આ પાઠમાં આપણે અતાર્કિક અસમાનતાઓને ઉકેલવા વિશે જોઈશું અને વિવિધ ઉદાહરણો આપીશું.
વિષય: સમીકરણો અને અસમાનતાઓ. સમીકરણો અને અસમાનતાઓની સિસ્ટમો
પાઠ:અતાર્કિક અસમાનતાઓ
અતાર્કિક અસમાનતાઓને ઉકેલતી વખતે, ઘણી વખત અસમાનતાની બંને બાજુઓને અમુક અંશે વધારવાની જરૂર પડે છે, આ એક જવાબદાર કામગીરી છે. ચાલો લક્ષણો યાદ કરીએ.
અસમાનતાની બંને બાજુઓને વર્ગીકૃત કરી શકાય છે જો તે બંને બિન-નકારાત્મક હોય, તો જ આપણે સાચી અસમાનતામાંથી સાચી અસમાનતા મેળવી શકીએ છીએ.
અસમાનતાની બંને બાજુઓ કોઈપણ સંજોગોમાં ઘન કરી શકાય છે; જો મૂળ અસમાનતા સાચી હતી, તો જ્યારે ઘન કરવામાં આવશે ત્યારે આપણને સાચી અસમાનતા મળશે.
ફોર્મની અસમાનતાને ધ્યાનમાં લો:
આમૂલ અભિવ્યક્તિ બિન-નકારાત્મક હોવી જોઈએ. કાર્ય કોઈપણ મૂલ્યો લઈ શકે છે;
પ્રથમ કિસ્સામાં, અસમાનતાની બંને બાજુઓ બિન-નકારાત્મક છે, અમને તેનો વર્ગ કરવાનો અધિકાર છે. બીજા કિસ્સામાં, જમણી બાજુ નકારાત્મક છે, અને અમને તેનો વર્ગ કરવાનો કોઈ અધિકાર નથી. આ કિસ્સામાં, અસમાનતાના અર્થને જોવું જરૂરી છે: અહીં હકારાત્મક અભિવ્યક્તિ (ચોરસમૂળ) નકારાત્મક અભિવ્યક્તિ કરતાં મોટી છે, જેનો અર્થ છે કે અસમાનતા હંમેશા સંતુષ્ટ છે.
તેથી, અમારી પાસે નીચેની ઉકેલ યોજના છે:
પ્રથમ સિસ્ટમમાં, અમે આમૂલ અભિવ્યક્તિને અલગથી સુરક્ષિત કરતા નથી, કારણ કે જ્યારે સિસ્ટમની બીજી અસમાનતા સંતોષાય છે, ત્યારે આમૂલ અભિવ્યક્તિ આપોઆપ હકારાત્મક હોવી જોઈએ.
ઉદાહરણ 1 - અસમાનતા ઉકેલો:
આકૃતિ મુજબ, અમે અસમાનતાની બે સિસ્ટમોના સમકક્ષ સમૂહ તરફ આગળ વધીએ છીએ:
ચાલો સમજાવીએ:
ચોખા. 1 - ઉદાહરણ 1 ના ઉકેલનું ઉદાહરણ
જેમ આપણે જોઈએ છીએ, જ્યારે આપણે અતાર્કિકતાથી છૂટકારો મેળવીએ છીએ, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે વર્ગીકરણ કરીએ છીએ, ત્યારે આપણને સિસ્ટમોનો સમૂહ મળે છે. કેટલીકવાર આ જટિલ ડિઝાઇનને સરળ બનાવી શકાય છે. પરિણામી સમૂહમાં, અમારી પાસે પ્રથમ સિસ્ટમને સરળ બનાવવાનો અને સમકક્ષ સમૂહ મેળવવાનો અધિકાર છે:
સ્વતંત્ર કવાયત તરીકે, આ સમૂહોની સમાનતા સાબિત કરવી જરૂરી છે.
ફોર્મની અસમાનતાને ધ્યાનમાં લો:
અગાઉની અસમાનતાની જેમ, અમે બે કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ:
પ્રથમ કિસ્સામાં, અસમાનતાની બંને બાજુઓ બિન-નકારાત્મક છે, અમને તેનો વર્ગ કરવાનો અધિકાર છે. બીજા કિસ્સામાં, જમણી બાજુ નકારાત્મક છે, અને અમને તેનો વર્ગ કરવાનો કોઈ અધિકાર નથી. આ કિસ્સામાં, અસમાનતાના અર્થને જોવું જરૂરી છે: અહીં હકારાત્મક અભિવ્યક્તિ (ચોરસમૂળ) નકારાત્મક અભિવ્યક્તિ કરતાં ઓછી છે, જેનો અર્થ છે અસમાનતા વિરોધાભાસી છે. બીજી સિસ્ટમને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર નથી.
અમારી પાસે સમાન સિસ્ટમ છે:
કેટલીકવાર અતાર્કિક અસમાનતાઓને ગ્રાફિકલી ઉકેલી શકાય છે. આ પદ્ધતિ લાગુ પડે છે જ્યારે અનુરૂપ આલેખ તદ્દન સરળતાથી બાંધી શકાય અને તેમના આંતરછેદના બિંદુઓ શોધી શકાય.
ઉદાહરણ 2 - અસમાનતાઓને ગ્રાફિકલી ઉકેલો:
અ) 
b) 
અમે પહેલાથી જ પ્રથમ અસમાનતા ઉકેલી લીધી છે અને તેનો જવાબ જાણીએ છીએ.
અસમાનતાઓને ગ્રાફિકલી ઉકેલવા માટે, તમારે ડાબી બાજુએ ફંક્શનનો ગ્રાફ અને જમણી બાજુએ ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવવાની જરૂર છે.
ચોખા. 2. કાર્યોનો આલેખ અને
ફંક્શનનો આલેખ કરવા માટે, પેરાબોલાને પેરાબોલામાં રૂપાંતરિત કરવું જરૂરી છે (તેને y-અક્ષની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબિત કરો), અને પરિણામી વળાંક 7 એકમોને જમણી તરફ ખસેડો. આલેખ પુષ્ટિ કરે છે કે આ કાર્ય તેની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં એકવિધ રીતે ઘટે છે.
ફંક્શનનો ગ્રાફ એક સીધી રેખા છે અને તે બાંધવામાં સરળ છે. y-અક્ષ સાથે આંતરછેદ બિંદુ (0;-1) છે.
પ્રથમ કાર્ય એકવિધ રીતે ઘટે છે, બીજું એકવિધ રીતે વધે છે. જો સમીકરણ રુટ ધરાવે છે, તો તે એકમાત્ર છે; આલેખ પરથી અનુમાન લગાવવું સરળ છે: .
જ્યારે દલીલનું મૂલ્ય મૂળ કરતાં ઓછું હોય, ત્યારે પેરાબોલા સીધી રેખાની ઉપર હોય છે. જ્યારે દલીલનું મૂલ્ય ત્રણ અને સાતની વચ્ચે હોય, ત્યારે સીધી રેખા પેરાબોલાની ઉપરથી પસાર થાય છે.
અમારી પાસે જવાબ છે:
અતાર્કિક અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની અસરકારક પદ્ધતિ એ અંતરાલ પદ્ધતિ છે.
ઉદાહરણ 3 - અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાઓ ઉકેલો:
અ)
b)
અંતરાલ પદ્ધતિ અનુસાર, અસમાનતાથી અસ્થાયી રૂપે દૂર જવું જરૂરી છે. આ કરવા માટે, આપેલ અસમાનતામાંની દરેક વસ્તુને ડાબી બાજુએ ખસેડો (જમણી બાજુએ શૂન્ય મેળવો) અને ડાબી બાજુ સમાન કાર્ય દાખલ કરો:
હવે આપણે પરિણામી કાર્યનો અભ્યાસ કરવાની જરૂર છે.
ODZ: 
અમે આ સમીકરણને ગ્રાફિકલી રીતે હલ કરી દીધું છે, તેથી અમે મૂળ નક્કી કરવા પર ધ્યાન આપતા નથી.
હવે સતત ચિહ્નના અંતરાલો પસંદ કરવા અને દરેક અંતરાલ પર કાર્યની નિશાની નક્કી કરવી જરૂરી છે:
ચોખા. 3. ઉદાહરણ તરીકે ચિહ્નની સ્થિરતાના અંતરાલ 3
ચાલો યાદ કરીએ કે અંતરાલ પરના ચિહ્નો નક્કી કરવા માટે, ટ્રાયલ પોઈન્ટ લેવું અને તેને ફંક્શનમાં બદલવું જરૂરી છે;
ચાલો સીમા બિંદુ પર મૂલ્ય તપાસીએ:
જવાબ સ્પષ્ટ છે:
નીચેના પ્રકારની અસમાનતાઓને ધ્યાનમાં લો:
પ્રથમ, ચાલો ODZ લખીએ:
મૂળ અસ્તિત્વમાં છે, તે બિન-નકારાત્મક છે, આપણે બંને બાજુઓને ચોરસ કરી શકીએ છીએ. અમને મળે છે:
અમને સમકક્ષ સિસ્ટમ મળી છે:
પરિણામી સિસ્ટમને સરળ બનાવી શકાય છે. જ્યારે બીજી અને ત્રીજી અસમાનતા સંતોષાય છે, ત્યારે પ્રથમ આપોઆપ સાચી થાય છે. અમારી પાસે:: 
ઉદાહરણ 4 - અસમાનતા ઉકેલો:
અમે યોજના અનુસાર કાર્ય કરીએ છીએ - અમે સમકક્ષ સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ.
કોઈપણ અસમાનતા કે જેમાં રુટ હેઠળ કાર્ય શામેલ હોય તેને કહેવામાં આવે છે અતાર્કિક. આવી અસમાનતાના બે પ્રકાર છે:
પ્રથમ કિસ્સામાં, રુટ ફંક્શન g(x) કરતા ઓછું છે, બીજામાં તે વધારે છે. જો g(x) - સતત, અસમાનતા મોટા પ્રમાણમાં સરળ છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: બાહ્ય રીતે આ અસમાનતાઓ ખૂબ સમાન છે, પરંતુ તેમની ઉકેલ યોજનાઓ મૂળભૂત રીતે અલગ છે.
આજે આપણે શીખીશું કે પ્રથમ પ્રકારની અતાર્કિક અસમાનતાઓને કેવી રીતે હલ કરવી - તે સૌથી સરળ અને સૌથી વધુ સમજી શકાય તેવી છે. અસમાનતાનું ચિહ્ન કડક અથવા બિન-કડક હોઈ શકે છે. નીચેના નિવેદન તેમના માટે સાચું છે:
પ્રમેય. ફોર્મની કોઈપણ અતાર્કિક અસમાનતા
અસમાનતાઓની સિસ્ટમની સમકક્ષ:
નબળા નથી? ચાલો જોઈએ કે આ સિસ્ટમ ક્યાંથી આવે છે:
- f (x) ≤ g 2 (x) - અહીં બધું સ્પષ્ટ છે. આ મૂળ અસમાનતા ચોરસ છે;
- f (x) ≥ 0 એ મૂળનો ODZ છે. ચાલો હું તમને યાદ કરાવું: અંકગણિત વર્ગમૂળ ફક્ત થી જ અસ્તિત્વમાં છે બિન-નકારાત્મકસંખ્યાઓ;
- g(x) ≥ 0 એ મૂળની શ્રેણી છે. અસમાનતાનું વર્ગીકરણ કરીને, આપણે નકારાત્મકને બાળી નાખીએ છીએ. પરિણામે, વધારાના મૂળ દેખાઈ શકે છે. અસમાનતા g(x) ≥ 0 તેમને કાપી નાખે છે.
ઘણા વિદ્યાર્થીઓ સિસ્ટમની પ્રથમ અસમાનતા પર "અટકી જાય છે": f (x) ≤ g 2 (x) - અને અન્ય બેને સંપૂર્ણપણે ભૂલી જાય છે. પરિણામ અનુમાનિત છે: ખોટો નિર્ણય, હારી ગયેલા પોઈન્ટ.
અતાર્કિક અસમાનતા એ એક જટિલ વિષય હોવાથી, ચાલો એક સાથે 4 ઉદાહરણો જોઈએ. મૂળભૂત થી ખરેખર જટિલ. બધી સમસ્યાઓ મોસ્કો સ્ટેટ યુનિવર્સિટીની પ્રવેશ પરીક્ષાઓમાંથી લેવામાં આવે છે. એમ.વી. લોમોનોસોવ.
સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણો
કાર્ય. અસમાનતા ઉકેલો:
અમારા પહેલાં ક્લાસિક છે અતાર્કિક અસમાનતા: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 એ સ્થિરાંક છે. અમારી પાસે:
ત્રણ અસમાનતાઓમાંથી, ઉકેલના અંતે માત્ર બે જ રહી. કારણ કે અસમાનતા 2 ≥ 0 હંમેશા ધરાવે છે. ચાલો બાકીની અસમાનતાઓને પાર કરીએ:
તેથી, x ∈ [−1.5; 0.5]. બધા બિંદુઓ શેડ છે કારણ કે અસમાનતાઓ કડક નથી.
કાર્ય. અસમાનતા ઉકેલો:
અમે પ્રમેય લાગુ કરીએ છીએ:
ચાલો પ્રથમ અસમાનતા હલ કરીએ. આ કરવા માટે, અમે તફાવતનો વર્ગ જાહેર કરીશું. અમારી પાસે:
2x 2 − 18x + 16< (x
− 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16< x
2 − 8x
+ 16:
x 2 − 10x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).
હવે બીજી અસમાનતા ઉકેલીએ. ત્યાં પણ ચતુર્ભુજ ત્રિપદી:
2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)
