ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ - સૂત્રો અને સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણો

નીચે છે મનસ્વી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટેના સૂત્રોજે કોઈપણ ત્રિકોણનો વિસ્તાર શોધવા માટે યોગ્ય છે, તેના ગુણધર્મો, ખૂણા અથવા કદને ધ્યાનમાં લીધા વિના. સૂત્રો તેમની અરજી માટેના સ્પષ્ટીકરણો અથવા તેમની સાચીતા માટેના સમર્થન સાથે ચિત્રના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે છે. ઉપરાંત, એક અલગ આકૃતિ ફોર્મ્યુલામાં અક્ષર પ્રતીકો અને ડ્રોઇંગમાં ગ્રાફિક પ્રતીકો વચ્ચેનો પત્રવ્યવહાર દર્શાવે છે.

નોંધ . જો ત્રિકોણમાં વિશેષ ગુણધર્મો છે (સમદ્વિબાજુ, લંબચોરસ, સમભુજ), તો તમે નીચે આપેલા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરી શકો છો, તેમજ વધારાના વિશેષ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરી શકો છો જે ફક્ત આ ગુણધર્મોવાળા ત્રિકોણ માટે માન્ય છે:

• "એક સમભુજ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર"

ત્રિકોણ ક્ષેત્રના સૂત્રો

સૂત્રો માટે સ્પષ્ટતા:
a, b, c- ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ જેનો વિસ્તાર આપણે શોધવા માંગીએ છીએ
આર- ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા
આર- ત્રિકોણની ફરતે ઘેરાયેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા
h- ત્રિકોણની ઊંચાઈ બાજુથી ઓછી થઈ
પી- ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ, તેની બાજુઓનો સરવાળો 1/2 (પરિમિતિ)
α - ત્રિકોણની બાજુ a ની વિરુદ્ધ કોણ
β - ત્રિકોણની બાજુ b ની વિરુદ્ધ કોણ
γ - ત્રિકોણની બાજુ c ની વિરુદ્ધ કોણ
h a, h b , h c- ત્રિકોણની ઊંચાઈ a, b, c ની બાજુ નીચી

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે આપેલ સંકેતો ઉપરની આકૃતિને અનુરૂપ છે, જેથી કરીને વાસ્તવિક ભૂમિતિની સમસ્યા હલ કરતી વખતે, તમારા માટે સૂત્રમાં યોગ્ય સ્થાનો પર યોગ્ય મૂલ્યોને બદલવાનું દૃષ્ટિની રીતે સરળ બનશે.

• ત્રિકોણનો વિસ્તાર છે ત્રિકોણની ઊંચાઈનો અડધો ગુણાંક અને બાજુની લંબાઈ જેના દ્વારા આ ઊંચાઈ ઓછી કરવામાં આવે છે(સૂત્ર 1). આ સૂત્રની સાચીતા તાર્કિક રીતે સમજી શકાય છે. પાયાની નીચેની ઊંચાઈ મનસ્વી ત્રિકોણને બે લંબચોરસમાં વિભાજિત કરશે. જો તમે તેમાંથી દરેકને b અને h પરિમાણ સાથે લંબચોરસમાં બનાવો છો, તો દેખીતી રીતે આ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ લંબચોરસના બરાબર અડધા ક્ષેત્રફળ જેટલું હશે (Spr = bh)
• ત્રિકોણનો વિસ્તાર છે તેની બે બાજુઓનો અડધો ગુણાંક અને તેમની વચ્ચેના ખૂણાની સાઈન(સૂત્ર 2) (નીચે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યા હલ કરવાનું ઉદાહરણ જુઓ). હકીકત એ છે કે તે પાછલા એક કરતા અલગ લાગે છે છતાં, તે સરળતાથી તેમાં રૂપાંતરિત થઈ શકે છે. જો આપણે કોણ B થી બાજુ b સુધીની ઊંચાઈ ઓછી કરીએ, તો તે તારણ આપે છે કે બાજુ a નું ઉત્પાદન અને કોણ γ ની સાઈન, કાટકોણ ત્રિકોણમાં સાઈનના ગુણધર્મો અનુસાર, આપણે દોરેલા ત્રિકોણની ઊંચાઈ જેટલી છે. , જે આપણને અગાઉનું સૂત્ર આપે છે
• મનસ્વી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધી શકાય છે દ્વારા કામવર્તુળની અડધી ત્રિજ્યા તેની બધી બાજુઓની લંબાઈના સરવાળા દ્વારા તેમાં અંકિત છે(સૂત્ર 3), સરળ રીતે કહીએ તો, તમારે ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિને અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યાથી ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે (આ યાદ રાખવું વધુ સરળ છે)
• મનસ્વી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ તેની ચારે બાજુના વર્તુળની 4 ત્રિજ્યા દ્વારા તેની બધી બાજુઓના ગુણાંકને વિભાજીત કરીને શોધી શકાય છે (સૂત્ર 4)
• ફોર્મ્યુલા 5 ત્રિકોણનો વિસ્તાર તેની બાજુઓની લંબાઈ અને તેની અર્ધ પરિમિતિ (તેની બધી બાજુઓનો અડધો સરવાળો) દ્વારા શોધી રહ્યો છે.
• હેરોનનું સૂત્ર(6) અર્ધ-પરિમિતિના ખ્યાલનો ઉપયોગ કર્યા વિના, માત્ર બાજુઓની લંબાઈ દ્વારા સમાન સૂત્રનું પ્રતિનિધિત્વ છે
• મનસ્વી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણની બાજુના ચોરસના ગુણાંક જેટલું હોય છે અને આ બાજુને અડીને આવેલા ખૂણાઓની સાઈનને આ બાજુની સામેના ખૂણાની ડબલ સાઈન વડે ભાગવામાં આવે છે (સૂત્ર 7)
• મનસ્વી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ તેના પ્રત્યેક ખૂણાના સાઇન્સ દ્વારા તેની ફરતે ઘેરાયેલા વર્તુળના બે ચોરસના ગુણાંક તરીકે શોધી શકાય છે. (સૂત્ર 8)
• જો એક બાજુની લંબાઈ અને બે અડીને આવેલા ખૂણાઓની કિંમતો જાણીતી હોય, તો ત્રિકોણનો વિસ્તાર આ બાજુના ચોરસ તરીકે શોધી શકાય છે જે આ ખૂણાઓના કોટિન્જન્ટ્સના બેવડા સરવાળાથી ભાગવામાં આવે છે (સૂત્ર 9)
• જો ત્રિકોણની દરેક ઊંચાઈની માત્ર લંબાઈ જ જાણીતી હોય (સૂત્ર 10), તો આવા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ આ ઊંચાઈની લંબાઈના વિપરિત પ્રમાણસર હોય છે, જેમ કે હેરોનના સૂત્ર મુજબ
• ફોર્મ્યુલા 11 તમને ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે તેના શિરોબિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ પર આધારિત ત્રિકોણનો વિસ્તાર, જે દરેક શિરોબિંદુઓ માટે (x;y) મૂલ્યો તરીકે ઉલ્લેખિત છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે પરિણામી મૂલ્ય મોડ્યુલો લેવું આવશ્યક છે, કારણ કે વ્યક્તિગત (અથવા તમામ) શિરોબિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ નકારાત્મક મૂલ્યોના ક્ષેત્રમાં હોઈ શકે છે.

નોંધ. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે ભૂમિતિની સમસ્યાઓ હલ કરવાના ઉદાહરણો નીચે આપેલા છે. જો તમારે ભૂમિતિની સમસ્યા હલ કરવાની જરૂર હોય જે અહીં સમાન નથી, તો ફોરમમાં તેના વિશે લખો. ઉકેલોમાં, "ચોરસમૂળ" પ્રતીકને બદલે, sqrt() ફંક્શનનો ઉપયોગ કરી શકાય છે, જેમાં sqrt એ વર્ગમૂળનું પ્રતીક છે, અને આમૂલ અભિવ્યક્તિ કૌંસમાં દર્શાવેલ છે..કેટલીકવાર સરળ આમૂલ અભિવ્યક્તિઓ માટે પ્રતીકનો ઉપયોગ કરી શકાય છે √

કાર્ય. બે બાજુઓ આપેલ વિસ્તાર અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો શોધો

ત્રિકોણની બાજુઓ 5 અને 6 સેમી છે તેમની વચ્ચેનો કોણ 60 ડિગ્રી છે. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

ઉકેલ.

આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, અમે પાઠના સૈદ્ધાંતિક ભાગમાંથી સૂત્ર નંબર બેનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બે બાજુઓની લંબાઈ અને તેમની વચ્ચેના કોણની સાઈન દ્વારા શોધી શકાય છે અને તે બરાબર હશે
S=1/2 ab sin γ

અમારી પાસે સોલ્યુશન માટેના તમામ જરૂરી ડેટા હોવાથી (સૂત્ર મુજબ), અમે માત્ર સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓમાંથી મૂલ્યોને સૂત્રમાં બદલી શકીએ છીએ:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના મૂલ્યોના કોષ્ટકમાં, આપણે અભિવ્યક્તિમાં સાઈન 60 ડિગ્રીના મૂલ્યને શોધી અને બદલીશું. તે ત્રણ ગુણ્યા બે ના મૂળ સમાન હશે.
S = 15 √3 / 2

જવાબ આપો: 7.5 √3 (શિક્ષકની આવશ્યકતાઓને આધારે, તમે કદાચ 15 √3/2 છોડી શકો છો)

કાર્ય. સમભુજ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો

બાજુ 3cm સાથે સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

ઉકેલ.

હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધી શકાય છે:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

a = b = c હોવાથી, સમભુજ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર આ સ્વરૂપ લે છે:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

જવાબ આપો: 9 √3 / 4.

કાર્ય. બાજુઓની લંબાઈ બદલતી વખતે વિસ્તાર બદલો

જો બાજુઓને 4 ગણો વધારવામાં આવે તો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કેટલી વાર વધશે?

ઉકેલ.

ત્રિકોણની બાજુઓના પરિમાણ આપણને અજાણ્યા હોવાથી, સમસ્યાના ઉકેલ માટે આપણે ધારીશું કે બાજુઓની લંબાઈ અનુક્રમે a, b, c ની મનસ્વી સંખ્યાઓ જેટલી છે. પછી, સમસ્યાના પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, આપણે આપેલ ત્રિકોણનો વિસ્તાર શોધીશું, અને પછી આપણે ત્રિકોણનો વિસ્તાર શોધીશું જેની બાજુઓ ચાર ગણી મોટી છે. આ ત્રિકોણના ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર આપણને સમસ્યાનો જવાબ આપશે.

નીચે અમે સમસ્યાના પગલા-દર-પગલાના ઉકેલનું શાબ્દિક સમજૂતી આપીએ છીએ. જો કે, ખૂબ જ અંતે, આ જ ઉકેલ વધુ અનુકૂળ ગ્રાફિકલ સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવ્યો છે. રસ ધરાવતા લોકો તરત જ ઉકેલો નીચે જઈ શકે છે.

ઉકેલવા માટે, અમે હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ (પાઠના સૈદ્ધાંતિક ભાગમાં ઉપર જુઓ). તે આના જેવું દેખાય છે:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(નીચે ચિત્રની પ્રથમ લાઇન જુઓ)

મનસ્વી ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ a, b, c ચલ દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે.
જો બાજુઓને 4 ગણો વધારવામાં આવે છે, તો નવા ત્રિકોણ c નો વિસ્તાર હશે:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(નીચે ચિત્રમાં બીજી લીટી જુઓ)

જેમ તમે જોઈ શકો છો, 4 એ એક સામાન્ય પરિબળ છે જેને ગણિતના સામાન્ય નિયમો અનુસાર ચારેય સમીકરણોમાંથી કૌંસમાંથી બહાર કાઢી શકાય છે.
પછી

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - ચિત્રની ત્રીજી લાઇન પર
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - ચોથી લીટી

256 નંબરનું વર્ગમૂળ સંપૂર્ણ રીતે કાઢવામાં આવ્યું છે, તો ચાલો તેને મૂળની નીચેથી બહાર કાઢીએ.
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(નીચે ચિત્રની પાંચમી લાઇન જુઓ)

સમસ્યામાં પૂછાયેલા પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, આપણે ફક્ત પરિણામી ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળને મૂળ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળથી વિભાજીત કરવાની જરૂર છે.
ચાલો એકબીજા દ્વારા સમીકરણોને વિભાજીત કરીને અને પરિણામી અપૂર્ણાંકને ઘટાડીને વિસ્તાર ગુણોત્તર નક્કી કરીએ.

વિસ્તારનો ખ્યાલ

કોઈપણ ભૌમિતિક આકૃતિના ક્ષેત્રફળની વિભાવના, ખાસ કરીને ત્રિકોણ, ચોરસ જેવી આકૃતિ સાથે સંકળાયેલ હશે. કોઈપણ ભૌમિતિક આકૃતિના એકમ ક્ષેત્રફળ માટે આપણે ચોરસનો વિસ્તાર લઈશું જેની બાજુ એક સમાન છે. સંપૂર્ણતા માટે, ચાલો આપણે ભૌમિતિક આકૃતિઓના ક્ષેત્રોના ખ્યાલ માટે બે મૂળભૂત ગુણધર્મોને યાદ કરીએ.

મિલકત 1:જો ભૌમિતિક આકૃતિઓ સમાન છે, તો તેમના ક્ષેત્રો પણ સમાન છે.

મિલકત 2:કોઈપણ આકૃતિને અનેક આકૃતિઓમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. તદુપરાંત, મૂળ આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ તેના તમામ ઘટક આકૃતિઓના ક્ષેત્રોના સરવાળા જેટલું છે.

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ.

ઉદાહરણ 1

દેખીતી રીતે, ત્રિકોણની એક બાજુ લંબચોરસનો કર્ણ છે, જેની એક બાજુની લંબાઈ $5$ છે (કારણ કે $5$ કોષો છે) અને બીજી $6$ છે (કારણ કે $6$ કોષો છે). તેથી, આ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ આવા લંબચોરસના અડધા જેટલું હશે. લંબચોરસનો વિસ્તાર છે

પછી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બરાબર છે

જવાબ: $15$.

આગળ, આપણે ત્રિકોણના ક્ષેત્રો શોધવા માટે ઘણી પદ્ધતિઓનો વિચાર કરીશું, જેમ કે ઊંચાઈ અને આધારનો ઉપયોગ કરીને, હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અને સમભુજ ત્રિકોણનો વિસ્તાર.

ત્રિકોણનો વિસ્તાર તેની ઊંચાઈ અને આધારનો ઉપયોગ કરીને કેવી રીતે શોધવો

પ્રમેય 1

ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ એક બાજુની લંબાઈ અને તે બાજુની ઊંચાઈના અડધા ગુણાંક તરીકે શોધી શકાય છે.

ગાણિતિક રીતે તે આના જેવું લાગે છે

$S=\frac(1)(2)αh$

જ્યાં $a$ એ બાજુની લંબાઈ છે, $h$ એ તેની તરફ દોરેલી ઊંચાઈ છે.

પુરાવો.

ત્રિકોણ $ABC$ ને ધ્યાનમાં લો જેમાં $AC=α$. ઊંચાઈ $BH$ આ બાજુ દોરવામાં આવે છે, જે $h$ ની બરાબર છે. ચાલો તેને આકૃતિ 2 ની જેમ $AXYC$ ચોરસ સુધી બનાવીએ.

લંબચોરસ $AXBH$ નો વિસ્તાર $h\cdot AH$ છે, અને લંબચોરસ $HBYC$ નો વિસ્તાર $h\cdot HC$ છે. પછી

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

તેથી, ત્રિકોણનું આવશ્યક ક્ષેત્ર, ગુણધર્મ 2 દ્વારા, બરાબર છે

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ઉદાહરણ 2

જો કોષનો વિસ્તાર એક સમાન હોય તો નીચેની આકૃતિમાં ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો

આ ત્રિકોણનો આધાર $9$ બરાબર છે (કારણ કે $9$ $9$ ચોરસ છે). ઊંચાઈ પણ $9$ છે. પછી, પ્રમેય 1 દ્વારા, આપણને મળે છે

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

જવાબ: $40.5$.

હેરોનનું સૂત્ર

પ્રમેય 2

જો આપણને ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓ $α$, $β$ અને $γ$ આપવામાં આવે, તો તેનો વિસ્તાર નીચે પ્રમાણે શોધી શકાય છે.

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

અહીં $ρ$ એટલે આ ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ.

પુરાવો.

નીચેની આકૃતિ ધ્યાનમાં લો:

પાયથાગોરિયન પ્રમેય દ્વારા, ત્રિકોણમાંથી આપણે $ABH$ મેળવીએ છીએ

ત્રિકોણ $CBH$ થી, પાયથાગોરિયન પ્રમેય મુજબ, આપણી પાસે છે

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

આ બે સંબંધોમાંથી આપણને સમાનતા મળે છે

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

ત્યારથી $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, પછી $α+β+γ=2ρ$, જેનો અર્થ થાય છે

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

પ્રમેય 1 દ્વારા, આપણે મેળવીએ છીએ

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

વિસ્તારનો ખ્યાલ

કોઈપણ ભૌમિતિક આકૃતિના ક્ષેત્રફળની વિભાવના, ખાસ કરીને ત્રિકોણ, ચોરસ જેવી આકૃતિ સાથે સંકળાયેલ હશે. કોઈપણ ભૌમિતિક આકૃતિના એકમ ક્ષેત્રફળ માટે આપણે ચોરસનો વિસ્તાર લઈશું જેની બાજુ એક સમાન છે. સંપૂર્ણતા માટે, ચાલો આપણે ભૌમિતિક આકૃતિઓના ક્ષેત્રોના ખ્યાલ માટે બે મૂળભૂત ગુણધર્મોને યાદ કરીએ.

મિલકત 1:જો ભૌમિતિક આકૃતિઓ સમાન છે, તો તેમના ક્ષેત્રો પણ સમાન છે.

મિલકત 2:કોઈપણ આકૃતિને અનેક આકૃતિઓમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. તદુપરાંત, મૂળ આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ તેના તમામ ઘટક આકૃતિઓના ક્ષેત્રોના સરવાળા જેટલું છે.

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ.

ઉદાહરણ 1

દેખીતી રીતે, ત્રિકોણની એક બાજુ લંબચોરસનો કર્ણ છે, જેની એક બાજુની લંબાઈ $5$ છે (કારણ કે $5$ કોષો છે) અને બીજી $6$ છે (કારણ કે $6$ કોષો છે). તેથી, આ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ આવા લંબચોરસના અડધા જેટલું હશે. લંબચોરસનો વિસ્તાર છે

પછી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બરાબર છે

જવાબ: $15$.

આગળ, આપણે ત્રિકોણના ક્ષેત્રો શોધવા માટે ઘણી પદ્ધતિઓનો વિચાર કરીશું, જેમ કે ઊંચાઈ અને આધારનો ઉપયોગ કરીને, હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અને સમભુજ ત્રિકોણનો વિસ્તાર.

ત્રિકોણનો વિસ્તાર તેની ઊંચાઈ અને આધારનો ઉપયોગ કરીને કેવી રીતે શોધવો

પ્રમેય 1

ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ એક બાજુની લંબાઈ અને તે બાજુની ઊંચાઈના અડધા ગુણાંક તરીકે શોધી શકાય છે.

ગાણિતિક રીતે તે આના જેવું લાગે છે

$S=\frac(1)(2)αh$

જ્યાં $a$ એ બાજુની લંબાઈ છે, $h$ એ તેની તરફ દોરેલી ઊંચાઈ છે.

પુરાવો.

ત્રિકોણ $ABC$ ને ધ્યાનમાં લો જેમાં $AC=α$. ઊંચાઈ $BH$ આ બાજુ દોરવામાં આવે છે, જે $h$ ની બરાબર છે. ચાલો તેને આકૃતિ 2 ની જેમ $AXYC$ ચોરસ સુધી બનાવીએ.

લંબચોરસ $AXBH$ નો વિસ્તાર $h\cdot AH$ છે, અને લંબચોરસ $HBYC$ નો વિસ્તાર $h\cdot HC$ છે. પછી

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

તેથી, ત્રિકોણનું આવશ્યક ક્ષેત્ર, ગુણધર્મ 2 દ્વારા, બરાબર છે

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ઉદાહરણ 2

જો કોષનો વિસ્તાર એક સમાન હોય તો નીચેની આકૃતિમાં ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો

આ ત્રિકોણનો આધાર $9$ બરાબર છે (કારણ કે $9$ $9$ ચોરસ છે). ઊંચાઈ પણ $9$ છે. પછી, પ્રમેય 1 દ્વારા, આપણને મળે છે

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

જવાબ: $40.5$.

હેરોનનું સૂત્ર

પ્રમેય 2

જો આપણને ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓ $α$, $β$ અને $γ$ આપવામાં આવે, તો તેનો વિસ્તાર નીચે પ્રમાણે શોધી શકાય છે.

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

અહીં $ρ$ એટલે આ ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ.

પુરાવો.

નીચેની આકૃતિ ધ્યાનમાં લો:

પાયથાગોરિયન પ્રમેય દ્વારા, ત્રિકોણમાંથી આપણે $ABH$ મેળવીએ છીએ

ત્રિકોણ $CBH$ થી, પાયથાગોરિયન પ્રમેય મુજબ, આપણી પાસે છે

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

આ બે સંબંધોમાંથી આપણને સમાનતા મળે છે

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

ત્યારથી $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, પછી $α+β+γ=2ρ$, જેનો અર્થ થાય છે

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

પ્રમેય 1 દ્વારા, આપણે મેળવીએ છીએ

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

વિરુદ્ધ શિરોબિંદુથી) અને પરિણામી ઉત્પાદનને બે દ્વારા વિભાજીત કરો. આ આના જેવું દેખાય છે:

S = ½ * a * h,

ક્યાં:
S - ત્રિકોણનો વિસ્તાર,
a તેની બાજુની લંબાઈ છે,
h એ આ બાજુથી નીચેની ઊંચાઈ છે.

માપના સમાન એકમોમાં બાજુની લંબાઈ અને ઊંચાઈ રજૂ કરવી આવશ્યક છે. આ કિસ્સામાં, ત્રિકોણનો વિસ્તાર અનુરૂપ “” એકમોમાં મેળવવામાં આવશે.

ઉદાહરણ.
20 સે.મી. લાંબા સ્કેલીન ત્રિકોણની એક બાજુ પર, વિરુદ્ધ શિરોબિંદુમાંથી 10 સે.મી. લાંબો કાટખૂણો નીચે આવે છે.
ત્રિકોણનો વિસ્તાર જરૂરી છે.
ઉકેલ.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

જો સ્કેલીન ત્રિકોણની કોઈપણ બે બાજુઓની લંબાઈ અને તેમની વચ્ચેનો કોણ જાણીતો હોય, તો સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:

S = ½ * a * b * sinγ,

જ્યાં: a, b એ બે મનસ્વી બાજુઓની લંબાઈ છે, અને γ એ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો છે.

વ્યવહારમાં, ઉદાહરણ તરીકે, જમીનના પ્લોટને માપતી વખતે, ઉપરોક્ત સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવો ક્યારેક મુશ્કેલ હોય છે, કારણ કે તેને વધારાના બાંધકામ અને ખૂણાના માપની જરૂર પડે છે.

જો તમે સ્કેલેન ત્રિકોણની ત્રણેય બાજુઓની લંબાઈ જાણો છો, તો હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ,
p – અર્ધ-પરિમિતિ: p = (a+b+c)/2.

જો, બધી બાજુઓની લંબાઈ ઉપરાંત, ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા જાણીતી હોય, તો નીચેના કોમ્પેક્ટ સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:

જ્યાં: r – અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા (р – અર્ધ-પરિમિતિ).

સ્કેલેન ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ અને તેની બાજુઓની લંબાઈની ગણતરી કરવા માટે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:

જ્યાં: R – ઘેરાયેલા વર્તુળની ત્રિજ્યા.

જો ત્રિકોણની એક બાજુ અને ત્રણ ખૂણાઓની લંબાઈ જાણીતી હોય (સૈદ્ધાંતિક રીતે, બે પર્યાપ્ત છે - ત્રીજાનું મૂલ્ય ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાના સરવાળાની સમાનતાથી ગણવામાં આવે છે - 180º), તો પછી ઉપયોગ કરો. સૂત્ર:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

જ્યાં α એ બાજુ a ની વિરુદ્ધ ખૂણાનું મૂલ્ય છે;
β, γ – ત્રિકોણના બાકીના બે ખૂણાઓના મૂલ્યો.

વિસ્તાર સહિત વિવિધ તત્વો શોધવાની જરૂર છે ત્રિકોણ, પ્રાચીન ગ્રીસના વિદ્વાન ખગોળશાસ્ત્રીઓમાં ઘણી સદીઓ પૂર્વે દેખાયા હતા. ચોરસ ત્રિકોણવિવિધ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને વિવિધ રીતે ગણતરી કરી શકાય છે. ગણતરી પદ્ધતિ કયા તત્વો પર આધારિત છે ત્રિકોણજાણીતું

સૂચનાઓ

જો શરતમાંથી આપણે બે બાજુઓ b, c અને તેમના દ્વારા રચાયેલ કોણના મૂલ્યો જાણીએ છીએ?, તો ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણ ABC સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે:
S = (bcsin?)/2.

જો શરતમાંથી આપણે બે બાજુઓ a, b અને તેમના દ્વારા ન બનેલા કોણના મૂલ્યો જાણીએ છીએ?, તો ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણ ABC નીચે મુજબ જોવા મળે છે:
કોણ શોધવું?, પાપ? = bsin?/a, પછી કોણ પોતે નક્કી કરવા માટે કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરો.
કોણ શોધવું?, ? = 180°-?-?.
આપણે S = (એબ્સિન?)/2 વિસ્તાર પોતે શોધીએ છીએ.

જો સ્થિતિથી આપણે ફક્ત ત્રણ બાજુઓના મૂલ્યો જાણીએ છીએ ત્રિકોણ a, b અને c, પછી વિસ્તાર ત્રિકોણ ABC સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), જ્યાં p અર્ધ-પરિમિતિ p = (a+b+c)/2 છે

જો સમસ્યાની સ્થિતિમાંથી આપણે ઊંચાઈ જાણીએ છીએ ત્રિકોણ h અને જે બાજુ આ ઊંચાઈ ઓછી કરવામાં આવે છે, તે પછી વિસ્તાર ત્રિકોણસૂત્ર અનુસાર ABC:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

જો આપણે બાજુઓનો અર્થ જાણીએ ત્રિકોણ a, b, c અને આ વિશે વર્ણવેલ ત્રિજ્યા ત્રિકોણઆર, પછી આનો વિસ્તાર ત્રિકોણ ABC સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
S = abc/4R.
જો ત્રણ બાજુઓ a, b, c અને અંકિતની ત્રિજ્યા જાણીતી હોય, તો ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણ ABC સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે:
S = pr, જ્યાં p એ અર્ધ-પરિમિતિ છે, p = (a+b+c)/2.

જો ABC સમભુજ હોય, તો સૂત્ર દ્વારા વિસ્તાર જોવા મળે છે:
S = (a^2v3)/4.
જો ત્રિકોણ ABC સમદ્વિબાજુ છે, તો ક્ષેત્રફળ સૂત્ર દ્વારા નક્કી થાય છે:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, જ્યાં c – ત્રિકોણ.
જો ત્રિકોણ ABC કાટખૂણે હોય, તો ક્ષેત્રફળ સૂત્ર દ્વારા નક્કી થાય છે:
S = ab/2, જ્યાં a અને b પગ છે ત્રિકોણ.
જો ત્રિકોણ ABC એ જમણો સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે, તો ક્ષેત્રફળ સૂત્ર દ્વારા નક્કી થાય છે:
S = c^2/4 = a^2/2, જ્યાં c એ કર્ણ છે ત્રિકોણ, a=b – પગ.

વિષય પર વિડિઓ

સ્ત્રોતો:

• ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કેવી રીતે માપવું

ટીપ 3: જો કોણ જાણીતું હોય તો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કેવી રીતે શોધવું

વિસ્તાર શોધવા માટે માત્ર એક પરિમાણ (કોણ) જાણવું પૂરતું નથી ટ્રે ચોરસ . જો ત્યાં કોઈ વધારાના પરિમાણો હોય, તો પછી વિસ્તાર નક્કી કરવા માટે તમે સૂત્રોમાંથી એક પસંદ કરી શકો છો જેમાં કોણ મૂલ્ય પણ જાણીતા ચલોમાંના એક તરીકે ઉપયોગમાં લેવાય છે. સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતા કેટલાક સૂત્રો નીચે આપેલા છે.

સૂચનાઓ

જો, બે બાજુઓ દ્વારા રચાયેલા ખૂણા (γ) ના કદ ઉપરાંત ટ્રે ચોરસ , તો પછી આ બાજુઓની લંબાઈ (A અને B) પણ જાણીતી છે ચોરસઆકૃતિના (S) ને બાજુઓની લંબાઈના અડધા ગુણાંક અને આ જાણીતા કોણની સાઈન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે: S=½×A×B×sin(γ).

જીવનમાં કેટલીકવાર એવી પરિસ્થિતિઓ હોય છે જ્યારે તમારે લાંબા સમયથી ભૂલી ગયેલા શાળાના જ્ઞાનની શોધમાં તમારી યાદશક્તિમાં શોધવું પડે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમારે જમીનના ત્રિકોણાકાર આકારના પ્લોટનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવાની જરૂર છે, અથવા એપાર્ટમેન્ટ અથવા ખાનગી મકાનમાં અન્ય નવીનીકરણનો સમય આવી ગયો છે, અને તમારે ગણતરી કરવાની જરૂર છે કે સપાટી માટે કેટલી સામગ્રીની જરૂર પડશે. ત્રિકોણાકાર આકાર. એક સમય હતો જ્યારે તમે આવી સમસ્યાને થોડી મિનિટોમાં હલ કરી શકતા હતા, પરંતુ હવે તમે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કેવી રીતે નક્કી કરવું તે યાદ કરવાનો સખત પ્રયાસ કરી રહ્યાં છો?

તેના વિશે ચિંતા કરશો નહીં! છેવટે, તે એકદમ સામાન્ય છે જ્યારે વ્યક્તિનું મગજ લાંબા સમયથી ન વપરાયેલ જ્ઞાનને ક્યાંક દૂરના ખૂણામાં સ્થાનાંતરિત કરવાનું નક્કી કરે છે, જ્યાંથી કેટલીકવાર તેને કાઢવાનું એટલું સરળ નથી. આવી સમસ્યાને ઉકેલવા માટે તમારે ભૂલી ગયેલા શાળા જ્ઞાનની શોધમાં સંઘર્ષ ન કરવો પડે તે માટે, આ લેખમાં વિવિધ પદ્ધતિઓ છે જે ત્રિકોણના જરૂરી ક્ષેત્રને શોધવાનું સરળ બનાવે છે.

તે જાણીતું છે કે ત્રિકોણ એ બહુકોણનો એક પ્રકાર છે જે બાજુઓની ન્યૂનતમ સંભવિત સંખ્યા સુધી મર્યાદિત છે. સૈદ્ધાંતિક રીતે, કોઈપણ બહુકોણને તેના શિરોબિંદુઓને તેની બાજુઓને છેદતા ન હોય તેવા ભાગો સાથે જોડીને અનેક ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. તેથી, ત્રિકોણને જાણીને, તમે લગભગ કોઈપણ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરી શકો છો.

જીવનમાં બનતા તમામ સંભવિત ત્રિકોણમાં, નીચેના ચોક્કસ પ્રકારોને ઓળખી શકાય છે: અને લંબચોરસ.

ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો એ છે કે જ્યારે તેનો એક ખૂણો સાચો હોય, એટલે કે કાટકોણ ત્રિકોણના કિસ્સામાં. તે જોવાનું સરળ છે કે તે અડધો લંબચોરસ છે. તેથી, તેનો વિસ્તાર બાજુઓના અડધા ઉત્પાદન જેટલો છે જે એકબીજા સાથે જમણો ખૂણો બનાવે છે.

જો આપણે ત્રિકોણની ઊંચાઈ જાણીએ, જે તેના એક શિરોબિંદુથી વિરુદ્ધ બાજુએ નીચી હોય અને આ બાજુની લંબાઈ, જેને આધાર કહેવાય છે, તો વિસ્તારની ગણતરી ઊંચાઈ અને પાયાના અડધા ગુણાંક તરીકે કરવામાં આવે છે. આ નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને લખાયેલ છે:

S = 1/2*b*h, જેમાં

S એ ત્રિકોણનો આવશ્યક વિસ્તાર છે;

b, h - અનુક્રમે, ત્રિકોણની ઊંચાઈ અને આધાર.

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવી ખૂબ જ સરળ છે કારણ કે ઊંચાઈ વિરુદ્ધ બાજુને દ્વિભાજિત કરશે અને સરળતાથી માપી શકાય છે. જો ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવામાં આવે, તો ઉંચાઈ તરીકે જમણો ખૂણો બનાવતી બાજુઓમાંથી એકની લંબાઈ લેવી અનુકૂળ છે.

આ બધું અલબત્ત સારું છે, પરંતુ ત્રિકોણનો એક ખૂણો સાચો છે કે નહીં તે કેવી રીતે નક્કી કરવું? જો આપણી આકૃતિનું કદ નાનું હોય, તો આપણે બાંધકામ કોણ, ડ્રોઇંગ ત્રિકોણ, પોસ્ટકાર્ડ અથવા લંબચોરસ આકારવાળા અન્ય ઑબ્જેક્ટનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

પરંતુ જો આપણી પાસે જમીનનો ત્રિકોણાકાર પ્લોટ હોય તો શું? આ કિસ્સામાં, નીચે પ્રમાણે આગળ વધો: એક બાજુએ 3 (30 સે.મી., 90 સે.મી., 3 મીટર) ના અંતરના ગુણાંકમાં માનવામાં આવેલા જમણા ખૂણોની ટોચ પરથી ગણતરી કરો અને બીજી બાજુ તે જ અંતર 4 ના ગુણાંકને માપો. પ્રમાણ (40 cm, 160 cm, 4 m). હવે તમારે આ બે વિભાગોના અંતિમ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર માપવાની જરૂર છે. જો પરિણામ 5 (50 cm, 250 cm, 5 m) નો ગુણાંક હોય, તો આપણે કહી શકીએ કે કોણ સાચો છે.

જો આપણી આકૃતિની ત્રણેય બાજુઓની લંબાઈ જાણીતી હોય, તો હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરી શકાય છે. તેને સરળ સ્વરૂપ આપવા માટે, એક નવું મૂલ્ય વપરાય છે, જેને અર્ધ-પરિમિતિ કહેવામાં આવે છે. આ આપણા ત્રિકોણની બધી બાજુઓનો સરવાળો છે, જે અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલો છે. અર્ધ-પરિમિતિની ગણતરી કર્યા પછી, તમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તાર નક્કી કરવાનું શરૂ કરી શકો છો:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), ક્યાં

sqrt - વર્ગમૂળ;

p - અર્ધ-પરિમિતિ મૂલ્ય (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - ત્રિકોણની ધાર (બાજુઓ).

પરંતુ જો ત્રિકોણનો આકાર અનિયમિત હોય તો શું? અહીં બે સંભવિત રસ્તાઓ છે. તેમાંથી પ્રથમ આવી આકૃતિને બે જમણા ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરવાનો પ્રયાસ કરવાનો છે, જેનાં ક્ષેત્રોનો સરવાળો અલગથી ગણવામાં આવે છે, અને પછી ઉમેરવામાં આવે છે. અથવા, જો બે બાજુઓ વચ્ચેનો કોણ અને આ બાજુઓનું કદ જાણીતું હોય, તો સૂત્ર લાગુ કરો:

S = 0.5 * ab * sinC, જ્યાં

a,b - ત્રિકોણની બાજુઓ;

c એ આ બાજુઓ વચ્ચેના ખૂણાનું કદ છે.

પછીનો કેસ વ્યવહારમાં દુર્લભ છે, પરંતુ તેમ છતાં, જીવનમાં બધું જ શક્ય છે, તેથી ઉપરોક્ત સૂત્ર અનાવશ્યક રહેશે નહીં. તમારી ગણતરીઓ સાથે સારા નસીબ!