂરી છે.

પાઠની પ્રગતિ.

આઈ. આયોજન સમય.

II. હોમવર્ક તપાસી રહ્યું છે
પ્રશ્નોના જવાબોના સ્વરૂપમાં આગળનો સર્વે કરો:

કસરતનો ઉકેલ તપાસો:

• તમે 10 લોકોની યાદી કેટલી રીતે બનાવી શકો છો?
• દરેક 5 લોકોની ટીમ બનાવવા માટે 15 કામદારોનો કેટલી રીતે ઉપયોગ કરી શકાય?
• 30 વિદ્યાર્થીઓએ એકબીજા સાથે ફોટો કાર્ડની આપલે કરી હતી. કુલ કેટલા ફોટો કાર્ડનું વિતરણ કરવામાં આવ્યું?

III. નવી સામગ્રી શીખવી.
S.I. ના સમજૂતીત્મક શબ્દકોશમાં ઓઝેગોવ અને એન.યુ. શ્વેડોવા આપણે વાંચીએ છીએ: "સંભાવના એ પરિપૂર્ણતાની સંભાવના છે, કંઈકની શક્યતા છે." અમે રોજિંદા જીવનમાં "કદાચ", "વધુ સંભવિત", "અતુલ્ય" નો ઉપયોગ કરીએ છીએ, અમલીકરણની આ સંભાવનાના ચોક્કસ માત્રાત્મક અંદાજોને ધ્યાનમાં લીધા વિના.
આધુનિક સંભાવના સિદ્ધાંતના સ્થાપક એ.એન. કોલ્મોગોરોવે સંભવિતતા વિશે આ રીતે લખ્યું: "ગાણિતિક સંભાવના એ ચોક્કસ ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓમાં કોઈ ચોક્કસ ઘટના બનવાની સંભાવનાની ડિગ્રીની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતા છે જે અમર્યાદિત સંખ્યામાં પુનરાવર્તિત થઈ શકે છે."
તેથી, ગણિતમાં, સંભાવના સંખ્યા દ્વારા માપવામાં આવે છે. આ કેવી રીતે કરી શકાય તે ખૂબ જ ટૂંક સમયમાં અમે શોધીશું. પરંતુ અમે ચર્ચા કરીને શરૂ કરીશું કે કઈ ઘટનાઓ "ગાણિતિક સંભાવના" ધરાવે છે અને આ "ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓ કે જે અમર્યાદિત સંખ્યામાં પુનરાવર્તિત થઈ શકે છે" શું છે. એટલા માટે આપણે રેન્ડમ ઘટનાઓ અને રેન્ડમ પ્રયોગો પર વિચાર કરીશું.
એવું કહેવું આવશ્યક છે કે સંભવિતતા સિદ્ધાંત, ગણિતના અન્ય કોઈ ક્ષેત્રની જેમ, વિરોધાભાસ અને વિરોધાભાસથી ભરેલો છે. આ માટે સમજૂતી ખૂબ જ સરળ છે - તે આપણી આસપાસની વાસ્તવિક વાસ્તવિકતા સાથે ખૂબ નજીકથી જોડાયેલ છે. લાંબા સમય સુધી, તેઓ તેને ગાણિતિક આંકડાઓ સાથે, ગાણિતિક વિદ્યાશાખાઓ તરીકે વર્ગીકૃત કરવા પણ ઇચ્છતા ન હતા, તેમને સંપૂર્ણ રીતે લાગુ વિજ્ઞાન ગણતા.
ફક્ત છેલ્લી સદીના પહેલા ભાગમાં, મુખ્યત્વે આપણા મહાન દેશબંધુ એ.એન.ના કાર્યો માટે આભાર. કોલ્મોગોરોવ, જેમનું નામ પહેલેથી જ ઉપર ઉલ્લેખિત છે, તેણે સંભાવના સિદ્ધાંતના ગાણિતિક પાયા બનાવ્યા, જેણે વિજ્ઞાનને તેની એપ્લિકેશનોથી અલગ કરવાનું શક્ય બનાવ્યું. કોલ્મોગોરોવ દ્વારા પ્રસ્તાવિત અભિગમને હવે સામાન્ય રીતે સ્વયંસિદ્ધ કહેવામાં આવે છે, કારણ કે તેમાં સંભાવના (અથવા તેના બદલે, સંભાવના અવકાશ) એ ચોક્કસ ગાણિતિક માળખું તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે સ્વયંસિદ્ધની ચોક્કસ સિસ્ટમને સંતોષે છે.
તે આ અભિગમ પર છે કે સંભાવના સિદ્ધાંત પરનો આધુનિક યુનિવર્સિટી અભ્યાસક્રમ બનાવવામાં આવ્યો છે, જે તમામ વર્તમાન ગણિતના શિક્ષકો એક સમયે પસાર થયા છે. જો કે, શાળામાં, સંભાવના (અને સામાન્ય રીતે ગણિત) ના અભ્યાસ માટે આવો અભિગમ ભાગ્યે જ વાજબી છે. જો યુનિવર્સિટીમાં મુખ્ય ભાર સંભવિત મોડેલોના અભ્યાસ માટે ગાણિતિક ઉપકરણનો અભ્યાસ કરવા પર છે, તો પછી શાળામાં વિદ્યાર્થીએ આ મોડેલ બનાવવાનું શીખવું જોઈએ,વિશ્લેષણ કરો, વાસ્તવિક પરિસ્થિતિઓમાં તેમની પર્યાપ્તતા તપાસો. આ દૃષ્ટિકોણ આજે શાળાના ગણિતના શિક્ષણની સમસ્યાઓ સાથે સંકળાયેલા મોટાભાગના વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા શેર કરવામાં આવ્યો છે.
આધુનિક શાળાના પાઠ્યપુસ્તકોમાં તમે નીચેની વ્યાખ્યા શોધી શકો છો: ઇવેન્ટ કહેવામાં આવે છે રેન્ડમ, જો સમાન પરિસ્થિતિઓ હેઠળ તે થઈ શકે અથવા ન પણ થઈ શકે. ઉદાહરણ તરીકે, ઇવેન્ટ "જ્યારે ડાઇને ટૉસ કરશો, ત્યારે 6 પોઇન્ટ દેખાશે" રેન્ડમ હશે.
ઉપરોક્ત વ્યાખ્યામાં ગર્ભિત એ એક મહત્વપૂર્ણ જરૂરિયાત છે જેના પર ભાર મૂકવો જોઈએ: આપણે સક્ષમ હોવા જોઈએ વારંવાર તે જ પરિસ્થિતિઓનું પુનઃઉત્પાદન કરો જેમાં આપેલ ઘટનાનું અવલોકન કરવામાં આવે છે(ઉદાહરણ તરીકે, સમઘન ફેંકવું) - અન્યથા તેની રેન્ડમનેસનો નિર્ણય કરવો અશક્ય છે.
તેથી, કોઈપણ રેન્ડમ ઘટના વિશે વાત કરતી વખતે, અમારો અર્થ હંમેશા ચોક્કસ શરતોની હાજરીનો થાય છે, જેના વિના આ ઘટના વિશે વાત કરવાનો કોઈ અર્થ નથી. શરતોનો આ સમૂહ કહેવામાં આવે છે રેન્ડમ અનુભવઅથવા રેન્ડમ પ્રયોગ.
આગળ અમે રેન્ડમ પ્રયોગ સાથે સંકળાયેલ કોઈપણ ઘટનાને રેન્ડમ કહીશું. પ્રયોગ પહેલાં, એક નિયમ તરીકે, આપેલ ઘટના બનશે કે નહીં તે ખાતરીપૂર્વક કહેવું અશક્ય છે - તે તેના પૂર્ણ થયા પછી જ સ્પષ્ટ થાય છે. પરંતુ તે કારણ વિના નથી કે અમે "નિયમ તરીકે" કલમ બનાવી છે: સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, રેન્ડમ પ્રયોગ સાથે સંકળાયેલી તમામ ઘટનાઓને રેન્ડમ ગણવાનો રિવાજ છે, જેમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે:

• અશક્યતે ક્યારેય ન થઈ શકે;
• વિશ્વસનીય,જે આવા દરેક પ્રયોગમાં જોવા મળે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, "ધ ડાઇસ 7 પોઈન્ટ્સ રોલ કરશે" એ ઘટના અશક્ય છે, પરંતુ "પાસા 7 પોઈન્ટ કરતા ઓછા રોલ કરશે" વિશ્વસનીય છે. અલબત્ત, જો આપણે તેના ચહેરા પર 1 થી 6 સુધીની સંખ્યાઓ સાથેના ઘન વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ.
ઘટનાઓ કહેવામાં આવે છે અસંગતજો દરેક વખતે તેમાંથી માત્ર એક જ દેખાય. ઘટનાઓ કહેવામાં આવે છે સંયુક્ત, જો, આપેલ શરતો હેઠળ, આ ઘટનાઓમાંથી એકની ઘટના એ જ અજમાયશ દરમિયાન બીજી ઘટનાને બાકાત રાખતી નથી (કલશમાં બે દડા છે - સફેદ અને કાળો, કાળા બોલનો દેખાવ ઘટનાને બાકાત રાખતો નથી. સમાન અજમાયશ દરમિયાન સફેદ રંગનું). ઘટનાઓ કહેવામાં આવે છે વિરુદ્ધ,જો પરીક્ષણની શરતો હેઠળ તેઓ, તેના એકમાત્ર પરિણામો હોવાને કારણે, અસંગત છે. ઘટનાની સંભાવનાને રેન્ડમ ઘટનાની ઉદ્દેશ્ય સંભાવનાના માપ તરીકે ગણવામાં આવે છે.

હોદ્દો:
રેન્ડમ ઘટનાઓ (લેટિન મૂળાક્ષરોના મોટા અક્ષરોમાં): A,B,C,D,.. (અથવા ). "રેન્ડમ" અવગણવામાં આવે છે અને તેઓ ફક્ત "ઇવેન્ટ્સ" કહે છે.
આપેલ ઘટનાની ઘટના માટે અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા – m;
તમામ પરિણામો (પ્રયોગો) ની સંખ્યા n છે.
સંભાવનાની ઉત્તમ વ્યાખ્યા.
સંભાવનાઇવેન્ટ A એ પરિણામોની સંખ્યા m નો ગુણોત્તર છે જે આ ઘટનાની ઘટનાને તમામ પરિણામોની સંખ્યા n (અસંગત, માત્ર શક્ય અને સમાન રીતે શક્ય) સાથે અનુકૂળ કરે છે, એટલે કે.
– રેન્ડમ ઘટનાની સંભાવના
કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના શૂન્યથી ઓછી અને એક કરતા વધારે ન હોઈ શકે, એટલે કે. 0≤P(A)≤1
અશક્ય ઘટના P(A)=0 સંભાવનાને અનુલક્ષે છે અને વિશ્વસનીય ઘટના P(A)=1 સંભાવનાને અનુરૂપ છે

સંભાવના ઉમેરણ પ્રમેય.
અસંગત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ઉમેરવા માટેનો પ્રમેય.
ઘણી જોડી મુજબની અસંગત ઘટનાઓમાંથી એકની ઘટનાની સંભાવના, પછી ભલે તે કોઈ પણ હોય, આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:

P(A+B)=P(A)+P(B);
P(+ +…+=P(+P+…+P().

સંયુક્ત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ઉમેરવા માટેનો પ્રમેય.
બે સંયુક્ત ઘટનાઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એકની ઘટનાની સંભાવના તેમની સંયુક્ત ઘટનાની સંભાવના વિના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

ત્રણ સંયુક્ત ઘટનાઓ માટે સૂત્ર ધરાવે છે:
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

ઘટના A ની વિરુદ્ધ ઘટના (એટલે ​​​​કે, ઘટના A ની બિન-ઘટના) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. બે વિરોધી ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો એક સમાન છે: P(A)+P()=1

ઘટના A ની ઘટનાની સંભાવના, ઘટના B પહેલેથી જ આવી ચૂકી છે તેવી ધારણા હેઠળ ગણતરી કરવામાં આવે છે, કહેવાય છે શરતી સંભાવનાઇવેન્ટ્સ A B ને વિષય છે અને (A) અથવા P(A/B) સૂચવવામાં આવે છે.
જો A અને B સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે, તો
P(B)-(B)=(B).

ઘટનાઓ A, B, C,... કહેવાય છે એકંદરે સ્વતંત્ર,જો તેમાંથી દરેકની સંભાવના અલગથી અથવા તેના કોઈપણ સંયોજનમાં અન્ય ઘટનાઓની ઘટના અથવા બિન-ઘટનાને કારણે બદલાતી નથી.

સંભાવના ગુણાકાર પ્રમેય.
સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ગુણાકાર માટે પ્રમેય.
બે સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંયુક્ત ઘટનાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ઉત્પાદન જેટલી છે:
P(AB)=P(A) P(B)

એકંદરમાં સ્વતંત્ર હોય તેવી ઘણી ઘટનાઓની ઘટનાની સંભાવના સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:
P()=P() P()… P().

આશ્રિત ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ગુણાકાર માટે પ્રમેય.
બે આશ્રિત ઘટનાઓની સંયુક્ત ઘટનાની સંભાવના તેમાંથી એકના ઉત્પાદન અને બીજાની શરતી સંભાવના સમાન છે:
P(AB)=P(A) (B)=P(B) (A)

IV. લાક્ષણિક સમસ્યાઓના નિરાકરણમાં જ્ઞાનનો ઉપયોગ
કાર્ય 1.
1000 ટિકિટોની લોટરીમાં, 200 વિજેતાઓ છે. એક ટિકિટ રેન્ડમ પર લેવામાં આવે છે. આ ટિકિટ વિજેતા હોવાની સંભાવના કેટલી છે?
ઉકેલ:ઇવેન્ટ A-ટિકિટ જીતી રહી છે. વિવિધ પરિણામોની કુલ સંખ્યા n=1000 છે
જીતવા માટે અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા m=200 છે. P(A)= સૂત્ર મુજબ, આપણે P(A)== = 0.2 = 0.147 મેળવીએ છીએ

સમસ્યા 4.
બૉક્સમાં રેન્ડમ ક્રમમાં ગોઠવાયેલા 20 ભાગો છે, જેમાંથી 5 પ્રમાણભૂત છે. એક કાર્યકર રેન્ડમ પર 3 ભાગો લે છે. સંભવિતતા શોધો કે લેવાયેલ ભાગોમાંથી ઓછામાં ઓછો એક પ્રમાણભૂત હશે.

કાર્ય 5.
રેન્ડમ પર પસંદ કરેલ બે-અંકની સંખ્યા 3 અથવા 5 અથવા બંનેનો ગુણાંક હશે તેવી સંભાવના શોધો

કાર્ય 6.
એક કલશમાં 4 સફેદ અને 8 કાળા દડા હોય છે, બીજામાં 3 સફેદ અને 9 કાળા દડા હોય છે. દરેક કલગીમાંથી એક બોલ લેવામાં આવ્યો હતો. સંભાવના શોધો કે બંને બોલ સફેદ છે.
ઉકેલ: A ને પ્રથમ કલશમાંથી સફેદ દડાનો દેખાવ થવા દો અને B ને બીજા કલશમાંથી સફેદ દડાનો દેખાવ થવા દો. દેખીતી રીતે, ઘટનાઓ A અને B સ્વતંત્ર છે. ચાલો P(A)=4/12=1/3, P(B)=3/12=1/4 શોધીએ, આપણને મળે છે
P(AB)=P(A) P(B)=(1/3) (1/4)=1/12=0.083

કાર્ય 7.
બૉક્સમાં 12 ભાગો છે, જેમાંથી 8 પ્રમાણભૂત છે. એક કાર્યકર રેન્ડમ બે ભાગ લે છે, એક પછી એક. સંભાવના શોધો કે બંને ભાગો પ્રમાણભૂત હશે.
ઉકેલ:ચાલો નીચે આપેલ સૂચનો રજૂ કરીએ: A – લેવાયેલ પ્રથમ ભાગ પ્રમાણભૂત છે; B - લેવાયેલ બીજો ભાગ પ્રમાણભૂત છે. પ્રથમ ભાગ પ્રમાણભૂત હોવાની સંભાવના P(A)=8/12=2/3 છે. સંભવિતતા કે લેવામાં આવેલો બીજો ભાગ પ્રમાણભૂત હશે, જો કે પ્રથમ ભાગ પ્રમાણભૂત હતો, એટલે કે. ઘટના B ની શરતી સંભાવના (B)=7/11 ની બરાબર છે.
આશ્રિત ઘટનાઓની સંભાવનાઓને ગુણાકાર કરવા માટે પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને બંને ભાગો પ્રમાણભૂત બનશે તેવી સંભાવના જોવા મળે છે:
P(AB)=P(A) (B)=(2/3) (7/11)=14/33=0.424

જ્ઞાન, કુશળતા અને ક્ષમતાઓનો સ્વતંત્ર ઉપયોગ.
વિકલ્પ 1.

1. 40 અને 70 ની વચ્ચે અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલ પૂર્ણાંક 6 નો ગુણાંક છે તેની સંભાવના કેટલી છે?
2. જો કોઈ સિક્કો પાંચ વખત ફેંકવામાં આવે તો તે ત્રણ વખત ઉપર ઉતરે તેવી સંભાવના કેટલી છે?

વિકલ્પ 2.

1. 1 અને 30 (સમાવિષ્ટ) ની વચ્ચે અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલ પૂર્ણાંક 30 નો વિભાજક હોવાની સંભાવના કેટલી છે?
2. સંશોધન સંસ્થા 120 લોકોને રોજગારી આપે છે, જેમાંથી 70 અંગ્રેજી, 60 જર્મન અને 50 બંને જાણે છે. અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરાયેલ કર્મચારી એક પણ વિદેશી ભાષા જાણતો નથી તેની સંભાવના કેટલી છે?

VI. પાઠનો સારાંશ.

VII. ગૃહ કાર્ય:
જી.એન. યાકોવલેવ, ગણિત, પુસ્તક 2, § 24.1, 24.2, પૃષ્ઠ 365-386. વ્યાયામ 24.11, 24.12, 24.17

મહત્વપૂર્ણ નોંધો!
1. જો તમને સૂત્રોને બદલે ગોબ્લેડીગુક દેખાય, તો તમારી કેશ સાફ કરો. તમારા બ્રાઉઝરમાં આ કેવી રીતે કરવું તે અહીં લખ્યું છે:
2. તમે લેખ વાંચવાનું શરૂ કરો તે પહેલાં, માટેના સૌથી ઉપયોગી સંસાધનો માટે અમારા નેવિગેટર પર ધ્યાન આપો

સંભાવના શું છે?

જ્યારે મેં આ શબ્દનો પ્રથમ વખત સામનો કર્યો, ત્યારે હું સમજી શક્યો નહીં કે તે શું છે. તેથી, હું સ્પષ્ટ રીતે સમજાવવાનો પ્રયત્ન કરીશ.

સંભાવના એ તક છે કે જે ઘટના આપણે ઈચ્છીએ છીએ તે બનશે.

ઉદાહરણ તરીકે, તમે મિત્રના ઘરે જવાનું નક્કી કર્યું, તમને પ્રવેશદ્વાર અને તે ફ્લોર પણ યાદ છે કે જેના પર તે રહે છે. પરંતુ હું એપાર્ટમેન્ટનો નંબર અને લોકેશન ભૂલી ગયો હતો. અને હવે તમે દાદર પર ઉભા છો, અને તમારી સામે પસંદ કરવા માટે દરવાજા છે.

જો તમે પ્રથમ ડોરબેલ વગાડો છો, તો તમારો મિત્ર તમારા માટે દરવાજાનો જવાબ આપશે એવી તક (સંભાવના) શું છે? ત્યાં ફક્ત એપાર્ટમેન્ટ્સ છે, અને એક મિત્ર તેમાંથી એકની પાછળ જ રહે છે. સમાન તક સાથે અમે કોઈપણ દરવાજો પસંદ કરી શકીએ છીએ.

પરંતુ આ તક શું છે?

દરવાજો, જમણો દરવાજો. પ્રથમ ડોરબેલ વગાડીને અનુમાન લગાવવાની સંભાવના: . એટલે કે, ત્રણમાંથી એક વખત તમે ચોક્કસ અનુમાન લગાવશો.

અમે જાણવા માંગીએ છીએ, એકવાર ફોન કર્યા પછી, અમે દરવાજો કેટલી વાર ધારીશું? ચાલો બધા વિકલ્પો જોઈએ:

1. તમે ફોન કર્યો 1લીદરવાજો
2. તમે ફોન કર્યો 2જીદરવાજો
3. તમે ફોન કર્યો 3જીદરવાજો

હવે ચાલો બધા વિકલ્પો જોઈએ જ્યાં મિત્ર હોઈ શકે:

એ. પાછળ 1લીદરવાજો
b પાછળ 2જીદરવાજો
વી. પાછળ 3જીદરવાજો

ચાલો કોષ્ટક સ્વરૂપમાં બધા વિકલ્પોની તુલના કરીએ. ચેકમાર્ક વિકલ્પો સૂચવે છે જ્યારે તમારી પસંદગી મિત્રના સ્થાન સાથે એકરુપ હોય, ક્રોસ - જ્યારે તે એકરૂપ ન હોય.

તમે બધું કેવી રીતે જોશો કદાચ વિકલ્પોતમારા મિત્રનું સ્થાન અને કયા દરવાજા પર રિંગ કરવી તે તમારી પસંદગી.

એ બધાના અનુકૂળ પરિણામો . એટલે કે, તમે એકવાર ડોરબેલ વગાડીને અનુમાન લગાવશો, એટલે કે. .

આ સંભાવના છે - અનુકૂળ પરિણામનો ગુણોત્તર (જ્યારે તમારી પસંદગી તમારા મિત્રના સ્થાન સાથે એકરુપ હોય) અને સંભવિત ઘટનાઓની સંખ્યા.

વ્યાખ્યા એ સૂત્ર છે. સંભાવના સામાન્ય રીતે p દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, તેથી:

આવા સૂત્ર લખવા માટે તે ખૂબ અનુકૂળ નથી, તેથી અમે - સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા, અને માટે - પરિણામોની કુલ સંખ્યા લઈશું.

સંભાવનાને ટકાવારી તરીકે લખી શકાય છે આ કરવા માટે, તમારે પરિણામી પરિણામને આના દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે:

"પરિણામો" શબ્દે કદાચ તમારી નજર ખેંચી લીધી. ગણિતશાસ્ત્રીઓ વિવિધ ક્રિયાઓને (અમારા કિસ્સામાં, આવી ક્રિયા ડોરબેલ છે) પ્રયોગો કહેતા હોવાથી, આવા પ્રયોગોના પરિણામને સામાન્ય રીતે પરિણામ કહેવામાં આવે છે.

સારું, ત્યાં અનુકૂળ અને પ્રતિકૂળ પરિણામો છે.

ચાલો આપણા ઉદાહરણ પર પાછા જઈએ. ચાલો કહીએ કે અમે એક દરવાજો વગાડ્યો, પરંતુ એક અજાણી વ્યક્તિએ તે અમારા માટે ખોલ્યો. અમે સાચું અનુમાન કર્યું નથી. શું સંભાવના છે કે જો આપણે બાકીના દરવાજામાંથી એકને રિંગ કરીએ, તો આપણો મિત્ર તે આપણા માટે ખોલશે?

જો તમે એવું વિચાર્યું હોય, તો આ એક ભૂલ છે. ચાલો તેને આકૃતિ કરીએ.

અમારી પાસે બે દરવાજા બાકી છે. તેથી અમારી પાસે શક્ય પગલાં છે:

1) કૉલ કરો 1લીદરવાજો
2) કૉલ કરો 2જીદરવાજો

મિત્ર, આ બધું હોવા છતાં, ચોક્કસપણે તેમાંથી એકની પાછળ છે (છેવટે, તે અમે જેને બોલાવ્યા તેની પાછળ ન હતો):

એ) માટે મિત્ર 1લીદરવાજો
b) માટે મિત્ર 2જીદરવાજો

ચાલો ફરીથી ટેબલ દોરીએ:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, ત્યાં ફક્ત વિકલ્પો છે, જેમાંથી અનુકૂળ છે. એટલે કે, સંભાવના સમાન છે.

કેમ નહિ?

અમે ધ્યાનમાં લીધેલ પરિસ્થિતિ છે આશ્રિત ઘટનાઓનું ઉદાહરણ.પ્રથમ ઘટના પ્રથમ ડોરબેલ છે, બીજી ઘટના બીજી ડોરબેલ છે.

અને તેમને આશ્રિત કહેવામાં આવે છે કારણ કે તેઓ નીચેની ક્રિયાઓને પ્રભાવિત કરે છે. છેવટે, જો પ્રથમ રિંગ પછી ડોરબેલનો જવાબ મિત્ર દ્વારા આપવામાં આવે, તો તે અન્ય બેમાંથી એકની પાછળ હોવાની સંભાવના કેટલી હશે? ખરું, .

પરંતુ જો ત્યાં આશ્રિત ઘટનાઓ હોય, તો તે પણ હોવી જોઈએ સ્વતંત્ર? તે સાચું છે, તેઓ થાય છે.

પાઠ્યપુસ્તકનું ઉદાહરણ સિક્કો ફેંકવાનું છે.

1. એકવાર સિક્કો ફેંકો. ઉદાહરણ તરીકે, હેડ મેળવવાની સંભાવના શું છે? તે સાચું છે - કારણ કે ત્યાં બધા વિકલ્પો છે (ક્યાં તો માથા અથવા પૂંછડીઓ, અમે તેની ધાર પર સિક્કો ઉતરવાની સંભાવનાને અવગણીશું), પરંતુ તે ફક્ત અમને અનુકૂળ છે.
2. પરંતુ તે માથા ઉપર આવી. ઠીક છે, ચાલો તેને ફરીથી ફેંકીએ. હવે હેડ મળવાની સંભાવના કેટલી છે? કંઈપણ બદલાયું નથી, બધું સમાન છે. કેટલા વિકલ્પો? બે. આપણે કેટલા ખુશ છીએ? એક.

અને તેને સતત એક હજાર વખત ઉપર આવવા દો. એક જ સમયે હેડ મેળવવાની સંભાવના સમાન હશે. ત્યાં હંમેશા વિકલ્પો છે, અને અનુકૂળ રાશિઓ.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓથી આશ્રિત ઘટનાઓને અલગ પાડવી સરળ છે:

1. જો પ્રયોગ એકવાર હાથ ધરવામાં આવે છે (તેઓ એકવાર સિક્કો ફેંકે છે, એકવાર ડોરબેલ વગાડે છે, વગેરે), તો ઘટનાઓ હંમેશા સ્વતંત્ર હોય છે.
2. જો પ્રયોગ ઘણી વખત કરવામાં આવે છે (એક સિક્કો એકવાર ફેંકવામાં આવે છે, ડોરબેલ ઘણી વખત વગાડવામાં આવે છે), તો પ્રથમ ઘટના હંમેશા સ્વતંત્ર છે. અને પછી, જો અનુકૂળ લોકોની સંખ્યા અથવા બધા પરિણામોની સંખ્યા બદલાય છે, તો ઘટનાઓ નિર્ભર છે, અને જો નહીં, તો તે સ્વતંત્ર છે.

ચાલો સંભાવના નક્કી કરવાની થોડી પ્રેક્ટિસ કરીએ.

ઉદાહરણ 1.

સિક્કો બે વાર ફેંકવામાં આવે છે. સતત બે વાર હેડ મેળવવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ:

ચાલો બધા સંભવિત વિકલ્પો ધ્યાનમાં લઈએ:

1. ગરુડ-ગરુડ
2. હેડ-પૂંછડી
3. પૂંછડીઓ-માથાઓ
4. પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ

જેમ તમે જોઈ શકો છો, ત્યાં ફક્ત વિકલ્પો છે. આમાંથી આપણે માત્ર સંતુષ્ટ છીએ. એટલે કે, સંભાવના:

જો સ્થિતિ ફક્ત તમને સંભાવના શોધવા માટે પૂછે છે, તો જવાબ દશાંશ અપૂર્ણાંકના રૂપમાં આપવો આવશ્યક છે. જો તે સ્પષ્ટ કરવામાં આવ્યું હતું કે જવાબ ટકાવારી તરીકે આપવો જોઈએ, તો અમે વડે ગુણાકાર કરીશું.

જવાબ:

ઉદાહરણ 2.

ચોકલેટના બોક્સમાં, બધી ચોકલેટ એક જ રેપરમાં પેક કરવામાં આવે છે. જો કે, મીઠાઈઓમાંથી - બદામ સાથે, કોગ્નેક સાથે, ચેરી સાથે, કારામેલ સાથે અને નૌગાટ સાથે.

એક કેન્ડી લેવાની અને બદામ સાથે કેન્ડી મેળવવાની સંભાવના કેટલી છે? ટકાવારી તરીકે તમારો જવાબ આપો.

ઉકેલ:

કેટલા સંભવિત પરિણામો છે? .

એટલે કે, જો તમે એક કેન્ડી લો છો, તો તે બોક્સમાં ઉપલબ્ધ તેમાંથી એક હશે.

કેટલા સાનુકૂળ પરિણામો?

કારણ કે બોક્સમાં માત્ર બદામ સાથેની ચોકલેટ હોય છે.

જવાબ:

ઉદાહરણ 3.

ફુગ્ગાના બોક્સમાં. જેમાંથી સફેદ અને કાળા છે.

1. સફેદ બોલ દોરવાની સંભાવના કેટલી છે?
2. અમે બૉક્સમાં વધુ કાળા દડા ઉમેર્યા. હવે સફેદ બોલ દોરવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ:

એ) બૉક્સમાં માત્ર દડા છે. તેમાંથી સફેદ છે.

સંભાવના છે:

b) હવે બોક્સમાં વધુ બોલ છે. અને ત્યાં માત્ર ઘણા ગોરા બાકી છે - .

જવાબ:

કુલ સંભાવના

ચાલો કહીએ કે એક બોક્સમાં લાલ અને લીલા બોલ છે. લાલ બોલ દોરવાની સંભાવના કેટલી છે? લીલો બોલ? લાલ કે લીલો બોલ?

લાલ બોલ દોરવાની સંભાવના

લીલો બોલ:

લાલ અથવા લીલો બોલ:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, તમામ સંભવિત ઘટનાઓનો સરવાળો () બરાબર છે. આ મુદ્દાને સમજવાથી તમને ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરવામાં મદદ મળશે.

ઉદાહરણ 4.

બૉક્સમાં માર્કર્સ છે: લીલો, લાલ, વાદળી, પીળો, કાળો.

લાલ માર્કર નહીં દોરવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ:

ચાલો સંખ્યા ગણીએ અનુકૂળ પરિણામો.

લાલ માર્કર નથી, જેનો અર્થ છે લીલો, વાદળી, પીળો અથવા કાળો.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓને ગુણાકાર કરવાનો નિયમ

તમે પહેલેથી જ જાણો છો કે સ્વતંત્ર ઘટનાઓ શું છે.

જો તમારે એવી સંભાવના શોધવાની જરૂર હોય કે બે (અથવા વધુ) સ્વતંત્ર ઘટનાઓ એક પંક્તિમાં થશે?

ચાલો કહીએ કે આપણે જાણવા માંગીએ છીએ કે જો આપણે એક સિક્કો એક વાર પલટાવીએ, તો આપણે બે વાર માથા જોશું?

અમે પહેલેથી જ ધ્યાનમાં લીધું છે -.

જો આપણે એક વાર સિક્કો ફેંકીએ તો? ગરુડને સતત બે વાર જોવાની સંભાવના કેટલી છે?

કુલ સંભવિત વિકલ્પો:

1. ગરુડ-ગરુડ-ગરુડ
2. હેડ્સ-હેડ્સ-પૂંછડીઓ
3. હેડ્સ-ટેલ્સ-હેડ્સ
4. માથા-પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ
5. પૂંછડીઓ-માથાઓ-માથાઓ
6. પૂંછડીઓ-માથાઓ-પૂંછડીઓ
7. પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ-માથાઓ
8. પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ

હું તમારા વિશે જાણતો નથી, પરંતુ આ સૂચિનું સંકલન કરતી વખતે મેં ઘણી વખત ભૂલો કરી છે. વાહ! અને એકમાત્ર વિકલ્પ (પ્રથમ) અમને અનુકૂળ છે.

5 થ્રો માટે, તમે સંભવિત પરિણામોની સૂચિ જાતે બનાવી શકો છો. પરંતુ ગણિતશાસ્ત્રીઓ તમારા જેટલા મહેનતુ નથી.

તેથી, તેઓએ પ્રથમ નોંધ્યું અને પછી સાબિત કર્યું કે સ્વતંત્ર ઘટનાઓના ચોક્કસ ક્રમની સંભાવના દરેક વખતે એક ઘટનાની સંભાવના દ્વારા ઘટે છે.

બીજા શબ્દો માં,

એ જ અશુભ સિક્કાનું ઉદાહરણ જોઈએ.

પડકારમાં માથું મેળવવાની સંભાવના? . હવે આપણે સિક્કાને એકવાર પલટાવીએ છીએ.

સળંગ હેડ મેળવવાની સંભાવના કેટલી છે?

આ નિયમ માત્ર ત્યારે જ કામ કરતું નથી જ્યારે અમને સંભાવના શોધવા માટે કહેવામાં આવે કે એક જ ઘટના સળંગ ઘણી વખત બનશે.

જો આપણે સળંગ ટોસ માટે TAILS-HEADS-TAILS નો ક્રમ શોધવા માંગતા હોઈએ, તો અમે તે જ કરીશું.

પૂંછડીઓ મેળવવાની સંભાવના છે , હેડ - .

TAILS-HEADS-TAILS-TAILS ક્રમ મેળવવાની સંભાવના:

તમે ટેબલ બનાવીને તેને જાતે ચકાસી શકો છો.

અસંગત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ઉમેરવાનો નિયમ.

તો રોકો! નવી વ્યાખ્યા.

ચાલો તેને આકૃતિ કરીએ. ચાલો આપણો ઘસાઈ ગયેલો સિક્કો લઈએ અને તેને એકવાર ફેંકીએ.
સંભવિત વિકલ્પો:

1. ગરુડ-ગરુડ-ગરુડ
2. હેડ્સ-હેડ્સ-પૂંછડીઓ
3. હેડ્સ-ટેલ્સ-હેડ્સ
4. માથા-પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ
5. પૂંછડીઓ-માથાઓ-માથાઓ
6. પૂંછડીઓ-માથાઓ-પૂંછડીઓ
7. પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ-માથાઓ
8. પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ

તેથી, અસંગત ઘટનાઓ ચોક્કસ છે, આપેલ ઘટનાઓનો ક્રમ. - આ અસંગત ઘટનાઓ છે.

જો આપણે બે (અથવા વધુ) અસંગત ઘટનાઓની સંભાવના શું છે તે નક્કી કરવા માંગીએ છીએ, તો અમે આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ઉમેરીએ છીએ.

તમારે સમજવાની જરૂર છે કે માથા અથવા પૂંછડીઓ બે સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે.

જો આપણે ક્રમ (અથવા અન્ય કોઈપણ) બનતી સંભાવના નક્કી કરવા માંગીએ છીએ, તો અમે સંભાવનાઓના ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ ટોસ પર હેડ અને બીજા અને ત્રીજા ટોસ પર પૂંછડીઓ મેળવવાની સંભાવના કેટલી છે?

પરંતુ જો આપણે જાણવા માંગીએ છીએ કે અનેક સિક્વન્સમાંથી એક મેળવવાની સંભાવના શું છે, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે હેડ બરાબર એક વાર આવે છે, એટલે કે. વિકલ્પો અને, પછી આપણે આ સિક્વન્સની સંભાવનાઓ ઉમેરવી જોઈએ.

કુલ વિકલ્પો અમને અનુકૂળ છે.

દરેક ક્રમની ઘટનાની સંભાવનાઓને ઉમેરીને આપણે સમાન વસ્તુ મેળવી શકીએ છીએ:

આમ, જ્યારે આપણે ચોક્કસ, અસંગત, ઘટનાઓના ક્રમની સંભાવના નક્કી કરવા માંગીએ છીએ ત્યારે અમે સંભાવનાઓ ઉમેરીએ છીએ.

ક્યારે ગુણાકાર કરવો અને ક્યારે ઉમેરવું તે મૂંઝવણમાં ન આવવા માટે તમને મદદ કરવા માટે એક સરસ નિયમ છે:

ચાલો ઉદાહરણ પર પાછા જઈએ કે જ્યાં આપણે એક વખત સિક્કો ફેંક્યો હતો અને એકવાર હેડ જોવાની સંભાવના જાણવા માગતા હતા.
શું થવાનું છે?

બહાર પડવું જોઈએ:
(માથા અને પૂંછડીઓ અને પૂંછડીઓ) અથવા (પૂંછડીઓ અને માથા અને પૂંછડીઓ) અથવા (પૂંછડીઓ અને પૂંછડીઓ અને માથા).
તે આ રીતે બહાર આવે છે:

ચાલો થોડા ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ 5.

બોક્સમાં પેન્સિલો છે. લાલ, લીલો, નારંગી અને પીળો અને કાળો. લાલ કે લીલી પેન્સિલો દોરવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ:

ઉદાહરણ 6.

જો એક ડાઇ બે વાર ફેંકવામાં આવે તો કુલ 8 મળવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ.

આપણે પોઈન્ટ કેવી રીતે મેળવી શકીએ?

(અને) અથવા (અને) અથવા (અને) અથવા (અને) અથવા (અને).

એક (કોઈપણ) ચહેરો મેળવવાની સંભાવના છે.

અમે સંભાવનાની ગણતરી કરીએ છીએ:

તાલીમ.

મને લાગે છે કે હવે તમે સમજો છો કે તમારે ક્યારે સંભાવનાઓની ગણતરી કરવાની જરૂર છે, તેને ક્યારે ઉમેરવી અને ક્યારે તેનો ગુણાકાર કરવો. તે નથી? ચાલો થોડી પ્રેક્ટિસ કરીએ.

કાર્યો:

ચાલો એક કાર્ડ ડેક લઈએ જેમાં સ્પેડ્સ, હાર્ટ્સ, 13 ક્લબ અને 13 હીરા સહિતના કાર્ડ્સ હોય. દરેક પોશાકના પાસાનો પો થી.

1. એક પંક્તિમાં ક્લબ દોરવાની સંભાવના શું છે (અમે ખેંચેલું પહેલું કાર્ડ પાછું ડેકમાં મૂકીએ છીએ અને તેને શફલ કરીએ છીએ)?
2. બ્લેક કાર્ડ દોરવાની સંભાવના શું છે (સ્પેડ અથવા ક્લબ્સ)?
3. ચિત્ર (જેક, રાણી, રાજા અથવા પાસાનો પો) દોરવાની સંભાવના કેટલી છે?
4. સળંગ બે ચિત્રો દોરવાની સંભાવના કેટલી છે (અમે ડેકમાંથી દોરેલા પ્રથમ કાર્ડને દૂર કરીએ છીએ)?
5. બે કાર્ડ લેવાની સંભાવના શું છે - (જેક, રાણી અથવા રાજા) અને એક પાસાનો પો જે ક્રમમાં કાર્ડ દોરવામાં આવે છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી?

જવાબો:

જો તમે બધી સમસ્યાઓ જાતે હલ કરવામાં સક્ષમ હતા, તો તમે મહાન છો! હવે તમે યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામમાં પ્રોબેબિલિટી થિયરી પ્રોબ્લેમ્સને નટ્સની જેમ ક્રેક કરશો!

સંભાવના સિદ્ધાંત. સરેરાશ સ્તર

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. ચાલો કહીએ કે આપણે ડાઇ ફેંકીએ છીએ. આ કેવું હાડકું છે, તમે જાણો છો? આને તેઓ તેના ચહેરા પર સંખ્યાઓ સાથે સમઘન કહે છે. કેટલા ચહેરા, આટલી સંખ્યા: થી કેટલા સુધી? પહેલાં.

તેથી અમે ડાઇસ રોલ કરીએ છીએ અને અમે ઈચ્છીએ છીએ કે તે ઉપર આવે અથવા. અને અમે તે મેળવીએ છીએ.

સંભાવના સિદ્ધાંતમાં તેઓ કહે છે કે શું થયું શુભ પ્રસંગ(સમૃદ્ધ સાથે મૂંઝવણમાં ન આવે).

જો તે થયું, તો ઘટના પણ અનુકૂળ હશે. કુલ, માત્ર બે અનુકૂળ ઘટનાઓ બની શકે છે.

કેટલા પ્રતિકૂળ છે? કુલ સંભવિત ઘટનાઓ હોવાથી, તેનો અર્થ એ છે કે પ્રતિકૂળ ઘટનાઓ ઘટનાઓ છે (આ જો અથવા ઘટી જાય).

વ્યાખ્યા:

સંભાવના એ તમામ સંભવિત ઘટનાઓની સંખ્યા સાથે અનુકૂળ ઘટનાઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે. એટલે કે, સંભાવના દર્શાવે છે કે તમામ સંભવિત ઘટનાઓનું પ્રમાણ કેટલું અનુકૂળ છે.

તેઓ લેટિન અક્ષર સાથે સંભાવના દર્શાવે છે (દેખીતી રીતે અંગ્રેજી શબ્દ સંભાવના - સંભાવના).

ટકાવારી તરીકે સંભાવનાને માપવાનો રિવાજ છે (વિષયો અને જુઓ). આ કરવા માટે, સંભાવના મૂલ્યનો ગુણાકાર કરવો આવશ્યક છે. ડાઇસ ઉદાહરણમાં, સંભાવના.

અને ટકાવારીમાં: .

ઉદાહરણો (તમારા માટે નક્કી કરો):

1. સિક્કો ફેંકતી વખતે હેડ મળવાની સંભાવના કેટલી છે? લેન્ડિંગ હેડની સંભાવના શું છે?
2. ડાઇ ફેંકતી વખતે સમ સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના કેટલી છે? કયો વિષમ છે?
3. સરળ, વાદળી અને લાલ પેન્સિલોના બોક્સમાં. અમે રેન્ડમ પર એક પેંસિલ દોરીએ છીએ. એક સરળ મેળવવાની સંભાવના શું છે?

ઉકેલો:

1. કેટલા વિકલ્પો છે? માથા અને પૂંછડીઓ - ફક્ત બે. તેમાંથી કેટલા અનુકૂળ છે? માત્ર એક જ ગરુડ છે. તેથી સંભાવના

   તે પૂંછડીઓ સાથે સમાન છે: .

2. કુલ વિકલ્પો: (ક્યુબની કેટલી બાજુઓ છે, ઘણા વિવિધ વિકલ્પો છે). અનુકૂળ રાશિઓ: (આ બધી સમ સંખ્યાઓ છે:).
   સંભાવના. અલબત્ત, તે વિચિત્ર સંખ્યાઓ સાથે સમાન છે.
3. કુલ: . અનુકૂળ:. સંભાવના:.

કુલ સંભાવના

બૉક્સની બધી પેન્સિલો લીલા છે. લાલ પેન્સિલ દોરવાની સંભાવના કેટલી છે? ત્યાં કોઈ તકો નથી: સંભાવના (બધા પછી, અનુકૂળ ઘટનાઓ -).

આવી ઘટનાને અશક્ય કહેવામાં આવે છે.

લીલી પેન્સિલ દોરવાની સંભાવના કેટલી છે? કુલ ઘટનાઓ જેટલી જ સાનુકૂળ ઘટનાઓ છે (બધી ઘટનાઓ અનુકૂળ છે). તેથી સંભાવના સમાન છે અથવા.

આવી ઘટનાને વિશ્વસનીય કહેવામાં આવે છે.

જો બોક્સમાં લીલી અને લાલ પેન્સિલો હોય, તો લીલો કે લાલ દોરવાની સંભાવના કેટલી છે? હજુ સુધી ફરી. ચાલો આની નોંધ લઈએ: લીલો બહાર ખેંચવાની સંભાવના સમાન છે, અને લાલ સમાન છે.

સરવાળે, આ સંભાવનાઓ બરાબર સમાન છે. તે જ, તમામ સંભવિત ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો અથવા બરાબર છે.

ઉદાહરણ:

પેન્સિલોના બોક્સમાં, તેમાંથી વાદળી, લાલ, લીલો, સાદો, પીળો અને બાકીના નારંગી છે. લીલો ન દોરવાની સંભાવના શું છે?

ઉકેલ:

અમે યાદ રાખીએ છીએ કે બધી સંભાવનાઓ ઉમેરે છે. અને લીલા થવાની સંભાવના સમાન છે. આનો અર્થ એ છે કે લીલો ન દોરવાની સંભાવના સમાન છે.

આ યુક્તિ યાદ રાખો:ઘટના બનશે નહીં તેવી સંભાવના ઘટના બનવાની સંભાવનાને બાદ કરવાની સમાન છે.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓ અને ગુણાકારનો નિયમ

તમે એક સિક્કો એક વાર ફ્લિપ કરો છો અને ઈચ્છો છો કે તે બંને વખત ઉપર આવે. આની સંભાવના શું છે?

ચાલો બધા સંભવિત વિકલ્પોમાંથી પસાર થઈએ અને નક્કી કરીએ કે કેટલા છે:

હેડ-હેડ, પૂંછડી-માથા, હેડ-પૂંછડી, પૂંછડી-પૂંછડી. બીજું શું?

કુલ વિકલ્પો. આમાંથી, ફક્ત એક જ અમને અનુકૂળ છે: ઇગલ-ઇગલ. કુલમાં, સંભાવના સમાન છે.

દંડ. હવે ચાલો એક વાર સિક્કો પલટાવીએ. ગણિત જાતે કરો. થયું? (જવાબ).

તમે નોંધ્યું હશે કે દરેક અનુગામી ફેંકવાના ઉમેરા સાથે, સંભાવના અડધી થઈ જાય છે. સામાન્ય નિયમ કહેવાય છે ગુણાકારનો નિયમ:

સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓ બદલાય છે.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓ શું છે? બધું તાર્કિક છે: આ તે છે જે એકબીજા પર નિર્ભર નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે આપણે સિક્કો ઘણી વખત ફેંકીએ છીએ, ત્યારે દરેક વખતે એક નવો ફેંકવામાં આવે છે, જેનું પરિણામ અગાઉના તમામ થ્રો પર આધારિત નથી. આપણે એક જ સમયે બે અલગ અલગ સિક્કા સરળતાથી ફેંકી શકીએ છીએ.

વધુ ઉદાહરણો:

1. ડાઇસ બે વાર ફેંકવામાં આવે છે. બંને વખત મળવાની સંભાવના કેટલી છે?
2. સિક્કો એકવાર ફેંકવામાં આવે છે. તે પ્રથમ વખત માથું ઉપર આવશે અને પછી બે વાર પૂંછડીઓ આવશે તેની સંભાવના કેટલી છે?
3. ખેલાડી બે ડાઇસ રોલ કરે છે. તેમના પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો સમાન હશે તેવી સંભાવના કેટલી છે?

જવાબો:

1. ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે, જેનો અર્થ છે કે ગુણાકારનો નિયમ કામ કરે છે: .
2. હેડની સંભાવના સમાન છે. પૂંછડીઓની સંભાવના સમાન છે. ગુણાકાર:
3. 12 માત્ર ત્યારે જ મેળવી શકાય છે જો બે -કી રોલ કરવામાં આવે: .

અસંગત ઘટનાઓ અને વધારાનો નિયમ

સંપૂર્ણ સંભાવનાના બિંદુ સુધી એકબીજાને પૂરક બનાવતી ઘટનાઓને અસંગત કહેવામાં આવે છે. નામ સૂચવે છે તેમ, તેઓ એક સાથે થઈ શકતા નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે સિક્કો પલટાવીએ, તો તે માથા અથવા પૂંછડીઓ ઉપર આવી શકે છે.

ઉદાહરણ.

પેન્સિલોના બોક્સમાં, તેમાંથી વાદળી, લાલ, લીલો, સાદો, પીળો અને બાકીના નારંગી છે. લીલો કે લાલ દોરવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ.

લીલી પેન્સિલ દોરવાની સંભાવના સમાન છે. લાલ -.

બધામાં અનુકૂળ ઘટનાઓ: લીલો + લાલ. આનો અર્થ એ છે કે લીલો અથવા લાલ દોરવાની સંભાવના સમાન છે.

સમાન સંભાવના આ ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે: .

આ વધારાનો નિયમ છે:અસંગત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ઉમેરે છે.

મિશ્ર પ્રકારની સમસ્યાઓ

ઉદાહરણ.

સિક્કો બે વાર ફેંકવામાં આવે છે. રોલ્સનાં પરિણામો અલગ હશે તેવી સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ.

આનો અર્થ એ છે કે જો પ્રથમ પરિણામ હેડ્સ છે, તો બીજું પૂંછડીઓ હોવું જોઈએ, અને ઊલટું. તે તારણ આપે છે કે સ્વતંત્ર ઘટનાઓની બે જોડી છે, અને આ જોડીઓ એકબીજા સાથે અસંગત છે. ક્યાં ગુણાકાર કરવો અને ક્યાં ઉમેરવું તે વિશે કેવી રીતે મૂંઝવણમાં ન આવવું.

આવી પરિસ્થિતિઓ માટે એક સરળ નિયમ છે. "AND" અથવા "OR" સંયોજનોનો ઉપયોગ કરીને શું થવાનું છે તેનું વર્ણન કરવાનો પ્રયાસ કરો. ઉદાહરણ તરીકે, આ કિસ્સામાં:

તે ઉપર આવવું જોઈએ (માથા અને પૂંછડીઓ) અથવા (પૂંછડીઓ અને માથા).

જ્યાં “અને” સંયોગ હશે ત્યાં ગુણાકાર થશે, અને જ્યાં “અથવા” હશે ત્યાં ઉમેરણ હશે:

તેને જાતે અજમાવી જુઓ:

1. જો સિક્કો બે વાર ફેંકવામાં આવે તો સિક્કો બંને વખત એક જ બાજુ પર ઉતરે તેવી સંભાવના કેટલી છે?
2. ડાઇસ બે વાર ફેંકવામાં આવે છે. કુલ પોઈન્ટ મેળવવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલો:

બીજું ઉદાહરણ:

એકવાર સિક્કો ફેંકો. હેડ ઓછામાં ઓછા એક વખત દેખાશે તેવી સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ:

સંભાવના સિદ્ધાંત. મુખ્ય બાબતો વિશે સંક્ષિપ્તમાં

સંભાવના એ તમામ સંભવિત ઘટનાઓની સંખ્યા સાથે અનુકૂળ ઘટનાઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓ

બે ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે જો એકની ઘટના બીજી બનવાની સંભાવનાને બદલતી નથી.

કુલ સંભાવના

તમામ સંભવિત ઘટનાઓની સંભાવના () ની બરાબર છે.

ઘટના બનશે નહીં તેવી સંભાવના ઘટના બનવાની સંભાવનાને બાદ કરવાની સમાન છે.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓને ગુણાકાર કરવાનો નિયમ

સ્વતંત્ર ઘટનાઓના ચોક્કસ ક્રમની સંભાવના દરેક ઘટનાની સંભાવનાઓના ઉત્પાદન જેટલી હોય છે.

અસંગત ઘટનાઓ

અસંગત ઘટનાઓ એવી છે જે પ્રયોગના પરિણામે એકસાથે ન બની શકે. સંખ્યાબંધ અસંગત ઘટનાઓ ઘટનાઓનું સંપૂર્ણ જૂથ બનાવે છે.

અસંગત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ઉમેરે છે.

શું થવું જોઈએ તેનું વર્ણન કર્યા પછી, "AND" અથવા "OR" સંયોજનોનો ઉપયોગ કરીને, "AND" ને બદલે આપણે ગુણાકારનું ચિહ્ન મૂકીએ છીએ, અને "OR" ની જગ્યાએ આપણે વધારાનું ચિહ્ન મૂકીએ છીએ.

બસ, વિષય પૂરો થયો. જો તમે આ લાઈનો વાંચી રહ્યા છો, તો તેનો અર્થ એ છે કે તમે ખૂબ જ શાનદાર છો.

કારણ કે માત્ર 5% લોકો જ પોતાની મેળે કંઈક માસ્ટર કરવામાં સક્ષમ છે. અને જો તમે અંત સુધી વાંચો છો, તો તમે આ 5% માં છો!

હવે સૌથી મહત્વની વાત.

તમે આ વિષય પરનો સિદ્ધાંત સમજી ગયા છો. અને, હું પુનરાવર્તન કરું છું, આ... આ માત્ર સુપર છે! તમે તમારા મોટા ભાગના સાથીદારો કરતા પહેલાથી જ સારા છો.

સમસ્યા એ છે કે આ પૂરતું નથી...

શેના માટે?

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા સફળતાપૂર્વક પાસ કરવા માટે, બજેટમાં કૉલેજમાં દાખલ થવા માટે અને સૌથી મહત્ત્વપૂર્ણ રીતે, જીવન માટે.

હું તમને કંઈપણ સમજાવીશ નહીં, હું ફક્ત એક વાત કહીશ ...

જે લોકોએ સારું શિક્ષણ મેળવ્યું છે તેઓ જેઓ નથી મેળવ્યા તેના કરતાં ઘણું વધારે કમાય છે. આ આંકડા છે.

પરંતુ આ મુખ્ય વસ્તુ નથી.

મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે તેઓ વધુ ખુશ છે (ત્યાં આવા અભ્યાસો છે). કદાચ એટલા માટે કે તેમની સામે ઘણી વધુ તકો ખુલે છે અને જીવન તેજસ્વી બને છે? ખબર નથી...

પણ તમારા માટે વિચારો ...

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં અન્ય કરતા વધુ સારા બનવા માટે અને આખરે... વધુ ખુશ થવા માટે શું જરૂરી છે?

આ વિષય પર સમસ્યાઓ હલ કરીને તમારો હાથ મેળવો.

પરીક્ષા દરમિયાન તમને થિયરી માટે પૂછવામાં આવશે નહીં.

તમને જરૂર પડશે સમય સામે સમસ્યાઓ ઉકેલો.

અને, જો તમે તેમને ઉકેલ્યા નથી (ઘણું!), તો તમે ચોક્કસપણે ક્યાંક મૂર્ખ ભૂલ કરશો અથવા તમારી પાસે સમય નહીં હોય.

તે રમતગમતની જેમ છે - ખાતરી માટે જીતવા માટે તમારે તેને ઘણી વખત પુનરાવર્તન કરવાની જરૂર છે.

તમે ઇચ્છો ત્યાં સંગ્રહ શોધો, આવશ્યકપણે ઉકેલો, વિગતવાર વિશ્લેષણ સાથેઅને નક્કી કરો, નક્કી કરો, નક્કી કરો!

તમે અમારા કાર્યોનો ઉપયોગ કરી શકો છો (વૈકલ્પિક) અને અમે, અલબત્ત, તેમની ભલામણ કરીએ છીએ.

અમારા કાર્યોનો વધુ સારી રીતે ઉપયોગ કરવા માટે, તમે હાલમાં વાંચી રહ્યાં છો તે YouClever પાઠ્યપુસ્તકનું આયુષ્ય વધારવામાં મદદ કરવાની જરૂર છે.

કેવી રીતે? ત્યાં બે વિકલ્પો છે:

1. આ લેખમાં છુપાયેલા તમામ કાર્યોને અનલૉક કરો -
2. પાઠ્યપુસ્તકના તમામ 99 લેખોમાં છુપાયેલા તમામ કાર્યોની ઍક્સેસને અનલૉક કરો - પાઠ્યપુસ્તક ખરીદો - 499 RUR

હા, અમારી પાઠ્યપુસ્તકમાં આવા 99 લેખો છે અને તમામ કાર્યોની ઍક્સેસ છે અને તેમાં છુપાયેલા તમામ પાઠો તરત જ ખોલી શકાય છે.

સાઇટના સમગ્ર જીવન માટે તમામ છુપાયેલા કાર્યોની ઍક્સેસ પ્રદાન કરવામાં આવે છે.

નિષ્કર્ષમાં...

જો તમને અમારા કાર્યો પસંદ નથી, તો અન્યને શોધો. ફક્ત સિદ્ધાંત પર અટકશો નહીં.

"સમજ્યું" અને "હું હલ કરી શકું છું" એ સંપૂર્ણપણે અલગ કુશળતા છે. તમારે બંનેની જરૂર છે.

સમસ્યાઓ શોધો અને તેમને હલ કરો!