જ્યારે પર્યાપ્ત મોટા હોય, ત્યારે બર્નૌલીનું સૂત્ર બોજારૂપ ગણતરીઓ પેદા કરે છે. તેથી, આવા કિસ્સાઓમાં, સ્થાનિક લેપ્લેસ પ્રમેયનો ઉપયોગ થાય છે.

પ્રમેય(સ્થાનિક લેપ્લેસ પ્રમેય). જો દરેક અજમાયશમાં ઘટના A ની સંભાવના p સતત અને 0 અને 1 થી અલગ હોય, તો સંભાવના
હકીકત એ છે કે ઘટના A n સ્વતંત્ર ટ્રાયલ્સમાં બરાબર k વખત દેખાશે તે કાર્યના મૂલ્યની લગભગ સમાન છે:

,

.

ત્યાં કોષ્ટકો છે જેમાં કાર્ય મૂલ્યો સ્થિત છે
, હકારાત્મક મૂલ્યો માટે x.

નોંધ કરો કે કાર્ય
સમ

તેથી, n ટ્રાયલ્સમાં ઘટના A દેખાશે તેવી સંભાવના બરાબર k ગણા લગભગ બરાબર છે

, ક્યાં
.

ઉદાહરણ.પ્રાયોગિક ક્ષેત્રે 1500 બીજ વાવવામાં આવ્યા હતા. જો દાણા ફૂટવાની સંભાવના 0.9 હોય તો રોપાઓ 1200 બીજ ઉત્પન્ન કરશે તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ.

લેપ્લેસનું અભિન્ન પ્રમેય

સંભવિતતા કે નિરપેક્ષ અજમાયશમાં ઘટના A ઓછામાં ઓછી k1 વખત અને વધુમાં વધુ k2 વખત દેખાશે તેની ગણતરી લેપ્લેસના અભિન્ન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.

પ્રમેય(લાપ્લેસનું અભિન્ન પ્રમેય). જો દરેક અજમાયશમાં ઘટના a ની સંભાવના p સતત અને 0 અને 1 થી અલગ હોય, તો ઘટના A ઓછામાં ઓછી k 1 વખત અને n ટ્રાયલ્સમાં k 2 કરતા વધુ વખત દેખાશે તેવી સંભાવના લગભગ સમાન છે. ચોક્કસ અભિન્ન મૂલ્ય:

.

કાર્ય
લેપ્લેસ ઇન્ટિગ્રલ ફંક્શન કહેવાય છે, તે વિચિત્ર છે અને તેનું મૂલ્ય કોષ્ટકમાં હકારાત્મક મૂલ્યો x માટે જોવા મળે છે.

ઉદાહરણ.પ્રયોગશાળામાં, 90% ના અંકુરણ દરવાળા બીજના બેચમાંથી, 600 બીજ વાવવામાં આવ્યા હતા, જે અંકુરિત થયા હતા, 520 થી ઓછા અને 570 થી વધુ નહીં.

ઉકેલ.

પોઈસનનું સૂત્ર

n સ્વતંત્ર અજમાયશ કરવા દો, દરેક અજમાયશમાં ઘટના A બનવાની સંભાવના સ્થિર અને p જેટલી છે. જેમ આપણે પહેલેથી જ કહ્યું છે તેમ, સ્વતંત્ર અજમાયશમાં ઘટના A ની સંભાવના બર્નૌલીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બરાબર k વખત શોધી શકાય છે. જ્યારે n પૂરતા પ્રમાણમાં મોટું હોય છે, ત્યારે લેપ્લેસના સ્થાનિક પ્રમેયનો ઉપયોગ થાય છે. જો કે, આ સૂત્ર અયોગ્ય છે જ્યારે દરેક અજમાયશમાં ઘટનાની સંભાવના ઓછી હોય અથવા 1 ની નજીક હોય. અને જ્યારે p=0 અથવા p=1 તે બિલકુલ લાગુ પડતું નથી. આવા કિસ્સાઓમાં, પોઈસનના પ્રમેયનો ઉપયોગ થાય છે.

પ્રમેય(પોઇસનનું પ્રમેય). જો દરેક અજમાયશમાં ઘટના A ની સંભાવના p સ્થિર હોય અને 0 અથવા 1 ની નજીક હોય, અને અજમાયશની સંખ્યા પૂરતી મોટી હોય, તો n સ્વતંત્ર અજમાયશમાં ઘટના A બરાબર k વખત દેખાશે તેવી સંભાવના સૂત્ર:

.

ઉદાહરણ.હસ્તપ્રત એક હજાર પાનાની ટાઈપલિખિત ટેક્સ્ટ છે અને તેમાં એક હજાર ટાઈપો છે. અવ્યવસ્થિત રીતે લીધેલા પૃષ્ઠમાં ઓછામાં ઓછી એક ટાઈપો હોય તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ.

પ્રશ્નોમાટે સ્વ-પરીક્ષણો

ઘટનાની સંભાવનાની ઉત્તમ વ્યાખ્યા ઘડવી.

સંભાવનાઓના ઉમેરા અને ગુણાકાર માટે રાજ્ય પ્રમેય.

ઘટનાઓના સંપૂર્ણ જૂથને વ્યાખ્યાયિત કરો.

કુલ સંભાવના માટે સૂત્ર લખો.

બેયસનું સૂત્ર લખો.

બર્નૌલીનું સૂત્ર લખો.

પોઈસનનું સૂત્ર લખો.

સ્થાનિક લેપ્લેસ સૂત્ર લખો.

લેપ્લેસનું અભિન્ન સૂત્ર લખો.

વિષય 13. રેન્ડમ ચલ અને તેની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ

સાહિત્ય:,,,,,.

સંભાવના સિદ્ધાંતમાં મૂળભૂત ખ્યાલોમાંની એક રેન્ડમ ચલનો ખ્યાલ છે. આ ચલ જથ્થા માટેનું સામાન્ય નામ છે જે કેસના આધારે તેના મૂલ્યો લે છે. રેન્ડમ ચલો બે પ્રકારના હોય છે: અલગ અને સતત. રેન્ડમ ચલો સામાન્ય રીતે X,Y,Z તરીકે સૂચવવામાં આવે છે.

રેન્ડમ વેરીએબલ Xને સતત (અલગ) કહેવામાં આવે છે જો તે માત્ર મર્યાદિત અથવા ગણી શકાય તેવી સંખ્યા લઈ શકે. એક અલગ રેન્ડમ ચલ X વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જો તેના તમામ સંભવિત મૂલ્યો x 1 , x 2 , x 3 , ... x n (જેની સંખ્યા મર્યાદિત અથવા અનંત હોઈ શકે છે) અને અનુરૂપ સંભાવનાઓ p 1 , p 2 , p 3, ... p ને n આપવામાં આવે છે.

એક અલગ રેન્ડમ ચલ X નો વિતરણ કાયદો સામાન્ય રીતે કોષ્ટક દ્વારા આપવામાં આવે છે:

પ્રથમ લીટીમાં રેન્ડમ ચલ X ના સંભવિત મૂલ્યોનો સમાવેશ થાય છે, અને બીજી લીટી આ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ દર્શાવે છે. સંભાવનાઓનો સરવાળો કે જેની સાથે રેન્ડમ ચલ X તેના તમામ મૂલ્યો લે છે તે એક સમાન છે, એટલે કે

р 1 +р 2 + р 3 +…+р n =1.

એક અલગ રેન્ડમ ચલ X ના વિતરણ કાયદાને ગ્રાફિકલી ચિત્રિત કરી શકાય છે. આ કરવા માટે, બિંદુઓ M 1 (x 1, p 1), M 2 (x 2, p 2), M 3 (x 3, p 3), ... M n (x n, p n) લંબચોરસમાં બાંધવામાં આવે છે. સંકલન સિસ્ટમ અને સીધા સેગમેન્ટ્સ દ્વારા જોડાયેલ પરિણામી આકૃતિને રેન્ડમ ચલ Xનું વિતરણ બહુકોણ કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ.અલગ મૂલ્ય X નીચેના વિતરણ કાયદા દ્વારા આપવામાં આવે છે:

તેની ગણતરી કરવી જરૂરી છે: a) ગાણિતિક અપેક્ષા M(X), b) ભિન્નતા D(X), c) પ્રમાણભૂત વિચલન σ.

ઉકેલ . a) એક અલગ રેન્ડમ ચલ X ની ગાણિતિક અપેક્ષા M(X) એ આ સંભવિત મૂલ્યોની અનુરૂપ સંભાવનાઓ દ્વારા રેન્ડમ ચલના તમામ સંભવિત મૂલ્યોના જોડીવાઇઝ ઉત્પાદનોનો સરવાળો છે. જો કોષ્ટક (1) નો ઉપયોગ કરીને એક અલગ રેન્ડમ ચલ X નો ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો હોય, તો ગાણિતિક અપેક્ષા M(X) ની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.

M(X)=x 1 ∙p 1 +x 2 ∙p 2 +x 3 ∙p 3 +…+x n ∙p n. (2)

ગાણિતિક અપેક્ષા M(X) ને રેન્ડમ ચલ X નું સરેરાશ મૂલ્ય પણ કહેવામાં આવે છે. (2) લાગુ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ:

M(X)=48∙0.2+53∙0.4+57∙0.3 +61∙0.1=54.

b) જો M(X) એ રેન્ડમ ચલ X ની ગાણિતિક અપેક્ષા છે, તો તફાવત X-M(X) કહેવાય છે. વિચલનસરેરાશ મૂલ્યમાંથી રેન્ડમ ચલ X. આ તફાવત રેન્ડમ ચલના છૂટાછવાયાને દર્શાવે છે.

ભિન્નતાએક અલગ રેન્ડમ ચલ Xનું (સ્કેટરિંગ) તેની ગાણિતિક અપેક્ષામાંથી રેન્ડમ ચલના વર્ગ વિચલનની ગાણિતિક અપેક્ષા (સરેરાશ મૂલ્ય) છે. આમ, વ્યાખ્યા દ્વારા અમારી પાસે છે:

D(X)=M 2 . (3)

ચાલો વર્ગ વિચલનના તમામ સંભવિત મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ.

2 =(48-54) 2 =36

2 =(53-54) 2 =1

2 =(57-54) 2 =9

2 =(61-54) 2 =49

વિક્ષેપ D(X) ની ગણતરી કરવા માટે, અમે વર્ગ વિચલનનો વિતરણ કાયદો દોરીએ છીએ અને પછી સૂત્ર (2) લાગુ કરીએ છીએ.

D(X)= 36∙0.2+1∙0.4+9∙0.3 +49∙0.1=15.2.

એ નોંધવું જોઈએ કે નીચેની ગુણધર્મનો ઉપયોગ ઘણીવાર ભિન્નતાની ગણતરી કરવા માટે થાય છે: ભિન્નતા D(X) રેન્ડમ ચલ X ના વર્ગની ગાણિતિક અપેક્ષા અને તેની ગાણિતિક અપેક્ષાના વર્ગ વચ્ચેના તફાવતની બરાબર છે, એટલે કે

D(X)-M(X 2)- 2. (4)

ફોર્મ્યુલા (4) નો ઉપયોગ કરીને વિક્ષેપની ગણતરી કરવા માટે, અમે રેન્ડમ ચલ X 2 ના વિતરણનો કાયદો બનાવીએ છીએ:

હવે ચાલો ગાણિતિક અપેક્ષા M(X 2) શોધીએ.

M(X 2)= (48) 2 ∙0.2+(53) 2 ∙0.4+(57) 2 ∙0.3 +(61) 2 ∙0.1=

460,8+1123,6+974,7+372,1=2931,2.

(4) અરજી કરીને, અમને મળે છે:

D(X)=2931.2-(54) 2 =2931.2-2916=15.2.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, અમને સમાન પરિણામ મળ્યું.

c) ભિન્નતાનું પરિમાણ રેન્ડમ ચલના પરિમાણના ચોરસ જેટલું છે. તેથી, તેના સરેરાશ મૂલ્યની આસપાસ રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોના વિક્ષેપને લાક્ષણિકતા આપવા માટે, તે મૂલ્યને ધ્યાનમાં લેવું વધુ અનુકૂળ છે જે વિચલનના વર્ગમૂળના અંકગણિત મૂલ્યની બરાબર છે, એટલે કે
. આ મૂલ્યને રેન્ડમ ચલ Xનું પ્રમાણભૂત વિચલન કહેવામાં આવે છે અને તે σ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આમ

σ=
. (5)

(5) લાગુ કરીને, અમારી પાસે છે: σ=
.

ઉદાહરણ.રેન્ડમ ચલ X સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે. ગાણિતિક અપેક્ષા M(X)=5; varianceD(X)=0.64. સંભાવના શોધો કે પરીક્ષણના પરિણામે X અંતરાલમાં મૂલ્ય લેશે (4;7).

ઉકેલતે જાણીતું છે કે જો રેન્ડમ ચલ X એ વિભેદક કાર્ય f(x) દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે, તો સંભાવના કે X અંતરાલ (α, β) સાથે સંબંધિત મૂલ્ય લેશે તે સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે.

. (1)

જો મૂલ્ય X સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે, તો વિભેદક કાર્ય

,

જ્યાં એ=M(X) અને σ=
. આ કિસ્સામાં, અમે (1) પાસેથી મેળવીએ છીએ

. (2)

ફોર્મ્યુલા (2) ને લેપ્લેસ ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને રૂપાંતરિત કરી શકાય છે.

ચાલો એક અવેજી બનાવીએ. દો
. પછી
અથવા ડીએક્સ=σ∙ તા.

આથી
, જ્યાં t 1 અને t 2 એ ચલ t માટે અનુરૂપ મર્યાદા છે.

σ દ્વારા ઘટાડીને, અમારી પાસે છે

દાખલ કરેલ અવેજીમાંથી
તે તેને અનુસરે છે
અને
.

આમ,

(3)

સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર અમારી પાસે છે: a=5; σ=
=0.8; α=4; β=7. આ ડેટાને (3) માં બદલીને, અમને મળે છે:

=Ф(2.5)-Ф(-1.25)=

=F(2.5)+F(1.25)=0.4938+0.3944=0.8882.

ઉદાહરણ.એવું માનવામાં આવે છે કે ધોરણમાંથી ઉત્પાદિત ભાગોની લંબાઈનું વિચલન એ સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત રેન્ડમ ચલ છે. પ્રમાણભૂત લંબાઈ (ગાણિતિક અપેક્ષા) a=40 cm, પ્રમાણભૂત વિચલન σ=0.4 cm એ સંભાવના શોધો કે પ્રમાણભૂતમાંથી લંબાઈનું વિચલન નિરપેક્ષ મૂલ્યમાં 0.6 cm કરતાં વધુ નહીં હોય.

ઉકેલ.જો X એ ભાગની લંબાઈ છે, તો સમસ્યાની સ્થિતિ અનુસાર આ મૂલ્ય અંતરાલ (a-δ,a+δ) માં હોવું જોઈએ, જ્યાં a=40 અને δ=0.6.

α= a-δ અને β= a+δ ને સૂત્ર (3) માં મૂકીને, આપણે મેળવીએ છીએ

. (4)

ઉપલબ્ધ ડેટાને (4) માં બદલીને, અમે મેળવીએ છીએ:

તેથી, ઉત્પાદિત ભાગોની લંબાઈ 39.4 થી 40.6 સે.મી.ની રેન્જમાં હોવાની સંભાવના 0.8664 છે.

ઉદાહરણ.પ્લાન્ટ દ્વારા ઉત્પાદિત ભાગોનો વ્યાસ એ સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત થયેલ રેન્ડમ ચલ છે. પ્રમાણભૂત વ્યાસ લંબાઈ a=2.5 cm, પ્રમાણભૂત વિચલન σ=0.01. જો 0.9973 ની સંભાવના ધરાવતી ઘટનાને વિશ્વસનીય તરીકે લેવામાં આવે તો આ ભાગના વ્યાસની લંબાઈની વ્યવહારીક રીતે કઈ મર્યાદામાં ખાતરી આપી શકાય?

ઉકેલ.સમસ્યાની શરતો અનુસાર અમારી પાસે છે:

a=2.5; σ=0.01; .

સૂત્ર (4) લાગુ કરીને, અમે સમાનતા મેળવીએ છીએ:

અથવા
.

કોષ્ટક 2 પરથી આપણે શોધી કાઢ્યું છે કે લેપ્લેસ ફંક્શનમાં આ મૂલ્ય x=3 છે. આથી,
; જ્યાંથી σ=0.03.

આ રીતે, તે ખાતરી આપી શકાય છે કે વ્યાસ લંબાઈ 2.47 અને 2.53 સે.મી. વચ્ચે બદલાશે.

લેપ્લેસનું અભિન્ન પ્રમેય

પ્રમેય. જો દરેક અજમાયશમાં ઘટના A ની ઘટનાની સંભાવના p સતત અને શૂન્ય અને એકથી અલગ હોય, તો સંભવિતતા કે n સ્વતંત્ર અજમાયશમાં ઘટના A ની ઘટનાની સંખ્યા m એ a થી b (સમાવિષ્ટ) ની શ્રેણીમાં રહે છે. , પૂરતી મોટી સંખ્યામાં ટ્રાયલ સાથે n લગભગ સમાન છે

લેપ્લેસનું અભિન્ન સૂત્ર, તેમજ મોઇવર-લાપ્લેસનું સ્થાનિક સૂત્ર, જેટલું વધુ સચોટ nઅને મૂલ્ય 0.5 ની નજીક પીઅને q. જો શરત પૂરી થાય તો આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી મામૂલી ભૂલ આપે છે npq≥ 20, જો કે શરતની પરિપૂર્ણતાને સ્વીકાર્ય ગણી શકાય npq > 10.

કાર્ય Ф( x) ટેબ્યુલેટેડ (જુઓ પરિશિષ્ટ 2). આ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરવા માટે તમારે ફંક્શનના ગુણધર્મો જાણવાની જરૂર છે Ф( x):

1. કાર્ય Ф( x) - વિચિત્ર, એટલે કે. F(- x) = – Ф( x).

2. કાર્ય Ф( x) – એકવિધ રીતે વધી રહ્યું છે, અને x → +∞ Ф( તરીકે x) → 0.5 (વ્યવહારિક રીતે આપણે ધારી શકીએ કે તે પહેલાથી જ છે x≥ 5 F( x) ≈ 0,5).

ઉદાહરણ 3.4.ઉદાહરણ 3.3 ની શરતોનો ઉપયોગ કરીને, 300 થી 360 (સમાવિષ્ટ) વિદ્યાર્થીઓ પ્રથમ વખત સફળતાપૂર્વક પરીક્ષા પાસ કરશે તેવી સંભાવનાની ગણતરી કરો.

ઉકેલ. અમે લેપ્લેસનું અભિન્ન પ્રમેય લાગુ કરીએ છીએ ( npq≥ 20). અમે ગણતરી કરીએ છીએ:

= –2,5; = 5,0;

પી 400 (300 ≤ m≤ 360) = Ф(5.0) – Ф(–2.5).

ફંક્શનના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લેતા Ф( x) અને તેના મૂલ્યોના કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, આપણે શોધીએ છીએ: Ф(5,0) = 0.5; Ф(–2.5) = – Ф(2.5) = – 0.4938.

અમને મળે છે પી 400 (300 ≤ m ≤ 360) = 0,5 – (– 0,4938) = 0,9938. ◄

ચાલો લેપ્લેસના અભિન્ન પ્રમેયના પરિણામો લખીએ.

કોરોલરી 1. જો દરેક અજમાયશમાં ઘટના A ની ઘટનાની સંભાવના p સતત અને શૂન્ય અને એકથી અલગ હોય, તો સ્વતંત્ર અજમાયશની પૂરતી મોટી સંખ્યા n સાથે, ઘટના A ની ઘટનાની સંખ્યા m ઉત્પાદન np થી અલગ હોવાની સંભાવના ε > કરતાં વધુ નહીં 0

.

(3.8)

ઉદાહરણ 3.5.ઉદાહરણ 3.3 ની શરતો હેઠળ, સંભાવના શોધો કે 280 થી 360 વિદ્યાર્થીઓ પ્રથમ વખત સંભાવના સિદ્ધાંત પરીક્ષા સફળતાપૂર્વક પાસ કરશે.

ઉકેલ. સંભાવનાની ગણતરી કરો આર 400 (280 ≤ m≤ 360) લેપ્લેસના મૂળભૂત અભિન્ન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અગાઉના ઉદાહરણ જેવું જ હોઈ શકે છે. પરંતુ જો તમે જોશો કે અંતરાલ 280 અને 360 ની સીમાઓ મૂલ્યના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે તો આ કરવાનું વધુ સરળ છે. એન.પી.=320. પછી, કોરોલરી 1 ના આધારે, અમે મેળવીએ છીએ

= = ≈

≈ = 2Ф(5.0) ≈ 2·0.5 ≈ 1,

તે તે લગભગ નિશ્ચિત છે કે 280 થી 360 વિદ્યાર્થીઓ પ્રથમ વખત સફળતાપૂર્વક પરીક્ષા પાસ કરશે. ◄

કોરોલરી 2. જો દરેક અજમાયશમાં ઘટના A ની સંભાવના p સતત અને શૂન્ય અને એકથી અલગ હોય, તો સ્વતંત્ર અજમાયશની પૂરતી મોટી સંખ્યા n સાથે, ઘટના A ની આવર્તન m/n α થી શ્રેણીમાં આવે તેવી સંભાવના થી β (સમાવિષ્ટ) બરાબર છે

,

(3.9)

ઉદાહરણ 3.6.આંકડા મુજબ, સરેરાશ 87% નવજાત શિશુઓ 50 વર્ષ સુધી જીવે છે. સંભાવના શોધો કે 1000 નવજાત શિશુઓમાંથી 50 વર્ષ સુધી જીવિત લોકોનું પ્રમાણ (આવર્તન) 0.9 થી 0.95 ની રેન્જમાં હશે.

ઉકેલ. સંભવિત છે કે નવજાત 50 વર્ષ સુધી જીવશે આર= 0.87. કારણ કે n= 1000 મોટી છે (એટલે ​​​​કે સ્થિતિ npq= 1000·0.87·0.13 = 113.1 ≥ 20 સંતુષ્ટ), પછી આપણે લેપ્લેસના અભિન્ન પ્રમેયના કોરોલરી 2 નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અમે શોધીએ છીએ:

2,82, = 7,52.

= 0,5 – 0,4976 = 0,0024. ◄

કોરોલરી 3. જો દરેક અજમાયશમાં ઘટના A ની સંભાવના p સતત અને શૂન્ય અને એકથી અલગ હોય, તો સ્વતંત્ર અજમાયશની પૂરતી મોટી સંખ્યા n સાથે, ઘટના A ની આવર્તન m/n તેની સંભાવના p થી અલગ હોય તેવી સંભાવના કરતાં વધુ નહીંΔ > 0 (સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં) બરાબર

.

(3.11)

ઉદાહરણ 3.7.અગાઉની સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર, સંભાવના શોધો કે 1000 નવજાત શિશુઓમાંથી, 50 વર્ષ સુધી જીવતા લોકોનું પ્રમાણ (આવર્તન) આ ઘટનાની સંભાવનાથી 0.04 (સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં) કરતાં વધુ નહીં હોય.

ઉકેલ. લેપ્લેસના અભિન્ન પ્રમેયના કોરોલરી 3 નો ઉપયોગ કરીને, અમે શોધીએ છીએ:

= 2એફ(3.76) = 2·0.4999 = 0.9998.

અસમાનતા એ અસમાનતાની સમકક્ષ હોવાથી, આ પરિણામનો અર્થ એ છે કે તે લગભગ નિશ્ચિત છે કે 1000 માંથી 83 થી 91% નવજાત શિશુઓ 50 વર્ષ સુધી જીવશે. ◄

અગાઉ, અમે સ્વતંત્ર ટ્રાયલ માટે સંખ્યાની સંભાવના સ્થાપિત કરી હતી mઘટનાની ઘટનાઓ એવી nબર્નૌલીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પરીક્ષણ જોવા મળે છે. જો nમોટી છે, તો પછી લેપ્લેસના એસિમ્પ્ટોટિક ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરો. જો કે, જો ઘટનાની સંભાવના ઓછી હોય તો આ સૂત્ર અયોગ્ય છે ( આર≤ 0.1). આ કિસ્સામાં ( nમહાન આરથોડું) પોઈસનનું પ્રમેય લાગુ કરો

પોઈસનનું સૂત્ર

પ્રમેય. જો દરેક અજમાયશમાં ઘટના A ની સંભાવના p શૂન્ય (p → 0) ટ્રાયલ્સની સંખ્યા n માં અમર્યાદિત વધારા સાથે (n → ∞), અને ઉત્પાદન np સતત સંખ્યા λ (np → λ) તરફ વળે છે, પછી સંભાવના P n (m) તે ઘટના A n માં m વખત દેખાશે સ્વતંત્ર પરીક્ષણો મર્યાદા સમાનતાને સંતોષે છે

મોઇવર-લાપ્લેસનું સ્થાનિક પ્રમેય(1730 મોઇવર અને લેપ્લેસ)

જો $A$ ની ઘટનાની સંભાવના $p$ સ્થિર છે અને $p\ne 0$ અને $p\ne 1$, તો સંભાવના $P_n (k)$ એ છે કે તે ઘટના $A$ દેખાશે $k$ $n $ પરીક્ષણોમાં સમય, લગભગ સમાન છે (જેટલો મોટો $n$, વધુ સચોટ) ફંક્શન $y=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q) ) \cdot \ frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2 \pi ) ) \cdot e^ ( - ( x^2 ) / 2 ) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \cdot \varphi (x)$

$x=\frac ( k-n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) $ માટે. ફંક્શન $\varphi (x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2\cdot \pi ) ) \cdot e^ ( - ( x^2 ) / 2 ) $ ધરાવતા કોષ્ટકો છે

તેથી \begin(સમીકરણ) \label ( eq2 ) P_n (k)\approx \frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \cdot \varphi (x)\,\,where\,x =\frac ( k-n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \qquad (2) \end(સમીકરણ)

ફંક્શન $\varphi (x)=\varphi (( -x ))$ સમ છે.

ઉદાહરણ. જો દરેક અજમાયશમાં આ ઘટના બનવાની સંભાવના $p=0.2$ હોય તો $A$ 400 ટ્રાયલ્સમાં બરાબર 80 વખત થશે તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ. જો $p=0.2$ તો $q=1-p=1-0.2=0.8$.

$P_ ( 400 ) ((80 ))\અંદાજે \frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \varphi (x)\,\,where\,x=\frac ( k-n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) $

$ \begin(એરે) ( l ) x=\frac ( k-n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) =\frac ( 80-400\cdot 0.2 ) ( \sqrt ( 400 \cdot) 0.2\cdot 0.8 ) ) =\frac ( 80-80 ) ( \sqrt ( 400\cdot 0.16 ) ) =0 \\ \varphi (0)=0.3989\,\,P_ ( 400 ) ( 80 )\ આશરે \frac ( 0.3989 ) ( 20\cdot 0.4 ) =\frac ( 0.3989 ) ( 8 ) =0.0498 \\ \end(એરે) $

મોઇવર-લાપ્લેસ અભિન્ન પ્રમેય

દરેક અજમાયશમાં $A$ ની ઘટનાની સંભાવના P સ્થિર છે અને $p\ne 0$ અને $p\ne 1$, પછી સંભાવના $P_n (( k_1 ,k_2 ))$ કે ઘટના $A$ $k_ ( 1 ) $ થી $k_ ( 2 ) $ સુધી $n$ ટ્રાયલ્સમાં $ વખત થશે, $ P_n ( k_1 ,k_2 ))\અંદાજે \frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2\cdot \pi ) ) \int\limit_ ( x_1 ) ^ ( x_2 ) ( e^ ( - ( z^2 ) / 2 ) dz ) =\Phi (( x_2 ))-\Phi (( x_1 ))$

જ્યાં $x_1 =\frac ( k_1 -n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) , x_2 =\frac ( k_2 -n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot p) q ) ) $, ક્યાં

$\Phi (x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2\cdot \pi ) ) \int ( e^ ( - ( z^2 ) / 2 ) dz ) $ - કોષ્ટકોમાંથી મળી

$\Phi (( -x ))=-\Phi (x)$-વિચિત્ર

વિચિત્ર કાર્ય. કોષ્ટકમાં મૂલ્યો $x=5$, $x>5, \Phi (x)=0.5$ માટે આપવામાં આવ્યા છે

ઉદાહરણ. તે જાણીતું છે કે નિરીક્ષણ દરમિયાન 10% ઉત્પાદનો નકારવામાં આવે છે. નિયંત્રણ માટે 625 ઉત્પાદનો પસંદ કરવામાં આવ્યા હતા. પસંદ કરેલ લોકોમાં ઓછામાં ઓછા 550 અને વધુમાં વધુ 575 પ્રમાણભૂત ઉત્પાદનો હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ. જો ત્યાં 10% ખામી છે, તો 90% પ્રમાણભૂત ઉત્પાદનો છે. પછી, શરત પ્રમાણે, $n=625, p=0.9, q=0.1, k_1 =550, k_2 =575$. $n\cdot p=625\cdot 0.9=562.5$. અમને $ \begin(એરે) ( l ) P_ ( 625 ) (550.575)\અંદાજે \Phi (( \frac ( 575-562.5 ) ( \sqrt ( 625\cdot 0.9\cdot 0.1) )) - \Phi ( ( \frac ( 550-562.5 ) ( \sqrt ( 626\cdot 0.9\cdot 0.1 ) )) \અંદાજે \Phi (1.67)- \Phi (-1, 67)=2 \Phi (1.67)=0.9052 \\ \ અંત(એરે) $

જો કોઈ ઘટના બનવાની સંભાવના છે દરેક કસોટીમાં સ્થિર છે અને બેવડી અસમાનતાને સંતોષે છે
, અને સ્વતંત્ર અજમાયશની સંખ્યા પૂરતી ઊંચી છે, પછી સંભાવના
નીચેના અંદાજિત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે

(14) ,

જ્યાં અવિભાજ્યની મર્યાદા સમાનતાઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

ફોર્મ્યુલા (14) આપેલ પ્રયોગમાં પરીક્ષણોની સંખ્યા જેટલી વધુ સચોટ છે.

સમાનતા (13) ના આધારે, સૂત્ર (14) તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે

(15)
.

(16)
(N.F.L)

ચાલો ફંક્શનના સૌથી સરળ ગુણધર્મોને નોંધીએ
:

છેલ્લી મિલકત ગૌસીયન કાર્યના ગુણધર્મો સાથે સંબંધિત છે
.

કાર્ય
વિચિત્ર ખરેખર, ચલો બદલ્યા પછી

=


;

બીજી મિલકત તપાસવા માટે, તે એક ચિત્ર બનાવવા માટે પૂરતું છે. વિશ્લેષણાત્મક રીતે તે કહેવાતા અયોગ્ય પોઈસન ઇન્ટિગ્રલ સાથે સંબંધિત છે.

તે આનાથી સીધું જ અનુસરે છે કે બધી સંખ્યાઓ માટે
તે ધારી શકાય છે
તેથી, આ કાર્યના તમામ મૂલ્યો અંતરાલ [-0.5] માં સ્થિત છે; 0.5], સૌથી નાના અસ્તિત્વ સાથે
પછી કાર્ય ધીમે ધીમે વધે છે અને શૂન્ય પર જાય છે, એટલે કે.
અને પછી વધે છે
પરિણામે, સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર તે સખત રીતે વધતું કાર્ય છે, એટલે કે. જો
તે

એ નોંધવું જોઈએ કે ફંક્શન માટે પ્રોપર્ટી 2 ના આઉટપુટ
અયોગ્ય પોઈસન ઇન્ટિગ્રલના આધારે ન્યાયી છે.

ટિપ્પણી.જ્યારે મોઇવર-લાપ્લેસ ઇન્ટિગ્રલ પ્રમેયના ઉપયોગની જરૂર હોય તેવા સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, વિશિષ્ટ કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. કોષ્ટક હકારાત્મક દલીલો માટેના મૂલ્યો બતાવે છે અને માટે
;
મૂલ્યો માટે

તમારે સમાનતાને ધ્યાનમાં લેતા સમાન કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ
આગળ, ફંક્શન ટેબલનો ઉપયોગ કરવા માટે

, અમે સમાનતા (15) ને નીચે પ્રમાણે રૂપાંતરિત કરીએ છીએ:
અને મિલકત 2 (વિચિત્ર સમાનતા

=
.

), અમે મેળવીએ છીએ તે એકીકરણની સમાનતાને ધ્યાનમાં લેતા આમ, સંભાવના છે કે એક ઘટના માં દેખાશે સ્વતંત્ર પરીક્ષણો ઓછા નથી એકવાર અને વધુ નહીં

(17)

;

સમય, સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:. ઉદાહરણ 12

ઉકેલ: એક શોટ સાથે લક્ષ્યને હિટ કરવાની સંભાવના 0.75 છે. સંભાવના શોધો કે 300 શોટ સાથે લક્ષ્ય ઓછામાં ઓછા 150 હિટ થશે અને 250 થી વધુ વખત નહીં.
,
,
,
,
અહીં

,
,

,
.

. અમે ગણતરી કરીએ છીએ

લેપ્લેસ ઇન્ટિગ્રલ ફોર્મ્યુલામાં અવેજીમાં, આપણને મળે છે વ્યવહારમાં, સમાનતા (16) સાથે, અન્ય સૂત્રનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે જેને "અભિન્ન સંભાવના

("અથવા લેપ્લેસ ફંક્શન (વધુ વિગતમાં પ્રકરણ 2 માં જુઓ., ફકરા 9., વોલ્યુમ 9.)..)

આઈ.વી. અથવા એફ.એલ

આ કાર્ય માટે સમાનતાઓ માન્ય છે:
તેથી, તે ટેબ્યુલેટેડ કાર્ય સાથે સંબંધિત છે

અને તેથી અંદાજિત મૂલ્યોનું કોષ્ટક પણ છે (પુસ્તકના અંતે પરિશિષ્ટ જુઓ).ઉદાહરણ 13.

ઉકેલ.સંભાવના કે ભાગ ગુણવત્તા નિયંત્રણ નિરીક્ષણ પસાર કરતું નથી 0.2 છે. 400 અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ ન કરાયેલા ભાગોમાંથી 70 થી 100 ભાગો હશે તેવી સંભાવના શોધો.
,
,
.
,
સમસ્યાની શરતો અનુસાર

,

. ચાલો Moivre-Laplace અભિન્ન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ:

ચાલો એકીકરણની નીચલી અને ઉપરની મર્યાદાઓની ગણતરી કરીએ:
;

તેથી, ફંક્શનના ટેબલ મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લેતા

.

અમને જરૂરી સંભાવના મળે છે « હવે આપણી પાસે, જાણીતા પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે, ધ્યાનમાં લેવાયેલા મર્યાદા પ્રમેયના ઉપયોગ તરીકે, તક છે »

બર્નૌલી સ્વરૂપમાં મોટી સંખ્યામાં કાયદો

મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો (બર્નૌલી સ્વરૂપમાં એલબીએ)

મોટી સંખ્યાઓનો પ્રથમ ઐતિહાસિક રીતે સૌથી સરળ કાયદો પ્રમેય છે

જે. બર્નૌલી. બર્નૌલીનું પ્રમેય મોટી સંખ્યાના કાયદાનું સૌથી સરળ સ્વરૂપ વ્યક્ત કરે છે. તે તેની સંબંધિત આવર્તનનો ઉપયોગ કરીને ઘટનાની સંભાવનાની અંદાજિત ગણતરીની સૈદ્ધાંતિક સંભાવનાને ન્યાયી ઠેરવે છે, એટલે કે. સંબંધિત આવર્તન સ્થિરતાની મિલકતને પ્રમાણિત કરે છે. તેને હાથ ધરવા દો સ્વતંત્ર અજમાયશ, જેમાંની દરેક ઘટના બનવાની સંભાવના
ની સમાન

અને દરેક ટેસ્ટ શ્રેણીમાં સંબંધિત આવર્તન છે:ચાલો સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએબર્નૌલી સ્કીમ અનુસાર અને પૂરતી મોટી સંખ્યામાં સ્વતંત્ર પરીક્ષણો સાથે પરીક્ષણ શરતો હેઠળ
સંબંધિત આવર્તન વિચલનની સંભાવના શોધો સતત સંભાવના થી ચોક્કસ મૂલ્યમાં આપેલ સંખ્યા કરતાં વધી નથી
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સંભાવના શોધો:

પૂરતી મોટી સંખ્યામાં સ્વતંત્ર પરીક્ષણો સાથે.

પ્રમેય (ZBCH J. Bernoulli 1713)કોઈપણ માટે ઉપરોક્ત શરતો હેઠળ , ભલે ગમે તેટલું ઓછું હોય
, ત્યાં મર્યાદિત સમાનતા છે

(19)
.

પુરાવો.ચાલો Moivre-Laplace અભિન્ન પ્રમેય પર આધારિત આ મહત્વપૂર્ણ નિવેદનનો પુરાવો હાથ ધરીએ. વ્યાખ્યા દ્વારા, સંબંધિત આવર્તન છે

એ
ઘટના બનવાની સંભાવના એક પરીક્ષણમાં. પ્રથમ આપણે કોઈપણ માટે નીચેની સમાનતા સ્થાપિત કરીએ છીએ
અને પૂરતી મોટી :

(20)

.

ખરેખર, શરત અનુસાર
તે જોવાનું સરળ છે કે બેવડી અસમાનતા છે. ચાલો સૂચિત કરીએ

(21)
.

પછી, આપણી પાસે અસમાનતાઓ હશે

તેથી, ઇચ્છિત સંભાવના માટે. હવે, કેસો માટે
ચાલો સમાનતાનો ઉપયોગ કરીએ

;

અને વિષમ સંખ્યાને ધ્યાનમાં લેતા
અમે મેળવીએ છીએ

== 2
.

સમાનતા (20) પ્રાપ્ત થાય છે.

સૂત્ર (20) થી તે તરત જ અનુસરે છે કે જ્યારે
(ધ્યાનમાં લેવું
જ્યાં), અમે મર્યાદા સમાનતા મેળવીએ છીએ (20).

ઉદાહરણ 14.
. અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરાયેલા 400 ભાગોમાંથી, બિન-માનક ભાગોની ઘટનાની સંબંધિત આવર્તન તેનાથી વિચલિત થશે તેવી સંભાવના શોધો
સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં 0.03 કરતાં વધુ નહીં.

ઉકેલ.સમસ્યાની શરતો અનુસાર, તમારે શોધવાની જરૂર છે

સૂત્ર (3) મુજબ આપણી પાસે છે

=2
.

ફંક્શનના ટેબલ મૂલ્યને ધ્યાનમાં લેવું
અમે મેળવીએ છીએ

.

પ્રાપ્ત પરિણામનો અર્થ નીચે મુજબ છે: જો તમે પૂરતા પ્રમાણમાં મોટી સંખ્યામાં નમૂનાઓ લો છો

વિગતો, પછી દરેક નમૂનામાં સંબંધિત "આવર્તન" નું આશરે વિચલન છે

95.44% અને મૂલ્ય
સંભવિતતામાંથી આ નમૂનાઓમાંથી
, મોડ્યુલો 0.03 થી વધુ નહીં.

ચાલો બીજું ઉદાહરણ જોઈએ જ્યાં તમારે નંબર શોધવાની જરૂર છે
.

ઉદાહરણ 15.એક ભાગ બિન-માનક હોવાની સંભાવના છે
. કેટલા ભાગો પસંદ કરવા જોઈએ જેથી કરીને 0.9999 ની સંભાવના સાથે એવું કહી શકાય કે બિન-માનક ભાગોની સંબંધિત આવર્તન (પસંદ કરેલ તેમાંથી) વિચલિત થાય છે મોડ્યુલો 0.03 કરતાં વધુ નહીં. આ જથ્થો શોધો

ઉકેલ.અહીં, શરત દ્વારા
.

નક્કી કરવાની જરૂર છે
.

.

સૂત્ર (13) મુજબ આપણી પાસે છે

ત્યારથી,
કોષ્ટકમાંથી આપણે શોધીએ છીએ કે આ મૂલ્ય દલીલને અનુરૂપ છે
. અહીંથી,

. આ પરિણામનો અર્થ એ છે કે સંબંધિત આવર્તન તારણ કાઢવામાં આવશે

સંખ્યાઓ વચ્ચે. આમ, 99.99% નમૂનાઓમાં બિન-માનક ભાગોની સંખ્યા 101.72 (1444 ના 7%) અને 187.72 (1444 ના 13%) વચ્ચે હશે.

જો આપણે 1444 ભાગોનો માત્ર એક જ નમૂનો લઈએ, તો મોટા આત્મવિશ્વાસ સાથે આપણે અપેક્ષા રાખી શકીએ કે બિન-માનક ભાગોની સંખ્યા 101 કરતા ઓછી અને 188 કરતા વધુ નહીં હોય, જ્યારે તે જ સમયે તે અસંભવિત છે કે ત્યાં ઓછા હશે. 101 કરતાં અથવા 188 કરતાં વધુ. ટ્રાયલની સંખ્યામાં અમર્યાદિત વધારા સાથે, રેન્ડમ ઘટનાની આવર્તન સમાન ઘટનાની સાચી સંભાવનામાં સંભાવનામાં કન્વર્જ થાય છે, એટલે કે. નીચો અંદાજ માન્ય છે

(22)
;
,

પૂરી પાડવામાં આવેલ છે કે ઘટનાની સંભાવના યથાવત રહે છે અને પરીક્ષણથી પરીક્ષણ સુધી સમાન છે
તે જ સમયે
.

અસમાનતા (22) એ જાણીતી ચેબીશેવ અસમાનતાનું સીધું પરિણામ છે (આગળ "સંભાવના સિદ્ધાંતના પ્રમેયની મર્યાદા" "ચેબીશેવનું પ્રમેય" વિષય જુઓ). અમે પછીથી આ BCA પર પાછા ફરીશું. નીચેથી સંભવિતતાના અંદાજો મેળવવા અને ઘટનાની આવશ્યક સંખ્યા માટે દ્વિપક્ષીય અંદાજ મેળવવા માટે તે અનુકૂળ છે, જેથી સંબંધિત આવર્તન અને સાચી સંભાવના વચ્ચેના તફાવતના મોડ્યુલસમાંથી સંભાવના ઘટનાની આપેલ મર્યાદાને સંતોષે. વિચારણા હેઠળ.

ઉદાહરણ 16.એક સિક્કો 1000 વખત ફેંકવામાં આવે છે. 0.1 કરતાં ઓછી તેની ઘટનાની સંભાવનામાંથી "શસ્ત્રોના કોટ" ની ઘટનાની આવૃત્તિના વિચલનની સંભાવના નીચેથી અંદાજ કાઢો.

ઉકેલ. અહીંની શરત મુજબ

અસમાનતા (4) ના આધારે, અમે મેળવીએ છીએ

તેથી અસમાનતા
બેવડી અસમાનતા સમાન છે

તેથી, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે અંતરાલ (400; 600) માં "કોટ ઓફ આર્મ્સ" ની હિટની સંખ્યાની સંભાવના કરતાં વધુ છે

ઉદાહરણ 17.એક ભઠ્ઠીમાં 1000 સફેદ અને 2000 કાળા દડા હોય છે. 300 બોલ પાછા લેવામાં આવ્યા (વટવા સાથે). દોરેલા બોલની સંખ્યાની સંભાવનાની નીચેથી અંદાજ કાઢો m(તેઓ સફેદ હોવા જોઈએ) બેવડી અસમાનતાને સંતોષે છે 80< m <120.

ઉકેલ.જથ્થા માટે બેવડી અસમાનતા mચાલો તેને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ:

આમ, અસમાનતાની સંભાવનાનો અંદાજ કાઢવો જરૂરી છે

આથી,

.