ઉદાહરણ તરીકે, ક્રમ \(2\); \(5\); \(8\); \(અગિયાર\); \(14\)... એ અંકગણિત પ્રગતિ છે, કારણ કે દરેક અનુગામી તત્વ અગાઉના એકથી ત્રણ દ્વારા અલગ પડે છે (ત્રણ ઉમેરીને અગાઉના એકમાંથી મેળવી શકાય છે):

આ પ્રગતિમાં, તફાવત \(d\) સકારાત્મક છે (\(3\) ની બરાબર), અને તેથી દરેક આગામી પદ અગાઉના એક કરતા વધારે છે. આવી પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે વધારો.

જો કે, \(d\) નકારાત્મક સંખ્યા પણ હોઈ શકે છે. દાખ્લા તરીકે, અંકગણિત પ્રગતિમાં \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... પ્રગતિ તફાવત \(d\) ઓછા છ બરાબર છે.

અને આ કિસ્સામાં, દરેક આગલું તત્વ પાછલા એક કરતાં નાનું હશે. આ પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે ઘટતું.

અંકગણિત પ્રગતિ સંકેત

પ્રગતિ નાના લેટિન અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

જે સંખ્યાઓ પ્રગતિ બનાવે છે તેને કહેવામાં આવે છે સભ્યો(અથવા તત્વો).

તેઓ અંકગણિત પ્રગતિ તરીકે સમાન અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, પરંતુ ક્રમમાં તત્વની સંખ્યા જેટલી સંખ્યાત્મક અનુક્રમણિકા સાથે.

ઉદાહરણ તરીકે, અંકગણિત પ્રગતિ \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) તત્વોનો સમાવેશ કરે છે \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) અને તેથી વધુ.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પ્રગતિ માટે \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

અંકગણિત પ્રગતિ સમસ્યાઓ ઉકેલવા

સૈદ્ધાંતિક રીતે, ઉપર પ્રસ્તુત માહિતી લગભગ કોઈપણ અંકગણિત પ્રગતિ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે પહેલેથી જ પૂરતી છે (OGE પર ઓફર કરાયેલ તે સહિત).

ઉદાહરણ (OGE). અંકગણિત પ્રગતિ એ શરતો દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે \(b_1=7; d=4\). \(b_5\) શોધો.
ઉકેલ:

જવાબ: \(b_5=23\)

ઉદાહરણ (OGE). અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ ત્રણ પદો આપવામાં આવ્યા છે: \(62; 49; 36…\) આ પ્રગતિના પ્રથમ નકારાત્મક પદનું મૂલ્ય શોધો..
ઉકેલ:

જવાબ: \(-3\)

ઉદાહરણ (OGE). અંકગણિત પ્રગતિના કેટલાક સળંગ ઘટકો આપેલ છે: \(…5; x; 10; 12.5...\) \(x\) અક્ષર દ્વારા નિયુક્ત તત્વની કિંમત શોધો.
ઉકેલ:

જવાબ: \(7,5\).

ઉદાહરણ (OGE). અંકગણિત પ્રગતિ નીચેની શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) આ પ્રગતિના પ્રથમ છ પદોનો સરવાળો શોધો.
ઉકેલ:

જવાબ: \(S_6=9\).

ઉદાહરણ (OGE). અંકગણિત પ્રગતિમાં \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). આ પ્રગતિનો તફાવત શોધો.
ઉકેલ:

જવાબ: \(d=7\).

અંકગણિત પ્રગતિ માટે મહત્વપૂર્ણ સૂત્રો

જેમ તમે જોઈ શકો છો, અંકગણિત પ્રગતિ પરની ઘણી સમસ્યાઓ મુખ્ય વસ્તુને સમજીને સરળ રીતે ઉકેલી શકાય છે - કે અંકગણિત પ્રગતિ એ સંખ્યાઓની સાંકળ છે, અને આ સાંકળમાં દરેક અનુગામી તત્વ અગાઉના એકમાં સમાન સંખ્યા ઉમેરીને મેળવવામાં આવે છે. પ્રગતિનો તફાવત).

જો કે, કેટલીકવાર એવી પરિસ્થિતિઓ હોય છે જ્યારે "હેડ-ઓન" નક્કી કરવું ખૂબ જ અસુવિધાજનક હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, કલ્પના કરો કે પહેલા જ ઉદાહરણમાં આપણે પાંચમું તત્વ \(b_5\), પરંતુ ત્રણસો છઠ્ઠું \(b_(386)\) શોધવાની જરૂર છે. શું આપણે ચાર \(385\) વખત ઉમેરવું જોઈએ? અથવા કલ્પના કરો કે ઉપાંત્ય ઉદાહરણમાં તમારે પ્રથમ સિત્તેર તત્વોનો સરવાળો શોધવાની જરૂર છે. તમે ગણીને થાકી જશો...

તેથી, આવા કિસ્સાઓમાં તેઓ "હેડ-ઓન" વસ્તુઓને હલ કરતા નથી, પરંતુ અંકગણિત પ્રગતિ માટે મેળવેલા વિશિષ્ટ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરે છે. અને મુખ્ય છે પ્રગતિના nમા પદ માટેનું સૂત્ર અને \(n\) પ્રથમ પદોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર.

\(n\)મી શબ્દનું સૂત્ર: \(a_n=a_1+(n-1)d\), જ્યાં \(a_1\) એ પ્રગતિનું પ્રથમ પદ છે;
\(n\) - જરૂરી તત્વની સંખ્યા;
\(a_n\) - સંખ્યા સાથે પ્રગતિનો શબ્દ \(n\).

આ સૂત્ર આપણને માત્ર પ્રથમ અને પ્રગતિના તફાવતને જાણીને, ત્રણ-સોમું અથવા મિલિયનમું તત્વ પણ ઝડપથી શોધવાની મંજૂરી આપે છે.

ઉદાહરણ. અંકગણિત પ્રગતિ શરતો દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). \(b_(246)\) શોધો.
ઉકેલ:

જવાબ: \(b_(246)=1850\).

પ્રથમ n પદોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), જ્યાં

\(a_n\) - છેલ્લો સરવાળો શબ્દ;

ઉદાહરણ (OGE). અંકગણિત પ્રગતિ એ શરતો દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે \(a_n=3.4n-0.6\). આ પ્રગતિના પ્રથમ \(25\) પદોનો સરવાળો શોધો.
ઉકેલ:

જવાબ: \(S_(25)=1090\).

પ્રથમ શબ્દોના સરવાળા \(n\) માટે, તમે બીજું સૂત્ર મેળવી શકો છો: તમારે ફક્ત \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) ને બદલે તેના માટે સૂત્ર આપો \(a_n=a_1+(n-1)d\). અમને મળે છે:

પ્રથમ n પદોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), જ્યાં

\(S_n\) – \(n\) પ્રથમ તત્વોનો જરૂરી સરવાળો;
\(a_1\) – પ્રથમ સરવાળો શબ્દ;
\(ડી\) - પ્રગતિ તફાવત;
\(n\) - કુલ ઘટકોની સંખ્યા.

ઉદાહરણ. અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ \(33\)-ex પદોનો સરવાળો શોધો: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
ઉકેલ:

જવાબ: \(S_(33)=-231\).

વધુ જટિલ અંકગણિત પ્રગતિ સમસ્યાઓ

હવે તમારી પાસે લગભગ કોઈપણ અંકગણિત પ્રગતિ સમસ્યા હલ કરવા માટે જરૂરી બધી માહિતી છે. ચાલો તે સમસ્યાઓને ધ્યાનમાં લઈને વિષય પૂરો કરીએ જેમાં તમારે માત્ર સૂત્રો લાગુ કરવાની જરૂર નથી, પણ થોડો વિચાર પણ કરો (ગણિતમાં આ ઉપયોગી થઈ શકે છે ☺)

ઉદાહરણ (OGE). પ્રગતિના તમામ નકારાત્મક શબ્દોનો સરવાળો શોધો: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
ઉકેલ:

જવાબ: \(S_(65)=-630.5\).

ઉદાહરણ (OGE). અંકગણિત પ્રગતિ શરતો દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)મી થી \(42\) તત્વ સહિતનો સરવાળો શોધો.
ઉકેલ:

જવાબ: \(S=1683\).

અંકગણિતની પ્રગતિ માટે, ત્યાં ઘણા વધુ સૂત્રો છે જે અમે તેમની ઓછી વ્યવહારિક ઉપયોગિતાને કારણે આ લેખમાં ધ્યાનમાં લીધા નથી. જો કે, તમે તેમને સરળતાથી શોધી શકો છો.

માધ્યમિક શાળા (9મા ધોરણ)માં બીજગણિતનો અભ્યાસ કરતી વખતે, એક મહત્વપૂર્ણ વિષય એ સંખ્યાત્મક ક્રમનો અભ્યાસ છે, જેમાં પ્રગતિનો સમાવેશ થાય છે - ભૌમિતિક અને અંકગણિત. આ લેખમાં આપણે અંકગણિતની પ્રગતિ અને ઉકેલો સાથેના ઉદાહરણો જોઈશું.

અંકગણિત પ્રગતિ શું છે?

આ સમજવા માટે, પ્રશ્નમાં પ્રગતિને વ્યાખ્યાયિત કરવી જરૂરી છે, સાથે સાથે મૂળભૂત સૂત્રો પ્રદાન કરવા કે જે પછીથી સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે ઉપયોગમાં લેવાશે.

અંકગણિત અથવા ક્રમાંકિત તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ છે, જેનો દરેક સભ્ય અમુક સ્થિર મૂલ્ય દ્વારા અગાઉના એક કરતા અલગ પડે છે. આ મૂલ્યને તફાવત કહેવામાં આવે છે. એટલે કે, સંખ્યાઓની ક્રમબદ્ધ શ્રેણીના કોઈપણ સભ્ય અને તફાવતને જાણીને, તમે સમગ્ર અંકગણિત પ્રગતિને પુનઃસ્થાપિત કરી શકો છો.

ચાલો એક ઉદાહરણ આપીએ. સંખ્યાઓનો નીચેનો ક્રમ અંકગણિત પ્રગતિ હશે: 4, 8, 12, 16, ..., કારણ કે આ કિસ્સામાં તફાવત 4 છે (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). પરંતુ નંબરો 3, 5, 8, 12, 17 નો સમૂહ હવે વિચારણા હેઠળના પ્રગતિના પ્રકારને આભારી હોઈ શકતો નથી, કારણ કે તેના માટેનો તફાવત એ સ્થિર મૂલ્ય નથી (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

મહત્વપૂર્ણ સૂત્રો

ચાલો હવે અંકગણિત પ્રગતિનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે જરૂરી એવા મૂળભૂત સૂત્રો રજૂ કરીએ. ચાલો ક્રમના nમા સભ્યને પ્રતીક દ્વારા દર્શાવીએ, જ્યાં n એ પૂર્ણાંક છે. અમે લેટિન અક્ષર ડી દ્વારા તફાવત દર્શાવીએ છીએ. પછી નીચેના અભિવ્યક્તિઓ માન્ય છે:

1. nમા શબ્દનું મૂલ્ય નક્કી કરવા માટે, નીચેનું સૂત્ર યોગ્ય છે: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. પ્રથમ n પદોનો સરવાળો નક્કી કરવા માટે: S n = (a n +a 1)*n/2.

9મા ધોરણમાં ઉકેલો સાથે અંકગણિત પ્રગતિના કોઈપણ ઉદાહરણોને સમજવા માટે, આ બે સૂત્રોને યાદ રાખવું પૂરતું છે, કારણ કે વિચારણા હેઠળની કોઈપણ સમસ્યાઓ તેમના ઉપયોગ પર આધારિત છે. તમારે એ પણ યાદ રાખવું જોઈએ કે પ્રગતિનો તફાવત સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: d = a n - a n-1.

ઉદાહરણ #1: અજ્ઞાત શબ્દ શોધવો

ચાલો અંકગણિતની પ્રગતિ અને તેને ઉકેલવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા સૂત્રોનું એક સરળ ઉદાહરણ આપીએ.

ક્રમ 10, 8, 6, 4, ... આપવા દો, તમારે તેમાં પાંચ પદો શોધવાની જરૂર છે.

સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ પરથી તે પહેલાથી જ અનુસરે છે કે પ્રથમ 4 શરતો જાણીતી છે. પાંચમાને બે રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે:

1. ચાલો પહેલા તફાવતની ગણતરી કરીએ. અમારી પાસે છે: d = 8 - 10 = -2. એ જ રીતે, તમે એકબીજાની બાજુમાં ઊભેલા કોઈપણ અન્ય બે સભ્યોને લઈ શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, d = 4 - 6 = -2. કારણ કે તે જાણીતું છે કે d = a n - a n-1, પછી d = a 5 - a 4, જેમાંથી આપણે મેળવીએ છીએ: a 5 = a 4 + d. અમે જાણીતા મૂલ્યોને બદલીએ છીએ: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. બીજી પદ્ધતિ માટે પ્રશ્નમાં પ્રગતિના તફાવતનું જ્ઞાન પણ જરૂરી છે, તેથી તમારે પહેલા તેને ઉપર બતાવ્યા પ્રમાણે નક્કી કરવાની જરૂર છે (d = -2). એ જાણીને કે પ્રથમ પદ a 1 = 10, અમે ક્રમની n સંખ્યા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અમારી પાસે છે: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. n = 5 ને છેલ્લી અભિવ્યક્તિમાં બદલીને, આપણને મળે છે: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, બંને ઉકેલો સમાન પરિણામ તરફ દોરી ગયા. નોંધ કરો કે આ ઉદાહરણમાં પ્રગતિ તફાવત d એ નકારાત્મક મૂલ્ય છે. આવા સિક્વન્સને ઘટતા કહેવામાં આવે છે, કારણ કે દરેક આગામી ટર્મ પાછલા એક કરતા ઓછી હોય છે.

ઉદાહરણ #2: પ્રગતિ તફાવત

હવે ચાલો કાર્યને થોડું જટિલ બનાવીએ, અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત કેવી રીતે શોધવો તેનું ઉદાહરણ આપો.

તે જાણીતું છે કે કેટલાક બીજગણિત પ્રગતિમાં 1 લી ટર્મ 6 ની બરાબર છે, અને 7મી ટર્મ 18 ની બરાબર છે. તફાવત શોધવા અને આ ક્રમને 7 મી પદ પર પુનઃસ્થાપિત કરવો જરૂરી છે.

ચાલો અજ્ઞાત શબ્દ નક્કી કરવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ: a n = (n - 1) * d + a 1 . ચાલો શરતમાંથી જાણીતા ડેટાને તેમાં બદલીએ, એટલે કે સંખ્યાઓ a 1 અને a 7, આપણી પાસે છે: 18 = 6 + 6 * d. આ અભિવ્યક્તિથી તમે સરળતાથી તફાવતની ગણતરી કરી શકો છો: d = (18 - 6) /6 = 2. આમ, અમે સમસ્યાના પ્રથમ ભાગનો જવાબ આપ્યો છે.

ક્રમને 7મા શબ્દમાં પુનઃસ્થાપિત કરવા માટે, તમારે બીજગણિત પ્રગતિની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ, એટલે કે, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, વગેરે. પરિણામે, અમે સમગ્ર ક્રમને પુનઃસ્થાપિત કરીએ છીએ: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

ઉદાહરણ નંબર 3: પ્રગતિનું ચિત્ર બનાવવું

ચાલો સમસ્યાને વધુ જટિલ બનાવીએ. હવે આપણે અંકગણિતની પ્રગતિ કેવી રીતે શોધવી તે પ્રશ્નનો જવાબ આપવાની જરૂર છે. નીચે આપેલ ઉદાહરણ આપી શકાય છે: બે સંખ્યાઓ આપવામાં આવી છે, ઉદાહરણ તરીકે - 4 અને 5. બીજગણિત પ્રગતિ બનાવવી જરૂરી છે જેથી આની વચ્ચે ત્રણ વધુ પદો મૂકવામાં આવે.

તમે આ સમસ્યાને હલ કરવાનું શરૂ કરો તે પહેલાં, તમારે એ સમજવાની જરૂર છે કે આપેલ નંબરો ભવિષ્યની પ્રગતિમાં કયું સ્થાન લેશે. તેમની વચ્ચે ત્રણ વધુ પદો હશે, પછી 1 = -4 અને 5 = 5. આ સ્થાપિત કર્યા પછી, અમે સમસ્યા તરફ આગળ વધીએ છીએ, જે પહેલાની સમાન છે. ફરીથી, nમા શબ્દ માટે આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, આપણને મળે છે: a 5 = a 1 + 4 * d. પ્રતિ: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. આપણે અહીં જે મેળવ્યું છે તે તફાવતનું પૂર્ણાંક મૂલ્ય નથી, પરંતુ તે એક તર્કસંગત સંખ્યા છે, તેથી બીજગણિત પ્રગતિ માટેના સૂત્રો સમાન રહે છે.

ચાલો હવે મળેલ તફાવતને 1 માં ઉમેરીએ અને પ્રગતિની ખૂટતી શરતોને પુનઃસ્થાપિત કરીએ. આપણને મળે છે: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, જે સિક્કો સમસ્યાની શરતો સાથે.

ઉદાહરણ નંબર 4: પ્રગતિની પ્રથમ મુદત

ચાલો ઉકેલો સાથે અંકગણિત પ્રગતિના ઉદાહરણો આપવાનું ચાલુ રાખીએ. અગાઉની તમામ સમસ્યાઓમાં, બીજગણિતીય પ્રગતિનો પ્રથમ નંબર જાણીતો હતો. હવે ચાલો એક અલગ પ્રકારની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ: બે સંખ્યાઓ આપીએ, જ્યાં 15 = 50 અને 43 = 37. આ ક્રમ કઈ સંખ્યાથી શરૂ થાય છે તે શોધવું જરૂરી છે.

અત્યાર સુધી વપરાતા સૂત્રો 1 અને d નું જ્ઞાન ધારણ કરે છે. સમસ્યા નિવેદનમાં, આ નંબરો વિશે કંઈ જ જાણીતું નથી. તેમ છતાં, અમે દરેક શબ્દ માટે સમીકરણો લખીશું કે જેના વિશે માહિતી ઉપલબ્ધ છે: a 15 = a 1 + 14 * d અને a 43 = a 1 + 42 * d. અમને બે સમીકરણો મળ્યા જેમાં 2 અજાણ્યા જથ્થાઓ (a 1 અને d) છે. આનો અર્થ એ છે કે સમસ્યા રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને હલ કરવા માટે ઓછી થઈ છે.

આ સિસ્ટમને હલ કરવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો એ છે કે દરેક સમીકરણમાં 1 વ્યક્ત કરો અને પછી પરિણામી સમીકરણોની તુલના કરો. પ્રથમ સમીકરણ: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; બીજું સમીકરણ: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. આ સમીકરણોને સમકક્ષ કરીને, આપણને મળે છે: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, જ્યાંથી તફાવત d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (માત્ર 3 દશાંશ સ્થાનો આપવામાં આવ્યા છે).

d ને જાણીને, તમે 1 માટે ઉપરના 2 સમીકરણોમાંથી કોઈપણનો ઉપયોગ કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

જો તમને પ્રાપ્ત પરિણામ વિશે શંકા હોય, તો તમે તેને ચકાસી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રગતિની 43 મી મુદત નક્કી કરો, જે શરતમાં ઉલ્લેખિત છે. આપણને મળે છે: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. નાની ભૂલ એ હકીકતને કારણે છે કે ગણતરીમાં હજારમા ભાગનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો.

ઉદાહરણ નંબર 5: રકમ

હવે અંકગણિતની પ્રગતિના સરવાળા માટે ઉકેલો સાથેના કેટલાક ઉદાહરણો જોઈએ.

ચાલો નીચેના ફોર્મની સંખ્યાત્મક પ્રગતિ આપીએ: 1, 2, 3, 4, ...,. આ સંખ્યાઓમાંથી 100 ના સરવાળાની ગણતરી કેવી રીતે કરવી?

કોમ્પ્યુટર ટેક્નોલોજીના વિકાસ માટે આભાર, આ સમસ્યાનું નિરાકરણ શક્ય છે, એટલે કે, બધી સંખ્યાઓ ક્રમિક રીતે ઉમેરો, જે કોઈ વ્યક્તિ એન્ટર કી દબાવતાની સાથે જ કમ્પ્યુટર કરશે. જો કે, સમસ્યા માનસિક રીતે ઉકેલી શકાય છે જો તમે એ હકીકત પર ધ્યાન આપો કે સંખ્યાઓની પ્રસ્તુત શ્રેણી બીજગણિત પ્રગતિ છે, અને તેનો તફાવત 1 જેટલો છે. સરવાળો માટે સૂત્ર લાગુ કરવાથી, અમને મળશે: S n = n * ( a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

એ નોંધવું રસપ્રદ છે કે આ સમસ્યાને "ગૌસિયન" કહેવામાં આવે છે કારણ કે 18 મી સદીની શરૂઆતમાં પ્રખ્યાત જર્મન, જે હજુ પણ માત્ર 10 વર્ષનો છે, તેને થોડીક સેકંડમાં તેના માથામાં હલ કરવામાં સક્ષમ હતો. છોકરાને બીજગણિત પ્રગતિના સરવાળા માટેનું સૂત્ર ખબર ન હતી, પરંતુ તેણે નોંધ્યું કે જો તમે અનુક્રમના છેડે સંખ્યાઓને જોડીમાં ઉમેરો છો, તો તમને હંમેશા સમાન પરિણામ મળે છે, એટલે કે, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., અને આ સરવાળો બરાબર 50 (100 / 2) હશે, તો સાચો જવાબ મેળવવા માટે 50 ને 101 વડે ગુણાકાર કરવો પૂરતો છે.

ઉદાહરણ નંબર 6: n થી m સુધીના શબ્દોનો સરવાળો

અંકગણિત પ્રગતિના સરવાળાનું બીજું વિશિષ્ટ ઉદાહરણ નીચે મુજબ છે: સંખ્યાઓની શ્રેણીને જોતાં: 3, 7, 11, 15, ..., તમારે તે શોધવાની જરૂર છે કે 8 થી 14 સુધીના તેના શબ્દોનો સરવાળો શું હશે. .

સમસ્યા બે રીતે ઉકેલાય છે. તેમાંના પ્રથમમાં 8 થી 14 સુધીના અજ્ઞાત શબ્દો શોધવાનો સમાવેશ થાય છે, અને પછી તેમને અનુક્રમે સારાંશ આપવામાં આવે છે. થોડી શરતો હોવાથી, આ પદ્ધતિ તદ્દન શ્રમ-સઘન નથી. તેમ છતાં, બીજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ સમસ્યાને હલ કરવાનો પ્રસ્તાવ છે, જે વધુ સાર્વત્રિક છે.

વિચાર એ છે કે m અને n શબ્દો વચ્ચે બીજગણિતીય પ્રગતિના સરવાળા માટે સૂત્ર મેળવવાનો છે, જ્યાં n > m પૂર્ણાંકો છે. બંને કિસ્સાઓમાં, અમે સરવાળા માટે બે અભિવ્યક્તિઓ લખીએ છીએ:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

n > m થી, તે સ્પષ્ટ છે કે 2જી રકમમાં પ્રથમનો સમાવેશ થાય છે. છેલ્લા નિષ્કર્ષનો અર્થ એ છે કે જો આપણે આ સરવાળો વચ્ચેનો તફાવત લઈએ અને તેમાં a m શબ્દ ઉમેરીએ (તફાવત લેવાના કિસ્સામાં, તે રકમ S n માંથી બાદ કરવામાં આવે છે), તો આપણે સમસ્યાનો જરૂરી જવાબ મેળવીશું. અમારી પાસે છે: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). આ અભિવ્યક્તિમાં n અને a m માટે સૂત્રોને બદલવાની જરૂર છે. પછી આપણને મળે છે: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m/2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

પરિણામી સૂત્ર કંઈક અંશે બોજારૂપ છે, જો કે, S mn નો સરવાળો માત્ર n, m, a 1 અને d પર આધાર રાખે છે. અમારા કિસ્સામાં, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. આ સંખ્યાઓને બદલીને, આપણને મળે છે: S mn = 301.

ઉપરોક્ત ઉકેલોમાંથી જોઈ શકાય છે તેમ, બધી સમસ્યાઓ nth પદની અભિવ્યક્તિ અને પ્રથમ પદોના સમૂહના સરવાળા માટેના સૂત્રના જ્ઞાન પર આધારિત છે. આમાંની કોઈપણ સમસ્યાનો ઉકેલ લાવવાનું શરૂ કરતા પહેલા, એવી ભલામણ કરવામાં આવે છે કે તમે શરતને કાળજીપૂર્વક વાંચો, તમારે શું શોધવાની જરૂર છે તે સ્પષ્ટપણે સમજો અને પછી જ ઉકેલ સાથે આગળ વધો.

બીજી ટીપ એ છે કે સરળતા માટે પ્રયત્ન કરવો, એટલે કે, જો તમે જટિલ ગાણિતિક ગણતરીઓનો ઉપયોગ કર્યા વિના કોઈ પ્રશ્નનો જવાબ આપી શકો, તો તમારે તે જ કરવાની જરૂર છે, કારણ કે આ કિસ્સામાં ભૂલ થવાની સંભાવના ઓછી છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઉકેલ નંબર 6 સાથે અંકગણિત પ્રગતિના ઉદાહરણમાં, કોઈ સૂત્ર S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, અને એકંદર સમસ્યાને અલગ પેટા કાર્યોમાં વિભાજીત કરો (આ કિસ્સામાં, પ્રથમ a n અને a m શબ્દો શોધો).

જો તમને પ્રાપ્ત પરિણામ વિશે શંકા હોય, તો તેને તપાસવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે, જેમ કે આપેલા કેટલાક ઉદાહરણોમાં કરવામાં આવ્યું હતું. અંકગણિતની પ્રગતિ કેવી રીતે શોધવી તે અમે શોધી કાઢ્યું. જો તમે તેને આકૃતિ કરો છો, તો તે એટલું મુશ્કેલ નથી.

ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટર.
અંકગણિતની પ્રગતિ ઉકેલવી.
આપેલ: a n, d, n
શોધો: a 1

આ ગાણિતિક પ્રોગ્રામ વપરાશકર્તા દ્વારા નિર્દિષ્ટ સંખ્યાઓ \(a_n, d\) અને \(n\) પર આધારિત અંકગણિત પ્રગતિનો \(a_1\) શોધે છે.
સંખ્યાઓ \(a_n\) અને \(d\) માત્ર પૂર્ણાંક તરીકે જ નહીં, પણ અપૂર્ણાંક તરીકે પણ સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. વધુમાં, અપૂર્ણાંક સંખ્યા દશાંશ અપૂર્ણાંક (\(2.5\)) અને સામાન્ય અપૂર્ણાંક (\(-5\frac(2)(7)\)) ના સ્વરૂપમાં દાખલ કરી શકાય છે.

પ્રોગ્રામ માત્ર સમસ્યાનો જવાબ જ આપતો નથી, પણ ઉકેલ શોધવાની પ્રક્રિયા પણ દર્શાવે છે.

આ ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટર માધ્યમિક શાળાઓમાં ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ માટે પરીક્ષણો અને પરીક્ષાઓની તૈયારી કરતી વખતે, યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષા પહેલાં જ્ઞાનની ચકાસણી કરતી વખતે અને વાલીઓ માટે ગણિત અને બીજગણિતની ઘણી સમસ્યાઓના ઉકેલને નિયંત્રિત કરવા માટે ઉપયોગી થઈ શકે છે.

અથવા કદાચ તમારા માટે શિક્ષકને ભાડે રાખવું અથવા નવા પાઠયપુસ્તકો ખરીદવા માટે તે ખૂબ ખર્ચાળ છે? અથવા શું તમે તમારા ગણિત અથવા બીજગણિતનું હોમવર્ક શક્ય તેટલી ઝડપથી પૂર્ણ કરવા માંગો છો? આ કિસ્સામાં, તમે વિગતવાર ઉકેલો સાથે અમારા પ્રોગ્રામ્સનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો.

આ રીતે, તમે તમારી પોતાની તાલીમ અને/અથવા તમારા નાના ભાઈઓ અથવા બહેનોની તાલીમ લઈ શકો છો, જ્યારે સમસ્યાઓ ઉકેલવાના ક્ષેત્રમાં શિક્ષણનું સ્તર વધે છે.

જો તમે નંબરો દાખલ કરવાના નિયમોથી પરિચિત નથી, તો અમે ભલામણ કરીએ છીએ કે તમે તમારી જાતને તેમની સાથે પરિચિત કરો.

નંબરો દાખલ કરવાના નિયમો
સંખ્યાઓ \(a_n\) અને \(d\) માત્ર પૂર્ણાંક તરીકે જ નહીં, પણ અપૂર્ણાંક તરીકે પણ સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.

સંખ્યા \(n\) માત્ર હકારાત્મક પૂર્ણાંક હોઈ શકે છે.
દશાંશ અપૂર્ણાંક દાખલ કરવાના નિયમો.
દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક ભાગોને પીરિયડ અથવા અલ્પવિરામ દ્વારા અલગ કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, તમે 2.5 અથવા 2.5 જેવા દશાંશ અપૂર્ણાંક દાખલ કરી શકો છો
સામાન્ય અપૂર્ણાંક દાખલ કરવા માટેના નિયમો.

માત્ર સંપૂર્ણ સંખ્યા જ અપૂર્ણાંકના અંશ, છેદ અને પૂર્ણાંક ભાગ તરીકે કાર્ય કરી શકે છે.

છેદ નકારાત્મક ન હોઈ શકે. /
સંખ્યાત્મક અપૂર્ણાંક દાખલ કરતી વખતે, અંશને વિભાજન ચિહ્ન દ્વારા છેદથી અલગ કરવામાં આવે છે:
ઇનપુટ:

પરિણામ: \(-\frac(2)(3)\) &
સંખ્યાત્મક અપૂર્ણાંક દાખલ કરતી વખતે, અંશને વિભાજન ચિહ્ન દ્વારા છેદથી અલગ કરવામાં આવે છે:
આખો ભાગ એમ્પરસેન્ડ ચિહ્ન દ્વારા અપૂર્ણાંકથી અલગ થયેલ છે:

1 શોધો
એવું જાણવા મળ્યું હતું કે આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે જરૂરી કેટલીક સ્ક્રિપ્ટો લોડ કરવામાં આવી ન હતી, અને પ્રોગ્રામ કામ કરી શકશે નહીં.
તમે AdBlock સક્ષમ કરેલ હોઈ શકે છે.

કારણ કે સમસ્યા હલ કરવા માટે ઘણા બધા લોકો તૈયાર છે, તમારી વિનંતી કતારમાં છે.
થોડીવારમાં ઉકેલ નીચે દેખાશે.
મહેરબાની કરી રાહ જુવો સેકન્ડ...

જો તમે ઉકેલમાં ભૂલ નોંધાઈ, પછી તમે આ વિશે ફીડબેક ફોર્મમાં લખી શકો છો.
ભૂલી ના જતા કયું કાર્ય સૂચવે છેતમે શું નક્કી કરો ક્ષેત્રોમાં દાખલ કરો.

અમારી રમતો, કોયડાઓ, અનુકરણકર્તાઓ:

થોડો સિદ્ધાંત.

સંખ્યા ક્રમ

રોજિંદા વ્યવહારમાં, વિવિધ વસ્તુઓની સંખ્યાનો ઉપયોગ ઘણીવાર તે ક્રમમાં દર્શાવવા માટે થાય છે જેમાં તેઓ ગોઠવાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, દરેક શેરી પરના ઘરોને નંબર આપવામાં આવ્યા છે. લાઇબ્રેરીમાં, રીડરના સબ્સ્ક્રિપ્શન્સને ક્રમાંકિત કરવામાં આવે છે અને પછી વિશિષ્ટ કાર્ડ ફાઇલોમાં સોંપેલ નંબરોના ક્રમમાં ગોઠવવામાં આવે છે.

બચત બેંકમાં, થાપણદારના વ્યક્તિગત એકાઉન્ટ નંબરનો ઉપયોગ કરીને, તમે સરળતાથી આ ખાતું શોધી શકો છો અને જોઈ શકો છો કે તેના પર કઈ થાપણ છે. ચાલો એકાઉન્ટ નંબર 1 માં a1 રુબેલ્સની ડિપોઝિટ હોય, એકાઉન્ટ નંબર 2 માં a2 રુબેલ્સની થાપણ હોય, વગેરે. તે બહાર આવ્યું છે સંખ્યા ક્રમ
a 1 , a 2 , a 3 , ... , a N
જ્યાં N એ તમામ ખાતાઓની સંખ્યા છે. અહીં, 1 થી N સુધીની દરેક કુદરતી સંખ્યા n સંખ્યા a n સાથે સંકળાયેલ છે.

ગણિતમાં પણ અભ્યાસ કર્યો અનંત સંખ્યાના ક્રમ:
a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ... .
નંબર a 1 કહેવાય છે ક્રમની પ્રથમ અવધિ, નંબર a 2 - ક્રમની બીજી અવધિ, નંબર a 3 - ક્રમની ત્રીજી અવધિવગેરે
નંબર a n કહેવાય છે ક્રમનો nth (nth) સભ્ય, અને કુદરતી સંખ્યા n તેની છે સંખ્યા.

ઉદાહરણ તરીકે, પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના ક્રમમાં 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... અને 1 = 1 એ ક્રમનું પ્રથમ પદ છે; અને n = n 2 એ ક્રમનો nમો શબ્દ છે; a n+1 = (n + 1) 2 એ ક્રમનો (n + 1)મો (n વત્તા પ્રથમ) પદ છે. ઘણીવાર ક્રમને તેના nમા પદના સૂત્ર દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સૂત્ર \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) ક્રમ વ્યાખ્યાયિત કરે છે \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

અંકગણિત પ્રગતિ

વર્ષની લંબાઈ લગભગ 365 દિવસ છે. વધુ સચોટ મૂલ્ય \(365\frac(1)(4)\) દિવસો છે, તેથી દર ચાર વર્ષે એક દિવસની ભૂલ એકઠી થાય છે.

આ ભૂલને ધ્યાનમાં લેવા માટે, દર ચોથા વર્ષે એક દિવસ ઉમેરવામાં આવે છે, અને વિસ્તૃત વર્ષને લીપ વર્ષ કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ત્રીજા સહસ્ત્રાબ્દીમાં, લીપ વર્ષ 2004, 2008, 2012, 2016, .... છે.

આ ક્રમમાં, દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, અગાઉના સભ્યની સમાન હોય છે, તે જ નંબર 4 માં ઉમેરવામાં આવે છે. આવા ક્રમ કહેવામાં આવે છે. અંકગણિત પ્રગતિ.

વ્યાખ્યા.
સંખ્યા ક્રમ a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... કહેવાય છે અંકગણિત પ્રગતિ, જો તમામ કુદરતી અને સમાનતા માટે
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
જ્યાં d અમુક સંખ્યા છે.

આ સૂત્ર પરથી તે અનુસરે છે કે a n+1 - a n = d. ડી નંબરને તફાવત કહેવામાં આવે છે અંકગણિત પ્રગતિ.

અંકગણિત પ્રગતિની વ્યાખ્યા દ્વારા અમારી પાસે છે:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
જ્યાં
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), જ્યાં \(n>1 \)

આમ, અંકગણિત પ્રગતિના દરેક પદ, બીજાથી શરૂ થાય છે, તેના બે સંલગ્ન પદોના અંકગણિત સરેરાશ સમાન છે. આ નામ "અંકગણિત" પ્રગતિ સમજાવે છે.

નોંધ કરો કે જો a 1 અને d આપવામાં આવે છે, તો અંકગણિત પ્રગતિના બાકીના પદોની ગણતરી આવર્તક સૂત્ર a n+1 = a n + d નો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે. આ રીતે પ્રગતિની પ્રથમ કેટલીક શરતોની ગણતરી કરવી મુશ્કેલ નથી, જો કે, ઉદાહરણ તરીકે, 100 ને પહેલાથી જ ઘણી ગણતરીઓની જરૂર પડશે. સામાન્ય રીતે, આ માટે nth શબ્દ સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે. અંકગણિત પ્રગતિની વ્યાખ્યા દ્વારા
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
વગેરે
બધા પર,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
કારણ કે અંકગણિત પ્રગતિનો nમો પદ પ્રથમ પદમાંથી (n-1) વખત સંખ્યા d ઉમેરીને મેળવવામાં આવે છે.
આ સૂત્ર કહેવામાં આવે છે અંકગણિત પ્રગતિના nમા પદ માટેનું સૂત્ર.

અંકગણિતની પ્રગતિની પ્રથમ n શરતોનો સરવાળો

1 થી 100 સુધીની તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધો.
ચાલો આ રકમને બે રીતે લખીએ:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
ચાલો આ સમાનતા શબ્દને શબ્દ દ્વારા ઉમેરીએ:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
આ રકમની 100 શરતો છે
તેથી, 2S = 101 * 100, તેથી S = 101 * 50 = 5050.

ચાલો હવે મનસ્વી અંકગણિત પ્રગતિ પર વિચાર કરીએ
a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ...
ચાલો S n ને આ પ્રગતિની પ્રથમ n શરતોનો સરવાળો કરીએ:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
પછી અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ n પદોનો સરવાળો બરાબર છે
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

ત્યારથી \(a_n=a_1+(n-1)d\), તો પછી આ સૂત્રમાં n ને બદલવાથી આપણને શોધવા માટેનું બીજું સૂત્ર મળે છે અંકગણિતની પ્રગતિની પ્રથમ n શરતોનો સરવાળો:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

સૂચનાઓ

અંકગણિત પ્રગતિ એ a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d ફોર્મનો ક્રમ છે. નંબર d પગલું પ્રગતિ.તે સ્પષ્ટ છે કે અંકગણિતના મનસ્વી n-મી શબ્દનો સામાન્ય પ્રગતિફોર્મ ધરાવે છે: An = A1+(n-1)d. પછી એક સભ્યને જાણવું પ્રગતિ, સભ્ય પ્રગતિઅને પગલું પ્રગતિ, તમે કરી શકો છો, એટલે કે, પ્રગતિ સભ્યની સંખ્યા. દેખીતી રીતે, તે ફોર્મ્યુલા n = (An-A1+d)/d દ્વારા નક્કી કરવામાં આવશે.

ચાલો હવે mth શબ્દ જાણીએ પ્રગતિઅને અન્ય સભ્ય પ્રગતિ- nth, પરંતુ n , અગાઉના કિસ્સામાં, પરંતુ તે જાણીતું છે કે n અને m સ્ટેપ એકરૂપ નથી પ્રગતિસૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે: d = (An-Am)/(n-m). પછી n = (An-Am+md)/d.

જો અંકગણિત સમીકરણના અનેક ઘટકોનો સરવાળો જાણીતો હોય પ્રગતિ, તેમજ તેના પ્રથમ અને છેલ્લા, પછી આ તત્વોની સંખ્યા પણ અંકગણિતનો સરવાળો નક્કી કરી શકાય છે પ્રગતિસમાન હશે: S = ((A1+An)/2)n. પછી n = 2S/(A1+An) - chdenov પ્રગતિ. An = A1+(n-1)d એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીને, આ સૂત્રને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય છે: n = 2S/(2A1+(n-1)d). આમાંથી આપણે ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલીને n વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ.

અંકગણિત ક્રમ એ સંખ્યાઓનો ક્રમબદ્ધ સમૂહ છે, જેમાંના દરેક સભ્ય, પ્રથમ સિવાય, સમાન રકમ દ્વારા અગાઉના સભ્યથી અલગ પડે છે. આ સ્થિર મૂલ્યને પ્રગતિ અથવા તેના પગલાનો તફાવત કહેવામાં આવે છે અને અંકગણિત પ્રગતિના જાણીતા શબ્દો પરથી ગણતરી કરી શકાય છે.

સૂચનાઓ

જો પ્રથમ અને દ્વિતીય અથવા અડીને આવેલા શબ્દોની અન્ય કોઈપણ જોડીના મૂલ્યો સમસ્યાની સ્થિતિઓથી ઓળખાય છે, તો તફાવતની ગણતરી કરવા માટે (d) અનુગામી પદમાંથી ફક્ત પાછલા એકને બાદ કરો. પરિણામી મૂલ્ય કાં તો સકારાત્મક અથવા નકારાત્મક સંખ્યા હોઈ શકે છે - તે તેના પર નિર્ભર છે કે શું પ્રગતિ વધી રહી છે. સામાન્ય સ્વરૂપમાં, નીચે પ્રમાણે પ્રગતિના પડોશી શબ્દોના મનસ્વી જોડી (aᵢ અને aᵢ₊₁) માટે ઉકેલ લખો: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

આવી પ્રગતિની શરતોની જોડી માટે, જેમાંથી એક પ્રથમ (a₁) છે, અને બીજો કોઈપણ અન્ય મનસ્વી રીતે પસંદ કરેલ છે, તફાવત (d) શોધવા માટે એક સૂત્ર બનાવવું પણ શક્ય છે. જો કે, આ કિસ્સામાં, ક્રમના મનસ્વી પસંદ કરેલ સભ્યનો સીરીયલ નંબર (i) જાણવો આવશ્યક છે. તફાવતની ગણતરી કરવા માટે, બંને સંખ્યાઓ ઉમેરો અને પરિણામી પરિણામને એક દ્વારા ઘટાડીને મનસ્વી પદની ઓર્ડિનલ સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરો. સામાન્ય રીતે, આ સૂત્ર નીચે પ્રમાણે લખો: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

જો, ઑર્ડિનલ નંબર i સાથે અંકગણિત પ્રગતિના મનસ્વી સભ્ય ઉપરાંત, ઑર્ડિનલ નંબર u સાથેનો બીજો સભ્ય જાણીતો હોય, તો તે મુજબ અગાઉના પગલામાંથી સૂત્ર બદલો. આ કિસ્સામાં, પ્રગતિનો તફાવત (d) એ આ બે શબ્દોનો સરવાળો હશે જે તેમની ક્રમાંકિત સંખ્યાઓના તફાવતથી વિભાજિત થાય છે: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

તફાવત (d) ની ગણતરી કરવા માટેનું સૂત્ર કંઈક અંશે વધુ જટિલ બની જાય છે જો સમસ્યાની સ્થિતિ તેના પ્રથમ પદ (a₁) નું મૂલ્ય અને અંકગણિત ક્રમની પ્રથમ શરતોની આપેલ સંખ્યા (i) નો સરવાળો (Sᵢ) આપે છે. ઇચ્છિત મૂલ્ય મેળવવા માટે, સરવાળાને તે બનાવેલા શબ્દોની સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરો, અનુક્રમમાં પ્રથમ નંબરની કિંમત બાદ કરો અને પરિણામ બમણું કરો. પરિણામી મૂલ્યને શબ્દોની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરો જે એક દ્વારા ઘટાડીને સરવાળો બનાવે છે. સામાન્ય રીતે, ભેદભાવની ગણતરી માટે નીચે પ્રમાણે સૂત્ર લખો: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).