પ્રત્યક્ષ પ્રમાણસરતાનો ખ્યાલ

કલ્પના કરો કે તમે તમારી મનપસંદ કેન્ડી (અથવા તમને ખરેખર ગમતી વસ્તુ) ખરીદવાની યોજના બનાવી રહ્યા છો. સ્ટોરમાં મીઠાઈની પોતાની કિંમત હોય છે. ચાલો પ્રતિ કિલોગ્રામ 300 રુબેલ્સ કહીએ. તમે જેટલી વધુ કેન્ડી ખરીદો છો, તેટલા વધુ પૈસા તમે ચૂકવો છો. એટલે કે, જો તમને 2 કિલોગ્રામ જોઈએ છે, તો 600 રુબેલ્સ ચૂકવો, અને જો તમારે 3 કિલોગ્રામ જોઈએ છે, તો 900 રુબેલ્સ ચૂકવો. આ બધું સ્પષ્ટ લાગે છે, બરાબર ને?

જો હા, તો હવે તે તમારા માટે સ્પષ્ટ છે કે પ્રત્યક્ષ પ્રમાણસરતા શું છે - આ એક ખ્યાલ છે જે એકબીજા પર આધારિત બે જથ્થાના સંબંધનું વર્ણન કરે છે. અને આ જથ્થાઓનો ગુણોત્તર અપરિવર્તિત અને સ્થિર રહે છે: તેમાંથી એક કેટલા ભાગમાં વધે છે અથવા ઘટે છે, તેટલા ભાગો દ્વારા બીજા પ્રમાણમાં વધે છે અથવા ઘટે છે.

પ્રત્યક્ષ પ્રમાણને નીચેના સૂત્ર સાથે વર્ણવી શકાય છે: f(x) = a*x, અને આ સૂત્રમાં a એ સ્થિર મૂલ્ય છે (a = const). કેન્ડી વિશેના અમારા ઉદાહરણમાં, કિંમત એક સ્થિર મૂલ્ય છે. તે વધતું કે ઘટતું નથી, પછી ભલે તમે કેટલી કેન્ડી ખરીદવાનું નક્કી કરો. સ્વતંત્ર ચલ (દલીલ) x એ છે કે તમે કેટલા કિલોગ્રામ કેન્ડી ખરીદવા જઈ રહ્યા છો. અને આશ્રિત ચલ f(x) (ફંક્શન) એ છે કે તમે તમારી ખરીદી માટે કેટલા પૈસા ચૂકવશો. તેથી આપણે ફોર્મ્યુલામાં નંબરોને બદલી શકીએ છીએ અને મેળવી શકીએ છીએ: 600 રુબેલ્સ. = 300 ઘસવું. * 2 કિલો.

મધ્યવર્તી નિષ્કર્ષ આ છે: જો દલીલ વધે છે, તો કાર્ય પણ વધે છે, જો દલીલ ઘટે છે, તો કાર્ય પણ ઘટે છે

કાર્ય અને તેના ગુણધર્મો

પ્રત્યક્ષ પ્રમાણસર કાર્યરેખીય કાર્યનો એક વિશિષ્ટ કેસ છે. જો રેખીય કાર્ય y = k*x + b છે, તો પ્રત્યક્ષ પ્રમાણસરતા માટે તે આના જેવું દેખાય છે: y = k*x, જ્યાં k ને પ્રમાણસરતા ગુણાંક કહેવામાં આવે છે, અને તે હંમેશા બિન-શૂન્ય સંખ્યા છે. k ની ગણતરી કરવી સરળ છે - તે ફંક્શનના ભાગ અને દલીલ તરીકે જોવા મળે છે: k = y/x.

તેને વધુ સ્પષ્ટ કરવા માટે, ચાલો બીજું ઉદાહરણ લઈએ. કલ્પના કરો કે એક કાર બિંદુ A થી બિંદુ B તરફ આગળ વધી રહી છે. તેની ઝડપ 60 કિમી પ્રતિ કલાક છે. જો આપણે ધારીએ કે ચળવળની ગતિ સતત રહે છે, તો તેને સ્થિર તરીકે લઈ શકાય છે. અને પછી આપણે ફોર્મમાં શરતો લખીએ છીએ: S = 60*t, અને આ સૂત્ર સીધા પ્રમાણસરતા y = k *x ના કાર્ય જેવું જ છે. ચાલો આગળ એક સમાંતર દોરીએ: જો k = y/x હોય, તો A અને B વચ્ચેનું અંતર અને રસ્તા પર વિતાવેલો સમય જાણીને કારની ઝડપની ગણતરી કરી શકાય છે: V = S/t.

અને હવે, પ્રત્યક્ષ પ્રમાણતા વિશેના જ્ઞાનના લાગુ ઉપયોગથી, ચાલો તેના કાર્ય પર પાછા ફરીએ. જેનાં ગુણધર્મોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે:

તેની વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે (તેમજ તેના સબસેટ્સ);

કાર્ય વિચિત્ર છે;

ચલોમાં ફેરફાર સંખ્યા રેખાની સમગ્ર લંબાઈ સાથે સીધા પ્રમાણસર છે.

પ્રત્યક્ષ પ્રમાણ અને તેનો ગ્રાફ

પ્રત્યક્ષ પ્રમાણસરતા કાર્યનો ગ્રાફ એ એક સીધી રેખા છે જે મૂળને છેદે છે. તેને બનાવવા માટે, ફક્ત એક વધુ બિંદુને ચિહ્નિત કરવા માટે તે પૂરતું છે. અને તેને અને કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળને સીધી રેખા સાથે જોડો.

ગ્રાફના કિસ્સામાં, k એ ઢાળ છે. જો ઢોળાવ શૂન્ય કરતા ઓછો હોય (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), ગ્રાફ અને x-અક્ષ એક તીવ્ર કોણ બનાવે છે, અને કાર્ય વધી રહ્યું છે.

અને પ્રત્યક્ષ પ્રમાણસરતા કાર્યના આલેખની વધુ એક મિલકત ઢાળ k સાથે સીધી રીતે સંબંધિત છે. ધારો કે આપણી પાસે બે બિન-સમાન કાર્યો છે અને તે મુજબ, બે ગ્રાફ છે. તેથી, જો આ વિધેયોના ગુણાંક k સમાન હોય, તો તેમના આલેખ સંકલન અક્ષની સમાંતર સ્થિત છે. અને જો k ગુણાંક એકબીજા સાથે સમાન ન હોય, તો આલેખ એકબીજાને છેદે છે.

નમૂના સમસ્યાઓ

હવે એક કપલ હલ કરીએ સીધા પ્રમાણની સમસ્યાઓ

ચાલો કંઈક સરળ સાથે શરૂ કરીએ.

સમસ્યા 1: કલ્પના કરો કે 5 મરઘીઓ 5 દિવસમાં 5 ઇંડા મૂકે છે. અને જો 20 મરઘીઓ હોય, તો તેઓ 20 દિવસમાં કેટલા ઈંડા મૂકશે?

ઉકેલ: ચાલો અજ્ઞાતને kx વડે દર્શાવીએ. અને અમે નીચે મુજબ તર્ક કરીશું: ત્યાં કેટલી વાર વધુ ચિકન બન્યા છે? 20 ને 5 વડે ભાગો અને શોધો કે તે 4 વખત છે. એક જ 5 દિવસમાં 20 મરઘીઓ કેટલી વાર વધુ ઇંડા મૂકશે? પણ 4 ગણો વધુ. તેથી, આપણે આપણું આ રીતે શોધીએ છીએ: 5*4*4 = 80 ઇંડા 20 મરઘીઓ 20 દિવસમાં મૂકશે.

હવે ઉદાહરણ થોડું વધુ જટિલ છે, ચાલો ન્યુટનના "સામાન્ય અંકગણિત" માંથી સમસ્યાને સમજાવીએ. સમસ્યા 2: એક લેખક 8 દિવસમાં નવા પુસ્તકના 14 પાના કંપોઝ કરી શકે છે. જો તેની પાસે મદદનીશો હોય, તો 12 દિવસમાં 420 પાના લખવા માટે કેટલા લોકો લેશે?

ઉકેલ: અમે કારણ આપીએ છીએ કે જો તે જ સમયે કામ કરવું હોય તો લોકોની સંખ્યા (લેખક + સહાયકો) વધે છે. પણ કેટલી વાર? 420 ને 14 વડે ભાગતા, આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે તે 30 ગણો વધે છે. પરંતુ, કાર્યની શરતો અનુસાર, કાર્ય માટે વધુ સમય આપવામાં આવે છે, તેથી સહાયકોની સંખ્યામાં 30 ગણો વધારો થતો નથી, પરંતુ આ રીતે: x = 1 (લેખક) * 30 (વાર): 12/8 ( દિવસ). ચાલો રૂપાંતર કરીએ અને શોધી કાઢીએ કે x = 20 લોકો 12 દિવસમાં 420 પૃષ્ઠ લખશે.

ચાલો આપણા ઉદાહરણોની સમાન બીજી સમસ્યા હલ કરીએ.

સમસ્યા 3: બે કાર એક જ પ્રવાસ પર ઉપડી. એક 70 કિમી/કલાકની ઝડપે આગળ વધી રહ્યો હતો અને બીજાને 7 કલાક જેટલો સમય લાગ્યો તેટલું જ અંતર 2 કલાકમાં કાપ્યું. બીજી કારની ઝડપ શોધો.

ઉકેલ: તમને યાદ છે તેમ, પાથ ઝડપ અને સમય દ્વારા નક્કી થાય છે - S = V *t. બંને કાર એક જ અંતરની મુસાફરી કરતી હોવાથી, આપણે બે સમીકરણો સમાન કરી શકીએ: 70*2 = V*7. આપણે કેવી રીતે શોધી શકીએ કે બીજી કારની ઝડપ V = 70*2/7 = 20 km/h છે.

અને સીધા પ્રમાણસરતાના કાર્યો સાથેના કાર્યોના થોડા વધુ ઉદાહરણો. કેટલીકવાર સમસ્યાઓ માટે ગુણાંક k શોધવાની જરૂર પડે છે.

કાર્ય 4: કાર્યો y = - x/16 અને y = 5x/2 જોતાં, તેમના પ્રમાણસરતા ગુણાંક નક્કી કરો.

ઉકેલ: જેમ તમને યાદ છે, k = y/x. આનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ કાર્ય માટે ગુણાંક -1/16 બરાબર છે, અને બીજા k = 5/2 માટે.

તમે કાર્ય 5 જેવા કાર્યનો પણ સામનો કરી શકો છો: ફોર્મ્યુલા સાથે સીધી પ્રમાણસરતા લખો. તેનો ગ્રાફ અને ફંક્શન y = -5x + 3 નો ગ્રાફ સમાંતર સ્થિત છે.

ઉકેલ: કંડીશનમાં આપણને જે ફંક્શન આપવામાં આવ્યું છે તે રેખીય છે. આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રત્યક્ષ પ્રમાણસરતા એ રેખીય કાર્યનો વિશેષ કેસ છે. અને આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે જો k ફંકશનના ગુણાંક સમાન હોય, તો તેમના આલેખ સમાંતર હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે જે જરૂરી છે તે જાણીતું ફંક્શનના ગુણાંકની ગણતરી કરવાની છે અને અમને પરિચિત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સીધી પ્રમાણસરતા સેટ કરવાની છે: y = k *x. ગુણાંક k = -5, પ્રત્યક્ષ પ્રમાણ: y = -5*x.

નિષ્કર્ષ

હવે તમે શીખ્યા છો (અથવા યાદ છે, જો તમે પહેલાથી જ આ વિષયને આવરી લીધો હોય તો) શું કહેવાય છે સીધી પ્રમાણસરતા, અને તેની તરફ જોયું ઉદાહરણો. અમે પ્રત્યક્ષ પ્રમાણસરતા કાર્ય અને તેના ગ્રાફ વિશે પણ વાત કરી, અને કેટલીક ઉદાહરણ સમસ્યાઓ હલ કરી.

જો આ લેખ ઉપયોગી હતો અને તમને વિષયને સમજવામાં મદદ કરે છે, તો અમને ટિપ્પણીઓમાં તેના વિશે જણાવો. જેથી અમે જાણીએ કે અમે તમને લાભ આપી શકીએ કે કેમ.

blog.site, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, મૂળ સ્ત્રોતની લિંક આવશ્યક છે.

નિર્ભરતાના પ્રકારો

ચાલો બેટરી ચાર્જ કરવા જોઈએ. પ્રથમ જથ્થા તરીકે, ચાલો ચાર્જ કરવામાં જે સમય લાગે છે તે લઈએ. બીજું મૂલ્ય એ છે કે તે ચાર્જ કર્યા પછી કામ કરશે તે સમય. તમે જેટલી લાંબી બેટરી ચાર્જ કરશો, તેટલી વધુ સમય ચાલશે. જ્યાં સુધી બેટરી સંપૂર્ણપણે ચાર્જ ન થાય ત્યાં સુધી પ્રક્રિયા ચાલુ રહેશે.

તે ચાર્જ કરવામાં આવે તે સમય પર બેટરી ઓપરેટિંગ સમયનું નિર્ભરતા

નોંધ 1

આ અવલંબન કહેવાય છે સીધા:

જેમ જેમ એક મૂલ્ય વધે છે, તેમ બીજું પણ વધે છે. જેમ જેમ એક મૂલ્ય ઘટે છે તેમ તેમ બીજું મૂલ્ય પણ ઘટે છે.

ચાલો બીજું ઉદાહરણ જોઈએ.

વિદ્યાર્થી જેટલા વધુ પુસ્તકો વાંચશે, તે શ્રુતલેખનમાં ઓછી ભૂલો કરશે. અથવા તમે પર્વતોમાં જેટલા ઊંચા જશો, વાતાવરણનું દબાણ ઓછું હશે.

નોંધ 2

આ અવલંબન કહેવાય છે વિપરીત:

જેમ જેમ એક મૂલ્ય વધે છે તેમ, બીજું ઘટે છે. જેમ જેમ એક મૂલ્ય ઘટે છે તેમ તેમ બીજું મૂલ્ય વધે છે.

આમ, કિસ્સામાં સીધી અવલંબનબંને જથ્થાઓ સમાનરૂપે બદલાય છે (બંને કાં તો વધારો અથવા ઘટાડો), અને કિસ્સામાં વ્યસ્ત સંબંધ- વિરુદ્ધ (એક વધે છે અને બીજું ઘટે છે, અથવા ઊલટું).

જથ્થાઓ વચ્ચે નિર્ભરતા નક્કી કરવી

ઉદાહરણ 1

મિત્રની મુલાકાત લેવા માટે જે સમય લાગે છે તે $20$ મિનિટ છે. જો સ્પીડ (પ્રથમ મૂલ્ય) $2$ ગણી વધે છે, તો આપણે શોધીશું કે મિત્રના માર્ગમાં વિતાવેલો સમય (બીજી કિંમત) કેવી રીતે બદલાશે.

દેખીતી રીતે, સમય $2$ ગણો ઘટશે.

નોંધ 3

આ અવલંબન કહેવાય છે પ્રમાણસર:

એક જથ્થામાં જેટલી વખત ફેરફાર થાય છે, તેટલી વખત બીજી માત્રામાં ફેરફાર થાય છે.

ઉદાહરણ 2

સ્ટોરમાં $2$ બ્રેડ માટે તમારે 80 રુબેલ્સ ચૂકવવાની જરૂર છે. જો તમારે $4$ ની રોટલી ખરીદવાની જરૂર હોય (બ્રેડનો જથ્થો $2$ ગણો વધે છે), તો તમારે કેટલી વાર વધુ ચૂકવણી કરવી પડશે?

દેખીતી રીતે, ખર્ચ પણ $2$ ગણો વધશે. અમારી પાસે પ્રમાણસર નિર્ભરતાનું ઉદાહરણ છે.

બંને ઉદાહરણોમાં, પ્રમાણસર નિર્ભરતાને ધ્યાનમાં લેવામાં આવી હતી. પરંતુ રોટલી સાથેના ઉદાહરણમાં, માત્રા એક દિશામાં બદલાય છે, તેથી, અવલંબન સીધા. અને મિત્રના ઘરે જવાના ઉદાહરણમાં, ઝડપ અને સમય વચ્ચેનો સંબંધ છે વિપરીત. આમ છે સીધો પ્રમાણસર સંબંધઅને વિપરિત પ્રમાણસર સંબંધ.

પ્રત્યક્ષ પ્રમાણસરતા

ચાલો $2$ પ્રમાણસર જથ્થાને ધ્યાનમાં લઈએ: રોટલીની સંખ્યા અને તેમની કિંમત. ચાલો $2$ બ્રેડની કિંમત $80$ રુબેલ્સ છે. જો બન્સની સંખ્યા $4$ ગણી ($8$ બન્સ) વધે છે, તો તેમની કુલ કિંમત $320$ રુબેલ્સ હશે.

રોલ્સની સંખ્યાનો ગુણોત્તર: $\frac(8)(2)=4$.

બન ખર્ચ ગુણોત્તર: $\frac(320)(80)=$4.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, આ સંબંધો એકબીજા સાથે સમાન છે:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

વ્યાખ્યા 1

બે ગુણોત્તરની સમાનતા કહેવાય છે પ્રમાણ.

સીધા પ્રમાણસર અવલંબન સાથે, જ્યારે પ્રથમ અને બીજા જથ્થામાં ફેરફાર એકરુપ થાય ત્યારે સંબંધ પ્રાપ્ત થાય છે:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

વ્યાખ્યા 2

બે માત્રા કહેવામાં આવે છે સીધા પ્રમાણસર, જો તેમાંથી એક બદલાય છે (વધે છે અથવા ઘટાડે છે), તો અન્ય મૂલ્ય પણ સમાન રકમથી બદલાય છે (અનુક્રમે વધે છે અથવા ઘટાડે છે).

ઉદાહરણ 3

કારે $2$ કલાકમાં $180$ કિમીની મુસાફરી કરી. તે સમય શોધો કે જે દરમિયાન તે સમાન ઝડપે $2$ ગણું અંતર કાપશે.

ઉકેલ.

સમય અંતરના સીધા પ્રમાણમાં છે:

$t=\frac(S)(v)$.

અંતર કેટલી વખત વધશે, સતત ગતિએ, તે જ રકમથી સમય વધશે:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

કારે $2$ કલાકમાં $180$ કિમીની મુસાફરી કરી

કાર $180 \cdot 2=360$ km - $x$ કલાકમાં મુસાફરી કરશે

કાર જેટલી આગળ જશે, તેટલો વધુ સમય લાગશે. પરિણામે, જથ્થાઓ વચ્ચેનો સંબંધ સીધો પ્રમાણસર છે.

ચાલો પ્રમાણ બનાવીએ:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

જવાબ આપો: કારને $4$ કલાકની જરૂર પડશે.

વ્યસ્ત પ્રમાણ

વ્યાખ્યા 3

ઉકેલ.

સમય ઝડપના વિપરિત પ્રમાણમાં છે:

$t=\frac(S)(v)$.

ઝડપ કેટલી વખત વધે છે, તે જ પાથ સાથે, સમય સમાન રકમથી ઘટે છે:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

ચાલો ટેબલના રૂપમાં સમસ્યાની સ્થિતિ લખીએ:

કારે $60$ km - $6$ કલાકમાં મુસાફરી કરી

કાર $120$ કિમી - $x$ કલાકમાં મુસાફરી કરશે

કારની ઝડપ જેટલી ઝડપી હશે તેટલો ઓછો સમય લાગશે. પરિણામે, જથ્થાઓ વચ્ચેનો સંબંધ વિપરિત પ્રમાણસર છે.

ચાલો પ્રમાણ બનાવીએ.

કારણ કે પ્રમાણ વિપરિત છે, પ્રમાણમાં બીજો સંબંધ વિપરીત છે:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

જવાબ આપો: કારને $3$ કલાકની જરૂર પડશે.

પ્રત્યક્ષ અને વ્યસ્ત પ્રમાણ

જો t એ રાહદારીનો હિલચાલનો સમય (કલાકોમાં), s એ મુસાફરી કરેલું અંતર છે (કિલોમીટરમાં), અને તે 4 કિમી/કલાકની ઝડપે એકસરખી રીતે આગળ વધે છે, તો આ જથ્થાઓ વચ્ચેનો સંબંધ સૂત્ર s = દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે. 4t. દરેક મૂલ્ય t એ એક મૂલ્ય s ને અનુરૂપ હોવાથી, આપણે કહી શકીએ કે ફંક્શન s = 4t સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. તેને પ્રત્યક્ષ પ્રમાણસરતા કહેવામાં આવે છે અને તે નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

વ્યાખ્યા. પ્રત્યક્ષ પ્રમાણસરતા એ એક કાર્ય છે જે સૂત્ર y=kx નો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે, જ્યાં k એ બિન-શૂન્ય વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

ફંક્શનનું નામ y = k x એ હકીકતને કારણે છે કે સૂત્ર y = k x માં x અને y ચલ છે, જે જથ્થાના મૂલ્યો હોઈ શકે છે. અને જો બે જથ્થાનો ગુણોત્તર શૂન્યથી અલગ અમુક સંખ્યા જેટલો હોય, તો તેને કહેવામાં આવે છે સીધા પ્રમાણસર . અમારા કિસ્સામાં = k (k≠0). આ નંબર કહેવાય છે પ્રમાણસરતા ગુણાંક.

ફંક્શન y = k x એ ગણિતના પ્રારંભિક અભ્યાસક્રમમાં પહેલાથી જ ધ્યાનમાં લેવામાં આવતી ઘણી વાસ્તવિક પરિસ્થિતિઓનું ગાણિતિક મોડેલ છે. તેમાંથી એક ઉપર વર્ણવેલ છે. બીજું ઉદાહરણ: જો લોટની એક થેલીમાં 2 કિલો હોય, અને x આવી બેગ ખરીદવામાં આવી હોય, તો ખરીદેલા લોટના સમગ્ર સમૂહ (y દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે) ફોર્મ્યુલા y = 2x તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, એટલે કે. બેગની સંખ્યા અને ખરીદેલ લોટના સમગ્ર સમૂહ વચ્ચેનો સંબંધ k=2 ગુણાંક સાથે સીધો પ્રમાણસર છે.

ચાલો આપણે પ્રત્યક્ષ પ્રમાણના કેટલાક ગુણધર્મોને યાદ કરીએ જે શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

1. ફંક્શન y = k x ની વ્યાખ્યાનું ડોમેન અને તેના મૂલ્યોની શ્રેણી એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે.

2. પ્રત્યક્ષ પ્રમાણસરતાનો ગ્રાફ એ મૂળમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે. તેથી, પ્રત્યક્ષ પ્રમાણસરતાનો ગ્રાફ બનાવવા માટે, તે માત્ર એક બિંદુ શોધવા માટે પૂરતું છે જે તેની સાથે સંબંધિત છે અને તે કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિ સાથે સુસંગત નથી, અને પછી આ બિંદુ અને કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિ દ્વારા એક સીધી રેખા દોરો.

ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન y = 2x નો ગ્રાફ બનાવવા માટે, કોઓર્ડિનેટ્સ (1, 2) સાથે એક બિંદુ હોવું પૂરતું છે, અને પછી તેના દ્વારા સીધી રેખા દોરો અને કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂળ (ફિગ. 7).

3. k > 0 માટે, વિધેય y = khx વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન પર વધે છે; k પર< 0 - убывает на всей области определения.

4. જો ફંક્શન f એ પ્રત્યક્ષ પ્રમાણસરતા છે અને (x 1, y 1), (x 2, y 2) એ x અને y અને x 2 ≠0 ચલોના અનુરૂપ મૂલ્યોની જોડી છે.

ખરેખર, જો ફંક્શન f સીધી પ્રમાણસરતા છે, તો તે સૂત્ર y = khx અને પછી y 1 = kh 1, y 2 = kh 2 દ્વારા આપી શકાય છે. x 2 ≠0 અને k≠0 પર હોવાથી, પછી y 2 ≠0. એ કારણે અને તેનો અર્થ છે.

જો x અને y ચલોની કિંમતો હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, તો પ્રત્યક્ષ પ્રમાણની સાબિત મિલકત નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છે: ચલ x ના મૂલ્યમાં ઘણી વખત વધારો (ઘટાડો) સાથે, ચલ y ની અનુરૂપ કિંમત સમાન રકમથી વધે છે (ઘટાડે છે).

આ ગુણધર્મ માત્ર પ્રત્યક્ષ પ્રમાણસરતામાં જ સહજ છે, અને તેનો ઉપયોગ શબ્દ સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે થઈ શકે છે જેમાં સીધી પ્રમાણસર માત્રા ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે.

સમસ્યા 1. 8 કલાકમાં, ટર્નરે 16 ભાગો બનાવ્યા. લેથ ઓપરેટરને 48 ભાગોનું ઉત્પાદન કરવામાં કેટલા કલાક લાગશે જો તે સમાન ઉત્પાદકતા પર કામ કરશે?

ઉકેલ. સમસ્યા નીચેના જથ્થાઓને ધ્યાનમાં લે છે: ટર્નરનો કાર્ય સમય, તે બનાવેલા ભાગોની સંખ્યા અને ઉત્પાદકતા (એટલે ​​​​કે, ટર્નર દ્વારા 1 કલાકમાં ઉત્પાદિત ભાગોની સંખ્યા), છેલ્લું મૂલ્ય સ્થિર હોય છે, અને અન્ય બે આગળ વધે છે. વિવિધ મૂલ્યો. વધુમાં, બનાવેલા ભાગોની સંખ્યા અને કામનો સમય સીધો પ્રમાણસર છે, કારણ કે તેમનો ગુણોત્તર ચોક્કસ સંખ્યા જે શૂન્યની બરાબર નથી, એટલે કે, 1 કલાકમાં ટર્નર દ્વારા બનાવવામાં આવેલા ભાગોની સંખ્યા બનાવેલા ભાગો y અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, કામનો સમય x છે, અને ઉત્પાદકતા k છે, તો પછી આપણને તે = k અથવા y = khx મળે છે, એટલે કે. સમસ્યામાં પ્રસ્તુત પરિસ્થિતિનું ગાણિતિક મોડેલ પ્રત્યક્ષ પ્રમાણસરતા છે.

સમસ્યા બે અંકગણિત રીતે ઉકેલી શકાય છે:

1લી રીત: 2જી રીત:

1) 16:8 = 2 (બાળકો) 1) 48:16 = 3 (વાર)

2) 48:2 = 24 (h) 2) 8-3 = 24 (h)

સમસ્યાને પ્રથમ રીતે ઉકેલતા, આપણે સૌપ્રથમ પ્રમાણસરતા k નો ગુણાંક શોધી કાઢ્યો, તે 2 ની બરાબર છે, અને પછી, y = 2x એ જાણીને, અમને x નું મૂલ્ય મળ્યું જો કે y = 48.

બીજી રીતે સમસ્યાનું નિરાકરણ કરતી વખતે, અમે પ્રત્યક્ષ પ્રમાણસરતાની મિલકતનો ઉપયોગ કર્યો: ટર્નર દ્વારા બનાવેલા ભાગોની સંખ્યા જેટલી વખત વધે છે, તેના ઉત્પાદન માટેનો સમય સમાન રકમ દ્વારા વધે છે.

ચાલો હવે વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા નામના ફંક્શનને ધ્યાનમાં લઈએ.

જો t એ પદયાત્રીના સ્થળાંતરનો સમય છે (કલાકમાં), v એ તેની ઝડપ (કિમી/કલાકમાં) છે અને તે 12 કિમી ચાલ્યો છે, તો આ જથ્થાઓ વચ્ચેનો સંબંધ v∙t = 20 અથવા v = સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે.

દરેક મૂલ્ય t (t ≠ 0) એક જ ગતિ મૂલ્ય v ને અનુરૂપ હોવાથી, આપણે કહી શકીએ કે ફંક્શન v = સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉલ્લેખિત છે. તેને વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા કહેવામાં આવે છે અને તે નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

વ્યાખ્યા. વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા એ એક કાર્ય છે જે સૂત્ર y = નો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે, જ્યાં k એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે જે શૂન્યની બરાબર નથી.

આ કાર્યનું નામ એ હકીકતને કારણે છે કે y = ત્યાં x અને y ચલ છે, જે જથ્થાના મૂલ્યો હોઈ શકે છે. અને જો બે જથ્થાનું ઉત્પાદન શૂન્યથી અલગ અમુક સંખ્યા સમાન હોય, તો તેને વ્યસ્ત પ્રમાણસર કહેવામાં આવે છે. અમારા કિસ્સામાં xy = k(k ≠0). આ સંખ્યા k ને પ્રમાણસરતા ગુણાંક કહેવામાં આવે છે.

કાર્ય y = પ્રારંભિક ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં પહેલેથી જ ગણવામાં આવતી ઘણી વાસ્તવિક પરિસ્થિતિઓનું ગાણિતિક મોડેલ છે. તેમાંથી એક વિપરિત પ્રમાણની વ્યાખ્યા પહેલાં વર્ણવેલ છે. બીજું ઉદાહરણ: જો તમે 12 કિલો લોટ ખરીદ્યો હોય અને તેને l: y kg દરેક ડબ્બામાં નાખો, તો આ જથ્થાઓ વચ્ચેનો સંબંધ x-y = 12 તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, એટલે કે. તે k=12 ગુણાંક સાથે વિપરિત પ્રમાણસર છે.

ચાલો આપણે શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાંથી જાણીતા વ્યસ્ત પ્રમાણના કેટલાક ગુણધર્મોને યાદ કરીએ.

1. કાર્ય વ્યાખ્યાનું ડોમેન y = અને તેના મૂલ્યોની શ્રેણી x એ શૂન્ય સિવાયની વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે.

2. વ્યસ્ત પ્રમાણસરતાનો આલેખ અતિપરવલય છે.

3. k > 0 માટે, હાઇપરબોલાની શાખાઓ 1લા અને 3જા ક્વાર્ટરમાં સ્થિત છે અને કાર્ય y = x ની વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેનમાં ઘટાડો થઈ રહ્યો છે (ફિગ. 8).

ચોખા. 8 ફિગ.9

ખાતે કે< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y = x ની વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન પર વધી રહી છે (ફિગ. 9).

4. જો ફંક્શન f એ વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા છે અને (x 1, y 1), (x 2, y 2) એ x અને y ચલોના અનુરૂપ મૂલ્યોની જોડી છે, તો પછી.

ખરેખર, જો ફંકશન f એ વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા છે, તો તે સૂત્ર દ્વારા આપી શકાય છે y = ,અને પછી . ત્યારથી x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0, પછી

જો x અને y ચલોની કિંમતો સકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, તો વ્યસ્ત પ્રમાણની આ ગુણધર્મ નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છે: x ની કિંમતમાં ઘણી વખત વધારો (ઘટાડો) સાથે, ચલનું અનુરૂપ મૂલ્ય y સમાન રકમથી ઘટે છે (વધે છે).

આ ગુણધર્મ માત્ર વ્યસ્ત પ્રમાણસરતામાં જ સહજ છે, અને તેનો ઉપયોગ શબ્દ સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે થઈ શકે છે જેમાં વિપરિત પ્રમાણસર જથ્થાને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે.

સમસ્યા 2. 10 કિમી/કલાકની ઝડપે આગળ વધી રહેલા સાઇકલ સવાર, A થી Bનું અંતર 6 કલાકમાં કાપે છે, જો તે 20 કિમી/કલાકની ઝડપે મુસાફરી કરે છે તો તે પાછા ફરવા માટે કેટલો સમય પસાર કરશે?

ઉકેલ. સમસ્યા નીચેના જથ્થાઓને ધ્યાનમાં લે છે: સાયકલ સવારની ગતિ, ચળવળનો સમય અને A થી B સુધીનું અંતર, છેલ્લું પ્રમાણ સ્થિર છે, જ્યારે અન્ય બે અલગ અલગ મૂલ્યો લે છે. વધુમાં, ચળવળની ગતિ અને સમય વિપરિત પ્રમાણસર જથ્થાઓ છે, કારણ કે તેમનું ઉત્પાદન ચોક્કસ સંખ્યાની બરાબર છે, એટલે કે મુસાફરી કરેલ અંતર. જો સાયકલ સવારની હિલચાલનો સમય y અક્ષર દ્વારા, ઝડપ x દ્વારા અને AB ને k દ્વારા અંતર દર્શાવવામાં આવે, તો આપણે તે xy = k અથવા y = મેળવીએ છીએ, એટલે કે. સમસ્યામાં પ્રસ્તુત પરિસ્થિતિનું ગાણિતિક મોડલ વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા છે.

સમસ્યા હલ કરવાની બે રીતો છે:

1લી રીત: 2જી રીત:

1) 10-6 = 60 (કિમી) 1) 20:10 = 2 (વાર)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(h)

સમસ્યાને પ્રથમ રીતે હલ કરીને, આપણે સૌપ્રથમ પ્રમાણસરતા k નો ગુણાંક શોધી કાઢ્યો, તે 60 ની બરાબર છે, અને પછી, y = જાણીને, અમને y નું મૂલ્ય મળ્યું જો કે x = 20.

બીજી રીતે સમસ્યાનું નિરાકરણ કરતી વખતે, અમે વ્યસ્ત પ્રમાણના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કર્યો: હિલચાલની ઝડપ કેટલી વખત વધે છે, તે જ અંતરને આવરી લેવાનો સમય સમાન પ્રમાણમાં ઘટે છે.

નોંધ કરો કે જ્યારે વિપરિત પ્રમાણસર અથવા સીધા પ્રમાણસર જથ્થાઓ સાથે ચોક્કસ સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં આવે છે, ત્યારે કેટલાક નિયંત્રણો x અને y પર લાદવામાં આવે છે, ખાસ કરીને, તેઓ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સંપૂર્ણ સમૂહ પર નહીં, પરંતુ તેના સબસેટ પર ગણી શકાય છે;

સમસ્યા 3. લેનાએ x પેન્સિલો ખરીદી, અને કાત્યાએ 2 ગણી વધુ ખરીદી. કાત્યા દ્વારા y દ્વારા ખરીદેલી પેન્સિલોની સંખ્યા દર્શાવો, y ને x દ્વારા વ્યક્ત કરો અને સ્થાપિત પત્રવ્યવહારનો આલેખ બનાવો જો તે x≤5 હોય. શું આ પત્રવ્યવહાર કાર્ય છે? તેની વ્યાખ્યા અને મૂલ્યોની શ્રેણીનું ક્ષેત્ર શું છે?

ઉકેલ. કાત્યાએ = 2 પેન્સિલો ખરીદી. y=2x ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવતી વખતે, તે ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે કે ચલ x પેન્સિલની સંખ્યા અને x≤5 સૂચવે છે, જેનો અર્થ છે કે તે ફક્ત 0, 1, 2, 3 મૂલ્યો લઈ શકે છે. , 4, 5. આ આ કાર્યની વ્યાખ્યાનું ડોમેન હશે. આ કાર્યના મૂલ્યોની શ્રેણી મેળવવા માટે, તમારે વ્યાખ્યાની શ્રેણીમાંથી દરેક x મૂલ્યને 2 વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, એટલે કે. આ સેટ હશે (0, 2, 4, 6, 8, 10). તેથી, વ્યાખ્યાના ડોમેન (0, 1, 2, 3, 4, 5) સાથે ફંક્શન y = 2x નો ગ્રાફ આકૃતિ 10 માં દર્શાવેલ બિંદુઓનો સમૂહ હશે. આ તમામ બિંદુઓ સીધી રેખા y = 2x સાથે સંબંધિત છે. .

આજે આપણે જોઈશું કે કયા જથ્થાને વ્યસ્ત પ્રમાણસર કહેવાય છે, વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા ગ્રાફ કેવો દેખાય છે અને આ બધું ફક્ત ગણિતના પાઠમાં જ નહીં, પણ શાળાની બહાર પણ તમારા માટે કેવી રીતે ઉપયોગી થઈ શકે છે.

આવા વિવિધ પ્રમાણ

પ્રમાણસરતાબે જથ્થાના નામ આપો જે એકબીજા પર પરસ્પર આધારિત હોય.

અવલંબન પ્રત્યક્ષ અને વ્યસ્ત હોઈ શકે છે. પરિણામે, જથ્થાઓ વચ્ચેના સંબંધો પ્રત્યક્ષ અને વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે.

પ્રત્યક્ષ પ્રમાણસરતા- આ બે જથ્થા વચ્ચેનો એવો સંબંધ છે જેમાં એકમાં વધારો અથવા ઘટાડો બીજામાં વધારો અથવા ઘટાડો તરફ દોરી જાય છે. તે. તેમનું વલણ બદલાતું નથી.

ઉદાહરણ તરીકે, તમે પરીક્ષાઓ માટે અભ્યાસમાં જેટલા વધુ પ્રયત્નો કરશો, તેટલા તમારા ગ્રેડ વધારે છે. અથવા તમે પર્યટન પર તમારી સાથે જેટલી વધુ વસ્તુઓ લઈ જશો, તમારું બેકપેક વહન કરવા માટે જેટલું ભારે હશે. તે. પરીક્ષાઓની તૈયારીમાં ખર્ચવામાં આવેલા પ્રયત્નોની રકમ પ્રાપ્ત ગ્રેડના સીધા પ્રમાણસર છે. અને બેકપેકમાં પેક કરેલી વસ્તુઓની સંખ્યા તેના વજનના સીધા પ્રમાણસર છે.

વ્યસ્ત પ્રમાણ- આ એક કાર્યાત્મક અવલંબન છે જેમાં સ્વતંત્ર મૂલ્યમાં ઘણી વખત ઘટાડો અથવા વધારો (તેને દલીલ કહેવામાં આવે છે) પ્રમાણસર (એટલે ​​​​કે, સમાન સંખ્યામાં) આશ્રિત મૂલ્યમાં વધારો અથવા ઘટાડો કરે છે (તે કહેવાય છે કાર્ય).

ચાલો એક સરળ ઉદાહરણ સાથે સમજાવીએ. તમે બજારમાં સફરજન ખરીદવા માંગો છો. કાઉન્ટર પરના સફરજન અને તમારા વોલેટમાં પૈસાની રકમ વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે. તે. તમે જેટલા વધુ સફરજન ખરીદશો, તેટલા ઓછા પૈસા તમારી પાસે રહેશે.

કાર્ય અને તેનો ગ્રાફ

વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા કાર્ય તરીકે વર્ણવી શકાય છે y = k/x. જેમાં x≠ 0 અને k≠ 0.

આ કાર્યમાં નીચેના ગુણધર્મો છે:

1. તેની વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર એ સિવાયની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે x = 0. ડી(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. શ્રેણી સિવાયની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે y= 0. E(y): (-∞; 0) યુ (0; +∞) .
3. મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ મૂલ્યો ધરાવતું નથી.
4. તે વિચિત્ર છે અને તેનો ગ્રાફ મૂળ વિશે સપ્રમાણ છે.
5. બિન-સામયિક.
6. તેનો આલેખ સંકલન અક્ષોને છેદતો નથી.
7. કોઈ શૂન્ય નથી.
8. જો k> 0 (એટલે ​​​​કે દલીલ વધે છે), કાર્ય તેના દરેક અંતરાલો પર પ્રમાણસર ઘટે છે. જો k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. જેમ જેમ દલીલ વધે છે ( k> 0) ફંક્શનના નકારાત્મક મૂલ્યો અંતરાલમાં છે (-∞; 0), અને હકારાત્મક મૂલ્યો અંતરાલમાં છે (0; +∞). જ્યારે દલીલ ઓછી થાય છે ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા કાર્યના ગ્રાફને હાઇપરબોલા કહેવામાં આવે છે. નીચે પ્રમાણે બતાવેલ છે:

વ્યસ્ત પ્રમાણની સમસ્યાઓ

તેને સ્પષ્ટ કરવા માટે, ચાલો કેટલાક કાર્યો જોઈએ. તેઓ બહુ જટિલ નથી, અને તેમને ઉકેલવાથી તમને વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા શું છે અને આ જ્ઞાન તમારા રોજિંદા જીવનમાં કેવી રીતે ઉપયોગી થઈ શકે છે તેની કલ્પના કરવામાં મદદ કરશે.

કાર્ય નંબર 1. એક કાર 60 કિમી પ્રતિ કલાકની ઝડપે આગળ વધી રહી છે. તેને તેના ગંતવ્ય સુધી પહોંચવામાં 6 કલાક લાગ્યા હતા. જો તે બમણી ઝડપે આગળ વધે તો તેને સમાન અંતર કાપવામાં કેટલો સમય લાગશે?

સમય, અંતર અને ઝડપ વચ્ચેના સંબંધનું વર્ણન કરતું સૂત્ર લખીને આપણે શરૂઆત કરી શકીએ છીએ: t = S/V. સંમત થાઓ, તે આપણને વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા કાર્યની ખૂબ યાદ અપાવે છે. અને તે સૂચવે છે કે કાર રસ્તા પર કેટલો સમય પસાર કરે છે અને તે જે ગતિએ ચાલે છે તે વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.

આને ચકાસવા માટે, ચાલો V 2 શોધીએ, જે સ્થિતિ અનુસાર 2 ગણો વધારે છે: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. પછી આપણે S = V * t = 60 * 6 = 360 km સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અંતરની ગણતરી કરીએ છીએ. હવે સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર અમારી પાસેથી જરૂરી સમય t 2 શોધવાનું મુશ્કેલ નથી: t 2 = 360/120 = 3 કલાક.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, મુસાફરીનો સમય અને ઝડપ ખરેખર વિપરિત પ્રમાણસર છે: મૂળ ગતિ કરતા 2 ગણી વધુ ઝડપે, કાર રસ્તા પર 2 ગણો ઓછો સમય પસાર કરશે.

આ સમસ્યાનો ઉકેલ પણ પ્રમાણ તરીકે લખી શકાય. તો ચાલો પહેલા આ ડાયાગ્રામ બનાવીએ:

↓ 60 કિમી/કલાક – 6 કલાક

↓120 કિમી/ક - x ક

તીરો વિપરિત પ્રમાણસર સંબંધ દર્શાવે છે. તેઓ એવું પણ સૂચવે છે કે પ્રમાણ દોરતી વખતે, રેકોર્ડની જમણી બાજુ ફેરવવી આવશ્યક છે: 60/120 = x/6. આપણને x = 60 * 6/120 = 3 કલાક ક્યાં મળે છે.

કાર્ય નંબર 2. વર્કશોપમાં 6 કામદારો કામ કરે છે જે આપેલ કામ 4 કલાકમાં પૂર્ણ કરી શકે છે. જો કામદારોની સંખ્યા અડધી થઈ જાય, તો બાકીના કામદારોને સમાન પ્રમાણમાં કામ પૂર્ણ કરવામાં કેટલો સમય લાગશે?

ચાલો વિઝ્યુઅલ ડાયાગ્રામના રૂપમાં સમસ્યાની શરતો લખીએ:

↓ 6 કામદારો – 4 કલાક

↓ 3 કામદારો – x h

ચાલો આને પ્રમાણ તરીકે લખીએ: 6/3 = x/4. અને આપણને x = 6 * 4/3 = 8 કલાક મળે છે, જો ત્યાં 2 ગણા ઓછા કામદારો હોય, તો બાકીના બધા કામ કરવામાં 2 ગણો વધુ સમય પસાર કરશે.

કાર્ય નંબર 3. પૂલમાં બે પાઈપો છે. એક પાઇપ દ્વારા, પાણી 2 l/s ની ઝડપે વહે છે અને 45 મિનિટમાં પૂલ ભરે છે. અન્ય પાઇપ દ્વારા, પૂલ 75 મિનિટમાં ભરાઈ જશે. આ પાઈપ દ્વારા પાણી કેટલી ઝડપે પૂલમાં પ્રવેશે છે?

શરૂ કરવા માટે, ચાલો સમસ્યાની સ્થિતિ અનુસાર અમને આપવામાં આવેલ તમામ જથ્થાઓને માપના સમાન એકમોમાં ઘટાડી દઈએ. આ કરવા માટે, અમે પૂલને લિટર પ્રતિ મિનિટમાં ભરવાની ઝડપ વ્યક્ત કરીએ છીએ: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

કારણ કે સ્થિતિ સૂચવે છે કે પૂલ બીજા પાઇપ દ્વારા વધુ ધીમેથી ભરે છે, આનો અર્થ એ છે કે પાણીના પ્રવાહનો દર ઓછો છે. પ્રમાણ વિપરિત છે. ચાલો x દ્વારા અજાણી ઝડપ વ્યક્ત કરીએ અને નીચેનો આકૃતિ દોરીએ:

↓ 120 લિ/મિનિટ – 45 મિનિટ

↓ x l/મિનિટ – 75 મિનિટ

અને પછી આપણે પ્રમાણ બનાવીએ છીએ: 120/x = 75/45, જ્યાંથી x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

સમસ્યામાં, પૂલનો ભરવાનો દર લિટર પ્રતિ સેકન્ડમાં દર્શાવવામાં આવે છે; ચાલો આપણે જે જવાબ મેળવ્યો તે સમાન ફોર્મમાં ઘટાડીએ: 72/60 = 1.2 l/s.

કાર્ય નંબર 4. એક નાનું ખાનગી પ્રિન્ટિંગ હાઉસ બિઝનેસ કાર્ડ છાપે છે. પ્રિન્ટિંગ હાઉસનો કર્મચારી 42 બિઝનેસ કાર્ડ પ્રતિ કલાકની ઝડપે કામ કરે છે અને આખો દિવસ - 8 કલાક કામ કરે છે. જો તેણે ઝડપથી કામ કર્યું અને એક કલાકમાં 48 બિઝનેસ કાર્ડ પ્રિન્ટ કર્યા, તો તે કેટલા વહેલા ઘરે જઈ શકશે?

અમે સાબિત પાથને અનુસરીએ છીએ અને ઇચ્છિત મૂલ્યને x તરીકે નિયુક્ત કરીને સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર એક આકૃતિ દોરીએ છીએ:

↓ 42 બિઝનેસ કાર્ડ્સ/કલાક – 8 કલાક

↓ 48 બિઝનેસ કાર્ડ્સ/h – x h

અમારો વિપરિત પ્રમાણસર સંબંધ છે: પ્રિન્ટિંગ હાઉસનો કર્મચારી કલાક દીઠ જેટલી વખત વધુ બિઝનેસ કાર્ડ પ્રિન્ટ કરે છે, તેટલી જ સંખ્યામાં તેને સમાન કાર્ય પૂર્ણ કરવા માટે ઓછા સમયની જરૂર પડશે. આ જાણીને, ચાલો પ્રમાણ બનાવીએ:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 કલાક.

આમ, 7 કલાકમાં કામ પૂર્ણ થતાં પ્રિન્ટિંગ હાઉસનો કર્મચારી એક કલાક વહેલો ઘરે જઈ શકતો હતો.

નિષ્કર્ષ

અમને લાગે છે કે આ વ્યસ્ત પ્રમાણની સમસ્યાઓ ખરેખર સરળ છે. અમે આશા રાખીએ છીએ કે હવે તમે પણ તેમના વિશે તે રીતે વિચારો. અને મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે જથ્થાના વિપરિત પ્રમાણસર અવલંબન વિશેનું જ્ઞાન તમારા માટે ખરેખર એક કરતા વધુ વખત ઉપયોગી થઈ શકે છે.

માત્ર ગણિતના પાઠ અને પરીક્ષાઓમાં જ નહીં. પરંતુ તેમ છતાં, જ્યારે તમે પ્રવાસ પર જવા માટે તૈયાર થાઓ, ખરીદી કરવા જાઓ, રજાઓ દરમિયાન થોડા વધારાના પૈસા કમાવવાનું નક્કી કરો વગેરે.

તમને તમારી આસપાસના વિપરિત અને સીધા પ્રમાણસર સંબંધોના કયા ઉદાહરણો દેખાય છે તે અમને ટિપ્પણીઓમાં જણાવો. આવી રમત રહેવા દો. તમે જોશો કે તે કેટલું રોમાંચક છે. આ લેખને સામાજિક નેટવર્ક્સ પર શેર કરવાનું ભૂલશો નહીં જેથી તમારા મિત્રો અને સહપાઠીઓ પણ રમી શકે.

blog.site, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, મૂળ સ્ત્રોતની લિંક આવશ્યક છે.

બે માત્રા કહેવામાં આવે છે સીધા પ્રમાણસર, જો તેમાંથી એક ઘણી વખત વધે છે, તો અન્ય સમાન રકમથી વધે છે. તદનુસાર, જ્યારે તેમાંથી એક ઘણી વખત ઘટે છે, ત્યારે અન્ય સમાન રકમથી ઘટે છે.

આવા જથ્થા વચ્ચેનો સંબંધ સીધો પ્રમાણસર સંબંધ છે. સીધા પ્રમાણસર અવલંબનના ઉદાહરણો:

1) સતત ગતિએ, મુસાફરી કરેલ અંતર સમયના સીધા પ્રમાણસર છે;

2) ચોરસની પરિમિતિ અને તેની બાજુ સીધી પ્રમાણસર માત્રામાં છે;

3) એક કિંમતે ખરીદેલ ઉત્પાદનની કિંમત તેના જથ્થાના સીધા પ્રમાણસર છે.

વિપરીત સંબંધથી સીધા પ્રમાણસર સંબંધને અલગ પાડવા માટે, તમે કહેવતનો ઉપયોગ કરી શકો છો: "જંગલમાં જેટલું આગળ, તેટલું વધુ લાકડા."

પ્રમાણનો ઉપયોગ કરીને સીધા પ્રમાણસર જથ્થા સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે તે અનુકૂળ છે.

1) 10 ભાગો બનાવવા માટે તમારે 3.5 કિલો ધાતુની જરૂર પડશે. આમાંથી 12 ભાગો બનાવવા માટે કેટલી ધાતુ લાગશે?

(અમે આ પ્રમાણે કારણ આપીએ છીએ:

1. ભરેલા સ્તંભમાં, સૌથી મોટી સંખ્યાથી નાના સુધીની દિશામાં એક તીર મૂકો.

2. વધુ ભાગો, તેમને બનાવવા માટે વધુ ધાતુની જરૂર છે. મતલબ કે આ સીધો પ્રમાણસર સંબંધ છે.

12 ભાગો બનાવવા માટે x કિલો ધાતુની જરૂર છે. અમે પ્રમાણ બનાવીએ છીએ (તીરની શરૂઆતથી તેના અંત સુધીની દિશામાં):

12:10=x:3.5

શોધવા માટે, તમારે આત્યંતિક શબ્દોના ઉત્પાદનને જાણીતા મધ્યમ પદ દ્વારા વિભાજિત કરવાની જરૂર છે:

મતલબ કે 4.2 કિલો ધાતુની જરૂર પડશે.

જવાબ: 4.2 કિગ્રા.

2) 15 મીટર ફેબ્રિક માટે તેઓએ 1680 રુબેલ્સ ચૂકવ્યા. આવા ફેબ્રિકના 12 મીટરની કિંમત કેટલી છે?

(1. ભરેલા સ્તંભમાં, સૌથી મોટી સંખ્યાથી નાના સુધીની દિશામાં એક તીર મૂકો.

2. તમે જેટલું ઓછું ફેબ્રિક ખરીદો છો, તેટલું ઓછું તમારે તેના માટે ચૂકવવું પડશે. મતલબ કે આ સીધો પ્રમાણસર સંબંધ છે.

3. તેથી, બીજો તીર પ્રથમની જેમ જ દિશામાં છે).

ચાલો x રુબેલ્સની કિંમત 12 મીટર ફેબ્રિક છે. અમે પ્રમાણ બનાવીએ છીએ (તીરની શરૂઆતથી તેના અંત સુધી):

15:12=1680:x

પ્રમાણના અજ્ઞાત આત્યંતિક પદને શોધવા માટે, પ્રમાણના જાણીતા આત્યંતિક પદ દ્વારા મધ્યમ પદના ગુણાંકને વિભાજિત કરો:

આનો અર્થ એ છે કે 12 મીટરની કિંમત 1344 રુબેલ્સ છે.

જવાબ: 1344 રુબેલ્સ.