ચોરસનો તફાવત
ચાલો $a^2-b^2$ વર્ગોના તફાવત માટે સૂત્ર મેળવીએ.
આ કરવા માટે, નીચેના નિયમ યાદ રાખો:
જો આપણે અભિવ્યક્તિમાં કોઈપણ મોનોમિયલ ઉમેરીએ અને તે જ મોનોમિયલ બાદ કરીએ, તો આપણને સાચી ઓળખ મળે છે.
ચાલો આપણી અભિવ્યક્તિમાં ઉમેરીએ અને તેમાંથી મોનોમિયલ $ab$ બાદ કરીએ:
કુલ મળીને, અમને મળે છે:
એટલે કે, બે મોનોમિયલ્સના વર્ગો વચ્ચેનો તફાવત તેમના તફાવત અને તેમના સરવાળાના ગુણાંક જેટલો છે.
ઉદાહરણ 1
ઉત્પાદન તરીકે પ્રસ્તુત કરો $(4x)^2-y^2$
\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]
\[((2x))^2-y^2=\left(2x-y\જમણે)(2x+y)\]
સમઘનનો સરવાળો
ચાલો $a^3+b^3$ ક્યુબ્સના સરવાળા માટે સૂત્ર મેળવીએ.
ચાલો સામાન્ય પરિબળોને કૌંસમાંથી બહાર કાઢીએ:
ચાલો કૌંસમાંથી $\left(a+b\right)$ લઈએ:
કુલ મળીને, અમને મળે છે:
એટલે કે, બે મોનોમિયલ્સના ક્યુબ્સનો સરવાળો તેમના સરવાળાના ગુણાંક અને તેમના તફાવતના આંશિક વર્ગ જેટલો છે.
ઉદાહરણ 2
ઉત્પાદન તરીકે પ્રસ્તુત કરો $(8x)^3+y^3$
આ અભિવ્યક્તિ નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:
\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]
સ્ક્વેર ફોર્મ્યુલાના તફાવતનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ:
\[((2x))^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]
સમઘનનું તફાવત
ચાલો ક્યુબ્સ $a^3-b^3$ ના તફાવત માટે સૂત્ર મેળવીએ.
આ કરવા માટે, અમે ઉપરોક્ત સમાન નિયમનો ઉપયોગ કરીશું.
ચાલો આપણી અભિવ્યક્તિમાં ઉમેરીએ અને તેમાંથી $a^2b\ અને\ (ab)^2$ બાદ કરીએ:
ચાલો સામાન્ય પરિબળોને કૌંસમાંથી બહાર કાઢીએ:
ચાલો કૌંસમાંથી $\left(a-b\right)$ લઈએ:
કુલ મળીને, અમને મળે છે:
એટલે કે, બે મોનોમિયલ્સના ક્યુબ્સનો તફાવત તેમના સરવાળાના અપૂર્ણ વર્ગ દ્વારા તેમના તફાવતના ગુણાંક જેટલો છે.
ઉદાહરણ 3
ઉત્પાદન તરીકે પ્રસ્તુત કરો $(8x)^3-y^3$
આ અભિવ્યક્તિ નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:
\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]
સ્ક્વેર ફોર્મ્યુલાના તફાવતનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ:
\[(2x))^3-y^3=\left(2x-y\જમણે)(4x^2+2xy+y^2)\]
વર્ગોના તફાવત અને સરવાળો અને સમઘનનો તફાવત માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓનું ઉદાહરણ
ઉદાહરણ 4
ફેક્ટરાઇઝ કરો.
a) $((a+5))^2-9$
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
ઉકેલ:
a) $((a+5))^2-9$
\[((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]
સ્ક્વેર ફોર્મ્યુલાના તફાવતને લાગુ કરવાથી, આપણને મળે છે:
\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\જમણે)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\જમણે)(a) +8)\]
ચાલો ફોર્મમાં આ અભિવ્યક્તિ લખીએ:
ચાલો ક્યુબ્સનું સૂત્ર લાગુ કરીએ:
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
ચાલો ફોર્મમાં આ અભિવ્યક્તિ લખીએ:
\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\જમણે)^3-x^3\]
ચાલો ક્યુબ્સનું સૂત્ર લાગુ કરીએ:
\[(\left(\frac(1)(3)\જમણે))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\જમણે)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\જમણે)\]
સંક્ષિપ્ત ગુણાકારના સૂત્રો અથવા નિયમોનો ઉપયોગ અંકગણિતમાં થાય છે, ખાસ કરીને બીજગણિતમાં, મોટા બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિઓનું મૂલ્યાંકન કરવાની પ્રક્રિયાને ઝડપી બનાવવા માટે. ઘણાબધા બહુપદીઓનો ગુણાકાર કરવા માટે બીજગણિતમાં અસ્તિત્વમાં છે તેવા નિયમોમાંથી સૂત્રો પોતે લેવામાં આવ્યા છે.
આ સૂત્રોનો ઉપયોગ વિવિધ ગાણિતિક સમસ્યાઓનો એકદમ ઝડપી ઉકેલ પૂરો પાડે છે, અને અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવામાં પણ મદદ કરે છે. બીજગણિત પરિવર્તનના નિયમો તમને અભિવ્યક્તિ સાથે કેટલાક મેનિપ્યુલેશન્સ કરવા દે છે, જેના પગલે તમે સમાનતાની ડાબી બાજુએ જમણી બાજુની અભિવ્યક્તિ મેળવી શકો છો અથવા સમાનતાની જમણી બાજુનું રૂપાંતર કરી શકો છો (ડાબી બાજુની અભિવ્યક્તિ મેળવવા માટે સમાન ચિહ્ન પછી).
મેમરીમાંથી સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર માટે ઉપયોગમાં લેવાતા સૂત્રોને જાણવું અનુકૂળ છે, કારણ કે તે ઘણીવાર સમસ્યાઓ અને સમીકરણોને ઉકેલવા માટે ઉપયોગમાં લેવાય છે. નીચે આ સૂચિમાં સમાવિષ્ટ મુખ્ય સૂત્રો અને તેમના નામ છે.
સરવાળોનો ચોરસ
સરવાળાના વર્ગની ગણતરી કરવા માટે, તમારે પ્રથમ પદના વર્ગનો સમાવેશ થતો સરવાળો શોધવાની જરૂર છે, પ્રથમ પદના ગુણાંકના બમણા અને બીજા અને બીજાના વર્ગનો. અભિવ્યક્તિના સ્વરૂપમાં, આ નિયમ નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે: (a + c)² = a² + 2ac + c².
ચોરસ તફાવત
તફાવતના વર્ગની ગણતરી કરવા માટે, તમારે પ્રથમ સંખ્યાના વર્ગનો સમાવેશ કરતા સરવાળાની ગણતરી કરવાની જરૂર છે, પ્રથમ સંખ્યાના ગુણાંકના બમણા અને બીજા (વિરુદ્ધ ચિન્હ સાથે લેવામાં આવે છે) અને બીજા નંબરના વર્ગનો સમાવેશ થાય છે. અભિવ્યક્તિના સ્વરૂપમાં, આ નિયમ આના જેવો દેખાય છે: (a - c)² = a² - 2ac + c².
ચોરસનો તફાવત
બે નંબરોના વર્ગના તફાવત માટેનું સૂત્ર આ સંખ્યાઓના સરવાળા અને તેમના તફાવતના ગુણાંક જેટલું છે. અભિવ્યક્તિના સ્વરૂપમાં, આ નિયમ આના જેવો દેખાય છે: a² - с² = (a + с)·(a - с).
સરવાળાનું ઘન
બે પદોના સરવાળાના ક્યુબની ગણતરી કરવા માટે, તમારે પ્રથમ પદના ઘનનો સમાવેશ કરતા સરવાળાની ગણતરી કરવાની જરૂર છે, પ્રથમ પદ અને બીજાના વર્ગના ગુણાંકને ત્રણ ગણો કરો, પ્રથમ પદના ગુણાંકને ત્રણ ગણો કરો અને બીજા શબ્દનો ચોરસ, અને બીજા શબ્દનું ઘન. અભિવ્યક્તિના સ્વરૂપમાં, આ નિયમ આના જેવો દેખાય છે: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
સમઘનનો સરવાળો
સૂત્ર મુજબ, તે આ પદોના સરવાળાના ગુણાંક અને તેમના અપૂર્ણ વર્ગના તફાવતની બરાબર છે. અભિવ્યક્તિના સ્વરૂપમાં, આ નિયમ આના જેવો દેખાય છે: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).
ઉદાહરણ.બે સમઘન ઉમેરીને રચાયેલી આકૃતિના જથ્થાની ગણતરી કરવી જરૂરી છે. ફક્ત તેમની બાજુઓના કદ જાણીતા છે.
જો બાજુના મૂલ્યો નાના હોય, તો ગણતરીઓ સરળ છે.
જો બાજુઓની લંબાઈ બોજારૂપ સંખ્યામાં દર્શાવવામાં આવે છે, તો આ કિસ્સામાં "સમઘનનો સરવાળો" સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો વધુ સરળ છે, જે ગણતરીઓને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવશે.
તફાવત સમઘન
ઘન તફાવત માટેની અભિવ્યક્તિ આના જેવી લાગે છે: પ્રથમ પદની ત્રીજી શક્તિના સરવાળા તરીકે, પ્રથમ પદના વર્ગના નકારાત્મક ગુણાંકને બીજા દ્વારા ત્રણ ગણો કરો, પ્રથમ પદના ગુણાંકને બીજાના વર્ગ દ્વારા ત્રણ ગણો કરો. અને બીજા શબ્દનું ઋણ ઘન. ગાણિતિક અભિવ્યક્તિના સ્વરૂપમાં, તફાવતનો ઘન આના જેવો દેખાય છે: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
સમઘનનું તફાવત
ક્યુબ્સ ફોર્મ્યુલાનો તફાવત ક્યુબ્સના સરવાળાથી માત્ર એક ચિહ્નથી અલગ પડે છે. આમ, ક્યુબ્સનો તફાવત એ આ સંખ્યાઓના તફાવત અને સરવાળાના તેમના અપૂર્ણ વર્ગના ગુણાંક સમાન સૂત્ર છે. ફોર્મમાં, ક્યુબ્સનો તફાવત આના જેવો દેખાય છે: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2).
ઉદાહરણ.વાદળી ક્યુબના જથ્થામાંથી પીળી વોલ્યુમેટ્રિક આકૃતિ, જે એક ક્યુબ પણ છે, બાદબાકી કર્યા પછી રહેલ આકૃતિના વોલ્યુમની ગણતરી કરવી જરૂરી છે. નાના અને મોટા સમઘનનું માત્ર બાજુનું કદ જાણીતું છે.
જો બાજુના મૂલ્યો નાના હોય, તો ગણતરીઓ એકદમ સરળ છે. અને જો બાજુઓની લંબાઈ નોંધપાત્ર સંખ્યામાં વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, તો પછી "સમઘનનો તફાવત" (અથવા "ક્યૂબ ઑફ ડિફરન્સ") શીર્ષકવાળા સૂત્રને લાગુ કરવા યોગ્ય છે, જે ગણતરીઓને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવશે.
સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રો (MMF) નો ઉપયોગ સંખ્યાઓ અને અભિવ્યક્તિઓ ઘાત અને ગુણાકાર કરવા માટે થાય છે. ઘણીવાર આ સૂત્રો તમને ગણતરીઓ વધુ સઘન અને ઝડપથી કરવા દે છે.
આ લેખમાં આપણે સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર માટેના મુખ્ય સૂત્રોની સૂચિ બનાવીશું, તેમને કોષ્ટકમાં જૂથબદ્ધ કરીશું, આ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવાના ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લઈશું અને સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર માટેના સૂત્રોના પુરાવાના સિદ્ધાંતો પર પણ ધ્યાન આપીશું.
પ્રથમ વખત, FSU ના વિષયને 7મા ધોરણ માટે બીજગણિત કોર્સના માળખામાં ગણવામાં આવે છે. નીચે 7 મૂળભૂત સૂત્રો છે.
સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રો
- સરવાળાના વર્ગ માટેનું સૂત્ર: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
- વર્ગ તફાવત સૂત્ર: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
- સમ ઘન સૂત્ર: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- તફાવત ક્યુબ ફોર્મ્યુલા: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
- ચોરસ તફાવત સૂત્ર: a 2 - b 2 = a - b a + b
- ક્યુબ્સના સરવાળા માટેનું સૂત્ર: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
- ક્યુબ્સના તફાવત માટેનું સૂત્ર: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2
આ સમીકરણોમાંના અક્ષરો a, b, c કોઈપણ સંખ્યાઓ, ચલ અથવા સમીકરણો હોઈ શકે છે. ઉપયોગમાં સરળતા માટે, સાત મૂળભૂત સૂત્રો હૃદયથી શીખવું વધુ સારું છે. ચાલો તેમને કોષ્ટકમાં મૂકીએ અને તેમને ફ્રેમ વડે ઘેરીને નીચે પ્રસ્તુત કરીએ.
પ્રથમ ચાર સૂત્રો તમને અનુક્રમે, સરવાળો અથવા બે અભિવ્યક્તિઓના તફાવતનો ચોરસ અથવા ઘન ગણવા દે છે.
પાંચમું સૂત્ર તેમના સરવાળા અને તફાવતનો ગુણાકાર કરીને સમીકરણોના વર્ગો વચ્ચેના તફાવતની ગણતરી કરે છે.
છઠ્ઠા અને સાતમા સૂત્રો અનુક્રમે, સરવાળો અને સમીકરણોના તફાવતને તફાવતના અપૂર્ણ વર્ગ અને સરવાળાના અપૂર્ણ વર્ગ દ્વારા ગુણાકાર કરે છે.
સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રને કેટલીકવાર સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર ઓળખ પણ કહેવામાં આવે છે. આ આશ્ચર્યજનક નથી, કારણ કે દરેક સમાનતા એક ઓળખ છે.
વ્યવહારુ ઉદાહરણો ઉકેલતી વખતે, ડાબી અને જમણી બાજુઓ અદલાબદલી સાથે સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે. બહુપદીને ફેક્ટર કરતી વખતે આ ખાસ કરીને અનુકૂળ છે.
વધારાના સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રો
ચાલો આપણે આપણી જાતને 7મા ધોરણના બીજગણિત અભ્યાસક્રમ સુધી મર્યાદિત ન કરીએ અને અમારા FSU કોષ્ટકમાં થોડા વધુ સૂત્રો ઉમેરીએ.
પ્રથમ, ચાલો ન્યુટનના દ્વિપદી સૂત્રને જોઈએ.
a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n
અહીં C n k એ દ્વિપદી ગુણાંક છે જે પાસ્કલના ત્રિકોણમાં રેખા નંબર n માં દેખાય છે. દ્વિપદી ગુણાંકની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:
C n k = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !
જેમ આપણે જોઈ શકીએ છીએ, તફાવત અને સરવાળાના વર્ગ અને ઘન માટે FSF એ અનુક્રમે n=2 અને n=3 માટે ન્યુટન દ્વિપદી સૂત્રનો વિશેષ કેસ છે.
પરંતુ જો સરવાળામાં બે કરતાં વધુ પદો હોય તો તેને પાવરમાં વધારવાની જરૂર હોય તો શું? ત્રણ, ચાર કે તેથી વધુ પદોના સરવાળાના વર્ગ માટેનું સૂત્ર ઉપયોગી થશે.
a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n
અન્ય સૂત્ર જે ઉપયોગી હોઈ શકે છે તે બે પદોની nમી શક્તિઓ વચ્ચેના તફાવત માટેનું સૂત્ર છે.
a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1
આ સૂત્રને સામાન્ય રીતે બે સૂત્રોમાં વહેંચવામાં આવે છે - અનુક્રમે સમ અને વિષમ શક્તિઓ માટે.
2m સૂચકાંકો માટે પણ:
a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2
વિષમ ઘાતાંક 2m+1 માટે:
a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 મી
ચોરસનો તફાવત અને ક્યુબ્સ ફોર્મ્યુલાનો તફાવત, જેમ તમે અનુમાન લગાવ્યું છે, અનુક્રમે n = 2 અને n = 3 માટે આ સૂત્રના વિશિષ્ટ કિસ્સાઓ છે. ક્યુબ્સના તફાવત માટે, b ને પણ - b દ્વારા બદલવામાં આવે છે.
સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રો કેવી રીતે વાંચવા?
અમે દરેક ફોર્મ્યુલા માટે યોગ્ય ફોર્મ્યુલેશન આપીશું, પરંતુ પહેલા આપણે ફોર્મ્યુલા વાંચવાના સિદ્ધાંતને સમજીશું. આ કરવાની સૌથી અનુકૂળ રીત ઉદાહરણ સાથે છે. ચાલો બે સંખ્યાઓના સરવાળાના વર્ગ માટેનું પ્રથમ સૂત્ર લઈએ.
a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .
તેઓ કહે છે: a અને b બે સમીકરણોના સરવાળાનો વર્ગ એ પ્રથમ અભિવ્યક્તિના વર્ગના સરવાળા જેટલો છે, સમીકરણોના ગુણાંકના બમણા અને બીજા અભિવ્યક્તિના વર્ગના સરવાળા જેટલો છે.
અન્ય તમામ સૂત્રો સમાન રીતે વાંચવામાં આવે છે. તફાવતના વર્ગ માટે a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 આપણે લખીએ છીએ:
બે સમીકરણો a અને b વચ્ચેના તફાવતનો વર્ગ આ સમીકરણોના વર્ગોના સરવાળા જેટલો છે જે પ્રથમ અને બીજા અભિવ્યક્તિના ગુણાંકના બમણા ઓછા છે.
ચાલો a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 સૂત્ર વાંચીએ. બે સમીકરણો a અને b ના સરવાળાનો ઘન આ સમીકરણોના સમઘનનો સરવાળો છે, પ્રથમ અભિવ્યક્તિના વર્ગના ગુણાંકને બીજા દ્વારા ત્રણ ગણો અને બીજી અભિવ્યક્તિના વર્ગના ગુણાંકને ત્રણ ગણો કરો. પ્રથમ અભિવ્યક્તિ.
ચાલો a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 ના ક્યુબ્સના તફાવત માટેના સૂત્રને વાંચવા આગળ વધીએ. બે અભિવ્યક્તિ a અને b વચ્ચેના તફાવતનું ઘન પ્રથમ અભિવ્યક્તિના ઘન સમાન છે અને પ્રથમ અભિવ્યક્તિના વર્ગના ત્રિવિધ ગુણાંક અને બીજી, વત્તા બીજી અભિવ્યક્તિના વર્ગના ત્રિવિધ ગુણાંક અને પ્રથમ અભિવ્યક્તિ , બીજા અભિવ્યક્તિના ઘનને બાદ કરો.
પાંચમું સૂત્ર a 2 - b 2 = a - b a + b (ચોરસનો તફાવત) આ રીતે વાંચે છે: બે સમીકરણોના વર્ગોનો તફાવત તફાવતના ગુણાંક અને બે સમીકરણોના સરવાળા સમાન છે.
અનુકૂળતા માટે, 2 + a b + b 2 અને a 2 - a b + b 2 જેવા સમીકરણોને અનુક્રમે સરવાળાનો અપૂર્ણ વર્ગ અને તફાવતનો અપૂર્ણ વર્ગ કહેવામાં આવે છે.
આને ધ્યાનમાં લેતા, સમઘનનો સરવાળો અને તફાવત માટેના સૂત્રો નીચે પ્રમાણે વાંચી શકાય છે:
બે સમીકરણોના સમઘનનો સરવાળો આ સમીકરણોના સરવાળાના ગુણાંક અને તેમના તફાવતના આંશિક વર્ગના ગુણાંક જેટલો છે.
બે સમીકરણોના સમઘન વચ્ચેનો તફાવત આ સમીકરણો અને તેમના સરવાળાના આંશિક વર્ગ વચ્ચેના તફાવતના ગુણાંક જેટલો છે.
એફએસયુનો પુરાવો
FSU સાબિત કરવું એકદમ સરળ છે. ગુણાકારના ગુણધર્મોના આધારે, આપણે સૂત્રોના ભાગોને કૌંસમાં ગુણાકાર કરીશું.
ઉદાહરણ તરીકે, વર્ગના તફાવત માટેના સૂત્રને ધ્યાનમાં લો.
a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .
બીજી શક્તિમાં અભિવ્યક્તિ વધારવા માટે, તમારે આ અભિવ્યક્તિને પોતાના દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.
a - b 2 = a - b a - b .
ચાલો કૌંસને વિસ્તૃત કરીએ:
a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .
સૂત્ર સાબિત થાય છે. બાકીના FSU એ જ રીતે સાબિત થયા છે.
FSU એપ્લિકેશનના ઉદાહરણો
સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવાનો હેતુ ઝડપથી અને સંક્ષિપ્તમાં ગુણાકાર કરવાનો છે અને અભિવ્યક્તિઓને શક્તિઓ સુધી પહોંચાડવાનો છે. જો કે, આ એફએસયુની અરજીનો સંપૂર્ણ અવકાશ નથી. તેઓ અભિવ્યક્તિઓ ઘટાડવા, અપૂર્ણાંકો ઘટાડવા અને બહુપદીઓના પરિબળમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે. ચાલો ઉદાહરણો આપીએ.
ઉદાહરણ 1. FSU
ચાલો અભિવ્યક્તિ 9 y - (1 + 3 y) 2 ને સરળ બનાવીએ.
ચાલો ચોરસ સૂત્રનો સરવાળો લાગુ કરીએ અને મેળવીએ:
9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2
ઉદાહરણ 2. FSU
ચાલો અપૂર્ણાંક 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 ઘટાડીએ.
અમે નોંધીએ છીએ કે અંશમાં અભિવ્યક્તિ એ ક્યુબ્સનો તફાવત છે, અને છેદમાં ચોરસનો તફાવત છે.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .
અમે ઘટાડીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ:
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
એફએસયુ અભિવ્યક્તિઓના મૂલ્યોની ગણતરી કરવામાં પણ મદદ કરે છે. મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે સૂત્ર ક્યાં લાગુ કરવું તે ધ્યાનમાં લેવું. ચાલો એક ઉદાહરણ સાથે આ બતાવીએ.
ચાલો નંબર 79 નો વર્ગ કરીએ. બોજારૂપ ગણતરીઓને બદલે, ચાલો લખીએ:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
એવું લાગે છે કે સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રો અને ગુણાકાર કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને જટિલ ગણતરી ઝડપથી હાથ ધરવામાં આવે છે.
બીજો મહત્વનો મુદ્દો દ્વિપદીના વર્ગની પસંદગી છે. અભિવ્યક્તિ 4 x 2 + 4 x - 3 ને 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 માં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. આવા પરિવર્તનનો વ્યાપકપણે એકીકરણમાં ઉપયોગ થાય છે.
જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો
સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રો.
સંક્ષિપ્ત ગુણાકારના સૂત્રોનો અભ્યાસ: સરવાળોનો વર્ગ અને બે અભિવ્યક્તિઓના તફાવતનો વર્ગ; બે અભિવ્યક્તિઓના ચોરસનો તફાવત; સરવાળાનું ઘન અને બે અભિવ્યક્તિઓના તફાવતનું ઘન; બે સમીકરણોના સમઘનનો સરવાળો અને તફાવત.
ઉદાહરણો ઉકેલતી વખતે સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ.
અભિવ્યક્તિઓ, પરિબળ બહુપદીને સરળ બનાવવા અને બહુપદીને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવા માટે, સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. સંક્ષિપ્ત ગુણાકારના સૂત્રો હૃદયથી જાણવાની જરૂર છે.
ચાલો a, b R. પછી:
1. બે સમીકરણોના સરવાળાનો વર્ગ બરાબર છેપ્રથમ અભિવ્યક્તિનો વર્ગ વત્તા પ્રથમ અભિવ્યક્તિના ઉત્પાદનના બમણા અને બીજા વત્તા બીજી અભિવ્યક્તિનો વર્ગ.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. બે સમીકરણોના તફાવતનો વર્ગ બરાબર છેપ્રથમ અભિવ્યક્તિનો વર્ગ પ્રથમ અભિવ્યક્તિના ગુણાંકના બમણા ઓછા અને બીજી વત્તા બીજી અભિવ્યક્તિનો વર્ગ.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. ચોરસનો તફાવતબે અભિવ્યક્તિઓ આ અભિવ્યક્તિઓ અને તેમના સરવાળાના તફાવતના ઉત્પાદન સમાન છે.
a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. સરવાળાનું ઘનબે અભિવ્યક્તિઓ પ્રથમ અભિવ્યક્તિના ઘન વત્તા પ્રથમ અભિવ્યક્તિના વર્ગના ગુણાંકના ત્રણ ગણા અને બીજા વત્તા પ્રથમ અભિવ્યક્તિના ગુણાંકના ત્રણ ગણા અને બીજાના વર્ગ વત્તા બીજી અભિવ્યક્તિના ઘન સમાન છે.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. તફાવત સમઘનબે સમીકરણો પ્રથમ અભિવ્યક્તિના ઘન સમાન છે, પ્રથમ અભિવ્યક્તિના વર્ગના ગુણાંકના ત્રણ ગણા ઓછા અને બીજા વત્તા પ્રથમ અભિવ્યક્તિના ગુણાંકના ત્રણ ગણા અને બીજા સમીકરણના વર્ગના ઘનત્વના ઘન.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. સમઘનનો સરવાળોબે અભિવ્યક્તિઓ પ્રથમ અને બીજા અભિવ્યક્તિઓના સરવાળાના ગુણાંક અને આ અભિવ્યક્તિઓના તફાવતના અપૂર્ણ વર્ગના સમાન છે.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. સમઘનનું તફાવતબે અભિવ્યક્તિઓ આ અભિવ્યક્તિઓના સરવાળાના અપૂર્ણ વર્ગ દ્વારા પ્રથમ અને બીજા અભિવ્યક્તિઓના તફાવતના ઉત્પાદનની સમાન છે.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
ઉદાહરણો ઉકેલતી વખતે સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ.
ઉદાહરણ 1.
ગણતરી કરો
a) બે સમીકરણોના સરવાળાના વર્ગ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણી પાસે છે
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) બે સમીકરણોના તફાવતના વર્ગ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ
98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604
ઉદાહરણ 2.
ગણતરી કરો
બે સમીકરણોના વર્ગોના તફાવત માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ
ઉદાહરણ 3.
અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો
(x - y) 2 + (x + y) 2
ચાલો સરવાળાના વર્ગ અને બે સમીકરણોના તફાવતના વર્ગ માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
એક કોષ્ટકમાં સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રો:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
