ગણિતમાં અસામાન્ય ગુણધર્મો સાથે સ્વ-સમાન સેટ

19મી સદીના અંતથી, શાસ્ત્રીય વિશ્લેષણના દૃષ્ટિકોણથી રોગવિજ્ઞાનવિષયક ગુણધર્મો ધરાવતી સ્વ-સમાન વસ્તુઓના ઉદાહરણો ગણિતમાં દેખાયા છે. આમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે:

• કેન્ટર સેટ એ ક્યાંય ગાઢ અસંખ્ય સંપૂર્ણ સેટ છે. પ્રક્રિયામાં ફેરફાર કરીને, વ્યક્તિ સકારાત્મક લંબાઈનો ક્યાંય ગાઢ સમૂહ પણ મેળવી શકે છે;
• સિઅરપિન્સકી ત્રિકોણ ("ટેબલક્લોથ") અને સિઅરપિન્સકી કાર્પેટ પ્લેન પર સેટ કરેલ કેન્ટરના એનાલોગ છે;
• મેન્જરનો સ્પોન્જ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં કેન્ટર સેટનું એનાલોગ છે;
• વેરસ્ટ્રાસ અને વેન ડેર વેર્ડેન દ્વારા ક્યાંય વિભેદક સતત કાર્યના ઉદાહરણો;
• કોચ વળાંક એ અનંત લંબાઈનો બિન-સ્વ-છેદતો સતત વળાંક છે જે કોઈપણ બિંદુએ સ્પર્શક ધરાવતો નથી;
• પીઆનો વળાંક - ચોરસના તમામ બિંદુઓમાંથી પસાર થતો સતત વળાંક;
• બ્રાઉનિયન કણનો માર્ગ પણ સંભાવના 1 સાથે ક્યાંય અલગ નથી. તેનું હોસડોર્ફ પરિમાણ બે છે [ ] .

ફ્રેક્ટલ કર્વ્સ મેળવવા માટે પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા

કમ્પ્રેશન મેપિંગના નિશ્ચિત બિંદુઓ તરીકે ફ્રેકટલ્સ

સ્વ-સમાનતા ગુણધર્મને ગાણિતિક રીતે કડક રીતે નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરી શકાય છે. પ્લેનના કોન્ટ્રાક્ટિવ મેપિંગ થવા દો. પ્લેનના તમામ કોમ્પેક્ટ (બંધ અને બાઉન્ડેડ) સબસેટના સેટ પર નીચેના મેપિંગને ધ્યાનમાં લો: Ψ : K ↦ ∪ i = 1 n ψ i (K) (\displaystyle \Psi \colon K\mapsto \cup _(i=1)^(n)\psi _(i)(K))

તે બતાવી શકાય છે કે મેપિંગ Ψ (\Displaystyle \Psi )હોસડોર્ફ મેટ્રિક સાથે કોમ્પેક્ટાના સમૂહ પરનો સંકોચન નકશો છે. તેથી, બનાચના પ્રમેય દ્વારા, આ મેપિંગ એક અનન્ય નિશ્ચિત બિંદુ ધરાવે છે. આ નિશ્ચિત બિંદુ આપણું ખંડિત હશે.

ઉપર વર્ણવેલ ફ્રેકટલ કર્વ્સ મેળવવા માટેની પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા આ બાંધકામનો એક વિશેષ કેસ છે. તે તમામ ડિસ્પ્લે સમાવે છે ψ i , i = 1 , … , n (\displaystyle \psi _(i),\,i=1,\dots ,n)- સમાનતા દર્શાવે છે, અને n (\Displaystyle n)- જનરેટર લિંક્સની સંખ્યા.

અનુરૂપ ગતિશીલ પ્રણાલીઓની વર્તણૂકના આધારે પ્લેન પોઈન્ટને રંગીન કરીને જટિલ ગતિશાસ્ત્ર પર આધારિત સુંદર ગ્રાફિક છબીઓ બનાવવાનું લોકપ્રિય છે. ઉદાહરણ તરીકે, મેન્ડેલબ્રોટ સેટને પૂર્ણ કરવા માટે, તમે મહત્વાકાંક્ષાની ગતિના આધારે બિંદુઓને રંગીન કરી શકો છો z n (\ displaystyle z_(n))અનંત સુધી (વ્યાખ્યાયિત, કહો, સૌથી નાની સંખ્યા તરીકે n (\Displaystyle n), જેના પર | z n | (\displaystyle |z_(n)|)).

એક નિશ્ચિત મોટા મૂલ્ય કરતાં વધી જશે

A (\Displaystyle A)

બાયોમોર્ફ એ જટિલ ગતિશીલતાના આધારે બાંધવામાં આવેલા ફ્રેકલ્સ છે અને જીવંત જીવોની યાદ અપાવે છે.

• સ્ટોકેસ્ટિક ફ્રેકટલ્સ
• પ્રાકૃતિક વસ્તુઓમાં ઘણીવાર ખંડિત આકાર હોય છે. સ્ટોકેસ્ટિક (રેન્ડમ) ફ્રેકટલ્સનો ઉપયોગ તેમને મોડેલ કરવા માટે કરી શકાય છે. સ્ટોકેસ્ટિક ફ્રેકટલ્સનાં ઉદાહરણો:
• પ્લેન પર અને અવકાશમાં બ્રાઉનિયન ગતિનો માર્ગ;
• પ્લેન પર બ્રાઉનિયન ગતિના માર્ગની સીમા. 2001 માં, લોલર, શ્રામ અને વર્નરે મેન્ડેલબ્રોટની પૂર્વધારણાને સાબિત કરી કે તેનું પરિમાણ 4/3 છે.

સ્ક્રેમ-લોનર ઉત્ક્રાંતિ એ આંકડાકીય મિકેનિક્સના નિર્ણાયક દ્વિ-પરિમાણીય મોડલ્સ, જેમ કે આઇસિંગ મોડલ અને પરકોલેશનમાં ઉદ્ભવતા સુસંગત રીતે અપરિવર્તનશીલ ખંડિત વણાંકો છે.

રેન્ડમાઇઝ્ડ ફ્રેકટલ્સના વિવિધ પ્રકારો, એટલે કે, પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલા ફ્રેકટલ્સ જેમાં દરેક પગલા પર રેન્ડમ પેરામીટર રજૂ કરવામાં આવે છે. કોમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સમાં આવા ફ્રેક્ટલના ઉપયોગનું પ્લાઝમા ઉદાહરણ છે. ખંડિત ગુણધર્મો સાથે કુદરતી પદાર્થોકુદરતી વસ્તુઓ (

• ક્વાસિફ્રેક્ટલ્સ
  • ) બંધારણની અપૂર્ણતા અને પુનરાવર્તનોની અચોક્કસતામાં આદર્શ અમૂર્ત ફ્રેકટલ્સથી અલગ છે. કુદરતમાં જોવા મળતી મોટાભાગની ફ્રેક્ટલ જેવી રચનાઓ (વાદળની સીમાઓ, કિનારાઓ, વૃક્ષો, છોડના પાંદડા, પરવાળા, ...) અર્ધ-ભંગી છે, કારણ કે અમુક નાના પાયે ખંડિત માળખું અદૃશ્ય થઈ જાય છે. જીવંત કોષના કદ દ્વારા અને છેવટે, પરમાણુઓના કદ દ્વારા લાદવામાં આવેલી મર્યાદાઓને કારણે કુદરતી રચનાઓ સંપૂર્ણ ખંડિત હોઈ શકતી નથી.
  • વન્યજીવનમાં:
  • સ્ટારફિશ અને અર્ચિન
  • ફૂલો અને છોડ (બ્રોકોલી, કોબી)
  • ઝાડના તાજ અને છોડના પાંદડા
• ફળ (અનાનસ)
  • મનુષ્યો અને પ્રાણીઓની રુધિરાભિસરણ તંત્ર અને શ્વાસનળી
  • નિર્જીવ પ્રકૃતિમાં:
  • ભૌગોલિક વસ્તુઓની સરહદો (દેશો, પ્રદેશો, શહેરો)

વિન્ડો ગ્લાસ પર ફ્રોસ્ટી પેટર્ન

સ્ટેલેક્ટાઇટ્સ, સ્ટેલાગ્માઇટ, હેલિકાઇટ્સ.

ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, અશાંત પ્રવાહી પ્રવાહ, જટિલ પ્રસરણ-શોષણ પ્રક્રિયાઓ, જ્યોત, વાદળો અને તેના જેવી બિનરેખીય પ્રક્રિયાઓનું મોડેલિંગ કરતી વખતે ફ્રેકટલ્સ કુદરતી રીતે ઉદ્ભવે છે. ફ્રેકલ્સનો ઉપયોગ છિદ્રાળુ સામગ્રીના મોડેલિંગમાં થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, પેટ્રોકેમિકલ્સમાં. જીવવિજ્ઞાનમાં, તેનો ઉપયોગ વસ્તીનું મોડેલ બનાવવા અને આંતરિક અંગ પ્રણાલીઓ (રક્ત વાહિની પ્રણાલી)નું વર્ણન કરવા માટે થાય છે. કોચ વળાંકની રચના પછી, દરિયાકાંઠાની લંબાઈની ગણતરી કરતી વખતે તેનો ઉપયોગ કરવાની દરખાસ્ત કરવામાં આવી હતી.

રેડિયો એન્જિનિયરિંગ

ખંડિત એન્ટેના

ડિઝાઇનમાં ખંડિત ભૂમિતિનો ઉપયોગ

ખંડિત

ખંડિત (lat. અસ્થિભંગ- કચડી, તૂટેલી, તૂટેલી) એક ભૌમિતિક આકૃતિ છે જે સ્વ-સમાનતાની મિલકત ધરાવે છે, એટલે કે, ઘણા ભાગોથી બનેલી છે, જેમાંથી દરેક સમગ્ર આકૃતિ સમાન છે, ગણિતમાં, ફ્રેકટલ્સને યુક્લિડિયનમાં બિંદુઓના સમૂહ તરીકે સમજવામાં આવે છે જગ્યા કે જેમાં અપૂર્ણાંક મેટ્રિક પરિમાણ હોય (મિન્કોવ્સ્કી અથવા હૌસડોર્ફના અર્થમાં), અથવા મેટ્રિક પરિમાણ ટોપોલોજીકલ કરતા અલગ હોય. Fractasm એ ફ્રેકટલ્સનો અભ્યાસ અને કંપોઝ કરવાનું સ્વતંત્ર ચોક્કસ વિજ્ઞાન છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અપૂર્ણાંક એ અપૂર્ણાંક પરિમાણ સાથે ભૌમિતિક પદાર્થો છે. ઉદાહરણ તરીકે, રેખાનું પરિમાણ 1 છે, ક્ષેત્રફળ 2 છે અને વોલ્યુમ 3 છે. ખંડિત માટે, પરિમાણ મૂલ્ય 1 અને 2 ની વચ્ચે અથવા 2 અને 3 ની વચ્ચે હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચોળાયેલું ખંડિત પરિમાણ પેપર બોલ લગભગ 2.5 છે. ગણિતમાં, ફ્રેકટલ્સના પરિમાણની ગણતરી માટે એક ખાસ જટિલ સૂત્ર છે. શ્વાસનળીની નળીઓની શાખાઓ, ઝાડ પરના પાંદડા, હાથમાં નસો, નદી - આ ફ્રેકટલ્સ છે. સરળ શબ્દોમાં કહીએ તો, ખંડિત એ ભૌમિતિક આકૃતિ છે, જેનો ચોક્કસ ભાગ કદમાં બદલાતા, વારંવાર પુનરાવર્તિત થાય છે - આ સ્વ-સમાનતાનો સિદ્ધાંત છે. ફ્રેકલ્સ પોતાના જેવા જ હોય ​​છે, તેઓ દરેક સ્તરે (એટલે ​​કે કોઈપણ સ્કેલ પર) પોતાના જેવા જ હોય ​​છે. ફ્રેકટલ્સના ઘણા વિવિધ પ્રકારો છે. સૈદ્ધાંતિક રીતે, એવી દલીલ કરી શકાય છે કે વાસ્તવિક દુનિયામાં અસ્તિત્વમાં રહેલી દરેક વસ્તુ એક ખંડિત છે, પછી ભલે તે વાદળ હોય કે ઓક્સિજન પરમાણુ.

"અરાજકતા" શબ્દ કોઈને કંઈક અણધારી વિચારવા માટે બનાવે છે, પરંતુ હકીકતમાં, અરાજકતા એકદમ વ્યવસ્થિત છે અને અમુક કાયદાઓનું પાલન કરે છે. અંધાધૂંધી અને ભંગાણનો અભ્યાસ કરવાનો ધ્યેય એ પેટર્નની આગાહી કરવાનો છે જે, પ્રથમ નજરમાં, અણધારી અને સંપૂર્ણપણે અસ્તવ્યસ્ત લાગે છે.

જ્ઞાનના આ ક્ષેત્રમાં અગ્રણી ફ્રેન્ચ-અમેરિકન ગણિતશાસ્ત્રી, પ્રોફેસર બેનોઈટ બી. મેન્ડેલબ્રોટ હતા. 1960 ના દાયકાના મધ્યમાં, તેમણે ખંડિત ભૂમિતિ વિકસાવી, જેનો હેતુ તૂટેલા, કરચલીવાળા અને અસ્પષ્ટ આકારોનું વિશ્લેષણ કરવાનો હતો. મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહ (આકૃતિમાં બતાવેલ) એ પ્રથમ જોડાણ છે જે વ્યક્તિમાં જ્યારે તે "ફ્રેકટલ" શબ્દ સાંભળે છે ત્યારે ઉદ્ભવે છે. માર્ગ દ્વારા, મેન્ડેલબ્રોટે નક્કી કર્યું કે અંગ્રેજી દરિયાકિનારાનું ખંડિત પરિમાણ 1.25 છે.

વિજ્ઞાનમાં ફ્રેક્ટલ્સનો વધુને વધુ ઉપયોગ થાય છે. તેઓ પરંપરાગત ભૌતિકશાસ્ત્ર અથવા ગણિત કરતાં પણ વધુ સારી રીતે વાસ્તવિક વિશ્વનું વર્ણન કરે છે. બ્રાઉનિયન ગતિ, ઉદાહરણ તરીકે, પાણીમાં સ્થગિત ધૂળના કણોની રેન્ડમ અને અસ્તવ્યસ્ત હિલચાલ છે. આ પ્રકારની હિલચાલ કદાચ ખંડિત ભૂમિતિનું પાસું છે જેનો સૌથી વધુ વ્યવહારુ ઉપયોગ છે. રેન્ડમ બ્રાઉનિયન ગતિમાં ફ્રિક્વન્સી રિસ્પોન્સ હોય છે જેનો ઉપયોગ મોટા પ્રમાણમાં ડેટા અને આંકડાઓ સાથે સંકળાયેલી ઘટનાઓની આગાહી કરવા માટે થઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, મેન્ડેલબ્રોટે બ્રાઉનિયન મોશનનો ઉપયોગ કરીને ઊનના ભાવમાં ફેરફારની આગાહી કરી હતી.

"ફ્રેક્ટલ" શબ્દનો ઉપયોગ માત્ર ગાણિતિક શબ્દ તરીકે જ નહીં થાય. પ્રેસ અને લોકપ્રિય વિજ્ઞાન સાહિત્યમાં, ખંડિતને એવી આકૃતિ કહી શકાય કે જેમાં નીચેનામાંથી કોઈપણ ગુણધર્મો હોય:

તે તમામ સ્કેલ પર બિન-તુચ્છ માળખું ધરાવે છે. આ નિયમિત આકૃતિઓથી વિપરીત છે (જેમ કે વર્તુળ, લંબગોળ, સરળ કાર્યનો આલેખ): જો આપણે નિયમિત આકૃતિના નાના ટુકડાને ખૂબ મોટા પાયે ધ્યાનમાં લઈએ, તો તે સીધી રેખાના ટુકડા જેવો દેખાશે. ફ્રેક્ટલ માટે, સ્કેલ વધારવાથી તમામ સ્કેલ પર સમાન જટિલ ચિત્ર જોવા મળશે.

સ્વ-સમાન અથવા લગભગ સ્વ-સમાન છે.

તેમાં અપૂર્ણાંક મેટ્રિક પરિમાણ અથવા મેટ્રિક પરિમાણ છે જે ટોપોલોજીકલ એક કરતાં વધી જાય છે.

કોમ્પ્યુટર ટેકનોલોજીમાં ફ્રેકટલ્સનો સૌથી ઉપયોગી ઉપયોગ ફ્રેકટલ ડેટા કમ્પ્રેશન છે. તે જ સમયે, છબીઓ પરંપરાગત પદ્ધતિઓ સાથે કરવામાં આવે છે તેના કરતા ઘણી સારી રીતે સંકુચિત થાય છે - 600:1 સુધી. ફ્રેક્ટલ કમ્પ્રેશનનો બીજો ફાયદો એ છે કે જ્યારે મોટું કરવામાં આવે છે, ત્યાં કોઈ પિક્સેલેશન અસર હોતી નથી, જે નાટકીય રીતે ઇમેજને ખરાબ કરે છે. તદુપરાંત, ખંડિત રીતે સંકુચિત ઇમેજ મોટાભાગે પહેલા કરતા મોટા થયા પછી વધુ સારી દેખાય છે. કોમ્પ્યુટર વૈજ્ઞાનિકો પણ જાણે છે કે સરળ સૂત્રો દ્વારા અનંત જટિલતા અને સુંદરતાના ભંગાણ પેદા કરી શકાય છે. વાસ્તવિક લેન્ડસ્કેપ તત્વો (વાદળો, ખડકો અને પડછાયાઓ) બનાવવા માટે ફિલ્મ ઉદ્યોગ વ્યાપકપણે ફ્રેક્ટલ ગ્રાફિક્સ ટેકનોલોજીનો ઉપયોગ કરે છે.

પ્રવાહમાં ઉથલપાથલનો અભ્યાસ ફ્રેકટલ્સ માટે ખૂબ જ સારી રીતે અપનાવે છે. આ અમને જટિલ પ્રવાહોની ગતિશીલતાને વધુ સારી રીતે સમજવાની મંજૂરી આપે છે. ફ્રેક્ટલ્સનો ઉપયોગ કરીને તમે જ્વાળાઓનું અનુકરણ પણ કરી શકો છો. છિદ્રાળુ સામગ્રીઓ ખૂબ જટિલ ભૂમિતિ ધરાવે છે તે હકીકતને કારણે ખંડિત સ્વરૂપમાં સારી રીતે રજૂ થાય છે. અંતર પર ડેટા પ્રસારિત કરવા માટે, ખંડિત આકારવાળા એન્ટેનાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જે તેમના કદ અને વજનને મોટા પ્રમાણમાં ઘટાડે છે. ફ્રેક્ટલ્સનો ઉપયોગ સપાટીઓની વક્રતાનું વર્ણન કરવા માટે થાય છે. અસમાન સપાટી બે અલગ અલગ ફ્રેકટલ્સના સંયોજન દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે.

પ્રકૃતિની ઘણી વસ્તુઓમાં ખંડિત ગુણધર્મો હોય છે, ઉદાહરણ તરીકે, દરિયાકાંઠો, વાદળો, વૃક્ષોના મુગટ, સ્નોવફ્લેક્સ, રુધિરાભિસરણ તંત્ર અને મનુષ્ય અથવા પ્રાણીઓની મૂર્ધન્ય પ્રણાલી.

કોમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ કરીને બાંધકામની સરળતા સાથે સૌંદર્યના સંયોજનને કારણે ખાસ કરીને પ્લેનમાં ફ્રેકલ્સ લોકપ્રિય છે.

અસામાન્ય ગુણધર્મોવાળા સ્વ-સમાન સેટના પ્રથમ ઉદાહરણો 19મી સદીમાં દેખાયા હતા (ઉદાહરણ તરીકે, બોલ્ઝાનો ફંક્શન, વેયરસ્ટ્રાસ ફંક્શન, કેન્ટર સેટ). બેનોઈટ મેન્ડેલબ્રોટ દ્વારા 1975માં "ફ્રેકટલ" શબ્દની રચના કરવામાં આવી હતી અને 1977માં તેમના પુસ્તક "ધ ફ્રેકટલ જીઓમેટ્રી ઓફ નેચર" ના પ્રકાશન સાથે વ્યાપક લોકપ્રિયતા મેળવી હતી.

ડાબી બાજુનું ચિત્ર ડેરર પેન્ટાગોન ફ્રેક્ટલનું એક સરળ ઉદાહરણ બતાવે છે, જે પેન્ટાગોન્સના સમૂહને એકસાથે સ્ક્વોશ કરવામાં આવે છે. વાસ્તવમાં, તે પંચકોણનો ઉપયોગ કરીને આરંભકર્તા અને સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ તરીકે રચાય છે, જેમાં મોટી બાજુ અને નાની બાજુનો ગુણોત્તર કહેવાતા સુવર્ણ ગુણોત્તર (1.618033989 અથવા 1/(2cos72°)) બરાબર છે. એક જનરેટર. આ ત્રિકોણ દરેક પેન્ટાગોનની વચ્ચેથી કાપવામાં આવે છે, જેના પરિણામે એક મોટામાં ગુંદર ધરાવતા 5 નાના પેન્ટાગોન્સ જેવો આકાર મળે છે.

કેઓસ થિયરી કહે છે કે જટિલ બિનરેખીય પ્રણાલીઓ વારસાગત રીતે અણધારી છે, પરંતુ તે જ સમયે દાવો કરે છે કે આવી અણધારી પ્રણાલીઓને વ્યક્ત કરવાની રીત ચોક્કસ સમાનતામાં નહીં, પરંતુ સિસ્ટમના વર્તનની રજૂઆતમાં - વિચિત્ર આકર્ષણોના આલેખમાં સાચી છે. , જે ફ્રેકટલ્સ જેવા દેખાય છે. આમ, અરાજકતા સિદ્ધાંત, જેને ઘણા લોકો અણધારીતા તરીકે માને છે, તે સૌથી અસ્થિર પ્રણાલીઓમાં પણ અનુમાનિતતાનું વિજ્ઞાન હોવાનું બહાર આવ્યું છે. ગતિશીલ પ્રણાલીઓનો અભ્યાસ દર્શાવે છે કે સરળ સમીકરણો અસ્તવ્યસ્ત વર્તનને જન્મ આપી શકે છે જેમાં સિસ્ટમ ક્યારેય સ્થિર સ્થિતિમાં પાછી આવતી નથી અને કોઈ પેટર્ન દેખાતી નથી. ઘણી વખત આવી સિસ્ટમો મુખ્ય પરિમાણના ચોક્કસ મૂલ્ય સુધી એકદમ સામાન્ય રીતે વર્તે છે, પછી એક સંક્રમણનો અનુભવ કરે છે જેમાં વધુ વિકાસ માટે બે શક્યતાઓ હોય છે, પછી ચાર અને અંતે શક્યતાઓનો અસ્તવ્યસ્ત સમૂહ હોય છે.

તકનીકી વસ્તુઓમાં થતી પ્રક્રિયાઓની યોજનાઓ સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત ફ્રેક્ટલ માળખું ધરાવે છે. ન્યૂનતમ તકનીકી સિસ્ટમ (TS) નું માળખું TS ની અંદર બે પ્રકારની પ્રક્રિયાઓની ઘટના સૂચવે છે - મુખ્ય અને સહાયક, અને આ વિભાજન શરતી અને સંબંધિત છે. સહાયક પ્રક્રિયાઓના સંબંધમાં કોઈપણ પ્રક્રિયા મુખ્ય હોઈ શકે છે, અને કોઈપણ સહાયક પ્રક્રિયાને "તેની" સહાયક પ્રક્રિયાઓના સંબંધમાં મુખ્ય ગણી શકાય. ડાયાગ્રામના વર્તુળો ભૌતિક અસરો સૂચવે છે જે તે પ્રક્રિયાઓની ઘટનાની ખાતરી કરે છે જેના માટે ખાસ કરીને "તમારા પોતાના" વાહનો બનાવવાની જરૂર નથી. આ પ્રક્રિયાઓ પદાર્થો, ક્ષેત્રો, પદાર્થો અને ક્ષેત્રો વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓનું પરિણામ છે. ચોક્કસ કહીએ તો, ભૌતિક અસર એ એક વાહન છે જેના સંચાલનના સિદ્ધાંતને આપણે પ્રભાવિત કરી શકતા નથી, અને તેની ડિઝાઇનમાં દખલ કરવાની અમને તક નથી જોઈતી અથવા નથી.

ડાયાગ્રામમાં દર્શાવેલ મુખ્ય પ્રક્રિયાનો પ્રવાહ ત્રણ સહાયક પ્રક્રિયાઓના અસ્તિત્વ દ્વારા સુનિશ્ચિત કરવામાં આવે છે, જે TS માટે મુખ્ય છે જે તેમને ઉત્પન્ન કરે છે. વાજબી બનવા માટે, અમે નોંધીએ છીએ કે ન્યૂનતમ ટીએસની કામગીરી માટે, ત્રણ પ્રક્રિયાઓ સ્પષ્ટપણે પૂરતી નથી, એટલે કે. યોજના ખૂબ જ અતિશયોક્તિપૂર્ણ છે.

આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે બધું સરળ હોવાથી દૂર છે. એક પ્રક્રિયા જે ઉપયોગી છે (વ્યક્તિ દ્વારા જરૂરી) સો ટકા કાર્યક્ષમતા સાથે કરી શકાતી નથી. વિખરાયેલી ઊર્જા હાનિકારક પ્રક્રિયાઓ બનાવવા માટે ખર્ચવામાં આવે છે - ગરમી, કંપન, વગેરે. પરિણામે, હાનિકારક રાશિઓ ફાયદાકારક પ્રક્રિયા સાથે સમાંતર ઊભી થાય છે. "ખરાબ" પ્રક્રિયાને "સારી" સાથે બદલવી હંમેશા શક્ય નથી, તેથી સિસ્ટમ માટે હાનિકારક પરિણામોની ભરપાઈ કરવાના હેતુથી નવી પ્રક્રિયાઓ ગોઠવવી જરૂરી છે. એક લાક્ષણિક ઉદાહરણ ઘર્ષણનો સામનો કરવાની જરૂરિયાત છે, જે વ્યક્તિને બુદ્ધિશાળી લ્યુબ્રિકેશન સ્કીમ્સ ગોઠવવા, મોંઘા વિરોધી ઘર્ષણ સામગ્રીનો ઉપયોગ કરવા અથવા ઘટકો અને ભાગોના લુબ્રિકેશન અથવા તેના સામયિક રિપ્લેસમેન્ટ પર સમય પસાર કરવા દબાણ કરે છે.

પરિવર્તનશીલ પર્યાવરણના અનિવાર્ય પ્રભાવને લીધે, એક ઉપયોગી પ્રક્રિયાનું સંચાલન કરવાની જરૂર પડી શકે છે. નિયંત્રણ ક્યાં તો સ્વચાલિત ઉપકરણોનો ઉપયોગ કરીને અથવા સીધા વ્યક્તિ દ્વારા હાથ ધરવામાં આવી શકે છે. પ્રક્રિયા રેખાકૃતિ વાસ્તવમાં વિશિષ્ટ આદેશોનો સમૂહ છે, એટલે કે. અલ્ગોરિધમ દરેક આદેશનો સાર (વર્ણન) એ એક ઉપયોગી પ્રક્રિયાની સંપૂર્ણતા, તેની સાથે હાનિકારક પ્રક્રિયાઓ અને જરૂરી નિયંત્રણ પ્રક્રિયાઓનો સમૂહ છે. આવા અલ્ગોરિધમમાં, સહાયક પ્રક્રિયાઓનો સમૂહ એ નિયમિત સબરૂટિન છે - અને અહીં આપણે ફ્રેકટલ પણ શોધીએ છીએ. એક સદીના એક ક્વાર્ટર પહેલા બનાવેલ, આર. કોલરની પદ્ધતિ ફક્ત 12 જોડીના કાર્યો (પ્રક્રિયાઓ) ના એકદમ મર્યાદિત સેટ સાથે સિસ્ટમ્સ બનાવવાનું શક્ય બનાવે છે.

ગણિતમાં અસામાન્ય ગુણધર્મો સાથે સ્વ-સમાન સેટ

19મી સદીના અંતથી, શાસ્ત્રીય વિશ્લેષણના દૃષ્ટિકોણથી રોગવિજ્ઞાનવિષયક ગુણધર્મો ધરાવતી સ્વ-સમાન વસ્તુઓના ઉદાહરણો ગણિતમાં દેખાયા છે. આમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે:

કેન્ટર સેટ એ ક્યાંય ગાઢ અસંખ્ય સંપૂર્ણ સેટ છે. પ્રક્રિયામાં ફેરફાર કરીને, વ્યક્તિ સકારાત્મક લંબાઈનો ક્યાંય ગાઢ સમૂહ પણ મેળવી શકે છે.

સિઅરપિન્સકી ત્રિકોણ ("ટેબલક્લોથ") અને સિઅરપિન્સકી કાર્પેટ પ્લેન પર સેટ કરેલા કેન્ટરના એનાલોગ છે.

મેન્જરનો સ્પોન્જ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં કેન્ટર સેટનું એનાલોગ છે;

વેરસ્ટ્રાસ અને વેન ડેર વેર્ડેનના ઉદાહરણો ક્યાંય અલગ ન કરી શકાય તેવા સતત કાર્યના.

કોચ વળાંક એ અનંત લંબાઈનો બિન-સ્વ-છેદતો સતત વળાંક છે જે કોઈપણ બિંદુએ સ્પર્શક ધરાવતો નથી;

પીઆનો વળાંક એ ચોરસના તમામ બિંદુઓમાંથી પસાર થતો સતત વળાંક છે.

બ્રાઉનિયન કણનો માર્ગ પણ સંભાવના 1 સાથે ક્યાંય અલગ નથી.

તેનું હોસડોર્ફ પરિમાણ બે છે

કોચ વળાંકનું બાંધકામ

પ્લેન પર ફ્રેક્ટલ કર્વ્સ મેળવવા માટે એક સરળ પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા છે. ચાલો આપણે લિન્કની મર્યાદિત સંખ્યા સાથે મનસ્વી તૂટેલી રેખાને વ્યાખ્યાયિત કરીએ, જેને જનરેટર કહેવાય છે. આગળ, ચાલો તેમાંના દરેક સેગમેન્ટને જનરેટરથી બદલીએ (વધુ સ્પષ્ટ રીતે, જનરેટર જેવી તૂટેલી લાઇન). પરિણામી તૂટેલી લાઇનમાં, અમે ફરીથી દરેક સેગમેન્ટને જનરેટરથી બદલીએ છીએ. અનંત સુધી ચાલુ રાખીને, મર્યાદામાં આપણને ખંડિત વળાંક મળે છે. જમણી બાજુની આકૃતિ કોચ વળાંક માટે આ પ્રક્રિયાના પ્રથમ ચાર પગલાં બતાવે છે.

આવા વળાંકોના ઉદાહરણો છે:

ડ્રેગન કર્વ,

કોચ વળાંક (કોચ સ્નોવફ્લેક),

લેવી કર્વ,

મિન્કોવસ્કી વળાંક,

હિલ્બર્ટ વળાંક,

ડ્રેગન (હાર્ટર-હેથવે ફ્રેક્ટલ) ના તૂટેલા (વળાંક),

પીઆનો વળાંક.

સમાન પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને, પાયથાગોરિયન વૃક્ષ મેળવવામાં આવે છે.

કમ્પ્રેશન મેપિંગના નિશ્ચિત બિંદુઓ તરીકે ફ્રેકટલ્સ

સ્વ-સમાનતા ગુણધર્મને ગાણિતિક રીતે કડક રીતે નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરી શકાય છે. પ્લેનના કોન્ટ્રાક્ટિવ મેપિંગ થવા દો. પ્લેનના તમામ કોમ્પેક્ટ (બંધ અને બાઉન્ડેડ) સબસેટના સેટ પર નીચેના મેપિંગને ધ્યાનમાં લો:

તે બતાવી શકાય છે કે મેપિંગ એ હોસડોર્ફ મેટ્રિક સાથે કોમ્પેક્ટાના સેટ પર સંકોચન મેપિંગ છે. તેથી, બનાચના પ્રમેય દ્વારા, આ મેપિંગ એક અનન્ય નિશ્ચિત બિંદુ ધરાવે છે. આ નિશ્ચિત બિંદુ આપણું ખંડિત હશે.

ઉપર વર્ણવેલ ફ્રેકટલ કર્વ્સ મેળવવા માટેની પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા આ બાંધકામનો એક વિશેષ કેસ છે. તેમાં, તમામ મેપિંગ્સ સમાનતા મેપિંગ્સ છે, અને - જનરેટર લિંક્સની સંખ્યા.

સિઅરપિન્સકી ત્રિકોણ અને નકશા માટે, , નિયમિત ત્રિકોણ અને ગુણાંક 1/2ના શિરોબિંદુઓ પર કેન્દ્રો સાથે હોમોથેટીઝ છે. તે જોવાનું સરળ છે કે જ્યારે મેપ કરવામાં આવે ત્યારે સિઅરપિન્સકી ત્રિકોણ પોતાનામાં રૂપાંતરિત થાય છે.

એવા કિસ્સામાં કે જ્યાં મેપિંગ એ ગુણાંક સાથે સમાનતા રૂપાંતરણ છે, ફ્રેક્ટલનું પરિમાણ (કેટલીક વધારાની તકનીકી પરિસ્થિતિઓ હેઠળ) સમીકરણના ઉકેલ તરીકે ગણી શકાય. આમ, સિઅરપિન્સકી ત્રિકોણ માટે આપણે મેળવીએ છીએ .

સમાન બનાચ પ્રમેય દ્વારા, કોઈપણ કોમ્પેક્ટ સેટથી શરૂ કરીને અને તેના પર નકશાના પુનરાવૃત્તિઓ લાગુ કરીને, અમે કોમ્પેક્ટ સેટનો ક્રમ મેળવીએ છીએ (હૌસડોર્ફ મેટ્રિકના અર્થમાં) અમારા ફ્રેક્ટલમાં કન્વર્જિંગ.

જટિલ ગતિશીલતામાં ખંડિત

જુલિયા સેટ

અન્ય જુલિયા સેટ

બિનરેખીય ગતિશીલ પ્રણાલીઓનો અભ્યાસ કરતી વખતે ફ્રેકલ્સ કુદરતી રીતે ઉદ્ભવે છે. સૌથી વધુ અભ્યાસ કરાયેલ કેસ એ છે કે જ્યારે ગતિશીલ પ્રણાલીને બહુપદીના પુનરાવૃત્તિઓ અથવા પ્લેન પરના જટિલ ચલના હોલોમોર્ફિક કાર્ય દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ વિસ્તારના પ્રથમ અભ્યાસો 20મી સદીની શરૂઆતના છે અને તે ફતૌ અને જુલિયાના નામ સાથે સંકળાયેલા છે.

દો એફ(z) - બહુપદી, z 0 એ જટિલ સંખ્યા છે. નીચેના ક્રમને ધ્યાનમાં લો: z 0 , z 1 =એફ(z 0), z 2 =એફ(એફ(z 0)) = એફ(z 1),z 3 =એફ(એફ(એફ(z 0)))=એફ(z 2), …

અમને આ ક્રમના વર્તનમાં રસ છે કારણ કે તે વલણ ધરાવે છે nઅનંત સુધી. આ ક્રમ આ કરી શકે છે:

અનંત તરફ પ્રયત્ન કરો,

અંતિમ મર્યાદા માટે પ્રયત્ન કરો

મર્યાદામાં ચક્રીય વર્તન દર્શાવે છે, ઉદાહરણ તરીકે: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

અસ્તવ્યસ્ત રીતે વર્તવું, એટલે કે, ઉલ્લેખિત ત્રણ પ્રકારના વર્તનમાંથી કોઈ પણ દર્શાવશો નહીં.

મૂલ્યોના સેટ z 0, જેના માટે ક્રમ એક ચોક્કસ પ્રકારનું વર્તન દર્શાવે છે, તેમજ વિવિધ પ્રકારો વચ્ચેના બહુવિધ દ્વિભાજન બિંદુઓ, ઘણી વખત ખંડિત ગુણધર્મો ધરાવે છે.

આમ, જુલિયા સમૂહ એ બહુપદી માટે વિભાજન બિંદુઓનો સમૂહ છે એફ(z)=z 2 +c(અથવા અન્ય સમાન કાર્ય), એટલે કે, તે મૂલ્યો z 0 જેના માટે ક્રમનું વર્તન ( z n) મનસ્વી રીતે નાના ફેરફારો સાથે નાટકીય રીતે બદલાઈ શકે છે z 0 .

ફ્રેક્ટલ સેટ મેળવવા માટેનો બીજો વિકલ્પ બહુપદીમાં પરિમાણ દાખલ કરવાનો છે એફ(z) અને તે પરિમાણ મૂલ્યોના સમૂહની વિચારણા જેના માટે ક્રમ ( z n) નિશ્ચિત સમયે ચોક્કસ વર્તન દર્શાવે છે z 0 આમ, મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહ એ બધાનો સમૂહ છે, જેના માટે ( z n) માટે એફ(z)=z 2 +cઅને z 0 અનંતમાં જતું નથી.

આ પ્રકારનું બીજું પ્રખ્યાત ઉદાહરણ ન્યુટનના પૂલ છે.

અનુરૂપ ગતિશીલ પ્રણાલીઓની વર્તણૂકના આધારે પ્લેન પોઈન્ટને રંગીન કરીને જટિલ ગતિશાસ્ત્ર પર આધારિત સુંદર ગ્રાફિક છબીઓ બનાવવાનું લોકપ્રિય છે. ઉદાહરણ તરીકે, મેન્ડેલબ્રોટ સેટને પૂર્ણ કરવા માટે, તમે મહત્વાકાંક્ષાની ગતિના આધારે બિંદુઓને રંગીન કરી શકો છો ( z n) અનંત સુધી (વ્યાખ્યાયિત, કહો, સૌથી નાની સંખ્યા તરીકે n, જેના પર | z n| નિશ્ચિત મોટા મૂલ્ય કરતાં વધી જશે એ.

બાયોમોર્ફ એ જટિલ ગતિશીલતાના આધારે બાંધવામાં આવેલા ફ્રેકલ્સ છે અને જીવંત જીવોની યાદ અપાવે છે.

સ્ટોકેસ્ટિક ફ્રેકટલ્સ

જુલિયા સેટ પર આધારિત રેન્ડમાઇઝ્ડ ફ્રેકટલ

પ્રાકૃતિક વસ્તુઓમાં ઘણીવાર ખંડિત આકાર હોય છે. સ્ટોકેસ્ટિક (રેન્ડમ) ફ્રેકટલ્સનો ઉપયોગ તેમને મોડેલ કરવા માટે કરી શકાય છે. સ્ટોકેસ્ટિક ફ્રેકટલ્સનાં ઉદાહરણો:

પ્લેન પર અને અવકાશમાં બ્રાઉનિયન ગતિનો માર્ગ;

પ્લેન પર બ્રાઉનિયન ગતિના માર્ગની સીમા. 2001 માં, લોલર, શ્રામ અને વર્નરે મેન્ડેલબ્રોટની પૂર્વધારણાને સાબિત કરી કે તેનું પરિમાણ 4/3 છે.

શ્રામ-લોનર ઉત્ક્રાંતિ એ સુસંગત રીતે અવિભાજ્ય ખંડિત વણાંકો છે જે આંકડાકીય મિકેનિક્સના નિર્ણાયક દ્વિ-પરિમાણીય મોડલમાં ઉદ્ભવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, આઇસિંગ મોડલ અને પરકોલેશનમાં.

રેન્ડમાઇઝ્ડ ફ્રેકટલ્સના વિવિધ પ્રકારો, એટલે કે, પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલા ફ્રેકટલ્સ જેમાં દરેક પગલા પર રેન્ડમ પેરામીટર રજૂ કરવામાં આવે છે. કોમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સમાં આવા ફ્રેક્ટલના ઉપયોગનું પ્લાઝમા ઉદાહરણ છે.

પ્રકૃતિ માં

શ્વાસનળી અને શ્વાસનળીનું આગળનું દૃશ્ય

શ્વાસનળીનું વૃક્ષ

રક્ત વાહિનીઓનું નેટવર્ક

અરજી

નેચરલ સાયન્સ

ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, અશાંત પ્રવાહી પ્રવાહ, જટિલ પ્રસરણ-શોષણ પ્રક્રિયાઓ, જ્વાળાઓ, વાદળો, વગેરે જેવી બિનરેખીય પ્રક્રિયાઓનું મોડેલિંગ કરતી વખતે ફ્રેકટલ્સ કુદરતી રીતે ઉદ્ભવે છે. છિદ્રાળુ સામગ્રીનું મોડેલિંગ કરતી વખતે ફ્રેકટલ્સનો ઉપયોગ થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, પેટ્રોકેમિસ્ટ્રીમાં. જીવવિજ્ઞાનમાં, તેનો ઉપયોગ વસ્તીનું મોડેલ બનાવવા અને આંતરિક અંગ પ્રણાલીઓ (રક્ત વાહિની પ્રણાલી)નું વર્ણન કરવા માટે થાય છે.

રેડિયો એન્જિનિયરિંગ

ખંડિત એન્ટેના

એન્ટેના ઉપકરણોની ડિઝાઇનમાં ખંડિત ભૂમિતિનો ઉપયોગ સૌપ્રથમ અમેરિકન એન્જિનિયર નાથન કોહેન દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો, જેઓ તે સમયે બોસ્ટન ડાઉનટાઉનમાં રહેતા હતા, જ્યાં ઇમારતો પર બાહ્ય એન્ટેના સ્થાપિત કરવા પર પ્રતિબંધ હતો. નાથને એલ્યુમિનિયમ ફોઇલમાંથી કોચ વળાંકનો આકાર કાપીને કાગળના ટુકડા પર ગુંદર કર્યો, પછી તેને રીસીવર સાથે જોડી દીધો. કોહેને પોતાની કંપનીની સ્થાપના કરી અને તેમનું સીરીયલ પ્રોડક્શન શરૂ કર્યું.

કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાન

છબી સંકોચન

મુખ્ય લેખ: ફ્રેક્ટલ કમ્પ્રેશન અલ્ગોરિધમ

ખંડિત વૃક્ષ

ફ્રેકટલ્સનો ઉપયોગ કરીને ઇમેજ કમ્પ્રેશન માટે અલ્ગોરિધમ્સ છે. તેઓ આ વિચાર પર આધારિત છે કે ઇમેજને બદલે, એક સંકોચન નકશો સંગ્રહિત કરી શકે છે જેના માટે આ છબી (અથવા કેટલીક નજીકની) એક નિશ્ચિત બિંદુ છે. આ અલ્ગોરિધમનો એક પ્રકારનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો [ સ્ત્રોત 895 દિવસ ઉલ્લેખિત નથી] માઇક્રોસોફ્ટ દ્વારા જ્યારે તેનો જ્ઞાનકોશ પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યો હતો, પરંતુ આ અલ્ગોરિધમનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થતો ન હતો.

કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ

અન્ય ખંડિત વૃક્ષ

કોમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સમાં વૃક્ષો, છોડો, પર્વતીય લેન્ડસ્કેપ્સ, દરિયાઈ સપાટીઓ વગેરે જેવી કુદરતી વસ્તુઓની છબીઓ બનાવવા માટે ફ્રેકલ્સનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. ફ્રેકટલ ઈમેજીસ જનરેટ કરવા માટે ઘણા પ્રોગ્રામ્સનો ઉપયોગ થાય છે, જુઓ ફ્રેકટલ જનરેટર (પ્રોગ્રામ).

વિકેન્દ્રિત નેટવર્ક્સ

નેટસુકુકુ નેટવર્કમાં IP એડ્રેસ અસાઇનમેન્ટ સિસ્ટમ નેટવર્ક નોડ્સ વિશેની માહિતીને સઘન રીતે સંગ્રહિત કરવા માટે ફ્રેક્ટલ માહિતી કમ્પ્રેશનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરે છે. નેટસુકુકુ નેટવર્કમાં દરેક નોડ પડોશી નોડ્સની સ્થિતિ વિશે માત્ર 4 KB માહિતીનો સંગ્રહ કરે છે, જ્યારે કોઈપણ નવા નોડ IP સરનામાઓના વિતરણના કેન્દ્રીય નિયમનની જરૂરિયાત વિના સામાન્ય નેટવર્ક સાથે જોડાય છે, જે ઉદાહરણ તરીકે, સામાન્ય નેટવર્ક માટે સામાન્ય છે. ઈન્ટરનેટ. આમ, ફ્રેક્ટલ માહિતી કમ્પ્રેશનનો સિદ્ધાંત સંપૂર્ણપણે વિકેન્દ્રિત અને તેથી સમગ્ર નેટવર્કની સૌથી સ્થિર કામગીરીની ખાતરી આપે છે.

ફ્રેકલ્સ લગભગ એક સદીથી જાણીતા છે, સારી રીતે અભ્યાસ કરવામાં આવે છે અને જીવનમાં અસંખ્ય એપ્લિકેશનો છે. આ ઘટના ખૂબ જ સરળ વિચાર પર આધારિત છે: સુંદરતા અને વિવિધતામાં અસંખ્ય આકારો માત્ર બે ઑપરેશન્સ - કૉપિ અને સ્કેલિંગનો ઉપયોગ કરીને પ્રમાણમાં સરળ ડિઝાઇનમાંથી મેળવી શકાય છે.

આ ખ્યાલની કોઈ કડક વ્યાખ્યા નથી. તેથી, "ફ્રેક્ટલ" શબ્દ ગાણિતિક શબ્દ નથી. આ સામાન્ય રીતે ભૌમિતિક આકૃતિને આપવામાં આવેલું નામ છે જે નીચેનામાંથી એક અથવા વધુ ગુણધર્મોને સંતોષે છે:

• કોઈપણ વિસ્તરણ પર એક જટિલ માળખું ધરાવે છે;
• (આશરે) સ્વ-સમાન છે;
• આંશિક હૌસડોર્ફ (ફ્રેક્ટલ) પરિમાણ ધરાવે છે, જે ટોપોલોજિકલ કરતાં મોટું છે;
• પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાઓ દ્વારા બનાવી શકાય છે.

19મી અને 20મી સદીના વળાંક પર, ફ્રેકટલ્સનો અભ્યાસ વ્યવસ્થિત કરતાં વધુ એપિસોડિક હતો, કારણ કે અગાઉ ગણિતશાસ્ત્રીઓ મુખ્યત્વે "સારી" વસ્તુઓનો અભ્યાસ કરતા હતા જેનો સામાન્ય પદ્ધતિઓ અને સિદ્ધાંતોનો ઉપયોગ કરીને અભ્યાસ કરી શકાય છે. 1872 માં, જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી કાર્લ વેયરસ્ટ્રાસે સતત કાર્યનું ઉદાહરણ બનાવ્યું જે ક્યાંય અલગ નથી. જો કે, તેનું બાંધકામ સંપૂર્ણપણે અમૂર્ત અને સમજવું મુશ્કેલ હતું. તેથી, 1904 માં, સ્વીડનના હેલ્જ વોન કોચ એક સતત વળાંક સાથે આવ્યા હતા જેમાં ક્યાંય પણ સ્પર્શક નથી, અને દોરવા માટે એકદમ સરળ છે. તે બહાર આવ્યું છે કે તેમાં ફ્રેક્ટલના ગુણધર્મો છે. આ વળાંકના એક પ્રકારને "કોચ સ્નોવફ્લેક" કહેવામાં આવે છે.

બેનોઇટ મેન્ડેલબ્રોટના ભાવિ માર્ગદર્શક, ફ્રેન્ચમેન પોલ પિયર લેવી દ્વારા આકૃતિઓની સ્વ-સમાનતાના વિચારો લેવામાં આવ્યા હતા. 1938 માં, તેમનો લેખ "પ્લેન અને અવકાશી વળાંકો અને સપાટીઓ જેમાં સમગ્ર સમાન ભાગોનો સમાવેશ થાય છે" પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યો હતો, જેમાં અન્ય ફ્રેકટલ - લેવી સી-વક્રનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું હતું. ઉપર સૂચિબદ્ધ આ તમામ ફ્રેકટલ્સને શરતી રીતે રચનાત્મક (ભૌમિતિક) ફ્રેકટલ્સના એક વર્ગ તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે.

બીજો વર્ગ ગતિશીલ (બીજગણિત) ફ્રેકટલ્સ છે, જેમાં મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહનો સમાવેશ થાય છે. આ દિશામાં પ્રથમ સંશોધન 20મી સદીની શરૂઆતનું છે અને તે ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રીઓ ગેસ્ટન જુલિયા અને પિયર ફાટૌના નામ સાથે સંકળાયેલું છે. 1918 માં, જુલિયાએ જટિલ તર્કસંગત કાર્યોના પુનરાવર્તનો પર લગભગ બે-સો પાનાની કૃતિ પ્રકાશિત કરી, જેમાં જુલિયા સેટનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું હતું - મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહ સાથે નજીકથી સંબંધિત ફ્રેકટલ્સનું આખું કુટુંબ. આ કાર્યને ફ્રેન્ચ એકેડેમી દ્વારા ઇનામ આપવામાં આવ્યું હતું, પરંતુ તેમાં એક પણ ચિત્ર નથી, તેથી ખુલ્લી વસ્તુઓની સુંદરતાની પ્રશંસા કરવી અશક્ય હતું. આ કાર્યએ જુલિયાને તે સમયના ગણિતશાસ્ત્રીઓમાં પ્રખ્યાત બનાવ્યું તે હકીકત હોવા છતાં, તે ઝડપથી ભૂલી ગઈ હતી.

જુલિયા અને ફટોઉના કામ પર ફરીથી ધ્યાન માત્ર અડધી સદી પછી, કોમ્પ્યુટરના આગમન સાથે ફરી વળ્યું: તેઓએ જ ફ્રેકટલ્સની દુનિયાની સમૃદ્ધિ અને સુંદરતા દેખાડી. છેવટે, ફટોઉ ક્યારેય તે છબીઓને જોઈ શક્યા નહીં કે જેને આપણે હવે મેન્ડેલબ્રોટ સેટની છબીઓ તરીકે ઓળખીએ છીએ, કારણ કે જરૂરી સંખ્યાની ગણતરી હાથથી કરી શકાતી નથી. આ માટે કોમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ કરનાર પ્રથમ વ્યક્તિ બેનોઈટ મેન્ડેલબ્રોટ હતા.

1982 માં, મેન્ડેલબ્રોટનું પુસ્તક "પ્રકૃતિની ખંડિત ભૂમિતિ" પ્રકાશિત થયું હતું, જેમાં લેખકે તે સમયે ઉપલબ્ધ ફ્રેકટલ્સ વિશેની લગભગ તમામ માહિતી એકત્રિત અને વ્યવસ્થિત કરી હતી અને તેને સરળ અને સુલભ રીતે રજૂ કરી હતી. મેન્ડેલબ્રોટે તેમની પ્રસ્તુતિમાં મુખ્ય ભાર ભારે સૂત્રો અને ગાણિતિક રચનાઓ પર નહીં, પરંતુ વાચકોની ભૌમિતિક અંતર્જ્ઞાન પર મૂક્યો. કમ્પ્યુટર અને ઐતિહાસિક વાર્તાઓનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલા ચિત્રો માટે આભાર, જેની સાથે લેખકે કુશળતાપૂર્વક મોનોગ્રાફના વૈજ્ઞાનિક ઘટકને પાતળું કર્યું, પુસ્તક બેસ્ટ સેલર બન્યું, અને ફ્રેકટલ્સ સામાન્ય લોકો માટે જાણીતા બન્યા. બિન-ગણિતશાસ્ત્રીઓમાં તેમની સફળતા મોટે ભાગે એ હકીકતને કારણે છે કે ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થી પણ સમજી શકે તેવા ખૂબ જ સરળ બાંધકામો અને સૂત્રોની મદદથી, અદ્ભુત જટિલતા અને સુંદરતાની છબીઓ મેળવવામાં આવે છે. જ્યારે પર્સનલ કોમ્પ્યુટર્સ પર્યાપ્ત શક્તિશાળી બન્યા, ત્યારે કલામાં એક સંપૂર્ણ દિશા પણ દેખાઈ - ફ્રેક્ટલ પેઇન્ટિંગ, અને લગભગ કોઈપણ કમ્પ્યુટર માલિક તે કરી શકે છે. હવે ઇન્ટરનેટ પર તમે આ વિષયને સમર્પિત ઘણી સાઇટ્સ સરળતાથી શોધી શકો છો.

ખંડિત ઉદાહરણ

અડધી સદી કરતા પણ ઓછા સમય પહેલા ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા “ફ્રેક્ટલ”નો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો, અને ટૂંક સમયમાં, સિનેર્જેટિક્સ અને આકર્ષણ સાથે, યુવા થિયરી ઓફ ડિટરમિનિસ્ટિક કેઓસના “ત્રણ સ્તંભો” પૈકીનું એક બની ગયું હતું, અને આજે તે પહેલાથી જ એક તરીકે ઓળખાય છે. બ્રહ્માંડની રચનાના મૂળભૂત તત્વો.

સાથે લેટિન શબ્દ ફ્રેકટસનો અનુવાદ થાય છે"તૂટેલા" તરીકે, આધુનિક લેટિન ભાષાઓએ તેનો અર્થ "ફાટેલો" આપ્યો. ફ્રેક્ટલ એવી વસ્તુ છે જે સંપૂર્ણ/મોટા જેમાંથી તે એક ભાગ છે તે સમાન હોય છે, અને તે જ સમયે, તેના દરેક ઘટક ભાગોની નકલ કરે છે. આમ, "અપૂર્ણતા" એ તેના ઘટકો માટે "બધું" ની અનંત સમાનતા છે, એટલે કે, તે કોઈપણ સ્તરે સ્વ-સમાનતા છે. ખંડિત શાખાના દરેક સ્તરને "પુનરાવર્તન" કહેવામાં આવે છે; આ કિસ્સામાં, જે બિંદુએ વિભાજન થાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, એક થડને શાખાઓમાં, એક નદીને બે પ્રવાહોમાં, વગેરે) વિભાજન બિંદુ કહેવામાં આવે છે.

ફ્રેકટસ શબ્દ 1975 માં ગણિતશાસ્ત્રી બેનોઈટ મેન્ડેલબ્રોટ દ્વારા વૈજ્ઞાનિક શોધનું વર્ણન કરવા માટે પસંદ કરવામાં આવ્યું હતું અને થોડા વર્ષો પછી તેમણે તેમના પુસ્તક ધ ફ્રેક્ટલ જિયોમેટ્રી ઓફ નેચરમાં વ્યાપક પ્રેક્ષકો માટે વિષય વિકસાવ્યા પછી તે લોકપ્રિય બન્યો હતો.

આજે, કોમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામ્સ દ્વારા બનાવવામાં આવેલ કહેવાતા "ફ્રેક્ટલ આર્ટ"ના વિચિત્ર નમૂના તરીકે ફ્રેકટલ વ્યાપકપણે જાણીતું છે. પરંતુ કમ્પ્યુટરની મદદથી તમે માત્ર સુંદર અમૂર્ત ચિત્રો જ નહીં, પણ ખૂબ જ વિશ્વાસપાત્ર કુદરતી લેન્ડસ્કેપ્સ - પર્વતો, નદીઓ, જંગલો પણ બનાવી શકો છો. અહીં, હકીકતમાં, વિજ્ઞાન અને વાસ્તવિક જીવન વચ્ચેના સંક્રમણનો મુદ્દો છે, અથવા ઊલટું, જો આપણે ધારીએ કે સામાન્ય રીતે તેમને અલગ કરવું શક્ય છે.

હકીકત એ છે કે ખંડિત સિદ્ધાંતમાત્ર ચોક્કસ વિજ્ઞાનમાં શોધોનું વર્ણન કરવા માટે જ યોગ્ય નથી. આ, સૌ પ્રથમ, પ્રકૃતિની રચના અને વિકાસનો સિદ્ધાંત છે. આપણી આસપાસની દરેક વસ્તુ ફ્રેકટલ્સ છે! ઉદાહરણોનું સૌથી સ્પષ્ટ જૂથ છે ઉપનદીઓ સાથેની નદીઓ, રુધિરકેશિકાઓ સાથેની વેનિસ સિસ્ટમ, વીજળી, હિમ પેટર્ન, વૃક્ષો... તાજેતરમાં જ, વૈજ્ઞાનિકો, પરીક્ષણ ખંડિત સિદ્ધાંત, પ્રાયોગિક રીતે ચકાસાયેલ છે કે એક વૃક્ષની રેખાકૃતિના આધારે આ વૃક્ષો જ્યાં ઉગે છે તે જંગલ વિસ્તાર વિશે તારણો કાઢી શકાય છે. ખંડિત જૂથોના અન્ય ઉદાહરણો: અણુ - પરમાણુ - ગ્રહમંડળ - સૌરમંડળ - તારાવિશ્વો - બ્રહ્માંડ... મિનિટ - કલાક - દિવસ - સપ્તાહ - મહિનો - વર્ષ - સદી ... લોકોનો સમુદાય પણ સિદ્ધાંતો અનુસાર પોતાને ગોઠવે છે ખંડિતતા: હું - કુટુંબ - કુળ - રાષ્ટ્રીયતા - રાષ્ટ્રીયતા - જાતિઓ... વ્યક્તિગત - જૂથ - પક્ષ - રાજ્ય. કર્મચારી - વિભાગ - વિભાગ - એન્ટરપ્રાઇઝ - ચિંતા... વિવિધ ધર્મોના દૈવી દેવીપૂજકો પણ એક જ સિદ્ધાંત પર બાંધવામાં આવ્યા છે, જેમાં ખ્રિસ્તી ધર્મનો સમાવેશ થાય છે: ભગવાન પિતા - ટ્રિનિટી - સંતો - ચર્ચ - વિશ્વાસીઓ, દૈવી દેવીપૂજકોના સંગઠનનો ઉલ્લેખ ન કરવો મૂર્તિપૂજક ધર્મો.

વાર્તાજણાવે છે કે 19મી સદીમાં વૈજ્ઞાનિકો - પોઈનકેરે, ફાટૌ, જુલિયા, કેન્ટોર, હૌસડોર્ફના કાર્યોમાં સ્વ-સમાન સેટ સૌપ્રથમ નોંધાયા હતા, પરંતુ સત્ય એ છે કે પહેલાથી જ મૂર્તિપૂજક સ્લેવોએ અમને સાબિતી આપી હતી કે લોકો વ્યક્તિગત અસ્તિત્વને નાની વિગતો તરીકે સમજતા હતા. બ્રહ્માંડની અનંતતામાં. બેલારુસ અને યુક્રેનના કલા ઇતિહાસકારો દ્વારા અભ્યાસ કરાયેલ "સ્પાઈડર" તરીકે ઓળખાતી આ લોક સંસ્કૃતિની વસ્તુ છે. તે આધુનિક "મોબાઇલ" શૈલીમાં શિલ્પનો એક પ્રકારનો પ્રોટોટાઇપ છે (ભાગો એકબીજાની તુલનામાં સતત ગતિમાં હોય છે). "સ્પાઈડર" ઘણીવાર સ્ટ્રોથી બનેલું હોય છે અને તેમાં સમાન આકારના નાના, મધ્યમ અને મોટા ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે, એકબીજાથી સસ્પેન્ડ કરવામાં આવે છે જેથી દરેક નાનો ભાગ મોટા ભાગ અને સમગ્ર રચનાને બરાબર પુનરાવર્તિત કરે. આ ડિઝાઇન ઘરના મુખ્ય ખૂણામાં લટકાવવામાં આવી હતી, જાણે કોઈના ઘરને આખી દુનિયાના તત્વ તરીકે દર્શાવતું હોય.

ખંડિતતાનો સિદ્ધાંત આજે દરેક જગ્યાએ કાર્ય કરે છે, જેમાં ફિલસૂફીનો સમાવેશ થાય છે, જે કહે છે કે દરેક જીવન દરમિયાન, અને કોઈપણ અને આખું જીવન ખંડિત છે, ત્યાં "દ્વિભાજન બિંદુઓ" છે જ્યારે વિકાસ ઉચ્ચ સ્તરો સુધી વિવિધ માર્ગો લઈ શકે છે અને એક ક્ષણ જ્યારે વ્યક્તિ "પસંદગી પહેલાં પોતાની જાતને શોધે છે", તેના જીવનના ફ્રેક્ચર્સમાં એક વાસ્તવિક "બફર્કેશન પોઇન્ટ" છે.

ડિટરમિનિસ્ટિક કેઓસનો સિદ્ધાંત કહે છે કે દરેક ફ્રેકટલનો વિકાસ અનંત નથી. વૈજ્ઞાનિકો માને છે કે ચોક્કસ ક્ષણે એક મર્યાદા આવે છે જેની બહાર પુનરાવૃત્તિની વૃદ્ધિ અટકી જાય છે અને ખંડિત "સંકુચિત" થવાનું શરૂ કરે છે, ધીમે ધીમે તેના મૂળ એકમ માપ સુધી પહોંચે છે, અને પછી પ્રક્રિયા ફરીથી વર્તુળમાં જાય છે - શ્વાસ અને શ્વાસ બહાર કાઢવાની જેમ, પ્રકૃતિમાં સવાર અને રાત્રિ, શિયાળા અને ઉનાળાના ફેરફારો.

ગણિત,
જો તમે તેને યોગ્ય રીતે જુઓ,
માત્ર સત્ય જ પ્રતિબિંબિત કરતું નથી,
પણ અનુપમ સુંદરતા.
બર્ટ્રાન્ડ રસેલ.

તમે, અલબત્ત, ફ્રેકટલ્સ વિશે સાંભળ્યું હશે. તમે ચોક્કસપણે Bryce3d ના આ આકર્ષક ચિત્રો જોયા હશે જે વાસ્તવિકતા કરતાં વધુ વાસ્તવિક છે. પર્વતો, વાદળો, ઝાડની છાલ - આ બધું સામાન્ય યુક્લિડિયન ભૂમિતિની બહાર જાય છે. અમે સીધી રેખાઓ, વર્તુળો અને ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને ખડક અથવા ટાપુની સીમાઓનું વર્ણન કરી શકતા નથી. અને અહીં ફ્રેકલ્સ અમારી મદદ માટે આવે છે. આ પરિચિત અજાણ્યાઓ શું છે? તેઓ ક્યારે દેખાયા?

દેખાવનો ઇતિહાસ.

ખંડિત ભૂમિતિના પ્રથમ વિચારો 19મી સદીમાં ઉદ્ભવ્યા. કેન્ટરે, એક સરળ પુનરાવર્તિત (પુનરાવર્તિત) પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને, રેખાને બિનજોડાણવાળા બિંદુઓના સંગ્રહમાં ફેરવી (કહેવાતા કેન્ટર ડસ્ટ). તે એક લાઇન લેશે અને મધ્ય ત્રીજાને દૂર કરશે અને પછી બાકીના વિભાગો સાથે તે જ પુનરાવર્તન કરશે. પીઆનોએ એક ખાસ પ્રકારની રેખા દોરી (આકૃતિ નંબર 1). તેને દોરવા માટે, પીઆનોએ નીચેના અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કર્યો.

પ્રથમ પગલામાં, તેણે એક સીધી રેખા લીધી અને તેને મૂળ રેખા (આકૃતિ 1 ના ભાગ 1 અને 2) કરતા 3 ગણા ઓછા 9 વિભાગો સાથે બદલ્યા. પછી તેણે પરિણામી લાઇનના દરેક સેગમેન્ટ સાથે તે જ કર્યું. અને તેથી જાહેરાત અનંત પર. તેની વિશિષ્ટતા એ છે કે તે સમગ્ર પ્લેનને ભરી દે છે. તે સાબિત થયું છે કે પ્લેન પરના દરેક બિંદુ માટે તમે પીઆનો લાઇનથી સંબંધિત બિંદુ શોધી શકો છો. પીઆનોનો વળાંક અને કેન્ટરની ધૂળ સામાન્ય ભૌમિતિક વસ્તુઓથી આગળ વધી ગઈ હતી. તેમની પાસે સ્પષ્ટ પરિમાણ નહોતું. કેન્ટરની ધૂળ એક-પરિમાણીય સીધી રેખાના આધારે બાંધવામાં આવી હોય તેવું લાગતું હતું, પરંતુ તેમાં પોઈન્ટ (પરિમાણ 0)નો સમાવેશ થતો હતો. અને પીઆનો વળાંક એક-પરિમાણીય રેખાના આધારે બનાવવામાં આવ્યો હતો, અને પરિણામ એક પ્લેન હતું. વિજ્ઞાનના અન્ય ઘણા ક્ષેત્રોમાં, સમસ્યાઓ દેખાઈ જેના ઉકેલથી ઉપર વર્ણવેલ (બ્રાઉનિયન મોશન, સ્ટોકના ભાવ) જેવા જ વિચિત્ર પરિણામો આવ્યા.

ફ્રેકટલ્સનો પિતા

20મી સદી સુધી, આવી વિચિત્ર વસ્તુઓ વિશેનો ડેટા તેમને વ્યવસ્થિત બનાવવાના કોઈપણ પ્રયાસ વિના સંચિત કરવામાં આવ્યો હતો. આધુનિક ખંડિત ભૂમિતિના પિતા અને ફ્રેકટલ શબ્દ બેનોઈટ મેન્ડેલબ્રોટે તેમને સ્વીકાર્યા ત્યાં સુધી તે હતું. IBM માં ગાણિતિક વિશ્લેષક તરીકે કામ કરતી વખતે, તેમણે ઈલેક્ટ્રોનિક સર્કિટ્સમાં અવાજનો અભ્યાસ કર્યો જે આંકડાઓનો ઉપયોગ કરીને વર્ણવી શકાય તેમ નથી. ધીરે ધીરે તથ્યોની તુલના કરતાં, તે ગણિતમાં એક નવી દિશાની શોધમાં આવ્યો - ખંડિત ભૂમિતિ.

ફ્રેક્ટલ શું છે? મેન્ડેલબ્રોટે પોતે લેટિન શબ્દ ફ્રેકટસ પરથી ફ્રેકટલ શબ્દ લીધો છે, જેનો અર્થ થાય છે તૂટેલા (ભાગોમાં વિભાજિત). અને ફ્રેકટલની વ્યાખ્યાઓમાંની એક ભૌમિતિક આકૃતિ છે જે ભાગોથી બનેલી છે અને જેને ભાગોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે, જેમાંથી દરેક સમગ્ર (ઓછામાં ઓછી અંદાજે) ની નાની નકલનું પ્રતિનિધિત્વ કરશે.

ફ્રેકટલની વધુ સ્પષ્ટ રીતે કલ્પના કરવા માટે, ચાલો બી. મેન્ડેલબ્રોટના પુસ્તક "ધ ફ્રેકટલ જીઓમેટ્રી ઓફ નેચર" માં આપેલા ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ, જે ક્લાસિક બની ગયું છે - "બ્રિટનના દરિયાકિનારાની લંબાઈ કેટલી છે?" આ પ્રશ્નનો જવાબ લાગે તેટલો સરળ નથી. તે બધું આપણે ઉપયોગ કરીશું તે સાધનની લંબાઈ પર આધાર રાખે છે. કિલોમીટરના શાસકનો ઉપયોગ કરીને કિનારાને માપવાથી, આપણે થોડી લંબાઈ મેળવીશું. જો કે, અમે ઘણી નાની ખાડીઓ અને દ્વીપકલ્પોને ચૂકી જઈશું જે અમારી રેખા કરતા કદમાં ઘણા નાના છે. શાસકનું કદ ઘટાડીને, કહો, 1 મીટર, અમે લેન્ડસ્કેપની આ વિગતોને ધ્યાનમાં લઈશું, અને તે મુજબ, દરિયાકાંઠાની લંબાઈ મોટી થશે. ચાલો આગળ જઈએ અને મિલીમીટર શાસકનો ઉપયોગ કરીને કિનારાની લંબાઈને માપીએ, અમે એક મિલીમીટર કરતા મોટી હોય તેવી વિગતો ધ્યાનમાં લઈશું, લંબાઈ પણ વધુ હશે. પરિણામે, આવા મોટે ભાગે સરળ પ્રશ્નનો જવાબ કોઈને પણ મૂંઝવી શકે છે - બ્રિટનના દરિયાકિનારાની લંબાઈ અનંત છે.

પરિમાણો વિશે થોડું.

આપણા રોજિંદા જીવનમાં આપણે સતત પરિમાણોનો સામનો કરીએ છીએ. અમે રસ્તાની લંબાઈ (250 મીટર) નો અંદાજ લગાવીએ છીએ, એપાર્ટમેન્ટનું ક્ષેત્રફળ (78 m2) શોધીએ છીએ અને સ્ટીકર (0.33 dm3) પર બીયરની બોટલની માત્રા શોધીએ છીએ. આ ખ્યાલ તદ્દન સાહજિક છે અને, એવું લાગે છે, સ્પષ્ટતાની જરૂર નથી. રેખામાં પરિમાણ 1 છે. આનો અર્થ એ છે કે સંદર્ભ બિંદુ પસંદ કરીને, આપણે 1 નંબરનો ઉપયોગ કરીને આ રેખા પર કોઈપણ બિંદુને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ - સકારાત્મક અથવા નકારાત્મક. તદુપરાંત, આ બધી રેખાઓને લાગુ પડે છે - વર્તુળ, ચોરસ, પેરાબોલા, વગેરે.

પરિમાણ 2 નો અર્થ છે કે આપણે કોઈપણ બિંદુને બે સંખ્યાઓ દ્વારા વિશિષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ. એવું ન વિચારો કે દ્વિ-પરિમાણીય એટલે સપાટ. ગોળાની સપાટી પણ દ્વિ-પરિમાણીય છે (તેને બે મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે - પહોળાઈ અને રેખાંશ જેવા ખૂણા).

જો આપણે તેને ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી જોઈએ, તો પરિમાણ નીચે મુજબ નક્કી થાય છે: એક-પરિમાણીય પદાર્થો માટે, તેમના રેખીય કદને બમણું કરવાથી કદમાં વધારો થાય છે (આ કિસ્સામાં, લંબાઈ) બે (2^) ના પરિબળથી. 1).

દ્વિ-પરિમાણીય પદાર્થો માટે, રેખીય પરિમાણને બમણું કરવાથી કદમાં (ઉદાહરણ તરીકે, લંબચોરસનો વિસ્તાર) ચાર ગણો (2^2) વધારો થાય છે.

3-પરિમાણીય ઑબ્જેક્ટ્સ માટે, રેખીય પરિમાણોને બમણું કરવાથી વોલ્યુમમાં આઠ ગણો વધારો થાય છે (2^3) વગેરે.

આમ, પરિમાણ D ની ગણતરી રેખીય પરિમાણ L. D=log(S)/log(L) માં વધારા પર ઑબ્જેક્ટ S ના "કદ" માં વધારાની નિર્ભરતાને આધારે કરી શકાય છે. D=log(2)/log(2)=1 રેખા માટે. પ્લેન D=log(4)/log(2)=2 માટે. વોલ્યુમ D=log(8)/log(2)=3 માટે. તે થોડું ગૂંચવણભર્યું હોઈ શકે છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે તે જટિલ અને સમજી શકાય તેવું નથી.

હું આ બધું કેમ કહું છું? અને ફ્રેક્ટલ્સને સોસેજમાંથી કેવી રીતે અલગ કરવું તે સમજવા માટે. ચાલો પીઆનો વળાંક માટે પરિમાણની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. તેથી, અમારી પાસે મૂળ રેખા છે, જેમાં X લંબાઈના ત્રણ ભાગોનો સમાવેશ થાય છે, જેની જગ્યાએ 9 વિભાગો ત્રણ ગણા ટૂંકા હોય છે. આમ, જ્યારે લઘુત્તમ સેગમેન્ટ 3 ગણો વધે છે, ત્યારે સમગ્ર રેખાની લંબાઈ 9 ગણી વધે છે અને D=log(9)/log(3)=2 એ દ્વિ-પરિમાણીય પદાર્થ છે!!!

તેથી, જ્યારે કેટલીક સરળ વસ્તુઓ (સેગમેન્ટ્સ) માંથી મેળવેલી આકૃતિનું પરિમાણ આ પદાર્થોના પરિમાણ કરતા વધારે હોય છે, ત્યારે આપણે ખંડિત સાથે વ્યવહાર કરીએ છીએ.

ફ્રેકટલ્સને જૂથોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. સૌથી મોટા જૂથો છે:

ભૌમિતિક ખંડિત.

અહીંથી ફ્રેકટલ્સનો ઈતિહાસ શરૂ થયો. આ પ્રકારના ફ્રેકટલ સરળ ભૌમિતિક બાંધકામો દ્વારા મેળવવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે, આ ફ્રેકટલ્સ બનાવતી વખતે, તેઓ આ કરે છે: તેઓ "બીજ" લે છે - એક સ્વયંસિદ્ધ - સેગમેન્ટ્સનો સમૂહ જેના આધારે ફ્રેકટલ બનાવવામાં આવશે. આગળ, આ "બીજ" પર નિયમોનો સમૂહ લાગુ કરવામાં આવે છે, જે તેને અમુક પ્રકારની ભૌમિતિક આકૃતિમાં પરિવર્તિત કરે છે. આગળ, આ આકૃતિના દરેક ભાગ પર સમાન નિયમોનો ફરીથી લાગુ કરવામાં આવે છે. દરેક પગલા સાથે, આકૃતિ વધુને વધુ જટિલ બનશે, અને જો આપણે (ઓછામાં ઓછા આપણા મગજમાં) અનંત સંખ્યામાં પરિવર્તનો હાથ ધરીશું, તો આપણને ભૌમિતિક ખંડિત મળશે.

ઉપર ચર્ચા કરેલ પીઆનો વળાંક ભૌમિતિક ખંડિત છે. નીચેની આકૃતિ ભૌમિતિક ભંગાણના અન્ય ઉદાહરણો દર્શાવે છે (ડાબેથી જમણે કોચના સ્નોવફ્લેક, લિઝ્ટ, સિઅરપિન્સકી ત્રિકોણ).

શીટ

સિઅરપિન્સકી ત્રિકોણ

આ ભૌમિતિક ભંગાણમાંથી, પ્રથમ, કોચ સ્નોવફ્લેક, ખૂબ જ રસપ્રદ અને ખૂબ પ્રખ્યાત છે. તે સમભુજ ત્રિકોણના આધારે બનાવવામાં આવ્યું છે. દરેક લીટી જેમાંથી ___ ને 4 લીટીઓ દ્વારા બદલવામાં આવે છે દરેક 1/3 મૂળ _/\_ લંબાઈ. આમ, દરેક પુનરાવર્તન સાથે, વળાંકની લંબાઈ ત્રીજા ભાગથી વધે છે. અને જો આપણે અસંખ્ય પુનરાવૃત્તિઓ કરીએ છીએ, તો આપણને ફ્રેકટલ મળશે - અનંત લંબાઈનો કોચ સ્નોવફ્લેક. તે તારણ આપે છે કે આપણું અનંત વળાંક મર્યાદિત વિસ્તારને આવરી લે છે. યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાંથી પદ્ધતિઓ અને આકૃતિઓનો ઉપયોગ કરીને તે જ કરવાનો પ્રયાસ કરો.

કોચ સ્નોવફ્લેકનું પરિમાણ (જ્યારે સ્નોવફ્લેક 3 ગણો વધે છે, ત્યારે તેની લંબાઈ 4 ગણી વધે છે) D=log(4)/log(3)=1.2619...

કહેવાતી L-સિસ્ટમ ભૌમિતિક ફ્રેકટલ્સ બાંધવા માટે યોગ્ય છે. આ સિસ્ટમોનો સાર એ છે કે ત્યાં સિસ્ટમ પ્રતીકોનો ચોક્કસ સમૂહ છે, જેમાંથી દરેક ચોક્કસ ક્રિયા અને પ્રતીક રૂપાંતર નિયમોનો સમૂહ દર્શાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, Fractint પ્રોગ્રામમાં L-Systems નો ઉપયોગ કરીને કોચના સ્નોવફ્લેકનું વર્ણન

આ વર્ણનમાં, પ્રતીકોના ભૌમિતિક અર્થો નીચે મુજબ છે:

F એટલે રેખા દોરો + ઘડિયાળની દિશામાં વળો - ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં વળો

ફ્રેકટલ્સનો બીજો ગુણધર્મ સ્વ-સમાનતા છે. ઉદાહરણ તરીકે, સિઅરપિન્સકી ત્રિકોણ લો. તેને બાંધવા માટે, આપણે સમભુજ ત્રિકોણના કેન્દ્રમાંથી એક ત્રિકોણને "કાપીએ છીએ". ચાલો રચાયેલા ત્રણ ત્રિકોણ માટે સમાન પ્રક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરીએ (કેન્દ્રીય ત્રિકોણ સિવાય) અને આ રીતે જાહેરાત અનંત. જો આપણે હવે પરિણામી ત્રિકોણમાંથી કોઈપણ લઈશું અને તેને મોટું કરીશું, તો આપણને સંપૂર્ણની ચોક્કસ નકલ મળશે. આ કિસ્સામાં અમે સંપૂર્ણ સ્વ-સમાનતા સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ.

ચાલો હું તરત જ એક આરક્ષણ કરું કે આ લેખમાંના મોટાભાગના ફ્રેક્ટલ ડ્રોઇંગ્સ ફ્રેક્ટિન્ટ પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવ્યા હતા. જો તમને ફ્રેકટલ્સમાં રસ હોય, તો આ તમારા માટે જરૂરી પ્રોગ્રામ છે. તેની મદદ વડે, તમે સેંકડો વિવિધ ફ્રેકટલ્સ બનાવી શકો છો, તેના પર વ્યાપક માહિતી મેળવી શકો છો અને ફ્રેકટલ્સ કેવી રીતે ધ્વનિ થાય છે તે પણ સાંભળી શકો છો;).

કાર્યક્રમ સારો છે એમ કહેવા માટે કંઈ ન કહેવાય. તે સરસ છે, એક વસ્તુ સિવાય - નવીનતમ સંસ્કરણ 20.0 માત્ર DOS સંસ્કરણમાં ઉપલબ્ધ છે:(. તમે આ પ્રોગ્રામ (નવીનતમ સંસ્કરણ 20.0) http://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.html પર શોધી શકો છો .

એક ટિપ્પણી મૂકો

ટિપ્પણીઓ

સારું, શરૂઆત માટે, માઈક્રોસોફ્ટ એક્સેલ A2 અને B2 નું એક રસપ્રદ ઉદાહરણ 0 અને 1 ની વચ્ચે સમાન મૂલ્યો ધરાવે છે, જેની કિંમત 0.5 છે.

ભ્રષ્ટ ચિત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રોગ્રામ બનાવવા માટે વ્યવસ્થાપિત દરેકને નમસ્કાર. 2800 mH વાળા પથ્થર પર 100,000 ની dt પુનરાવૃત્તિ સાથે 3d મેક્સ બેકિંગ સાથે ફ્રેક્ટલ ફર્નને ક્લિયરિંગ બનાવવા માટે મારા માટે કઈ ચક્ર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો તે મને કોણ કહી શકે?

ડ્રેગન કર્વ દોરવા માટેના પ્રોગ્રામ સાથેનો સ્રોત કોડ છે, તે ફ્રેકટલ પણ છે.

લેખ અદ્ભુત છે. અને એક્સેલ કદાચ કોપ્રોસેસરની ભૂલ છે (છેલ્લા લો-ઓર્ડર અંકો પર)