સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા માટેના સૂત્રો. ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા

કાર્ય નંબર 1

તર્ક સરળ છે: આપણે પહેલા જેવું જ કરીશું, એ હકીકતને ધ્યાનમાં લીધા વિના કે હવે ત્રિકોણમિતિ કાર્યોમાં વધુ જટિલ દલીલ છે!

જો આપણે ફોર્મનું સમીકરણ હલ કરીએ:

પછી અમે નીચેનો જવાબ લખીશું:

અથવા (ત્યારથી)

પરંતુ હવે અમારી ભૂમિકા આ ​​અભિવ્યક્તિ દ્વારા ભજવવામાં આવે છે:

પછી આપણે લખી શકીએ:

તમારી સાથેનો અમારો ધ્યેય એ સુનિશ્ચિત કરવાનો છે કે ડાબી બાજુ કોઈ પણ “અશુદ્ધિઓ” વિના સરળ રહે!

ચાલો ધીમે ધીમે તેમાંથી છૂટકારો મેળવીએ!

પ્રથમ, ચાલો છેદ દૂર કરીએ: આ કરવા માટે, આપણી સમાનતાને આનાથી ગુણાકાર કરો:

હવે ચાલો બંને ભાગોને વિભાજિત કરીને છુટકારો મેળવીએ:

ચાલો હવે આઠમાંથી છુટકારો મેળવીએ:

પરિણામી અભિવ્યક્તિ ઉકેલોની 2 શ્રેણી તરીકે લખી શકાય છે (ચતુર્ભુજ સમીકરણ સાથે સામ્યતા દ્વારા, જ્યાં આપણે ભેદભાવને ઉમેરીએ છીએ અથવા બાદ કરીએ છીએ)

આપણે સૌથી મોટું નકારાત્મક મૂળ શોધવાની જરૂર છે! તે સ્પષ્ટ છે કે આપણે સૉર્ટ કરવાની જરૂર છે.

ચાલો પહેલા પ્રથમ એપિસોડ જોઈએ:

તે સ્પષ્ટ છે કે જો આપણે લઈશું, તો પરિણામે આપણને હકારાત્મક સંખ્યાઓ પ્રાપ્ત થશે, પરંતુ તેઓ અમને રસ ધરાવતા નથી.

તેથી તમારે તેને નકારાત્મક લેવાની જરૂર છે. રહેવા દો.

જ્યારે રુટ સાંકડી હશે:

અને આપણે સૌથી વધુ નકારાત્મક શોધવાની જરૂર છે!! મતલબ કે નકારાત્મક દિશામાં જવાનો હવે અહીં અર્થ નથી. અને આ શ્રેણી માટે સૌથી મોટું નકારાત્મક મૂળ બરાબર હશે.

હવે બીજી શ્રેણી જોઈએ:

અને ફરીથી આપણે અવેજી: , પછી:

રસ નથી!

પછી વધુ વધારો કરવાનો કોઈ અર્થ નથી! ચાલો તેને ઘટાડીએ! તો ચાલો:

બંધબેસતુ!

રહેવા દો. પછી

પછી - સૌથી મોટું નકારાત્મક મૂળ!

જવાબ:

કાર્ય નંબર 2

જટિલ કોસાઇન દલીલને ધ્યાનમાં લીધા વિના અમે ફરીથી હલ કરીએ છીએ:

હવે અમે ફરીથી ડાબી બાજુએ વ્યક્ત કરીએ છીએ:

બંને બાજુઓ દ્વારા ગુણાકાર કરો

દ્વારા બંને બાજુઓ વિભાજીત કરો

જે બાકી છે તે તેને જમણી તરફ ખસેડવાનું છે, તેના ચિહ્નને બાદબાકીથી વત્તામાં બદલવું.

આપણને ફરીથી મૂળની 2 શ્રેણી મળે છે, એક સાથે અને બીજી સાથે.

આપણે સૌથી મોટું નકારાત્મક મૂળ શોધવાની જરૂર છે. ચાલો પ્રથમ એપિસોડ જોઈએ:

તે સ્પષ્ટ છે કે આપણને પ્રથમ ઋણ રુટ પર મળશે, તે સમાન હશે અને 1 શ્રેણીમાં સૌથી મોટું નકારાત્મક મૂળ હશે.

બીજી શ્રેણી માટે

પ્રથમ નકારાત્મક રુટ પણ મેળવવામાં આવશે અને તેની બરાબર હશે. ત્યારથી, તે સમીકરણનું સૌથી મોટું નકારાત્મક મૂળ છે.

જવાબ: .

કાર્ય નંબર 3

જટિલ સ્પર્શક દલીલને ધ્યાનમાં લીધા વગર અમે હલ કરીએ છીએ.

હવે, તે જટિલ લાગતું નથી, બરાબર?

પહેલાની જેમ, અમે ડાબી બાજુએ વ્યક્ત કરીએ છીએ:

સારું, તે સરસ છે, અહીં મૂળની માત્ર એક જ શ્રેણી છે! ચાલો ફરી સૌથી મોટું નકારાત્મક શોધીએ.

તે સ્પષ્ટ છે કે જો તમે તેને નીચે મૂકશો તો તે બહાર આવે છે. અને આ મૂળ સમાન છે.

જવાબ:

હવે નીચેની સમસ્યાઓ જાતે હલ કરવાનો પ્રયાસ કરો.

હોમવર્ક અથવા 3 કાર્યો સ્વતંત્ર રીતે ઉકેલવા માટે.

1. સમીકરણ ઉકેલો.
   
2. સમીકરણ ઉકેલો.
   પિ-શી-થ-સૌથી નાના-શક્ય મૂળના જવાબમાં.
3. સમીકરણ ઉકેલો.
   પિ-શી-થ-સૌથી નાના-શક્ય મૂળના જવાબમાં.

તૈયાર છો? ચાલો તપાસીએ. હું સંપૂર્ણ સોલ્યુશન અલ્ગોરિધમનું વિગતવાર વર્ણન કરીશ નહીં; એવું લાગે છે કે તે ઉપર પહેલેથી જ પૂરતું ધ્યાન મેળવ્યું છે.

સારું, બધું બરાબર છે? ઓહ, તે બીભત્સ સાઇનસ, તેમની સાથે હંમેશા કોઈ પ્રકારની મુશ્કેલી હોય છે!

સારું, હવે તમે સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો હલ કરી શકો છો!

ઉકેલો અને જવાબો તપાસો:

કાર્ય નંબર 1

ચાલો વ્યક્ત કરીએ

જો આપણે, ત્યારથી, મૂકીએ તો સૌથી નાનું હકારાત્મક મૂળ પ્રાપ્ત થાય છે

જવાબ:

કાર્ય નંબર 2

પર સૌથી નાનું હકારાત્મક મૂળ પ્રાપ્ત થાય છે.

તે સમાન હશે.

જવાબ: .

કાર્ય નંબર 3

જ્યારે આપણને મળે છે, જ્યારે આપણી પાસે હોય છે.

જવાબ: .

આ જ્ઞાન તમને ઘણી બધી સમસ્યાઓ હલ કરવામાં મદદ કરશે જેનો તમે પરીક્ષામાં સામનો કરશો.

જો તમે "5" રેટિંગ માટે અરજી કરી રહ્યાં છો, તો તમારે ફક્ત તેના માટે લેખ વાંચવા માટે આગળ વધવાની જરૂર છે મધ્ય-સ્તરજે વધુ જટિલ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો (કાર્ય C1) ઉકેલવા માટે સમર્પિત હશે.

સરેરાશ સ્તર

આ લેખમાં હું વર્ણન કરીશ વધુ જટિલ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવાઅને તેમના મૂળ કેવી રીતે પસંદ કરવા. અહીં હું નીચેના વિષયો પર ડ્રો કરીશ:

1. પ્રારંભિક સ્તર માટે ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો (ઉપર જુઓ).

વધુ જટિલ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો અદ્યતન સમસ્યાઓનો આધાર છે. તેમને સામાન્ય સ્વરૂપમાં સમીકરણ ઉકેલવા અને ચોક્કસ આપેલ અંતરાલ સાથે જોડાયેલા આ સમીકરણના મૂળ શોધવા બંને જરૂરી છે.

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવાથી બે પેટા કાર્ય થાય છે:

1. સમીકરણ ઉકેલવું
2. રુટ પસંદગી

એ નોંધવું જોઇએ કે બીજું હંમેશા જરૂરી નથી, પરંતુ મોટાભાગના ઉદાહરણોમાં પસંદગી હજુ પણ જરૂરી છે. પરંતુ જો તે જરૂરી નથી, તો અમે તમારી સાથે સહાનુભૂતિ અનુભવી શકીએ છીએ - આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણ પોતે જ એકદમ જટિલ છે.

C1 સમસ્યાઓનું વિશ્લેષણ કરવાનો મારો અનુભવ દર્શાવે છે કે તેઓ સામાન્ય રીતે નીચેની શ્રેણીઓમાં વિભાજિત થાય છે.

વધેલી જટિલતાના કાર્યોની ચાર શ્રેણીઓ (અગાઉ C1)

1. સમીકરણો કે જે ફેક્ટરાઇઝેશનમાં ઘટાડો કરે છે.
2. સમીકરણો રચાય છે.
3. ચલ બદલીને સમીકરણો ઉકેલાય છે.
4. અતાર્કિકતા અથવા છેદને કારણે મૂળની વધારાની પસંદગીની જરૂર હોય તેવા સમીકરણો.

સરળ રીતે કહીએ તો: જો તમે પકડાઈ જાઓ પ્રથમ ત્રણ પ્રકારના સમીકરણોમાંથી એક, તો પછી તમારી જાતને નસીબદાર માનો. તેમના માટે, એક નિયમ તરીકે, તમારે વધુમાં ચોક્કસ અંતરાલ સાથે જોડાયેલા મૂળ પસંદ કરવાની જરૂર છે.

જો તમે પ્રકાર 4 સમીકરણ પર આવો છો, તો તમે ઓછા નસીબદાર છો: તમારે તેની સાથે લાંબા સમય સુધી અને વધુ કાળજીપૂર્વક ટિંકર કરવાની જરૂર છે, પરંતુ ઘણી વાર તેને મૂળની વધારાની પસંદગીની જરૂર હોતી નથી. તેમ છતાં, હું આગામી લેખમાં આ પ્રકારના સમીકરણોનું વિશ્લેષણ કરીશ, અને આ એક હું પ્રથમ ત્રણ પ્રકારના સમીકરણોને ઉકેલવા માટે સમર્પિત કરીશ.

સમીકરણો કે જે ફેક્ટરાઇઝેશનમાં ઘટાડો કરે છે

આ પ્રકારના સમીકરણને ઉકેલવા માટે તમારે સૌથી મહત્વની વસ્તુ યાદ રાખવાની જરૂર છે

પ્રેક્ટિસ બતાવે છે તેમ, એક નિયમ તરીકે, આ જ્ઞાન પૂરતું છે. ચાલો કેટલાક ઉદાહરણો જોઈએ:

ઉદાહરણ 1. ઘટાડા અને ડબલ એંગલ સાઈન ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને ફેક્ટરાઇઝેશનમાં ઘટાડી સમીકરણ

• સમીકરણ ઉકેલો
• આ સમીકરણના તમામ મૂળ શોધો જે કટ ઉપર આવેલા છે

અહીં, જેમ મેં વચન આપ્યું હતું, ઘટાડો ફોર્મ્યુલા કામ કરે છે:

પછી મારું સમીકરણ આના જેવું દેખાશે:

પછી મારું સમીકરણ નીચેનું સ્વરૂપ લેશે:

ટૂંકી દૃષ્ટિ ધરાવતો વિદ્યાર્થી કહી શકે છે: હવે હું બંને બાજુ ઘટાડીશ, સરળ સમીકરણ મેળવીશ અને જીવનનો આનંદ લઈશ! અને તેની કડવી ભૂલ થશે!

તો શું કરવું? હા, તે સરળ છે, દરેક વસ્તુને એક બાજુ ખસેડો અને સામાન્ય પરિબળને બહાર કાઢો:

ઠીક છે, અમે તેને પરિબળોમાં ફેક્ટર કર્યું, હુરે! હવે ચાલો નક્કી કરીએ:

પ્રથમ સમીકરણમાં મૂળ છે:

અને બીજું:

આ સમસ્યાનો પ્રથમ ભાગ પૂર્ણ કરે છે. હવે તમારે મૂળ પસંદ કરવાની જરૂર છે:

અંતર આના જેવું છે:

અથવા તે આ રીતે પણ લખી શકાય છે:

સારું, ચાલો મૂળ લઈએ:

પ્રથમ, ચાલો પ્રથમ એપિસોડ સાથે કામ કરીએ (અને તે સરળ છે, ઓછામાં ઓછું કહેવા માટે!)

અમારું અંતરાલ સંપૂર્ણપણે નકારાત્મક હોવાથી, બિન-નકારાત્મક લેવાની જરૂર નથી, તેઓ હજી પણ બિન-નકારાત્મક મૂળ આપશે.

ચાલો તેને લઈએ, પછી - તે ખૂબ છે, તે હિટ કરતું નથી.

તે રહેવા દો, પછી - મેં તેને ફરીથી માર્યું નથી.

એક વધુ પ્રયાસ - પછી - હા, મને સમજાયું! પહેલું મૂળ મળી ગયું છે!

હું ફરીથી ગોળીબાર કરું છું: પછી મેં તેને ફરીથી માર્યો!

સારું, વધુ એક વાર: : - આ પહેલેથી જ ફ્લાઇટ છે.

તેથી પ્રથમ શ્રેણીમાંથી અંતરાલ સાથે જોડાયેલા 2 મૂળ છે: .

અમે બીજી શ્રેણી સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ (અમે બનાવી રહ્યા છીએ નિયમ અનુસાર સત્તા માટે):

અન્ડરશૂટ!

તે ફરીથી ખૂટે છે!

તે ફરીથી ખૂટે છે!

જાણ્યું!

ફ્લાઇટ!

આમ, મારા અંતરાલમાં નીચેના મૂળ છે:

આ એલ્ગોરિધમ છે જેનો ઉપયોગ આપણે અન્ય તમામ ઉદાહરણો ઉકેલવા માટે કરીશું. ચાલો વધુ એક ઉદાહરણ સાથે પ્રેક્ટિસ કરીએ.

ઉદાહરણ 2. ઘટાડાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ ઘટાડીને અવયવીકરણ માટે

• સમીકરણ ઉકેલો

ઉકેલ:

ફરીથી કુખ્યાત ઘટાડો સૂત્રો:

ફરીથી કાપવાનો પ્રયાસ કરશો નહીં!

પ્રથમ સમીકરણમાં મૂળ છે:

અને બીજું:

હવે ફરીથી મૂળની શોધ.

હું બીજા એપિસોડથી શરૂઆત કરીશ, હું પહેલાના ઉદાહરણથી તેના વિશે બધું જ જાણું છું! જુઓ અને ખાતરી કરો કે અંતરાલ સાથે જોડાયેલા મૂળ નીચે મુજબ છે:

હવે પ્રથમ એપિસોડ અને તે સરળ છે:

જો - યોગ્ય

જો તે પણ સારું છે

જો તે પહેલેથી જ ફ્લાઇટ છે.

પછી મૂળ નીચે મુજબ હશે:

સ્વતંત્ર કાર્ય. 3 સમીકરણો.

સારું, શું તમને તકનીક સ્પષ્ટ છે? શું ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા હવે એટલા મુશ્કેલ નથી લાગતા? પછી નીચેની સમસ્યાઓ જાતે ઝડપથી હલ કરો, અને પછી અમે અન્ય ઉદાહરણો હલ કરીશું:

1. સમીકરણ ઉકેલો
   અંતરાલની ઉપર આવેલા આ સમીકરણના તમામ મૂળ શોધો.
2. સમીકરણ ઉકેલો
   કટની ઉપર આવેલા સમીકરણના મૂળ સૂચવો
3. સમીકરણ ઉકેલો
   તેમની વચ્ચે આવેલા આ સમીકરણના તમામ મૂળ શોધો.

સમીકરણ 1.

અને ફરીથી ઘટાડો સૂત્ર:

મૂળની પ્રથમ શ્રેણી:

મૂળની બીજી શ્રેણી:

અમે અંતર માટે પસંદગી શરૂ કરીએ છીએ

જવાબ: , .

સમીકરણ 2. સ્વતંત્ર કાર્ય તપાસી રહ્યું છે.

પરિબળોમાં તદ્દન મુશ્કેલ જૂથીકરણ (હું ડબલ એંગલ સાઈન ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીશ):

પછી અથવા

આ એક સામાન્ય ઉકેલ છે. હવે આપણે મૂળ પસંદ કરવાની જરૂર છે. મુશ્કેલી એ છે કે આપણે એવા ખૂણાનું ચોક્કસ મૂલ્ય કહી શકતા નથી કે જેની કોસાઇન એક ક્વાર્ટર જેટલી હોય. તેથી, હું ફક્ત આર્ક કોસાઇનથી છૂટકારો મેળવી શકતો નથી - આવી શરમ!

હું શું કરી શકું તે આકૃતિ છે કે તેથી, તેથી, પછી.

ચાલો ટેબલ બનાવીએ: interval:

ઠીક છે, પીડાદાયક શોધ દ્વારા અમે નિરાશાજનક નિષ્કર્ષ પર આવ્યા છીએ કે અમારા સમીકરણ સૂચવેલ અંતરાલ પર એક મૂળ ધરાવે છે: \Displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi

સમીકરણ 3: સ્વતંત્ર કાર્ય પરીક્ષણ.

એક ભયાનક દેખાતું સમીકરણ. જો કે, તેને ડબલ એંગલ સાઈન ફોર્મ્યુલા લાગુ કરીને એકદમ સરળ રીતે ઉકેલી શકાય છે:

ચાલો તેને 2 થી ઘટાડીએ:

ચાલો પ્રથમ પદને બીજા સાથે અને ત્રીજાને ચોથા સાથે જૂથ કરીએ અને સામાન્ય પરિબળોને બહાર કાઢીએ:

તે સ્પષ્ટ છે કે પ્રથમ સમીકરણમાં કોઈ મૂળ નથી, અને હવે ચાલો બીજાને ધ્યાનમાં લઈએ:

સામાન્ય રીતે, હું આવા સમીકરણો ઉકેલવા માટે થોડી વાર પછી વિચાર કરવા જઈ રહ્યો હતો, પરંતુ ત્યારથી તે ઊભું થયું, ત્યાં કરવાનું કંઈ નથી, મારે તેને ઉકેલવું પડશે...

ફોર્મના સમીકરણો:

આ સમીકરણ બંને બાજુઓ દ્વારા વિભાજીત કરીને હલ થાય છે:

આમ, અમારા સમીકરણમાં મૂળની એક શ્રેણી છે:

અમારે તે શોધવાની જરૂર છે જે અંતરાલથી સંબંધિત છે: .

ચાલો ફરી એક ટેબલ બનાવીએ, જેમ મેં પહેલા કર્યું હતું:

જવાબ:.

ફોર્મમાં સમીકરણો ઘટાડ્યા:

ઠીક છે, હવે સમીકરણોના બીજા ભાગ તરફ આગળ વધવાનો સમય છે, ખાસ કરીને કારણ કે મેં પહેલેથી જ નવા પ્રકારના ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોના ઉકેલમાં શું સમાવે છે તેના પર દાળો ફેલાવી દીધો છે. પરંતુ તે પુનરાવર્તન કરવા યોગ્ય છે કે સમીકરણ સ્વરૂપનું છે

કોસાઇન દ્વારા બંને બાજુઓને વિભાજીત કરીને ઉકેલો:

1. સમીકરણ ઉકેલો
   કટની ઉપર આવેલા સમીકરણના મૂળને સૂચવો.
2. સમીકરણ ઉકેલો
   તેમની વચ્ચે આવેલા સમીકરણના મૂળ સૂચવો.

ઉદાહરણ 1.

પ્રથમ એકદમ સરળ છે. જમણી તરફ જાઓ અને ડબલ એંગલ કોસાઇન ફોર્મ્યુલા લાગુ કરો:

હા! ફોર્મનું સમીકરણ: . હું બંને ભાગોને વડે વિભાજિત કરું છું

અમે રૂટ સ્ક્રીનીંગ કરીએ છીએ:

ગેપ:

જવાબ:

ઉદાહરણ 2.

બધું પણ એકદમ તુચ્છ છે: ચાલો જમણી બાજુએ કૌંસ ખોલીએ:

મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ઓળખ:

ડબલ એંગલની સાઈન:

છેલ્લે આપણને મળે છે:

રુટ સ્ક્રીનીંગ: અંતરાલ.

જવાબ:.

સારું, તમને તકનીક કેવી રીતે ગમશે, શું તે ખૂબ જટિલ નથી? મને આશા નથી. અમે તરત જ આરક્ષણ કરી શકીએ છીએ: તેમના શુદ્ધ સ્વરૂપમાં, સમીકરણો કે જે તરત જ સ્પર્શક માટેના સમીકરણમાં ઘટાડો કરે છે તે ખૂબ જ દુર્લભ છે. સામાન્ય રીતે, આ સંક્રમણ (કોસાઇન દ્વારા વિભાજન) એ વધુ જટિલ સમસ્યાનો માત્ર એક ભાગ છે. તમારા માટે પ્રેક્ટિસ કરવા માટે અહીં એક ઉદાહરણ છે:

• સમીકરણ ઉકેલો
• આ સમીકરણના તમામ મૂળ શોધો જે કટ ઉપર આવેલા છે.

ચાલો તપાસીએ:

સમીકરણ તરત જ ઉકેલી શકાય છે, તે બંને બાજુઓ દ્વારા વિભાજીત કરવા માટે પૂરતું છે:

રુટ સ્ક્રીનીંગ:

જવાબ:.

એક યા બીજી રીતે, આપણે હમણાં જ તપાસેલા પ્રકારના સમીકરણોનો સામનો કરવો પડ્યો છે. જો કે, તેને એક દિવસ કહેવાનું આપણા માટે ઘણું વહેલું છે: હજુ પણ એક વધુ "સ્તર" સમીકરણો છે જેનું અમે વિશ્લેષણ કર્યું નથી. તેથી:

ચલોને બદલીને ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા

અહીં બધું પારદર્શક છે: અમે સમીકરણને નજીકથી જોઈએ છીએ, તેને શક્ય તેટલું સરળ બનાવીએ છીએ, અવેજી બનાવીએ છીએ, તેને હલ કરીએ છીએ, રિવર્સ અવેજી બનાવીએ છીએ! શબ્દોમાં, બધું ખૂબ સરળ છે. ચાલો ક્રિયામાં જોઈએ:

ઉદાહરણ.

• સમીકરણ ઉકેલો: .
• આ સમીકરણના તમામ મૂળ શોધો જે કટ ઉપર આવેલા છે.

ઠીક છે, અહીં રિપ્લેસમેન્ટ પોતે જ અમને સૂચવે છે!

પછી આપણું સમીકરણ આમાં ફેરવાશે:

પ્રથમ સમીકરણમાં મૂળ છે:

અને બીજું આના જેવું છે:

ચાલો હવે અંતરાલ સાથે જોડાયેલા મૂળ શોધીએ

જવાબ:.

ચાલો એકસાથે થોડું વધુ જટિલ ઉદાહરણ જોઈએ:

• સમીકરણ ઉકેલો
• આપેલ સમીકરણના મૂળ સૂચવે છે, તેમની વચ્ચે ઉપર પડેલા છે.

અહીં રિપ્લેસમેન્ટ તરત જ દેખાતું નથી, વધુમાં, તે ખૂબ સ્પષ્ટ નથી. ચાલો પહેલા વિચારીએ: આપણે શું કરી શકીએ?

ઉદાહરણ તરીકે, આપણે કલ્પના કરી શકીએ છીએ

અને તે જ સમયે

પછી મારું સમીકરણ ફોર્મ લેશે:

અને હવે ધ્યાન, ધ્યાન કેન્દ્રિત કરો:

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને આના દ્વારા વિભાજીત કરીએ:

અચાનક તમે અને હું એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ સાપેક્ષ છે! ચાલો બદલી કરીએ, પછી આપણને મળશે:

સમીકરણમાં નીચેના મૂળ છે:

મૂળની એક અપ્રિય બીજી શ્રેણી, પરંતુ કંઇ કરી શકાતું નથી! અમે અંતરાલમાં મૂળ પસંદ કરીએ છીએ.

એ પણ આપણે ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે

ત્યારથી અને પછી

જવાબ:

તમે સમસ્યાઓ જાતે હલ કરો તે પહેલાં તેને વધુ મજબૂત કરવા માટે, અહીં બીજી કસરત છે:

• સમીકરણ ઉકેલો
• તેમની વચ્ચે આવેલા આ સમીકરણના તમામ મૂળ શોધો.

અહીં તમારે તમારી આંખો ખુલ્લી રાખવાની જરૂર છે: અમારી પાસે હવે એવા છેદ છે જે શૂન્ય હોઈ શકે છે! તેથી, તમારે ખાસ કરીને મૂળ પ્રત્યે સચેત રહેવાની જરૂર છે!

સૌ પ્રથમ, મારે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવવાની જરૂર છે જેથી કરીને હું યોગ્ય અવેજી કરી શકું. સાઈન અને કોસાઈનના સંદર્ભમાં સ્પર્શકને ફરીથી લખવા કરતાં હવે હું કંઈપણ વધુ સારી રીતે વિચારી શકતો નથી:

હવે હું મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ઓળખનો ઉપયોગ કરીને કોસાઇનથી સાઇન તરફ જઈશ:

અને અંતે, હું બધું એક સામાન્ય સંપ્રદાય પર લાવીશ:

હવે હું સમીકરણ તરફ આગળ વધી શકું છું:

પણ at (એટલે ​​કે, at).

હવે બધું બદલવા માટે તૈયાર છે:

પછી અથવા

જો કે, નોંધ કરો કે જો, પછી તે જ સમયે!

આનાથી કોણ પીડાય છે? સ્પર્શક સાથે સમસ્યા એ છે કે જ્યારે કોસાઇન શૂન્યની બરાબર હોય ત્યારે તે વ્યાખ્યાયિત થતું નથી (શૂન્ય દ્વારા વિભાજન થાય છે).

આમ, સમીકરણના મૂળ છે:

હવે આપણે અંતરાલમાં મૂળને ચાળીએ છીએ:

આમ, આપણું સમીકરણ અંતરાલ પર એક જ મૂળ ધરાવે છે, અને તે સમાન છે.

તમે જુઓ છો: છેદનો દેખાવ (સ્પર્શકની જેમ, મૂળ સાથે ચોક્કસ મુશ્કેલીઓ તરફ દોરી જાય છે! અહીં તમારે વધુ સાવચેત રહેવાની જરૂર છે!).

ઠીક છે, તમે અને મેં લગભગ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોનું પૃથ્થકરણ પૂર્ણ કરી લીધું છે - તમારી જાતે બે સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે બહુ ઓછું બાકી છે. આ રહ્યા તેઓ.

1. સમીકરણ ઉકેલો
   આ સમીકરણના તમામ મૂળ શોધો જે કટની ઉપર આવેલા છે.
2. સમીકરણ ઉકેલો
   કટની ઉપર સ્થિત આ સમીકરણના મૂળ સૂચવો.

નક્કી કરેલું? તે ખૂબ મુશ્કેલ નથી? ચાલો તપાસીએ:

1. અમે ઘટાડાના સૂત્રો અનુસાર કાર્ય કરીએ છીએ:

   સમીકરણમાં અવેજી કરો:

   રિપ્લેસમેન્ટ કરવાનું સરળ બનાવવા માટે ચાલો કોસાઇન્સ દ્વારા બધું ફરીથી લખીએ:

   હવે રિપ્લેસમેન્ટ કરવું સરળ છે:

   તે સ્પષ્ટ છે કે તે બાહ્ય મૂળ છે, કારણ કે સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી. પછી:

   અમે અંતરાલમાં જરૂરી મૂળ શોધી રહ્યા છીએ

   જવાબ:.

2. 
   અહીં રિપ્લેસમેન્ટ તરત જ દેખાય છે:

   પછી અથવા

   	- બંધબેસતુ!	- બંધબેસતુ!
   	- બંધબેસતુ!	- બંધબેસતુ!
   	- ઘણું બધું!	- પણ ઘણું!

   જવાબ:

ઠીક છે, તે હવે છે! પરંતુ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવાનું ત્યાં સમાપ્ત થતું નથી; આપણે સૌથી મુશ્કેલ કિસ્સાઓમાં પાછળ રહીએ છીએ: જ્યારે સમીકરણોમાં અતાર્કિકતા અથવા વિવિધ પ્રકારના "જટિલ છેદ" હોય છે. અમે અદ્યતન સ્તર માટે લેખમાં આવા કાર્યોને કેવી રીતે હલ કરવા તે જોઈશું.

ઉચ્ચ સ્તર

અગાઉના બે લેખોમાં ચર્ચા કરવામાં આવેલ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉપરાંત, અમે સમીકરણોના બીજા વર્ગને ધ્યાનમાં લઈશું કે જેને વધુ સાવચેતીપૂર્વક વિશ્લેષણની જરૂર છે. આ ત્રિકોણમિતિના ઉદાહરણોમાં અતાર્કિકતા અથવા છેદ હોય છે, જે તેમના વિશ્લેષણને વધુ મુશ્કેલ બનાવે છે.. જો કે, તમે પરીક્ષા પેપરના ભાગ Cમાં આ સમીકરણોનો સારી રીતે સામનો કરી શકો છો. જો કે, દરેક વાદળમાં ચાંદીની અસ્તર હોય છે: આવા સમીકરણો માટે, એક નિયમ તરીકે, આપેલ અંતરાલમાંથી તેના કયા મૂળનો છે તે પ્રશ્ન હવે ઉભો થતો નથી. ચાલો ઝાડની આસપાસ હરાવીએ નહીં, પરંતુ ચાલો સીધા ત્રિકોણમિતિના ઉદાહરણો પર જઈએ.

ઉદાહરણ 1.

સમીકરણ ઉકેલો અને સેગમેન્ટના મૂળ શોધો.

ઉકેલ:

આપણી પાસે એક છેદ છે જે શૂન્યની બરાબર ન હોવો જોઈએ! પછી આ સમીકરણ ઉકેલવું એ સિસ્ટમને હલ કરવા જેવું જ છે

ચાલો દરેક સમીકરણો હલ કરીએ:

અને હવે બીજો:

હવે ચાલો શ્રેણી જોઈએ:

તે સ્પષ્ટ છે કે આ વિકલ્પ અમને અનુકૂળ નથી, કારણ કે આ કિસ્સામાં આપણો છેદ શૂન્ય પર ફરીથી સેટ કરવામાં આવ્યો છે (બીજા સમીકરણના મૂળ માટે સૂત્ર જુઓ)

જો, પછી બધું ક્રમમાં છે, અને છેદ શૂન્ય નથી! પછી સમીકરણના મૂળ નીચે મુજબ છે: , .

હવે આપણે અંતરાલ સાથે જોડાયેલા મૂળ પસંદ કરીએ છીએ.

પછી મૂળ નીચે મુજબ છે:

તમે જુઓ છો, છેદના રૂપમાં નાના વિક્ષેપનો દેખાવ પણ સમીકરણના ઉકેલને નોંધપાત્ર રીતે અસર કરે છે: અમે મૂળની શ્રેણીને કાઢી નાખી છે જે છેદને રદ કરે છે. જો તમે અતાર્કિક હોય તેવા ત્રિકોણમિતિના ઉદાહરણો આવો તો વસ્તુઓ વધુ જટિલ બની શકે છે.

ઉદાહરણ 2.

સમીકરણ ઉકેલો:

ઉકેલ:

સારું, ઓછામાં ઓછું તમારે મૂળ દૂર કરવાની જરૂર નથી, અને તે સારું છે! અતાર્કિકતાને ધ્યાનમાં લીધા વિના, ચાલો પહેલા સમીકરણ ઉકેલીએ:

તેથી, તે બધા છે? ના, અરે, તે ખૂબ સરળ હશે! આપણે યાદ રાખવું જોઈએ કે મૂળ હેઠળ ફક્ત બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓ જ દેખાઈ શકે છે. પછી:

આ અસમાનતાનો ઉકેલ છે:

હવે તે શોધવાનું બાકી છે કે શું પ્રથમ સમીકરણના મૂળનો ભાગ અજાણતામાં સમાપ્ત થયો જ્યાં અસમાનતા નથી.

આ કરવા માટે, તમે ફરીથી કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

આમ, મારું એક મૂળ “બહાર પડી ગયું”! જો તમે તેને નીચે મૂકો તો તે બહાર આવે છે. પછી જવાબ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય.

જવાબ:

તમે જુઓ, મૂળને વધુ ધ્યાન આપવાની જરૂર છે! ચાલો તેને વધુ જટિલ બનાવીએ: ચાલો હવે મારી પાસે મારા મૂળ હેઠળ ત્રિકોણમિતિ કાર્ય છે.

ઉદાહરણ 3.

પહેલાની જેમ: પ્રથમ આપણે દરેકને અલગથી હલ કરીશું, અને પછી આપણે શું કર્યું છે તે વિશે વિચારીશું.

હવે બીજું સમીકરણ:

હવે સૌથી મુશ્કેલ બાબત એ છે કે જો આપણે ત્યાં પ્રથમ સમીકરણમાંથી મૂળને બદલીએ તો અંકગણિત મૂળ હેઠળ નકારાત્મક મૂલ્યો પ્રાપ્ત થાય છે કે કેમ:

સંખ્યાને રેડિયન તરીકે સમજવી આવશ્યક છે. રેડિયન લગભગ ડિગ્રી હોવાથી, રેડિયન ડિગ્રીના ક્રમ પર હોય છે. આ બીજા ક્વાર્ટરનો ખૂણો છે. બીજા ક્વાર્ટરના કોસાઇનનું ચિહ્ન શું છે? માઈનસ. સાઈન વિશે શું? વત્તા. તો આપણે અભિવ્યક્તિ વિશે શું કહી શકીએ:

તે શૂન્ય કરતાં ઓછું છે!

આનો અર્થ એ છે કે તે સમીકરણનું મૂળ નથી.

હવે સમય છે.

ચાલો આ સંખ્યાને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ.

કોટેન્જેન્ટ એ 1 ક્વાર્ટરમાં ઘટતું ફંક્શન છે (જેટલી નાની દલીલ, કોટેન્જેન્ટ વધારે). રેડિયન લગભગ ડિગ્રી છે. એટલાજ સમયમાં

ત્યારથી, પછી, અને તેથી
,

જવાબ:.

શું તે વધુ જટિલ બની શકે છે? કૃપા કરીને! જો મૂળ હજી પણ ત્રિકોણમિતિ કાર્ય છે, અને સમીકરણનો બીજો ભાગ ફરીથી ત્રિકોણમિતિ કાર્ય છે તો તે વધુ મુશ્કેલ બનશે.

વધુ ત્રિકોણમિતિ ઉદાહરણો વધુ સારા, નીચે જુઓ:

ઉદાહરણ 4.

મર્યાદિત કોસાઇનને કારણે મૂળ યોગ્ય નથી

હવે બીજો:

તે જ સમયે, મૂળની વ્યાખ્યા દ્વારા:

આપણે એકમ વર્તુળ યાદ રાખવાની જરૂર છે: એટલે કે, તે ક્વાર્ટર જ્યાં સાઈન શૂન્ય કરતાં ઓછી છે. આ ક્વાર્ટર શું છે? ત્રીજા અને ચોથા. પછી આપણે ત્રીજા કે ચોથા ક્વાર્ટરમાં આવેલા પ્રથમ સમીકરણના તે ઉકેલોમાં રસ લઈશું.

પ્રથમ શ્રેણી ત્રીજા અને ચોથા ક્વાર્ટરના આંતરછેદ પર પડેલા મૂળ આપે છે. બીજી શ્રેણી - ડાયમેટ્રિકલી તેની વિરુદ્ધ - પ્રથમ અને બીજા ક્વાર્ટરની સરહદ પર પડેલા મૂળને જન્મ આપે છે. તેથી, આ શ્રેણી અમારા માટે યોગ્ય નથી.

જવાબ:,

અને ફરીથી "મુશ્કેલ અતાર્કિકતા" સાથે ત્રિકોણમિતિના ઉદાહરણો. આપણી પાસે માત્ર ત્રિકોણમિતિ ફંક્શન મૂળની નીચે જ નથી, પણ હવે તે છેદમાં પણ છે!

ઉદાહરણ 5.

સારું, કંઈ કરી શકાતું નથી - અમે પહેલાની જેમ કરીએ છીએ.

હવે અમે છેદ સાથે કામ કરીએ છીએ:

હું ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાને હલ કરવા માંગતો નથી, તેથી હું કંઈક ઘડાયેલું કરીશ: હું અસમાનતામાં મારા મૂળની શ્રેણી લઈશ અને બદલીશ:

જો - સમાન હોય, તો અમારી પાસે છે:

કારણ કે દૃશ્યના તમામ ખૂણા ચોથા ક્વાર્ટરમાં આવેલા છે. અને ફરીથી પવિત્ર પ્રશ્ન: ચોથા ક્વાર્ટરમાં સાઈનનું ચિહ્ન શું છે? નકારાત્મક. પછી અસમાનતા

જો -વિષમ, તો:

ખૂણો કયા ક્વાર્ટરમાં આવેલો છે? આ બીજા ક્વાર્ટરનો ખૂણો છે. પછી બધા ખૂણાઓ ફરીથી બીજા ક્વાર્ટરના ખૂણાઓ છે. ત્યાંની સાઈન ધન છે. તમને જે જોઈએ છે તે જ! તેથી શ્રેણી:

બંધબેસતુ!

અમે મૂળની બીજી શ્રેણી સાથે તે જ રીતે વ્યવહાર કરીએ છીએ:

અમે અમારી અસમાનતાને બદલીએ છીએ:

જો - પણ, તો પછી

પ્રથમ ક્વાર્ટર ખૂણા. ત્યાં સાઈન ધન છે, જેનો અર્થ છે કે શ્રેણી યોગ્ય છે. હવે જો - વિચિત્ર, તો:

પણ બંધબેસે છે!

સારું, હવે અમે જવાબ લખીએ છીએ!

જવાબ:

ઠીક છે, આ કદાચ સૌથી શ્રમ-સઘન કેસ હતો. હવે હું તમને સમસ્યાઓ જાતે ઉકેલવા માટે ઓફર કરું છું.

તાલીમ

1. સમીકરણના તમામ મૂળને ઉકેલો અને શોધો જે સેગમેન્ટ સાથે સંબંધિત છે.

ઉકેલો:

1. 
   પ્રથમ સમીકરણ:
   અથવા
   રુટ ODZ:

   બીજું સમીકરણ:

   અંતરાલ સાથે સંબંધિત મૂળની પસંદગી

   જવાબ:

અથવા
અથવા
પણ

ચાલો ધ્યાનમાં લઈએ: . જો - પણ, તો પછી
- બંધબેસતું નથી!
જો - વિચિત્ર, : - યોગ્ય!
આનો અર્થ એ છે કે આપણા સમીકરણમાં મૂળની નીચેની શ્રેણી છે:
અથવા
અંતરાલમાં મૂળની પસંદગી:

	- યોગ્ય નથી	- બંધબેસતુ
	- બંધબેસતુ	- ઘણો
	- બંધબેસતુ	ઘણો

જવાબ: , .

અથવા
ત્યારથી, સ્પર્શક વ્યાખ્યાયિત નથી. અમે તરત જ મૂળની આ શ્રેણીને કાઢી નાખીએ છીએ!

બીજો ભાગ:

તે જ સમયે, ડીઝેડ અનુસાર તે જરૂરી છે કે

અમે પ્રથમ સમીકરણમાં મળેલા મૂળને તપાસીએ છીએ:

જો ચિહ્ન:

પ્રથમ ત્રિમાસિક ખૂણા જ્યાં સ્પર્શક ધન છે. બંધબેસતું નથી!
જો ચિહ્ન:

ચોથો ક્વાર્ટર ખૂણો. ત્યાં સ્પર્શક નકારાત્મક છે. બંધબેસતુ. અમે જવાબ લખીએ છીએ:

જવાબ: , .

અમે આ લેખમાં જટિલ ત્રિકોણમિતિના ઉદાહરણો એકસાથે જોયા છે, પરંતુ તમારે સમીકરણો જાતે ઉકેલવા જોઈએ.

સારાંશ અને મૂળભૂત સૂત્રો

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ એ એક સમીકરણ છે જેમાં અજ્ઞાત ત્રિકોણમિતિ કાર્યની નિશાની હેઠળ સખત રીતે હોય છે.

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવાની બે રીતો છે:

પ્રથમ રીત સૂત્રોનો ઉપયોગ કરી રહી છે.

બીજી રીત ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ દ્વારા છે.

તમને ખૂણાઓ માપવા, તેમની સાઈન, કોસાઈન વગેરે શોધવાની મંજૂરી આપે છે.

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ ઉકેલવામાં બે તબક્કાઓનો સમાવેશ થાય છે: સમીકરણ પરિવર્તનતેને સરળ બનાવવા માટેપ્રકાર (ઉપર જુઓ) અને ઉકેલપરિણામી સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ.સાત છે ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની મૂળભૂત પદ્ધતિઓ.

1. બીજગણિત પદ્ધતિ.

(ચલ રિપ્લેસમેન્ટ અને અવેજી પદ્ધતિ).

2. પરિબળીકરણ.

ઉદાહરણ 1. સમીકરણ ઉકેલો:પાપ x+cos x = 1 .

ઉકેલ ચાલો સમીકરણની બધી શરતોને ડાબી બાજુએ ખસેડીએ:

પાપ x+cos x – 1 = 0 ,

ચાલો અભિવ્યક્તિને પરિવર્તિત અને પરિબળ બનાવીએ

સમીકરણની ડાબી બાજુ:

ઉદાહરણ 2. સમીકરણ ઉકેલો: cos 2 x+ પાપ x cos x = 1.

ઉકેલ: cos 2 x+ પાપ x cos x– પાપ 2 x- કારણ 2 x = 0 ,

પાપ x cos x– પાપ 2 x = 0 ,

પાપ x· (cos x– પાપ x ) = 0 ,

ઉદાહરણ 3. સમીકરણ ઉકેલો: cos 2 x-કોસ 8 x+ cos 6 x = 1.

ઉકેલ: cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos 8 x,

2 cos 4 x cos 2 x= 2cos² 4 x ,

કોસ 4 x · (કારણ કે 2 x- કારણ 4 x) = 0 ,

કોસ 4 x · 2 પાપ 3 xપાપ x = 0 ,

1). cos 4 x= 0, 2). પાપ 3 x= 0, 3). પાપ x = 0 ,

4. અડધા ખૂણા પર સંક્રમણ.

ચાલો આ પદ્ધતિને ઉદાહરણ તરીકે જોઈએ:

ઉદાહરણ સમીકરણ ઉકેલો: 3પાપ x- 5 cos x = 7.

ઉકેલ: 6 પાપ ( x/ 2) cos ( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 sin² ( x/ 2) =

7 sin² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,

2 sin² ( x/ 2) – 6 પાપ ( x/ 2) cos ( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,

tan²( x/ 2) – 3 ટેન ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. સહાયક કોણનો પરિચય.

ફોર્મના સમીકરણને ધ્યાનમાં લો:

aપાપ x + b cos x = c ,

જ્યાં a, b, c- ગુણાંક;x- અજ્ઞાત.

હવે સમીકરણના ગુણાંકમાં સાઈન અને કોસાઈનના ગુણધર્મો છે, એટલે કે: દરેકનું મોડ્યુલસ (સંપૂર્ણ મૂલ્ય). જેમાંથી 1 કરતાં વધુ નહીં, અને તેમના વર્ગોનો સરવાળો 1 છે. પછી આપણે સૂચિત કરી શકીએ છીએ તેમને તે મુજબ કેવી રીતે cos અને sin (અહીં - જેથી - કહેવાતા સહાયક કોણ), અનેઆપણું સમીકરણ લો

વિષય પર પાઠ અને પ્રસ્તુતિ: "સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા"

વધારાની સામગ્રી
પ્રિય વપરાશકર્તાઓ, તમારી ટિપ્પણીઓ, સમીક્ષાઓ, શુભેચ્છાઓ આપવાનું ભૂલશો નહીં! એન્ટી-વાયરસ પ્રોગ્રામ દ્વારા તમામ સામગ્રીની તપાસ કરવામાં આવી છે.

1C થી ગ્રેડ 10 માટે ઇન્ટિગ્રલ ઑનલાઇન સ્ટોરમાં મેન્યુઅલ અને સિમ્યુલેટર
ભૂમિતિમાં સમસ્યાઓનું નિરાકરણ. અવકાશમાં નિર્માણ માટે ઇન્ટરેક્ટિવ કાર્યો
સોફ્ટવેર પર્યાવરણ "1C: મેથેમેટિકલ કન્સ્ટ્રક્ટર 6.1"

આપણે શું અભ્યાસ કરીશું:
1. ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો શું છે?

3. ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની બે મુખ્ય પદ્ધતિઓ.
4. સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો.
5. ઉદાહરણો.

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો શું છે?

મિત્રો, અમે આર્કસાઇન, આર્કોસાઇન, આર્કટેન્જેન્ટ અને આર્કોટેન્જેન્ટનો અભ્યાસ કરી ચૂક્યા છીએ. હવે ચાલો સામાન્ય રીતે ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો જોઈએ.

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો એવા સમીકરણો છે જેમાં ત્રિકોણમિતિ કાર્યની નિશાની હેઠળ ચલ સમાયેલ હોય છે.

ચાલો સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવાના સ્વરૂપનું પુનરાવર્તન કરીએ:

1)જો |a|≤ 1, તો સમીકરણ cos(x) = a નો ઉકેલ છે:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) જો |a|≤ 1, તો સમીકરણ sin(x) = a નો ઉકેલ છે:

3) જો |a| > 1, પછી સમીકરણ sin(x) = a અને cos(x) = a પાસે કોઈ ઉકેલ નથી 4) tg(x)=a સમીકરણ પાસે ઉકેલ છે: x=arctg(a)+ πk

5) ctg(x)=a સમીકરણનો ઉકેલ છે: x=arcctg(a)+ πk

બધા સૂત્રો માટે k એ પૂર્ણાંક છે

સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોનું સ્વરૂપ છે: T(kx+m)=a, T કેટલાક ત્રિકોણમિતિ કાર્ય છે.

સમીકરણો ઉકેલો: a) sin(3x)= √3/2

ઉકેલ:

A) ચાલો 3x=t દર્શાવીએ, પછી આપણે આપણું સમીકરણ ફોર્મમાં ફરીથી લખીશું:

આ સમીકરણનો ઉકેલ હશે: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

મૂલ્યોના કોષ્ટકમાંથી આપણને મળે છે: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

ચાલો આપણા ચલ પર પાછા જઈએ: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

પછી x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

જવાબ: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, જ્યાં n એ પૂર્ણાંક છે. (-1)^n – n ની ઘાત માટે ઓછા એક.

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોના વધુ ઉદાહરણો.

ઉકેલ:

A) આ વખતે ચાલો સીધા જ સમીકરણના મૂળની ગણતરી કરવા તરફ આગળ વધીએ:

X/5= ± આર્કોસ(1) + 2πk. પછી x/5= πk => x=5πk

જવાબ: x=5πk, જ્યાં k એ પૂર્ણાંક છે.

B) આપણે તેને ફોર્મમાં લખીએ છીએ: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. આપણે જાણીએ છીએ કે: આર્ક્ટન(√3) = π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

જવાબ: x=2π/9 + πk/3, જ્યાં k એ પૂર્ણાંક છે.

સમીકરણો ઉકેલો: cos(4x)= √2/2. અને સેગમેન્ટ પરના તમામ મૂળ શોધો.

ઉકેલ:

ચાલો આપણા સમીકરણને સામાન્ય સ્વરૂપમાં હલ કરીએ: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

હવે ચાલો જોઈએ કે આપણા સેગમેન્ટ પર કયા મૂળ પડે છે. k પર k=0, x= π/16 પર, આપણે આપેલ સેગમેન્ટમાં છીએ.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 સાથે, અમે ફરી હિટ કરીએ છીએ.
k=2 માટે, x= π/16+ π=17π/16, પરંતુ અહીં આપણે હિટ નથી કર્યું, જેનો અર્થ છે કે મોટા k માટે આપણે પણ દેખીતી રીતે હિટ નહીં કરીએ.

જવાબ: x= π/16, x= 9π/16

બે મુખ્ય ઉકેલ પદ્ધતિઓ.

ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ:

ઉકેલ:
અમારા સમીકરણને ઉકેલવા માટે, અમે એક નવું ચલ રજૂ કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીશું, જે સૂચવે છે: t=tg(x).

રિપ્લેસમેન્ટના પરિણામે આપણને મળે છે: t 2 + 2t -1 = 0

ચાલો ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ શોધીએ: t=-1 અને t=1/3

પછી tg(x)=-1 અને tg(x)=1/3, આપણને સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ મળે છે, ચાલો તેના મૂળ શોધીએ.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

જવાબ: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

સમીકરણ ઉકેલવાનું ઉદાહરણ

સમીકરણો ઉકેલો: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

ઉકેલ:

ચાલો ઓળખનો ઉપયોગ કરીએ: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

આપણું સમીકરણ ફોર્મ લેશે: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

ચાલો બદલીએ t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

આપણા ચતુર્ભુજ સમીકરણનો ઉકેલ એ મૂળ છે: t=2 અને t=-1/2

પછી cos(x)=2 અને cos(x)=-1/2.

કારણ કે કોસાઇન એક કરતાં વધુ મૂલ્યો લઈ શકતું નથી, તો cos(x)=2 પાસે કોઈ મૂળ નથી.

cos(x)=-1/2 માટે: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

જવાબ: x= ±2π/3 + 2πk

એકરૂપ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો.

ફોર્મના સમીકરણો

બીજી ડિગ્રીના સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો.

પ્રથમ ડિગ્રીના સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણને ઉકેલવા માટે, તેને cos(x) વડે વિભાજીત કરો: જો તે શૂન્ય બરાબર હોય તો તમે કોસાઇન વડે ભાગી શકતા નથી, ચાલો ખાતરી કરીએ કે આ કેસ નથી:
ચાલો cos(x)=0, પછી asin(x)+0=0 => sin(x)=0, પરંતુ સાઈન અને કોસાઈન એક જ સમયે શૂન્ય સમાન નથી, આપણને વિરોધાભાસ મળે છે, જેથી આપણે સુરક્ષિત રીતે ભાગી શકીએ. શૂન્ય દ્વારા.

સમીકરણ ઉકેલો:
ઉદાહરણ: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

ઉકેલ:

ચાલો સામાન્ય પરિબળ કાઢીએ: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

પછી આપણે બે સમીકરણો હલ કરવાની જરૂર છે:

Cos(x)=0 અને cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 at x= π/2 + πk;

cos(x)+sin(x)=0 અમારા સમીકરણને cos(x) વડે વિભાજીત કરો સમીકરણને ધ્યાનમાં લો:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

જવાબ: x= π/2 + πk અને x= -π/4+πk

બીજી ડિગ્રીના એકરૂપ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા?
મિત્રો, હંમેશા આ નિયમોનું પાલન કરો!

1. જુઓ કે a ગુણાંક શું છે, જો a=0 હોય તો આપણું સમીકરણ cos(x)(bsin(x)+ccos(x) સ્વરૂપ લેશે, જેનું સોલ્યુશન પાછલી સ્લાઈડ પર છે.

2. જો a≠0 હોય, તો તમારે સમીકરણની બંને બાજુઓને કોસાઈન વર્ગ દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે, અમને મળે છે:

અમે ચલ t=tg(x) બદલીએ છીએ અને સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

ઉદાહરણ નંબર:3 ઉકેલો

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને કોસાઈન ચોરસ દ્વારા વિભાજીત કરીએ:

આપણે t=tg(x) ચલ બદલીએ છીએ: t 2 + 2 t - 3 = 0

ચાલો ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ શોધીએ: t=-3 અને t=1

પછી: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

જવાબ: x=-arctg(3) + πk અને x= π/4+ πk

ઉદાહરણ નંબર:4 ઉકેલો

ઉકેલ:
ચાલો આપણી અભિવ્યક્તિને બદલીએ:

આપણે આવા સમીકરણોને હલ કરી શકીએ છીએ: x= - π/4 + 2πk અને x=5π/4 + 2πk

જવાબ: x= - π/4 + 2πk અને x=5π/4 + 2πk

ઉદાહરણ નંબર:5 ઉકેલો

ઉકેલ:
ચાલો આપણી અભિવ્યક્તિને બદલીએ:

ચાલો બદલીએ tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

આપણા ચતુર્ભુજ સમીકરણનો ઉકેલ મૂળ હશે: t=-2 અને t=1/2

પછી આપણને મળે છે: tg(2x)=-2 અને tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

જવાબ: x=-arctg(2)/2 + πk/2 અને x=arctg(1/2)/2+ πk/2

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે સમસ્યાઓ.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0.5x) = -1.7

2) સમીકરણો ઉકેલો: sin(3x)= √3/2. અને સેગમેન્ટ પરના તમામ મૂળ શોધો [π/2; π].

3) સમીકરણ ઉકેલો: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) સમીકરણ ઉકેલો: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) સમીકરણ ઉકેલો: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) સમીકરણ ઉકેલો: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા:

કોઈપણ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ નીચેના પ્રકારોમાંથી એકમાં ઘટાડવું જોઈએ:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

જ્યાં \(t\) એ x સાથેની અભિવ્યક્તિ છે, \(a\) એ સંખ્યા છે. આવા ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો કહેવાય છે સૌથી સરળ. તેઓ સરળતાથી () અથવા વિશિષ્ટ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે:

અહીં સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા પર ઇન્ફોગ્રાફિક્સ જુઓ:, અને.

જવાબ: \(\ડાબે[ \begin(એકત્ર કરેલ)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \અંત(એકત્ર કરેલ)\જમણે.\) \(k,n∈Z\)

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોના મૂળના સૂત્રમાં દરેક પ્રતીકનો અર્થ શું છે, જુઓ.

ધ્યાન આપો!સમીકરણો \(\sin⁡x=a\) અને \(\cos⁡x=a\) પાસે કોઈ ઉકેલ નથી જો \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). કારણ કે કોઈપણ x માટે સાઈન અને કોસાઈન \(-1\) કરતા વધારે અથવા સમાન હોય છે અને \(1\) કરતા ઓછા અથવા ઓછા હોય છે:

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

ઉદાહરણ . સમીકરણ ઉકેલો \(\cos⁡x=-1,1\).
ઉકેલ: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
જવાબ આપો : કોઈ ઉકેલ નથી.

ઉદાહરણ . ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ ઉકેલો \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
ઉકેલ:

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોને સરળમાં ઘટાડવું એ એક સર્જનાત્મક કાર્ય છે; અહીં તમારે સમીકરણો ઉકેલવા માટે બંને અને વિશેષ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે:
- પદ્ધતિ (યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં સૌથી વધુ લોકપ્રિય).
- પદ્ધતિ.
- સહાયક દલીલોની પદ્ધતિ.

ચાલો ચતુર્ભુજ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ ઉકેલવાના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	ચાલો બદલીએ \(t=\cos⁡x\).
	આપણું સમીકરણ લાક્ષણિક બની ગયું છે. તમે તેનો ઉપયોગ કરીને હલ કરી શકો છો.
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	અમે રિવર્સ રિપ્લેસમેન્ટ કરીએ છીએ.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	આપણે નંબર વર્તુળનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ સમીકરણ ઉકેલીએ છીએ. બીજા સમીકરણમાં કોઈ ઉકેલ નથી કારણ કે \(\cos⁡x∈[-1;1]\) અને કોઈપણ x માટે બે સમાન ન હોઈ શકે.
	ચાલો આ બિંદુઓ પર પડેલા તમામ નંબરો લખીએ.

ODZ ના અભ્યાસ સાથે ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ ઉકેલવાનું ઉદાહરણ:

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	ત્યાં એક અપૂર્ણાંક છે અને એક કોટેન્જેન્ટ છે - તેનો અર્થ એ કે આપણે તેને લખવાની જરૂર છે. ચાલો હું તમને યાદ અપાવી દઉં કે કોટેન્જેન્ટ વાસ્તવમાં એક અપૂર્ણાંક છે: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) તેથી, CTg\(x\): \(\sin⁡x≠0\) માટે ODZ.
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	ચાલો નંબર વર્તુળ પર "બિન-ઉકેલ" ને ચિહ્નિત કરીએ.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	ચાલો સમીકરણમાંના છેદને ctg\(x\) વડે ગુણાકાર કરીને છૂટકારો મેળવીએ. અમે આ કરી શકીએ છીએ, કારણ કે અમે ઉપર લખ્યું છે કે ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	ચાલો સાઈન માટે ડબલ એંગલ ફોર્મ્યુલા લાગુ કરીએ: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	જો તમારા હાથ કોસાઇન દ્વારા વિભાજીત કરવા માટે પહોંચે છે, તો તેમને પાછા ખેંચો! તમે ચલ વડે અભિવ્યક્તિ દ્વારા ભાગી શકો છો જો તે ચોક્કસપણે શૂન્યની બરાબર ન હોય (ઉદાહરણ તરીકે, આ: \(x^2+1.5^x\)). તેના બદલે, ચાલો \(\cos⁡x\) કૌંસની બહાર મૂકીએ.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	ચાલો સમીકરણને બે ભાગમાં "વિભાજિત" કરીએ.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	ચાલો નંબર વર્તુળનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ સમીકરણ હલ કરીએ. ચાલો બીજા સમીકરણને \(2\) વડે ભાગીએ અને \(\sin⁡x\) ને જમણી બાજુએ ખસેડીએ.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	પરિણામી મૂળ ODZ માં શામેલ નથી. તેથી, અમે તેમને જવાબમાં લખીશું નહીં. બીજું સમીકરણ લાક્ષણિક છે. ચાલો તેને \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) વડે ભાગીએ તે સમીકરણનો ઉકેલ હોઈ શકતો નથી કારણ કે આ કિસ્સામાં \(\cos⁡x=1\) અથવા \(\cos⁡ x=-1\)).
	અમે ફરીથી વર્તુળનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	આ મૂળ ODZ દ્વારા બાકાત નથી, તેથી તમે તેમને જવાબમાં લખી શકો છો.

વર્ગ: 10

"સમીકરણો કાયમ રહેશે."

A. આઈન્સ્ટાઈન

પાઠ હેતુઓ:

• શૈક્ષણિક:
  • ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓની ઊંડી સમજણ;
  • ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓને અલગ પાડવા અને યોગ્ય રીતે પસંદ કરવાની કુશળતા વિકસાવો.
• શૈક્ષણિક:
  • શૈક્ષણિક પ્રક્રિયામાં જ્ઞાનાત્મક રસનું પોષણ;
  • આપેલ કાર્યનું વિશ્લેષણ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવવી;
  • વર્ગખંડમાં મનોવૈજ્ઞાનિક વાતાવરણને સુધારવામાં ફાળો આપો.
• વિકાસલક્ષી:
  • જ્ઞાનના સ્વતંત્ર સંપાદનની કુશળતાના વિકાસને પ્રોત્સાહન આપવું;
  • તેમના દૃષ્ટિકોણની દલીલ કરવાની વિદ્યાર્થીઓની ક્ષમતાને પ્રોત્સાહન આપો;

સાધન:મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ સૂત્રો, કમ્પ્યુટર, પ્રોજેક્ટર, સ્ક્રીન સાથેનું પોસ્ટર.

1 પાઠ

I. સંદર્ભ જ્ઞાન અપડેટ કરવું

મૌખિક રીતે સમીકરણો ઉકેલો:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x =± + 2k;
4) x = k;
5) x = (–1) + k;
6) x = (–1) + 2k;
7) x = + k;
8) x = + k; થી ઝેડ.

II. નવી સામગ્રી શીખવી

- આજે આપણે વધુ જટિલ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો જોઈશું. ચાલો તેમને હલ કરવાની 10 રીતો જોઈએ. આગળ એકીકરણ માટે બે પાઠ હશે, અને પછીના પાઠ માટે એક કસોટી હશે. "પાઠ માટે" સ્ટેન્ડ પર એવા કાર્યો પોસ્ટ કરવામાં આવ્યા છે જે પરીક્ષણમાં હશે તે સમાન છે; તમારે તેમને પરીક્ષણ પહેલાં હલ કરવાની જરૂર છે. (પરીક્ષણના આગલા દિવસે, સ્ટેન્ડ પર આ કાર્યોના ઉકેલો પોસ્ટ કરો).

તેથી, ચાલો ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવાની રીતો પર વિચાર કરીએ. આમાંની કેટલીક પદ્ધતિઓ કદાચ તમને મુશ્કેલ લાગશે, જ્યારે અન્ય સરળ લાગશે, કારણ કે... તમે સમીકરણો ઉકેલવા માટેની કેટલીક તકનીકો પહેલેથી જ જાણો છો.

વર્ગમાં ચાર વિદ્યાર્થીઓએ એક વ્યક્તિગત કાર્ય મેળવ્યું: ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોને ઉકેલવાની 4 રીતો સમજવા અને બતાવવા માટે.

(બોલતા વિદ્યાર્થીઓએ અગાઉથી સ્લાઇડ્સ તૈયાર કરી છે. બાકીના વર્ગો નોટબુકમાં સમીકરણો ઉકેલવા માટેના મુખ્ય પગલાંઓ લખે છે.)

1 વિદ્યાર્થી: 1 રસ્તો. ફેક્ટરિંગ દ્વારા સમીકરણો ઉકેલવા

sin 4x = 3 cos 2x

સમીકરણ ઉકેલવા માટે, આપણે ડબલ એંગલ સાઈન ફોર્મ્યુલા sin 2 = 2 sin cos નો ઉપયોગ કરીએ છીએ
2 પાપ 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. જો ઓછામાં ઓછું એક પરિબળ શૂન્યની બરાબર હોય તો આ પરિબળનું ઉત્પાદન શૂન્ય બરાબર છે.

2x = + k, k Z અથવા sin 2x = 1.5 – ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી, કારણ કે | પાપ | 1
x = + k; થી ઝેડ.
જવાબ: x = + k, k Z.

2 વિદ્યાર્થી. પદ્ધતિ 2. ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના સરવાળા અથવા તફાવતને ઉત્પાદનમાં રૂપાંતરિત કરીને સમીકરણો ઉકેલવા

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

સમીકરણ ઉકેલવા માટે, આપણે સૂત્ર sin– sin = 2 sin сos નો ઉપયોગ કરીએ છીએ

cos 3x + 2 sin cos = 0,

сos 3x - 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. પરિણામી સમીકરણ બે સમીકરણોના સમૂહને સમકક્ષ છે:

બીજા સમીકરણના ઉકેલોનો સમૂહ પ્રથમ સમીકરણના ઉકેલોના સમૂહમાં સંપૂર્ણપણે સમાવવામાં આવેલ છે. અર્થ

જવાબ:

3 વિદ્યાર્થી. 3 માર્ગ. ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના ઉત્પાદનને સરવાળામાં રૂપાંતરિત કરીને સમીકરણો ઉકેલવા

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

સમીકરણ ઉકેલવા માટે, આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ

જવાબ:

4 વિદ્યાર્થી. 4 માર્ગ. સમીકરણો ઉકેલવા જે ચતુર્ભુજ સમીકરણોમાં ઘટે છે

3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 પાપ x – 2 (1 – પાપ 2 x) = 0,
2 પાપ 2 x + 3 પાપ x – 2 = 0,

ચાલો sin x = t, જ્યાં | t |. આપણે ચતુર્ભુજ સમીકરણ 2t 2 + 3t – 2 = 0 મેળવીએ છીએ,

ડી = 9 + 16 = 25.

આમ . શરત સંતોષતી નથી | t |.

તો sin x = . એ કારણે .

જવાબ:

III. એ.એન. કોલમોગોરોવ દ્વારા પાઠ્યપુસ્તકમાંથી જે શીખ્યા છે તેનું એકીકરણ

1. નંબર 164 (a), 167 (a) (ચતુર્ભુજ સમીકરણ)
2. નંબર 168 (a) (ફેક્ટરાઇઝેશન)
3. નંબર 174 (a) (એક રકમને ઉત્પાદનમાં રૂપાંતરિત કરવી)
4. (ઉત્પાદનને સરવાળે કન્વર્ટ કરો)

(પાઠના અંતે, ચકાસણી માટે સ્ક્રીન પર આ સમીકરણોનો ઉકેલ બતાવો)

№ 164 (A)

2 પાપ 2 x + પાપ x – 1 = 0.
ચાલો sin x = t, | t | 1. પછી
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t = . જ્યાં

જવાબ:- .

№ 167 (A)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

ચાલો tg x = 1, પછી આપણને સમીકરણ 3 t 2 + 2 t – 1 = 0 મળે છે.

જવાબ:

№ 168 (A)

જવાબ:

№ 174 (A)

સમીકરણ ઉકેલો:

જવાબ:

પાઠ 2 (લેસન-લેક્ચર)

IV. નવી સામગ્રી શીખવી(ચાલુ)

– તો, ચાલો ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવાની રીતોનો અભ્યાસ કરવાનું ચાલુ રાખીએ.

5 માર્ગ. સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા

ફોર્મના સમીકરણો a sin x + b cos x = 0, જ્યાં a અને b કેટલીક સંખ્યાઓ છે, તેને sin x અથવા cos xના સંદર્ભમાં પ્રથમ ડિગ્રીના સજાતીય સમીકરણો કહેવામાં આવે છે.

સમીકરણ ધ્યાનમાં લો

sin x – cos x = 0. ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને cos x વડે ભાગીએ. આ કરી શકાય છે રુટ નુકશાન થશે નહીં, કારણ કે , જો cos x = 0,તે sin x = 0. પરંતુ આ મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ઓળખનો વિરોધાભાસ કરે છે પાપ 2 x+cos 2 x = 1.

અમને મળે છે ટેન x – 1 = 0.

ટેન x = 1,

ફોર્મના સમીકરણો તરીકે 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 ,જ્યાં a, b, c -કેટલીક સંખ્યાઓને sin x અથવા cos xના સંદર્ભમાં બીજી ડિગ્રીના સજાતીય સમીકરણો કહેવામાં આવે છે.

સમીકરણ ધ્યાનમાં લો

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને cos x દ્વારા વિભાજીત કરીએ, અને મૂળ ખોવાઈ જશે નહીં, કારણ કે cos x = 0 એ આ સમીકરણનું મૂળ નથી.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

ચાલો tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

તો પછી tg x = 2 અથવા tg x = 1.

પરિણામે, x = આર્ક્ટન 2 + , x =

જવાબ: arctg 2 + ,

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
ચાલો સમીકરણની જમણી બાજુને 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x) સ્વરૂપમાં પરિવર્તિત કરીએ. પછી આપણને મળે છે:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (અમને 2જું સમીકરણ મળ્યું, જેનું આપણે પહેલાથી જ વિશ્લેષણ કર્યું છે).

જવાબ: આર્ક્ટન 2 + k,

6 માર્ગ. રેખીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા

રેખીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ એ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે a sin x + b cos x = c, જ્યાં a, b, c કેટલીક સંખ્યાઓ છે.

સમીકરણ ધ્યાનમાં લો sin x + cos x= – 1.
ચાલો સમીકરણને આ રીતે ફરીથી લખીએ:

તે ધ્યાનમાં લેતા અને, અમને મળે છે:

જવાબ:

7 માર્ગ. વધારાની દલીલ રજૂ કરી રહ્યાં છીએ

અભિવ્યક્તિ a cos x + b sin xરૂપાંતરિત કરી શકાય છે:

(ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોને સરળ બનાવતી વખતે અમે આ રૂપાંતરણનો ઉપયોગ પહેલેથી જ કર્યો છે)

ચાલો એક વધારાની દલીલ રજૂ કરીએ - કોણ એવો છે

પછી

સમીકરણને ધ્યાનમાં લો: 3 sinx + 4 cosx = 1. =

ગૃહ કાર્ય:નંબર 164 -170 (c, d).