ત્રિકોણમિતિ કાર્યનો સૌથી નાનો સમયગાળો કેવી રીતે શોધવો. ટૅગ કરેલી પોસ્ટ્સ "ફંક્શનનો સૌથી નાનો હકારાત્મક સમયગાળો શોધો"

તમારી વિનંતી પર!

7. વિધેયનો સૌથી નાનો હકારાત્મક સમયગાળો શોધો: y=2cos(0.2x+1).

ચાલો નિયમ લાગુ કરીએ: જો ફંક્શન f સામયિક છે અને તેમાં પીરિયડ T છે, તો ફંક્શન y=Af(kx+b) જ્યાં A, k અને b સ્થિર છે, અને k≠0 પણ સામયિક છે, અને તેનો સમયગાળો T o = T: |k છે |અમારા માટે, T=2π એ કોસાઇન ફંક્શનનો સૌથી નાનો હકારાત્મક સમયગાળો છે, k=0.2. આપણે T o = 2π:0.2=20π:2=10π શોધીએ છીએ.

9. ચોરસના શિરોબિંદુઓથી તેના સમતલ સુધીના સમાન બિંદુથી અંતર 9 dm છે. જો ચોરસની બાજુ 8 dm હોય તો આ બિંદુથી ચોરસની બાજુઓનું અંતર શોધો.

10. સમીકરણ ઉકેલો: 10=|5x+5x 2 |.

ત્યારથી |10|=10 અને |-10|=10, પછી 2 કેસ શક્ય છે: 1) 5x 2 +5x=10 અને 2) 5x 2 +5x=-10. ચાલો દરેક સમાનતાને 5 વડે વિભાજીત કરીએ અને પરિણામી ચતુર્ભુજ સમીકરણોને હલ કરીએ:

1) x 2 +x-2=0, વિયેટાના પ્રમેય મુજબ મૂળ x 1 =-2, x 2 =1. 2) x 2 +x+2=0. ભેદભાવ નકારાત્મક છે - ત્યાં કોઈ મૂળ નથી.

11. સમીકરણ ઉકેલો:

સમાનતાની જમણી બાજુએ આપણે મુખ્ય લઘુગણક ઓળખ લાગુ કરીએ છીએ:

અમને સમાનતા મળે છે:

આપણે ચતુર્ભુજ સમીકરણ x 2 -3x-4=0 હલ કરીએ છીએ અને મૂળ શોધીએ છીએ: x 1 =-1, x 2 =4.

13. સમીકરણ ઉકેલો અને દર્શાવેલ અંતરાલ પર તેના મૂળનો સરવાળો શોધો.

22. અસમાનતા ઉકેલો:

પછી અસમાનતા ફોર્મ લેશે: tgt< 2. Построим графики уравнений: y=tgt и y=2. Выберем промежуток значений переменной t, при которых график y=tgt лежит ниже прямой у=2.

24. રેખા y= a x+b સીધી રેખા y=2x+3 પર લંબ છે અને C(4; 5) બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. તેનું સમીકરણ બનાવો. પ્રત્યક્ષy=k 1 x+b 1 અને y=k 2 x+b 2 પરસ્પર લંબ છે જો k 1 ∙k 2 =-1 શરત મળે.તે તેને અનુસરે છે એ·2=-1. ઇચ્છિત સીધી રેખા આના જેવી દેખાશે: y=(-1/2) x+b. જો તેની જગ્યાએ આપણી સીધી રેખાના સમીકરણમાં હોય તો આપણે b ની કિંમત શોધીશું એક્સઅને ખાતેચાલો બિંદુ C ના કોઓર્ડિનેટ્સ બદલીએ.

5=(-1/2) 4+b ⇒ 5=-2+b ⇒ b=7. પછી આપણને સમીકરણ મળે છે: y=(-1/2)x+7.

25. ચાર માછીમારો A, B, C અને D તેમના પકડવા વિશે બડાઈ મારતા હતા:

1. ડી સી કરતાં વધુ પકડ્યો;

2. A અને B કેચનો સરવાળો C અને D કેચના સરવાળા જેટલો છે;

3. A અને D મળીને B અને C કરતા ઓછા પકડાયા. માછીમારોના કેચને ઉતરતા ક્રમમાં રેકોર્ડ કરો.

અમારી પાસે છે: 1) D>C; 2) A+B=C+D; 3) A+D 2 મી સમાનતા: A=C+D-B અને અવેજી માં 3 -e. અમને C+D-B+D મળે છે 2 - સમાનતા અને અવેજી માં 3 -e. B=C+D-A. પછી A+D

સૂચનાઓ

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો સમયગાળો icalમાં હંમેશા સૌથી નાનું હકારાત્મક હોતું નથી સમયગાળો. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, તરીકે સમયગાળોઅને સતત કાર્યોએકદમ કોઈપણ સંખ્યા હોઈ શકે છે, અને તેમાં સૌથી નાનો ધન ન પણ હોઈ શકે સમયગાળોએ. બિન-કાયમી પણ છે સમયગાળો ical કાર્યો, જેમાં ઓછામાં ઓછા હકારાત્મક નથી સમયગાળોએ. જો કે, મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં સૌથી નાનું હકારાત્મક સમયગાળોખાતે સમયગાળોહજુ પણ ichical છે.

ઓછામાં ઓછું સમયગાળોસાઈન 2 બરાબર છે? આ ઉદાહરણનો વિચાર કરો કાર્યો y=sin(x). ટી મનસ્વી થવા દો સમયગાળોઓહ્મ સાઈન, આ કિસ્સામાં sin(a+T)=sin(a) a ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે. જો a=?/2, તો તે તારણ આપે છે કે sin(T+?/2)=sin(?/2)=1. જો કે, sin(x)=1 માત્ર જો x=?/2+2?n, જ્યાં n પૂર્ણાંક છે. તે T=2?n ને અનુસરે છે, અને તેથી સૌથી નાનું ધન મૂલ્ય 2?n 2? છે.

ઓછામાં ઓછું હકારાત્મક સમયગાળોકોસાઇન પણ 2 બરાબર છે? એક ઉદાહરણ સાથે આનો પુરાવો ધ્યાનમાં લો કાર્યો y=cos(x). જો T મનસ્વી છે સમયગાળોઓમ કોસાઇન, પછી cos(a+T)=cos(a). ઘટનામાં કે a=0, cos(T)=cos(0)=1. આને ધ્યાનમાં રાખીને, T નું સૌથી નાનું ધન મૂલ્ય કે જેના પર cos(x) = 1 2 છે?.

હકીકતને ધ્યાનમાં લેતા કે 2? - સમયગાળોસાઈન અને કોસાઈન, તે પણ હશે સમયગાળોઓહ્મ કોટેન્જેન્ટ, તેમજ સ્પર્શક, પરંતુ ન્યૂનતમ નથી, કારણ કે, જેમ કે, સૌથી નાનો ધન સમયગાળોસ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ સમાન છે? તમે નીચેનાને ધ્યાનમાં લઈને આ ચકાસી શકો છો: ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ પર (x) અને (x+?) ને અનુરૂપ બિંદુઓ ડાયમેટ્રિકલી વિરુદ્ધ સ્થાનો ધરાવે છે. બિંદુ (x) થી બિંદુ (x+2?) સુધીનું અંતર અડધા વર્તુળને અનુરૂપ છે. સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યા દ્વારા tg(x+?)=tgx, અને ctg(x+?)=ctgx, જેનો અર્થ સૌથી નાનો ધન સમયગાળોકોટેન્જન્ટ અને?.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો

ફંક્શન્સ y=cos(x) અને y=sin(x) ને ગૂંચવશો નહીં - સમાન સમયગાળા સાથે, આ વિધેયો અલગ રીતે રજૂ થાય છે.

ઉપયોગી સલાહ

વધુ સ્પષ્ટતા માટે, ત્રિકોણમિતિ કાર્ય દોરો જેના માટે સૌથી નાનો હકારાત્મક સમયગાળો ગણવામાં આવે છે.

સ્ત્રોતો:

• ગણિતની હેન્ડબુક, શાળાનું ગણિત, ઉચ્ચ ગણિત

સામયિક કાર્ય એ એક કાર્ય છે જે કેટલાક બિન-શૂન્ય સમયગાળા પછી તેના મૂલ્યોનું પુનરાવર્તન કરે છે. ફંક્શનનો સમયગાળો એ સંખ્યા છે જે જ્યારે ફંક્શન દલીલમાં ઉમેરવામાં આવે છે, ત્યારે ફંક્શનની કિંમત બદલાતી નથી.

તમને જરૂર પડશે

• પ્રાથમિક ગણિત અને વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતોનું જ્ઞાન.

સૂચનાઓ

વિષય પર વિડિઓ

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો

બધા ત્રિકોણમિતિ વિધેયો સામયિક છે, અને 2 થી વધુ ડિગ્રી સાથેના તમામ બહુપદી કાર્યો એપિરીયોડિક છે.

ઉપયોગી સલાહ

બે સામયિક વિધેયોના સમાવિષ્ટ કાર્યનો સમયગાળો એ આ કાર્યોના સમયગાળાનો લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ છે.

જો આપણે વર્તુળ પરના બિંદુઓને ધ્યાનમાં લઈએ, તો પછી બિંદુઓ x, x + 2π, x + 4π, વગેરે. એકબીજા સાથે મેળ ખાય છે. આમ, ત્રિકોણમિતિ કાર્યોસીધી રેખા પર સમયાંતરેતેમના અર્થનું પુનરાવર્તન કરો. જો સમયગાળો જાણીતો હોય કાર્યો, તમે આ સમયગાળામાં ફંક્શન બનાવી શકો છો અને તેને અન્ય લોકો પર પુનરાવર્તિત કરી શકો છો.

સૂચનાઓ

ફંક્શન f(x) = sin^2(10x) આપવા દો. sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)) ને ધ્યાનમાં લો. ઘટાડા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરો: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. પછી તમને 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) અથવા cos 20x = cos (20x+20T) મળશે. એ જાણીને કે કોસાઇનનો સમયગાળો 2π, 20T = 2π છે. આનો અર્થ છે T = π/10. T એ સૌથી નાનો સમયગાળો છે, અને કાર્ય 2T પછી, અને 3T પછી, અને ધરીની બાજુમાં પુનરાવર્તિત થશે: -T, -2T, વગેરે.

ઉપયોગી સલાહ

ફંક્શનની ડિગ્રી ઘટાડવા માટે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરો. જો તમે પહેલાથી જ કોઈપણ કાર્યોના સમયગાળાને જાણતા હોવ, તો હાલના કાર્યને જાણીતામાં ઘટાડવાનો પ્રયાસ કરો.

એક ફંક્શન કે જેની કિંમતો ચોક્કસ સંખ્યા પછી પુનરાવર્તિત થાય છે તેને કહેવામાં આવે છે સામયિક. એટલે કે, x ની કિંમતમાં તમે ગમે તેટલા પીરિયડ્સ ઉમેરો, ફંક્શન સમાન સંખ્યાની બરાબર હશે. સામયિક કાર્યોનો કોઈપણ અભ્યાસ સૌથી નાના સમયગાળાની શોધ સાથે શરૂ થાય છે, જેથી બિનજરૂરી કાર્ય ન થાય: તે સમયગાળાની સમાન અંતરાલ પર તમામ ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવા માટે પૂરતું છે.

સૂચનાઓ

પરિણામે, તમને ચોક્કસ ઓળખ મળશે, જેમાંથી ન્યૂનતમ સમયગાળો પસંદ કરવાનો પ્રયાસ કરો. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે સમાનતા sin(2T)=0.5 મેળવીએ, તેથી, 2T=P/6, એટલે કે, T=P/12.

જો સમાનતા માત્ર ત્યારે જ સાચી નીકળે જ્યારે T = 0 અથવા પરિમાણ T x પર આધાર રાખે છે (ઉદાહરણ તરીકે, સમાનતા 2T = x મેળવવામાં આવે છે), તો ધારો કે કાર્ય સામયિક નથી.

ટૂંકી અવધિ શોધવા માટે કાર્યોમાત્ર એક ત્રિકોણમિતિ અભિવ્યક્તિ ધરાવે છે, ઉપયોગ કરો. જો અભિવ્યક્તિમાં sin અથવા cos હોય, તો માટેનો સમયગાળો કાર્યો 2P હશે, અને ફંક્શન tg માટે, ctg સૌથી નાનો સમયગાળો P સેટ કરે છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે ફંક્શનને કોઈપણ પાવર સુધી વધારવામાં આવવું જોઈએ નહીં, અને ચિહ્ન હેઠળ ચલ કાર્યો 1 કરતાં અન્ય સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવો જોઈએ નહીં.

જો કોસ અથવા પાપ અંદર છે કાર્યોએક સમાન શક્તિમાં વધારો, સમયગાળો 2P અડધાથી ઘટાડવો. ગ્રાફિકલી તમે તેને આના જેવું જોઈ શકો છો: કાર્યો, x-અક્ષની નીચે, સમપ્રમાણરીતે ઉપર તરફ પ્રતિબિંબિત થશે, તેથી ફંક્શન બમણી વાર પુનરાવર્તિત થશે.

સૌથી નાનો સમયગાળો શોધવા માટે કાર્યોઆપેલ છે કે કોણ x ને કોઈપણ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, નીચે પ્રમાણે આગળ વધો: આનો પ્રમાણભૂત સમયગાળો નક્કી કરો કાર્યો(ઉદાહરણ તરીકે, કારણ કે તે 2P છે). પછી તેને ચલ પહેલા વિભાજિત કરો. આ જરૂરી ટૂંકી અવધિ હશે. સમયગાળામાં ઘટાડો આલેખ પર સ્પષ્ટપણે દેખાય છે: ત્રિકોણમિતિ ચિન્હ હેઠળના કોણનો ગુણાકાર કરવામાં આવે તેટલો તે બરાબર છે. કાર્યો.

જો તમારી અભિવ્યક્તિ બે સામયિક છે કાર્યોએકબીજા દ્વારા ગુણાકાર, દરેક માટે સૌથી નાનો સમયગાળો અલગથી શોધો. પછી તેમના માટે ઓછામાં ઓછું સામાન્ય પરિબળ નક્કી કરો. ઉદાહરણ તરીકે, પીરિયડ્સ P અને 2/3P માટે, સૌથી નાનો સામાન્ય પરિબળ 3P હશે (તે P અને 2/3P બંને પર કોઈ બાકી નથી).

કામચલાઉ વિકલાંગતા લાભોની ગણતરી કરવા અને બિઝનેસ ટ્રિપ્સ માટે ચૂકવણી કરવા માટે કર્મચારીઓના સરેરાશ પગારની ગણતરી કરવી જરૂરી છે. નિષ્ણાતોની સરેરાશ કમાણી ખરેખર કામ કરેલા સમયના આધારે ગણવામાં આવે છે અને સ્ટાફિંગ ટેબલમાં ઉલ્લેખિત પગાર, ભથ્થાં અને બોનસ પર આધાર રાખે છે.

ન્યૂનતમ હકારાત્મક સમયગાળો કાર્યોત્રિકોણમિતિમાં તેને f તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. તે હકારાત્મક સંખ્યા T ના સૌથી નાના મૂલ્ય દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે, એટલે કે, T નું નાનું મૂલ્ય હવે રહેશે નહીં સમયગાળોઓહ્મ કાર્યો .

તમને જરૂર પડશે

• - ગાણિતિક સંદર્ભ પુસ્તક.

સૂચનાઓ

1. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો સમયગાળો ical ફંક્શનમાં હંમેશા ન્યૂનતમ યોગ્ય હોતું નથી સમયગાળો. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, તરીકે સમયગાળોઅને સતત કાર્યોબિનશરતી કોઈપણ સંખ્યા હોઈ શકે છે, જેનો અર્થ છે કે તેમાં સૌથી નાનો ધન હોઈ શકે નહીં સમયગાળોએ. બિન-કાયમી પણ છે સમયગાળો ical કાર્યો, જેમાં સૌથી નાનો સાચો નથી સમયગાળોએ. જો કે, મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં લઘુત્તમ સાચું છે સમયગાળોખાતે સમયગાળોહજુ પણ કેટલાક ical કાર્યો છે.

2. ન્યૂનતમ સમયગાળોસાઈન 2 બરાબર છે? આના પુરાવા માટે ઉદાહરણ જુઓ. કાર્યો y=sin(x). ટી મનસ્વી થવા દો સમયગાળોઓહ્મ સાઈન, આ કિસ્સામાં sin(a+T)=sin(a) a ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે. જો a=?/2, તો તે તારણ આપે છે કે sin(T+?/2)=sin(?/2)=1. જો કે, sin(x)=1 માત્ર એવા કિસ્સામાં જ્યારે x=?/2+2?n, જ્યાં n પૂર્ણાંક છે. તે T=2?n ને અનુસરે છે, જેનો અર્થ છે કે 2?n નું સૌથી નાનું ધન મૂલ્ય 2? છે.

3. ન્યૂનતમ સાચો સમયગાળોકોસાઇન પણ 2 બરાબર છે? આના પુરાવા માટે ઉદાહરણ જુઓ. કાર્યો y=cos(x). જો T મનસ્વી છે સમયગાળોઓમ કોસાઇન, પછી cos(a+T)=cos(a). ઘટનામાં કે a=0, cos(T)=cos(0)=1. આને ધ્યાનમાં રાખીને, T નું સૌથી નાનું ધન મૂલ્ય કે જેના પર cos(x) = 1 2 છે?.

4. હકીકતને ધ્યાનમાં લેતા કે 2? - સમયગાળોસાઈન અને કોસાઈન, સમાન મૂલ્ય હશે સમયગાળોઓહ્મ કોટેન્જેન્ટ, તેમજ સ્પર્શક, જોકે, ન્યૂનતમ નથી, કારણ કે, જેમ જાણીતું છે, ન્યૂનતમ સાચું છે સમયગાળોસ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ સમાન છે? તમે નીચેના ઉદાહરણને જોઈને આ ચકાસી શકો છો: ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ પર સંખ્યાઓ (x) અને (x+?) ને અનુરૂપ બિંદુઓ ડાયમેટ્રિકલી વિરુદ્ધ સ્થાનો ધરાવે છે. બિંદુ (x) થી બિંદુ (x+2?) સુધીનું અંતર અડધા વર્તુળને અનુરૂપ છે. સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ tg(x+?)=tgx, અને ctg(x+?)=ctgx ની વ્યાખ્યા દ્વારા, જેનો અર્થ લઘુત્તમ સાચો છે સમયગાળોકોટેન્જેન્ટ અને ટેન્જેન્ટ સમાન છે?

સામયિક કાર્ય એ એક કાર્ય છે જે કેટલાક બિન-શૂન્ય સમયગાળા પછી તેના મૂલ્યોનું પુનરાવર્તન કરે છે. ફંક્શનનો સમયગાળો એવી સંખ્યા છે જે ફંક્શનની દલીલમાં ઉમેરવામાં આવે ત્યારે, ફંક્શનની કિંમત બદલાતી નથી.

તમને જરૂર પડશે

• પ્રાથમિક ગણિત અને મૂળભૂત સમીક્ષાનું જ્ઞાન.

સૂચનાઓ

1. ચાલો ફંક્શન f(x) નો સમયગાળો K નંબર દ્વારા દર્શાવીએ. આપણું કાર્ય K ની આ કિંમત શોધવાનું છે. આ કરવા માટે, કલ્પના કરો કે ફંક્શન f(x), સામયિક ફંક્શનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સમાન કરીએ છીએ. f(x+K)=f(x).

2. અમે અજ્ઞાત K ને લગતા પરિણામી સમીકરણને હલ કરીએ છીએ, જેમ કે x એક અચળ હોય. K ની કિંમતના આધારે, ઘણા વિકલ્પો હશે.

3. જો K>0 - તો આ તમારા કાર્યનો સમયગાળો છે જો K=0 - તો ફંક્શન f(x) સામયિક નથી જો સમીકરણ f(x+K)=f(x) અસ્તિત્વમાં નથી કોઈપણ K માટે શૂન્ય સમાન નથી, તો આવા કાર્યને એપિરિયોડિક કહેવામાં આવે છે અને તેનો કોઈ સમયગાળો પણ નથી.

વિષય પર વિડિઓ

ધ્યાન આપો!
બધા ત્રિકોણમિતિ વિધેયો સામયિક છે, અને 2 થી વધુ ડિગ્રી સાથેના તમામ બહુપદી કાર્યો એપિરીયોડિક છે.

ઉપયોગી સલાહ
2 સામયિક વિધેયોના સમાવિષ્ટ કાર્યનો સમયગાળો આ વિધેયોના સમયગાળાનો ઓછામાં ઓછો સાર્વત્રિક ગુણાંક છે.

જો આપણે વર્તુળ પરના બિંદુઓને ધ્યાનમાં લઈએ, તો પછી બિંદુઓ x, x + 2π, x + 4π, વગેરે. એકબીજા સાથે મેળ ખાય છે. આમ, ત્રિકોણમિતિ કાર્યોસીધી રેખા પર સમયાંતરેતેમના અર્થનું પુનરાવર્તન કરો. જો સમયગાળો પ્રખ્યાત છે કાર્યો, આ સમયગાળા પર ફંક્શનનું નિર્માણ કરવું અને અન્ય પર તેને પુનરાવર્તન કરવું શક્ય છે.

સૂચનાઓ

1. સમયગાળો એ સંખ્યા T છે જેમ કે f(x) = f(x+T). અવધિ શોધવા માટે, અનુરૂપ સમીકરણ ઉકેલો, દલીલ તરીકે x અને x+T ને બદલીને. આ કિસ્સામાં, કાર્યો માટે અગાઉ જાણીતા સમયગાળાનો ઉપયોગ થાય છે. સાઈન અને કોસાઈન ફંક્શન માટે પીરિયડ 2π છે, અને ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ ફંક્શન માટે તે π છે.

2. ફંક્શન f(x) = sin^2(10x) આપવા દો. અભિવ્યક્તિ sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)) ને ધ્યાનમાં લો. ડિગ્રી ઘટાડવા માટે ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરો: sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2. પછી તમને 1 – cos 20x = 1 – cos 20(x+T) અથવા cos 20x = cos (20x+20T) મળશે. કોસાઇનનો સમયગાળો 2π, 20T = 2π છે તે જાણીને. આનો અર્થ છે T = π/10. T એ ન્યૂનતમ સાચો સમયગાળો છે, અને કાર્ય 2T પછી, અને 3T પછી, અને ધરી સાથે બીજી દિશામાં પુનરાવર્તિત થશે: -T, -2T, વગેરે.

ઉપયોગી સલાહ
ફંક્શનની ડિગ્રી ઘટાડવા માટે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરો. જો તમે પહેલાથી જ કેટલાક કાર્યોનો સમયગાળો જાણો છો, તો હાલના કાર્યને પ્રખ્યાત લોકો સુધી ઘટાડવાનો પ્રયાસ કરો.

એક ફંક્શન કે જેની કિંમતો ચોક્કસ સંખ્યા પછી પુનરાવર્તિત થાય છે તેને કહેવામાં આવે છે સામયિક. એટલે કે, x ની કિંમતમાં તમે ગમે તેટલા પીરિયડ્સ ઉમેરો, ફંક્શન સમાન સંખ્યાની બરાબર હશે. સામયિક કાર્યો માટેની કોઈપણ શોધ સૌથી નાના સમયગાળાની શોધ સાથે શરૂ થાય છે, જેથી બિનજરૂરી કાર્ય ન થાય: તે સમયગાળાની સમાન અંતરાલ પર તમામ ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવા માટે પૂરતું છે.

સૂચનાઓ

1. વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરો સામયિક કાર્યો. માં તમામ x મૂલ્યો કાર્યો(x+T) સાથે બદલો, જ્યાં T એ ન્યૂનતમ સમયગાળો છે કાર્યો. T ને અજાણી સંખ્યા ગણીને પરિણામી સમીકરણ ઉકેલો.

2. પરિણામે, તમને ચોક્કસ ઓળખ મળશે, તેમાંથી સૌથી નાનો સમયગાળો પસંદ કરવાનો પ્રયાસ કરો. ચાલો કહીએ, જો આપણને સમાનતા sin(2T)=0.5 મળે છે, તેથી, 2T=P/6, એટલે કે, T=P/12.

3. જો સમાનતા માત્ર ત્યારે જ સાચી નીકળે જ્યારે T = 0 અથવા પરિમાણ T x પર આધાર રાખે છે (કહો, સમાનતા 2T = x પ્રાપ્ત થાય છે), તારણ કાઢો કે કાર્ય સામયિક નથી.

4. લઘુત્તમ સમયગાળો શોધવા માટે કાર્યોમાત્ર એક ત્રિકોણમિતિ અભિવ્યક્તિ ધરાવે છે, નિયમનો ઉપયોગ કરો. જો અભિવ્યક્તિમાં sin અથવા cos હોય, તો માટેનો સમયગાળો કાર્યો 2P હશે, અને ફંક્શન tg માટે, ctg લઘુત્તમ પીરિયડ સેટ કરે છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે ફંક્શનને કોઈપણ પાવર સુધી વધારવામાં આવવું જોઈએ નહીં, અને ચિહ્ન હેઠળ ચલ કાર્યો 1 કરતાં અન્ય સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવો જોઈએ નહીં.

5. જો કોસ અથવા પાપ અંદર છે કાર્યોએક સમાન શક્તિમાં બનેલ, સમયગાળો 2P ને અડધાથી ઘટાડવો. ગ્રાફિકલી તમે તેને આ રીતે જોઈ શકો છો: ગ્રાફ કાર્યો, x અક્ષની નીચે સ્થિત છે, તે ઉપરની તરફ સમપ્રમાણરીતે પ્રતિબિંબિત થશે, અને પરિણામે ફંક્શનને બમણી વાર પુનરાવર્તિત કરવામાં આવશે.

6. લઘુત્તમ સમયગાળો શોધવા માટે કાર્યોઆપેલ છે કે કોણ x ને કોઈપણ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, નીચે પ્રમાણે આગળ વધો: આનો વિશિષ્ટ સમયગાળો નક્કી કરો કાર્યો(ચાલો કહીએ કે તે 2P છે). તે પછી, તેને ચલની સામેના અવયવ દ્વારા વિભાજીત કરો. આ ઇચ્છિત ન્યૂનતમ સમયગાળો હશે. સમયગાળામાં ઘટાડો આલેખ પર સ્પષ્ટપણે દેખાય છે: ત્રિકોણમિતિ ચિન્હ હેઠળના કોણનો ગુણાકાર કરવામાં આવે તેટલી વખત તે બરાબર સંકુચિત થાય છે. કાર્યો .

7. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે જો x ની આગળ અપૂર્ણાંક સંખ્યા 1 કરતા ઓછી હોય, તો સમયગાળો વધે છે, એટલે કે, ગ્રાફ, તેનાથી વિપરીત, ખેંચાય છે.

8. જો તમારી અભિવ્યક્તિ બે સામયિક છે કાર્યોએકબીજા દ્વારા ગુણાકાર, દરેક માટે ન્યૂનતમ સમયગાળો અલગથી શોધો. આ પછી, તેમના માટે લઘુત્તમ સાર્વત્રિક પરિબળ નક્કી કરો. ચાલો કહીએ કે, પીરિયડ્સ P અને 2/3P માટે, ન્યૂનતમ સાર્વત્રિક પરિબળ 3P હશે (તે P અને 2/3P બંને દ્વારા શેષ વિના વિભાજ્ય છે).

કામચલાઉ વિકલાંગતા લાભોની ગણતરી કરવા અને બિઝનેસ ટ્રિપ્સ માટે ચૂકવણી કરવા માટે કર્મચારીઓના સરેરાશ પગારની ગણતરી જરૂરી છે. નિષ્ણાતોની સરેરાશ કમાણી ખરેખર કામ કરેલા સમયના આધારે ગણવામાં આવે છે અને સ્ટાફિંગ ટેબલમાં ઉલ્લેખિત પગાર, ભથ્થાં અને બોનસ પર આધાર રાખે છે.

તમને જરૂર પડશે

• - સ્ટાફિંગ ટેબલ;
• - કેલ્ક્યુલેટર;
• - અધિકાર;
• - ઉત્પાદન કેલેન્ડર;
• - સમયપત્રક અથવા કાર્ય પૂર્ણતા પ્રમાણપત્ર.

સૂચનાઓ

1. કર્મચારીના સરેરાશ પગારની ગણતરી કરવા માટે, તમારે તે સમયગાળો નક્કી કરો કે જેના માટે તમારે તેની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. હંમેશની જેમ, આ સમયગાળો 12 કેલેન્ડર મહિનાનો છે. પરંતુ જો કોઈ કર્મચારી એન્ટરપ્રાઇઝમાં એક વર્ષથી ઓછા સમય માટે કામ કરે છે, ઉદાહરણ તરીકે, 10 મહિના, તો તમારે નિષ્ણાત તેના કાર્ય કાર્ય કરે તે સમય માટે સરેરાશ કમાણી શોધવાની જરૂર છે.

2. હવે બિલિંગ અવધિ માટે ખરેખર તેને ઉપાર્જિત કરાયેલ વેતનની રકમ નક્કી કરો. આ કરવા માટે, પેસ્લિપ્સનો ઉપયોગ કરો જે મુજબ કર્મચારીને તેના બાકી તમામ ચૂકવણીઓ આપવામાં આવી હતી. જો આ દસ્તાવેજોનો ઉપયોગ કરવાનું અકલ્પ્ય છે, તો પછી માસિક પગાર, બોનસ અને ભથ્થાંને 12 વડે ગુણાકાર કરો (અથવા કર્મચારી એન્ટરપ્રાઇઝમાં કામ કરે છે તે મહિનાની સંખ્યા, જો તે કંપની દ્વારા એક વર્ષથી ઓછા સમયથી નોકરી કરતો હોય. ).

3. તમારી સરેરાશ દૈનિક કમાણીની ગણતરી કરો. આ કરવા માટે, બિલિંગ સમયગાળા માટે વેતનની રકમને મહિનામાં સરેરાશ દિવસોની સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરો (હાલમાં તે 29.4 છે). પરિણામી કુલને 12 વડે વિભાજીત કરો.

4. આ પછી, ખરેખર કામ કરેલા કલાકોની સંખ્યા નક્કી કરો. આ કરવા માટે, સમયપત્રકનો ઉપયોગ કરો. આ દસ્તાવેજ ટાઈમકીપર, કર્મચારી અધિકારી અથવા અન્ય કર્મચારી દ્વારા ભરવો આવશ્યક છે જેમની નોકરીની જવાબદારીઓમાં આનો સમાવેશ થાય છે.

5. સરેરાશ દૈનિક કમાણી દ્વારા ખરેખર કામ કરેલા કલાકોની સંખ્યાને ગુણાકાર કરો. પ્રાપ્ત રકમ એ વર્ષ માટે નિષ્ણાતનો સરેરાશ પગાર છે. કુલને 12 વડે ભાગો. આ તમારી સરેરાશ માસિક આવક હશે. આ ગણતરીનો ઉપયોગ એવા કર્મચારીઓ માટે થાય છે કે જેમનું વેતન કામ કરેલા વાસ્તવિક સમય પર આધારિત છે.

6. જ્યારે કોઈ કર્મચારીને પીસવર્ક ચૂકવવામાં આવે છે, ત્યારે ટેરિફ રેટ (સ્ટાફિંગ ટેબલમાં દર્શાવેલ અને રોજગાર કરાર દ્વારા નિર્ધારિત) ઉત્પાદિત ઉત્પાદનોની સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરો (કામ પૂર્ણતા પ્રમાણપત્ર અથવા અન્ય દસ્તાવેજનો ઉપયોગ કરો જેમાં આ રેકોર્ડ છે).

ધ્યાન આપો!
ફંક્શન્સ y=cos(x) અને y=sin(x) ને ગૂંચવશો નહીં - એક સમાન અવધિ હોવાને કારણે, આ કાર્યોને અલગ રીતે દર્શાવવામાં આવ્યા છે.

ઉપયોગી સલાહ
વધુ સ્પષ્ટતા માટે, ત્રિકોણમિતિ કાર્ય દોરો જેના માટે લઘુત્તમ સાચો સમયગાળો ગણવામાં આવે છે.

ધ્યેય: "કાર્યોની સામયિકતા" વિષય પર વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનનો સારાંશ અને વ્યવસ્થિતકરણ; સામયિક કાર્યના ગુણધર્મોને લાગુ કરવા, કાર્યનો સૌથી નાનો હકારાત્મક સમયગાળો શોધવા, સામયિક કાર્યોના આલેખ બનાવવાની કુશળતા વિકસાવો; ગણિતના અભ્યાસમાં રસ વધારવા; અવલોકન અને ચોકસાઈ કેળવો.

સાધનસામગ્રી: કોમ્પ્યુટર, મલ્ટીમીડિયા પ્રોજેક્ટર, ટાસ્ક કાર્ડ્સ, સ્લાઈડ્સ, ઘડિયાળો, આભૂષણોના કોષ્ટકો, લોક હસ્તકલાના તત્વો

"ગણિત એ છે જેનો ઉપયોગ લોકો પ્રકૃતિ અને પોતાને નિયંત્રિત કરવા માટે કરે છે."
એ.એન. કોલમોગોરોવ

પાઠ પ્રગતિ

I. સંસ્થાકીય તબક્કો.

પાઠ માટે વિદ્યાર્થીઓની તૈયારી તપાસવી. પાઠના વિષય અને ઉદ્દેશ્યોની જાણ કરો.

II. હોમવર્ક તપાસી રહ્યું છે.

અમે નમૂનાઓનો ઉપયોગ કરીને હોમવર્ક તપાસીએ છીએ અને સૌથી મુશ્કેલ મુદ્દાઓની ચર્ચા કરીએ છીએ.

III. જ્ઞાનનું સામાન્યીકરણ અને વ્યવસ્થિતકરણ.

1. ઓરલ ફ્રન્ટલ વર્ક.

સિદ્ધાંત મુદ્દાઓ.

1) કાર્યના સમયગાળાની વ્યાખ્યા બનાવો
2) વિધેયોના સૌથી નાના હકારાત્મક સમયગાળાને નામ આપો y=sin(x), y=cos(x)
3). y=tg(x), y=ctg(x) વિધેયોનો સૌથી નાનો હકારાત્મક સમયગાળો શું છે?
4) વર્તુળનો ઉપયોગ કરીને, સંબંધોની શુદ્ધતા સાબિત કરો:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) સામયિક કાર્ય કેવી રીતે બનાવવું?

મૌખિક કસરતો.

1) નીચેના સંબંધો સાબિત કરો

a) પાપ(740º) = પાપ(20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º)

2. સાબિત કરો કે 540º નો ખૂણો ફંક્શન y= cos(2x) ના સમયગાળામાંનો એક છે

3. સાબિત કરો કે 360º નો ખૂણો ફંક્શન y=tg(x) ના સમયગાળામાંનો એક છે

4. આ સમીકરણોને રૂપાંતરિત કરો જેથી કરીને તેમાં સમાવિષ્ટ ખૂણાઓ સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં 90º થી વધુ ન હોય.

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
ડી) cos(-7363º)

5. તમને PERIOD, PERIODICITY શબ્દો ક્યાંથી મળ્યા?

વિદ્યાર્થી જવાબ આપે છે: સંગીતનો સમયગાળો એ એક માળખું છે જેમાં વધુ કે ઓછા સંપૂર્ણ સંગીત વિચાર રજૂ કરવામાં આવે છે. ભૌગોલિક સમયગાળો એ યુગનો ભાગ છે અને 35 થી 90 મિલિયન વર્ષોના સમયગાળા સાથે યુગમાં વિભાજિત થાય છે.

કિરણોત્સર્ગી પદાર્થનું અર્ધ જીવન. સામયિક અપૂર્ણાંક. સામયિકો મુદ્રિત પ્રકાશનો છે જે સખત રીતે વ્યાખ્યાયિત સમયમર્યાદામાં દેખાય છે. મેન્ડેલીવની સામયિક સિસ્ટમ.

6. આકૃતિઓ સામયિક કાર્યોના આલેખના ભાગો દર્શાવે છે. કાર્યનો સમયગાળો નક્કી કરો. કાર્યનો સમયગાળો નક્કી કરો.

જવાબ આપો: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. તમારા જીવનમાં તમને પુનરાવર્તિત તત્વોના નિર્માણનો ક્યાં સામનો કરવો પડ્યો છે?

વિદ્યાર્થી જવાબ: ઘરેણાંના તત્વો, લોક કલા.

IV. સામૂહિક સમસ્યાનું નિરાકરણ.

(સ્લાઇડ્સ પર સમસ્યાઓનું નિરાકરણ.)

ચાલો સામયિકતા માટે કાર્યનો અભ્યાસ કરવાની એક રીતને ધ્યાનમાં લઈએ.

આ પદ્ધતિ ચોક્કસ સમયગાળો સૌથી નાનો છે તે સાબિત કરવા સાથે સંકળાયેલી મુશ્કેલીઓને ટાળે છે, અને સામયિક કાર્યો પર અંકગણિત કામગીરી અને જટિલ કાર્યની સામયિકતા વિશેના પ્રશ્નોનો સામનો કરવાની જરૂરિયાતને પણ દૂર કરે છે. તર્ક ફક્ત સામયિક કાર્યની વ્યાખ્યા અને નીચેની હકીકત પર આધારિત છે: જો T એ કાર્યનો સમયગાળો છે, તો પછી nT(n?0) તેનો સમયગાળો છે.

સમસ્યા 1. ફંક્શન f(x)=1+3(x+q>5) નો સૌથી નાનો ધન સમય શોધો

ઉકેલ: ધારો કે આ કાર્યનો T-કાળ. પછી બધા x € D(f) માટે f(x+T)=f(x), એટલે કે.

1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0.25)=(x+0.25)

ચાલો x=-0.25 મૂકીએ

(T)=0<=>T=n, n € Z

અમે પ્રાપ્ત કર્યું છે કે પ્રશ્નમાં ફંક્શનના તમામ સમયગાળા (જો તે અસ્તિત્વમાં હોય તો) પૂર્ણાંકોમાંના છે. ચાલો આ સંખ્યાઓમાંથી સૌથી નાની ધન સંખ્યા પસંદ કરીએ. આ 1 . ચાલો તપાસ કરીએ કે તે ખરેખર સમયગાળો હશે કે કેમ 1 .

f(x+1) =3(x+1+0.25)+1

કોઈપણ T માટે (T+1)=(T), પછી f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x), એટલે કે. 1 - સમયગાળો એફ. કારણ કે 1 એ તમામ હકારાત્મક પૂર્ણાંકોમાં સૌથી નાનું છે, પછી T=1.

સમસ્યા 2. બતાવો કે ફંક્શન f(x)=cos 2 (x) સામયિક છે અને તેનો મુખ્ય સમયગાળો શોધો.

સમસ્યા 3. કાર્યનો મુખ્ય સમયગાળો શોધો

f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

ચાલો ફંક્શનનો ટી-પીરિયડ ધારીએ, પછી કોઈપણ માટે એક્સગુણોત્તર માન્ય છે

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

જો x=0, તો

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

જો x=-T, તો

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= – sin(1.5T)+5cos(0.75T)

તેને ઉમેરીને, અમને મળે છે:

10cos(0.75T)=10

2π n, n € Z

ચાલો પીરિયડ માટેની તમામ "શંકાસ્પદ" સંખ્યાઓમાંથી સૌથી નાની સકારાત્મક સંખ્યા પસંદ કરીએ અને તપાસ કરીએ કે તે f માટેનો સમયગાળો છે કે કેમ. આ નંબર

f(x+)=sin(1.5x+4π )+5cos(0.75x+2π )=sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

આનો અર્થ એ છે કે આ કાર્ય f નો મુખ્ય સમયગાળો છે.

સમસ્યા 4. ચાલો તપાસીએ કે ફંક્શન f(x)=sin(x) સામયિક છે કે કેમ

T એ ફંક્શન f નો સમયગાળો છે. પછી કોઈપણ એક્સ માટે

sin|x+Т|=sin|x|

જો x=0, તો sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

ચાલો માની લઈએ. કે અમુક n માટે સંખ્યા π n એ સમયગાળો છે

વિચારણા હેઠળનું કાર્ય π n>0. પછી sin|π n+x|=sin|x|

આ સૂચવે છે કે n એ એક સમાન અને એકી સંખ્યા બંને હોવી જોઈએ, પરંતુ આ અશક્ય છે. તેથી, આ કાર્ય સામયિક નથી.

કાર્ય 5. તપાસો કે શું કાર્ય સામયિક છે

f(x)=

ચાલો T એ f નો સમયગાળો છે, તો પછી

, તેથી sinT=0, Т=π n, n € Z. ચાલો ધારીએ કે અમુક n માટે સંખ્યા π n ખરેખર આ કાર્યનો સમયગાળો છે. પછી નંબર 2π n એ સમયગાળો હશે

અંશ સમાન હોવાથી, તેમના છેદ સમાન છે, તેથી

આનો અર્થ એ છે કે ફંક્શન f સામયિક નથી.

જૂથોમાં કામ કરો.

જૂથ 1 માટે કાર્યો.

જૂથ 2 માટે કાર્યો.

ફંક્શન f સામયિક છે કે કેમ તે તપાસો અને તેનો મૂળભૂત સમયગાળો શોધો (જો તે અસ્તિત્વમાં છે).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

જૂથ 3 માટે કાર્યો.

તેમના કાર્યના અંતે, જૂથો તેમના ઉકેલો રજૂ કરે છે.

VI. પાઠનો સારાંશ.

પ્રતિબિંબ.

શિક્ષક વિદ્યાર્થીઓને ડ્રોઇંગ સાથે કાર્ડ આપે છે અને તેમને પ્રથમ ડ્રોઇંગના ભાગને રંગી દેવાનું કહે છે જે તેમને લાગે છે કે તેઓ સામયિકતા માટે ફંક્શનનો અભ્યાસ કરવાની પદ્ધતિઓમાં નિપુણતા મેળવી છે, અને બીજા ડ્રોઇંગના ભાગમાં - તેમના અનુસાર પાઠમાં કાર્યમાં યોગદાન.

VII. હોમવર્ક

1). ફંક્શન f સામયિક છે કે કેમ તે તપાસો અને તેનો મૂળભૂત સમયગાળો શોધો (જો તે અસ્તિત્વમાં છે)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). વિધેય y=f(x) નો સમયગાળો T=2 અને f(x)=x 2 +2x માટે x € [-2; 0]. અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો -2f(-3)-4f(3.5)

સાહિત્ય/

1. મોર્ડકોવિચ એ.જી.ગહન અભ્યાસ સાથે બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત.
2. ગણિત. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી. એડ. લિસેન્કો એફ.એફ., કુલાબુખોવા એસ.યુ.
3. શેરેમેટ્યેવા ટી.જી. , તારાસોવા ઇ.એ.ગ્રેડ 10-11 માટે બીજગણિત અને પ્રારંભિક વિશ્લેષણ.